Termodinamiğin Yasaları:

Transkript

1 NTR0PĐ trop kavramı, makroskopk görüş açısıda (klask trmodamk), mkroskopk görüş açısıda (statstksl trmodamk) v formasyo görüş açısıda (formasyo tors) olmak üzr, üç şkld l alıablr. trop statstksl taımlaması daha saslı Dğr taımlamalar v trop l lgl tüm özllklr oda çıkartılablmktdr. trop taımıa gçmd öc bazı hatırlatmalar yapalım. Trmodamk ısı sürçlr cly br fzk dalı Trmodamk: klask trmodamk, statstksl trmodamk v kmyasal trmodamk olarak üç ayrılır. Trmodamk, sstmlr arasıda ş vya ısı şkld aktarıla (alıp vrl) r l lgl yasaları ortaya koymakta Sstm, çvr d vr öbür kısmıda grçk sıırlarla vya grçk olmaya sıırlarla ayrılmış lg sahamıza gr br parçasıdır, dyblrz. Örğ br orgazma, br hücr, br mtokodr vya brbr l raksyoa gr maddlr sstm olarak l alıablr. Çvr l r v madd alışvrşlrdk lşklr gör sstmlr: zol sstmlr (madd v r alışvrş olmaya), kapalı sstmlr (madd alışvrş olmaya) v açık sstmlr (madd v r alışvrş ola) olarak üç tür ayrılırlar. Trmodamk, çvrdk dğşmlr karşılık sstm tpklr clmktdr. Trmodamk yasaları çok gl br gçrllğ sahptr v karşılıklı tklşmlr ayrıtılarıa vya cl sstm özllklr bağlı olarak dğşmzlr. Trmodamkt hacm (V), basıç (P), sıcaklık (T), r (), trop (S) gb kavramlar tml alıır.

2 Trmodamğ Yasaları: Trmodamğ sıfırıcı yasası: Đk trmodamk sstm hr br üçücü br sstml trmodamk dgd s aralarıda da trmodamk dgddrlr. Trmodamğ brc yasası: Br sstm ç rsdk artış, sstm vrl ısı l, sstm çvrs uyguladığı ş arasıdak farktır. Bu yasa "r koruumu" olarak da blr. Trmodamğ kc yasası : trop, br trmodamk sstmd başka sstmlr ş şkld aktarılması mkâsız r mktarı olmak üzr, zol br trmodamk sstm trops zamala artmakta Trmodamğ üçücü yasası: Mutlak sıcaklıkta trop sıfır Bu yasa d br maddy mutlak sıfıra kadar soğutmaı mkâsız olduğuu blrtr. Trmodamğ kc yasasıda yr ala trop, ısı rs tamamıı mkak ş döüştürülms mkâsız olduğuu fad d trmodamk br clktr. Sstmdk düzszlk arttıkça, sstm trops artar, ya sstm faydalı ş vrm kablyt azalır. Br su damlası ısıtıldığıda buharlaşır v molküllr daha düzsz br hal alır. T sıcaklığıdak br csm Q kadarcık br ısı vrdldğd, trops S= Q/T kadar artar. trop y, zol br sstm çdk düzszlk drcs olarak da bakılablr. Trmodamğ kc yasasıa gör, zol sstmlr trops artmakta trop artması br gry dödürülmz olay Kaatta hr sstm v calıı trops dvamlı artmakta Bu artış llbt dvam tmyck, maksmuma rşc ş yarar r kalmayacaktır. Đş yarar r kalmaması dmk, maddlr arasıda ısı bakımıda dg sağlaması dmktr. Dğr yada trmodamk ayı zamada statstksl kavramlar kullaılarak da fad dlblr. Mkak (klask vya kuatum) yasalarıı statstkl brlştrlrk kullaılması saysd glştrl "statstksl mkak" vya "statstksl trmodamk", klask trmodamğ tarf ttğ acak açıklayamadığı bazı olgulara dr açıklamalar da gtrmştr. Đstatstksl mkak; hrbr atom v molkülü mkroskopk özllklryl, gülük hayatta

