İstanbul Teknik Üniversitesi TEKNİK RAPOR GEMİLERİN DÜŞÜK HIZLARDA DALGALAR ARASINDAKİ HAREKETLERİNİN İNCELENMESİ İÇİN SAYISAL BİR YÖNTEM

Transkript

1 İstabul Tkik Üivrsitsi Gi İşaatı v iz Bililri Fakültsi iz Tkljisi Bölüü TEKNİK RAPOR GEMİLERİN ÜŞÜK HIZLARA ALGALAR ARAINAKİ HAREKETLERİNİN İNCELENMEİ İÇİN AYIAL BİR YÖNTEM ç. r. Barbars Oka

2 İstabul Tkik Üivrsitsi Gi İşaatı v iz Bililri Fakültsi iz Tkljisi Bölüü Rapr N TR 7/ Rapr Güü Hazira 7 Rapr Türü Yazar(lar) Oay Tkik Rapr Barbars OKAN Barbars OKAN Yötici Barbars OKAN Gü Hazira 7 Bölü Başkaı Prf. r. Abdi KÜKNER Gü Hazira 7 Aahtar Klilr Gi Harktlri, Gi Hidrdiaiği GEMİLERİN ÜŞÜK HIZLARA ALGALAR ARAINAKİ HAREKETLERİNİN İNCELENMEİ İÇİN AYIAL BİR YÖNTEM

3 İÇİNEKİLER EMBOL İZİNİ...iii ÖZET ABTRACT...4. GİRİŞ PROBLEMİN TANIMI E EKEN TAKIMLARI GEMİ HAREKETLERİNE İNAMİK PROBLEM GEMİ HAREKETLERİNE HİROİNAMİK PROBLEM Prbli Lirlştirilsi Ptasiyli Bilşlri v Bilşk Prbllr Hidrdiaik Basıç v Gllştiriliş Kuvvt Bilşlri GELEN ALGALARIN POTANİYELİ, FROUE-KRYLO KUETLERİ E HİROTATİK KUETLER Harktli Eks Takııda Gl alga Kuvvti Harktli Eks Takııda Gl alga Basıcı Harktt layı Ortaya Çıka Hidrstatik Kuvvtlr AÇILMA POTANİYELİ E AÇILMA KUETLERİ açıla Prblii Çözüü ayısal Yöt YAYILMA POTANİYELİ E YAYILMA KUETLERİ Gi Yüzyii Nral Hızı ayısal Yöt Ek-kütl v Hidrstatik öü Hsabı BİR UYGULAMA: ERİ 6 CB = i

4 9. ONUÇLAR KAYNAKLAR ii

5 EMBOL İZİNİ X,Y,Z x,y,z x,y,z Uzayda sabit ks takııda krdiatlar abit hızla ilrly ks takııda krdiatlar Giy bağlı ks takııda krdiatlar T, t ırası il uzayda sabit v harktli ks takılarıda zaa Ψ Ω M x c, z c Gii sabit ilri hızı Gi ağırlık rkzii dğrusal ötlsi Gi ağırlık rkzii rijit dösi Gii kütlsi (plasaı) Gii byua v yükskliği kütl rkzi rdiatları I xx, I yy, I zz, I xz Gii kütl atalt tlri T f j =,,..6 Giy tki d gllştiriliş dalga kuvvti bilşlri j ( x, y, z ) j j =,,..6 ξ j j =,,..6 Gi yüzyii dış rali Gi yüzyii dış ralii gllştiriliş bilşlri Gi ağırlık rkzii gllştiriliş harkt bilşlri a jk j,k =,,..6 Giy ait k-kütl katsayısı b jk j,k =,,..6 Giy ait hidrdiaik söü katsayısı c jk j,k =,,..6 Giy ait hidrstatik kuvvt katsayıları Φ Uzayda sabit ks takııda zaaa bağlı ptasiyl Φ, Φ I, Φ, Φ R ırasıyla uzayda sabit ks takııda zaaa bağlı daii ptasiyl, gl dalga ptasiyli, saçıla ptasiyli v yayıla ptasiyli p ρ ζ ω μ dalga sayısı Hidrdiaik basıç iz suyu yğuluğu Gl dalga gliği Gl dalgaı uzayda sabit ks takııda açısal frkası Gl dalgaları uzayda sabit ks takııda slu driliktki iii

6 ν dalga sayısı ω μ sayısı ν sayısı A WP, M WP I T, I L Gl dalgaları uzayda sabit ks takııda ssuz driliktki Gl dalgaı harktli ks takııda karşılaşa açısal frkası Gl dalgaları harktli ks takııda slu driliktki dalga Gl dalgaları harktli ks takııda ssuz driliktki dalga ırasıyla su hattı alaı v bu alaı byua ti ırasıyla su hattı alaıı i v byua atalt tlri φ, φ, φ I R ırasıyla harktli ks takııda zaaa bağlı gl dalga ptasiyli, saçıla ptasiyli v yayıla ptasiyli ϕ,ϕ I ırasıyla harktli ks takııda zaada bağısız gl dalga ptasiyli v saçıla ptasiyli ϕ j =,,..6 Harktli ks takııda zaada bağısız yayıla ptasiyli j bilşlri G(x,y,z;ξ,η,ζ) Gr fksiyu r i Ĝ, Ĝ Gr fksiyuu ral dğrultudaki türvid luşa tkilşi atrisii rl v saal kısıları r i σ,σ açıla kayak dağılııı rl v saal kısıları jr ji σ,σ Yayılaı j ici bilşi ait kayak dağılııı rl v saal kısıları P, P Basıç hsabıa ait tkilşi atrisii rl v saal kısıları r i iv

7 I.T.U. partt f Oca Egirig ÖZET Gilri dalgalar arasıdaki harktlrii diaik aalizi çk karaşık bir prbl lduğu içi uzu yıllar gi tasarıı sırasıda sadc yarı statik larak göz öü alııştır. Gi byutlarıı v hızlarıı büyüsi il bu gilri harktlrii v dalgalarda dlayı rtaya çıkacak diaik yüklri azaltaı ö kazaası v 95 li yılları başıda t. is il Pirs u gi harktlri süprpzisy ilksii uygulaalarıyla bu kuda yi bir çığır açılıştır. Bu ilky gör gii karaşık dalgalar arasıdaki harktlri hr frkasta priydik dalgalar arasıdaki harktlrii tplaıdır v böylc prbl daha basit iki prbl idirgiş lur. Gilri priydik dalgalar arasıdaki harktlrii iclsi Priydik dalgalar içi ld dil suçları kullaarak düzsiz dalgalardaki harktlri istatistikî larak iclk Bu prbllrd ikicisi istatistik trisii dğruda uygulaası lasıa karşı ilk prbl hala daha ldukça karaşıktır v çözü içi bazı basitlştirlr grkir. Prbli iclrk diz suyu viskzitsiz kabul dilip prbl bir ptasiyli blirlsi idirgrk çözülür v viskzitd dlayı rtaya çıka tkilr grktiği hallrd srada düzlt trilri larak göz öü alıır. Ayrıca dalgaları lir, yai yükskliklrii bylarıa gör çk küçük lduğu varsayılarak hız ptasiyli d süprpzisy ilksi uygulaıp ptasiyli ilri hız ptasiyli, gl dalgalar ptasiyli, saçıla (difraksiy) ptasiyli v yayıla (radyasy) ptasiylii tplaı larak kabul dilbilir. Böylc gii ilri hızı v priydik dalga blli lduğuda prbl sadc saçıla v yayıla ptasiyllrii blirlsi idirgir. Bu prbllri çözüü içi öclri gilri ic uzu yapılar lası varsayıı altıda bir dizi iki byutlu prbl idirgy trilr gliştiriliştir. Üç byutlu prbllrd iki byutlu prbl gçişlri açısıda bazı dğişikliklr göstr v bu dğişikliklr bağlı larak suçlarda da farklılıkları la bu trilr bir çk sayısal hsap yötii rtaya çıkasıa d luştur. Bu yötlri Odabaşı v Har ayrıtılı larak iclişlrdir. aha sraki yıllarda bilgisayarları

8 I.T.U. partt f Oca Egirig glişsi sucu bu yötlri yaısıra taa üç byutlu prbli çözüü d gliştiriliş v özllikl ic uzu laya gilr v açık diz yapılarıda başarı il uygulaıştır. zaalarda üç byutlu yötlri lir laya dalgalarda gi harktlrii iclk aacı il gliştir çabaları sürktdir acak hüz ta alaı il başarılı bir yöt gliştirilbiliş dğildir. Türkiyd s yılda gi işaatıda ciddi bir aşaa kayddiliş v bu alada yğu bir faaliyt artışı luşuştur. Arta bu faaliyt yğuluğua parall larak tasarı v dysl çalışalarda da öli ölçüd bir gliş v calaa kayddiliş v gi işaatı sktörü dğruda dstk vr İstabul Tkik Üivrsitsi Gi İşaatı v iz Bililri Fakültsi Ata Nutku Gi Mdl y Labratuarı çvrsid d öli bir biriki luşuştur. N var ki bu biriki gi harktlrii iclk kusuda sayısal dll laakları açısıda iki byutlu yötlrl sıırlı kılakta v bazı hallrd ytrli hassasiyt sağlaaaaktadır. Öt yada gi dl dy labratuarıdaki dy düzklri ldukça skiiş lup drlştirillri grkktdir. Türk gi işa saayii gidrk artakta la gi ihraç kapasitsi göz öü alıdığıda taa güvilir bir gi harktlri prgraıı gliştirilsi v dl havuzuu drlştirilsi zrulu gözükktdir. Bu çrçvd üç byutlu bir gi harktlri prgraı gliştirk v bu prgraı drlştiriliş bir havuzda sistatik bir dysl çalışayla da ktrl tk aacı il bir prj başlatılıştır. Prj kapsaıda şu aa kadar labratuvardaki laakları gliştirilsi içi ihallr hazırlaış v gi harktlrii iclk aacıyla üç byutlu bir gi harktlri prgraıı gliştirilsi başlaıştır. Bu raprda gliştiril prgra alatılaktadır. Prbli çözüü içi Gr fksiylarıda yararlaarak bir pal yöti kullaılıştır. Prgraı gliştirilsi üç yıllık bir prj larak ögörülüş v aşaalı bir yl izlsi kararlaştırılıştır. İlk tapta sıfır ilri hız içi gçrli la Gr fksiyu kullaılarak düşük hızda gi harktlri l alıaktadır. Giriş bölüüd daha vvlc bu kuda yapıla çalışalar gözd gçirilkt v öli dyilr öztlktdir. Prbli taıı v prbli iclsi

9 I.T.U. partt f Oca Egirig sırasıda kullaıla ks takıları ikici bölüd vrildikt sra üçücü bölüd diaik prbli tl dkllri Nwt yasalarıda harktl ld dilktdir. ördücü bölüd hidrdiaik prbli tl dkllri v sıır kşulları kruu yasalarıda ld dilip lirlştirildikt sra bilşlri ayrılaktadır. Prbli bilşlrid gl dalgalar, saçıla dalgalar v yayıla dalgalar prbllrii çözü yötlri d sırasıyla bşici, altıcı v ydici bölülrd l alıaktadır. kizici bölüd gliştiril prgraı örk bir giy uygulaası vrilkt, s bölüd d bu uygulaada ld dil suçlar dğrldirilktdir. 3

