4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar. önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda. f dµ = f (n) elde edilir. n=1

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar. önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda. f dµ = f (n) elde edilir. n=1"

Basak Cumali
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 4.3. İtegralleebile Foksiyolar SORU : N, P N), µ) ölçü uzayıve µ sayma ölçüsü olsu. f L f ) < öermesii doğru Bu durumda dır. f dµ = f ) N ÇÖZÜM : µ sayma ölçüsüü özelliğide N f dµ = {} = {} f dµ f dµ = f ) dµ = f ) µ {}) = f ) {} eşitliği gerçekleir. Bu eşitlikte f L f ) < öermesii doğru olduğu görülür. Yukarıda yapıla işlemler f yerie f alıması ile tekrarda yapılırsa f dµ = f ) N elde edilir.

2 SORU :, A, µ) ölçü uzayı, f L, µ E) = olsu. Bu durumda f dµ = E ÇÖZÜM : f ; x E fχ E = ; x / E olup µ E) = olduğuda heme heme heryerde fχ E = dır. Bu durumda dµ = fχ E dµ gerçekleir. Bu ifade ise f dµ = fχ E dµ = E olmasııgerektirir. SORU 3: R, B R), λ) ölçü uzayı ; x Q f x) := x 3 ; x / Q olmak üzere [,] f dλ itegralii hasaplayıız. ÇÖZÜM 3: λ Q) = olduğuda heme heme heryerde f x) = x 3 dir. g : R R x gx)=x 3

3 olarak taımlayalım. Bu durumda f dλ = g dλ [,] [,] sağlaır. g foksiyou Riema alamıda itegralleebilir olduğuda Lebesgue alamıda da itegralleebilirdir ve bu iki itegral değerleri birbirie eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = [,] [,] x 3 ) dx = 7 4 buluur. SORU 4: R, B R), λ) ölçü uzayı e x ; x Q f x) := x 3 ; x / Q olmak üzere [,] ÇÖZÜM 4: f dλ itegralii hasaplayıız. g : R R x gx)=x 3 olarak taımlayalım. λ Q) = olduğuda heme heme heryerde f = g dir. Bu durumda f dλ = g dλ [,] [,] sağlaır. g x) = x 3 foksiyou [, ] aralığıda Riema alamıda itegralleebilir olduğuda Lebesgue alamıda da itegralleebilir olup bu itegraller 3

4 birbirlerie eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = x 3 dx = 4 buluur. [,] [,] SORU 5: R, B R), λ) ölçü uzayıve f : [, ] R _ + ; x / Q f x) := ; x Q olmak üzere [,] f dλ itegralii hesaplayıız. ÇÖZÜM 5: Hatırlatacak olursak ", A, µ) ölçü uzayı, f : [, + ] olsu. f L = H.h.h. x içi f x) <." öermesi doğrudur. Soruya döecek olursak λ Q) = olduğuda h.h.h. x [, ] içi f x) = + dur. O halde hatırlatmada f / L dir. SORU 6: f L ve g foksiyou sıırlıve ölçülebilir foksiyo ise fg L ÇÖZÜM 6: x içi g x) K olacak şekilde K > vardır. f L olduğu dikkate alıırsa fg dµ = elde edilir. Böylece fg L sağlaır. f g dµ K f dµ = K f dµ < 4

5 SORU 7:, A, µ) ölçü uzayı, N içi f L olsu. f ) dizisi f foksiyoua yakısak ve f f dµ = ise f dµ = f dµ ÇÖZÜM 7: N içi f L olduğu dikkate alıırsa = gerçekleir. Burada f f dµ f f dµ olup isteile ifade elde edilir. f dµ f dµ = f f ) dµ SORU 8: Lebesgue yakısaklık teoremii kullaarak ifadesii hesaplayıız. + x ) dx ÇÖZÜM 8: N ve x [, ] içi f x) = + x ) olsu. Şimdi Lebesgue yakısaklık teoremii hipotezlerii sağlatalım: i) N ve x [, ] içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. 5

6 ii) x [, ] içi f x) = + x ) = e x dir. iii) f x) = e x foksiyou sürekli olduğuda ölçülebilirdir. iv) N içi f x) = + x ) = g x) olup g x) dx < sağlaır. Dolayısıyla Lebesgue yakısaklık teoremide elde edilir. + x ) dx = e x dx = e SORU 9: Lebesgue yakısaklık teoremide e x dx = ÇÖZÜM 9: N ve x [, ) içi f x) = e x olsu. i) N ve x [, ) içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. e x ii) x [, ) içi f x) = = olur. iii) f x) = sabit foksiyo olduğuda ölçülebilirdir. 6

7 olup iv) x [, ) içi x e x eşitsizliği dikkate alıdığıda g x) dx = f x) = e x x = x = g x) dx < gerçekleir. x O halde Lebesgue yakısaklık teoremide elde edilir. e x dx = dx = SORU : Lebesgue yakısaklık teoremi yardımıyla ifadesii hesaplayıız. + x ) dx ÇÖZÜM : N ve x [, ] içi f x) = +x ) olarak taımlayalım. i) N ve x [, ] içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. ii) f x) = ; x = ; x, ] olup f ) dizisi f = foksiyoua heme heme heryerde yakısaktır. 7

8 iii) f foksiyou sabit foksiyo olup ölçülebilirdir. olup iv) N ve x [, ] içi g x) dx < dur. f x) = + x ) = g x) Dolayısıyla Lebesgue yakısaklık teoremide elde edilir. + x ) dx = dx = SORU : Lebesgue yakısaklık teoremide faydalaarak x + x + dx = ÇÖZÜM : N ve x [, ] içi f x) = x + x + olsu. i) N ve x [, ] içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. ii) f x + x) = x + = ; x = 3 ; x [, ) 8

9 olup f ) dizisi f x) = foksiyoua heme heme heryerde yakısaktır. iii) f x) = sabit foksiyo olup ölçülebilirdir. olup iv) N ve x [, ] içi g x) dx < sağlaır. f x) = x + < = g x) O halde Lebesgue yakısaklık teoremide olduğu görülür. x + x + dx = dx = SORU : Lebesgue yakısaklık teoremii kullaarak 3 x + 3 x 3 dx = ÇÖZÜM : N ve x [, ] içi f x) = 3 x olarak taımlayalım. + 3 x 3 i) N ve x [, ] içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. ii) x [, ] içi f x) = = f x) dir. iii) f x) = foksiyou ölçülebilirdir. 9

10 iv) N içi f x) g x) olacak şekilde g L var mıdır? Böyle bir g foksiyouu varlığııtürev yardımıyla bulalım: t R içi f t x) = t 3 x + t 3 x 3 ile taımlayalım. t f t x) = 3 tx ) 7 t x 4 + t 3 x 3 ) olup t = ve t = x kritik oktalardır. f x x) = x, f x) = değerleri buluur. Dolayısıyla t R içi f t x) = g x) gerçeklemelidir. Buda dolayı x N içi de f x) = g x) sağlaır. Ayrıca g x) dx = x dx < x olup g L dir. Lebesgue yakısaklık teoremide buluur. 3 x + 3 x 3 dx = dx = SORU 3: Lebesgue yakısaklık teoremii kullaarak x + x dx = ÇÖZÜM 3: N ve x [, ] içi f x) = x olsu. +x

11 i) N ve x [, ] içi f foksiyolarısürekli olduğuda f foksiyolarıölçülebilirdir. ii) f x x) = + x = ; x < ; x = ; < x olduğu dikkate alıdığıda heme heme her x [, ] içi f x) = = f, heme heme her x [, ] içi f x) = = f sağlaır. iii) f ve f foksiyolarısabit foksiyo olduğuda ölçülebilirdir. olup iv) N ve x [, ] içi g x) dx < sağlaır. f x) = x + x < = g x) Dolayısıyla Lebesgue yakısaklık teoremide x x dx = + x + x dx + = = dx + x + x dx x dx + + x dx = x + x dx isteile elde edilir.

Benzer belgeler

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie