BULANIK c-ortalamalar KÜMELEME ANALİZİ VE UYGULAMALARI

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) BULANIK c-ortalamalar KÜMELEME ANALİZİ VE UYGULAMALARI Gözde ULUTAGAY İstatstk Anablm Dalı Blm Dalı Kodu: Sunuş Tarh:..004 Tez Danışmanı: Doç. Dr. Şanslı ŞENOL Bornova-İZMİR

2

3 3 Sayın Gözde ULUTAGAY tarafından YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak sunulan Bulanık c -Ortalamalar Kümeleme Analz ve Uygulamaları adlı bu çalışma, Lsanüstü Eğtm ve Öğretm Yönetmelğ nn nc madde (c) ve (d) bentler ve Ensttü yönergesnn lgl hükümler dkkate alınarak tarafımızdan değerlendrlmş olup yapılan sözlü savunma sınavında aday oy... le başarılı bulunmuştur. Bu nedenle, Gözde ULUTAGAY ın sunduğu metnn yüksek lsans tez olarak kabulüne oy... le karar verlmştr. Aralık 004 Jür Başkanı ;...mza... Üye ;...mza... Üye ;...mza... Bu tezn kabulü, Fen Blmler Ensttüsü Yönetm Kurulu nun.../.../... gün ve sayılı kararı le onaylanmıştır. Dr. Süleyman BORUZANLI Prof.Dr.... Ensttü Sekreter Ensttü Müdürü

4 4

5 5 ÖZET BULANIK c-ortalamalar KÜMELEME ANALİZİ VE UYGULAMALARI ULUTAGAY, Gözde Yüksek Lsans tez, İstatstk Bölümü Tez Yürütücüsü: Doç. Dr. Şanslı ŞENOL Aralık 004, 5 sayfa Bu çalışmada bulanık kümeleme le lgl deneymler çn kolaylık sağlayacak vsual-nteraktf şlem sstem oluşturulmuştur. Bazı sık kullanılan bulanık kümeleme, küme sayısı belrleme ve başlangıç kümelern seçlmes yöntemlernn algortmaları programlanarak br sstem halnde entegre edlmştr. Menüler aracılığı le gerekl yöntemlern seçleblmes, sonuçların görsel olarak ekrana verleblmes, ver setnn görsel olarak oluşturulablmes, optmal küme sayısının otomatk ayarlanablmes gb şlemlern yapılablme mkanı sağlanmaktadır. Anahtar Sözcükler: Blg İşlem Sstem, Bulanık Kümeleme, Küme Geçerllğ.

6 6

7 7 ABSTRACT FUZZY c-means CLUSTER ANALYSIS AND ITS APPLICATIONS ULUTAGAY, Gözde M.Sc. n Statstcs Supervsor: Assoc. Prof. Şanslı ŞENOL December 004, 5 pages In ths study, a vsual-nteractve processng system provdng faclty for experences related to fuzzy clusterng s presented. Certan frequent algorthms of fuzzy clusterng, cluster valdty and selecton of ntal clusters are programmed as an ntegrated system. It s possble to select necessary methods, assess the vsual outputs n the screen, consttute data set vsually, and adjust the optmal cluster number automatcally by the help of the menu. Keywords: Informaton Processng System, Fuzzy Clusterng, Cluster Valdty.

8 8

9 9 TEŞEKKÜR Tezm hazırlamam sırasında benden desteklern esrgemeyen, danışmanım ve bölüm başkanım sayın Doç. Dr. Şanslı ŞENOL a; kıymetl zamanını ve görüşlern dama benmle paylaşan, blm ve nsanlık adına çok şey öğrendğm değerl hocam Prof. Dr. Efend NASİBOV a; desteğyle bana hep cesaret veren hocam Prof. Dr. Onur BASKAN a; htyacım olduğu her zaman yanımda olan canım annem ve anneanneme; desteğn her an hssettren, tükenmeyen sabrı ve umuduyla bana güç veren sevgl eşm Murat a; varlığıyla bana yaşam enerjs sağlayan melek kızım Zeynep Naz a ve başta babam olmak üzere ben destekleyen tüm sevdklerme sonsuz teşekkürler...

10 0

11 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...V ABSTRACT... VII TEŞEKKÜR...IX ŞEKİLLER DİZİNİ...XIII TABLOLAR DİZİNİ...XV. GİRİŞ.... BULANIK KÜMELEME YÖNTEMLERİ Bulanık Sınıfın Küme Temel ve Nokta Prototpler Kümeleme çn Krter Fonksyonu Değşen Optmzasyon Yöntem Genelleştrlmş Bulanık c-ortalamalar Algortması Küme Prototpler le Bulanık Kümeleme Bulanık c-ortalamalar Krter Fonksyonları Ales FCM Algortmalarının Sonsuz Ales FCM Alesnn Lmt Özellkler GFCM Algortmalarının Sonsuz Ales OPTİMAL KÜME SAYISININ BELİRLENMESİ Küme Geçerllğ Yöntemlernn Genel Değerlendrlmes Bölünme Katsayısı Sınıflandırma Entrops Oran Üssü... 36

12 İÇİNDEKİLER (Devamı) Sayfa 3.5. Unform Ver Fonksyonel Ayrılma Endeks Fukuyamo-Sugeno Küme Geçerllğ Ölçüsü Xe-Ben Küme Geçerllğ Ölçüsü BAŞLANGIÇ KÜMELERİN OLUŞTURULMASI Mountan Yöntem Gelştrlmş Mountan Yöntem K -En Yakın Komşuluk Kuralı PROGRAM SİSTEMİNİN ÇALIŞMA PRENSİPLERİ Program Sstemnn Temel Modulları Formlar Menüler Fonksyonel Buttonlar Blgsel Komponentler Fonksyonel Modullar UYGULAMALAR Çeştl Küme Sayıları İçn Türetlen Ver Setler IRIS Ver Set SONUÇ...95 KAYNAKLAR DİZİNİ...99 EKLER (Programın kodu)...07 ÖZGEÇMİŞ...5

13 3 ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekl 5. Programın açılış penceres Şekl 5.. İşlem yapılacak ver setnn seçleceğ pencere Şekl 5.3. İşlem yapılacak ver setnn vsual gösterm ve yen verlern eklenmes... 6 Şekl 5.4. Seçenek penceres... 6 Şekl 5.5. Kümelemenn uygulanması Şekl 5.6. Şekl 5.7. Şekl 5.8. Şekl 5.9. İk boyutlu kümeleme sonuçları ve sonuç küme merkezler Başlangıç küme merkezlernn görüntülenmesnn seçlmes İk boyutlu kümeleme sonuçları, başlangıç ve sonuç küme merkezler Kümelere bell br derecenn üzernde üyelğ olan elemanların grafğ Şekl 5.0. Tek boyutlu kümelemenn uygulanması Şekl 5.. Tek boyutlu kümeleme sonuçları ve küme merkezler Şekl 5.. Tek boyutlu kümeleme sonuçları, küme merkezler ve başlangıç kümeler Şekl 5.3. Küme sayısını vererek kümelemenn uygulanması... 68

14 4 ŞEKİLLER DİZİNİ (Devamı) Sayfa Şekl 5.4. Program sstem hakkında blgler penceres...69 Şekl 5.5. Tablo slmek çn uyarı penceres...7 Şekl 6.(a). küme çeren ver setne örnek (c-9)...78 Şekl 6.(b). 3 küme çeren ver setne örnek (3c-6)...79 Şekl 6.(c). 4 küme çeren ver setne örnek (4c-6)...79 Şekl 6.(d). 5 küme çeren ver setne örnek (5c-)...80 Şekl 6.(e). 6 küme çeren ver setne örnek (6c-6)...80 Şekl 6.(f). 7 küme çeren ver setne örnek (7c-9)...8 Şekl 6.. Şekl 6.3. Şekl 6.4. IRIS ver setnn k boyutu çn (taç yaprakların uzunluk ve genşlk ölçümler) vsual görüntüsü...9 Bölünme katsayısı, sınıflandırma entrops ve ayrılma endeks le bulunan kümeler (k küme)...94 Fukuyamo-Sugeno küme geçerllğ endeks le bulunan kümeler (üç küme)...94

15 5 TABLOLAR DİZİNİ Sayfa Tablo 6. Başlangıç kümeler Mountan yöntem le belrlendğnde, küme sayısını belrlemek çn farklı küme geçerllğ yöntemlernn farklı küme sayıları çn (a), (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) 6 ve (f) 7 karşılaştırılması. (PC: Bölünme Katsayısı, CE: Sınıflandırma Entrops, SI: Ayrılma Endeks, FS: Fukuyamo-Sugeno Endeks.) Tablo 6.. Başlangıç kümeler K-en yakın komşuluk kuralı le belrlendğnde, küme sayısını belrlemek çn farklı küme geçerllğ yöntemlernn farklı küme sayıları çn (a), (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) 6 ve (f) 7 karşılaştırılması Tablo Küme geçerllğ yöntemlernn performanslarının farklı başlangıç küme belrleme yöntemler le karşılaştırılması Tablo 6.4. IRIS ver set çn küme geçerllğ yöntemlernn performanslarının farklı başlangıç küme belrleme yöntemler le karşılaştırılması... 93

16 6. GİRİŞ Problem çözümlernde sstemler, gerçeklğn br kısmının modellemes olarak kurulurlar. Bütün sstem modeller karmaşıklık, güvenlrlk, belrszlk arasındak lşk le değerlendrlr. Gerçek dünya her zaman çn dealleştrlmş dünyadan sapmalar gösterr. Matematk modeller ne kadar ayrıntılı olursa olsun gerçeğ yansıtmazlar. Çünkü, gerçek dünya karmaşıktır. Bu karmaşıklık genel olarak, belrszlk, kesn düşünceden yoksunluk ve karar verlemeyşten kaynaklanır (Baykal ve Beyan, 004). Brçok gerçek sstem doğrusal değldr ve bunların klask yöntemlerle ncelenmesnde doğrusallığı kabul etmek çn belrl katsayılar hesaplara eklenerek olablecek belrszlkler belrgn şeklde göz önünde tutulur. Buna gerek kalmadan hesaplama yapılablmes çn belrszlk lkeler kullanılmalıdır. Blmde belrszlğ stenlmeyen br durum olarak gören ve mümkün bütün durumlarda kaçınılması gerektğnde ısrar eden geleneksel anlayıştan, belrszlkle yaşamayı kabul eden ve blmde bundan kaçınılmasının mümkün olmadığını dda eden alternatf bakış açısına doğru br geçş vardır. Belrszlk sadece kaçınılması mümkün olmayan br durum değl, aynı zamanda büyük br yarar sağlayan ve üzernde çalışılması gereken br alandır. Her tehdt, rsk ve belrszlk aynı zamanda br fırsat ve seçme şansına dönüşeblr. Sstem modellemelernde belrszlğn artmasına zn vermek karmaşıklığı azaltırken, güvenlrlğ arttırmaktadır. En uygun davranış

17 7 tarzı, her br modelleme problem çn optmum düzeyde belrszlğe zn veren yöntemler gelştrmektr. Belrszlk k kategorde ncelenr. Bunlar rasgelelk ve bulanıklıktır. Genel olarak, rasgelelk o olayın meydana gelmesndek belrszlğn sayısal ölçüsüdür. İstatstk ve olasılık eğtm almış pek çok kmse belrszlk le rasgelelğn aynı olduğuna nanır. Özellkle, olasılığı, br sıklık veya dğer sınanablr br yığın olarak görmeyp, blgnn öznel br durumu olarak gören Bayesç statstkçler, bu ddayı savunmuş ve toplumda tüm belrszlklern rasgele olduğu kavramı yaygınlaşmıştır. Rasgelelğn en öneml özellğ, sonuçların ortaya çıkmasında tamamen şans olayının rol oynaması ve gerekl öngörülern ve tahmnlern kesn br doğrulukla önceden yapılamamasıdır. Ancak blnen belrszlklern heps rasgele karakterde değldr. Sözel belrszlkler bulanıklık adını alır. Bulanıklık, belrsz anlamlılık, değşk yorumlar yapablmek anlamına gelr. Ne kadar yetersz ver varsa, bulanıklık o kadar fazla olur. Gerçek dünya sorunları ne kadar yakından ncelemeye alınırsa, çözüm daha da bulanık hale gelecektr. Çünkü çok fazla olan blg kaynaklarının tümünü nsan aynı anda ve etkleşml olarak kavrayamaz ve bunlardan net sonuçlar çıkaramaz. Bulanık kelmes genel olarak puslu, dumanlı, kesnlkle ayırt edlemeyen, kesn olmayan, belrsz, kafa karıştıran, müphem gb anlamlara gelr. Bulanıklık, ncelenen konunun nceleyen kş tarafından tam kesnlkle blnmemes durumunda sahp olunan eksk ve belrsz blglern tümüdür. Böylece klask analtk yöntemler le dnamk ve korunum lkelern elde ettğ denklemler, ver ve blglerde bulanıklık tür

18 8 belrszlk bulunduğu durum çn kullanılamaz. Bu gb durumlarda lgl sözel ve oldukça belrsz blgler de göz önünde tutularak modelleneblr. Rasgelelk, olayın oluşundak kesn olmayışlığı fade eder. Bulanıklık se, olayın olup olmadığını değl, hang dereceye kadar olduğunu ölçer. Br olayın olup olmadığı rasgelelktr. Hang dereceye kadar olduğu se bulanıklıktır. Bulanıklık, genel olarak gerekrc olmasına rağmen, rasgelelk öngörüye dayanır. Bulanık küme kavramı, 960 ların ortasında Zadeh n, klask sstem kuramının matematksel yöntemlernn gerçek dünyadak, özellkle nsanları çeren kısmen karmaşık sstemlerle uğraşırken yetersz kalmasından dolayı hoşnut kalmayışından doğmuştur. Matematksel olarak bulanıklık, çok-değerllk demektr. Azerbaycan asıllı Lütfü Askerzade (965), ntelklern kl üyelk fonksyonuyla fade edldğ klask kümeler yerne, derecel üyelk fonksyonuyla fade edldğ bulanık kümeler tanımlamasını teknk termlere dahl etmş ve blm dünyasında br dönüm noktası yaşanmıştır. Kompleks büyük derecel sstemlern analzne olan geleneksel yaklaşımlar faydasız olduğundan, temel düşünce, kesn olmamayı bast matematk termler le göstermekt. Bulanık mantığın temeln oluşturan bulanık kümeler teors, belrsz kavramların matematksel olarak fade edlmesdr. Bulanık kümeler teors ortaya atılıncaya kadar belrszlkle lgl matematksel şlemler yalnızca olasılık teors le modellenmştr. Olasılık teorsndek belrszlk, olayın bell br dağılıma bağlı olarak gerçekleşme htmal le lglenr. Bulanık kümeler teorsndek belrszlk se, br kümenn sınırlarının kesn olarak tanımlanamaması le lgldr.

