Kriging Tekniği ile Nokta ve Alansal Kestirim: Tenör Dağılımlarının Haritalanması Örneği

Transkript

1 Çukurova Ünverstes Mühendslk Mmarlık Fakültes Dergs, 3(2), ss , Aralık 206 Çukurova Unversty Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture, 3(2), pp , December 206 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ *2, Al Can ÖZDEMĠR 2 Ġskenderun Teknk Ünverstes, Makna Fakültes, Petrol ve Doğalgaz Mühendslğ Bölümü, Hatay 2 Çukurova Ünverstes, Mühendslk Mmarlık Fakültes, Maden Mühendslğ Bölümü, Adana Öz Gelş tarh: Kabul tarh: Gözlemler arasındak uzaklığa bağlı lģk, varyansa dayalı olarak elde edlen varogram fonksyonlarıyla değerlendrleblmektedr. Mevcut lģklern oluģturduğu ağırlıklardan hareketle krgng gb çeģtl jeostatstksel araçlar gelģtrlmģtr. Bu çalıģmada, farklı dsplnlerde çoğunlukla da blgsayar programları tarafından gerçekleģtrlen ordnary krgng kestrm teknğ le noktasal ve alansal tahmnlern hesabı blgsayar kullanılmadan adım adım ele alınarak yapılmıģtır. ÇalıĢma kapsamında hpotetk olarak seçlmģ br maden yatağına at tenör verler kullanılarak öncelkle örneklenmemģ br noktanın ve alanın tahmn yapılmıģ, daha sonra maden yatağının tenör dağılımı tahmn edlmģ ve tüm tenör verler kullanılarak hartalanmıģtır. Temel krgng yaklaģımının kullanımı, özellkle saha çalıģmalarına dayalı mühendslk ve fen blmlerndek modelleme çalıģmalarında etkn br araç olarak kullanımı artıracaktır. Anahtar Kelmeler: Jeostatstk, Krgng, arogram, Uzaysal analz, Tenör Dağılımı The Predcton of Pont and Block Usng Krgng Technque: A sample of Grade Dstrbuton Mappng Abstract The semvarogram functons whch are obtaned as a result of the spatal dependency between samples and the krgng equatons used for estmatng unsampled pont or area are used n many dscplnes. Krgng s a complex procedure that requres greater knowledge about spatal statstcs and the solutons of krgng equatons are usually carred out wth the help of computer programs. In ths study, pont and block estmatons of the grade contents n a mneral depost were made by takng step by step and wthout usng a computer. In the scope of the study, frstly, unsampled pont and block grade have estmated usng grade samples of the mneral depost whch s hypothetcally selected, and then the grade dstrbuton of the mneral depost have estmated and mapped usng all the grade data. The use of the basc krgng approach wll enhance ts use as an effectve tool, especally n modelng studes n engneerng and scence based on feld studes. Keywords: Geostatstcs, Krgng, arogram, Spatal analyss, Grade dstrbuton * Sorumlu yazar (Correspondng author): Ahmet DAĞ, ahmdag@cu.edu.tr Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

