Ç A L I Ş M A N O T L A R I. Sinyaller & Sistemler Fourier Serisi. Sinyallerin Zaman Frekans Analizleri : FOURIER TEORİSİ

Transkript

1 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Siyllri Zm Frks Alizlri : FOURIER EORİSİ Bu bölümd iibr işr işlm sigl procssig kvrm v yömlri ğilrk işrlri liz my çlışcğız. Özllikl bir işri rks bğlı dğişimii gösr lizi çok dh ömlidir. FOURIER SERİSİ Fourir srisi, Frsız mmikçi v izikçi J Bpis Josph Fourir i 8 li yıllrd 8 ory koyduğu Fourir orii priyodik işrlr kısmıyl ilgili ol ilk bölümüü oluşurmkdır. Bu mçl, priyodik işr olrk durğ işrlr siory sigls üzrid durulckır. Aşğıd Fourir srisi ipik ol gl bir priyodik işr vrilmişir. Vril işri, x Şkil.Priyodik işr sosuz rjili işr: Fourir srisi x x priyodiklik koşuluu sğldığıı görmkyiz. rigoomrik Fourir Srisi il Priyodik İşrlri Gösrimi { ; b cos ω, si ω, b cosω, siω, b cos ω,, si ω,, b si ω, } cos ω, {, cosω, cos ω,, cos ω, ; b siω, b si ω,, b si ω, } cos ω b si ω Ç A L I Ş M A N O L A R I 3

2 Aşkı mirkol Fourir Srisi Formüllri Bulu bğıılr icsid Fourir srisi i dklmlri oprlrsk şğıdki idlr yzılbilckir. Fourir srisi durumu göz öü lıırs b d b θ Alri gösrim cos ω θ b si ω θ ; ; ω cos ω d si ω d cos ω θ b si ω θ C C C b C b C C cos ω θ cosθ siθ C Fourir Srisii Spkrum Gösrimi ω Ç A L I Ş M A N O L A R I ω ω 3ω 4ω Şkil. C ω üzlmi : yrık Fourir spkrumu ω 3

3 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Fourir Srisii Vrlığı v irichl Koşullrı Fourir srisii mvcudiyi v vrlığı irichl koşullrı il ımlmkdır. İki ürlü irichl koşulu vrdır ;. Zyı irichl koşulu Bu koşuld Fourir srisii vrlığı s dilmkdir :. Kuvvli irichl koşulu d < Eğr oksiyouu bir priyodluk sürç solu syıd mksimum v miumum oksı vr v ğr yı zmd yı priyod içid solu syıd v hr biri solu sürksiz discoiuiy, picwis oksiyolr oksı vrs, kuvvli irichl koşulu olduğu kbul dilir. Çok Bili İşrlri Fourir Srisiyl Gösrimi. Kr dlg 4A. rb dizisi Aτ si[ A si τ Exposiyl gösrim j j Aτ si c τ ] cos d τ Ç A L I Ş M A N O L A R I A A 3

4 Aşkı mirkol 3. Üçg dlg A 8A si si 4. sr dişi dlg A A si A Şkil 3.Çşili priyodik işrlri Fourir srisi Gösrimlri Örk 7 7 cos θ 3cos θ 5cos 3 6 Çözüm θ3 İşrii priyodikliğii rşırı. Vril işr 7cos ω θ 3cos ω θ 5cos ω olrk 3 θ3 7 düşüüldüğüd rkslrı ω, ω, ω3 olduğu görülckir. İşri 3 6 priyodik olmsı, hrmoiği hriç içi hrmoiklrdki dğişkii ksyılrı 7 durumudki rkslrı yi,, orlrıı rsyol bir syı olmsı il mümküdür. 3 6 Bu bkrsk, v ld dil v rsyol syılr olduğud, vril işri priyodik olduğu görülür. 4 7 Buu rdıd, ml rksı olduğuu hsplmsı grkir. Buu içi vril zm i ksyılr 7 3, 4 v olrk düşüüldüğüd üm hrmoiklri kpsy ml rksı ω 6 olduğuu görmkyiz. ml rks v 7. hrmoiklrl gösrildiğid vril işri Ç A L I Ş M A N O L A R I üçücü, dördücü v ydici hrmoiklrd oluşmkdır. ml rks 6 olduğu gör ml priyod, ω 6 33