19 9 Bulanıklık le rastlantısallık farklı kavramlardır ve belrszlğn farklı yönler le lglenr. Bulanık mantığın klask matematksel dayanağı, araştırmacılar arasında büyük lg yaratmış ve bu mantık, byoloj, şletme, ekonom, mühendslk ve tıbb teşhs çeren brçok alanda uygulanmaya başlanmıştır (Sato et al, 997). Br çeşt çok değerl küme kuramı olan bulanık kümeler kuramı, belrszlğn br çeşt formülleştrmesdr ve temel amacı, belrszlk fade eden, tanımlaması güç veya anlamı zor kavramlara üyelk dereces atayarak onlara belrllk getrmektr (Türkşen, 985, Baykal ve Beyan, 004). Kümedek her br brey, klask çft değerl küme kuramlarında olduğu gb üye ya da üye değl olarak değl, br dereceye kadar üye olarak görülür. Bulanık küme kavramı, duyarlılığın arttırılması açısından, klask kümelernkne göre daha uygun olan yen br araç sağlıyor olarak görüleblr. Getrdğ yaklaşım, klask küme kuramlarında kullanılan üyelk kavramını br kenara bırakıp yerne tamamen yensn koymak değl, k-değerl üyelğ çok-değerlğe taşıyarak genelleştrmektr. Br bulanık küme öğes aynı değşken özellğne sahp olmak üzere başka br kümenn de öğes olablr. Sonuç olarak bulanık küme çn klask kümelere göre belrsz, bulanık sınırı olan kümedr, deneblr. Bulanık üyelk kavramı le sözel termler tanımlanablr. Göz önünde tutulan br bulanık kelme veya fadenn temsl ettğ sayısal aralık o fade hakkında blg sahb kşler tarafından belrleneblr. Bu aralıkların sınırlarında Arstoteles mantığına göre katı kararlar

20 0 alınmalıdır. Bu aralıkların arasındak geçş kısımları brbrnn devamı olmayablr ve örtüşme söz konusu olablr. Bulanık mantık yaklaşımının en fazla kullanıldığı alanlardan brs, bulanık kural tabanlı sstemlerdr. Büyük ölçülü ver tabanlarını tarayarak blg oluşturma ve karar verme teknolojlernden olan ver madenclğ (data mnng) modern br teknoloj olarak son zamanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır (Agrawal, et al.,993; Fu et al.,998; Kandel, et al., 00). Kümeleme, belrleme, sınıflandırma gb yöntemler bu teknolojde sık kullanılan öneml yöntemlerdendr (Dumtrescu et al., 000; Wolkenhauer, O., 00; Nasbov, 000, 00(a), 00(b)). Br nesneler kümesnn denetlenemeyen sınıflandırmasının (kümelemesnn) esas amacı, nesne çftler arasında benzerlğe veya farklılığa dayalı doğal alt gruplar oluşturmaktır. Doğal alt grupların tanımına veya anlamına bağlı olarak, günümüzde çeştl kümeleme yöntemler bulunmaktadır (Dunn, 973; Bezdek, 980(a),98; Gordon, 98; Bezdek et al., 98, 987; Bobrowsk ve Bezdek, 99; Chepo ve Dumtrescu, 99; Hathaway ve Bezdek, 993; Zahd et al., 00; Belace et al., 00; Runkler ve Bezdek, 003). Ver setne bağlı olarak bu yöntemlerden herhang br daha etkl performans sağlayablr. Mevcut ver setnde hang kümeleme yöntemnn kullanılmasının daha doğru olacağının belrlenmes öneml sorunlardan brdr. Kümeleme algortmalarının brçoğunda küme sayısı önceden belrlenmeldr. Bunun çn de farklı yöntemler oluşturulmuştur (Yager ve Flev, 994; Pal ve Bezdek,995; Velthuzen et al., 997; Sugar ve James, 003).

21 Bu tez çalışmasında, çeştl ver setler çn lteratürde sıklıkla kullanılan yöntemlern sonucunu karşılaştırmak ve görsel olarak değerlendreblmek mkanını sağlayan program sstem oluşturulmuştur (Nasbov vd., 004). Sstemn esas özellğ br veya k ölçülü ver setn, kümeleme sonuçlarını, başlangıç ve sonuç küme merkezlern görsel olarak ekranda görüntüleme olanağı vermesdr. Bunun yanı sıra, steğe bağlı ver setler türeterek benzer ver setn görsel olarak ekranda oluşturma mkanı da sağlanmaktadır. Sunulan program sstemnn özellkler aşağıdak gb sıralanablr: çeştl kümeleme yöntemlernn seçleblmes; bulanıklığı yansıtan üs (m) parametresnn seçleblmes; başlangıç kümeler oluşturma yöntemlernn seçleblmes; başlangıç küme sayısının drekt verleblmes; çeştl küme geçerllğ endekslerne dayalı olarak küme sayısının otomatk olarak belrleneblmes; br ve k ölçülü kümeleme durumunda sonuçlarının görsel olarak ekrana verleblmes; verlere bağlı olarak ekranın ölçeklernn ayarlanablmes. Çalışmanın. Bölümünde, lteratürde yer alan kümeleme yöntemlerne değnlmş ve bulanık c -ortalamalar (Fuzzy c means - FCM) kümeleme yöntem ele alınmıştır. Küme merkezler ve üyelk derecelernn elde edlşne yer verlerek, bulanık c -ortalamalar kümeleme algortması anlatılmıştır. Ayrıca, bulanık c -ortalamalar

22 kümeleme algortmasının genelleştrlmş halne (GFCM) değnlmş ve hem FCM, hem de GFCM algortmalarının sonsuz ales ncelenmştr. 3. Bölümde, optmal küme sayısının belrlenmes çn lteratürde yer alan küme sayısı belrleme ve küme geçerllğ yöntemlerne değnlmştr. Ayrıca, lteratürde sıklıkla karşılaşılan ve program sstem çnde kullanılan küme geçerllğ yöntemler ncelenmştr. 4. Bölümde, kümeleme algortmalarının öneml adımlardan brs olan başlangıç kümelern belrlenmes problem ele alınarak, programda kullanılan başlangıç kümelern belrlenmes yöntemler anlatılmıştır. 5. Bölümde, oluşturulan program sstemnn çalışma prenspler ele alınmıştır. Program sstemnde kullanılan formlar ve menüler ncelenerek, formlardak buttonların kullanım amaçları ayrıntılı olarak anlatılmıştır. 6. Bölümde, tezde gelştrlmş olan program sstemnde bulunan Vsual Input teknolojs kullanılarak türetlen le 7 arasında değşen kümelere sahp ver setler le Anderson (935) ve Fsher n (936) byometrk IRIS ver setne çeştl küme geçerllğ yöntemler ve başlangıç küme merkez belrleme yöntemler le kümeleme uygulanmış ve sonuçlar tablolar halnde sunulmuştur.

23 3. BULANIK KÜMELEME YÖNTEMLERİ Çoğu gerçek dünya sınıfı kesn olmaktan öte bulanıktır. Yan, sınıflandırma problemler le lglenrken bulanık küme teorsn düşünmek doğaldır. Bulanık kümelern kümelemede kullanımını lk kez Bellman, Kalaba ve Zadeh önermşlerdr (966). Ruspn, ver setnn küme yapısını anlatmak çn özel krter fonksyonları le bulanık bölünme (bölümleme) kavramı tanıtmış ve optmum bulanık bölünmey hesaplamak çn br algortma önermştr (969, 970, 973). Negota, küme-tabanlı blg düzeltme sstemn anlatmak amacıyla bulanık kümeler çn br ayırma teorem kullanmıştır (973). Dunn, mnmumvaryans kümeleme yöntemn bulanık ISODATA kümeleme yöntemne genellemştr (973, 974). Bezdek, Bulanık c -Ortalamalar algortmaları olarak blnen algortmaların sonsuz alelern elde etmek çn Dunn ın yaklaşımını genellemştr (973, 974). Dunn ve Bezdek (975), kümelern şekllerndek farklılıkları dkkate alarak, lgl algortmalar önermşlerdr. Bulanık kümeleme yöntemler uzaklığa dayalı (dstance-based) ve lşkye dayalı (relaton-based) olmak üzere k çeşttr. Uzaklığa dayalı kümeleme yöntemler brmlern her br kümeye atlk dereceler le bu kümenn ağırlık merkezne olan uzaklıklarının çarpımlar toplamının mnmum yapılmasına dayanır. Bazı durumlarda kümeleme sırasında kullanılmak üzere, brmler ve kümelern ağırlık merkezler arasındak uzaklıkları bulmak mümkün olmayablr. Bu gb durumlarda amaçlara uygun olarak, brmler arasındak lşklerden yararlanılablr.

24 4 Kümeleme aslında, ver kümesnn uygun benzerlk ölçülerne göre homojen sınıflara ayrılması le lglenr. Herhang br kümeye at olan brmler benzer, farklı kümelerdek brmler se mümkün olduğunca farklıdır. Klask kümeleme analznde, farklı kümelern sınırları keskndr ve br brm yalnızca br kümeye at olablr. Pratkte, verler genelde y br dağılıma sahp olmazlar, yan sınırlar kesn olarak tanımlanamaz. O zaman, br brm farklı üyelk dereceler le brden fazla kümeye at olablr (Kendall ve Stuart, 976; Jang et al., 997). Bu durum klask kümeleme analzne benzer olarak bulanık kümelemede de farklı yöntemler le fade edleblr. Bu çalışmada değnlecek olan yöntem, Dunn tarafından önerlp Bezdek tarafından gelştrlen Bulanık c- Ortalamalar yöntemdr (Fuzzy c -Means FCM) (Dunn, 973; Bezdek, 974). Bu bölümde bulanık sınıfın küme temeln belrlemek çn bazı algortmalar ele alınacaktır. Algortmalar, krter fonksyonunun mnmzasyonuna dayanmaktadır. Krter fonksyonlar, bulanık sınıfa göre yerel uzaklıklar kullanılarak elde edlmektedr (Dumtrescu, 986, 987, 988). Bulanık sınıfın küme temeln arama, aşağıda verldğ gb farklı durumlarda gerekl olmaktadır: ) Ver blgs daha arındırılmış br analz gerektrdğnde, brsevyel ver sınıflandırmanın yeterszlğ, ) Hyerarşk olarak düzenlenmş vernn yapısını elde etme gereksnm,

25 ) Br öğrenme set kullanılarak bulanık hyerarşk sınıflandırıcının tasarlanması, v) Hyerarşk kümeleme yöntemnn tasarımı. Böyle br yöntem, özellkle küme sayısının blnmedğ durumlarda lg alanına grer. Bulanık sınıfın alt küme yapısını belrlemek çn Bulanık c - Ortalamalar algortmasının genelleştrlmş türüne (GFCM) değnlmştr. Krtern braz değştrlmesyle, GFCM amaç fonksyonlarının sonsuz ales elde edlecek ve sınıf prototpler olarak kümeler kullanan bulanık kümeleme yöntem ncelenecektr. Kümelern geometrk şekller le lgl uygun blg olmadığında veya nokta prototp temslcs çok kabaca verldyse temslc uygundur. Eucldean kümelemeye br alternatf olarak L p metrğ ncelenecektr. Parametrelerden br tanesn, örneğn üyelk derecelern, elemek çn amaç fonksyonları tekrar formüle edleblr. Böylece, daha bast amaç fonksyonları elde edlr. Amaç fonksyonlarının yenden formüle edlmş şekl genel optmzasyon yöntemler kullanılarak düzeltleblr. 5.. Bulanık Sınıfın Küme Temel ve Nokta Prototpler X s { x, x,..., x x R =, n j, ver set olsun. X tek kümelern optmal sayısının blndğ varsayılsın. X tek noktaların kümeler, bulanık kümeler le tarf edleblrse, bu bulanık kümelern ayrık olması gerekmektedr. Bu yüzden, X n küme yapısı, brleşm X olan, yan X n bulanık bölünmeler olan, ayrık kümeler le tanımlanablr.

