ROBUST YÖNTEMLERLE UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN BELİRLENMESİ

Transkript

1 S.Ü. Müh. Mm. Fak. Derg., c., s.3 4, 6 J. Fac.Eng.Arch. Selcuk Un.,., n.3 4, 6 ROBUS YÖNEMLERLE UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN BELİRLENMESİ Ceat İNAL, Melüt YEKİN S. Ü. Müh. Mm. Fak. Jeodez e Fotogrametr Müh. Böl., KONYA. ceat@selcuk.edu.tr, myetkn@selcuk.edu.tr ÖZE: Bu çalışmada, jeodezde en yaygın arametre kestrm yöntem olan En Küçük Kareler Yöntemn tamamlayıcı kestrcler örneğn M kestrcler, BIBER kestrcs, teratf ağırlıklandırma yöntem, Berberan yöntem e korelasyonlu ölçüler çn bfaktör ndrgeme model gb robust yöntemler e ek olarak robust rdge kestrcs ncelenmştr. Bunun yanında dengeleme önces eya sonrası kaba hatalı ölçülern belrlenmesnde kullanılan test yöntemler, güenrlk, kırılma noktası e kaldıraç noktası gb karamlar rdelenmştr. Son olarak bast br lneer regresyon modelnde çeştl örnekler erlmştr. Anahtar kelmeler: Uyuşumsuz Ölçü, Klask Uyuşumsuz Ölçü estler, Robust Yöntemler, Kırılma Noktası Robust Methods for the Detecton of Outlers ABSRAC: In ths study, comlementary estmators to Least Squares Method whch s the most wdely used estmaton technque n geodesy, esecally robust estmators such as M estmators, BIBER Estmator, terate weghtng method, Berberan Method and bfactor reducton model for correlated obseratons are studed. Furthermore, re adjustment and ost adjustment tests for outlers, relablty, breakdown ont and leerage ont are descrbed. Fnally, arous examles n a smle lnear regresson model are gen. Key words: Outler, Conentonel ests for Outlers, Robust Methods, Breakdown Pont GİRİŞ Jeodezde en yaygın olarak kullanılan kestrm yöntem En Küçük Kareler Yöntem (EKKY) dr. Jeodezk ağlarda yaılan ölçülern dengelenmesnde bu yöntemden yararlanılır. (EKKY); hesa algortmasının bast oluşu, gözlemlerle lgl statstk dağılımların blnmesne gerek duyulmaması, fonksyonel e stokastk modellern başlangıçtak değerlern koruması, aryans koaryans dağılımı e hata statstğ yönünden bast e anlaşılır olması gb çeştl nedenlerle lneer Gauss Markoff yaısındak statstk modellern çözümünde yaygın br şeklde kullanılmaktadır. (Dlaer.d. 998). Ölçülerde kaba eya sstematk hata yaılmadığı sürece rasgele ölçü hataları belrl br standart samaya göre normal dağılımdadır. Ancak, çoğu kez ölçüyü yaan kşnn dkkatszlğ, yanlış okuma, yanlış kayıt, yanlış hedefleme, yanlış merkezleme eya blgsayara er grş sırasında ölçü reszyonuna göre oldukça büyük hatalar yaılablmektedr. Genellkle 3 σ e daha büyük hatalar kaba hata olarak tanımlanmaktadır. Kaba hatalı ölçüler se uyuşumsuz ölçülerdr. Sanılanın aksne kaba hatalı ölçüler de rasgele hatalı ölçüler gb normal dağılımlı olablr. Sorun rasgele ölçü hatalarının geldğ dağılımların farklı olmasıdır. Bu nedenle ölçü hataları normal dağılım da olmaz, bu durumda ölçü hatalarımızın dağılımı karışık normal dağılım eya krletlmş normal dağılım olarak adlandırılmaktadır. Bu dağılımın şekl çan eğrsne benzese de olasılık yoğunluk fonksyonu normal dağılımdan farklı olur (Wlcox ). Doğal olarak böyle br dağılımdak ölçülerle EKKY le çözüm yaıldığında yanlış değerler elde edlr. Parametre kestrmnde, kestrlen değerle gerçek

2 34 C. İNAL, M. YEKİN değer arasındak fark kayı olarak adlandırılır (Gross 3). Amaç bu kaybı mnmum yamaktır. İşte ölçü hataları normal dağılımda olduğu zaman EKKY le arametre kestrmnde bu farkın mnmum olmasına mnmum aryans lkes adı erlmektedr. EKKY le arametre kestrmnn en y taraflarından br budur. EKKY le arametre kestrmnde dkkat edlmes gereken br dğer noktada rasgele hataların aryanslarının bell br arametreye göre değş değşmemesdr. Eğer rasgele ölçü hatalarının hesnn standart saması bell br normal dağılımdan gelyorsa yan aryansları eşt se bu durum homoskedastklk olarak adlandırılır. Aynı alet e ölçücü tarafından yaılan doğrultu gözlemler buna örnek gösterleblr. Eğer rasgele hataların aryansı bell br arametreye göre değşyorsa dğer br deyşle aryansları farklı se bu durum heteroskedastklk olarak adlandırılır. Nelman ağlarında, kenar ağlarında e GPS ağlarındak durum se budur. Yne doğruluğu farklı aletlern kullanıldığı doğrultu ağlarında da heteroskedastklk söz konusudur. Bazen, doğrultu kenar ağlarında olduğu gb heteroskedastklk e homoskedastklk durumları le aynı anda karşılaşılablr bu durumda stokastk model heterojen olur (Erenoğlu 3; Hekmoğlu e Berber 3). Stokastk modeln yanlış kurulması blnmeyenler kadar brm ağırlıklı aryansında yanlış belrlenmesne neden olur. Bu durumda sonsal aryansa dayalı testler (Global test, Poe test) geçerl olmaz. Bu nedenle olağan EKKY le arametre kestrm yerne ağırlıklı EKKY le arametre kestrm yaılmalıdır (Wetherll 986). EKKY le arametre kestrmnde dkkat edlecek br dğer nokta se lneer bağımlılıktır (colnearty). A katsayılar matrsnn sütunları arasında yakın br lneer bağımlılık olması durumda katsayılar matrsnden hesalanacak N normal denklem katsayılar matrs kötü kondsyonlu br matrs olur, yan bu matrs elemanlarındak çok küçük br değşklk nersn öneml ölçüde değşmesne neden olur. Bu durum doğal olarak normal denklem matrsnn nersnden hesalanan blnmeyenlern aryans koaryans matrsnn hatalı olmasına yol açar. Blndğ gb jeodezk ağlarda kalte kontrolünde bu matrsten yararlanılmaktadır. Lneer bağımlılığa karşı rdge kestrcler önerlmştr. Bazen lneer bağımlılıkla kaba hata roblem br arada karşımıza çıkablr. Bu durumda rdge kestrclerle robust kestrmn br arada kullanılması önerlr (Gross 3). UYUŞUMSUZ ÖLÇÜ KAVRAMI Robust statstkte ölçüler y ölçüler e kötü ölçüler olmak üzere kye ayrılmaktadır. İy ölçüler rasgele hatalı, kötü ölçüler se kaba hatalı yan uyuşumsuz ölçülerdr. Dğer br deyşle y ölçüler, aynı dağılımdan (normal dağılımdan) kötü ölçüler se başka br dağılımdan gelmektedr (Hekmoğlu 998). Robust statstkte uyuşumsuzlar ölçü uzayında ortaya çıkan uyuşumsuzlar (kaba hatalı ölçüler) e tasarım uzayında ortaya çıkan uyuşumsuzlar (kaldıraç noktaları) olmak üzere kye ayrılmaktadır (Hekmoğlu 6). Ölçü uzayındak uyuşumsuzlara karşı Robust yöntemler, örneğn M kestrcler, kullanılablr. Kaldıraç noktalarındak uyuşumsuzları belrlemek çnse Robust yöntemlerden genelleştrlmş M Kestrcler, BIBER kestrcs eya LMS (Least Medan Squares) gb yüksek kırılma noktalı robust yöntemler terch edlmeldr (Hekmoğlu 5). Ölçü uzayındak uyuşumsuz ölçüler rasgele uyuşumsuz ölçüler e ortak etklenmş uyuşumsuz ölçüler olarak sınıflandırılablr. Rasgele uyuşumsuz ölçüler, ölçülermzde tesadüf br şeklde yaılan kaba hatalar nedenyle oluşur. Ortak etklenmş uyuşumsuz ölçüler se bell br kaynaktan etklenmş br gru uyuşumsuz ölçüdür. Bu ölçülerdek hatalar aynı yönlüdür (Berber 997). Dolayısıyla bu krletlmş ölçüler de normal dağılımda değldr. Uyuşumsuz ölçülern br dğer sınıflandırması se konumlarına göre yaılır. Örneğn aynı br stasyon noktasında yaılan doğrultu ölçülernde brden fazla kaba hata yaılmışsa bu ölçüler komşu uyuşumsuz ölçülerdr. Eğer farklı stasyon noktalarında kaba hata yaılmış se bu da rasgele dağılmış uyuşumsuz ölçüler olarak adlandırılır. Pek komşuluğun önem nedr? Komşu ölçülern kısm redundansları brbrne yakındır. Kısm