3 karşılaşıla maddlr makroskopk özllklr arasıda lşk kurar. Buu slr trmodamk özllklr, molküllr spktroskopk (tayfölçüm) yötmlrl alımış vrlr kullaarak yapar. Đstatstksl mkakt br sstm dgd olması, ou br makrodurumda olduğuu (S) fad tmkt olup, mkroskopk düzyd s olabl tüm mkroskopk durumlar arasıda (sayıları Ω ta) gçşlr yapmakta olduğuu fad tmktdr. Böyl br sstm trops, Boltzma tarafıda örl, S = k log Ω formülü l hsaplamakta trop (S) br sstm grblcğ mkroskopk durumları 3 sayısıa ( Ω ) bağlı olarak taımlamıştır. Burada k = J K - Boltzma sabt dr. Sözü dl mkroskopk durumları taımı v sayılması s, sstm oluştura atomları tarf d tml mkak yasalar kullaılarak yapılır. Trmodamğ çoğu uygulamasıda, br ya da daha çok dğşk sabt tutulurk, dğr dğşklr bulara gör asıl dğştğ clr v bu da sstm matmatksl olarak ( sabt tutulmaya dğşklr sayısı olmak üzr) boyutlu br uzay olarak tarf dlblcğ alamıa glr. Đstatstksl mkağ fzk yasalarıyla brlştrrk, bu dğşklr brbrlr csd fad dck "durum dklmlr" yazılablr. Buları bast v öml olalarıda br s dal gaz yasası Bu dklmd R vrsl gaz sabt'dr. Ayrıca statstksl mkak trmlryl bu dklm şöyl yazılır: Bu dklmd d k Boltzma sabt'dr. Trmodamk dğşklr vasıtasıyla dört ta trmodamk potasyl taımlaablr: Sstm Đç rs Hlmholtz Srbst rs Gbbs Srbst rs talp U : du = T. ds + V. dp talp,özl br foksyodur.basıç sabt olduğu zama bz ısıyı vrr. Bu dört potasyl

4 dfrasyl dklmlr v zcrlm türv kuralıı kullaarak bu dört potasyl, dğşklr v brbrlr csd yazılablr: = U PV. = A + T. S A = T. S = G PV. G = A + PV. = U T. S U = G + T. S = + PV. Bu drst trop kavramıı formasyo (formasyo, formato) kavramı l brlkt kullaacağız. formasyo Tors (Blg Kuramıı) amacı blg ld dlms (habr alıması), aktarılması, şlms v saklamasıa lşk cl kauları clmktr. Blg kavramıı taımıda öc, olasılık dağılımları üzrd çştllk ölçüsü olarak taımlaa v statstk trop d d trop kavramıı taımıı hatırlatmaya çalışacağız. trop kavramı, kapalı br kaptak dal br gazı düzszlğ br ölçüsü olarak 9. yüzyılı solarıda Boltzma tarafıda ortaya atıla br kavram Blg kuramı 940 lı yıllarda tlkomükasyoa bağlı problmlr çözümü sırasıda ortaya çıkmıştır. Blg kuramıı amacı blg ld dlms, aktarılması, şlms v saklamasıa lşk kuralları clmktr. Blg aktarılması sürcdk rasgllk olgusu bu sürçlr clmsd statstk yötmlr kullaılmasıı kaçıılmaz kılmakta Blg aktarılması ç uygu bçmd kodlamış olması grkr. Blg mmum sayıda smbol yardımıyla aktarılmalı Br maddsl sstm durumu ksks blyorsa, buu hakkıda aktarıla blg çokta dğrl dğldr. Bua gör, glşgüzl olarak hrhag br durumda bulua br sstm lşk alıa br blg kadar dğrl olduğuu ölçmy yaraya br krtr olmalı Bua sstm kararsızlık drcs dr. Br sstm kararsızlık drcs sadc mümkü ola durum sayısı l dğl; o durumda buluma olasılıkları l bağlatılı Glşgüzllk (rasgllk) çr br sstm () buluablcğ durumlar x, x,..., x olsu. Hr br durumu olasılığı p = P( = x ) olmak üzr, sstm x, x,..., x p, p,..., p

