Dielektrik yüklü metalik dalga kılavuzları için ters saçılma uygulamaları

Transkript

1 itüdegisi/d mühendislik Cilt:9, Sayı:, Şubat 00 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı Sekan ŞİMŞEK *, Ecan TOPUZ İTÜ Fen Bilimlei Enstitüsü, Telekomünikasyon Mühendisliği Pogamı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Kısmen dielektik yüklü dalga kılavuzlaı çok sayıda mikodalga cihazında kullanılmaktadı. Kısmen dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaı ile malzemelein kamaşık dielektik geçigenlikleinin ve dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaında popagasyon kaakteistikleinin belilenmesi biçok mühendislik uygulamasında önemlidi. Bu çalışma bahsedilen he iki alandaki mevcut liteatüe katkı yapılmasını amaçlamaktadı. Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için yansıma iletim ölçmelei ile malzemelein kamaşık dielektik geçigenlikleinin belilenmesi amacıyla yapılmış olan çalışmala nispeten basit duumlaı içemektedile. Bu çalışmada, dikdötgen dalga kılavuzu içeisine yeleştiilen sütun şeklindeki dielektiğin geçigenliğinin belilenmesi tes saçılma poblemi olaak fomüle edildi ve liteatüdeki sınılamala otadan kaldııldı. Oldukça esnek ve genel tipteki poblemlei içeecek şekilde, doğu ve sayısal olaak veimli bi algoitma veildi. Aynı zamanda bu çalışmada, kayıpsız peiyodik yapıladaki biim hücenin Genelleştiilmiş Saçılma Matisi için bi sakınım ilişkisi otaya konuldu. Bu sakınım ilişkisi, tek Floquet modlu bölge içeisinde ye alan iletim/duduma band geçiş fekanslaını doğu olaak kestien yeni bi yöntem sağlamaktadı. Bu yöntem iletim duduma band bölgelei veilen/ölçülen peiyodik yapıyı kullanaak belili topolojile için biim hüce boyutlaının belilenmesi tes poblemine uygulanabili niteliktedi. Anahta Kelimele: Kamaşık dielektik geçigenlik, peiyodik yüklü dalga kılavuzu. * Yazışmalaın yapılacağı yaza: Sekan ŞİMŞEK. simsekse@itu.edu.t; Tel: () Bu makale, biinci yaza taafından İTÜ Fen Bilimlei Enstitüsü, Telekomünikasyon Mühendisliği Pogamı nda tamamlanmış olan "Kesiti adışık dielektik bölgele ile dolu em dalga kılavuzlaında iletim" adlı doktoa tezinden hazılanmıştı. Makale metni taihinde degiye ulaşmış, taihinde basım kaaı alınmıştı. Makale ile ilgili tatışmala taihine kada degiye göndeilmelidi.

2 S. Şimşek, E. Topuz Invese scatteing applications fo dielectic loaded metallic waveguides Extended abstact Patially dielectic loaded waveguides have been used in many micowave devices. Detemination of complex pemittivity of mateials with patially dielectic loaded ectangula waveguides and popagation chaacteistics of peiodically dielectic loaded metallic waveguides ae impotant in many engineeing applications. This study aims to extend the gounds thus fa coveed in both of the aeas mentioned above. The methods epoted in the liteatue on detemination of complex pemittivity of mateials via tansmission/eflection measuements fo dielectic loaded metallic waveguides include elatively simple scenaios. These appoaches eithe teat a simplified scenaio wheein the sample fills the entie cosssection of the waveguide o in consideing patial filling they do not accuately account fo inteactions between highe ode modes. In this study the detemination of the complex pemittivity of dielectic posts in ectangula waveguides is fomulated as an invese scatteing poblem and these limitations ae emoved. An accuate and numeically efficient algoithm is given which is quite flexible and can easily be modified to addess poblems involving moe geneal types of inhomogeneous dielectic loadings in waveguides. The pedicted esults ae compaed with measuements and good ageement is obtained. Popagation of waves in peiodic stuctues has long been an aea of inteest fo physicists and enginees. Peiodically loaded waveguides can be consideed as one of the simplest subsets of peiodic stuctues which exhibit -D discete tanslational symmety and which can be completely defined by specifiying the loading ove an inteval equal to the peiod p, o in othe wods by specifing the unit cell of the stuctue. Popagation chaacteistics of such waveguides play an impotant ole in the design poblems encounteed in many engineeing applications such as, slow-wave stuctues, filtes, phase shiftes, polaizes, impedance matching devices, antennas, antenna feeds, and pulse compessos. Peiodicity encounteed in such devices is compised of a cascade of a limited numbe of unit cells connected to appopiate teminations. Unit cell appoach of analysis then povides an appoximate desciption of device popagation chaacteistics, the accuacy of which impoves with the numbe of unit cells utilized in the design. Moe then often the actual device design involves a fine-tuning of the paametes chaacteizing the unit cell