Düzlemsel kuvvetler etkisindeki dairesel levhaların serbest titreşimleri

Transkript

1 itüdegisi/d mühendislik Cilt:, Saı:, 7-78 Nisan üzlemsel kuvvetle etkisindeki daiesel levhalaın sebest titeşimlei İsmail BAYER*, M. Cengiz ÖKMECİ İTÜ Gemi İnşaatı ve eniz Bilimlei Fakültesi, Gemi İnşaatı Mühendisliği Bölümü, 69, Aazağa, İstanbul Özet Bu çalışmada kalınlığı paabolik olaak değişen, düzlemsel kuvvetle etkisindeki eliptik levhalaın bi özel hali olaak daiesel levhalaın sebest titeşimlei incelenmişti. Levhanın izotop ve kenalaından ankaste mesnetli olduğu kabul edilmişti. Matematiksel modelde katezen koodinatladaki önetici denklem difeansiel ve integal fomda veilmişti. Galekin ve Raleigh-Ritz öntemleinin kullanıldığı çözümde öncelikle sabit kalınlık halinde sebest titeşim ve elastik bukulma poblemi inceleneek sonuçla liteatüdekilele kaşılaştıılmıştı. eğişken kalınlıklı levhalaın hacimlei eşitleneek, titeşim pobleminde asal fekans paametesi ve bukulma pobleminde ise kitik bukulma ükü paametesi kaşılaştıılmıştı. Son olaak, düzlemsel kuvvetlein sabit ve değişken kalınlıklı daiesel levhalaın sebest titeşimi üzeindeki etkisi aaştıılmıştı. Stabilite kaakteistikleinin bozulmasına ağmen titeşim kaakteistikleinin iileştiilebileceği sonucuna vaılmıştı. Anahta Kelimele: Bukulma, daiesel levha, değişken kalınlık, düzlemsel kuvvetle, titeşim Fee vibations of cicula plates ith in-plane foces Abstact Elastic stabilit and fee vibations of cicula plates ith paabolicall vaing thickness -as a special case of elliptical plates- ae investigated. Plates ae assumed to be lineal elastic, homogeneous, isotopic and clamped at the edges. Govening equations of the mathematical model ae given as both diffeential equation and integal equation in Catesian coodinates. While the diffeential equation fomulation is solved b Galekin method, the one given in integal equation fom is solved b a ell-knon eneg method called Raleigh-Ritz technique. In ode to test the accuac of the numeical methods used and the validit of the esults obtained, fist fee vibation and elastic buckling poblems of cicula plates ith constant thickness ae solved and then the numeical esults ae compaed ith the ones found in the liteatue. Plate thickness is consideed to be of suitable fom fo the clamped case and volumes of all the plates ae equalised to unit as ell. Theefoe, it is possible to compae the fundamental fequenc paamete and the citical buckling load paamete of all plates ith each othe. Then, the effect of paabolicall vaing thickness on fundamental fequenc paamete and citical buckling load paamete is investigated. Finall, the effect of in-plane foces on fee vibations of cicula plates ith both constant and paabolicall vaing thicknesses is investigated. It is concluded that vibation chaacteistics of cicula plates can be impoved, although stabilit chaacteistics gaduall deteioate. Keods: Buckling, cicula plates, in-plane foces, vaing thickness, vibation * Yazışmalaın apılacağı aza: İsmail BAYER. bae@ildiz.edu.t; Tel: ( dahili: 8. Bu makale, biinci aza taafından İTÜ Makine Fakültesi'nde tamamlanmış "eğişken kalınlıklı eliptik levhalaın bukulması ve titeşimlei" adlı doktoa tezinden hazılanmıştı. Makale metni.. taihinde degie ulaşmış, 5.. taihinde basım kaaı alınmıştı. Makale ile ilgili tatışmala.7. taihine kada degie göndeilmelidi.

