Çember eksenli sabit kesitli çubukların düzlem dışı serbest titreşimleri

Transkript

1 iüdergisi/d mühedislik Cil:6, Sayı:, 53-6 Nisa 7 Çember ekseli sabi kesili çubukları düzlem dışı serbes ireşimleri Osma Yaşar DOĞRUER *, Ekrem TÜFEKÇİ İTÜ Fe Bilimleri Esiüsü, Makia Mühedisliği Programı, 34469, Ayazağa, İsabul Öze Çubuklar, büü yapı elemaları içi e yaygı ve e basi elema olarak kullaılmakadır. Çubukları aalizi, büü yüzyıl boyuca araşırmacıları ilgilediği bir kou olmuşur. Bu çalışmada, mühedislik çalışmalarıda öemli bir yeri bulua, çember ekseli sabi kesili çubukları düzlem dışı ireşimleri, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alıarak icelemişir. Diferasiyel deklem akımıı kesi çözümü, başlagıç değerleri yöemi kullaılarak elde edilmişir. Çubuğu belli bir eğrilik ve uzuluk kombiasyouda meydaa gele ve burulmada eğilme modua geçiş olarak bilie olay modları rezoas frekaslarıda ai arışla karakerize edilir. Eğri ekseli düzlemsel çubukları düzlem dışı ireşimleride, çubuk eğriliğie eki ede mod geçişi olarak adladırıla bu olay icelemiş ve verile grafiklerde göserilmişir. Farklı arilik oraları ve farklı ekse eğrisi açıklık değerleride, çubuğu ilk beş modu içi boyusuz frekas kasayıları belirlemişir. Elde edile souçlar, ari ve sığ çubuklarda da olduğu gibi, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekilerii rezoas frekasları üzeride öeme haiz bir ekisi olduğuu gösermişir. Burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekisi, eğri ekseli düzlem çubukları düzlem dışı ireşimleri kousuda e öemli eki olarak karşımıza çıkmakadır. Kou ile ilgili lieraürde verile örekler çözülerek, souçlar ablolarda verilmişir. Aahar Kelimeler: Çember ekseli çubuk, düzlem dışı, serbes ireşim. * Yazışmaları yapılacağı yazar: Osma Yaşar DOĞRUER. yasar.dogruer@isuzu.com.r; Tel: (6) Bu makale, birici yazar arafıda İTÜ Fe Bilimleri Esiüsü, Makia Mühedisliği Programıda amamlamış ola "Eğri ekseli düzlemsel çubukları düzlem dışı saik ve diamik problemlerii aaliik çözümü" adlı dokora ezide hazırlamışır. Makale mei arihide dergiye ulaşmış, arihide basım kararı alımışır. Makale ile ilgili arışmalar arihie kadar dergiye göderilmelidir.

2 O. Y. Doğruer, E. Tüfekçi Ou-of-plae free vibraio of a circular arch wih uiform crosssecio Exeded absrac Arches have log bee widely used as srucural elemes i may mechaical, aerospace ad civil egieerig applicaios such as sprig desig, brake shoes wihi drum brakes, ire dyamics, pipig sysems, urbo-machiery blades, curved wires i missile guidace floaed gyroscopes, aerospace srucures, siffeers i aircraf srucures, arch bridges, curved girder bridges, log spa roof srucures ad earhquake resisa srucures. Hece, he dyamic behaviour of arches has bee of ieres o may researchers sice he ieeeh ceury. I geeral, he i-plae ad ou-of-plae vibraios of a plaar arch are coupled. However, based o he Beroulli-Euler hypohesis, if he cross-secio of a arch is uiform ad doubly symmeric, i.e., he shear ceer ad ceroid coicide, ad he he i-plae ad ou-of-plae vibraios are ucoupled. However he ou-of-plae bedig ad orsioal resposes will sill be coupled. I is ofe difficul ad someimes impossible o fid a geeral closed-form soluio for he vibraio problem of a arch, sice he goverig differeial equaios possess variable