Cebir Notları Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 wwwygimustom, 6 Cbir Notlrı Must YAĞCI, ygimust@yhooom i hikysi Biz ltıl mtmtiği, trihtki buluuş sırsı gör ltıldığıı smıyorsuuz dğil mi? Bizlr hr kdr logritm drsii türvd ö görsk d, türvi ilk tohumlrı logritmd ö tılmıştır Aslıd logritmd dğil d doğl logritmd ö dsk dh doğru olur Zir doğl sıtıı vrdiklri, logritm diy bir olguu o içi zt biliiyor olduğu hükmü vrmk hiç d zor olms grk Bir d işi şu yöü vr: Hiçbir mtmtik kousu it dildiğid (vyhut kşdildiğid) oktsıd virgülü kdr hr yöüyl bulumuyor ki Mtmtiği hr dlı, glişirk, bir diğrii glişmsi vy ksiklrii gidrilmsi yrdımı oluyor Htt çoğu zm doğmsı bil! Doğl logritm oksiyouu hikysi d tm olrk böyldir Şimdi hp brbr 5 yıl ösi gidlim Doğl olı dğil m diğr tblrdki logritm oksiyouu bilidiği gülr Türv kvrmı yrım ymlk ols d bulumuş, trs türv işlmi yi itgrl kurlmy bşlmış Đtgrl Hsbı Tml Tormi bululı birkç y olmuş, o kdr! Bu tormi bilmy vrs öğrtlim, uut vrs d htırltlım: Đtgrl Hsbı Tml Tormi sürkli bir oksiyo v hrhgi bir syı olsu ( t ) i d kdr ol itgrli F() diylim F( ) ( t) dt Yi F(), oksiyouyl ksi rsıd v diky ol il doğrulrı rsıd kl birsl ldır y O zm F() türvlbilirdir v türvi () dir Doğl olrk, bu torml birlikt tüm sürkli oksiyolrı ksiyl rlrıd kl birsl llr mrk dilir olmuş Alyğıız birkç oksiyou itgrlii lbilmk yi trs türv oksiyouu bulmk ytmmiş, hpsii m hpsii istiyoruz dmişlr C itgrl sbiti olmk üzr, i itgrlii / + C, i itgrlii / + C, ü itgrlii 5 /5 + C olduğu sıl bulumuşs, oksiyouu d + itgrlii + C oksiyou olduğu bulumuş Fkt şu grçği d uutmmışlr: Formül + tk bir dğri içi işlmz, o d Niy ki, diylr olmuş Çükü, olurs lmsız + + olur diy vp vrmişlr Olr d tbi y, sıl düşümdik ki buu diy bir d hyılmışlr! Bu vpl ytimylr, ik olup bittiği dh çok k yormy bşlmışlr Çükü türvi yi / ol bir oksiyou olmdığı söylmiyor ki, sd ou bu ormüll bulmzsıız diyor Şu durumd, / oksiyou bir oksiyou türvi midir, türviys, hgi oksiyou türvidir sorusu gitgid ü kzmy bşlmış Đşt Tml Torm burd dvry girmiş: Evt, / oksiyou ( z) bir oksiyou türvidir Çükü > içi / oksiyou sürklidir! ( < içi d sürklidir m biz şimdilik bu ld çlışğız) Birz çlım: Đtgrl Hsbı Tml Tormi i, poziti rl syılrd tımlmış ol / oksiyou uygulmışlr F()

2 y (t) t Hi d kdr itgrl lklr y, olsu diyrk kollrı sıvmışlr Sor hrhgi bir > içi ( t) / t i d kdr ol itgrli bir isim vrmk grkmiş (Sorlrı hrksi l diy bilği bu oksiyo şimdilik MY() diylim) Dmk ki dmişlr, MY() oksiyouu türvi / Kolylıkl MY() şitliğii d görmüşlr Çükü olduğud bir l oluşmz, sd bir doğru prçsı oluşur MY () dt t MY() türvlbilir olduğud mutlk sürkli olmlıdır y, bu yüzd MY() dklmii bir çözümüü mutlk vr olduğu souu ulşmışlr Htt, MY() i türvi / olduğud MY() sürkli rtmktdır, dmk ki MY() dklmii bir v sd bir çözümü vrdır diybilmişlr! Bu çözüm şimdilik diylim Dmk ki MY( ) Şimdi bury dikkt: Hr > içi, MY() il MY() i türvlrii şit olduğuu göstrmkl yolu yrılmışlr Grçkt d d d MY ( ) MY ( ) d d Bu durumd MY() MY() i türvi olmlıdır O hld MY() MY() bir sbittir, bu sbiti, vrrk bulbiliriz Burd, MY() olduğud, sbit MY() çıkr Dmk ki MY() MY() MY(), yi MY() MY() + MY() So oktyı d şöyl koymuşlr: Görüldüğü üzr MY oksiyou, çrpmyı toplmy döüştürüyor O hld MY oksiyou bir logritm oksiyoudur Pki kç tbıd bir logritm oksiyoudur? MY( ) olduğud, tbıd bir logritm oksiyoudur, oldukç "doğl" bir syıdır; m rstgl bir sçimdir dışıd hrhgi bir bşk syı d sçilbilirdi Doğl olrk, d sorki ilk doğl syı sçilmiş Vrlığıı v tkliğii kıtldığımız tbıdki bu logritm oksiyou, o gü bu güdür, doğl logritm msı gl logrithm turl klimlrii bşhrlrii y y gtirrk l oksiyou driz, syısıı d bu hikyi bşkhrmlrıd biri ol Eulr i ısı il göstririz Poziti rl syılr içi tımldığımız bu l oksiyou, R + kümsid R y gid bir şlmdir yi birbir v ört bir oksiyodur Dolyısıyl trs oksiyou vrdır O d bir isim vrlim l oksiyouu trs oksiyou (bir dh dğiştirmmk üzr) p diylim Dmk ki hr > içi p(l ) v hr içi l(p ) Ayrı l olduğud, p olur v l olduğud, p olur p, R d R + y gid bir şlmdir l oksiyouu trsi, toplmyı çrpmy döüştürür Yi hrhgi v y rl syılrı içi p( + y) p p y Ayrı, l oksiyouu çrpmyı toplmy döüştürdüğüü kıtldığımızd, hr doğl syısı içi v hr > içi, l( ) l çıkr, rdıd hr q ksirli syısı içi l( q ) q l çıkr Dmk ki p(q) (p ) q > v hrhgi bir y rl syısı içi y syısıı p(y l ) olrk tımlylım Eğr y, ksirli bir syıys, y kvrmı, dh ö lisd v ortokuld bili y kvrmıyl çkışır Dmk ki, p(y) p(y ) p(y l ) y Kyk: Pro Dr Ali NESĐN

3 Pki, i kç olduğuu ( zıd yklşık kç olduğuu) sıl bulmuşlr? Buu d izh dğiz m ö bzı tımlr vrmmiz grkk Bşlylım: v birr syı olmk üzr ( ) ormudki srilr güç srilri dir Burd lr birr ktsyıdır Diğr srilrd rklı olrk, güç srilrii i bir oksiyou olduğu dikkt ttiiz mi? Yi diğrlrid rklı olrk, güç srilri i bzı dğrlri içi ykısr, bzılrı içi ırksr Şimdi oktsıdki ykısklığı ilyğiz Diğr yrlrd ykısk mı ırksk mı olduklrı burd işimiz yrmyk, olrı mrk dlr srilr drs otu bkbilirlr) içi ( ) ( ) olduğud, bu dğr içi güç srilri ykısktır Güç srilrii türvii vy itgrlii bulbilmk içi ill trimlrii çık hlii yzmy grk yoktur Dirkt olrk gl trimi türvii vy itgrlii lsk d olur Bkı, görksiiz: ( ) ' ''( ) '''( ) + + ( ) '( ) ( ) ( ) '' ( )( ) ( ) ''' dğrlrii sırsıyl yrlri yzrsız çık hllriyl yı olduklrıı görksiiz Bzr şkild + ( ) ( ) d C+ + Şimdi Tylor u güç srilriyl oyrk bulduğu şh srisii göstrğiz oksiyou ( ) kurlıyl blirlmiş bir güç srisi olsu ' ' '' '' 5 ''' + + 5! + ''' Bzr şkild ( 5 ) 5 Bu durumd olduğud 5 ( ) '' '''( ) ''''( ) ( ) ( )!

4 ! ( ) ( ) ''( ) ( ) + '( )( ) + +! Eğr olurs Tylor srisi Mluri srisi dir Yi bir () oksiyou içi Mlouri srisi şu toplml hsplır: ( ) ( ) ( )! ''( ) '''( ) !! Şimdi ' ( ) içi Mlouri srisii bullım Yi içi Tylor srisi bullım dmk istiyoruz v ) ( ( ) olduğuu bi- liyoruz Bu yüzd Dmk ki! ( ) ( ) ( )!! miş!!! 5! Pki içi dğil d içi Tylor srisi yzmk dmk b? B d bilmiyorum Bi çlım bklım, dmkmiş görlim! ( ) ( )! ( ) !! E, yi oldu şimdi? Bir şy olduğu yok! Aslıd dmikiyl yı şyi bulduk Dikkt drsiz şitliği sğ yıd hr trimd vr Eşitliği hr iki yıı y böllim bklım ( ) !! yri t yzlım t + t+ t + t +!! Gördüüz mü, yıymış! Nys, rtık dğrii kç şit olduğuu bulbiliriz t y yzlım: ,78 6 Şimdi bizi bir bşk ilgiç şitliğ götürk iki güzl problm dh çözlim oksiyou içi Tylor srisi si bullım ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si os si os si ( ) ( ) si! ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ''' !! !! 5! 7! ( ) si + +!! 5! 7! (+ )! Hm rdıd içi Tylor srisi bullım os ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os ( ) os oksiyou si os si os ( ) ( )! ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ''' !! !! 6! 6 os + +!! 6! ( ) ( )!

5 Şimdi rkız yslı, syrdi: p i i os + isi olduğuu kıtlyğız !!!! 5! 6! 6 ( ) os + + ( )!!! 6! ( ) si + + (+ )!! 5! 7! olduğuu dh ö bulmuştuk O hld ( i) i! i i+ + i i+!!! 5! 6! 7! i + +!! 6!! 5! 7! os + i si Bu syd, bş ülü mtmtik sbitii brıdır şu muhtşm şitliği yzbiliriz: iπ + 5

6 wwwygimustom, 6 Cbir Notlrı Must YAĞCI, ygimust@yhooom i hikysi Biz ltıl mtmtiği, trihtki buluuş sırsı gör ltıldığıı smıyorsuuz dğil mi? Bizlr hr kdr logritm drsii türvd ö görsk d, türvi ilk tohumlrı logritmd ö tılmıştır Aslıd logritmd dğil d doğl logritmd ö dsk dh doğru olur Zir doğl sıtıı vrdiklri, logritm diy bir olguu o içi zt biliiyor olduğu hükmü vrmk hiç d zor olms grk Bir d işi şu yöü vr: Hiçbir mtmtik kousu it dildiğid (vyhut kşdildiğid) oktsıd virgülü kdr hr yöüyl bulumuyor ki Mtmtiği hr dlı, glişirk, bir diğrii glişmsi vy ksiklrii gidrilmsi yrdımı oluyor Htt çoğu zm doğmsı bil! Doğl logritm oksiyouu hikysi d tm olrk böyldir Şimdi hp brbr 5 yıl ösi gidlim Doğl olı dğil m diğr tblrdki logritm oksiyouu bilidiği gülr Türv kvrmı yrım ymlk ols d bulumuş, trs türv işlmi yi itgrl kurlmy bşlmış Đtgrl Hsbı Tml Tormi bululı birkç y olmuş, o kdr! Bu tormi bilmy vrs öğrtlim, uut vrs d htırltlım: Đtgrl Hsbı Tml Tormi sürkli bir oksiyo v hrhgi bir syı olsu ( t ) i d kdr ol itgrli F() diylim F( ) ( t) dt Yi F(), oksiyouyl ksi rsıd v diky ol il doğrulrı rsıd kl birsl ldır y O zm F() türvlbilirdir v türvi () dir Doğl olrk, bu torml birlikt tüm sürkli oksiyolrı ksiyl rlrıd kl birsl llr mrk dilir olmuş Alyğıız birkç oksiyou itgrlii lbilmk yi trs türv oksiyouu bulmk ytmmiş, hpsii m hpsii istiyoruz dmişlr C itgrl sbiti olmk üzr, i itgrlii / + C, i itgrlii / + C, ü itgrlii 5 /5 + C olduğu sıl bulumuşs, oksiyouu d + itgrlii + C oksiyou olduğu bulumuş Fkt şu grçği d uutmmışlr: Formül + tk bir dğri içi işlmz, o d Niy ki, diylr olmuş Çükü, olurs lmsız + + olur diy vp vrmişlr Olr d tbi y, sıl düşümdik ki buu diy bir d hyılmışlr! Bu vpl ytimylr, ik olup bittiği dh çok k yormy bşlmışlr Çükü türvi yi / ol bir oksiyou olmdığı söylmiyor ki, sd ou bu ormüll bulmzsıız diyor Şu durumd, / oksiyou bir oksiyou türvi midir, türviys, hgi oksiyou türvidir sorusu gitgid ü kzmy bşlmış Đşt Tml Torm burd dvry girmiş: Evt, / oksiyou ( z) bir oksiyou türvidir Çükü > içi / oksiyou sürklidir! ( < içi d sürklidir m biz şimdilik bu ld çlışğız) Birz çlım: Đtgrl Hsbı Tml Tormi i, poziti rl syılrd tımlmış ol / oksiyou uygulmışlr F()

