T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AZALAN BOZULMA ORANINA SAHİP ÜÇ PARAMETRELİ YENİ BİR YAŞAM ZAMAN DAĞILIMI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AZALAN BOZULMA ORANINA SAHİP ÜÇ PARAMETRELİ YENİ BİR YAŞAM ZAMAN DAĞILIMI"

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AZALAN BOZULMA ORANINA SAHİP ÜÇ PARAMETRELİ YENİ BİR YAŞAM ZAMAN DAĞILIMI MUSTAFA ÇAĞATAY KORKMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANA BİLİM DALI KONYA, 2

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AZALAN BOZULMA ORANINA SAHİP ÜÇ PARAMETRELİ YENİ BİR YAŞAM ZAMAN DAĞILIMI MUSTAFA ÇAĞATAY KORKMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ KONYA, 2 Bu tez 8 / / 2 tarhde aşağıda ür tarafıda oybrlğ / oyçoluğu le abul edlmştr Doç. Dr. Aşır GENÇ Doç. Dr. Coşu KUŞ Yrd. Doç. Dr. İsmal KINACI (Daışma (Üye (Üye

3 ÖZET Yüse Lsas Tez AZALAN BOZULMA ORANINA SAHİP ÜÇ PARAMETRELİ YENİ BİR YAŞAM ZAMAN DAĞILIMI Mustafa Çağatay KORKMAZ Selçu Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatst Aa Blm Dalı Daışma: Doç. Dr. Aşır GENÇ 2, 52 sayfa Jür: Doç. Dr. Aşır GENÇ Doç. Dr. Coşu KUŞ Yrd. Doç. Dr. İsmal KINACI Bu tez çalışmasıda, azala bozulma oraıa sahp üç parametrel ve azala, arta ve üvet eğrs bozulma oraıa sahp dört parametrel ye yaşam zamaı dağılımı suulmuştur. Dağılımları araterst özelller celep, parametreler e ço olablrl tahmler ç EM algortması elde edlmştr. Reel verye dayalı ümer br uygulama verlmştr. Aahtar Kelmeler: Brleştrme, EM Algortması, Üstel Dağılım, Webull Dağılımı, Bozulma Oraı, Negatf Bom dağılımı, Yaşam Zamaı Dağılımları, E Ço Olablrl Tahm, Küvet Eğrs Bozulma Oraı

4 ABSTRACT Ms Thess A NEW THREE PARAMETERS LIFETIME DISTRIBUTION WITH DECREASING FAILURE RATE Mustafa Çağatay KORKMAZ Selçu Uversty Graduate School of Natural ad Appled Sceces Departmet of Statstcs Supervsor: Assoc. Prof. Dr. Aşır GENÇ 2, 52 pages Jury: Assoc. Prof. Dr. Aşır GENÇ Assoc. Prof. Dr. Coşu KUŞ Assst. Prof.Dr. İsmal KINACI I ths thess, a ew three parameters lfe tme dstrbuto wth decrasg falure rate ad a ew four parameters lfe tme dstrbuto wth bathtubs, creasg ad decreasg falure rate are troduced. Characterstc proportes of these dstrbutos are dscussed ad the estmato of parameters are studed by the method of mamum lelhood va EM algorthm. A umercal eample based o real data s also preseted. Keywords: Compoudg, EM Algorthm, Epoetal Dstrbuto, Webull Dstrbuto, Falure Rate, Negatve Bomal Dstrbuto, Lfe Tme Dstrubtos, Mamum Lelhood Estmato, Bathtubs Falure Rate

5 TEŞEKKÜR Bede her türlü desteğ hçbr zama esrgemeye değerl büyülerm ve hocalarım Doç. Dr. Aşır GENÇ ve Doç. Dr. Coşu Kuş a ve her zama yaımda ola aleme teşeürü br borç blrm.

6 v İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... İÇİNDEKİLER... v ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... v.giriş TEMEL KAVRAMLAR Yaşam Zamaı Olasılı Yoğulu Fosyou Dağılım Fosyou Yaşam Fosyou Bozulma Oraı Fosyou Mooto bozulma oraı Küvet eğrs bozulma oraları Fosyolar Arasıda İlşler Bazı Yaşam Zamaı Dağılımları Ve Özelller Üstel dağılım Webull dağılımı EG dağılımı EP dağılımı Gamma dağılımı Düzgü Dağılım Pareto I dağılımı Geometr dağılım Negatf-bom dağılımı E Ço Olablrl Parametre Tahm EM Algortması Özel Fosyolar Gama fosyou Geelleştrlmş hpergeometr fosyo ÜSTEL NEGATİF BİNOM YAŞAM ZAMANI DAĞILIMI Yaşam Zamaı Dağılımıı Elde Edlş Ve Karaterstler Dğer Dağılımlarla İlş Parametreler E Ço Olablrl Tahm Edcler Smulasyo Algortması WEIBULL NEGATİF-BİNOM DAĞILIMI Yaşam Zamaı Dağılımıı Elde Edlş Ve Karaterstler Parametreler E Ço Olablrl Tahm UYGULAMA Grzu Patlaması Vers SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR v

7 v ŞEKİLLER DİZİNİ Şel 2. Üstel dağılıma at bozulma oraı grafğ... 9 Şel 2.2 Farlı ve λ. 5 parametrel Webull dağılımıa at bozulma oraı fosyou grafğ... Şel 2.3 EG dağılımıa at bozulma oraı grafğ... Şel 2.4 EP dağılımıa at bozulma oraı grafğ... 2 Şel 2.5 Farlı ve λ parametrel Gamma dağılımıa dağılımıa at bozulma oraı grafğ... 3 Şel 3. Farlı ve p. ve durumlarıda ENB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 3.2 Farlı p değerler, ve durumlarıda ENB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 3.3 ENB dağılımıı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 4. Farlı, 3, p.5 ve α 2 ç WNB dağılımı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 4.2 > ç WNB dağılımı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 4.3 ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 4.4 Farlı >, α. 5, p. 5 ve ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 4.5 Farlıα, 2, p. 5 ve 3 ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 4.6 Farlı p,. 5, α 2 ve ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 5. ENB dağılımıda parametres değerlere göre logolablrl fosyouu aldığı değerler Şel 5.2 ENB Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.3 EP Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.4 EG Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.5 Webull Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.6 Gamma Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.7 Grzu patlamaları arasıda geçe sürelere dayalı e ço olablrl tahm edcler ullaılara elde edle ENB, EG, EP, Webull ve Gamma dağılımlarıı yaşam fosyoları grafğ Şel 5.8 p parametres terasyolar soucu aldığı değerler Şel 5.9 parametres terasyolar soucu aldığı değerler.46 v

8 v ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge. F (, f (, F ( ve h( fosyoları arasıda lş... 8 Çzelge 5. İglterede br ömür madede meydaa gele ardışı grzu patlamaları arasıda geçe süreler (gü... 4 Çzelge 5.2 Uygulama modellere at logolablrl değerler ve parametre tahmler v

9 . GİRİŞ Orgazmaları, materyaller, sstemler vb. gb yapıları yaşam zamaı dağılımlarıı modellemes, yaşam testlerde ve güverlte ço öeml br yere sahptr ve bu ou le lgl lteratürde br ço çalışma mevcuttur. Yaşam zamaı dağılımlarıı modellemesde amaç, yaşam zamaıı matematsel olara fade etme ve bua dayalı olara statstsel souçlar çıarmatır. Bu souçlar, çıarılıre de bozulma (hazard oraı fosyouu öeml br yer vardır. Gerçe hayatta olayları modellemes, lerye yöel souç çıarımı açısıda olaylılar sağladığı gb zama ve malyet usurlarıda da azaç sağlamada öeml br yer tutmatadır. Öreğ; pahalı br eletro parçaı yaşam zamaı haıda blg edme ç yapıla yaşam testde, parçaları bozulmalarıı gözlemes hem malyet hem de test zamaıı artıracağı ç bu durum stemeyeblr. Bu tp durumlarda deey ya da gözlem sorası elde edle verye dayalı olara br yaşam zamaı model öerleblr. Bu tez çalışmasıda öerle ye br yaşam zamaı ola Üstel-Negatf Bom dağılımı zamala bozulma oraı azala br verye, ye ye br yaşam zamaı olara öerle Webull-Negatf Bom dağılımı da yaşam zamaı boyuca bozulma oraı mooto veya üvet eğrs ola br verye öerleblr ve lerye yöel souç çıarma da olaylılar sağlayablr. Lteratürde bozulma oraı mooto veya üvet eğrs (bathtubs falure ola dağılım sııfları ç brço çalışma mevcuttur. Bu çalışmalarda, Loma (954, Proscha (963, Barlow ve ar. ları (963, Barlow ve ar. ları (964, 965, Marshall ve Proscha (965, Cozzolo (968, Dahya ve Gurlad (972, McNolty ve ar. ları (98, Sauders ve Mhyre (983, Nassar (988, Gleser (989, Gurlad ve Sethurama (994, Fleste ve Esaulova (2, 26, Fra (25, Adamds ve ar. ları (25 yaptıları çalışmalar mooto bozulma oraı dağılımlarıa, Horth (98, Glaser (98, M (995, Xe ve La (996, Wag (999, Che (2, Mudholar ve Srvastava (22, Xe ve ar. ları (22, La ve ar. ları (23, Dmtraopoulou ve ar. ları (27, Bebbgto ve ar. ları (27, Carrasco ve ar. ları (28, Souza ve ar. ları (28 ve Slva ve ar. ları (29 yaptıları çalışmalar da üvet eğrs bozulma oraı dağılımlarıa öre