coefficies. The exac soluio of he goverig equaios exiss oly for a circular beam of uiform cross-secio. The previous sudies are based upo he classical heory i which eiher roaory ieria or shear deformaio are ake io accou. Timosheko beam heory cosiders he effecs of shear deformaio ad roaory ieria due o boh flexural ad orsioal vibraios ad provides a beer approximaio o he acual arch behaviour. May echiques have bee cosidered i he papers o ou-of-plae vibraios of arches. The Riz mehod wih differe ypes of rial fucios has ofe bee applied i deermiig he aural frequecies of arches. Wih he advaceme of compuer echology ad several programs, he fiie eleme mehod has bee used widely o solve for more geeral geomery ad a umber of curved elemes have bee developed. If he behaviour of he arch is o-plaar, usual fiie eleme or fiie differece model becomes very complicaed. I his sudy, free ou-of-plae vibraios of a circular arch wih uiform cross-secio are ivesigaed by akig io accou he effecs of rasverse shear ad roaory ieria due o boh flexural ad orsioal vibraios. The goverig differeial equaios for ou-of-plae vibraio of uiform circular beams are solved exacly by usig he iiial value mehod. The soluio does o deped o he boudary codiios. The same soluio procedure is also used o obai he resuls of oher cases i which each effec is cosidered idividually i order o assess is imporace. The frequecy coefficies are obaied for he firs five modes of arches wih various slederess raios ad opeig agles. The resuls show ha he flexural ad orsioal roaory ieria ad shear deformaio have very impora effecs o resoace frequecies, eve if sleder shallow arches are cosidered. I is cocluded ha he orsioal roaory ieria effec is he mos sigifica effec o be icluded i he aalysis. A pheomeo kow as rasiio of modes from orsioal io flexural is characerized by he sharp icreme i resoace frequecies of modes ha occurs a cerai combiaios of curvaure ad legh of he arch. This icrease i mode frequecy is accompaied by a sigifica chage i he mode shapes. I his sudy, he aalysis of he rasiio pheomeo i vibraioal behaviour of a shallow circular arch wih uiform cross-secio is also preseed by usig he exac soluio of he goverig equaios. The mode rasiio pheomeo is show i figures. Vibraio problems for circular beams ha have bee aalyzed i he lieraure are solved ad he resuls are compared i ables. The compariso shows good agreeme bewee he resuls. The mai purpose of his paper is o prese he exac soluio o he goverig differeial equaios of ou-of-plae vibraios for a circular arch wih uiform cross-secio. The effecs of shear deformaio ad roaory ieria due o he flexural ad orsioal vibraios are ake io accou. Bu he warpig deformaio of he cross-secio is egleced. The iiial value mehod is used i order o solve he goverig differeial equaios. The soluio does o deped o he boudary codiios. The variaios of he frequecy coefficies wih respec o he opeig agle are preseed for a cerai slederess raio ad several boudary codiios. The examples give i he lieraure are solved ad he resuls are compared. Keywords: Circular arch, ou-of-plae, free vibraio. 54

