Deney 2: Fark Denklemleri ve Sayısal Süzgeçlerin Geçici Davranışları Ve DZD Sistemlerin Frekans Yanıtının Frekans Bölgesinde Gösterilimi

Transkript

1 TEL - D : Fark Dklmlri v Saısal Süzgçlri Gçici Davraışları V DZD Sistmlri Frkas Yaıtıı Frkas Bölgsid Göstrilimi Amaç Bu di amacı, doğrusal, zamala dğişm (DZD) arık zamalı sistmlri fark dklmi göstrimii kullaarak arık zamada sistm aıtı kousua bir giriş apmaktır. Daha sora, DZD sistmlri v frkas aıtlarıı frkas bölgsid göstrilmsi amaçlamaktadır. BÖLÜM- Giriş Daha öcki dd DZD sistmlri öğrmiş v vrişim kousuda çalışmıştık. Bu dd is fark dklmlrii öğrcğiz. Sistm aıtıı, doğrusal sabit katsaılı fark dklmlrii özilmsil oluşturulabilcğii göstrcğiz. Eğr bir arık-zamalı DZD sistmi çıkışıı o aki dğri, girişi glcktki dğrlri bağlı dğils, o arık-zama DZD sistm dsldir. Bu özllik tüm m v tamsaı dğrlri içi aşağıdaki şkild göstrilbilir. ( m) [ ( ) ], m DZD (.) Bir DZD sistmi giriş-çıkış ilişkisi birim darb aıtı h() il taımlaır. Birim darb foksiou sadc da sıfırda farklı olduğu içi, bir dsl sistmi birim darb aıtı h(), < dğrlri içi sıfır olmalıdır. Ndsl DZD sistm içi vrişim toplamı (.) d vrilmiştir. ( ) ( k) h( k) (.) k

2 TEL - ( ) h( ) ( ) h( )... ( ) h( ) ( ) h( )... ( k) h( k) k (.) d vrilmiş ola bir sistmi vrişim toplamı kullaılarak grçklmsi, sosuz saıda toplama, çarpma v hafıza lmaı grktircğid pratikt mümkü dğildir. Evrişim ötmii aı sıra sosuz birim darb aıtlı (IIR) bir sistm, doğrusal sabit katsaılı fark dklmii özilmsi il d çözülbilir. N a M ( k) b ( k) k k k k, Z (.) Burada () v () sistmi giriş v çıkış dizilri, a k v b k sabit katsaılar olmak üzr bu fark dklmii drcsi maksimum(n,m) dir. Bu dklm, giriş dğrlri v daha öcd hsaplamış çıkış dğrlri vrildiğid, o aki çıkışı hsaplamak içi dögüsl bir aklaşım taımlar. Çıkışı tk başıa ld tmk içi (.) b olacak şkild ormaliz dilirs (.) ld dilir. (.) ü açarsak: M N m k Z m k ( ) ( ) a ( ), b m k (.) ( ) b ( ) b ( -)... b ( - M) - a ( -) a ( - )... a ( - N) M N (.5) O aki çıkış, bağlıdır. ( ) (i) o aki giriş b, (ii) daha öcki M giriş b ( -)... bm ( - M), (iii) daha öcki N çıkış a ( -) a ( - )... a ( - N) - N, dğrlri Girişi o aki v daha öcki trimlri dögüsl olmaa trimlr va ürü ortalama lı trimlr olarak adladırılır; daha öcki çıkışlara ait trimlr is dögüsl va özilm li trimlr olarak adladırılır. 5

3 TEL - Örk. Şkil. dki gibi vril bir sistm düşülim. Burada D birim gcikm trimlrii ifad tmktdir. () () D (-) D (-) Şkil. Sistmi fark dklmii, şkild çıkış () v giriş () arasıdaki ilişkii bularak aşağıdaki gibi azabiliriz, () () (-) (-). Sistm birim darb δ() i giriş olarak ugulaarak birim darb aıtı h() i buluruz. h() {δ() δ(-) δ(-)} h() {δ() δ(-) δ(-)} h() {δ() δ(-) δ(-)} h(), diğr dğrlri içi. - Şkil. Birim darb aıtı h() 6