10 I.T.U. partt f Oca Egirig ABTRACT Th dyaic aalysis f a ship i a cfusd saway is a vry cplicatd prbl ad durig th dsig prcss, fr a vry lg ti, it has b tak it accut ly i th quasi-static ss. I th bgiig f 95 s with th rapid grwth i th disis ad spds f th ships th dyaic frcs th ad thir tis startd bcig sigificat. At th sa ti t. is ad Pirs prpsd th pricipl f suprpsiti fr irrgular wavs i which th irrgular wavs ar csidrd t b th su f pridic wavs f a giv spctru ad that th rsps f th ship t th irrgular wav ca b rprstd as th su f th rspss f it t th cpt rgular wavs. Thus, th cplicatd prbl ca b split it tw siplr prbls: Ivstigati f th tis f a ship i pridic wavs tatistical ivstigati f th tis f a ship i irrgular wavs basd th slutis f th pridic prbl Whras th scd prbl is a straightfrward applicati f th thry f statistics, th first prbl is still a fairly cplicatd ad a sris f siplificatis ar rquird fr th sluti. Whil ivstigatig this prbl th sa watr is assud t b iviscid rducig th prbl t th sluti f a pttial ad ay ffcts that ight aris fr viscsity is latr itrducd as ad-hc crrctis whr cssary. Furthrr, assuig th wavs t b liar, i.. th wav hights vry sall cpard with th wavlgths, suprpsiti pricipl ca b applid t th pttial allwig it t b rprstd as th su f a stady frward spd pttial, icidt wav pttial, diffractd wav pttial ad a radiati pttial. As th frward spd f th ship ad th icidt wav ar prscribd th prbl bils dw t th dtriati f th diffracti ad th radiati pttials. Th arly sluti tchiqus dvlpd wr basd rducig th prbl t a sris f tw disial prbls basd th assupti that th ship is sldr. vral thds with diffrcs i dducig th rlatiship btw tw disial ad thr disial prbls hav b prpsd ad dvlpd vr 4

11 I.T.U. partt f Oca Egirig a lg prid. A thrugh rviw f ths thds is giv by Odabaşı ad Har. I latr yars, with th rapid prgrss i th cputr tchlgy fully thr disial thds hav b dvlpd ad ths thds hav b applid t -sldr ships ad ffshr structurs with grat succss. Mst rctly ffrts hav cctratd dvlpig fully thr disial liar thds; hwvr, ral succss has b rcrdd s far. I th last dcad i Turky srius prgrss has b bsrvd i shipbuildig ad csidrabl icras i activity has ccurrd i this fild. I paralll with th risig activity i th shipyards a rvival i th dsig ad rsarch studis has als rgd. This has lad t a ivaluabl accuulati f kw-hw at th Ata Nutku hip Mdl Tstig Labratry f th Faculty f Naval Architctur ad Oca Egirig at Istabul Tchical Uivrsity which prvids dirct tchical supprt t th Turkish shipbuildig idustry. Ufrtuatly th accuulatd kw-hw at th labratry is swhat liitd t th us f sldr bdy typ sftwar whil dlig ship tis which ar kw t b usatisfactry i s cass. O th thr had with agig quipt th wav akig facility ds upgradig. With th cstatly icrasig xprt capacity f th Turkish shipbuildig idustry it lks lik it is sstial t dvlp rliabl sftwar fr th ivstigati f ship tis ad upgrad th xprital facility. Thus, a prjct has b iitiatd with th pricipal ai f dvlpig a fully thr disial sftwar fr ivstigatig ship tis ad prfrig systatic tsts fr validatig this sftwar aftr upgradig th xprital facility. far, th tdrs fr quipt upgrads hav b cpltd ad th sftwar dvlpt has startd. I this rprt, th sftwar dvlpt udrtak is big prstd. A pal thd basd xplitig Gr s fuctis ad a pal thd is big usd fr th sluti f th prbl. Th prjct is plad as a thr yar prjct ad a stp by stp apprach is prfrrd i dvlpig th sftwar. I th first stp zr frward spd Gr fucti is big usd fr slvig th lw spd prbl. I th itrducti a litratur survy is giv whr th pigat pits ar suarisd. Fllwig th dfiiti f th prbl ad th crdiat systs 5

12 I.T.U. partt f Oca Egirig usd thrughut th txt i scti tw, scti thr is ddicatd t th drivati f th fudatal quatis f th dyaic prbl fr Nwt s laws. I scti fur, aftr drivig th fudatal quatis ad th budary cditis f th hydrdyaic prbl fr csrvati laws, th prbl is liarisd ad brk dw t its cpt prbls. Th sluti tchiqus fr cpt prbls f icidt wavs, diffractd wavs ad th radiatd wavs ar prstd i sctis fiv, six ad sv rspctivly. cti ight is dvtd t th applicati f th thd t a particular tst cas ad th cclusis fr th rsults ar draw i th fial scti. 6

13 I.T.U. partt f Oca Egirig. GİRİŞ Gilri grçk dalgalar arasıdaki harktlrii iclsi uzu yıllar dizlrdki düzsiz dalgaları uygu bir şkild tsil dilbilsi laaksız gözüktüğü içi ikâsız larak düşüülüş v bu kudaki çalışalar priydik dalgalarla sıırlı kalıştır. Kayda dğr ilk çalışalar Frud 4 v Krylv 5 tarafıda yapılıştır. Bu çalışaları hr ikisid d gii çk ic lduğu v gl dalgaları hiç bir şkild dğiştirdiklri varsayılış v sadc dalga zrlaasıı bugü Frud-Krylv kuvvti larak bili kısı göz öü alııştır. aha sraki yıllarda Lwis 6 k-kütl tkisii prbl ithal drk radyasy tkilrii kıs göz öü alış, Maig 7 d dalga yöü v ilri hızı göz öü alarak karşılaşa frkası kavraıı luşturuştur. Gi işaatı ühdislri prbl gllikl pratik açıda yaklaşırlark atatikçilr tarafıda ku il ilgili bazı çk öli trik çalışalar da yürütülüştür. Bu död Havlck 8,9 v Jh, gi harktlrii hidrdiaiğii atatiksl fraliz çrçvsid icliş v bu çalışalarıyla Gr fksiylarıı v Gr trii gi hidrdiaiği girişii sağlayarak güüüzd kullaıla aalitik yötlri tllrii atışlardır. Ayrıca Ptrs v tkr da gi hidrdiaiği prbllrid prtürbasy yötii uygulayarak bir ic gi trisi luşturuşlardır. Bu tri gi harktlri prbllri başarılı larak uygulaaaakla birlikt pratikt bir çk başarılı ic gi trisii tlii luşturuştur. üzsiz dalgalarda gi harktlrii iclbilsi içi ilk v öli çalışa t. is v Pirs tarafıda grçklştiriliş v düzsiz dalgaları atatiksl tsili il buu gi harktlrii iclkt kullaılası içi frl bir yöt örişlrdir. Bu yöt uyarıca düzsiz dalgalar vriliş bir spktruu luştura priydik dalgaları tplaı larak kabul dilkt v gii düzsiz dalgalardaki harktlrii d spktruu luştura priydik dalgalardaki harktlrii tplaı lacağı varsayılaktadır. Yapıla bu kabullr sucu prbl aalitik larak yaklaşak ükü luş v sas prbl gilri 7

14 I.T.U. partt f Oca Egirig priydik dalgalardaki harktlrii çözüü v bu çözülri kullaarak düzsiz dalgalardaki harktlri istatistikî larak icly idirgiştir. Bu aşaada yararlaarak kayda dğr ilk çalışayı Krvi-Krukvsky v Jacbs 3 yapış v ic gi varsayıı yardıı il pratik bir hsap yöti gliştiriştir. Bu çalışada gii sitrisid dlayı ilri ötl, dalıp-çıka v baş-kıç vura harktlrii diğr harktlrd bağısız lacağı v ilri ötli d ic gilrd ihal dilbilcğii göz öü alarak sadc dalıp-çıka v baş-kıç vura harktlri icliştir. İc gi yaklaşıı 97 li yılları rtalarıa kadar gi harktlri araştıralarıı dak ktasıı luşturuş v birbiri kıyasla öli farklılıklar göstr çşitli yötlr gliştiriliştir. Farklılıklar sas larak prbli dllsi, çözü yöti v ilri hızı göz öü alıası kularıda lak üzr üç ktada rtaya çıkaktadır. Prbl dllsi kusuda Grritsa il Bukla 4 tarafıda gliştiril pratik ühdislik yaklaşıı il Ogilvi il Tuck 5 tarafıda gliştiril trik yaklaşı lak üzr iki farklı yaklaşı vardır. Trik yaklaşı izafi harkti yarattığı karaşıklığı sa rdirilip harkti tpla tkisii yayıla v saçıla bilşlrid luştuğuu blirlsi açısıda çk ölidir. İki byutlu ptasiyl prblii çözüü içi üç dğişik yöt kullaılıştır. Bularda ilki Jukwskii kfr döüşü yötii bir uzatısı lup Lwis 6 tarafıda gliştiriliştir. aha sraları Tasai 6 prbli çözüü içi ptasiyli taııda Ursll 7 tarafıda gliştiriliş la tkilliklri kullaıştır. Acak hr iki yöt d Frak 8 tarafıda gliştiril v ptasiyli gi ksitlri üzridki kayak dağılıı il tsil dilsi dayalı la yöti alvs, Tuck v Faltis 9 tarafıda gi harktlri uygulaasıda sra trk dilişlrdir. Grritsa il Bukla 4 Ogilvi il Tuck 5 il alvs, Tuck v Faltis 9 tarafıda gliştiril yötlr ayrıca ilri hızı göz öü alıışıda da rtaya çıka üç dğişik şklii tsil tktdir. İc gi yaklaşıı tl varsayıı diyl hr zaa sıırlı lup ilri ötl harktii iclsi laak vrktdir. Bu özllikl takrlr v dök yük gilri gibi dlgu gi frlarıda ldukça öli hatalara d 8

15 I.T.U. partt f Oca Egirig lduğuda bilgisayarlardaki hızlı glişlr sucu 97 li yılları rtasıa dğru litratürd prbl üç byutlu pal yöti il yaklaşa akallr görüly başlaıştır. Buları ilk örklri Faltis v Michls il Hgb v tadig tarafıda gliştirilişlrdir. Hr iki örkt d ilri hız prbli göz öü alıaış aa bularda sadc saçıla prbli il ilgil Hgb v tadig slu drilik halii d icliştir. ıfır ilri hız halid ldukça başarılı suçlar ld dilsi v ilri hıza ait Gr fksiyu blli lasıa rağ prbli ilri hız içi çözk ldukça daha uzu zaa alıştır. Bu kudaki kayda dğr ilk çalışa Iglis v Pric tarafıda yürütülüştür. Burada kayağı ilri hızı di il Gr fksiyu ldukça yüksk salıılar göstrkt v hsaplaaları sru yarataktadır. Iglis v Pric tkil tgrallri v prbli karaktristiklrid yararlaarak bu sruu büyük ölçüd aşışlardır acak sayısal hsaplar ldukça uzu zaa alaktadır. Bu çalışaları daha rasyl hal gtirk içi kurula NMB Cprativ Rsarch a Lads Wrkig Grup bir prj çrçvsid üç byutlu pal tduu kullaarak gi harktlrii iclk üzr bir prgra gliştiriştir. Bu prjd gliştiril prgrada ilri hız prblid karşılaşıla srular göz öü alıarak düşük hızlarda basitlştiriliş bir Gr fksiyu kullaılaktadır 3. Bu çalışalar sırasıda Gr fksiyuda rtaya çıka irrgülr frkas prblii Bssh 4 tarafıda örildiği gibi su hattı byuca tgrasyuyla çözülbildiği blirliştir. zaalarda ilri hız prblid yaşaa srularda kurtulabilk aacı il yi çalışalar yapılış v Nbls v Yug 5 yi bir Gr Fksiyu örişlrdir. Bu Gr fksiyu çk daha basit lasıa v radyasy kşuluu sağlaasıa karşılık lirlştiriliş srbst su yüzyi kşuluu gi civarıda acak yaklaşık larak sağlaaktadır. Yazarlar bu yaklaşıklığı öli bir sru tşkil tycğii ta trsi gii ilri hızıda dlayı gi civarıdaki bzulaları daha klaylıkla tsil dilsi lvrcğii iddia tktdirlr. Yukarıda sözü dil çalışaları hpsi prbli frkas uzayıda çözkt v sra Furir döüşüü yardıı il zaa uzayıa gçktdir. Bu çalışaları yaı sıra başta Liapis v Bck 6 lak üzr bazı araştıracılar prbli dğruda zaa uzayıda çözyi dişlrdir. Bu yöt hr zaa aralığıda hsapları 9

16 I.T.U. partt f Oca Egirig tkrarlaasıı grktirdiği içi daha uzu zaa alası di il uzuca sür pk kabul göriştir. Acak s zaalarda srbst su yüzyii hr zaa adııdaki yi kuuda hsap yapaya laak vrdiğid lir prbl uygu lası bu kudaki çalışaları artasıa d luştur 7,8. Bu yötd ta srbst su yüzyi kşulu grçk srbst su yüzyi üzrid sağladığı ö sürülktdir. Acak grçk srbst su yüzyii d prbli bir biliyi lası prbli ldukça karaşıklaştırakta v ayrıca çözüü yakısaklığı tartışılır lduğuda ld dil suçları gçrliliği kusuda da şüphlr luşaktadır. ysl suçlar gllikl lir aralıkta lduğu içi karşılaştıralar sağlıklı bir ölçü dğildir. Bir diğr gliş d ilri hızlarda Gr fksiyuu tgralid gl zrlukları aşak aacı il yapıla çalışalardır. Bu çalışalar gllikl Gr fksiyu yri Raki kayakları v sıır laları yötii kullaarak çözü araak şkliddir 9,3. Özüd sıır laları yöti d bir pal yöti lup farklılık krl fksiyuu sçii il srbst su yüzyi v radyasy kşullarıı sağlaış şklid kayaklaaktadır. Krl fksiyuu sadc bölgdki dkli sağlaası ytrlidir v bu bölg srbst su yüzyi v radyasy yüzyi il sıırlıdır. Bu yüzylr d gi yüzyi gibi pallrl tsil dilir v üzrlridki kayaklar srbst su yüzyi il radyasy kşularıı sırası il srbst su yüzyi v radyasy sıır yüzyii luştura pallr üzrid sağlaası il blirlir. Bütü bu yötlri gçrliliklrii blirlk acak ld dil suçları dy suçları il karşılaştırılasıyla üküdür. Trik çalışalara kıyasla çk daha sıırlı lakla birlikt bir çk dysl çalışa yapılıştır. Bularda öli la ilk sistatik çalışa ssrs, waa v Rijk 3 tarafıda yürütülüştür. Priydik dalgalarda yapıla dylrd ri 6 dllr kullaılış, dl byları larak sabit alıırk gi gişliği, gi driliği v blk katsayısı sistatik larak dğiştiriliştir. alga karaktristiklri açısıda dalga yükskliğii gi byua raı sabit tutuluş acak dalga byu gi byuu %6ı il %8i arasıda dalgaı gliş açısı da il 7 arasıda dğiştiriliştir. Mdllri ağırlıkları v ağırlık dağılıları sabit tutuluş hızları sistatik larak dğiştiriliş. ylr sırasıda dalıp çıka, baş-kıç vura v yalpa harktlri v svk

17 I.T.U. partt f Oca Egirig karaktristiklri ölçülüştür. Bu çalışada öc daha sıırlı lakla birlikt ldukça öli iki çalışa Grritsa 3 v Glvat 33 tarafıda yürütülüştür. Bularda Grritsa dy il triyi birlikt kullaa ilk araştıracıdır v zrlaış dalıp çıka, zrlaış baş-kıç vura dylrid hsap yluyla k kütl v söü katsayılarıı ld tiştir. Glvat da tk srbstlik drcli harktlr içi dylr yapış böylc trasit harktlri ölçüp buları bili lir yay kütl siti harkti il karşılaştırıp harktlrdki hafıza tkisii v kvlüsy tgralii grkliliğii göstriştir. zaalarda dysl tkiklrd kayddil glişlr sucu bazı daha hassas ölçlr d yapılştır 34,35. Bu dylr sırasıda özllikl parçalı dllrl glbal hidrdiaik kuvvtlr ölçk yri gi yüzyid hidrdiaik basıçları ölçk ylua gidiliştir. Ohkusu 34 ölçülri il sayısal yötlri karşılaştırakta, Miyak v arkadaşları 35 da basıçlarla birlikt glbal kuvvtlri d ölçüş böylc basıç tgrasyuda izl ylu ktrl t laağıı buluştur. Bu dl dylrii yaı sıra bazı gi ölçlri d yapılaya başlaıştır. Applb v Biatis 36 Arika ahil Krua tşkilatıa ait bir sahil uhafaza btuda dalgalarda dğişik yö v hızlarda ilrlrk ölçlr yapışlardır. Ölçül büyüklüklr arasıda dalga karaktristiklri, gi harktlri v prsl üzridki tkilr vardır. Yapıla kayak araştırasıda görülktdir ki gilri dalgalar arasıdaki harktlrii iclsi kusuda yaygı yöt Gr fksiylarıda yararlaarak çözü araaktır. Kullaıla Gr fksiyuu tipi bağlı larak çözüü dğruda ld tk vya frkas uzayıda ld dip daha sra Furir döüşüü uygulayarak zaa uzayıa gçk üküdür. Hsaplardaki klaylığı açısıda prbli zaada bağısız Gr fksiyları kullaarak frkas uzayıda l alaı daha uygu lacağıa karar vriliştir. Bu yötd kullaıla Gr fksiyuu tgrallrii hsabı prbli öli bir kısıı luşturacaktır. Bu dl ilri hız Gr fksiyuu l alada öc sıfır hız Gr fksiyu il dyi kazaak büyük ö taşıaktadır. Rapru sraki

18 I.T.U. partt f Oca Egirig bölülrid zaada bağısız sıfır ilri hız Gr fksiyu kullaılarak düşük hızlardaki gi harktlri l alıaktadır.

19 I.T.U. partt f Oca Egirig. PROBLEMİN TANIMI E EKEN TAKIMLARI Prbl dalgalar arasıda ilrlkt la bir gii harktlrii iclsi larak tarif dilktdir. Bu prbl gl hali il sıvı bir yarı uzay il gaz bir yarı uzayı ara yüzyidki slu bir katı bölg aralarıdaki tkilşii iclsidir. Bu gl hali il bu prbl hiç l alıaış acak gaz yarı uzayı tkisii sabit varsayarak sadc sıvı yarı uzay il slu katı bölg arasıdaki tkilşi l alııştır. Katı il sıvı arasıdaki tkilşii gl larak iclbilsi içi, özllikl yüksk frkaslarda, katı v sıvı prbllrii birlikt l alak grkir. Böyl bir çalışa aıgül v ökci tarafıda yapılış acak bu çalışa sıvı yarı uzayıı sıırıda var labilck dalgaları göz öü alaıştır. Arayüzyd dalgaları laası bu variyasyl ilki gi harktlri uygulaası kusuda öli bir sıırlaa gtirktdir. iğr tarafta gi harktlri çk düşük frkaslarda luştuklarıda gld gi rijit cisi larak kabul dip katı v sıvı prbllrii birbirid ayırak v prbli ldukça klaylaştırak laaklıdır. Gilri dalgalar arasıdaki harktlri iclirk hrzaa bu yl izlktdir acak gi içi yapıla rijit cisi varsayııı gçrliliği tartışaya açık labilir. Nvarki bu çalışa çrçvsid d gi katı cisi larak l alıacak v gi harktlrid lastiklik tkilrii iclsi daha sraki bir prjy bırakılacaktır. Bu ktada prbli iclsi sırasıda kullaılacak ks takılarıı l alakta yarar vardır. Gl larak gii açık dizdki harktlri iclcğid dalgaları uzu cphli dalgalar lduğu varsayılacaktır. E gl hald gii dalga ilrl yöü il hrhagi bir β açısı yapacak şkild v sabit bir rtalaa sürati il ilrldiği hali göz öü alalı (Şkil ). Bu duruda gi rtalaa hızı il ilrlrk ayı zaada bu rtalaa kuuu trafıda altı srbstlik drcli salıılar da yapar. Gii bu iki harktid ilki la rtalaa hızı il ilrl, gi dirci kusuu bir prbli larak kapsa dışı bırakılacaktır. Gii altı srbstlik drcli salıılarıda luşa ikici harkti is prbliizi tlii luşturaktadır. İlk prbli kapsa dışıda bırakakla birlikt rtalaa ilri hızı ikici prbl tkisi göz öü alıacaktır. 3

20 I.T.U. partt f Oca Egirig alga cphlri algaları ilrl yöü β Gii ilrl yöü Şkil : Gii dalgalara gör kuu Bu prbli l alıışıda gi hidrdiaiğid yrlşiş la glğ sadık kalıarak gilri harktii v bu harkti luşasıa d la çvr tkilrii birbirlrid ayıra bir yaklaşı izlktdir. Bularda gi harktlri diaik prbl larak, çvr tkilri d hidrdiaik prbl larak l alıaktadır. Prblii sağlıklı bir şkild göz öü alabilsi içi üç dğişik ks takıı il çalışak grkktdir. Bularda biricisi uzayda sabit bir XYZ ks takııdır. Bu ks takııı XY düzli saki diz yüzyi il çakışıktır v pzitif X dğrultusu gii ilrl yöüddir. Pzitif Z dğrultusu XY düzli dik lup saki diz yüzyii dış rali il ayı dğrultudadır. Y ksi d X v Z kslri il rtgal bir sağ ks takıı luşturacak şkild sçiliştir. Bu ks takııda zaa dğişki T larak vrilir v prbli tl dkllri basit halii alırlar. Acak gi yüzyii taıı zaaa bağlı lup blirlsi ldukça karaşıktır v sıır kşullarıı yazılasıı çk zr hal gtirir. Bu dl prbli daha basit hal gtirck bir ks takıı daha kullaak grkir. 4

21 I.T.U. partt f Oca Egirig çtiğiiz ikici ks takıı xyz d dik kartzy bir sağ ks takıı lup ilk ada XYZ ks takıı il çakışıktır v sabit hızı il pzitif X dğrultusuda ilrlktdir. Bu ks takııda zaa t il göstrilkl birlikt uzayda sabit ks takııdaki zaada grçkt hiç bir farkı yktur. Böylc hrhagi bir t aıda xyz ks takıı il XYZ ks takıı arasıda T = t kadar saf lup (Şkil ) dğişklr arasıda şu ilişki vardır. (.) x = X T = X t y = Y z = Z t T = Z z Y y P Z Y z y X x t X x Şkil : Uzayda sabit XYZ ks takıı il sabit harktli xyz ks takıları arasıdaki ilişki İki ks takıı arasıdaki bu ilişkilr göz öü alıdığıda kısi türv pratörlri arasıda da şu ilişkilr lacağı açıktır. (.) X = x Y = y Z = z T = t x Bu ilişkilr XYZ ks takııda vriliş dkllrd kullaılak surtiyl ilri hız tkisii kaybtksizi prbli xyz ks takııdaki gl dkllri ld dilir. Hr kadar xyz ks takııda gi yüzyii taıı XYZ ksi gör çk daha klay is d bu ks takııda da zaaa bağlı kalaktadır. Bu dl 5

22 I.T.U. partt f Oca Egirig prbli daha da basitlştirk aacı il bir üçücü ks takıı kullaak uygu lur. Prbli iclsid kullaılacak üçücü ks takıı x y z da rtgal bir sağ ks takıı lup giy bağlıdır. Klaylık açısıda ilk ada XYZ v xyz ks takıları il çakışıktır v hr a xyz ks takııa gör altı srbstlik drcli salıı harktlri yapaktadır (Şkil 3). z y z y r r Ψ Ω x x ξ 3 y ξ y x ξ 5 x z ξ z y ξ y x ξ 3 ξ 4 y y ξ ξ 6 x Şkil 3: Giy bağlı x y z ks takııı xyz ks takııa gör harktlri Giy bağlı x y z ks takııı xyz ksi gör harkti rijiii bir Ψ(t) ötl vktörü v bir Ω(t) dö vktörü yardıı il (.3) r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = Ψ(t) + Ω(t) r r = x i + y j + z k Ψ = ξ i + ξ j + ξ k 3 Ω = ξ i + ξ 4 5 j + ξ 6 k şklid vrilir. Burada (t) ξ j j =,,...,6 gii harktii altı bilşidir. Bular biricisid başlayarak sırası il ilri ötl, ya ötl, dalıp çıka, yalpa, başkıç vura v savrula harktlridir. Bu harktlr cisid xyz ks takıı il x y z ks takııı arasıdaki ilişkiyi şöyl yazabiliriz. 6

23 I.T.U. partt f Oca Egirig (.4) x = ξ y = ξ z = ξ 3 + z ξ 5 z ξ + y ξ 4 4 y ξ 6 + x ξ x ξ 6 5 Bu ilişkilri kullaarak diaik prbli v hidrdiaik prbld gi yüzyii harktii taılaak daha klaylaşır. Burada gii yüzdüğü rtadaki dalgaları bylarıı gi byu rtbsid lup yükskliklrii dalga bylarıa gör ldukça küçük varsayıldığıı v bu dalgalarda kayaklaa gi harktlrii küçük glikli lacağıı kabul dildiğii hatırlatakta yarar vardır. Bu varsayılar ilrid prbli lirlştirilsid v çözüü ld dilsid öli bir rl yayacaktır. 7

24 I.T.U. partt f Oca Egirig 3. GEMİ HAREKETLERİNE İNAMİK PROBLEM Gii diaik prbli ddiğiizd, giy diz tarafıda tki ttiril kuvvtlri blirli lduğu varsayılarak bu kuvvtlr tkisid gii harktlrii l alıasıdır. Prbl Nwt u harkt yasalarıda yararlaarak iclck v gii pratik larak şkil dğiştiry bir cisi lduğu kabul dilcktir. Bir cis tki d kuvvtlri dgsi yasasıa gör giy tki d atalt kuvvtlri il dış kuvvtlr dgddir. Yai (3.) ρ& r& d = Fd Fd = pd Burada F d dış kuvvti gii dış yüzyi tki d p basıcıı gi yüzyi üzrid tgrali şittir. Kuvvti hsabıda basıcı gi yüzyi dik tki ttiğii v yöüü blirlsid gi yüzyii dış rali il çarpıldığıa dikkat dillidir. İv hsabı içi r(t) v r yr vktörlrii (.3) dkllrid yararlaarak türvlri alıır v (3.) dkli yrlştirilirs (3.) rd i ρ&& = && ξ + j && ξ + k && ξ ρd + && ξ ρd && ξ ρd + && ξ z ρd && ξ z ρd + && ξ 4 y ρd && ξ 6 6 y d ρ + x d ρ + x d ρ = F 5 d ld dilir. Kuvvtlri dgsi yasasıda üç dkl ld dilir aa biliylri sayısı altı lduğu içi prbli çözy ytz. Bu duruda bir cis tki d kuvvtlri sabit bir ktaya gör tlrii d dgd lası grktiğid (3.3) ρr & r d = M = d M d pr d yazılabilir. Burada M d dış kuvvti giy bağlı ks takııı ayı sabit ktaya gör alıış tidir. Mtlri dgsid d kuvvtlri dgsid uyguladığı gibi r(t) v r yr vktörlrii türvlrii yrlri yrlştirrk prbli çözüü içi grkli la diğr üç dkl ld dilir. Ayı işllr (3.3) dkllri uyguladığıda tlri dgsi içi d 8

25 I.T.U. partt f Oca Egirig (3.4) && ξ z ρd + && ξ3 y ρd + && ξ 4 (y + z ) ρd r rd i ρ && = + && ξ x y d x z d 5 6 ρ && ξ ρ && ξ z d x d x y d ρ && ξ3 ρ && ξ 4 ρ + + j + + && ξ (x z ) d y z d ρ && ξ ρ && ξ y d + ξ x d ξ x z d ρ && ρ && 4 ρ + k = M d && ξ y z d + ξ (x y ) d 5 6 ρ && + ρ buluur. Bu dkllri sağ tarafıdaki haci tgrallrii gi fru v ağırlık dağılıı blli lduğuda klayca hsaplaabilcği gözükktdir. Gii sitrisi di il sıfır lacak tgrallri ihal drk (3.5) ρd = M (y + z ) ρd = I x ρd = x cm xx (x + z ) ρd = I z ρd = z cm yy x z ρd = I (x + y ) ρd = I xz zz taıları yapılır v dış kuvvt il ti d bilşlri cisid (3.6) = f i + f j + f k M = f i + f j + f k Fd 3 d şklid ifad dilirs (3.) v (3.4) dkllri 6 (3.7) ξ = f j,,..., 6 j= = jk k j lir dkl sisti idirgiş lur. Buradaki jk kütl atrisi (3.8) jk M = Mz c M Mz Mx c c M Mx c Mz I xx I xz c Mz Mx I yy c c Mx c I xz I zz lup f j j =,,,6 d gllştiriliş kuvvtlr diy bili dış kuvvtlri v tlrii bilşlridir. Bu lir dkl sistii çözüü prbli çözüüü vrir. 9

26 I.T.U. partt f Oca Egirig Gllştiriliş kuvvtlri hsabı içi gi yüzyi üzridki basıcı blirlsi grkir. Gi yüzyidki basıç gl larak dört bilşd ydaa glir. Bu bilşlrd ilki giy gl dalgaları basıcı lup çvr kşullarıı vrilsiyl blirliş lur. Basıcı ikici bilşi is giy gl bu dalgaları gid saçılası il rtaya çıka saçıla (difraksiy) basıcıdır. Bu basıcı da gl dalgalar v gi frua bağlı larak hsaplaak laaklıdır. Gl v saçıla dalgaları basıçları gi harktlrid bağısız lup gi yüzyid tgr dillri sucu T (3.9) f = (p + p ) d j,,..., 6 j I j = şklid gllştiriliş tpla kuvvtlri vrir. Burada v gllştiriliş rallri lup r gi yüzyii (3.) = i + j + k r = i + j + k larak vrilktdir. Gi yüzyidki diğr iki basıç bilşi gii dalgalardaki harkti sucu rtaya çıka basıçlardır v buları tgr dilsi acak gii harktlri bağlı larak üküdür. İlk bilş gii harktlri sucu gid diz dğru yayıla dalgaları yarattığı yayıla (radyasy) basıcıdır v gi yüzyid tgr dillri sucu R (3.) f j = p R jd j =,,..., 6 şklid gllştiriliş yayıla kuvvtlrii vrir. Bu kuvvtlri bir kısı harkti ivsi il ratılı lup ratı katsayısı k kütl larak biliir. Gri kala kısı is harkti hızı il ratılı lup ratı katsayısı hidrdiaik söü adıı alır. Bu taılar göz öü alıdığıda yayıla kuvvtlri şöyl taılaabilir: 6 R (3.) f = a && ξ + b ξ& j,,..., 6 j jk k jk k = k= Gii harktlri sucu rtaya çıka diğr kuvvt bilşi gii diz gör kuuu dğişsid kayaklaaktadır v harkti yr dğiştirsi il ratılı larak (3.3) dkli il vrilir.

27 I.T.U. partt f Oca Egirig H (3.3) f = p d c j,,..., 6 j = = H j ξ jk k 6 k= Gllştiriliş kuvvtlr içi ld dil (3.9), (3.) v (3.3) bağıtıları (3.7) dkli yrlştirilirs 6 T (3.4) ( + a )&& ξ + b ξ& + c ξ = f j,,..., 6 j= = jk jk k jk k jk k j lir dkl sisti ulaşılır. Bu dkl sistii gi harktlrii taılaya tl dkl sistidir v çözüü içi k kütl, hidrdiaik söü v tpla dış kuvvtlri blirlsii grktirir. Giy tki d bu hidrdiaik kuvvtlri hsabı gi harktlridki hidrdiaik prbli luşturur. Bu prbl bir sraki bölüd l alıaktadır.

28 I.T.U. partt f Oca Egirig 4. GEMİ HAREKETLERİNE HİROİNAMİK PROBLEM Gilri dalgalar arasıdaki harktlri sırasıda gi yüzyi tki d basıç dağılııı hsaplaası v bu basıcı gi yüzyid tgr dilrk giy tki d gllştiriliş kuvvtlri hsabı gi hidrdiaiğii tl prblii luşturur. Gl larak diz suyu viskz bir akışka lduğuda basıçları grçk dğrlrii hsaplayabilk içi akışka bölgsid Navir-tks dklii çözk grkir. Acak çşitli ühdislik prbllrid suyu viskz tkilri λ dalga bylarıı cisilri L karaktristik byutlarıa kıyasla çk küçük lduğu hallrd (λ/l<.) ö kazadığı bu ra büyüdükç hızla öii yitirdiği gözliştir. Öt yada dalgaları gi üzrid tkili hal glbillri içi dalga bylarıı gi byu il ayı rtbd lası grktdir. Bu dl vizkziti gi harktlri tkisi yalpa harkti dışıda taa ihal dilbilir. Yalpa harkti içi gii karaktristik byutu gi i lacağı içi vizkzit tkisii taa ihal tk yalış lur. Acak sadc yalpa harkti içi prbli tüüü karaşık hal gtirk uygu ladığıda çözüd akışkaı vizkzitsiz kabul dip yalpa harkti içi vizkz tkilri apirik larak göz öü alak ylua gidilcktir. Akışkaı viskzitsiz lduğu varsayıldığıda akışka bölgsid uzayda sabit ks takııa gör hızları bir Φ (X, Y, Z,T) ptasiylid türdiği kabul dilbilir. Ayrıca dalgaları yükskliklrii bylarıa ralarıı küçük lduklarıda dalga kırılası luşadığı varsayılarak dalga yüzyii F(X,Y,Z,T) = Z ζ(x,y,t) şklid yazılabilcği v gi yüzyii kapalı dklii B(X,Y,Z,T) = larak bilidiği kabul diliyr. Bu duruda akışka bölgsid hız v basıç ptasiyl bağlı larak (4.) (X, Y, Z,T) p(x, Y, Z,T) = Φ(X, Y, Z,T) Φ(X, Y, Z,T) = ρ + Φ(X, Y, Z,T) Φ(X, T Y, Z,T) + gz şklid ifad dilir. Prbli çözüü içi akışka bölgsid gçrli la bir dkl il sıırlarda gçrli sıır kşullarıı blirlsi grkktdir. Bölgd

29 I.T.U. partt f Oca Egirig kütl kruuu ilksii sucu la sürklilik dkli gçrli lduğu içi hız ptasiyli Φ Φ Φ (4.) ( X,Y, Z,T) = + + = X,Y d Z ζ X Y Z dklii sağlar. İlk sıır kşulu larak diz dibi sızdıraz bir yüzy lduğuda bu yüzy dik dğrultuda akışka hızı sıfır yazılır. iz dibi yatay bir yüzy larak kabul dildiğid yüzy dik dğrultuu Z dğrultusudur v diz dibi kşulu içi Φ (4.3) Φ( X, Y, Z,T) = = X, Y Z = d Z buluur. iz driliği çk fazla lduğu durularda (d > λ) (4.3) kşulu d driliğii ssuza gidrkki liit hali larak kullaılalıdır. rbst su yüzyid ptasiyl ilavt srbst su yüzyii d biliy lası diyl iki kşul grkktdir. Bu kşullarda ilki srbst su yüzyii addsl bir yüzy lduğuu v bu dl yüzyi hrhagi bir ktasıı daia yüzy üzrid kalacağıı ifad d kiatik sıır kşuludur. Bu kşul grği srbst su yüzyii zaaı takib alıa türvi sıfır lası grkir v srbst su yüzyii kiatik sıır kşulu içi F(X, Y, Z,T) ζ ζ Φ ζ Φ Φ (4.4) = + + = X, Y Z = ζ T T X X Y Y Z ld dilir. rbst su yüzyidki ikici kşul bu yüzy tki d dış basıcı atsfrik basıç lduğu v atsfrik basıcı sabit lduğuu blirt srbst su yüzyii diaik kşuludur. Glliği bzaksızı atsfrik basıcı sıfır lduğuu varsayarak (4.) dklid diaik srbst su yüzyi kşulu Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ (4.5) gζ = X, Y Z = ζ T X X Y Y Z Z 3

30 I.T.U. partt f Oca Egirig şklii alır. larak gi yüzyi üzrid gçrli lacak sıır kşuluu blirtk grkir. Gi yüzyid, gii fru blli lduğu içi, sadc kiatik kşula grk vardır v bu yüzy d addsl yüzy lduğu içi harkti takib alıa türvi dğişi göstrz. Gi yüzyii B(X,Y,Z,T) = dkli il göstrdiğiizi varsayarsak B(X, Y, Z,T) B (4.6) = + Φ B = X, Y, Z B(X, Y, Z,T) T T Burada gi yüzyii zaaa gör türvi v gradyaı içi B B (4.7) = = B T B yazılabilcğii göz öü alırsak gi yüzyid sıır kşulu larak (4.8) Φ = X,Y, Z B(X, Y, Z,T) buluur. Burada gi yüzyidki ktaları yüzyi dış rali dğrultusuda hızıı vrktdir v (4.8) dkli gi yüzyid sızdırazlığı ifad tktdir. Prblii çözüü içi (4.) kısi türvli difrasiyl dklii (4.3), (4.4), (4.5) v (4.8) sıır kşullarıı sağlayacak bir çözüüü buluası grkktdir. Acak bu kşulları sağlaya bir çk çözü bulak laaklıdır v prbli tk bir çözüüü bulabilk içi uygu bir radyasy kşuluu da sağlayacak bir çözü araalıdır. Bu çözüü bulak özllikl (4.4) v (4.5) sıır kşullarıdaki lirlik diyl ldukça zrdur v ilk tapta bu kşulları lirlştirrk prbli basitlştirk uygu lur. 4. Prbli Lirlştirilsi Prbli basitlştirbilk içi lirliği tk kayağı la srbst su yüzyidki sıır kşullarıı lirlştirk grkir. Buu içi srbst yüzydki ζ(x,y,t) dfrasylarıı küçük lduğuu göz öü alıp Φ ptasiylii srbst yüzy üzridki dğri Taylr srisi açılırsa 38 4

31 I.T.U. partt f Oca Egirig (4.9) Φ (X, Y, Z,T) Φ(X, Y,, T) = Φ(X, Y,, T) + ζ(x, Y,T) Z Şklid yazılabilir. Ayrıca ζ(x,y,t) dfrasylarıı yaı sıra Φ ptasiylii d küçük lacağıı göz öü alıp küçük trilri çarpııı içr trilri ihal drk srbst su yüzyid kiatik v diaik sıır kşulları içi (4.) ζ Φ = T Z Φ + gζ = T X, Y X, Y Z = Z = dkllri ld dilir. Görüldüğü gibi bu iki dkld ptasiyl sıfır civarıdaki dğr lduğuda kşul Z = düzlid yazılaktadır. Bu sıır kşulu lirlştirilirk akışka bölgsii srbst yüzy dfrasylarıda da bağısız kılıdığı görülktdir. Burada srbst yüzydki diaik kşulu zaaa gör türtip kiatik sıır kşulu il karşılaştırak surti il srbst su yüzyi içi tk bir kşul ld dilbilir. Ayrıca (4.) dkli il vril basıç taııda ptasiyli gradyaıı karsi il ilgili ikici trii d ihal dilbilcği göz öü alıarak lirlştiriliş prbl (4.) Φ Φ Φ + + X Y Z Φ = Z Φ Φ + g = T Z Φ = = X,Y X,Y X,Y Z = d Z = X,Y, Z B(X, Y, Z,T) d Z dkllri il vrilbilir. aha öc d blirtildiği gibi çözüü tkliğii sağlaabilsi içi bu dkllr ayrıca uygu bir radyasy kşulu ilav tk grkktdir. Bu şkild ld dilck ptasiyld yararlaarak gi yüzyi tki d diaik basıç Φ(X, Y, Z,T) (4.) p (X, Y, Z,T) = ρ + gz T dklid ld dilir. Basıç da hsapladıkta sra bu basıcı gi yüzyid tgr drk gllştiriliş kuvvtlr hsaplaabilir. 5

32 I.T.U. partt f Oca Egirig 4. Ptasiyli Bilşlri v Bilşk Prbllr iaik prbli iclsi sırasıda basıcı bir kısıı gii harkti bağlı lduğuu dlayısı il harktlr bilid bu basıçları blirlbilsii laaksız lduğu blirtilişti. Bu dl tpla ptasiyli bilşlri ayırıp iclk grkktdir. Gl prbli lirlştiriş lası bu duru içi d öli bir katkıdır. Zira lirlştir sucu ptasiyl bilşlri birbirlrii tkilz v birbirlrid bağısız larak çözülrii buluası laaklı lur. Tpla ptasiyli (4.3) Φ X,Y, Z,T) = Φ (X,Y, Z) + Φ (X,Y, Z,T) + Φ (X,Y, Z,T) + Φ (X,Y, Z,T) ( I R şklid bilşlri ayırdığı varsayılsı. Burada Φ gii saki suda ilrlsid ötürü rtaya çıka ptasiyli, giy dğru yaklaşakta la dalgaları ptasiyli, gid saçılası sucu rtaya çıka ptasiyli, Φ I gid uzakta luşuş v Φ giy gl dalgaları Φ R d gii dalgalardaki altı srbstlik drcli harktlri sucu rtaya çıka ptasiyli tsil tktdir. Bu ptasiyl taıı (4.) dkllri yrlştirildiğid gi yüzyi kşulu dışıdaki kşullarda bütü ptasiyl bilşlri içi birbirlrid bağısız dkllr ld dilir. Gi yüzyid is sıır kşulu (4.4) Φ + Φ + Φ + Φ = X, Y, Z B(X, Y, Z,T) I lur. Bu kşulu bütü prbllri tk tk göz öü alarak dğrldirk grkir. R Gii ilri harkti daii harkti tsil ttiği içi Φ ptasiylid zaaa bağlı bir hız luşası laağı yktur. Bu dl bu ptasiyld luşa hızı ral bilşi zaaa bağlı lduğu içi sıfır lak zrudadır. Böylc daii hız ptasiyli içi prbl (4.5) Φ Φ + X Y Φ = Z Φ Φ + g T Z Φ = Φ + Z = = X,Y X,Y X,Y Z = d Z = X,Y, Z B(X, Y, Z,T) d Z 6

33 I.T.U. partt f Oca Egirig halii alır. Burada daii harkti açık bir şkild zaaa bağlı laakla birlikt gii ilri harkti il X i zaaa bağlılığı göz öü alıak zruda luduğuu blirtk grkir. Bu prbl gilri dalga dirci prbli karşı gldiği içi bu çalışaı dışıda kalaktadır v burada göz öü alıayacaktır. Gilrd uzakta rtaya çıka dalgaları ptasiyli göz öü alıırk gii varlığıı taa ihal dilbilir. Bu duruda gl dalgaları ptasiyli prbli gi yüzyi kşuluda bağısız larak aşağıdaki gibi vrilir: (4.6) Φ I Φ I Φ + + X Y Z Φ I = Z Φ I Φ I + g = T Z I = X,Y X,Y X,Y d Z Z = d Z = Burada (4.6) dkllrid gl dalgaları ptasiylii aalitik larak çözülbilcği v vril bir dalga yükskliği içi taa blli lacağı gözükktdir. Gl dalgaları saçılası il rtaya çıka Φ saçıla ptasiylii hızı gi yüzyid gl dalgaları hızı il ilgilidir v bu hıza bağlı larak tayi dillidir. Ayrıca gl v saçıla dalgalar lirlştir sucu gi harktlrid taa bağısız lduklarıda gii harktlri bağlı larak rtaya çıka hızıda tkilzlr. Bu dl gi yüzyid saçıla dalgaları gi yüzyi dik la bilşi gl dalgaları gi yüzyi dik hızıa şit v trs yöd lalıdır. Bu yruda harktl saçıla ptasiyli içi (4.7) Φ Φ Φ + + X Y Z Φ = Z Φ Φ + g = T Z Φ = Φ I = X,Y X,Y X,Y d Z Z = d Z = X,Y, Z B(X, Y, Z,T) buluur. Burada gl dalgaları ptasiyli i çözüüü (4.6) dkllrid ld diliş lduğua dikkat çkkt yarar vardır. 7

34 I.T.U. partt f Oca Egirig larak gii dalgalardaki harktid dlayı rtaya çıka Φ R yayıla ptasiylii gi yüzyid alacağı dğri blirlk grkir. iğr ptasiyllri dğrlri (4.4) dklid yri kursa yayıla prbli içi (4.8) Φ Φ Φ R R + + X Y Z Φ R = Z Φ R Φ R + g = T Z Φ = R R = X,Y X,Y X,Y Z = d Z = X,Y, Z B(X, Y, Z,T) d Z ld dilir. Gi yüzyid bkldiği gibi yayıla ptasiylii yüzy dik hızı sadc gi harktlri bağlı la hızıa şit v trs yöddir. Eld dil ptasiyllri (4.) dkli yrlştirilsiyl ld dil basıç bilşlri gi yüzyid tgr dilrk gllştiriliş kuvvtlr hsaplaır. 4.3 Hidrdiaik Basıç v Gllştiriliş Kuvvt Bilşlri Ptasiyli (4.3) taıı il vril dğri (4.) dkli il vril lirlştiriliş basıç taııa yrlştirilirs Φ Φ I Φ Φ R (4.9) p(x, Y, Z,T) = ρ gz T T T T ld dilir. İlri harkt ait basıç kuvvti prvai it kuvvti il dgd lduğu varsayılarak gi harktlrii tkily basıç v kuvvt bilşlri (4.) I F = p I (X,Y, Z, T)d Φ I p I (X,Y, Z,T) = ρ T F = p (X,Y, Z, T)d p H Φ p (X,Y, Z,T) = ρ T R F = p R (X,Y, Z, T)d Φ R p R (X,Y, Z,T) = ρ T H F = p H (X,Y, Z, T)d (X,Y, Z,T) = ρgz M I M M = r p I (X,Y, Z, T)d R M = r p = r p H = r p R (X,Y, Z, T)d (X,Y, Z, T)d H (X,Y, Z, T)d 8

35 I.T.U. partt f Oca Egirig şklid vrilirlr. Bu basıç bilşlrid ilki gl dalgaları gii varlığıda tkilksizi gi yüzyid luşa basıca karşı glktdir. Bu basıcı gi yüzyid tgrasyu il rtaya çıka dalga kuvvtlrii vrir v çk skid bri kullaıla bu kuvvt ilk larak Frud v Krylv tarafıda kullaıldığı içi Frud-Krylv kuvvtlri dir. İkici bilş saçıla basıcıı v saçıla kuvvtlrii vrir v gl dalgaları yarattığı kuvvtlr gibi gi harktlrid bağısız larak ld dilirlr. açıla kuvvtlri v Frud-Krylv kuvvtlrii tplaı gi harktlridki gllştiriliş dış kuvvtlri luşturur. iki basıç v kuvvt bilşlri gii harktlrii bağılısıdırlar v gii harktlri bağlı larak vrilir. Yayıla ptasiylid türy basıç v kuvvtlr gii harktlri ait iv v hızlarla ratılı iki kısıda luşaktadır v ratı katsayıları sırası il k-kütl v hidrdiaik söü larak biliirlr. Gii harktlri di il yrçkii ait ptasiyld rtaya çıka dğişid kayaklaa basıç v kuvvtlr d yr dğiştirlr ratılı lur v ratı katsayıları dğruda dğruya hidrstatik büyüklüklr bağlı larak blirlirlr. Bütü basıçları v kuvvtlri hsaplaabilsi ptasiyllr içi vril prbllri çözülsii grkktdir. Bir sraki bölüd aalitik larak çözüü buluabil gl dalga prbli l alıacak, gl dalga basıcı v kuvvtlri il gi harktlridki yr dğiştirlr di il rtaya çıka basıç v kuvvtlri hsabı tartışılacaktır. açıla prbli il yayıla prblii iclsi sırasıyla 6.ıcı v 7.ici bölülrd l alıacak v basıç il kuvvtlri hsabıa ilişki yötlr vrilcktir. 9

36 I.T.U. partt f Oca Egirig 5. GELEN ALGALARIN POTANİYELİ, FROUE KRYLO KUETLERİ E HİROTATİK KUETLER Uzayda sabit bir XYZ ks takııda X ksi il β açısı yapa bir dğrultusuda ilrly uzu cphli priydik dalgaları göz öü alalı. algaı gliği ζ açısal frkası ω v dalga sayısı μ is dalgaı dkli (5.) ζ,t) = ζ xp[ i( μ ω T) ] ( larak vrilir. Burada dğrultusu il X v Y dğrultuları arasıda (5.) = XCsβ + Yiβ bağıtısı lduğu açıkça gözükktdir (Şkil 4). Y alga cphlri β X β Y β = Xcs(β) + Y i(β) X Şkil 4: alga cphlri v XYZ ks takıı arasıdaki ilişki Bu duruda giy gl dalgalar v bulara ait ptasiyl (5.3) ζ(x, Y,T) = ζ I xp Φ (X,Y, Z,T) = f (Z)xp { i[ μ ( ) ]} XCsβ + Yiβ ωt { i[ μ ( XCsβ + Yiβ) ω T] } şklid yazılabilir. Burada dalgalar v ptasiyli karaşık fksiyları grçk kısıları lup f(z) fksiyu gl dalgalar prblii (4.6) dkllri yardıı il ld dilir. Ptasiyli bölgdki dkl yrlştirirsk f(z) i bir 3

37 I.T.U. partt f Oca Egirig hiprblik fksiy lacağı açıktır. Bu çözüü dip kşulua yrlştirilir v ptasiyl il dalga arasıda (4.) dkli il vril srbst yüzydki ilişkid yararlaılırsa gl dalgaları ptasiyli (5.4) [ μ ( )] Z + d Ch( μ d) gζ Ch Φ ( X,Y, Z,T) = i xp I ω { i[ μ ( XCsβ + Yiβ) ω T] } larak ld dilir. Ayrıca ptasiyl srbst su yüzyi kşulua yrlştirildiğid dalga sayısı il açısal frkas arasıda dağıla (difüzy) ilişkisi larak bili v dalga sayısı il açısal frkası birbirid bağısız ladığıı göstr (5.5) ω = gμ Th( μ d) ilişkisi ld dilir. iz driliği çk büyük dğrlr ulaştığı hallrd Th( μ d) lacağı içi dri su dalga sayısı μ ν = ω / g larak hsaplaır. Bu ld dil suçlar uzayda sabit XYZ ks takııda gçrlidir v acak bu ks takııda gçrlidir. açıla prbli gi rtalaa hızı il ilrly xyz ks takııda l alıdığı içi bu ptasiyli d xyz ks takııa aktarak tk grklidir. 5. Harktli Eks Takılarıda Gl alga Ptasiyli Yukarıda ld dil dkllrd X,Y,Z dğişklri yri x,y,z dğişklri cisid (.) dkllri il vril dğrlri yrlştirilirs ptasiyl v dalgalar içi (5.6) ζ(x, y, t) = ζ φ (x, I y,z, t) xp g = i { i[ μ ( xcsβ + yiβ) ω t] } ζ Ch[ μ ( z + d) ] xp{ i[ μ ( xcs yi ) t] } β + β ω ω Ch( μ d) buluur. Burada ω karşılaşa frkası lup gi hızıa v dalgaları gliş açısıa bağlı larak (5.7) ω = ω μ Csβ şklid vrilir. riliği çk büyük dğrlr ulaştığı hallrd Ch [ μ (z + d) ] Ch[ ν (z + d) ] Ch( μ d) Ch( ν d) xp( ν dğri ulaşacağı içi gl dalga ptasiyli z) 3

38 I.T.U. partt f Oca Egirig gζ (5.8) φ x, y,z, t) = i xp{ ν z + i[ ν ( xcsβ + yiβ) ω t] } halii alır. ( I ω 5. Harktli Eks Takılarıda Gl alga Basıcı v Kuvvtlri Harktli ks takııda basıcı hsaplark sadc ptasiyli harktli ks takııdaki dğrii kullaak ytrli laz. Ayı zaada harktli ks takılarıdaki kısi türvlri alırk d dikkatli lak grkir. Harktli ks takııda uzaysal kısi türvlrd hrhagi bir dğişiklik laakla brabr zaaa gör türvi alırk harktt ötürü glck dğişiklik (.) dkli il vriliştir. Bu türv kuralı uygulaarak gl dalgaları basıcı φ I φ I (5.9) p I (x, y,z, t) = ρ t x dkli yardıı il (5.) p I (x, y,z, t) ρgζ = ρgζ Ch xp [ μ ( z + d) ] xp{ i[ μ ( xcsβ + yiβ) ω t] } ( μ d) { ν z + i[ ν ( xcsβ + yiβ) ω t] } d Ch d şklid buluur. Burada basıç içi yi karaşık fksiyu grçk kısı göz öü alııştır. Gllştiriliş kuvvtlri hsaplark gi yüzyii (3.) dkllri il vril gllştiriliş rallrid yararlaılır. Bu şkild vril gllştiriliş rallri gi yüzyii yr vktörüü v ralii bilşlri cisid (5.) 4 = x = y z z y 5 = y = z x x z 3 6 = z = x y y x larak ld dilir. Bu bilşlri cisid giy tki d Frud-Krylv kuvvtlri d gi yüzyid taılaış şu tgrallr cisid vrilir. (5.) f FK j Ch ρgζ j = Ch ρgζ j xp [ μ ( ) z + d ] xp{ i[ μ ( ) ]} xcsβ + yiβ ωt ( μ ) d { ν z + i[ ν ( xcsβ + yiβ) ω t] } d d d d 3