10 2 olara gösterleblr. Küvet eğrs bozulma oraıa sahp dağılımlar ç lgl maalelere baılablr. Loma (954, yaptığı çalışmada yılları arasıda New Yor ta dört şyer ç flas modellemes yapmış ve model azala bozulma oraı (DFR özellğe sahp olduğuu göstermştr. Proscha (963, Bog 72 uça flosuda havaladırma sstemler ardışı bozulma süreler celemş ve bu süreler azala bozulma oraıa sahp olduğuu göstermştr. Ayrıca Proscha (963 üstel dağılımları arışımıı da azala bozulma oraıa sahp olduğuu spatlamıştır. Barlow ve ar. ları (963, mooto bozulma oraı fosyolarıı özelller celemş, bozulma oraı fosyouu lmt özelller, dağılım mometler ve momet çıara fosyo le lşl olduğuu göstermşlerdr. Barlow ve ar. ları (964, 965 bozulma oraı dağılımları ç sıırları celemşlerdr. Marshall ve Proscha (965, mooto bozulma oraıa sahp dağılımlar ç e ço olablrl tahm üzerde br çalışma yapıp, bu tahm edcler tutarlı oldularıı göstermşlerdr. Dahya ve Gurlad (972, Gamma(.76, azala bozulma oraı dağılımıı Proscha (963 ı verler daha y modelleyebldğ göstermşlerdr. McNolty ve ar. ları (98, üstel ale arışımlarıı suma ç, üstel arışımları bozulma oraı fosyolarıı celeyp, araterst özelller araştırmışlardır. Gleser (989, gamma dağılımıı azala olduğu durumlarda, üstel dağılımı arışımlarıı gamma dağılımı le fade edlebleceğ göstermştr. Gurlad ve Sethurama (994, arta bozulma oraıa sahp sıfırda budamış uç değer dağılımı le üstel dağılımı arıştırma üzere, arışım dağılımıı azala bozulma oraıa sahp olduğuu göstermşlerdr. Ayrıca arta bozulma oraıa sahp webull dağılımı le gamma dağılımıı arıştırma suretyle dağılımı ye azala bozulma oraıa sahp olacağıı göstermşlerdr. Bahsedle bu çalışmaları tamamıda sürel dağılımları arışımı ullaılara modelleme yapılmıştır. Yaı zamalarda yapıla bazı çalışmalarda esl br dağılım le sürel dağılımları arışımı soucu oluşa azala bozulma oraıa sahp ye yaşam zamaı dağılımları elde etmşlerdr. Bulara öre olara, Adamds ve Louas (998, Kuş (27, Tahmasb ve Reza (28, Kuş (29 ve Chaad ve Gaal (29 yaptıları çalışmalar öre olara verleblr. Adamds ve Louas (998, Kuş 2

11 3 (27, Tahmasb ve Reza (28, Kuş (29, Chaad ve Gaal (29 yaptıları çalışmalarda üstel dağılımla sırasıyla geometr, sıfırda budamış posso, logartm, sıfırda budamış bom ve uvvet ser (Power Seres dağılımlarıı arıştırma üzere sırasıyla EG, EP, EL, EB ve EPS sml ye yaşam zamaı dağılımları elde etmşlerdr. Bahsedle araştırmacılar, dağılımları araterst özelller celeyp, dağılım parametreler e ço olablrl tahm edcler EM algortması ullaara elde etmşlerdr. Buu yaıda bu tahm edcler ç gözlee ve belee Fsher blg matrs ters alara asmptot varyas-ovaryas matrs elde etmşlerdr. Bu tez çalışmasıda, üstel dağılım le egatf-bom dağılımı brleştrlere Adamds ve Louas (998 ı elde ettğ EG dağılımıı geel hal ola ENB sml ye br yaşam zamaı dağılımı elde edlmştr. Ayrıca ENB yaşam zamaı dağılımıı geel hal ola WNB sml ye br yaşam zamaı dağılımı da öerlmştr. Ye yaşam zamaı dağılımlarıı araterst özelller celemş ve parametreler e ço olablrl tahm edcler ç EM algortması türetlmştr. Elde edle ENB dağılımıı, gerçe br very modelleyebleceğ uygulama yapılara gösterlmştr. Tez c bölümüde gerel ola temel avramlar verlmştr. Üçücü bölümüde se ENB sml ye yaşam zamaı dağılımıı elde edlş ve araterst özelller üzerde durulmuş, parametreler e ço olablrl tahm edcler EM algortması le elde edlmştr. Ayrıca smülasyo algortması ç yötem verlmştr. Dördücü bölümde, Webull dağılımı le Negatf bom dağılımı brleştrlere ENB dağılımıı geel hal ola WNB br sml yaşam zamaı öerlmş ve bu yaşam zamaı dağılımıı araterst özelller celep, parametreler e ço olablrl tahm edcler ç EM algortması hesaplamıştır. Beşc bölümde se ENB yaşam zamaı dağılımı ç, gerçe br very modelleyebleceğ gösterme ç uygulama yapılmıştır. Uygulama bölümüde Ecel 23, Maple 9.5, Selçu Stat paet programları le Delph 5 programlama dl ullaılmıştır. Bu tezde yapıla şlemler Maple 9.5 paet programı le hesaplamıştır. 3

12 4 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, yapılmış ola çalışma ç gerel ola lgl taımlar ve temel blgler verlmştr. 2.. Yaşam Zamaı Br sstem, br ese, br calıı yaşam zamaı (lfetme veya bozulma zamaı (falure tme, egatf olmaya, mutla sürel rasgele değşe X le gösterlmştr Olasılı Yoğulu Fosyou X rasgele değşe olasılı yoğulu fosyou, f ( P lm m F lm m F ( ( X < + m m ( + m F( m şeldedr ve yaşam zamaıı aıda yoğuluğuu fade eder (Başar 993. Burada F, X rasgele değşe dağılım fosyouu fade etmetedr Dağılım Fosyou X rasgele değşe dağılım fosyou, F( P( X f ( d şelde taımlaır. Dağılım fosyou azalmaya ve sağda sürel br fosyodur. Burada f, olasılı yoğulu fosyoudur. Ayrıca 4

13 5 dr. lm F ( ( lm F 2.4. Yaşam Fosyou Yaşam fosyou F (, X rasgele değşe veya de daha büyü değer olma olasılığıı başa br deyşle sstem veya de daha büyü zamaa adar yaşama olasılığıı fade etmetedr. Yaşam fosyou, F ( P( X, ( F( f( F d şelde gösterlr. Burada f ; olasılı yoğulu fosyou, F ; dağılım fosyoudur. Yaşam fosyou, mooto azala br fosyodur ve F F ( lm F( ( lm F( özelller sağlar (Leems 986. Yaşam fosyou ve dağılım fosyou bell br aralıta bozulmayı fade ederler. Olasılı yoğulu fosyou se bell br zamada bozulmayı fade etmetedr ve alı br ölçümdür (Başar Bozulma Oraı Fosyou Bozulma oraı fosyou, zamaıa adar yaşadığı ble parçaı buda sora [ + m], zama aralığıda bozulma olasılığıı oraıı fade eder. 5

14 6 P( X < + m X h( lm m m P( X < + m, X lm m m P( X > > P( X < + m lm F ( m m f ( F ( bçmdedr. Bozulma oraı fosyou, h ( h ( d özelller sağlar (Leems 986. > Bozulma oraı fosyou geelde aşağıda belrtle bozulma oraı adı altıda toplaablr Mooto bozulma oraı Mooto (sabt, azala ya da arta bozulma oraı, yaşam zamaı geçtçe bozulma oraıı; sabt bozulma oraı, arta bozulma oraı (IFR ya da azala bozulma oraı (DFR olduğuu fade etmetedr. Bozulmaı rasgele olduğu degel tlelerde sabt bozulma oraıa, ye doğa bebeler bağışılı azamasıa adar geçe süre vücut drec yöüde ve belrg tpte eletro aletler yaşam süreler dağılımı azala bozulma oraıa, belrl br zamada sora ele alıa sa ömrü başa br deyşle br tür yaşlama ya da tüeme var olduğu tlelerde breylere at yaşam süreler dağılımıı da arta bozulma oraıa öre olara gösterleblr. Bazı ve daha fazla parametrel dağılımları arta ya da azala bozulma oraıa sahp olduğu dağılımı şel parametres durumlarıa göre söyleeblr. İlerleye oularda bazı dağılımları şel parametrese göre bozulma oraı durumları ele alımıştır. 6

15 Küvet eğrs bozulma oraları Küvet eğrs (bathtubs shape bozulma oraı, bçmsel olara geelde I veu bçmde fade edlr. I veu şellerde de alaşılacağı üzere üvet eğrs bozulma oraı, bütü zama çersde zamaı belrl ısımlarıda azalmaya, azala ve arta gb değş durumlarda buluable bozulma oraıdır. Doğumuda ölümüe adar tap edle br tlede breylere at yaşam süreler dağılımı, geellle U bçml üvet eğrs bozulma oraıa, br aser tedavs sorası yaşam süreler dağılımıı I bçml üvet eğrs bozulma oraıa sahp olduğu söyleeblr. Yapıla blmsel çalışmalarda bozulma oraı, I bçml üvet eğrs ve U bçml üvet eğrs bozulma oraıa sahp olması baımıda ayrı ayrı ele alıara dağılım özelllere yasıtılmıştır. Teorem 2.. (Glaser 98 f (, (, fosyo olma üzere l( h ( ve ( f ( / f( aralığıda sürel ve ez türevleeblr η taımlası; (a Eğer > (b Eğer > sahptr. ç ( > ç ( < (c (, ç ( η se X dağılımı arta bozulma oraıa, η se X dağılımı azala bozulma oraıa η ve > > olduğuu abul edls. ( Eğer ( y ç ( > η olaca şelde br l olaca şelde br y varsa X dağılımı üvet eğrs bozulma oraıa, ( Eğer ( y > l olaca şelde br y yosa X dağılımı arta bozulma oraıa sahptr. (d (, ç ( η ve > > olduğuu abul edls. ( Eğer ( y > ç ( < η olaca şelde br l olaca şelde br y varsa X dağılımı şlçıışlı üvet eğrs bozulma oraıa, > 7