26 6 C, X ten gelen nesneler sınıfına uyan bulanık küme olsun. C nn küme temelne sahp olması da mümkündür. Bu küme temel, C nn bulanık bölünmes olarak görüleblr. C nn c -atomlu bulanık bölünmelernn ales F c ( C) le gösterlsn. C dek alt kümelern sayısı c se, C nn küme temel, F c ( C) den P { u u,..., =, u c le fade edleblr. Her u bulanık sınıfı, bell br temsl uzayından v prototp le fade edleblr. Bunu takben, temsl uzayının s -boyutlu s R Eucldean uzayı olduğunu varsayılsın. Eğer, kümeler yaklaşık küresel veya elpsod şeklnde se, prototpler s R de noktalardır. Örneğn, v, u bulanık sınıfının ağırlık merkez olablr. Eğer kümeler doğrusal şekldeyse, prototpler doğrular veya dğer doğrusal türlerdr. Çeştl geometrk prototplern konveks kombnasyonları da düşünüleblr. M, smetrk poztf tanımlı matrs ve T transpozu göstermek üzere, ç-çarpım etkl. normu aşağıdak gb tanımlansın:. = ( x, x) = x T M x ve d, norm-etkl uzaklık olsun: d ( x, y) = x y = ( x y) T M ( x y) d, u bulanık sınıfına göre uzaklık se: d x, x ) = mn( u, u ) d( x, x ) x, x X ( j k j k j k J k

27 7 d nn, s R ye genşlemes, * d dır. m, X ten gelen vektörlern ortalama vektörü olsun. X ten gelen noktaların uzaklıklar kareler toplamının mnmum olduğu durum çn, m nn s R de tek nokta olduğu blnmektedr. Bulanık sınıftak ortalama vektörü çn de benzer özellk olması stenmektedr. v nn s R de br nokta olduğunu ve X ten olmadığı varsayılsın. u bulanık sınıfında, v ve X tek noktalar arasındak uzaklıkların kareler toplamı: olur. F (v) = = n j= d * n uj j= ( x, v) d j ( x, v) F fonksyonunun mnmum noktası, u bulanık sınıfının ortalama noktası olarak yorumlanablr. j TEOREM : şeklnde olan F (v) = n uj j= F : ( X ) R R s aşağıdak gb belrlenen v x j \ fonksyonunun tek mnmum noktası m dr: m = n uj x j j= n uj j=

28 8... Kümeleme çn Krter Fonksyonu Kümeleme, sınıf-ç benzerlk (veya kohezyon) ölçüsü veya benzemezlk ölçüsü kullanılarak türetlen br krter fonksyonu seçlerek uygulanablr. Önce, benzemezlk kavramına dayalı br krter fonksyonu ele alınsın. Benzemezlk, bulanık sınıfa göre kares alınmış uzaklık olarak tanımlanablr. C bulanık sınıfının küme temelnn, C nn bulanık bölünmes { u u = u c le fade edldğ varsıldığında, j P,,..., -nc kümeye at olma derecesn göstermek üzere; u, j -nc elemanın, n u j j= C j =, j =,,..., n koşulu sağlanır. v R s, u bulanık sınıfının prototp olsun. Eğer, v, X ver setnden br nokta se, prototpn u bulanık sınıfına en yüksek üyelğe sahp olduğu söyleneblr. Yan, olur. Bu durumda, u d ( v ) = max uj olur. Eğer, v, X ten değlse, o zaman uzaklığı da benzer fadeye sahp olur: * * j ( x j, v ) = mn ( uj, u ( v )) d ( x j, v ) = u d( x, v ) j j x j ve ( x, v ) = u d( x v ) d, j j j * v arasındak d ( x, v ) j

29 9 Br ver noktası le v prototp arasındak benzemezlk, u ye göre açıklanacaktır. D, kares alınmış D = ( x, v ) j = u j = d d * d olarak seçlecektr. * ( x ( x j j, v ), v ) u bulanık sınıfı ve onun prototp arasındak yeterszlk, I ( u, v ) = n j= D ( u, v ) olarak yazılablr. v = v, v,..., v ) nn, P bulanık bölünmesnn temsl ( c olduğu varsayılsın. P bölünmes le onun temsl v arasındak yeterszlk; olur. O zaman, J ( P, v) I ( u, v ) = c = J ( P, v) = = = j= c c n n = j= u u j j d x j ( x j v, v ) olarak yazılan sn J : F ( C ) x R R krter fonksyonu elde edlr. c... Değşen Optmzasyon Yöntem Öncek krter fonksyonu, En Küçük Kares Alınmış Hata (Least Squared Error (LSE)) tpndeyd. Optmal bulanık bölünme ve onun temslcs;

30 30 mnmze J(P,v) P F c( C ) s v R (.) mnmzasyon problemne yerel çözüm olarak elde edleblr. Bu problemn kesn çözümü şlemsel olarak pratk değldr. Probleme yaklaşık br çözüm elde etmek amacıyla, J(P, ) ve J(,v) fonksyonlarının mnmzasyonuna dayalı teratf br yöntem kullanılablr. Bu yönteme Değşen Optmzasyon Teknğ denr. (.) problem aşağıdak k problem le değştrleblr. mnmze J(P,v) P F c( C ) (v sabt) mnmze J(P,v) sc v R (P sabt) (.) (.3) İlk probleme çözüm çn: I { c, d( x, v ) = 0 j = j ve I j {,,... c I j =, olarak gösterleblr.

31 TEOREM : J(,v) fonksyonunun kümeleme yapısı P ye göre krtk noktası aşağıdak gb belrlenr: 3 I j u j = c d k= d n uj j= ( x j ( x j, j n (.4), v ), v ) k ve I u = 0, j n. (.5) j j TEOREM 3: J(P, ) fonksyonunun mnmumu, sn v R değşkenne göre yerel v = n uj x j j= n uj j= (.6) vektörüdür... Genelleştrlmş Bulanık c-ortalamalar Algortması Bu kesmde, bulanık sınıfın küme temeln belrlemek çn temel genelleştrlmş bulanık c -ortalamalar (GFCM) algortması ncelenecektr. X s { x, x,..., x x R =, n j ver set ve C, X te br bulanık küme olsun. Aşağıdak varsayımların olduğu varsayılsın:

32 3 ) C, X ten br noktalar kümesn temsl eder. ) C nn, P { u u,..., =, u c bulanık bölünmes le tanımlanan küme temel vardır. ) C nn alt kümeler sayısı c blnmektedr. Temel GFCM algortması, bulanık bölünme çn keyf br çözümle başlar. (.6) eştlğ kullanılarak v,, v,... vc prototpler; (.4) ve (.5) eştlkler kullanılarak C nn yen bulanık bölünmes hesaplanır. (.4), (.5) ve (.6) eştlkler teratf olarak kullanılır ve terasyon, k başarılı bulanık bölünme yeter kadar yakın olduğunda durur. İk bulanık bölünme arasındak uzaklığı ölçmek çn, her P bölünmes le br Eğer c n boyutlu Q matrs lşklendrleblr. Q =, =,,..., c ; j =,,..., n j u j Q, P nn matrs temslcs se, P ve P arasındak uzaklık: d ( P = Q Q, P ) olur. P r, r.nc terasyondak bulanık bölünme se, ε kabul edleblr hata olmak üzere; m.nc terasyonda olduğunda süreç durur. d ( P m, P m ) 4 adımda gerçekleştrlen GFCM algortması aşağıda verlmştr: < ε

33 33 ADIM : GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK c-ortalamalar (GFCM) ALGORİTMASI C dek alt kümelern sayısı c seçlr. Kabul edleblr hata ε (örn: ε = 0 5 ) seçlr. s R üzernde skaler çarpım sabtlenr. (M matrs seçlr.) P le lgl matrs olarak Q olsun. ADIM : (.6) eştlğ kullanılarak, Q matrsne dayalı prototpler hesaplanır. v, ( =,..., c) ADIM 3: (.4) ve (.5) te verlen kurallar kullanılarak C nn yen bulanık ADIM 4 : bölünmes P hesaplanır. P le lgl matrs olarak Q olsun. Q Q < ε se DUR! Aks halde, P = P ve Q = Q alınır ve Adım ye geçlr.

34 34.3. Küme Prototpler le Bulanık Kümeleme Şu ana kadar düşünülen bulanık kümeleme yöntemler metrkt, yan uygun br uzaklık ve geometrk sınıf prototp kullanılarak br amaç fonksyonu tanımlanıyordu. Bazı problemlerde, ver setnn her (, y) çft çn tanımlanan benzemezlk ölçüsü kullanılarak elde edlen krter fonksyonu kullanılır, yan metrk olmayandır. Bu durumda, geometrk prototp tanımlanamaz. Bu durumla baş etmek çn, Roubens (978, 98) bulanık sınıfı br bulanık olmayan küme le temsl etmey önermştr. X ver setnn küme temeln tanımlayan br bulanık bölünme, X n (veya X n br alt kümesnn) bulanık olmayan bölünmes le temsl edleblr. Bu kesmde Ruspn nn yaklaşımına benzer br yaklaşım ele alınacaktır. x j d, d : Y x Y R fonksyonu olmak üzere, br pseudo-metrk uzay aşağıdak aksyomları sağlayan br ( Y, d) çftdr: ) d x, y) = d( y, x ),, y Y ( j j x j ) d( x j, y) 0,, y Y x j ) d ( x j, x j ) = 0, x j X { x x X =,,..., x n, pseudo-metrk uzaydan br ver set olsun. { u u P,,..., = u n, X n bulanık bölünmes olsun. Her u bulanık sınıfının br v X alt kümes le temsl edldğ varsayılsın. v, u nn küme temslcs veya çekrdeğdr (kernel). İk durum

35 düşünüleblr: v = v, v,..., v ), X n bulanık olmayan bölünmes ( c olablr ya da v, X n br alt kümes olan Y nn bulanık olmayan bölünmesdr. İknc durumda, tüm prototp özellğ gösteren durumlar düşünülmemştr. Her k durumda da v, P bulanık bölünmesnn temslcsdr. u (x) ; x elemanının, (y) ; y elemanının -nc bulanık sınıfa at u olma derecelern göstermek üzere, u bulanık sınıfına göre, d le etklenen pseudo-metrğn aşağıdak şeklde olduğu varsayılır: d ( x, y) u ( x) u ( y) d( x, y) = x j ve v prototp arasındak D ( x j, v ) benzemezlğ: D ( x j, v ) = d ( x j, y) card v y v şeklnde tanımlanırsa, P bulanık bölünmes le temslcs v arasındak yeterszlk: J ( P, v) = c n = j= D ( x j, v ) 35 J ( P, v) n card v = c = j= u j ( x ) u ( y) d ( x, y) j olarak fade edleblr. D j = u ( y) d ( x j, y card v ) y v (.7) olarak alınırsa, D j, x j nn u ye üyelğn çermez ve

36 36 şeklnde yazılablr. D x, v ) ( j D j ye, = u j D j x j ve küme temslcs v arasındak mutlak (veya ağırlıklandırılmamış) uzaklık denleblr. fonksyonu aşağıdak gb elde edlr: J ( P, v) = c n = j= u j D j O zaman krter Bu krter fonksyonunu mnmze etmek çn, teratf br yöntem kullanılır. Bu yöntemde, üyelkler kullanılır. D j y hesaplamak çn öncek terasyondak Elde edlen krter fonksyonuna göre optmal bulanık bölünme aşağıdak üyelk dereceler le belrlenr: u j = n k= D D j k,, j (.8) 6 adımda gerçekleştrlen küme prototpler le bulanık kümeleme algortması aşağıda verlmştr:

37 37 KÜME PROTOTİPLERİ İLE BULANIK KÜMELEME ALGORİTMASI ADIM : l = belrlenr. X n başlangıç bölünmes P P { u u,..., =, seçlr. l 0 = u c X n başlangıç bulanık olmayan bölünmes v = v { v, seçlr. ADIM : 0 =,... v c D j = u ( y) d ( x j, y card v ) hesaplanır. y v, c ; j n ADIM 3 : u j = n k= D D j k, c ; j n ADIM 4 : kullanılarak X n yen bulanık bölünmes Pl+ hesaplanır: D j = u ( y) d ( x j, y card v ) ADIM 5 : kullanılarak y L D j güncellenr. x, v ' ye atanr D = mn D j j k k

38 38 ADIM 6 : kuralına göre, bulanık olmayan bölünme güncellenr. Yen bulanık olmayan bölünme v l+ olur. v + = v se DUR! Aks halde l=l+, D j = D j kurulur ve l l Adım 3 e geçlr. C br bulanık sınıf ve v C onun küme prototp olsun. C nn küme temeln elde etmek çn, C nn bulanık bölünmes aranmalıdır. Bu bulanık bölünme, v C nn bulanık olmayan bölünmes le temsl edlr. Bu amaçla, öncek algortmanın bast br genellemes kullanılablr..4. Bulanık c-ortalamalar Krter Fonksyonları Ales Bu kesmde, FCM algortmalarının sonsuz aleler ve lmt özellkler ele alınacaktır..4.. FCM Algortmalarının Sonsuz Ales { u u P =,,..., u c, X ver setnn br bulanık bölünmes ve s v R, u bulanık sınıfının prototp olsun. Bulanık kümeleme çn krter fonksyonu genellkle, m > ağırlık üssü olmak üzere, aşağıdak gb verlr: J m ( P, v) = c n = j= ( u j ) m d ( x, v ) j m parametres, sonuçlanan bölünmenn bulanıklık derecesn kontrol eder. İlk term bulanık bölünmey gösterrken ve v sabt ken

39 39 ndrgenmş amaç fonksyonu J m (,v) le gösterldğnde, J m (,v) mn optmzasyon problemnn çözümü, aşağıdak üyelk dereceler fadesnn elde edlmesn sağlar: u j = c d k= d ( x j, v ) ( x j, vk ) /( m ), c ; j n J(P, ) mn optmzasyon problemnn çözümü le elde edlen prototpler aşağıdak gbdr: v n ( u ) j= = n j= j j m ( u ) m x j, c Elde edlen u j ve v fadelern kullanan değşen optmzasyon, FCM algortmasının standart haldr. m parametres, sonsuz değerler tahmn edebldğ çn, bulanık kümeleme algortmalarının sonsuz ales elde edlr..4.. FCM Alesnn Lmt Özellkler m se, bulanık c -ortalamalar algortması, bulanık olmayan c - ortalamalar çözümüne; üyelk dereceler de 0 ve e yakınsar (Bezdek, 98). m se, u j / n, c ; j n, olur ve algortma le türetlen tüm prototpler, yakınsar. Yan, m (X ), x,..., xn vektörlernn ağırlık merkezne

40 40 m( X ) n j= = n x j X n ağırlık vektörü olmak üzere v m (X ) olur. u j / n durumu, maksmum bulanıklık derecesdr. Genel olarak, m ne kadar büyükse, üyelk dereceler le lgl bulanık bölünmeler o kadar bulanıktır. m, e yakınsadığında, elde edlen bulanık bölünmeler bulanık olmayan bölünmelere yaklaşır. Genellkle, m = değer seçlr. Bu da, krter fonksyonunun bulanık sınıflara göre kares alınmış uzaklıkların toplamları olarak yazılan çıkarımla uyumludur..5. GFCM Algortmalarının Sonsuz Ales Elde edlen kümeleme algortmalarının sonsuz ales, C bulanık sınıfının alt küme yapısını belrlemek çn genelleneblr. C, X te br bulanık küme olsun. C nn c -tane alt küme çerdğ ve bu kümelern C nn bölünmeler olan varsayılsın. derecelern verr: u,...,, u uc le gösterldğ J m krter fonksyonunun mnmzasyonu aşağıdak üyelk u j = c k= d d C j ( x j, v ) ( x j, vk ) /( m ), =,..., c j =,..., n

