DAĞILIMLI GECİKMELİ BİR AV-AVCI SİSTEMİNDE HOPF ÇATALLANMA VE KARARLILIK ANALİZİ

Transkript

1 T.C BAHÇEŞEHİR ÜİVERSİTESİ DAĞILIMLI GECİKMELİ BİR AVAVCI SİSTEMİDE HOPF ÇATALLAMA VE KARARLILIK AALİZİ YÜKSEK LİSAS TEZİ EMİE DEĞİRMECİ İstanbul, 11

2

3 T.C BAHÇEŞEHİR ÜİVERSİTESİ Fn Blmlr Ensttüsü Uygulamalı Matmat Bölümü DAĞILIMLI GECİKMELİ BİR AVAVCI SİSTEMİDE HOPF ÇATALLAMA VE KARARLILIK AALİZİ Yüs Lsans Tz Emn DEĞİRMECİ Tz Danışman: Doç. Dr. Canan ÇELİK KARAASLALI İstanbul, 11

4 T.C. BAHÇEŞEHİR ÜİVERSİTESİ Fn Blmlr Ensttüsü Uygulamalı Matmat Bölümü Tzn Başlığı : Dağılımlı Gcml Br AvAvcı sstmnd Hopf Çatallanma V Kararlılı Analz. Örgncnn Adı Soyadı : Emn DEĞİRMECİ Tz Savunma Tarh : 8/9/11 Bu yüs lsans tz Fn Blmlr Ensttüsü tarafından onaylanmıştır. Doç.Dr. Tunç BOZBURA Ensttü Müdürü Bu tz tarafımızca ounmuş, ntl v çr açısından br Yüs Lsans tz olara ytrl görülmüş v abul dlmştr. Tz Sınav Jürs Üylr : Doç. Dr. Canan Çl KARAASLALI : Doç. Dr. Mustafa POLAT : Yard. Doç. Dr. Ersn ÖZUĞURLU :

5 TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca yardım v atılarıyla sabrını v blgsn bndn srgmyn dğrl hocam Doç. Dr. Canan ÇELİK KARAASLALI ya, n zor zamanlarımda bl br an olsun yanımdan ayrılmayan DEĞERLİM, yardımlarıyla varlılarını hp hssttğm aradaşlarım Elf EKER, Br AYGÜ v Ryhan TELLİOĞLU na, hr zaman madd v manv dstğyl bn yalnız bıramayan alm tşürü br borç blrm. İstanbul, 11 Emn DEĞİRMECİ

6 ÖZET DAĞILIMLI GECİKMELİ BİR AVAVCI SİSTEMİDE HOPF ÇATALLAMA VE KARARLILIK AALİZİ Dğrmnc Emn Tz Danışmanı: Doç. Dr. Canan Çl Karaaslanlı Eylül, 11, 78 sayfa Bu tz çalışmasında dnam sstmlr v matmatsl byoloj dallarında büyü önm taşıyan br dağılımlı gcml br avavcı dnlm nclnmştr. Bu dnlmd özl olara avcı dnamğ lojst ayrıca taşıma apasts av popülasyonu l orantılı alınmıştır. İl olara gcm paramtrs b, çatallanma paramtrs olara sçlr sstmn bazı b dğrlrnd Hopf çatallanmaya sahp olduğu göstrlmş, bu analz olara, Poncaré ormal Form v Cntr Manfold Torm ullanılara çatallanma dğrnd pryod çözümün yönü, ararlılığı v pryodu hsaplanmıştır. Ayrıca ld dln bu tor sonuçlar nümr smülasyonlar l dstlnmştr Anahtar Klmlr: Avavcı sstm, Gcml dfransyl dnlm, Çatallanma, Hopf çatallanma, Kararlılı.

7 ABSTRACT HOPF BIFURCATIO AD STABILITY AALYSIS FOR DISTRIBUTED DELAYED PREYPREDATOR SYSTEMS Dğrmnc,Emn Suprvsor: Assocat Profssor Dr. Canan Çl Karaaslanlı Sptmbr, 11, 78 pags In ths thss, Hopf bfurcaton of a prdatorpry systm h dstrbutd dlay whch has an mportant rol for dynamcal systms and mathmatcal bology s nvstgatd. In ths systm, spcfcally th prdator dynamcs s logstc h th carryng capacty proportonal to pry populaton. Frst, by choosng th dlay tm b as a bfurcaton paramtr, t has bn shown that Hopf bfurcaton can occur as th dlay tm b passs som crtcal valus and n addton to ths analyss, th drcton, stablty and prod of a prodc soluton of a systm s valuatd at bfurcaton valu by usng Poncaré ormal Form and Cntr Manfold Thorm. Morovr, ths throtcal rsults ar supportd by som numrcal smulaton. Kywords: Pryprdator systm, Dlayd dffrntal uaton, Bfurcaton, Hopf bfurcaton, Stablty. v

8 İÇİDEKİLER ŞEKİLLLER v 1. GİRİŞ AVAVCI POPÜLASYO MODELİ GECİKMELİ SİSTEMLERE GEEL BAKIŞ LİTERATÜRDE GECİKMELİ SİSTEMLER TEZ ÇALIŞMASII AMACI ÇATALLAMA v HOPF ÇATALLAMA TEORİSİ ÇATALLAMA TEORİSİ Ksl Sstmlr İçn Çatallanma Tors Sürl Sstmlr İçn Çatallanma Tors..1. HOPF ÇATALLAMA Hopf Çatallanma Torm Hopf Çatallanma Türlr Hopf Çatallanma Tors CETER MAİFOLD TEOREMİ.3 3. KARARLILIK AALİZİ v HOPF ÇATALLAMA HOPF ÇATALLAMAI YÖÜ v KARARLILIĞI ÜMERİK SİMÜLASYOLAR SOUÇLAR.66 KAYAKÇA..68 V

9 ŞEKİLLER Şl.1 : Fold çatallanma Şl. : Süprrt tırmı çatallanma Şl.3 : Transrt çatallanma Şl.4 : Flp çatallanma..1 Şl.5 : Fold çatallanma Şl.6 : Süprrt hopf çatallanma Şl.7 : Subrt hopf çatallanma Şl 5.1 : t =.9 < t çn av popülasyon yoğunluğu.61 Şl 5. : b =.9 < b çn avcı popülasyon yoğunluğu Şl 5.3 : b =.9 < b çn S( fonsyonu....6 Şl 5.4 : b =.9 < b çn av popülasyon yoğunluğuna arşılı gln avcı popülasyon yoğunluğu....6 Şl 5.5 : b =.9 < b çn av popülasyon yoğunluğu.63 Şl 5.6 : b =. 9 < b çn avcı popülasyon yoğunluğu..64 Şl 5.7 : b =.9 < b çn S( fonsyonu..64 Şl 5.8 : b =.9 < b çn avcı popülasyonunun av popülasyonuna gör faz portrs.65 v

10 1. GİRİŞ 1.1 AVAVCI POPÜLASYO MODELİ İnsanlar arşılaştıları doğa olaylarını açılama çn özlll son yüzyılda blm dayanara brço çalışma yapmışlardır. Bu s matmat, fz gb tml blmlrn ön çımasını sağlamış v zamanla bu blmlr br notada brlşr nd aralarında tlşm çnd olan bofz, matmatsl byoloj gb alanların doğmasına sbp olmuştur. Gnl olara uygulamalı matmat altında toplanan bu alanlar, matmatsl modllm tnlr ullanara doğa olayların anlamaya v bunları açılamaya çalışmışlardır. Br matmatsl modl oluşturma sürc aşağıda basamalar l nclnblr.. Çalışılan olayı yansıtaca br matmatsl fadnn oluşturulması: Grç br problm l alındığında yapılması grn l şy problm at bağımlı v bağımsız dğşnlr blrlm v matmatsl olara problm fad dn modl oluşturmatır.. Modln davranışını anlayablm çn matmatsl tnlrn ullanılması: Analz, dfransyl dnlmlr tors gb matmat blglr modl uygulanır v matmatsl sonuçlar ld dlr.. Modln analzndn ld dln sonuçların yorumlanması v. Modln problm l arşılaştırılması Yuarıda yöntmlr l bulunan matmatsl sonuçlar v yapılan tahmnlr, toplanan grç vrlrl arşılaştırılmalıdır. Dnam sstmlr; matmatsl modllr, zaman v onum gb tnlr bağlı olara dğştğndn far dnlmlr, ad dfransyl dnlmlr vya ısm dfransyl dnlmlr ullanılara oluşturulurlar. Bu tp sstmlr zamanın modl üzrnd tsn gör sl v sürl sstmlr olma üzr l alınır. Örnğn; sl sstmlr doğa olaylarının far dnlmlr yardım l modllnmsn yarar, sürl sstmlr s dfransyl dnlmlr ullanılara modllm yapılmasını sağlar. Son yıllarda dnam sstmlrd byoloj modllr blhassa ön çımıştır. En ço

11 çalışmalar s popülasyon modllr üzrndr. Bunlardan bazıları, aynı çvry paylaşan yada daha ço byoloj popülasyon arasında tlşm çrr. İ tür çrn avavcı sstmlr nclnrs avcı olara tanımlanan br tür, av olara tanımlanan dğr türü yyr bslnr. Avlar s ortamda bulunan başa yyclr l bslnr. Bunun blnn örnlrndn br, ormanda yaşayan tllr v tavşanların popülasyonudur. Tavşanlar ormanda blrl btlr yrn, avcı olara tabr dln tllr av olara tabr dln tavşanları yr. Bu örnlr daha da çoğaltılablr. Bunlar; öp balığı (avcı) v ynn balı (av), uğur böcğ (avcı) v yapra (av) gb daha brço canlılar arasında tlşmndn bahsdlblr. 19'd avavcı lşsnn las matmatsl modl, Adryat Dnz'nd, öp balığı v ynn balı popülasyonunda gözlnn döngüsl dğşllr analz tm çn İtalyan Matmatç Vto Voltrra (1978) tarafından glştrld. Böyl br modl oluşturma çn x( l t anında avların popülasyon yoğunluğu, y( l t anında avcıların popülasyon yoğunluğu göstrlm şartı l aşağıda abullr yapılır. ) Avcı popülasyonunun yoluğunda; av popülasyonu dx dt oranda büyüyc, = axýtþ, a> l doğal ) Av popülasyonunun yoluğunda, avcı popülasyonu dy dt =?byýtþ, b> l doğal oranda azalacatır. ) Avcıların v avların hr snn d mvcut olduğu durumda, büyüm v azalma doğal oranlarında brlşmd türün brylr arasında arşılaşmaların sılı oranına gör av popülasyonunda br azalma v avcı popülasyonunda br büyüm vardır. Ayrıca, böyl br arşılaşma sılığının xy çarpım l orantılı olduğu abul dlr. Çünü hrhang br popülasyonun atına çıması arşılaşma sılığını da atına çıartır v böylc hr popülasyonun at artması arşılaşma sılığını dört atına çıartır. Sonuç olara, avcılar tarafından yo dlms ; D x av popülasyonunda pxy azalmasının br tlşm oranı, D y avcı popülasyonunda xy artmasının br tlşm oranı l sonuçlanır. x av popülasyonu çn pxy tlşm oranı l ax doğal oranı v y avcı popülasyonu çn xy tlşm oranı l by doğal oranı brlştrldğ zaman,

12 dx dt dy dt = ax? pxy =?by xy avavcı sstm ld dlr. Burada a,b,p, poztf sabtlrdr. 1. GECİKMELİ SİSTEMLERE GEEL BAKIŞ Popülasyon dnamğnd daha grçç modllr, popülasyon dnamğnn gçmş durumlarını, yaşadıları çvrnn popülasyon üzrnd tsn d çrmldr. Bunun yanı sıra bu alanda brço çalışmada önml olan "Sstmn br paramtrs dğşrn sstmn dnamğ nasıl dğşr? " sorusuna cvap vrmtr. Çatallanma tors, bu soruya cvap vrmy çalışır. Özlll avavcı sstmlr, myasal tpm gb tlşm çnd bulunan sstmlrd gcm paramtrs çatallanma paramtrs alınara yapısında mydana gln dğşmlr gözlnmştr. Paramtr dğştç sstmn ntlsl yapısı da dğşr yan yn dng notalar ortaya çıabldğ gb dng notalarının ararlılı yapıları da dğşblr. Bu ntlsl dğşmlr çatallanma v bu dğşmn mydana gldğ paramtr dğrn çatallanma notası dnr. Dnam sstmlrd ndn trar dn sürçlr söz onusudur. Böyl br durumda sstm pryod çözümlr sahptr. Pryod çözümlrn varlığını nclyn torlr arasında n önmllrndn br E.Hopf tarafından glştrlmştr. Hopf, paramtry bağlı br dfransyl dnlmn hang oşullar altında pryod çözümlr vrdğn nclmş v Hopf Çatallanma Torm olara blnn torm ön sürmüştür. 1.3 LİTERATÜRDE GECİKMELİ SİSTEMLER Dnam sstmlrd yoğunluğun gçmş dğrlr bağlı n bast fads ( t, x(, x( )) x& ( = F t t (1.1) l göstrln gcml fonsyonl dfransyl dnlmdr. Wrght Dnlm yada Gcml Lojst Dnlm olara adlandı 3

13 ( t t ) é x ù x& ( = rx( ê1 ë K ú û (1.) Hutchnson Dnlm, bunun n blnn örnlrndndr. Lord Chrwll, Ý1.Þ dnlm l asal sayıların dağılımı çn olasılı mtotlarının ullanımında arşılaşmıştır. Aynı zamanda bu dnlm, t türdn oluşan br topluluğun büyümsnn zaman gcms çrn modl olara da dğrlndrlblr. May (1973), y( = y( [ r a x( t ) a y( ] x& ( = x( t 1 [ r a x( a ( ] (1.3) gcml avavcı sstmn ortaya oymuş v nclmştr. Burada xýtþ v yýtþ sırasıyla av v avcının t anında popülasyon yoğunlularını fad dr. b ³ avın nd türü çnd gcm paramtrsdr. r 1 > av popülasyonunda büyüm oranı, r > s avcının ölüm oranını vrmtdr. a j Ý, j = 1,Þ paramtrlrnn hps poztf sabtlrdr. Ý1.3Þ sstm, avcı türü olmasızın x% ÝtÞ = xýtþßr 1? a 11 xýt? bþà gcml lojst dnlmnd av popülasyonunun türünün zamana gör dğşmn vrmtdr. Yan v L (6), Ý1.3Þ sstmnn nc dnlmnd avcı popülasyon yoğunluğuna b gcm paramtrs lmşlr, x&( = y( = x( y( [ ra x( t a y( ] 1 [r a x() ta y( t ] (1.4) 4

14 v Ý1.4Þ sstmn ld tmşlr. Sstmn t poztf dng notası mutla ararlı olara bulunmuş, bu dng notasının ararlılığının dğşp ararsızlığa gçtğ v trar ararlı olduğu görülmüştür. Ayrıca ormal Form Tors v Cntr Manfold Torm ullanılara çatallanmanın pryod çözümlrnn özlllr blrlnmştr. Yan v L (7), çalışmalarında sstm gnşltr şlnd mutualst yaşayan türün popülasyon yoğunluğunu nclmşlr. Bu sstmd, br türün yoğunlu oranının büyüms dğrnn büyümsn v br türün yoğunlu oranının azalması dğrnn d azalmasına bağlı olara dğşr. Yapılan çalışmada, poztf dng notasının ararlılığının bozulup ararsız hal gçtğ v Hopf çatallanma oluştuğu göstrlmş v çatallanan pryod çözümlrn ararlılığı nclnmştr. C.Xu, M.Lao v X.H (11) çalışmalarında av v avcıya farlı gcm paramtrs yülyr x& ( = y( = x( y( [ r a x( t t ) a y( t t )] 1 [ r a x( t t ) a y( t t )] (1.6) sstmn çalışmışlardır. Yn burada da xýtþ v yýtþ sırasıyla t anında av v avcının popülasyon yoğunluğu, a j Ý, j = 1,Þ poztf sabtlr, r 1 > sabt avın büyüm oranı, r > sabt avcının ölüm oranını vrmtdr. b 1 > av v avcıların gbl sürs, b > brnc dnlmd avcının avlamasında gcmy, nc dnlmd s avcının olgunlaşma sürsnd gcm trmn fad tmtdr. Bu çalışmada sstmn ararlılığı v Hopf çatallanmada oluşan pryod çözümlrn ararlılığı nclnmştr. 5

15 1.4 TEZ ÇALIŞMASII AMACI Avavcı popülasyon yoğunluğunun hr sn d b gcm paramtrs lnrs, aşağıda gcml av avcı sstm ld dlr. d ( t ) dt dp ( t ) dt = = r ( t ) P ( t t ) 1 P ( t )[ r ò ( t t ) ( t ) t F ( t t ) P ( t ) d t ] (1*) oluşan Ý1 D Þ sstmnd * ÝtÞ:= Avın t anında popülasyon yoğunluğu * PÝtÞ:= Avcının t anında popülasyon yoğunluğu * r 1 > := Av popülasyonunun büyüm oranı * Avcı popülasyonu, sadc av sayısıyla sınırlandırılmamıştır. r > büyüm oranı sabtnn yanı sıra av başına düşn avcı sayısıyla sınırlandırılara lojst dnlm halnd nclnmştr. İşt bu P, avcı sayısının av sayısına oranı şlnd fady "Rato Dpndnt" modllr dnr. Bu apast, byoloj çvr üzrnd masmum frt sayısıyla sınırlıdır. Tab buna düşman türlrn dışında yyc, yaşam oşulları, su vb. dış çvr fatörlr d tldr. * S > v P > sabtlrdr. * b ³ avavcı yoğunluğunda gcm paramtrsdr. Bu çalışmada, gcml avavcı sstm olan ( 1 D ) sstm nclnmştr. Bu çalışmanın amacı, Ý1 D Þ sstmnn dnamğn v b gcm paramtrsnn bu sstm olan tlrn nclmtr. Sstm analz dlrn, l önc sstmn aratrst dnlmnn dng notasının ararlılığı nclnd v gcm paramtrsn d çrn gnl ararlılı rtrlr bulundu. Sonra, b gcm paramtrsnn çatallanma paramtrs olara sçlmsyl, poztf dng notasının ararlılığını aybttğ v Hopf çatallanma mydana gldğ gözlnmştr. Daha sonra, Hassard tarafından analz dln normal Form Tor v Cntr Monfold Tormndn yararlanılara, Ý1 D Þ sstmnn Hopf çatallanma özlllrn tanımlayan çatallanma 6

16 sabtlr ld dld. Hopf çatallanmanın ararlılığı, yönü, türü v blrl oşullar altında çatallanan pryod çözümlrn ararsız olduğu tspt dld. Son olara, bu tor sonuçları dstlm çn nümr smülasyonlar yapıldı. Bu tzn aışı sırasıyla, * 1. bölümd, l alınan problm haında gnl blglr vrlmştr. Bu apsamda yapılmış olan çalışmalardan bahsdlmş v ısaca gcml dfransyl dnlmlr dğnlmştr. *.bölümd, tzn tml tors olan Hopf çatallanma tors dtaylıca nclnmştr. İl olara, çatallanmanın gnl tanımı vrlmş, daha sonra far dnlmlr v ad dfransyl dnlmlr çn çatallanma tplrndn, özl olara da Hopf çatallanmadan bahsdlmş v Cntr Monfold Torm fad dlmştr. * 3. bölümd, sstmn dng notasının ararlılığı v Hopf çatallanması blrlnmştr. * 4. bölümd, Cntr Monfold Torm v Poncar ormal Form Tors ullanılara bu tp modld Hopf çatallanmanın görülms çn grl oşullar vrlmş, çatallanmanın ararlılığı, türü v yönü blrlnmştr. * 5.bölümd, ararlılı sonuçlarını dstlyn nümr smülasyonlar yapılmıştır. *Son olara 6. bölümd, tordn v nümr çalışmalardan ld dln bulgular dğrlndrlmştr. Ayrıca bu tzd ld dln sonuçlar daha önc bu dnlm üzrn yapılmış çalışmalardan ld dln sonuçlarla arşılaştırılmıştır. 7

17 . ÇATALLAMA VE HOPF ÇATALLAMA TEORİSİ.1 ÇATALLAMA TEORİSİ Çatallanma, br sstmd sstmn poztf dng notası trafında sçln çatallanma paramtrsnd üçü dğşlğn, sstmn davranışında topoloj dğşm sbp olduğunda ortaya çıar. Sstmn durum dğşn x 5 n olma üzr çatallanmalara hm v paramtrs b 5 m x fýx,bþ tpnd sl hm d x% ÝtÞ = fýx,bþ # tpnd sürl sstmlrd (ad, ısm, gcml dfransyl dnlmlr l tanımlanan sstmlr) arşılaşılmatadır. Vrln dnam sstmlrn b paramtrs dğştç topoloj yapısında mydana gln dğşmlr, paramtr dğşrn faz portrsn dğştrr. Bu tatrd durum söz onusudur. Ya sstm topoloj olara l sstm dntr ya da sstmn topolojs dğşr. Tanım: Paramtr dğşm altında topoloj olara dn olmayan faz portrlrnn ortaya çımasına "çatallanma" dnr. Bu bölümd bazı çatallanma tplr v onların sınıflandırılması anlatılacatır..1.1 Ksl Sstmlr İçn Çatallanma Tors Bu ısımda x t1 = fýx t Þ brnc mrtbdn far dnlmlrnn b paramtrsn olan bağlılığını x = f (, ) t 1 x t t (.1) 8

18 l göstrcğz v bu far dnlmnn dnamğ göz önün alınacatır. Dng notalarının b bağlılığını s x#ýbþ l fad dlctr. Far dnlmlrnn davranışı b dğştç dğşmtdr. Davranışın dğştğ bu b dğrlrn "çatallanma dğr" v bu Ýb, x ÝbÞÞ notalar s "çatallanma notası" olara adlandırılır. Ý.1Þ l vrln far dnlm çn oluşablc çatallanma tplr f v Ý x Ý b ÞÞ = ±1 dnlm l blrlnmtdr. Bu dnlmlr çn dört farlı tpt çatallanma söz onusudur. Bunlar, 1)Fold (saddl nod, tangan çatallanma, )Tırmı (ptchfor) çatallanma, 3)Transrt (transcrtcal) çatallanma, 4)Proddoublng (flp) çatallanma. İl üç tpt f v ÝxÝbÞÞ = 1 v son çatallanma tpnd s f v ÝxÝbÞÞ =?1 dnlmlrnn sağlanması l oluşur. Bu dört tp çatallanma aşağıda tanım v şllrl fad dlblr. D Yatay sn, b çatallanma paramtrsn D Dy sn, sstmn dng notalarını D Ksl ğrlr, ararsız dng notalarını D Kssz ğrlr, ararlı olan dng notalarını fad dr. 1) Fold Çatallanma: Krt çatallanma dğr gçlrn br ararlı dğr ararsız olma üzr dng notası aybolur. 9