3 Çember ekseli çubukları serbes ireşimleri Giriş Çubuklar, büü mühedislik yapılarıda e yaygı ve e basi elema olarak kullaılmakadır. Çubukları aalizi, büü yüzyıl boyuca araşırmacıları ilgilediği bir kou olmuşur. Çok sayıda moder mühedislik yapısıı öemli elemaı ola çubuklar ve bu kouda yapıla çalışmalar güümüzde hala gücelliğii korumakadır. Turbo makia pervaeleri, elekrik makiaları, çeşili yay asarımları, makia mühedisliğideki uzaysal yapılar, işaa mühedisliğideki depreme dayaıklı yapılar, köprü kemerleri ve karayolları uygulamaları verilebilecek örekler arasıda yer almakadır. Bu öem ve kullaım yaygılığı edei ile, birçok araşırmacı, çubukları davraış modeli üzeride çalışmakadır. Bugüe kadar yapıla bir çok çalışmada, kayma deformasyou ve döme eylemsizliği ekilerii dikkae alımadığı, klasik Euler-Beroulli çubuk eorisi kullaılmışır. Timesheko çubuk eorisi, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekilerii dikkae almaka ve daha iyi souçlar vermekedir. Bu çalışmada, çember ekseli sabi kesili çubukları düzlem dışı serbes ireşimleri, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alıarak icelemişir. Diferasiyel deklem akımıı kesi çözümü, başlagıç değerleri yöemi kullaılarak elde edilmişir. Eğri ekseli çubukları ireşim problemi, diğer birçok çalışmaya da araşırma kousu olmuş ve bu çalışmalarda verile öreklere ilişki karşılaşırmalı souçlar ablolar halide verilmişir. Yapıla hesaplarda, sözü edile ekiler dikkae alımış, kesii çarpılma ekisi ihmal edilmişir. Elde edile souçlar arasıda iyi bir uyum olduğu görülmekedir. Kou ile ilgili ilk ve e öemli çalışmalarda biri Love (1944) a aiir. Burada; eğri ekseli çubukları elasisie eorisi verilmiş ve daire kesili am çember halkasıı ireşimleri icelemişir. Ekseel uzamaı ihmal edilebileceği varsayımı ile, geel deklemler oluşurulmuş ve halkaı kedi düzlemi içideki ireşimleri icelemişir. Bu yapılırke, kayma deformasyou ve döme eylemsizliği ekileri ihmal edilmişir. Volerra ve Morell (1961), çember, caeary, sikloid ve parabol ekseli, dairesel kesili çubukları düzlem dışı frekaslarıı, Rayleigh- Riz yöemii kullaarak elde emişlerdir. Irie ve diğerleri (198), eksei çember olmaya değişke kesili çubukları söümlü, zorlamış ireşimlerii icelemişlerdir. Serbes ucuda siüzoidal değişe mome ve kuvvelerle zorlaa, akasre-serbes meseli bir çubuğu doğal frekasları icelemişir. Çember ekseli kalı çubukları, düzlem dışı ireşimlerie ai doğal frekasları, kayma deformasyou ve döme eylemsizliği ekileri de dikkae alıarak, Bickford ve Magay (1986) arafıda yapıla çalışmada verilmekedir. Kawakami ve diğerleri (1995), eğri ekseli, değişke kesili düzlemsel çubukları düzlem-içi ve düzlem dışı serbes ireşimlerii Gree foksiyou yardımıyla elde emişlerdir. Howso ve Jemah (1999), eğri ekseli düzlemsel çubukları kedi düzlemie dik doğruludaki doğal frekaslarıı, solu elemalar yöemii kullaarak elde emişlerdir. Huag vd. (1998) arafıda yapıla çalışmada, eksei çember olmaya, değişke kesili düzlemsel çubukları düzlem dışı diamik aalizi Diamik Rijilik Marisi yöemi kullaılarak verilmeke, Laplace döüşüm ekiği uygulaarak, eğri ekseli çubuğu düzlem dışı serbes ireşimlerii kesi çözümü, farklı sıır şarları ve farklı yükleme durumları içi geel bir ifade olarak verilmekedir. Bu çalışmaı emel amacı, çember ekseli sabi kesili düzlemsel çubukları düzlem dışı serbes ireşimlerii, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alıarak icelemekir. Burada kesi çarpılması ekisi ihmal edilmişir. Diferasiyel deklem akımıı çözümüde, Tufekci ve Arpaci (1998) arafıda çember ekseli sabi kesili çubukları düzlem içi ireşimleri içi verile başlagıç değerleri yöemi kullaılmışır. Boyusuz frekasları çubuk açıklığıa gore değişimi, belirli arilik oraıda farklı sıır şarlarıda verilmişir. Lie- 55