2 İ. Bae, M. C. ökmeci Giiş Levhala agın olaak kullanılan apı elemanlaıdı. Ugulamada daha çok sabit kalınlıklı levhalala kaşılaşılsa da, toplam ağılığın azaltılmasının vea dinamik etkilee kaşı daanımın atmasının önem kazandığı apılada değişken kalınlıklı levhala kullanılabili. Levhalaın stabilite ve titeşim poblemi aklaşık bi asıdı aaştımacılaın ilgisini çekmektedi. Özellikle patikte sıkça astlanan dikdötgen ve daiesel şekle sahip levhala üzeine apılmış çok saıda çalışma bulunmaktadı. Leissa (969 levhalaın titeşimi üzeine o zamana kada apılmış olan teoik ve denesel çalışmalaı bi aaa toplamıştı. Bu kanakta düzlemsel kuvvetle etkisinde titeşen levhala a da değişken kalınlıklı levhala üzeine apılan çalışmalaın saısının fazla olmadığı göülmektedi. Bu çalışmanın konusula doğudan ilgili olanla sıasıla Bickle (9, Fedehofe (95 ve Wah (96 taafından apılanladı. Bickle (9 kenalaından çekme etkisindeki ankaste mesnetli, sabit kalınlıklı daiesel levhanın fekans paameteleini tam olaak hesapladı. Fedehofe (95 ve Wah (96 anı poblemi hem çekme hem de basınç kuvvetlei etkisindeki levhala için çözdüle. Kenalaından ankaste mesnetli, değişken kalınlıklı daiesel levhanın sebest titeşimi üzeine ilk çalışmala Cona (958, Timoshenko ve Woinosk-Kiege (959 taafından apıldı. Günümüze kada değişken kalınlıklı daiesel levhalaın sebest titeşimlei üzeine daha bi çok çalışma apılmasına ağmen düzlemsel kuvvetlein etkisinin de anı anda hesaba katıldığı bi çalışmaa astlanmamıştı. Öneğin Olhoff (97 sebest titeşen daiesel levhalaın optimum dizanını geçekleştidi. Buna göe ankaste mesnetli daiesel levhalaın fomu ugun şekilde değiştiildiği taktide asal fekansını %5 oanında attımak mümkündü. Hinton v. diğ. (99 Olhoff taafından öneilen sonuçlaı doğuladıla. Bu konuda son zamanlada apılan çalışmala genellikle eliptik levhala üzeine olup daie özel hali için de sonuçla veilmektedi. Singh ve Tagi (985 kalınlığı paabolik olaak değişen eliptik levhalaın simetik enine titeşimleine ait ilk döt fekans değeini ve bunlaa ait titeşim mod şekilleini, kalınlık değişimini belileen eğilik paametesi ve kena oanına bağlı olaak vedile. aha sona Singh ve Chakavet (99, değişken kalınlıklı daiesel ve eliptik levhalaın enine titeşimleini inceledile. Singh ve Chakavet (99, bu kez kalınlığı kuadatik olaak değişen daiesel ve eliptik levhalaın enine titeşimleini inceledile. Bahsedilen bu son üç çalışmada da levhalaın kenalaından ankaste mesnetli olduğu vasaılmış ve n teimli çökme fonksionula Ritz vea Galekin öntemlei kullanılaak fekansla hesaplanmıştı. Singh ve Chakavet (99, bu kez iki boutlu sını kaakteistik otogonal polinomlaı kullanaak Raleigh-Ritz öntemile kenalaından sebest, basit a da ankaste mesnetli, değişken kalınlıklı eliptik ve daiesel levhalaın enine titeşimleini inceledile. Kalınlığın levha eksenleine paalel olaak linee ve kuadatik olaak, değiştiği iki faklı hal için sonuçla vedile. Bae (99 kalınlık değişiminin, kenalaından ankaste mesnetli eliptik levhala üzeindeki etkisini inceledi. Geometik sını koşullaını sağlaan beş teimli çökme fonksionula kolokason öntemini kullanaak kalınlığın paabolik ve eksponansiel olaak değiştiği iki faklı hal için eğilik paametesine bağlı olaak sonuçla vedi. Levha kena oanı b/a küçüldükçe sonuçlaın hassasietinin azaldığı bu çalışma, levha hacimleinin eşitleneek değişken kalınlıklı levhalala sabit kalınlıktaki levhalaın fekans paameteleinin kaşılaştıılabilmesini sağlaan bi öntem önemesi bakımından önemlidi. Bae v. diğ. ( moment ve Raleigh-Ritz öntemleini kullanaak paabolik kalınlık değişiminin sebest titeşen kenalaından ankaste mesnetli eliptik levhalaın asal fekansı üzeindeki etkisini inceledile. Çalışma daha çok ugulamalı elektomanetik alanında kullanılan moment önteminin, bi levha titeşim pobleminde kullanılması açısından önemlidi. ökmeci (99 moment öntemini uguladığı çalışmasında öntemin taihçesini de vemişti.

