KATEGORİK VERİLERİN TESTİ (ki-kare testi)

Transkript

1 KATEGORİK VERİLERİN TESTİ (k-kar tst).. K-kar dağılışı.. Bağımsızlık tst... x tablolarda bağımsızlık (ora/homojt) tstlr... rxc tablolarda bağımsızlık (ora/homojt) tstlr.3. İy uyum tstlr.3.. Normal dağılışa uyum tst.3.. Tkdüz dağılışa uyum tst.3.3. Bom dağılışıa uyum tst.3.4. Posso dağılışıa uyum tst Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

2 KATEGORİK VERİLERİN TESTİ Örkt ld dl souçları çoğu kz olasılık kurallarıa gör tork bkl souçlar l ks br uyum çrsd olmadığı görülür. Örğ br mtal paraı kz atılışıda 5 tura 5 yazı glms tork olarak bklms rağm bu souç çok adr ld dlblr. Bll br olayı mümkü souçlar st aşağıdak tablodak gb olsu (E) olaaklı olay st E E E 3 E k (G) gözlml rkas G G G 3 G k (B) bkl rkaslar B B B 3 B k Bu vrlr dayalı olarak gözl (G) rkaslar l bkl (B) rkaslar arasıda mvcut tutarsızlığı br ölçüsü olarak k-kar dağılışı kullaılır k ) k k ) ( G ) ( G B ) B ( G B B ( G... B B k B B N= B j= G j N G j N yukarıdak k-kary şdğr br ormüldür. B j j s gözl rkaslar l bkl rkaslar tamam ayıdır s gözl rkaslar l bkl rkaslar ayı dğldr. Burada sözü dl vrlr, br vya daha azla brbrd ayrık vya katgorlr ayrılmış şkld sııladırılabl gözlmlr aalz l lgldr. İlgll dğşk hr katgor çrs gr gözlmlr sayısıdır. Burada statstksl hpotz kou olarak tp problm söz kousudur.. Sıılama amaçlı kullaıla k ya da daha çok dğşk arasıdak bağımsızlığı vya lşk tst vya dğr br dyşl oraları karşılaştırılması. Gözlmlr blrl br olasılık dağılışıda glp glmdğ tst. CI-SQUARE (K-Kar)DAĞILIMI K-kar dağılımı matmatksl olarak tk paramtrl (v, srbstlk drcl) br dağılımdır. K-kar dağılımıı özl br hal ola stadart ormal dağılışı kars(z ), v= srbstlk drcl br k-kar dağılışıdır. Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

3 v= s.d v=5 s.d v= s.d. ( x ) Z Z x K-kar sadc pozt dğrlr ç taımlıdır, tk modlu v sağa çarpık br dağılıştır. Srbstlk drcs (v) büyüdükç çarpıklık azalır, srbstlk drcs çok büyük dğrlr ç kkar (dağılışı v ortalamalı v v stadart sapmalı) hm hm ormal dağılışa bzr. Acak uygulamada v büyük dğrlr almaz. ( ) Rd bölgs =.5 Eğr örklm statstğ hsaplaırk populasyo paramtrs kullaılmada bkl rkaslar hsaplaablyorsa, srbstlk drcs v = k alıır Eğr örklm statstğ hsaplaırk (m) adt populasyo paramtrs l bkl rkaslar hsaplaablyorsa, srbstlk drcs v = k - m alıır Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK

4 . BAĞIMSIZLIK (homojlk) TESTİ... x tablolarda bağımsızlık (homojt) tstlr B B Dğşk A. A Dğşk A. B.. vya dğr br adyl burada tst amacı oraları karşılaştırılmasıdır B dğşk A dğşk B B A p p p j p. A p p p j p. p p. p p. : A v B brbrd bağımsız : A v B brbrd bağımsız dğl Eğr P(A B)=P(A)P(B) s A v B brbrd bağımsızdır Dğr br adyl : p j p olmalıdır. p p =p.p. p j=p.p.j =, j=, Bkl ücr Frkası; E j=p j pˆ.. pˆ.. pˆ pˆ. pˆ... Eˆ p ˆ.... p p p p p p Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 4 İSTATİSTİK