4 O. Y. Doğruer, E. Tüfekçi raürde verile örekler çözülerek souçlar karşılaşırılmışır. Frekaslar; akasre-akasre, akasre-serbes ve serbes-serbes olmak üzere, üç farklı meseleme durumu içi elde edilmişir. Farklı sıır şarlarıda, φ T çubuk açısı ve arilik oraıı (λ=r/i) doğal frekaslar üzerideki ekisi icelemiş, ilk beş mod içi boyusuz frekas kasayıları hesaplamışır. Eğri ekseli düzlemsel çubukları düzlem dışı ireşimleride, mod geçişi olayı da icelemiş ve bu durum verile grafiklerde göserilmişir. Yapıla lieraür araşırmasıda, mod geçişi kousuu ele ala bir çalışmaya raslamamışır. Geel bağıılar Elasik çubukları düzlem dışı deklemleri (Şekil 1), kayma deformasyou ve döme eylemsizliği ekileri dikkae alıarak aşağıdaki şekilde verilmekedir: dv R + RΩ Fb GA/ k dω + Ω R EI M b = = dω R Ω M = (1) GJ dm I + M RFb + Rµ ω Ω = A dm I p M + Rµ ω Ω = A df b + R µω v = Burada; v biormal yerdeğişirme, (φ ) yay açıklığı, Ω, Ω ormal ve eğesel ekse üzerideki döme açıları, R ( φ ) şekil değişirmemiş çubuğu ekse eğrisii eğrilik yarıçapı, A kesi alaı, I kesii ormal ekseie göre eylemsizlik momeii, I p kesii polar eylemsizlik momeii, gösermekedir. F b kuvvei biormal bileşei, M ve M ormal ve eğesel ekse üzerideki iç momeler, ω açısal frekas, k b kayma gerilmelerii kesie üifom olarak dağılmadıklarıı gösere bir sabi, E ve G ise elasisie ve kayma modülüdür. A Şekil 1. Eğri ekseli çubuk geomerisi ve koordia sisemi Bilidiği gibi, Coulomb eorisi; burulma zorlaması ekisi alıdaki dairesel kesili çubukları kesi çözümüü vermekedir. Burada, şekil değişirme sorası, kesii düzlem kaldığı ve herhagi bir çarpılma-deformasyo olmaksızı eksei erafıda dödüğü kabul edilir. Bir başka deyişle, kesii herhagi bir okasıdaki kayma gerilmesi kesi yarıçapıa dikir. Bu durumda, burulma sabii, kesii polar eylemsizlik momei olarak belirleir Acak, kesii dairesel olmaya prizmaik çubuklarda kesi çarpılması öem kazaır. Uçlarıda ekiye burulma momeiyle zorlaa prizmaik çubukları burulma problemii çözümü Sai- Vea arafıda verilmişir (Timosheko ve Goodier, 1951). Bu eori, üm kesilerde ayı mikarda, çarpılma olduğuu varsaymakadır. Burada, kesi dömesi ve kesi çarpılması dikkae alıarak, burulma eylemsizlik momei aşağıdaki gibi verilmekedir; ψ ψ () J = x + y + x y da y x ala R -φ A φ φ B Dikdörge kesili prizmaik çubuğu burulma eylemsizlik momei, φ B b 56

5 Çember ekseli çubukları serbes ireşimleri 3 WH 19H 1 π( 1) W J = 1 ah W H π W = 1 ( 1) H (3) olarak bilimekedir (Timosheko ve Goodier 1951, Rubi ). Burada W ve H kesii boyularıdır. Buu yerie, oldukça iyi souç vere aşağıdaki yaklaşık bağıı kullaılabilir; WH H 1 H J = W H 4 3 W 1W (4) Bazı yazarlar, burulma sabii yerie, polar eylemsizlik momeii kullamışır (Tüfekçi, 4 ve Lee ve Chao, ). Polar eylemsizlik momei yerie, burulma sabii kullaılması durumuda, maksimum kayma gerilmesi dikdörge kesidi köşeleride meydaa gelmekedir. Yag ve diğerleri (1), çalışmalarıda hem burulma sabii hem de polar eylemsizlik momei yerie burulma sabiii kullamışlardır. (1) deklemi