4 TEL - Bu solu birim darb aıtlı (FIR) bir sistmdir. Sistmi birim darb aıtı solu uzulukta sıfır olmaa lma içrir. Şimdi, giriş olarak bir basamak foksioua sahip olduğumuzu düşülim, () u(). Bu durumda, çıkış şu dğrlri alır:... ( ) { u( ) u( ) u( ) } () { u( ) u( ) u( ) } ( ) { u( ) u( ) u( ) } () { u() u( ) u( ) } ( ) { u( ) u( ) u( ) } Bölc, ( ) u( ) Şkil. Basamak Yaıtı girişi vril sistm aıtıı ld ttik. Şimdi, vril giriş il çıkışı, fark dklmii ilmsil kolaca buluabilcğii görcğiz. Örk. Aşağıda gibi bir fark dklmi vrilsi. ( oktalı ortalama alıcı) ( ) ( ) ( ) ( ) Eğr giriş dizisi aşağıdaki gibi is çıkış dizisii bulu. ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) Not : Bu sistm dsl dğildir. 7

5 TEL - Çözüm : ) Yilm il çözüm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) içi., ) Evrişim il çözüm Birim darb aıtıı bulalım. ( ) ( ) ( ) ( ) h δ δ δ Şimdi girişi () δ( ) δ() δ( -) olduğuu düşüü, () DZD [()] k k)h(k) ( Evrişimi asıl alıdığıı bir öcki dd (örk.) iclmiştik. Souçları aı olduğuu görbiliriz. Örk. Aşağıdaki gibi bir fark dklmi vrilsi. ().6( -) () a) () δ() v (-) is, > içi () i bulu. b) () u() v (-) is, > içi () i bulu. c) () u() v (-) is, > içi () i bulu. Çözüm : a) ().6( -) (), () δ() v (-) is, ().6( -) 8

6 TEL - ().6( -).6 ().6( -).6... ().6( -).6 * ( -)... (.6) Çıkış () aı zamada sistmi birim darb aıtı olarak da adladırılır. Bu sistm aıtıı sosuz birim darb aıtı (IIR) olduğuu ot diiz. b) Aı ol il, ().6( -) (), () u() v (-) is, ().6( -) ().6( -).6 ().6( -) ().6 * ( -).6 (.6) -.6 Gllştirirsk, ().6 (.6) (.6 ).6 k Şimdi b) şıkkıı vrişim toplamıı kullaarak çözlim. Elimizd birim darb aıtı h().6, () u() var. Öls, k () DZD[()] ( k) h(k) k k.6 u ( k) (.6 ).6 k k İki ötmi d aı soucu vrdiğii görbiliriz. Birim darb aıtı v basamak aıtıa ait çizimlr aşağıda vrilmktdir. 9

7 TEL - c) Aı ol kullaılarak, Şkil. Birim darb aıtı v Basamak Yaıtı ().6( -) (), () u() v (-) is, ().6( -).6 * ().6( -).6(.6 * ).6 *.6 ().6( -) ().6 * ( -).6 * (.6) Gllştirirsk, ().6 * (.6) *.6 k.6 * k.6.6 *.5( -.6 ) Sistm çıkışıı parçada oluştuğuu gözlmlioruz; biricisi.6 *, başlagıç koşullarıda glir, ikici trim.5( -.6 ) is girişt glmktdir. sosuza aklaştığıda.6 * trimi ok olur, bu durum sistmi gçici aıtı olarak adladırılır..5( -.6 ) trimi is sosuza aklaştığıda sıfıra aklaşmaz. Bu is sistmi kalıcı-durum aıtı olarak adladırılır.