and the teminations via a multipaamete optimization scheme. The genealized scatteing matix epesentation of unit cell in tems of the modes of the unifom waveguide povides a convenient and efficient appoach which has been used by seveal eseaches in addessing a faily boad ange of poblems involving peiodically loaded waveguides. The esults epoted in the liteatue on popagation in peiodically loaded waveguides also include investigations of the featues of the eigenvalue spectum of Floquet modes suppoted by such stuctues, as well as deivations of cetain consevation elations satisfied by the genealized scatteing matix in the absence of losses. Pobably an inteesting contibution of this pape, fom an applicational point of view, is the fomulation of an appoximate elation between the elements of the genealized scatteing matix of a symmetic unit cell, which can be used to obtain athe accuate estimates fo stop-band/pass-band tansitions fequencies in single Floquet mode egions of symmetic stuctues. The poposed appoach can be implemented in a vey efficient manne, without having to impose Floquet condition and solve the esulting eigenvalue equation. The method can be used in addessing the invese poblem of deteminating unit cell dimensions fo a specified topology using measued/given values of passband/stopband egions. As a esult, we believe that the poposed method may effectively be used in the design of micowave bandpass/stopband filte. In ode to demonstate the validity and applicability of the seveal points made in this pape we pesent some typical esults. We also investigate dependence of estimated values of the band-edge fequencies obtained via the poposed appoximation scheme on the paametes of the unit cell. Fo veification/validation puposes we have compaed ou mode matching genealized scatteing matix (MM- GSM) esults with those calculated via an independent commecial softwae package (HFSS). Numeical esults obtained fo a typical peiodically loaded waveguide ae in pefect ageement with the theoy and demonstate the validity, applicability as well as the numeical efficiency of the poposed appoach. Keywods: Complex dielectic pemittivity, peiodically loaded waveguide. 56

3 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı Giiş Düşük kayıplı ve yüksek dielektik sabitine sahip malzemelein gelişmesi ile bilikte, kısmen dielektik yüklü dalga kılavuzlaının güç taşıma kapasiteleinin ve band genişlikleinin yüksüz kılavuzlaa göe yüksek olmalaından dolayı kullanımlaı son deece yaygınlaştı (Vatanian vd., 958). Homojen olmayan biçimde adışık dielektik bölgele ile yüklü metalik dalga kılavuzlaı faz değiştiicilei, empedans dönüştüücülei, filtele ve zayıflatıcıla gibi pek çok mikodalga elemanında uygulanmaktadı (Collin, 960). Dikdötgen pizması biçimdeki dielektikle yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaının saçılma paametelei ile ilgili liteatü kapsamında; Modal Açılım Tekniği ile çözümle Andt ve diğelei (984) ve (985), Siakavaa ve Sahalos (99), Abdulnou ve Machildon (993), Şimşek ve diğelei (006) da ye almaktadı. Kısmen dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaının, faz kaydııcı ve empedans uygunlaştııcı olaak kullanılması Andt ve diğelei (984) ve (985), filte olaak kullanılması ise Siakavaa ve Sahalos (99) taafından incelendi. Malzemelein dielektik özellikleinin belilenmesi için kullanılan iletim hattı yöntemleinde, Nicolson ve Ross (970), Belhadj-Taha ve diğelei (990), Goiti ve Slob (005) taafından incelenen dielektik malzemenin koaksiyel hat içine yeleştiilmesi veya dikdötgen dalga kılavuzunun kesitine yeleştiilmesi duumu (Wei, 974) ele alınabili. Ölçülen saçılma paameteleinden malzemenin dielektik özelliği belilenmektedi. Koaksiyel hatlı uygulamada malzemenin koaksiyel hattın iç ve dış iletkenlei aasına silindiik olaak çok düzgün şekilde yeleştiilmesi oldukça zodu. Bunun aksine, dikdötgen dalga kılavuzu içeisine dikdötgen pizması şeklinde malzemenin yeleştiilmesi çok daha kolay olmaktadı. Dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaını kullanaak malzemenin kamaşık dielektik geçigenliğinin belilenmesi amacıyla yapılan çalışmala kapsamında dalga kılavuzunun kesitinin dielektik malzeme ile tamamen dolu olması duumu Javis ve diğelei (990), malzemenin kılavuzun otasına kısmen yüklü olaak yeleştiilme duumu ise Akhta ve diğelei (007) taafından incelendi. Dielektiğin bou kesitini kısmen dolduması duumu Civea ve diğelei (003) taafından incelendi, ancak yüksek deeceli mod inteaksiyonu göz önüne alınmadı. Kısmen dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaının önemli kullanım alanlaından bii de peiyodik yapıladı. Peiyodik yapılaın Billouin (953) ve Collin (960) da belitilen yavaş dalgalaı desteklemelei ve spektal cevaplaında