16 8 ( Eğer ( y l olaca şelde br y yosa X dağılımı azala bozulma oraıa sahptr. > 2.6. Fosyolar Arasıda İlşler Olasılı yoğulu, dağılım, yaşam ve bozulma oraı fosyoları arasıda lşler Çzelge. de gb verleblr. Çzelge.. de h( d fadese brml bozulma oraı fosyou der ve bu fadeye H ( derse, ( Arta br fosyodur lm H ( d Sağda sürel br fosyodur. H ; özelller sağlar (Nelso 982. Çzelge.. F (, f (, F ( ve h( fosyoları arasıda lş Fosyo F ( f ( F ( h ( F ( - f ( d F ( ep{ h ( d} f ( F ( - F ( h ( ep{ h( d} F ( F( f ( d - h ( F( / F( f ( f ( d ep h( d log F ( - 8

17 Bazı Yaşam Zamaı Dağılımları ve Özelller Bu ısımda tezde ele alıa bazı yaşam zamaı dağılımları verlmştr Üstel dağılım X rasgele değşe, Üstel dağılıma sahp se, sırasıyla, olasılı yoğulu, dağılım ve yaşam fosyou, ( ep (, >, > f (2. F ( ep( şeldedr. Üstel dağılımı bozulma oraı fosyou, ( h olup bozulma oraı sabt ola te dağılımdır. Şel. de üstel dağılıma at bozulma oraı grafğ verlmştr. Üstel dağılımı Belee değer ve varyası, sırasıyla, 2 E ( X, Var ( X bçmdedr. Şel 2. Üstel dağılıma at bozulma oraı grafğ 9

18 Webull dağılımı Byolo, l, mühedsl, alte otrol ve dğer deeysel verlere y uyum göstermes baımıda, l olara Webull (939 tarafıda öerle ve ( λ, Webull le gösterlece ola -parametrel Webull dağılımı, uygulamada özel br lg görmetedr. Webull (95, aşıma(wear-out veya yorulma(fatgue bozulmalarıı taımlare, dağılımı ullaışlı olduğuu göstermştr. X rasgele değşe, Webull dağılımıa sahp se, sırasıyla, olasılı yoğulu, dağılım ve yaşam fosyou, f F F { }, >, λ >, > { λ } { λ } ( λ ep( λ ( ep ( ( ep ( bçmdedr. Burada şel, λ ölçe parametresdr (Lawless 982. Bozulma oraı fosyou ( λ h olup < ç azala, ç sabt ve > ç artadır. Belee değer ve varyası, sırasıyla, E ( X λ( ( X λ { Γ( + 2 Γ ( + } Var şeldedr. Şel 2.2 Farlı ve 5. λ parametrel Webull dağılımıa at bozulma oraı grafğ

19 Şel 2.2 de de olayca görüleceğ üzere Webull dağılımı ç, < ç azala bozulma, ç sabt bozulma ve > ç arta bozulma oraı söz ousudur EG dağılımı Azala bozulma oraıa sahp br dağılım olup Adamds ve Louas (998 tarafıda üstel dağılım le geometrc dağılım brleştrlere öe sürülmüştür. X rasgele değşe EG (Epoetal-Geometrc dağılımıa sahp se sırasıyla, olasılı yoğulu fosyou, dağılım fosyou, yaşam fosyou ve bozulma oraı fosyou, f F F h 2 ( ( p ep( { p ep( }, >, >, p (, ( ( ep( { p ep( } 2 ( ( p ep( { p ep( } ( { p ep( } şeldedr. EG dağılımıı belee değer E( X p( p l( p Var 2 2 ( X ( p( p { 2L( p;2 + ( p l ( p }, varyası şeldedr. Burada L ( p; r fosyoua Euler geelleştrlmş dlogartma fosyou der ve ( p; r r L p eştlğyle hesaplaır (Adamds ve Louas 998. Şel 2.3 EG dağılımıa at bozulma oraı grafğ

20 EP dağılımı Kuş (27 tarafıda öe sürüle bu dağılım üstel dağılımla sıfırda budamış posso dağılımı le brleştrlmş olup azala bozulma oraı özellğ göstermetedr. X rasgele değşe EP (Epoatal-Posso dağılımıa sahp se sırasıyla, olasılı yoğulu fosyou, dağılım fosyou, yaşam fosyou ve bozulma oraı fosyou, f ( λ F F h ( ep( λ ep{ λ+ λ ep( }, >, λ >, > ( ( ep( λ { ep( λ ep( ep( λ } ( { ep( λ ep( }( ep( λ ( λ ep( λ+ λ ep( ( ep( λ {( ep( λ ( ep( λ ep( } şeldedr. X rasgele değşe belee değer ve varyası sırasıyla, Var E ( X λ { ( ( λ } ([,],[ 2,2], λ 2 ( X λ ( ep( λ H 2, ep 2 2 { } { 2H ([,, ],[ 2,2,2], λ λ{ ( ep( λ } H [,],[ 2, 2], λ} bçmdedr (Kuş 27. 3,3 2,2 Şel 2.4 EP dağılımıa at bozulma oraı grafğ 2

21 Gamma dağılımı X rasgele değşe Gamma dağılımıa sahp se olasılı yoğulu fosyou ve yaşam fosyou fosyou sırasıyla, f ( Γ ( λ ep( λ, >, λ >, > F ( Γ ( λ ep( λ şeldedr. Ayrıca Gamma dağılımı ç; belee değer d E ( X λ, varyas ( X λ 2 Var dr. Şel 2.5 Farlı ve λ parametrel Gamma dağılımıa at bozulma oraı grafğ Gamma dağılımı, ç üstel dağılım olduğuda sabt bozulma oraıa sahptr. < ç azala bozulma oraı, > ç arta bozulma oraıa sahptr Düzgü Dağılım X rasgele değşe, ( λ, aralığıda düzgü dağılıma sahp se, sırasıyla, olasılı yoğulu ve dağılım fosyou, 3

22 4 ( ( λ λ < < f, ( ( λ ( λ λ < < F, bçmdedr. Belee değer ve varyası, sırasıyla, E ( X ( + λ 2 Var ( X ( λ 2 2 şeldedr. Düzgü dağılım ç ( λ, Düzgü gösterm ullaılacatır Pareto I dağılımı X rasgele değşe, Pareto I dağılıma sahp se, sırasıyla, olasılı yoğulu, dağılım ve yaşam fosyou, f λ ( λ+ ( λ λ λ ( F F λ λ (, > >, λ > h şeldedr. Hazard (bozulma oraı ( belee değer ve varyası, sırasıyla, E ( X λ( λ, λ > Var { }, λ > ( X λ ( λ ( λ 2 λ olup azaladır. Pareto I dağılımıı bçmdedr. Pareto I dağılımı ayı zama da Loma dağılımı olara da blr. Pareto I dağılımı ç I( λ, Pareto gösterm ullaılacatır Geometr dağılım Bu dağılım esl br dağılım olup statst ve güverl teorsde ullaılmatadır. X rasgele değşe, ( p f başarı olasılılı, (, p ( p p p (,,,2,... 4

23 5 olasılı fosyou le belrtle geometr dağılıma sahptr. Belee değer ve varyası sırasıyla, E ( X ( p Var şeldedr. ( X p( p Negatf-bom dağılımı Negatf-Bom dağılımı geometr dağılımı geel şeldr.. deemede. başarıyı sağlaya rasgele değşe egatf-bom dağılım özellğ gösterr. Negatf bom dağılımıda deemeler sayısı br rasgele değşedr ve başarıları sayısı sabttr. X rasgele değşe ( p se olasılı fosyou, başarı olasılılı egatf-bom dağılımıa sahp + f (, p, ( p p,, +,..., p (,, N (2.2 şeldedr. Burada + N poztf doğal sayıları göstermetedr. Negatf Bom dağılımıı belee değer ve varyası sırasıyla, E ( X ( p Var ( X p( p 2 dr. Negatf Bom dağılımı ç ( p NB, gösterm ullaılacatır E Ço Olablrl Parametre Tahm Parametres tahm etme stele tle (,θ, Θ f θ dağılımıa sahp olsu. Burada θ tle parametres, Θ, parametre uzayıı temsl etmetedr. Bu tlede alıa ve her br ayı (,θ, Θ f θ dağılımıa sahp X, X 2, K, X rasgele değşeler dzse örelem der. Örelem olasılı (yoğulu fosyou, 5