3 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 35 redundans uyuşumsuz ölçü belrlemede en öneml karamlardan brdr. Kısm redundanslar br ölçüdek rasgele hatanın sözgelm kaba hatanın o ölçünün düzeltmesne yansıma yüzdesn err. Gerek uyuşumsuz ölçü belrleme testlernde gerekse de robust yöntemlerde ncelenen temel er se ölçülern düzeltmelerdr. Bu nedenle ölçülerdek hataların mümkün olduğunca düzeltmelerne yansıması stenr. Br ölçüdek hata düzeltmesne ne kadar fazla yansırsa o kadar kolay belrlenr. Bu nedenle jeodezk ağ tasarımında mümkün olduğunca homojen e yüksek (.5 n üzernde) kısm redundansları sağlayacak ağlar tasarlanmalıdır. Komşu ölçülerde kaba hata yaılmışsa bunları belrlemek, kısm redundansları brbrne yakın olacağı çn rasgele dağılmış uyuşumsuz ölçülere göre daha zordur (Berber 997). GÜVENİRLİK Uyuşumsuz ölçü belrlemede en öneml karamlardan brs güenrlktr. Güenrlk br ağın gözlemlerdek kaba hatalara karşı koyma gücü olarak tanımlanablr. Güenrlk konusunda ç e dış güenlrlk ayrımı yaılır. İç güenrlk bell br güen seyes ( α ) e test gücüyle ( β ) hotez testler yaarak belrlenecek mnmum kaba hata sınır değeryle lgldr. Hotez testlernde doğru br hotezn yanlışlıkla reddedlmes. t hata olarak adlandırılır e olasılığı α dır. Yanlış br hotezn kabul edlmes se. t hata olarak adlandırılır. Bu hatanın olasılığı se β dır. Yan ç güenrlk ölçülern kontrol edleblrlğ le lgl olarak ağa uygulanan uyuşumsuz ölçü belrleme teknğnn duyarlılığını yansıtır. Bell br sınır değern altında kalan kaba hatalar belrlenemez. Dış güenrlk se ağın kendsnn ölçülerdek kaba hatalara karşı duyarlılığı le lgldr. Dış güenrlk konusunda belrlenemeyen kaba hataların arametre kestrmndek etksnn mümkün olduğunca küçük olması stenr. Kısm redundans sayılarının olabldğnce büyük olması yüksek br ç e dış güenrlk sağlayacaktır (Kuang 996). UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN BELİRLENMESİ Günümüzde uyuşumsuz ölçülern belrlenmesnde geleneksel test yöntemler e robust yöntemler olmak üzere k yaklaşım ardır. Her k yaklaşımda da temel er ölçülern düzeltmelerdr. Blndğ gb dengelemeyle bulunan ölçü düzeltmeler korelasyonludur, EKKY nn yayma etks nedenyle her hang br ölçüdek hata dğer ölçülern düzeltmelerne de yansıyablmektedr. Bu durum gerek test yöntemleryle gerekse de robust yöntemlerle bazen yanlış sonuçlar alınablmesne sebe olablmektedr. Sözgelm robust yöntemlerde lk terasyon da düzeltmes standart samasının üç katından fazla olmayan ölçünün ağırlığının değştrlmemes önerlr (Leck 995). Dengeleme önces lu kaanmaları kontrol edlerek eya tekrarlı ölçüler yaılarak özellkle büyük kaba hatalı ölçüler test yöntemleryle belrleneblr. Küçük kaba hatalı ölçüler se dengeleme sonrası bulunan düzeltmelern hotez testleryle analz le belrlenmektedr (Kuang 996). Klask Uyuşumsuz Ölçü estler EKKY le arametre kestrmnn en öneml özellklernden br dengeleme sonrası etkn statstk analzlere mkan ermesdr. Örneğn dengeleme sonucu bulduğumuz aryansın önsel aryansla statstksel olarak uyuşumlu olu olmadığı global testle, hang ölçünün kaba hatalı olduğu se klask uyuşumsuz ölçü belrleme testleryle belrleneblr (Kuang 996). Bu amaç çn kullanılan yöntemler; Baarda yöntem (Global est + Data Snoong) Poe test t test Bu yöntemlerle güenlr olarak ancak br tane uyuşumsuz ölçü belrleneblmektedr (Berber 997). EKKY nn yayma etksnden düzeltmeler öneml ölçüde etklenmektedr. Yan dengeleme le herhang br ölçünün düzelmes oluşurken bu düzeltme sadece o ölçüde yaılan hata nedenyle oluşmaz, zdüşüm matrsnn dagonal olmayan elamanlarının çaranı kadar herhang br