5 E. p E. p. pˆ p p p pˆ Ê. pˆ.. Ê. pˆ.. O Eˆ Eˆ j Eˆ j j j j Eˆ j j j sd sd=k-m- sd=4--= m=örkt ld dl paramtr sayısı k=tablodak hücr sayısı s rd dlr. hsap tab Örk: Akcğr kasr l havada taşıabl asbstl şt çalışma arasıda br lşk olup olmadığı araştırılmak styor. : Akcğr kasr l asbstl şt çalışma arasıda br lşk yoktur. : Akcğr kasr l asbstl şt çalışma arasıda br lşk vardır. Asbstl Ortamda Dğl Asbstl Ortamda Toplam Akcğr Kasr Dğl 4 5 Akcğr Kasr Toplam Ê j 45*5 5 5=(5*5)/ Ê.. 5(5).. 5(45) 5 Ê Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 5 İSTATİSTİK

6 Ê.. 495(5).. 495(45) 495 Ê h O ˆ j Ej Eˆ j j = sd=(r-)(c-)=(-)(-)= ,.5, rd dlmz rd dlr. Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 6 İSTATİSTİK

7 Örk: yıl sür l radyoakt artıkları buluduğu br bölgd yaşaya kşlr üzrd gözl vrlrd yola çıkılarak radyoakt thlk l ka basıcı arasıdak lşk araştırılmak styor. Ka Basıcı Düzszlğ(Tasyo) O Gözl Gözlmy j Radyoakt thlky maruz kalmış Radyoakt thlky maruz kalmamış E j (5) 6 :Radyoakt maddy maruz kalmaı, tasyo problm üzrd br tks yoktur. :Radyoakt maddy maruz kalmaı, tasyo problm üzrd br tks vardır = , s.d.=(-)(-)= rd dlmz. Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 7 İSTATİSTİK

8 ... rxc tablolarda bağımsızlık (homojt) tstlr c c. c... r r r rc r.... c : pj p j... prj j=,,...,c Dğşk B c p p p c p p p c Dğşk A... p r r p p r rc = j Ê j Ê j, rc B A * =3.3 = = =4.9.5<p<. arasıda s o rd dlr. Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 8 İSTATİSTİK

9 Ayı populasyou arklı k arklı özllğ arasıdak lşk clyorsa. potslr aşağıdak şkld kurulur. : Populasyodak k özllk arasıda lşk yoktur : Populasyodak k özllk arasıda lşk vardır. Açıklama : s.d. = k--m = rc--(r-)-(c-) = rc--r+-c+ = rc-r-c+ = (r-)(c-) k = tablodak hücr sayısı m = vrlrd tahm dl bağımsız paramtr sayısı Örk: Br şltmdk prsol çalıştığı pozsyo l csyt ortaya koya tablo aşağıdak gbdr. Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk olup olmadığıı %.5 alamlılık svysd tst dz. O j Erkk Kadı Toplam Müdür Ş Elma Toplam : Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk yoktur. : Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk vardır E ˆj r c O ˆ j Ej Eˆ j j 56 33, ,5 4 58,7 4 4,3 33,5 66 7,8 34 9, 7,8 olduğu ç o rd dlr. 96,5 9, 6,8 58,7,5; 4,3,6,.5; r = 3 c = r c,5; 3 x Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 9 İSTATİSTİK

10 s.d.= (3-)(-) = Populasyodak kd çok özllklr arasıdak lşk clyorsa, kurulacak hpotzlr bu özllklr oralarıı ştlğ üzr olacaktır. Örğ aşağıdak gb. p ) :Eğtm svys l söz kousu şt başarı arasıda br lşk yok( p p ( p : ğtm svy oraları, p : başarı oraları) : Eğtm svys l söz kousu şt başarı arasıda br lşk var ( p ) = 4 Eğtm Svys Süprvsor Lsy Gtmmş Ls Trk Ls Mzuu Toplam Notu (başarı) o o o o Tatmkar Tatmkar Dğl Toplam o o 8 o r c 5.3 h O Eˆ j j o 5.3 Eˆ j j /.5, 5.99 rd dlmz Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

