2006 DÜNYA KUPASI FUTBOL TAKIMLARININ STOKASTİK SINIR ANALİZİ İLE PERFORMANS DEĞERLENDİRMESİ. Serdar YARLIKAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

Transkript

1 2006 DÜNYA KUPASI FUTBOL TAKIMLARININ STOKASTİK SINIR ANALİZİ İLE PERFORMANS DEĞERLENDİRMESİ Serdar YARLIKAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 2007 ANKARA

2 Serdar YARLIKAŞ tarafından hazırlanan 2006 DÜNYA KUPASI FUTBOL TAKIMLARININ STOKASTİK SINIR ANALİZİ İLE PERFORMANS DEĞERLENDİRMESİ adlı bu tezn Yüksek Lsans tez olarak uygun olduğunu onaylarım. Doç. Dr. İhsan ALP Tez Yönetcs Bu çalışma, jürmz tarafından oy brlğ le İstatstk Anablm Dalında Yüksek Lsans tez olarak kabul edlmştr. Başkan : : Prof. Dr. Orhan TÜRKBEY Üye :Doç. Dr. İhsan ALP Üye :Prof. Dr. Hasan BAL Tarh : 09/07/2007 Bu tez, Gaz Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü tez yazım kurallarına uygundur.

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez çndek bütün blglern etk davranış ve akademk kurallar çerçevesnde elde edlerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orjnal olmayan her türlü kaynağa eksksz atıf yapıldığını bldrrm. Serdar YARLIKAŞ

4 v 2006 DÜNYA KUPASI FUTBOL TAKIMLARININ STOKASTİK SINIR ANALİZİ İLE PERFORMANS DEĞERLENDİRMESİ (Yüksek Lsans Tez) Serdar YARLIKAŞ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Temmuz 2007 ÖZET Bu tezde, 2006 dünya kupasına katılmış futbol takımlarının performansı stokastk sınır analz le değerlendrlmştr. Takımların performanslarını değerlendrmek çn, kalec, savunma ve atak mevkler le lgl üç tane ekonometrk model oluşturulmuştur. Bu modellerde, FRONTIER 4.1 blgsayar programı kullanımı le takımların teknk etknlkler tahmn edlmştr. Modellerdek teknk etknlklern ortalaması alınarak, takımların her br çn ortalama teknk etknlkler elde edlmş ve takımlar ortalama teknk etknlklerne göre sıralanmıştır. Bu sıralamanın geçerllğ, turnuva sıralama sonucu le karşılaştırılarak test edlmştr. Analz sonucunda elde edlen sıralama le turnuva sıralamasının uyumlu olduğu gözlenmştr. Blm Kodu : Anahtar Kelmeler : Stokastk sınır analz, Futbol takımları, Etknlkler Sayfa Aded : 89 Tez Yönetcs : Doç. Dr. İhsan ALP

5 v PERFORMANCE EVALUATION OF 2006 WORLD CUP FOOTBALL TEAMS BY STOCHASTIC FRONTIER ANALYSIS (M. Sc. Thess) Serdar YARLIKAŞ GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY July 2007 ABSTRACT In ths thess, the performance of football teams whch partcpated n 2006 world cup has been evaluated by stochastc fronter analyss. To evaluate the performance of teams, three econometrc models related wth goalkeeper, defence and attack postons have been consttuted. In these models, techncal effcences of teams have been estmated va the usage of FRONTIER 4.1 computer program. By takng the averages of techncal effcences n models, average techncal effcences have been acheved for each of the teams. Teams have been ranked accordng to ther average techncal effcences and valdaton of ths rankng has been tested by comparng t wth tournament rankng results. It has been observed that the rankng acheved at the end of analyss s compatble wth tournament rankng. Scence Code : Key Words : Stochastc fronter analyss, Football teams, Effcences Page Number : 89 Advser : Assoc. Prof. Dr. İhsan ALP

6 v TEŞEKKÜR Bu tezn ortaya çıkmasında değerl yardım ve katkılarıyla ben yönlendren hocam Doç. Dr. İhsan ALP e ve bana her zaman destek olan aleme teşekkür ederm.

7 v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...v ABSTRACT...v TEŞEKKÜR...v İÇİNDEKİLER... v ÇİZELGELERİN LİSTESİ... x SİMGELER VE KISALTMALAR...x 1. GİRİŞ STOKASTİK SINIR ANALİZİ Stokastk Sınır Analz Kavramı Stokastk Sınır Üretm Fonksyonu ve Model En çok olablrlk tahmn Ortalama teknk etknlğn tahmn edlmes Karar verme brm düzeyndek teknk etknlklern kestrm Stokastk sınır model le lgl testlern hpotezler Tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test Stokastk Sınır Model ve Keskl Normal Dağılım Keskl normal modelde tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test Alternatf Fonksyonel Bçmler Panel Ver Modeller Zamanla Değşen Etkn Olmama Model Etkn Olmama Etklern Modelleme...23

8 v Sayfa 2.8. Dualte ve Tahss Etknlklern Modelleme Stokastk Sınır Analznn Avantajları ve Dezavantajları Çalışmada Kullanılan Model Stokastk Sınır Analznn Uygulama Alanları UYGULAMA Araştırılan Problem Futbolda Stokastk Sınır Analz Lteratür Araştırması Verler ve Değşkenler Verler ve takım bazında kalec performansları Verler ve takım atak performansları Verler ve takım savunma performansları Toplu sonuçların değerlendrlmes Turnuva sonundak gerçek sıralamanın hesaplanması Analz sonuçlarının test SONUÇ VE ÖNERİLER...65 KAYNAKLAR...70 EKLER...74 EK-1 Kalec model...75 EK-2 Takım atak model...79 EK-3 Takım savunma model...84 ÖZGEÇMİŞ...89

9 x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 2.1. SSA nın uygulama alanları...35 Çzelge 3.1. Kalec statstkler...39 Çzelge 3.2. Kalec model katsayı tablosu...43 Çzelge 3.3. Kalec model teknk etknlk tablosu...44 Çzelge 3.4. Takım atak statstkler...45 Çzelge 3.5. Takım atak model katsayı tablosu...48 Çzelge 3.6. Takım atak model teknk etknlk tablosu...49 Çzelge 3.7. Takım savunma statstkler Çzelge 3.8. Takım savunma model katsayı tablosu...53 Çzelge 3.9. Takım savunma model teknk etknlk tablosu...55 Çzelge Toplu etknlk sonuçları tablosu...57 Çzelge Ortalama etknlk sonuçlarına göre sıralama tablosu...58 Çzelge Turnuva gerçek sıralama tablosu...61 Çzelge Analz ve gerçek sıralama tablosu...62 Çzelge Analz sonuçlarının test...63

10 x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı smgeler ve kısaltmalar, açıklamaları le brlkte aşağıda sunulmuştur. Smgeler Açıklama ae ee fkar gakm gasm gfahm mnp mpsvk sogr splpr sr te tkar. karar verme brmnn tahss etknlğ. karar verme brmnn ekonomk etknlğ Faul kazanma avantaj oranı Kalec modelndek yenlen gol değşken Savunma modelndek yenlen gol değşken Atak modelndek atılan gol değşken Oynanan dakka sayısı Takım kaleclernn maç başına kurtarış sayısı Gollük şut oranı Kısa pas ve uzun pas toplamının oranı Şut oranı. karar verme brmnn teknk etknlğ Top kazanma oranı Kısaltmalar Açıklama AFC CAF CONCCAF CONMEBOL FIFA OFC SSA Asya Futbol Brlğ Afrka Futbol Brlğ Kuzey-Orta Amerka Futbol Brlğ Güney Amerka Futbol Brlğ Uluslararası Futbol Federasyonları Brlğ Okyanusya Futbol Brlğ Stokastk Sınır Analz