4 36 C. İNAL, M. YEKİN ölçüdek hata bütün düzeltmeler etkler. İzdüşüm matrs se ağın geometrk e stokastk yaısını yansıttığından ağ tasarımında uygun br zdüşüm matrsnn oluşturulmasına dkkat edlmeldr. est yöntemleryle uyuşumsuz ölçü araştırması yaarken standartlaştırılmış düzeltmes en büyük olan ölçünün test statstğ krtk değer aşıyorsa uyuşumsuz ölçü olarak değerlendrlr. Yan dğer ölçülern standartlaştırılmış düzeltmes krtk değer aşsa ble uyuşumsuz ölçü olarak değerlendrlmezler. Çünkü teratf çözümde her terasyon da standartlaştırılmış düzeltmes en büyük olan ölçü, ölçü kümesnden atılacağı çn yayma etks azalacak böylece lk terasyonda krtk değer aşan y ölçü artık doğru br şeklde krtk değern altına düşeblecektr. Bu yöntemler arasındak temel fark ölçülern standartlaştırılmasında farklı aryans faktörlernn kullanılmasıdır. Örneğn Baarda yöntemnde önsel aryans, Poe yöntemnde sonsal aryans, t testnde se düzeltmes en büyük olan ölçü dışındak ölçülerden yararlanarak hesalanan sonsal aryans değer kullanılmaktadır (Demrel 5). Baarda Yöntem Baarda yöntem, Global test e Data Snoong olmak üzere k aşamadan oluşur. Global testte önsel aryansla sonsal aryans değer karşılaştırılarak model test edlr (Kuang 996). Global test geçlememşse üç şık üzernde durulur; Fonksyonel model yanlıştır. Stokastk model yanlıştır. Ölçülermzde kaba hata yaılmıştır. EKKY le arametre kestrmnde stokastk model büyük önem taşır. Stokastk model se ölçü ağırlıkları, aryansları e koaryanslarının belrlenmes aşamasıdır. Dengelemede hang ölçünün ne kadar düzeltme alacağı ağırlığı le lşkldr. Bu nedenle ağırlıkların mümkün olduğunca doğru br şeklde belrlenmes gerekr. Ölçü ağırlıklarının yanlış belrlenmes düzeltmelern yanlış hesalanmasına, bu da dengeleme le bulunan sonsal aryansın hatalı olmasına neden olur. Global testn geçlememesnn nedenlernden brs bu olablr. Varyans, kaba hatalardan kestrlen blnmeyenlere göre daha fazla etklenr (Wlcox ). Ölçülerde kaba hata arsa sonsal aryans hataya bağlı olarak artacaktır. Bu durumda da global test geçlemeyeblr. Global test geçlememş se lk olarak stokastk model kontrol edlmeldr. Eğer stokastk model doğru olduğu halde global test hala geçlemyorsa ölçülermzde büyük br olasılıkla kaba hata yaılmıştır. Sonrak aşama Data Snoong Yöntem le uyuşumsuz ölçülern yerelleştrlmes yan hang ölçünün kaba hatalı olduğunun belrlenmesdr (Kuang 996). Data Snoong yöntemnde sıfır hotez e alternatf hotez sırasıyla, H H A : E : E ( l ) = ( l ) şeklnde kurulur. () Baarda test statstğ; mutlak değer olarak ölçü düzeltmes e σ ölçü düzeltmesnn standart saması olmak üzere, w = () σ şeklnde hesalanır. Düzeltmenn standart saması, σ lgl ölçünün standart saması e l r kısm redundans sayısı olmak üzere; σ = r σ (3) l formülüyle hesalanır. Buradan Baarda yöntemnde ölçü duyarlıklarının y blnmesnn dğer br deyşle ölçülern doğru br şeklde ağırlıklandırılmasının ne kadar öneml olduğu anlaşılmaktadır. Baarda, w test statstklernn standart normal dağılımda olduğunu göstermştr. α yanılma olasılığı. olarak alınmışsa sınır değer 9 olarak bulunur. Br ölçünün uyuşumsuz olarak değerlendrleblmes çn, w > 9 (4)

5 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 37 eya Poe est ˆ > 9σ (5) olması gerekr (Kuang 996). Baarda yöntemyle belrleneblr kaba hata sınır değer; δ l l σ = (6) r dr. δ, hotez testlerndek. e. t hata olasılıklarına bağlı olarak değşen dış merkezlk arametresdr. (6) formülünden görüleceğ gb br ölçünün kısm redundans sayısı ne kadar büyükse yan o ölçü dğer ölçüler tarafından ne kadar fazla kontrol edleblyorsa o ölçüde o kadar küçük kaba hata Baarda testyle belrleneblr. Belrlenemeyen kaba hataların blnmeyen arametrelern kestrmndek etks se, ( A PA) A P l, X =, (7) dr. Burada A ; n x u boyutunda katsayılar matrs, X ; u x boyutunda blnmeyenler ektörü, P ölçülern ağırlık matrs, se X, etk ektörüdür. Buna göre eğer kısm redundansı küçük br ölçüde kaba hata yaılmışsa bu kaba hatanın sonuçlar üzerndek etks, kısm redundansı büyük olan ölçüdek kaba hataya göre daha fazla olur (Seemkooe ). Bunun dışında, Baarda yöntemnn başarılı olması çn ölçü duyarlıklarının çok y blnmes gerekr (Kuang 996). Baarda yöntemnde düzeltmelern standartlaştırılmasında brm ağırlıklı ölçünün önsel aryans değer kullanılır. Bu değer ölçülern koaryans matrsnn ters le çarılarak ağırlık matrs elde edlr. Ölçülerden yararlanarak hesalanan brm ağırlığın sonsal aryans değerdr. Önsel e sonsal aryansların statstksel olarak eşt olması durumunda dengelemenn doğru olduğu söylenr. Genellkle brm ağırlığın önsel aryansı olarak alınır. Bu durumda ağırlık matrs ölçülern aryans koaryans matrsnn nersne eşttr (Leck 995). Önsel aryansın blnemedğ durumlarda düzeltmelerden hesalanan aryans kullanılarak uyuşumsuz ölçü araştırması yaılablr. Ülkemzde yaygın olarak kullanılan Poe yöntemnde test statstğ (8) formülü le sonsal aryansa göre hesalanmaktadır. Hesalanan değer kaba hatalardan etklenmektedr. Bu nedenle Poe yöntem y br yöntem değldr. Poe test statstğ; = (8) σˆ ( Q ) şeklnde erlr. (8) eştlğnde aryans aydada yer almaktadır. Ne kadar büyük kaba hata yaılırsa aryans o kadar artar e bunun sonucu test statstğ de o oranda azalır. Belrl br değerden sonra uyuşumsuz br ölçü bu yöntemle y br ölçüymüş gb değerlendrleblr (Kuang 996). t est Sonsal aryansın hesabında kullanılan V PV fadesne her br ölçünün ayrı br katkısı ardır. Doğal olarak kaba hatalı ölçülern y ölçülere göre daha büyük br katkısı olacaktır. İşte bu fadeye en büyük katkı sağlayan ölçü şühel ölçüdür. Bu ölçü dışındak ölçülerden yararlanarak hesalanan sonsal aryans değer büyük br olasılıkla kaba hatalardan daha az etklenmş olacaktır. Bu özellğ tbaryle t testnn Poe yöntemnden daha y br yöntem olduğu söyleneblr. f serbestlk dereces, düzeltme değer, Q düzeltmelern ağırlık katsayıları matrs olmak üzere student dağılımlı test statstğ, = ~ t f, ( ) σ Q ( P) /, Q (9) σ = f () (Demrel 5) olur.

