T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

Transkript

1 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3

2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3

3 KABUL VE ONAY SAYFASI Derya AVCI tarafıda hazırlaa "UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ" adlı tez çalışmasıı savuma sıavı 8..3 tarihide yapılmış olup aşağıda verile jüri tarafıda oy birliği ile Balıkesir Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir. Jüri Üyeleri İmza Daışma Doç. Dr. Necati ÖZDEMiR Üye Prof. Dr. Doğa KAYA Üye Doç. Dr. FatmaAYAZ Üye Doç. Dr. Yuus Emre YlLDIRlR Üye Yrd. Doç. Dr. Fırat EVİRGEN ~.Cl~... ~ : Jüri üyeleri tarafıda Kuruluca oamıştır. kabul edilmiş ola bu tez BAÜ Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü Prof. Dr. Hilmi NAMLl

4 ÖZET UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. NECATİ ÖZDEMİR) BALIKESİR, OCAK - 3 Doğadaki pek çok fiziksel olay ideal ya da diğer bir deyişle ormal bir davraış göstermez. Bu olayları alaşılır hale gelebilmeside matematiksel disipli bir araç olarak kullaılmaktadır. Klasik aalizi keyfi mertebeli türev ve itegrallere geelleştirmesi olarak bilie kesirli aaliz de bu tezde çalışıla aormal difüzyo sürecii matematiksel modellemeside kullaıla bir disiplidir. Geelleştirilmiş difüzyo olarak da adladırıla aormal difüzyo davraışı uzay ve zama kesirli türevli diferasiyel deklemler ile ifade edilir. Bu tezi çatısıı oluştura iki temel problemde ilki kartezye, kutupsal ve küresel koordiat sistemleride taımlaa bir uzay-zama kesirli difüzyo sürecidir; öyle ki Caputo zama türevi ve kesirli Laplace operatörleri ile taımlamıştır. Bu tipteki fiziksel sistemleri optimal kotrol problemi de tezi ikici temel problemidir. Bir Kesirli Optimal Kotrol Problemi de ya sistem diamikleri ya da performas ideks e az bir kesirli türev içermektedir. Bu problemi amacı sistemi durum ve kotrol foksiyoları ile belirlee performas ideksi miimize (ya da maksimize) ede optimal kotrolü belirlemektir. Tez problemide sistem diamikleri uzay-zama kesirli difüzyo deklemi ile ifade edilmiştir. Çözüm aşamasıda uzay-zama kesirli difüzyo deklemi, kesirli Laplace operatörüü spektral gösterimi taımı ile özfoksiyo geişlemesi yötemi kullaılarak zama kesirli türevli diferasiyel dekleme idirgemiştir. Optimallik koşullarıı belirlemeside Lagrage çarpaı tekiği kullaılarak sağ ve sol kesirli türevli deklem sistemi elde edilmiştir. Bu deklem sistemii ümerik çözümleri içi Grüwald- Letikov yaklaşımı kullaılmıştır. Ayrıca Volterra itegral deklemleri üzerie kurula iterasyoel bir yaklaşım ile karşılaştırılarak avatajları vurgulamıştır. ANAHTAR KELİMELER: uzay-zama kesirli difüzyo deklemi, optimal kotrol problemi, kesirli Laplace operatörü, Riesz, Caputo, Grüwald-Letikov, özfoksiyo geişlemesi yötemi. i

5 ABSTRACT OPTIMAL CONTROL OF SPACE-TIME FRACTIONAL DIFFUSION SYSTEMS PH.D THESIS DERYA AVCI BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS (SUPERVISOR: ASSOC. PROF. DR. NECATİ ÖZDEMİR ) BALIKESİR, JANUARY 3 May physical evets i the ature do t show ideal, i.e. ormal, behavior. Mathematical disciplie is used as a tool to make these evets compheresible. Fractioal Calculus kow as the geeralizatio of classical aalysis to arbitrary order derivatives ad itegrals is a disciplie which is used for mathematical modellig of aomalous diffusio process studied i this thesis. Aomalous diffusio also called as the geeralized diffusio is defied by space ad time fractioal differetial equatios. The first oe of the two mai problems that costitutes the structure of this thesis is a space-time fractioal diffusio process defied i cartesia, polar, spherical coordiate systems such that this process is described with the Caputo fractioal derivative ad fractioal Laplacia operators. Optimal cotrol problem of these type of problems is the secod bacis problem of our thesis. I a Fractioal Optimal Cotrol Problem, either the system dyamics or the performas idex cotai at least oe fractioal derivative. The aim of this problem is determiatio of the optimal cotrol fuctio that miimizes (or maximizes) the performas idex described with the state ad cotrol fuctios of the system. I this thesis problem, system dyamics are stated with the space-time fractioal diffusio equatio. At the solutio process, the space-time fractioal diffusio equatio is reduced to a time fractioal differetial equatio by usig the eigefuctio expasio method with the defiitio of spectral represetatio of the fractioal Laplacia operator. I the determiatio of the optimality coditios, differetial equatio system with the right ad left side fractioal derivatives is obtaied by usig the Lagrage multiplier techique. For the umerical solutios of this equatio system, Grüwald-Letikov approximatio is used. I additio, the advatages of this method is expressed by the compario with a iteratioal method based o the Volterra itegral equatios. KEYWORDS: space-time fractioal diffusio equatio, optimal cotrol problem, fractioal Laplace operator, Riesz, Caputo, Grüwald-Letikov, eigefuctio expasio method. ii

6 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii İÇİNDEKİLER... iii ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ... vii SEMBOL LİSTESİ... viii ÖNSÖZ... x. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR LİTERATÜR ÇALIŞMALARI Aormal Difüzyo Problemleri Kesirli Optimal Kotrol Problemleri BİR UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMİNİN BİR BOYUTLU UZAYDA VE KARTEZYEN KOORDİNATLARDA OPTİMAL KONTROL PROBLEMİ Aalitik Çözüm Nümerik Çözüm BİR UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMİNİN KUTUPSAL KOORDİNATLARDA OPTİMAL KONTROL PROBLEMİ Aalitik Çözüm Nümerik Çözüm BİR UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMİNİN KÜRESEL KOORDİNATLARDA OPTİMAL KONTROL PROBLEMİ Yarı Radyal Simetrik Durum Aalitik Çözüm Nümerik Çözüm Tam Radyal Simetrik Durum Aalitik Çözüm Nümerik Çözüm GRÜNWALD-LETNİKOV NÜMERİK YAKLAŞIMININ İTERASYONEL BİR NÜMERİK YÖNTEMLE KARŞILAŞTIRMASI SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR... 8 iii

7 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 4.: Sistemi x () t durum bileşe foksiyouu aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: =, =.5 ve N = Şekil 4.: Sistemi u () t kotrol bileşe foksiyouu aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: =, =.5 ve N = Şekil 4.3: GL ümerik yaklaşımıdaki adım uzuluğuu sistemi x () t durum bileşe foksiyouu cevabıa etkisi: =.9, = Şekil 4.4: GL ümerik yaklaşımıdaki adım uzuluğuu sistemi u () t kotrol bileşe foksiyouu cevabıa etkisi: =.9, = Şekil 4.5: x ( t ) durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü düşük değerlerie göre davraışı: =.5, N = Şekil 4.6: u ( t ) kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü düşük değerlerie göre davraışı: =.5, N = Şekil 4.7: x ( t ) durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek Şekil 4.8: u ( ) değerlerie göre davraışı: =.5, N = t kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =.5, N = Şekil 4.9: x ( t ) durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =, N = Şekil 4.: u () t kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =, N = Şekil 4.: Sistemi (, ) x yt durum foksiyoua ( ) iv i x t durum bileşe foksiyolarıı katkısı: =.9, = Şekil 4.: Sistemi (, ) Şekil 4.3: (, ) u y t kotrol foksiyoua ( ) u t kotrol bileşe foksiyolarıı katkısı: =.9, = x yt durum foksiyouu yüzeyi: =.5, =.5, N = Şekil 4.4: u( y, t ) optimal kotrol foksiyouu yüzeyi: Şekil 5.: x ( ) Şekil 5.: ( ) Şekil 5.3: ( ) =.99, =.9, N = t durum bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: N = u t kotrol bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: N = x t durum bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: N = i

8 Şekil 5.4: u ( ) t kotrol bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: N = Şekil 5.5: GL yaklaşımıdaki N adım sayısıı değişimie göre x () t durum bileşe foksiyouu davraışı: =.75, = Şekil 5.6: GL yaklaşımıdaki N adım sayısıı değişimie göre u () t kotrol bileşe foksiyouu davraışı: =.75, = Şekil 5.7: Sistemi (, ) x rt durum foksiyoua ( ) x t durum bileşe foksiyolarıı katkısı: =.75, = Şekil 5.8: Sistemi (, ) u r t kotrol foksiyoua ( ) i i u t kotrol bileşe foksiyolarıı katkısı: =.75, = x rt durumuu yüzeyi: =.75, =.75, N = Şekil 5.9: Sistemi (, ) Şekil 5.: Sistemi u( r, t ) kotrolüü yüzeyi: =.75, =.75, N = Şekil 6.: x ( t ) durum bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak çözümlerii karşılaştırması: =.75, N = Şekil 6.: u ( t ) kotrol bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak çözümlerii karşılaştırması: =.75, N = Şekil 6.3: x ( t ) durum bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak çözümlerii karşılaştırması: =.9, N = Şekil 6.4: u ( t ) kotrol bileşe foksiyouu parametresii değişimie bağlı olarak çözümlerii karşılaştırması: =.9, N = Şekil 6.5: GL yaklaşımıdaki N adım sayısıı değişimie göre x ( ) t durum bileşe foksiyouu davraışı: =.9, = Şekil 6.6: GL yaklaşımıdaki N adım sayısıı değişimie göre u ( ) t kotrol bileşe foksiyouu davraışı: =.9, = Şekil 6.7: Sistemi x( rt, ) durumuu yüzeyi: π =.9, =.75, N =, θ=, = m= u r t kotrolüü yüzeyi: Şekil 6.8: Sistemi (, ) π =.9, =.75, N =, θ=, = m= x θ, t durumuu yüzeyi: Şekil 6.9: Sistemi ( ) =.9, =.75, N =, r=.5, = m= Şekil 6.: Sistemi u(, t) θ kotrolüü yüzeyi: =.9, =.75, N =, r=.5, = m= Şekil 7.: Farklı Çözüm Yötemlerii sistemi x ( ) t durum bileşe foksiyou üzerideki etkisi: =, =.75 ve N =.... v

9 Şekil 7.: Farklı Çözüm Yötemlerii sistemi u ( ) Şekil 7.3: x ( ) Şekil 7.4: u ( ) t kotrol bileşe foksiyou üzerideki etkisi: =, =.75 ve N =.... t durum bileşe fosiyou içi alt zama aralık uzuluklarıdaki değişimi çözüm yötemleri üzerideki etkisi: =.5, = t kotrol bileşe fosiyou içi alt zama aralık uzuluklarıdaki değişimi çözüm yötemleri üzerideki etkisi: =.5, = Şekil 7.5: parametre değişimii çözüm yötemlerie göre x ( ) t üzerideki etkisi: =, N = Şekil 7.6: parametre değişimii çözüm yötemlerie göre u ( ) t üzerideki etkisi: =, N = Şekil 7.7: parametre değişimii çözüm yötemlerie göre x ( ) t üzerideki etkisi: =.5, N = Şekil 7.8: parametre değişimii çözüm yötemlerie göre u ( ) t üzerideki etkisi: =.5, N = vi

10 TABLO LİSTESİ Sayfa Tablo 7.: GL ve İterasyoel yaklaşımlarıı karşılaştırması... 5 vii

11 SEMBOL LİSTESİ Simge Taımı + N L ( ab, ) Γ() i E E a t a t ( z), I t I b D t D b C a D t C t L D b ( z) : Pozitif doğal sayılar kümesi :( ab, ) üzeride itegralleebile foksiyolar uzayı : Gamma foksiyou : Bir parametreli Mittag-Leffler foksiyou : İki parametreli Mittag-Leffler foksiyou : Sol Riema-Liouville kesirli itegral operatörü : Sağ Riema-Liouville kesirli itegral operatörü : Sol Riema-Liouville kesirli türev operatörü : Sağ Riema-Liouville kesirli türev operatörü : Sol Caputo kesirli türev operatörü : Sağ Caputo kesirli türev operatörü : Laplace operatörü x D θ : Riesz-Feller kesirli türev operatörü d dx : Riesz kesirli türev operatörü (Zaslavsky) x I + x I x D x D + x D : Sol Weyl kesirli itegral operatörü : Sağ Weyl kesirli itegral operatörü : Sağ Weyl kesirli türev operatörü : Sol Weyl kesirli türev operatörü : Riesz kesirli türev operatörü (Riesz) ( ) Δ : Kesirli Laplace operatörü viii

12 Simge F Taımı : Fourier döüşümü F (, θ ) : Ters Fourier döüşümü c± : Riesz-Feller kesirli türev katsayıları κ J ( i ) λ ( ) w j : Aormal difüzyo katsayısı : Performas ideks otasyou : Lagrage çarpaı : Grüwald-Letikov kesirli türev katsayıları () J p i : p. derecede birici tip Bessel foksiyou () j i : Küresel Bessel foksiyou P :. derecede Legedre poliomları ix