8 TEL - Örk.. Aşağıda fark dklmi vril sistm içi toplam çözümü ( ( ), ) buluuz. Giriş birim basamak dizisidir v başlagıç koşulları ( ) v ( ) olarak vrilmiştir. Çözüm ( ) ( ) ( ) ( ) Sabit katsaılı fark dklmlrii çözülmsid bu sfr sabit katsaılı difrasil dklmlri çözümü bzr bir ötm izlcğiz. Burada ld dcğimiz çözüm iki bilşd oluşur: sistmi doğal aıtı v zorlamış aıtı. Bu bilşlrd ilki sadc ilk koşullara bağlı ik ikicisi sadc giriş işarti bağlıdır. Öclikl doğal aıtı, ai d ( ) ' i bulalım. Difrasil Dklmlr drsid görmüş olduğuuz gibi çözümü λ şklid olduğu varsaılır. O hald, λ λ λ λ ( λ λ ) λ ( λ )( λ ) Burada çözümü ( ) c ( ) c ( ) kullaarak katsaıları bulalım. d d d d olduğu görülür. Şimdi d ilk koşulları d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 c c () ( ) ( ) ( 5) ( ) c c ( ) c c 5 () c c olduğu içi c 9 v c buluur. Şimdi d zorlamış çözümü bulalım. Zorlamış çözüm d iki kısımda oluşmaktadır. İlk kısım ola ( ), giriş işartil aı biçim sahiptir. o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o Ku Ku Ku Ku u Burada K-/ olarak buluur v ihatid ( ) u( ) o olur. Zorlamış çözümü ikici kısmı is doğal aıtla aı biçimddir. Dolaısıla zorlamış aıt z z ( ) şöl azılabilir: ( ) c ( ) c ( ),

9 TEL - Hatırlaacağıız gibi zorlamış aıt sadc giriş işarti bağlı ola çözümdü. Bu dd ötürüdür ki ukarıdaki dklmi sıfır ilk koşulu il çözrk c v c z z z z dğrlrii bulabiliriz. ( ) ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () () () ( ) ( ) c () c c c aıt is şöl olur: z olduğu içi ( ) () ( ), z c 9, c 8 dğrlri buluur. Zorlamış 8 Toplam çözüm is doğal aıtı v zorlamış aıtı toplamıda oluştuğu içi aşağıdaki dklmdki souç ld dilir ( ) () ( ), MATLAB Ugulaması Fark dklmlri, giriş v fark dklmi katsaıları vrildiğid, filtr komutu kullaılarak saısal olarak çözülbilir. Çalışma-: Örk. içi çıkış dizisii MATLAB ardımıla buluuz.: Dikkat: Burada, a katsaısıı sıfırda farklı olduğua mi olumalıdır. Çıkış dizisii içriği dikkatl iclmlidir, çükü MATLAB ugulaması sistmi dsl olduğuu kabul dr. Çalışma-: Örk. d vril sistm içi birim darb aıtıı v basamak aıtıı fitlr() foksiou ardımıla buluuz. Çalışma-: Örk.. is içriğid ilk koşul barıdırması dil diğr örklrd arılmaktadır. İlk koşulları filtr komutua asıl rlştirildiğii

10 TEL - icliiz. Örk. d vril ilk koşulları filtr komutua ugu hal gtiriiz. Bu durumda fitlr komutu içi Örk. d vril ilk koşulları da ugu şkild rlştirrk birim basamak aıtıı buluuz. BÖLÜM- Giriş Öcki bölümd DZD sistmlri v giriş vril sistm aıtlarıı zama bölgsid icldik. Şimdi bir DZD sistmi frkas bölgsid göstrilimii icllim. Öc, taımları gözd gçirlim: Taım : Arık-Zamalı Fourir Döüşümü (DTFT) Eğr () mutlak olarak toplaabilir is, Döüşümü (DTFT) söl ifad dilir: () <, Arık-Zamalı Fourir Χ( ) F { } () () (.6a) burada ω rada cisid açısal frkası, F{} Fourir döüşüm işlmii göstrir. F{} opratörü bir arık () işartii, karmaşık dğrli sürkli Χ( ) foksioua döüştürür. Χ ( ) i trs arık-zamalı Fourir döüşümü (IDTFT) aşağıda görülmktdir. ( ) F π { Χ( )} π π Χ( ) dω (.6b) ( ) dğri il, h() darb aıtlı bir DZD sistm giriş olsu. ( ) h( ) * h( k) k ( k ) j k h k ) ω ( k (.7)

