GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR Koray BOZDAYI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 0

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR Koray BOZDAYI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: Yrd. Doç. Dr. Şerfe BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 0

3 ONAY Fe Blmler Esttüsü Müdürlüğü e Bu çalışma ürmz tarafıda Matematk Aablm Dalıda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edlmştr. Başka Doç. Dr. Mahr KADAKAL Üye Yrd. Doç. Dr. Şerfe BÜYÜKKÖSE Üye Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Oay Yukarıdak mzaları, adı geçe öğretm üyelere at olduğuu oaylarım. / /0.. (İmza Yer) Prof. Dr. Nadr DEMİREL Esttü Müdürü I

4 ÖZ G(V,E) graphıı komşuluk matrs; A( G) a ; 0 ; dğer durumlarda şeklde taımlaır. Graphı spektral yarıçapı, komşuluk matrs A(G) e büyük özdeğerdr. Bu çalışmada graphı spektral yarıçapı ç ye sıırlar bulumuş ve bu sıırları br karşılaştırması yapılmıştır. Aahtar kelmeler: Graph, Komşuluk Matrs, Spektral Yarıçap. II

5 ABSTRACT The adacecy matrx of G(V,E) graph s defed as A( G) a ; 0 ; otherwse The spectral radus of G graph s the bggest egevalues of ts adacecy matrx. I ths study, we have foud the ew bouds of the spectral radus of G graph ad ths bouds compare wth the other bouds. Key words: Graph, Adacecy Matrx, Spectral Radus. III

6 ÖN SÖZ Bu çalışmada, graphı spektral yarıçapı ç sıırlar üzerde çalışılmıştır. Çalışmamız 4 bölümde oluşmuştur. Brc bölümde kısaca graph kavramı verlmştr. İkc bölümde graph le lgl temel kavramlar verlmştr. Üçücü bölümde spektral yarıçapı sıırları üzerde durulmuş ve daha öce yapıla çalışmaları etrafıda ye sıırlar tespt edlmştr. Dördücü bölümde öreklerle daha öcek sıırlar le bulua ye sıırları karşılaştırması yapılmıştır. Kayakça da bu çalışmada kulladığımız kayakları yaı sıra Graphı Spektral Yarıçapı le lgl tespt edebldğmz tüm çalışmalara yer verlerek bu kouda yapılacak çalışmalar ç zeg br lteratür oluşturulmuştur. Graphı Spektral Yarıçapı İç Sıırlar koulu yüksek lsas tezm hazırlamasıda öer ve katkılarıı yaı sıra değerl zamaıı hç esrgemeye, blgsde ve tecrübesde yararladığım daışma hocam Yrd. Doç. Dr. Şerfe BÜYÜKKÖSE ye, destekler ve yardımlarıı esrgemeye AEÜ Fe Edebyat Fak. Matematk Bölümü hocalarıma ve her zama yaımda ola eşm Havva BOZDAYI ya teşekkürlerm suarım. Şubat 0 Kırşehr Koray BOZDAYI IV

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ ONAY... I ÖZ... II ABSTRACT... III ÖN SÖZ... IV İÇİNDEKİLER DİZİNİ... V TABLOLAR DİZİNİ... VI ŞEKİLLER DİZİNİ... VII SİMGELER VE KISALTMALAR... VIII. GİRİŞ.... GRAPH KAVRAMI, BAZI ÖZEL GRAPHLAR VE GRAPH İLE İLGİLİ MATRİSLER Graph İzole Nokta Dögü Bast Graph Regüler (Düzel) Graph Tam Graph İk Parçalı Tam Graph (K m, ) Star (Yıldız) Graph Ağaç Graph Komşuluk Matrs Laplaca Matrs Spektral Yarıçap Laplaca Spektral Yarıçap GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İLE İLGİLİ TEOREMLER... 0 ÖRNEKLER... 7 KAYNAKLAR... 3 ÖZGEÇMİŞ V

8 TABLOLAR DİZİNİ Tablo Tablo Tablo Tablo Tablo Tablo VI

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl.. Graph... Şekl.. G Graphı... 4 Şekl.. Graphda İzole Nokta... 4 Şekl. 3. Graphda Dögü... 5 Şekl. 4. Bast Graph... 5 Şekl. 5. Regüler (Düzel) Graph... 5 Şekl. 6. K 5 Tam Graphı... 6 Şekl. 7. K,3 İk Parçalı Tam Graph... 6 Şekl. 8. K,5 Star (Yıldız) Graph... 6 Şekl. 9. Ağaç Graph... 7 Şekl. 0. Graphı Komşuluk Matrs... 7 Şekl.. Graphı Laplaca Matrs... 8 Şekl.. Graphı Spektral Yarıçapı... 8 Şekl. 3. Graphı Laplaca Spektral Yarıçapı... 9 VII