41 4 v, =,..., c prototpler, lgl sınıfların ortalama vektörlerdr. Elde edlen u j ve v değerler le değşen optmzasyon Genelleştrlmş Bulanık c -Ortalamalar algortmalarının sonsuz alesne ulaşır. Hathaway ve Bezdek, (Hathaway ve Bezdek, 995) kümeleme amaç fonksyonlarının yenden formüle edlmeler üzernde çalışmışlardır. Amaçları, bulanık kümeleme le lgl optmzasyon problemlern yenden formüle ederek, genel optmzasyon yöntemlernn uygulanmasını sağlamaktır. Orjnal ve yenden formüle edlmş amaç fonksyonları tamamen denktr. Yenden formüle edlmş türler, P nn sağladığı optmum (gerekl) koşulları P bulanık bölünmesnn yerne koyarak elde edlmektedr. J m ( P, v) = c n = j= ( u j ) m d ( x, v ) j krter fonksyonunda, v m ( P ) = c n = j= ( u j ) m d ( x, v ) j fonksyonunun mnmze edlmesyle aşağıdak üyelk dereceler bulunur: u j = c d k= d ( x j, v ) ( x j, vk ) /( m ), =,..., c j =,..., n u m j = d c ( x k= j, v ) d ( x j, vk ) /( m ) ( m )

42 4 alınırsa ve m j u yerne yazılırsa: = = = c n j j m j j m v x d u u v P J ), ( ), ( olur ve = = = = c n j m c m k j j m v x d u v P J ) ( ) /( ), ( ), ( elde edlr. Ayrıca, = = = = n j c k j c j m m m v x d u v P J " ) ( ) /( ), ( ), ( yazılırsa, = = c u j, n j,..., = olduğundan; = = = n j m c m k j m v x d v P J ) ( ) /( ), ( ), ( bulunur. Elde edlen fade ) (v R m le gösterlecektr ve bu da FCM krternn yenden formüle edlmş haldr: m n j c k m k j m v x d v R = = = ) /( ), ( ) (

43 43 k nds le değştrlr ve q = /( m) le fade edlrse; R m ( L) c d j= = = n j q ( x, v ) / q olur. Yan, amaç fonksyonu, genelleştrlmş harmonk ortalamaların toplamı şeklnde yenden formüle edleblr. J krter fonksyonunun yenden formüle edlmş şekl aşağıdak gb olur: R ( v) c j= = n = d ( x j, v ) Değşen optmzasyonu kullanan her bulanık kümeleme algortması bu şeklde yenden formüle edleblr. GFCM krter fonksyonunu yenden formüle etmek çn optmuma uyan üyelk dereceler ( P, v) de yer değştrlr (Krshnapuram ve Keller, 993). m u j çn; J m u m j m C n j = d ( x j, v ) k= d ( x j, v k ) /( m ) m yazılablr. ( P, v) de J m m u j yerne yazılırsa; J m ( P, v) = c n uj = j= c k= d C m j ( x j, vk ) /( m ) m

44 44 olur. = = c u j j C olduğundan; = = = n j m c k m k j m j m v x d C v P J ) /( ), ( ), ( olur. ) (v R m = ), ( v P J m le gösterlrse GFCM krter fonksyonunun yenden formüle edlmş şekl; = = = n j m c m j m j m v x d C v R ) /( ), ( ) ( olur. Yenden formüle edlmş krter fonksyonu, genelleştrlmş harmonk ortalamaların ağırlıklı toplamıdır. = m çn GFCM krter fonksyonunun yenden formüle edlmş şekl aşağıdak gbdr: = = = n j c j j v x d C L R ), ( ) (

45 45 3. OPTİMAL KÜME SAYISININ BELİRLENMESİ Kümeleme analznde sağlıklı ve anlamlı sonuçlara ulaşablmek çn öneml koşullardan br küme sayısının belrlenmesdr. Küme sayısının belrlenmesnde yapılacak küçük br hata, küme yapısı keskn olsa ble bu yapının doğru olarak belrlenmesn mkansız yapar. Yan, küme sayısının aranması, kümeleme analznn temeln oluşturur ve tüm kümeleme yöntemlernn en öneml sorunudur. Brçok byolojk uygulamada, ortak br yaklaşım, n örneklem brmnn aynı grup çndek breylernn mümkün olduğunca benzer, farklı gruplardaklern se olabldğnce farklı olacağı grup sayısını aramaktır. Bölünmede bulunan grupların çalışılan ktledek doğal gruplara uyması ve bölünmedek grupların özellklernn bu doğal gruplarla lgl çıkarsamalara öncülük etmes umut edlmektedr. Böyle br yaklaşımla, tıp, pskoloj, zraat, ekoloj ve taksonomde sıklıkla karşılaşılmaktadır (Krzanowsk ve La, 988). Lteratürde küme sayısının belrlenmes çn pek çok yöntem vardır. 985 te Mllgan ve Cooper, 996 da se Hardy bu yöntemlern ayrıntılı lstesn vermş ve yne 996 da Gordon yöntemlern performanslarını karşılaştırmıştır. İstatstk lteratürü, Edwards ve Cavall-Sforza (965), Scott ve Symons (97), Marrott (97), Calnsk ve Harasabasz (974), Hartgan (975), Krzanowsk ve La (988), Kaufman ve Rousseeuw (990), Kass ve Raftery (995), Frayley ve Raftery (998), Tbshran, Walther ve Haste (00), Sugar ve James (003) tarafından küme sayısını bulmak çn önerlen yöntemlerle zengnleşmştr.

46 Küme Geçerllğ Yöntemlernn Genel Değerlendrlmes Kümeleme analznn temel problemlernden br algortmanın kümeleme sonuçlarının değerlendrlmesdr (Yen ve Langar, 999). Bu problem lteratürde küme geçerllğ olarak blnmektedr. Daha net olarak, küme geçerllğ problem, kümeleme algortmaları le bulunan bölünmelern ne kadar y olduğunu belrlemek çn br amaç krter bulmak olarak tanımlanablr. Böyle br krter, aşağıdak amaçlara ulaşılmasını sağlaması bakımından önemldr: a) Ver set çn en y küme sayısının belrlenmes, b) Ver set çn alternatf kümeleme algortmalarının sonuçlarının karşılaştırılması, c) Ver setnn herhang br doğal gruplama yapısının olup olmadığının belrlenmes. Bunlardan en önemls küme sayısının belrlenmesdr. Küme sayısını belrlerken yapılacak küçük br hata ble, keskn olan küme yapısının dah doğru olarak bulunmasını mkansızlaştırır. Küme geçerllğ endeksler çoğu zaman temel amacı olan küme sayısının belrlenmes olarak tanımlanır. Metotları farklı olsa ble klask ve bulanık kümeleme yöntemler küme geçerllğ konusuna değnmeye htyaç duyarlar. Lteratürde pek çok küme geçerllğ yöntem bulunmaktadır. Bezdek (974,975) br bulanık bölünmenn kaltes veya bulanık olmama ölçüsü olarak tanımlanan bölünme katsayısı (partton coeffcent) ve br bulanık bölünmenn ne kadar bulanık olduğunu hesaplayan sınıflandırma veya bölünme entrops (classfcaton entropy / partton entropy) denlen

47 47 geçerllk fonksyonları önermştr. Wndham (98,98), bölünmenn bulanık kümesne maksmum üyelğ kullanılan oran üssü (proporton exponent) ve bu yöntemn değştrlmş şekl olan ve br bulanık bölünmey ver setnn küme yapısı olmayan benzer br bulanık bölünmes le algortma parametrelerne duyarlı olmayan br şeklde karşılaştırmaya dayanan unform ver fonksyonel (unform data functonal) küme geçerllğ yöntemlern öne sürmüştür. Fukuyamo ve Sugeno (989), küme merkezlernn ortalama vektörden sapmalarını brleştren br geçerllk yöntem olan Fukuyamo-Sugeno küme geçerllğ ölçüsü tanımlamışlardır. Gath ve Geva (989), ortalama bölünme yoğunluğu (average partton densty) denlen, küme hacmne ve bölünme yoğunluğuna dayalı br geçerllk fonksyonel önermşlerdr. Xe ve Ben (99), br bulanık c -bölünmes üzernden ortalama kompaktlığını ve ayrılmasını ölçen ve J m ( P, v) yeterszlk ölçüsü le merkezler arası uzaklıkları kullanan br küme geçerllğ endeks önermşlerdr. Arak, Nomura ve Wakam (993), daha önceden Daves ve Bouldn n (979) önerdğ klask küme dağılımına ve küme ayrılmasına dayanan küme geçerllğ ölçüsünü temel alarak bulanık kümeler çn Xe ve Ben nn (99) önerdğ ölçüye benzer br geçerllk endeks önermşlerdr. Rezaee, Leleveldt ve Reber (998), br c - bulanık bölünmesnn kompaktlık ve ayrılmasını göz önüne alarak grupç ve gruplar-arası dağılımın oluşturulması (compose wthn and between scatterng) çn br geçerllk fonksyonel önermşlerdr. Zahd, Lmour ve Essad (999), bulanık kompaktlık ve ayrılma blglern üyelk dereceler ve vernn yapısal özellkleryle brleştrerek bulanık ayrılma/bulanık kompaktlık oranı tanımlamışlardır. Dumtrescu,

48 48 Lazzern ve Jan (000), k bulanık küme arasındak uzaklık tanımını kullanarak, Dunn ın (974) klask bölünme çn tanımladığı ayrılma endeks (separaton ndex) yaklaşımını bulanık bölünmeler çn genelleştrmşlerdr. Dumtrescu et al., (000) küme sayısı le artmayan br geçerllk ölçüsü olan ve noktaların sınıf merkezlerne ne kadar yakın olduklarını ölçen sınıf-ç nerta (wthn class nerta) geçerllk yöntem önermşlerdr. Hathaway ve Bezdek (003), herhang br kümeleme algortması le üretlen kümeler bulmaktan zyade, bulunmuş olan kümeler gösterme aracı olan ve çeştl verler arası uzaklıkları göstermek çn djtal görüntüler kullanan br yöntem olan vsual küme geçerllğ (vsual cluster valdty-vcv) yöntemn önermşlerdr. 3.. Bölünme Katsayısı = { x x ver set ve P { u u,..., X,,..., x n =, u c, X n br bulanık bölünmes olsun. Bu bulanık bölünmenn klask bölünmeye ne kadar yakın olduğunu ölçmek çn, Bezdek (974) bölünme katsayısı (partton coeffcent) denlen br geçerllk fonksyonu önermştr.bu fonksyon, x j nn ne kadar y sınıflandırıldığının br ölçüsü olarak, s = c j u j = (3.) mktarını kullanır. s j nn maksmum değer, mnmum değer / c dr. Bu nedenle, s j uygun br göstergedr. Çünkü x j ver noktası u -nc küme merkezne yaklaştıkça, u j nn değer e yaklaşır. Sonuç olarak, s j, e yaklaştıkça, maksmum değerne de yaklaşır. Aksne, x j tüm

49 küme merkezlernden ne kadar uzak olursa, s j nn değer, olası en küçük değer olan / c ye yaklaşır. 49 Bölünme katsayısı, X ver set üzernden s j lern ortalamasıdır ve V PC sayısı olarak aşağıdak gb fade edleblr: Bölünme katsayısı V PC V c n = n PC u j = j= () VPC, P Fc ( X ); c () VPC = uj =,, j; c c. (3.) nn özellkler aşağıdak gb sayılablr: () V PC = P, X ' n klask bölünmesdr. Bölünme katsayısı br bulanık bölünmenn kaltes veya bulanık olmama ölçüsü olarak tanımlanablr. V PC bre ne kadar yakın olursa, P bölünmes o kadar ydr. Bulanık kümeleme algortmasının sonuçları küme sayısı c nn farklı değerlerne göre, bölünme katsayısı kullanılarak karşılaştırılablr. En y bölünme, bölünme katsayısı en yüksek olandır. Ancak, bölünme katsayısının değerler, verdek herhang br yapıdan bağımsız olarak uygulamada, c nn değerlerne karşı duyarlıdır. Yan, en y bulanık bölünme, her zaman en yüksek bölünme katsayısı değer le seçlemeyeblr. Bunun çn, sınıflandırma entrops kullanılablr.