6 38 C. İNAL, M. YEKİN KIRILMA NOKASI KAVRAMI Robust statstğn en öneml k karamından brs kırılma noktası dğer se etk fonksyonudur. Robust statstkte amaç kırılma noktası yüksek kestrcler eya test yöntemler gelştrmektr. Kırılma noktası br kestrcnn güenlrlk ölçütüdür. Farklı kestrclerden kırılma noktası daha yüksek olan daha güenlrdr. Kırılma noktası br kestrcnn baş edebleceğ eya tolerans gösterebleceğ uyuşumsuz ölçü sayısı le lgldr. Örneğn br kestrc br tane ble uyuşumsuz ölçüye duyarlıysa bu kestrcnn kırılma noktası sıfırdır. Olablecek en kötü kırılma noktası budur. Bu duruma en güzel örnek EKKY dr. Blndğ gb en bast EKKY ortalama almaktır. Örneğn ölçülermzn,,,,3 e 4 olduğunu arsayalım. Bu ölçülern ortalaması dr e ölçüler normal dağılımda olduğu çn EKKY y sonuç ermştr. Şmd son ölçüyü 4 yerne 5 yaalım e buna göre ortalama hesalayalım. Yen ortalama 9. olacaktır. Yan ortalama değer, dğer br deyşle EKKY kırılmıştır, yan yöntem yanlış sonuç ermştr. Ortalama br tek uyuşumsuz ölçüye ble duyarlık göstermştr. Öyleyse kırılma noktası sıfırdır yan güenlr olmayan kestrcdr. Şmd se son ölçüyü 4 yerne alarak medyanı hesalayalım. Bu durumda medyan yne dr yan br tane uyuşumsuz ölçü medyanı kıramamıştır. Medyanın kırılma noktası.5 dr. Olablecek en yüksek kırılma noktası budur. Buradan medyanın ortalamaya göre daha güenlr olduğu söyleneblr (Wlcox ). Uyuşumsuz Ölçü Belrleme estlernn Kırılma Noktası Klask uyuşumsuz ölçü testleryle güenlr olarak ancak br tane uyuşumsuz ölçü belrleneblr. Bunu br örnekle açıklayalım. Blndğ gb normal dağılımda ortalamaya ( μ ) e standart samaya ( σ ) göre tanımlanan aralıkların olasılıkları bulunablr. Sözgelm μ ± σ aralığının olasılığı.68 dr. Normal dağılımın bu özellğ uyuşumsuz ölçü belrleme testlernn temeln oluşturur. Uyuşumsuz ölçü testlernde düzeltmeler standart samaya bölünerek,.5 eya 9 gb seçlen br sınır değerle karşılaştırılır, standartlaştırılmış düzeltmes bu sınır değer aşan ölçü uyuşumsuz olarak kabul edlr. Ancak gerek EKKY le kestrlen değern gerekse de standart samanın kırılma noktası sıfır olduğu çn test yöntemleryle ancak br tane uyuşumsuz ölçü güenle belrleneblr. Örneğn,3,4,5,6,7,8,9,,5 gb değerlermz olsun. Uyuşumsuz ölçü belrleme krtermz X μ > σ olarak kabul edelm. Yan standartlaştırılmış düzeltmes den büyük olan ölçü uyuşumsuz olsun. Bu değerlerle hesalanan ortalama.4, standart sama se 5 dr. Buna göre 5 değer uyuşumsuzdur. Şmd değern de 5 yaalım yan oda br uyuşumsuz olsun. Buna göre hesaladığımız ortalama e standart sama sırasıyla 4 e 8.89 olacaktır. Ancak bu durumda 5 değernn standartlaştırılmış düzeltmes den değl de.88 den büyük olacaktır; 5 4 >.88σ. Ölçü uyuşumsuz olduğu halde düzeltmes standart samanın katından küçük olacağı çn uyuşumsuz ölçü olarak belrlenemeyecektr. Yan uyuşumsuz ölçü test tane uyuşumsuz ölçü olduğu zaman kırılmış olacaktır (Wlcox ). KALDIRAÇ NOKASI KAVRAMI Robust statstkte tasarım uzayındak uyuşumsuzlar kaldıraç noktası olarak adlandırılır (Rousseeuw e Leroy 987). Kaldıraç noktalarıyla lgl olarak k tür roblemle karşılaşılablr. İlknde kaba hata yaılmasa ble kaldıraç noktası yüzünden En Küçük Kareler Yöntem kırılır. İknc roblem se kaldıraç noktalarında kaba hata yaılmasıdır. Kaldıraç noktalarının en karakterstk özellğ kısm redundanslarının küçük olmasıdır (Hekmoğlu 5). Kısm redundansı küçük olan ölçülerde kaba hata yaılmışsa bu tür uyuşumsuz ölçüler herhang br yöntemle belrlemek kısm redundansı büyük olan ölçülere göre daha zordur. Br robust kestrcs olan M kestrcler de br kaldıraç noktası olması durumunda ble kırılmaktadır. Kaldıraç noktası olması durumunda Eş redundanslı tasarım (genelleştrlmş M kestrm) uygulanır. Kaldıraç noktalarına karşı LMS gb yüksek kırılma noktalı robust yöntemlerde şe yaramaktadır.

7 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 39 Bunların yanında Wck () tarafından sunulan BIBER kestrcs de kaldıraç noktalarındak uyuşumsuzları belrlemede kullanılablr. Genelleştrlmş M kestrmnde normal denklemler, n η( x ) w( σ ) aj =, j =,,..., n () σ = şeklnde erlr (Hamel d 986). Genelleştrlmş M Kestrmndek amaç, η ( ) ağırlık fonksyonu yardımıyla kaldıraç noktasındak uyuşumsuzların etksn sınırlandırmaktır. η ( x ) çn Huber r, Koch t / t = 8 olmak üzere rd = ( n) r, * n = Hekmoğlu (998) de se denkleşmş ağırlıkların alınmasını önerlmştr. r ölçülern kısm redundanslarıdır (Hekmoğlu 5). Eş redundanslı tasarım teratf olarak şu şeklde gerçekleştrleblr. İlk olarak zdüşüm matrs, ( A PA) A P H = A () eştlğ le hesalanır. Bütün ölçülern geometrk e stokastk etks farklı olacağı çn zdüşüm matrsnn dagonal elemanları farklı olacaktır. Bu matrsn brm matrsten farkı redundans matrsdr. Redundans matrsnn dagonal elemanları se ölçülern kısm redundanslarıdır. Eğer kaldıraç noktası arsa onun kısm redundansı dğerlerne göre oldukça küçüktür. Yan kaldıraç noktası olu olmadığını belrlemede en temel etken zdüşüm matrsdr (Gross 3). Eşredundanslı tasarımın brnc aşamasında yen ağırlıklar, * r = (3) r le belrlenr (Hekmoğlu 998). Yen ağırlıklara göre zdüşüm matrs yenden hesalanır. Bu şleme yakınsama sağlayıncaya kadar deam edlr. Eğer eş redundanslı tasarım, robust br yöntem olan M kestrmnn her aşamasında kullanılırsa redundansları denkleştrlmş x genelleştrlmş M kestrm elde edlr (Ata 999). ROBUS M KESİRİM YÖNEMLERİ Robust kestrm yöntemler çnde en yaygın kullanılanlardan br M kestrclerdr. M kestrcler maksmum olasılık kestrcsnn genelleştrlmş bçmdr (Hamel.d. 986, Huber 98). M kestrcs olarak çok sayıda yöntem sunulmuştur. Bu yöntemlern her br farklı amaç (kayı), etk e ağırlık fonksyonu le tanımlanır. Parametre kestrmnde blnmeyen arametrelern gerçek değer le kestrlen değerler arasındak fark kayı fonksyonu le fade edlr. Amaç bu fonksyonu mnmum yamaktır. Kayı fonksyonu ρ (), düzeltmelere göre tanımlanan br fonksyondur. Bu fonksyonunun düzeltmelere göre türenn alınmasıyla da etk fonksyonu elde edlr. Etk fonksyonu kırılma noktasından sonra Robust statstğn br dğer öneml karamıdır. Düzeltmeler büyük olan ölçülern (br anlamda kaba hatalı ölçülern) arametre kestrmndek etklernn az olması stenr. Etk fonksyonu, ρ ( ) = ψ ( ) (4) le belrlenr. Etk fonksyonunun düzeltmelere bölünmesyle de ağırlık fonksyonu elde edlr. Ağırlık fonksyonu le düzeltmelere göre ölçülermzn ağırlıkları belrlenr. Ağırlık fonksyonu, P () ( ) ψ = (5) şeklnde erlr. M kestrm, teratf olarak yenden ağırlıklandırmalı en küçük kareler algortmasıyla gerçekleştrlmektedr. Her terasyonda standartlaştırılmış düzeltmeler br sınır değer le karşılaştırılır, seçlen ağırlık fonksyonuna göre ölçülern yen ağırlıkları belrlenr. Bu teratf çözümde kaba hatalı ölçülern yen ağırlıkları gttkçe küçülmektedr. İstenen yakınsama sağlayıncaya kadar terasyona deam edlr (Berber 997). Normal denklemler e blnmeyenler;

