DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ

Transkript

1 Niğde Üiversiesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, il 4, Sayı, (5), DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ Nurullah KARAA *, Faruk Fıra ÇALIM İşaa Mühedisliği Bölümü, Mühedislik Fakülesi, Musafa Kemal Üiversiesi, Haay, Türkiye ÖZET Bu çalışmada, daire ekseli kirişleri saik aalizi eorik olarak icelemişir. Taii urulmuş ve eğilmiş uzaysal çuukları idare ede deklemler Timosheko çuuk eorisi kullaarak elde edilmiş ve daire ekseli çuuklar içi ekrar düzelemişir. Formülasyoda, ekseel ve kayma deformasyou ekileri göz öüe alımışır. Çuuk malzemesi homoje, lieer elasik ve izoropik kaul edilmişir. Skaler formdaki adi diferasiyel deklemler aşıma marisi ve rijilik marisi yöemi yardımıyla çözülmüşür. Daire ekseli kirişleri saik aalizi içi çeşili örekler ele alımışır. Elde edile souçlar, lieraür ve solu elemalar yöemie dayalı souçları ile karşılaşırılmışır. Aahar kelimeler: Daire Ekseli Çuuklar, Taşıma Marisi Yöemi, STATI ANALYSIS F IRULAR BEAMS WITH TRANSFER AND STIFFNESS MATRIX METHD ABSTRAT I his sudy saic aalysis of circular eams is ivesigaed heoreically. The goverig equaios, for aurally wised ad curved spaial rods, oaied usig Timosheko eam heory ad rewrie for circular eams rods. Effecs of he axial ad shear deformaios are cosidered i he formulaios. The Timosheko eam heory is adoped i he derivaio of he goverig equaio. The maerial of he rod is assumed o e homogeeous, liear elasic ad isoropic. rdiary differeial equaios i scalar form are solved y usig rasfer marix ad siffess marix mehod. ircular eams are aalyzed hrough various examples for saic aalysis. Resuls are compared wih resuls ased o fiie eleme mehod ad availale i he lieraure. Keywords: ircular Beams, Trasfer Marix Mehod,. GİRİŞ Eğri ekseli çuukları davraışı öemli ir mühedislik prolemi olarak gücelliğii korumakadır. Eğri ekseli çuuklar mühedislik uygulamalarıda yaygı olarak kullaılmakadır. Lieraürde, doğru ekseli kirişleri saik ve diamik aalizleri ile ilgili irçok çalışma olmasıa rağme daire ekseli çuukları aalizlerie ai yeerli çalışma ulumamakadır. İa [], elasomekaike Başlagıç Değerleri Meodu ve Taşıma Marisii icelemiş, doğru, düzlemsel ve daire ekseli çuukları diferasiyel geçiş marisi kullaarak aşıma marisii elde emişir. Bayha [], daire ekseli düzlem çerçeveleri saik yükler alıdaki davraışları aşıma ve rijilik marisi meolarıyla çözmüşür. Daire ekseli elemaları elema rijilik marisi ve elema yük vekörleri aşıma marisi yöemiyle elde emişir. Çalım [], eğri ekseli çuuk sisemler ve silidirik ooz yapıları saik yükler alıdaki davraışlarıı * orrespodig auhor. ukaraca@gmail.com 59