50 Sınıflandırma Entrops Bezdek n (975) önerdğ sınıflandırma veya bölünme entrops (classfcaton entropy / partton entropy) bulanık bölünme le lgl belrszlğ ölçmedr (Dumtrescu et al., 000). Yan, br bulanık bölünmenn ne kadar bulanık olduğunu hesaplamaya yardımcı olur. Sınıflandırma entrops, X { x x,..., a > olmak üzere, =, x n ver set üzernden, h j c j = = u log u (3.3) a j mktarının ortalamasını hesaplar. h j, x nn üyelklernn bulanık sınıflarına nasıl yayıldığını ölçer. P { u u,..., j u u,..., u, =, u c, X n br bulanık bölünmes olmak üzere, P nn sınıflandırma entrops aşağıdak gb tanımlanan V CE sayısıdır. c V CE c n = u n j = j= log a u j. (3.4) İy br küme, sıfıra yakın br entrop değer le belrlenr. Öte yandan, entropnn ortalama değer küme sayısı le artmaktadır. Bunun anlamı da, entropnn verdek yapıdan bağımsız olarak küme sayısı le artacağıdır. Bu durumda, entrop le optmum olarak belrlenen küme sayısı, trendde br sürekszlğn gözlendğ değerdr (Wndham, 98). P Fc ( X ), c olmak üzere sınıflandırma entrops V CE nn özellkler aşağıdak gb sayılablr: () 0 V CE logc ;

51 5 () VCE = logc uj =,, j; c () = O P, klask bölünmedr. V CE 3.4. Oran Üssü Oran üssü (proporton exponent), küme sayısına veya dğer algortma parametrelerne duyarlı olmayan br küme geçerllğ fonksyonudur (Wndham, 98) ve m j = x j nn, bölünmenn bulanık kümesne maksmum üyelğ kullanılarak tanımlanır. m j ne kadar büyükse, x j noktası o kadar y sınıflandırılmıştır. m j, kaltenn gösterges yerne daha çok, ver çn üyelklern rasgele seçlmes le daha y yapılma olasılığının gösterges olarak kullanılır. { u u P =,,..., u c bulanık bölünmes le lglc n lk br bölünme matrs se, her j =,,..., n çn m j = max u t tj tanımlanablr. Eğer, m j = utj se,, j x noktasının en y tanımlandığı kümey gösterr. O zaman, I j = m j, m j x j, -nc klask kümeye atanablr. de en büyük tamsayı olmak üzere, P nn oran üssü, aşağıdak gb tanımlanan V PE sayısıdır: n ( ) n I j k+ n V PE = log ( ) k ( km j ) (3.5) j= k=

52 5 V PE nn, yalnızca her ver noktasının maksmum üyelklern çerdğ varsayılsın. Bu değerler ne kadar büyükse, kümeler le ver noktalarının belrlenmes o kadar açıktır. Böylece, geçerllğnn br ölçüsü olarak tanımlanablr. Ancak, m j ler küme m j lern değerler, küme sayısına bağlıdır. Bu zorluğu aşmak çn, PE nn hesaplanmasında sonrak adım uygulanır. P matrsnn her sütunu c -boyutlu üyelk vektörü olarak ele alınırsa, tüm c -boyutlu üyelk vektörlernn kümes MF c c n = u R u 0, u =, (3.6) = olur. Bu küme, ( c ) -boyutlu br hperdüzlem le kesşmdr. MF c nn alanı (3.7) de verldğ gbdr: c R nn lk ortantının Alan( MF ) = c c. (3.7) ( c )! Eğer, U matrs (veya P bölünmes), bulanık olmayan kümeler gösteryorsa, her sütunun oranı küçük olacaktır. Eğer c çok büyükse, benzer olarak f (U ) da çok küçük olacaktır. Çünkü, son hesaplama adımı negatf algortma alınarak yapılmaktadır. Bu yüzden, oran üssü V PE ( P) V ( U) = log f ( P), (3.8) PE olur. Bu son hesaplama, V PE nn değerlern, özellkle sıfıra yakın oranlar çn, daha büyük br aralığa yaymaktadır. Ayrıca, V PE nn büyük

53 değerlernn, P nn y br küme yapısı gösterdğn de anlatmaktadır. Bu yüzden, V PE br bulanık bölünmenn kalte ölçüsüdür. Eğer P, br x j noktası çn 53 u j =, u = 0, kj k se, maksmumları br aşan vektörlern oranı sıfır olduğu çn, V PE tanımsızdır. Bulanık kümeleme algortmaları nadren böyle br durum yaratırlar, yan V PE fonksyonunun kullanımı çn öneml br engel değldr. V PE, klask bölünmeler çn tanımlanmayan tek geçerllk fonksyonudur. V PE, dğer geçerllk fonksyonları gb, kümeleme algortmalarında, dğer parametreler arasında seçm yapmak çn kullanılablr. Örneğn, farklı başlangıç bölünmelern görel değerlern değerlendrmek çn geçerllk fonksyonları kullanılablr. Aynı zamanda, farklı kümeleme algortmaları kullanılarak elde edlen bulanık bölünmeler karşılaştırmak çn de kullanılablr. Oran üssü geçerllk ölçüsü değerlernn, c nn ne değer aldığına bakılmaksızın küme yapısı olmayan br ver setnn tüm bulanık bölünmeler çn aynı olması beklenr. Gerçekte, oran üssü, u ( x j ) =, c < c gb unform dağılan üyelkler çn, c ye duyarlı değldr. Küme yapısı olmayan br ver setnde, üyelkler değl, noktalar rasgele veya unform dağılır. Bu durumda, oran üssü yalnızca küme sayısına bağlı olur. Bu nedenle, etkl br geçerllk fonksyonu sağlamada başarısızdır.

54 Unform Ver Fonksyonel Oran üssü (proporton exponent), etkl br geçerllk fonksyonel sağlamak çn başarısız olmasına rağmen, yöntemn uygun br modfkasyonu, en azından teorde, FCM algortmasında kullanılan parametrelere duyarlı olmayan br fonksyonel bulablr. Br fonksyoneln parametrelere duyarlı olmaması şöyle açıklanablr: Eğer FCM algortması, ver yapısı olmayan br kümeye uygulanır ve daha sonra sonuç çn br geçerllk fonksyonelnn değer hesaplanırsa, bu değer, c ve m nn hang değer kullanılırsa kullanılsın, aynıdır. Eğer bu fonksyonel, sonra herhang başka br ver setne uygulanırsa, bu sabt değerden elde edlen herhang br sapma, verdek küme yapısı htyacından kaynaklanablr. Hatta, sapmanın mktarı, kümelemenn kaltesn gösterr. Böyle br fonksyonel oluşturmaya grşmeden önce, test edlecek br ver setnn olup olmadığını sormak gerekr. Başka br deyşle, küme yapısı olmayan br ver set olup olmadığını sormak gerekr. Bu ver setnn belrlenmes, unform ver fonksyonel (unform data functonal- UDF ) oluşturulmasının lk adımıdır. Br unform ver fonksyonel, br bulanık bölünmenn kalte ölçüsüdür. UDF ler, özellkle küme sayısı gb algortma parametrelerne duyarlı olmayan kalte ölçüsü elde etmek çn Wndham tarafından öne sürülmüştür ve yalnızca kümelemenn kaltesndek farka yanıt verr (Wndham, 98). Br UDF, etknlğn tam anlamıyla küme yapısıyla tanımlanmasını ölçer. Unform dağılmış noktaların br kümes Y olsun. Br u kalte fonksyonu eğer aşağıdak koşulları sağlıyorsa br UDF dr.

55 () Y nn herhang br bulanık bölünmes çn u nun değer v 0 gb br sabttr. () Unform olmayan herhang dğer br ver set çn, u nun v 0 dan herhang br sapması, verdek küme yapısına bağlı htyaçtan olablr. () u nun değerler küme sayısına veya dğer algortma parametrelerne duyarlı değldr. Unform ver fonksyonel, P bulanık bölünmesn ver setnn küme yapısı olmayan benzer br bulanık bölünmes le algortma parametrelerne duyarlı olmayan br şeklde karşılaştırmaya dayanır. UDF nn değerndek değşmler, bulanık kümelemenn kaltesndek değşmlere bağlıdır. Küme altyapısı olmayan br ver set, unform dağılımlı noktaların tam olarak br kümesn çerr. Hatta, FCM algortması yalnızca küre şeklnde kümeler belrleme eğlmnde olduğundan, ver set küresel olmalıdır. O zaman, seçlecek doğal küme, Y = B = { x R : x unt ball dur. Tab k, bu set sonsuzdur ve FCM algortması d uygulanamaz. B y bırakmak yerne, FCM n sonsuz setlerde uygulanablr br genşlemes verleblr: v, D d d 55 bulanık sınıfının prototp, yan merkez olsun. v = { v,..., v c, Q nun temsldr. y Y noktası ve v arasındak benzemezlk, olur. d ( y, v ) D ( y) y v D ve v arasındak I ( D, v ) yeterszlğ se; = (3.9)

56 56 = = Y Y dy v y y D dy v y d v D I ) ( ), ( ), ( (3.0) olarak yazılablr. O zaman, Q le v arasındak ), ( v Q J yeterszlğ; = = c D v I v Q J ), ( ), ( (3.) şeklnde elde edlr. Yan, M tanımlı, poztf, smetrk s s matrs olmak üzere, amaç fonksyonu; = = = = Y c T c Y dy v y M v y y D dy v y y D v Q J ) ( ) )( ( ) ( ), ( (3.) olarak yazılablr. c v J,...,, = 0 = koşullarından; amaç fonksyonunun mnmuma ulaşması çn gerekl koşullar aşağıdak gb elde edlr: c dy y D dy y y D v Y Y,...,, ) ( ) ( = = (3.3) elde edlr. O zaman, v nn k bleşen,

57 57 D ( y) yk dy k Y v =, k =,..., s D ( y) dy Y (3.4) olur. Lagrange çarpanları yöntem kullanılarak, D (y) çn aşağıdak fade elde edlr: D ( y) =, =,..., c. (3.5) c y v k = y vk v ve D (y) çn elde edlen formüller teratf yöntemler kullanılarak, en azından teorde, sonsuz kümenn br bulanık c - bölünmes hesaplanablr. Bu yönteme Genşletlmş FCM Algortması adı verlr (Wndham, 98). Eğer böyle br kümeleme, c, m ve d nn herhang br seçm çn elde edleblyorsa, o zaman bu parametrelere duyarlı olmayan br geçerllk fonksyonel oluşturulablr. İlk önce, sınıflandırılmanın kaltesndek artış le azalan br kalte ölçüsü seçlr. Örneğn, ( u ( x)) yerne ( u ( x)) yazılablr. ρ ( x ) = x noktasının sınıflandırma kaltesnn ölçüsü olmak üzere ρ : B d R tanımlanır. Daha sonra, r d S B olmak üzere, ρ nun aralığındak her r çn d S( r) = { x B ρ ( x) r ve son olarak φ : R [0,] le volume of S(r) φ = (3.6) d volume of B

58 58 tanımlanır.φ fonksyonu, φ ( ρ( x)), x n kendsnden daha y d sınıflandırıldığı B ver setnde oran olmak üzere, br noktanın sınıflandırma derecesnn ölçüsünü sağlar. Bu fonksyonun aynı zamanda, φ( ρ( x)) dx B d volume of B d = (3.7) özellğ de vardır. Yan, elde edlen kümelemeden veya kullanılan ρ fonksyonundan bağımsız olarak d B üzernden φ. ρ nun ortalama değer ½ dr. Sonuçta, ρ, c, m ve d nn her seçm çn φ fonksyonlar ales elde edlmş olur. Bu fonksyonlar kullanılarak, UDF şöyle tanımlanablr. Eğer, X { x x,..., x n =, d-boyutlu vektörler set ve U, c ve m parametreler kullanılıp FCM algortması uygulanarak elde edlmş c n lk üyelkler matrs se, o zaman, ρ sınıflandırma ölçüsü olmak üzere, V n = φ ( ρ( )), (3.8) n UDF x j j= oluşturularak, söz konusu parametrelere duyarlı olmayan ve yalnızca algortma le üretlen kümelemenn kaltesndek farka yanıt veren br ölçü elde edlmş olur. Bu, ρ üzernden c, m ve d nn aynı değerler çn elde edlen amaç fonksyonudur. Bu sadece, φ. ρ ver set üzernden ortalamadır ve sonuçta eğer, V UDF nn değer ½ ye yakınsa, FCM n ver setnde br küme yapısı bulmadığı söyleneblr. Ayrıca,

59 UDF, noktaların eğer unt ball dan seçlmş olsalar, daha y sınıflandırılacakları olasılıklarının ortalaması olarak yorumlanablr. Sonuç olarak, V UDF değer sıfıra ne kadar yakınsa, kümeleme o kadar ydr Ayrılma Endeks Dunn (974), klask bölünme çn br ayrılma endeks (separaton ndex) tanımlamış ve Dumtrescu, Lazzern ve Jan (000), k bulanık küme arasındak uzaklık tanımını kullanarak Dunn ın yaklaşımını bulanık bölünmeler çn genelleştrmşlerdr. SI ayrılma endeks küme sayısına ya da dğer algortmk parametrelere duyarlı olmayan br geçerllk fonksyoneldr ve küresel veya elpsod şekl gösteren bulanık bölünmeler karşılaştırmak çn kullanılır (Dumtrescu et al., 000). δ ( u ), u bulanık sınıfının çapı olmak üzere, δ ( u ) = max[mn( u, u ) d( x, x )], (3.9) j, k br P bulanık bölünmesnn V SI ayrılma endeks, j k j k V SI max mn d( u, u k k ) = (3.0) mnδ ( u ) k olarak tanımlanır. u ve kümeler olduğundan, aralarındak uzaklık u k, X sonlu kümesnde tanımlı bulanık

60 60 t t k d( u, u ) = D( u, u ) dt (3.) k 0 t t formülüne dayanarak hesaplanablr. Burada D ( u, uk ), t sevye kümeler olmak üzere, klask t u ve t u k kümeler arasındak uzaklıktır. V > olduğunda, kompakt ve ayrılmış sınıflar bulunmuş olur. SI 3.7. Fukuyamo-Sugeno Küme Geçerllğ Ölçüsü Fukuyamo-Sugeno küme geçerllğ ölçüsü, m X = M (X ), X ver setnn ortalama vektörü olmak üzere, amaç fonksyonu le v, =,..., c küme merkezlernn ortalama vektörden sapmalarını brleştrr (Fukuyamo ve Sugeno, 989). Fukuyamo-Sugeno geçerllk fonksyonu aşağıdak gb tanımlanablr: V FSm ( P, v) = c = J u = j= m n m j [ d ( P, v) ( x, v ) d j ( m c n d ( mx = j= X, v ) u, v )] m j (3.) Eğer, knc fade olarak gösterlrse, K m = c n X = j = ( P, v) d ( m, v ) u (3.3) m j

61 V FSm 6 ( P, v) = J ( P, v) K ( P, v) (3.4) yazılablr. K m ( P, v), u ye olan üyelkler, u 'nn m m v prototpler ve vernn ortalama vektörü arasındak uzaklık le brleştrr. ( P, v), v temslnn geometrk kompaktlığı olarak düşünüleblr. K m 3.8. Xe-Ben Küme Geçerllğ Ölçüsü Xe ve Ben (99), J m ( P, v) yeterszlk ölçüsü le merkezler arası uzaklıkları kullanan br V XB küme geçerllğ endeks önermşlerdr. Yan, bu küme geçerllğ ölçüsünde bulanık ver kümelemesnn kaltesn fade etmek çn yalnızca üyelkler kullanılmaz. Bu geçerllk fonksyonel, br bulanık c -bölünmes üzernden ver setnn ortalama kompaktlığını ve ayrılmasını ölçer. π le gösterlen oran, tüm ver setnn büyüklüğünün toplam varyasyonunu ölçer. Yan, = c n = j = j σ ( P, v) u d ( x, v ) (3.5) olmak üzere, π = ( σ / n), br ver setnn bulanık c -bölünmesnn kompaktlığı olarak adlandırılır. π değer, her sınıfın ne kadar kompakt olduğunu ölçer. Sınıflar ne kadar kompakt se, π o kadar küçük olur. π, ver setnn karakterstkler dağılımının ve daha da önemls, verlern kümelere nasıl dağıtıldığının br fonksyonudur. Ancak, ver noktalarının sayısından bağımsızdır. Br j

62 6 ver set çn, küçük br π değer, daha kompakt kümeler le br bölünmeye ulaşıldığının, yan daha y br bölünmenn göstergesdr. Benzer olarak, π = σ / n ) mktarına da sınıfının kompaktlığı ( adı verlr. n, sınıfındak vektörlern sayısı olduğundan, ( σ / n ) sınıfındak ortalama varyasyonu gösterr. gösterr. Br bulanık c -bölünmesnn ayrılması se aşağıdak gb tanımlanır:, sep( v) = mn d ( v, v ) (3.6) sep (v) nn büyük değer, tüm kümelern y ayrılmış olduğunu O zaman, kompaktlık ve ayrılma geçerllk fonksyonel V XB, kompaktlık ölçüsü π nn ayrılma ölçüsü sep (v) ye oranı olarak tanımlanablr. Yan, k s v R, u bulanık sınıfının prototp olmak üzere, P ve v = v,..., v le tanımlanan kümelemenn V XB ölçüsü { c aşağıdak gb yazılablr: k V XB c n ujd ( x j, v ) = j= = (3.7) n mn d ( v, v ) k k En y bulanık bölünme, tüm sınıfların kompakt ve ayrılmış olduğunun gösterges olan V XB geçerllk fonksyoneln mnmum yapan değer olarak elde edlr.