19 Şl.1 : Fold çatallanma ) Tırmı Çatallanma: Krt çatallanma dğr gçlrn, br ararsız dng notası tarafından ayrılan ararlı dng notası olma üzr üç dng notası mydana glr. Bu tp çatallanmaya "süprrt tırmı çatallanma" dnr. Bunun tam trsn, br ararlı dng notası tarafından ayrılan ararsız dng notası mydana glyor s bu tp çatallanmaya da "subrt tırmı çatallanma" dnr. Şl. : Süprrt tırmı çatallanma 1

20 3) Transrt Çatallanma: Bu çatallanma türünd br ararlı br ararsız dng notası, çatallanma paramtrs gçlrn ararlılı yapılarını dğştrrlr. Yan, ararlı olan ararsız, ararsız olan ararlı hal glr. Şl.3 : Transrt çatallanma 4) Flp Çatallanma: Krt çatallanma dğr gçlrn, ararlı dng notası ararsız olur v ararlı dvr ortaya çıar. Bu tpn "süprrt flp çatallanma" dnr. Tam trsn s yan ortaya çıan dvr ararsız s d "subrt flp çatallanma" adını alır. 11

21 Şl.4 : Flp çatallanma.1. Sürl Sstmlr İçn Çatallanma Tors Ksl sstmlrd olduğu gb sürl sstmlrd d b çatallanma paramtrsnn srgldğ dğşm bağlı olara dx = dt f ( x,t ) (.) tpnd ad dfransyl dnlmn dnam yapısında dğşllr mydana glmtdr. Ý.Þ dnlm çn d fold, tırmı transrt çatallanmalar söz onusudur. Ksl sstmlrdn farlı olara Ý.Þ çn Hopf çatallanma da görülblmtdr. İl üç tp çatallanma hm salr dnlmlrd hm d dnlm sstmlrnd görülürn Hopf çatallanma, salr dnlmlr pryod çözümlr sahp olmadığından salr dfransyl dnlmlrd mydana glmz. Bu dnlmlr gcm paramtrsnn d lnbldğ görülür. Sürl sstmlr çn d b çatallanma paramtrs v x ÝbÞ, b ya bağlı dng notası olma üzr Ý.Þ dnlm üzrndn çatallanma tplrndn ısaca bahsdlblr. 1

22 1)Fold Çatallanma: Çatallanma paramtrs çatallanma dğrn gçrn dng notası aybolur. Kaybolmadan önc bu dng notasından br ararlı dğr ararsızdır. Şl.5 : Fold Çatallanma, b = çatallanma dğrdr. )Tırmı Çatallanma: Br ararsız dng notası tarafından ayrılan ararlı dng notası vardır. Çatallanma paramtrs gçldğnd sadc br ararlı dng notası varsa çatallanmanın tp "süprrt tırmı çatallanma" as hald s "subrt tırmı çatallanma" dır. 3)Transrt Çatallanma: Br ararlı br ararsız olan dng notası vardır v bu dng notası çatallanma notasından gçrn ararlılı yapılarının dğştrrlr; ararlı olan ararsız, ararsız olan s ararlı olur. 4)Hopf Çatallanma: İ vya daha fazla brnc mrtbdn dfransyl dnlm çrn sstmlrd mydana gln çatallanma türün "Hopf Çatallanma" dnr. Aynı zamanda, Fransız matmatç Juls Hnr Poncar ( ), Rus matmatç Alxandr A. Andrnov (191195) v Alman matmatç Hnz Hopf un ( ) bu tory glştrm çn yaptıları atılardan dolayı PoncarAndronovHop çatallanma olara da anılır. 13

23 . Hopf Çatallanma..1 Hopf Çatallanma Torm f v g, b çatallanma paramtrsn bağlı fonsyonlar olma üzr dx = dt dy = dt f g ( x, y, z) ( x, y, z) (.3) dfransyl dnlm sstm l alındığında abul dlsn Ýx ÝbÞ, y ÝbÞÞ Ý.3Þ sstmnn dng notası v JÝbÞ ± KÝbÞ, bu dng notasında hsaplanan Jaoban matrsn öz dğrlr olsun. Ayrıca JÝb D Þ = olma üzr ararlılı yapısında dğşm b = b D da mydana glsn. Ý.3Þ dfransyl dnlmnn pryod çözümlrn varlığını sağlayablms çn l önc sırf sanal öz dğr sahp olaca şld dng notası orjn v b paramtrs b D = olaca şld dğşn dğştrmlr yapılara dx = a dt 11 dy = a dt 1 ( x a () t 1 () t x a ( y g ( x, y, y f ( x, y, 1 1 (.4) sstmn dönüştürülür. Hopf Çatallanma Torm olara blnn bu torm, Ý.3Þ dfransyl dnlm sstm çn aşağıda gb vrlblr. 14

24 Torm (Hopf Çatallanma Torm): Ý.4Þ sstmnd f 1 v g 1 fonsyonları x v y dğşnlrn gör üçüncü mrtbdn sürl türvlr sahp olma üzr ytr adar üçü b lar çn Ý,Þ,Ý.4Þ dnlmnn br dng notası v JÝbÞ = a 11 ÝbÞ a 1 ÝbÞ a 1 ÝbÞ a ÝbÞ matrsnn sstmn Jaoban matrs olduğu abul dlsn. Ayrıca JÝÞ =, wýþ v dj db P b= olma üzr JÝbÞ ± wýbþ, JÝbÞ Jaoban matrsnn öz dğrlr olsun. Bu tadrd uzayında orjn apsayan hrhang U açı ümsnd b > çn b < b dğr vardır öyl Ý.4Þ dfransyl dnlm b = b çn U'da pryod çözümlr sahptr. (pryod yalaşı olara T = ^ wýþ dır.).. Hopf Çatallanma Türlr Hopf Çatallanma Torm b = b çn pryod çözümlrn varlığı adına ytrl olan oşulları vrmtdr. b çatallanma paramtrs, b s çatallanma dğrdr. Sstmn paramtrsnn dğr dğşrn sstmn dnamğ ararlı spraldn mrz, mrzdn d ararsız spral dönüşür. Buna gör tür Hopf çatallanma görülür. 1) Süprrt Hopf Çatallanma: Sstmn ararlı dng notası asmtot olara ararlı br lmt döngüsün dönüşürs oluşan çatallanmaya dnr. 15

25 Şl.6 : Süprrt hopf çatallanma Şl.6 : Süprrt hopf çatallanma )Subrt Hopf Çatallanma: Sstmn ararlı dng notası ararsız br lmt döngüsün dönüşürs oluşan çatallanmaya dnr. Şl.7 : Subrt hopf çatallanma..3 Hopf Çatallanma Tors F düzgün br fonsyon, b çatallanma paramtrs v xo n x & = f ( x,t ) olma üzr (.5) 16

26 otonom ad dfransyl dnlm sstmn l alalım. Bu sstm çn Hopf çatallanmanın hang oşullar altında ortaya çıtığını, çatallanmanın yönünü, pryod çözümlrnn pryodunu v bu çözümlrn ararlılı yapısını adım adım nclylm. 1) Kapalı fonsyon tormndn V = Jaoban matrsn özdğr olmadığından, ytr adar üçü b çn orjnn bazı omşuluğunda, sstmn x ÝbÞ dng notası vardır. Koordnat dğşlğ yapılmasıyla, dng notası orjn taşınır. O hald gnlltn brşy aybtmdn abul dlblr, ytrnc üçü b çn x= sstmn dng notasıdır. Bu dng notasında Jaoban matrs AÝbÞ = /f /x j Ýx o ÝbÞ,bÞ;, J = 1,,...n l fad dlsn. Bu matrs arşılı gln öz dğrlr hsaplansın. Bunlar; R V 1³ R V ³...³ R V n olaca şld sıralansın 3 boyutlu sstm çn bu AÝbÞ = a ÝbÞ b ÝbÞ c ÝbÞ a 1 ÝbÞ b 1 ÝbÞ c 1 ÝbÞ a ÝbÞ b ÝbÞ c ÝbÞ olsun. ) JÝÞ = v wýþ olma üzr AÝbÞ matrsnn öz dğrlr VÝbÞ = JÝbÞ wýbþ şlnddr. Bu özdğrlr dj db P b= olma üzr sanal sndn gçn V 1 ÝbÞ = VÝbÞ, V ÝbÞ = VÝbÞ dır. Bu tatrd (1) v () oşulları altında x ÝbÞ dng notasında Hopf çatallanmanın görüldüğü br sstmn taşıdığı özlllr ld dlmş olur. Bundan sonra vrln adımlar W, K v b dğrlrnn hsaplanmasında zlnlms grn yolu vrmtdr. 3) W 5 çn b = b W v 17

27 x 1 ÝtÞ = ÝtbÞ? x ÝtÞ = PÝtbÞ? P x 3 ÝtÞ = SÝtbÞ? S dğşn dğştrmlr yapılırsa sstm CÝß?1,à, 3 Þ d fonsyonl dnlm şln dönüşür L W : C 3, f : C 3 v d = Ýd 1,d,d 3 Þ 5 C çn L W d = Ýb WÞ a d 1 b d c d 3 a 1 d 1 b 1 d c 1 d 3 a d 1 b d c d 3 v fýw,dþ = a d 1 d 1 b d 1 d c d 1 d 3 a 1 d d 1 b 1 d d c 1 d d 3 ad 3 d 1 b d 3 d c d 3 d 3 ld dlr. 4) Rsz Tormn gör S 5 ß?1,à çn lmanları sınırlı dğşml 3 3 tpnd br RÝS, WÞ matrs fonsyonu vardır öyl d 5 C çn L W d = X?1 drýs,þdýsþ şlnd yazılablr. RÝS, WÞ fonsyonu, = Drac Dlta Fonsyonu olma üzr, a b c j l RÝS,WÞ = Ýb WÞ d f ÝSÞ? Ýb WÞ m n o ÝS 1Þ g h p r s şlnd sçlrs d 5 C1 Ýß?1,à, 3 Þ çn 18

28 AÝWÞd =? ddý Þ ds, S 5 ß?1,Þ X drýw,sþdýsþ, S =?1 v RÝWÞd =, S5ß?1,Þ fýw,dþ, S = şlnd tanımlanır. Böylc sstm x% t = AÝWÞx t RÝWÞx t formunda yazılır. Burada SOß?1,Þ çn x t ÝSÞ = xýt SÞ dr. foc 1 Ýß?1,à,Ý 3 Þ D Þ çn A D fýsþ =? dfýsþ, soý,1à ds X?1 dr T Ýt,ÞfÝ?tÞ, s =. v RÝSÞ = RÝS,Þ n blnr ç çarpım ÖfÝsÞ, dýsþ = f#ýþdýþ? X?1 S X Y= f#ýy? SÞdRÝSÞdÝYÞdY olara tanımlanır. AÝÞ v A * adjont opratörlrdr. AÝÞ ın wb öz dğrlrn arşılı gln öz vtörü pýsþ dr. Ö D ÝsÞ,ÝSÞ = 1 v Ö D ÝsÞ,#ÝSÞ = olma üzr v yazılır. AÝÞÝSÞ = wb ÝSÞ A D pýsþ =?wb pýsþ 5) Cntr Manfold Torm ullanılara nboyutlu sstm boyutlu sstm ndrgnr. 19

29 m = n C cntr manfoldunu tanımlama çn, x Ý1 t = x Þ t, x ÝÞ Ý3 Þ t, x t sstmn çözümü olma üzr, z v z, C o cntr manfoldun v p yönünd loal oordnatları blrlnr. C o cntr manfoldu üzrnd WÝt,SÞ = WÝzÝtÞ,z#ÝtÞ,SÞ = x t? RzÝtÞÝSÞ WÝt, SÞ = W ÝSÞ z W 11ÝSÞzz# W ÝSÞ z#... dr. x t 5 C çözümü çn, W = n x% t = AÝÞx t RÝÞx t dr. Bu ndrgm şlm sırasında vrln sstmn Poncar ormal Formunun şlnd olduğu görülür. Bu durumda n ż = Vz gýz, z Þ gýz. z Þ = g z g 11zz# g z# g 1 z z#... gýz, z Þ = # D ÝÞf Ýz,z#Þ ld dlr v Hopf tormn uygulayablm çn gýz, z Þ ştllrnn hr snn d sağ taraflarının arşılaştırılmasıyla g,g 11, g, g 1 atsayıları bulunur. olma üzr HÝz.z#,SÞ = H ÝSÞ z H 11ÝSÞzz# H ÝSÞ z#...