13 ÖNSÖZ Galileo der ki : Doğaı muazzam kitabıı dili matematiktir. İşte isaoğlu, içide yaşadığı gerçekliği alamaya duyduğu heyecala bu dili öğremek ister. Matematikçiler ise bu dili öğremek içi sürekli bir sorgulama içidedirler ve böylece her defasıda sayıları artarak devam ede yei teoriler üretirler öyle ki her yei teori bir gerçek yaşam problemii aydılatır. Matematikçiler içi lisasüstü eğitim, matematik dilii detaylarıyla öğreildiği ve yazıla her makale, kitap ve tez ile isalığa aktarıldığı çıraklık sürecidir. Şüphesiz ki bu süreci e çok heyeca, emek ve zama isteye kısmı Doktora eğitimi olmakla birlikte e kıymetli parçası bir harf öğrettikleri içi kırk yıl kölesi oluacak ustalarımızdır. Kıymetlidirler; çükü uzu bir süreçte, sabırla, zahmetle ve e öemlisi de istekle akıllarımıza matematiksel düşümeyi ayı bir akış gibi işlerler ve souda bütü bu gayretleri gececik beyilerimizde ve doktora tezlerimizde vücut bulur. Bu alamda e içte teşekkürlerimi bir borç bildiğim çok değerli hocam ve daışmaım Doç. Dr. Necati ÖZDEMİR e kediside öğrediğim çok yölü bilimsel düşüme becerisi, diamik ve yüksek motivasyolu bir çalışma alayışı, disipliler arası ilişkiler kurabilme iteliği, çalışma alaım ola kesirli aalizle taışmamdaki desteği ve gayreti içi miettarım. Doktora sürecimde kedisii bir adım arkada örek alarak yola devam ettiğim, ihtiyaç duyduğum her ada içtelikle yaımda olduğuu bildiğim ve özellikle tezimi Matlab uygulamaları ile ilgili zamaıı ve yardımıı bede esirgemeye kıymetli arkadaşım Yrd. Doç. Dr. Beyza Billur İSKENDER e sosuz teşekkür ederim. Ayrıca değerli vakitlerii ayırarak tezimi her aşamasıda bilgi ve tecrübeleriyle çalışmalarıma ışık tuta tez izleme komitemdeki hocalarıma ve yie zama zama yardımlarıı aldığım bölüm hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim. Doktora eğitimim süresice -Doğruda Yurt İçi Doktora Burs Programı a kayıtlı bursiyeri olduğum ve böylece maddi kaygı gütmeksizi baa eğitimime devam etme fırsatıı sua TÜBİTAK-BİDEB e saygılarımla teşekkür ederim. Yaşamımı her alaıda olduğu gibi doktora gibi özveri ve motivasyo isteye bu süreçte de karşılıksız alayış, sevgi ve ilgileriyle yaımda ola ve kedileri de birer eğitimci oldukları içi her alamda baa örek teşkil ede Aemi, Babamı ve Kardeşimi varlıklarıa şükrederim. Aem her daim isaı hayatıda seçimiyle isaı mutlu ya da mutsuz olma yoluu belirlediği iki şeyi söyler: isaı işi ve eşi. Matematikçi olmakla duyduğum mutluluğumu ve heyecaımı hayatımı paylaşmakla artarak sürdürdüğüm ve dahası ayı işi yapıyor olmaı güzelliklerii paylaştığım, ilgisiyle, desteğiyle ve baa duyduğu iaçla çalışmalarıma ivme kazadıra sevgili eşim İsmail AVCI ya e samimi duygularımla teşekkür ederim. So olarak bedeimde ca bulduğuu bildiğim güde beri baa mutluluk vere, tezimi hazırlama sürecimi her aıa gizlice şahit ola ve düyaya gelişii heyecala beklediğimiz oğlumuza ilk hediyem olarak tezimi armağa ediyorum. x

14 . GİRİŞ Kesirli aaliz, klasik aalizi temel kavramları ola tamsayı mertebeli türevleri ve katlı itegralleri reel ya da kompleks mertebeye geişlemesi olarak ortaya çıkmış bir teoridir. Klasik aalizi kavramlarıı doğadaki pek çok süreci gerçeğie e uygu halde matematiksel olarak modellemeside tam olarak yeterli olamadığı gerçeğii fark edilmesi Leibiz (646-76) ve Newto u (643-77) diferasiyel hesaplama tekiğii buldukları tarihe dayaır. D türev ve Klasik aalizi atalarıda biri ola Gottfried Wilhelm Leibiz (646-76), I = D itegral otasyolarıı termiolojiye katarak kedisii bile farkıda olmadığı yei bir teoriyi ortaya çıkaracak bir sorgulamaya ede olmuştur. Bu sorgulama L Hospital i (66-74) Leibiz e 3 Eylül 695 te yazdığı mektubudaki bir soru ile başlar. Sorusu şöyledir: Bir foksiyou herhagi. tamsayı mertebede türevii taımladığıı biliyoruz. Peki, ayı şekilde 'ci mertebede türevii taımlayabilir miyiz? Şayet taımlayabilirsek bu e alama gelir?. İşte, o tarihte adı koulmamış ola bu açık paradoks klasik aalizi dışıda başka bir matematiksel aalizi ortaya komasıa ışık tutacaktır. Bu tarihte itibare P. S. Laplace (8), J. B. J. Fourier (8), N. H. Abel (83-86), J. Liouville (83-873), B. Riema (847), A. K. Grüwald (867-87), A.V.Letikov (868-87), H. Lauret (884), J. Hadamard (89), O. Heaviside (89-9), G. H. Hardy, J. E. Littlewood (97-98), H. Weyl (97), P. Levy (93), A. Marchaud (97), A. Zygmud ( ), E. R. Love ( ), A. Erdelyi ( ), H. Kober (94), D. V. Widder (94) ve M. Riesz (949) gibi pek çok ülü matematikçii Kesirli Aaliz adı verile bu yei teorii gelişmesie öemli katkıları olmuştur. Kesirli aalizi tarihsel sürecie bakıldığıda 6. ve 9. yüzyıllar arasıda daha ziyade teorik matematiksel bir disipli olarak gelişimii sürdürdüğü

15 gözlemektedir. Özellikle. yüzyılı ikici yarısıda itibare doğadaki fiziksel sistemleri ve gerçek materyalleri modellemeside yaygı olarak kullaıla kesirli türev ve itegrallerle ifade edile deklemleri uygulama alaları güümüze kadar hızla artmıştır. Biyoloji ve biyomühedislik, fizik, elektromayetik teori, termodiamik, mekaik, siyal ve sistem teorisi, kaos teorisi ve fraktallar, jeoloji, akışkalar mekaiği ve kompleks sistemler içerisideki madde iletimi teorisi, olasılık ve istatistik teorileri, elektrik-elektroik ve kotrol teori kesirli aalizi e yaygı olarak kullaıldığı başlıca uygulama alalarıdır [-9]. O halde ilk akla gele Kesirli aalizi bu kadar popüler uygulama alaları olmasıı edei edir? sorusu olmaktadır. Bu soruu e yalı cevabı şu şekildedir: Doğada var ola fiziksel ve diamik sistemleri kalıtımsal ve hafızalı olma özellikleri vardır. Sistemleri geçmişleride kayaklaa bu özellikleri bilimesi ile şu aki ve gelecekteki işleyişleri hakkıda kolayca ögörüde buluulabilir. Bu özellikleri taımlamada ise klasik aalizi temel kavramları yeterli olmamakla birlikte kesirli türevler ve itegraller bu öemli boşluğu kolayca doldurmaktadır. Üstelik kesirli türev operatör taımlarıı birde fazla olması, birbirleri arasıdaki ilişkiler ve farklılıklar sistemi taımıa e uygu olaıı seçme fırsatıı suar. Bu tezde ele alıa problemi çatısıı, karmaşık sistemlerdeki aormal madde difüzyou ve diamikleri kesirli diferasiyel deklemlerle ifade edile sistemleri optimal kotrolü olmak üzere iki temel uygulama problemi meydaa getirmektedir. İleriki bölümlerde ayrıtıları verilecek ola bu iki olguyu kısaca şöyle açıklayalım. Klasik teoride difüzyo, herhagi madde moleküllerii bireysel ve rastgele hareketlerle değişim farkıa bağlı olarak yai yüksek kosatrasyolu bir ortamda düşük kosatrasyolu bir ortama doğru hareket etmesidir. E basit şekliyle düşüüldüğüde bir maddei herhagi bir ortamda, öreği suda çözüebilmesi içi molekülleri bu ortamda difüzlemesi gerekir. Bezer şekilde, uçucu özellikteki molekülleri hava içide bir tarafta diğer tarafa hareket etmesi molekülleri bu ortamdaki difüzyouda kayaklaır. Herhagi bir katı ilaç kapsülüdeki etki

16 madde moleküllerii emilim bölgesie ulaşabilmesi içi difüzlemesi gerekir. Bu aşamada çok yoğu olarak buludukları etkileşim ortamıda, daha az buludukları veya hiç bulumadıkları ortama difüzleerek salıırlar. Yie molekülleri biyolojik zarlarda geçebilmesi içi zar içide difüzlemesi gerekir. Bezer durum yarı katı ilaç türleri (merhemler, kremler veya jeller), koloit sistemler (emülsiyolar, süspasiyolar, v.b.) içi de geçerlidir. Klasik difüzyo olgusu literatürde ormal ya da Fickia difüzyo olarak da adladırılır. Normal demesii olasılıksal olarak bir açıklaması mevcuttur. Normal difüzyoda parçacıklar ormal (Gaussia) dağılım eğrisi biçimide bir davraış gösterirler. Dahası difüzyo deklemii çözümü olarak elde edile foksiyo bir Gauss foksiyoudur. Geel halde bir Gauss foksiyou, abc>,, reel sabitler olmak üzere ( ) f x = ae ( x b) c biçimide taımlaır. Olasılık teoriside, ormal (Gaussia) dağılım bir sürekli olasılık dağılımıdır. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou ça eğrisi ya da yukarıda da belirtildiği gibi Gauss foksiyou şeklide f ( x) = e πσ ( x μ ) σ taımlaır. Yukarıda herhagi bir Gauss foksiyou içi keyfi sabitler ile verile taım burada alamlı parametreler halie gelmiştir. Sırası ile μ parametresi dağılımı ortalamasıı (tepe oktasıı) ve σ varyası (dağılımı geişliğii) ifade eder. μ = ve σ = olması durumu stadart ormal dağılım olarak adladırılır. Normal dağılımı öemli bir özelliği ortalama karesel yer değiştirmei zamaı lieer bir foksiyou biçimide olmasıdır. Burada ortalama karesel yer değiştirme olarak ifade edile kavram, belli bir zama aralığıda meydaa gele bir madde iletim işlemide bir molekülü gidebileceği ortalama uzaklığı ölçüsüdür. () () () r t, r t,..., r N t sırası ile N tae x, x,..., x N rastgele değişkede oluşa bir 3

17 ormal dağılımda rastgele değişkeleri yer değiştirme miktarları olsu. Yai x i rastgele değişkeii aıda belli bir t aıa kadar yaptığı vektör yer değiştirme () () ( ) Δ r t = r t r biçimide ifade edilsi. Bu durumda olasılık teoriside, ormal i i i dağılım içi N Δ r t = r t r t ( ) () () ( ) i i i N i = ilişkisi geçerlidir. Burada akla gele, Bütü olasılık dağılımları içi karesel yer değiştirme, zamaı lieer bir foksiyou olarak mı taımlaır? sorusu, olasılık teorisideki mevcut dağılımlara farklı bir sorgulama getirmiştir. Doğada var ola bazı süreçlerde geele uymaya, diğer bir deyişle ormal olmaya dağılımlar gözlemiştir. Öreği, yarı iletke malzemeler içideki elektro hareketleride karesel yer değiştirmei zamaı lieer bir foksiyou şeklide olmadığı deeysel olarak fark edilmiştir. Bu farklılık matematiksel olarak i (), Δr t t şeklide ifade edilir. Bu ilişkiyi doğrulaya fiziksel sistemlerde < durumuda parçacıkları yavaş difüzlediği gözlemiştir ki bu durum alt-difüzyo olarak adladırılır. Doğadaki başlıca örekleri: yer altı sularıdaki atıkları dağılımı, ekolojik kazalar sebebiyle meydaa gele kirlilikleri yayılımı, protei moleküllerii hücre zarı boyuca iletimi biçimidedir. Bezer biçimde > olması durumuda parçacıkları difüzlemesi hızlamıştır ve bu durum süper-difüzyo adıı almıştır. Albatros adı verile deiz kuşlarıı uçuşları sırasıdaki yayılımları, örümcek maymularıı kümeler halideki hareketleri, deizlerdeki kirliliği yayılımı ve hızlı rotasyolu dairesel takları içideki parçacıkları dağılımı başlıca süper-difüzyo örekleridir. O halde ortaya çıka bir diğer öemli soru, Bu şekildeki dağılımları olasılık foksiyoları yie bir Gauss foksiyou biçimide mi taımlaır? olmuştur. Bu soruu cevabı Gauss olmaya foksiyoları varlığıı ve dolayısıyla bu foksiyoları çözüm kabul ede difüzyo deklemlerii taımlaabileceğii ortaya 4

18 çıkarmıştır. O halde açıkça söyleebilir ki burada taımlaacak ola difüzyo deklemi artık ormal bir difüzyo deklemi olmayacaktır. Yei taımlamaya ihtiyaç duyula süreç artık ormal bir süreç değil aormal bir difüzyo davraışıdır. O halde bu süreç farklı bir diferasiyel deklem ile ifade edilmelidir. İşte, aormal difüzyo davraışı zama ( t ) ve/veya uzay ( x ) kesirli türevli diferasiyel deklemler ile ifade edile bir süreçtir. Kesirli difüzyo (aormal difüzyo) deklemleri şekilsiz yarı iletkeler, likit kristaller, camlar, polimerler, proteiler ve biyosistemler gibi içide dispersiv (dağıtıcı) iletim gözlee pek çok sistemi aormal davraışlarıı açıklamasıda kullaılır. Normal (ya da Gaussia) difüzyou tersie kesirli difüzyo Levy kararlı Gauss olmaya süreçlerle ilgilidir. Normal difüzyo davraışı ve kesirli difüzyoa geçiş aşağıdaki biçimde açıklaabilir. u( x, t ) belli bir x oktasıda ve t aıda bir dağılımı üretecii ya da üzeride çalışıla herhagi parçacıkları kosatrasyouu ifade etsi. Klasik difüzyo deklemi u x t t x (, ) = u( x, t) biçimide taımlaır. Burada zama ( t ) ve uzay ( x ) değişkelerie bağlı olarak taımlaa birici ve ikici mertebede türevleri söz kousu problemi yapısıa uygu kesirli türevlerle yer değiştirmesi soucuda meydaa gele yei diferasiyel deklem artık aormal bir difüzyo problemii ifade eder. Acak akla gele ilk soru bu değişikliğe hagi durumlarda ihtiyaç duyulduğudur. Bu kısaca iki madde ile aşağıdaki şekilde açıklaabilir []: i. Difüzyo davraışıdaki çok geiş parçacık sıçramaları x 'e ii. mertebede türevi kesirli bir türevle yer değiştirmesi ile ifade edilir. göre ikici Yie difüzyodaki sıçramalar arasıdaki çok uzu bekleme süreleri t ye göre birici mertebede türev yerie uygu bir kesirli türev kullaarak belirtilir. Souç olarak her iki davraışı da içie ala e geel aormal difüzyo modeli zama ve uzay kesirli türevli deklemler ile ifade edilir. Bu tezde de optimal kotrolü 5