2 DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ idare ede deklemleri kaoik halde elde emişir. Bu deklemleri Tamamlayıcı Foksiyolar Meodua dayalı rijilik marisi yöemi ile çözmüşür. Bu meoları kullaarak FRTRAN77 dilide ilgisayar programları hazırlamışır. Ayrıca programı ile karşılaşırmak amacıyla örek prolemleri ekrar çözmüşür. Hakaır ve Kıral [4] elasik ve izoropik malzemede yapılmış helisel çuukları saik aalizii aşıma marisi yöemie dayalı rijilik marisi yöemi ile çalışmışlardır ve çözüm içi FRTRAN77 dilide ilgisayar programları hazırlamışlardır. Hakaır [5], silidirik ice helisel çuukları saik ve diamik davraışı ile ekseel yük alıda sailiesi icelemiş ve olayı idare ede deklemler aşıma ve rijilik marisi meoları ile çözmüşür. Bu meolarda faydalaarak kesi ve eki çözüm yapa ilgisayar programları gelişirmişir. Yıldırım ve ark. [6], doğru ve daire ekseli elemalarda oluşa ileşik düzlem çerçeveleri saik aalizii rijilik marisi yöemiyle icelemişlerdir. Dairesel elemalara ai elema rijilik marisleri ve akasrelik uç kuvvelerii aşıma marisi meodu ile kesi olarak elde emişlerdir. Aköz ve murag [7] Gaeaux diferasiyelii kullaarak, dairesel ve uzaysal çuuklara ai foksiyoeller ile ulara ai karışık solu elema marislerii vermişlerdir. Lee [8] düzlemi içide ve düzlemie dik yüklü dairesel elema rijilik marislerii, eseklik mariside hesaplamışır. Bu marisleri irleşirerek ekseel ve kayma şekil değişirmelerii olmadığı, x lik geel elema marisii kapalı formda vermişir. Yamada ve Ezawa [9] düzlem içi elema rijilik marisii diferasiyel deklem yaklaşımı ile elde emişlerdir. Jus [] düzlemi içide yüklü ice dairesel çuuklar içi, iki yer değişirme foksiyou ile elde eikleri 6x6 lık kesi elema rijilik marisii sumuşur. Tüfekçi [], eğri ekseli düzlemsel çuukları düzlem içi saik prolemlerii ekseel uzama, kayma deformasyou ve döme eylemsizliği ekilerii göz öüe alarak icelemişir. Elde edile lieer diferasiyel deklem akımıı çözümüü aşlagıç değerleri yöemi ile yaparak çemer ve paraol ekseli çuuklar içi çeşili prolemler çözmüşür. Eroğlu [], eğri ekseli düzlemsel çuukları düzlem içi ve düzlem dışı saik ve diamik davraışları yei ir solu elema yöemiyle icelemiş ve souçlar hem lieraürdeki souçlarla hem de solu elema pake programlarıda elde edile souçlarla karşılaşırmışır. Doğruer [], eğri ekseli düzlemsel çuukları düzlem dışı saik ve diamik prolemlerii, aşlagıç değerleri yöemi ile kayma deformasyou ve hem eğilme hem de urulma döme eylemsizliği ekilerii de dikkae alarak, aaliik olarak çözmüşür. Akhar [4] düzlemi içide ve düzlemie dik yüklü dairesel elema rijilik marislerii, eseklik mariside hesaplamışlardır. Lama [5], Zeiss-Dywidag olarak ilie silidirik ooz çaı sisemi, saik yükler alıda davraışıı aşıma marisi yöemi ile icelemiş ve kear kiriş, ögerilme ve kısmi yükleme durumları içi ayrı ayrı FRTRAN77 dilide ilgisayar programları hazırlamışır. Thoro ve Maser [6], I kesili düzlemsel eğri ekseli kirişler içi direk rijilik marisi formülasyouu kayma şekil değişirmeleri ile kesi çarpılmasıı göz öüe alarak rijilik marisii kapalı formda vermişlerdir. Özçıkrıkçı [7], değişke kesili, radyal yüklü dairesel çuukları düzlem içi urkulmasıı icelemişir ve ir aşlagıç değer yöemi ola aşıma marisi meodu kullaılarak sai kesili dairesel çuukları düzlem içi urkulma yüklerii hesaplaailmesi içi gerekli ola aşıma marisi kapalı ir şekilde elde emişir. Daha sora değişke kesili dairesel çuukları düzlem içi urkulma yüklerii hesaplayailmek içi Picard ierasyou kullaılarak yaklaşık ir yöem oluşurmuşur. Bu çalışmada, daire ekseli kirişleri saik aalizi icelemişir. Daire ekseli kirişleri idare ede deklemler Timosheko çuuk eorisi kullaılarak elde edilmişir. Formülasyoda, ekseel ve kayma deformasyou ekileri göz öüe alımışır. Skaler formdaki adi diferasiyel deklemler aşıma marisi yöemi yardımıyla çözülmüşür. Solu elemalar yöemide, prolemi yüzlerce elema ile aımlamak gerekirke, öerile u yöemde sadece irkaç veya iseildiği kadar elemala aımlayarak iseile okaı kesi esiri değerleri elde edileilmekedir.. FRMÜLASYN Çuuk eksei üzeride herhagi ir s okasıda yer değişirme U o ve u okadaki kesii dömesi o olarak göserilsi. T vekörü ile s okasıdaki kesie ekiye iç kuvveleri vekörel oplamı ve M ile uları ağırlık merkezie idirgedikleri zama elde edile kuvve çifi olarak göserilsi. Çuuk ekseii irim oyua ekiye yayılı dış kuvve p ve mome m olsu. Çuuk malzemesi lieer elasik ve izoropikir. Uzaysal çuuğu idare ede deklemler vekörel formda elde edilmekedir. γ U s Ω, Ω s ω () 6

3 N.KARAA, F.F.ÇALIM T s p M s, T m () Çuuk kesiii kayma merkezi ile geomerik merkezii çakışığı, kesi çarpılmasıı ihmal edildiğii göz öüe alarak ve çuuk malzemesii homoje, izorop ve lieer elasik olduğu kaulleri alıda üye deklemleri şöyle verilmekedir. o i ij o j T A γ, o i ij o j M D ω (i, j =,, ) () A ij çuuğu ekseel ve kayma rijiliğii, D ij ise çuuğu urulma ve eğilme rijiliğii gösermekedir. EA A GA/α, GA/α GI D EI (4) EI A kesi alaı, E ve G elasik sailer, ve kayma düzelme fakörleridir. I urulma ve I, I ise eğilme aale momeleridir. Kesii kayma merkezi ile ağırlık merkezii üs üse düşüğü ve kesi çarpılmasıı ihmal edildiği kaul edilirse, ekseleri asal ekseler olmakadır. Eğri ekseli çuukları davraışıı idare ede diferasiyel deklemler,, harekeli ekse akımıda aşağıdaki şekilde yazılailmekedir. U U T s EA U s U s s s s T s T s T s M s (5a) U U U T GA T GA M (5d) GI M (5e) EI M (5f) EI T p (5g) T T p (5h) T p (5i) M m (5j) (5) (5c) 6

4 DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ M s M s M M T m (5k) M T m (5l) Şekil. Daire ekseli çuuk Düzlemsel çuuklarda ai urulma sıfır ( = ) ve daire ekseli çuuklarda eğrilik ise saiir ( = /R). Dairesel ir çuuka ds uzuluk elemaı ds = R d olarak ifade edilmekedir (Şekil ). Dış yükleri ulumadığı, harekeli koordia akımıda düzlemi içide yüklü dairesel kirişleri idare ede 6 ade adi diferasiyel deklem akımı aşağıdaki gii elde edilmekedir. du T U R d du U R d d M R d D d T T d d T T d d M R T d T R Elemaları, dairesel kirişleri herhagi ir kesiideki kesi üyüklükleri ola {S( )} durum vekörü S U, U,, T, T, M T (6a) (6) (6c) (6d) (6e) (6f) (7) ve [D] diferasiyel geçiş marisi ile (5) deklemleri maris oasyouda aşağıdaki gii yazılır. S D S d d (8) 6

5 N.KARAA, F.F.ÇALIM.. Taşıma Marisi Bu yöem ile sıır değer prolemii aşlagıç değer prolemie döüşürerek çözüm yapılmakadır. [F] aşıma marisi ile (7) deklemii homoje çözümü aşağıdaki şekilde yapılmakadır. S F S (9) Taşıma marisi, = aşlagıç okası ile = okası arasıdaki geçişi sağlaya [F] marisidir. {S( )} kolo vekörü, = deki durum vekörüü, {S()} kolo vekörü ise = daki durum vekörüü ifade emekedir. (5) deklemleride, U deplasmaı esas değişke olarak seçilir ve diğer foksiyolar uları ürevleri ciside ifade edilirse, ekseel ve kayma deformasyou ihmal (a-e) ve ekseel ve kayma deformasyou dâhil (a-e) diferasiyel deklemler aşağıdaki gii uluur: M U Burada du d D U du d (a) U R d () M D du R d d (c) T d du D R d d d (d) T d du D R d d d (e) D D R 5 d U 5 d d (a) 4 6 D U 4 6 R d D D R d d d 5 7 D du D 5 7 R d d D D R d d d D D D R 4 d U 4 d d T (d) D D D R 5 d U 5 d d T (e) () (c) EA, GA/α, D EI malzemeyle ilgili ola rijilikleri ifade emekedir. Ayı deklemlerde yok emeğe devam edilirse, homoje kısım içi 6 d 6 d d 4 4 () 6

6 DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ şeklide diferasiyel deklemi elde edilir. () deklemii homoje çözümüde hareke edilerek, MATHEMATIA programlama diliyle yazıla ir program yardımıyla [F] aşıma marisi elde edilmekedir. Böylece = aşlagıç kesiide = kesiideki üyüklüklere geçişi sağlaya aşıma marisi aaliik olarak elde edilmekedir. Homoje kısmı çözümü, U Si os Si os () şeklide olup i iegrasyo sailerii gösermekedir. Yayılı ve ekil yükleri irlike uluması durumuda geel çözüm, S F S F - K F - K i d şeklidedir. (4) ifadesii sağ arafıdaki ikici erim ekil yüklere ai, üçücü erim ise yayılı yüklere ai özel çözümü gösermekedir. İkici erimde yer ala {K(β)} ekil yüke dolayı süreksizlik vekörü, β ekil yükü olduğu yere kadar aşlagıça iiare ölçüle açıdır. K,,, T T, T, M K,,, r p, r p, r m (5) (6) T (4). SAYISAL UYGULAMA Bu çalışmada, saik yükleme alıda daire ekseli kirişleri davraışıı aaliz emek içi geel amaçlı Mahemaica dilide ir ilgisayar programı hazırlamışır. Öerile yöemi geçerliliğii es emek amacı ile lieraürdeki mevcu iki örek ele alımışır. Ele alıa öreklerde kayma deformasyo ekisi icelemekedir. Ayrıca ele alıa örekler solu elemalar yöemie dayalı programı yardımı ile farklı elema sayıları içere çözümler yapılmışır. programı ile daire ekseli çuuklar BEAM çuuk elemaı kullaılarak modellemekedir. Örek Düzlemi içide yüklü daire ekseli çuuk prolemi göz öüe alımakadır. Daire ekseli kirişe, q = / m yayılı ve P = şiddeide ekil yük uygulamışır. Geomerik ve malzeme özellikleri, aale momei I = / m 4, yarıçap R = m, elasisie modülü E = 6 /m, Poisso oraı ν =. olarak verilmişir. Proleme ai souçlar Talo de verilmekedir. Ekseel ve kayma deformasyo ekileri dikkae alıarak programı ile farklı elema sayıları içi çözümler yapılmış ve elde edile daire ekseli çuuğa ai kesi esirleri Talo de verilmekedir. Şekil. İki ucu akasre daire ekseli kiriş 64

7 N.KARAA, F.F.ÇALIM Talo. İki ucu akasre daire ekseli kirişe ai sayısal souçlar Elema No Kesi Tesirleri Bayha [] Çalım [] (6 el.) (7 el.) (44 el.) (7 el.) Bu Çalışma (Kayma Ekili) Bu Çalışma (Kayma Ekisiz) T i () 4,8 4,8,9 4, 4,6 4,64 4,8 4, T i (m) -6, -6, -6,47-6,4-6,7-6,4-6, -6,84 M i (m) -9,5-9,5-9,8-9,6-9,5-9,5-9,5-8,945 T j () -,787 -,787 -,664 -,76 -,757 -,77 -,787 -,86 T j (m) -,89 -,89 -,9 -,877 -,848 -,85 -,89 -,85 M j (m) -6,6-6,6-6,8-6,5-6,59-6,6-6,6-6,8 T i (),787,787,9,846,87,8,787,86 T i (m),89,89,699,76,79,84,89,85 M i (m) 6,6 6,6 6,8 6,5 6,59 6,6 6,6 6,8 T j () -,457 -,457 -,47 -,44 -,446 -,45 -,457 -,477 T j (m) -,68 -,68 -,84 -,76 -,7 -,7 -,68 -,678 M j (m),48,48,475,449,44,44,48,488 T i (),457,457,56,5,484,47,457,477 T i (m),68,68,58,6,64,66,68,678 M i (m) -,48 -,48 -,475 -,449 -,44 -,44 -,48 -,488 T j () -,68 -,68 -,89 -,76 -,7 -,7 -,68 -,678 T j (m),457,457,4,4,49,44,457,477 M j (m) -7,77-7,6-7,7-7, -7,9-7, -7,6-7,55 T i (),74,74,67,99,94,8,74,4 T i (m),675,675,584,69,65,66,675,786 4 M i (m) 7,6 7,6 7,7 7, 7,9 7, 7,6 7,55 T j () -,675 -,675 -,76 -,76 -,688 -,68 -,675 -,786 T j (m),74,74,5,,98,5,74,4 M j (m) -,9 -,9 -,4 -,78 -,87 -,89 -,9 -,688 Bu çalışmada ulua souçları lieraürdeki souçlar ile uyum içide olduğu görülmekedir. Talo icelediğide, solu elemalar yöemie dayalı programı ile yüzlerce elema alıması halide acak iseile hassasiyee souçlar elde edileilmişir. Kayma deformasyo ekisii souçları çok ekilemediği görüleilmekedir. 65

8 DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN TAŞIMA VE RİJİTLİK MATRİSİ YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZİ Örek İki yarım dairede oluşa iki ucu akasre daire ekseli çuuk prolemi ele alımakadır. Daire ekseli kirişe, P = şiddeide ekil yük uygulamışır. Geomerik ve malzeme özellikleri, aale momei I = / m 4, yarıçap R = m, elasisie modülü E = 6 /m, Poisso oraı ν =, olarak verilmişir. Proleme ai souçlar Talo de verilmekedir. Solu elemalar yöemie dayalı programı ile farklı elema sayılarıı içere çözümler yapılmışır. Şekil. İki yarım dairede oluşa daire ekseli kiriş Talo. Örek ai sayısal souçlar Elema No Kesi Tesirleri Bayha [] Çalım [] (4 el.) (8 el.) ( el.) (4 el.) Bu Çalışma (Kayma Ekili) Bu Çalışma (Kayma Ekisiz) Ti (),8,8,86,89,86,8,8,8 Ti (m),7,,65,97,8,9,7, Mi (m) -,7 -,58 -,7 -,6 -,6 -,59 -,7 -,58 Tj () -,7 -, -,9 -,6 -,5 -,4 -,7 -, Tj (m),8,8,79,8,84,88,8,8 Mj (m) -,66 -,65 -,64 -,65 -,65 -,65 -,66 -,65 Ti (),7,,4,7,4,,7, Ti (m),89,89,7,8,8,87,89,89 Mi (m),66,65,64,65,65,65,66,65 Tj () -,89 -,89 -,7 -,98 -,95 -,9 -,89 -,89 Tj (m),7,,4,,5,7,7, Mj (m) -,7 -,5 -,46 -,5 -,5 -,5 -,7 -,5 Ti () -,89 -,89 -,7 -,8 -,8 -,87 -,89 -,89 Ti (m),7,,44,7,5,7,7, Mi (m),7,5,46,5,5,5,7,5 Tj () -,89 -,89 -,7 -,98 -,95 -,9 -,89 -,89 Tj (m),7,,4,,5,7,7, Mj (m),75,76,77,77,77,77,75,76 66

9 N.KARAA, F.F.ÇALIM Bu çalışmada ulua souçları lieraürdeki souçlar ile uyum içide olduğu görülmekedir. Talo icelediğide, solu elemalar yöemie dayalı programı ile yüzlerce elema alıması halide acak iseile hassasiyee souçlar elde edileilmişir. Kayma deformasyouu çok sıırlı ekisi olduğu görülmekedir. 4. SNUÇLAR Bu çalışmada, daire ekseli kirişleri saik aalizi içi eki ir yöem suulmuşur. Daire ekseli kirişleri idare ede deklemler Timosheko çuuk eorisi kullaılarak elde edilmişir. Formülasyoda, çuuk ekseii eğriliği, ekseel ve kayma deformasyou ekileri göz öüe alımışır. Skaler formdaki adi diferasiyel deklemler aşıma marisi ve rijilik marisi yöemi yardımıyla çözülmüşür. Daire ekseli çuukları saik aalizi içi lieraürde farklı yöemler kullaılarak icelee örekler ele alımışır. Ayı zamada icelee örekler solu elemalar yöemie dayalı programı ile de çözümler yapılmışır. programı ile çözüm yapılırke iseile hassasiyee souç alailmek içi prolem yüzlerce elemala modellemesi gerekeilmekedir. Ayrıca daire ekseli çuuklarda kayma deformasyo ekisi araşırılmışır. İcelee örekler üzeride kayma deformasyo ekisii çok sıırlı olduğu görülmekedir. KAYNAKLAR [] İNAN, M., Elasik Çuukları Geel Teorisi, İTÜ Yayıı, İsaul, 966. [] BAYHAN. S., Daire Ekseli Çuuklar Düzlemsel Çuukları Taşıma ve Rijilik Marisi Yöemi ile Aalizi, (Yüksek Lisas Tezi), Çukurova Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 99. [] ÇALIM, F. F., Eğri Ekseli Çuuk Sisemler Ve Silidirik Tooz Yapıları Tamamlayıcı Foksiyolar Meodu ve Rijilik Marisi Yöemi İle Saik Aalizi, (Yüksek Lisas Tezi), Çukurova Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 996. [4]HAKTANIR, V., ad KIRAL, E., "Saical Aalysis of Elasically ad oiuously Suppored Helicoidal Srucures y he Trasfer ad Siffess Marix Mehods", ompuers & Srucures, 49(4), 66-77, 99. [5] HAKTANIR, V., Silidirik Helisel Çuukları Saik, Diamik ve Burkulma Davraışlarıı Taşıma ve Rijilik Marisleri Meodu ile İcelemesi, (Dokora Lisas Tezi), Çukurova Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 99. [6] YILDIRIM, V., İNE, N., ad KIRAL, E., "Doğru ve Daire Ekseli Elemalarda luşa Bileşik Düzlem Çerçeveleri Saik Aalizi", J. of Egieerig ad Eviromeal Scieces, 7-48, 997. [7] AKÖZ, Y., MURTAG, M. H., "Dairesel ve Doğrusal Uzaysal Çuukları Karışık Solu Elema Formülasyou", İ.M.. Tekik Dergi. Ekim, , 99. [8] LEE, H. P., "Geeralized Siffess Marix of a urved-beam Eleme", AIAA, Jl., 7, 4-45, 969. [9] YAMADA, Y., EZAWA, Y., " urved Fiie Elemes for he Aalysis of ircular Arches", I. J. Numer. Meh. Egg.,, 65-65, 977. [] JUST, D. J., "ircularly urved Beams Uder Plae Loads", J. Sruc. Div. ASE, 8, , 98. [] TÜFEKÇİ, E., Eğri Ekseli Düzlemsel Çuukları Saik ve Diamik Prolemlerii Aaliik Çözümü, Dokora ezi, İTÜ Fe Bilimleri Esiüsü, 994. [] ERĞLU, U., Eğri Ekseli Çuukları Aalizi İçi Aaliik Çözümle Solu Elema Formülasyou, (Yüksek Lisas Tezi), İsaul Tekik Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 4. [] DĞRUER,.Y., Eğri Ekseli Düzlemsel Çuukları Düzlem Dışı Saik ve Diamik Prolemlerii Aaliik Çözümü, (Dokora Tezi), İsaul Tekik Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 6. [4] AKHTAR, M., "Eleme Siffess of ircular Memer", ASE, J. Sruc. Egg.,, , 987. [5] LAMAN, M., Dairesel Silidirik Tooz Çaıları Taşıma Marisi Yöemi İle Çözümü, (Yüksek Lisas Tezi), Çukurova Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü, 99. [6] THRNTN, S. K., MASTER, B. G., "Direc siffess formulaio for horizoally urved Beams", J. Sruc. Div. ASE, 8, , 98. [7] ÖZÇIKRIKÇI, Ö., Burkulma Esasıdaki Dış Yük Davraışıı Hesaa Kaıldığı Değişke Kesili Dairesel Çuukları Taşıma Marisi Yöemiyle Düzlem İçi Burkulma Yükü Hesaı, (Yüksek Lisas Tezi), İsaul Tekik Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü,. 67