11 1 1. GİRİŞ Günümüzün rekabetç ortamı ve zorlu pyasa koşulları, karar verme brmlernn mevcut kaynaklarını optmal br şeklde kullanmaları zorunluluğunu ortaya çıkarmıştır. Karar verme brmlernn kaynaklarını optmal br şeklde kullanma gerekllğ se, karar verme brmlernn etknlk düzeylern ölçmelerne neden olmuştur. Etknlk düzeylern ölçen karar verme brmler, etknlğ azaltan nedenler saptayablmekte, bu yönlü tedbrler alablmektedr. Karar verme brmlernn etknlğn ölçerken kullanılan geleneksel metotlarda, karar verme brmnn ve karar verc konumundak kşlern dama rasyonel düşündükler, kar, malyet, üretme lşkn optmal sonucu oluşturablecek teknğ bldkler varsayılmaktadır. Ancak, bu metotlar bazı karar verme brmlernn ellerndek kaynağı etkn olarak kullanamadıkları gerçeğn dkkate almamaktadır. Bu durum, etknlk ölçümünde statstksel analze daha uygun sonuçlar elde edlmesne olanak tanıyan br metot olan Stokastk Sınır Analz (SSA) yaklaşımının oluşturulmasına neden olmuştur. SSA le karar verme brmlernn etknlkler ölçülürken, karar verme brmler tarafından öngörülemeyen tesadüf durumlar da dkkate alınmaktadır. Böylece, karar verme brmlernn karakterstk özellkler de dkkate alınarak etknlk düzeylernn düşük çıkma nedenler daha gerçekç br anlayışla belrleneblmektedr. SSA nın etknlk ölçümünde tesadüf durumları da ele alan yapısı le son yıllarda popüler br spor dalı halne gelen futbol oyununun, çnde barındırdığı tesadüflk, futbol takımlarının performans ve etknlk ölçümlernn yen br bakış açısı olan SSA yöntem le analz edlmesnn daha uygun olacağını göstermektedr. Futbol ekonomk ve sosyal açıdan br çok olguyu çnde barındırmasına rağmen, futbol le lgl performans değerlendrmesne lşkn çalışmalar o kadar çok değldr. Futbol oyununda performans değerlendrmes yaparken, sadece savunma, hücum ve kalecye lşkn statstkler le saptama yapmak mümkün değldr. Futbol oyunu çnde tesadüflk de barındırmaktadır. Savunma, hücum ve kalecye lşkn

12 2 statstkler le tesadüf yapıyı dkkate almadan determnstk br şeklde oluşturulan modeller vasıtasıyla elde edlen etknlk sonuçları yanıltıcı olablr. Çünkü, hava şartları, hakem kararları gb etkenler maç çersnde sonuca etk edc ve sonucu belrleyc olablmektedr. Bu nedenle futbol takımlarının performanslarının ve etknlklernn ölçülmesnde, SSA yaklaşımının kullanılması avantajlar sağlayablr. Bu tez çalışması kapsamında; SSA metodu le 2006 FIFA Dünya Kupası na katılan ülkelern oyun eksenndek performans hesaplamaları yapılarak, takımların sıralamaları oluşturulmuş, sıralamanın geçerllğ, turnuva sonucunda gerçekleşen sıralama sonucu le karşılaştırılarak test edlmştr. SSA le takımların oyun eksennde etknlklern hesaplamak çn, FRONTIER Verson 4.1 sml blgsayar programı kullanılmıştır. Ortaya çıkan sıralamanın geçerllğnn tesptnde se, Spearman sıra korelasyon test kullanılmıştır. Bu test yapablmek çn, SPSS 10.0 statstk paket programı kullanılmıştır. Çalışmanın knc bölümünde; SSA yöntem açıklanmış, konu le lgl temel kavramlardan bahsedlmştr. SSA bu bölümde detaylı br şeklde anlatılmış, ayrıca analz kapsamında seçtğmz model belrtlmştr. Üçüncü bölüm, çalışmanın uygulama kısmını çermektedr. Bu bölümde, araştırılan problemn kapsamından bahsedlmş, futbol alanındak SSA le lgl çalışmalara değnlmştr. Ayrıca, çalışmada kullanılan verler ve değşkenlere lşkn blgler ortaya konmuş, oluşturulan modeller kapsamlı br şeklde ele alınmış, uygulamaya lşkn yorumlar yapılmıştır. Dördüncü ve son bölüm olan sonuç ve önerler bölümünde se; genel anlamda elde edlen sonuçlar ve çalışmanın eksk noktaları ortaya konmuş, bu çalışma çerçevesnde yapılablecek çalışmalara lşkn alternatfler ve önerler belrtlerek çalışma sonlandırılmıştır.

13 3 2. STOKASTİK SINIR ANALİZİ 2.1. Stokastk Sınır Analz Kavramı Stokastk sınır analz (SSA), sınır fonksyonlarını tahmn etmek ve bu suretle üretmn etknlğn ölçmek çn kullanılan br yaklaşımdır. Stokastk sınır analz ekonometrk metotların kullanımını çermektedr. Stokastk sınır modellemes ve etknlk ölçümünün başlangıç noktası Farrell tarafından ortaya koyulan yaklaşımdır. Farrell br karar verme brmnn etknlğnn ölçümünde k tane unsuru önermştr. Bunlardan brncs, teknk etknlk, kncs tahss etknlğdr. Teknk etknlk; br frmanın elndek mevcut grd kümesnden elde edebleceğ maksmum çıktı sevyesn belrlemeye yarayan br ölçüttür. Tahss etknlğ; grdlern fyatları mevcut ken, frmanın bu grdler uygun oranlarda kullanablme kablyetn göstermektedr. Bu k ölçüt toplam ekonomk etknlğn ölçümünü sağlamak çn brleştrlmektedr. Bu k etknlk ölçüsü, tümüyle etkn olan frmaların üretm fonksyonunun blndğn varsaymaktadır. Uygulamada üretm fonksyonu hçbr zaman blnmedğnden, Farrell üretm fonksyonunun parametrk olmayan br parçalı doğrusal teknoloj veya Cobb-Douglas bçmne benzer br parametrk fonksyon kullanılarak örnek verden tahmn edlmes gerektğn ortaya koymuştur [1]. Üretm fonksyonunun parametrk olmayan br doğrusal teknoloj kullanılarak örnek verden tahmn edlmes yaklaşımı Charnes ve Cooper gb blm adamlarınca ele alınmış ve ver zarflama analz teknğ gelştrlmştr. Cobb-Douglas bçmne benzer br parametrk fonksyon kullanarak örnek verden üretm fonksyonun tahmn edlmes yaklaşımı se Agner ve Chu tarafından ele alınmış ve daha sonra stokastk sınır modelnn gelştrlmes le sonuçlanmıştır [2]. Agner ve Chu, N tane frmayı çeren br örnek very kullanarak, Cobb-Douglas bçmne benzer br parametrk sınır üretm fonksyonunun tahmn edlebleceğn ortaya koymuştur [2].

14 4 Model aşağıdak gb tanımlanmaktadır: ln(y )= x β- u, =1,2,,N (2.1) β= (β 0, β 1,, β K ) (2.2) Eş. 2.1 de yer alan ln(y ),. frmanın skaler br değer olan çıktı değernn logartmasını göstermektedr, x se (K+1) lk br satır vektörüdür. Bu vektörün lk elemanı 1 dr. Kalan elemanları se,. frma tarafından kullanılan K tane grdnn mktarlarının logartmaları oluşturmaktadır. Eş. 2.2 de yer alan β, modelde tahmn edlmes gereken parametreler çeren ( K+1) lk sütun vektörüdür. Eş. 2.1 de yer alan u, negatf olmayan rastgele değşkendr. Endüstry oluşturan karar verme brmlernn üretm çersnde teknk etkn olmama durumu le alakalı br değşken olarak da modelde yer almaktadır. Frmaların teknk etkn olmama durumunu yansıtmak amacı le modele eklenmştr. Yukarıda tanımlanan eştlkler çeren model vasıtasıyla, x olarak adlandırılan grd vektörü mevcut ken,. frmanın teknk etknlğ tanımlanablr. Bu frmanın teknk etknlğ, sınır fonksyonundan faydalanarak elde edlen gözlenen çıktı değernn, frmanın potansyel çıktı değerne oranlanması le elde edlmektedr. Bu şeklde. frmanın teknk etknlğ matematksel br formülle aşağıdak gb fade edleblr. TE = x β y e x β = x β e e u u = e (2.3)

15 5 Teknk etknlk, çıktı yönlü br ölçüdür. Eş. 2.3 de yer alan teknk etknlğe at matematksel fade, teknk etknlğn Farrell ölçüsü olarak adlandırılır. Bu ölçü 0 le 1 arasında değer alablr. Teknk etknlğn Farrell ölçüsü aynı grd vektörünü yan aynı grdler kullanan tamamen etkn olan br karar verme brm tarafından üretleblen çıktı mktarına kıyasla. frmanın çıktı büyüklüğünü gösterr. Böylelkle, bu ölçü, karar verme brmler arası çıktı değerler açısından nsp kıyaslama olanağı tanımış olur. Eş. 2.3 de yer alan teknk etknlk değer, gözlenen çıktı değer y, sınır çıktı değernn tahmn edlmş değer olan x β e le oranlandığında elde edlr. Sınır çıktı değernn elde edlmes çn se, β doğrusal programlama metodu kullanılmalıdır. Burada β tahmn edlrken brtakım sınırlamalar ve koşullar söz konusudur. Koşullar: N 1. u fades mnmze edlmeldr. =1 2. u 0, =1,2,,N kısıtları sağlanmalıdır. Agner ve Chu ayrıca β tahmnnde karesel programlamanın da kullanılableceğn fade etmşlerdr [2]. Agner ve Chu tarafından önerlen modele benzer br model de Afrat tarafından önerlmştr [3]. Afrat tanımladığı modelde br farklılık ortaya koymuştur. Afrat, u s olarak u nn yerne tanımladığı fadenn, gama dağılımına sahp olduğunu varsaymaktadır. Modeln parametrelernn en çok olablrlk metodu kullanılarak tahmn edlmes gerektğn savunmaktadır. Rchmond se, Afrat tarafından öne sürülen modeln parametrelernn düzeltlmş, sıradan en küçük kareler metodu le de tahmn edlebleceğn fade etmştr [4]. Bu metot, eğm parametreler çn yansız olan sıradan en küçük kareler tahmn edclern kullanır. Kesm parametres olan β 0 ın negatf yanlı sıradan en küçük kareler tahmn edcs se, sıradan en küçük

16 6 kareler artıklarından elde edlen hata dağılımının, örnek momentlernn kullanımı le yukarıya yuvarlanır. Schmdt se, Agner ve Chu tarafından önerlen doğrusal ve karesel programlama tahmn edclernn (eğer; u s üstel dağılım gösterrse ya da bu değşkenler sırasıyla yarı normal rastgele değşkenler se) en çok olablrlk tahmn edcler olduğunu vurgulamıştır [5]. Yukarıda elde edlen belrleyc sınır modele yöneltlen lk eleştr, olası ölçüm hatalarının etksnn ve sınır üzernde dğer etkl olablecek unsurların hmal edlmes ve dkkate alınmamalarıdır. Sınırdan olan tüm sapmalar, teknk etkn olmama durumunun sonuçları olarak algılanmaktadır. Tmmer, Agner ve Chu tarafından önerlen, tahmn edlen sınıra yakın olan frmaların, bell br yüzdesn çıkarma yaklaşımını benmsemştr [6]. Ayrıca, azaltılmış örnek verlern kullanarak sınırı yenden tahmn etmştr. Çıkarılacak gözlemlern yüzdesn seçme şlemnn steğe göre belrlenmes, olasılıksal sınır yaklaşımının genş br ktle tarafından kabul görmedğ anlamını ortaya çıkartmaktadır. Lteratürde gürültü (nose) olarak adlandırılan stenmeyen etkler problemnn çözümü çn genş ktle tarafından da benmsenmş olan alternatf br yaklaşım mevcuttur. Bu alternatf se, stokastk sınır yaklaşımı olarak blnen metottur Stokastk Sınır Üretm Fonksyonu ve Model Agner, Lovel ve Schmdt ve Meeusen ve van den Broeck brbrlernden bağımsız olarak stokastk sınır üretm fonksyonu önermşlerdr. Bu yen denklemde negatf olmayan rastgele değşken u ye rastgele hatayı göstermes çn v değşken eklenmştr. Bu değşken eklenerek, Eş. 2.1 ve Eş. 2.2 nn beraber temsl ettğ model düzenlenerek, aşağıdak bçm elde edlmştr [7, 8]. ln( y ) = x β + v u, = 1,2,,N, (2.4)

17 7 Eş. 2.4 de yer alan tesadüf hata v, ölçüm hatasını, havanın, şansın ve benzer dğer tesadüf faktörlern etkler le modelde tanımlanmamış grd değşkenlernn, toplam etklernn, brlkte çıktı değşkennn değer üzernde oluşturdukları etky yansıtmaktadır. Agner, Lovell ve Schmdt v s nn bağımsız ve özdeş dağılan sıfır ortalamalı ve σ 2 v sabt varyansına sahp olan normal rastgele değşkenler olduğunu, bununla brlkte bağımsız ve özdeş dağılan üstel veya yarı normal rastgele tesadüf değşkenler olan u s den bağımsız olduğunu varsayar [7]. Eş. 2.4 le temsl edlen model, stokastk sınır üretm fonksyonu olarak tanımlanır, çünkü çıktı değerler stokastk (rastgele) değşken e x β + v tarafından üstten sınırlanır. Rastgele hata v poztf veya negatf olablr, ve böylece stokastk sınır çıktıları x β e e göre sınır fonksyonunun belrleyc, rastgele olmayan bölümüne göre değşklk gösterr En çok olablrlk tahmn Eş 2.4 de tanımlanan stokastk sınır üretm fonksyonundak β le fade edlen parametreler en çok olablrlk metodu ya da düzeltlmş sıradan en küçük kareler metodunun Rchmond tarafından ortaya konulan, değşk br bçm vasıtasıyla tahmn edleblr [4]. Düzeltlmş sıradan en küçük kareler metodu, en çok olablrlk metodu kadar ölçümsel çaba gerektrmemektedr. En çok olablrlk metodunun ölçümü, olablrlk fonksyonunun sayısal maksmzasyonunu gerektrr. Bununla brlkte, bu ayrım Greene tarafından gelştrlen LIMDEP ekonometr paket, Coell tarafından ortaya konan FRONTIER programı gb blgsayar yazılımlarının üretm ve kullanılır hale getrlmeler le azalmıştır [9-11]. Bu k yazılım da stokastk sınır modellernn parametrelernn en çok olablrlk metodu le tahmnne olanak tanımaktadır. En çok olablrlk tahmncs, asmptotk olarak, düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmncsnden daha etkndr. Ancak k tahmncnn özellkler sonlu örneklerde analtk açıdan belrlenememektedr. Yarı normal sınır modelnn, sonlu örnek

18 8 özellkler, Coell tarafından yapılan br Monte Carlo deneynde ncelenmştr [12]. Bu deney sayesnde, en çok olablrlk tahmncsnn, toplam varyans term çersnde teknk etkn olmama etklernn payının büyük olması durumunda, düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmncsnden daha anlamlı ve y br tahmnc olableceğ bulunmuştur. Bu sonuç dkkate alındığında, alışagelmş en çok olablrlk yöntemlernn varlığında, en çok olablrlk tahmncs mümkün olduğu sürece, düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmncsne kıyasla, kullanımda öncelk kazanmalıdır. Bu noktada stokastk sınır modelnn parametreler çn gerekl olan, en çok olablrlk tahmnclernn elde edlşnde zlenlen adımlar ele alınmalı ve tartışılmalıdır. Bu tartışma teknk etkn olmama etkler çn yarı normal dağılım konusunu çermektedr. Çünkü bu durumun denemel uygulamalarda sıkça karşılaşıldığı varsayılmaktadır. Agner, Lovell ve Schmdt Eş. 2.4 le temsl edlen model ele alıp düzenleyerek, logartmk olablrlk fonksyonunu türetmşlerdr. Üretlen bu fonksyonda u s nn bağımsız ve özdeş dağılan N(0,σ 2 ) le tanımlanan normal rastgele br değşkenn keskl halne sahp olduğu varsayılmaktadır. Sıfır noktasında bu keskl durum meydana gelmektedr. Ayrıca, u s bağımsız ve özdeş dağılan N(0,σ 2 v ) le tanımlanan v s den bağımsızdır. Agner, Lovell ve Schmdt k varyans parametres bakımından, olablrlk fonksyonunu fade ettler. Bu fonksyon le aşağıdak eştlklern geçerl olduğunu ortaya koymuşlardır [7] s σ σ v σ + (2.5) λ σ / (2.6) σ v Battese ve Corra [13] se aşağıda yer alan eştlğn kullanılması gerektğn belrtmşlerdr. γ σ σ (2.7) 2 / s 2