11 (r-)(c-)=(-)(3-)= Rd Bölgs İy uyum tstlrd kullaılablck dğr bazı hpotz örklr aşağıda vrlmktdr. : p + p 3 = p + p 4 : p -p + p 3 -p 4 = vya şdğr olarak Bu tp hpotzlr gllrsk : l p +l p +...+l p = yazılablr. Kullaıla tst statstğ ; = ( l ( l l p l... l o p... l p ) ) şkld hsaplaır. v l srbstlk drcl,l l karşılaştırılarak tst dlr. Örk: 4 laboratı bll br sür çd kırmış oldukları cam malzm sayıları aşağıdak gb gözlmştr. Laborat kırıla cam malzm bkl dğr E Toplam 3 : P P4 P P3 (.5) :. Laborat l 4. Laborat,. v 3. Laboratlara gör daha az dkkatldr. : P P4 P P3 Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK ( ) 4,89.5, 3 ( ) ( )

12 rd dlr. Yats sürkllk düzltms ( G B,5) B ( G B,5) B ( Gk Bk,5) + B k Örk : Br mtal para kz havaya ırlatılıyor, 5 tura v 85 yazı gldğ gör. Mtal paraı hlsz olup olmadığıı,5 v. öm svylrd hpotz tst yapıız. (5 ) (85 ) 4,5,95, 3, 84 rd dlr,99, 6,63 rd dlmz Katgor vya sıı sayısı (yazı v tura) k=, s.d. v = k- = -= Yats s düzltms l (5,5) (85,5) corrctd 4, 5 Yukarıda ld dl souçlar gçrllğ korumaktadır. Cotgcy katsayısı Br olasılık tablosu çrsd sııları bağımsızlığı vya brlşm, lşk drcs göstr br ölçüdür. C N k= sıra + kolo sayısı max C = ( k ) / k Özllklr v sıılar arası korlasyo katsayısı r N( k ) Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

13 Örk : Özllk I Özllk Toplam Gözlml rkas NP N(-P) N Bkl rkas Np N(-p)=Nq N ( NP Np) ( N( P) N( p)) N ( P p) N ( P p) N( P p) ( P p) N(( P p)( ) Np Nq Np Nq p q pq pq / N Bu souçlar l Örk : N G j N spatlaablr. B j j Gözlmlr İylşlr İylşmylar Toplam Srum kullaa grup 75 5 Srum kullamaya grup Toplam 4 6 Bkl rkaslar İylş İylşmy Toplam Srum kulaalar 7 3 Srum kullamayalar 7 3 Toplam 4 6 (75 7) 7 (5 3) 3 (65 7) 7 (35 3) 3,38,38 C,84,38 C ç max dğr Bkl dğrlr İylş İylşmy Toplam Srum kullaalar Srum kullamayalar Toplam ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5) 5 C,77 ld dlr. Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK

14 Örk : Br Mdl dyd 35 bzly sarı v yuvarlak, 8 yşl v yuvarlak, buruşuk v sarı, 3 buruşuk v yşl olarak gözlmlmştr =556 gözlm mvcuttur. Mdl kauua gör bkl oraları 9 : 3 : 3 : olması grkmktdr.. Bkl oraları toplam sayısı =6 dır. Bua gör bkl rkaslar Yuvarlak sarı 556 (9/6) = 3,75 Yuvarlak yşl 556(3/6) =4,5 Buruşuk sarı 556(3/6) = 4,5 Buruşuk yşl 556(/6)= 34,75 dr (35 3,75) (8 4,5) (4,5) (3 34,75),47 3,75 4,5 4,5 34,75 k=4,99,3,3 sıır hpotz rd dlmz..3 İYİ UYUM TESTLERİ dr. İy uyum tstlr, örk vrlr dayaarak populasyo dağılımı hakkıdak varsayımı tst Örğ: :Populasyo 5 ortalamalı, 5 stadart sapmalı ormal dağılımdır. o hsap o,v tablo dğr (krtk dğr) kullaılır. v= g : Örk d kullaıla dğrlr sayısı g : Örkt tahml populasyo paramtr sayısı doğru k doğru k Örk Gözl rkas olasılık bkl p E =.p p E =.p k k p k E k =.p k Toplam : p l, l p,..., pk lk Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 4 İSTATİSTİK