19 amaçlaa sistem yapısı bu tipteki deklemler ile taımlamıştır. O halde aa problem ola kesirli optimal kotrol problemi ile kastedile edir? Klasik kotrol teoride bir sistem durum ve kotrol değişkeleri ile belirlidir. Sistemi davraışlarıı ifade ede deklemler sistemi diamik kısıtları olarak adladırılır ve diamik kısıtlar durum ve kotrol değişkelerie bağlı olarak taımlaır. Klasik teoride bir optimal kotrol problemii amacı, durum ve kotrol değişkeleri ile taımlaa diamik kısıtlara bağlı ola bir foksiyoeli (performas ideksi) miimize (ya da maksimize) ede optimal kotrol foksiyouu bulmaktır []. Eğer bir optimal kotrol problemide performas ideks ya da sistemi diamik kısıtlarıda e az biri kesirli türevli terim (ya da terimler) içeriyorsa bu probleme Kesirli Optimal Kotrol Problemi deir. Bu tezdeki temel amaç da farklı koordiat sistemleride taımlamış aormal difüzyo sürecii kesirli optimal kotrolü problemii aalitik ve ümerik çözümlerii araştırılmasıdır. Kesirli optimal kotrol problemii literatüre ilk girişi Agrawal [] ile olmuştur. Problem taımlamalarıda kullaıla kesirli aalizi temel taımları ve bazı öemli ilişkileri. Bölümde verilmiştir. 3. Bölümde ise hem aormal difüzyo hem de kesirli optimal kotrol problemleri ile ilgili literatürde yer ala çalışmalar değerledirilmiştir. Tez problemlerii ilki ola kartezye koordiatlarda kesirli optimal kotrol problemi 4. Bölümde ele alımıştır. Çözümü ilk adımıda, sistem diamiklerii taımlaya aormal difüzyo deklemii öz foksiyolar ile ifade edile seri çözümlerii spektral bir yötem kullaılarak elde edilmesi amaçlamıştır. Burada spektral yaklaşımı uygulamasıda elde edile öz foksiyoları ortogoal birer aile olmaları oldukça öemlidir. Bu yötemi uygulaması ile sağlaa e öemli avataj esase zama ( t ) ve durum ( x ) kesirli türevlerii her ikisii de içere diamik sistemi sadece zama kesirli türevli hale döüşmesie olaak sağlamasıdır. Bu oldukça öemli bir avatajdır. Çükü her iki türevi de içere deklemleri aalitik ve hatta ümerik çözümlerie ulaşmak oldukça karmaşıktır ve bu edele literatürde yer ala çalışmaları çoğuda sadece ümerik çözümleri bulumasıı amaçladığı görülmektedir. 6

20 İkici adımda, gerekli optimallik koşulları, Lagrage çarpaı tekiği kullaılarak elde edilmiştir. Böylece durum ve kotrol bileşe foksiyolarıa bağlı, sağ ve sol kesirli türevli deklem sistemie ulaşılmış ve bu sistemi aalitik ve ümerik olarak çözümü gerçekleştirilmiştir. Temeli ileri ve geri fark yaklaşımlarıa dayaa Grüwald-Letikov kesirli yaklaşımı ile elde edile ümerik çözümler ve klasik yötemle ulaşıla aalitik çözümler MATLAB R7b programı kullaılarak yazıla algoritmalar ile elde edile şekillerle karşılaştırılmıştır. Buu yaı sıra problem parametrelerii değişimlerii sistemi durumu ve kotrolü üzeride etkisi de yie şekillerle gösterilmiş ve yorumlamıştır. Aa hatları ayrıtılarıyla açıklaa bu problem 5. Bölümde kutupsal koordiatlarda ve 6. Bölümde de küresel koordiatlarda icelemiştir. Her bir farklı koordiat sistemide karşılaşıla ortogoal aile yapılarıı sistemi durum ve kotrol yapısıı değiştirdiğii de vurgulamak gerekir. 7. Bölümde ise direkt bir ümerik yaklaşım olduğu bilie Grüwald-Letikov yötemi Volterra itegral deklemlerii çözümüde kullaıla iterasyoel bir ümerik yaklaşımla tezi 4. Bölümüdeki problem örek test problemi seçilerek karşılaştırılmıştır. Böylece yötemi avatajları ve kullaışlılığı vurgulamıştır. So olarak, 8. Bölümde tezi geel bir değerledirmesi yapılarak elde edile souçlar ifade edilmiştir. 7

21 . TEMEL KAVRAMLAR. Taım (Gamma Foksiyou): Karmaşık düzlemi sağ yarısıda yakısak ola ve Γ ( ) otasyou ile gösterile Gamma foksiyou t z ( ) Γ z = e t dt (.) olarak taımlaır. Gamma foksiyou faktöriyel foksiyouu bir geelleştirmesidir ve bazı öemli özellikleri aşağıdaki gibidir: Γ =, Γ =, Γ 3 =,..., Γ + = Γ =!, i. () ( ) ( ) ( ) ( ) ii. Γ ( z+ ) = zγ ( z), Γ 3, = Γ = π iii. ( ) ( ) iv. Γ ( ) =, Γ( ) =, π. siπ z v. Γ( z) Γ( z) = ( < z < ). Taım (Mittag-Leffler Foksiyou):, > olmak üzere bir ve iki parametreli Mittag-Leffler foksiyoları E E, ( z) ( z) = z k, ( Mittag & Leffler, 95) (.) k = Γ ( k + ) k z = (.3) Γ + k = ( ) ( Agarwal & Erdelyi, 953 ) k biçimide taımlaır. Bu foksiyolar, üstel foksiyou geelleştirmesi olarak ortaya atılmıştır ve başlıca özellikleri aşağıda verilmiştir: k z E, z = = E z Γ + i. ( ) k = ( k ) ( ), 8

22 ii. iii. k k z z z E,( z) = = = e, Γ + k! E, ( k ) k= k= k k z z z e ( z) = = =, Γ k+ k+! z ( ) k ( ) k= = k k z z E z = = = cosh ( z), Γ +! iv., ( ) ( k ) k ( k) k= = t k z E, z = = e erfc z, erfc z = e dt. k = k Γ + π z z v. ( ) ( ) ( ).3 Taım (Riema-Liouville Kesirli İtegralleri): > ve f L ( a b) olmak üzere sol ve sağ. mertebede kesirli itegralleri sırası ile aşağıdaki biçimde taımlaır:, kovolüsyo operatörü ve a t It f () t = ( t τ ) f ( τ) dτ, Γ (.4) ( ) ( ) t a b Ib f () t = ( τ t) f ( τ) dτ. Γ (.5) Φ () t = Γ( ) t t, t, t > olmak üzere (.4) de taımı verile itegral, Laplace kovolüsyou olarak da ifade edilebilir: a It f () t =Φ () t f () t = ( t τ ) f ( τ) dτ. Γ (.6) Bezer durum (.5) itegrali içi de geçerlidir. ( ).4 Taım (Riema-Liouville Kesirli Türevleri): f ( t) L ( a b) + içi ( ) t a foksiyou, < < olmak üzere f i. mertebede sol ve sağ Riema- Liouville kesirli türevleri sırası ile 9

23 d D f () t = D I f () t = ( t τ ) f ( τ) dτ Γ dt (.7) a t a t ( ) d D f () t = ( D) I f () t = ( τ t) f ( τ) dτ Γ dt (.8) t b t b olarak taımlaır. ( ) +.5 Taım (Caputo Kesirli Türevleri): ( ) t a b t < < ve f,. mertebede sürekli türevleebilir bir foksiyo olmak üzere f i. mertebede sol ve sağ kesirli türevleri sırasıyla d D f () t = I D f () t = ( t τ ) f ( τ) dτ Γ (.9) dτ C a t a t ( ) d D f () t = I ( D) f () t = ( τ t) f ( τ) dτ Γ (.) dτ C t b t b biçimide taımlaır. t a ( ) Taımlardaki farklılıkta da alaşılacağı üzere Riema-Liouville (RL) ve Caputo kesirli türev operatörleri arasıda uygulamalarda belirleyici ola öemli farklar vardır. Buları vurgulamak amacı ile tamsayı mertebeli türevleri bir kısım + özellikleri göz öüe alımalıdır. Öreği ( ) f () t foksiyouu. mertebede Laplace döüşümü b t = olması durumuda bir ( { ) ()} ( ) k L f t = s f s s f ( ) ( ) k = k s f s s f = k = k s f s s f = k = ( k ) ( ) ( k ) ( ) ( k ) ( ) (.) formülü ile ifade edilir. Burada koşullarıdır. f ( k ) ( ) değerleri fiziksel yorumlaabilir başlagıç

24 sırası ile. mertebede RL ve Caputo kesirli türevlerii Laplace döüşümleri ise k k { t ()} ( ) t ( ) L D f t = s f s s D f t k = t= k k = s f ( s) s Dt f ( t) t= k =, (.) { t ()} ( ) ( ) C k k L D f t = s f s f s (.3) biçimidedir. Dikkat edilirse, RL kesirli türevii Laplace döüşümü fiziksel olarak k yorumlaamaya D f ( t) k = t başlagıç koşullarıı içerir. Oysaki Caputo kesirli t= k türevii Laplace döüşümü ( ) f tamsayı mertebeli başlagıç koşullarıı gerektirir. Bu özellik Caputo kesirli türevlerii fiziksel uygulamalar açısıda daha kullaışlı yapar. + Yie, ( ) = olmak üzere klasik aalizi e temel özellikleride biri f () t foksiyouu. mertebede türevi ve itegrali arasıdaki ilişkidir: Bu ilişki eşitliği geçerlidir. D operatörüü D I = I, I D I. (.4) I i sol tersi olduğu alamıa gelir. Dahası k t I D f () t = f () t f t > k! ( k ) ( ), (.5) k = olmak üzere RL kesirli türevi içi D I = I (.6) özelliği geçerlidir. Burada hareketle Caputo kesirli türevi içi öemli bir souç elde edilir:

25 ( ) ( ) C I Dt f t = I I D f t = I I = () I D f t = f () t k = () D f t f ( k ) ( ) k t. k! (.7) Yie Caputo kesirli türev operatörüü tamsayı mertebeli türevlere ola bezerliği (.5) ve (.7) souçlarıda açıkça görülür. O halde (.6) ve (.7) ilişkileri göz öüe alıarak kesirli aalizi öemli bir eşitliğie aşağıdaki biçimde ulaşılır: C () ( ) D f t = D I D f t C t t t () () C = Dt I Dt f t = D f t t k t ( k = () ) Dt f t f ( ) k = Γ ( k + ) k = k t Γ + ( k ) f ( k ) ( ) (.8) veya k t D f t = D f t + f C () () t t ( k ) (. ) (.9) k = Γ( k + ) (.8) eşitliği RL ve Caputo kesirli türev operatörleri arasıda direkt eşitlik olmadığıı göstere e öemli souçtur. Acak, belli şartlar altıda bu operatörler birbirie eşit olur:.6 Teorem: ( ), f t (, ) + foksiyo olsu. m m ( m ) türevleri de [, ] ( k f ) ( a ) = şartı sağlaırsa eşitliği geçerlidir. at solu aralığıda sürekli ve itegralleebilir bir < < olmak üzere ( k ) ( ) ( =,,..., + ) f t k m at üzeride sürekli ve itegralleebilir ise k =,,..., m+ içi D f t C ( ) D f ( t) a t a t = (.)

26 .7 Taım (Grüwald-Letikov Kesirli Türevleri):, + itegralleebile bir foksiyo ve ( ) f [, ] ab üzeride < < olmak üzere. mertebede sol ve sağ Grüwald-Letikov (GL) türevleri sırasıyla aşağıdaki şekilde taımlaır: GL a GL t [ t a h] r Dt f () t = lim h ( ) f ( t rh), h r= r (.) [ b t h] r Db f () t = lim h ( ) f ( t+ rh), h r= r (.).8 Teorem: f foksiyou [ at, ] aralığıda ( ) diferasiyelleebilir ve ( f ) ( t ) türevleri de [, ] halde ( < < ) içi D f ( t) GL a t ( ) D f t a t kez sürekli at üzeride itegralleebilir olsu. O Riema-Liouville kesirli türevi vardır ve Grüwald-Letikov kesirli türevie eşittir. m m olması durumuda a< τ < t içi GL () () a t a t k= ( k ) k ( )( ) Γ( k + ) Γ( m ) m t f a t a m D f t = D f t = + f τ t τ dτ eşitliği sağlaır. a ( m+ ) ( )( ) (.3) Buları yaı sıra Riesz, Riesz-Feller kesirli türevleri ve kesirli Laplace operatörü gibi kesirli aalizi diğer öemli kavramları ve bular arasıdaki ilişkiler aormal difüzyo yapısı açıklaırke verilecektir. 3

27 3. LİTERATÜR ÇALIŞMALARI 3. Aormal Difüzyo Problemleri Aormal difüzyo, karmaşık ve homoje olmaya ortamlar içideki etkileşimler ile bağlatılı ola fiziksel bir olgudur. Bu olgu, gözeekli materyaller içideki madde iletimide, kaotik ısı bayolarıda, şekilsiz yarı iletkelerde, polimer ağları içideki parçacık diamikleride, iki boyutlu rotasyoel madde iletimleride ve bezeri fizik olaylarıda meydaa gelir [3]. Aormal difüzyo olgusu fiziksel ve matematiksel bir bakış açısı ile klasik difüzyo deklemlerii zama ve/veya uzay tamsayı mertebeli türevlerii uygu kesirli türev operatörleriyle yer değiştirmesi soucu taımlaa geelleştirilmiş difüzyo deklemleri ve olasılıksal olarak bu deklemler ile ilgili rastgele yürüyüş modelleri ile belirlidir. Geelleştirilmiş difüzyo deklemlerii ifade ede uzayzama kesirli difüzyo deklemi matematiksel olarak t ( ) ( ) Du * xt, = xdu θ xt,, < x<, t, (3.) biçimide taımlamıştır []. Burada, θ, parametrelerii kısıtları { } <, θ mi,, <, (3.) olmak üzere t D * otasyou. mertebede Caputo (veya Riema-Liouville) zama kesirli türevii ve x D. θ mertebede Riesz-Feller uzay kesirli türevii, θ ise eğrilik parametresii ifade eder. (3.) geel deklemi, ve parametrelerii farklı değer aralıkları içi üç özel durum belirtir: { <, = }, ( uzay-kesirli difüzyou) { =, < }, ( zama-kesirli difüzyou) { < = }, ( ötr-kesirli difüzyou ). (3.3) Burada bahsedile eğrilik parametresi kavramı şöyle açıklaabilir. Stadart difüzyo deklemi içi 4

28 u x t D u x t x t u x g x t x (, ) = (, ), < <, ve (,) = ( ) (3.4) biçimide taımlaa Cauchy problemii temel çözümü (Gree foksiyou) olasılık teorisideki ormal (Gaussia) dağılım eğrisie karşılık gelir. Bilidiği gibi ormal dağılım eğrisi, dağılımı ortalaması etrafıda simetrik olarak koumlaır, yai diğer bir deyişle ça eğrisi şeklidedir. O halde burada dağılımı eğriliği sıfırdır, deir. Fakat bu simetri her dağılım içi söz kousu değildir ve dolayısıyla ortalamaı sağıda ya da soluda bir eğrilik meydaa gelir. İşte buu ifade ede parametre eğrilik parametresi dir. O halde uzay-zama kesirli difüzyo deklemii ortaya çıkışıı olasılık dağılımları ile doğruda ilişkili olduğu da sezilebilir. Feller 95 de e geel halde bütü Levy kararlı olasılık dağılım foksiyolarıı üretmeyi amaçlaya bir problemi göz öüe almıştır [4]. Feller i buradaki temel düşücesi, klasik difüzyo deklemideki ikici mertebede uzay türevii özel bir yalacı diferasiyel operatörü ile değiştirmesie ede olmuştur. Burada, olasılık teorisie ait ola bazı temel kavramlara da kısaca değimek gerekir. Bir dağılımı kararlı olması demek, dağılım içide yer ala solu sayıda rastgele değişkei lieer toplamıı yie dağılım içideki bir rastgele değişkei ifade etmesi demektir. Diğer bir deyişle dağılım, toplamsallığa göre kapalıdır ve bu dağılımı şeklii ötelemeye ve ölçek parametresie göre koruduğu alamıa gelir. Ölçek parametresi dağılımı yoğuluğuu belirler. Bu parametre büyüdükçe dağılımı yayılması artar, yai yoğuluğu azalır. İşte ormal (Gaussia) dağılım, Cauchy dağılımı ve Levy dağılımı kararlı dağılımları üç özel halidir. Bu tipteki dağılımlar μ koum, c ölçek, eğrilik (asimetri) ve yoğuluk olmak üzere dört parametre ile karakterize edilirler. Herhagi bir olasılık dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou ile ifade edilebildiği gibi karakteristik foksiyo ile de belirtilebilir. Matematiksel olarak bir X dağılımıı olasılık yoğuluk foksiyou f X olmak üzere karakteristik foksiyou buu Fourier döüşümü olarak taımlaır: () + ϕ : ; itx X ϕx t = e fxdx. (3.5) 5

29 Kararlı bir olasılık dağılımıı karakteristik foksiyou yukarıdaki dört parametre ile () t = exp it ct ( i sg () t Φ) ϕ μ (3.6) biçimide taımlıdır. Burada, Φ= ta ( π ), μ, [,] olup bu parametreleri durumlarıa göre kararlı dağılımları özel halleri elde edilir. Feller i [4] çalışmasıda olasılık yoğuluk foksiyouu g ( x,; t θ ) parametrizasyou ile gösterdiği Levy kararlı dağılımlarıı karakteristik foksiyoları + iκ x ( ) ( ) isig ( κθπ ) ( ) g κ,; t θ = e g x,; t θ dx= exp t κ e (3.7) biçimide ifade edilmektedir, öyle ki x, κ, t>. Burada kararlılık ideksi ve θ eğrilik parametresi olarak adladırılmıştır. Bu parametreler arasıdaki ilişki ise, < < < ; θ, < <, =, (3.8) şeklide verilir. Buu yaı sıra zama parametresi t, bir ölçek parametresi olarak rol oyar. O halde Feller, Levy kararlı dağılımlarıı göz öüe alarak esasıda geel bir durum içi parametrizasyo vermiştir. Çükü özel halde = ve = ( θ = ) durumları sırası ile ormal (Gaussia) ve Cauchy kararlı dağılımlarıa karşılık gelir. İşte; (3.7) karakteristik foksiyou özel Feller formu literatüre g ( x,; t θ ) olasılık yoğuluk foksiyouu Gree foksiyou olarak çözüm kabul ede u = xdθ u, u = u( x, t; θ, ), x, t (3.9) t Feller uzay-kesirli difüzyo deklemi i girmesie sebep olmuştur. Buradaki x D θ otasyou ileriki kısımlarda taımı ayrıtılı biçimde verile Feller yalacıdiferasiyel operatörü ya da Riesz-Feller kesirli türevi olarak adladırılır. 6

30 Goreflo ve Maiardi [5] uzay-kesirli (Levy-Feller) difüzyo süreçlerii göz öüe alarak Grüwald-Letikov yaklaşımı ile çözüle rastlatısal yürüyüş modelleri ortaya koymuşlardır. Bu çalışmaları, Levy-Feller süreçlerii olasılıksal bir bakış açısıyla değerledirilmesi bakımıda oldukça öemlidir. Çalışmada, ayı zamada yukarıda bahsedile Feller i parametrizasyou ile ilgili temel kavramlara da ayrıtılı şekilde yer verilmiştir. Yie bu çalışmaı paralelide Levy-Feller difüzyo süreçlerii rastlatısal yürüyüş modeli üzerie yapıla diğer çalışmaları literatürde bulmak mümküdür [6-]. A otasyou geel bir yalacı-diferasiyel operatörüü temsil etmek üzere x değişkeie göre + iκ x e A f x dx A f ( ) = ˆ ( κ ) ˆ ( κ ) biçimide Fourier gösterimi ile taımlıdır öyle ki burada ( ) Â κ A operatörüü sembolik olarak temsil eder. Diğer bir deyişle, κ ( κ ) = ( ) ˆ i x + iκ x A Ae e biçimidedir. İşte; Feller yalacı diferasiyel operatörüü Fourier gösterimi de ψ θ ( ) κ sembolü ile ifade edilmek üzere θ olarak taımlaır öyle ki ( ) θ { ( ); } ( ) ˆ x θ κ ψ κ ( κ) F D f x = f (3.) ψ κ κ ( κ ) θπ isig =. e (3.) ile Fourier gösterimi verile operatörü Riesz-Feller kesirli türevi olarak literatüre geçmesii edei θ = ve durumu içi 94 lı yıllarda Marcel Riesz tarafıda ortaya koa ve Riesz potasiyeli olarak bilie kesirli itegrali solda tersie eşit olmasıdır. Diğer bir deyişle Feller i e geel durum içi yaptığı taımlamayı aslıda ilk olarak Riesz simetrik dağılımlar içi ( θ = ) yapmıştır []. 7

31 Orijial olarak Feller i çalışmasıda yer ala yalacı diferasiyel operatörü Maiardi ve diğ. [3] tarafıda sezgisel bir bakış açısı ile sadeleştirerek ifade edilmiştir. Buradaki düşüce, ilk olarak pozitif taımlı A : d dx = κ = κ diferasiyel operatörüü göz öüe alarak başlar. Bu operatörü pozitif kuvvetleri ve Fourier görütüleri ( ) d A : = κ = κ, > dx biçimide ifade edilmiştir. Buradaki A yalacı diferasiyel operatörü Riesz i kesirli türev taımıdır. 3.. taımıda verileceği üzere yei taımlamış bu operatörü temeli Riesz potasiyellerie dayaır. Daha soraki zamalarda bu operatör içi ilk kez Saichev ve Zaslavsky i kulladığı otasyo [4] d A dx olacaktır. Riesz i kesirli türev operatörü Feller i taımıı θ = özel hali olduğuda x D d d = = dx dx olarak da ifade edilir. O halde literatür çalışmalarıa değimede öce ilk olarak Riesz Potasiyeli (itegrali), Riesz türevi ve Riesz-Feller türevi taımlarıa yer verilmelidir. 3.. Taım (Riesz Potasiyeli) : Keyfi bir (,3,5,... ) > ve x olmak üzere Riesz potasiyeli (kesirli itegrali) ve buu Fourier görütüsü + ˆ( φ κ ) ( ) I φ( x) : = x ξ φ ξ dξ Γ ( ) cos( π ) (3.) κ 8

32 biçimidedir. (3.) ile verile taım, Weyl kesirli itegralleri x x I+ φ ( x) : = ( x ξ) φ( ξ) dξ, Γ( ) + I φ ( x) : = ( ξ x) φ( ξ) dξ Γ ( ) x x (3.) olmak üzere I φ( x) = xi+ φ( x) + xi φ( x) cos (3.3) ( π ) şeklide de ifade edilir. Ayrıca Weyl kesirli itegrallerii Fourier gösterimleri biçimidedir. ( κ) isig κ ± ( κ ) π I i = e (3.4) x ± 3.. Taım (Riesz Kesirli Türevi) : ( ) potasiyeli olmak üzere Riesz kesirli türevi olarak taımlaır. x x + x ( π ) < < ve I Riesz D φ( x) : = I φ( x) = D φ( x) + D φ( x) cos (3.5) eder: Burada (, ) x D ± < < otasyou Weyl kesirli türevlerii ifade x d ±, < <, ( ) x I± f x dx ± ( ) = x ± ( ) = d x I± f ( x) < < I f x D f x dx,. (3.6) Yie Weyl kesirli türevlerii Fourier gösterimi de (3.4) dekie bezer olarak ifade edilir: ( κ) 9 ( κπ ). isig (3.7) D i = e x ± κ

33 Riesz kesirli türev operatörüü her iki yölü türevleri içermesi fiziksel olarak difüzyou meydaa geldiği bölgei her bir yöüde birbiri ile etkileşe akım rejimlerii modellemesie olaak sağlamaktadır. Çok değişkeli foksiyoları kesirli itegro-diferasiyellerii ifade ede kesirli Laplace operatörü ( Δ ) ile Riesz operatörleri arasıdaki eşitlik ( ) ( ) ( ) I f, Re > Δ f = F x F f = D f, Re < (3.8) biçimidedir ([],[7]). Buradaki I ve D sırasıyla Riesz kesirli itegral ve türevlerii temsil eder Yardımcı Teorem [5]: Sosuz bir < x bir u( x ) foksiyou içi aşağıdaki eşitlik geçerlidir: < bölgeside taımlaa Δ ( ) u( x) = xd+ u x xd u x u x cos( π ) + = x ( ) ( ) ( ). (3.9) 3..4 Uyarı: Solu bir [, L ] aralığıda taımlaa bir u( x ) foksiyou içi ( ) ( ), x (, L) * u x, x, L u ( x) = (3.) geişlemesi göz öüe alıdığıda, diğer bir deyişle sıırdaki ve sıır ötesideki * oktalarda ( ) u x = koşulu sağladığıda, (3.9) eşitliği yie geçerlidir Taım [6]: Varsayalım ki ( Δ ) Laplace operatörü sıırlı bir D bölgeside öz değerleri λ ola bir tam ϕ ortoormal öz foksiyolar kümesie sahip olsu. Yai, ( Δ ) ϕ = λϕ öyle ki B( ϕ ) Dirichlet, Neuma ve Robi sıır koşullarıda biri olmak üzere bölgei D sıırı üzeride

34 olması koşulu göz öüe alısı. O halde B( ϕ ) = γ Fγ = f = cϕ, c = f, ϕ c λ <, γ =max (,) = = (3.) olmak üzere f içi kesirli Laplace operatörüü öz foksiyolar türüde F γ gösterimi (spektral gösterim) biçimide taımlıdır. = ϕ = ( ) f c ( λ ) Δ (3.) Dikkat edilirse, kesirli Laplace operatörü içi iki farklı taım mevcuttur. Bularda ilki, sosuz bir bölgede Fourier döüşümü kullaılarak yapıla ve ayı zamada solu bir bölgede taımlaa foksiyolara da (3.) ilişkisi ile geişletilebile (3.8) de verile taımdır. Bu taımda kesirli Laplace operatörü ile Riesz kesirli türevi arasıda direkt eşitlik durumu söz kousudur. İkici taım ise, solu bir bölgede öz foksiyo geişlemesi üzerie kurulur. Matematiksel olarak kesirli Laplace ve Riesz operatörleri arasıda ilk taımda olduğu gibi eşitlik olmamasıa rağme ümerik yaklaşımları uygulaabilirliği açısıda öemlidir. Bu yüzde hem bu tezde kullaılmıştır hem de literatürde yaygı olarak kullaılagelmiştir Taım (Riesz-Feller Kesirli Türevi) : ( ) { } θ mi, olmak üzere Riesz-Feller kesirli türevi ( ): = (, ) + (, ) ( ) x + x + x < < ve Dθ f x c θ D c θ D f x (3.3) biçimidedir. Buradaki c ± katsayıları aşağıdaki gibidir: ( ) si ( π ) ( + ) si ( π ) si θ π c ( θ, + ) =, si θ π c ( θ, ) =. (3.4)

35 Özel halde θ = ike c = = cos (, ) c (,) + ( π ) ve ayrıca olmak üzere limit durumu göz öüe alıdığıda c ( ) c ( ), =, = + elde edilir. Bu durumda Riesz-Feller kesirli türevi: x d d d D I I I dx dx dx = x = ( + + ) = + = Fiziksel olarak, uzay kesirli türevleri aormal difüzyo (dispersiyo/yayılma) ve adveksiyo (yatay iletim) olgularıı modellemeside kullaılır. Bu türevler, simetrik durumlar içi Riesz (ya da kesirli Laplace operatörü) ve simetrik olmaya durumlar içi Riesz-Feller kesirli türev operatörleridir. Öreği, bu operatörleri e yaygı uygulamalarıda biri yer altı su tabakasıdaki çözüe maddeleri taşımasıı modelleye kesirli adveksiyo-dispersiyo deklemleridir. Klasik teoride bu deklemler. = υ + D t x x u u u (3.5) biçimide taımlaır. Burada u çözüe madde yoğuluğuu, υ ve D pozitif sabitleri sırasıyla ortalama akışka hızıı ve dispersiyo katsayısıı, x uzay ve t zama değişkelerii ifade eder. Huag ve Liu [7], (3.5) deklemide birici mertebede zama türevii (,] mertebede Caputo kesirli türevi ve ikici mertebede uzay türevii ise (, ] mertebede Riesz-Feller kesirli türevi ile yer değiştirilmesi soucu meydaa gele bir uzay-zama kesirli adveksiyo-dispersiyo deklemii göz öüe almışlardır. Bu deklem t + ( ) = υ x ( ) + θ ( ) ( ) Du * xt, Du xt, DD u xt, x, t, (3.6) başlagıç ve sıır koşulları sırasıyla

36 ( ) ( ) ( ) u x, = g x, x, u ±, t =, t > biçimide taımlamıştır. Burada ele aldıkları Cauchy problemii temel çözümlerii Gree foksiyoları ciside Fourier ve Laplace döüşümlerii kullaarak elde etmişlerdir. Ayrıca buradaki temel çözüm ola Gree foksiyou bir uzaysal olasılık yoğuluk foksiyou olarak da düşüülebilir. Ilic ve diğ. sıırlı bir bölgede taımladıkları bir kesirli uzay difüzyo deklemii homoje [8] ve homoje olmaya [6] sıır koşulları altıda icelemişlerdir. Deklemde kullaıla kesirli türev operatörlerii (Caputo ve Riesz) matris gösterimi üzerie kurdukları yei bir matris trasfer tekiğii kullaarak ümerik çözümleri elde etmişlerdir. Burada yötemi yeiliği kesirli operatörlere uygulaa stadart bir ayrıklaştırmaı bir lieer diferasiyel deklem sistemii çıkışıa ve böylelikle de geri fark formülleri üzerie kurulmuş DASSL adı verile diferasiyel/cebirsel sistem çözücüsü kullaılarak deklemi kolayca çözülebilmesie yol açmasıdır. Yie bu çalışmada deklemi aalitik çözümüü elde edebilmek içi 3..5 Taımıdaki spektral gösterim kullaılmıştır. Liu ve diğ. [9] Levy-Feller adveksiyo-dispersiyo süreci içi bir rastlatısal yürüyüş modeli taımlamışlar ve ümerik çözümler içi kesirli türevleri Grüwald-Letikov ayrıklaştırmasıda yola çıkarak bir solu fark yaklaşımı ortaya koymuşlardır. Burada ele aldıkları deklem ( ) ( ) u x, t u x, t = adθ u ( x, t) b, t x (3.7) başlagıç koşulu u( x,) ϕ ( x) = biçimidedir öyle ki x, t >, a >, b. Zhag ve diğ. [3] Levy-Feller difüzyo deklemi içi taımladıkları (, ) u x t = Du θ ( xt, ), < ( ), x, t> t u( x, ) = f ( x), x, f L ( ). (3.8) Cauchy problemii ümerik çözümleri ve buları olasılıksal yorumları üzerie çalışmışlardır. 3

37 Ciesielski ve Leszcyski [3] Riesz-Feller kesirli türev operatörü ile taımlaa bir aormal difüzyo deklemi içi sıır değer problemii solu farklar metodu temelie dayaa bir ümerik metotla çözmüşlerdir. Örek olarak da bu tipteki deklemler ile taımlaa aotüpler içideki lieer olmaya sıcaklık profillerii ele almışlar ve buu üzeride yötemi uygulamışlardır. Zhag ve Liu [3] uzay ve uzay-zama Riesz kesirli kısmi diferasiyel deklemlerii periyodik çözümlerii Fourier ve Laplace döüşümlerii kullaarak elde etmişlerdir. Özdemir ve diğ. [33], [3] deki problemi iki boyutlu uzayda icelemişler ve periyodik çözümler içi Grüwald-Letikov ümerik yaklaşımıı uygulamışlardır. Özdemir ve Avcı [34] ise hem iki boyutlu uzayda hem de Caputo ve Riesz-Feller alamıda taımladıkları aormal difüzyo deklemii göz öüe alarak simetrik olmaya durumlar içi de aormal difüzyo problemii periyodik çözümlerii icelemişlerdir. Che ve diğ. [35] klasik reaksiyo-dispersiyo deklemide ikici mertebede uzay türevii (, ] mertebeli Riesz kesirli türevi ile yer değiştirmesi soucu elde edile uzay-kesirli reaksiyo-dispersiyo deklemi temel çözümlerii Laplace ve Fourier döüşümlerii kullaarak bulmuşlardır. Ayrıca bir solu fark yaklaşımı uygulamışlar ve bu yaklaşımı kararlılığıı ve yakısaklığıı aaliz etmişlerdir. Göz öüe aldıkları uzay-kesirli reaksiyo-dispersiyo deklemi aşağıdaki gibi taımlıdır: (, ) u x t t ( ) ( ) = u x, t + D u x, t, x, t. (3.9) x + She ve diğ. [36] bir Riesz kesirli adveksiyo-dispersiyo deklemii temel çözümü üzerie çalışmışlardır. Ele aldıkları deklem (, ) u x t + = A u( x, t) + B u( x, t), x, t, (3.3) t x x biçimidedir. Çalışmalarıda temeli solu fark yaklaşımı üzerie kurulmuş ola bir ayrık rastlatısal yürüyüş modeli taımlamışlar ve ayrıca belli başlagıç ve sıır koşullarıı göz öüe alarak açık ve kapalı solu fark yaklaşımları ile problemi ümerik olarak çözmüşlerdir. Dahası uyguladıkları yaklaşımları kararlılık ve 4

38 yakısaklık aalizlerii de yaparak yötemlerii geçerliliğii de test etmişlerdir. Bir soraki adımda yie She ve diğ. [37], (3.3) daki deklemi bir geelleştirmesi ola dağıtılmış dereceli bir zama-uzay kesirli difüzyo deklemii ele almışlar: t + Du * ( xt, ) = B u( xt, ) + B ( ) u xt,, x, t (3.3) x x ve bu deklemi başlagıç-değer problemii temel çözümüü araştırmışlardır. Burada ( < ) Caputo zama kesirli türevii mertebesii, ( ) ( ) < < ve < < Riesz uzay kesirli türevlerii mertebelerii, B ve B pozitif sabitleri ifade etmektedir. Yie öceki çalışmalarıa paralel olarak (3.3) deklemii temel çözümü zamala değişe bir uzaysal olasılık yoğuluk foksiyou olarak yorumlaacağıda problem içi solu fark yaklaşımı temelie dayaa bir ayrık rastlatısal yürüyüş modelii ortaya koymuşlar ve böylelikle de ümerik çözümlere ulaşmışlardır. Yag ve diğ. [38] çalışmalarıda homoje Dirichlet ve Neuma sıır koşulları altıda taımladıkları bir zama ve uzay-simetrik kesirli difüzyo deklemii düşümüşlerdir: ( ) κ ( ) ( ) ( < <, < ). D u x *, t t = Δ u x, t, t T, x L, (3.3) Bu deklemi aalitik çözümüü değişkelerie ayırma yötemii kullaarak elde etmişlerdir. Nümerik çözümlerii ise zama kesirli türevi içi solu fark ve Laplace döüşüm yötemlerii, uzay-simetrik türevi içi matris döüşüm yötemii uygulayarak bulmuşlardır. Burada kullaıla ve uzay-simetrik kesirli türevi olarak adladırıla operatör 3..3 Yardımcı Teoremide ve 3..5 Taımıda ifade edile kesirli Laplace operatörüdür. Dikkat edilirse bu çalışmadaki homoje sıır koşulları varsayımı bu operatörü öz foksiyolar ciside ifadesie imkâ sağlamaktadır. Yie çalışmadaki bazı varsayımlar fiziksel açıda bazı öemli alamlar taşımaktadır. Öreği, κ > varsayımı madde akışıı bölgei soluda sağıa doğru olduğuu ifade eder. Homoje Dirichlet sıır koşullarıı fiziksel alamı, bölgei sıırıı sııra ulaşacak madde yoğuluğuu ihmal edilebilir derecede küçük olacak şekilde belirlemesidir. Yie homoje Neuma sıır koşulları ise taşıa parçacıkları 5

39 bölgei sıırı boyuca serbest olarak yai dış etkelerde izole edilmiş olarak hareket ettiklerii gösterir. (3.3) deklemide < < ve = olması alt difüzyo davraışıı, = ve < < olması ise Levy sürecii belirtmektedir. İşte bu iki aormal difüzyo süreci arasıdaki ilişkiyi temsil ettiğide bu deklemi çözümü oldukça öemlidir. Zama ve uzay-simetrik kesirli difüzyo deklemii Hamilto kaotik sistemleri modellemek amacı ile ilk olarak Zaslavsky ortaya koymuştur [39]. (3.3) deklemi iki boyutlu uzayda ( ) ( ) ( ) ( < γ <, < ), D γ u x *, y, t t = K Δ u x, y, t, t T, x L, (3.33) biçimide taımlaarak Yag ve diğ. [4] tarafıda ele alımıştır. Çalışmada uzay kesirli türevii ayrıklaştırılmasıda hem solu elemalar ve hem de solu farklar yötemlerii uygulaışı ve zama kesirli türevii ayrıklaştırılmasıda ise solu farklar ve Laplace döüşüm yötemlerii uygulaışı gösterilmiştir. Ayrıca matris döüşüm yötemi uygulamış ve matris foksiyouu yaklaşımıda Laczos ve M- Lacsoz yötemleri göz öüe alımıştır. Souda ise ümerik çözümler Mittag- Leffler foksiyoları olarak bulua aalitik çözümler ile karşılaştırılmış ve böylece seçile ümerik yötemleri geçerliliği vurgulamıştır. Yag ve diğ. [5] sıırlı bir bölgede Riesz uzay kesirli türevleri ile taımlaa iki kesirli kısmi diferasiyel deklem tipi içi ümerik çözüm metodlarıı araştırmışlardır. Ele aldıkları bu deklem tipleri sırasıyla kesirli difüzyo deklemi: (, ) u x t t = K u( x, t), < t T, < x< L, <, x (3.34) ve kesirli adveksiyo-dispersiyo deklemi: (, ) u x t = K u( x, t) + K u( x, t), < t T, < x< L, t x x ( <, < <) (3.35) 6

40 dir. Bu çalışmaı literatüre e öemli katkısı 3..3 Yardımcı Teoremii açık ispatı olmuştur. Böylelikle 3..5 Taımıda yararlaarak ilk olarak problemleri aalitik çözümleri ortaya komuştur. Dahası bu taımı uygulaışı L/L yaklaşımları, stadart/ötelemiş Grüwald ve matris trasfer yötemleri gibi üç farklı yötemi kullaılmasıa olaak sağlamış ve ümerik çözümler elde edilmiştir. Povsteko, klasik termoelastisite teoriside Fourier kauu temelie dayaa ısı iletim deklemii ve böylece ısı iletimi esasıda ortaya çıka termal gerilim ve gerilme ilişkilerii kesirli aalizi temel kavramlarıı kullaarak geelleştirmiştir [4,4]. Göz öüe aldığı uzay-zama kesirli ısı iletim deklemi bir boyutlu durumda [43] T T = a, <, <, t x (3.36) veya çok boyutlu uzayda T = a( Δ ) T, <, <, t (3.37) formudadır. Özel halde silidirik koordiatlarda bir Cauchy problemii temel çözümü ile ilişkili ola termal gerilmeleri hesaplamıştır [44]. Farklı bir bakış açısı ile Li ve diğ. [45] değişke mertebeli Riema- Liouville kesirli türevi ve buu Grüwald-Letikov geişlemesi arasıdaki eşitlik ilişkisii kurmuşlar ve bu ilişkiyi kullaarak d dx ( xt, ) operatörüü bazı özelliklerii ortaya koymuşlardır. Böylelikle ele aldıkları ve bir solu fark yaklaşımı ile çözümüü aradıkları değişke mertebeli lieer olmaya kesirli difüzyo deklemi (, ) u x t t ( ) ( xt, ) ( ) ( ) ( ( ) ) = B x, t R u x, t + f u, x, t, < x, t x (3.38) biçimidedir. Bezer biçimde Zhuag ve diğerlerii üzeride çalıştıkları [46] kayak terimli ve değişke mertebeli kesirli bir adveksiyo-difüzyo deklemi: (, ) u x t t u = κ( xt, ) R ( ) u( xt,, ) υ( xt, ) + f( uxt,, ), ( < ( xt, ) ). xt x (3.39) 7

41 Belirli varsayımlar altıda bu deklem içi açık ve kapalı Euler yaklaşımları ortaya koymuşlardır. Buu yaparke reel mertebeli Riema-Liouville, Caputo ve Riesz gibi kesirli türev operatörlerii taımlarıı değişke mertebe durumua geelleştirmelerie değimişlerdir. Ayrıca çalışmalarıda uyguladıkları ümerik yaklaşımları kararlılık ve yakısaklık aalizlerie de yer vermişlerdir. Dikkat edilirse, literatürde aormal difüzyo problemi olarak ele alıa fiziksel süreçler çeşitledikçe çalışıla deklem tipleri de bir o kadar farklılaşmaktadır. İşte bu deklem tipleride bir yeisi de kesirli Fokker Plack deklemleridir. Klasik teoride bir dış F( x) V ( x) kala Brow hareketi Fokker Plack deklemi ile taımlaır: = kuvvetii etkisie maruz (, ) ( ) W x t V x = + K t x mη x ( ) W x, t. (3.4) Bu deklemi çözümü ola W( x, t ), belli bir t aıda x durumudaki test parçacığıı bulmaya yaraya olasılık yoğuluk foksiyoudur. Yie deklemdeki m parçacığı kütlesii, K difüzyo katsayısıı ve η çevresi ile etkileşim halide bulua parçacığı sürtüme katsayısıı temsil eder. Acak homoje olmaya karmaşık sistemler içideki dış kuvvet etkisi altıdaki madde iletimii ifade etmek içi her zama (3.4) deklemi yeterli olmaz. İşte, bu tipteki yapılar kesirli türevli Fokker Plack deklemleri ile ifade edilmektedir. Bu alamda Metzler ve Klafter [47] bir zama kesirli Fokker Plack deklemii ortaya koymuşlardır. Beso ve diğ. [48,49] ise Levy dağılımı ile bezetim yaparak bir uzay Fokker Plack deklemi taımlamışlardır. Deklemi çözümü ola olasılık dağılım foksiyou üzerideki farklı varsayımlar çeşitli zama ve uzay kesirli Fokker Plack deklemlerii ortaya çıkışıa yol açmıştır. Bu amaçla Yag ve diğ. [5] kedileride öceki bu çalışmaları geelleştirerek zama ve uzay kesirli Fokker Plack deklemii (, ) ( ) μ W x t V x μ = Dt + K W( x, t) f ( x, t μ + ) t x mη x (3.4) göz öüe almışlar ve bu deklemi ümerik çözümlerii araştırmışlardır. Burada K μ aormal difüzyo katsayısıı, m parçacık kütlesii, η geelleştirilmiş 8

42 sürtüme katsayısıı ve d( x) Ayrıca D ( ) ( x) V = sürükleme katsayısıı ifade etmektedir. η m < < Riema-Liouville zama-kesirli türevii ve t μ x μ ( < μ < ) Riesz uzay-kesirli türevii temsil etmektedir. 3. Kesirli Optimal Kotrol Problemleri Diamik sistemleri gerçeğie e yakı olarak modellemesie duyula ihtiyaç, birtakım kesirli diferasiyel deklemler ile taımlamalarıı gerektirmiştir. Diamik sistemleri optimal kotrol tasarımlarıda amaç, sistemi taımlaya zama değişkeli durum ve kotrol foksiyolarıa bağlı olarak taımlaa ve performas ideks (ya da maliyet foksiyou) olarak adladırıla foksiyoeli miimize (ya da maksimize) ede optimal kotrolü belirleyebilmektir. Aşağıda matematiksel taımı verile bir kesirli optimal kotrolüde, sistem diamikleri kesirli diferasiyel deklemler ile taımlaır. Durum ve kotrol foksiyolarıa bağlı olarak lieer ya da kuadratik formlarda ifade edile performas ideksi miimize ede kotrol foksiyouu buluabilmesi amaçlaır. İlk kez Agrawal [] tarafıda taımlaa problem matematiksel olarak aşağıdaki biçimde ifade edilir. Sistem diamikleri ( ) Dt x = G x, u, t, (3.4) başlagıç koşulu x( ) = x, (3.43) olmak üzere ( ) = (,, ) J u F x u t dt (3.44) 9

43 performas ideksii miimize ede optimal u( t ) kotrol foksiyouu bulmayı amaçlaya probleme Kesirli Optimal Kotrol Problemi (KOKP) deir. Burada x( t ) ve u( t ) sırası ile durum ve kotrol foksiyolarıı F ve G keyfi skaler ya da vektörel foksiyoları ve x ( ) sistemi t = aıdaki başlagıç durumuu ifade eder. D t x kesirli türevi Riema-Liouville alamıda taımlamıştır. Özel halde = olması durumuda ise problem stadart optimal kotrol problemie döüşür. Ayrıca sistemi başlagıç koşullarıı sayısı ı seçildiği aralığa bağlı olarak değişir. Öreği, ( ) x = x başlagıç koşulu < < olması içi yeterlidir. Acak dx < < olması durumuda sistemi = x biçimide ikici bir başlagıç dt t= koşulua daha ihtiyaç duyulur. Problemi taımlamasıda soraki çözüm aşamasıda ilk olarak gerekli optimallik koşulları elde edilmelidir. Bu koşulları elde edilmesideki yolları başlıcaları aşağıda ifade edilmiştir. i. Geleeksel ola ilk yötem Lagrage çarpaı tekiği olarak adladırılır. Bu tekikte λ Lagrage çarpaı olmak üzere (3.4) ve (3.44) teki F ve G foksiyoları kullaılarak birtakım hesaplamalar soucuda optimallik koşulları t ( ) Dt x = G x, u, t, F G D λ = + λ, x x (3.45) (3.46) F u G + λ u = (3.47) olarak elde edilir. Burada eşitlikler arasıda düzelemeler yapılırsa bir yardımcı durum değişkei işlevi göre λ Lagrage çarpaı yok edilir ve böylelikle x durumua ve u kotrolüe bağlı iki dekleme ulaşılır. Buda sora aalitik ve/veya ümerik çözüm yötemleri kullaılarak araa optimal kotrol buluur. ii. İkici yolla ise klasik hesaplama tekikleride yararlaılarak (3.4) eşitliğide u kotrolü yalız bırakılarak (3.44) te yerie yazılır ve bu yolla optimallik koşulları elde edilmeye çalışılır. Acak bu yolu kullaılması her zama 3

44 kolaylık sağlamayabilir. Öreği G foksiyou lieer olmaya bir yapıda ise u kotrolüü yalız bırakılması zordur. iii. Bu yolda da yie klasik hesaplama ile optimallik koşulları elde edilmeye çalışılır. Öcelikle (3.4) itegre edilerek x durumu u kotrolüe bağlı olarak ifade edilir ve (3.44) te yerie yazılır. Agrawal [] de ilk olarak varyasyolar hesabıı, Lagrage çarpaı tekiğii ve kısmi kesirli itegrasyo formülüü kullaarak optimallik koşullarıı ifade ede Euler-Lagrage deklemlerii biçimide elde etmiştir. Eşitliklerdeki λ, Lagrage çarpaıı (ya da yardımcı durum değişkei) temsil eder. Agrawal ı burada klasik Euler-Lagrage deklemleride farklı olarak farkıa vardığı öemli souç, kesirli durumda bu deklemleri hem sol hem de sağ yölü kesirli türevler ile ifade edilmeleri olmuştur. Üstelik = olması durumuda bu türevler sırası ile t dx Dt x =, dt du Du = dt (3.48) stadart formua döüşür. Böylece klasik optimal kotrol problemii de içie ala daha geel bir yapı ortaya komuştur. Agrawal, formülasyouu geçerliliğii ve güveilirliğii zama değişkeli ve zamada bağımsız ola iki kesirli diamik sistem ele alarak test etmiştir. Souç deklemlerie, Legedre ortoormal poliomlar ailesii taba foksiyoları seçerek seri açılımları şeklide ümerik bir yaklaşım uygulamıştır. Buradaki öemli souçlarda bir diğeri de ortoormal poliomlar ailesii seçilmesi ümerik olarak kararlı yapıda belli bir sistematik içide ifade edilebile matrisleri elde edilmesie yol açmasıdır. Bu, algoritmaları yazımıda, hesaplamaları kotrolüde ve hesaplama süreside zamada oldukça öemli tasarruf sağlar. Yukarıda detayları verile problem yie Agrawal [5] tarafıda Caputo alamıda kesirli türevi ile taımlaarak yeide ele alımıştır. Burada ele alıa sistem C t ( ) ( ) ( ) D x t = x t + u t (3.49) biçimide zama değişkeli ve sabit katsayılı lieer bir sistem ve performas ideks 3

45 J( u) = x () t + u () t dt (3.5) biçimide kuadratik formdadır. x( t ) durum ve u( t ) kotrol foksiyolarıa bağlı elde edile Volterra itegral deklemleri iterasyoel bir yaklaşım kullaılarak çözülmüştür. Bu problem değişke katsayılı olması durumuda yai diamik sistem ve performas ideks C t ( ) ( ) D x= a t x+ b t u (3.5) J( u) = q() t x () t + r() t u () t dt (3.5) olmak üzere yeide ele alımıştır öyle ki qt ( ) ve r( t ) > [5]. Yie bu çalışmada da Volterra itegral deklemlerie Simpso 3 iterasyoel yaklaşımı uygulaarak ümerik çözümler elde edilmiştir. Agrawal ve Baleau [53], [] de ele alıa problemi değişke ve sabit katsayılı olarak iki durumda Grüwald-Letikov ümerik yaklaşımı kullaılarak çözmüşlerdir. Bezer olarak Baleau ve diğ. [54] modifiye edilmiş Grüwald- Letikov yötemii uygulayarak souçları karşılaştırmışlardır. Tagpog ve Agrawal [55] vektörel durum ve kotrol foksiyoları ile taımlaa ve sistem diamikleri (, ) x( y, t) x y t t (, ) = + u y t y (3.53) formuda ola sürekli bir sistem sııfı içi L J ( u) = Q x ( y, t) + R u ( y, t) dydt (3.54) performas ideksii miimize etmeyi amaçlaya bir problemi aaliz etmişlerdir. Nümerik çözümleri elde ederke de Volterra itegral deklemlerii kullamışlardır. Yie Agrawal tarafıda dağıtılmış parametreli bir sistem sııfı içi KOKP i ümerik çözümleri öz foksiyo açılımı tekiği kullaılarak elde 3

46 edilmiştir öyle ki bu tekikle sistemi durum ve kotrol foksiyoları öz foksiyoları birer serisi olarak ifade edilir. Burada dağıtılmış parametreli kavramı ile kastedile sistem diamiklerii (3.53) te olduğu gibi durum ve kotrol foksiyolarıa bağlı kısmi bir diferasiyel ile ifade edilmesidir [56]. Bu çalışmada uygulaa durum ve kotrol foksiyolarıı öz foksiyolar ile ifade edilmesi yötemi sayeside aa KOKP birbiride bağımsız olarak çözülebile çoklu KOKP lere döüştürülmüştür. Böylece çözüm kolaylığı sağlamış ve eğrisel (kutupsal, küresel, silidirik) koordiat sistemleride taımlaa problemleri çözümleride de oldukça yaygı olarak kullaılmıştır. Öreği, Özdemir ve diğ. [57] iki-boyutlu Kartezye koordiatlarda Riema-Liouville alamıda taımladıkları (,, ) (,, ) x t x t D x ξη,, t = + + u ξη,, t < ξ η ξη ξη t ( ) ( ) ( ) (3.55) dağıtılmış parametreli difüzyo-dalga deklemi içi belli başlagıç ve sıır koşulları altıda LL J( u) = Qx ( ξ, η, t) + Ru ( ξ, η, t) dξdηdt (3.56) kuadratik performas ideksii miimize etmeyi amaçlamışlardır. Buu yaparke öz foksiyoları belirleyerek durum ve kotrol foksiyolarıı öz foksiyoları lieer toplamı biçimide ifade etmişlerdir. Nümerik hesaplamalarda yötem olarak Grüwald-Letikov yaklaşımıı kullamışlardır. Bu problemdeki yötemi kullaarak yie Özdemir ve diğ. [58] aa problemi kutupsal koordiatlarda ele almışlardır. Burada çözümleri açı değişkeide bağımsız olduğu düşüülerek problem radyal simetrik durumda aaliz edilmiştir. Ele alıa diamik sistem x x x = u r t + + < t r r r (, ) ( ) (3.57) olmak üzere R J( u) = r Ax ( r, t) + Bu ( r, t) drdt (3.58) performas ideksi miimize edilmiştir. O halde kutupsal koordiatlar içi yapılabile formülasyo diğer üç-boyutlu eğrisel koordiat sistemlerie de 33

47 geişletilebilir düşücesi Özdemir ve diğerlerii [59] silidirik koordiatlarda da problemi yorumlamaya yöledirmiştir. Bu çalışmalarıda yie radyal simetrik durumu göz öüe almışlardır öyle ki diamik sistemi (,, ) (,, ) (,, ) x r z t x r z t x r z t,, = u r, z, t r r r z Dt x( r z t) ( ) (3.59) ve performas ideksi LR J ( u) = r Ax ( r, z, t) + Bu ( r, z, t) drdzdt, (3.6) < t <, < r < R, < z < L biçimide taımlamışlardır. Kutupsal ve silidirik koordiatlarda yaptıkları her iki çalışmada da Riema-Liouville kesirli türevii kullamışlardır ve Lagrage çarpaı tekiği ile optimallik koşullarıı belirleyip ümerik çözüm aşamasıı Grüwald- Letikov yaklaşımı ile tamamlamışlardır. Buradaki e öemli souç, koordiat sistemlerii değişmesi ile elde edile öz foksiyolar değiştiğide (Trigoometrik foksiyolar, Bessel foksiyoları) sistemi durum ve kotrol foksiyolarıı cevabıı ve dolayısıyla fiziksel yorumlarıı da her defasıda değişkelik göstermesidir. Hasa ve diğ. [6] bu problem tipii Caputo alamıda düşüerek silidirik ve küresel koordiatlarda Caputo alamıda ele almışlardır. Yie silidirik koordiatlarda radyal simerik durumu göz öüe almışlar ve küresel koordiatlarda açı değişkei iki tae olduğuda ( θ, ϕ ) hem yarı hem de tam radyal simetrik durumlar içi problemi icelemişlerdir. Burada öcelikle değişkelerie ayırma yötemi ile öz foksiyoları belirlemişler ve aa problemi Volterra itegral deklemlerie döüştürerek Grüwald-Letikov ümerik yaklaşımı ile çözmüşlerdir. Dikkat edilirse problemi aa çatısı ayı olmasıa rağme ilk olarak kullaıla türev operatörleri açısıda farklılık göstermektedirler. Bua ek olarak Lagrage çarpaı tekiği ve Volterra itegral deklemleri bu tipteki problemler içi yaygı olarak kullaıla iki öemli tekiktir ve bu çalışmalar her ikisii de güzel birer uygulamasıdır. Burada akla gele soru Grüwald-Letikov yaklaşımıı ede bu kadar sık kullaıldığı olabilir. KOKP de optimallik koşulları elde edildiğide sağ ve sol yölü kesirli türevler kediliğide ortaya çıkmaktadır. İşte, Grüwald-Letikov 34

48 yaklaşımı da ileri ve geri fark yötemlerii geelleştirmesi olarak ortaya komuş matrissel hesaplamalara dayaa direkt bir yaklaşım olduğuda bu tipteki problemler içi kullaımı oldukça uygudur öyle ki algoritmaları oluşturulması belirli bir sistematiğe dayaır. Tüm buları yaı sıra elbette literatüre alteratif yötemler de girmiştir. Öreği, Biswas ve Se [6] bir yasıma operatörü kullaarak Riema-Liouville ya da Caputo alamıda taımlaa sağ yölü kesirli türevi sol yölü türeve döüştürmüşlerdir. Böylelikle stadart bir ümerik çözüm yötemi uygulayarak KOKP yi çözebilmişlerdir. Farklı bir bakış açısı olarak (3.5) ve (3.5) de ifade edile zama değişkeli KOKP i ümerik çözümleri kesirli kuvvet serileri üzerie kurula direkt bir yaklaşım ile hesaplamış ve ayı zamada bir hata aalizi yapılmıştır [6]. Çalışmada kullaıldığı kadarı ile de kesirli Taylor serileri hakkıda temel bilgiye de yer verilmiştir. Bu tipteki serilerde kesirli kuvvetler belirleirke problemdeki kesirli türevleri mertebeleri göz öüe alıır. Ayı zamada bu yaklaşım lieer çözücü ile çözülebile bir lieer deklem sistemi oluşturur. Bu çalışmada, böyle bir ümerik yötem uygulaabilmesi içi optimallik koşullarıı belirlemeside verile üç yötemde ikicisi uygulamıştır. Çok boyutlu uzayda, durum ve kotrol foksiyolarıı farklı boyutlu vektörler olması durumuda, KOKP Riema-Liouville alamıda Agrawal ve diğ. [63] tarafıda ele alımıştır. Göz öüe alıa performas ideks t t θ (3.6) J = D D dt biçimidedir. Burada t t θ = ( ) () t = x () t, θ = () D D u t θ D x t t olmak üzere ümerik çözümler Grüwald-Letikov yaklaşımı kullaılarak elde edilmiştir. Bu çalışmada da diğerleride olduğu gibi < durumu icelemiştir. Bua gerekçe olarak da viskoelastik materyaller gibi pek çok sistemi diamik davraışlarıı ifade ede kesirli diferasiyel deklemleri mertebesii < olması 35,

49 verilmiştir. Yie burada ifade edile öemli bir husus, mertebesi > ola kesirli diferasiyel deklemleri durum-uzay formuda ifade edildikleride her biri < mertebeli ola deklemlere döüştüğüdür. O halde her durumda çözüm gerektire < hali olduğuda esasıda < e geel durumu ifade etmektedir. Defterli [64] çok boyutlu uzayda farklı boyutlu durum ve kotrol foksiyoları ile Riema-Liouville alamıda taımlaa bir sistem içi KOKP yi formülize etmiştir. Bu çalışması ile [53] te skaler durum içi düşüüle problemi vektörel forma geişletmiştir. Defterli çalışmasıda özel halde iki-boyutlu ( ) = ( ) + ( ) + ( ) () = () D x t x t x t u t t D x t x t t, (3.6) diamik sistemii ve () () () (3.63) J = x t + x t + u t dt performas ideksii göz öüe almış ve Grüwald-Letikov yaklaşımıı kullaarak ümerik çözümlerii elde etmiştir. Alipour ve diğ. [65] çok boyutlu KOKP ler içi Berstei poliomlarıı kullaarak foksiyolara yaklaşmışlar ve yie bu poliomlarla kesirli türevler içi yei bir operasyoel matris oluşturmuşlardır. Böylelikle çok boyutlu KOKP yi cebirsel bir deklem sistemie döüştürerek aa problemi basitleştirilmiş bir forma sokmuşlardır. Berstei poliomları ile ortaya koydukları bu yei yaklaşımı geçerliliğii göstermek içi literatürde çalışılmış farklı ümerik uygulama problemlerii göz öüe almışlar ve karşılaştırma aalizi yapmışlardır. Biswas ve Se [66] tamsayı ve Riema-Liouville kesirli mertebede türevlerii içere kesirli diferasiyel deklemle taımlaa bir özel tip diamik sistem içi KOKP yi yalacı-durum-uzay modeli oluşturarak icelemişlerdir. Çalışmada A, b ve ( t ) olmak üzere diamik sistem x boyutlu vektör, ( ) u t bir kotrol girdisi x+ P D x = Ax+ b u (3.64) t ve performas ideks 36

50 t f T J( u) = ( Q + ru ) dt x x (3.65) olarak taımlamıştır. Souç olarak bu formülasyolarıı bir kütle-yay-viskodamper sistemi üzeride uygulayarak geçerliliğii göstermişlerdir. Bir başka araştırmalarıda Biswas ve Se [67], sabit ve sabit olmaya fial durumlu kesirli bir sistemi kısıtlı diamik optimizasyo problemii ele almışlardır. Geel halde ( ) ( f ) t f (, f ) (,, ) J u = S x t t + V x u t dt (3.66) performas ideksii göz öüe alarak buu alt problemleride ilki ola sabit fial durumudaki t f Ju ( ) = qtx () + rtu () dt ( qt (), rt () > ) (3.67) performas ideksii, sıır koşulları ve sistem diamikleri ( ) ( ) x = x, x tf = xf (3.68) t ( ) ( ) D x= a t x+ b t u (3.69) olmak üzere miimize etmişlerdir. İkici alt problemi performas ideks yapısı ise aşağıdaki gibidir: t f f J( u) = s( tf ) x ( t ) + q() t x + r() t u dt, q, r >, s. (3.7) Gecikmeli durum değişkeleri olması durumuda kesirli varyasyoel hesap [68] ve optimal kotrol problemi [69] Baleau ve diğ. tarafıda düşüülmüştür. Burada göz öüe alıa performas ideks b ( b ) (, ) =, ( ), ( ), ( τ), ( ), ( τ), ( ) J y u F x y x u x y x y x y x D y x dx (3.7) a 37

51 ve diamik sistem öyle ki [ ] ( ) ( ), ( ), ( ) D y x G x y x u x a = (3.7) x a τ, a, a< b, τ>, < <, < < biçimidedir. Bu çalışmada gecikmeli durumda kesirli varyasyo presipleri boyuta geelleştirilmiştir ve elde edile souçlar (3.7) ve (3.7) de verile KOKP i optimallik koşullarıı elde etmede kullaılmıştır. Tricaud ve Che [7-7] KOKP leri yaklaşık çözümleri içi yei bir yol geliştirmişlerdir. Çalışmalarıda, lieer/lieer olmaya, zamada bağımsız/bağımlı, SISO/MIMO (Sigle-Iput-Sigle-Output/ Multiple-Iput-Multiple-Output), durum/girdi kısıtlı, serbest sıır koşullu gibi pek çok tipteki KOKP ye uygulaabile geel bir yötemi ortaya koymuşlardır. Metotlarıda kesirli türevleri rasyoel bir yaklaşımı söz kousudur. Ayrıca geel amaçlı olarak herhagi bir optimal kotrol problemii çözmek üzere oluşturulmuş MATLAB içide bir araç kutusu ola RIOTS_95 i kullaarak algoritmalarıı oluşturmuşlardır. Dahası, problemi çözüm aşamasıda durum-uzay modeli oluşturmuşlardır. Belirli eşitsizlik kısıtları ve başlagıç koşulu altıda ele aldıkları bu problemde performas ideks ve diamik sistem b J u = G x a, x b + L x, u, t dt (3.73) ( ) ( ( ) ( )) ( ) a D x t t ( ) H( x, u, t) a = (3.74) biçimidedir. Burada < < ve L, GH, lieer olmaya fosiyolardır. Klasik kotrol teorii temel teoremleride biri ola Noether i Teoremi herhagi bir sistemde meydaa gele her simetrii soucuda bir koruum yasasıı görüldüğü gerçeğii ortaya koyar. Öreği, zamada simetri eerji koruumuu, kaydırmada simetri mometumu koruumuu, dödürmede simetri açısal mometumu koruumuu meydaa çıkarmıştır. İşte simetriler ve buları KOKP ler içi ortaya çıkardıkları kesirli koruum kauları ve kesirli Noether teoremi Riema-Liouville ve Caputo alamıda ilk olarak Frederico ve Torres [73-76] tarafıda çalışılmıştır. 38

52 Jelicic ve Petrovacki [77] sistem diamikleri yüksek mertebede tamsayı mertebeli türevler içere kesirli diferasiyel deklem ile taımlaa KOKP ler içi optimallik koşullarıı, farklı bir yaklaşım ola kesirli türevler içi bir geişleme formülü kullaarak elde etmişlerdir. Ele aldıkları problemde performas ideks ve diferasiyel deklem ( ) ( (), (), ) J u = F x t u t t dt (3.75) ( ) ( )( ) ( ) x t + k Dt x t = G x, u, t (3.76) biçimide taımlamıştır ve sistemdeki e yüksek mertebede türevi tamsayı mertebeli olduğu da fiziksel uygulamaları düşüülerek vurgulamıştır. Rapaic ve Jelicic [78] geelleştirişmiş kesirli ısı deklemi ile ifade edile öyle ki > M m (, ) (, ) (, ) + γ m = D + g ( xt, ) (3.77) Q x t Q x t Q x t m t m= t x D termal difüzyo katsayısıı, ( ) γ ( = ) m,, m m,,..., M, g( x, t ) ortam içideki ısı üretecii temsil eder. Bu deklem ile ifade edile dağıtılmış parametreli sistem ilk olarak tamsayı mertebeli toplu parametreli sisteme döüştürülmüştür. Bu döüştürme işlemi herhagi bir yaklaşıma gerek duymaksızı direkt yötemle gerçekleştirilmiştir. Burada yei gözlee model sosuz boyutludur. Metodu e öemli avatajı optimallik koşulları olarak kesirli Euler-Lagrage deklemleri elde edilmesie ihtiyaç duyulmamasıdır. Buu yerie çözümü elde edebilmek içi klasik optimal kotrol teorii iyi bilie tekikleride biri ola lieer kuadratik regülatörü kullaılmıştır. Uygulama problemi olarak da Bag-Bag kotrol seçilmiş ve böylelikle yötemi etkililiği gösterilmiştir. Wag ve Zhou [79] yarı lieer kesirli evolüsyo deklemlerii zayıf çözümleri üzerie çalışmışlar, bu tipteki deklemlerle taımlaa sistemler içi Lagrage problemii ve buula beraber bu tipteki sistemler içi optimal kotrol problemii çözümüü varlığıı aaliz etmişlerdir. Yie diğer çalışmalarıda Wag ve Zhou [8], Caputo türevli yarı lieer kesirli evolüsyo deklemi ile taımlaa bir sistem içi zama optimal kotrol problemii çözümüü varlığıı göstermişlerdir. 39

53 Bulara ek olarak Baach uzayıda taımlaa bu tipteki problemler içi yaklaşım süreci üzerie de çalışma yapılmıştır [8,8]. Bezer doğrultuda Mophou [83] optimal kotrol problemii iki kısımda icelemiştir. İlki Hilbert uzayıda taımlaa kesirli difüzyo deklemii çözümüü varlığıı ve tekliğii ortaya koymuştur ve sorasıda bu tipteki deklemler üzerie kurulmuş optimal kotrol problemii çözümüü varlık ve tekliğii araştırmıştır. Matigo [84] adjoit (eşleik) sistemleri kullaarak kesirli lieer sistemleri optimal kotrolü üzerie çalışmıştır. Bu amaçla difüzif realizasyo olarak adladırıla bir yötem kullamış ve adjoit sistemleri durum-uzay modeli formuda ifade ederek formülasyou gerçekleştirmiştir. Güümüzde tıp alaıı oldukça popüler bir araştırma kousu ola HIV virüsleri ve buları tedavi yötemleri ile ilgili kesirli türevleri ve optimal kotrol problemii öemli bir uygulama öreği Dig ve diğ. [85] tarafıda çalışılmıştır. Bu çalışmada hafızalı, HIV efekte olmuş bir bağışıklık sistemi öcelikle zama kesirli türevli bir deklem sistemi ile modellemiştir. Efeksiyou viral yolla ilerlemesii ve efekte olmuş hücreleri sayısıı miimize ede bir objektif foksiyou (performas ideks) kullaılarak ve miimal dozda ati-hiv ilaçları ile optimal kotrol problemii çözümü gerçekleştirilmiştir. Böylece matematiksel olarak optimal terapii etkileri gösterilmiştir. Yötem olarak Lagrage çarpaı tekiğie başvurulmuştur. Bu zamaa kadar yapıla çalışmalarda üzeride optimal kotrol problemleride taımlaa kesirli diamik sistemler lieer ya da lieer olmaya, sabit ya da değişke katsayılı, skaler ya da vektörel gibi farklı biçimlerde ele alımıştır. Acak her biride sistem diamikleri sadece zama kesirli türevli deklemler ile ifade edilmiştir ve dolayısıyla sadece zama kesirli türevii KOKP ler üzerideki etkisi hesaba katılmıştır. Oysaki doğada pek çok süreç hem zama hem de uzay kesirli türevli kesirli diferasiyel deklemlerle taımlaa aormal difüzyo olgusu ile karakterize edilir. Bu tipteki diamik sistemler içi KOKP bu zamaa kadar icelememiştir. Bu eksiklik tezi araştırma kousuu belirlemesie ışık tutmuştur. 4

54 4. BİR UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMİNİN BİR BOYUTLU UZAYDA VE KARTEZYEN KOORDİNATLARDA OPTİMAL KONTROL PROBLEMİ Bu bölümde, Riesz-Caputo alamıda taımlaa bir uzay-zama kesirli difüzyo sistemii optimal kotrol problemi bir boyutlu uzayda ve Kartezye koordiatlarda icelemiştir [86]. Burada sistem diamikleri başlagıç ve sıır koşulları sırasıyla ( ) ( ) ( ) ( ) C Dt x y, t = Δ x y, t + u y, t, (4.) κ ( ) ( ) x y, = x y, (4.) ( ) ( ) x, t = x L, t = (4.3) biçimide taımlaa bir aormal difüzyo sürecie bağlı ola L J ( u) = Ax ( y, t) + Bu ( y, t) dy dt (4.4) performas ideksii miimize ede optimal kotrol problemii buluması temel amaçtır. { } Burada x ( yt, ) ve u( y, t ), ( yt, ) y [, L ] t [,] Λ bölgeside taımlı durum ve kotrol foksiyolarıı A ve B pozitif keyfi sabitleri, κ > aormal C difüzyo katsayısıı ifade eder. Ayrıca D ( ) alamıda zama kesirli türevii ve ( ) ( ) t < otasyou Caputo Δ < ise kesirli Laplace operatörüü temsil etmektedir. Ayrıca dikkat edilirse burada sabit so zamalı ve serbest so durumlu bir KOKP düşüülmektedir. 4

55 İlk olarak durum ve kotrol foksiyoları öz foksiyolar ciside ifade edilmelidir. Bu amaçla x( yt, ) Y( yt ) ( t) çözümleri elde etmek içi = formudaki değişkelerie ayrılabilir ( ) μ Y( y) Δ Y y = (4.5) özdeğer problemi Y( L ) = sıır koşulu ile göz öüe alısı. Bu durumda π + μ = ( =,,..., m, m ) özdeğerler olmak üzere öz foksiyolar L si π y L içi olarak elde edilir. Böylece x ( yt, ) durum ve (, ) u y t kotrol foksiyoları m π y x( y, t) = x ( t) si, = L m π y u( y, t) = u ( t) si = L (4.6) varsayımı yapılabilir. Dikkat edilirse (4.6) seri foksiyoları (4.3) sıır koşullarıı sağlar. Yie buradaki öz foksiyoları ortoormal bir aile meydaa getirmesi kesirli Laplace operatörüü öz foksiyolar ciside ifade edilmesie imkâ verir. Buu içi 3..5 Taımıdaki (3.) eşitliği dikkate alıırsa m π π y Δ, = si (4.7) = L L ( ) x( y t) x ( t) elde edilir. Ayrıca (4.6) serilerideki üst limit değeri gerçekte m olacaktır. Acak ümerik hesaplamalar yakısaklık durumu göz öüde buludurularak solu limit değeri içi yapılacağıda m solu bir değer olarak düşüülmektedir. Gerekli optimallik koşullarıı belirleebilmesi içi (3.4)-(3.44) teki Agrawal ı geel KOKP taımıda F ve G foksiyolarıı belirlemesi gerekmektedir []. Bu amaçla ilk olarak (4.6) seri foksiyoları (4.4) performas idekside yazılır ve gerekli düzelemeler yapılırsa 4

56 m L J( u) = Ax () t Bu () t dt 4 + (4.8) = olur. Burada L F x u t Ax t Bu t m 4 (,, ) = () + () ( =,,..., ) (4.9) biçimidedir. Bezer biçimde G yi hesaplayabilmek içi (4.6) ve (4.7) serileri (4.) deklemide yerie yazılırsa C π Dt x t κ x,,,..., t u t m L () = () + () ( = ) (4.) elde edilir ve π G x u t κ x t u t L (,, ) = () + () (4.) olarak buluur. Böylelikle F ve G foksiyoları ( ) x t ve u () t bileşe foksiyoları ciside ifade edilmiş olur. O halde x () t durum bileşe foksiyouu başlagıç değerii belirlemek içi (4.6) serilerideki x ( yt, ) (4.) başlagıç koşuluda yazılırsa L πξ = L L ( ) ( ξ ) x x si dξ (4.) başlagıç koşulua ulaşılır. Bu souçta da görüldüğü gibi öemli ola, bileşe foksiyou içi başlagıç değerii her zama sistemi durumu içi verile başlagıç değerie bağlı olmasıdır. Diğer bir deyişle sistem içi seçile başlagıç koşulu, bileşe foksiyolarıı başlagıç değerii belirlemektedir. (4.) başlagıç değer foksiyou hem aalitik hem de ümerik hesaplamalarda kullaılmaktadır. Belirlee F ve G foksiyoları ile geel bir KOKP içi taımlaa gerekli optimallik koşulları ola (3.45)-(3.47) kullaılarak 43

57 C π Dt x() t = κ x () t + u() t, L C L π t D λ() t A x() t κ λ () t, = L (4.3) (4.4) L B u t + t = (4.5) () λ () buluur öyle ki Buradaki λ ( t) ( ) ( ) x = x, λ =. (4.6) ler Lagrage çarpaları (yardımcı durum değişkei) dır. (4.4) ve (4.5) optimallik koşulları yeide düzeleirse C A π t = κ () () () D u t x t u t B L (4.7) elde edilir. Souç olarak x ( t) ve ( ) sistemi x ( yt, ) durumuu ve (, ) deklem aşağıdaki gibidir: u t bileşe foksiyolarıı ve dolayısıyla u y t kotrolüü belirlemeyi sağlaya iki aa C π Dt x() t = κ x () t + u() t, L C A π t D u() t x() t κ u () t. = B L (4.8) (4.9) O halde (4.8)-(4.9) kesirli deklem sistemii aalitik ve ümerik çözümleri belirlemelidir. 44

58 4. Aalitik Çözüm Kesirli diferasiyel deklem çözümleride aalitik çözüm ya da diğer bir deyişle açık (kesi) çözüm bulmak her zama kolay ve hatta mümkü olmayabilir. Literatürde aalitik çözüm diye bahsedile çözümler ise çoğulukla Laplace ya da Fourier gibi itegral döüşümlerii uygulaması ile elde edile kapalı formdaki çözümlerdir. Dahası bu çözümleri de çeşitli parametrelere göre davraışı icelemek istediğide yie uygu bir ümerik metot uygulaarak istee souca ulaşılır. Bu kısımda aalitik çözüm ile kastedile zama kesirli türevi mertebesii = olmasıdır. Buu yaparke amaç, (4.8)-(4.9) deklem sistemii klasik çözüm yötemiyle çözülebilir hale getirmek ve seçile ümerik yötemi de bezer biçimde uygulayarak yötemi geçerliliğii test etmektir. Kesirli aalizde = olması durumuda sol ve sağ yalı kesirli Caputo türevleri içi bilie klasik türevlere aşağıdaki biçimde eşit olduklarıdır: D = d d, D. dt = dt (4.) C C t t Bu durumda (4.8)-(4.9) kesirli deklem sistemi de π () = κ () + (), d x t x t u t dt L d A π u t = x t + κ u t dt B L () () () (4.) (4.) biçimie döüşür. Buradaki katsayı parametreleri kısalık olması amacıyla E π = κ L (4.3) olarak yeide adladırılır. Souç olarak (4.)-(4.) deklem sistemi ( ) ( ) x = x, u = (4.4) 45

59 uç değerleri göz öüe alıarak çözüldüğüde () x t = x ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) K E e K E e ( ) K t K t, K K K E e K E e () u t = Fx e ( ) ( ) e K t K t ( ) ( + ) K K K E e K E e (4.5) (4.6) elde edilir. Burada K = E + F dir. 4. Nümerik Çözüm (4.8)-(4.9) deklem sistemii ümerik çözümlerii hesaplamasıda ileri-geri fark yötemleri temelie dayaarak ortaya komuş ola GL yaklaşımı uygulamıştır. Buu içi öcelikle RL ve GL türevleri arasıdaki ilişki kullaılmıştır. Acak problemde zama kesirli türevi Caputo alamıda taımlamıştır. O halde ilk olarak RL ve Caputo kesirli türevleri arasıdaki ilişki göz + öüe alımalıdır. ( ) ifade edilir: < olmak üzere bu ilişki aşağıdaki biçimde k RL C a Dx f ( x) = adx f ( x) + f k ( x) x= a k = dx k ( x a) ( k ) d, (4.7) Γ + k ( b x) ( k ) d (4.8) k RL C x Db f ( x) = xdb f ( x) + f k ( x) x= b k = dx Γ + Grüwald-Letikov yaklaşımıda zama bölgesi ola [, ] aralığı N tae ve h = uzuluklu alt zama aralıklarıa ayrılır. Böylece M. adaki yaklaşımı N değeri D f x w f hm jh M RL a x ( ) j h j= ( ) ( ), (4.9) 46

60 ( ) N RL M x b j h j= ( ) ( ) (4.3) D f x w f hm + jh olarak hesaplaır. Burada yaklaşımı katsayıları w w ( ) =, + = w j ( ) ( ) j j (4.3) biçimidedir. (4.9) ve (4.3) yaklaşımları (4.7) ve (4.8) eşitlikleride uygulaırsa C ( ) M ( ) Mh, (4.3) D x Mh w x hm jh x ( ) ( ) [ ] Γ( ) Mh j h j= ( ) N M ( ) N M h (4.33) D u Mh w u hm + jh u Nh C Mh Nh j h j= ( ) ( ) ( ) Γ( ) elde edilir. O halde (4.8)-(4.9) deklem sistemii ümerik çözümü aşağıdaki gibidir: j= h ( ) ( ) [ ] M Mh π wj x Mh jh x + κ x( Mh) = u( Mh) j= Γ( ) L (4.34) ( M =,,..., N, =,,..., m), ( ) ( ) ( ) π κ Γ( ) ( M N N m) N M N M h A wju Mh jh u Nh u Mh x Mh + + h L B =,,...,, =,,...,. ( ) = ( ) (4.35) Nümerik hesaplamaları algoritmaları MATLAB R7b kullaılarak yazılırke başlagıç koşulu olarak (,) ( ) ( π ) x y = x y = y y (4.36) seçilmiştir. Bu seçim keyfi olmakla birlikte yazıla algoritma, (4.) itegralii her + bir değeri içi ve (4.36) başlagıç koşuluu kullaarak hesaplar. Böylelikle x ( t)'ler içi başlagıç koşullarıı belirlemiş olur. Ayrıca kotrol bileşe 47

61 foksiyouu so değeri u ( ) u ( Nh) = = 'dır. Buu alamı, sistemi kotrolüe ayrıla süre tamamladığıda kotrolü çalışmasıı durmasıdır. Aalitik ve ümerik tüm hesaplamalarda yalılık olması bakımıda A= B= L= κ = olarak seçildiği belirtilmelidir. Bu kabul tezi soraki bölümleride de geçerlidir. İlk olarak sistemi x ( t ) durum ve u ( ) t kotrol bileşe foksiyolarıı aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması Şekil 4. ve Şekil 4. de =, =.5 ve N = değerleri içi yapılmıştır. Bu şekilde, verile ümerik algoritmaı probleme uyguluğu test edilmiştir. Aalitik ve ümerik çözümleri birbirlerie çok yakı olarak örtüşmesi ile algoritmaı istedik uygulukta çalıştığı soucua ulaşılmıştır. Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 te uygulaa GL ümerik yaklaşımıdaki h alt aralık uzuluklarıı değişimii sistemi ( ) x t durum ve u () t kotrol bileşe foksiyoları üzerideki etkisi araştırılmıştır. Bu şekiller içi =.9, =.5 keyfi parametre değerleri seçilmiştir. Burada beklee az sayıda alt aralık kullaarak hassasiyeti yüksek souçlar elde etmektir ve buu h =.5 değeri içi sağladığı gözlemiştir. h <.5 değerleri içi sistemi hem durum hem de kotrol bileşe foksiyoları içi düzgülük, yai örtüşme aradaki hata ihmal edilebilir ölçüde birebirdir. O halde h =.5 te daha küçük alt aralık uzuluğu seçmek hassasiyette alamlı bir fark yaratmayıp sadece algoritmaı çalışma süresii uzatmaktadır. Bilidiği gibi zama kesirli türevii mertebesidir. parametresii değişimii sistemi durum ve kotrolü üzerideki etkisi iki farklı biçimde değerledirilmiştir. İlk olarak Şekil 4.5 ve Şekil 4.6 da ( ) x t durum ve u () t kotrol bileşe foksiyolarıı ümerik çözümlerii düşük değerlerie göre davraışı =.5, N = 5 içi icelemiştir. Bezer aaliz Şekil 4.7 ve Şekil 4.8 de olacak biçimde ı yüksek değerleri içi yapılmıştır. Her iki durumda da amaçlaa ı tamsayı değerlerie yaklaşması durumuda sistemi cevabıı görebilmektir. 48

62 Yie Şekil 4.9 ve Şekil 4. da uzay kesirli türevi mertebesi ı limit durumuda sistemi durum ve kotrolü üzerideki etkisii görmek amaçlamıştır. Buu yaparke = ve N = değerleri kullaılmıştır. Burada limit durumuda Riesz ya da bua dek ola kesirli Laplace operatörüü taımsızlığıı tekrar belirtmek gerekir öyle ki bu durum içi bezer aalizi yapmak alamlı değildir. Sistemi x ( yt, ) durum ve u( y, t ) kotrol foksiyolarıı sırası ile x ( t) durum ve ui ( t ) kotrol bileşe foksiyolarıı lieer birer toplamı olduğu (4.6) eşitlikleride bilidiğie göre buradaki terim sayılarıı serilere katkısı öemlidir. Çükü gerçekte sosuz toplam ile ifade edile durum ve kotrol foksiyoları içi serilerdeki terim sayılarıı ve terimleri serilere ola katkılarıı ters oratılı olması beklemektedir. Böylece az sayıda terim kullaılarak durum ve kotrol foksiyoları hesaplaabilecektir. Bu amaçla Şekil 4. ve Şekil 4. de i =,,...,5 olacak biçimde 5 terimi sistemi durum ve kotrolüe ola katkısı icelemiştir. Burada =.9, =.5 keyfi parametreleri kullaılmıştır. Şekillerde de görüldüğü gibi i > 5 olması durumuda ( ) x t durum ve ( ) i u t kotrol bileşe foksiyolarıı sistemi durum ve kotrol cevabıa ola katkısı gittikçe azalacaktır. Bu ise az sayıda terim kullaılarak sistemi cevabıa iyi derecede yaklaşma imkâı suar. Bu durum algoritmaı tekrarlama sayısıı azaltarak ümerik hesaplamalarda zamada tasarruf sağlar. i So olarak sistemi optimal kotrolüü ve bua karşılık durumuu gösterdiği davraış Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 te üç boyutta gösterilmiştir. Bu yapılırke Şekil 4.3 te =.5, =.5 ve N = keyfi parametreleri kullaılmıştır. Şekil 4.4 te ise =.99, =.9 ve N = parametreleri tercih edilmiştir. Bu seçimler, özel fiziksel bir sistem üzeride çalışılması halide sistemi yapısıa göre elbette değişiklik gösterebilir. i 49

63 .8 Aalitik Çözüm GL Çözümü.6 x (t) t (zama) Şekil 4.: Sistemi x () t durum bileşe foksiyouu aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: =, =.5 ve N =. u (t) Aalitik Çözüm GL Çözümü t (zama) Şekil 4.: Sistemi u () t kotrol bileşe foksiyouu aalitik ve ümerik çözümlerii karşılaştırması: =, =.5 ve N =. 5

64 .9.8 h=. h=.5 h= x (t) t (time) Şekil 4.3: GL ümerik yaklaşımıdaki adım uzuluğuu sistemi x () t durum bileşe foksiyouu cevabıa etkisi: =.9, = u (t) h=. h=.5 h= t (time) Şekil 4.4: GL ümerik yaklaşımıdaki adım uzuluğuu sistemi u () t kotrol bileşe foksiyouu cevabıa etkisi: =.9, =.5. 5

65 .8 =.5 =. =.5 =.5.6 x (t) t (zama) Şekil 4.5: x () t durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü düşük değerlerie göre davraışı: =.5, N = u (t) =.5 -. =. =.5 = t (zama) Şekil 4.6: u () t kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü düşük değerlerie göre davraışı: =.5, N = 5. 5

66 .8 =.5 =.7 =.9 =.6 x (t) t (zama) Şekil 4.7: x () t durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =.5, N = u (t) -.6 = =.7 =.9 = t (zama) Şekil 4.8: u () t kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =.5, N =. 53

67 .8 =.5 =.7 =.9 =.6 x (t) t (zama) Şekil 4.9: x () t durum bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =, N = u (t) =.5 = =.9 = t (zama) Şekil 4.: u () t kotrol bileşe foksiyou ümerik çözümüü yüksek değerlerie göre davraışı: =, N =. 54

68 x i (t) x (t) x (t) x 3 (t) x 4 (t) x 5 (t) t (zama) Şekil 4.: Sistemi x ( yt, ) durum foksiyoua x ( ) foksiyolarıı katkısı: =.9, =.5. i t durum bileşe u i (t) -.4 u (t) -.6 u (t) u 3 (t) -.8 u 4 (t) u 5 (t) t (zama) Şekil 4.: Sistemi u( y, t ) kotrol foksiyoua ( ) foksiyolarıı katkısı: =.9, =.5. u t kotrol bileşe i 55

69 Şekil 4.3: (, ) x yt durum foksiyouu yüzeyi: =.5, =.5, N =. Şekil 4.4: u( y, t ) optimal kotrol foksiyouu yüzeyi: =.99, =.9, N =. 56