5 olarak göstrls. Sstm, x, x,..., x,... p, p,..., p,... bçmd d olablr. Kskl durumlarda buluabl br sstm () ç durumlar x, x,..., x olarak sayısallaştırılmış s sstm br rasgl dğşk olarak da l alıablr. rasgl dğşk olasılık foksyou, f ( x ) = P( = x ) = p, =,,..., olsu. W = log( f ( )) olarak taımlaa W rasgl dğşk olasılık tablosu, w = log( f ( x )) log( f ( x)) f x log( ( )) log( f ( x )) w = log p log p log p log p fw ( w ) = P( W = w ) p p p olmak üzr, ( W ) = ( log f ( )) = p log f ( x ) = p log p = = Kskl durumlarda buluabl br H ( ) p log p = = x, x,..., x p, p,..., p sstm trops, olarak taımlaır. Bu sstm br rasgl dğşk (rasgl dğşk aldığı dğrlr sstm buluablcğ durumlar) olarak da l alablrz. trop taımıdak logartmaı tabaı gllkl olarak alıır. Bu durumda, Durumlar x x p = P( = x ) p = gb br sstm trops, H ( ) = p log p = ( log + log ) = = ( log log ) = olur. trop taımıda logartmaı tabaı olarak sçldğd, şt olasılıklı k durumlu br sstm trops, trop ölçü brmdr. Brm tropy bt dr. Örğ, düzgü br paraı üç kz atılışıdak olasılıklara sahp, 8 durumlu br sstm trops, p =

6 YYY YYT YTY TYY YTT TYT TTY TTT /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 H = ( log )8 = 3 (bt) 8 8 N ta şt olasılıklı durum göstr br sstm trops log N bt tr. Sadc br durumda bulua br sstm trops sıfır Örk Br sstm (rasgl dğşk) l lgl durumlar v bu durumlarda buluma olasılıkları aşağıdak gb olsu. Bu stm trops,,, 3, 4,,, H ( ) = p log p = log log log log = (bt) = dr. trop hsabıda sadc durumları olasılıkları ömldr. Sstm göstrmd durumları yazmasak da olur. 3 3,,, sstm trops dr H ( ) = p log p = log log log log =.8 (bt) = Dört durumlu başka br 97,,, sstm trops, H ( ) = p log p = log log log log = =0.4 (bt) dr. Düzgü dağılım durumuda trop fazla olduğua dkkat d.

7 trop taımıda k tabalı logartma yr tabalı logartma da kullaılmakta log p p l p p l( ) p log p l() l() p log p = = = = = = = trop ölçü brm bt olmak üzr, trop taımıda k tabalı logartma yr tabalı logartma kullaılırsa l() katsayısıı göz öüd tutmak grkr. Doğal logartma v tabalı üslü fadlr türv v tgral hsaplamaları daha kolay olmakta Buda sorak kısımda br x, x,..., x sstm trops, p, p,..., p olarak taımlaacaktır. H ( ) p l p = = Khch Torm: Solu sayıda durum göstr br sstm trops maksmum dğr durum sayısıı logartmasıa şttr v durum olasılıklarıı şt olduğu hald ortaya çıkmakta Đspat: Sstm ta durumu olsu. x, x,..., x, =,,..., ç > 0 v = p p p, p,..., p = sstm, H ( ) H ( p, p,..., p ) p l p = = = trops maksmum dğr bulmak ç, Amaç : max H ( p, p,..., p ) = p l p Kısıtlar : p = = p > 0, =,,..., = optmzasyo problm l alalım. v Problm Lagrag çarpaları yötm l çözmy çalışalım. Lagrag foksyou, L = p l p + λ( p ) = =