30 W % = x% t? ż. z = AÝÞx t RÝÞx t? R wb zýtþ p ÝÞf zýtþ, zýtþ ÝSÞ = AÝÞßwÝt, SÞ RázÝtÞÝSÞâà RÝÞx t? Ráwb zýtþýsþâ? R pýþf zýtþ, zýtþ ÝSÞ = AÝÞwÝt, SÞ RázÝtÞAÝÞÝSÞâ RÝÞx t? R wb zýtþýsþ? RápÝÞf zýtþ, zýtþ ÝSÞâ = AÝÞwÝt, SÞ RÝSÞx t? R pýþf zýtþ, zýtþ ÝSÞ # # # = á AW? Rá# D ÝÞf ÝSÞâ, SOß?1,Þ AW? Rá# D ÝÞf ÝSÞâ f S =, # = AÝÞWÝt,SÞ H zýtþ,zýtþ,s # dr. Buradan AÝÞwÝt, SÞ? W% =?HÝz,z, SÞ yazılır. W% = W z ż W z# ż = W ÝSÞzż W 11 ÝSÞÝż z z ż Þ... = W ÝSÞzÝwb z gýz, z ÞÞ w 11 ÝSÞáßwb z gýz, z Þàz zß?wb z g Ýz, z Þà...â = wb w ÝSÞ z... v olduğundan AÝÞwÝt, SÞ = AÝÞw ÝSÞ z AÝÞw 11ÝSÞzz... dr. Buradan AÝÞWÝt, SÞ? W% = ßAÝÞ? wb àw ÝSÞ z AÝÞw 11z z... ßAÝÞ? wb àw ÝSÞ z AÝÞw 11ÝSÞz z...=?h ÝÞ z? H 11ÝSÞz z? H ÝSÞ z... 1

31 ld dlr. Yuarıda ştlğn hr tarafının atsayıları arşılaştırılırsa v S 5 ß?1,à çn ßAÝÞ? wb àw ÝSÞ =?H ÝSÞ AÝÞw 11 ÝSÞ =?H 11 ÝSÞ HÝz, z,sþ =? Rá p ÝÞf ÝzÝtÞ, z ÝtÞÞÝSÞâ = pýþf ÝzÝtÞ, z ÝtÞÞÝSÞÞ? pýþf zýtþ, zýtþþýsþ =?gýz, z ÞÝSÞ? g Ýz, z Þ ÝSÞ =?Ýg ÝSÞ g ÝSÞÞ z? Ýg 11ÝSÞ g 11 ÝSÞÞz z... olduğundan H ÝSÞ =?g ÝSÞ? g# #ÝSÞ H 11 ÝSÞ =?g 11 ÝSÞ? g# 11 #ÝSÞ v AÝÞ v ın tanımından W % ÝSÞ = gb W ÝSÞ? g ÝSÞ? g# #ÝSÞ W% 11 ÝSÞ = g 11 ÝSÞ g 11 ÝSÞ bulunur. E 1 = ÝE 1 Ý1Þ,E 1 ÝÞ,E 1 Ý3Þ ÞO 3 v E =ÝE Ý1Þ,E ÝÞ,E Ý3Þ ÞO 3 sabt vtörlr olma üzr W ÝSÞ = g b g ÝÞgb S g# 3b g #ÝÞ?gb S E 1 gb S W 11 ÝSÞ =? g 11 b g ÝÞgbS g# 11 b g #ÝÞ?gbS E şlnd hsaplanır. E 1,E lr bulma çn AÝÞ ın tanım v ÝÞ v ın AÝÞ ın özvtörü olduğunun blnmsndn dr = RÝS,Þ olma üzr

32 X drýsþw ÝSÞ = gb W ÝÞ? H ÝÞ?1 v bnzr şld = g g b w X drýsþýsþ X drýsþýsþ?1 3b w?1 X drýsþe1 wbs?1 = g b w %ÝÞ g 3b w ÝÞ6 X drýsþe1 wb S?1 =?g ÝÞ g 3 ÝÞ X drýsþe1 wbs?1 ld dlr. X drýsþw11 ÝSÞ = g 11 ÝÞ g 11 ÝÞ?1 X?1 drýsþe? g ÝÞ??g ÝÞ wb? X?1 drýsþ wb S E 1 = H ÝSÞ v? g 11 ÝÞ? g 11 ÝÞ? X?1 drýsþe = H 11 ÝSÞ yazılara E 1 v E bulunur. Buradan w 11 ÝSÞ v w ÝSÞ dğrlrnn bulunmasıyla g j atsayıları blrlnr. 6) Böylc cntr manfoldda b rt dğrlrnd oluşan Hopf çatallanmanın yönünü, çatallanmanın pryod çözümün ararlılığını v çatallanan çözümün pryodunu blrlyn W,K, T atsayıları c 1 ÝÞ = Ýg gb g 11? g 11? g Þ g 1 3 W =? Rác 1 ÝÞâ RáV v Ýb Þâ K = Rác 1 ÝÞâ T =? Imác 1ÝÞâ W ImáV v Ýb Þâ gb dnlmlr yardım l bulunur. 3

33 Yuarda vrln analzdn aşağıda sonuçlar ld dlr. Yardımcı Torm.1: Ýz, z,bþ nın düzgün br fonsyonu g = OÝ z Þ olma üzr, z ompls dğşn ullanılara, ytrnc üçü b çn, Ý.Þ sstm aşağıda gb yazılır; ( z, z, ) z & = l( t ) z g t (.6) İspat : AÝbÞ nın VÝbÞ özdğrn arşılı gln özvtörü ÝJÞ 5 C olsun. O hald, AÝbÞÝbÞ = VÝbÞÝbÞ dır v A T ÝbÞ nın VÝbÞ özdğrn arşılı gln özvtörü pýbþ 5 C hald, olsun. O A T ÝbÞpÝbÞ = VÝbÞpÝbÞ dır. Ö.,.,C d standart salr çarpma v Öp, = p 1 1 p olma üzr p nn ya gör normalz dlms ÖpÝbÞ, ÝbÞ = 1 şlnddr. Hrhang br x 5 vtörü, x = z( t ) z( t ) (.7) şlnd t olara tanımlanablr. z y tanımlayan açı formül z = ÖpÝbÞ, x şlnddr. Bu formülü grçlm çn, (.7) dnlmnn hr yan p l salr çarpılır v ÖpÝbÞ,#ÝbÞ = olduğunun göstrlms grr. 4

34 Öp, = p, 1 V A = 1 V ÖAT p, = V V Öp, v buradan 1? V V Öp, = dır. Ytrnc üçü hr b çn wýbþ > olduğundan V V dır. Böylc Öp, = olduğu görülür. Buradan z ompls dğşn aşağıda dnlm sağlar. ż = VÝbÞz ÖpÝbÞ, FÝzÝbÞ zýbþ, b olduğu görülür v böylc spat tamamlanmış olur. Yardımcı Torm.: VÝbÞ = JÝbÞ ± KÝbÞ, WÝÞ =, wýþ = w > v g j = g j (t ) olma üzr z z z & = lz g g11 zz g O z dnlm, ytrnc üçü hr b çn z = w h w h 11 ww h w 3 ( ) (.8) paramtry bağlı ompls oordnat dğşmyl, uadrat trm çrmyn dnlmn dönüşür. w% = Vw OÝ w 3 Þ İspat: fadsndn w = z? h z? h 11 zz? h z OÝ z 3 Þ w% = ż? h zż? h 11 Ýżz# z ż Þ? h zż... = Vz g? Vh z Ýg 11? Vh 11? Vh 11 Þz z g? Vh z... = Vw 1 Ýg? Vh Þw Ýg 11? Vh 11 Þww Ýg? ÝV? VÞh Þw OÝ w 3 Þ 5

35 ld dlr. yazılmasıyla.8) h = g V,h 11 = g 11 V,h = g V? V ( dnlmnd tüm uadrat trmlr yo olur. w >, l ( ) = w n, ytrnc üçü hr b çn paydalar sıfırdan farlı olduğundan yuarıda ştllr doğrudur v böylc spat tamamlanmış olur. Yardımcı Torm.3 : VÝbÞ = JÝbÞ ± wýbþ, JÝÞ =, wýþ = w > v g j = g j (t ) olma üzr ż = Vz g 3 z 3 6 g 1 z z# g 1 zz# g 3 z#3 6 OÝ z 4 Þ dnlm, ytrnc üçü hr b çn z = w h 3 6 w3 h 1 w w h 1 ww h 3 6 w# 3 paramtry bağlı ompls oordnat dğşmyl, c 1 = c 1 ÝbÞ olma üzr yalnızca br üb trm çrn dnlmn dönüşür. w% = Vw c 1 w w# OÝ w 4 Þ İspat: fadsndn w = z? h 3 6 z3? h 1 z z? h 1 zz? h 3 6 z#3 OÝ z 3 Þ 6

36 ld dlr. w% = ż? h 3 z ż? h 1 Ýzz#ż z ż Þ? h 1 Ýżz# zzżþ? h 3 z# ż... = Vz g 3 6? Vh 3 g 1? Vh 1 z 3? V#h 1 z z g 1? Vh 1? V #h 1 g 3 6? V #h 3 z z z# 3... = Vw 1 6 Ýg 3? Vh 3 Þw 3 1 Ýg 1? ÝV V#Þh 1 Þw w# 1 Ýg 1? V#h 1 Þww# 1 6 Ýg 3 ÝV? 3V#Þh 3 Þw# 3 OÝ w 4 Þ h 3 = g 3 V, h 1 = g 1 V#, h 3 = g 3 3V#? V yazılmasıyla w w# trm dışında tüm üb trmlr yo olur. Ytrnc üçü hr b çn paydalar sıfırdan farlı olduğundan yuarıda ştllr doğrudur. w w# trmnn yo dlms çn h 1 = g 1 V V# yazılır. Faat J = n yuarıda dnlmn paydası VÝÞ V#ÝÞ = w? w = dır. J ya bağlı br dönüşüm ld tm çn h 1 = yazılmasıyla bulunur. c 1 = g 1 Uyarı: Kalan w w# üb trm "rzonant trm" olara adlandırılır. Bu trmn atsayısı, orjnal dnlmd z z# üb trmnn atsayısıyla aynıdır. Yardımcı Torm.4 : (Hopf Çatallanma çn Poncar ormal Form) VÝbÞ = JÝbÞ ± wýbþ, JÝÞ =, wýþ = w > v g j = g j = g j ÝbÞ olma üzr z& = lz å l 3 1 l z z O( z 4 l g! l! ) (.9) 7