8 4 C. İNAL, M. YEKİN A P () = A P( AX L) = ( A PA) A PL (6) X = (7) k k k = 3σ = σ = σ max μ < μ < > 3σ max max < 3σ < σ () şeklnde yazılablr. En yaygın olarak kullanılan ağırlık fonksyonları aşağıda sıralanmıştır, Huber = c Hamel c > c c=.5 eya. (8) a a / a < b = c a b < c c b > c a =.7, b = 4, c = 8.5 (9) Beaton ukey c = c > c c =.5 eya. () Andrews ( c) /( / c) sn cπ = > cπ c =.5 eya.339 () Danmarka (Csao, Ks, Völgyes 3), =, + a k j a = k 3 k Danmarka yöntemnde σ değer olarak, blnyorsa önsel aryans blnmyorsa robust standart sama kullanılmalıdır. Düzeltmelern standartlaştırılmasında mümkün olduğunca En Küçük Kareler Yöntemndek sonsal aryans değer kullanılmamalıdır. Çünkü bu değer kaba hatalardan etklenmş br değerdr. Robust standart sama V ölçü düzeltmes olmak üzere, ˆ σ rob =.6745 dr (Gross 3). DİĞER ROBUS YÖNEMLER (3) Aşağıda teratf ağırlıklandırma yöntem, Berberan yöntem, BIBER kestrcs, Robust Rdge kestrcs e korelasyonlu ölçüler çn robust yöntemler olmak üzere farklı robust yöntemler erlmştr. İteratf Ağırlıklandırma Yöntem EKKY nn y yanlarından brs ölçülern dağılımlarının blnmesne gerek duyulmamasıdır. Ağırlık matrsnn ölçülere lşkn aryans koaryans matrsnn ters alınarak oluşturulması mnmum aryans çözümünü sağlar. EKKY dek ağırlık matrs, Σll medyan ( V medyanv ( ) ) P = σ (4) eştlğ le hesalanır (Demrel 5). Burada P ağırlık matrs, Σ ll ölçülern aryans koaryans matrsdr. EKKY le dengelemede yaılan budur. Br ölçüde kaba hata yaılması o ölçünün düzeltmesnn artmasına yol açar. Yayma etksnn fazla olmadığı br sstemde kaba hatalı ölçünün düzeltmes dğerlernknden belrgn br şeklde büyüktür. Bu özellkten yararlanarak, ölçü ağırlıkları aryanslarından başka düzeltmelerne de bağlı olarak belrlenerek uyuşumsuz ölçülern arametre kestrmndek etks azaltılmaya çalışılır. Bu yöntem teratf ağırlıklandırma yöntem olarak adlandırılır.

9 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 4 İteratf ağırlıklandırma yöntemnde, ağırlık matrs aşağıdak gb ( E + Σ ) P (5) = ll belrlenr. E matrs, olmak üzere,.. E =..... n şeklnde oluşturulur (Aduol 994). Berberan Yöntem ler ölçü düzeltmes (6) Hem Robust yöntemlern hem de uyuşumsuz ölçü testlernn brbrlerne göre aantajları ardır. Berberan yöntem her k yöntemn aantajlarından brlkte stfade edeblmek çn sunulmuştur. Berberan yöntemnde Baarda test statstkler belrl br yanılma olasılığına ) (α göre normal dağılım tablosundan alınan krtk değerle karşılaştırılır. Ölçülern ağırlıkları se Danmarka yöntem le belrlenr. σ l ölçülermzn standart samasıdır. Demek k bu yöntemde ölçü duyarlıkları çok y blnmeldr. w se Baarda yöntemnde hesalanan test statstklerdr. k sınır değer olarak sırasıyla (her br terasyonda) α =., α =. e α =. yanılma olasılıklarına karşılık gelen e normal dağılım tablosundan alınan.645,.58 e 9 değerler kullanılır. Berberan yöntem 3 terasyon adımından oluşmaktadır. Berberan yöntemnde ağırlıklar, ( ) l σ = lw σ l w w > k se k se (7) fonksyonuna göre elde edlr. Berberan yöntemnn sağladığı lk aantaj c sınır değernn daha güenl br şeklde belrlenmesdr. Blndğ gb dğer Robust yöntemlerde c = (.5 )σ gb değerler kullanılmaktadır. Bunlar statstkçler tarafından deneymlere bağlı olarak erlmş değerlerdr. Bu sınır değerler, jeodezk roblemlerde her zaman e her koşulda geçerl olacak dye br kural yoktur. Berberan yöntemnn dğer br aantajı se terasyon sayısının 3 olmasıdır. Bazı Robust yöntemler daha büyük terasyon sayısı gerektreblmektedr (Berberan 995). BIBER (Bounded Influence By standardzed Resduals) Kestrcs BIBER (Bounded Influence By standardzed Resduals) kestrcs jeodezk ağların dengelenmes çn gelştrlmş br kestrcdr, Schwee tl maksmum olasılık kestrcs olan BIBER kestrcs EKKY ne benzer br kayı fonksyonuna sahtr. Ölçüler normal dağılımda olduğu zaman EKKY le özdeş sonuç ermektedr, aks takdrde algortması standartlaştırılmış düzeltmeler le uyuşumsuz ölçülern etksn sınırlandırmaktadır. Bu sayede kaldıraç noktalarının etks azaltılablmektedr. Sınır değer, düzeltmenn standart saması br c sabt le çarılarak elde edlmektedr. BIBER kestrcsnn etk fonksyonu aşağıdak gb erlmştr. ( ) = sgn < k k se ψ k (8) ( ) k se Sınır değer, k cσ = cσ = r (9) şeklnde hesalanablr. c değernn (.5 4) arasında alınması uygun görülmektedr. BIBER Kestrcs çn normal denklem aşağıdak gbdr. n = ( ) ψ a = (3) k j BIBER kestrcsnde brnc aşamada EKKY le çözüm daha sonra her br ölçü çn aşağıdak formüle göre standartlaştırılmış düzeltmeler hesalanır; w = (3) σ = σ ( q )