8 L = l p + λ, =,,..., p L = p λ = olmak üzr, türvlr sıfıra ştlmsyl ld dl dklm sstm, l p = λ l p = λ l p = λ p = = olup, dklm sstm çözümü v p = p =... = p = λ = + l max H ( p, p,..., p) = l = l = l = Solu sayıda duruma sahp sstmlrd maksmum trop, durum olasılıklarıı şt olduğuda ortaya çıkmaktadır v durumlu br sstm maksmum trops l dr. x, x,..., x = sstm hr durumu ç bll br r düzy (dğr) söz kousu p, p,..., p olsu. Sstm kd durumlarıda p, p,..., p olasılıkları l bulumakta Sstm r düzylr v bu düzylrd buluması olasılıkları,... f ( ) = P( = ) p p... p olmak üzr r ortalaması, ya r bkl dğr = p = µ

9 dğr şt Solu durumlu v r düzylr,,..., ola sstm ortalama rs bll br Başka br fad l, * p = µ olacak şkld maksmum tropl sstm hagsdr v trops dr? = Amaç : max H ( p, p,..., p ) = p l p Kısıtlar : p = = = problm çözümü dr? Lagrag foksyou, p * p > 0, =,,..., = µ = v * λ µ λ = = = L = p l p + ( p ) + ( p ) L = l p + λ + λ, =,,..., p L = * p µ λ = L = p λ = olmak üzr, türvlr sıfıra ştlmsyl ld dl dklm sstm, vya l p = λ λ l p = λ λ l p = λ λ = = p * p = = µ

10 p p p = = = = = p λ λ λ λ λ λ * p = = µ olup, lk dklm toplamıda ld dlr. = = λ λ λ = = = λ l( ) = λ λ λ λ p p * = = = = p l λ λ λ = λ λ = λ µ = = = = = = = olmak üzr, p = ld dlr. Bua gör, λ λ λ λ λ = = = λ = λ λ, =,,..., λ l l λ ( l ( λ ) ) ( λ ) λ H = p p = p = p = p + p = = λ + λ µ max = = λ = = = *

11 x, x,..., x Solu durumlu gb br sstm r düzylr,,..., olduğuda, p, p,..., p sstm ortalama rs bll br tropl sstm durum olasılıkları * p = µ dğr şt olacak şkld maksmum = p = = λ λ, =,,..., Gazları Ktk torsd, p = = kt kt, =,,..., dr (T mutlak sıcaklığı v k Boltzma sabt göstrmktdr). Bua gör, sstm ortalama rs bll br sstmd r düzylr olasılık dağılımı, * p = µ dğr şt olacak şkld maksmum tropl = kt f ( ) = P( = ) kt p = p = p = = kt = kt Bu olasılık dağılımıa Boltzma Dağılımı dr. = kt kt Mtropols-Hastgs Algortmasıda olduğu gb uygulamalarda k sabt göz ardı dlp, T f ( ) = P( = ) T T p = p = p = T T T = dağılımı kullaılmakta Bu dağılıma Gbbs dağılımı dr. = =

12 Đk ya da daha çok sstm blşks ola sstmlrd trop kavaramıı l alalım. x, x,..., x p, p,..., p v y, y,..., ym Y r, r,..., rm gb k sstm söz kousu olsu. Bu k sstm blşks ddğd, ( x, y ) : =,,...,, =,,..., m { } kümsdk durumlarda buluabl sstm alaşılmakta v Y gb k sstm blşks ola sstm (, Y ) bçmd göstrlm. Bu sstm ( x, y ), =,,...,, =,,..., m durumlarıda buluması olasılıkları P( = x, Y = y ), =,,...,, =,,..., m olsu. Blşk sstm trops, m H (, Y ) = P( = x, Y = y )l P( = x, Y = y ) = = olarak taımlamakta Đk sstm brbrd bağımsız, ya olduğuda, olmak üzr, P( = x, Y = y ) = P( = x ) P( Y = y ) l P( = x, Y = y ) = l P( = x ) + l P( Y = y ) H (, Y ) = H ( ) + H ( Y ) Bağımsız k sstm blşks trops, sstmlr trop toplamlarıa şttr. (, Y ) gb blşk br sstmd, sstm x durumuda olduğu bls. sstm x durumuda olduğu bldğd Y sstm koşullu trops m Y = y Y = y H ( Y / = x ) = P l P = x = x = olarak taımlaır. (, Y ) gb blşk br sstmd, Y sstm sstm koşullu toplam trops H ( Y / ) = p H ( Y / = x ) = olarak taımlamakta