24 6 L ( θ f(,, K,,θ, 2 bçmdedr. L (,θ, θ ı br fosyou olara düşüüldüğüde olablrl fosyou(lelhood fucto adıı alır. Örelem blmeye parametre çermeye Borel ölçüleblr br fosyoua statst der. İstatstler ayı zamada brer rasgele değşedr. Br statst br parametrey veya parametre br fosyouu tahm etme amacıyla ullaıldığıda tahm edc(estmator adıı alır. Tahm edc aldığı değere de tahm(estmato der. X, X 2,, X r K, f( θ,θ Θ R üzere L( θ supθ L( θ, dağılımıda alımış örelem olma ˆ ( olsu. ˆ ˆ θ ( X, X..., Θ θ statstğe θ ı e ço olablrl tahm edcs (mamum lelhood estmator der (Kuş X 2.9. EM Algortması EM algortması, rasgele değşeler bazılarıı gözlemedğ ya ayıp veya sasürlü olduğu durumlarda parametreler e ço olablrl tahmler elde etme ç öerle geel br teratf algortmadır. EM (Epectato-Mamzato term l ez Dempster ve ar. (977 tarafıda ortaya atılmış ve algortmaı yapısı ve davraışı le geel souçları spatı ve ço sayıda uygulama bu çalışmada suulmuştur. olsu. Varsayalım Y (,, f ( y; θ, θ R Y K,Y orta oyf a sahp br örelem Y, K,Y ler heps gözlemşseθ ı e ço olablrl tahm edcs, tam log-olablrl fosyou l ( θ, y Burada, l şeldedr ( θ, y log[ L( θ, y ] log[ f( y, θ ] EM algortması, l ( θ, y gözlee log-olablrl fosyou l ( θ, ı θ ya göre masmze edlmesyle elde edlr. θ ya göre masmze edlmes olay faat g y g masmze edlmes zor olduğu durumlarda ullaışlıdır. Y br ısmı gözleemedğde ( θ, y l masmze 6

25 7 edlemez. EM algortması Y verldğde ( θ, y g l ı oşullu belee değer teratf olara masmze eder. Y tam very(complete data; Y g, gözlee veya tamamlamaya(complete verler; Y, ayıp (mssg data veya sasürlü (cesored data verler gösterme üzere Y y Y (, Y Y g şelde fade edleblr (Rub 976. Algortma E- adımı. Q [ g g ] ( h l ( θ, y f( y y g θ θ dy ( h ( h ( θ ; θ E l ( θ, Y Y y, θ M-adımı., ( [ l ( θ, Y Y y θ ] h E, g g y masmze ede θ değer, br sora adımda ( h+ θ yere ullaılara, yaısama gerçeleşceye adar E ve M adımları terar edlr. Algortmaı yaısadığı değer θ ı e ço olablrl tahmdr (Lttle ve Rub 986. EM algortması ç geş blg ç McLachla ve Krsha a (997 baılablr. 2.. Özel Fosyolar Bu tez çalışmasıda ele alıa ve gösterm açısıda olaylı olması baımıda Gamma fosyou ve Geelleştrlmş Hpergeometr fosyo aşağıda gb taıtılmıştır Gama fosyou Gama fosyou aşağıda gb taımlaır. 7

26 8 Γ ( t ep( t dt, > poztf tam sayı olma üzere Γ ( +! Γ 2 2 Γ ep 2 ( t dt π ( 2 ( 2 / π 2 / Γ( Γ( + / 2 dr. Strlg formülü Γ / 2 2 ( ~ ep( ( 2π / + + olup Γ ( ı logartması dır. log [ Γ( ] ( 2 log( + 2 log( 2π L Geelleştrlmş hpergeometr fosyo Geelleştrlmş Hpergeometr Fosyo, H a, b a ζ Γ( + Γ ( b Γ( + Γ( d + Γ (, d, ζ (2.3 şelde taımlaır. Burada [,..., ] [ d d, ] d b, 2 a ( d olma üzere, a, şlee sayısı, d...,, b şlee d sayısıı göstermetedr. Geelleştrlmş, 2 Hpergeometr Fosyo le lgl bazı souçlar aşağıda verlmştr. H H,([,],[], z ( z 2,([,2],[], z ( z 2 2 t, doğal sayı olma üzere, H 2, ([, t],[],2,, t t te çft sayı se sayı se 8

27 9 dr. a, b, c doğal sayı olma üzere, H 2, ([ a, b],[ c], Γ Γ ( c Γ( c a b ( c b Γ( c a şeldedr. Bu fosyo ayı zamada Bares geelleştrlmş hpergeometr fosyou olara ta blr. 9

28 2 3. ÜSTEL NEGATİF BİNOM YAŞAM ZAMANI DAĞILIMI Tez bu bölümüde Üstel Negatf Bom yaşam zamaıı elde edlş araterst özelller ve EM algortması le e ço olablrl parametre tahm elde edlmştr. 3.. Yaşam Zamaı Dağılımıı Elde Edlş Ve Karaterstler { Y} Z bağımsız ve ayı (2. de olasılı yoğuluğua sahp rasgele değşeler br dzs olsu. Burada Z ; (2.2 de olasılı fosyoua sahp Y lerde bağımsız rasgele değşedr. { } Z ( m rasgele değşe X Y taımlası. X rasgele değşe; Z rasgele sayıda brmde oluşa br ser sstem ömrü olara düşüüleblr. Z z verldğde X oşullu dağılımı; F dr. Bua göre ( P( X Z X Z z z f X Z z P ( X > Z z ({ } z P(m Y > Z z ( L P(m Y, Y2,, Yz >, Z z P( Z z P( Y > P( Y2 > L P( Yz > P( Z z P( Z z ep( ep( L ep( ep( z, > Z z verldğde X oşullu olasılı yoğulu fosyou; F ( X Z z ( { ep( z } 2

29 2 z ep( z, > şelde elde edlr. X le Z rasgele değşeler orta dağılımı θ (, p, gösterm altıda; z z f (, z; θ z ep( z ( p p, >, > şelde yazılablr. X rasgele değşe maral olasılı yoğulu fosyou ; z f ( ; θ f (, z; θ z z z ep( z ( p p z ( p ep( ( + { ep( p} ( p ep( >, >, p (,, N { p ep( } + ( +, (3. olacatır. Aşağıda f ( ;θ ı br olasılı yoğulu fosyou olduğu gösterlmştr. f( ; θ > olduğu aşardır. f ( ; θ d olduğu gösterlrse f ( ;θ ı br olasılı yoğulu fosyou olduğu gösterlmş olacatır. { p ep( } ( + f ( ; θ d ( p ep( d { p ep( } ( + ( p ep( d 2

30 22 22 { } + ep( ep( ( d p p { } + + ( ep ( d p p ( ( p p + + ( ( p p olara elde edlr. Burada c satırda üçücü satıra geçere, ( < + a a a (3.2 eştlğ ullaılmıştır (Roussas 973. Kolaylı olması baımıda eştl (3. de verle olasılı yoğulu fosyoua sahp dağılıma ENB (Epoetal-Negatve Bomal dağılımı delecetr. ENB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou grafğ farlı, p ve değerler ç Şel 3. ve Şel 3.2 de verlmştr. X rasgele değşe dağılım fosyou eştl (3.2 yardımıyla ( ( X P F X { } + d p p ( ep( ep( ( { } + + d p p ( ep ( { } ( ( ep ( p p { } p p ep( ( şelde elde edlr.

31 23 ENB dağılımıa sahp br X rasgele değşe medyaı { ep( } p 2 F ( ( p delem çözümüde X.5 p log( 2( p + şelde elde edlr. Şel 3. Farlı ve p. ve durumlarıda ENB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 3.2 ve durumlarıda ENB dağılımıı olasılı yoğulu grafğ 23

32 24 X rasgele değşe momet çıara fosyou; µ ( t E(ep{ tx} X { p ep( } ( + ( p ep( tep( d { p ep( } ( + ( p ep{ ( t} d + ( p p ep + p ( p ( + t { ( + t } d {[ +, t ],[ + t ], p} ( p H 2,, t şelde bulumuştur. Burada H fosyou, (2.3 de verle geelleştrlmş Hpergeometr fosyodur. r. momet ve r. momet yardımıyla belee değer ve varyas sırasıyla r r { p ep( } ( + E( X ( p ep( d ( p E( X H,, ( p Var( X 2 ( {[, ],[ ], p} ( 2H {[,, ],[ +, + ], p} ( p H {[, ],[ + ], p} 3,2, 2,, şelde gb elde edlr. Eştl (3.3 ullaılara X rasgele değşe yaşam (güvelrl fosyou, { ep( p } F ( ; θ ( p (3.4 eştl (3. ve eştl (3.4 de elde edle hazard fosyou da, h( ; θ f ( ; θ F ( ; θ ep( {ep( p} gb olup grafğ Şel 3.3 de gbdr. 24

33 25 Şel 3.3 ENB dağılımıı bozulma oraı fosyou grafğ Teorem 2. gereğ η 2 2 ( p ( + ep( { p ep( } <, > olduğu ç ENB dağılımı azala bozulma oraıa (DFR sahptr. Şel 3.3 de de görüldüğü üzere ENB dağılımı ç ye azala bozulma oraı özellğe sahp olduğu söyleeblr. ENB dağılımıı başlagıç ve uzu döeml bozulma oraları Webull dağılımıı ( h ( ve h( h( olup sabttr. ase h( ( p ve Br parçaı adar yaşadığı bldğde, bu parça bozulucaya adar geçe süreye gerye ala ömür der. ENB dağılımıı ortalama gerye ala ömrü, m( ; θ E{ X X ; θ ( f X X } ( d ep( {ep( p} H 2,{[, ],[ + ], p ep( } 25