3 aiesel levhalaın sebest titeşimlei Kenalaından düzgün basınç etkisindeki ankaste mesnetli daiesel ve eliptik levhalaın elastik bukulması üzeine apılmış çalışmalada genellikle sabit kalınlık halinin incelendiği göülmüştü. Woinosk-Kiege (97, poblemi bi eneji öntemile çözmüştü. Shibaoka (956, Mathieu fonksionlaı kullanaak anı poblemin tam sonucunu elde etmişti. Wang v. diğ. (99, sabit kalınlıklı süpe eliptik levhalaın titeşimi ve bukulması üzeine aptıklaı çalışmada pb- Raleigh-Ritz öntemini kullanmışla ve daie özel hali için de sonuçla vemişledi. Spilles ve Lev (99, düzlemsel kuvvetle etkisindeki levhalaın optimum tasaımı konusunda çalışmışla ve kenalaından basit mesnetli, izotop, kae şeklinde bi levhanın kitik bukulma ükünün attıılabileceğini göstemişledi. Bu çalışmada kenalaından düzgün basınç vea çekme kuvveti etkisi altındaki değişken kalınlıklı daiesel levhalaın sebest titeşimleinin incelenmesi amaçlanmıştı. Levhalaın kenalaından ankaste mesnetli olduğu ve kalınlığının da paabolik olaak değiştiği vasaılaak aklaşık öntemlele öngöülen poblem çözülmüş ve sonuçla liteatüde bulunanlala kaşılaştıılmıştı. Tüm levhalaın biim hacimde olması sağlanaak titeşim pobleminde fekans paametelei, stabilite pobleminde ise kitik bukulma ükü paametelei kaşılaştıılmıştı. Matematiksel model Bölge denklemlei Çalışmanın bağlı olduğu temel denklemle önce difeansiel fomda daha sona ise vaasonel fomda veilecekti. ifeansiel fom- Ota düzlemine etki eden N sabit basınç kuvveti altında çalışan, değişken kalınlıklı izotop bi levhanın, ota üzeinin düzlem kaldığı ve bu ota üzein Katezen koodinat sisteminin - düzlemi ile çakıştığı kabulüle enine titeşimleindeki haeketi difeansiel fomda aşağıdaki denklemle veili: ( ( ( N t h ν ρ ν ( : Ye değiştime ν : Poisson oanı ρ : Biim hacim başına kütlesel oğunluk h : Levha kalınlığı t : Zaman Aıca denklemde e alan eğilme ijitliği aşağıdaki gibi tanımlanmıştı: [ ] ( ν h E ( E : Elastisite (Young modülü Bilindiği gibi Katezen koodinatlada daiesel levha geometisi aşağıdaki bağıntıla belileni: ( : aienin aıçapı Basit hamonik haeket kabulünde çözüm aşağıdaki gibi aanı: t i e t ω, (,, ( ( ω : oğal fekans Haeketin önetici denklemini boutsuz halde ifade etmek için / ve / şeklinde tanımlanı ve ( denkleminde eleine konu. ( h N ω ρ ν (5

4 İ. Bae, M. C. ökmeci Levha kalınlığının aşağıdaki bağıntıa göe paabolik olaak değiştiği kabul edilmişti. [ ( ] h (, c h α β (6 h : Sabit kalınlıklı eşdeğe levhanın kalınlığı, α : Kalınlığın sabit kısmını belileen bi paamete, β : Kalınlık değişimini kontol eden bi paamete, c ise levha hacminin he duumda sabit kalınlıklı eşdeğe levhanınkine eşit olmasını sağlaan bi paametedi ve aşağıdaki şekilde tanımlanmıştı: c (α β (7 eğişken kalınlıklı levhanın eğilme ijitliği şu şekilde ifade edilebili: (, c H (8 E h ( ν H α β ( ve [ ] olaak tanımlanmıştı. Şimdi (8 ifadesi (5 nolu denklemde eine konulacak olusa gözönüne alınan değişken kalınlıklı hal için haeketin önetici difeansiel denklemi boutsuz halde elde edilmiş olu: H c c H H H c c c c c H ( ν H * λ b λ ch / * Buada λ λ ω ρh fekans paametesi, λ N ise bukulma ükü b (9 paametesi vea kitik ük paametesi olaak bilini. Aıca (9 denkleminde göülen ve katsaılaı şu şekilde tanımlıdı:, sadece titeşim (a, sadece bukulma (b, bukulma ve titeşim (c İntegal fom- Anı kabulle ve notason ile bölge denklemlei integal fomda veilebili. Ota düzlemine düzgün aılı basınç kuvveti etkisi altındaki levhanın toplam eneji fonksioneli şu şekilde ifade edilebili: F U V T ( U :Levhanın eğilmesinden ötüü şekil değiştime enejisi, V :Ota düzleme etki eden kuvvetlein potansiel enejisi, T :Levhanın kinetik enejisi. İntegal fomdaki önetici denklemin son hali, açık olaak aşağıdaki gibi azılabili: F S S S S c H dd c ( ν H dd λb dd * λ c S: Tüm levha alanı. [ α β ( ] dd ( Başlangıç ve sını koşullaı Genel olaak sını koşullaının son deece poblemli olduğu ve idealize edilmiş koşullaın patikte geçeklenmesinin çok zo olduğu bilini. Ancak bu çalışmada levhalaın kenalaından ankaste mesnetli olduğu ve haeketin t da levhaa veilen ilk deplasman ile başladığı vasaılmıştı.

5 aiesel levhalaın sebest titeşimlei Ankaste mesnetli halde levhanın kenalaı bounca çökme ve eğim sıfıdı: ; ve ( Yaklaşık çözüm öntemlei eneme fonksionlaının seçimi ifeansiel fomda veilen önetici denklem bi ağılıklı atıkla öntemi olan Galekin öntemile (GY, integal fomda veilen ise bi eneji öntemi olan Raleigh-Ritz öntemile (R-RY aklaşık olaak çözülmüştü. Bu iki güçlü öntemin anı deneme fonksionula ugulanması halinde bibiinden faksız sonuçla veeceği bilindiğinden he iki öntem için sını koşullaını sağlaan faklı iki deneme fonksionu seçilmişti. Galekin öntemile kullanılan çökme fonksionu aşağıdaki gibidi: ( a aφ aφ φ ( Buada a, a, a belilenmemiş katsaıladı ve φ olaak tanımlıdı. Raleigh- Ritz öntemile kullanılan çökme fonksionu ise şöledi: ( a a a φ (5 Galekin öntemi Ağılıklı atıkla öntemi, genelde, modeldeki bağımsız değişkeni ifade etmek için seçilen deneme fonksionu nun sını koşullaını sağlamasına ağmen ilgili önetici difeansiel denklemi sağlamaacağını vasaa. Bölece, deneme fonksionunun önetici difeansiel denklemde eine konmasıla ε R ile gösteilen bi atık otaa çıkacaktı. En ii çözümü elde etmek için, bu atıklaın poblemin tanımlandığı tüm bölge üzeindeki toplamının minimum olması isteni. Bu aşağıdaki gibi ifade edilebili: Ω ε dω minimum (6 R Bu amaca ulaşılmasında seçenekle, atığın ağılıklı bi değeinin bölge bounca minimum olmasını sağlaaak genişletilebili. Ağılık fonksionu, atıklaın ağılıklı integalinin sıfı değeine eişmesini sağla. Ağılık fonksionu ϕ ile gösteilecek olusa, ukaıdakinin daha genel hali şu şekilde ifade edilebili: Ω ε R ϕ dω (7 Ağılık fonksionlaı