63 V XB nn tanımı, üyelk derecelern bulmak çn kullanılan algortmadan bağımsızdır. Yan, FCM algortması çn m = olduğunda, V XB aşağıdak gb yazılablmektedr: V XB V XB 63 J ( P, v) = (3.8) n mn d ( v, v ) k nn mnmze edlmes, FCM algortmasının amacı olan, J ( P, v) nn mnmze edlmes le lgldr. k

64 64 4. BAŞLANGIÇ KÜMELERİN OLUŞTURULMASI Kümeleme algortmalarında dğer öneml adımlardan br, başlangıç kümelern oluşturulmasıdır. Buna bağlı olarak kümeleme algortmasının sonuca ulaşma hızı değşeblr ve aynı zamanda oluşturulmuş sonuç kümelern şekller farklı olablr. Bundan dolayı, kümeleme algortmasında kullanılan başlangıç kümeler oluşturma yöntemler büyük önem taşır. Tez çnde sunulan program sstemnde dğer çalışmalarda daha sık kullanılan başlangıç kümelern oluşturulması yöntemler yer almaktadır. 4.. Mountan Yöntem Yager ve Flev (994(a, b)), küme merkezlernn tahmn edlmes çn Mountan yöntem olarak adlandırdıkları br algortma önermşlerdr. Bu algortma, FCM algortmasında kullanılacak küme merkezlernn başlangıç tahmnlern elde etmek çn br araç olmasının yanında, küme merkezlernn yalnızca yaklaşık değerlernn stendğ durumlarda, başlı başına br kümeleme algortması olarak da kullanılablmektedr. Mountan yöntemnn özü, nsanoğlunun görsel olarak küme oluşturmak çn yaptıklarına dayanmaktadır (Jang et al., 997). Mountan yöntemnde lk adım, s R de br düğüm (grd) s oluşturarak, R nesneler uzayını kesklendrmektr. Düğüm noktalarında oluşan düğüm doğruların kesşm, stenlen kesklendrmey sağlar. Böyle noktaları çeren s R nn sonlu alt kümes G,..., s, aday küme merkezlern oluşturur. Yan, sonuç merkezlern yaklaşıklık derecesnn, düğümlemenn kaltesne duyarlı olduğu görülür. Düğümleme ne kadar

65 y olursa, yaklaşıklık azalır; ancak hesaplamalar artar. Düğümleme s R de unform olmak zorunda değldr ve uzayın farklı bölümlernde düğümlemenn farklı yoğunlukları olablr. İknc adım, verlern grlmes ve V de tanımlı mountan fonksyonunun (M ) oluşturulmasıdır. M nn oluşturulması çn, her x k vers çn her G noktasındak M ye br mktar eklenr. Bu eklenen mktar, x k nın G den uzaklığına bağlıdır. Yan nokta merkeze ne kadar yakınsa, eklenecek mktar artmaktadır. Böylece, tüm noktalar ele s alındıktan sonra, R de verlern dağılımını yansıtan sıradağa benzer br fonksyon elde edlmş olur. 65 x özellk değerlernn olasılık yoğunluk fonksyonunun G,..., s düğüm noktalar dzsnde j ndsler le düzgün, dkdörtgensel düğüm noktalar; d, uzaklık ölçüsü; s ver setnn boyutu, n ver sayısı ve α sezgsel olarak belrlenen parametre olmak üzere, Mountan fonksyonu aşağıdak gbdr: M ( G ) exp[ α d( x, G )]. (4.),..., s = n k= k,..., s Sonrak adım, tepelern yıkılarak, küme merkezlernn seçlmesdr. İlk küme merkez, G,..., s de, bu sıradağın zrves olan ve maksmum M değernn olduğu G düğüm noktasında bulunur. G,..., s dek G den olan uzaklıklarına bağlı olarak M G ) değernden br mktar çıkarılır. Bunun amacı, tepeler küçültmektr. Daha sonra yen zrve aranır. Bu yen zrve, knc küme merkez, G, olur. G ve değer yne (

66 66 mountan fonksyonunu düşürür. Mountan fonksyonu gözle görülür şeklde bozulana kadar bu şleme devam edlr. * M ( G,..., ) = M ( G,..., ) M exp [ β d( G j,..., j, G,..., )]. (4.) s s s s Burada, β sezgsel olarak belrlenen parametre M lk küme elendkten sonra elde edlen Mountan fonksyonu, M orjnal Mountan fonksyonu ve M *, M mountan fonksyonunun j,..., j düğüm s noktasında ulaştığı maksmum değerdr. Sonra yenden fonksyonuna en büyük değer veren düğüm noktası bulunur ve bu nokta knc küme merkez olarak ele alınır. Bu döngü * M k * M < δ M olana kadar devam eder. Burada k, sonuncu bulunan kümenn numarası ve δ, herhang belrl küçük br sayıdır. Mountan yöntemnn algortması aşağıdak gb verleblr: Mountan Yöntem Algortması ADIM : α, β ve δ parametrelernn değer ve G düğümü belrlenr. k= alınır. ADIM : (4.) eştlğ le M = M Mountan fonksyonu hesaplanır. ADIM 3 : M fonksyonunun değernn maksmum olduğu G düğüm noktası seçlr. ADIM 4 : (4.) eştlğne dayanarak yen k M fonksyonu hesaplanır.

67 ADIM 5 : * 67 M k < δ se DUR! Aks halde k=k+ alınarak Adım 3 e * M dönülür. Düğümlemenn yapılması le sürekl optmzasyon problemnn sonlu br probleme yaklaştırılması, mountan fonksyonunu bozulması le yen merkezler aranırken, bulunmuş merkezlern etksnn yok edlmes sağlanır. Mountan yöntem algortmasının performansı, α ve β parametrelernn seçm, düğümlemenn tanelendrlmesne (granularty) ve δ nın seçmne bağlıdır. 4.. Gelştrlmş Mountan Yöntem Yager ve Flev n (994(a,b)) önerp, Chu nun (994) sadeleştrdğ Mountan yöntemn büyük veya çok boyutlu ver setlerne uygulamak zor olduğundan, düğüm noktaların sayısını ndrgemek çn Velthuzen et al. (997) Gelştrlmş Mountan yöntemn (Modfed Mountan Method) önermşlerdr. Gelştrlmş Mountan yöntemnde sözü geçen ndrgeme, çok-boyutlu hstogramdan aday küme merkezlernn seçlmes le sağlanır. Hstogramın hesaplanması çok hızlı yapılablr. Yan, hstogram çn düğüm noktaların sayısı, hesaplama zamanı le sınırlı değldr. Aday küme merkezler, Khotanzad ve Bouarfa nın (990) önerdğ graf teors bazında yaklaşıma dayanan br yöntem kullanılarak belrlenr. Hstogramdak her hücre çn, çevresndek komşu hücreler çnde eleman sayısı en çok olana br ok yönlendrlr. Daha sonra aday küme merkezler, bell br eşğn üzernde ok sahb olan hücreler çnde aranır.

68 68 Mountan yöntemnde (4.) eştlğ le verlen α çekrdek genşlğ (kernel wdth), Gelştrlmş Mountan yöntemnde aşağıdak gb hesaplanır: α = (4.3) [ trace( Σ) / n] r( N / c) Burada, Σ, verlern dağılışının kovaryans matrs, N, örneklem sayısı, s, verlern boyutu ve Γ (.), Gamma fonksyonu olmak üzere, r aşağıdak gb hesaplanır: s+ Γ [( s + ) / ] r = ( / ) + (4.4) s ( s + ) Orjnal Mountan yöntemnde, küme merkezler, mountan fonksyonundak en yüksek tepe olarak belrlenyordu ve kümenn etks, (4.) eştlğ le elenyordu. Üst üste gelen dağılımlı kümeler çn, kümelern başarılı br şeklde elenmes çok önemldr. Orjnal Mountan yöntem, sabt br çekrdek kullandığı çn, eleme parametres β nın seçmne karşı da duyarlıdır. Yan, mountan fonksyonunda yerel komşuluklara bağlı olarak kümenn dağılımının gerçek şeklnn tahmn kullanılır. Bu yaklaşım, sabt br çekrdek yerne, dağılımın gerçek şekl kullanıldığı çn, yöntemn β parametresne olan duyarlılığını yok eder. Mountan fonksyonunun gerçek en yüksek tepe değerne sahp aday küme merkez belrlendkten sonra, en yakın aday küme merkezlerne olan uzaklıklar kullanılarak, tepenn yerel komşulukları belrlenr. Daha sonra mountan fonksyonu, seçlen aday küme merkez

69 69 etrafında düğüm noktaların sınırlı sayısı le fne düğüm üzernde değerlendrlr. Yoğunluk fonksyonlarının şekl çn açık br seçm, çok değşkenl normal dağılımdır. Bu dağılım, brçok doman çn optmal seçm olmayablr, ama genellkle doğru dağılım blgsnn eksklğnde uygun br seçm olacaktır. Gelştrlmş Mountan yöntemnn algortması aşağıdak gb verleblr: Gelştrlmş Mountan Yöntem Algortması ADIM : Hstogramdak tepelerden global ADIM : (4.3) eştlğ kullanılarak α hesaplanır. ADIM 3 : (4.) eştlğ kullanılarak global ADIM 4 : hesaplanır. G g düğümü belrlenr. M g Mountan fonksyonu M g fonksyonunun değernn maksmum olduğu G düğüm noktası seçlr. ADIM 5 : Maksmum belrlenr. M g lern komşulukları çnde yerel düğüm G ADIM 6 : M de vadler aranır ve G de kümeye at olan noktalar seçlr. ADIM 7 : Seçlen noktaların çok değşkenl normal dağılıma uyumu sağlanır. ADIM 8 : Bulunan normal dağılım M g den çıkarılır.

70 70 ADIM 9 : c sayıda tüm kümeler bulunana kadar Adım 4 le devam edlr K -En Yakın Komşuluk Kuralı Bulanık c -ortalamalar kümeleme algortması (FCM), her zaman küme merkezlernn başlangıç tahmnnden başlayarak J m nn kümeleme endeksnn br yerel optmasına yakınsar. Bu küme merkezlernn başlangıç yerlernn nasıl seçldğ, sonuca varılablmes açısından öneml değldr. Fakat, küme merkezlernn farklı başlangıç seçmler, farklı yerel optmalara götürür. K -En Yakın Komşuluk ( K -Nearest- Neghbours) ( K -NN) karar kuralı, başlangıç küme merkezlernn br denetlenmemş zlemesn yapmaya dayanır (Zahd et al., 00). Bu kural, model tanıma problemler çn kullanışlı br parametrk olmayan yöntem sağlar. Bu, kümelenmeyen br y nesnesn, K, y nn en yakın nesnelernn sayısı olmak üzere, K -en yakın komşuları arasında en y temsl edlen kümeye atar. Klask K -en yakın komşuluk algortması aşağıdak gbdr:

71 7 ADIM : Klask K-En Yakın Komşuluk Algortması = verlsn. Etketlenmemş ver set X { x,..., Herhang br kümelenmemş y belrlenr. y nn en yakın komşularının sayısı K belrlenr. ADIM : = alınır. Do Untl ( y ye en yakın K -NN bulunana kadar) y le x arasındak d ( y, x ) uzaklığı hesaplanır. If ( K) then x, K -NN n E kümesne eklenr. Else If ( x,öncek herhang br en yakın komşudan y ye daha yakın se) then E kümesndek en uzak brm slnr, x eklenr. EndIf = + End Do Untl ADIM 3 : E kümesnde temsl edlen çoğunluk küme belrlenr. end. y, çoğunluk kümesne eklenr. x n

72 7 X n başlangıç küme merkezlern yerleştrme algortmasının lk aşaması aşağıdak gbdr: { x X =,...,, n tane etketlenmemş nesnenn sonlu kümes ve x n c, verlen küme sayısı olsun. İlk aşama, tüm uzay X n c hücreye bölünmesn çerr. Aynı hücrede nesneler Eucld anlamda brbrne benzerdr. Bu gruplama K -NN algortmasının lk k adımı kullanılarak bulunur. Başka br deyşle, her hücrenn aranması şu şeklde yapılır: her c çn, her hücre E : ( y, y nn K -en yakın komşuları, G ), olarak formüle edlen br K -en yakın komşuluk kümes le gösterlr. Bunun anlamı, her y brm çn K -en yakın komşuluğu le lgl br kümesnn bulunacağıdır. verldğ gb tanımlanır: y aşağıdak gb belrlenr: E kümesnn = se, y aşağıdak koşulları sağlar: y E y, tüm olan breydr. E G ortalama merkez (4.5) te = x x k E k G. (4.5) K + x k X breylernn G 0 global ortalamasından en uzak G x xk X k = n 0. (4.6) c se, E y oluşturan y brey aşağıdak koşulları sağlar:

73 73 y E, y Eα, α, y, y α nın K -en yakın komşuluğunda değldr, y, G den en uzak olan breydr. Pratkte y nn K -en yakın komşularının sayısı, ve (n-) arasında değşeblr. Öte yandan, E, ( c), kümelernn sayısı c, K ya bağlıdır. K ( n ) c olur ve eğer K c n / olur. Böylece, K, c nn br fonksyonu gb tanımlanır: n K = Int. (4.7) c Küme sayısı c, kullanıcı tarafından veya küme geçerllğ yöntemlernden br kullanılarak tahmn edleblr. Bazı özel durumlarda, sınıflandırılmamış x breyler ( c x ( E,..., E )) en yakın merkeze G, G,..., G ) atanır ve sonra tüm ( c bu merkezler güncellenr. Yan, bu adımın sonunda tüm breyler, elde edlen E, E,..., E ) kümelerne atanır. Dğer br deyşle, bu yöntem ( c le X ver set c homojen gruba bölünür, başlangıç küme merkezler tanımlanır ve en y bölünmeye yaklaşılır. Elde edlen bölünmey bulanıklaştırmak çn, knc aşama FCM algortmasının br terasyonunu kullanılır. Bulanık üyelk derecelern ve yen bulanık merkezler hesaplamak çn. Bölümde verlen (.3) ve (.4) no lu eştlkler kullanılır.