37 dnlm, ytrnc üçü hr b çn z = w h w h 11 ww# h w# h 3 6 w3 h 1 ww# h 3 6 w# 3 paramtry bağlı ompls oordnat dğşmyl, c 1 = c 1 ÝbÞ olma üzr yalnızca br üb trm çrn w & = lw c w w O( 4 1 w ) (.1) dnlmn dönüşür. İspat: Yardımcı Torm. d, h = g V,h 11 = g 11 V,h = g V? V n h h z = w w h11ww w (.11) şlnd tanımlanan dönüşüm, tüm uadrat trmlr yo tml brlt üb trmlrn atsayılarını da dğştrr. w w# nn atsayısı 1 g 1 yrn 1 g* 1 olur v Yardımcı Torm.3 d dönüşüml d, atsayısı dışında tüm üb trmlr yo olur. 1 g* 1 olan rzonant trm Böylc, (.11) uadrat dönüşümüyl, bulunması grn c 1 atsayısı, w w# trmnn yn atsayısı 1 g* 1 dr. ż,w v w# cnsndn şld fad dlblr. (.11) dnlm, (.9) orjnal dnlmnd yrn yazılır vya (.9) un (.1) a dönüştürülbldğ blndğndn, ż, (.11) n türvlnms l hsaplanablr. ż = w% h ww% h 11 Ýww% w#w% Þ h w% v (.9) ullanılara w% v ompls şlnğ yrlrn yazılır. Yuarda h, h 11 v 8

38 h lr çrn fadd uadrat trmlrn atsayılarının arşılaştırılmasıyla v w w trmnn atsayılarının ştlnmsyl c 1 = g 11g ÝV V#Þ g 11 V V g ÝV? V#Þ g 1 ld dlr. b = çatallanma paramtrs dğrnd yuarıda dnlm c 1 ÝÞ = g w 11 g? g 11? 1 3 g g 1 dnlmn ndrgnr. Yardımcı Torm.5: JÝÞ =, wýþ = w > olma üzr dw dt = ÝJÝbÞ wýbþþw c 1 ÝbÞw w OÝ w 4 Þ dnlm l alınsın. Kabul dlm, J v ÝÞ v R c 1 ÝÞ olsun. Dnlm, paramtry bağlı lnr oordnat dönüşümü, yn zaman ölçğ v lnr olmayan yn zaman paramtrzasyonu l formuna dönüşür. s = sgn R c 1 ÝÞ = ±1, du ds = ÝK Þu su u OÝ u 4 Þ sırasıyla yn zaman v yn zaman paramtrsn göstrr. u yn ompls oordnat, S v K İspat: 1.Adım: (Lnr zaman ölçğ) Yn zaman paramtrs L = wýbþt şlnd tanımlanır. Ytrnc üçü hr b çn, wýbþ > olduğundan zaman orunur. Buradan, olma üzr ld dlr. K = KÝbÞ = JÝbÞ wýbþ, d 1ÝKÞ = c 1ÝbÝKÞÞ wýbýkþþ dw db = ÝK Þw d 1ÝKÞw w OÝ w 4 Þ 9

39 olduğundan yn K paramtrs KÝÞ =, K v ÝÞ = Jv ÝÞ wýþ K = KÝbÞ = WÝbÞ wýbþ, d 1ÝKÞ = c 1ÝbÝKÞÞ wýbýkþþ olara alınablr v trs fonsyon torm, b ya bağlı K fonsyonunun loal varlığını garant dr. Ayrıca d 1 ompls br fonsyondur..adım: (Lnr olmayan zaman paramtrs) 1 ÝKÞ = Imd 1 ÝKÞ çn ds = Ý1 1 ÝKÞ w ÞdL olma üzr, yn zaman paramtrs S = SÝL,KÞ şlnd tanımlanara orbtlr boyunca zaman paramtrs dğşr. Zamanda dğşm orjnn üçü br omşuluğunda özdşl dönüşümüdür. Zamanın yn paramtrsnn ullanılmasıyla, l 1 ÝKÞ = R d 1 ÝKÞ? K 1 ÝKÞ grçl olma üzr v dw ds = ÝK Þw l 1ÝKÞw w OÝ w 4 Þ l () = 1 ld dlr. R c1() w() (.1) 3.Adım: (Lnr oordnat ölçğ) u yn ompls dğşn olma üzr, w = u l 1 ÝKÞ dr. R c 1 ÝÞ olduğundan l 1 ÝÞ dr. Dnlm, s = sgnl 1 ÝÞ = sgn R c 1 ÝÞ olma üzr formunda yazılır. du ds = ÝK Þu l 1ÝKÞ l 1 ÝKÞ u u OÝ u 4 Þ = ÝK Þu su u OÝ u 4 Þ Tanım : l 1 ÝKÞ fonsyonu `brnc Lyapunov atsayısı' olara adlandırılır. 3

40 (.1) dnlmndn, K = da brnc Lyapunov atsayısı 1 l 1( ) = R 11 g 1 w ( g g w ) (.13) şlnd hsaplanır. Böylc, çatallanma notasında l 1 ÝÞ ın hsaplanması çn sağ tarafta nc v üçüncü mrtbdn türvlrn blnms grr. l 1 ÝÞ ın dğr p v öz dğrlrnn normalzasyonuna bağlıdır v bu dğrn şart, Öp, = 1 normalzasyonunu sağlayan p, dğrlrn nvaryanttır. Aşağıda torml, ld dln sonuçlar öztlnr. Torm.1: dx dt = f ( x, t ), x ÎR, t Î R (.14) boyutlu sstm, ytrnc üçü hr b çn x = dng notasına v JÝÞ =, wýþ = w > olma üzr Özdğrlrn sahptr. Aşağıda oşullar sağlandığında; ÝB.1Þ J v ÝÞ V 1, ÝbÞ = JÝbÞ ± wýbþ ÝB.Þ l 1 brnc Lyapunov atsayısı olma üzr, l 1 ÝÞ Koordnat paramtr dğşmyl v zaman dönüşümüyl, (.14) sstm d dl y 1 y = K?1 1 K y 1 y ± Ýy 1 y Þ y 1 y OÝy 4 Þ olur. 31

41 Torm.: (Hopf Çatallanma çn topoloj normal form) x% = fýx,bþ br paramtrl, boyutlu sstm, b = da x = dng notasına v V 1, ÝÞ =±w, w > özdğrlrn sahptr v aşağıda normal formlardan br tansn orjn cvarında loal topoloj şdğrdr. d dl y 1 y = K?1 1 K y 1 y ± Ýy 1 y Þ y 1 y OÝy 4 Þ Torm.1, Torm. v (.13) dnlm, boyutlu sstmlrd Hopf çatallanma analz çn tüm grsnmlr sağlar..3 CETER MAİFOLD TEOREMİ fýþ = n, x& = f ( x), x Î R n (.15) dnam sstm çn, x = dng notasında A Jaoban matrsnn özdğrlr V 1, V,..., V n olsun, Kabul dlsn, öz dğrlrnn grçl ısmı sıfır olsun v R V > olduğunda sayılablr çoluta n öz dğrlr, R V = olduğunda n öz dğrlr v R V < olduğunda s n? öz dğrlr olsun. T c sanal sn üzrnd n öz dğrlrnn brlşmn arşılı gln lnr öz vtör uzayı olsun. Sanal sn üzrnd özdğrlr ÝR V = Þ T c öz vtör uzayında olduğu gb gnlll rt öz dğr olara adlandırılır. j t fonsyonu (.15) ştlğn arşılı gln aı olara tanımlansın. 3

42 Yuarıda abullrl aşağıda torm vrlr. c Torm: (Cntr Manfold Torm) (.15) sstmnn n boyutlu W loc ÝÞ nvaryant manfoldu, x = da T c öz vtör uzayına tğttr. Ayrıca, x = ın br U omşuluğunda, hr t ³ Ýt ² Þ çn Ýj t Þx 5 U s t K Ýt?KÞ çn Ýj t c Þx W loc ÝÞ dır. c Tanım: W loc manfoldu `cntr manfold' olara adlandırılır. 33

43 3. KARARLILIK AALİZİ VE HOPF ÇATALLAMA Bu tzd d( = r1 ( P( t ( dt dp( = P( [ r dt ( t t ò F( t P( dt (1*) sürl v gcml dfransyl dnlm sstm nclnctr. Burada FÝsÞ = J?Js, J > ngatf olmayan, sınırlı "Krnl Fonsyonu" olaca şld sçldğnd t X?K X K FÝsÞds = 1 FÝt? bþpýbþdb fads t SÝtÞ = X J?JÝt?sÞ PÝsÞds?K ştlğn dönüşür. Bu durumda Ý1 D Þ sstm d( = r1 ( P( ( dt dp( S( = P( ( r ) dt ( t ds( = ap( as( dt (1**) l ld dln sl gcm dnlm sstmn dönüşür. Burada yapılan dönüşüm Ý1 D Þ v Ý1 DD Þ sstmlrnn ararlılı yapıları arasında hçbr fara sbbyt 34

44 vrmmtdr. Ý1 D Þ sstmnn t poztf dng notası olan E D = Ý,P,S Þ, d dt =, dp dt =, ds dt = ştllrndn faydalanara = 1 1 ( ) = ç, P, S,, è r ø E* O şlnd ld dlr. Yn bu ştllrdn æ r r r1 r 1 = PP, r = SS v P? S = r 1, r, P v S ın ştlğ ld dlmş olur. Ý1 D Þ sstmnd ö nýtþ = ÝtÞ? pýtþ = PÝtÞ? P sýtþ = SÝtÞ? S dğşn dğşm uygulanırsa dn = ( dt dp dt ds dt = ( P = a( P n)( r p)( r 1 ( P p) a( S p( t )) æ ( S s) ö ç ) n( t ) è t ø s) sstm ld dlr. Bu dğşn dğşm l Ý,P, S Þ dng notası (3.1) Ý,, Þ notasına taşınmış olur. Ý3.1Þ sstmnn Ý,, Þ notasında lnrlştrlms sonucu 35

45 dn dt dp dt = Ý nþýr 1? PÝP pþþ = dn =?P dt pýtþ SÝS = ÝP pþýr? sþ Þ = ÝP nýt? bþ pþýr? SS nýt? bþ? SsÝtÞ nýt? bþ Þ # = ÝP pþ r? SS? 1 nýt?bþ SsÝtÞ 1 nýt?bþ = ÝP pþ r? SS 1 1 nýt?bþ? gomtr srnn açılımını ullanara SsÝtÞ 1 1 nýt?bþ = ÝP pþ r? SS 1? nýt? bþ n Ýt? bþ? SsÝtÞ 1? nýt? bþ n Ýt? bþ ds dt = Ý r P ÞnÝt? bþ? SÝ P ÞsÝtÞ = JÝP pþ? JÝS sþ = JpÝtÞ? JsÝtÞ şlnd sonuç olara dn dt dp r P = dt = p( P n( t S ds = ap( as( dt s( (3.) Ý3.Þ dnlm sstm ld dlr. Burada Ý1 D Þ sstm l lnrlştrlmş yapıda ( 3.) sstmnn aynı ararlılı yapısını srgldğ unutulmamalıdır. a = Jr b = r 1 r J c = r 1 r olma üzr lnrlştrlmş sstmn aratrst dnlm 3 l al a l ( b cl) lt = (3.3) l vrlr. b = olduğu durumda yan sstmd gcmnn olmadığı durumda Ý3.3Þ 36

46 dnlm V 3 JV Ýa cþv b = şlnd br dnlmdr. a >, b > v a( a c) > b olduğundan RouthHurz rtrn gör Ý3.3Þ dnlmnn ölrnn hps ngatf vya ölr ngatf grçl ısma sahptr. Bu yüzdn b = n Ý3.Þ sstmnn dng notası asmtot ararlıdır. Ý3.Þ lnr sstmnn Ý,, Þ notasında ararlılığı, Ý3.3Þ aratrst dnlmnn ölrn bağlıdır. Bu ndnl Ý3.3Þ transandantal dnlmnn ölrnn durumu nclnr s bu ölrn sürl bağımlılığından v RouthHurz rtrndn n az br b > vardır b 5 ß,b Þ çn RÝbÞ < dr. R VÝzÞ = olduğunda E D asmtot ararlılığını aybttğndn R VÝz D Þ = olaca şld br z D > ın olup olmadığı nclnr. Yan, Ý3.3Þ dnlmnn sırf sanal olan ölrnn olup olmadığı araştırılır. Bu bölümd l olara dng notasının loal ararlılığı nclnr. b = b D çn w > grçl olma üzr V = w abul dldğnd aşağıda yardımcı torm ld dlr. Yardımcı Torm 3.1: Ý3.1Þ sstm çn, Ý3.3Þ transandantal dnlm sırf sanal ö sahptr. İspat: b = b D v w grçl olma üzr V = w, Ý3.3Þ transandantal dnlmnd yrn yazılırsa gnlltn brşy aybtmdn w > alınablr. Böylc, ÝgÞ 3 JÝgÞ aýgþ Ýb cgþ?ýwþb = ld dlr. Yan,? Jw bcoswb cw snwb ß?w 3 aw? bsnwb cw coswbà = dır. Bu ştlğn grçl v sanal ısımlarını ayrı ayrı yazarsa aw = b cos cw sn (3.4) 37

47 3 w aw = b sn cw cos (3.5) ld dlr. Ý3.4Þ v Ý3.5Þ ştllrnn hr tarafının arlrn alınıp taraf tarafa toplandığında g 6 ÝJ? aþg 4 Ýa? c Þg? b = ştlğ ld dlr. Bu dnlmd z = w yazıldığında p = J? a = Ýa? c Þ r =?b olma üzr fýzþ := z 3 pz z r = dnlm ld dlr. lm f (z = x ) v r =?b < olduğundan bu dnlmn n az br tan poztf öü vardır. O hald gnlltn brşy aybtmdn bu poztf ölrdn brsn z yan w = z dylm. b yı bulablm çn l tapta sngb y çlm. Ý3.4Þ dnlm cw l, Ý3.5Þ dnlm b l çarpıp taraf tarafa toplandığında sng b = abw? Ýb? JcÞw 3 c w b ^, =,1,... şlnd bulunur. cosgb yı bulma çn s Ý3.4Þü b l, Ý3.5Þ?cw l çarpıp taraf tarafa toplandığında cosw b = cw 4 w ÝJb? acþ b c w ^, =,1,... şlnd bulunur. O hald tang b = abg? Ýb? JcÞg 3 ÝJb? acþg cg 4 ^, =,1,... 38

48 şlnd bulunur. Buradan b yı çrs b = 1 áarctaný abg 3? Ýb? JcÞg g ÝJb? acþg cg Þ 4 w ^ â, =,1,... yuarıda gb bulmuş oluruz. Böylll Ý3.3Þ dnlmnn sırf sanal ö sahp olduğu bulunmuş olur. Böylc Yardımcı Torm 3.1 n spat tamamlanır. Ý1 D Þ sstmnd b = b, =,1,... n Ý3.3Þ dnlmnn öü, JÝb Þ = v gýb Þ = g olduğunun abulü l VÝbÞ = JÝbÞ gýbþ şlnd tanımlanır. Bu s aşağıda sonucu doğurur. Yardımcı Torm 3.: transvrsalt durumu ld dlr; f v Ýz 1 Þ olduğunu varsayalım, bu durumda aşağıda drvýb Þ db, =,1,... v f v Ýz 1 Þ v drvýb Þ db aynı şart sahptr. Yan, Ý1 D Þ sstm çn t =, =,1,... n E D = Ý, P, S Þ poztf dng notasında Hopf çatallanma olur. t İspat: w grçl v gnlltn brşy aybtmdn w > alınara V = w yı b = b çn Ý3.3Þ dnlmnn br öü olara alalım. Ý3.3Þ aratrst dnlmnn b ya gör türv alınırsa, dv db = 3V dv db JV dv db a dv db? b?vb b dv db V c dv db?vb? V?Vb b dv db V = ld dlr. Yan, dv db Ý3V JV a? bb?vb c?vb? cvb?vb Þ = Vb?Vb V c?vb 39

49 s dv db = bulunur v buradan da V?Vb Ýb VcÞ Ý3V JV aþ c?vb? b?vb Ýb VcÞ Ý dv db Þ?1 = 3V JV a V?Vb Ýb VcÞ = Ý3V JV aþ Vb VÝb VcÞ c?vb V?Vb Ýb VcÞ? b?vb Ýb VcÞ V?Vb Ýb VcÞ c VÝb VcÞ? b V # ld dlr. Böylc, ştlğnd RÝ dv db Þ?1 P V=w = R R c ÝwÞÝb ÝwÞcÞ Ý3ÝwÞ JÝwÞ aþýcoswb snwbþ ÝwÞÝb cýwþþ R? b w A = Ý3ÝwÞ JÝwÞ aþýcoswb snwbþ ÝwÞÝb cýwþþ B = c ÝwÞÝb ÝwÞcÞ C =? w b notasyonlar ullanılırsa bulunur v böylc. 4 w 6ccosw t w R( A) = c w R( B) = 4b w 4c w R( C) = RÝ dv db Þ?1 P V=w = RÝAÞ RÝBÞ RÝCÞ # 3 ( 4ca sn 6bsn ) w (ac 4ab cos wabsn ) 4 w 4c w 4b olduğundan ÝD DÞ hsaplanırn Ý3.4Þ v Ý3.5Þ ştllrndn faydalanara, 4

50 bulunur. dv db Þ?1 P V=w = 1 4w Ýc w b Þ w ß3w 4? ÝJ? aþw Ýa? c Þà dv db Þ?1 P V=w = 1 4w Ýc w b Þ w f v ÝzÞ 1 4w Ýc w b Þ w > olduğundan RÝ dv db Þ?1 P V=w nn şart f'(z) nn şartyl aynı hart göstrctr. Böylc çatallanmanın son oşulu da spat dlmş olur. Eld dln sonuçlar öztlnc olursa sstmn ararlılığı v Hopf çatallanması aşağıda torml vrlblr. Torm 3.1: Ý1 D Þ sstm çn ) Eğr b 5 ß,b Þ s sstmn E D = Ý, P,S Þ dng notası asmtot ararlı, ) Eğr b > b s sstmn E D = Ý,P,S Þ dng notası ararsız, ) Eğr b = b Ý =,1,... Þ s sstmn E D = Ý,P,S Þ dng notasında Hopf çatallanma mydana glr. 41

51 4. HOPF ÇATALLAMAI YÖÜ VE KARARLILIĞI Bu bölümd ormal Form tors v Cntr Manfold torm ullanılara Hopf çatallanmanın yönü v pryod çözümlrn ararlılığı nclnctr. Burada Hopf çatallanmanın Ý1 D Þ sstmnn t = t çn E D =Ý,P,S Þ poztf dng notasına sahp olduğu abul dlctr v w > olma üzr V = w, E D = Ý, P,S Þ poztf dng notasında aratrst dnlmn sırf sanal öüdür. W 5 çn b = b W yazılırsa W = da Ý1 D Þ sstmnn Hopf çatallanma paramtrs olur. x 1 ÝtÞ = ÝbtÞ?, x ÝtÞ = PÝbtÞ? P x 3 ÝtÞ = SÝbtÞ? S dğşn dğştrlms yapılırsa Ý1 D Þ sstm x& ( = t( 1 3 n( ) [ r ( P p( t 1))] 1 é æ ( S s( ) öù P S x& ( = t( P p( ) êr ç n( t 1) ú = t ë è ø û x& ( = ta( p( s( ) = tap ( tas ( = t p( t 1) P n( t 1) t s( (4.1) CÝß?1,à, 3 Þ d fonsyonl dfransyl dnlm şln dönüşür. L W : C 3, f : C 3 v d = Ýd 1, d, d 3 Þ 5 C çn 4

52 L W ÝdÞ = Ýb WÞ?SP J?J d 1 ÝÞ d ÝÞ d 3 ÝÞ Ýb WÞ?P SP S d 1 Ý?1Þ d Ý?1Þ d 3 Ý?1Þ V é f11 ù f ( m, f) = ( t ) ê ú m ê f1 ú êë úû (4.) f 11 =?Pd 1 ÝÞd Ý?1Þ f 1 =?S P S 3 d 1 Ý?1Þd 1 Ý?1Þ S P d 3ÝÞd 1 Ý?1Þ S S d ÝÞd 1 Ý?1Þ? S d ÝÞd 3 ÝÞ f 13 = ld dlr. Rsz Göstrm Tormn gör S5ß?1,à çn, lmanları sınırlı dğşml 3 3 tpnd br RÝS,WÞ matrs fonsyonu vardır öyl, L W d = X?1 drýs,þdýsþ,doc şlnd yazılablr. RÝS, WÞ fonsyonu, = Drac Dlta Fonsyonu olma üzr,?p RÝS,WÞ = Ýb WÞ?SP J?J ÝSÞ? Ýb WÞ SP S ÝS 1Þ şlnd sçlrs, d 5 C 1 Ýß?1,à, 3 Þ çn 43

53 AÝWÞd =? ddýsþ ds, SOß?1,Þ X?1 drýw,sþdýsþ, S =. v RÝWÞd =, SOß?1,Þ fýw,dþ,s =. formunda tanımlanır. Böylc Ý4.1Þ sstm x& t = A( m ) xt R( m) xt (4.3) şlnd yazılır. Burada SOß?1,Þ çn x t ÝSÞ = xýt SÞ dr. foc 1 Ýß?1,à,Ý 3 Þ D Þ çn A D fýsþ =? dfýsþ, soý,1à ds X?1 dr T Ýt,ÞfÝ?tÞ, s =. v RÝSÞ = RÝS,Þ n blnr ç çarpım ò 1 x = y ( s), f( ) = y () f() ò y ( x ) dh( ) f( x) dx (4.4) olara tanımlanır. AÝÞ v A D torm l vrlr. opratörlr arasında bağlantı aşağıda yardımcı Yardımcı Torm 4.1: AÝÞ v A D adjont opratörlrdr. İspat: d 5 C 1 Ýß?1,à, 3 Þ v f 5 C1 Ýß?1,à,Ý 3 Þ D Þ n Ý4.4Þ, ın tanımından AÝÞ v A D ÖfÝsÞ, AÝÞdÝSÞ = ÖA D fýsþ,dýsþ olduğu göstrlrs, 44

54 ÖfÝsÞ, AÝÞdÝSÞ = fýþasýþ? X?1 = fýþx?1 X?1 O S X Y= O drýsþdýsþ? X?1 S X Y= fýy? SÞdRÝSÞAÝÞdÝYÞdY O S X Y= fýy? SÞdRÝSÞdÝYÞdY O O = fýþx drýsþdýsþ??1 X ßfÝY? S SÞdRÝSÞdÝYÞàY=?1 O dfýy? SÞ drýsþdýyþ dy = X?1 O O fý?sþdrýsþdýþ? X?1 O = A D fýþdýþ? X?1 = ÖA D fýsþ,dýsþ S X Y= S X Y= dfýy? SÞ dy A D fýy? SÞdRÝSÞdÝYÞ drýsþdýyþdy ştlğ bulunur. Böylc AÝÞ v A D spat tamamlanmış olur. ın adjont opratörlr olduğu göstrlmş v Ayrıca ±wb, AÝÞ ın özdğrlrdr. AÝÞ ın wb özdğrn arşılı gln özvtörü ÝSÞ v A D ın?wb özdğrn arşılı gln özvtörü D ÝsÞ dır. Yan, AÝÞ ÝSÞ = wb ÝSÞ v A D D ÝsÞ =?wb D ÝsÞ dr. O hald ÝSÞ v D ÝsÞ özvtörlr bulunur. () ÝSÞ çn; AÝÞ ÝSÞ = wb ÝSÞ AÝÞ ÝÞ = wb ÝÞ ştlğnd AÝÞ v ÝÞ dğrlr yrn yazılırsa b?s P S?wb w S P w P?wb J w J 1 K L = 45

55 dnlm çözüldüğünd bulunur. ÝSÞ = Ý1, K, LÞ T wb S ÝSÞ = 1,? w P, S wb?wb () D ÝsÞ çn;? w wb PP S T wb S A D D ÝsÞ =?wb D ÝsÞ A D D ÝÞ =?wb D ÝÞ ştlğnd A D v D ÝÞ dğrlr yrn yazılırsa, P?w?S S?wb b P?wb?w J S P?w J D ÝÞ = dnlm çözüldüğünd D ÝsÞ = DÝ1,K D,L D Þ?wbs D ÝsÞ = D 1,?w wb, w wb SP S SP S bulunur. Ö D ÝsÞ,ÝSÞ = 1 olablms çn blnr ç çarpımın tanımından? P?wb J?wbs Ö D ÝsÞ, ÝSÞ = DÝ1,K# D,L# D ÞÝ1,K,LÞ T? X?1 O S X Y= DÝ1,K# D,L# D Þ?wbÝY?SÞ drýsþý1,k,lþ T wby dy = D# 1 KK# D LL# D? X?1 O Ý1, K # D, L# D ÞS wbs drýsþý1,k,lþ T = D# 1 KK# D LL# D b?p K SP S D# = 1 1 KK# D LL# D b?p K SP S K# D?wb K# D?wb şlnd D# ld dlmş olur. Yan, Ö D ÝsÞ,ÝSÞ = 1 v Ö D ÝsÞ,#ÝSÞ = ştllr 46

56 ld dlmş olur. W = n cntr manfoldu tanımlama çn önc oordnatlar hsaplanmalı. Bunun çn önc v * z( =, xt W ( t, ) = xt R z( ( ) (4.5) (4.6) ştllrn tanımlayalım. z, z# v, D loal oordnatları olma üzr vtörlr yönünd C cntr manfoldunun z z W ( t, ) = W ( z(, z(, ) = W ( ) W11( ) zz W ( )... (4.7) Ý4.7Þ ştlğ hsaplanır. Ý4.1Þ sstmnn W = n x t 5 C çözümü çn Ý4.3Þ dnlmndn x% t = AÝÞx t RÝÞx t dr. RÝWÞ nn tanımından, Yardımcı Torm 4.1 dn, Ý4.5Þ v Ý4.6Þ dan * * z& ( =, x& t =, Axt Rxt * * =, Axt, Rxt * * * = A, xt () Rxt () * = w z () f z& ( = w z( * () ( x ) dh( ) Rx ( x) dx ( xt (), m) f ( z(, z( ) (4.8) ò O ò 1 x = * t ld dlr. Kuzntsov'dan hatırlanacağı üzr Hopf çatallanmanın normal formunun şlnd olduğu blnmtdr. Burada ż = gb zýtþ gýz,z#þ gýz, z#þ = g z g 11zz# g z# g 1 z z#... 47

57 dır. Bu durumda gýz, z#þ = # D ÝÞf ÝzÝtÞ, z#ýtþþ ştlğ gçrldr. Şmd d w% Ýt,SÞ hsaplanırsa WÝt,SÞ = x t? RzÝtÞÝSÞ W % Ýt,SÞ = x% t? RżÝtÞÝSÞ = ßAx t Rx t à? RÝßw zýtþ # D ÝÞf Ýz, z#þàýsþþ = AßwÝt, SÞ RázÝtÞÝSÞâà Rx t? RÝw zýtþýsþþ? RÝ# D ÝÞf Ýz, z#þýsþþ = Aw RÝzAÝSÞÞ Rx t? RÝw zýtþýsþþ? RÝ# D ÝÞf Ýz, z#þýsþþ = Aw RÝzw ÝSÞÞ Rx t? RÝw zýtþýsþþ? RÝ# D ÝÞf Ýz, z#þýsþþ = Aw Rx t? RÝ# D ÝÞf Ýz, z#þýsþþ # W & * AW R{ () f = W & ( t, ) = { * AW R{ () f ( )}, ( )} f [ 1,) =, (4.9) olara bulunur. z z H ( z. z, ) = H ( ) H11( ) zz H ( )... olma üzr W & = AW H ( z. z, ) (4.1) (4.11) AW W & = H ( z. z, ) (4.1) şlnd tanımlansın. WÝt, SÞ = WÝzÝtÞ, z#ýtþ, SÞ = W ÝSÞ z W 11ÝSÞzz# W ÝSÞ z#... olduğu blnmtdr. Bunu ullanara W % Ýt,SÞ yn br formda hsaplansın. W& = W z& z W z z. (*) ÝDÞ fads z v z# 'a gör türvlndrlrs 48

58 W W z z = W = W 11 ( ) z W ( ) z W 11 ( ) z W ( ) z 3 z ( ) 3... (**) ld dlr. ÝD DÞ fadlrn ÝDÞ da yrn yazıldığında W % = W ÝSÞzz W 11 ÝSÞÝż z zz#. Þ W ÝSÞz#z#... = W ÝSÞzáw z gýz, z#þâ W 11 ÝSÞßz#Ýw z gýz, z#þþ zýw z# g#ýz, z#þþà... = z w W ÝSÞ... ld dlr. W j ştlğnn sağ tarafı hsaplanır. v H j atsayıları arasında br lş urablm çn Ý4.1Þ z z AW ( t, ) = AW ( t, ) AW11( t, ) zz AW ( t, )... şlnd olur. O hald ( A ) W AW 11 z AW t, ) W& = ( A w) W AW zz ( ) = H ( ) = H ( ( ) ( )... (4.13) şlnd atsayılar ştlnblr. Ý4.9Þ da vrln fadlrdn s SOß?1,Þ çn HÝz. z#,sþ =? # D ÝÞf ÝSÞ # D ÝÞf ÝSÞ =?ßgÝz,z#ÞÝSÞ g#ýz,z#þ#ýsþà = ÝSÞ g z g 11zz# g z#.. #ÝSÞ g# z# g# 11zz# g# z.. =?ßÝSÞg #ÝSÞg# à z? ßÝSÞg 11 #ÝSÞg# 11 àzz#? ßÝSÞg #ÝSÞg# à z#?... ştlğndn 49

59 H H H 11 ( ) = ( ) = ( ) = [ ( ) g ( ) g ] [ ( ) g11 ( ) g11] [ ( ) g ( ) g ] (4.14) şlnd ld dlr. H j ÝSÞ atsayılarını blrlyblm çn g j v g# j atsayıları hsaplanmalı. Daha öncdn göstrldğ gb gýz,z#þ = # D ÝÞf ÝzÝtÞ,z#ÝtÞÞ d. Öylys z z z z g( z, z) = * () f ( z, z) = g g11zz g g 1... (4.15) Şlnd yazılablr. Ý4.5Þ v Ý4.6Þ yı ullanara x t = Ýx 1t ÝSÞ,x t ÝSÞ,x 3t ÝSÞÞ = WÝt, SÞ zýsþ z ÝSÞ, ÝSÞ = Ý1, K,LÞ T wbs v x 1t ÝÞ = z z# W Ý1Þ ÝÞ z W Ý1Þ 11 ÝÞzz# W Ý1Þ ÝÞ z# OÝ Ýz,z#Þ 3 Þ x t ÝÞ = Kz K# z W ÝÞ ÝÞ z W ÝÞ 11 ÝÞzz# W ÝÞ ÝÞ z# OÝ Ýz,z#Þ 3 Þ x 3t ÝÞ = Lz L J W Ý3Þ ÝÞ z W Ý3Þ 11 ÝÞzz# W Ý3Þ ÝÞ z# OÝ Ýz,z#Þ 3 Þ x 1t Ý?1Þ = z?gbs z# gb S W Ý1Þ Ý?1Þ z W Ý1Þ Ý1 11 Ý?1Þzz# W Þ Ý?1Þ z# OÝ Ýz,z#Þ 3 Þ x t Ý?1Þ = zk?gb S K# z gbs W ÝÞ Ý?1Þ z W ÝÞ 11 Ý?1Þzz# W ÝÞ Ý?1Þ z# OÝ Ýz,z#Þ 3 Þ ştllr sağlanır. fýw, x t Þ nn tanımından gýz, z Þ = # D ÝÞf Ýz, z#þ = Db Ý1, K D, L D Þ ştlğn f 11 =?Px 1t ÝÞx t Ý?1Þ f 11 f 1 = Db ßf 11 K D f 1 à 5

60 f 1 =? SP S x 3 1t Ý?1Þx 1t Ý?1Þ SP x 3tÝÞx 1t Ý?1Þ SS x týþx 1t Ý?1Þ? S x t ÝÞx 3t ÝÞ ullanara yazablrz. Buna gör, gýz, z Þ = Db ß?Px 1t ÝÞx t Ý?1Þ K D á? SP S 3 x 1t Ý?1Þx 1t Ý?1Þ SP x 3tÝÞx 1t Ý?1Þ SS x týþx 1t Ý?1Þ? S x t ÝÞx 3t ÝÞâà # = Db áz?pk?wb S? K D SP S 3?wb S K D SP L?wb S K D SS?wb S? S KL z z?pk wb S? PK?wbS? K D SP S? K D SP S K D SP 3 3 Lwb S K D SP L?wb S K D SS KwbS K D SS S K?wb? K D S KL? K D S KL?PK wbs? K D SPS wb S K D SP L wb S K D SS z 3 Kwb S?K D S K L z z ß?PW Ý1Þ ÝÞK wb S K D SS W ÝÞ ÝÞ wb S K D SS LW Ý1Þ Ý?1Þ?? K D SP S W Ý1Þ 3 Ý?1Þ wb S? K D S LW ÝÞ ÝÞ K D SP S W Ý1Þ 3 Ý?1Þ wb S? KD S KW Ý3Þ ÝÞ K D SP W Ý3Þ ÝÞ wb S? PW ÝÞ Ý?1Þ à K D SS KW Ý1Þ Ý?1Þ # # şlnd bulunur. gýz, z Þ = # D ÝÞf Ýz, z#þ v gýz,z#þ = g z g z# 11zz# g g 1 z z# sağ tarafları brbrn ştlndğnd; g = Db?PK?wb S? K D SP S 3... dnlmlrnn?wb S K D SP L?wb S K D SS?wb S? S KL 51

61 g 11 = ÝDb? PK wbs? PK?wbS? K D SP S 3 K D SP LwbS K D SP K D SS KwbS K D SS K?wbS? K D S KL? K D S KLÞ L?wbS?PK wbs? K D SP S wb S K D SP L wb S K D SS 3 g = Db Kwb S?K D S K L g 1 = Db Ý?PW Ý1Þ ÝÞK wbs? K D SP S W Ý1Þ 3 Ý?1Þ wbs K D SP W Ý3Þ ÝÞ wbs K D SS W ÝÞ ÝÞ wbs? K D S LW ÝÞ ÝÞ? K D K D SS LW Ý1Þ Ý?1Þ? K D SP S W Ý1Þ 3 Ý?1Þ wbs? PW ÝÞ Ý?1Þ S KW Ý3Þ ÝÞ K D SS KW Ý1Þ Ý?1Þ atsayıları bulunmuş olur. g 1 tanımlayablm çn W ÝSÞ v W 11 ÝSÞ yı hsaplama grr. Ý4.1Þ, Ý4. 13Þ v A 'nın tanımından W % ÝSÞ = gb W ÝSÞ? g ÝSÞ? g# #ÝSÞ dır. ÝSÞ = ÝÞ gbs şlnd tanımlandığında W % ÝSÞ = gb W ÝSÞ? g ÝÞ wbs? g# #ÝÞ?wbS?wbS ÝW % ÝSÞ? gb W ÝSÞÞ =?wbs Ý?g ÝÞ wbs? g# #ÝÞ?wbS Þ X d ds ÝW ÝSÞ?wbS Þ = XÝ?g ÝÞ?wbS? g# #ÝÞ?3wbS Þ 5

62 W ÝSÞ?wb S =?g ÝÞ?wbS?wb S? g# #ÝÞ?3wbS?3wb S E 1 g g W ( ) = () () E1 t w 3t w (4.16) E 1 = E 1 Ý1Þ, E 1 ÝÞ,E 1 Ý3Þ 5 3 sabt vtörüdür. Bnzr yollarla, AW 11 =?H 11 = ÝSÞg 11 ÝSÞg 11 ÝSÞ = ÝÞ gbs g 11 ÝÞ?gb S g# 11 XW % 11 = XÝÞ gbs g 11 ÝÞ?gbS g# 11 W 11 ÝSÞ = ÝÞg 11 gbs wb? ÝÞg# 11?gb S wb E W g11 g 11 ( ) = () () t w t w 11 E (4.17) E = E Ý1Þ,E ÝÞ, E Ý3Þ 5 3 sabt vtörü olma üzr Ý4.17Þ dnlm d bulunur. Şmd E 1 v E bulunmalı. A 'nın tanımından v Ý4.13Þ dn v ò 1 dh ( ) W ( ) = W () H () ò 1 dh ( ) W11( ) = H11() (4.18) (4.19) drýsþ = RÝS,Þ olma üzr Ý4.18Þ v Ý4.19Þ dnlmlr bulunur. ÝDÞ v Ý4.9Þ dan 53

63 54 (4.) () () ) ( 3 ø ö ç ç ç è æ = bg b t g S P P S g g H v { } { } { } { } ) (4.1 R R R R () () ) ( ø ö ç ç ç è æ = bg b g b t g S P P S g g H şlnd yazılır. Ý4.18Þ v Ý4.Þ 'dn; gb I? X?1 gb S drýsþ ÝÞ =?gb I? X?1?gb S drýsþ ÝÞ = yardımı l ( ) 1 1 ) ( E d I h ò ø ö ç ç ç è æ = 3 bg b t g S P S P yan 1 E P S P ø ö ç ç ç è æ a w a w w ø ö ç ç ç è æ = 3 bg b t g S P S P ld dlr. E 1 v bulma çn bu sstm çözüldüğünd;

64 55 (4.) (3) 1 1 () 1 1 (1) 1 a bg b w a bg b w a a bg b g g g = = = S P P S P S P S P P S P S P S P P S w A E w A E w w A E bulunur. Burada A 1 = g P?gb S?SP S?gb g SP?J g J =?4w Ýg JÞ Jw SP? SP S P?4gb Ýg JÞ dır. Bnzr şld Ý4.17Þ, Ý4. 19Þ v Ý4.1Þ yardımı l E P S P ø ö ç ç ç è æ a a { } ø ö ç ç ç è æ = R K b K =?SP S 3 SP L RáL gb S â SS RáK?gb S â? S RáKL â olma üzr ld dlr. E 'y bulma çn bu sstm çözüldüğünd

65 E E E (1) () (3) = A R = A P S = A P S { b } K R { b } K a P a P a R K a { b } (4.3) bulunur. Burada A = P?gb S? SP S?gb S SP?J J =?JSP P S?4gb 56

66 57 dır. Ý4.16Þ v Ý4.Þ ştllrndn L = P S 3?gb? P L gb? S gb 1 KL olma üzr v 3 () () 1) ( (4.5) 3 () () 1) ( 3 () () 1) ( 1 (3) 1 () 1 (1) a b w t t a b w t t a a b t t t t t t t t t t t t = = = L w A w g w g W w L A w g w g W w w L A w g w g W S P w w w w P S P w w w P w w w 3 1 () 1 () () (4.4) 3 1 () 1 () () 3 1 () 1 () () 1 (3) 1 () 1 (1) a b w t t a b w t t a a b t t = = = w A w g w g W w A w g w g W w w A w g w g W

67 ld dlr. Bnzr şld, (4.17) v (4.3)'dn aynı mantıla W Ý1Þ 11 ÝÞ, W ÝÞ 11 ÝÞ, W Ý3Þ 11 ÝÞ, W Ý1Þ 11 Ý?1Þ,W ÝÞ 11 Ý?1Þ, v W Ý3Þ 11 Ý?1Þ dğrlr bulunur. Ý4.4Þ v Ý4.5Þ ştllrndn g j atsayıları blrlnr. Böylc Cntr Manfoldda b rt dğrnd çatallanan pryod çözümlrn çatallanma atsayıları c 1 ÝÞ = Ýg gb g 11? g 11? g Þ g 1 3 W =? Rác 1 ÝÞâ RáV v Ýb Þâ K = Rác 1 ÝÞâ T =? Imác 1ÝÞâ W ImáV v Ýb Þâ gb şlnd blrlnr. Burada m ; Hopf çatallanmanın yönünü, K ; çatallanan pryod çözümün ararlılığını v T ; çatallanan çözümün pryodunu fad dr. Bu blglrl aşağıda torm vrlr. Torm 4.1: Hopf çatallanmanın yönünü blrlyn W çn; ğr W > s b > b çn çatallanan pryod çözüm vardır v Hopf çatallanma süprrttr, W < s b < b çn çatallanan pryod çözüm vardır v Hopf çatallanma subrttr. Çatallanan pryod çözümün ararlılığını blrlyn K çn; K < s çatallanan pryod çözüm ararlı, K > s ararsızdır. Çatallanan çözümün pryodunu fad dn T çn ; T < n pryod artar, T > n pryod azalır. 58

68 5. ÜMERİK SİMÜLASYOLAR Bu bölümd, önc bölümlrdn ld dln tor sonuçlar MATLAB programı ullanılara nümr smülasyonlar l göstrlctr. Gcml av avcı sstmnd r 1 =. 45 r =.1 S =. 5 P =. 3 J = 1 alınara Ý1 D Þ sstm d dt dp dt ds dt =.45(.3( P( t t ) é.5 = P( ê.1 ë = P () t S() t ( t t ) ù S( ú û (5.1) sstmn dönüşür. Ý5.1Þ sstmnn t poztf dng notası E D = Ý, P, S Þ = Ý7. 5, 15, 15Þ dır. Daha önc bölümlrd algortmalardan b = , fýzþ = z 3 pz z r dnlmnn poztf ölrndn z 1 =. 44 v z 1 = w 1 dn w 1 = z 1 =. 13, f v ÝzÞ =.845 > olara bulunur. Torm 3. dn E D dng notası b 5 ß, b Þ = ß, 1.194Þ n asmtot ararlıdır anca b > n ararsızdır. b =b = d s Hopf çatallanma mydana glr. Eğr Ý5.1Þ sstm çn Hopf çatallanma paramtrlr hsaplanırsa; 59

69 c 1 ÝÞ = Ýg gb g 11? g 11? g Þ g 1 3 W =? Rác 1 ÝÞâ RáV v Ýb Þâ =?.55 K = Rác 1 ÝÞâ =.5 T =? Imác 1ÝÞâ W ImáV v Ýb Þâ gb =. 53 ld dlr. Buradan görülür, =. 51?. 55 W =?. 55 <, K =. 5 >, T =. 53 > dır. Böylc Ý5.1Þ sstmnd b = n oluşan Hopf çatallanma subrttr. b, b ın soluna gçtğnd pryod çözüm çatallanır v aşağıda şllrdn d görüldüğü üzr oluşan çatallanan pryod çözüm ararsızdır. Burada yapılan nümr smülasyonlarda, başlangıç notası Ý5,5, 5Þ olara alınmıştır. Şl 5.1, şl 5. v şl 5.3 göstryor, E D dng notası b 5 ß,1. 194Þ n asmtot ararlıdır. İl olara, b =. 9 < b alındığında, ÝtÞ, PÝtÞ v SÝtÞ yoğunlu fonsyonlarının graflr şl 5.1, şl 5. v şl 5.3 d göstrlmştr. Burada b < b çn E D dng notasının ararlı olduğu doğrulanmıştır. 6

70 Şl 5.1 : b =. 9 < b çn Ý,P, S Þ = Ý5, 5, 5Þ başlangıç oşulları altında av popülasyon yoğunluğunun zamana gör grafğ Şl 5. : b =. 9 < b çn Ý,P, S Þ = Ý5, 5, 5Þ başlangıç oşulları altında avcı popülasyon yoğunluğunun zamana gör grafğ 61

71 Şl 5.3 : b =.9 < b çn ( P S ) ( 5,5,5) S( fonsyonunun zamana gör grafğ başlangıç oşulları altında,, = Şl 5.4 : Gcm paramtrs trar b =.9 < b alınara av popülasyon yoğunluğuna arşılı gln avcı popülasyon yoğunluğunun grafğ 6

72 Burada üç boyutta, E D dng notasının asmtot ararlı olduğu grçlnmştr. Şl 5.5, şl 5.6 v şl 5.7 d b = 1. < b çn nümr smülasyonlar yapılmıştır v bu şllr göstrr, E D dng notası ararlılığını aybdr v sstmd hopf çatallanma mydana glr. Bunun sonucunda s dng notası trafında ararsız pryod çözümlr mydana glr. Şl 5.5 : t = 1. < t çn Ý,P, S Þ = Ý5,5, 5Þ başlangıç oşulları altında av popülasyon yoğunluğunun zamana gör grafğ 63