13 (, Y ) blşk sstmd Y sstm l sstm bağımsız s m Y = y Y = y H ( Y / ) = ph ( Y / = x ) = p P l P = x = x = = = m m p P ( Y y ) l P ( Y y ) P ( Y y ) l P ( Y y ) = = = = = = = = = = H ( Y ) (, Y ) blşk sstm trops ç H (, Y ) = H ( ) + H ( Y / ) = H ( Y ) + H ( / Y ) Y = y P x Y y P x P yazılablr ( ( ) ( ) =, = = = = x d kolayca ld dlr). Ayrıca, H (, Y ) H ( ) + H ( Y ) Dkkat dlrs k blşl br sstm, k dğşkl br rasgl vktör olarak l alıablr. Buda sora, (, Y ) blşk sstm l (, Y ) rasgl vktörü kavramlarıı brbr yr kullaacağız. (, Y ) olasılık foksyou ( ) f, Y ( x, y ) = p = P = x, Y = y, =,,...,, =,,..., m olmak üzr (, Y ) sstm, trop açısıda p, =,,...,, =,,..., m olasılıkları l alatılablr, ya (, Y ) ( p ) m dyblrz. Bua gör;, Y rasgl dğşklr ortak dağılımıı trops ( v Y sstmlr blşks trops) m H (, Y ) p l p = = = Örk a) (, Y ) gb blşk br sstm (k boyutlu rasgl vktör) l lgl durumlar v bu durumlarda buluması olasılıkları aşağıdak gb olsu. Y x x y /4 /4 y /4 /4

14 Bu blşk sstm trops, H (, Y ) = l l l l = l 4 = l = ( bt) olup, sstm ( rasgl dğşk) trops, H ( ) = l l = l = ( bt) Y sstm (Y rasgl dğşk) trops H ( Y ) = l l = l = ( bt) olmak üzr, H (, Y ) = H ( ) + H ( Y ) b) (, Y ) gb blşk br sstm (k boyutlu rasgl vktör) l lgl durumlar v bu durumlarda buluması olasılıkları aşağıdak gb olsu. Y x x y /8 3/8 y 3/8 /8 Bu blşk sstm trops, H (, Y ) = l l l l =.555 =.555 (bt) =.83 (bt) l olup, sstm ( rasgl dğşk) trops, H ( ) = l l = l = ( bt) Y sstm (Y rasgl dğşk) trops H ( Y ) = l l = l = ( bt) olmak üzr, H (, Y ) H ( ) + H ( Y ) sstm (rasgl dğşk) x durumuda olduğu bldğd Y sstm (rasgl dğşk) koşullu dağılımı y y y Y = y P /4 3/4 = x