10 4 C. İNAL, M. YEKİN σ lgl ölçünün standart samasıdır. Standartlaştırılmış düzeltmes en büyük olan ölçü şühel ölçüdür. Bundan sonrak şlem adımı br öncek aşamada seçlen ölçünün etksn azaltacak şeklde blnmeyen arametrelern e düzeltmelern kestrm aşamasıdır. Maksmum standart samalı ölçünün kurgusal ağırlığı * k =, * (3) le bulunur. Buna göre blnmeyen arametrelern robust kestrm e düzeltmeler sırasıyla aşağıdak gb bulunur; X V V ROB O ROB = * ( A P A) = AX * = P V ROB O L A P * L (33) Yukarıdak gb bulunan V ROB ektörü; < k olan ölçüler çn ölçülen değer le dengelenmş değer arasındak farkı, k olan ölçüler se k sınır değer fade etmektedr. Bütün şlem tüm düzeltmeler [ k ROB k ] aralığında oluncaya kadar deam eder (Wck ). BIBER kestrcs ölçülern teratf olarak ağırlıklandırılması lkesne dayanır. Rdge Kestrcler Rdge kestrcler aslında Robust kestrcler değldr. Sözgelm Danmarka yöntem gb kaba hatalı ölçülere karşı kullanılmazlar. A Katsayılar matrsnn sütunları arasında yakın lneer br bağımlılık olması durumunda Rdge kestrcs y sonuç ermektedr. Rdge kestrmnde amaç normal denklem matrsnn nersnn kondsyonunu arttırmaktır. Lneer bağımlılık roblemyle kaba hata roblemnn brlkte olması durumunda blnmeyen arametreler; X rob k ( A' A + kiu ) A' AX ROB = (34) şeklnde kestrlr. k değer çn Hoerl, Kennard e Baldwn, uσ k = (35) ' X X alınmasını önermştr. Burada u blnmeyen sayısıdır. σ aryans değer, X se blnmeyen arametrelern kestrm değerdr. Robust Rdge kestrmnde önce seçlen br Robust yönteme göre arametre kestrm yaılarak X rob değer elde edlr. Daha sonra yukarıdak formül teratf olarak çözülerek hem kaba hatalardan hem de lneer bağımlılıktan etklenmeden arametre kestrm yaılablr (Gross 3). Korelasyonlu Ölçüler çn Robust Yöntemler Korelasyonlu ölçülerle jeodezde sıkça karşılaşılablr. Örneğn doğrultu ölçüler korelasyonlu olmamasına rağmen doğrultu farklarından elde edlen açılar korelasyonludur. Br dğer örnek GPS ölçmelernden erleblr. Blndğ gb GPS gözlemlernde, kl farklar oluşturma br ne korelasyonlu ölçüler demektr. Şmdye kadar erlen robust yöntemler bağımsız ölçüler çn uygundur. Gözlemlerde kaba hata yaılmışsa e korelasyonlu ölçüler söz konusu se ndrgeme faktörlernn kullanılması gerekr. Huber n etk fonksyonu seçlmşse ndrgeme faktörler, = c ~ ~ ~ c γ (36) > c dr. c,. eya.5 gb br sabttr. Ağırlık elemanları çn br dğer ndrgeme faktörü IGG IIIM, ~ k k k ~ γ = < ~ ~ k k (37) k k ~ > k le de belrleneblr (Yang.d. ). Bu fadelerdek ~ ler standartlaştırılmış

11 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 43 düzeltmelerdr. k e k sırasıyla. e olarak seçlen sabtlerdr. Bfaktör ndrgeme modelnde. e j. ölçülere at ndrgeme faktörler sırasıyla γ e γ jj olmak üzere, γ = γ γ (38) j jj dr. Ölçülern ağırlık matrsnn tüm elemanları çn hesalanan ndrgeme faktörler kullanılarak eşdeğer ağırlık matrs aşağıdak gb erlr. γ = γ P... γ n n γ γ γ n... n γ n γ n... γ nn n n Blnmeyenlern yen robust kestrm, Xˆ ( A PA) A PL nn (39) = (4) Blnmeyenlern aryans koaryans matrs, ( A PA) Σ ˆ = ˆ σ X (4) Brm ağırlığın sonsal değer se ˆ V PV = n u σ (4) eştlğ le hesalanır (Yang.d. ). SAYISAL UYGULAMALAR Yukarıda zah edlen robust yöntemlere at çeştl uygulamalar aşağıda erlmştr. Uygulamalarda Y = AX + ε şeklnde erlen lneer br regresyon model kullanılmıştır. Y ölçü uzayı, A tasarım uzayı (katsayılar matrs), X blnmeyenler e ε se rasgele hatalar ektörüdür. A e X değerlernn blndğ arsayılarak lk önce hatasız Y değerler hesalanmış daha sonra hatasız Y değerlerne rasgele hatalar eklenerek y ölçüler elde edlmştr. Robust yöntemlern kaba hatalardak başarısını görmek çnde rasgele br ölçünün kaba hatalı olması sağlanmıştır. Yaılan uygulamalarda temel amaç arametrelern gerçek değerler olan X gerçek değerlerne EKKY le robust yöntemlern hangsnn daha fazla yaklaştığını görmektr. Yaılan bütün uygulamalarda robust yöntemler le gerçek değerlere daha fazla yaklaşıldığı görülmüştür. Uygulama : Aşağıda sırasıyla lneer br regresyon modelne lşkn katsayılar matrs, ölçü ektörü e blnmeyenlern gerçek değerler erlyor. Verlenler Danmarka yöntemne göre değerlendrelm..ölçü kaba hatalıdır. Bu ölçünün gerçek değer (hatasız değer) arantez çnde erlmştr. Başlangıçta ağırlık matrs brm matrs alınmıştır ( P = I). İlk başta EKKY le çözüm yaıldığında. ölçünün düzeltmes maksmum çıkmıştır, bu nedenle bu ölçünün ağırlığı Danmarka yöntemyle teratf olarak ablo dek gb elde edlmştr. ablo de se her br terasyonda yen ağırlıklara göre hesalanan blnmeyenler erlmştr ablo den görüleceğ gb Danmarka yöntemyle 5 terasyon sonucu gerçek değere EKKY den daha fazla yaklaşılmıştır. A = ; Y = ( 8) ; X gerçek. 5 =. ablo. Şühel Ölçünün Ağırlık Değşm. able. Weght Change of the doubtful measurement. İterasyon Şühel Ölçü Ağırlık