19 9 Eş. 2.7 da yer alan γ parametresnn 0 le 1 arasında değer almasından dolayı kullanılması gerektğ vurgulanmıştır. Özellkle, Battese ve Corra nın bu önersnde λ parametresnn negatf olmayan her değer alablmes de etkldr. Ayrıca γ parametrezasyonu en çok olablrlk tahmnlern elde etmek çn yapılan araştırmada, avantajlara sahptr. Çünkü γ çn parametre uzayı uygun br başlangıç değer çn teratve (tekrarlı) maksmzasyon algortmasını sağlamada araştırılablr. Battese ve Corra logartmk olablrlk fonksyonunu bu parametrezasyon açısından aşağıdak denklem le göstermşlerdr [13]. ln( L) N N N N 2 = ln( π / 2) log( σ s ) + ln[1 φ( z ] = 1 2σ s = 1 1 (ln y 2 x β ) ) (2.8) Eş. 2.8 le lgl br dönüşüm söz konusudur. Bu dönüşüm aşağıda gösterldğ gbdr: (ln y x β ) γ z = (2.9) σ 1 γ s Eş. 2.9 de yer alan dönüşüme ek olarak, Eş. 2.8 de yer alan fade düzenlenrken, φ(.) standart normal rastgele değşkennn dağılım fonksyonu olarak kabul edlmektedr. β 2, σ S ve γ nın en çok olablrlk tahmnler, Eş. 2.8 de fade edlen logartmk olablrlk fonksyonunun maksmumunun bulunması le elde edlr. En çok olablrlk tahmn edcler sürekl ve asmptotk olarak etkndrler [7]. Fronter 4.1 blgsayar programı en çok olablrlk tahmnlern Eş. 2.8 le elde etmede kullanılablr.

20 Ortalama teknk etknlğn tahmn edlmes Stokastk sınır üretm fonksyonunun lk önerlşnden sonra, modeln parametreler tahmn edlmştr. Bununla brlkte pyasayı oluşturan karar verme brmlernn ortalama teknk etknlğ belrlenmştr. Bu belrlemelern her ks de kestsel verler çeren farklı uygulamalarda ele alınmıştır. Başlangıçta frmaların kendne at olan teknk etknlk değerlernn tahmn edlemeyeceğ ddası ortaya atılmıştır. Ancak, daha sonra bunun doğru olmadığı anlaşılmıştır. Teknk etknlğn matematksel beklenen değer (ortalaması) aşağıdak şeklde fade edlmektedr. TE e u = (2.10) Eş da yer alan fade, teknk etkn olmama etkler çn dağılım varsayımları verldğnde hesaplanablr. Eğer u s bağımsız ve özdeş dağılan yarı normal rastgele değşkenler se, teknk etknlğn beklenen değer aşağıdak şeklde gösterlmektedr. u E[ e ] = 2[1 φ( σ γ ) s 2 γσ s 2 (e ) ] (2.11) Ortalama teknk etknlk çn en çok olablrlk tahmn edcs, lgl parametreler çn en çok olablrlk tahmn edclern yerne koyarak, yukarıda yer alan Eş vasıtasıyla elde edlmektedr. Örnek karar verme brmlernn kendlerne at teknk etknlkler tahmn edlebldğ çn, ortalama teknk etknlğn alternatf tahmn edcs, örnek karar verme brmlernn kendlerne at teknk etknlklernn artmetk ortalamasının hesaplanması le mümkün olablmektedr. Ancak, artmetk ortalama en y br tahmn edc olmayablr. Çünkü örnek frmaların önemsenmes gereken düzeyde farklı şlem büyüklükler olablr ya da populasyon çersnden bast tesadüf örnekleme le elde edlemeyeblr.

21 Karar verme brm düzeyndek teknk etknlklern kestrm Blndğ üzere. frma çn teknk etknlk Eş da tanımlanmaktadır. Bu fade teknk etkn olmama etksn fade eden, gözlenemeyen u termn çermektedr. Stokastk sınır modelndek parametre vektörü β nın gerçek değer blnse dah, sadece aşağıda fade edlen fark gözlemleneblrd. e v u (2.12) Sonuç olarak, tanımsal olarak fade edlrse, u nn en y kestrm v -u blndğnde u nn koşullu beklenen değerdr. Bu sonuç Jondrow, Lovell, Materov ve Schmdt tarafından ortaya konulan stokastk sınır modelnde ortaya konmuş ve uygulanmıştır [14]. Aşağıdak sonuç türetlmştr. E[ u φ( γe / σ A ) / e ] = γe + σ A{ } (2.13) 1 φ( γe / σ ) A Eş le lgl brtakım dönüşümler söz konusudur. Bunlar aşağıda gösterldğ gbdr. σ A 2 ( 1 γ ) σ S = γ (2.14) e = ln( y ) x β (2.15) Eş ve Eş de fade edlen dönüşümlere ek olarak, Eş 2.13 de yer alan fade düzenlenrken, φ(.) standart normal rastgele değşkenn yoğunluk fonksyonu olarak kabul edlmektedr. Ayrıca, u nn şlemsel kestrm, Eş dek blnmeyen parametrelerle, en çok olablrlk tahmn edclernn veya düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmn

22 12 edclernn yer değştrmesn çerr. Jondrow. frmanın teknk etknlğnn aşağıdak şeklde hesaplanması gerektğn ortaya koymuştur [14]. 1-E[u /e ] (2.16) Dğer araştırmacılar, teknk etknlğn Eş da yer alan lgl kestrmn u nn yerne konması le elde edlebleceğn belrtmşlerdr. Ayrıca, yerne konması le, Battese ve Coell fade le elde edlebleceğn vurgulamışlardır [15]. u e fadesnde u nn u e fadesnn en y kestrmnn aşağıdak E[ e u 2 φ ( σ / ) ( A A + γe σ A γe σ + ) 2 1 / e ] = e (2.17) 1 φ( γe / σ ) A Bu kestrm, Eş de yer alan u e dek u y kestrm çn kullanılan fadeden farklı değer vermektedr. Bu durum, rastgele değşkenn doğrusal olmayan fonksyonunun beklenen değernn, rastgele değşkenn beklenen değernn fonksyonuna eşt olmamasının özel br sonucudur. Bu sonuç aşağıdak şeklde fade edleblr. {E[g(x)] g(e[x]) doğrusal olmayan fonksyon g(.) çn} (2.18) Fronter blgsayar programında uygulanan teknk etknlk kestrm, Eş de yer alan blnmeyen parametrelern yerne, en çok olablrlk tahmnlernn konması le elde edlmektedr Stokastk sınır model le lgl testlern hpotezler Eş. 2.4 le temsl edlen sınır model çn, modelde teknk etkn olmama etksnn hç bulunmaması boş hpoteznn test, boş ve alternatf hpotezler oluşturup, daha sonra bunları değerlendrlerek mümkün olablr. Bu noktada aşağıda gösterldğ

23 13 üzere, boş ve alternatf hpotezler kurularak değerlendrmenn başlangıcına ulaşılmış olur. H 0 : σ 2 = 0 (2.19) H 1 : σ 2 > 0 (2.20) Yukarıda belrtldğ üzere, H 0 boş hpotezne karşı, H 1 alternatf hpotez oluşturulmuştur. Burada 2 σ, u nn dağılımını elde etmek çn, sıfır noktasında keskl olan, kesntye uğrayan normal dağılımın varyansıdır. Eğer bu varyans sıfır se, o zaman tüm u s ler sıfır olur. Bu da tüm frmaların tamamen etkn olduğunu fade eder. Eş ve Eş de oluşturulan hpotezler, farklı test statstkler kullanarak test edleblrler. Wald statstğ edcsnn, 2 σ çn, en çok olablrlk tahmn 2 σ nn tahmnlenmş standart hatasına oranlanması le bulunur. Bu statstk veya onun çok az değşme uğramış hal, açık veya dolaylı olarak Agner, Lovell ve Schmdt tarafından lk uygulanışından ber stokastk sınır modeln çeren neredeyse tüm deneysel analzlerde tatbk edlmştr. Agner,Lovell ve Schmdt, Amerkan ana maden endüstrsnden gelen verlern analzn modelde uygulandıklarında, Wald statstğnn önemsz br değere sahp olduğunu bulmuşlardır [7]. Br çok durumda, hpotezlern eşdeğer kümelernden br düşünülmektedr. Örneğn aşağıda bunu fade eden benzer 2 durum gösterlmektedr. H 0 : λ = 0 (2.21) H : λ 0 (2.22) 1 > H 0 : γ = 0 (2.23) H : γ 0 (2.24) 1 >