34 26 şelde bulumuştur. düşüüldüğü zama ortalama gerye ala ömür belee değere eşt olur Dğer Dağılımlarla İlş X rasgele değşe eştl (3. de verle olasılı yoğululu ENB dağılımıa sahp se Y log( ( p(ep{ X} p dağılımıa, Y log( ( p(ep{ X} α rasgele değşe Üstel (α λα rasgele değşe Webull ( λ, α p / λ dağılımıa, Y α( ( p{ep( X p rasgele değşe Pareto I ( λ, α 2 } dağılımıa sahptr. p, sıfıra yalaştıça ENB dağılımı Üstel( dağılımıa yaısar. Parametreler alableceğ tüm değerler ç ENB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou es azaladır ve sosuza yalaştıça f ( sıfıra yalaşır Parametreler E Ço Olablrl Tahm Edcler E ço olablrl tahm edcs bulma ç ( X, X 2,, (, p, θ olma üzere, gözlee verler olablrl fosyou, L ( ( ( ( ( ( + θ ; p ep p ep ve gözlee verler log-olablrl fosyou, l X ve K ( θ; log( + log( + log( p ( + log( pep( şeldedr. Burada e ço olablrl delemler; X ( θ; l + ( + pep ( (3.5 ( θ; ( p l + ( + p p p ep p ( 26

35 27 + şelde elde edlr. N olduğu ç olablrl delem yazılamaz. Bu edele ı değer ümes çde olablrl fosyouu masmze ede, model ç uygu değer olara alıacatır. Uygulama ısmıda ı seçm sürec üzerde durulmuştur. Teorem 3.. (3.5 eştlğ sağ tarafı g (, p, ; le gösterls ve olsu. O zama p (, ç g(, p, ; delem ( + { ( + p } ( arasıda e az br öü vardır. le İspat w olsu. Açıtır ; w, ı es (, p, ; ( + p ep ( azala br fosyoudur ve lm w(, p, ; ( + dr. Burada; g (, p, ; < lm w(, p, ; ve böylelle g(, p, ; < olduğu zama > ( olur. Dğer yada lm w(, p, ; ( + ( p açıtır ; g (, p, ; > lm w(, p, ; ( + ( p dr. Böylelle g(, p, ; > olduğu zama < ( + { ( + p } g (, p, ; delem ( + { ( + p } le ( olduğuu spatlamış oldu. olur ve arasıda e az br öü Bu teorem ve spatı Adamds ve Louas (998 ve Kuş (27 u yaptıları çalışmalar göz öüde tutulara yapılmıştır. Köüü te olup olmadığı problem hale açıtır. Aca yapıla tez çalışmasıda öü te olduğu düşüülmetedr. 27

36 28 X ( X X,...,, 2 X tam örelem olsu. Her düşüülürse Z ( Z Z,...,, 2, ENB dağılımıda alımış bağımsız ve ayı dağılımlı Z X ç ara plada br ler ayıp örelem olur. Z gözleemeyeceğ Problemmz tamamlamamış ver problem gb görülebleceğde parametreler e ço olablrl tahm edcler elde etmede EM algortması ullaılablr. EM algortmasıı uygulayablme ç tam verye dayalı olablrl fosyou L z + z, p ep z ( θ, z z ( p + (,, N, >,,2, >, z,2, K, p K, şeldedr. Burada da logolablrl fosyou; l ( θ;,z log z + log( p + + z log( p ( + log z dr ve EM algortmasıı E-adımı E z Z ( t ( t { log[ f( X, Z ]} E log Z X,, p + log( p + log ( t ( t ( p E + Z X,, p log( + ( ( t t E log Z X X,, p (3.6 şelde tamamlaır. Eştl (3.6 da EM algortmasıı E-adımıı gerçeleştreblme ç ( Z X geremetedr. Koşullu belee değer ç dağılımı f ( z f (, z f( E oşullu belee değer hesaplaması z X verldğde Z oşullu z z ( p p z ep( z ( ep( { ep( } ( + p p 28

37 29 z ep şelde elde edlr. Burada z + { ( z+ } p { p ep( } X verldğde Z oşullu belee değer; E z ( Z X z ep{ ( z+ } p { p ep( } z z ( + { p ep( } + (3.7 bçmde elde edlr. EM algortmasıı M adımıda se tam very ullaara elde edle e ço olablrl tahm edcsde ayıp ver ola Z,,..., ler yere ( Z X E (3.7 de değer yazılara EM algortması tamamlaır. Tam very ullaara elde edle e ço olablrl tahm edcler, ˆ Z X ve ˆ p Z şeldedr ve burada da EM terasyoları; ˆ( t+ ( t+ ˆ p ( t ( t ( + p ep( ( t ( t p ep( ( t ( t ( + p ep( ( t ( t p ep( bçmde elde edlr Smulasyo Algortması ENB dağılımıda sayı üretme ç yötem aşağıda gb verlmştr. 29

38 3 I. Yötem (Döüşüm yötem ~ NB( p da br sayı üretlr. Daha sora Y, Y2,..., YZ ~ Üstel( Z, da br X M Y, Y2,..., Y ENB(, p, dır. örelem alıır. ( ~ Z II.Yötem (Ters döüşüm yötem. U ~ Düzgü(,. X log( p( U de br sayı üretlr. { p} + / olma üzere X ~ ENB(, p,. dır. 3

39 3 4. WEIBULL NEGATİF-BİNOM DAĞILIMI Tez bu bölümüde Webull Negatf Bom dağılımıı elde edlş araterst özelller ve EM algortması le e ço olablrl parametre tahm elde edlmştr. 4. Yaşam Zamaı Dağılımıı Elde Edlş Ve Karaterstler { Y} Z bağımsız ve ayı ( ;, f y α α y ep ( αy { }, y,, α > Webull olasılı yoğuluğua sahp rasgele değşeler br dzs olsu. Burada Z ; (2.2 de olasılı fosyoua sahp Z ( değşedr. { } dr. Bua göre X m Y rasgele değşe taımlası. Z z verldğde X oşullu dağılımı; FX Z z ( P( X Z z f X Z z P ( X > Z z ({ } z P(m Y > Z z ( L P(m Y, Y2,, Yz >, Z z P( Z z Y,,2,... Z lerde bağımsız rasgele P( Y > P( Y2 > L P( Yz > P( Z z P( Z z { ( α } ep( α { z( α } > { } { ( α } ep L ep ep, Z z verldğde X oşullu olasılı dağılımı; F ( X Z ( ( { z( α } ep { z( } zα ep α, > 3

40 32 şelde elde edlr. X le Z rasgele değşeler orta dağılımı θ ( α,, p, gösterm altıda; z { z( } p p z α ( f (, z; θ zα ep şelde buluur. X rasgele değşe maral olasılı yoğulu fosyou ; z f ( ; θ f (, z; θ z { z( α } z z α ep ( p p z α ( p, α, >, p ep{ ( α } p ep( α + (,, N ( { } ( + (4. olacatır. Eştl (4. de verle olasılı yoğulu fosyoua sahp dağılıma WNB (Webull-Negatve Bomal dağılımı delecetr. WNB dağılımıı olasılı yoğulu fosyou grafğ farlı α,, p ve değerler ç Şel 4. ve Şel 4.2 de verlmştr. WNB dağılımıı dağılım fosyou, F X ( p ep ( α { }( pep{ ( α } ( (4.2 şelde bulumuştur. WNB dağılımıı r. momet ve belee değer eştl 3.2 ullaılara sırasıyla, E ( ( ( ( ( r r + + r X p α Γ + r p + 32

41 33 E + ( ( ( ( ( + X p α Γ + p + şelde gb elde edlmştr. Şel 4. Farlı, 3, p.5 ve α 2 ç WNB dağılımı olasılı yoğulu fosyou grafğ Şel 4.2 > ç WNB dağılımı olasılı yoğulu grafğ 33

42 34 Eştl (4.2 ullaılara WNB dağılımıı yaşam (güvelrl fosyou, ( p ep ( α { }( p ep{ ( α } F ( ; θ (4.3 eştl (4. ve eştl (4.3 de elde edle hazard fosyou da, h ( ; θ α gb elde edlmştr. dr. lm h ( ; θ ( lm h ;θ ( p ep{ ( α } olduğu durumlarda WNB dağılımı azala bozulma oraıa sahptr. ç WNB dağılımı ENB dağılımıa döüşmete olup azala bozulma oraıa sahp olmatadır. olduğu durumlarda WNB dağılımıı azala bozulma oraı grafğ Şel. 4.3 de gösterlmştr. > olduğu durumlarda se WNB dağılımı arta, azala ve üvet eğrs bozulma oralarıa sahp olmatadır. WNB dağılımıı arta, azala ve üvet eğrs bozulma oraları grafler farlı parametre değerler ç, Şel 4.4, Şel 4.5 ve Şel 4.6 da gbdr. Şel 4.3 ç WNB dağılımı hazard fosyou grafğ 34

43 35 Şel 4.4 Farlı >, α. 5, p. 5 ve ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ Şel 4.5 Farlı α, 2, p. 5 ve 3 ç WNB dağılımı bozulma oraı grafğ 35

44 36 Şel 4.6 Farlı p,. 5, α 2 ve ç WNB dağılımı bozulma oraı fosyou grafğ 4.2 Parametreler E Ço Olablrl Tahm X ve E ço olablrl tahm edcs bulma ç ( X, X 2,, (, p, θ olma üzere, gözlee verler olablrl fosyou, L ( θ; ( p K ( ( { ( } ( + α ep α pep α X ve gözlee verler log-olablrl fosyou, l ( θ; log( + log( + log( p + log( α + ( log( α ( { } ( + log p ep( α şeldedr. Burada e ço olablrl delemler; ( θ; ( p l + ( + p p p pep ( θ; l α + α α ( + pep { ( α } { ( α } 36