12 44 C. İNAL, M. YEKİN ablo. Danmarka Yöntemyle Kestrlen Blnmeyen Parametreler. able. Unknown arameters whch estmated by Dansh Method. İterasyon Blnmeyen Parametreler X = İterasyon [ ].İterasyon X = [ ] İterasyon X = [ ] İterasyon X = [ ] İterasyon X = [ ] EKKY X = [ ] Uygulama : Aşağıda erlen değerlern Berberan Yöntemyle değerlendrlmesyle aşağıdak sonuçlar elde edlmştr. Sınır değerler olarak sırasıyla α =.,.,. anlamlılık düzeylerne karşılık gelen.645,.58 e 9 değerler kullanılmıştır. Başlangıçta ağırlık matrs brm matrs olarak alınmıştır. Kaba hatalı olan. ölçü e dğer ölçülern ağırlıkları ablo 3 de, ablo 4 de se yen ağırlıklara göre hesalanan blnmeyenler erlmştr. terasyon sonucu hesalanan blnmeyen değerler gerçek değerlere En Küçük Kareler Yöntemne göre daha fazla yaklaşmıştır. Kaba hatalı olan. ölçünün gerçek değer Y ektöründe arantez çnde erlmştr. A = , ( ) ; Y = ; X = gerçek Uygulama 3: Aşağıda erlenler Huber n M kestrmne göre değerlendrelm. Bu örnekte önsel standart sama değer σ =. metredr. EKKY le bulunan düzeltmelerden hesalanan standart sama se. 3 metredr. Görüldüğü gb uyuşumsuz ölçüler aryansın (dolayısıyla standart samanın) artmasına neden olmuştur. (3) formülüne göre hesalanan robust standart sama se σ rob =. metredr. Yan bu şeklde hesalanan standart sama uyuşumsuz ölçülerden daha az etklenr.. ölçünün gerçek değer 8 dr. Bu değere standart samanın katı büyüklükte br kaba hata eklenmştr. Bu örnekte düzeltmelern standartlaştırılmasında robust standart samadan yararlanılmıştır. c sınır değer se.5 olarak seçlmştr. Başlangıçta ağırlık matrs brm matrs olarak alınmıştır. Huber n ağırlık fonksyonuna göre elde edlen ağırlıklarla EKKY teratf olarak uygulandığında ablo 6 den de görüleceğ gb terasyon sonucunda gerçek değerlere EKKY den daha fazla yaklaşılmıştır. ablo Ölçü ağırlıklarının değşm. able Change of measurement weghts. Ölçü İterasyon İterasyon İterasyon ablo Berberan yöntem le kestrlen blnmeyen arametreler. able Unknown arameters estmated by Berberan Method. İterasyon Sayısı Blnmeyen Parametreler X = İterasyon [ ].İterasyon X = [ ] İterasyon X = [ ] EKKY X = [ ]

13 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 45 ablo Huber n ağırlık fonksyonuna göre teratf çözümde ölçü ağırlıklarının değşm. able Change of measurement weghts n terate soluton accordng to Huber s weght functon. Ölçü İterasyon İterasyon.8 İterasyon.5 İterasyon.5 A = ; Y = ; X gerçk. 5 =. ablo 6. Huber n M kestrm yöntemyle kestrlen blnmeyen arametreler. able 6.Unknown arameters whch estmated by Huber s M estmaton method. İterasyon Kestrlen Parametreler X = [ ] X = [. 5. ] 3 X = [. 59. ] 4 X = [. 59. ] EKKY X = [ ] Uygulama 4: BIBER Kestrcsnn kaldıraç noktalarındak başarısını görmek çn lneer br regresyon modelnde uygulama yaılmıştır. Bunun çn kısm redundansı en küçük olan ölçüye kaba hata eklenmştr. A = ( 5) Y = 34 X gerçek =. 4 ablo 7. Kısm Redundans Sayıları. able 7. Partal Redundancy Numbers. Ölçü r ablo 8. BIBER Kestrcs le teratf çözümde Baarda test statstğ en büyük olan ölçü (şühel ölçü), Ağırlıklar e Blnmeyen Parametreler. able 8. Measurement(doubtful) whch hae maxmum Baarda test statstc n terate soluton by BIBER estmator. Şühel Ölçü Ağırlık Blnmeyen Parametreler X = İterasyon Ölçü.96 [ ]. İterasyon Ölçü.5 X = [ ] EKKY Ölçü X = [ ]

14 46 C. İNAL, M. YEKİN Smülasyon çalışmasında yukarıda erlen değerler kullanılmıştır. Bunlar sırasıyla tasarım matrs, ölçü matrs e blnmeyenlern gerçek değerdr. asarım matrsnde 4 numaralı noktanın gerçek değer 5 ken 38 yaılmıştır. Yan bu nokta br kaldıraç noktasıdır. BIBER kestrcsnde erlen k formülünde c değer.5 olarak seçlmştr. BIBER kestrcsnn kaldıraç noktalarındak kaba hatalı ölçülere karşı başarısını görmek çn ölçüye yan kısm redundans sayısı en küçük olan ölçüye kaba hata eklenmştr. ablo 7 den görüleceğ gb 4 numaralı nokta kaldıraç noktası olduğu çn kısm redundansı dğerlerne göre oldukça küçüktür. BIBER kestrcs uygulandığı zaman kaldıraç noktasına karşılık gelen ölçünün Baarda test statstğ maksmum çıkmıştır. (9) formülüyle hesalanan k değer se.57 dr. (3) formülüyle de yenden ağırlıklandırma yaılmıştır. BIBER Kestrcs le daha. terasyonda y br sonuç elde edlmştr. Uygulama 5: Verlen br er setnde lneer bağımlılığa lae olarak uyuşumsuz ölçülernde olması roblem ncelenmştr. Kaba hatalı olan. ölçünün gerçek değer Y ektöründe arantez çnde erlmştr. Bunun çn bast br lneer regresyon modelnde robust rdge kestrcs uygulanmıştır. Normal matrsn kondsyonunu arttırmada kullanılan k değer (35) numaralı formüle göre elde edlmştr. Y = AX + ε şeklnde lneer br regresyon modeln ele alalım. Bu modele at katsayılar (tasarım) matrs, ölçüler matrs e blnmeyenlern gerçek değer sırasıyla aşağıda erlmştr. A = ; (.78) Y = ; X gerçek. 5 =. İlk önce Huber n M Kestrm uygulanmıştır. Huber n M Kestrmne göre elde edlen ağırlıklar e blnmeyenlern kestrlen değerler sırasıyla ablo 9 e ablo da erlmştr. Düzeltmelern standartlaştırılmasında (3) numaralı formüle göre hesalanan robust standart sama kullanılmıştır. able 9. Huber n ağırlık fonksyonuna göre ölçü ağırlıkları. able 9. Measurement weghts accordng to Huber s weght functon. Ölçü İterasyon İterasyon İterasyon.43 İterasyon.48 able. İteratf ağırlıklandırmalı EKKY ne göre blnmeyenlern kestrlen değerler. able. Estmated alues of unknowns accordng to terate rewghted least squares algorthm. İterasyon EKKY X ektörü [. ] [. ] [. ] [. ] [ 65] ablo. Hoerl, Kennard e Baldwn e göre hesalanan k değerler. able. k alues whch calculated accordng to Hoerl, Kennard and Baldwn. İterasyon k ablo. Robust Rdge Kestrcsne göre blnmeyen arametrelern kestrlen değerler. ablo. Estmated alues of unknown arameters accordng to Robust Rdge estmator. İterasyon Kestrlen Parametreler X = [ ] X = [ ] 3 X = [ ] 4 X = [. 63. ] 5 X = [. 6. ]