iletim/duduma bandlaının mevcut olması özellikleinin sonucu, bu yapıla liteatüde yaygın biçimde incelenmektedi. Peiyodik yüklü dalga kılavuzlaı da peiyodik yapılaın ana alt kümeleinden biidi ve popagasyon kaakteistiklei, yavaş dalgalı yapıla, filtele, faz kaydııcılaı, polaizöle, empedans uygunlaştııcılı cihazla, antenle, anten beslemelei ve dabe sıkıştııcılaı gibi pek çok mühendislik uygulamasının tasaım poblemleinde önemli ol oynamaktadı Düzgün dalga kılavuzu modlaı cinsinden peiyodik biim hücenin Genelleştiilmiş Saçılma Matisi gösteilimlei Oma ve Schunemann (987a), Amai ve diğelei (000), Lech ve Mazu (004) taafından peiyodik yüklü dalga kılavuzlaını içeen oldukça geniş bölgedeki poblemlei kapsayacak şekilde kullanılmış olan elveişli ve veimli bi yaklaşımdı. Peiyodik yüklü dalga kılavuzlaında popagasyon üzeine liteatüde ye alan çalışmala aasında, bu taz yapıla taafından desteklenen Floquet modlaının özdeğe spektumu için Amai ve diğelei (000), Oma ve Schunemann (987b), Rozzi ve diğelei (997) ve kayıpsız yapılada Genelleştiilmiş Saçılma Matislei taafından sağlanan belili sakınım ilişkilei konusunda ise Haskal (964), Knetsch (968), Eleftheiades ve diğelei (994), Rozzi ve diğelei (998), Moini ve Rozzi (00), Liu ve Dong (006) taafından yapılmış olan çalışmala sayılabili. Kısmen dielektik yüklü dalga kılavuzlaı üzeine liteatüdeki mevcut yayınlada matematiksel modelin kuulması ve sınılamalaının genel bi çeçeve içinde otaya konulması, tasaım paameteleinin etkin biçimde belilenmesi ve optimizasyonu, modelin elektomagnetik tes poblemlee uygulanabili- 57

4 S. Şimşek, E. Topuz liğinin incelenmesi açılaından eksiklikle bulunmaktadı. Bu çalışma dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaının iki önemli tes saçılma uygulaması üzeine geliştiilen yöntemlei içemektedi. İlk uygulamada dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaını kullanaak malzemelein kamaşık dielektik geçigenliğinin belilenmesi amacıyla yüksek deeceli mod inteaksiyonunu hesaba katacak genellikte yeni bi çözüm yöntemi veilmektedi. İkinci uygulamada peiyodik olaak kayıpsız dielektiklele yüklü dikdötgen dalga kılavuzlaında, istenen iletim duduma band bölgelei için biim hücenin boyutlaının bulunmasını sağlayan yeni bi yöntem veilmektedi. İletim yansıma ölçümlei ile malzemelein kamaşık dielektik geçigenlikleinin belilenmesi Dielektik yüklü dalga kılavuzlaını kullanaak malzemenin kamaşık dielektik geçigenliğinin belilenmesi patik öneme sahip bi tes saçılma uygulamasıdı. Bu kısımda, iletim/yansıma ölçümlei ile malzemelein kamaşık dielektik geçigenlikleinin belilenmesi için öneilen bi yöntem ye almaktadı. Kısmen dielektik yüklü yapıla kullanılaak saçılma paameteleinin belilenmesi işlemini düz saçılma poblemi olaak, ölçülen saçılma paameteleinden yaalanaak tanımlanan amaç fonksiyonlaını kullanaak malzemenin dielektik özelliğinin belilenmesini tes saçılma poblemi olaak tanımlamak uygundu. Dikdötgen dalga kılavuzunda fekans domeninde yansıma/iletim ölçmelei için Şekil de veilen poblem ele alındı. Ölçülmek istenen malzeme dikdötgen pizması biçiminde, dalga kılavuzunun da kenaını tamamen dolduacak şekilde eksen boyunca d uzunluğundadı (Şekil de II. Bölge). Üç dielektik tabakanın kalınlıklaının ve dielektik özellikleinin uygun seçimi ile kılavuzun geniş ekseni boyunca hehangi bi pozisyona ve duuma göe yeleştiilebilen malzeme numunesi modellenebilmektedi. I ve III bölgeleinin boş olduğu ve sadece baskın TE 0 modunun yayıldığı, dalga kılavuzunun soldan uyaıldığı ve sağdan uygun empedansla sonlandııldığı vasayılmaktadı. II bölgesinin dışında bu saçılma poblemi iki kapılı olaak modellendiğinde S paametelei belilenebili. Refeans giiş düzlemi z=0 - ve çıkış düzlemi z=d + seçileek yapının S paametelei modal açılımla bulunabili. Bu duumda S matisi simetik olduğundan sadece S ve S paemeteleinin belilenmesi yetelidi. Şekil. Kesiti adışık dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzu Düz poblemin çözümü standad yöntemlele elde edilebili (Haington, 96). Diğe taaftan, mevcut liteatüde Şekil de veilen poblemin çözümü için yeteli genellikte olan hehangi bi yöntem mevcut değildi. Şekil de gösteilen saçılma poblemi TE m0 m =,..N modlaını içeen bi modal açılım ile çözülebili. I ve III bölgeleindeki eksenel popagasyon sabitlei ve modal fonksiyonlaı β m ve fm ( x ) ile, II bölgesindekilei ise β m ve fm ( x ) ile gösteelim. He bi bölgedeki alanla bu bölgele içindeki modal bileşenle cinsinden bi açılımla ifade edildikleinde ve standat modal açılım tekniğinin aşamalaı izleneek yapının saçılma paameteleinden S ve S N S C f, f () t t t= N S D f, f () t t t= olaak bulunu. C ve D açılım katsayılaına ilişkin alt matislei de U = β f, f (3) γ γ 58