39 I.T.U. partt f Oca Egirig Bu tgrallr gi yüzyi çk karaşık lduğu içi acak sayısal larak hsaplaabilir. Eld dil kuvvtlrd d kplks fksiyları sadc grçk kısıı göz öü alaktayız. 5.3 Harktt layı Ortaya Çıka Hidrstatik Kuvvtlr Basıç triid gii kuua bağlı ρgz trii diyl blli bir kuvvt luşur. Bu saki suda hidrstatik kaldıra kuvvti lup gi ağırlığı il dgddir. Acak dalgalı dizd gid luşa harktlr sucu hidrstatik kuvvtlrd k bazı dğişikliklr luşur. Harktli ks takııda gii yr dğiştirlri (.4) dklid vrildiği gibi yazılırsa harktlr dlayısı il rtaya çıka basıç (5.3) p (x, y,z, t) = ρgz = ρg( ξ + y ξ x ξ ) H 3 şklid ifad dilbilir. Burada zaaa bağlılığı sadc harkt bilşlrid ötürü rtaya çıktığıı blirtkt yarar vardır. Gi yüzyid basıç tgr dilirs 4 5 (5.4) p H d = ρgi ρgk x z ( ξ ( ξ y ξ + y ξ 4 4 x ξ5 )d ρgj x ξ )d 5 y ( ξ 3 + y ξ 4 x ξ )d 5 buluur. Basıcı ks takııı rkzi gör alıa tii gi yüzyid tgr dilsiyl d (5.5) r p H d = ρgi (y ρgj (z ρgk (x z x z x y y y )( ξ z )( ξ x 3 3 )( ξ + y ξ + y ξ y ξ x ξ 5 )d x ξ 5 )d 4 x ξ 5 )d ld dilir. Hr iki dkld d gii sitrisi di il sıfır la tgrallr göz öü alıır v sıfır laya tgrallr içi (5.6) zd = A WP x zd = M WP y zd = I T x zd = I L taıları kullaılırsa gllştiriliş hidrstatik kuvvtlr içi 33

40 I.T.U. partt f Oca Egirig (5.7) f f f f f f H H H 3 H 4 H 5 H 6 = ρg A WP M WP I T M I L WP ξ ξ ξ ξ ξ ξ buluur. Bu dkld c jk katsayılarıı (5.8) c c 33 jk = ρga WP c 35 = igrlri = c 53 = ρgm WP c 44 = ρgi T c 55 = ρgi L lacağı açıkça gözükktdir. Burada A WP, M WP, I T v I L sırasıyla yüklü su hattıı alaı, alaı byua ti, alaı i atalt ti v alaı byua atalt tii göstrktdir. Gi fruu blirlsi il h hidrstatik kuvvtlri katsayıları h d Frud-Krylv kuvvtlri sayısal larak klaylıkla blirlbilir. 34

41 I.T.U. partt f Oca Egirig 6. AÇILMA POTANİYELİ E AÇILMA KUETLERİ Uzayda sabit XYZ ks takııda saçıla prblii tl dkllri (4.7) dkllri il vrilktdir. Acak prbl gi rtalaa hızı il ilrlkt la xyz ks takııda çözülcği içi uygu şkild düzlsi grkcktir. Bu dl ptasiyli türvlrii alırk (.) ilişkilrid yararlaarak saçıla prblii tl dkllri (6.) φ x φ + y φ + z φ = z φ φ + t t x φ = φ I = φ x φ + g z = x, y,z x, y x, y x, y B(x, y,z, t) d z z = d z = şklid ld dilir. Bu dkllr çözüü tkliğii sağlayabilk içi ayrıca uygu bir yayıla kşulu klsi grkktdir. Gl dalgaları zaaa bağlılığı karşılaşa frkası cisid harik lacağıda saçıla ptasiylii (6.) φ x, y,z, t) = ϕ (x, y,z)xp( iω t) ( şklid yazak üküdür. Bu duruda saçıla prbli (6.3) ϕ x R ϕ + y li ϕ + z ϕ = z ϕ ω ϕ + iω x ϕ = ϕ I = ϕ R R + ϕ x iμ ϕ ϕ + g z = x, y,z R = x x, y x, y B(x, y,z, t) + y x, y d z z = d z = larak ld dilir. Burada srbst su yüzyi kşuluu h frkasa h d ilri hıza bağlı lduğu açıkça gözükktdir. İlri hızı ayrıca kapalı bir şkild karşılaşa frkasıı da içid lduğu da gözd kaçırılaalıdır. 35

42 I.T.U. partt f Oca Egirig 6. açıla Prblii Çözüü Bir a içi (6.3) dkllrid bölgdki dkli tkil çözüü la, diz dibidki v srbst su yüzyidki sıır kşullarıyla radyasy kşuluu sağlaya bir Gr fksiyu lduğu varsayılsı. Bu duruda hız ptasiyli bu Gr fksiyu v gi yüzyi dağıtılış bir kayak fksiyua bağlı larak (6.4) ϕ ( x, y, z) = σ ( ξ, η, ζ)g(x, y, z; ξ, η, ζ) d 4π şklid ifad dilbilir. Burada G(x,y,z;ξ,η,ζ) prbli Gr fksiyu lup gi yüzyii bir (ξ,η,ζ) ktasıdaki biri kayağı uzayı hrhagi bir (x,y,z) ktasıda yaratacağı ptasiyl, σ(ξ,η,ζ) fksiyu da (ξ,η,ζ) ktasıdaki kayağı şiddti karşı glktdir. Gr fksiyuu sçii di il bu şkild taılaa bir ptasiyl, kayak dağılıı lursa lsu, gi yüzyi sıır kşulları hariç (6.3) dkllrii taaıı sağlar. Böylc prbli çözüü gi yüzyidki kayak dağılııı gi yüzyi sıır kşullarıı sağlayacak şkild tayi ty idirgir. Yukarıda vril prbli Gr fksiyuu hsaplaak srbst su yüzyi kşulu di ldukça güçtür. Bu güçlük srbst su yüzyidki ilri hız trilrid dlayı rtaya çıkar v güçlüğü çözüü ld dilsid ziyad sayısal larak hsaplaasıdadır. iğr tarafta düşük hızlı gilr söz kusu lduğuda srbst su yüzyi kşuludaki ilri hız trilrii ihal dilsi uygu görülbilir. Prbld ilri hız tkisii sadc srbst su yüzyi kşuluda ladığı hatırlaırsa bu trilri ihal dilsii çözüü taa yalış lasıa d layacağı açıktır. Örği gl dalgalarda açısal frkas karşılaşa frkası larak l alıdığıda sıır kşuluda ilri hız tkisi lacak v böylc ld dil çözüd ilri hız tkisi taa kaybluş layacaktır. Hiç şüph yk ki srbst su yüzyi kşuluda ilri hız tkisii ihal dilsi ilri hızı artasıyla çözüd ldukça büyük hatalara d lacaktır. N var ki, düşük hızlarda bu hataları ldukça küçük lduğu, bua karşılık sayısal hsaplarda büyük tasarruflar sağladığı gözldiğid bu çözü tkiği trcih dilbilir. Bu duruda Gr fksiyuu 36

43 I.T.U. partt f Oca Egirig (6.5) G G G + + x y z G = z G ω G + g = z R = (x ξ) = δ(x, y,z; ξ, η, ζ) + (y η) li x, y x, y x, y G R iμ G R z = d z = d z dkllri il vril prblii çözüü larak blirlbilir. Bir dizi araştıracı tarafıda l alıış la bu prbl Whaus v Lati 3 tarafıda öztliş lup Gr fksiyu (6.6) G(x, y, z; ξ, η, ζ) = + + (x ξ) (k + ν π( μ + i (x ξ) + (y η) ) ν + (y η) kd )Ch [ k( ζ + d) ] Ch[ k( z + d) ] [ μ ( ζ + d) ] Ch[ μ ( z + d) ] ( μ Ch kh(kd) ν + (z ζ) + (z + ζ + d) Ch(kd) ν )d + ν + + J (kr) dk + J ( μ R) şklid vrilktdir. iz driliği çk büyük dğrlr ulaştığıda hiprblik fksiylar liit dğrlri gidcği içi μ = ν lur v Gr fksiyu çk daha basit bir fr alır. Bu liit işllri grçklştirildiğid dri su içi Gr fksiyu (6.7) G(x, y,z; ξ, η, ζ) = (x ξ) k + (x ξ) + (y η) + (y η) + (z ζ) + (z + ζ) + ζ) J (kr) dk + iπν k ν k (z ν (z+ζ) + J ( ν R) larak ld dilir. Burada ilk tri tkil çözüü, ikici tri tkil çözüü srbst yüzy gör sitriğii, üçücü tri dalga triii, dördücü tri d dalgalardaki faz farkıa karşı gl saal trii vrktdir. Gr fksiyuu bu şkli Gr fksiyuu kdisii hsaplaaya uygu lakla birlikt kısi türvlrii

44 I.T.U. partt f Oca Egirig hsabıda kadar uygu laz. layısı il Gr fksiyda bazı aipülasylarda sra türvlri hsabı içi daha uygu la ikici şkli (6.8) G(x, y,z; ξ, η, ζ) = + + ν (x ξ) (x ξ) k(z + (y η) + (y η) + (z ζ) + (z + ζ) + ζ) J (kr) dk + iπν k ν + ν (z+ζ) + J ( ν R) larak ld dilir. Kayak dağılııı tayi tk aacıyla ptasiyli (6.4) dkli il vril taııı sıır kşuluda yri yrlştirip (6.9) G = x G + x y G + y z G z = Ĝ r + iĝ i σ = σ r + iσ i taıları yapılırsa (6.) σ 4π σ 4π r r ( ξ, η, ζ)ĝ ( ξ, η, ζ)ĝ r i (x, (x, y, z; y, z; ξ, η, ζ)d σ 4π ξ, η, ζ)d + σ 4π i i ( ξ, η, ζ)ĝ ( ξ, η, ζ)ĝ i r c (x, y, z; ξ, η, ζ)d = q s (x, y, z; ξ, η, ζ)d = q dkl sisti ld dilir. Burada sağ taraftaki q c v q s trilri gl dalga ptasiylii ral dğrultudaki türvii sırasıyla grçk v saal kısılarıı (x,y,z) ktasıdaki dğrlri karşı glktdir. Bu dkl sistii aalitik larak çözüüü laaksız lduğu açıkça görülbilir. layısı il prbli çözüü acak sayısal larak ld dilbilir. 6. ayısal Yöt Yukarıda (6.) il vril dkl sistii çözüü içi bir pal yöti kullaılacaktır. Bu yöt uyarıca gi yüzyii ytri kadar küçük pallr bölüdüğü varsayılaktadır (Şkil 5). Bu pallri, gi gtrisi blli lduğu içi, ala rkzlri (x,y,z ), yüzy rallri ( x, y, z ), v alaları (Δ ) hsaplaabilir. Pallr ytri kadar küçük sçildiği içi hr bir pal üzrid kayak dağılııı sabit kabul tkl fazla hata yapılış laz. Ayrıca pallr 38