15 Robust Yöntemlerle Uyuşumsuz Ölçülern Belrlenmes 47 Verlenlerde A matrsne bakılırsa bu matrsn sütunları arasında yakın br lneer bağımlılık ardır. Bu nedenle Huber yöntemyle. adımda. ölçü uyuşumsuz olarak belrlenmştr. İteratf ağırlıklandırmalı EKKY çözümünde bu ölçünün ağırlığı düşürülerek etks azaltılmıştır. Gerekrse bu ölçü tekrar yaılablr. Bu roblemde uyuşumsuz ölçü roblemnden başka lneer bağımlılık roblem de olduğu çn salt Huber n M kestrm yeterl olmaz. Bunun çn. adımda (34) e (35) numaralı formüllere göre robust rdge kestrcs uygulanmıştır. İteratf çözümde elde edlen k değerler e blnmeyen arametrelern kestrlen değerler sırasıyla ablo e ablo de erlmştr. Normal matrsn kondsyonunu arttırmada kullanılan k değer lk terasyonda EKKY le bulunan çözüme göre hesalanmıştır. Formüldek standart sama (3) numaralı formüle göre elde edlen robust standart sama olarak ele alınmıştır. terasyon da elde edlen sonuçlar blnmeyenlern gerçek değerleryle karşılaştırılırsa elde edlen sonucun hem kaba hata hem de lneer bağımlılık roblemne rağmen oldukça y olduğu söyleneblr. SONUÇLAR Kaba hatalı ölçüler EKKY le bulunan bütün sonuçları e aynı zamanda yayma etks nedenylede test büyüklüklern bozarlar. Böylece EKKY le bulunan sonuçların doğruluğunun br garants olmadığı gb bu yönteme dayalı olarak uyuşumsuz ölçü belrlemenn güenlrlğ de azdır. Robust yöntemlern en büyük aantajı uyuşumsuz ölçülern etksn yerelleştrmeler yan yaymamalarıdır. Dolayısıyla kaba hatalı ölçülern daha doğru br şeklde belrlenmes mümkün olmaktadır. Uyuşumsuz ölçü belrleme başarısı; kaba hatanın büyüklüğüne, sayısına, cnsne, konumuna, serbestlk derecesne, ağın geometrsne, kısm redundans sayılarına e stokastk yaıya bağlı olarak değşmektedr. Uyuşumsuz ölçü belrlemenn başarısı öneml ölçüde stokastk modeln doğru kurulmasına bağlıdır. Blndğ gb dengelemede ölçülern alacağı düzeltmelern büyüklükler ağırlıklarıyla lşkldr. Uyuşumsuz ölçü araştırmasında temel er se ölçülern düzeltmelerdr. Klask uyuşumsuz ölçü testler çersnde en y yöntem Baarda yöntemdr. Yan aryansın blnmes durumunda uyuşumsuz ölçü belrleme başarısı artmaktadır. Robust kestrmde ölçülern uyuşumsuz olu olmadığına karar ermede öneml br etken olan c arametres çn her durumda geçerl br değer erlemez. İstatstkçler deneysel çalışmalara göre.5, gb değerler önermşlerdr. c arametresnn A katsayılar matrsne e α yanılma olasılığına bağlı olarak her ölçü çn ayrı ayrı hesalanması da mümkündür. c arametres olarak Baarda yöntemndek sınır değerler alınablr. Ancak bu durumda standartlaştırılmış düzeltmeler olarak Baarda test büyüklükler alınmalıdır. Normal dağılımın k arametresnden aryans, ortalamaya göre uyuşumsuz ölçülerden daha fazla etklenmektedr. Bu nedenle uyuşumsuz ölçü araştırmasında POPE yöntemnde olduğu gb EKKY le dengelemeyle bulunan aryansı kullanmak eya Robust yöntemlerde düzeltmelern standartlaştırılmasında bu aryansı kullanmak sakıncalıdır. Bunun çn aryans blnyorsa aryansı blnmyorsa robust standart samayı kullanmak gerekr. BIBER kestrcs özellkle kaldıraç noktalarındak kaba hatalı ölçüler belrlemede de başarılıdır. Kaldıraç noktalarına karşı başarılı br dğer yöntem genelleştrlmş M kestrmdr. Lneer bağımlılık e uyuşumsuz ölçü roblemlernn br arada olması durumunda robust rdge kestrcs kullanılablr.

16 48 C. İNAL, M. YEKİN KAYNAKLAR Aduol F.W.O., 994, Robust Geodetc Parameter Estmaton hrough Iterate Weghtng, Surey Reew, 3: Ata M., 999, Statk Deformasyon Analznde Robust Kestrm Yöntemlernn Kullanılması Üzerne Br Araştırma, Doktora ez, YÜ Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul Berber M., 997, Kenar Ağlarında Uyuşumsuz Ölçülern Klask Uyuşumsuz Ölçü estler e M Kestrm le Belrlenmes e Karşılaştırılması, Yüksek Lsans ez, YÜ Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul Berberan A., 995, Multle Outler Detecton, Surey Reew, 33:55 Csao G., Ks M. and Völgyes L., 3, Dfferent Adjustment Methods for the Hungaran Part of the Unfed Euroean Graty Network, XXIII General Assembly of the Internatonal Unon of Geodesy and Geohyscs, June 3 July, 3, Saoro, Jaan Demrel H., 5, Dengeleme Hesabı, YÜ, İnşaat Fakültes, Sayı:İN.JFM Dlaer A., Konak H., Çen, M.S., 998, Jeodezk ağlarda uyuşumsuz ölçülern yerelleştrlmesnde kullanılan yöntemlern daranışları, H. K. M.O. dergs, sayı:84, Ankara Erenoğlu R.C., 3, Jeodezk Ağlarda Uyuşumsuz Ölçülern Robust Yöntemlerle e Uyuşumsuz Ölçü estleryle Belrlenmes e Brbrleryle Karşılaştırılması, Yüksek Lsans ez, YÜ Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul Gross J., 3, Lnear Regresson, Srnger Verlag Hamel, F., Ronchett, E., Rousseeuw, P., Stahel, W. 986, Robust Statstcs he Aroach based on nfluence functons. John Wley and Sons, New York Hekmoğlu Ş., 998, Alcaton of Equredundancy Desng to M Estmaton, Journal of Sureyng Engneerng, ASCE, 4(3):3 4 Hekmoğlu Ş. and Berber M., 3, Effecteness of Robust Methods n Heterogeneous Lnear Models, Journal of Geodesy, 76:76 73 Hekmoğlu Ş., 5, Do Robust Methods Identfy Outlers More Relably han Conentonel est for Outlers, Zetschrft für Vermessungwesen, 5/3, 74 8 Hekmoğlu Ş., 6, Kaba Hataların Belrlenmesndek Sorunlar, Harta Dergs:S.35:8 93:/6 Huber P., 98, Robust Statstcs, John Wley & Sons Inc. New York Kuang S.H., 996, Geodetc Network Analyss and Otmal Desgn, Ann Arbor Pres, INC Chelsea Mchgan Leck A., 995, GPS Satellte Sureyng, John Wley & Sons, New York Rousseeuw P. and Leroy A.M., 987 Robust Regresson and Outler Detecton. John Wley & Sons Inc. New York. Seemkooe, A.A.,, Strategy for Desgnng Geodetc Network wth Hgh Relablty and Geometrcal Strength, Journal of Sureyng Engneerng, Vol. 7, No.3 Yang Y., Song L. and Xu.,, Robust Estmator for Correlated Obseratons Based on Bfactor Equalent Weghts, Journal of Geodesy, 76: Wetherll, G.B., 986, Regresson Analyss wth Alcatons, Chaman & Hall, London UK. Wck F.,, Robust Estmator for the Adjustment of Geodetc Networks, Frst Internatonal Symosum on Robust Statstcs and Fuzzy echnques n Geodesy and GIS March 6 Zurch, Swtzerland Wlcox R.R.,, Fundementals of Modern Statstcal Methods, Srnger Verlag, New York