Adveksiyon difüzyon denklemi için sektik B-spline Galerkin metodu

Transkript

1 Araştıra Makalsi BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3) Özl Sayı, , (018) DOI: /baufbd J. BAN Ist. Sci. Tcol., 0(3) Spcial Issu, , (018) Advksiyo difüzyo dkli içi sktik B-spli Galrki todu Evr TOPC 1,*, Dursu IRK 1 Eskişir Fati F Lissi, Eskişir. Eskişir Osagazi Üivrsitsi, Matatik-Bilgisayar Bölüü, Mşlik Kapüsü, Eskişir. Gliş Tarii (Rcivd Dat): Kabul Tarii (Accptd Dat): Özt Bu çalışada sktik B-spli Galrki todu advksiyo difüzyo dklii yaklaşık çözüü içi öriliştir. Öril totta zaa parçalaası içi doğruluğu iki, üç v dört ola tk adılı yötlr kullaılıştır. Doğruluğu iki ola yöt Crak-Nicolso yöti olarak ta biliktdir. İki sayısal örk kullaılarak öril yötlri tkiliği v doğruluğu kotrol diliştir. Aatar klilr: Advksiyo difüzyo dkli, Sktik B-spli, Galrki yöti. Sxtic B-spli Galrki tod for advctio diffusio quatio Abstract I tis study, sxtic B-spli Galrki fiit lt tod is proposd for urical solutio of t advctio diffusio quatio. I t tod, scod, tr ad fourt ordr sigl stp tods ar usd for t ti itgratio. Scod ordr sigl stp tod is also kow as Crak Nicolso tod. Two urical xapls ar studid to illustrat t accuracy ad t fficicy of t proposd tods. Kywords: Advctio diffusio quatio, sxtic B-spli, Galrki tod. * Evr TOPC, vrtopcu001@otail.co, ttps://orcid.org/ Dursu IRK, dirk@ogu.du.tr, ttps://orcid.org/

2 TOPC E., IRK D. 1. Giriş Kovksiyo difüzyo dkli olarak ta bili bir boyutlu sabit katsayılı advksiyo difüzyo dkli (AD dkli) u u u 0, a x b (1) t x xx foruda olup u( a, t) u( b, t) 0, u ( a, t) u ( b, t) 0, x sıır şartlarıa v x, t[0, T] () u( x,0) f ( x), a x b (3) başlagıç koşulua saiptir. Dkldki sabit katsayısı bir akışkaı ızıa v is sabit difüzyo katsayısıa karşılık glktdir. Ayrıca dkldki u is kou v zaa karşılık gl x v t bağısız dğişklri bağlı biliy bir foksiyodur. Birçok bili dalıdaki probllr AD dkli il odllbilktdir[1]. Bu tip probllri birçoğu kyfi sıır v başlagıç koşullar altıda ta olarak çözüldiğid probllri yaklaşık çözülri içi sayısal yötlr örilktdir. Dolayısıyla AD dklii yaklaşık çözüü içi d solu farklar [,3] v solu lalar [4,5,6,7,8] gibi birçok sayısal yöt öriliştir. AD dkli vya kısi difrasiyl dkllri sayısal çözüü içi öril yötlri birçoğuda öclikl dkl zaaa v koua gör parçalaaktadır. Zaaa gör parçalaa işli yapılırk is gllikl doğruluğu ola Crak-Nicolso yöti kullaılaktadır. Bu çalışada AD dklii yaklaşık çözüü yapılırk zaa parçalaası işlid doğruluğu, 3, v 4 ola 3 farklı yöt örilcktir. Kou parçalaası içi is sktik B-spli Galrki solu lalar yöti kullaılacaktır. Solu lalar yöti uygulaalı atatik v üdisliktki bir çok sayısal siülasyo içi yaygı olarak kullaıla bir yöt olup ilk kz 1960 yılıda Cloug [9] tarafıda kullaılıştır. Buula brabr yöt fikri daa skilr dayaaktadır. 19. yüzyılı solarıda v 0. yüzyılı başlarıda Ritz [10] v Raylig [11,1] tarafıda varyasyol probllri çözülri içi yapıla çalışalar vcuttur. Galrki [13] d sıır dğr probllrii çözülri içi solu lalar todu üzrid çalışalar yapıştır. Solu lalar yötid probli taı küsi öclikl solu la adı vril alt aralıklara bölüür. Daa sora r bir alt aralıkta sürkli foksiyoları cbirsl polioları bir lir birlşii olarak yazılabilcği fikrid yararlaılarak yaklaşı foksiyoları oluşturulur. So olarak cbirsl bağıtılardaki biliy katsayıları dğrlri çözüü araıla dkli bölü oktalarıda sağlayacak şkild ld dilirlr. Solu lalar todu Galrki, kolokasyo, küçük karlr vb totlarıı içrktdir. Bu çalışada AD dklii yaklaşık çözüü araştırılırk ağırlık foksiyou olarak yaklaşı içi kullaıla taba foksiyou 106

3 BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3),Özl Sayı, , (018) kullaıldığı bir solu lalar yöti ola Galrki todu kullaılacaktır [14]. Yaklaşı foksiyou olarak is sktik B-spli foksiyolar kullaılacaktır.. Mtodu uygulaası Sayısal çözü araırk kou zaa düzli t zaa adıı v kou adıı uzuluklarıda parçalaacaktır. Bu duruda bölü oktalarıdaki biliy foksiyou ta dğri x a, t t olak üzr u( x, t ) u, 0,1,, N; 0,1,, olarak göstrilcktir. karşılık glcktir. otasyou is u ta çözüüü yaklaşık dğri.1. Zaa parçalaası Advksiyo difüzyo dkli u u u (4) t xx x olarak düzlir v u u u u u u (5) t t 3 tt 4 tt tk adılı todu örilirs (5) toduda 1 t /, sçii yapıldığıda zaa parçalaası içi doğruluk olacaktır (M1). Ayrıca M1 todu Crak-Nicolso todu olarak ta biliktdir. t t t (5) toduda 1,, 3, 4 0 sçii yapıldığıda zaa parçalaası içi doğruluk 3 olacaktır (M). t t t (5) toduda 1, 3, 4 sçii yapıldığıda zaa 1 1 parçalaası içi doğruluk 4 olacaktır (M3). (5) yöti il birlikt (4) forudaki advksiyo difüzyo dkli kullaılırsa 1 1 xx x 3 xxxx xxx xx xx x xxxx xxx xx 1 u u u u u u u u u 4 u u u 1 (6) olarak (4) advksiyo difüzyo dklii zaa parçalaası ld diliş olur... Kou parçalaası [ ab, ] kou aralığı x x 1 ( b a) / N, 1,..., N olak üzr, 107

4 TOPC E., IRK D. a x0 x1 xn b olarak parçalası. Bu parçalaa üzrid, 3,, N sktik B-spli 6 foksiyoları g( x ) ( x x ) olak üzr g( x3), x3, x g( x3) 7 g( x), x, x 1 g( x3) 7 g( x) x1, x 1 gx ( 1), g( x3) 7 g( x) 1 x, x 1 ( x) 1 ( 6 g x 1) 35 g( x), g( x4) 7 g( x 3) x1, x 1 gx ( ), g( x4) 7 g( x3), x, x3 g( x4), x3, x 4 0, diğr durular (7) şklid taılaır [15,16]. Probli taı aralığı üzrid u( x, t ) ta çözüü içi ( x, t ) yaklaşık çözüü sktik B-spli foksiyoları bir lir birlşii olarak N ( x, t) (8) 3 foruda yazılabilir. Yaklaşıda vril zaaa bağlı biliy paratrdir. (7-8) kullaılarak bölü oktalarıda ki biliy foksiyo v ilk 5 türvi içi yaklaşılar ( x ) , (9) N N ( x ) , (10) 30 N ( x) , (11) 10 N ( x ) , (1) (4) (4) 360 N ( x ) , (13) (5) (5) 70 N ( x ) (14) olarak saplaabilir. x x koordiat döüşüü yapılırsa x, x solu aralığı 0, aralığıa döüşcktir. Bu duruda spli şkil foksiyoları 1 0, aralığı üzrid -y gör sktik B- 108

5 BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3),Özl Sayı, , (018) ( ), ( ), (16) ( ), (17) ( ) , (18) ( ), (19) ( ) 6, (0) 6 3( ) 6 (1) (15) olacak şkild buluabilir. i şkil foksiyolarıı lir birlşiiyl i, i 3,, 3 zaa paratrsi gör 0, aralığı içi yaklaşı is 3 (, t) ( t) () 3 olacaktır. Wx ağırlık foksiyou olak üzr (6) dkli Galrki todu uyguladığıda öclikl b 1 W ( x) u 1 uxx ux a b 3 1 xxxx xxx xx W ( x) u u u a 4 xxxx xxx xx xx x 1 u u u dx u u u dx (3) ld dilcktir. Galrki yötid ( ) W x ağırlık foksiyou içi sktik B-spli şkil foksiyoları v ta çözü içi is () kullaıldığıda (3) dkli içi 0, aralığı üzridki yaklaşı 109