45 37 37 ( ( ( ( + + log log log ; α α α θ l ( ( ( { } ( { } + p p ep ep log α α α α bçmde elde edlr. Elde edle olablrl delemlerde doğruda çözümüü bulma olay değldr. Bu yüzde parametreler çözümü ç teratf br yötem ola EM algortması uygulaablr. EM algortmasıa dayalı olablrl fosyou, ( ( + z z p p z z L ep ; α α,z θ ( N p z,,2,,,,,,,,2,, K K > > > + α şelde elde edlmş olup, logolablrl fosyou da, ( [ ] ( ( ( p z z f L + + log log log log log α,z ( ( ( α z p z log log dr. EM algortmasıı E adımı, ( [ ] { } ( ( ( ( ( + + t t t p Z Z E f E,,, log log log log α α X X,Z ( ( ( ( t t Z p E p p,, log log X ( ( ( ( + t t t p E,,, X X log α ( ( ( t t t Z p E,,, X X log α α şeldedr. Algortmaı E adımıı tamamlaması ç ( X Z E belee değer hesaplaması geremetedr. X verldğde Z oşullu dağılımı

46 38 f ( z f (, z f( z şelde elde edlr. Burada E ( Z X z pep( α z z z [ p ep{ ( α }] p ep( α + [ { }] X verldğde Z oşullu belee değer; z [ { }] [ pep{ ( α }] [ { }] ( + pep ( α + (4.4 bçmde elde edlmştr. Algortmaı M adımıda tam ver ullaılara elde edle e ço olablrl tahm edcler, ve ç ˆ p Z, ˆ α Z X ˆ + log leer olmaya delem çözümüdür. ˆ ˆ ˆ ( α + log( α log( α Z X + Z X log( ver ola Tam very ullaara elde edle e ço olablrl tahm edcsde ayıp Z,...,, ler yere ( Z X algortması tamamlaır. EM terasyoları; E (4.4 de değer yazılara EM ( + ˆ t p ( ( t ( ( + t ep t p α ( ( t ep t p α ( ( t ( + ( + ( + ˆ t t t α ( ( t ( ( + t ep t p α ( ( t ep t p α ( ( t ( t+ / 38

47 39 ( t ( t ( + log( α + log( t+ α ( t + α ( t+ ( ( t+ ( t+ ( t log( + logα ( + ( t+ ( ( ( t ( t ( t+ logα ( ( t ep t p α gb elde edlmştr. 39

48 4 5. UYGULAMA Uyguluma ç ENB, EP, EG, Webull ve Gamma dağılımları celemştr ve bu dağılımları olasılı yoğulu fosyoları θ ( p,, ( θ (, θ ( ve ( 3 3, p3 şeldedr. f 4 4,λ4 5 5,λ5, θ, 2 2,λ2 θ göstermyle sırasıyla aşağıda ( + ( ; θ ( p ep( { p ep( } >, >, p (,, N + ( ; θ λ ( ep( λ ep{ λ + λ ( } f ep 2 >, λ >, 2 2 > f ( ; θ ( p ep( { p ( } ep >, >, p3 3 (, 3 f f ( ep ( 4 4 θ λ λ, >, λ >, > ; ( ( ( 5 5 θ Γ λ ep λ, >, λ >, > ; Grzu Patlaması Vers ENB dağılımıı reel br very modelleyebleceğ gösterme amacıyla l olara Co ve Lews (978 aalz ettğ İgltere de br ömür madede ardışı patlamalar (ömür madeclğde grzu patlaması olara adladırıla arasıda geçe süreler (gü ele alımıştır. Bu verler ayı zamada Adamds ve Louas (998 ve Kuş (27 ullamışlardır. Verler Çzelge 5. de verlmştr. Uygulama dağılımları ullaılara bu reel ver ç, P-P plot grafğ çzlere uyum yller celemş olup, parametreler tahm ç e ço olablrl tahm 4

49 4 ullaılmıştır. SELÇUK STAT paet programı yardımıyla ENB, EP, EG, Webull ve Gamma dağılımları ç P-P plot grafler sırasıyla, Şel 5.2, Şel 5.3, Şel 5.4, Şel 5.5 ve Şel 5.6 de verlmştr. Çzelge 5.2 de se, parametreler e ço olablrl tahmler ve logolablrl fosyou değerler verlmştr. Çzelge 5. İglterede br ömür madede meydaa gele ardışı grzu patlamaları arasıda geçe süreler (gü

50 42 Logolablrl Değerler Değerler Şel 5. ENB dağılımıda parametres değerlere göre logolablrl fosyou aldığı değerler. ENB dağılımıda parametres seçm ç;,,3 a adar değerler verlmş, bu değerler ç ayrı ayrı parametre tahm yapılmış ve logolablrl fosyouu e büyü yapa değer ç ı değer belrlemştr. değerlere arşı gele logolablrl fosyou grafğ Şel 5. de verlmştr. Grafte olayca görüleceğ üzere 3 ç logolablrl fosyou e büyü değerdedr. Bu edele model ç 3 alımıştır. Şel 5.2 ENB Dağılımı P-P Plot Grafğ 42

51 43 Şel 5.3 EP Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.4 EG Dağılımı P-P Plot Grafğ 43

52 44 Şel 5.5 Webull Dağılımı P-P Plot Grafğ Şel 5.6 Gamma Dağılımı P-P Plot Grafğ 44

53 45 Çzelge 5.2 Uygulama modellere at Logolablrl değerler ve Parametre Tahmler Dağılım Logolablrl Tahmler ENB ˆ θ ( ,.865,3 EP ˆ 3 θ 2 ( 3.248,.67 EG ˆ θ ( ,.562 Webull ˆ θ ( ,.865 Gamma ˆ θ ( , Delph 5. programlama dl yardımıyla yapıla parametre tahm souçları ( Çzelge 5.2 de gbdr. ENB dağılımı ç terasyo başlagıç değerler ve ( p. seçlmştr terasyo soucuda 5 hata dereces le tahm değerlere yaısama sağlamıştır. İterasyo soucu parametreler aldığı değerler ve terasyo sayısıa göre grafler Şel 5.8 ve 5.9 de verlmştr. Modeller ç verle P-P Plot graflere baılara modeller ver sete uygu olduğu görülmete ve bu very modelleyebleceğ görülmetedr. Logolablrl fosyouu aldığı değerlere göre EP dağılımı e y tahm yapmış olup ENB dağılımı se e y c tahm yapmıştır ve e az dğer dağılımlar gb very modellemştr..2 Yaşam Fosyou ENB EG EP Webull Gamma Patlama Süres (gü Şel 5.7 Grzu patlamaları arasıda geçe sürelere dayalı e ço olablrl tahm edcler ullaılara elde edle ENB, EG, EP, Webull ve Gamma dağılımlarıı yaşam fosyoları grafğ 45

54 46 Şel 5.7 ye baıldığıda <56 durumuda ENB dağılımı yaşam fosyou, EG, EP, Webull ve Gamma dağılımlarıı yaşam fosyolarıda daha güvelr olmatadır durumlarıda EP dağılımı yaşam fosyou harç ENB, EG, Webull ve Gamma dağılımlarıı yaşam fosyoları beraber gtseler de >87 durumlarıda ENB dağılımı yaşam fosyou daha y uyum sağlamıştır. İterasyo Soucu İterasyo Sayısı Şel 5.8 p parametres terasyolar soucu aldığı değerler.4.2 İterasyo Soucu İterasyo Sayısı Şel 5.9 parametres terasyolar soucu aldığı değerler Şel 5.8 ve Şel 5.9 da görüleceğ üzere p parametres artare parametres azalmatadır. İ parametre arasıda Pearso orelasyo atsayısı 46

55 olara bulumuştur. Parametreler arasıda doğrusal lş ölçüsüü ters olduğu açıça gözümetedr. 47

56 48 6. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu tez çalışmasıda, yaşam zamaı le lgl mevcut dağılımlara alteratf ve Adamds ve Louas (998 öerdğ EG dağılımıı geel hal ola ENB sml ve ENB dağılımıı geel hal ola WNB sml ye yaşam dağılımı öerlmştr. Bu dağılımı elde edlş üzerde durulmuştur. Dağılımları dağılım fosyou, yaşam fosyou, bozulma oraı fosyou, r. mometler, belee değerler, varyası ve EM algortması le e ço olablrl parametre tahmler hesaplamıştır. Ayrıca ENB dağılımı ç tae smülasyo algortması verlmştr. Uygulama ısmıda ENB dağılımı, EG, EP, Webull ve Gamma dağılımları le ıyaslama yapılmıştır ve logolablrl değerlere göre ENB dağılımıı reel ola uygulama vers ç e y c tahm yaptığı soucua varılmıştır. Böylece ENB dağılımıı reel br very e az dğerler adar modelleyebleceğ gösterlmştr. WNB dağılımı ç herhag br uygulama yapılmamıştır. Bölüm 3 ve Bölüm 4 te ye yaşam zamaı dağılımı elde edlmesde dağılım brleştrme yötem farlı dağılımlar ç de uygulaablr. Ayrıca WNB dağılımıı reel br very modelleyp modellemeyeceğ ousu üzerde durulablr. 48

57 49 7. KAYNAKLAR Adamds K., Louas S., 998. A Lfe Tme Dstrbuto wth Decreasg Falure Rate. Statstcs&Probablty Letters 39, Adamds, K., Dmtraopoulou, T., Louas, S., (25. O a eteso of the epoetal-geometrc dstrbuto. Statst. Probab. Lett. 73, Barlow, R. E., Marshall, A. W., Proscha, F., 963. Propertes of Probablty Dstrbutos wth Mootoe Hazard Rate. Aals of Mathematcal Statstc Barlow, R. E., Marshall, A. W., 964. Bouds For Dstrbutos wth Mootoe Hazard Rate I Ad II. Aals of Mathematcal Statstcs Barlow, R. E., Marshall, A. W., 965. Tables of Bouds For Dstrbutos wth Mootoe Hazard Rate. J. Amer. Statst. Assoc Başar, E., 993. Yaşam Tabloları Aalzde Kullaıla Bazı İstatstsel Teler Böbre Nal Verlere Uygulaması. Dotora Tez, Hacettepe Üverstes Fe Blmler Esttüsü. Bebbgto, M., La, C.D., Zts, R., 28. Estmatg the turg pot of a bathtub-shaped falure dstrbuto. Joural of Statstcal Plag ad Iferece 38, Carrasco, J.,M.,F., Ortega, E.,M.,M., Cardero, G.,M., 28. A Geeralzed Modfed Webull dstrbuto for lfe tme modellg. Comput. Statst. & Data Aaly. Volume 53, Issue 2,