7 y (t) t Hi d kdr itgrl lklr y, olsu diyrk kollrı sıvmışlr Sor hrhgi bir > içi ( t) / t i d kdr ol itgrli bir isim vrmk grkmiş (Sorlrı hrksi l diy bilği bu oksiyo şimdilik MY() diylim) Dmk ki dmişlr, MY() oksiyouu türvi / Kolylıkl MY() şitliğii d görmüşlr Çükü olduğud bir l oluşmz, sd bir doğru prçsı oluşur MY () dt t MY() türvlbilir olduğud mutlk sürkli olmlıdır y, bu yüzd MY() dklmii bir çözümüü mutlk vr olduğu souu ulşmışlr Htt, MY() i türvi / olduğud MY() sürkli rtmktdır, dmk ki MY() dklmii bir v sd bir çözümü vrdır diybilmişlr! Bu çözüm şimdilik diylim Dmk ki MY( ) Şimdi bury dikkt: Hr > içi, MY() il MY() i türvlrii şit olduğuu göstrmkl yolu yrılmışlr Grçkt d d d MY ( ) MY ( ) d d Bu durumd MY() MY() i türvi olmlıdır O hld MY() MY() bir sbittir, bu sbiti, vrrk bulbiliriz Burd, MY() olduğud, sbit MY() çıkr Dmk ki MY() MY() MY(), yi MY() MY() + MY() So oktyı d şöyl koymuşlr: Görüldüğü üzr MY oksiyou, çrpmyı toplmy döüştürüyor O hld MY oksiyou bir logritm oksiyoudur Pki kç tbıd bir logritm oksiyoudur? MY( ) olduğud, tbıd bir logritm oksiyoudur, oldukç "doğl" bir syıdır; m rstgl bir sçimdir dışıd hrhgi bir bşk syı d sçilbilirdi Doğl olrk, d sorki ilk doğl syı sçilmiş Vrlığıı v tkliğii kıtldığımız tbıdki bu logritm oksiyou, o gü bu güdür, doğl logritm msı gl logrithm turl klimlrii bşhrlrii y y gtirrk l oksiyou driz, syısıı d bu hikyi bşkhrmlrıd biri ol Eulr i ısı il göstririz Poziti rl syılr içi tımldığımız bu l oksiyou, R + kümsid R y gid bir şlmdir yi birbir v ört bir oksiyodur Dolyısıyl trs oksiyou vrdır O d bir isim vrlim l oksiyouu trs oksiyou (bir dh dğiştirmmk üzr) p diylim Dmk ki hr > içi p(l ) v hr içi l(p ) Ayrı l olduğud, p olur v l olduğud, p olur p, R d R + y gid bir şlmdir l oksiyouu trsi, toplmyı çrpmy döüştürür Yi hrhgi v y rl syılrı içi p( + y) p p y Ayrı, l oksiyouu çrpmyı toplmy döüştürdüğüü kıtldığımızd, hr doğl syısı içi v hr > içi, l( ) l çıkr, rdıd hr q ksirli syısı içi l( q ) q l çıkr Dmk ki p(q) (p ) q > v hrhgi bir y rl syısı içi y syısıı p(y l ) olrk tımlylım Eğr y, ksirli bir syıys, y kvrmı, dh ö lisd v ortokuld bili y kvrmıyl çkışır Dmk ki, p(y) p(y ) p(y l ) y Kyk: Pro Dr Ali NESĐN