6 TOPC E., IRK D i 1 i d i i i d i i d 4 0 d i i i (4) olacaktır. Burada i v idislri 3,, 3 v 0,1,, N 1 dğrlrii alaktadır. (4) yaklaşıı i i i i 0 0 A d, B d, i i i i 0 0 C d, D d, E i i d 0 olak üzr,,,. T B C 1 D E B D E B A A B C (5) la atrislri kullaılarak atris foruda yazılabilir. 0,1,, N 1 içi tü laları birlştirilsi soucuda zaa paratrsi gör aşağıdaki lir sist ld dilir. A 1 B C 1 3 D E B A BC 4 D E B (6) sistii itrasyo il çözülbilsi içi öclikl dğrlri (6) 0 0 3,, başlagıç N 110

7 BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3),Özl Sayı, , (018) ( x,0) , 0,, N ( x,0) ( x,0) ( x,0) 0, x 0 xx 0 xxx 0 ( x,0) ( x,0) 0 x N xx N (7) olarak vril başlagıç şart v sıır şartlar kullaılarak saplaalıdır. x, 0,..., N oktalarıdaki 1 yaklaşık dğri is t zaaıda (6) sistid bulua la paratrlri v sktik B-spli yaklaşıı kullaılarak saplaabilir. 3. Tst probllri Tst probllrid öril üç tot içi doğruluk L ax u, (8) log L i L i1 Yakısaklık Oraı =, i log i1 (9) forülü il vril yakısaklık oraıı (YO) saplaası il kotrol dilcktir. YO L. kou artıı içi bulua L ata orua saplaırk kullaıla, i karşılık glktdir. i.. Birici tst probli İlk tst problid 0 sçii yapılarak saf advksiyo yayılıı çalışılacaktır. Bu duruda advksiyo difüzyo dkli ( x x0 t) u( x, t) 10xp (30) aalitik çözüü saiptir. Sayısal çözü içi öril algoritalar 0,9000 kou aralığıda 0.5 / s akış ızı, x0 000 dalgaı tp oktasıı kouu v 64 sçilri yapılarak t 9600s zaaıa kadar çalıştırılacaktır. Bu duruda probl ( x x0 ) ux (,0) 10xp (31) 111

8 TOPC E., IRK D. başlagıç koşulua saip bir dalgaı 0.5 / s akış ızıyla bir kaalda t 9600s zaaıa kadarki arktii odllktdir. Dolayısıyla dalga 96000s içid başlagıç oktasıda 4800 uzağa arkt dck v bu sada dalgaı gliği 10 olarak sabit kalacaktır. İlk olarak t 0 sçilri yapılarak M3 prograı t 9600s zaaıa kadar çalıştırılış v dalgaı başlagıç duruu v blirli zaalardaki duruu Şkil 1 d çiziliştir. Şkild görüldüğü gibi zaa boyuca dalgaı şklid ragi bir bozula olaaktadır. Şkil 1: t 0 içi dalgaı arkti. Progralar t 9600s zaaıa kadar çalıştırılarak tü yötlr içi L ata orları v yakısaklık oraları farklı zaa v kou artıları içi Tablo 1 d vriliştir. Tablo icldiğid iyi soucu M3 yötii vrdiği v YO' larıı yötlri torik dğrlri il uyulu olduğu görülbilir. Tablo 1: L ata orları v YO. M1 M M3 t L YO L YO L YO t 9600s zaaıda yaklaşık çözü il aalitik çözü arasıdaki farkı utlak dğri diğr bir ifad il utlak ata grafiklri r bir öril tot içi Şkil d çiziliştir. Şkil icldiğid r bir tot içi aksiu ataı kou aralığıı orta oktalar civarıda gldiği v bu sbpl d sıır şartlarıı uygulaasıda kayaklı bir ataı oluşadığı söylbilir. 11

9 BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3),Özl Sayı, , (018) Şkil a: t 0 içi utlak ata (M1). Şkil b: t 0 içi utlak ata (M). Şkil c: t 0 içi utlak ata (M3)... İkici tst probli İkici tst problid advksiyo v difüzyo tkii birlikt grçklştiği 1 x x0 t u( x, t) xp 4t 1 4t 1 (3) aalitik çözüü kullaılacaktır. Bu çözü gliği 1/ 4t 1, başlagıçtaki tp oktası 113

10 TOPC E., IRK D. x 0 olup [ ab, ] kou aralığı da sağa doğru gliğii kaybdrk T zaaıa kadar sabit bir ızıyla arkt d dalgayı odllktdir. Probl içi başlagıç şartı ux (,0) xp x x 0 (33) olacağıda ikici tst probli başlagıç aıda yükskliği 1 ola bir dalgaı zaa içid sösii odllktdir. Öril sayısal yötlr 0x 9 kou aralığıda 0.8 / s, / s paratrlri v x0 1 başlagıç tp oktası sçii yapılarak progralar t 5 zaaıa kadar çalıştırılıştır. t zaa v kou artıları kullaılarak M3 yöti içi başlagıç aıdaki v t 5 zaaıa kadarki bazı zaalardaki dalgalar [0,9] kou aralığı boyuca Şkil 3 t göstriliştir. Şkild görüldüğü gibi dalgaı başlagıç oktasıda 4 tr uzağa gittiği v zaa boyuca dalgaı gliğid bir küçül ydaa gldiği görülbilir. Şkil 3: t içi dalgaı arkti. Progralar t 5s zaaıa kadar çalıştırılarak tü yötlr içi L ata orları v yakısaklık oraları farklı zaa v kou artıları içi Tablo d vriliştir. Tablo icldiğid ilk tst problid olduğu gibi iyi soucu M3 yötii vrdiği v YO'larıı yötlri torik dğrlri il uyulu olduğu görülbilir. Tablo : L ata orları v YO. M1 M M3 t L YO L YO L YO t 5s zaaıdaki utlak ata grafiklri r bir öril tot içi Şkil 4 d çiziliştir. Şkil 4 icldiğid r bir tot içi aksiu ataı ilk tst 114

11 BAN F Bil. Est. Drgisi, 0(3),Özl Sayı, , (018) problid olduğu gibi kou aralığıı orta oktalar civarıda gldiği görülbilir. Şkil 4a: t içi utlak ata (M1). Şkil 4b: t içi utlak ata (M). Şkil 4c: t içi utlak ata (M3). 4. Souçlar v tartışa Taylor sri açılıı yardııyla ld dil ikici, üçücü v dördücü rtbd doğruluğa saip zaa parçalaası il birlikt Galrki sktik B-spli solu lalar yöti advksiyo difüzyo dklii yaklaşık çözüü içi öriliştir. Öril algoritaları doğruluğuu kotrolü içi iki tst probli kullaılıştır. 115

12 TOPC E., IRK D. Eld dil souçlara gör öril yötlri özllikl d zaaa gör doğruluğu dört ola M3 yötii advksiyo difüzyo dklii yaklaşık çözüü içi uygu bir yöt olduğu görülüştür. Kayaklar [1] Karur, S.R. ad Raacadra, P.A., Augtd Ti Plat Spli Approxiatio i DRM, Boudary Elts Couicatios, 6, (1995). [] Dga, M., Wigtd fiit diffrc tciqus for t o-disioal advctio-diffusioquatio, Applid Matatics ad Coputatio, 147, (004). [3] Sari, M., Gürasla, G. ad Zytioglu, A, Hig-Ordr fiit diffrc scs for solvig t advctio-diffusio quatio, Matatical ad Coputatioal Applicatios, 15 (3), (010). [4] Dağ, I., Irk, D. ad Tobul M., Last-squars fiit lt tod for t advctio diffusio quatio, Applid Matatics ad Coputatio, 173, (006). [5] Kapoor, S. ad Dawa, S., B-spli fiit lt tciqu for advctio diffusio quatio. Itratioal Joural of Applid Matatics ad Mcaics, 6, (010). [6] Dağ, I. Caıvar, A. ad Sai, A., Taylor-Galrki tod for advctiodiffusio quatio, Kybrts, 40, (011). [7] Dawa, S., Kapoor, S. ad Kuar, S., Nurical tod for advctio diffusio quatio usig FEM ad B-splis, Joural of Coputatioal Scic 3, ( 01). [8] Irk, D., Dağ, I. ad Tobul, M., Extdd cubic b-spli solutio of t advctio-diffusio quatio, KSCE Joural of Civil Egirig, 19(4), (015). [9] Cloug, R.W., T fiit lt tod i pla strss aalysis, Proc. d Cof. O Elctroic Coputatio, Pittsburg (1960). [10] Ritz, W. Übr i u tod zur lösug gwissr variatios probl dr atatisc pysik, J. Ri Agw. Mat., 135, 1-61, (1908). [11] Raylig, J.W.S. O t tory of rsoac, Tras. Roy. Soc. (Lodo), A , (1870). [1] Raylig, J.W.S., T Tory of Soud, Dovr Publicatios, d Edito, (1945). [13] Galrki, B.G., Stab ud Platt; Ri i Gwiss Glicgwictspobl Elstiscr Stab ud Platt, Vstik dr Igiur, , (1915). [14] Zikiwicz, O.C ad Morga, K., Fiit Elt ad Approxiatio, Jo Wily & Sos, (1983). [15] Moaadi, R., Sxtic B-spli collocatio tod for solvig Eulr Broulli Ba Modls, Applid Matatics ad Coputatio, 41, , (014) [16] Irk, D., Sxtic B-spli collocatio tod for t odifid burgrs' quatio, Kybrts, 38(9) , (009). 116