58 5 Chahad, M., Gaal, M., 29. O Some lfetme dstrbutos wth decreasg falure rate.. Comput. Statst. & Data Aaly. Volume 53, Issue 2, Che, Z., (2. A ew two-parameters lfetme dstrbuto wth bathtub-shape or creasg falure rate fucto. Stats. & Probab. Lett. 49, Dahya R.C., Gurlad J., 972. Goodess of Ft Tests For the Gamma Ad Epoetal Dstrbutos. Techometrcs Dempster A.P., Lard N.M., Rub D.B., 977. Mamum Lelhood From Icomplete Data va the EM Algorthm (Wth Dscusso. Joural of the Royal Statstcal Socety B Dmtraopoulou, T., Adamds, K., Louas, S., 27. A lfetme Dstrbuto wth a upsde-dow bathtub-shaped hazard fucto. IEEE Trasactos o Relablty, Vol. 56, No. 2. Felste, M., S., Esaulova, V., 2. Why the mture falure rate decreases. Relablty Egeerg ad System Safety 7, Felste, M., S., Esaulova, V., 26. Asmptotc Behavor Of A Geeral Class Of Mture Falure Rates. Appl. Probab. 38, Fra, M., V., 25. Ivestgato to the effect of decreasg falure rate o log durato msso relablty estmates. Europa Space Agecy (specal publcato ESA SP Issue 599, pp Glaser, R.E., 98. Bathtub ad related falure rate characterzatos. Joural of the Amerca Statstcal Assocato 75, Gleser, L. J., 989. The Gamma Dstrbuto As A Mture of Epoetal Dstrbutos. The Amerca Statstca

59 5 Gurlad, J., Sethurama, J., 994. Reversal of Icreasg Falure Rates Whe Poolg Falure Data. Techometrcs Horth, U., (98. A relablty dstrbuto wth creasg, decrasg, castat ad bathtub-shaped falure rates. Techometrcs, Volume 22, No.. Kuş, C., (24. Bazı yaşam zamaı dağılımlarıı parametreler tam ve sasürlü verlere dayalı tahm. S.Ü. Fe Blmler Est. Matemat ABD. Dotora tez, Koya. Kuş, C., (27. A ew lfetme dstrbuto. Comput. Statst. & Data Aal. 5 (9, Lawless, J.F., 982. Statstcal models ad methods for lfetme data, Wley, New Yor Leems L., M., 986., Lfetme Dstrbuto dettes. IEEE Tras. Relablty 35, pp Lttle R.J.A. Ve Rub D.B., 987. Statstcal Aalayss wth Mssg Data. Wley, New Yor. Loma, K. S., 954. Busess Falure: Aother Eample of the Aalyss of Falure Data. J. Amer. Statst. Assoc. 49, Marshall A.W., Proscha F., 965. Mamum Lelhood Estmates For Dstrbutos wth Mootoe Falure Rate. Aals of Mathematcal Statstcs Mclachla G.J., Krsha T., 997. The EM Algorthm Ad Eteso. Wley, New Yor. 5

60 52 Mcolty, F., Doyle, J., Hase, E., 98. Propertes of the Med Epoetal Falure Process. Techometrcs Mudholar, G.S., Srvastava, D.K., 993. Epoetated Webull famly for aalysg bathtub falure data. IEEE Trasactos o Relablty 42, Nassar,M.,.M., 988. Two Propertes of Mtures of Epoetal Dstrbutos. IEEE Tras. Ralab Nelso, W., 982. Appled Lfe Data Aalyss, Wley, New Yor. Proscha F., 963. Teoratcal Eplaato of Observed Decreasg Falure Rate. Techometrcs Roussas, G.G., 973. A Frst Course Mathematcal Statstcs. Addso-Wesley Publshg Compay, U.S.A. Sauders S.C., Myhre J.M., 983. Mamum Lelhood Estmato For Two- Parameter Decreasg Hazard Rate Dstrbutos Usg Cesored Data. J. Amer. Statst. Assoc Tahmasb, R., Rezae, S., 28. A two-parameter lfetme dstrbuto wth decrasg falure rate. Comput. Statst. & Data Aal. 52, Webull, W., 939. The Pheomeo of Rupture Solds. Igeor Vetesaps Aademes Hadlgar, Webull, W., 95. Statstcal Dstrbuto Fucto of Wde Applcablty. J. Appl. Mech.. 8, Xe, M., Tag, Y., Goh, T.N. (22. A modfed Webull eteso wth bathtubshaped falure rate fucto. Relablty Egeerg & System Safety, 76,

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

İstatistik Araştırma Dergisi, Cilt: 02, No: 02, Sayfa: , 2003.

İstatistik Araştırma Dergisi, Cilt: 02, No: 02, Sayfa: , 2003. İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. İstatstsel Parametre Kestrm Teler Webull Dağılımıı Parametreler Hesaplamasıda Kullaımı Ve Deprem Verler Webull Dağılımıa Uygulaması Veysel YILMAZ

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

KUKLA DEĞİŞKENLERİN T İSTATİSTİĞİ İLE AYKIRI GÖZLEMLER TESPİT EDİLEMEZ

KUKLA DEĞİŞKENLERİN T İSTATİSTİĞİ İLE AYKIRI GÖZLEMLER TESPİT EDİLEMEZ Eoometr ve İstatst Sayı:5 0-4 İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ İKTİSAT FAKÜLTESİ EKONOMETRİ VE İSTATİSTİK DERGİSİ KUKLA DEĞİŞKENLERİN T İSTATİSTİĞİ İLE AYKIRI GÖZLEMLER TESPİT EDİLEMEZ Arzdar KİRACI* Özet Gücel yazıda,

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Yaşam eğrilerini karşılaştırmak için kullanılan skor ve ağırlıklı testler: Sayısal örnekler

Yaşam eğrilerini karşılaştırmak için kullanılan skor ve ağırlıklı testler: Sayısal örnekler www.statstcler.org İstatstçler Dergs: İstatst&Atüerya 6 () - İstatstçler Dergs: İstatst&Atüerya Yaşam eğrler arşılaştırma ç ullaıla sor ve ağırlılı testler: ayısal öreler Duru Karasoy Hacettepe Üverstes

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 WEİBULL DAĞILIMII ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİ İSTATİSTİKSEL TAHMİ YÖTEMLERİİ KARŞILAŞTIRILMASI Flz ÇAKIR ZEYTİOĞLU* ÖZET Güümüzde

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Blmler ve Mühedslk ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY A Appled Sceces ad Egeerg Clt/Vol.: 3-Sayı/No: : 5-63 (202 ARAŞTIRMA

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SONLU KARMA DAĞILIMLARDA PARAMETRE TAHMİNİ. İnci AÇIKGÖZ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SONLU KARMA DAĞILIMLARDA PARAMETRE TAHMİNİ. İnci AÇIKGÖZ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SONLU KARMA DAĞILIMLARDA PARAMETRE TAHMİNİ İ AÇIKGÖZ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 7 Her haı salıdır ÖZET Dotora Tez SONLU KARMA DAĞILIMLARDA PARAMETRE

Detaylı

Fark Denklemlerinin Çözümünde Parametrelerin Değişimi Yöntemi

Fark Denklemlerinin Çözümünde Parametrelerin Değişimi Yöntemi Far Delemler Çzümüde Parametreler Değşm Ytem *Hüsey Koama Saarya Üverstes, Fe-Edebyat Faültes, Matemat Blümü, 587, Saarya Özet: İçersde e az br mertebede,,,, E b solu arları buluduğu osyoel delemlere Far

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STRES DAYANIKLILIK GÜVENİLİRLİĞİNİN MASKELİ VERİLERE DAYALI TAHMİNİ Demet SEZER DOKTORA TEZİ İstatstkAablm Dalı Aralık-03 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Box ve Whisker Grafiği

Box ve Whisker Grafiği www.memetaarayl.com Bölümü Amaçları DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKOOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aarayl@deu.edu.tr Bu Bölümü tamamladıta ora eler yapablecez: Bo ve Wher grağ ouma

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,

Detaylı

REGRESYON VE KORELASYON ANALİZİ

REGRESYON VE KORELASYON ANALİZİ REGRESYON VE KORELASYON ANALİZİ.. Doğrusal İlşler.. Yalı (ast) Regreso... E Küçü Kareler Metodu a) Normal Delemler Çözümü ) Determat metodu c) Orj Kadırma... Regresou Stadart Sapması..3. Regresou Duarlılığı..4.