2 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ. GĠRĠġ Ġlk olarak Krge [] ve Matheron [2] tarafından maden yataklarının daha etkn değerlendrleblmes çn gelģtrlmģ olan, fakat Ģu anda yerblmclerden halk sağlığı uzmanlarına kadar brçok farklı dsplnde yaygın olarak kullanılan jeostatstk yöntemlern temelnde Bölgesel DeğĢkenler Teors bulunmaktadır [3,4]. Bu teorde bölgesel değģken, br noktadan br baģka noktaya sürekllk göstererek değģen olarak tarf edlmektedr. Bölgesel değģkenlern tanımladığı noktalar arasındak uzaklık le bu noktalardak gözlenen değerler arasındak olası br lģk, normal olarak uzaklık azaldıkça değerlern brbrne benzemes, arttıkça benzerlğn azalması Ģeklnde beklenr. BaĢka br deyģle bölgesel değģkenlern değerler arasındak fark, bu değerler arasındak uzaklığın br fonksyonu Ģeklnde tanımlanablr [5-7]. Jeostatstk bu türden br yaklaģımdır ve klask statstk yöntemlernden farklı olarak örnekler arası lģky örneklern alındıkları koordnatları da hesaba katarak, uzaklığa ve yönlere bağlı değģmler dkkate alır. Bu sayede yöntem maden yataklarının rezervlernn tesptnde genģ br kullanım alanı bulmuģtur [8]. Polgon, üçgen ve kest gb geometrk rezerv hesaplama yöntemler, lgl kestrm alanı çnde tenör değerlern değģmedğ, dolayısıyla tenör değerler arasındak farkın, h uzaklığı ne olursa olsun, sıfıra eģt olduğunu varsayar. Ancak bu gerçekç br yaklaģım değldr ve tenör değerler arasındak farkın gözlemler arasındak uzaklık arttıkça artması, azaldıkça azalması beklenr. Jeostatstğn yanında bu mantıkla hareket eden dğer br yöntemde ters uzaklık yöntemdr. Ters uzaklık yöntemyle yapılan br tahmnde tahmn yapılacak nokta ve buna referans olacak örnekler arası uzaklığın harcnde hçbr etken mesela cevher zonunun zengn m yoksa fakr m olacağı veya yönlere göre tenörün nasıl değģme uğradığı göz önünde bulundurulmaz. Gerçekte uzaklığa bağlı lģk aynı br yatak çnde ble yönlere göre değģklk göstereblr. Dolayısıyla bu Ģeklde yapılan tahmnlerde aģağıdak sorular ortaya çıkacaktır. ) Hang fonksyonun /d, /d 2, /d 3, e -x m ya da vb. kullanılacağı? ) Tahmn yapılacak noktanın ne kadar uzaklığındak noktaların göz önünde bulundurulacağı? ) Yapılan tahmnn ne kadar güvenlr olduğu? v) Aynı tahmn metodunu bütün yatak tplernde eģt derecede doğru sonuçlar vereceğn cdd br Ģeklde bekleyeblr myz? Tenör değerler arasındak farkların uzaklığa bağlı br modelnn oluģturulmasında en gerçekç yaklaģım, lgl yatağın verlern kullanan ve yatağın özellklern yansıtan br yaklaģımdır. Jeostatstk bu türden br yaklaģımdır ve tenör değerlerndek farkların uzaklığa ve yönlere bağlı değģmlern dkkate alır [9]. Jeostatstk yöntemlerle yapılan br analz dört ana gruba ayırablrz. Bu gruplar se; I. Yöresel değģkenn değerler arasındak farkların, uzaklığa bağlı değģmlern belrlemeye yarayan yarıvarogram modellernn tespt edlmes, II. Yarıvarogram modellernn test edlmes, III. Krgng nterpolasyon teknğ le noktasal, alansal veya br hacm temsl eden kestrmlern yapılması, I. Yapılan kestrm hatalarının belrlenmes (ġekl ) Ģeklnde sayılablr. Jeostatstksel br çalıģmada bu unsurların hepsnn sstematk olarak yapılması gerekr [0]. Jeostatstkte, bölgesel değģkenn değerler arasındak farkın uzaklığa bağlı değģmler varogram fonksyonu le ortaya konur. arogram fonksyonu tesadüf değģkenn değerler arasındak farkın varyansı Ģeklnde fade edlr ve 2(h) le gösterlr. Lteratürde yarıvarogram olarak adlandırılan yarıvarogram fonksyonu se varogram fonksyonunun yarısını fade etmektedr ve (h) le gösterlr []. Yarıvarogram fonksyonları yöresel değģkennn ne gb özellkler gösterdğn belrlemede kullanılır. Örneğn, bu fonksyon blndğnde değģkenn homojenlk ve zotropluk dereceler, düzenllğ ve br örneğn etkl olduğu uzaklık belrleneblr. Yarıvarogram değerlernn gözlemler arasındak h uzaklığına bağlı olarak hesaplanablmes çn N sayıdak gözlemn N(N-)/2 tane olan kl 454 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

3 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR kombnezonları oluģturulur [3,2]. OluĢturulan gözlem çftler arasındak h uzaklığı ve yön ġekl 2 de gösterldğ gb koordnatlardan gdlerek psagor bağıntısı le hesaplanır. Eğer gözlem çftler yön ve uzaklık gözetlmekszn oluģturulmuģsa mümkün bütün çftlern arasındak yarıvaryans değer EĢtlk () yardımıyla hesaplanır. ġekl. Jeostatstk analz aģamalarının grafksel gösterm ġekl 2. Üç boyutlu uzayda çftler arası uzaklık ve yön hesabı Daha sonra her br h uzaklığına karģılık elde edlen deneysel yarıvaryans değerler karģılıklı olarak grafklenerek yarıvarogram fonksyonu elde edlr (ġekl 3). Bu Ģeklde yön ve mesafe gözetlmekszn oluģturulan yarıvarogramlar yönsüz (omndrectonal) yarıvarogram smn almaktadır. Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

4 Gamma(h) Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ N ( h) * ( h) ( ) ( ) 2 ( ) z x z x h () N h Teork olarak, elde edlen deneysel yarıvarogram yapısını temsl eden yarıvarogram modelnn 2 belrlenmes gerekmektedr. Bunun çn öncelkle teork yarıvarogram modeller ve parametreler y blnmel, en uygun model ve parametreler seçlerek ortalama yarıvarogram model fonksyonel olarak belrlenmeldr (ġekl 3). Deneysel Yarıvarogram Küresel Tp Model C C Çftler C 0 Etk Uzaklığı (a) ġekl 3. Küresel tp teork yarıvarogram model ve parametreler [3] h Elde edlen bu eğrden yararlanılarak, ncelenen bölgesel değģkenn uzaysal değģm hakkında öneml blg elde ednleblr [6]. Yarıvarogram fonksyonu, bölgesel değģkenn çeģtl özellklernn sayısal olarak belrlenmesnn yanında, örneklenmemģ noktalardak blnmeyen değerlern kestrmlernde de kullanılablr. Bu amaca hzmet eden krgng, bölgesel değģkenlern örneklenmemģ noktalarının kestrmlernde en y ve yansız br tahmn edc olarak kullanılır. Krgng blok veya br noktanın kestrmn mnmum varyansla tahmn eden en y yöntemdr. Krgng kestrm çn; Z(x ), Z(x 2 ),... Z(x N ) N adet ver olsun, Z(x) değģkennn lneer br fonksyonunu belrlemek ve x o noktasındak değer veya x o merkezl br alan çersndek ortalama alansal değer tahmn edlmek stensn. Çok sayıda eģtlğe kaçmadan ncelk tahmnn eģtlğ genel olarak Ģu Ģeklde verleblr [4]. Z Z(x) dx (2) Burada hacm nokta kestrmlernde br noktayı temsl etmektedr. Bu kestrmler yapablmek çn verlermzn br ağırlıklı ortalamasını ele almamız gerekr. Genel olarak kestrm Ģlem, blnen değerlern ağırlıklı ortalaması alınarak yapılır (EĢtlk 3). 456 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

5 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR Z n 0 ) Z( x ) * ( x (3) Burada; Zv* : x 0 noktasında kestrm yapılan değer, Z(x) : x 0 noktasının kestrmnde kullanılacak gözlemlern değern, Λ : DeğĢkenn değerlerne verlecek ağırlıkları fade etmektedr. Genel problemmz se ağırlık faktörü olan λ y en y yolla belrlemek olacaktır. Burada ağırlık faktörü k amaç doğrultusunda seçlmeldr,. Yansızlık çn EZ * Z 0, bu Ģartı sağlayablmemz çn EĢtlk (3) dek fadede = olmalıdır (Burada, Zv* kestrm değer, Zv se gerçek fakat blnmeyen değer fade etmektedr),. Mnmum varyans çn ar Z * Z mnmum olmalıdır (Burada belrtlen varyans krgng varyansı olarak blnr). Genel olarak krgng tahmn edclerne göre krgng yöntemler; ortalama (m) tahmn edcs blnmeden yapılan krgng ordnary krgng (OK) ve krgng tahmn edcs ortalama (m) nın blnmesyle yapılan krgng smple krgng, (SK) olarak tanımlanırlar []. 2. ORDINARY KRIGING KESTĠRĠM TEKNĠĞĠ Eğer Z(x) ortalama değer (m) le durağan se; E[Z(x)] = m ve böylece E[Zv] = m olmalıdır. Bu Ģarta göre; E λ Z(x ) Z v m λm m λ 0 (4) EĢtlk (4) den görüleceğ üzere yansızlık koģulunun sağlanablmes çn = olmalıdır. Hata varyansı Z * -Z varogram bağıntıları kullanılarak hesaplanablr. 2 ( x, ) j ( x x j) (, ) (5) Burada; (, ) ( x x j ) j : x ve x ı arasındak ortalama varogram (blok-blok), : x den x j ye ortalama varogram(noktanokta), (, ) : x ve hacm arasındak ortalama x varogram (nokta-blok) olarak alınmıģtır (ġekl 4), [0]. x v x x x x v x x v x j a) : Ortalama varogram (blok-nokta) ġekl 4. a) blok-nokta, b) blok-blok, c) nokta-nokta ortalama varogramların Ģeklsel gösterm [8] Ağırlık katsayıları toplamının e eģt çıkması Ģartı altında, kestrm varyansını (EĢtlk 5) mnmze edeblmek çn Lagrange çarpanları µ ele alınmıģtır. b) : Ortalama varogram (blok-blok) c) : Ortalama varogram (nokta-nokta) ar ( Z * ) 2 v Z v (6) EĢtlk (6) ncelendğnde ağırlık katsayıları ( ) toplamı e eģt çıkması gerektğnden dolayı, Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

6 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ Lagrange çarpanları () nın le çarpılması sonucunda 0 elde edleceğnden etksz eleman olacak fakat denklem sstemmzn çözümüne ve lern bulunmasına mkan sağlayacaktır. Bu koģullar altında denklemn çözümü Lagrange çarpanları yöntemyle yapılacak olursa krgng denklem sstem olarak blnen EĢtlk (7) takımı elde edlr. N j j λ x,x j μ (x,) N λ, 2, 3...N (7) Krgng varyansı olarak blnen mnmum varyans se EĢtlk (8) le elde edleblr. N 2 K (, ) (, ) (8) x Herhang br x 0 noktasının kestrmnde N adet ver kullanılıyorsa, bu k koģul N+l adet doğrusal denklemler sstemne yol açacaktır. Yukarıdak EĢtlk (7) sstemn nümerk olarak çözeblmek çn matrs formunda gösterlrse, aģağıdak Ģekle dönüģür (EĢtlk 9). A matrsnn br kez tersnn alınıp C vektörüyle çarpılması sonucu ağırlık katsayıları ( ) ler elde edleblr (EĢtlk 0). Elde edlen ağırlık katsayıları le EĢtlk (3) sayesnde kestrm değer bulunablr. Yapılan kestrmn varyansı (krgng varyansı, 2 K) se EĢtlk () sayesnde hesaplanablr. A=, 2, 3, N,,2 2,2 3,2 N,2,3 2,3 3,3 N,3,N 2,N 3,N N,N B= N C= x, x2, x3, x, N (9) B = A - x C (0) σ 2 K B T B C (,) T B transpose 3. ORDINARY KRIGING ĠLE NOKTA E ALANSAL KESTĠRĠMLER () EĢtlk (6) ye göre Z v * x o noktasındak tahmn değer veya x o merkezl br alan çersndek ortalama alansal tahmn değer olarak smlendrlmģt. Madenclk uygulamaları düģünülecek olursa, x o noktasındak kestrm yapılacak değer br sondaj değer veya baģka br değģken olablmektedr. Kestrm yapılacak x o noktasına göre krgng nterpolasyon teknğ 3 Ģeklde uygulanablr. Örneğn; br maden yatağının x o noktasındak değern kestrm noktasal (pont) krgng olarak smlendrleblr, x o noktası merkezl br maden alanının ortalama sondaj değernn kestrm se alansal krgng olarak smlendrleblr, x o noktası merkezl br maden bloğunun ortalama değernn kestrm se hacmsel (blok) krgng olarak smlendrleblr. Noktasal kestrmler ve kestrm varyansı EĢtlk (7) ve (8) sayesnde kolayca bulunablr. Alansal ve blok kestrmlernn yapılması ve varyanslarının bulunması se yne yarıvarogram fonksyonları yardımıyla yapılablr. Bunun çn br maden sahası çersndek x merkezl kestrm yapılacak 458 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

7 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR br alanını, kendsnden daha küçük x j merkezl N adet küçük v alanına böldüğümüzü farz edelm ve bu kestrmde kullanılacak K adet gözlem değern g le fade edelm (ġekl 5). alanının x merkezl ortalama kestrmn ve varyansını bulmak çn ġekl 4 te anlatılan 3 adet ortalama yarıvarogramın hesaplanması gerekldr. Bunların hesabı aģağıdak aģamaların takb le mümkündür.. g noktaları le dğer g noktaları arasında oluģablecek mümkün çftlern yarıvarogramı (g,g) bulunur. Bulunan bu yarıvarogram değerler. satırdan N. satıra sırasıyla EĢtlk (9) dak A matrs Ģeklnde gösterlr. 2. x j noktaları le kestrmde kullanılacak g gözlem noktalarından br tanes arasındak ortalama yarıvarogram (, g) Ģeklnde olsun ve B Ģeklnde fade edlsn. B bulunurken Ģu aģamalar zlenmeldr. N B x j g v x g v x j j j,2,3,..., K x j a) Küçük alanlar (v j ) = M j x L j olacak Ģeklde hesaplanmalıdır, b) Büyük alan () = AxB olacak Ģeklde hesaplanmalıdır, c) Her br x j çn ortalama varogram ( x j, g) Ģu Ģeklde hesaplanır. K adet g den br tanes seçlr ve bu g le sırasıyla N adet x j merkezl alan arasındak yarıvarogram değerler hesaplanır ve küçük alan (v j ) le çarpılır. Bu Ģlem her x j çn K tekrar edldkten sonra toplamı x g j g j j v j bulunur. Elde edlen toplam büyük blok alanı () ye bölünürse, ortalama ( x j, g) elde edlmģ olur (EĢtlk 2). Elde edlen bu değer EĢtlk (9) dak C vektörünün. satırını temsl etmektedr. Bu Ģlem her g çn K kez tekrar edlr se EĢtlk (9) dak C vektörü elde edlmģ olur. v j... x N g K v N (2) g B x j A x L M ġekl 5. Kestrm yapılacak alanı 3. Büyük blok çersndek x j merkezl küçük alan v nn dğer x j noktaları arasındak ortalama yarıvarogramı (x,x j ) Ģeklnde gösterelm ve x j lern ortalama yarıvarogramını da Ģeklnde fade edlmģ olsun. bulunurken Ģu aģamalar zlenmeldr. a) Küçük alan (v) ların merkez x j noktaları le dğer x j noktaları arasındak yarıvarogram Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

8 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ değerler bulunur. Bu Ģlem her br x j noktası çn kendsyle olan yarıvarogram değernn de hesaplanması dahl N x N kez tekrar edlr ve toplamları alınır. Elde edlen toplamın N x N e bölünmes suretyle elde edleblr (EĢtlk 3). N 2 N x x j j=,2,3,.,n (3) 4. EĢtlk (5) yardımıyla elde edlmģ B vektörü (ağırlık katsayıları, ) le EĢtlk (2) yardımıyla elde edlmģ C vektörünün çarpılıp toplanmasıyla blok-blok toplam ortalama yarıvarogram değer elde edlmģ olur. Elde edlen toplam ortalama yarıvarogram 0 Ģeklnde fade edlrse. 0 EĢtlk (4) le hesaplanablr, K B (4) 0 Bu durumda, Yapılacak x merkezl br alansal kestrm g*(x), EĢtlk (5) yardımıyla hesaplanablr. * K g ( x) g( ) (5) g*(x) alansal kestrm çn ordnary krgng kestrm varyansı, 2 ok EĢtlk (6) yardımıyla hesaplanablr. 2 ok 0 (6) Yapılacak br hacmsel (blok) kestrmn alansal kestrmlerden br farkı olmayıp alan hesapları yerne hacm hesapları esas alınarak ortalama yarıvarogramlar bulunablr. 4. UYGULAMA 4.. Nokta Kestrm ġekl 6 da verlen T noktasının değer, etrafındak yed örnek değer kullanılarak aģağıda verlen yarıvarogram parametrelerne göre ordnary krgng nterpolasyon teknğ kullanılarak kestrm yapılacak olsun. Noktalara lģkn gözlenen değerler ve koordnatlar Çzelge de verlmģtr. ġekl 6. Kestrm yapılacak T noktası ve kestrmde kullanılacak etk alanı çersnde kalan yed örneklenmģ nokta 460 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

9 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR Çzelge. Kestrm yapılacak T noktası ve etk alanı çersnde belrlenmģ olan yarıvarogram parametreler Örnek Değerler Yarıvarogram Parametreler No X-koord. Y-koord. Değer(g ) Model C 0 C Etk Uzaklığı 24970, ,000 56,980 Küresel 0, , ,000 53, , ,000 53, , ,000 57, , ,000 57, , ,000 57, , ,330 59,060 T 24978, ,450? ) Bütün noktaların kestrm yapılacak olan T noktasına h 0 ve brbrlerne olan uzaklıkları h,j psagor bağıntısı (ġekl 2) yardımıyla bulunmuģ ve Çzelge 2 de gösterlmģtr. Çzelge 2. Gözlem çftler arasındak uzaklıklar h,j ,000 27,02 52,04 79,2 89,07 2,40 9, ,02 0,000 25,02 54,3 67,36 88,84 46, ,04 25,02 0,000 33,94 5,97 69,35 7, ,2 54,3 33,94 0,000 2,0 35,47 94, ,07 67,36 5,97 2,0 0,000 25,08 97,79 6 2,40 88,84 69,35 35,47 25,08 0, ,85 7 9,75 46,62 7,54 94,32 97,79 222,85 0,0000 T 83,984 86,543 95,960 9,326 80,438 02,032 42,452 2) Bütün örnek çftler arasındak uzaklığa bağlı (h,j ) değerler Çzelge de verlen yarıvarogram parametrelerne bağlı olarak Denklem (8) sayesnde hesaplanmıģtır. Bu sonuçlar EĢtlk (8) Ģeklnde matrs formuna dönüģtürülmüģtür. EĢtlk (8), Denklem (0) sstemndek A matrsn fade etmektedr. A = 0,000,828 2,939 3,883 4,36 4,476 4,500,000,828 0,000,733 3,023 3,54 4,30 4,83,000 2,939,733 0,000 2,52 2,936 3,582 3,235,000 3,883 3,023 2,52 0,000,544 2,222,724,000 4,36 3,54 2,936,544 0,000,736,434,000 4,476 4,500,000 4,30 4,83,000 3,582 3,235,000 2,222,724,000,736,434,000 0,000 -,67,000 -,67 0,000,000,000,000 0,000 (8) 3) Yne aynı Ģeklde kestrm yapılacak olan nokta ve etk alanı çnde kalan dğer noktalar arasındak uzaklığa bağlı (h 0 ) değerler Denklem (8) yardımıyla hesaplanarak EĢtlk (9) da k vektör Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

10 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ formuna dönüģtürülmüģtür. EĢtlk (9), EĢtlk (0) sstemndek C vektörünü fade etmektedr. 4) Denklem () gereğ A matrsnn ters bulunmuģ, EĢtlk (20) Ģeklnde belrtlmģtr. 5) Denklem () kullanımı le elde edlen A - matrsn ters le C vektörün çarpımı sonucu ağırlık katsayıları bulunmuģtur. Elde edlen B vektörünün transposu alınarak ve EĢtlk (2) formunda gösterlmģtr. 6) Denklem (3) gereğ, EĢtlk (2) de elde edlmģ ağırlık katsayıları le o ağırlık katsayısına karģılık gelen örnek değerler g çarpılmıģ ve çarpımlarının toplamları alınarak T* kestrm değer bulunmuģtur. 4,036 4,0770 C = 4,2753 4,847 3,995 4,3722 4,2769 (9) A - = - 0,30 0,23 0,02-0,0 0,02 0,02 0,02 0,3 0,23-0,48 0,22 0,02 0,03-0,06 0,04 0, 0,02 0,22-0,43 0,6 0,0 0,04-0,03 0,2-0,0 0,02 0,6-0,49 0,22 0,0-0,0 0,06 0,02 0,03 0,0 0,22-0,46 0,0 0,08 0,5 0,02-0,06 0,04 0,0 0,0 0,29-0,49 0,08 0,02 0,04-0,03-0,0 0,08-0,49 0,38 0,6 0,3 0, 0,2 0,06 0,5 0,08 0,6-2,50 (20) B T 0,3423 0,289 0,0537 0,0354 0,2964 0,0650 0,0784,635 (2) T * 0,3423* 56,98 0,289* 53,88 0,0537 *53,64 0,0354*87,22 0,2964*57,3 0,065* 57,540 0,0784* 59,060 7) EĢtlk (2) gereğ ağırlık katsayıları B T le C vektörü çarpılarak toplanmıģ ve yapılan kestrm varyansı 2 ok bulunmuģtur 2 ok = T* = 56,70367 (EĢtlk (2) dek (,) değer noktasal kestrm yaptığımız çn sıfırdır). 4,036 4,0770 0,3423 0,289 0,0537 0,0354 0,2964 0,0650 0,0784,635* 4,2753 4,847 3,995 4,3722 4, ok = 0,3423* 4,036 0,289* 4,077 0,0537* 4,2753 0,0354* 4,847 0,2964*3,995 0,0650* 4,3722 0,0784* 4,2769,635* 2 ok = 5, Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

11 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR Yukarıdak örnekte de görüleceğ üzere her nokta çn bu Ģlemler yapıldığı düģünülürse, blgsayardan yararlanılması kaçınılmaz olur Blok Kestrm Blok veya alansal kestrmler noktasal kestrmlerden farklı olarak br noktayı değl br alanın ortalama değern fade eder. Alansal krgng kestrm ve programlanmasında temel alınan Ģlem sırasını açıklamak çn br örnek verecek olursak; ġekl 7 de verlen T alanı etrafında değerler blnen 2 gözlem noktasından etk alanı çersnde kalan 7 tanes le kestrm yapılacak olsun. Kestrme ve kestrm varyansına lģkn programlama aģamaları Ģu sıra le elde edlmģtr. ġekl 7. Kestrm yapılacak T alanı ve kestrmde kullanılacak etk alanı çersnde kalan yed örneklenmģ nokta ) Elps çersne düģen bütün örnek noktaların brbrlerne olan uzaklıkları psagor bağıntısı yardımıyla bulunmuģtur. 2) Bütün örnek çftler arasındak mesafeye bağlı (g,g j ) değerler yarıvarogram aģamasında belrlenmģ yarıvarogram parametrelerne bağlı olarak bulunmuģ ve matrs formunda belrtlmģtr. Bulunan bu sonuçlar oluģturacağımız EĢtlk (9) sstemndek A matrsn fade etmektedr. 3) A x B boyutlarındak T alanı stenlen aralıklarla grdlere bölünür. 4x4 grdlere böldüğümüzü farz edersek bu alan üzernde 6 adet grd noktası olacaktır. Elde edlen bu grd noktalarının x, y ve z koordnatları bulunmuģtur. Her br grd blok çnde küçük br alanı temsl eder. Bu küçük blokların boyutları, bloğun boyutlarının stenlen grd sayısına bölünmek suretyle bulunablmektedr. Örneğmz çn bu boyutlar küçük bloğun X eksen boyu B/4, Y eksen boyu se A/4 olacaktır. Dolayısıyla küçük bloğun alanı A/4*B/4 olacaktır. 4) Elde edlen bu koordnatlarla elps çersne düģen örneklerden br tanes seçlerek aralarındak yarıvarogram değerler sırasıyla bulunmuģtur. EĢtlk (2) gereğ her x j noktası çn bulunan yarıvarogram değer, o noktanın temsl ettğ küçük bloğun alanıyla çarpılmıģtır. Bu Ģlem seçtğmz örnekte büyük blok alanımız çnde 6 nokta olduğuna ve elpsmz çnden de örnek seçtğmze göre 6x=6 kez yapılır. Br örnek çn bulunan bütün bu yarıvarogram değerlernn toplamı büyük bloğun alanına bölündüğü zaman blok le seçlen örnek arasındak ortalama yarıvarogram bulunur. Bulunan bu sonuç Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

12 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ oluģturacağımız EĢtlk (9) sstemndek C vektörünün. satırını temsl etmektedr. Kalan dğer yed nokta le aynı Ģlemler tekrarlanırsa C vektörünü elde ederz. 5) Elde edlen matrsn ters alınmıģ ve A - matrs olarak smlendrlmģtr. 6) EĢtlk (0) kullanımı le elde edlen A - matrsn ters le C vektörün çarpımı sonucu ağırlık katsayıları bulunmuģtur. 7) EĢtlk (3) gereğ, elde edlmģ ağırlık katsayıları le o ağırlık katsayısına karģılık gelen örnek değerler g çarpılmıģ ve çarpımlarının toplamları alınarak T* kestrm değer bulunmuģtur. 8) Yapılan kestrme lģkn hatayı yan blok varyansını bulmak çn blok çndek her br nokta le blok çndek dğer noktalar arasındak yarıvarogram değerler bulunmuģ ve toplamları alınmıģtır. Seçtğmz örnekte 6 adet grd noktası olduğuna göre her br nokta le gerye kalan 5 nokta arası yarıvarogram ve brde kendsyle olan yarıvarogramını bulacak olursak toplam 6x6 tane yarıvarogram değer elde edlr. EĢtlk (3) yardımıyla elde edlen toplam yarıvarogram değer 6x6 yan toplam yarıvarogram sayısına bölünmek suretyle bloğun kend çndek noktaların arasındak ortalama bulunmuģtur. yarıvarogramı 9) Daha sonra, EĢtlk (4) gereğ, br öncek elde ettğmz ağırlık katsayıları ( ) le C vektörü çarpılarak bloğun toplam ortalama yarıvarogramı bulunmuģtur. 0) Kestrm varyansı, 2 ok EĢtlk (6) yardımıyla hesaplanmıģtır. Buna göre toplam ortalama yarıvarogramdan bloğun kend çndek ortalama yarıvarogramı çıkarılmıģ sonuçta yapılan blok kestrmn varyansı bulunmuģtur Kestrmlerm Hartalanması ġekl 6 da koordnatları ve örneklenmģ noktaları verlen alanda g() tenör dağılım hartasını hazırlamak çn g() değģkenn yarıvarogram analzler yapılmıģ ve elde edlen deneysel g() yarıvarogram yapılarına karģılık teork yarıvarogramlardan br uydurulmaya çalıģılmıģ, en uygun modeln ġekl 3 te verlen küresel tp model olduğu ve parametrelernn se Kontrolsüz Etk (C 0 ) 0,5, EĢk Değer (C) 4, Etk Uzaklığı 20 m olduğu saptanmıģtır. Daha sonra ġekl 6 da verlen alan 20 mx0 m boyutlarında 60 adet grde bölünmüģ, grd noktalarının g*() değerler ordnary krgng le kestrm yapılarak hartalanmıģtır (ġekl 8) ġekl 8. Kestrm değerlernn dağılım hartası 464 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206

13 Bayram Al MERT, Ahmet DAĞ, Al Can ÖZDEMĠR 5. SONUÇLAR Bu çalıģma le örneklenmemģ noktalardak tenör değerlernn kestrm ordnary krgng nterpolasyon teknğ le değerlendrlmģtr. Krgng le yaptığımız kestrmn doğruluğu veya geçerllğ aģağıdak faktörlere bağlıdır; Yapılan kestrmlern doğruluğu teork yarıvarogram model ve model parametrelernn doğru seçm le paraleldr. Dolayısıyla teork yarıvarogram modeller ve parametreler y blnmel, en uygun model ve parametreler seçlerek ortalama yarıvarogram model fonksyonel olarak belrlenmeldr. Düzenl aralıklarla örneklenmģ verler daha temsl olacak ve deneysel yarıvarogramlardak gözlem çftlernn sayısını artıracağından, bölgesel değģkenn dağılımı hakkında daha fazla blg ednmek çn örneklemenn sstematk yapılaması terch edlmeldr. Kestrm yapılacak nokta veya blokların, örneklenmģ noktalara yakın olması veya etraflıca çevrlmģ olması beklenr. Dolayısıyla örneklenmģ noktalardan uzaklaģtıkça varyans artacağından krgng arama elps çne düģen örnek sayısının yeterl büyüklükte olması beklenr. Örnek sayısı arttıkça kestrmlern doğruluğu da artacaktır. Krgng nterpolasyon yöntem klask statstk yöntemlerden farklı olarak, örnekler arası değģkenlğ uzaklığa bağlı olarak ele almakta ve kestrmlere at hata varyansı üreteblmektedr. Dğer yandan, varogram fonksyonlarının modellenmesndek esneklk ve krgng denklem sstemlernn çözümündek Ģeffaflık (transparency) bu yöntemn üstünlükler olarak kaģımıza çıkmaktadır. 6. KAYNAKLAR. Krge, D.G., 95. A Statstcal Approach to Some Basc Mne aluaton Problems on The Wtwatersrand, J. of the Chem., Metal. and Mnng Soc. of South Afrca, vol. 52, p Matheron, G., 963. Prncples of Geostatstcs, Economc Geology, vol. 58, no. 8, p Olver, M.A., Webster, R., 204. A Tutoral Gude to Geostatstcs: Computng and Modellng arograms and Krgng. Catena, 3, p Webster, R., Olver, M.A., Geostatstcs for Envronmental Scentsts. John Wley & Sons. 5. Clark, I., Harper, W.., Practcal Geostatstcs 2000; Ecosse North Amerca Le. Columbus Oho, USA, p Cresse, N., 993. Statstcs for Spatal Data, Revsed Edton; John Wley & Sons Press, New York, USA, p Wackernagel, H., 200. Multvarate Geostatstcs, 3 nd Edton; Sprnger-erlag, Deutch, p Srvastava, R.M., 203. Geostatstcs: A Toolkt for Data Analyss, Spatal Predcton and Rsk Management n the Coal Industry, Internatonal Journal of Coal Geology, vol.2, p Dag, A., Mert, B.A., Evaluatng Thckness of Bauxte Depost Usng Indcator Geostatstcs and Fuzzy Estmaton, Resource Geology, 58(2), p Mert, B.A., Dag, A., 205. Development of a GIS-based Informaton System for Mnng Actvtes: Afsn-Elbstan Lgnte Surface Mne Case Study, Internatonal Journal of Ol, Gas and Coal Technology 23, 9(2), p Chles, J. P., Delfner, P., Geostatstcs: Modelng Spatal Uncertanty, vol John Wley & Sons. 2. Deutch, C.., Journal, A.G., 997. GSLIB: Geostatstcal Software Lbrary and User s Gude, 2 nd Edton; Oxford Unversty Press, New York, USA, p Cresse, N., 988. Spatal Predcton and Ordnary Krgng, Mathematcal Geology, 20(4), p Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık

14 Krgng Teknğ le Nokta ve Alansal Kestrm: Tenör Dağılımlarının Hartalanması Örneğ 466 Ç.Ü. Müh. Mm. Fak. Dergs, 3(2), Aralık 206