11 TEL - [ F{ h( ) } ] ωω Yukarıdaki souç (.) sasid, Fourir döüşümü ifadsi DZD sistmlri kullaışlı işart göstrilimidir. Taım : Frkas Yaıtı Bir birim darb aıtıı arık-zamalı Fourir döüşümü DZD sistmi frkas aıtı dir v aşağıdaki şkild göstrilir: H ( ) h( ) (.8) Gllikl, frkas aıtı karmaşık bir foksiodur. H ( ) glik aıtı v H ( ) açısıa faz aıtı dir. Frkas aıtı (.) ifadsid görül sabit katsaılı bir fark dklmid kolalıkla ld dilbilir. Fark Dklmid Frkas Yaıtıı Eld Edilmsi Bir DZD sistm fark dklmi il göstrildiği zama, N M ( ) a ( k) b ( m) (.9) k k m basitç ( ) δ ( ) aparak, va (.) ifadsii kullaarak h() birim darb j aıtıı ld dbiliriz. Örği, ( ) içi, ( ) H ( ω ) (.) d ri koularak aşağıdaki ifad ld dilir: H ( ) N M ( k ) ak H ( ) k m m b m ( m)

12 TEL - H ( ) M m m N b k a m k k (.) DTFT i Özlliklri Özlliklr burada taıt apılmada vrilmiştir. Χ( ), () i arık-zamalı Fourir döüşümü olsu.. Doğrusallık: F{a.() b.()} a.f{()} b.f{()} tüm a, b, (), () içi (.). Zamada Ötlm: Zama bölgsid ötlm frkas bölgsid faz ötlmsi ol açar. F k { ( k)} Χ( ) (.). Frkasta Ötlm: Karmaşık bir üstl ifad il çarpma frkas bölgsid ötlm sağlar. j( ωω ) F { ( ) } Χ( ) (.). Eşliklik: Zama bölgsid şliklik frkas bölgid katlama v şlikliğ ol açar. F{ * j ( )} Χ ( ) (.) * ω 5. Katlama: Zama bölgsid katlama frkas bölgid katlamaa ol açar. iω F{ ( )} Χ( ) (.5) 5

13 TEL - 6. Grçl dizilrd simtri: ardıda ( ) [ ( ) ( )] o [ ] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) (.6) o v [ Χ( )] F{ ( )} R, F{ ( )} Im ( j o j Χ ω ) 7. Evrişim: Frkas bölgsid sistm aalizii ugu hal gtir kullaışlı özlliklrd biridir. F{ ( ) * ( )} F{ ( )} F{ ( )} Χ( ) Χ( ) (.7) 8. Çarpma: Evrişim özlliğii dualidir. jθ j( ω θ ) F{ ( ) ( )} F{ ( )}* F{ ( )} Χ( ) Χ( ) dθ (.8) π Burada * priodik vrişim işlmii göstrir. 9. Erji: [] dizisii rjisi aşağıdaki şkild azılabilir. Ε π ( ) Χ( ) dω (.9) π Bu ifad Parsval tormi d dir. π 6

14 TEL - Örk.5 ().6(-) () il karaktriz dil sistmi H ( ) frkas aıtıı blirli. Glik v faz aıtlarıı MATLAB ardımı il çizdiri. (İpucu: Bu aıtları çizdirmk içi H ( ) v H ( ) ifadlrii kullaabilir va H ( ) frkas aıtı ifadsii v ardıda glik v fazı hsaplaabilir.) Çözüm: Sistm h( ).6 u( ) birim darb aıtıa sahiptir. (.8) kullaılarak, H ( ) h( ).6 (.6 ). 6 Bölc, H (.6 cosω) (.6 siω) ( ).6. cosω v ld dilir. H ω ( j.6siω ) arcta.6 cosω 7

15 TEL - >> w[:5]*pi/5; %[,pi] ksi 5 oktaa bölüdü >> Hp(j*w)./(p(j*w)-.6*os(,5)); >> maghabs(h);aghagl(h); >> subplot();plot(w/pi,magh);grid; >> labl('frkas[pi]');labl(' H '); >> titl('glik aiti'); >> subplot();plot(w/pi,agh/pi);grid; >> labl('frkas [pi]');labl('faz [pi]'); >> titl('faz aiti'); Çizimlr şkil. d görülmktdir. Şkil. Frkas aıtı 8

16 TEL - Örk.6 Aşağıdaki fark dklmii vrildiğii varsaalım ( ) a ( ) a ( ) a ( ) b ( ) b ( ) b ( ) b ( ) burada a.76, a b b.8, b.89, a b.78.5 dğrlri vrilior. Glik v faz aıtlarıı çizdiri.(not: (.) u kullaarak glik v faz aıtıı cizdiriiz.) Çözüm: Şkil. Frkas aıtı 9

17 TEL - MATLAB Ugulaması MATLAB d, frqz komutu, fark dklmi katsaıları vrildiğid frkas aıtıı bulmak içi kullaılabilir. Örk.5 v örk.6 ı frqz komutuu kullaarak glik v faz aıtlarıı cizdiriiz. Dikkat: Foksio glik v faz aıtlarıı çizdircktir. a dğrii sıfır olmadığıda mi olumalıdır. Glik aıtı dsibl birimid olup v frkas ksi d ormalizdir. Ödv-Bölüm-:. Sistm foksiou ( ) a( ) ( ) v giriş ( ) a) Birim darb dizisi δ(), b) Birim basamak dizisi u(), c) Siüzoidal dizi cos(πf), olarak vrilmktdir., Başlagıç koşullarıı sıfır v ( ) alarak, fark dklmi ardımıla çıkışı hsaplaı. Hsaplamaları, a ±., ±.5, va ±.9 v f.,., va.5 içi apı.. Problm i, filtr foksiouu kullaarak tkrarlaı. Ek Pua. Üsttki problm içi, hagi a dğrlrid sistm alçak frkas alçak-gçir süzgç (AGS), hagi a dğrlrid üksk gçir süzgç (YGS) davraışı göstrir? Farklı a lar v farklı başlagıç dğrlri içi süzgci gçici davraışlarıı gözlmli.. Fark dklmi aşağıdaki gibi vrilmktdir. ( ) ( ).9( ) ( ) Başlagıç koşulları,

18 ( ) ( ) TEL - Giriş () aşağıdaki gibi vrildiğid çıkışı ld dck bir MATLAB foksiou azı. a) Birim darb dizisi δ(), b) Birim basamak dizisi u(), c) Siüzoidal dizi cos(πf). Frkas dğrlri olarak i f.,. va.5 i kullaı.. Fiboacci dizisii vrck fark dklmii ilk koşulları v giriş dizisii blirtrk oluşturuuz v bu sistmi filtr komutu il grçkliiz. Ö dv-bölüm-:. Aşağıdaki sistm foksiou vrilmiştir, () a(-) () frkas aıtıı hsaplaı. a.5,.5,.95 a -.5,.5, -.95 dğrlrii kullaarak glik v faz aıtlarıı çizdiri.. Problm i frqz foksiouu kullaarak çözü v souçlarıızı karşılaştırı.. Aşağıdaki fark dklmii frkas (glik v faz) aıtlarıı çizdiri. ().9(-).8 (-) ()