15 v koşullu trops, Y = y Y = y 3 3 H ( Y / = x ) = P l P = l l = 0.56=0.8 (bt) = x x = = Bzr şkld sstm (rasgl dğşk) x durumuda olduğu bldğd Y sstm (rasgl dğşk) koşullu trops, Y = y Y = y 3 3 H ( Y / = x) = P l P = l l = 0.56=0.8 (bt) = x x = = Y sstm sstm koşullu toplam trops, H ( Y / ) = ph ( Y / = x ) = = 0.8( bt) = Durum Uzayı Sürkl Ola Sstmlr trops Kskl durumlarda buluabl br H ( ) p l p = = x, x,..., x p, p,..., p sstm trops, olarak taımladı. Bu sstm br rasgl dğşk (rasgl dğşk aldığı dğrlr sstm buluablcğ durumlar) olarak da l alablcğmz söyldk. Uygulamada sürkl rasgl dğşk bzy maddsl sstmlr d söz kousu olmakta Bu tür sstmlr durumları sayılamaz çoklukta Durumları brd dğr sürkl tarzda gçlr, acak sstm hrhag br durumda buluma olasılığı sıfırdır, sürkl rasgl dğşklrd olduğu gb. Durumlarıı küms rl sayılar l şlbl sürkl br sstm (sürkl br rasgl dğşk) br aralıkta buluması olasılığı, br olasılık yoğuluk foksyou yardımıyla, P( x < < x) = P( x x) = P( x < x) = P( x < x) = f ( x) dx olarak fad dlblr. Sürkl sstm kavramı, tıpkı sürkl rasgl dğşk kavramı gb br dallştrmdr. Br saı boy uzuluğu sürkl br rasgl dğşkdr drz, ama bu tork olarak doğrudur. Grçkt br saı boyu cm d daha küçük br ksml ölçülmz v boy ölçülr hçbr zama mm farkla fad dlmz. Olsa olsa boylar cm farkla brbrd ayrılır. Bua bzr bçmd, ölçmlrd br duyarlılık sıırı kabul drk, ya br x dğr blrlrk sürkl sstm (sürkl rasgl dğşk) kskl sstm (kskl rasgl dğşk) drgblr. a, b R Örğ sürkl sstm durumları (sürkl rasgl dğşk aldığı dğrlr) br ( ) x x

16 aralığıda s bu aralık, a = x < x < x3 <... < x = b, x = x + + x, =,,3,..., oktaları l a, b = x, x x, x x, x... x, x x, x ( ) ( ] ( 3] ( 3 4 ] ( ] ( + ) olacak şkld ( x, x ],( x, x ],( x, x ],...,( x, x ],( x, x ) aralıklarıa ayrılablr. Bu aralıkları kdlr sstm durumu olarak alıırsa karşımıza durumlu kskl br sstm çıkar. x dğr ytrc küçük tutulduğuda, x + x P( x < x ) = P( x < x + x) = f ( x ) dx f ( x ) x + x olmak üzr, ( x, x ],( x, x ],( x, x ],...,( x, x ],( x, x ) trops, ( ) + durumlarıda buluabl sstm p l p = f ( x ) xl f ( x ) x = f ( x ) xl f ( x ) f ( x ) xl x = = = = = f ( x ) xl f ( x ) l x f ( x ) x = = = b x 0 a f ( x ) xl f ( x ) f ( x) l f ( x) dx = f ( x ) x b x 0 f x dx = a ( ) olmak üzr, ytrc küçük x ç p l p = f ( x ) xl f ( x ) l x f ( x ) x f ( x)l f ( x) dx l x = = = Sürkl br sstm (sürkl br rasgl dğşk) trops, ölçm duyarlılığıı fad d x dğr göz öüd tutularak, b a olarak taımlamakta H x( ) = f ( x)l f ( x) dx l x Sürkl br sstm, D D küms rasgl dğşk aldığı dğrlr kümsdr. H x( ) = f ( x)l f ( x) dx l x D trop formülüdk brc trm x d bağımsız x dğr sstm durumuu blrlmsdk (ölçülmsdk, gözlmsdk) yaklaşıklığı fad dr. Sürkl sstmlr ç trop formülü daha bast br bçmd,

17 [ ] H x( ) = f ( x)l f ( x) dx l x = f ( x)l[ f ( x) x] dx = l[ f ( ) x] olarak da yazılablr. D D Örk 3 a) U ( a, b) olduğuda, b) H x b a b a ( ) = f ( x )l f ( x ) dx l x = l dx l x = l D (0, ) olduğuda, N σ b a b a x H x( ) = D πσ πσ x x σ σ f ( x)l f ( x) dx l x = l dx l x π = + l x σ ( πσ ) x dx l ( πσ ) l x σ = + l x Örk 4 Sürkl br sstm (rasgl dğşk) olasılık yoğuluk foksyou f olduğuda sstm trops, H ( ) = f ( x )l f ( x ) dx l x x Aşağıdak, f ( x) 0, x R f ( x) dx = xf ( x) dx = a ( a R v a br sabt sayı) ( x a) f ( x) dx = b b > v b br sabt sayı ( 0 )