15 k O p h p = k ( E ) E >, k s rd. Örk :3 bzr mşrubat sçlrk, trchlr gözl dğrlr Toplam Örk(çck markası) p E p O ( -E ) ( E ) 8 /3 (8-) 9/ /3 (-) / 3 5 /3 (5-) 6/ O = /.364 h E : p = p = p 3 : mşrubat trchlrd marka ömsz (üorm dağılış) : mşrubat trchlrd marka öml h =,364 <, = 4,6 =, svysd rd dlmz. rd bölgs = İYİ UYUM TESTİ:TEK DÜZEN DAĞILIŞI İÇİN (x) p= N N N N o toplam gözlm sayısı Br lotary d kazaa umara 4 dgttr. (446, 83 gb) kazaa umaralardak dgtlr şasa bağlıdır. Kazaa dgt populasyouu tk düz olduğu varsayılıyor. N=,,,3,4,5,6,7,8,9. Dgtlr hr br ayı olasılıklı (/N=/) Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 5 İSTATİSTİK

16 A sml kş bu oyuu düzl oyuyor v kazaa umaraları br yr yazıyor v gçmşt sık kazaa /karşılaşıla 4 dgt sayıyı kullaarak düzl br şkld oyu oyuyor. 4 kazaa dgt br şas örğ olarak tst ç kullaıldı. =.5 svysd örk dağılımıı tk düz olup olmadığıı tst dz.( gözlm var) : Örk dağılımı tkdüz : Örk dağılımı tkdüz dğl Dgt Gözlmlr( ) Bkl( ) 4 4 / / / / / / / / / /4 o =4 66/ h 4 4, =, sd= g =--=9, N.5, h 6.55 rd dlmz..3. İYİ UYUM TESTİ: BİNOM DAĞILIŞI İÇİN :örk büyüklüğü (dm sayısı) p:br dm başarı olasılığı x x P( x) p q x,,..., ; p q x r kutuda ta sldr satılıyor. Kutularda kusurlu sldrlr olablyor. lk kutulardak kusurlu sayıları bom dağılışı göstrdğ bldğ =.5 svysd tst dlck. Şasa bağlı kutu alııyor; ()= sldr clyor. Toplam sldr kusurlu buluuyor. E( x) P( x) x x P( x) p q x Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 6 İSTATİSTİK

17 Örk kusurlu oraı pˆ. 5 Kutulardak kusurlu sayıları aşağıdak gb kayıt dlmştr. lk kutulardak kusurlu sldr sayıları : = bom dağılışı göstryor. : = bom dağılışı göstrmyor. Kutulardak Kusurlu Sayısı Gözl Kutu Sayısı E(x)= P( x ) (x) P(x) =p(x) vya daha azla TOPLAM x P( x) p q x x P(x=)= P(x=)= P(x=)= ( x) P( x). N ().3585() ().3773() ().887() 8.87 Kutu sayısı Kutudak kusurlu sayısı - ( ) / vya daha azla. Toplam. h Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 7 İSTATİSTİK

18 sd = g 4 4 (kutudak kusurlu sayısıı sıı sayısı) g = kullaıla paramtr sayısı (bom paramtrs p=.5) x.5, 5.99 P( x) p q x x rd dlmz. Örk: Br rapty kz atılmış v svr ucu yukarıya gllr sayıları br rkas tablosu olarak aşağıda vrlmştr. a) Raptylr svr ucu yukarıya glck şkld düşms olasılığıı hsaplayıız. b) Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısıı Bom Dağılımı göstrp göstrmdğ.5 öm svysd tst dz. Svr ucu yukarıya gl Frkas (O rapty sayısı ) N= a) pˆ = (toplam svr ucu yukarıya gl rapty sayısı)/(toplam dm) 5 p ˆ b) : Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısı =5 ola Bom dağılımıa uygudur. : Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısı =5 ola Bom uymamaktadır. dağılımıa P x x x x p p Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 8 İSTATİSTİK