aşağıdaki şekilde marisel formda yazılabilir : dy( φ) = Ay ( φ) (5) Burada; A = Rµω R 1 I Rµω A 1 I p Rµω A R EI [ Ω Ω M M F ] b 1 R GJ 1 Rkb GA R y (φ) = ν (6) şeklidedir. Deklem akımıı çözümü aşağıdaki deklem yardımıyla buluabilir; y( φ ) = e Aφ y (7) Burada, y = y ( φ), bilie φ = φ referas kordiaıdaki başlagıç değerleri vekörüü Aφ ifade emekedir. e erimi, Tüfekçi ve Arpacı (1998) arafıda verile yöemle ifade edilebilir. Asal marisi alı elemaı, A ve B uçlarıdaki sıır şarları kullaılarak elde edilebilir (Şekil 1). Akasre uç : ν( φ ) = ; Ω ( φ ) = ; Ω ( φ ) = A A A Serbes uç : M ( φ ) = ; M ( φ ) = ; F ( φ ) = (8) A A b A Sıır şarlarıda elde edile alı deklem, homoje deklem akımı oluşurduğuda, sıfırda farklı çözüm, kasayılar marisi deermiaıı sıfıra eşi olması durumuda mevcuur. Sayısal souçlar ve karşılaşırma Boyusuz frekas kasayısı (c i = ω i R φ (µ /EI ) 1/ beş farklı durum içi hesaplamış ve elde edile souçlar grafikler halide verilmişir. Durum 1: Büü ekiler ihmal Durum : Büü ekiler dahil Durum 3: Sadece kayma deformasyou ekisi Durum 4: Eğilme edei ile oraya çıka döme eylemsizliği ekisi Durum 5: Burulma edei ile oraya çıka döme eylemsizliği ekisi Frekaslar; akasre-akasre, akasre-serbes ve serbes-serbes olmak üzere, üç farklı meseleme durumu içi elde edilmişir. Farklı sıır şarlarıda, φ T çubuk açısı ve arilik oraıı (λ=r/i, i=(i /A) 1/ jirasyo yarıçapı) doğal frekaslar üzerideki ekisi espi edilmiş, ilk beş mod içi boyusuz frekas kasayıları hesaplamışır. Şekil de, λ=5 değeri ve serbes-serbes mese durumu içi, birici frekas kasayısıı φ T çubuk açısı ile değişimi verilmekedir. Küçük çubuk açılarıda, souçları birbiride oldukça farklı, büyük çubuk açılarıda ise, birbirie yakı olduğu görülmekedir. Durum de, frekas kasayısı keski bir şekilde yükselmeke ve sora yavaşça düşmekedir. Frekas değeride oraya çıka bu ai ve keski arış mod geçişi e- 57

6 O. Y. Doğruer, E. Tüfekçi deiyle meydaa gelmekedir. Verile öreke bu durum, çubuk açısıı 9 değeri civarıda gözlemekedir. Grafike kolayca görüleceği üzere, burulma edei ile oraya çıka döme eylemsizliği e öemli eki olarak karşımıza çıkmakadır. Frekas kasayısı, c Kiriş açısı, φ ( o ) Şekil. Birici frekas kasayısıı çubuk açısıa göre değişimi, (serbes-serbes mese, arilik oraı λ=5). durum 1; durum ; durum 3; durum 4; durum 5 Tahmi edildiği gibi, büyük arilik oralarıda ve büyük çubuk açılarıda, büü durumlara ai eğriler birbirlerie yaklaşmakadır. Akasre-akasre mese durumu ve λ=5 değeri içi, çubuk açısıı birici mod frekas kasayısı üzerideki ekisi Şekil 3 de verilmekedir. Farklı durumları gösere eğrileri, serbes-serbes mese durumuda elde edile eğrilere göre, birbiri ile daha uyumlu olduğu görülmekedir. Akasre-akasre mese durumuda, beşici mod frekas kasayısıı değişimi Şekil 4 e göserilmekedir. Beş değişik durum içi elde edile souçlar, sığ çubuklarda birbirie göre belirgi farklılık gösermekedir ( φ T =15 o ye kadar). Öe yada, kayma deformasyou ve eğilme edei ile oraya çıka döme eylemsizliği ekilerii öemi, yüksek mod sayıları ve küçük çubuk açılarıda oraya çıkmakadır. Akasre-serbes bir çubuğu ilk beş modua ai frekas kasayıları arilik oraı λ=5 olmak üzere Şekil 5 e verilmekedir. Burada, kayma Frekas kasayısı, c Kiriş açısı, φ ( o ) Şekil 3. Birici frekas kasayısıı çubuk açısıa göre değişimi, (akasre-akasre mese, arilik oraı λ=5). durum 1; durum ; durum 3; durum 4; durum 5 Frekas kasayısı, c Kiriş açısı, φ ( o ) Şekil 4. Beşici frekas kasayısıı çubuk açısıa göre değişimi, (akasre-akasre mese, arilik oraı λ=5). durum 1; durum ; durum 3; durum 4; durum 5 Frekas kasayısı, c Kiriş açısı, φ ( o ) Şekil 5. İlk beş frekas kasayısıı çubuk açısıa göre değişimi, akasre-serbes mese, (arilik oraı λ=5). durum 1; durum ; durum 3; durum 4; durum 5 58