5 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Örk Aşğıd dğişimi vril işrii Fourir srisi çı. Çözüm 3 3 Şkil 4.Priodik bir işri Fourir srisi Öclikl Fourir srisi çılm koşulu ol işrii ol priodik olm koşuluu şkild il sğldığıı görmkyiz. İşri ml priodu olduğud, priodik olup, Fourir srisi çılbilcği görülmkdir. Bu oylmı rdıd Fourir srisii,, b v θ prmrlrii bulumsı şmsı gçilbilir. h öc yukrıd hlrıyl l lı örği bu kz Fourir srisii ormülsyolrı kullılrk krr çözülckir. Eğr vril şkil Fourir srisi il id dilcks priodik olmsı düşüülcğid, vril işri bu ömli koşulu sğldığıı dğişimid d görmkyiz. Şimdi bu yi durum gör xposiyl bir oksiyou gösr işrii Fourir krşılığıı bulmmız grkiyor. Buu içi Fourir srisii gösr gl idsidki cos ω θ b si ω θ, v b ksyılrıı ilgili dklmlrid bulmmız grkiyor. Ç A L I Ş M A N O L A R I cos ω b si ω öclikl, 34

6 Aşkı mirkol idsid, ω bu gör, yzılır, burd,.54 cos b si d d Srii orlm vy d.c. dğri olrk bili, oksiyo üs yrı düzlmd olduğu içi buludu. Eğr oksiyo üs yrı düzlmd olmsydı olurdu. cos ω d cos d bu bir kısmi igrsyo idsidir. udv uv vdu çözüm içi, u, dv cos d du d, v si u dv uv v du cos d Ç A L I Ş M A N O L A R I ğr, 35

7 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi p, q p p p q cos q d.54 6 yı şkild cos d p cos q q si q b çözülürs, b si ω d kısmi igrsyo grkckir. b u, si d dv si d du d, v cos b u dv uv v du ğr, p, q b si d p si q d p p q psi q qsi q si d burd d Ç A L I Ş M A N O L A R I souç bulu ksyılr gör Fourir srisii idsi,.54 cos 4si, 6 36

8 Aşkı mirkol C C C.54 C cos ω θ b b θ Örk.54 C gibi kompk orm döüşürürsk, 64 6 cos ω ω Şkil 5.Priodik bir işri Fourir srisidki Frks gliklri θ Şkil 6.Priodik bir işri Fourir srisidki Fz - Frks görüüsü Aşğıd vril kr dlgyyı Fourir srisi çıız. 3 Ç A L I Ş M A N O L A R I Şkil 7.Priodik drb işrii Fourir srisi 3 ω 37

9 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Çözüm Öclikl Fourir srisi çılm koşulu ol işrii ol priodiklik koşuluu şkild yi, il sğldığıı görmkyiz. İşr ml priodlu olup, Fourir srisi çılbilcği görülmkdir. Böylc Fourir srisii,, b v θ prmrlri hsplbilir. Şkild d görüldüğü gibi işr,, rlığıd ımlıdır. ω. Fourir srisii gösr gl idsidki cos ω θ b si ω θ, v b ksyılrıı ilgili dklmlrid bulmmız grkiyor. cos ω b si ω ilk d sbi iğimiz dğrlr, - idsid yri koulurs, cos olur. Burd, b si [ ] d d d Ç A L I Ş M A N O L A R I 38

10 Aşkı mirkol 39 Srii orlm vy d.c. dğri olrk bili, ğr oksiyo üs yrı düzlmd olmsydı olurdu. si si cos cos cos d d d ω sic si si si si 3,7,,5,,5,9,3, çi syı yı şkild b çözülürs, cos cos cos si si d d ω b Z çi oksiyo özlliğid b olcğı çıkır. Ö yd z idsi is, çi oksiyo olduğud rcg b rcg, burd muhml bir kdrlık z çısı görüüyor. 3,7,,5, k, çi θ Souç bulu ksyılr gör Fourir srisii idsi, cos cos9 9 cos7 7 cos5 5 cos3 3 cos Eğr cos cos ± x x Ç A L I Ş M A N O L A R I

11 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi özlliği kullılırs, sri şğıdki gibi yzılır. cos cos3 cos5 cos cos Bu idyi, C C cos ω θ gibi kompk orm döüşürürsk, C C b b θ θ lmı srii bilşlri rimlri rsıd z rkı yokur, yi sıırdır. olysıyl z spkrumlrı grk yokur. Ack spkrumd z rkıı olmsı, bilşlri zlrı yı olm grçğii dğişirmz. Çükü cos x cos x ± olduğud bilşlr yı zd olcklrdır. Bu durumd Fourir spkrumu, si cos ω θ si cos[ ], k.5 C 5 Ç A L I Ş M A N O L A R I ω 3 Şkil 8.Priodik bir işri Fourir srisidki Frks gliklri 4

12 Aşkı mirkol jω j ω d EXPONENSİYEL FOURİER SERİSİ Exposiyl ormüllr Exposiyl Fourir Srisid Glik v Fz Spkrumu ğılımı Rl priyodik işrii klsik v xposiyl gösrimdki glik spkrumlrıı şğıdki gösrimlriy göz öü llım. ω Şkil 9. Fourir srisid sürkli işr, b yrık rks spkrumu Şkil. c Fourir srisid glik spkrumu jθ j ω Ç A L I Ş M A N O L A R I Şkil.Priyodik drb işrii z spkrumu C c b ω ω ω 4

13 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Örk Aşğıd glik v z bilgilri Fourir srisiyl vrilmiş işri rşırı ω ω Şkil. v Spkrumlrı Çözüm Bu işri xposiyl Fourir srisi çmk içi grk prmrlri hsplmmız grkiyor. İlk olrk şkild yrrlrk ml rksı ω 3 rds olduğuu,,,3 hrmoiklri içi çıkç görmkyiz. Buul birlik, C v spkrumlrı sırsıyl şğıdki gibi ld dilir., 3,, 4 3 C C 4, C 6, C 4, C3 4 Bu gör 6 C spkrumu şğıdki gibi olckır. C ω Şkil 3. C Spkrumu Fz spkrumud is θ, θ, θ3 6 4 θ ω Ç A L I Ş M A N O L A R I 4

14 Aşkı mirkol bilgilrii ld mkyiz. Şimdi xposiyl ourir srisi,,, 3 hrmoiklri içi şğıdki gibi oluşurulbilir. 3 j ω 3 jθ 3 j jθ 3 j 3 3 j j ω jθ j θ 3 j θ j jθ j 3 jθ j 3 jθ j 3 jθ j 3 jθ 3 j j j j j 9 4 j 6 6 j j j j θ 6 j 3 j 6 3 j 9 3 j 9 j6 4 j j3 j 6 j j j3 j3 j 6 j6 j9 j j3 j3 j 6 j6 j9 j cos3 cos6 cos cos3 4cos6 cos9 6 4 jα jα cosα 4 6cos3 cos6 4cos9 6 4 Örk Aşğıd vril kr dlgy ilişki Fourir srisii xposiyl ormd lizii ypı. Ç A L I Ş M A N O L A R I 3 3 Şkil 4.Priodik drb işrii Fourir srisi 43

15 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi 44 Çözüm Şkild d görüldüğü gibi işr,, rlığıd ımlı v gişliğidki dörg drblrd oluş priyodik işri priyodu [, ], v, ω. Sri priodik olduğud, Fourir srisi krşılığı olrk,, ω jω d d j jω Priod,,, olrk düşüülürs, ω [ ] [ ] [ ] [ ] si j j j j j j d d j j j j j j j j j j j jω si sic si si si si si si c içi, sic olduğud Ç A L I Ş M A N O L A R I

16 Aşkı mirkol si c si c,6,,4,8, içi si si c,5,9,3,7, içi si si c 3,7,,5,9, si si c çi,,5,9,3, 3,7,,5, si si, si, si, si, si, si, si si si si si si Ç A L I Ş M A N O L A R I ω Şkil 5.Priodik bir işri Fourir srisidki Frks gliklri 45

17 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi SÜREKLİ FOURIER SERİSİNİN ÖZELLİKLERİ vy Lirlik x x d j ω j ω j ω j ω x X X x d x v y priodlu oksiyolr v ksyılrı is, FS x FS b y bu oksiyolrı lir olmsı içi çıkışı z, z c x c y olmsı grkir. FS c x c y c c b v b d bulrı ilgili Fourir sri Fourir srisi bu özlliği sğldığı içi lir bir sri olduğu düşüülbilir. Zm ölm im shiig FS x X x jω jω jω jω x FS jω x Ç A L I Ş M A N O L A R I FS j ω x X 46

18 Aşkı mirkol Zm rslm im rvrsl FS x X x FS x FS x jω j ω jω Zm ölçklm im sclig x FS x α jω α α j ω Zm Ölçklm Özlliği FS X, Z x Frks Ölm Özlliği : Modülsyo Özlliği FS j ω x X Fourir Srisi v Güç Ç A L I Ş M A N O L A R I cos ω θ b si ω θ 47

19 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi C C cos ω θ is buu Prsvl krşılığı P P v C C C C v C C cos ω θ cos ω θ cos ω θ b si ω θ ypısıd is buu Prsvl krşılığı d şğıdki gibi olckır. P v d 3 Eğr Fourir srisi P ω j v Örk d b Hrmoik isorsiyou Hsplmsı Giriş işri x cosω olrk vril bir işr çıkışıd ± 8 vol sviysid kırpılırs oluş bozulmuş işrki hrmoiklri sviysii hsplyı B.P. Lhi, Sigl Procssig d Lir Sysms, s.3. Ç A L I Ş M A N O L A R I Çözüm x cosω işri şğıdki gibidir. b 48

20 Aşkı mirkol x y d 8 y.5.5 Şkil 6.isorsiyolu dlg : kırpılmış Görüldüğü gibi kırpıl kısım y d ksik çizgili y d y d x y cosω 8 Bu gör y d şğıdki gibi olckır. cos ω 8.4 y d.4 ω cos işri cos ω 8 Şkil 7.isorsiyolu işri kırpılmış prçlrı Bu gör çıkışki y d şğıdki gibi düzlir. cosω 8.4 y d cosω Böyl bir ım ship y d işrii mvcu yömlrd hrhgi biri kullılrk Fourir srisi çılmsı mümküdür.bu oksiyou Fourir srisi içi grkli işlmlr ypıldığıd y d çi oksiyo olduğu içi b v C olur. Bu durumd Fourir srisi, C ksyılrıı içr Fourir srisi şğıdki gibi ld dilir. Ç A L I Ş M A N O L A R I y d C cos ω 49

21 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi Burd C si.6435 si si.6435 C burd sri,.4 cosω.733cos 3ω.3cos ω y d 5 olrk hsplır. P P yd yd y d y d d d cosω 8 d Giriş işrii x cosω rjisi P 5 Burd bozulmy sbp ol hrmoiklr i oplm rjisi hsplır, op op P P yd.865 %.73 5 k çi Bulu hrmoiklr i oplm rjidki hr bir hrmoiği kdr pyıı olduğuu hsplmk içi d, P P bğıısıd yrrlılır. Burd birici v üçücü hrmoiklr i bozulmyı hsplylım. Birici hrmoik içi, P %.8 5 op Ç A L I Ş M A N O L A R I üçücü hrmoik içi, 5

22 Aşkı mirkol P %.57 5 S LINEER ZAMANAN BAĞIMSIZ SÜREKLİ SİSEMLERİN PERİYOİK GİRİŞLERE CEVABI y h * h τ dτ h * S h S oksiyouu özlliğid dolyı burd s sbi durumuddır. İd birz düzlirs, y H s s h τ h τ S S τ d τ d τ τ Burd bhsiğimiz gibi s i dğrlri içi H s rsr oksiyou sbi rl vy komplks gibi dvrmkdır. Bu yüzd H s oksiyou vkörl yklşıml, özdğr igvlu olrk düşüülbilir. y H s S Bu yzımd s i komplks dğişk dğri içi H s rsr oksiyou olrk ılmkdır. Bu durumd giriş işri olrk i S lımsı durumud rsr oksiyou, H s y F s Ç A L I Ş M A N O L A R I olckır. Bu yzım ylızc LIC sismlr içi gçrli olckır, lir olmy sismlr içi gçrli dğildir. Bu durumu Fourir srisi uyrlrsk, jω S τ dτ 5

23 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi S Biliyoruz ki, giriş F s içi çıkış, y H s S S idi. Bu yklşımı rks gör yzrsk giriş yri bu uygu olrk d s ω H s çıkış yri d H jω j lıcğıd jω H jω g i r iş ç ı k ış jω jω ld dilir. ikk dilirs girişki oksiyou, çıkış d y ld dilmişir. Hırlcğı gibi bu m dğr oksiyolrıı ömli özlliği, v d vjıydı. Bu gör, jω jω H jω g i r iş c v p olckır. Böylc priodik bir giriş jω, ω içi LIC sism cvbı olrk jω y H jω ld dilckir. iğr bir dyişl bir LI sismi Fourir srisi krkridki bir giriş, vrdiği cvp ld dilmişir. H jω i sism rsr oksiyou olduğu düşüülürs, priodik LIC sism içi y H jω jω Bulrı soucud grk ld dil jω y H jω grks y H jω jω Ç A L I Ş M A N O L A R I jω 5

24 Aşkı mirkol idlrid girişi siusoid ol sismi çıkışı vy rsr oksiyou d siusoid özllik ld dilmişir. Ack dikk dilirs, çıkış girişl yı rks olmsı rğm, rklı glik v zd oluşbilmkdir. Bu girişi siusoid ol sismlri rks cvplrıı ömli özlliğidir. Örk Aşğıd girişi vril LIC sismi 3 3 rsr oksiyou Çözüm Şkil 8.Priodik bir işri Fourir srisi s H s is, sismi cvbıı hsplyıız. s s 3 Vril işrii Fourir srisi çılımı dh öc ypılmışı..54 v 6 8 b.54 6 jb.54 6 j j4 Ayrıc 8 j.54 6 j4 j4.54 j4 j4 v ω idi. Bulrı ışığıd sismi cvbı s H s is s s 3 H s jω jω j4 6 Ç A L I Ş M A N O L A R I jω jω 53

25 Siyllr & Sismlr Fourir Srisi y y y.54 j4.54 H jω j jω.54 j4 jω j 3 j j H j.54 j4.54 j j j j j j4 4 3 j j j4 j j4 4 3 j4 4 4 j.54 j j j4 4 4 j 3 Ç A L I Ş M A N O L A R I 3 54