74 74 5. PROGRAM SİSTEMİNİN ÇALIŞMA PRENSİPLERİ Bu bölümde,, 3 ve 4. Bölümlerde ncelenen yöntemler ve algortmalar çn oluşturulmuş program sstemnn anlatımı ve çalışma prenspler ele alınmıştır (Nasbov vd., 004). Söz konusu program sstem, Borland C++ Bulder 6.0 programlama ortamında yazılmış ve Intel Pentum IV,.7 GHz, 56 MB RAM teknk özellkler olan blgsayarda uygulanmıştır. 5.. Program Sstemnn Temel Modulları Bu kısımda, program sstemnde oluşturulan formlar, fonksyonel buttonlar, blgsel komponentler ve fonksyonel modullar hakkında blg verlecektr Formlar Program çalıştırıldığında ekrana lk önce Şekl 5. dek pencere gelr. Kümelemenn yapılablmes çn lk önce çalışılacak tablonun seçlmes gerekmektedr. Bunun çn, Table buttonuna basılarak açılan pencereden (Şekl 5.), üzernde şlem yapılacak ver set seçlr.

75 75 Şekl 5.6 Programın açılış penceres. Şekl 5.7. İşlem yapılacak ver setnn seçleceğ pencere.

76 76 İk boyutlu kümelemede Vsual Input buttonuna basıldığında şlem yapılacak tabloda bulunan verler Şekl 5.3 tek gb gözükür ve yen verlern vsual olarak grlmesne olanak sağlanır. Pencerenn sağ alt köşesnde, yen grlen verlern sayısı ve onun yanında se mevcut ver sayısı sırasıyla New ve Old kısmında gösterlmektedr. AutoSzng parametres seçldğnde, verlern mnmum ve maksmum değerler dkkate alınarak formun ölçeğnn X ve Y koordnatları boyunca otomatk olarak ayarlanması sağlanır. Ver kümes değştrldkten sonra, kümelemenn her defa yenden yapılması gerekmektedr. Şekl 5.8. İşlem yapılacak ver setnn vsual gösterm ve yen verlern eklenmes.

77 77 Daha sonra, ana menüde Optons seçeneğ seçlerek, Şekl 5.4 te görünen pencerede Vsual Input Parameters kısmından grlecek verlern X ve Y koordnatları boyunca ölçeğ, Dmenson kısmından ver uzayının boyutu, Cluster Valdty kısmından küme sayısını belrlemek çn kullanılan yöntem ve Cluster Intalze Method kısmından se başlangıç küme merkezlernn belrleneceğ yöntem seçlr ve Fuzzfcaton Exponent kısmından bulanıklaştırma parametresnn değer belrlenr. Şekl 5.9. Seçenek penceres. Kümeleme şlemn, küme sayısını geçerllk ölçülerne bağlı olarak belrleyecek şeklde gerçekleştrmek çn açılış penceresndek AutoClusterng düğmesne basılması gerekmektedr. Buna göre bulunan kümelern optmal sayısı, seçlmş küme geçerllğ yöntemne uygun değer ve küme merkezlernn koordnatları ekranın sol üst

78 78 bölümünde görüntülenr (Şekl 5.5). Ekranın sağ alt kısmında se, çalışılan ver tabanının sm görülmektedr. Şekl 5.0. Kümelemenn uygulanması. Kümelemenn sonuçlarını ekrana vsual olarak vermek çn Graphcs düğmes kullanılır. Şekl 5.6 da k boyutlu kümelemenn sonuçları ve küme merkezler görülmektedr. Elemanların farklı kümelere at olmasını ayırt etmek çn her kümenn elemanları farklı renklerde görünür ve kümelern renkler kullanıcının steğne bağlı olarak merkezlern yanındak renk kutularının üzerne tıklayarak değştrleblr (Şekl 5.7).

79 79 Şekl 5.. İk boyutlu kümeleme sonuçları ve sonuç küme merkezler. Şekl 5.. Başlangıç küme merkezlernn görüntülenmesnn seçlmes.

80 80 Başlangıç küme merkezlern, yen bulunan küme merkezler le brlkte görüntülemek çn IntGraphcs seçeneğ seçlr. Böylece, renkl kareler le verlen sonuç küme merkezlerle beraber, başlangıç küme merkezler de syah kareler olarak Şekl 5.8 dek gb görüleblr. Şekl 5.3. İk boyutlu kümeleme sonuçları, başlangıç ve sonuç küme merkezler. Grafk penceresnn sol alt kısmında bulunan Senstvty kısmında ok hareket ettrlerek, elemanların kümelere mnmum at olma dereceler belrlenr ve Redraw buttonuna basıldığında yalnızca belrlenen üyelk derecesnden yüksek derece le kümelere at olan elemanlar grafkte görünür (Şekl 5.9).

81 8 Şekl 5.4. Kümelere bell br derecenn üzernde üyelğ olan elemanların grafğ. Şekl 5.5. Tek boyutlu kümelemenn uygulanması.

82 8 Optons seçeneğnde Dmenson kısmında ver uzayının boyutu tek boyutlu olarak seçlp AutoClusterng ten kümeleme şlem yapıldığında, optmal küme sayısı, seçlmş küme geçerllğ yöntemne uygun değer ve küme merkezler ekranın sol bölümünde Şekl 5.0 dak gb görüntülenr. Tek boyutlu kümeleme sonuçları ve küme merkezler Şekl 5. dek gb görüntülenmektedr. Şekl 5.6. Tek boyutlu kümeleme sonuçları ve küme merkezler. Grafğ çzdrmeden önce IntGraphcs parametres şaretledğnde, k boyutlu kümelemede olduğu gb, tek boyutluda da başlangıç kümeler (koyu syah hatlar), sonuç kümelerle (renkl eğrler) beraber görüntülenmektedr (Şekl 5.).

83 83 Şekl 5.7. Tek boyutlu kümeleme sonuçları, küme merkezler ve başlangıç kümeler. Şekl 5.8. Küme sayısını vererek kümelemenn uygulanması.

84 84 Kümeleme şlemn küme sayısını önceden belrleyerek gerçekleştrmek çn, açılış penceresndek Number of Clusters parametresne değer vererek Clusterng düğmesne basılması gerekmektedr. Kümeleme şlem bttkten sonra, seçlmş küme geçerllğ yöntemne uygun değer de ekranın sol üst bölümünde görüntülenr (Şekl 5.3) Menüler Programın açılış penceresnde Optons menüsünden Parameters seçldğnde, ekrana öncek bölümde Şekl 5.4 te gösterlen form gelr. Bu formdak yöntemlern seçmne lşkn blgler lgl bölümde anlatılmıştır. Yne aynı pencerede, Help menüsündek About seçeneğ seçldğnde se, ekrana Şekl 5.4 te verlen pencere gelmektedr. Şekl 5.9. Program sstem hakkında blgler penceres.

85 Fonksyonel Buttonlar Programın açılış penceresnde bulunan buttonlar ve kullanım amaçları aşağıda verlmştr: Graphcs - Kümeleme sonuçlarını ekrana vsual olarak vermek çn kullanılır. Bu buttonun çalışması Şekl 5.6 da gösterlmştr. Table - Kümeleme yapablmek çn çalışılacak ver setnn seçlmes amacıyla kullanılır. Bu buttona basıldığında ekrana gelen pencere Şekl 5. de verlmştr. Clusterng - Kümeleme şlemn küme sayısını önceden belrleyerek gerçekleştrmek çn, açılış penceresndek Number of Clusters parametresne değer verlerek bu buttona basılır. AutoClust - Kümeleme şlemn Optons menüsünden seçlmş olan küme geçerllğ yöntemlernden br le gerçekleştrerek küme sayısını otomatk olarak belrlemek çn kullanılır. Clear - Kümeleme şlemn yenden gerçekleştrmek çn, kümelere at esk üyelk derecelern temzler. Ext - Programdan çıkışı sağlar. Vsual Input - Bu buttona basıldığında şlem yapılacak tabloda bulunan verler görüntülenr. Ekrana gelen pencere Şekl 5.3 te ve pencerede yapılacak şlemlern açıklaması lgl bölümde verlmştr. Open/Close - Üzernde çalışılan ver set tablosunu aktf/pasf duruma geçrr.

86 86 Empty - Yen ver grş yapablmek çn çalışılacak ver setn temzler. Ver setn yanlışlıkla slmemek çn ekrana önce Şekl 5.5 te gösterlen uyarıcı pencere çıkarılır ve onay stenr. Şekl Tablo slmek çn uyarı penceres Blgsel Komponentler Number of Clusters - İşlem yapılacak ver setndek küme sayısı önceden blnyorsa, Clusterng buttonuna basmadan önce bu komponentn penceresne değer verlmes gerekmektedr. Eğer kümeleme şlem AutoClust le yapılmışsa, yne bu komponentn penceresnde bulunan kümelern optmal sayısı görüntülenr. Part.Coef. - Seçlen küme geçerllğ yöntemne lşkn (Partton Coeffcent, Classfcaton Entropy, Separaton Index, UDF veya Fukuyamo-Sugeno) değern gösterr. V...V7- Kümeleme şlem yapıldıktan sonra optmal küme sayısına göre (-7 arası) bulunan küme merkezlernn koordnatlarını gösterr.

87 87 IntGraphcs - Yen bulunan kümelerle beraber başlangıç kümeler de görüntülenmek stendğnde, bu parametrenn şaretlenmes gerekmektedr. Ayrıntılı blg Şekl 5.7, 5.8 ve 5. de verlmştr. DataBase - Çalışılan ver setnn adını gösterr Fonksyonel Modullar Bu kesmde, formlardak fonksyonlar ve kullanım amaçlarına değnlmştr. TForm formuna bağlı fonksyonlar: vod _fastcall TForm::AboutClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, program sstem hakkında blgler çeren formu ekrana çıkarır. vod _fastcall TForm::ButtonClck (TObject *Sender) Bu fonksyon, kümeleme şlemn gerçekleştrr. vod _fastcall TForm::ButtonClck (TObject *Sender) Bu fonksyon, çalışılan tabloyu aktf/pasf duruma geçrr. vod _fastcall TForm::Button3Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon yenden kümeleme yapablmek çn kümelere at esk üyelk derecelern temzler. vod _fastcall TForm::Button4Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, tek ve k boyutlu hallerde kümelern grafğn çzer.

88 88 vod _fastcall TForm::Button5Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, programdan çıkışı sağlar. vod _fastcall TForm::Button6Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, üzernde çalışılacak ver setnn seçlmesn sağlar. vod _fastcall TForm::Button7Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, başlangıç küme merkezlern belrlemektedr. vod _fastcall TForm::Button8Clck (TObject *Sender, TMouseButton Button, TShftState Shft, nt X, nt Y) Bu fonksyon, çalışılan ver setnn ekranda vsual olarak görüntülenmesn sağlar. vod _fastcall TForm::Button9Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, yen ver grş yapablmek çn çalışılacak ver setn temzler. vod _fastcall TForm::Button0Clck (TObject *Sender) Bu fonksyon, küme sayısını otomatk olarak belrleyerek kümeleme şlemnn gerçekleştrmek çn kullanılır. vod _fastcall TForm::FormDestroy (TObject *Sender) Bu fonksyon, Form üzernde dnamk olarak oluşturulmuş nesneler yok ederek belleğn boşalmasını sağlar.

89 89 vod _fastcall TForm::ShapeMouseDown(TObject *Sender, MouseButton Button, TShftState Shft, nt X, nt Y) Bu fonksyon, kullanıcının steklerne bağlı olarak kümelern renklernn belrlenmesn sağlar. vod _fastcall TForm::SzeClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, parametrelern ayarlanması çn Form 4 ü çağırır. TForm formuna bağlı fonksyonlar: vod _fastcall TForm::ButtonClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, grafk penceresn kapatır. TForm3 formuna bağlı fonksyonlar: vod _fastcall TForm3::ButtonClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, ekrana vsual olarak verlen ver set penceresn kapatır. vod _fastcall TForm3::CheckBoxClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, koordnatların ölçeklern verlere bağlı olarak otomatk şeklde ayarlar. vod _fastcall TForm3::FormPant(TObject *Sender) Bu fonksyon, ver tabanındak elemanları form üzernde vsual olarak görüntülemek çn kullanılır.