5 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı P Q = β f, f f, f γ, t m m γ m t m= M jβ δ ( d) jβ cot β δ t t γ, t (4) t γ, t γ, t = (5) sin βtd - { } - C= Q-M Q M U (6) - D=Q M C (7) olaak bulunu (Şimşek vd., 006). Buadaki amaç, ölçülen yansıma/iletim katsayı değeleleinden ele alınan malzemenin kamaşık dielektik geçigenliğini hesaplayan bi algoitma geliştimekti. Ölçülen S paametelei S m m ve S ile gösteildiğinde malzemenin kamaşık dielektik geçigenliğinin belilenmesi için aşağıda tanımlanan iki amaç fonksiyonu kullanılabili (Şimşek vd., 006): N m ( ε ) t t t= F = C f, f S (8) N m ( ε ) = t t, t= F D f f S. (9) ( ) Fi ε i=, malzemenin dielektik geçigenliğinin fonksiyonlaıdı. Bu amaç fonksiyonlaının he ikisi de ölçülen malzemenin doğu ε değei için sıfı olula. O halde poblem kök bulma poblemine indigeni. ε nin tahmini ilk değeinden başlayaak daha iyi değelee geçen ve F ε nun sıfıı olan doğu değee nihayetinde ( ) i yakınsayan bi algoitmaya ihtiyaç vadı. Bu poblemin çözümü için iyi bi ilk değe kullanıldığında (8), (9) denklemleinin kökleinin hızlı bi şekilde belilenmesi için Newton- Raphson yöntemi uygulanabili. Bu duumda adışık ε değelei ε n ile gösteilmek üzee iteasyon adımlaı ε = n ε + n F( εn)/ F ε ( εn) (0) bağıntısı ile belileni. Buadaki F ε, F veya F nin ε na göe he bi aşamada sayısal olaak hesaplanan kısmi tüevleini göstemektedi. Amaç fonksiyonlaının duağan noktalaına astlayan ilk değele için yukaıda belitilen iteasyon yakınsamayabili. Uygun seçilmeyen ilk değelein belilenmesi ve atılması kolaylıkla geçekleştiilebili. Buadaki esas zoluk ise tes poblemin doğası sonucu otaya çıkan fiziksel olmayan çözümlein atılmasıdı. Malzemenin dielektik geçigenliğini belilemek için bibiine yakın iki fekansta yapılan ölçmenin fiziksel olmayan çözümlein atılması için yeteli olacağı Şimşek ve diğelei (006) taafından otaya konuldu ve tes poblemin çözümü için aşağıdaki algoitma öneildi: (i) Malzemenin beklenen ε değei etafında eel eksen üzeinde geniş bi bölge seçin. (ii) Veilen amaç fonksiyonlaından (8) veya (9) dan hehangi biine ölçüm değei giileek, ölçülen fekansta bu aalıkta tüm olası kamaşık ε değeleini (0) ile belileyin. (iii) Aynı işlemi başka bi fekanstaki ölçüm değei için tekalayın. (iv) Otak olmayan çözüm dışındaki tüm fiziksel olmayan çözümlei ataak eleyin. Otaya konan yaklaşımın doğuluğunu ve sayısal veimliliğini göstemek amacıyla deneysel ölçüm yapılaak polipopilen malzeme WR-90 X bandı dalga kılavuzuna Şekil de gösteildiği gibi kesileek yeleştiildi ( t = 0 mm, t = 9.6 mm, d = 4.90 mm, ε 3 = ). Tablo de paamete değelei veilen malzeme için HP 840B netwok analizö ile iki faklı fekansta yapılan yansıma katsayısı ölçme sonuçlaı ve öneilen algoitmada (8) amaç fonksiyonunda 0 modluk modal açılım kullanaak ε nin ile 0 aasında taanması sonucunda hesaplanan ε değelei gösteilmektedi. Öneilen algoitma ile malzemenin ε değelei için he iki ölçme fekansında faklı değelee yakınsamanın olduğu Tablo de göülmektedi. Ancak Tablo de koyu olaak gösteildiği üzee 59

6 S. Şimşek, E. Topuz he iki hesaplamada otak olan tek çözüm mevcuttu ve bu çözüm fiziksel olan çözümdü. Böylelikle he iki ölçmede otak olmayan çözümlein fiziksel olmadıklaı tespit edileek atılmalaı mümkün olu. Yapılan ölçmelein öneilen yöntemde kullanılması sonucunda malzemenin ε değei ε =.36-j0.08 olaak bulunu. Tablo. Fiziksel olmayan çözümlein elenmesi (GHz) Ölçülen S Kamaşık ε f = f = 9.00 S = 0.40e j83.5 S = 0.396e j63 o o ε =.8689 j.7640 ε =.3565 j0.086 ε = j0.39 ε = j ε =.047 j.9545 ε =.358 j0.08 ε = j ε = 6.95 j0.96 ε = j ε = j ε = j0.636 İletim duduma band bölgelei veilen peiyodik yapının biim hüce boyutlaının belilenmesi Kayıpsız dielektik bölgele ile yüklü düzgün metalik dalga kılavuzlaında hamonik dalgalaın yayılımını ele alalım. Dalga kılavuzu kesitte bağıl dielektik sabiti ε,i (x,y) ve eksenel uzunluklaı l i, i=,n olan dielektik bölgelele p = Σl i peiyodu ile peiyodik olaak yüklenmiş olsun. Biim hüce dalga kılavuzunun z=z ve z=z =z +p düzlemlei ile sınılı kısmı olaak tanımlansın. Peiyodik yapılaın tansfe kaakteistiği peiyodik biim hüceden tam olaak belileni. Bu duumda, z=z ve z=z deki enine alan bileşenlei sıasıyla E ( x, y), H ( x, y) ve E ( xy, ), H ( x, y) teoemi geeği, ( E, H) =λ ( E, H) olsun. Buna göe Floquet () yazılabili. Buada λ, veilen fekansta biim hüce taafından belilenen özdeğei ifade etmektedi ve biim hücenin tanımlanmasında seçilen z den bağımsızdı. Özdeğele genellikle kompleks ve dötlü halde λ -4 =λ, /λ, λ*, /λ* (* simgesi kompleks eşleniği göstemektedi) olaak otaya çıkala (Amai vd., 000; Rozzi vd., 998). He bi λ ya kaşı düşen çözümden peiyodik yapının bi Floquet modu olaak olaak bahsedilebili. Bu çözümle kullanıldığında eksenel düzlemledeki modal alanla, kendisinden p kada uzaktaki alandan λ kada faklı