çok çeşitli şekillede seçilebili ve he seçim ağılıklı atıkla önteminde faklı bi kitee kaşılık geli. Öneğin, Galekin önteminde, ( ile veilen deneme fonksionun he bi katsaısının çapanı olan teimle ağılık fonksionu olaak seçili. Galekin denklemlei atığın bahsedilen ağılık fonksionula çapımının bölge üzeinde intege edilmesile bulunu. Sonuç olaak bi homojen denklem takımı elde edili: * [ λ B - λ C]{ }, i,, A b a i (8 A, B, C: Simetik kae matisle. Bu bi özdeğe poblemidi ve çözümün sıfıdan faklı olması ancak katsaıla matisinin deteminantının sıfı olması halinde mümkündü. Raleigh-Ritz öntemi Asal fekans ve bukulma ükü paametesi için en küçük bi üst limit bulabilmek amacıla (5 ile veilen deneme fonksionu ( denkleminde eine konup a i katsaılaına bağlı olaak minimize edili. F a i, ( i,, (9 Geekli integalle alındıktan sona (8 ile veilene benze bi homojen denklem takımı elde edili. Sonuçla ve değelendime Sebest titeşim hali (, He iki öntemle elde edilen sonuçla Tablo de göülmektedi. Levha eğilik paametesi β attıkça ve sabit kalınlık paametesi α

6 azaldıkça eşit hacimdeki levhalaın fekans paametesi değelei büümektedi. Tablo. Fekans paametesi değelei α. α. β GY R-RY GY R-RY Galekin öntemile elde edilen sonuçlaın liteatüdekilee daha akın olduğunu sölemek mümkündü. Öneğin, α. ve β. özel hali, Olhoff (97 taafından bulunan optimum şekle en akın haldi. Bu halde Galekin ve Raleigh-Ritz öntemleile asal fekans paametesinde sıasıla %8 ve % lık atışla hesap edilmişti. Elastik bukulma hali (, Bu halde öngöülen kalınlık değişiminin bukulma poblemini olumsuz önde etkilediği Tablo de göülmektedi. İ. Bae, M. C. ökmeci Tablo. Bukulma ükü paametesi değelei α. α.6 β GY R-RY GY R-RY Levha eğiliği attıkça he iki öntemle elde edilen sonuçlaın da hassasieti tatışmaa açıktı. Titeşim ve bukulma hali (, üzlemsel kuvvetlein etkisinde sebest titeşen değişken kalınlıklı, ankaste mesnetli daiesel levhalaın asal fekans paametesi değelei he iki öntemle hesaplanmış ve bulunan sonuçla Tablo ve Tablo te gösteilmişti. Sadece sabit kalınlık hali için Fedehofe (95 taafından bulunan sonuçlala kaşılaştıma apılabilmişti. Bu hal için he iki öntemle elde edilen sonuçlaın da oldukça hassas olduğu göülmektedi. Aıca sabit kalınlık hali Şekil ve Şekil de gafik olaak gösteilmişti. Tablo. üzlemsel kuvvetle etkisi altındaki değişken kalınlıklı daiesel levhanın ( α. Galekin öntemile hesaplanan fekans paametesi değelei N / Fedehofe β β β β β β Tablo üzlemsel kuvvetle etkisi altındaki değişken kalınlıklı daiesel levhanın ( α. Raleigh-Ritz öntemile hesaplanan fekans paametesi değelei N / Fedehofe β β β β β β β