7 Çember ekseli çubukları serbes ireşimleri deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alımışır. Mod geçişi edei ile oraya çıka, frekaslardaki ai ve keski arışlar, grafiklerde görülebilmekedir. Frekas eğrilerii birbirie yaklaşığı okalarda, mod şekilleri, burulmada eğilmeye doğru değişim gösermekedir. Tablo 1 de, akasre-akasre çubuk içi, bu çalışma, Huag ve diğerleri (1998), Irie ve diğerleri (198) arafıda elde edile boyusuz frekaslar verilmekedir. Tablo 1. Dairesel abi kesili çubuğu boyusuz ω R µ EI (φ =8 o ve λ=) frekasları ( ) Mod Sayısı Bu çalışma / Huag ve diğerleri () Irie ve diğerleri (198) Bu öreke, dairesel sabi kesili çubuk, çubuk açısı φ T =8 o ve arilik oraı λ= değerleri içi icelemişir. Burada, Huag ve diğerleri (1998) diamik rijilik maris yöemii kullaırke, Irie ve diğerleri (198) rasfer maris yöemii kullamışır. Tablo 1 de souçları birbirie yakı olduğu görülmekedir. Tablo ve 3 de çember ekseli dairesel ve kare kesili çubukları boyusuz frekas değerleri ω R µ /( EI ), akasre-akasre mese durumu içi verilmekedir. Bu öreke, φ T =6 o, 1 o ve 18 o, arilik oraı ise λ= ve 1 olarak alımışır. Poisso oraı.3 ve kayma gerilmelerii keside uiform yayılmadıklarıı gösere k b sabii, dairesel kesi içi k b = 1/.89 ve kare kesi içi k b = 1/.85 şeklide alımışır. Tablolarda, dairesel ve kare kesi içi de, elde edile souçlar arasıda iyi bir uyum olduğu görülmekedir. Bu ablolarda, Irie ve diğerleri (198), Kag ve diğerleri (1995) ve Howso ve Jemah (1999) arafıda elde edile souçlarla bu çalışmaı souçları karşılaşırılmakadır. λ 1 Tablo. Çember ekseli dairesel kesili çubu- ğu boyusuz frekasları ω R µ ( EI ) φ ( o ) / (k b =1/.89, Poisso oraı v=.3) Mod Sayısı Bu çalışma Kag (1995) Irie (198) Howso (1999) E Silva ve Urgueria (1988) eğri ekseli çubukları düzlem dışı ireşim problemii çözümü kousuda yei bir aaliik model oraya koymuşur. Bu çalışmada, ayrıca, eorik hesapları doğruluğuu gösermek içi Tablo 4 de souçları verile deeysel çalışmalar da yapılmışır. E Silva ve Urgueria (1988) arafıda elde edile souçlar ile bu çalışmaı souçları karşılaşırmalı olarak Tablo 4 e verilmişir. 59

8 O. Y. Doğruer, E. Tüfekçi Tablo 3. Çember ekseli kare kesili çubuğu λ 1 boyusuz frekasları ω R µ ( EI ) φ ( o ) / (k b =1/.85, Poisso oraı v=.3) Mod Sayısı Bu çalışma Kag (1995) Irie (198) Howso (1999) Hesaplarda dikkae alıa ekiler aşağıdaki gibi grupladırılmışır; A Hali : Kayma deformasyou ve burulma edei ile oraya çıka döme eylemsizliği ekileri dikkae alımakadır. B Hali : Büü ekileri ihmal edildiği klasik çubuk eorisi kullaılmakadır. C Hali : Sadece kayma deformasyou ekisi ihmal edilmekedir. Hem eğilme hem de burulma edei ile oraya çıka döme eylemsizliği ekileri dikkae alımakadır. D Hali : Büü ekiler dikkae alımakadır. Geel olarak souçlar arasıda iyi bir uyum olduğuu söylemek