45 I.T.U. partt f Oca Egirig tki d diğr büyüklüklri d, pallr küçük lduğuda, pallri ala Pal Pal alaı Δs Ala Mrkzi x,y,z z y x Pal Ala rkzi x, y, z Şkil 5: Prbli sayısal çözüü içi gi yüzyii pallr ayrılası rkzi tki ttiklri varsayılabilir. Böylc gi yüzyidki hrhagi bir palii ala rkzi hrhagi bir palid gl tkilri v palidki kayak dağılılarıı (6.) r Ĝ (x 4π i Ĝ (x 4π, y, y,z,z ; ξ, η, ζ)d = Ĝ ; ξ, η, ζ)d = Ĝ r i σ σ r i ( ξ, η, ζ) σ ( ξ, η, ζ) σ r i ξ, η, ζ ξ, η, ζ şklid taılarsak prbl r i [ Ĝ ] [ Ĝ ] (6.) i r [ ] [ Ĝ Ĝ ] r { σ } i { σ } = c { q } s { q } lir sistii çözüü idirgiş lur. Burada sağ taraftaki vktörlr slu v ssuz driliktki gl dalgalar ptasiylid (6.3) d ik q q d q q c c c s R ω ζ = h( μ d) ω ζ = h( μ d) = ω ζ = ( = ω ζ x { Ch[ μ (z + d) ] Cs( μ R ) + h[ μ (z + d) ] i( μ R )} { Ch[ μ (z + d) ] i( μ R ) h[ μ (z + d) ] Cs( μ R )} ik νz ν z R R Csβ + { ( ) ( )} RCs ν R + zi ν R { i( ν R ) + Cs( ν R )} R y iβ) R z = (x x z z Csβ + y y iβ) 39

46 I.T.U. partt f Oca Egirig şklid hsaplaır. Bu lir sisti sayısal larak çözüü klaylıkla ld dilbilir v kayak dağılıı hsaplaır. Kayak dağılııı hsaplaasıda sra ptasiyli dğrii v ptasiyli x dğrultusudaki türvii dğrii hrhagi bir pal üzrid hsaplaak laaklıdır. Buu içi (6.) il vril tgrallr bzr şkild tgrasy yapak grkktdir. Bu şkild yapıla tgrasylar (6.4) 4 G π 4 G π r i (x (x, y, y, z, z ; ξ, η, ζ)d = G ; ξ, η, ζ)d = G r i 4 r G (x π x i G (x π x 4, y, y, z, z ; ξ, η, ζ)d = G ; ξ, η, ζ)d = G r i şklid taılaırsa v saçıla basıcıı ϕ (6.5) p (x, y, z) = ρ iωϕ + x lacağı dikkat alıırsa basıcı grçk v saal kısıları (6.6) c { p } s { p } = r i r [ P ] [ ] { σ } [ ] [ ] P i r i P { σ } P lir dkl sistid ld dilir. Burada (6.7) P = ρω G + ρ G P = ρω G + ρ G r i r i r i larak taılaaktadırlar. Bu şkild hsaplaa basıç dğrlri (4.) dkllrid vril kuvvt taılarıa yrlştirilir v il (5.) il taılaış la gllştiriliş rallrd yararlaılırsa gllştiriliş saçıla kuvvtlri r c i s (6.8) f = p Δ f = p Δ j j j j şklid ld dilir. Bu kuvvtlri Frud-Krylv kuvvtlri il tplaası il giy tki d tpla dış kuvvtlr ld dilcktir. Yayıla kuvvtlri gi harktlri bağlı lduklarıda açık bir şkild hsaplaaazlar v dış kuvvtlrd farklı larak dğrldirilirlr. Yayıla kuvvtlri bir sraki bölüd l alıacaktırlar. 4

47 I.T.U. partt f Oca Egirig 7. YAYILMA POTANİYELİ E YAYILMA KUETLERİ Yayıla prblii d saçıla prblid lduğu gibi gii rtalaa ilri hızı il harkt tkt la ks takııa gör l alak uygudur. Bu prbli (4.8) il vril gl dkllrid saçıla prblid lduğu gibi ks takııı ilri hızı di il grkli düzllr yapılırsa gl dkllr (7.) φ x R φ + y φ + z φ R = z φ R φ R t t x φ = R R + = φ x R φ R + g z = x, y,z x, y x, y x, y B(x, y,z, t) d z z = d z = şkli idirgir. Ayrıca bu dkllr ilavt çözüü tkliği içi uygu bir yayıla kşulua grk vardır. Bu dkllr il saçıla prblii (6.) dkllri karşılaştırıldığıda tk farkı gi yüzyidki sıır kşuluda kayakladığı görülktdir. Yayıla prblii çözüüd gi yüzyi kşuluu taılaya hızıı blirlsi d bu dl büyük ö taşır. 7. Gi Yüzyii Nral Hızı Gi yüzyi üzrid hrhagi bir ktaı hrhagi bir adaki yr vktörüü (.3) dkllri il vrildiğii blirtiştik. Bu dkllrd r vktörü sadc kua Ψ v Ω vktörlri d sadc zaaa bağlıdır. layısı il gi yüzyidki bir ktaı hızıı bulak içi (.3) il vril yr vktörüü zaaa gör türvii alak grkir. Zaaa gör türvi harktli ks takııa gör alıdığıı v bu ks takııda zaaa gör türvi (.) dklidki şkli hatırlaırsa gi yüzyii ral hızı [ ] (7.) Ψ & + Ω & r ( Ω i) = şklid ld dilir. Bu dkl açık şkild yazılır, harkti bilşlrii karşılaşa frkası cisid harik lduğu hatırlaır v (3.) il taılaa gllştiriliş rallr bağlı larak gllştiriliş hız bilşlri 4

48 I.T.U. partt f Oca Egirig (7.3) = iω 5 = iω x (z x = iω x ) z y z 3 6 = iω = iω z (x y 4 = iω y ) + x (y y z z y ) larak taılaırsa gi yüzyi sıır kşulu (7.4) φ = ξ R 6 j= şklid ld dilir. j j Gi yüzyidki sıır kşulu biliy harktlri bir fksiyu lduğu içi bu prbli dğruda çözk laağı yktur. Bu dl yayıla ptasiylii hr harkt il ratılı ptasiyllri tplaı larak (7.5) φ = ξ ϕ R 6 j= j j şklid taılaak uygu lur. Bu taıda ξ j harkt bilşlri ptasiyli zaaa bağlılığıı ϕ j d fksiyu uzaydaki dğişiii göstrktdir. Ptasiyli bu taıı il gi yüzyi sıır kşuluu (7.4) fru (7.) dkllri yrlştirilir v yayıla kşulu da ilav dilirs prbl (7.6) x ϕ ϕ j z j = ω ϕ ϕ R ϕ + y j + iω j j = j ϕ + z li j = ϕ j ϕ + x x ϕ j R iμ ϕ R j j + g ϕ j = z x, y, z R = B(x, y, z, t) x x, y x, y + y x, y d z z = d z = dkllri il vril altı farklı prbl idirgir. Yayıla prblii altı bilşi il saçıla prbli arasıdaki tk farklılık yi sıır kşullarıda ötürü rtaya çıkaktadır. layısı il çözü yöti larak ayı yöt v ayı Gr fksiyuu kullaılabilir. 4

49 I.T.U. partt f Oca Egirig 7. ayısal Yöt Bu prbllrd d saçıla prblid uygulaa yaklaşı kullaılarak düşük hızlı gilr içi Gr fksiyuda ilri hızı ihal dilbilir v saçıla prblid kullaıla Gr fksiyu ay kullaılarak yayıla ptasiyllri j (7.7) ϕ j (x, y, z) = σ ( ξ, η, ζ)g(x, y, z; ξ, η, ζ)d j =,,..., 6 4π şklid taılaabilir. Burada σ j hr bir harkt içi dğişik la sıır kşullarıda blirl kayak dağılılarıdır. Hr bir prbli Gr fksiyu saçıla prblidki Gr fksiyu il ayı lduğuda (6.) v (6.4) taılarıda vril taıları ay kruacağı v sıır dğr prbllri içi r i [ Ĝ ] [ Ĝ ] (7.8) i r [ ] [ Ĝ Ĝ ] jr { σ } ji { σ } = jc { q } js { q } ld dilcği açıktır. kl sisti sağ tarafıdaki kşullarıda q jc, q js vktörlri sıır (7.9) q q jc js = j =,,3,4 = ω j q 5c j =,,3,4,5,6 = 3 q 6c = larak ld dilirlr. Burada tkilşi atrisii trsii bir kz alak ytrli lur v hr altı harkt ait kayak dağılıları bu tk atris il hr bir harkt ait sıır kşulu çarpılarak ld dilir. Kayak dağılıları hsapladıkta sra basıçları v bu basıçları kullaarak k-kütl v hidrdiaik söü katsayıları hsaplaabilir. 7.3 Ek-kütl v Hidrdiaik öü Hsabı Hrhagi bir harkti biri gliği karşı gl basıcı (6.7) il taılaa atris laları yardıı il (7.) jc { p } js { p } = r i jr [ P ] [ ] { σ } [ ] [ ] P i r ji P { σ } P şklid hsaplaır. Bu basıç dağılıları gllştiriliş yayıla kuvvti taııda yri yrlştirilirs v 43

50 I.T.U. partt f Oca Egirig 6 6 (7.) a & ξ + b ξ& = [ ω a + iω b ] k= jk k jk k k= jk lacağı hatırlaırsa k-kütl v hidrdiaik söü katsayıları içi kc ks (7.) a = p Δ a = p Δ jk j jk j ω ω jk ld dilir. Ek-kütl v hidrdiaik söü d (7.) dkllri yardııyla hsapladıkta sra yayıla prblii d çözüü ld diliş lur. Bu şkild gii hidrdiaik karaktristiklrii hsaplaak içi bir prgra gliştiriliş v bazı örklr uygulaıştır. uçlar bir sraki bölüd suulaktadır. ξ k 44

51 I.T.U. partt f Oca Egirig 8. BİR UYGULAMA : ERİ 6 C B =.7 Gliştiril prgra blk katsayısı.7 la bir ri 6 frua uygulaıştır. Fra ait gl büyüklüklr şöyl vrilktdir. Kailr Arası By :. u Hattı Byu :.67 Kalıp Gişliği : 3.8 u Çkii : 5.5 Blk Katsayısı :.7 Byua Yüz Mrkzi : %.7 kıça Gii fru şkil 6 da vrilktdir. Şkil 6: Blk katsayısı C B =.7 la ri 6 frua ait ksitlr Bu gi fru içi sıfır ilri hızda v Frud sayısı F =. v F =. ik hsaplar yapılıştır. uçlar çşitli dalga cphsi açıları içi ld diliştir. ıfır hızda dalga cphsi açısı k-kütl v hidrdiaik söü içi farklılık gtirkl birlikt ilri hız halid karşılaşa frkası dğiştiği içi dalga cphsi bağlı larak k-kütl v söü d bir iktar dğişktdir. alga kuvvtlri is dalga cphsi bağlı larak dğişktdir. itri di il başta gl dalgalar il kıçta gl dalgalarda atisitrik dlara (ya-ötl, yalpa v savrula dlarıa) ait kuvvtlr sıfır laktadır. 45