olmaktadı. Adışık süeksizlikle aasındaki etkileşim elektomagnetik dalganın peiyodik yapı boyunca belili fekans aalıklaında iletimine izin vemektedi. Yani bu etkileşim peiyodik yapının fekans kaakteistiğinde iletim/duduma bandlaının oluşmasına neden olmaktadı. İletim ve duduma bandlaı, ele alınan fekans bölgesinde peiyodik yapıda en az bi Floquet modunun popagasyon yapıp yapmadığına göe kaakteize edilebili. Diğe bi deyişle istenen fekans bölgesinde en az bi Floquet modu iletimde ise bu bölge iletim bandıdı. Aksi takdide mod iletimi söz konusu olmadığı için bi duduma bandı söz konusudu. Veilen bi fekansta Floquet modunun iletilebilmesi için o moda kaşı düşen özdeğe saf faz faktöüne sahip olmalıdı. Bu duumda, λ= /λ*, /λ = λ* olu ve özdeğele λ 4 dötlü değeden λ, λ = λ = çiftleine indigeni. Böylelikle λ ± j, = e θ, θ β p (0, π) = () j t e ω yazılabili. Zamana bağımlılık olaak seçildiğinde, () denklemindeki ve + işaetleine kaşı düşen dalga çözümlei, sıasıyla pozitif ve negatif yönlede β Floquet faz faktöü ile popagasyon yapan dalgalaı göstemektedi. Peiyodik yapının popagasyon kaakteistiklei biim hücenin Genelleştiilmiş Saçılma Matisi ile tanımlanabili (Eleftheiades vd., 994; Rozzi vd., 998). Biim hüce için Saçılma Matisi gösteilimleinde, genelliği kaybetmeden giiş çıkış potlaının efeanslaı boş dalga kılavuzuna göe alınabili. Düzgün boş dalga kılavuzunda TE veya TM tipi öz fonksiyonlaı e i ( x, y) olaak tanımlandığında nomalizasyonun aşağıdaki gibi yapıldığı vasayılacaktı: 60

7 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı < e. e >= e. e ds= δ i j i j i, j St. (3) Buada, i, j mod indisleini, δ i, j koneke deltasını göstemekte, integal ise boş dalga kılavuzunun S t kesiti üzeinde alınmaktadı. Biim hücenin giiş (z=z ) ve çıkış (z=z =z +p) kapılaındaki enine alan bileşenlei, boş dalga kılavuzunun öz fonksiyonlaı cinsinden temsil edildiğinde Ez ( ) = E= ( + ) t / a b Z e t / H( z ) = H = ( a b ) Z u e z Ez ( ) ( ) t / = E= a + b Z e H ( z ) H ( ) u z t / = = a b Z e (4a) (4b) (4c) (4d) olu. Buada t tanspoz opeatöünü, e modal fonksiyonlaı gösteen sütun vektöünü, Z ise modal empedanslaı gösteen diyagonal matisi simgelemektedi. a i, b i i=, ise sıasıyla, Şekil de gösteilen biim hücenin kapılaından içei ve dışaı doğu popagasyon yapan dalgalaın modal genlikleine kaşı düşen sütun vektöleidi. a b Şekil. Biim hücenin kapılaındaki saçılma paameteleinin tanımlanması a ve b nin elemanlaının yukaıdaki nomalizasyonu, popagasyon yapan modla için, biim hücenin kapılaından içei ve dışaı yönde güç akışı ölçüsünü veecekti. () ve (4) denklemleini kullanaak Floquet teoemi altenatif bi biçimde b = λa, a = λb (5) z z Biim Hüce olaak yazılabili. Kapıladaki modal genlikle a ve b Genelleştiilmiş Saçılma Matisi ile b=s a b a olaak bibileine bağlıdıla. (4) de veilen gösteilim modal açılımda N mod kullanılaak kesildiğinde, NxN boyutlu Genelleştiilmiş Saçılma Matisi elde edili. Genelleştiilmiş Saçılma Matisi alt blok matislee bölündüğünde b S S a = b S S a (6) elde edili. S Matisinin hesaplanması biim hüce için boş dalga kılavuzunun e modlaını kullanaak tam dalga analizini geektimektedi. Bu işlem ise genellikle oldukça zodu. Bununla bilikte patik uygulamalada kaşılaşılan yüklü dalga kılavuzlaında oldukça geniş poblem guplaı için kullanılabilecek Saçılma Matisi gösteilimlei geliştiildi (Shibata ve Itoh 998; Yakovlev vd., 000; Wu ve Wang 00, Şimşek vd., 006). (6) içeisinde (5) i kullanaak peiyodik yapının özdeğe matis denklemi aşağıdaki gibi elde edili (Lech ve Mazu, 004): I -S b -S 0 b + λ =0 0 -S a -S I a (7) Buada I biim matisi temsil etmektedi. Fekansın taanması ile he bi adımda özdeğele hesaplanaak, β-k dispesiyon diyagamı elde edili. Böylelikle peiyodik yapının iletim/duduma bandlaı belileni. Diğe yandan (4) ü kullanaak biim hücede depo edilen kompleks güç Ψ aşağıdaki gibi ifade edilebili t * t * a Q Q a Ψ= aqa = a Q Q a (8a) * * Q =(I+S ) U(I-S )-S US (8b) * * Q = S U (I-S ) -(I+S )US (8c) * * Q = S U (I-S ) -(I+S )US (8d) * * Q = (I+S ) U (I-S ) -S US (8e) (Şimşek ve Topuz, 007). Buada U elemanlaı popagasyon yapan modla için e, kesimde 6

8 S. Şimşek, E. Topuz olan TE ve TM modlaı için j ve j ye eşit olan NxN boyutlu diyagonal matisi göstemektedi. Kayıpsız yapılada Ψ nin eel kısmı özdeş olaak sıfı olacağı için, Q matisinin elemanlaı * Q ij=-q ji bağıntısını sağlamak zounda kalı (Moini ve Rozzi, 00). Diğe taaftan, kayıpsızlık koşulunu zoladığımızda iletim bandında Ψ özdeş olaak sıfıa, duduma bandında sonlu sanal değelee eşit olu. Ψ nin bu özelliği tansfe fonksiyonu genliğinin peiyodik yapının iletim duduma bandlaında /0 değelei almasının beklenen bi sonucudu. Ψ boş dalga kılavuzunun dik modal fonkiyonlaı ile ifade edilen, biim hüce içeisinde depolanan kompleks gücü temsil etmektedi. Böylelikle Ψ nin ilgilenilen fekans bandında hesaplanması ve iletim/duduma band kenalaının Ψ nin sıfı geçişleinin gözlemlenmesi ile belilenmesi, dispesiyon diyagamının hesaplanmasını geektien geleneksel yaklaşıma altenatif bi yaklaşımdı (Şimşek ve Topuz, 007). Bununla bilikte, Ψ nin (8) ile hesaplanması için (7) özdeğe denkleminin çözümü olan özvektöle geektiğinden, doğudan uygulandığında, bu yaklaşım geleneksel yönteme göe bi üstünlük sağlamayacaktı. Band kenalaına kaşı düşen fekanslada Ψ tam olaak sıfıdan geçe. İşte bu geçekten haeket edeek he bi fekans adımında özdeğe denkleminin çözülmesini geektimeksizin sadece yapının Saçılma Matisi bilgisinin kullanılmasıyla band kena fekanslaının belilenmesini sağlamak için geliştiilen yaklaşık bi çözüm yöntemi aşağıda veilecekti. Simetik hüce duumunda, çift ve tek modla taafından depolanan kompleks güç Ψ = a Ωa (9a) e t * * * [ ] Ω=Q +Q = I+S +S U I-S-S (9b) ve Ψ = a t a * o (9c) * * [ ] =Q-Q = I+S-S U I-S +S (9d) olaak elde edili (Şimşek ve Topuz, 007). Kayıpsız yapılada eel güç sakınımı geeği iletim ve duduma bandında çift veya tek modla taafından depolanan eel güç sıfıa eşit olduğundan { } Re, 0 t * Ψe Ψ o =, { } Re a Ωa = 0 (0) elde edili. Diğe taaftan band kenalaında Ψ e veya Ψ o nun sanal kısmı sıfıdan geçmek zoundadı. Ψ e ve Ψ o çift ve tek simetik Floquet modlaı taafından biim hücede depolanan kompleks gücü ifade etmektedi. Depolanan kompleks güce en büyük katkı kılavuz içeisinde iletimde olan modladan geli ve yaklaşık olaak { } Ψ, Ψ a t Im( W ) W W t* a * () e o p p,p p,np p,np p () ile ifade edilebili. W nin tanımına göe çift ve tek modla taafından depolanan kompleks güç ifade edilebili. Çalışma fekans bölgesinde pek çok uygulamada S matisi gösteimlei iletilen tek bi mod içemektedi. Bu duumda t* Im( W ) W W = 0 () p,p p,np p,np sıfı geçişini incelemek yeteli olacaktı. Bu denklemde W=S +S veya W=S-S olaak tanımlandığında () matis denkleminin.satı,.sütun elemanlaı sıasıyla X +, X olaak elde edileek aşağıdaki biçimde { νν, νν, N} X = Im S ± S ± + N S ± S = 0 k= M+ ν, k ν, k+ N (3) i, j yazılabili (Şimşek ve Topuz, 007). Buada, S Genelleştiilmiş Saçılma Matisinin elemanlaını, ν alt indisi dalga kılavuzunun iletilen ilk (baskın) modunun giiş kapısını göstemekte ve Genelleştiilmiş Saçılma Matisi gösteimleinde ilgilenilen fekansta boş dalga kılavuzunda N adet mod kullanıldığında ve bunladan M tanesinin popagasyon yaptığı, N-M ta- 6

9 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı nesinin kesimde olduğu vasayılmaktadı. Böylelikle, peiyodik yapının tek Floquet modunu desteklediği bölgesindeki geçime/ duduma bandlaı kena fekanslaı öneilen (3) koşulu ile kestiilebili. Böylece, X + veya X nin köklei olan fekanslaın bulunması ile band kena fekanslaının belilenmesini sağlayan veimli bi yaklaşıklık yöntemi elde edilmektedi. Peiyodik yapının band kena fekanslaının yaklaşık değeleinin bu yöntemle kök bulma utinini kullanaak hesaplanması, fekans bölgesinin yoğun olaak taanmasını ve he bi fekans adımında (7) özdeğe denkleminin çözülmesini geektimemesi nedeniyle çok daha hızlı bi şekilde geçekleştiilebili. Sayısal simülasyon deneylei peiyodik yapının iletilen tek Floquet modunu desteklediği fekans bölgesinde, (3) denklemi kullanılaak elde edilen sonuçlaın yüksek doğuluklu kestiimle olduğunu göstemektedi. Sayısal uygulama öneklei Bu kısımda peiyodik olaak dielektik yüklü dikdötgen dalga kılavuzu için elde edilen bağıntıla yadımıyla hesaplanan sayısal sonuçla veilmektedi. Şekil 3 de peiyodik biim hücenin kılavuzda üstten göünüşü veilmektedi. Dielektik malzemele kılavuzun da kenaını tamamen doldumaktadı. Sayısal hesaplamalada göz önüne alınan standat WR-90 X bandı (geniş kenaı A=.86cm, da kenaı B=.06cm) dikdötgen dalga kılavuzu, eksen doğultusunda d uzunlukta, kesitte ise paçalı olaak dielektik yüklüdü. Ele alınan yapıda eksen boyunca p ile peiyodik olan dielektik bölgele, p +p =p-d uzunluğundaki boş kısımla ile bibiinden ayılmıştı. Sayısal hesaplamalada en az üç hanelik doğuluk sağlamasına yeten 0 modluk bi modal açılım uygulandı. Paçalı yükleme için yapılan tüm hesaplamalada dielektik sabitlei ve konumla ε =, ε =.56, ε 3 =, t = A/8, t = A/4 olaak kabul edildi. Dielektik yüklü ve boş dalga kılavuzu eksenel uzunluklaı Şekil 3 te gösteildi. Band kena fekanslaının belilenmesi için (7) denkleminin yeine (3) denkleminin kullanılması hem hesaplama zamanını otalama 00 kat azaltmakta hem de doğuluğunun %0.5 den daha iyi sayısal sonuçla vemektedi. Öneilen bu yeni yaklaşık yöntemin çok sayıda biim hüce içeen dalga kılavuzu cihazlaının tasaımında ve pek çok uygulamada önemli hesaplama avantajı sağlayacağı beklenmektedi. Öneilen bu yeni yöntemin tes saçılma uygulamalaında kullanımını göstemek