mümküdür. Acak, her iki çalışmada da, dördücü doğal frekasları kedi içideki birbirie göre ola farkları, ilk üç moda göre daha fazladır. Deeysel souçlarla karşılaşırıldığıda, bu çalışmada elde edile souçları, E Silva ve Urgueria (1988) arafıda elde edile souçlarda daha iyi olduğu görülmekedir. Faka, özellikle dördücü modda, eorik ve deeysel frekaslar arasıdaki fark daha büyükür. Souçlar Çember ekseli sabi kesili düzlemsel çubukları düzlem dışı ireşimlerii kesi çözümü, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alıarak, başlagıç değerleri yöemi ile elde edilmişir. Açıkça görülmekedir ki, büü ekileri ihmal ede klasik çubuk eorisi, çubuğu gerçek davraışıı yasımamakadır. Burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekisi, eğri ekseli düzlem çubukları düzlem dışı ireşimleri kousuda, özellikle sığ çubuklarda e öemli eki olarak karşımıza çıkmakadır. Bu durum ari çubuklarda ve küçük mod sayılarıda da geçerli olmakadır. Diğer arafa, kalı çubukları hesabıda, kayma deformasyou ve eğilmede kayaklaa döme eylemsizliği ekileri dikkae alıması gerekiği bilimekedir. Eğri ekseli düzlemsel çubukları düzlem dışı ireşimleride, büü mod sayılarıda hesaplaa doğal frekaslar, sığ çubukları frekaslarıda keski bir arış ve sorada yavaşça azalma meydaa geldiğii oraya koymuşur. Klasik çubuk eoriside gözlemeye bu durum, mod geçişi olayı edei ile oraya çıkmakadır. Mod geçişi olayı, mod frekaslarıdaki ai arış olarak kedii gösermekedir ve belirli bir çubuk eğriliğie ve uzuluğua sahip çubuklarda meydaa gelmekedir. Akasre-akasre ve serbes-serbes sıır şarlarıda, çubuğu davraışı birbirie bezemekedir. Akasre-serbes sıır şarıda, diğer sıır şarlarıa göre, çubuk davraışıda belirgi farklılıklar olduğu görülmekedir. Akasreserbes çubuk içi, büü arilik oralarıda, doğal frekaslar, çubuk açısıı armasıyla birlike armakadır. 6

9 Çember ekseli çubukları serbes ireşimleri Tablo 4. Elde edile frekas değerleri (Hz), bu çalışma ve E Silva ve Urgueria (1988). Mod φ ( o ) Bu çalışma E Silva ve Urgueria (1988) A Hali B Hali C Hali D Hali A Hali B Hali C Hali D Hali Deey Lieraürdeki çalışmalarda verile örekler çözülerek burada elde edile souçlarla karşılaşırılmışır. Souçlar arasıda oldukça iyi bir uyum bulumakadır. Çözüle büü örekler, kayma deformasyou ve hem eğilme hem de burulmada kayaklaa döme eylemsizliği ekilerii, eğri ekseli çubukları düzlem dışı ireşimleri kousuda öemli bir yeri buluduğuu gösermişir. Bu ekileri, yüksek mod sayılarıda da ayrı bir öem kazadığı bilimekedir. Kayaklar Auciello, N.M., De Rosa, M.A., (1994). Free vibraios of circular arches: A review, Joural of Soud ad Vibraio, 174, Bickford, W.B., Magay, S.P., (1986). O he ouof-plae vibraios of hick rigs, Joural of Soud ad Vibraio, 18, Chidamparam, P., Leissa, A.W., (1993). Vibraios of a Plaar Curved Beams, Rigs ad Arches, Applied Mechaics Reviews, 46, E Silva, J.M.M., Urgueria, A.P.V., (1988). Ou-ofplae dyamic respose of curved beams-a aalyical model, Ieraioal Joural of Solids ad Srucures, 4, Howso, W.P., Jamah, A.K., Zhou, J.Q., (1995). Exac aural frequecies for ou-of-plae moio of plae srucures composed of curved beam members, Compuers ad Srucures, 55, Howso, W.P., Jemah, A.K., (1999). Exac ou-ofplae aural frequecies of curved Timesheko beams, Joural of Egieerig Mechaics, 15, Huag, C.S., Tseg, Y.P., Chag, S.H., (1998). Ouof-plae dyamic resposes of o-circular curved beams by umerical Laplace rasform, Joural of Soud ad Vibraio, 15,

10 O. Y. Doğruer, E. Tüfekçi Irie, T., Yamada, G., Takahashi, I., (198). The seady sae ou-of-plae respose of a Timosheko curved beam wih ieral dampig, Joural of Soud ad Vibraio, 71, Irie, T., Yamada, G., Takahashi, I., (198). Naural frequecies of ou-of-plae vibraio of arcs, Joural of Applied Mechaics, 49, Kag, K., Ber, C.W., Sriz, A.G., (1995). Vibraio aalysis of shear deformable circular arches by he differeial quadraure mehod, Joural of Soud ad Vibraio, 181, Kawakami, M., Sakiyama, T., Masuda, H., Moria, C., (1995). I-plae ad ou-of-plae free vibraios of curved beams wih variable secios, Joural of Soud ad Vibraio, 187, Lee, S.Y., Chao, J.C., (). Ou-of-plae vibraios of curved o-uiform beams of cosa radius, Joural of Soud ad Vibraio, 38, Laura, P.A.A., Maurizi, M.J., (1987). Rece research o vibraios of arch-ype srucures, The Shock ad Vibraio Diges, 19, 6-9. Love, A.E.H., (1944). A Treaise o he Mahemaical Theory of Elasiciy, Dover Publicaios, New York, 4h ediio. Markus, S., Naasi, T., (1981). Vibraio of Curved Beams, The Shock ad Vibraio Diges, 13, Rubi, M.B., (). Cossera Theories: Shells, Rods ad Pois, Kluwer Academic Publishers, The Neherlads. Rubi, M.B., Tufekci, E., (5). Three-dimesioal free vibraios of a circular arch usig he heory of a Cossera poi, Joural of Soud ad Vibraio, 86, Taropolskaya, T., De Hoog, F.R., Flecher, N.H., Thwaies, S., (1996). Asympoic aalysis of he free vibraios of beams wih arbirarily varyig curvaure ad cross-secio, Joural of Soud ad Vibraio, 196, Taropolskaya, T., De Hoog, F.R., Flecher, N.H., (1999). Low-frequecy mode rasiio i he free i-plae vibraio of curved beams, Joural of Soud ad Vibraio, 8, Timosheko, S., Goodier, J. N., (1951). Theory of Elasiciy, McGraw-Hill Book Co., Tokyo, d ediio. Tufekci, E., Arpacı, A., (1998). Exac soluio of iplae vibraios of circular arches wih accou ake of axial exesio, rasverse shear ad roaory ieria effecs, Joural of Soud ad Vibraio, 9, Tufekci, E., (1). Exac soluio of free i-plae vibraio of shallow circular arches, Ieraioal Joural of Srucural Sabiliy ad Dyamics, 1, Tufekci, E., (4). O fiie-eleme formulaio of geomerically exac hree-dimesioal beam heories based o ierpolaio of srai measures, Compuer Mehods i Applied Mechaics ad Egieerig, 193, Volerra, E., Morell, J.D., (1961). Lowes aural frequecy of elasic arc for vibraios ouside he plae of iiial curvaure, Joural of Applied Mechaics, 8, Wag, T.M., Laskey, A., Ahmad, M., (1984). Naural frequecies for ou-of-plae vibraios of coiuous curved beams cosiderig shear ad roary ieria, Ieraioal Joural of Solids ad Srucures,, Yag, Y.-B., Wu, C.-M., Yau, J.-D., (1). Dyamic respose of a horizoally curved beam subjeced o verical ad horizoal movig loads, Joural of Soud ad Vibraio, 4, Wag, T.M., Guilber, M.P., (198). Effecs of roaory ieria ad shear o aural frequecies of coiuous circular curved beams, Ieraioal Joural of Solids ad Srucures, 17, Takahashi, S., (196). Vibraio of circular arch (Perpedicular o is plae), Bullei of he JSME, 6 (4), Suzuki, K., Aida, H., Takahashi, S., (1978). Vibraio of curved bars perpedicular o heir plaes, Bullei of he JSME, 1 (16),