90 90 vod _fastcall TForm3::ImageMouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShftState Shft, nt X, nt Y) Bu fonksyon, form üzernde mouse un tıklandığı yerde nokta oluşturur ve aynı zamanda bu noktanın koordnatları ölçekler dkkate alınarak ver tabanına kaydedlr. vod_fastcall TForm3::FormClose(TObject *Sender, TCloseActon&Acton) Bu fonksyon, Form 3 kapanırken, üzernde dnamk oluşturulmuş olan nesneler yok eder. vod _fastcall TForm3::FormShow(TObject *Sender) Bu fonksyon, form görüntülenrken koordnatların başlangıç ölçeklern ve görüntülenen eleman sayılarını belrtr. TForm4 formuna bağlı fonksyonlar: vod _fastcall TForm4::ButtonClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, form penceresn kapatır. vod _fastcall TForm4::RadoGroupClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, küme geçerllğ yöntem değştrlrken, Form dek lgl blgy değştrr. vod _fastcall TForm4::Edt3Ext(TObject *Sender) Bu fonksyon, bulanıklaştırma üssünün değern ayarlar.

91 9 TForm5 formuna bağlı fonksyonlar: vod _fastcall TForm5::ButtonClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, k boyutlu kümelemenn sonuçlarını görsel olarak ekrana çıkarır. vod _fastcall TForm5::ButtonClck(TObject *Sender) Bu fonksyon, formu kapatır. Bağımsız Fonksyonlar: float d(nt, nt j) Bu fonksyon, ve j numaralı kümeler arasındak bulanık uzaklığı hesaplar. float Dst(struct pont a, struct pont b) Bu fonksyon, a ve b noktaları arasındak Eucld uzaklığını hesaplar. vod ngraphs() Bu fonksyon, başlangıç küme merkezlernn grafğn çzer. vod TwoDmensonal() Bu fonksyon, k boyutlu kümelemenn sonuçlarının grafğn çzdrmek çn kullanılır.

92 9 float ro(nt j) Bu fonksyon, 3.5 kesmnde verlmş olan UDF küme geçerllğ endeksnn belrlenmesnde kullanılan ρ x ) fonksyonunun değern hesaplar. ( j

93 93 6. UYGULAMALAR Bu bölümde k uygulamaya yer verlmştr. Oluşturulan program sstemnn çalışma prensplern göstermek ve dkkate alınan yöntemler karşılaştırmak çn lk uygulamada, çeştl küme sayıları çn ver setler türetlmş, knc uygulamada se IRIS ver set kullanılmıştır. 6.. Çeştl Küme Sayıları İçn Türetlen Ver Setler Tezde dkkate alınan farklı yöntemlern karşılaştırılması çn çeştl ver setler türetlmştr. Bu ver setler türetlrken, tezde gelştrlmş olan program sstemnde bulunan Vsual Input teknolojs kullanılmıştır (Şekl 6.). Her küme sayısı çn 0 tane olmak üzere,,3,...,7 tane küme çeren toplam 60 ver set oluşturulmuştur. Küme geçerllğ ve başlangıç küme merkez belrleme yöntemler, bulanıklaştırma üssünün, m = olduğu durum çn karşılaştırılmıştır. Şekl 6.(a). küme çeren ver setne örnek (c-9).

94 94 Şekl 6.(b). 3 küme çeren ver setne örnek (3c-6). Şekl 6.(c). 4 küme çeren ver setne örnek (4c-6).

95 95 Şekl 6.(d). 5 küme çeren ver setne örnek (5c-). Şekl 6.(e). 6 küme çeren ver setne örnek (6c-6).

96 96 Şekl 6.(f). 7 küme çeren ver setne örnek (7c-9). Başlangıç küme merkezler, Mountan yöntem (Tablo 6.) ve K - en yakın komşuluk kuralı (Tablo 6.) le belrlenerek, küme sayısı, küme geçerllğ yöntemler le otomatk olarak bulunmuş ve sonuçlar sunulmuştur. Okunuş kolaylığı olması açısından, her k tabloda da, farklı küme sayıları çn bulunan sonuçlar, tablonun alt başlıkları (a,b,...,f) olarak numaralandırılmıştır. Tablo 6.3 te se, başlangıç küme belrleme yöntemler de dkkate alınarak yöntemlern performansları karşılaştırılmıştır. Tablo 6. ve Tablo 6. ncelendğnde, bölünme katsayısının, başlangıç kümeler Mountan yöntem veya K - en yakın komşuluk kuralı le belrlendğnde, küme sayısının ve 3 olduğu ver setlernde %00,

97 97 küme sayısının 4 olduğu durumda se %90 başarı gösterdğ görülmektedr. Küme sayısı 5 olduğunda, bu başarı %60, küme sayısı 6 olduğunda se, %70 olmuş ve yne, her k başlangıç küme belrleme yöntem le aynı sonuç bulunmuştur. Ancak, optmal küme sayısının 7 olduğu ver setlernde, başlangıç kümeler Mountan yöntem le belrlendğnde %70, K - en yakın komşuluk kuralı le belrlendğnde se %0 başarı serglemştr. Sınıflandırma entrops, küme sayısı ken, tüm kümeler doğru olarak belrleyeblmştr. Küme sayısının 3 olduğu durumdan tbaren, sınıflandırma entropsnn performansı hızla düşmeye başlamıştır. Küme sayısı 3 ken, başlangıç küme belrleme yöntemlernn her ks le %60 başarı göstermş; küme sayısı 4 olduğunda, Mountan yöntem le ver setlernn %0 unun, K - en yakın komşuluk kuralı le %0 snn optmal küme sayısını doğru bulablmştr. Küme sayısı 5 ken, performans yne %0 de kalmış, küme sayısı 6 olduğunda se hçbr ver setnn optmal küme sayısını doğru belrleyememştr. Her k başlangıç küme belrleme yöntemyle, küme sayısının 7 olduğu ver setlernn %0 unu doğru bulmuştur. Ayrılma endeks, dğer yöntemlere göre en kötü performansları göstermektedr. Küme sayısı olduğunda, tüm ver setler çn doğru sonuç bulmuş, ancak küme sayısının den fazla olduğu durumlarda performansı dramatk br düşüş göstermştr. Küme sayısı 3 ken ver setlernn %30 unun optmal küme sayısını doğru olarak belrleyeblmştr. Küme sayısı 4 ken, Mountan yöntem le %0 başarı göstermştr. K - en yakın komşuluk kuralı kullanıldığında se hçbr ver

98 98 setnn küme sayısını doğru bulamamış ve küme sayılarının 5, 6 ve 7 olduğu ver setlernde de hç başarı gösterememştr. Fukuyamo-Sugeno küme geçerllk endeks, küme sayısının 3 ten fazla olduğu durumlarda en tutarlı sonuçları vermştr. Küme sayısının olduğu ver setler çn, doğru sonuçlar bulamamış, hatta optmal küme sayılarını 5-7 olarak belrlemştr. Ancak, küme sayısının 3 olduğu ver setlernde, Mountan yöntem le %40, K - en yakın komşuluk kuralı le %50 performans göstermştr. Optmal küme sayısı 4 ken, başarısı %70 lere çıkmıştır. Başlangıç kümeler, küme sayısı 5 ken Mountan yöntem le belrlendğnde %00, K - en yakın komşuluk kuralı kullanıldığında se %90 başarı serglemştr. Her k başlangıç küme belrleme yöntem le, 6 küme olan ver setlernn %90 ında başarılı olmuştur. Küme sayısının 7 olduğu grupta se, başlangıç kümeler Mountan yöntem le belrlendğnde %70, K - en yakın komşuluk kuralı kullanıldığında se %00 başarı göstermştr.

99 Tablo 6.4 Başlangıç kümeler Mountan yöntem le belrlendğnde, küme sayısını belrlemek çn farklı küme geçerllğ yöntemlernn farklı küme sayıları çn (a), (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) 6 ve (f) 7 karşılaştırılması. (PC: Bölünme Katsayısı, CE: Sınıflandırma Entrops, SI: Ayrılma Endeks, FS: Fukuyamo-Sugeno Endeks.) 99 Tablo 6.(a). Küme sayısının k olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS c c c c c c c c c c Tablo 6.(b). Küme sayısının üç olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 3c c c c c c c c c c

100 00 Tablo 6.(c). Küme sayısının dört olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 4c c c c c c c c c c Tablo 6.(d). Küme sayısının beş olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 5c c c c c c c c c c

101 0 Tablo 6.(e). Küme sayısının altı olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 6c c c c c c c c c c Tablo 6.(f). Küme sayısının yed olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 7c c c c c c c c c c

102 0 Tablo Başlangıç kümeler K-en yakın komşuluk kuralı le belrlendğnde, küme sayısını belrlemek çn farklı küme geçerllğ yöntemlernn farklı küme sayıları çn (a), (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) 6 ve (f) 7 karşılaştırılması. Tablo 6.(a). Küme sayısının k olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS c c c c c c c c c c Tablo 6.(b). Küme sayısının üç olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 3c c c c c c c c c c

103 03 Tablo 6.(c). Küme sayısının dört olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 4c c c c c c c c c c Tablo 6.(d). Küme sayısının beş olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 5c c c c c c c c c c

104 04 Tablo 6.(e). Küme sayısının altı olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 6c c c c c c c c c c Tablo 6.(f). Küme sayısının yed olduğu durum Ver set Nokta sayısı Expert PC CE SI FS 7c c c c c c c c c c

105 05 Tablo Küme geçerllğ yöntemlernn performanslarının farklı başlangıç küme belrleme yöntemler le karşılaştırılması. Küme sayısı Küme geçerllğ PC CE SI FS Başlangıç küme Mountan %00 %00 %00 %0 K-En Yakın Komşuluk %00 %00 %00 %0 Mountan %00 %60 %30 %40 K-En Yakın Komşuluk %00 %60 %30 %50 Mountan %90 %0 %0 %70 K-En Yakın Komşuluk %90 %0 %0 %70 Mountan %60 %0 %0 %00 K-En Yakın Komşuluk %60 %0 %0 %90 Mountan %70 %0 %0 %90 K-En Yakın Komşuluk %70 %0 %0 %90 Mountan %70 %90 %0 %70 K-En Yakın Komşuluk %0 %0 %0 %00 Mountan yöntemnn bazı ver setlerndek farklı performansının, kullanılan α, β ve δ parametrelernn seçmnden kaynaklandığını düşünmekteyz. Belrl ver setlernde kullanılablmek çn parametrelern daha y ayarlanması ayrıca br araştırmayı gerektrmektedr. Bu türlü br grşme, Velthuzen et al. (997) Gelştrlmş Mountan yöntemnde yer vermştr. Ayrıca, kümeleme yalnızca m = çn uygulanmıştır. Bulanıklaştırma üssünün farklı değerler çn, bu sonuçlar farklılık göstereblr.

106 IRIS Ver Set Bu kısımda, Anderson (935) ve Fsher n (936), 3 ayrı ççek türüne (Setosa, Verscolor ve Vrgnca) lşkn ölçümler çeren ve genel olarak IRIS olarak blnen byometrk ver set değerlendrlecektr. IRIS, kümeleme algortmaları ve küme geçerllğ yöntemlern test etmek çn kullanılan standart br ver setdr. IRIS ver setnde, taç (petal) ve çanak (sepal) yaprakların en ve boy ölçümlern çeren her sınıf (tür) 50 gözlem çermektedr. Yan 50 ççekten her br 4-boyutlu ölçüm uzayında br nokta olarak temsl edlmektedr. Şekl 6.. IRIS ver setnn k boyutu çn (taç yaprakların uzunluk ve genşlk ölçümler) vsual görüntüsü.

107 07 Pal ve Bezdek (997), IRIS ver setndek üç sınıftan k tanesnn öneml ölçüde çakıştığından dolayı, küme sayısının veya 3 olmasında çelşkye düşülebleceğn söylemşlerdr. Halgamuge ve Glesner (994), sadece k özellk kullanılarak çok y br sınıflandırma yapılableceğn göstermşlerdr. Rezaee et al. (998), yalnızca taç yaprak uzunluklarını kullanarak sınıflandırma yapmışlardır. Bu kısımda, taç yaprakların uzunluk ve genşlk ölçüm değerler kullanılarak, başlangıç küme belrleme ve küme geçerllğ yöntemlernn performansları değerlendrlmştr. Bu ölçümler Şekl 6.. de vsual olarak gösterlmştr. Bölüm 6.. de yapıldığı gb, yne farklı başlangıç küme belrleme yöntemler kullanılarak, küme geçerllğ yöntemleryle küme sayısı otomatk olarak belrlenmş ve bulunan sonuçlar Tablo 6.4 te sunulmuştur. Koyu syah yazılan değerler, her yöntemn bulduğu optmal küme sayısını göstermektedr. Tablo 6.4 ncelendğnde, bölünme katsayısı, sınıflandırma entrops ve ayrılma endeksnn optmal küme sayısını, Fukuyamo- Sugeno geçerllk endeksnn se 3 olarak bulduğu görülmektedr. Bulunan kümeler, sırasıyla, Şekl 6.3 ve Şekl 6.4 te gösterlmştr.

108 08 Tablo 6.4. IRIS ver set çn küme geçerllğ yöntemlernn performanslarının farklı başlangıç küme belrleme yöntemler le karşılaştırılması. Küme sayısı Küme geçerllğ PC CE SI FS Başlangıç küme Mountan K-En Yakın Komşuluk Mountan K-En Yakın Komşuluk Mountan K-En Yakın Komşuluk Mountan K-En Yakın Komşuluk Mountan K-En Yakın Komşuluk Mountan K-En Yakın Komşuluk

109 09 Şekl 6.3. Bölünme katsayısı, sınıflandırma entrops ve ayrılma endeks le bulunan kümeler (k küme). Şekl 6.4. Fukuyamo-Sugeno küme geçerllğ endeks le bulunan kümeler (üç küme).