18 özllklr sağlaya f foksyoları brr olasılık yoğuluk foksyou olup, blrldklr dağılımları bkl dğr v varyasları ayı Bkl dğr v varyası ayı ola sürkl dağılımlar arasıda trops büyük ola dağılım hagsdr. Başka br fad l, max( f ( x)l f ( x) dx l x) f Kısıtlar: f ( x) 0, x R f ( x) dx = xf ( x) dx = a ( a R v a br sabt sayı) ( x a) f ( x) dx = b b > v b br sabt sayı ( 0 ) optmzasyo problm çözümü dr? Bu problm çözüldüğüd, lgç br şkld karşımıza bkl dğr µ = a v varyası σ = b ola N ( µ, σ ) ormal dağılımı çıkmakta v Y k sürkl sstm (rasgl dğşk) olsu. (,Y) blşk sstm, başka br fad l (,Y) rasgl vktörüü olasılık yoğuluk foksyou f, Y olsu. Ayrıca l Y blşlr olasılık yoğuluk foksyoları f, f Y v koşullu dağılımları olasılık yoğuluk foksyoları f /, f / olsu. v Y ölçm duyarlılıkları sırasıyla x, y olsu. y Y x (, Y ) blşk sstm trops, H (, Y ) = [ l{ f (, Y ) x y}] x y olarak taımlamakta x durumuda buluduğu blrk Y H ( Y x ) kısm koşullu trops H ( Y x) = f ( y)l f ( y) dy l y y Y / x Y / x v H ( Y ) ortalama koşullu trop H ( Y ) = f ( x) f ( y)l f ( y) dxdy l y y Y / x Y / x olarak taımlamakta

19 f ( x, y) = f ( x). f ( y), Y Y / x ştlğ dkkat alarak, H ( Y ) = f ( x, y)l f ( y) dxdy l y y, Y Y / x = f ( x, y) l{ f ( y) y} dxdy, Y Y / x formülü ld dlr. H y ( Y ) = [ l f ( Y ) l y] vya H y ( Y ) = [ l{ f ( Y ) y}] olarak yazılablr. (, Y ) blşk sstm trops, H x y (, Y) = [ l{ f ( x, y) x y}] olmak üzr, f ( x, y) = f ( x). f ( y) fadsd,, Y Y / x H (, Y) = [ l{ f ( x, y) x y}] = f ( x, y)l{ f ( x, y) x y} dxdy x y, Y, Y = f ( x, y)l{ f ( x) f ( y) x y} dxdy, Y Y / x = f ( x, y) l{ f ( x) x} dxdy f ( x, y)l{ f ( y) y} dxdy, Y, Y Y / x = f ( x)l{ f ( x) x} dx f ( x) f ( y)l{ f ( y) y} dxdy x Y / x Y / x Y / x Y / x = H ( ) f ( x) f ( y)l{ f ( y) y} dydx = H ( ) + H ( Y / ) x y ld dlr. (, Y ) blşk sstm blşlr bağımsız olduğuda, H (, Y) = H ( ) + H ( Y ) x y x y Blş sayısı k olmak üzr, k blşl br = k sstm (k boyutlu rasgl vktörü) ç trop, H ( ) = f (,,..., k )l f (,,..., k ) larak taımlaır. Blşlr bağımsız olduğuda, H ( ) = H ( ) + H ( ) H ( k ) Gld, H ( ) = H ( ) + H ( / ) + H ( 3 /, ) H ( k /,,..., k ) Sürkl durumda da yukarıdaklr bz taımlamalar yapılablr.