19 P P P P P P E = N. p 3.4 < 5 olduğuda dolayı alttak satır l brlştrlr. P(x) E,5 3,4,996 9,9,69 5,8,347 68,34,37 44,74,586,7 NOT: rhag br bkl dğr ( E ) ads 5 t küçük s o dğr kds yakı br gözlm klr. Svr ucu yukarıya gl rapty sayısı Frkas (O ) Bkl Frkas ( E ) O E v d az 3,96 3, ,8, ,34, ,74, ,7,3787 h 8,47 t, v v = m--a m: grup sayısı a: tahm dl parmtr sayısı v = 5--=3 h 8,47 t.5, olduğuda o rd dlr. Souç yorumu : Svr ucu yukarıya glck şkld düşü rapty sayısı =5 ola bom dağılışıa uymamaktadır. E Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 9 İSTATİSTİK

20 .3.3 İYİ UYUM TESTİ: NORMAL DAĞILIŞ İÇİN Br kmyasal şltmdk satışları ormal dağılış göstrdğ düşüülüyor. gülük satışlar şasa bağlı olarak alııyor. Satış Mktarı Gü Sayısı ( ltr) < < < < < < < < < x 4( ltr) S x =.5( ltr) =.5 svysd satışları ormal dağılış göstrdğ tst dz. Satışları Gözlmlr Satış Sııları Sııladırılması Olasılığı P - P < < < < < < , =< = P = RED -α α 34 µ=4 Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

21 Z x P(-.4<x<) = P(<x<.4) = P(-.4<x<) =.8 =.8()=.64 : dağılış ormal :dağılış ormal dğl v= g g= (paramtr sayısı),.5, İYİ UYUM TESTİ: POISSON DAĞILIŞI İÇİN P( x) x! x x : hsaplaa brm zamada olay sayısı : hr brm zamada ortalama olay oraı br bra dolum şltmsd br bra şşs kırılıca dolum sstm durduruluyor; kırıla cam şş sstmd alııp atılıyor. Ürtmdk bu duruşları ( =3) güd ortalama 3 duruş ola posso dağılışı göstrdğ düşüülüyor. gülük şas örğ alııyor. =.5 svysd hpotz tst styor. Br güdk duruş sayısı Gözl gü sayısı x vya daha azla 3 : yukarıdak vrlr 3 paramtrl posso dağılışı göstryor. yukarıdak vrlr 3 paramtrl posso dağılışı göstrmz. : Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK

22 x P( x) x! x * P x vya daha azla P x 3 3 x! 3 3! 3 3! x P.498() P.494() P(6 )=-P()-P()-...-P(5)= =.84 güd =3 duruş ola posso dağılışı göstryor.5;6.59 h olduğu ç rd dlmz. v g 7 6, g= çükü paramtrs örkt tahmlmd. h İy uyum tstlrd kullaılablck dğr bazı hpotz örklr aşağıda vrlmktdr. : p + p 3 = p + p 4 vya şdğr olarak : p -p + p 3 -p 4 = Bu tp hpotzlr gllrsk : l p +l p +...+l p = yazılablr. Kullaıla tst statstğ ; = ( l ( l l p l... l o p... l p Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK ) ) şkld hsaplaır. v l srbstlk drcl l karşılaştırılarak tst dlr.,l Örk: 4 laboratı bll br sür çd kırmış oldukları cam malzm sayıları aşağıdak gb gözlmştr.

23 Laborat kırıla cam malzm bkl dğr E 3,5 45,5 3 8,5 4 57,5 Toplam 3 : P P4 P P3 (.5) :. Laborat l 4. Laborat,. v 3. Laboratlara gör daha az dkkatldr. : P P P P 4 ( ) 3 ( ) ( ) 3 4,89.5.5, 3.84 rd dlr. NORMALLİK TESTİ X,X,...X gb gözlm olsu. ( x x) Çarpıklık Katsayısı: Ç 3 s Basıklık katsayısı: B 3 4 s ( x Bowma- Shlto ormallk tst x) 3 4 Ç B 6 ( B 3) 4 Bu statstk Bowma-Shlto statstğ şk dğrlr l karşılaştırılır. Örk: =78 Ç =.433 B = (.433) B 78 6 (.5553) 4.36 BOWMAN-SELDON İSTATİSTİĞİ Örk hacm(). sıırı.5 sıırı Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK

24 Pro. Dr. Lvt ŞENYAY X - 4 İSTATİSTİK