10 G V E K K m, K, A(G) L(G) D(G) : Graph : Noktalar kümes : Kearlar kümes SİMGELER VE KISALTMALAR : oktalı tam graph : İk parçalı tam graph : Star graph : G graphıı komşuluk matrs : G graphıı Laplaca matrs : G graphıı köşege matrs d; d(v ) : v oktasıı dereces ( G) : G graphıı spektral yarıçapı (e büyük özdeğer) ( G) : G graphıı Laplaca spektral yarıçapı d X D R m N(v ) : Ortalama derece : Maksmal özvektör : Mmum derece : Maksmum derece : Dameter :. satır toplamı :. oktaı komşu dereceler ortalaması : v oktasıı komşu oktaları kümes VIII

11 BİRİNCİ BÖLÜM. GİRİŞ Graph Teors lk olarak 736 yılıda İsvçre l matematkç Leoardo Euler Kögsberg Köprü problem çözmes le ortaya atıldı. Sorak yüzyıl boyuca üzerde herhag br çalışma yapılmaya teor, 847 yılıda G. R. Krchhoff u (84 887) Ağaç Teors Elektrk Devrelere Uygulaması başlıklı çalışması le yede güdeme geld. Buda o yıl kadar sora A. Cayley (8 895) C H + Doymuş Hdrokarbo İzomerler Sııflaması çalışması sırasıda ağaç kavramıı keşfett. Krchhoff ve Cayley le ayı zamalarda graph teors ç k ayrı klometre taşı kodu. Bu klometre taşlarıda brcs br harta üzerde, brbrlere sıır komşusu ola ülkeler farklı reklerle boyaarak brbrlerde ayrılması ç dört reg kullaımıı yeterl olduğuu göstere Dört Rek Varsayımıdır. Dört rek varsayımı lk kez A. F. Möbus ( ) tarafıda 840 yılıda verdğ br ders sırasıda ortaya atılmıştır. Bu varsayım 879 yılıda Cayley Proceedgs of the Royal Geographc Socety adlı dergde yaptığı makale le çok ble br problem durumua geld. İkc klometre taşı se Sr W. R. Hamlto ( ) tarafıda gelştrle br bulmaca yardımıyla kodu. Bu bulmaca, her köşese düyaı 0 öeml şehr yerleştrldğ tahtada, düzgü br -yüzlüde (her br yüzü düzgü br beşge ola 0 köşel, her br köşede 3 ayrıtı brleştğ çokyüzlü) oluşmaktaydı. Burada hedef; yüzlüü kearları kullaılarak her br şehrde br defa geçmek koşuluyla 0 şehr çere br tam tur yapmaktı. Bu emekleme döem br yarım yüzyıllık duraklama döem zled. Bu döem souda 939 yılıda D.Kög kedde öcek çalışmaları derleyerek kou hakkıdak lk ktabı yayıladı. İzleye 30 yıl boyuca teork ve uygulama alaıda kouyu çere çok yoğu çalışmalar yapıldı. Güümüzde de hale yukarıda sözü edle çözülmüş ya da çözülmemş problemler fades ve çözümü alamıda pek çok çalışma yapılmaktadır. So o yıllık peryotta se ye graph teor kullaılarak, Krptograf, Blşm ağı sstemler ve elektrok, mekak sstemler vb. koularıda gerekl çalışmalar

12 yapılmış olup, hale teork matematksel kavramlar (özellkle cebrsel koular) üzerde, adı geçe uygulama alalarıa adaptasyolar yapılmaktadır. [5] İk ese arasıda dama br lşkde söz etmek mümküdür. Bu lşk eseler boyları, ağırlıkları, koumları, büyüklükler rekler v.s hakkıda olablr. Sözgelm ller arasıda komşuluk lşks ele alalım. Bu komşuluk lşksde her br l br okta le temsl edelm. Eğer herhag k l brbr le komşu se bu oktaları br çzg le brleştrelm. Komşu değllerse oktaları brleştrmede öylece bırakalım. Öreğ; Kırşehr, Nevşehr, Kırıkkale ller ele alalım. Kırşehr; Kırıkkale ve Nevşehr le komşu fakat, Kırıkkale ve Nevşehr brbrler le komşu olmadığıda bu lşk aşağıdak şeklde gösterlr. Kırşehr Kırıkkale Nevşehr Şekl.. Graph İşte bast olarak graph yukarıdak gbdr. Burada okta sayısı artablr. Bu oktalar br çzg le brleştrlerek br lşk var alamıa gelr. Çzgler boyları, şekl ve koumu öeml değldr. Spektral graph teors uzu br geçmşe sahptr. Uzu yıllar öce graphları komşuluk matrsler çözümlemek ç matrs teors ve leer cebr kullaılırdı. Kullaıla cebrsel metotlar regüler ve smetrk graphları ele almak açısıda oldukça etkldr. Br graphı öz değerler çalışılması matematğ dğer alaları le zeg bağlatılar oluşturur. Oldukça öeml br bağlatı, spektral graph teors ve dferasyel geometr arasıda etkleşmdr. Spektral Rema geometr ve spektral graph teors arasıda lgç br bezerlk de vardır.

13 Spektral graph teors matematğ dışıda dğer alalarda da uygulamaları vardır. Kmyada; özdeğerler moleküller kararlılığı le brleştrleblr. Buu yaısıra graph spektral, teork olarak fzk ve kuatum mekağ çeştl problemler de ortaya çıkarır. Spektral graph teors cebrsel kısmı le lgl olarak br hayl çalışmalar yapılmıştır. Cebrsel kısımla lgl çalışmalar 980 l yıllarda ortaya çıkmıştır. Yapıla çalışmalarda amaç, geel graphlar ç e yakı ya da dğer deyşle daha yakı sıır bulmaktır. Yapıla bu çalışmalar ışığıda bazı temel taım ve kavramlar le brlkte graphlar ç komşuluk matrs taıtılmış olup graphları spektral yarıçapları ç kullaışlı bazı teorem ve souçlar verlmştr. 3

14 İKİNCİ BÖLÜM. GRAPH KAVRAMI, BAZI ÖZEL GRAPHLAR VE GRAPH İLE İLGİLİ MATRİSLER.. Graph [] V, oktalar kümes ve E, kearlar kümes olmak üzere G=(V,E) yapısıa graph der. Noktada çıka kear sayısıa oktaı dereces der ve d(v) le gösterlr. Örek. Noktalar kümes V={,,3,4,5} ve kearlar kümes E={(,), (,4), (,5), (,3), (,4), (,5), (3,4), (4,5)} ola br G=(V,E) graphı aşağıdak gbdr. 3 ve y brleştre kear ç yazılablr. 5 4 Şekl.. G Graphı.. İzole Nokta [6] Graphda br başka okta le bağlatısı ve kearı olmaya oktalara zole okta der. 5 (zole okta) 4 3 Şekl.. Graphda İzole Nokta 4

15 .3. Dögü [6] Başlagıç ve btş oktaları ayı ola kearlara dögü der. b a c (dögü) d Şekl. 3. Graphda Dögü.4. Bast Graph [7] Yösüz ve dögü çermeye graphlara bast graph der. 4 3 Şekl. 4. Bast Graph 5.5. Regüler (Düzel) Graph [7] Bütü oktalarıı dereceler ayı ola graphlara der Şekl. 5. Regüler (Düzel) Graph 5 5

16 gösterlr..6. Tam Graph [8] Her oktası dğer oktalara br kear le bağlı ola graphlardır ve K şeklde Şekl. 6. K 5 Tam Graphı.7. İk Parçalı Tam Graph (K m, ) [8] G=(V,E) graphıı oktalar kümes; br kearı bağlaya k okta farklı alt kümeler elemaı olacak şeklde V V V parçalaışıa sahp se G graphıa k parçalı graph der. V V Şekl. 7. K,3 İk Parçalı Tam Graph.8. Star (Yıldız) Graph [8] İk parçalı tam graph da m= se; bu grapha star graph der. Şekl. 8. K,5 Star (Yıldız) Graph 6

17 .9. Ağaç Graph [6] İk oktası arasıda tek br yol ola grapha der Şekl. 9. Ağaç Graph der ve gösterlr..0. Komşuluk Matrs [] G(V,E) graphıda k oktayı bağlaya br kear varsa bu k oktaya komşu şeklde taımlaır. şeklde gösterlr. Br G graphıı komşuluk matrs A(G) le A( G) a ; 0 ; dğer durumlarda Komşuluk matrs her br satırıı toplamı o oktaı dereces verr. Örek A( G) := Şekl. 0. Graphı komşuluk matrs.. Laplaca Matrs [] G=(V,E) graphıı Laplaca matrs d( v ) ; L( G) l - ; ve 0 ; dğer durumlarda şeklde taımlaır. Laplaca matrs satır ve sütu toplamı 0 dır. 7

18 şeklde de taımlaablr. L(G)=D(G)-A(G) Örek 3. Şekldek G graphıı Laplaca matrs bulalım L( G) Laplaca Matrs := Şekl.. Graphı Laplaca matrs.. Spektral Yarıçap [4] A(G) komşuluk matrs e büyük özdeğere spektral yarıçap der ve ( G) şeklde gösterlr. Örek 4. Komşuluk matrs özdeğerler =-,79 =-,73 = 0 3 = 0, =, A( G) Şekl.. Graphı spektral yarıçapı := ( G) = 5 =,6855 (spektral yarıçap).3. Laplaca Spektral Yarıçap [6] L(G) Laplaca matrs e büyük özdeğere Laplaca spektral yarıçap der ve ( G) şeklde gösterlr 8

19 Örek 4: L( G) Laplaca Matrs := Şekl. 3. Graphı Laplaca spektral yarıçapı özdeğerler = = = = = = = ( G) = 7 =6,605 (Laplaca spektral yarıçap) 9

20 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM 3.GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İLE İLGİLİ TEOREMLER Lemma 3.. [9] G, bast, bağlatılı, oktalı, okta dereceler sırasıyla d,d,,d ola br graph olsu. Eğer X x x x (,,..., ) T G maksmal özvektörü se; dr. İspat: Açık olarak x d x (3.) x a x,,..., dr. Burada x a x d x olur. Teorem 3.. [9] G, bast, bağlatılı, regüler olmaya, oktalı, oktalarıı dereces d,d,,d ola maksmum derecel, mmum derecel br graph olsu. G ortalama dereces d le gösterelm. Ya d d dr. Eğer X x x x (,,..., ) T G maksmal özvektörü se; x ( d )( ) max (3.), x ( )( d ) dr.eştlğ olması ç gerek ve yeter şart 0 k ve 0 l poztf tamsayıları ç V dek her br okta V ve V de sırasıyla k ve k oktaya komşu; V dek her br okta sırasıyla V ve V de l ve -l oktaya komşu olacak şeklde V V V parçalaışa sahp olmasıdır. İspat: Geellğ bozmaksızı x x... x kabul edelm. Lemma 3. de yazarız. Bezer şeklde; (3.3) ( ) x x d x ( d ) x ( d ) x 0

21 x d x d x d x (3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) elde edlr. (3.3) ve (3.4) de olur. Böylece (3.5) ( d )( ) ( x ) x ( d )( ) ( x ) x x ( d )( ) x ( )( d ) dr. (3.) de eştlğ olduğuu kabul edelm. Bu durumda (3.3) ve (3.4) fadesde de eştlk olur. Böylece d ç x x ve d ç x x olur., V V d V V d : ve V V V olsu. Bu : durumda, eğer V \( V V) olacak şeklde oktalar varsa bu taktrde d ve d olur. Buda dolayı x x ve x x olur. Bu da x x... x olmasıı sağlar. Böylece G düzeldr. Bu da çelşkdr. Üstelk V ç x x ve V T T T ç x x dr. Burada X ( xe, xe ) ve A AG ( ) A A A matrs V V V parçalaışıa karşılık gelr. Burada e uygu boyutta lerde oluşa vektördür. eştlğde elde ederz. Dğer tarafta dr. Böylece ve A( G) x x x A e x A e x e x A e x A e x e A e A e e ve A e A e e x x Ae e e ke x x

22 x x Ae e le x x elde ederz. Böylece V dek her br okta V ve V de sırasıyla k ve k oktaya komşu ve V dek her br okta V ve V de sırasıyla l ve l oktaya komşudur. Terse olarak ; z k l z kl k ( ) ( )( ) 0 deklem sağlaya e büyük kök olsu. Bast br hesaplamayla elde ederz. Burada ( k)( l) ( k)( l) (3.6) T T T y ( y e, y e ) ve A AG ( ) A V parçalaışıa karşılık gels. Burada y A A k y k dır. Bazı hesaplamalar ve (3.6) le A( G) y y buluruz. Böylece y, G spektral yarıçapıa karşılık gele maksmal özvektörü olur. Burada; elde edlr. Dğer tarafta ve y y k k V ( k) V ( l) d V V ( l) ( k) V V ( l) ( k) olduğu kolayca görülür. ı taımıda ( )( k) ( )( l) elde edlr. ( d )( ) k ( k)( ) ( )( d ) l ( )( k) Böylece (3.) de eştlk buluur.

23 taktrde; Teorem 3..[4] G, bast, bağlatılı, regüler olmaya br graph olsu. Bu dr. (3.7) İspat: X ( x, x,..., x ) T G ya karşılık gele maksmal özvektörü ve x x... x ; p, q ç d ve d olsu. p q A( G) x x x a x x p p (3.8) q q (3.9) x a x x (3.8) ve (3.9) da x x x (3.0) x x x p q olur. Böylece (3.7) elde edlr. Souç 3..[9] G, bast, bağlatılı, regüler olmaya graph olsu. (3.7) fadesde eştlk varsa (3.) dr. İspat: (3.7) de eştlk varsa (3.8), (3.9) ve (3.0) da eştlk vardır. Kolayca görülür k olur. Burada stee souç elde edlr. Souç 3..[5] G yarı-düzel graph olsu. (3.7) fadesde eştlğ olması ç gerek ve yeter şart G yarı-regüler(düzel) graph olmasıdır. Ya, G k parçalı ve yarı regüler br graph olur. 3