8 Pki, i kç olduğuu ( zıd yklşık kç olduğuu) sıl bulmuşlr? Buu d izh dğiz m ö bzı tımlr vrmmiz grkk Bşlylım: v birr syı olmk üzr ( ) ormudki srilr güç srilri dir Burd lr birr ktsyıdır Diğr srilrd rklı olrk, güç srilrii i bir oksiyou olduğu dikkt ttiiz mi? Yi diğrlrid rklı olrk, güç srilri i bzı dğrlri içi ykısr, bzılrı içi ırksr Şimdi oktsıdki ykısklığı ilyğiz Diğr yrlrd ykısk mı ırksk mı olduklrı burd işimiz yrmyk, olrı mrk dlr srilr drs otu bkbilirlr) içi ( ) ( ) olduğud, bu dğr içi güç srilri ykısktır Güç srilrii türvii vy itgrlii bulbilmk içi ill trimlrii çık hlii yzmy grk yoktur Dirkt olrk gl trimi türvii vy itgrlii lsk d olur Bkı, görksiiz: ( ) ' ''( ) '''( ) + + ( ) '( ) ( ) ( ) '' ( )( ) ( ) ''' dğrlrii sırsıyl yrlri yzrsız çık hllriyl yı olduklrıı görksiiz Bzr şkild + ( ) ( ) d C+ + Şimdi Tylor u güç srilriyl oyrk bulduğu şh srisii göstrğiz oksiyou ( ) kurlıyl blirlmiş bir güç srisi olsu ' ' '' '' 5 ''' + + 5! + ''' Bzr şkild ( 5 ) 5 Bu durumd olduğud 5 ( ) '' '''( ) ''''( ) ( ) ( )!

9 ! ( ) ( ) ''( ) ( ) + '( )( ) + +! Eğr olurs Tylor srisi Mluri srisi dir Yi bir () oksiyou içi Mlouri srisi şu toplml hsplır: ( ) ( ) ( )! ''( ) '''( ) !! Şimdi ' ( ) içi Mlouri srisii bullım Yi içi Tylor srisi bullım dmk istiyoruz v ) ( ( ) olduğuu bi- liyoruz Bu yüzd Dmk ki! ( ) ( ) ( )!! miş!!! 5! Pki içi dğil d içi Tylor srisi yzmk dmk b? B d bilmiyorum Bi çlım bklım, dmkmiş görlim! ( ) ( )! ( ) !! E, yi oldu şimdi? Bir şy olduğu yok! Aslıd dmikiyl yı şyi bulduk Dikkt drsiz şitliği sğ yıd hr trimd vr Eşitliği hr iki yıı y böllim bklım ( ) !! yri t yzlım t + t+ t + t +!! Gördüüz mü, yıymış! Nys, rtık dğrii kç şit olduğuu bulbiliriz t y yzlım: ,78 6 Şimdi bizi bir bşk ilgiç şitliğ götürk iki güzl problm dh çözlim oksiyou içi Tylor srisi si bullım ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si os si os si ( ) ( ) si! ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ''' !! !! 5! 7! ( ) si + +!! 5! 7! (+ )! Hm rdıd içi Tylor srisi bullım os ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os ( ) os oksiyou si os si os ( ) ( )! ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ''' !! !! 6! 6 os + +!! 6! ( ) ( )!

10 Şimdi rkız yslı, syrdi: p i i os + isi olduğuu kıtlyğız !!!! 5! 6! 6 ( ) os + + ( )!!! 6! ( ) si + + (+ )!! 5! 7! olduğuu dh ö bulmuştuk O hld ( i) i! i i+ + i i+!!! 5! 6! 7! i + +!! 6!! 5! 7! os + i si Bu syd, bş ülü mtmtik sbitii brıdır şu muhtşm şitliği yzbiliriz: iπ + 5