İÇ NOKTA ALGORİTMALARI VE DOĞRUSAL PROGRAMLAMAYA UYGULANMASI

Transkript

1 İÇ NOKTA ALGORİTMALARI VE DOĞRUSAL PROGRAMLAMAYA UYGULANMASI Gülur KEÇEK ÖZET Karmarkar-İç Nokta Algoritması, 1984 te Naredra Karmarkar tarafıda geliştirilmiş olup; iç okta algoritmalarıı aa algoritması olarak bilie bir algoritmadır. İç okta algoritmalarıda, uygu bölge içerisideki bir oktada başlayıp; her bir adımda uygu bölgei iç oktalarıda var ola daha iyi bir çözüme gidilerek optimal çözüme ulaşılmaya çalışılır. Çalışmamızı amacı, doğrusal programlama problemii kısa sürede çözülmeside Karmarkar- İç Nokta Algoritmasıı ve etki bir iç okta algoritması ola Mehrotra tahmici-düzeltici Algoritması ı etkiliğii gösterilmesidir. Bir üretim işletmesie ilişki 4500 karar değişkei ve 180 kısıtlayıcı içere bir Doğrusal programlama modeli oluşturulmuştur. Model, iç okta algoritmaları ve Simpleks algoritması ile çözülerek, çözüm souçları karşılaştırılmıştır. Modeli çözümü içi MOSEK, PCx, PRESS-MP/Barrier ve PRESS-MP/Simplex yazılımlarıda yararlaılmıştır. Aahtar Kelimeler: İç okta algoritmaları, Birim Simpleks. ABSTRACT Karmarkar s Iterior Poit Algorithm is a algorithm developed by Naredra Karmarkar i 1984 ad kow the major algorithm of iterior poit algorithms. I Iterior poit algorithms, it is tried to reach for the optimum solutio by startig from a available oe ad gradually cotiuig for better oes which lie i the iterior poits of the available area. The purpose of our study is to preset the efficiecy of Karmarkar s Iterior Poit Algorithm ad Mehrotra Predictor-Corrector Algorithm, which is a other effective iterior poit algorithm i solvig the liear programmig problem i a very short time. A liear programmig model has bee formulated that has 4500 decisio variables ad 180 costraits. This model has bee solved by iterior poit algorithms ad Simplex Algorithm ad they have bee compared. MOSEK, PCx, PRESS-MP/Barrier ad PRESS-MP/Simplex softwares are used for the solutio of the model. Keywords: Iterior poit algorithms, uit simplex. GİRİŞ İç okta algoritmaları, Yöeylem Araştırması da teorik ve uygulama yöüde büyük etkilere yol açmıştır. Yöeylem Araştırmasıda yei bir çalışma alaı ortaya koulmuş ve hızla ilerlemeler sağlamıştır. Yrd.Doç.Dr. DPÜ İİBF İşletme Bölümü Sayısal Yötemler Aabilim Dalı

2 2 İç okta algoritmaları, Yöeylem Araştırması ı yei araştırma alalarıda biridir. Araştırmacılar, doğrusal olmaya programlama, kuadratik programlama ve yarı belirli (semidefiite) programlama alalarıda da iç okta algoritmalarıı uygulamaya yöelmişlerdir(nash ve Sofer, 1996; Wright, 1997). 1. İÇ NOKTA ALGORİTMALARI 1947 yılıda Datzig Simpleks tekiğii geliştirdikte sora bazı araştırmacılar, iç okta algoritmaları öermişlerdir. Bu araştırmacıları başta geleleri, Vo Neuma (1947), Hoffma v.d. (1953) ve Frisch (1955) olarak sayılabilir yılıda Khachia tarafıda ortaya koa Ellipsoid tekiği, uygulamada oldukça yavaş bir tekiktir. Buula birlikte, yıllarıda öerile bu tekikler, tekolojik yetersizlikler sebebiyle Simpleks tekiği ile rekabet edecek düzeyde değildir(aderse ve diğerleri,1996; Blad ve diğerleri,1981; Ye,1987; Goldfarb ve Todd, 1989). N. K. Karmarkar, 1984 te AT & T Laboratuarlarıda DP içi yei bir poliom zamalı algoritma öermiştir. Güümüzde Karmarkar Algoritması olarak bilie bu algoritma, Ellipsoid tekiğii tersie, Simpleks tekiğie rakip olabilecek bir potasiyele sahiptir(goldfarb ve Todd, 1989). Daha sora araştırmacılar, Karmarkar algoritmasıda hareketle, bazıları yei fikirler içere, bazıları sadece küçük değişiklikler içere poliom zamalı yei tekikler öermişlerdir(hertog, 1994; Kojima ve diğerleri, 1991). İç okta algoritmaları, ie scalig algoritmalar, merkezi yörügeyi izleye algoritmalar, izdüşümsel algoritmalar ve potasiyel azaltma algoritmaları olmak üzere dört grupta iceleebilir(hertog ve Roos,1991; Nash ve Sofer, 1996). 2. KARMARKAR ALGORİTMASI VE DEĞİŞTİRİLMİŞ TÜRLERİ İç okta algoritmalarıda Aa algoritma olarak bilie ve büyük ölçekli modellerde etki ola Karmarkar algoritması ve oa bağlı geliştirile Mehrotra tahmici-düzeltici Algoritması açıklamaya çalışılacaktır Karmarkar Algoritması Karmarkar algoritması, uygu bölgede belirlee bir alaı tamame eiyilemek içi izlee izdüşümsel döüşümleri yielemesie dayaır(ye ve Kojima, 1987; Tardos, 1986; Kowles,1989).

3 3 Delta Havayolları, 400 de fazla uçak ve 7000 pilot içi aylık uçuş çizelgelemesii Karmarkar Algoritması ı çözümü içi AT&T tarafıda geliştirile KORB adlı ticari yazılım ile gerçekleştirmiştir(reder ve Stair,1997) Temel Kavramlar Karmarkar Algoritması ı hesaplama sürecie geçmede öce iç okta ve birim simpleks kavramları açıklamaya çalışılacaktır. İç Noktalar: Stadart formdaki bir DP modelii uygu çözüm alaı; P = x R Ax = b, x 0 olmak üzere, modeli iç okta uygu çözüm { } 0 alaı, = { x R Ax = b, x > 0} P şeklide ifade edilir. Herhagi bir iç 0 okta yaklaşımı içi P φ temel varsayımı yapılır(fag ve Puthepura,1993; Gay,1987;Rardi,1998). Birim Simpleks : Birim Simpleks, Karmarkar Algoritması da öemli bir rol oyar. Birim simpleks, S, x = x + x x = 1 ve x 0 x i= 1 koşullarıı sağlaya [ x, x,..., x ] T 2 = { 1x = 1, x 0} i oktalar kümesidir ve S x x ifadesi, ( 1) boyutlu simpleksi gösterir(fag ve Puthepura,1993; Goldfarb ve Todd,1989; Roos ve diğerleri,1997). j Karmarkar Algoritmasıı Matematiksel Yapısı Karmarkar Algoritması ı değişik şekilleri bulumaktadır. Stadart Karmarkar Algoritması, bir doğrusal programlama problemii aşağıdaki gibi verildiğii varsaymaktadır( Moo ve Stirlig, 2000; Schrijver,1998). Mi cx Kısıtlayıcılar Ax = 0 1x = 1 Burada, A : m x boyutlu katsayılar matrisi olup x R dir.

4 4 Karmarkar uygu bölgeyi bir politop(çokyüzlü) varsayar. Mevcut ola iç çözüm, politopu merkezie yakısa, bir miimum değere ulaşmak içi amaç foksiyouu dik iiş(steepest descet) doğrultusuda hareket etmesi uygu olur. Bir iç çözümü, döüştürülmüş uzayda politopu merkezie yakı yerleştirmek içi döüşüm yapılır. Karmarkar Algoritması ı Varsayımları Karmarkar Algoritması, Karmarkar ı stadart biçimideki DP problemii aşağıdaki varsayımlarla çözer(chog ve Zak,1996; Goldfarb ve Todd,1989; Gozaga, 1991); a) Problemi amaç foksiyouu optimal değeri sıfırdır b) Birim simpleksi( S x ) merkezi x0 =,,..., olup; uygu bir oktadır. L c) Bir L parametresi verildiğide, cx k + 1 < 2 eşitsizliğii sağlaya bir uygu okta elde edildiğide optimal çözüme ulaşılmıştır. Bilimeye vektör x R ve A matrisi m x boyutludur. A d) ( m + 1)x boyutlu matris olup; rakı ( m +1) olur Doğrusal Programlama Modelii Karmarkar Algoritması İle Çözümü Karmarkar uygu hale getirilmekte, algoritma problemi çözümüe uygulamaktadır DP Modelii Karmarkar Algoritmasıa Uygu Hale Getirilmesi Bilie miimum amaçlı stadart biçimdeki DP modelii, Karmarkar ı stadart biçimie döüştürmek içi aşağıdaki adımlar izleir(fag ve Puthepura,1993); Adım 1: Karmarkar ı stadart biçimii temel özelliği, sıırlı bir uygu bölgede souçlaa birim simpleks yapısıdır. Bu sebeple, modele j= 1 x Q şeklide sıırlayıcı bir kısıtlayıcı ekleir. j

5 5 Burada Q pozitif bir tamsayıdır. L problemi büyüklüğüü göstermek L üzere, Q = 2 olarak seçilebilir(fag ve Puthepura,1993; Taha,2000). Adım 2: Modele x + 1 aylak değişke ekleir ve DP modeli aşağıdaki şekle döüşür; Mi c T x Kısıtlayıcılar Ax = b T e x + x +1 = Q x 0, x 0 dır. +1 Adım 3: Kısıtlayıcıları tamsayı ola katsayıları toplamı sıfır olacak şekilde (Değişkeleri aldığı değerler toplamı=1 kısıtlayıcısı dışıda kalalar) x +2 = 1 dolgu değişkeii uygu katları kısıtlayıcılara ekleir(bazaraa ve diğerleri,1990). Mi c T x Kısıtlayıcılar Ax bx +2 = 0 T e x + x+ 1 Qx+ 2 = 0 e T x + x+ 1 + x+ 2 = Q + 1 x 0, x 0, x 0 dır Adım 4: Üçücü adımdaki modeli so eşitlik kısıtlayıcısıı sağ taraf sabitii 1 olarak elde etmek içi(karmarkar ı stadart formuda x = Q + 1 y, değişkeleri aldığı değerler toplamı 1 olduğuda) j ( ) j j = 1,2,..., + 2 döüşümü uygulaır ve model; Mi ( Q + 1)( c T y) Kısıtlayıcılar A y by +2 = 0 T e y y Qy e T y = 0 + y+ 1 + y+ 2 = y, y 0, y 0 biçimide yazılabilir(fag ve Puthepura,1993; Bazaraa ve diğerleri,1999).

6 6 Adım 5: Karmarkar Algoritmasıı ikici varsayımıı sağlamak amacıyla, yapay bir y + 3 değişkei alıır ve amaç foksiyoua M katsayısı ekleir. Böylece +3 değişkeli model aşağıdaki şekle döüşür; Q + 1 c y + My+ Kısıtlayıcılar A y by Ae b y T Mi ( )( ) 3 e e T T y y [ ] 3 0 ( + Q) y = + y+ 1 Qy = + y+ 1 + y+ 2 + y+ 3 = 1 y 0, j = 1,2,..., + 3 j Yukarıdaki model içi = e /( + 3) çözümdür. y bir başlagıç iç okta uygu Karmarkar Algoritmasıı birici varsayımıı(amaç foksiyouu sıfır değerii alması) sağlaması içi aşağıdaki işlemler yapılır (Bazaraa ve diğerleri, 1990). DP dualitede hareketle, stadart formdaki bir DP modeli içi optimallik koşulları, { Ax = b, x 0, λa c, cx = λb } sistemie bir çözüm gerektirir. ' ' ' Bu kısıtlayıcılar, A x = b ve x ' 0 şeklide stadart forma döüştürülerek, Adım 5 teki modeli(burada amaç foksiyou, y + 3 yapay değişkeii miimizasyoudur) elde etmek içi yukarıda sözü edile döüşümler kullaılabilir. Eğer ilk verile problemi optimal çözümü varsa, Adım 5 teki modeli amaç foksiyouu optimal değeri sıfırdır DP Problemii Karmarkar Algoritması İle Çözümü Karmarkar Algoritması ı uygulaabileceği yapıya döüştürüle DP 1 1 problemii Karmarkar algoritması ile çözümü, x0 =,..., oktası ile başlar. Birici ve ikici varsayımları sağlayacak ve daha küçük bir amaç foksiyo değeri vere yei bir okta buluması gerekir. Karmarkar, x 0 da e iyi hareket doğrultusuu bulmak içi amaç foksiyouu kullaır: Ω = { x A = 0} olmak üzere, c R +1, Ω S bölgeside bir doğrultu vermediği içi bölgede ortogoal olarak izdüşümü alıır. Böylece, algoritmaı bir iç oktada diğer bir iç oktaya hareketi sağlamış olur (Taha,2000;Rockett ve Steveso,1987; Schrijver, 1998).

7 7 Simpleksi ( S x ) içie merkezi x 0 ola bir küre çizilir; daha sora { x A = 0} Ω = kümesi ile bu kürei arakesiti, daha küçük bir küre olacaktır. Miimum ilerlemeyi sağlamak içi Karmarkar algoritması, her bir adımda mümkü olduğu kadar uzak bir oktaya ilerlemeyip; yukarıda belirtile simpleksi içie çizile kürede daha küçük bir küre kullaır (Rockett ve Steveso,1987; Dodai ve Babu, 1989). Karmarkar Algoritması ı çözüm adımları aşağıdaki gibi özetleebilir (Karmarkar,1984;Wisto,1994; Tepecik,1998); 1 1 Adım 1: Başlagıç oktası x 0 =,..., ve yieleme sayacı k = 0 olarak alıır. Simpleksi içie çizile e büyük kürei yarıçapı, r = 1/ ( 1) ile hesaplaır. 0 < α < 1 olmak üzere bir α sabiti belirleir(geellikle 1 1 α = veya α = alıır) 4 3 L = [ 1+ log(1 + / c j max /) + log(/ det max/)] sıır değeri belirleir. Burada c j max, c j maliyet katsayısıı e büyük sayısal değeridir ve detmax ise, Karmarkar ı stadart formudaki problemi çözümüde karşılaşıla matrisleri determiatlarıı e büyük sayısal değeridir. D oluşturulur. Adım 2: = diag { x,..., x } k k1 o 1 1 ) t y = (,..., c = cd k hesaplaır. k AD P = k 1 _ [ ] t t t 1 I P ( PP ) P c matrisi oluşturulur. c p = maliyet vektörü hesaplaır. Bu vektörü uzuluğu, p 2 2 ( c ) + ( c c = + ile hesaplaır. P1... P ) Adım 3: y yei c p = y 0 αr hesaplaır. c p

8 8 Adım 4: Ters döüşümle, D k y yei x k + 1 = 1D k y yei ve karşı gele amaç foksiyo değeri hesaplaır. L Adım 5: Eğer cx k < 2 ise, optimal çözüme ulaşılmıştır. Aksi takdirde, adım 2 ye döülür Mehrotra Tahmici Düzeltici Algoritması So zamalarda Karmarkar algoritmasıı değiştirilmiş türleri ile karşılaşılmaya başlamıştır. Bu algoritmalarda Mehrotra Tahmici- Düzeltici Algoritması, yazılım olaağı fazla ola etki bir algoritmadır da beri pek çok iç okta yazılımları( LIPSOL, LOQO ve PCx gibi), Mehrotra ı Tahmici Düzeltici algoritmasıa (MPC) dayaır(arbel, 1993;Wright,1997, Aderse ve diğerleri, 1996). Bu algoritmaı iki aahtar özelliği, aşağıdaki gibi sıralaabilir(wright, 1997); a) Algoritmaı Ω çözüm grubua daha yakıda bir yörüge izlemesi amacıyla, PD arama doğrultusuda düzeltici bir adımı eklemesi. b) Merkezi parametre σ ı uygu bir biçimde seçimi. Mehrotra algoritması, her bir adımda öcelikle ie-scalig doğrultusuu hesaplar ve eğer arama doğrultusu, (x,s) >0 koşuluu bozmada µ da büyük bir düşüş yaratıyorsa, algoritma, ufak bir merkezlemei gerekliliği soucuu çıkarır ve böyleceσ k yı sıfıra yakı olarak seçer ve bu küçük değerle merkezleşmiş bir arama doğrultusu hesaplaır. Eğer ie-scalig doğrultusu yararlı değilse, algoritma, σ k ya 1 e daha yakı bir değer vererek daha yüksek miktarlı bir merkezleme uygular(nocedal ve Wright,1999). Çözüm Adımları: Mehrotra tahmici düzeltici algoritması ı çözüm adımları, aşağıdaki gibi sıralaabilir(wright,1997;nocedal ve Wright,1999); Adım 1: ( x, s ) > 0 olmak üzere (,, s ) x λ başlagıç okta olarak alıır.

9 9 k k k Adım 2: k=0,1,2,... içi ( x λ, s) ( x, λ, s ), = alıır ve aşağıdaki adımlar izleir; Adım 3: T 0 A I x γ c A 0 0 λ = γ b S 0 s Se + σµ e sistemi, x, λ, s içi çözülür. ( ) pri dual Adım 4: α ve α ve µ hesaplaır. α pri k = arg max{ α [ 0, 1] x + α x 0 α dual k = arg max{ α 0, 1 s + α s 0 µ } [ ] } k pri T k dual ( x + α x ) ( s + s ) = α / σ = µ / µ alıır. Adım 5: Merkezi parametre, ( ) 3 T cc 0 A I x 0 cc Adım 6: A 0 0 λ = 0 sistemi, S 0 cc s σµ e S e ( x cc, λ cc, s cc ) içi çözülür. Arama doğrultusu ve adımı aşağıdaki gibi hesaplaır; k k k cc cc cc x, λ, s = x, λ, s + x, λ, s ( ) ( ) ( ) pri dual Adım 7: α max ve α max aşağıdaki gibi hesaplaır; α pri k k max = arg max{ α 0 x + α x 0} α dual k k max = arg max{ α 0 s + α s 0} pri pri dual Adım 8: k mi( 0.99* α max,1) α k = mi hesaplaır; dual α = ve ( 0.99* α,1) k + k pri Adım 9: x = x + α k x alıır ve adım 2 ye gidilir. 1 k k + 1 k + 1 k k dual k k ( λ, s ) = ( λ, s ) + α k ( λ, s ) 2.3. İç Nokta Algoritmalarıı Simpleks Algoritması İle Karşılaştırılması max

10 10 Simpleks algoritması, uygu bölge sıırlarıda uzu bir yol izlemek zoruda kalabilir ve optimal çözüme ulaşmada öce 2 uç okta ile karşılaşmaktadır(murray,1989;powel,1993;cavalier ve Schall,1987). Karmarkar Algoritması ise, uygu bölgei içideki birim simpleksi merkezide başlayıp; yarıçapıda daha büyük olmaya mesafede yielemelerle optimum köşeye doğru gidecek iç oktaları bulmaya çalışır (Tepecik, 1998). Simpleks algoritmasıı tersie, iç okta algoritmaları kesi bir optimal çözüm oluşturmak yerie optimal çözüme yakısaya sıırsız bir dizi oluştururlar(aderse ve diğerleri,1996; Aderse ve Ye, 1996; Güler ve Ye, 1993). Şekil 2.1. de iç okta ve uç okta yaklaşımları ile optimal çözüme ilerleme gösterilmeye çalışılmıştır te yapıla araştırmalarda değişkeli bir problemi optimal çözümü, Karmarkar Algoritması kullaıldığıda Simpleks algoritmasıda 50 kez daha hızlı olarak elde edilmiştir. Daha soraki araştırmalarda da Karmarkar algoritmasıı büyük ölçekli problemlerde daha az yieleme gerektire etki bir tekik olduğu gözlemiştir(lee ve diğerleri, 1990; Fag ve Puthepura, 1993). Şekil 2.1. İç okta ve uç okta yaklaşımları ile optimal çözüme ilerleme Karmarkar Algoritması ve çoğu iç okta algoritmaları, poliom zamalı algoritmalardır; dolayısıyla herhagi bir DP problemii çözümü içi gereke zama, problemi boyutuu poliom bir foksiyou ile

11 11 sıırlaabilir. Simpleks algoritması ise, üstel zamalı bir algoritmadır(hillier ve Lieberma, 1995;Dodai ve Babu,1989; Kowles, 1989). Bazı iç okta algoritmaları, tek amaçlı ve çok amaçlı DP problemlerie uygulaabilmektedir. İç okta algoritmalarıı Simpleks algoritması karşısıda etkiliğii ve hızıı, bilgisayar tekolojisideki gelişmeler ve yapıla araştırmalar ile, daha da artacağı düşüülmektedir(hillier ve Lieberma, 1995; Arbel,1994; Bal,1995; Jase,1997). 3. DOĞRUSAL BİR ÜRETİM MODELİNDE İÇ NOKTA ALGORİTMALARININ UYGULANMASI Aşağıda hipotetik bir işletmei üretim plalamasıa ilişki bir doğrusal programlama modelii varsayımları ve formülasyou verilecektir. DP modeli iç okta algoritmaları ile ve Simpleks algoritması ile çözülerek çözüm souçları karşılaştırılacaktır Modeli Formülasyou DP modeli kurulmada öce aşağıdaki varsayımlarda buluulmuştur: 1) Malzemei temii ve taşıma kousuda herhagi bir problem bulumadığı, 2) Plalama döemi boyuca talep ve kapasiteleri belirli olduğu, 3) Plalama döemi boyuca üretim hatlarıı çalışır durumda oldukları, herhagi bir arızaı söz kousu olmadığı, 4) Fabrikaı stok alaı kousuda herhagi bir kısıtı bulumadığı, 5) Malzemei taşımasıyla ilgili herhagi bir kısıtlayıcı bulumadığı, 6) Ürülerde zayiat olmadığı, 7) Ürüleri tümüü 30 üretim hattıda her biride üretilebildikleri ve hatlar arasıda farklılık bulumadığı varsayılmıştır. Karar modelii bileşeleri ola karar değişkeleri, amaç foksiyou ve kısıtlayıcılar belirlemiştir. Karar Değişkeleri: Fabrikada 150 farklı ürü olup; bu ürüler 30 üretim hattıda işlem görmektedir. Üretim hatlarıı kapasiteleri sıırlıdır ve ürülere ola talep karşılamalıdır. Ürüleri toplam üretim maliyeti miimize edilmelidir. Belirlee kısıtlayıcılar altıda toplam maliyeti

12 12 miimize etmek içi her bir ürüde her bir süreçte üretilmesi gereke miktarlar belirleecektir. Karar değişkeleri; i, j : j ici ürüde i ici hatta üretilecek miktardır. (i=1,2,...,30; j=1,2,...,150) DP modelide 4500 adet karar değişkei bulumaktadır. Amaç Foksiyou: İşletmei toplam üretim maliyetii miimize edilmesidir ve aşağıdaki gibi ifade edilir;. Miz = i= 1 j= 1 c i, j i, j Parametreler: Ürüleri üretim hatlarıdaki birim işlem süreleri, hatları kapasiteleri, ürüleri talep miktarı ve ürüleri birim maliyetleri parametreler olarak alımıştır. Kısıtlayıcılar: Modeli kısıtlayıcıları, aşağıda verilmeye çalışılmıştır. a) Her bir ürü içi belirlee talep karşılamalıdır. Bu grupta 150 adet kısıtlayıcı bulumaktadır. Bu gruptaki kısıtlayıcılar kısaca aşağıdaki gibi ifade edilebilir; 30 i= 1 b j=1,2,...,150 i, j j b) Her bir hatta 150 adet ürüü üretimi içi geçe toplam süre(saat) sıırlıdır Bu gruptaki kısıtlayıcılar 30 adettir. Bu gruptaki kısıtlayıcılar kısaca aşağıdaki gibi ifade edilebilir; 150 j= 1 t i, j i, j s i c) Karar değişkeleri egatif olamaz. i, j 0 Burada; i : hat o(i=1,2,...,30) j : ürü o(j=1,2,...,150) : j ürüüü i üretim hattıda üretilmesi içi gerekli birim süre t i, j c i, j : j ürüüü i üretim hattıda üretilmesii birim maliyeti s i : i.ici hatta ürüleri üretimi içi geçe toplam süreler b : j.ici ürüü talebidir. j MODEL: Uygulamada oluşturula DP modeli, kısaca aşağıdaki gibi yazılabilir;

13 13 Miz = 14 1, , , , , , , , , , , ,7 30,150 Kısıtlayıcılar 1,1 2,1 3, ,1 30, ,2 2,2 3, ,2 30, ,3 2,3 3, ,3 30, ,4 2,4 3, ,4 30, ,5 2,5 3, ,5 30, ,6 2,6 3, x 29,6 30, ,7 2,7 3, ,7 30, ,8 2,8 3, ,8 30, ,9 2,9 3, ,9 30, ,10 2,10 3, ,10 30, ,11 2,11 3, ,11 30, ,12 2,12 3, ,12 30, ,13 2,13 3, ,13 30, ,14 2,14 3, ,14 30, ,15 2,15 3, ,15 30, ,149 2, , , , 149 1,150 2,150 3, ,150 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 150 b

14 14 5, , , , , ,1 7,2 7,3 7,149 7, , , , , , , , , , , ,1 28,2 28,3 28,149 28, , , , , , , , , , , 150 1,1, 1,2, 1,3,..., 30,149, 30, Modeli Çözümü Çalışmamızda oluşturula DP(Doğrusal Programlama) modeli, 4500 karar değişkei ve 180 kısıtlayıcı içermektedir. Bu modeli iç okta algoritmaları ve Simpleks algoritması ile çözülerek çözüm souçları karşılaştırılmıştır Modeli İç Nokta Algoritmaları İle Çözümü Doğrusal programlama modeli, Karmarkar tekiğie dayalı bir yazılım ola MOSEK ile çözülmüş ve 11 yieleme souda ve 0.47 s de optimum çözüme ulaşılmıştır ve amaç foksiyou milyo p.b. olarak belirlemiştir. Daha sora, doğrusal karar modeli, Mehrotra Tahmici-Düzeltici Algoritması (PCx, doğrusal programlama modelii Mehrotra tekiği ile çöze bir yazılımdır) ile çözülmeye çalışılmıştır. Model, PCx yazılımı kullaılarak çözüldüğüde, 7 yielemede ve 0.21 s. de çözüme ulaşılmıştır. So olarak DP modeli, yie Mehrotra tahmici düzeltici algoritması a dayalı bir yazılım ola PRESS-MP/Barrier ile çözülmeye çalışılmıştır. PRESS-MP/Barrier, 9 yieleme souda optimum çözüme çok yaklaşmış; acak işlemler 54 yielemeye kadar sürdürülmüştür ve amaç foksiyouu optimum değeri milyo p.b. olarak belirlemiştir Modeli Simpleks Algoritması İle Çözümü

15 15 PRESS-MP/Simplex doğrusal programlama modelii Simpleks algoritması ile çöze bir yazılımdır. Model, PRESS-MP/Simplex yazılımı kullaılarak çözüldüğüde 202 yieleme souda optimum çözüme ulaşılmıştır ve amaç foksiyouu optimum değeri milyo p.b. olarak belirlemiştir 3.3. Çözüm Souçlarıı Karşılaştırılması Doğrusal programlama modeli; Karmarkar Algoritması, Mehrotra tahmici düzeltici algoritması ve Simpleks algoritması ile ayrı ayrı çözüldüğüde elde edile çözüm souçları ve yieleme sayıları, Tablo 3.5 de toplu olarak görülmektedir. MOSEK Uç okta PRESS-MP/ Barrier Uç okta Tablo 3.5. Modeli Üç Farklı Yazılım İle Çözüm Souçları AMAÇ FONK. ÇÖZÜM OPT.ÇÖZÜM YAZILIM DEĞERİ YİNELEME SÜRESİ (ts) NOKTASI (milyo SAYISI (f) (İÇ/UÇ) p.b.) PRESS- MP/Simplex Uç okta PCx İç okta Tablo 3.6 da yazılımları yieleme sayılarıı ve çözüm sürelerii oraları görülmektedir. PRESS-MP/Simplex i yieleme sayısıı PCx i 28.8 katı olması, MOSEK i yieleme sayısıı ise PRESS-MP/Simplex i yieleme sayısıı yaklaşık 18 katı olması özellikle dikkat çekicidir. Tablo 3.6. Yazılımları Yieleme Sayılarıı ve Çözüm Sürelerii Oraları Yazılımları f MPSimlex /f Mosek 202/11 = yieleme f MPSimlex /f PCx 202/7 = sayılarıa ilişki f MPSimlex /f MPBarrier 202/54 = oralar Yazılımları Çözüm sürelerie t MPSimlex /t Mosek 2/0.47 = 4.255

16 16 ilişki oralar t MPSimlex /t PCx 2/0.21 = (S.) Tablo 3.5 ve Tablo 3.6 ya göre 4500 karar değişkei ve 180 kısıtlayıcı içermekte ola doğrusal programlama modelimizi çözümüde iç okta algoritmalarıı, Simpleks algoritmasıda yieleme sayısı itibarı ile daha etki olduğu soucua varılmıştır. Burada, problemi değişke ve kısıtlayıcılarıı sayısı, öemli rol oyamaktadır. SONUÇ Uygulamada elde edile souçlara göre, problemi değişke ve kısıtlayıcı sayısı fazla ise, iç okta algoritmalarıı Simpleks algoritmasıda daha kısa sürede çözüme ulaştığı görülmektedir. Buu yaıda aşırı büyük modellerde Simpleks algoritmasıı uygu çözüm bulamadığı durumlarda iç okta algoritmaları uygu çözüme ulaşabilmektedir. DP test problemleri ile yapıla çeşitli çalışmalarda, Simpleks algoritması ile iç okta algoritmaları karşılaştırılmıştır. Bu çalışmalarda da özellikle büyük problemlerde iç okta algoritmalarıı gerek yieleme sayısı ve gerekse çözüm süresi yöüde etkiliği gösterilmiştir. KAYNAKÇA Kitaplar Arbel, A.(1993). Explorig Iterior Poit Liear Programmig (Algorithms ad Software ). Hog Kog: Times Roma by Asco Trade Typesettig Ltd. Bazaraa, M. S., Jarvis, J.J., Sherali, H.D.(1990).Liear Programmig ad Network Flows. USA: Secod Editio, Joh Wiley&Sos, Ic. Chog, E. K. P., Zak, S. H.(1996).A Itroductio to Optimizatio, USA: Joh Wiley & Sos, Ic. Fag, S., Puthepura, S.(1993).Liear Optimizatio ad Extesios, Theory ad Algorithms. USA: Pretice Hall,Ic. Hertog, D.de(1994). Iterior Poit Approach to Liear, Quadratic ad Covex Programmig. Netherlads: Kluwer Academic Publishers. Hillier, F.S., Lieberma, G.J.(1995). Itroductio to Operatios Research., Sigapore: Mc Graw-Hill,Ic., Sixth Editio. Kowles, T. W.(1989).Maagemet Sciece Buildig ad Usig Models., USA:Richard D.Irwi, Ic.

17 17 Kojima, M., Megiddo, N., Noma, T., Yoshise, A.(1991).A Uified Approach To Iterior Poit Algoirthms for Liear Complemetarity Problems. Germay: Spriger Verlag. Moo, T.K., Stirlig, W.C.(2000).Mathematical Methods ad Algorithms for Sigal Processig. USA: Pretice-Hall,Ic. Nash, G., Sofer, A.(1996).Liear ad Noliear Programmmig.Sigapore: McGraw-Hill Compaies,Ic.,. Nocedal, J., Wright, S.(1999).Numerical Optimizatio. Spriger Series i Operatios Research, New York : Spriger. Rardi, R.L.(1998).Optimizatio i Operatios Research. New Jersey: Pretice Hall,Ic. Reder, B., Stair, R.M.(1997).Quatitative Aalysis for Maagemet. New Jersey : Pretice-Hall,Ic., Sixth Editio. Roos, C., Terlaky, T., Vial, J. Ph.(1997).Theory ad Algorithms for Liear Optimizatio. A Iterior Poit Approach, Eglad: Joh Wiley & Sos Ltd. Schrijver, A.(1998).Liear ad Iteger Programmig. Eglad:Joh Wiley&Sos Ltd. Taha, H.(2000).Yöeylem Araştırması. 6. Basımda Çeviri, Çev:Ş.Alp Baray, Şakir Esaf, İstabul: Literatür Yayıcılık. Wisto, W. L.(1994). Operatios Research Applicatios ad Algorithms. Belmot, Calif. : Duxbury Press. Wright, S. J.( 1997).Primal - Dual Iterior Poits Methods. The Society for Idustrial ad Applied Mathematics, USA:Siam. Makaleler Aderse, E. D., Godzio, J., Meszaros, C., u,.(1996). Implemetatio of Iterior Poit Methods For Large Scale Liear Programs, Iterior Poit Methods of Mathematical Programmig, Netherlads: Kluwer Academic Publishers. Aderse, E. D., Ye, Y.(1996). Combiig Iterior-poit ad Pivotig Algorithms for Liear Programmig, Maagemet Sciece, Vol. 42.,No.12, Istitute for Operatios Research ad Maagemet Scieces. Arbel, A.(1994). A Multiobjective Iterior Primal Dual Liear Programmig Algorithm Computers Operatios Research, Vol. 21, No. 4, Great Britai: Elsevier Sciece Ltd., s Bal, H.(1995). Usig of Karmarkar Algorithm i Liear Goal Programmig ad a applicatio, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Es. Der. C.8., S.1.

18 18 Blad, R.G., Goldfarb, D., Todd M.( 1981). The Ellipsoid Method : A Survey, Operatios Research, Vol. 29, No.6, Operatios Research Society of America. Cavalier, T. M., C. Schall, K.(1987). Implemetig A Affie Scalig Algorithm For Liear Programmig, Comput. Operatios Research, Vol.14, No.5, Great Britai :Pergamo Jourals Ltd. Dodai, M. H., Babu, A. J. G.(1989). Karmarkar s Projective Method For Liear Programmig : A Computatioal Appraisal, Computers Idustrial Egieerig, Vol. 16, No.1,., Great Britai: Pergamo Press plc. Gay, D. M.(1987). A Variat of Karmarkar s Liear Programmig Algorithm For Problems I Stadart Form, Mathematical Programmig 37,North Hollad. Goldfarb, D., Todd, M.J.(1989). Liear Programmig, Hadbooks i Operatios Research ad Maagemet Sciece, Volume 1, Elsevier Sciece Publishers B.V., Netherlads. Gozaga, C. C.(1991). Large Step Path Followig Methods For Liear Programmig, Part I : Barrier Fuctio Method, SIAM Joural o Optiizatio, Vol.1, No.2, Society for Idustrial ad Applied Mathematics. Gozaga, C. C.(1991). Large Step Path Followig Methods For Liear Programmig, Part II : Potetial Reductio Method, SIAM Joural o Optiizatio, Vol.1, No.2, SIAM. Güler, O., Ye, Y.(1993). Covergece Behavior of Iterior-poit Algorithms, Mathematical Programmig 60, North-Hollad. Hertog, D.De, Roos, C.(1991). A Survey of search directios i iterior poit methods for liear programmig, Mathematical Programmig 52, North-Hollad. Karmarkar, N.(1984). A New Polyomial Time Algorithm For Liear Programmig, Combiatorica, Vol.4. Murray, Walter(1989). Methods For Large Scale Liear Programmig, Algorithms ad Model Formulatios i Mathematical Programmig Ed: Stei W. Wallace, Berli : Spriger Verlag. Powell, M.J.D.(1993). O The Number of Karmarkar s Algorithm for Liear Programmig, Mathematical Programmig 62, North-Hollad. Rockett, A. M., Steveso J.C.(1987). Karmarkar Algorithm, Byte, September. Tardos, E.(1986). A Strogly Polyomial Algorithm To Solve Combiatorial Liear Programs, Operatios Research, Vol.34, No.2, Operatios Research Society of America.

19 19 Tepecik, A.( 1998). Geliştirilmiş Karmarkar Algoritması,Gazi Üv. Fe Bil.Es.Der., Cilt.11, No.4,Akara. Ye, Y., Kojıma, M.(1987). Recoverig Optimal Dual Solutios i Karmarkar s Polyomial Algorithm For Liear Programmig, Mathematical Programmig 39, North-Hollad.