amacıyla, biim hüce paameteleinden bağıl hava ve dielektik yüklü dalga kılavuzu uzunluklaı (p =p )/A, ve d/a olmak üzee, belitilen paamete değelei için X + ve X nin kökleinin fekansla değişimi Şekil 4 de veildi. Diğe bi ifade ile, Şekil 4 de bi f 0 fekansı seçildiğinde buna kaşı düşen d=d 0 ve (p =p =p 0 ) değelei (3) denkleminin (f 0,d 0,p 0 ) da bi kökünün olduğunu göstemektedi. Benze şekilde, diğe biim hüce paametelei için de X + ve X nin fekansla değişim eğilei elde edilebili ve böylelikle tüm biim hüce paameteleinin peiyodik yapının popagasyon davanışına etkisi ayı ayı belilenebili. Şekil 4 te geniş bi bölgede değişen (p =p )/A ve faklı sabit d/a değelei için X + ve X nin fekansla değişimi göülmektedi. x=a x=t x p d p ε 3 ε Şekil 4 üzeinde seçilen keyfi (p =p )/A, ve d/a değei için, X + ve X çiftlei aasındaki fekans bölgesi duduma band bölgesini vemektedi. Öneğin Şekil 4 te duduma bandının alt sınıının 8.8 GHz seçildiği vasayılsın. Bu duumda (d/a=0.7, (p =p )/A=0.3), (d/a=0.5, (p =p )/A=0.4), (d/a=0.3, (p =p )/A=0.36), (d/a=0., (p =p )/A=0.49) olaak seçildiğinde duduma bandlaının üst fekanslaı sıasıyla 9.6 GHz, 9.5 GHz, 9.4 GHz ve 8.9 GHz olaak bulunacaktı. Böylelikle X + ve X nin sıfı geçişleinin d/a paametesine bağlı deği- x=t ε z x=0 z=0 z=p Şekil 3. Biim hücenin üstten göünüşü 63

10 S. Şimşek, E. Topuz şimlei gözlemleneek, seçilen bu paamete değelei için sıasıyla GHz, GHz, GHz ve GHz fekans bandlaında duduma bandı bölgeleinin mevcut olacağı belilenmiş olu. (p =p )/A d=0.5a d=0.7a d=0.a d=0.3a X - X + X - X + X - X + X - X fequency (GHz) fekans(ghz) Şekil 4. X + ve X nin kökleinin değişimlei ile kestiilen iletim duduma bandlaı Patik uygulamalada ise sonlu sayıda biim hüceye sahip, sonlu peiyodik yapıla kullanılabili ve geçeklenebilile. 50 biim hüceli yaı peiyodik yapı beklendiği üzee 9 GHz etafında duduma bandı davanışı göstemektedi ve band kenalaı beklendiği üzee Şekil 5 te gösteilen 8.8 GHz ve 9.5 GHz değeleine kaşı düşmektedi. MM-GSM sonuçlaının HFSS sonuçlaı ile son deece tutalı olduğu da Şekil 5 ten göülmektedi. Bu bağlamda Şekil 4 faklı fekans bölgeleinde duduma bandı elde etmek için geekli biim hücenin boş ve dielektik yüklü bölgeleinin uzunluklaının kestiimine olanak sağlamaktadı. Bu yöntem mikodalga uygulamalaında tasaım amacıyla, peiyodik yapının biim hüce paameteleinin belilenmesi poblemi için altenatif bi yöntemdi. Sonuçla Bu çalışmada dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaında önemli tes saçılma uygulamalaı açısından önem taşıyan iki önek ele alındı. Bu kapsamda ilk olaak, kesiti hehangi bi konumda sütun şeklindeki bi dielektik malzeme ile kısmen yüklü dikdötgen dalga kılavuzu kullanılaak, malzemelein kamaşık dielektik geçigenliğini az sayıda fekans ölçmesi ile belileyen ve yüksek deeceli mod etkileşimini hesaba katacak genellikte olan bi yöntem ve oldukça genel tipteki poblemlee uygulanabilecek nitelikteki bu yöntemin değelendiilmesinde kullanılabilecek etkin bi algoitma veildi. Ayıca, deneysel ölçümlele yöntemin doğuluğu ve uygulanabililiği otaya konuldu. S (db ) fekans (GHz) MM-GSM HFSS Şekil 5. Elli biim hüceli yaı-peiyodik yapıya ait iletim katsayısı (d/a=0.5, (p =p )/A=0.4). Tes poblemlee ikinci bi önek olaak peiyodik biçimde dielektik bölgelele yüklenen dikdötgen kesitli dalga kılavuzlaında, ölçme sonucu olaak veya tasaım geeksinimlei kapsamında belilenen iletim duduma fekans bandı bölgeleinin elde edilmesini sağlayan belili bi konfigüasyona ilişkin biim hüce boyutlaının bulunmasını sağlayan bi yöntem veildi. Bu yöntem iletim kaakteistiklei veilen peiyodik yapılaın tasaım ve geçeklenmesi için geekli paamete optimizasyonu süeçleinde işlem yükünü önemli ölçüde düşüülmesini sağlayacak niteliktedi. Öneilen yöntemin bu tip uygulamalada yaygın biçimde kullanılacağı öngöülmektedi. 64

11 Dielektik yüklü metalik dalga kılavuzlaı için tes saçılma uygulamalaı Kaynakla Abdulnou, J. ve Machildon, L., (993). Scatteing by dielectic obstacle in ectangula waveguide, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 4,, Akhta, M.J., Fehe, L.E. ve Thumm, M., (007). A closed-fom solution fo econstuction of pemittivity of dielectic slabs placed at the cente of a ectangula waveguide, IEEE Geoscience and Remote Sensing Lettes, 4,, -6. Amai, S., Vahldieck, R., Bonemann, J. ve Leuchtmann, P., (000). Spectum of cougated and peiodically loaded waveguides fom classical matix eigenvalues, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 48, 3, Andt, F., Bonemann, J. ve Vahldieck R., (984). Design of multisection impedance-matched dielectic-slab filled waveguide phase shiftes, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 3,, Andt, F., Fye, A., Wellnitz, M. ve Wising, R., (985). Double dielectic-slab-filled waveguide phase shifte, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 33, 5, Belhadj-Taha, N.E., Fouie-Lame, A. ve Chanteac, H., (990). Boad-band simultaneous measuement of complex pemittivity and pemeability using a coaxial discontinuity, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 38,, -7. Billouin, L., (953). Wave popagation in peiodic stuctues, Dove Publications, Inc., New Yok. Civea, J.M.C, Canos, A.J., Foix, F.L.P. ve Davo, E.R., (003). Accuate detemination of the complex pemittivity of mateials with tansmission eflection measuements in patially filled ectangula waveguides, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 5,, 6-4. Collin, R.E., (960). Field theoy of guided waves, McGaw-Hill Book Comp., New Yok. Eleftheiades, G.V., Oma, A.S., Katehi L.P.B. ve Rebeiz, G.M., (994). Some impotant popeties of waveguide junction genealized scatteing matices in the context of the mode matching technique, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 4, 0, Goiti, A.G. ve Slob, E.C., (005). A new tool fo accuate s-paametes measuements and pemittivity econstuction, IEEE Tansactions on Geoscience and Remote Sensing, 43, 8, Haington, R.F., (96). Time hamonic electomagnetic waves, McGaw-Hill Book Comp., New Yok. Haskal, H., (964). Matix desciption of waveguide discontinuities in the pesence of evanescent modes, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques,,, Javis, J.B., Vanzua E.J. ve Kissick, W.A., (990). Impoved technique fo detemining complex pemittivity with the tansmission eflection method, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 38, 8, Knetsch, H.D., (968). Beitag zu theoie spunghafte queschnitts-veaendeungen von hohlleiten, Achive Elektische Uebetagung,,, Lech, R. ve Mazu, J., (004). Popagation in ectangula waveguides peiodically loaded with cylindical posts, IEEE Micowave and Wieless Component Lettes, 4, 4, Liu, H.K. ve Dong, T.L., (006). Popagation chaacteistics fo peiodic waveguide based on genealized consevation of complex powe technique, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 54, 9, Moini, A. ve Rozzi, T., (00). On the definition of the genealized scatteing matix of a lossless multipot, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 49,, Nicolson, A.M. ve Ross, G.F., (970). Measuement of the intinsic popeties of mateials by time domain techniques, IEEE Tansactions on Instumentation and Measuement, 9, 4, Oma, A.S. ve Schunemann, K.F., (987a). Tansmission matix epesentations of finline discontinuities, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 33, 9, Oma, A.S. ve Schunemann, K.F., (987b). Complex and backwad-wave modes in inhomogeneously and anisotopically filled waveguides, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 35, 3, Rozzi, T., Pieantoni, L. ve Faina, M., (997). Eigenvalue appoach to the efficient detemination of the hybid and complex spectum of inhomogeneous, closed waveguide, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 45, 3, Rozzi, T., Pieantoni, L. ve Faina, M., (998). Geneal constaints on the popagation of complex waves in closed lossless isotopic waveguides, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 46, 5, Shibata, T. ve Itoh, T., (998). Genealized scatteing matix modeling of waveguide cicuits using FDTD field simulations, IEEE Tansactions 65

12 S. Şimşek, E. Topuz on Micowave Theoy and Techniques, 46,, Siakavaa, K. ve Sahalos, J.N., (99). The discontinuity poblem of a ectangula dielectic post in ectangula waveguide, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 39, 9, Şimşek, S., Işık, C., Topuz, E. ve Esen, B., (006). Detemination of the complex pemittivity of mateials with tansmission/eflection measuements in ectangula waveguides, AEU Intenational Jounal of Electonics and Communications, 60, 9, Şimşek, S. ve Topuz, E., (007). Some popeties of genealized scatteing matix epesentations fo metallic waveguides with peiodic dielectic loading, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 55,, Vatanian, P.H., Ayes, W.P. ve Helgesson, A.L., (958). Popagation in dielectic slab loaded ectangula waveguides, IRE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 6,, 5-. Wei, W.B., (974). Automatic measuement of complex dielectic constant and pemeability at micowave fequencies, IEEE Poceedings, 6,, Wu, K. Li. ve Wang, H., (00). A igoous modal analysis of h-plane waveguide t-junction loaded with patial-height post fo wide-band applications, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 49, 5, Yakovlev, A.B., Khalil, A.I., Hicks, C.W., Motazawi, A. ve Stee, M.B., (000). The genealized scatteing matix of closely spaced stip and slot layes in waveguide, IEEE Tansactions on Micowave Theoy and Techniques, 48,,