7 aiesel levhalaın sebest titeşimlei λ α., β. α., β. α., β. λ b Şekil. üzlemsel kuvvetle etkisindeki daiesel levhanın fekans paametesi (GY λ -8-8 α., β. α., β. α., β. λ b Şekil. üzlemsel kuvvetle etkisindeki daiesel levhanın fekans paametesi (R-RY Sonuç olaak ankaste mesnetli daiesel levha için öngöülen paabolik kalınlık değişimi sebest titeşim kaakteistikleini olumlu önde etkilemektedi. Ancak levhanın ota bölgesindeki kalınlığın levha kenaındaki kalınlığa göe daha az olduğu bu halde levhanın kitik bukulma ükü paametesi azalmaktadı. Bununla bilikte düzlemsel kuvvetle etkisinde sebest titeşim halinde asal fekans paametesinde hala kazanç söz konusudu. Kanakla Bae, I., Güven, U. ve Alta, G., (. A paametic stud on vibating clamped elliptical plates ith vaiable thickness, Jounal of Sound and Vibation, 5,, Bae, I., (99. On the effect of vaing thickness on the fundamental fequenc of clamped elliptic plates, Poceedings, 9 th Congess, Intenational Council of the Aeonautical Sciences, Anaheim, Califonia, U.S.A. Bickle, W. G., (9. eflections and vibations of a cicula elastic plate unde tension, Phil. Mag., 5,, Cona, H.., (958. Some special solutions fo the fleual vibation of discs of vaing thickness, Ing.-Ach., 6, 8-. ökmeci, M. C., (99. The method of moments fo vibations of piezoelectic laminae, Poceedings of Ultasonics Smposium, IEEE, 5-8 Ne Yok, U.S.A. Fedehofe, K. (95. Beigungsschingungen in ihe mittelebene belasteten keisplatte, Ing.- Ach., 6, Hinton, E., Özakça, M. ve Sienz, J., (99. Optimum shapes of vibating aismmetic plates and shells, Jounal of Sound and Vibation, 67,, Leissa, A. W., (969. Vibation of Plates. (NASA SP-6 U.S. Govenment Pinting Office, Washington,.C. Olhoff, N., (97. Optimal design of vibating cicula plates, Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 6, 9-56.

8 İ. Bae, M. C. ökmeci Shibaoka, Y., (956. On the buckling of an elliptic plate ith clamped edge, Jounal of Phsical Societ of Japan,,, Singh, B. ve Chakavet, S., (99. Tansvese vibation of cicula and elliptic plates ith vaiable thickness, Indian Jounal of Pue and Applied Mathematics,, Singh, B. ve Chakavet, S., (99. Tansvese vibation of cicula and elliptic plates ith quadaticall vaing thickness, Applied Mathematical Modelling, 6, Singh, B. ve Chakavet, S., (99. Use of chaacteistic othogonal polnomials in to dimensions fo tansvese vibation of elliptic and cicula plates ith vaiable thickness, Jounal of Sound and Vibation, 7,, Singh, B. ve Tagi,. K., (985. Tansvese vibations of an elliptic plate ith vaiable thickness, Jounal of Sound and Vibation, 99,, Spilles, W. R. ve Lev, R., (99. Optimal design fo plate buckling, Jounal of Stuctual Engineeing, 6,, Timoshenko, S. P., ve Woinovsk-Kiege, S., (959. Theo of Plates and Shells. Mc Ga Hill, Ne Yok. Wah, T., (96. Vibation of cicula plates, J. ASA,,, Wang, C. M., Wang, L. ve Lie, K. M., (99. Vibation and buckling of supe elliptical plates, Jounal of Sound and Vibation, 7,, -. Woinovsk-Kiege, S., (97. The stabilit of a clamped elliptic plate unde unifom compession, Jounal of Applied Mechanics,,