24 İspat: Geellğ bozmaksızı X ( x, x,..., x ) T a karşılık gele G e büyük özvektörü olsu. ( x x... x ) Ayrıca (3.7) de eştlk olsu. V V : d = V V d : se V ve V, V br parçalaışıdır. Bu durumda G br yarı-düzeldr. Ayrıca (3.8)-(3.0) fadelerde eştlk mevcut olur. Bu taktrde V ç x =x ve V ç x =x dr. Üstelk V ç se x =x dr. Bu da G k parçalı graph olmasıı gerektrr. Böylece G, sem-regüler graphdır. Terse y (,...,,,..., ) T sem-regüler graphı ya karşılık gele maksmal özvektörü olduğuda dr. Souç 3.3.[3] G, bast, bağlatılı, regüler olmaya graph olsu. (3.) (3.7) de daha y olması ç gerek ve yeter şart ( )( d ) ( d) ( d ) olmasıdır. İspat: Bast br hesaplama le souç kolayca görülür. (3.) Teorem 3.3.[9] G, bast, bağlatılı, regüler olmaya oktalı graph ve D, G dameter (k komşu okta arasıdak maksmum yol) olsu. Bu taktrde; dr. İspat: X ( x,..., x ) D ya karşılık gele ormalleştrlmş ya (3.3) x ola maksmal özvektör olsu. Böylece T x x A( G) x dx x x ( x x ) 4

25 p ve q G de x max x ; p x m x ; q olacak şeklde k okta olsu. p de q ya uzuluğu l ola p t0, t,..., t l q ola br yolu vardır. l D dr. Bu durumda; l l Cauchy-Schwarz eştszlğde x x ( x x ) x x t t t t p q 0 0 l x x ( x x) l l t t ( x ) 0 p x q olur.dğer tarafta (3.7) de x x p q x x x x x p q p p p olur. Üstelk x olduğuda x p olur. Böylece olur. Bu da steedr. ( xp xq) l D Teorem 3.4.[0] G, bast, bağlatılı, oktalı, düzel olmaya graph se dr. ( ) ( ) (3.4) İspat: G, düzel olmadığıda D ve olup dolayısıyla Teorem 3.3 ü uygulamasıyla görülür. Lemma 3.. [] X x x... x olacak şeklde X ( x, x,..., x ) T IR olsu. Böylece her bağlatılı graph ç 5

26 xx ( 3.5) dr. Eştlk ç gerek ve yeter koşul X ya karşılık gele özvektör olmasıdır. İspat: A smetrk olduğuda Av v olacak şeklde br v v v,,..., ortaormal vektörlere sahptr. Bu durumda her br X ( x, x,..., x ) T ç x= c v c v... cv ve sabtler vardır. Böylece;... c c c x olacak şeklde c, c,..., c x x T x Ax, c c v Ac v T c c v T v, c eştlk ç gerek ve yeter koşul c ; x v dr Lemma 3.3.[] M=(m ), x tpde drgeemeye egatf olmaya br matrs, spektral yarıçapı ( M ) ve R (M) de M. satır toplamı olsu. R (M) = m Bu durumda; m R M : ( M) max R M : (3.6) dr.üstelk M satır toplamlarıı eşt olmadığıda bu eştszlk daha da kuvvetl (<) hale gelr. Lemma 3.4. [5] G, k parçalı graph ve V U W olsu. Eğer her br u U oktaı dereceler ortalaması m ve herbr w W okta dereceler ortalaması m se bu durumda; dr. ( G) m. m 6

27 İspat: ( G),A(G) e büyük özdeğer olsu. Bu durumda ( G), M=K - (D - A(G)D)K ı da e büyük özdeğerdr. Burada K ve D sırasıyla köşege elemaları oktaları dereceler ortalamasıı karekökü ve köşege elemaları oktaları dereceler ola köşege matrsler olmak üzere, olur. Burada m d ;, U m d m d M ( m ) ;, W m d 0 ; aks halde d ; m d ve x max x ; k G m. m elde edlr. Eğer Lemma 3.3 M üzere uygulaırsa Teorem 3.5.[5] G bast, bağlatılı graph ve ( G) de spektral yarıçap se ( G) max m. m :,, (3.7) dr. Bu eştszlkte, eştlğ olması ç gerek ve yeter şart G bütü oktalarıı derece ortalamalarıı eşt ola br graph ya da ayı küme çersdek derece ortalamaları eşt k parçalı graph olmasıdır. İspat: X=(x,, x ) T ; D(G) - A(G) D(G) ( G) özdeğere karşılık gele özvektörü olsu. Ayrıca öz elemalarıda br mesala ve dğerler de de küçük yada eşt olsu. Ya x = ve k ç 0 dr. olsu. x max x : D(G) - A(G)D(G) matrs (,) elemaı şekldedr. Bu durumda; k x k d ; d 0 ; dğer durumlarda { D(G) - A(G) D(G) } X = ( G) X (3.8) 7

28 yazablrz. Bu fade. eştlğ dx k k ( G) x : ya ( G) m x k d şekldedr. (3.8) fades. eştlğ; (3.9) şekldedr. (3.9) ve (3.0) de elde edlr. Böylece ; dx k k ( G) x : ya ( G) x m (3.0) k d G m G x m m,,, G m m G max mm :,, olur.(3.7) fadesde eştlğ olduğuu kabul edelm. O halde bütü eştszlkler eştlk hale döüşür. Özellkle (3.9) da olacak şeklde k ç xk x elde edlr. Ayrıca (3.0) de k olacak şeklde k ç x k= dr. olduğuda.durum: x, V k, x olsu. Eğer V V(G) se G bağlatılı k r p ve p q olacak şeklde r p oktaları vardır. Böylece ve de dx ( G) xr ; r m dr dx ( G) xp ; p m d p r p ( G) mrmp elde edlr. Bu durumda (3.7) dek eştlk elde edlr. Böylece V = V(G) ve G de bütü oktaları dereceler ortalaması eşt br graphdır. 8

29 . Durum: x olsu. Bu takdrde; komşuluğudak k lar ç ya k N () G ç xk ve k NG() ç x xk, k, k dır. U k x W k x x seçelm. Böylece ; N ( ) U ve N ( ) W G dır. Ayrıca; herhag br r N ( N ( )) kümes ç ve r p olacak şeklde br p N () oktası vardır. Böylece; olur. (3.9) kullaılırsa G elde edlr. Ayrıca; olduğuda G G G G dx k k x x ve ( G) x ; p k m k d p p p p G G G m m m m G mm p xr dr. Böylece N ( N ( )) U olur. Bezer br düşüceyle; N ( N ( )) W olduğu da gösterlr. Bua devam edlerek G bağlatılı graph olduğuda U ve W kısıtlamış alt graphlar olmak üzere V U W yazılablr. Böylece G k parçalıdır. Üstelk U dak ve W dek her br oktaı derece ortalaması ayıdır. Terse; eğer G bütü oktalarıı dereceler ortalaması eşt br graph se bu durumda eştlk sağlaır. G, V U W olacak şeklde k parçalı graph olsu. Öylek U veya W dek ayı küme çersdek k oktaı derece ortalaması eşt se Lemma 3.4 kullaılarak; (3.7) fadesde eştlğ olduğu gösterlr. p p G G Lemma 3.5.[4] q,q,,q poztf sayılar ve bazı p,p,, p reel sayıları ç; p p p... p p m max q q q... q q dr. Her k tarafta da eştlğ olması ç gerek ve yeter şart olmasıdır. p q ( 3.) oraıı eşt 9

30 Lemma 3.6.[4] G, oktalı, e kearlı bast bağlatılı br graph olsu. ve sırasıyla G oktalarıı dereceler maksmumu ve mmumu olsu. Eğer A(G) spektral yarıçapı ( G) se bu takdrde; ( G) e ( ) ( ) (3.) dr. Ayrıca (3.) fadesde eştlğ olması ç gerek ve yeter şart G regüler graph veya br star graph olmasıdır. İspat: A, A(G) matrs. satırıı ve d de. satır toplamıı gösters. X= (x,, x ) T, A(G) ( G) özdeğere karşılık gele brm uzulukta özvektörü olsu. =,,, ç X(); a =0 olacak şeklde X x bleşe 0 la yer değştrmes soucu elde edle vektör olsu. Bu durumda; olduğuda A(G)X= ( G) X A X() = A X= ( G) x elde ederz. Cauchy-Schwartz eştszlğde =,,., ç; ( G) x A X ( ) A X ( ) d x : olur. Bu eştlkte toplam alıırsa; ( G) d x : x d : d m x [ e d ( d ) ] x e ( ) ( ) dx ( x kullaırsak) e ( ) ( ) (3.3) (3.4) olur. Şmd (3.) de eştlğ olduğuu kabul edelm. Bu takdrde yukarıdak bütü eştszlkler, eştlk olmak zorudadır. Özellkle (3.3) de V ( G) e ( ) ( ) d m e d ( d ) ç 0

31 elde edlr. Bu sebeple V, ç ya d =- ya da d = dır k bu ya G düzel (regüler) graph olmasıı ya da G her br oktasıı dereces ya ya da - ola k derecel br graph olmasıı gerektrr. Eğer > se; dx (3.5) elde ederz. Lemma 3.5 ve (3.5) kullaılarak d =d = =d elde edlr. Eğer > se G br regüler graph olur. Böylece G br regüler graph ya da br star graph dır. Terse eğer G regüler graph veya star graphsa eştlk sağlaır. taktrde Souç 3.4.[4] G, oktalı, e kearlı, bast, bağlatılı graph olsu. Bu ( G) e (3.6) dr. Eştlğ olması ç gerek ve yeter şart G K,- star graph veya K tam graph olmasıdır. Teorem 3.6.[9] V k s ve V k alt okta kümes le k,...,,...,,,...,,...,,..., olacak şeklde G= (V,E) br graph ayı komşuluk kümese sahp olsu. Bu takdrde G e az k- tae 0 özdeğere sahptr. (k-) özvektör de (, -, 0,..,0) T, (, 0, -, 0,..,0) T,., (, 0,.,-,0,.) T şekldedr. 3 k İspat: X=(x,.,x ) T, A(G) özdeğere karşılık gele özvektörü olsu. Böylece x = {x ; } =,,., dr. 0 özdeğere; (, -, 0,..,0) T, (, 0, -, 0,.,0) T,., (, 0,.,-,0,...0) T (3.7) 3 k özvektörler karşılık geldğ kolayca görülür.

32 Teorem 3.7.[4] G, br oktalı ve e büyük dereces ola bast br graph olsu. Bu taktrde; ( G) dr. Burada d = max{d k ; ( d ) ( d ) 4( d ) 4C 8C k }; C le arasıdak ortak komşu sayısıdır. (3.8) Teorem 3.8. [7] Eğer A br reel smetrk matrs se, o zama A ı bütü özdeğerler reeldr. İspat: İlk olarak heme hatırlatalım k; eğer z a b se, o zama zz ( a b)( a b) a b dr. Buda başka x kompleks bleşelere sahp şeklde br vektör se, o zama x le verlr. Böylece; x x x.. x T T x x x x xx xx... xx yazarız ve açık olarak eğer x br sıfır vektörü değlse, o zama T x x br poztf reel sayıdır. A br reel smetrk matrs ve x 0 olmak üzere Ax x olduğuu varsayalım. Bua göre; x x x... x T x Ax T x x yazarız. Dğer tarafta Ax br vektör olarak göz öüe alıarak T T x Ax ( Ax) x

33 yazablrz. Böylece aşağıdak fadey yazablrz. T T T T T T x x x Ax ( Ax) x x A x x Ax Halbuk; d. Dolayısıyla; yazarız. Dğer tarafta; Ax T x x x T x x T x x T x x T olduğu açıktır ve x 0 olduğuda x x 0 dır. Böylece yazarız. Bu se ı reel olduğuu gösterr. Taım 3.. [0] Br A Hermt matrs ç Ax, x Rx ( ) (3.9) xx, fadese Raylegh oraı der. Teorem 3.9. [] (Raylegh-Rtz) A matrs... özdeğerlere sahp -kare br Hermtye matrs olsu. x ( x 0) ç x T x x T Ax x T x T x Ax T max max x Ax (3.30) x0 T T x x x x max fadeler sağlaır. m T x Ax T m m x Ax (3.3) x0 T T x x x x Teorem 3.0. [] (Gersgor) A a, - kare matrs ç R '( A) a (3.3), olmak üzere A ı bütü özdeğerler z : z a R '( A) (3.33) 3

34 kümes çdedr. Taım 3.. [] A a M m, ve B b M m, matrsler Hadamard çarpımı (Schur çarpımı) şekldedr. A B a. b M m, üzere Taım 3.3. [7] F, br csm ve M ( F ), matrsler kümes göstermek M : M ( F) IR N şeklde taımlaa döüşüm aşağıdak şartları sağlarsa o zama bu döüşüme matrs ormu der ve matrs ormu A M ( F) ç M ( A) A şeklde gösterlr. M ) ( ) N A M F ç A 0 se A 0 ve A 0 A 0 dır. N M ) ( ) N A M F ve F ç A A dır. M ), ( ) N3 A B M F ç A B A B dr. M ), ( ) N4 A B M F ç AB A B dr. Eğer sadece N M N M ve M N 3 aksyomları sağlaırsa, o zama bu orma geelleştrlmş matrs ormu der. Eğer N M M N N 3 M ve M N 4 aksyomlarıı heps sağlaırsa bua da matrs ormu der. Bu taım ayı zamada m dkdörtge matrsler ç de geçerldr. Şmd bz G graphıı A(G) komşuluk matrs, taımlayacağımız k matrs Hadamard çarpımı şeklde yazmaya çalışacağız. Taım 3.4. Bast bağlatılı br G graphı ç (,-,0) matrs B(G) ve (-,0) matrs C(G) olmak üzere; ; B( G) b - ; 0 ; dğer durumlarda ve 4

35 şekldedr. C( G) c ; 0 ; dğer durumlarda Lemma 3.7.[] G graphıı (,-,0) matrs B(G) le (-,0) matrs C(G) Hadamard çarpımı, A(G) komşuluk matrse eşttr. Ya dr. İspat : taımıda açıktır. A( G) B( G) C( G) (3.34) A(G) komşuluk matrs taımı ve Hadamard çarpımıı şekldedr. Lemma 3.8. [] Hadamard çarpım le orm arasıdak bağıtı A B A B Teorem 3.. G spektral yarıçapı olmak üzere p ( d) d ( p ) (3.35) edlr. İspat : Norm le spektral yarıçap arasıdak bağıtıda aşağıdak eştlk elde max A( G) A( G) B C B C p p p p b c p p b c p p ( d) d p ( d) d 5

36 Souç 3.5. G spektral yarıçapı olmak üzere d (3.36) dr. İspat: Norm le spektral yarıçapı taımı kullaılarak A( G) d elde edlr. 6

37 Örek DÖRDÜNCÜ BÖLÜM ÖRNEKLER 4 A( G ) 0 := A(G) özdeğerler ; , , , Tablo 4.. Örek A( G ) := A(G) özdeğerler ; , , 0., 0., , Tablo 4. 7

38 Örek A( G ) := A(G) özdeğerler; , , , , , , , , Tablo

39 Örek A( G ) := A(G) özdeğerler; , , , , , , , , Tablo

40 Örek A( G ) := A(G) özdeğerler; , , , -., , , , , Tablo

41 Örek A( G ) := A(G) özdeğerler; , , , , , ,.6498, Tablo

42 KAYNAKLAR. Body, J. A.; Murty, U. S. R. Graph Theory wth Applcatos, Macmlla Co., New York, Bruald, R. A.; Hoffma, A. J. O the spectral radus of (0,) matrx, Lear Algebra. Appl. 65, (985), Chetkovc, D.; Powlso, P.; Smc, S. Egespaces of graphs, Cambrdge Uversty Pres Coab, S. M.; Gregory, D. A.; Nkforov, V. Extreme egevalues for oregular graphs, J. Comb. Theory Ser.B. (006), do: /. ctb. 5. Das Ch, K.; Kar, P. Some ew bouds o the spectral radus of graphs, Dscrete Math. 8, (004), Destel, R. Graph Theory Electroc edto 005, Sprger-Verlag Hedelberg, (005), New York. 7. Godsl, C.; Royle, G. Algebrac Graph Theory, Sprger-Verlag, Gregory, D. A.; Herstkowtz, D.; Krklad, S. J, The spread of the spectrum of a graph, Lear Algebra. Appl , (00), Hog, Y. A boud o the spectral radus, Lear Algebra Appl. 08, (988), Hog, Y.; Shu, J. L.; Kufu Fag, A sharp upper boud of the spectral radus of graphs, J. Comb. Theory Ser. B. 8, (00), Hor, R.; Johso, C. R. Matrx Aalyss, Cambrdge Uversty Pres, New York, Lu, B.; She, J.; Wog, X. O the largest egevalue of o-regular graphs, Joural of Combatoral Theory,Seres B 97(007) Lu, B.; L, G. A ote o the largest egevalue of o-regular graphs, Electroc Joural of Lear Algebra. Appl. 7, (008), Papedeck, B.; Recht, P. O maxmal etres the prcpal egevector of graphs, Lear Albegra. Appl. 30, (000), Sara, M.S. Graph teors bazı mühedslk uygulamaları Balıkesr Üv. Yüksek Lsas Tez, (008) 6. Stevaovc, D. The largest egevalue of oregular graphs, Joural of Combatoral Theory, Seres B.9, (004),

43 7. Taşcı D. Leer Cebr Gaz Ktabev (005) Akara. 8. Vetkovç, D. M. C.; Doop, M.; Sachs, H. Spectral of Graphs, Academc Press, Sa Dego, Zhag, D. Egevectors ad egevalues of o-regular graps, Lear Algebra. Appl. 409, (005), Zhao, S. Q.; Hog, Y. O the bouds of maxmal etres the prcpal egevector of symmetrc oegatve matrx, Lear Algebra. Appl. 340, (00),

44 ÖZGEÇMİŞ yılıda Kırşehr de doğdu. İlkokulu Yeşlyurt, ortaokulu Kale, lsey Kırşehr Edüstr Meslek Lses de btrd. 989 yılıda, İöü Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk Bölümüü kazadı. 994 yılıda ayı bölümde mezu oldu. Ayı yıl Erzca ı Terca lçes Yatılı İlköğretm Bölge okulu, 996 Mucur lses, 996 Kırşehr Mehmet Akf Ersoy lses ve 000 yılıda tbare de Kırşehr lsesde çalışmaktadır. Hale Kırşehr Lses de matematk öğretme olarak görev yapmaktadır. 34