24 14 Bu düşünce yapısının oluşumunda, stokastk sınır modelnn tahmnnde kullanılan parametrezasyona bağlı kalma etkl olmaktadır [13]. Battese ve Corra parametrezasyonu benmsendğ çn, γ termn çeren hpotezler de Eş ve Eş de belrtlmektedr. Wald test çn, γ tahmnnn yne γ nın tahmnlenmş standart hatasına oranı hesaplanır. Eğer H 0 : γ = 0 boş hpotez doğru se yan gerçeklenrse, bu statstk standart normal rastgele değşken gb asmptotk dağılır. Bununla beraber, test tek yanlı test edlmeldr, çünkü γ negatf değerler alamaz. Monte Carlo çalışmasını kullanarak, Coell Wald testnn çok sağlıksız ölçme özellklerne sahp olduğu sonucuna varmıştır. Burada karşılaşılan nokta, brncl tp hata olasılığı olarak ntelendrlmektedr. Örneğn 100 gözlem çeren br örneklemde, Wald testnn arzu edlen ölçüsü, α = 0. 05, boş hpotez %20 oranında reddetmek çn gözlemlenmştr. Oysak gerekl oran %5 olarak fade edlmektedr. Coell tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran testnn en çok olablrlk tahmn çerdğnde uygulanması gerektğn ortaya koymuştur. Çünkü bu test kurala uygun ve doğru ölçüye sahptr [12] Tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test Tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test, boş ve alternatf hpotezler altında, modeln tahmnn gerektrr. Boş hpotez altında, H 0 : γ = 0 ken, model u teknk etkn olmama etks term olmayan geleneksel ortalama tepk fonksyonuna eşttr. Test statstğ aşağıdak şeklde hesaplanmaktadır. LR = 2{ln[ L( H 0) / L( H1)]} = 2{ln[ L( H 0)] ln[ L( H1)]} (2.25) Bu fadede, L(H 0 ) ve L(H 1 ) olablrlk fonksyonunun, boş ve alternatf hpotezler altındak değerlern sırasıyla fade etmektedr.

25 15 Eğer H 0 doğru se, bu test statstğnn sınırlama sayısını çeren serbestlk derecesne eşt, asmptotk dağılan k-kare rastgele değşken olarak dağıldığı varsayılmaktadır. Yne de, H 0 : γ = 0 boş hpotezn test etmede zorluklar ortaya çıkar. Çünkü γ = 0, γ çn mevcut olan parametre uzayı sınırının üzernde yer almaktadır. Bu durumda, eğer H 0 : γ = 0 doğru se, genelleştrlmş olablrlk oran statstğ LR, k-kare dağılımlarının karışımı olan br asmptotk dağılıma sahptr. Aşağıdak şeklde fade edleblr [12] LR = χ 0 + χ 1 (2.26) 2 2 Bu tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test çn, krtk değer hesaplamak oldukça kolaydır. Yan H 0 : γ = 0 boş hpotezne karşı H : γ 0 alternatf 1 > hpoteznde krtk değer hesaplamak zorluk teşkl etmez. Bu durumda 2 1 α α büyüklüğünde test sınamak çn, krtk değer χ (2 ) değerne eşttr. Bu değer 2 χ 1 tesadüf değşken tarafından 2α ya eşt br olasılıkla geçlr. Böylece, tek taraflı genelleştrlmş olablrlk oran testnn α büyüklüğünde sınaması aşağıda özetlenmştr. Bu sınamanın fades reddet H 0 : γ = 0 boş hpotezn H : γ 0 alternatf hpotez 1 > 2 1 α lehne genelleştrlmş olablrlk oran statstğ LR χ (2 ) değern aşarsa(geçerse) gbdr. Bu yüzden α = büyüklüğünde test sınamak çn, krtk değer, eğer sınırlama sayısı 1 se, k-kare dağılımı le hesaplanan değer olan 3,84 değl, Eş dak formülün hesaplanması le elde edlen 2,71 değerdr Stokastk Sınır Model ve Keskl Normal Dağılım Stokastk sınır model le lgl ortak br tartışma konusu da, teknk etkn olmama etklern gösteren u çn, herhang br dağılım bçmnn seçlmesne dar ön açıklama olmamasıdır. Yarı normal ve üstel dağılım keyf seçmlerdr. Her k

26 16 dağılım da sıfır noktasında tepe değerne sahp olduğu çn, bu durum etkn olmama etklernn yüksek olasılıkla sıfırın komşuluğunda olduğunu göstermektedr. Bu durum, dğer taraftan görecel olarak yüksek teknk etknlğ de göstermektedr. Uygulamada, etkn karar verme brmler le karşılaşılmıştır. Ancak, etkn olmayan karar verme brmleryle de karşılaşmak olasıdır. Brkaç araştırmacı bu tartışmaya yanıt vermek çn ncelemeler yaptılar. Bu tartışmaya dar yanıt oluşturmak çn, daha genel dağılım bçmler tanımladılar. Örneğn, keskl normal ve k parametrel gama dağılımları teknk etkn olmama etkler çn tanımlanmıştır [16, 17]. Bu k dağılım, genş br alanı kapsayan dağılımsal şekllern aralığına olanak tanır. Örneğn, sıfır çermeyen tepe değerler le beraber, br değern çermeler bu durumu kanıtlamaktadır. Fakat, bu durum hesaplama karmaşıklığından kaynaklanan malyetlere neden olur. Keskl normal dağılımın, gama dağılımına nazaran daha az sayıda hesaplama güçlüğü çektğ görülmektedr. Genelleştrlmş keskl normal dağılım, hem LIMDEP hem de FRONTIER programlarında uygulanmaktadır. Keskl normal dağılım, yarı normal dağılımın genelleştrlmş haldr. Ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan normal dağılımın sıfır noktasında kesğe uğramış hal le elde edlr. Eğer µ daha önceden sıfır olarak tanımlanmış se, o zaman dağılım yarı normaldr. Dağılım farklı bçmler alablr. Farklı bçmler alması büyüklük ve µ nün şaretne bağlıdır. Keskl normal stokastk sınırın tahmn, µ parametres le brlkte modeln dğer parametrelernn tahmnn çerr. Modeln parametrelernn en çok olablrlk tahmn çn gerekl olan logartmk olablrlk fonksyonu lk kez Stevenson tarafından önerlmştr [16]. Frmaların teknk etknlklernn uygun kestrmler çn tanımlamalar Battese ve Coell de ortaya konmuştur [15]. Stokastk sınır üretm fonksyonları üzerne yapılan brçok uygulamalı çalışma, genelleştrlmş keskl normal modeln spesfkasyonları ver olarak mevcut ken,

27 17 bast yarı normal modeln, vernn uygun br temsl olduğunu varsayan boş hpotezn test etmektedr. Bu durum H 0 : µ =0 boş hpotez test edlerek değerlendrleblr. Burada test şlem Wald test veya genelleştrlmş olablrlk oran test kullanılarak kolaylıkla yapılablmektedr Keskl normal modelde tek yanlı genelleştrlmş olablrlk oran test Eğer boş hpotez, yan modelde teknk etkn olmama etklernn bulunmadığını öne süren, hpotez doğru se, o zaman genelleştrlmş olablrlk oran statstğ k-kare dağılımlarının karışımı olarak asmptotk br şeklde dağılmıştır. Bu durumda, %5 önem sevyesnde karma k-kare dağılımı çn krtk değer 5,138 dr. Bu değer dağılımı çn %5 önem sevyesndek uç değer olan 5,199 değernden küçüktür. Bu değer brkaç çalışmada krtk değer olarak kullanılmıştır. Örneğn, Battese ve Coell [15]. 5,138 krtk değer Kodde ve Palm da yer alan Tablo 1 den alınmıştır [18]. Bu testn stokastk sınır modellerndek daha detaylı kullanımı hakkındak blg Coell ve Battese de yer almaktadır [19]. 2 χ Alternatf Fonksyonel Bçmler Cobb-Douglas fonksyonel bçm, sınır modellern deneysel tahmnlernde ortak olarak kullanılmaktadır. Bastlğ ve kolay anlaşılır oluşu, çok etkleyc br özellğdr. Logartmk dönüşüm, grdlern logartmalarında doğrusal (lneer) oldukları model sağlamaktadır. Bu yüzden Cobb-Douglas bçmn tahmn etmek kolaydır. Ne var k, bu kolaylık brkaç sınırlayıcı özellkle etkleşm halndedr ve sınırlayıcı özellklern etks altındadır. Cobb-Douglas üretm fonksyonu sabt grd esneklklerne sahptr. Örnektek tüm karar verme brmler çn sabt ölçeğe göre getrye sahptr. Üstelk, Cobb Douglas fonksyonu çn kame esneklğ değer 1 dr.

28 18 Brkaç alternatf fonksyonel bçm de sınır modeller le lgl lteratürde kullanılmaktadır. Bunlardan en popüler olan k tanes, translog [20] ve Zellner- Revankar genelleştrlmş üretm fonksyonu olarak fade edlmektedr [20, 21]. Bunlardan Zellner-Revankar bçm ölçeğe göre getr kısıtlamasını ortadan kaldırmaktadır [21]. Translog bçm se, ölçeğe göre getr veya kame olanakları üzerne hçbr kısıtlama yüklememektedr [20]. Fakat çoklu bağlantıya duyarlı olma ve serbestlk dereces problemler gb dezavantajları mevcuttur. Bu problemlerden sstem tahmn edclern kullanılarak sakınılablr. Bunların hesaplanması çok karmaşıktır. Br takım ek problemler de berabernde getrmektedr. Brçok çalışma, hem Cobb-Douglas fonksyonel bçmn, hem de translog fonksyonel bçmn tahmn etmştr. Daha sonra da vernn temsl açısından, translog modelnn spesfkasyonları mevcut ken, Cobb-Douglas bçmnn uygun olduğunu ortaya koyan boş hpotez test etmşlerdr. Bu hpotez, genelleştrlmş olablrlk oran test kullanılarak, test edleblr. Genelleştrlmş oran test hakkında Grffths, Hll, Judge detaylı blgler sunmaktadır [22] Panel Ver Modeller Eğer, bell br sayıdak frma, bell br süre zarfında gözlemlenrse, o zaman elde edlen verye panel ver denr. Stokastk sınır modellern tahmnnde, panel vernn, kest versne göre, bazı avantajları vardır. Panel vernn kullanılablrlğ, parametrelern tahmn çn çok sayıda serbestlk derecesnn olduğunu göstermektedr. Daha da önemls, panel ver, hem teknk değşmn, hem de teknk etknlktek zamanla oluşan değşmn eş zamanlı ncelenmesne olanak tanımaktadır. Ancak bunun gerçekleşmes çn, teknk değşmn uygun br parametrk model tarafından tanımlanmış olması, stokastk sınır modelndek teknk etkn olmama etklernn stokastk olmaları ve belrlenen dağılıma sahp olmaları gerekmektedr.

29 19 Ptt ve Lee, Agner, Lovell ve Schmdt tarafından oluşturulan yarı-normal modeln panel ver versyonunu tanımladılar. Bu model aşağıda yer alan eştlklerde tanımlanmaktadır [23]. ln( y ) = x β + v u, =1,2,..,N ; t=1,2,,t; (2.27) t t t t Eş da yer alan y t,. frma çn t. zaman peryodundak çıktı değern göstermektedr. Öte yandan, x t se (1 K) lık grdlern değerlern gösteren vektördür. Dğer değşkenler uygun br fonksyonel bçmle lşkldr. Örneğn, Cobb-Douglas modelndek fonksyonel bçmle lşkl olablrler. β se tahmn edlecek blnmeyen skaler parametrelern (K 1) lk vektörüdür. Ayrıca, s v t tesadüf(rastgele) hatalardır. Bağımsız ve özdeş dağıldıkları varsayılır. Ortalaması sıfır varyansı σ 2 v olan normal dağılıma sahptrler ve u t s den bağımsızdırlar. Burada, u t s modeldek teknk etkn olmama etklerdr. Değşk durumlar, panel ver modelnde u t s nn dağılımı çn varsayılmıştır. İlk bast modelde, onların bağımsız ve özdeş dağılan tesadüf (rastgele) değşkenler oldukları tanımlanmıştır. Bu durum, belrl br frma üzernde ek gözlemler elde etmenn, daha çok frma çn gözlemler elde etme karşısında, belrl zaman dlmlernde dkkate değer avantajlar getrmedğn göstermektedr. İknc bast model se teknk etkn olmama etklernn zamanla değşmez olduklarını varsaymaktadır. Bu bast model aşağıdak eştlklerde fade edlmektedr. u t = u, =1,2,,N; t=1,2,,t (2.28) Orjnal olarak Stevenson tarafından önerlen Eş de fade edlen model, Battese ve Coell genşletmşlerdr [15, 16]. Böylece u s genelleştrlmş keskl normal dağılıma sahp olmuştur. Battese, Coell ve Colby ek olarak dengesz panel verye zn vermek çn, model genşletmşlerdr [24]. Zaman (T) büyüdükçe, teknk etkn olmama etklernn zamandan bağımsız olduğu varsayımını sağlamak,

30 20 oldukça zor hale gelmektedr. Üretm sürecndek yönetclern daha öncek tecrübelernden brtakım şeyler öğrenmş olmaları beklenmektedr. Böylece, onların teknk etkn olmama etklernn, zamanla değşklk göstereceğ varsayılmaktadır. Kumbhakar panel ver çn, br stokastk sınır model tavsye etmştr. Bu modelde teknk etkn olmama etkler zamanla sstematk olarak değşmekteyd. Zamanla değşen tanımlamasına göre oluşturulan model aşağıda yer aldığı gbdr [25]. u t 2 ( bt+ ct ) 1 = [1 + e ] u (2.29) Bu modelde, ayrıca u s nn yarı normal dağılıma sahp olduğu, b le c nn tahmn edlmes beklenen, blnmeyen parametreler oldukları düşünülmüştür. Kumbhakar, modeln en çok olablrlk tahmn kullanarak tahmn edlmes gerektğn tavsye etmştr. Fakat, daha önce hçbr deneysel uygulama grşmnde bulunulmamıştır. Battese ve Coell, Kumbhakar modelne alternatf br model önermşlerdr [26]. Bu alternatf modelde u t s, zamanın üstel fonksyonu olarak varsayılmıştır ve bu model sadece br tane blnmeyen parametreden oluşmaktadır. Schmdt ve Sckles panel ver kullanılablr ve mevcut ken, etkn olmama etkler çn, belrl br dağılım tanımlamaya hç gerek olmadığını gözlemlemşlerdr [27]. Çünkü, modeln parametreler geleneksel panel ver metotlarından olan, sabt etkler tahmn (kukla değşkenler) veya hata bleşenler tahmn le tahmn edleblmektedr. Sabt etkler yaklaşımında, tüm frma etkler sıfır veya negatf olarak tahmn edlsn dye, en büyük tahmn edlen frma kesen (ntercept), kesen parametresn tahmn etmek çn kullanılablr. Örnek frmaların teknk etknlklernn ölçümler en etkn frmalara göre elde edleblmektedr. Geleneksel panel ver metotlarının stokastk sınır tahmnlernde kullanımı, daha sık kullanılan en çok olablrlk metotlarına göre belrl avantaj ve dezavantajlara sahptr. Geleneksel panel ver yaklaşımları üzernde odaklanan tartışma, etkn olmayan ve etkn olan tüm karar verme brmlernn tahmn edlen sınırın şekl

31 21 üzernde eşdeğer (eşt) etkye sahp olmalarıdır. Ancak, en çok olablrlk tahmn kullanıldığında se, tahmn edlen sınırın şekl üzernde en çok etkye en etkn karar verme brmler sahptr. Bununla beraber, regresyon değşkenler le etkn olmama etklernn bağımsız olmadığına dar elmzde güçlü nedenler varsa, o zaman, sabt etkler panel ver model bu durumla lşklendrleblr. Bu da geleneksel panel ver modelnn sağladığı br avantajdır. En çok olablrlk tahmn se, etkn olmama etkler le regresyon değşkenlernn brbrnden bağımsız olduğunu varsaymaktadır. Cornwell, Schmdt ve Sckles ve Lee ve Schmdt, Schmdt ve Sckles modelnn genelleştrlmş şekln zamanla değşen etkn olmama etklern hesaplamak çn önermşlerdr [28, 29]. Cornwell, Schmdt ve Sckles farklı zamanlarda, farklı karar verme brmler çn, kesen (ntercept) parametrelernn zamanın karesel br fonksyonu olduğunu tanımlamışlardır [28]. Ayrıca, burada zaman değşkenler frmaya özgü parametrelerdr. Lee ve Schmdt değşk zamanlarda, frmalar çn teknk olmama etklernn, frmanın üretm ve zaman etkler tarafından tanımlandığını belrtmşlerdr [29]. Frma etknlklernn zamanla gösterdğ değşkenlğn belrten Cornwell, Schmdt ve Sckles ve Lee ve Schmdt tarafından önerlen modeller, Kumbhakar ve Battese ve Coell tarafından önerlen modellerden daha esnektr [25, 26, 28, 29]. Ancak, bu daha çok parametre tahmn malyetn de berabernde getrmektedr Zamanla Değşen Etkn Olmama Model Battese ve Coell panel ver çn stokastk üretm sınır fonksyonundak teknk olmama etklern gösteren zamanla değşen br model önermşlerdr [26]. Teknk etkn olmama etkler aşağıdak eştlklerde tanımlanmaktadır. u t ={ e [-η(t-t)] }u, =1,2,,N ; t=1,2, T; (2.30)

32 22 Eş le fade edlen modelde, u s özdeş ve bağımsız dağılan, genelleştrlmş keskl normal tesadüf değşken olarak varsayıldı. Öte yandan edlmes gereken blnmeyen skaler parametre olarak düşünülmüştür. η se tahmn Eş da k denklemnn spesfkasyonunda, eğer. frma paneln son peryodunda gözlenrse, yan perod T de gözlenrse, o zaman u = u olur. Çünkü t=t olduğu zaman, üstel fonksyon e [-η(t-t)] br değerne sahptr. Bu yüzden, u,. frma çn paneln son peryodundak teknk etkn olmama etks olarak düşünüleblr. Paneldek daha öncek peryodlar çn se, teknk etkn olmama etkler. frma çn paneln son peryodundak teknk etkn olmama etklernn üstel fonksyon e [-η(t-t)] değer le çarpımına eşttr. Burada üstel fonksyonun değer η parametresne ve paneln son peryodundan öncek Peryod sayısına (t-t)=t-t değerne bağlıdır. Eğer parametre η poztf se, o zaman [-η(t-t)]= η(t-t) olur. Bu değer negatf değldr ve böylelkle e [-η(t-t)] değer 1 den küçük olamaz, bu da u t > u olduğunu gösterr. Ters durumda, eğer η<0 se, t u T u < olur. Zamanla değşen etkn olmama modelnn br başka özellğ de teknk etkn olmama etklernn, farklı frmalar çn herhang br t zaman peryodunda üstel fonksyona sahp olmalarıdır. Yan e [-η(t-t)] = e [η(t-t)] değerne eşt olmasıdır. Bu durumda, frmaya özgü etkn olmama etkler, paneln son peryotundak durumuna uygun br hal almaktadır ve u s halne dönüşmektedr. Bu da teknk etkn olmama etklernn şddetne göre, frmaların sıralamasının tüm zaman peryotlarında aynı olduğunu göstermektedr. Bu nedenle, model görecel olarak, başlangıçta etkn olmayan frmaların, lerleyen peryotlarda, geçmşe nazaran etknlk düzeylernde herhang br artış olma htmaln hesaba katmamıştır. Zamanla değşen etkn olmama modelnde, dğer br özel durum η=0 olduğu durumda Eş le fade edlen modeln, zamanla değşmeyen model şeklne dönüşmesdr.zamanla değşen etkn olmama modelnn tanımı verldğ takdrde, teknk etkn olmama etklernn zamanla hçbr değşklk göstermedğn ortaya

33 23 koyan hpotezn test etmek mümkün olmaktadır. Bu hpotez aşağıdak eştlklerde fade edlmektedr. H 0 : η=0 (2.31) H 1 : η 0 (2.32) Eş ve Eş da yer alan genel sınır modeller verldğ zaman, bleşk H 0 : η=µ=0 hpotez sayesnde, stokastk sınırın yarı normal dağılıma sahp ve zamanla değşmeyen teknk etkn olmama etklerne sahp olduğu test edleblr. Bu bleşk hpotez le lgl fadeler aşağıdak eştlklerde yer almaktadır. H 0 : η=µ=0 (2.33) H 1 : η=µ 0 (2.34) Fronter programında, hata bleşenler model seçldğ takdrde, Eş ve Eş le başlayan modellere lşkn değerler elde edleblr. Zamanla değşen etkn olmama modelnn dğer br avantajı, teknk etkn olmamadak zamanla ortaya çıkan değşmelern, teknk değşmden ayrılıyor olablmesdr. Bu durum teknk değşmn, sınır fonksyonunda x t vektörü olarak uygun br şeklde tanımlanması le mümkündür. Sadece, teknk etkn olmama etklernn stokastk ve belrlenen dağılımlara sahp olduğu durumlarda, teknk değşm le teknk etkn olmamadak zamanla oluşan değşmler arasındak ayrım mümkün olablr Etkn Olmama Etklern Modelleme Yapılan bazı deneysel çalışmalar, örneğn, Ptt ve Lee ve Kalrajan, tahmnlenen stokastk sınırdan elde edlen tahmn edlmş etkn olmama etklern, karar verme brmne özgü faktörler üzerne (örneğn, karar verme brmnn büyüklük düzey,

34 24 karar verme brmnn yaşı ve yönetcnn eğtm düzey gb) knc aşama br analzde regrese ederek, pyasadak karar verme brmler arasında, teknk etkn olmama etklernn belrleyclern ortaya koymuşlardır [23, 30]. Fakat yne de k aşamalı bu yaklaşımda çok öneml br problem sözkonusu olmuştur. İlk aşamada, Jondrow yaklaşımını kullanım amacıyla ve teknk etkn olmama etklerne at değerler tahmn etmek çn, etkn olmama etklernn bağımsız ve eş (benzer) dağıldıkları varsayılmıştır [14]. Bununla beraber knc aşamada, tahmn edlen etkn olmama etklernn frmaya özgü faktörlern br fonksyonu olduğu varsayılmıştır. Bu durum, faktörlere at tüm katsayılar aynı anda sıfıra eşt olmazsa, tahmn edlen etkn olmama etklernn eş dağılmadıklarını göstermektedr. Kumbhakar, Ghosh ve McGuckn ve Refschneder ve Stevenson bu uyumsuzluk ve çelşky dkkate almışlardır [31, 32]. Etkn olmama etklernn, frmaya özgü bazı faktörlern açık br fonksyonu olarak tanımlandığı stokastk sınır modeller oluşturmuşlardır. Bununla beraber, tüm parametreler tek aşamalı en çok olablrlk prosedürü çersnde tahmn edlmştr. Battese ve Coell tüm yaklaşımları panel very de dkkate alma amacı doğrultusunda genşletmşlerdr [33]. Bu noktada, panel ver, teknk etkn olmama değşmlernn ve zamanla ortaya çıkan teknk değşmlern ayrı bleşenler le brlkte, teknk etkn olmama etklernn düzeyn etkledğne nanılan faktörlern parametrelernn tahmnne olanak tanımaktadır. Bu model tanımlaması Fronter programında da uygulanmıştır. Battese ve Coell tarafından önerlen model stokastk sınır modelnde teknk etkn olmama etklern açıkça belrtlmştr. Bu modelde teknk etkn olmama etklernn bağımsız ama eş (benzer) dağılmayan, negatf olmayan, tesadüf (rastgele) değşkenler oldukları varsayılmıştır. Ayrıca,. frma çn t. peryotta, teknk etkn olmama etks, u t, N(µ t,σ 2 ) dağılımının kesmesnden elde edlmştr [33]. Burada ayrıca aşağıdak eştlk söz konusu olmaktadır. = z, (2.35) µ t tδ

35 25 Eş n çersnde yer alan fadeler aşağıdak gb tanımlanmaktadır: z t : Gözlemleneblen açıklayıcı değşkenlern ( 1 M ) lk vektörüdür. Bu gözlemleneblen açıklayıcı değşkenlern değerler değşmez, sabt değerlerdr. δ tahmn edlmeye çalışılan blnmeyen skaler parametreler çeren ( M 1) lk vektörü temsl etmektedr. Genelde bu vektörün kesen parametresn de çermes beklenmektedr. Eş dek denklem, teknk etkn olmama etklernn dağılımlarını elde etmek çn sıfır noktasında keskl br hal alan normal dağılımların ortalamalarının aynı olmadığını, fakat normal dağılımların ortalamalarının, parametrelern ortak vektörünün ve gözlemleneblen değşkenlern değerlernn fonksyonları olduklarını göstermektedr. Model açıkça bast br temel üzerne kurgulanmıştır. Tesadüf değşkenler (v t s) arasındak mümkün olablecek korelasyon yapılarını hesaba katmamakta, tesadüf değşkenler ve teknk etkn olmama etklernde ortaya çıkan heterokedastste (değşen varyans) yapısını dkkate almamaktadır. Etkn olmama model ve stokastk sınır çn, logartmk olablrlk fonksyonu, Battese ve Coell de modeldek farklı parametrelere karşılık gelen logartmk olablrlk fonksyonlarının brnc parçalı türevler le gösterlmektedr [34]. Bu göstermler aşağıdak gb varyans parametreler açısından fade edlmektedrler s = σ v σ (2.36) σ + γ = σ σ (2.37) 2 / s 2 Eş de yer alan γ parametres sıfır le br arasında değer alablmektedr.

36 26 Stokastk sınır modeln en çok olablrlk tahmn, Fronter programı çersnde programlanmıştır ve model 2 olarak veya teknk etknlk etkler model olarak adlandırılmaktadır. Eş ve Eş de tanımlanan denklemlerde, dkkat edlmeye değer 2 durum vardır. Brncs, eğer tüm δ parametreler ve de skaler parametre γ sıfıra eşt se, model bu durumda ortalama tepk fonksyonuna eşt olma haln almaktadır. Bu durumda ortaya çıkan model sıradan en küçük kareler regresyonu le etkn olarak tahmn edleblmektedr. İkncs, eğer tüm δ parametreler ntercept (kesm) parametres harcnde sıfıra eşt se, sınır model Agner, Lovell ve Schmdt tarafından önerlen stokastk sınırın panel ver versyonu halne dönüşmüş olmaktadır [7]. Bu k boş hpotezn test ve dğer lgl mevzular, genelleştrlmş olablrlk oran test statstğ le elde edleblmektedr. Boş hpotez H 0 : γ = δ 0 = δ1 =... = δ ( M 1) çn genelleştrlmş olablrlk oran test, tam sınır modeln tahmn etmek çn logartmk olablrlk fonksyonu değerlern kullanarak, doğrudan Fronter programınca hesaplanablmektedr. Genelleştrlmş olablrlk oran test, sadece üretm fonksyonunun parametrelern tahmn etmek çn, sıradan en küçük kareler metodunu kullanarak elde edleblmektedr. Dğer br deyşle, etkn olmama model açıklayıcı değşken çermemektedr. Ayrıca,. frma çn t. zaman peryodunda teknk etknlk aşağıdak eştlkte gösterldğ üzere tanımlanmaktadır.. TE t e u = t (2.38) Bu değerlern kestrm Fronter de programlanmıştır.

37 Dualte ve Tahss Etknlklern Modelleme Yukarıdak bölümlerde tartışmalar genel olarak, sınır üretm fonksyonlarının tek denklem metotları kullanarak elde edlmes üzerne olan bakış açısını yansıtmaktadır. Oysa stokastk sınır modellernde kl bçmler de ele alınmaktadır. Üretm teknolojsnn, malyet ve kar fonksyonlarının kl (dual) bçmlernn ele alınmasının üç temel neden bulunmaktadır. Bunlar aşağıda yer aldığı gbdr: 1. Alternatf (değşk) davranışsal durumları göstermek ve yansıtmak. ( örneğn, malyet mnmzasyonu.) 2. Çeştl, brçok, çoklu çıktıları hesaba katmak. 3. Hem tahss etknlğn hem de teknk etknlğ eş zamanlı olarak tahmnlemek. Üretm fonksyonunun doğrudan tahmnnde k durumdan br dkkate alınmaktadır. Bunlar: a) Frmanın yönetcler ya grd düzeyler sabtlenmş ya da bu mevcut grd düzeyler ver ken, çıktıyı maksmze etmekle uğraşmaktadırlar, b) Yönetcler grd düzeylern ve çıktı düzeylern, beklenen karı (gerçek kardan zyade) maksmze etmek çn seçerler. Eğer, alınması gereken çıktı fyatlarına dar br belrszlk varsa ve /veya örneğn tarım sektöründe br yönetc üretm kararları alıyorken, üretlmes gereken çıktı mktarına dar br belrszlk varsa, o zaman gerçek kar maksmzasyonundan zyade beklenen kar maksmzasyonu varsayımı uygun olablmektedr. Bununla beraber malyet fonksyonunun daha sıklıkta br uygunluk çerdğ görüleblmektedr. Örneğn; eğer, br güç stasyonunun bell br yılda, bell br

38 28 düzeyde çıktı üretmes gerekyorsa, stokastk malyet bçmn tahmn etmek daha uygun olablmektedr. Burada oluşturulablecek denklem aşağıda yer aldığı bçmdedr. ln c = C( y, w, β ) + v + u, =1,2,N; (2.39) Eş da yer alan fadeler aşağıdak gb tanımlanmaktadırlar: c : Denklemde,. frmanın gözlenen üretm malyetn fade etmektedr. C(.): Uygun br fonksyonel bçmdr. ( Cobb-Douglas veya translog gb) y : Çıktı mktarıdır. w : ( K 1) lk dışsal grd fyatlarının vektörüdür. β: tahmn edlmes gereken blnmeyen parametrelern vektörüdür. u : negatf olmayan malyet etkn olmama etksdr ( genelde yarı normal veya keskl normal dağılıma sahp olduğu varsayılmaktadır.) Burada dkkat edlmes gereken husus, etkn olmama etks u nn üretm fonksyonu halndek gb çıkarılmak yerne, malyet sınırına toplamsal etk yaratacak şeklde eklenmş olmasıdır. Bunun sebeb malyet fonksyonunun mnmum malyet temsl etmes, öte yandan üretm fonksyonunun maksmum çıktıyı temsl etmesdr. Bu noktada, u s malyet etknlğnn düzey üzerne blg sağlamakta ve. frmanın tümsel (genel sonuçtak) ekonomk etknlğ (EE ) hakkında blg vermektedr. Bu sınır, mnmum malyetnn (u =0 le elde edlen) gözlenen malyete oranlanması le hesaplanablmektedr. Bu da aşağıdak denklemde gösterldğ gbdr.

39 29 EE e u = (2.40) Eş da yer alan ölçü sıfır le br arasında sınırlanmaktadır. Stokastk üretm sınırı durumunda hesaplanan, TE (Teknk Etknlk) fadesne benzer şeklde tahmn edleblmektedr. Tümsel ekonomk etknlğ (EE ), teknk ve tahss etknlğ (TE ve AE ) bleşenlerne ayrıştırmanın çeştl yolları vardır. Eş dek malyet sınır denklemnn parametreler standart ekonomk metotlar kullanarak da elde edleblmektedr. Çünkü y ve w nn dışsal olarak belrlendkler varsayılmıştır. Schmdt ve Lovell buhar gücü le elektrk üreten fabrkalar çn br Cobb-Douglas teknolojs tanımlamışlardır ve yarı normal stokastk malyet sınırının düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmn edcler ya da en çok olablrlk tahmn edcler kullanarak, stokastk üretm sınırlarına benzer tarzda tahmn edlebleceğn göstermşlerdr. Malyet sınırı çn olablrlk fonksyonu, düzeltlmş sıradan en küçük kareler tahmn edcler, üretm fonksyonundak yapıdan çok küçük farklılıklar göstermektedr. Brkaç şaretsel değşklkler ve farklılıklar gb. Schmdt ve Lovell detaylı br şeklde bu durumu fade etmektedr [35]. Hem LIMDEP hem de FRONTIER, malyet sınırlarını tahmn etmek çn kullanılablmektedr. Toplam malyet etknlkler (EE ), eğer tahmn edlen malyet fonksyonu tarafından kapsanılan üretm fonksyonu açıkça türetleblyorsa, teknk ve tahss unsurlarına ayrıştırılablmektedr. Bu şlem ancak Cobb-Douglas bçm kullanıldığı zaman mümkün olablmektedr. Bu durumda teknk etknlk, türetlen üretm fonksyonuna göre hesaplanmaktadır. Tahss etknlkler aşağıdak fadeye göre tahmn edleblmektedr. EE AE = (2.41) TE Bu fade aşağıdak eştlkten elde edleblmektedr.