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ BĠR GRAFIN TERS WIENER ENERJĠSĠ VE TERS WIENER-ESTRADA ĠNDEKSĠ Sez ÇĠZMECĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matemat Aablm Dalı OCAK-0 KONYA Her Haı Salıdır TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Detaylı

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI Süleyma Demrel Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs Y.2008, C.3, S.2 s.335-350. Suleyma Demrel Uversty The Joural of Faculty of Ecoomcs ad Admstratve Sceces Y.2008, vol.3, No.2 pp.335-350. PORTFÖY

Detaylı

Meta-analizinde kategorik verilerin birleştirilmesinde kullanılan istatistiksel yöntemler: Aktif ve pasif sigara içicilerin değerlendirilmesi

Meta-analizinde kategorik verilerin birleştirilmesinde kullanılan istatistiksel yöntemler: Aktif ve pasif sigara içicilerin değerlendirilmesi İtabul Üverte İşletme Faülte Derg Itabul Uverty Joural o the School o Bue Admtrato lt/vol:38, Sayı/No:2, 2009, 34-46 ISSN: 303-732 - www.derg.org 2009 Meta-aalzde ategor verler brleştrlmede ullaıla tattel

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver set taıma yada farlı ver set brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etrafıda

Detaylı

1. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ 1

1. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ 1 ÖNSÖZ Bu çalışmaı oluşumu esasıda emeğ, blgs ve sosuz desteğyle baa yol göstere değerl hocam Prof. Dr. Erol BALKANAY a; alayışı, desteğ ve atılarıda ötürü değerl hocam Yrd. Doç. Dr. Recep KORKMAZ a teşeürlerm

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi Yüzücü Yıl Üverstes, Zraat Fakültes, Tarım Blmler Dergs (J. Agrc. Sc.), 008, 18(1): 1-5 Araştırma Makales/Artcle Gelş Tarh: 10.06.007 Kabul Tarh: 7.1.007 Lojstk Regresyoda Meydaa Gele Aşırı Yayılımı İcelemes

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Clt/Vol.:0-Sayı/No: : 455-465 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE İKİ PARAMETRELİ WEIBULL DAĞILIMINDA

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

α kararlı dağılım, VaR, Koşullu VaR,, Finansal α KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK

α kararlı dağılım, VaR, Koşullu VaR,, Finansal α KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK Marmara Üverstes İ.İ.B.F. Dergs YIL 00 CİLT XXVIII SAYI I S. 549-57 Özet KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK ÖLÇÜMÜ Ömer ÖNALAN * Bu çalışmada fasal kayıları kalı kuyruklu kararlı dağılım zledğ varsayımı

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ- KARE TESTLERİ Doç.Dr. Al Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIAY Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı,

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Betül ACAR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemat Aablm Dalı Şubat-0 KONYA Her Haı Salıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

Çok Aşamalı Sıralı Küme Örneklemesi Tasarımlarının Etkinlikleri Üzerine Bir Çalışma

Çok Aşamalı Sıralı Küme Örneklemesi Tasarımlarının Etkinlikleri Üzerine Bir Çalışma Süleyma Demrel Üverstes, Fe Blmler Esttüsü Dergs, 15- ( 011),17-134 Çok Aşamalı Sıralı Küme Öreklemes Tasarımlarıı Etklkler Üzere Br Çalışma Nlay AKINCI 1, Yaprak Arzu ÖZDEMİR * 1 TRT Geel Müdürlüğü Reklam

Detaylı

2q-Konveks Parpoligon Yaklaşımını Kullanarak Kesir Dereceli Affine Belirsizlik Yapısındaki Sistemlerin Nyquist Zarflarının Elde Edilmesi

2q-Konveks Parpoligon Yaklaşımını Kullanarak Kesir Dereceli Affine Belirsizlik Yapısındaki Sistemlerin Nyquist Zarflarının Elde Edilmesi q-koes Parpolgo Yalaşımıı Kullaara Kesr Derecel Affe Belrszl Yapısıda Sstemler Nyqust Zarflarıı lde dlmes Blal Şeol, Celaledd Yeroğlu Blgsayar Mühedslğ Bölümü İöü Üerstes, Malatya blal.seol@ou.edu.tr,

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Parçacık Sürü Optimizasyonu ile DWT-SVD Tabanlı Resim Damgalama

Parçacık Sürü Optimizasyonu ile DWT-SVD Tabanlı Resim Damgalama Parçacı Sürü Optmzasyou le DW-SVD abalı Resm Damgalama Veysel Aslataş, Abdullatf Doğa, Rfat Kurba Özet Multmedya eseler ç telf haı ve erşm otrolü amacıyla çeştl damgalama teler gelştrlmştr. Bu çalışmada

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

İKİ SEVİYELİ KESİKLİ STOKASTİK TAŞIMA PROBLEMİ BILEVEL DISCRETE STOCHASTIC TRANSPORTATION PROBLEM

İKİ SEVİYELİ KESİKLİ STOKASTİK TAŞIMA PROBLEMİ BILEVEL DISCRETE STOCHASTIC TRANSPORTATION PROBLEM Electroc Joural of Vocatoal Colleges December/Aralı 20 İKİ SEVİYELİ KESİKLİ STOKASTİK TAŞIMA PROBLEMİ Hade GÜNAY AKDEMİR, Fatma TİRYAKİ 2 Özet Bu çalışmada, müşter talepler stoast, özellle esl rassal değşeler

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE 1 ölüm maçları İSTTİSTİKSEL THMİLEME VE YORUMLM SÜRECİ ÖREKLEME VE ÖREKLEME DĞILIMLRI u bölümde öğreeceklerz. Örekleme gereksm ve yötemler celemek. Örekleme hatası kavramıı taımlamak Örekleme dağılışı

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon)

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon) Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler

Detaylı

Zaman Gecikmesine Sahip Kesirli Dereceli Belirsiz Sistemler için Kontrolör Tasarımı

Zaman Gecikmesine Sahip Kesirli Dereceli Belirsiz Sistemler için Kontrolör Tasarımı EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE Zama Gecmese Sahp Kesrl Derecel Belrsz Sstemler ç Kotrolör Tasarımı Tufa Doğruer, Nusret Ta 2 Eletro ve Otomasyo Bölümü Gazosmapaşa

Detaylı

TMOZ TMOZ. Pólya nın Sayma Teorisi. 1. Isınma Problemleri. Eylül 2006 Saygın Dinçer

TMOZ TMOZ. Pólya nın Sayma Teorisi. 1. Isınma Problemleri. Eylül 2006 Saygın Dinçer / Türye Matemat Öğretmeler Zümres Eylül 006 Saygı Dçer saygdcer@gmal.com Bazı ombator problemlerde çözümler sayısı, problem sahp olduğu smetrde dolayı, drger. Pólya ı sayma teors bu tür ombator problemler

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsas Tez

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

Bir Telekomünikasyon Probleminin Matematiksel Modellenmesi Üzerine

Bir Telekomünikasyon Probleminin Matematiksel Modellenmesi Üzerine Br Telekomükasyo Problem Matematksel Modellemes Üzere Urfat Nuryev, Murat Erşe Berberler, Mehmet Kurt, Arf Gürsoy, Haka Kutucu 2 Ege Üverstes, Matematk Bölümü, İzmr 2 İzmr Yüksek Tekolo Esttüsü, Matematk

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

Düşük Hacimli Üretimde İstatistiksel Proses Kontrolü: Kontrol Grafikleri

Düşük Hacimli Üretimde İstatistiksel Proses Kontrolü: Kontrol Grafikleri Düşü Hacml Üretmde İstatstsel Proses Kontrolü: Kontrol Grafler A. Sermet Anagün ÖZET İstatstsel Proses Kontrolu (İPK) apsamında, proses(ler)de çeştl nedenlerden aynalanan değşenlğn belrlenere ölçülmes,

Detaylı

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ Joural of Ecoomcs, Face ad Accoutg (JEFA), ISSN: 48-6697 Year: 4 Volume: Issue: 3 CURRENCY EXCHANGE RATE ESTIMATION USING THE GREY MARKOV PREDICTION MODEL Omer Oala¹ ¹Marmara Uversty. omeroala@marmara.edu.tr

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsans Tez TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM Ankara Ünverstes Fen

ÖZET Yüksek Lsans Tez TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM Ankara Ünverstes Fen ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

TESADÜFİ DEĞİŞKENLERLE İLGİLİ BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

TESADÜFİ DEĞİŞKENLERLE İLGİLİ BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ISSN:1306-3111 e-journal of New Worl Scences Acaemy 2008, Volume: 3, Number: 4 Artcle Number: A0108 NATURAL AND APPLIED SCIENCES MATHEMATICS APPLIED MATHEMATICS Receve: March 2008 Accepte: September 2008

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ lt: 9 Sayı: s -7 Ocak 7 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖÜMÜNDE AŞIMA MARİSİ YÖNEMİ (MEHOD OF RANSFER MARIX O HE ANALYSIS OF HYDRAULI PROBLEMS) Rasoul DANESHFARA*,

Detaylı

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

Güvenlik Stokları. Tedarik Zincirlerinde Belirsizlik Yönetimi: Güvenlik Stokları. Güvenlik Stokları Belirlenirken Sorulması gereken sorular

Güvenlik Stokları. Tedarik Zincirlerinde Belirsizlik Yönetimi: Güvenlik Stokları. Güvenlik Stokları Belirlenirken Sorulması gereken sorular Güvenl Stoları Tedar Zncrlernde Belrszl Yönetm: Güvenl Stoları Güvenl Stoğu: Herhang br dönemde, talebn tahmn edlen mtarın üzernde gerçeleşen mtarını arşılama çn elde bulundurulan sto mtarıdır Q Çevrm

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda, Begül ARKANT tarafıda hazırlaa bu çalışma 3/07/008 tarhde aşağıdak jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes

Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda, Begül ARKANT tarafıda hazırlaa bu çalışma 3/07/008 tarhde aşağıdak jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BAĞIMLI GÖZLEMLERLE BOOTSTRAP YÖNTEMİ Begül ARKANT İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri Değşel (Yayılım) Ölçüler İ arlı aaütley brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı