Araya Girme Kaybı İle Süzgeç Sentezi

Transkript

1 ÜDKl Araya Girme Kaybı İle Süzgeç Setezi Yaza : Ümit /ÖZGÜNE» Î.T.Ü. Müh. Mtm. Fak. ÖZET L ve C elemaları İle süzgeç /setezide araya girme kaybı metoduu temelleri taıtılmaktadır, tstee zayıflama toleraslarıda, etekti! trasmisyo ve karakteristik /aktör yolu ile z parametrelerii buluuşu geel olarak gösterilmiş, yaklaşıklık açısıda Butterıoorth, Tchebychev, Cauer tipi ve geel parametreli filtreler icelemiştir. İcelemelerde özel yollar yerie, gerek otasyo gerek yötem bütülüğü getirilmesie öem verilmiş, aırca özellikle araya girme kaybı ile süzgeç setezide bilgisayar kullamaı öemie değiilmiştir. SUMMARY A survey is made of the lisertio-loss method t LC filter sythesis. Startig /rom give atteuatio toleraces, jderivatia of the ope-drcu.it impedace fuctios, through the trasmissio coefftdet ad the characteristic factor, is give. The types of approzimatios cosidered result i Puttevorth, Tchebychev, Cauer ad 'Geeral Parameter filters. lstead of spedal methods for eactı,, c. uified treatmetl is made, ad the ecessity of computer implemetatio i iservio loss theory is shovm, ' / ' 1. GİRİŞ Elektriksel frekas 6ügeçleri teorisii temeli yirmici yüzyılı başıda atılmıştır. Kari W. VVager ve George A. Campbell'i öcülüğüde sora Zobel, Cauer, Darligto ve Filoty gibi araştırıcılar, bu koudaki teorileri ve metodları geliştirmişlerdir. Süzgeç devrelerii birçok tekik alada (haberleşme ve ölçme alalarıda ve çeşitli elektroik aletlerde) uygulama bulabilmesi, araştırmaları sürmesie bir ede olmuştur. Giderek süzgeçlerde, geçireceği ve geçirmlyeceği işaretler arasmda çok keski bir ayırma olaağı istediği gibi, süzgeç setezie kristaller, aktif elemalar ve dağılmış parametreli elemalar da girmiştir. Bugü süzgeçleri gerçekleştirilmeside maliyet problemi bile setez teorisie etkimektedir. Bu arada, bilgi sayarları sağla dığı olaaklar ile gee süzgeçlere ilişki yötem ve teorileri yeide gözde geçirme zorulumu ortaya çıkmıştır. İki kapılı bir devre ola bir süzgeçte istee, belirli bir frekas aralığıdaki giriş işaretii çıkığa hiç iletmemesi (södürme badı) buu dışıdaki frekastaki işaretleri ise aye iletmesidir (geçirme badı). Nedesellik ilkeside dolayı böyle bir süzgeç gerçekleşemez [6], [11]. Acak kullaıldıkları yerlere göre süzgeçleri södürma batlarıdaki zayıflamalarıı büyük fakat solu, geçirme batlarıdaki zayıflamalarıı ise küçük fakat sıfırda farklı olmaları yeterlidir. Gerçekleştirilecek iki kapılı devrei parametreleri birer rasyoel foksiyo olacağıda zayıflama ifadesii de geçirme ve södürma batlarıda istee zayıflama sıırlarıı sağlaya poliom veya rasyoel foksiyolar olması gerekir. Böylece süzgeç setezie yaklaşıklık teorisii de gireceği görülür. Süzgeç setezide belli başlı iki yötem vardır: 1. Görütü parametreleri yötemi. 2. Araya girme kaybı yötemi. Bularda ilki diğeride öce gelişmiştir ve İcelemesi içi çeşitli kayaklara başvurulabilir [3],,[4], [8]. Bugü süzgeçlerde istee keski ayırma olaağı içi bu teorii dayaaklarıı yeterli olmadığı görülmüştür. Bu bakımda, sayısal işlem güçlüklerie rağme «araya girme kaybı> metodu yeğ tutulmaktadır. Sayısal güçlükler ise, gelişe bilgi sayarlar sayeside yeilmektedir. Bu yazıda araya girme kaybı yötemii temelleri alatılmış ve çeşitli süzgeç tiplerii bu metod İle hesaplaması Özetlemiştir. Gerçekleştirmede, basamaklı tipte LC devreleri ele alıacaktır. 2. LO SÜZGEÇLERİNDE GÜÇ VE ZAYIFLA- MA [2], [6], [7], [9j, [11], [12], [18] îç direci R ola bir kayağı verebileceği P^ maksimum gücü, kayağı kedi iç direcie eşit bir yüke vereceği güçtür. Şekil l'deki devreyi ele alalım. Gerçekte, devrei başıdaki E ve R 2 öe bağlamış, sodaki R, ise çıkışa bağlamış başka birer devrei ey- 68 Elektrik Mühedisliği 188

2 harcaa güç P 2 olsu. Taım olarak P 20 oraıa «araya girme güç oraı» deir. (2.2)'ye bezer biçimde P*> R a (Z ı +R ı )(Z» ı +R ı ) P a r ı (R ı +R B )(R ı Şekil 1. Ele atma İki kapılı LG devresi. değeri olarak da düşüülebilir. Bu durumda R, soraki devrei giriş, R^ öceki devrei çıkıg direci olacaktır. Z ı ^ R^ ise devreye P m gücü verilmemektedir. Bu durumda (trasmisyo hatları teorisie de uygu olarak) maksimum gücü bir kısmıı yasıdığı söyleebilir. Yasıya güç P r ile gösterilirse, kayakta P m P gücü alııyor demektir. Aradaki iki kapılı devrei sadece LC elemalarıda kurulu olduğuu varsayalım. Buda dolayı güç kaybı meydaa gelmiyecektir. Böylece P m P r gücü çıkışta R-, elemaıda harcaacaktır. Şu halde iki kapılı LC devreleride; (2.1) eşitliği elde edilir. biçimide gösterilirse 4R 1 R 2 (2.4) (2.5) olmalıdır. (2.5) eşitliğie R^ R, ise R, = t 2 R 2, Rj -> R, ise Rj = t 2 Rj koyalım. Her iki durumda da k=- 1 t (2.6) buluur. Görülür ki R^ = R,, ise P m araya girme güç oraıa eşit, Kj R^ İse bir katsayı İle bağlıdır. Şimdi, bağıtısı vardır. P = Re (V.I) geel bağıtısı düşüülür de Z^ = r a!+ J^ koursa 4R ı r ı (2.2) olarak buluur. Burada, (*) İle eşleik gösterilmektedir. Şimdi, Şekil 2'yi ele alalım. Şekil 2a'da Rj'de harcaa güç P 20, 1 ve 2 uçları arasıda bir devre girdikte sora gee R,de 4 VP m (2.7) ifadeleri ile efektif trasmisyo faktörü ve karakteristik faktörü taımladıkta sora, zayıflamalara geçelim: A 20 log \(l )\ (db) veya a ^ İ H (jj\ (N) A a) «efektif zayıflama» A K A 20 log IKUÛ,)] (db) veya (2.8) «karakteristik zayıflama» olarak taımlaır. (2.91 m (2.10) ile yasıma katsayısıı taımlıyarak, (2.1)'i başka gösteriliş şekilleri ola, (2.11) Şekli 2. Kayak ve yok araşma bir devre girmesi. 1 + ıo""*» deklemleri elde edilir. (2.12) (2.13) Bir süzgeçte istee özellik, belirli frekas badıda işaretleri çok az bir zayıflatma İle geçirmesi, geri kala frekaslarda ise zayıflamaı EloktrtS MOtaediBllfti 188

3 çok olmasıdır. Gerçekleşmişi ve geçirme badı belli bir devrei geçirme badıı değiştirecek döüşümler vardır [2J, [4], [6], [7], [8], ;[ll-j. Bu olaaklar göz öüe alıarak bu yazıda Örekler alçak geçire süzgeç içi verilmiştir. öemli ola P m oraı olduğua göre süzgeç zayıflama tolerasları alçak geçire bir süzgeçte (db) (db) şeklide belirtilir. Burada A^ södürme badı, da istee e az zayıflama, A geçirme badıda izi verile e çok zayıflamadır. (2.12) ve (2.13) yardımı ile elektif zayıflamada karakteristik zayıflamaı, burada da karakteristik faktörü toleraslarıa geçilir. Bu durumda, K(j w ) foksiyouu, bu tolerasları ve 3. paragrafta iceliyecegimiz koşulla saglıya bir foksiyo olması gerekmektedir. 3. H(s), K(s) FONKSİYONLARI VE, BU FONKSİYONLARIN SAĞLTVAOAKLARI KO- ŞULLAR Bir öceki paragrafta [H(Ju) ve [K(U)\ efektif trasmisyo faktörü ve karakteristik faktör taımlamıştı. Açıktır ki K(s) ve H(s) İle bular arasıda K(s). H(s). bağıtıları vardır. u halde (2.11) eşitliği. (3.1) (3.2) H(s). H(-B) =1 + K(s). K(-S) (3.3.) şeklie döüştürülebilir. Gerek k(s), gerekse H(s) rasyoel birer foksiyo olduklarıda H(s) K(s) E(s) P(s) F(s) P(s) (3.4) (3.5) ve (3.3) E(s). E(-s) =P(s). P(-s) +F(-s) (3.6) olur. Bir İki kapılı LC devresii z parametreleri İle H(s) ve K(s) arasıda : (3.7) (3.8) bağıtısı vardır [1], [6], [7]. Burada ç idisi foksiyou çift, t tek kısmıı belirtmekte olup Rij ile Rv, Şekil l'de gösterilmiştir, s domeideki bu foksiyolarda istee özellikler burada; sıralaacaktır. Bu özellikleri icelemesie girişilmeyip z parametrelerii LC devreleri ile gerçekleştirme koşullarıda elde edilebileceğii söylemesi ile yetillecektir. 1. H(s) ve K(s) birer pozitif, reel, rasyoel foksiyodur. 2. H(s) ile K(s)'i paydaları eşittir. 3. P(s) poliomu ya tek ya da çifttir. 4. E (s) bir Huvitz poliomudur. 5. (3.6) koşulu sağlamalıdır. Karakteristik faktörü taımıda Z^'i (Z 21 i) sıfırlarıı, yai trosmisyo sıfırlarıı, K(s) i kutupları olduğu görülür. Bua göre; R,, RJJ, H(s) ve K(s)'l bilimeleri ile devre gerçekleştirüebilir. Görüldüğü gibi F(s)"i seçimide oldukça geiş bir serbestlik vardır. Acak her zama az elemalı devreler elverişli olduğuda düşük dereceli poliomlar araır, özetleecek olursa, tolerasları sağlayacak e düşük dereceli IKU^)! 2 buluacak (2.11) ve (3.6) deklemleri ile E(s). E(-s) kurulup kökleri buluacak ve E (s) içi, yukarda yazılı 4 koşuluda dolayı, sol yarı düzlemdeki kökler alıacaktır. P(s) çift ise (3.7) ve (3.8) E c - şeklide, P(s) tek ise z» = E, K ( v şeklidedir. E c - 1 K c K, (3.10) Belli efektif zayıflama toleraslarıı sağlamak içi, Iİ(s)'i sıfırlam geçirme badıa ilişki kısımda, kutuplarıı södürme badıa ilişki kısımda olması gerekir. Böylece geçirme badıda zayıflama küçük, södürme badıda büv yük olur. Sıfır ye kutuplar doğruda i^ üzeride seçilerek K(s) geel olarak K(s) = (3.11) x, (S? + S S) şeklide kurulur. 4. YAKLAŞIKLIK TİPİ ( = 0, dil, ± 2... olabilir) 4.1. Butterworth ve Tchebychev\ süzgeçleri : Belli bir efektif zayıflama toleras eğrisi Şekil 3 a'daki gibi olsu ve b'deki gibi bir yaklaşıklık amaca yetsi.. 70 ElektrlS Mühedisliği 188

4 AtdB) I Si(2k + (4.6) < 0 olalar se- biçimide buluup E(s) içi çilir. ffk ID UL) AldB) V 1 "'"" A s r (û) ŞeJdl 4. ıtchebychev tipi yaklaşıldık. Şekil 3. Buttervvorth tipi yaklaşıklık. Butterworth tipi adıı ala bu süzgeç P(s)=l, F( ja,) ] a = CJ* ile sağlaır. <B = ÛJp de H 2 = 10 9>IA P, K 2 = ıo (l ' 1J, = <, de H 2,= ıo 0>1A 8, K 2 = 10 M olacağıda (4.1) "de dolayı Ca)pS = IA p.l C^S a= 10 >1A S - 1 ve oralaırsa l g \/(10 0 ' IA s - <Up 1) -1-1 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) elde edilir. Acak burada tam sayıya tamam, laıp (4.3)'de C hesaplaır. Pratikte A, db olarak küçük bir sayı olduğumda, 1/(10 * >1A P 1) yerie, ( pm -2 i) ile geçtim/b badıda kabul edile p ml]l maksimum yasıması kullaıla gelmiştir. E(s). E(-s) = Cs^ + olacağıda, E. E(-a)'I kökleri (4.5) Şekil 4'deki yaklagık tipie Tchebychev tipi süzgeç adı verilir. Tchebychev poliomla : 1 «= x «î 1 içi T r = C»s( arc cosx) (4.7) bölgei dışıda? l') + («V& D"] (4.8) olarak taımlaır [6J, [11]. Chebychev tipi süzgeçte P(s)=l (4.9) alııp E(s). E( S) =. 1 + CT(s). T ( s) (4.10) ile E(s).E( B) kurulur. r l 1 2k 1 ;VC J 2 arc si h -== 2k 1 r 1 iı «k ' Cosh I arc si h I i VC J cos 2 (4.11) olup <r k <^ O) olalar alıarak E (s) buluur, ve C'i seçimi Butterworth süzgeci içi alatılaa bezer. Gerek Butteroorth gerek Tchebychev tipi filtreler F(s)'i bir poliom olmasıda dolayı «poliom süzgeçleri» adıı alırlar. Her ikisi içide Şekil 5'de gösterile biçimde bir devre ile setezleri içi doğruda elema değerlerii vere ifadeler çıkarılmıştır [9]. Elektrik Mühedisliği 188

5 o--- i i- ı T T T \M$ü!Lı '»JlBfllfllL» * UUAifll/~* Şekil 5. Alçak geçire poliom filtrelerii gerçekleye LC devresl 4.2. Cauer (eliptik) süzgeçleri [S], [12] : Hem geğirme hem södürme batlarıda Tchebychev karakteristiği istesi. Şekil 6a'da görüldüğü gibi burada trasmisyo sıfırlarıı tümü poliom süzgeçleride olduğu gibi sosuzda olmayıp, süzgeç <,),, (O& u^, solu frekaslarıda trasmisyo «fırları vardır. \ A{dB) deklemii ele alalım, o = -biçimide ölçeklemig frekas olup, böylece Şekil 6a, Şekil 6 b'ye döüşür. Şekil 6 b iceleirse f () İçi 2 I (4.13) biçimide bir foksiyo seçimii uygu olduğu görülür [2], [5],,[9], [12]. Burada A s, A p ve k = ^/^ değerleride yararlaılarak f o, Opi t fî,, ve a buluabilmelidir. Eliptik foksiyolar kullaılarak yapıla iceleme ile [5], f o =[(10 ' 1As -l)/(10»- 1Ap - ve O P */* (4.14) (4.15) olduğu gösterilebilir. Acak eliptik foksiyolar hesaplarda ortaya güçlükler çıkardığıda teta serileri yardımı ile (bazı yaklaşıklıklarda yapılarak) Grossia'ı [5] aşağıda verile metodu çıkarılmıştır. Vi ı (4.16) A(dB) rcr^t w S S-1 I 2~ A. + 1,2 + log (10 0M P-1) 2 log q Bi- 2 31, - q2si q cos 2i i 2 qicos 41 (4.1T) (4.18) (4.19) 61» 2 + l" İ+ ŞekU 6. Oaer tipi yaklaşıklık. H(j u ) a,= l yerie 10 ' ıa = 1+ (10 OılA P D [f (O) I 2 (4.20) Acak uygulamalarda bu formüllere de her zama başvurulmayıp hazır tablo ve abaklar kullaılır [3], [4], [8], [12]. 43 Geel parametrili süzgeçler: Birçok durumda södürme badıda zayıflamaı sabit bir değerde olması gerekmez. Södür- Elektrik.Mühedisliği. I8E

6 me badıda zayıflamaları çeşitli frekas aralıklarıda belli değişik değerler alması uygu olabilir. Bu durumda geçirme badıda karakteristik Tchebyhev tipide olacak södürme badıda ise verile zayıflamaya uygu olarak değişecektir. (4.12) eşitliğii yie ele alalım, geklide ölçeklemiş frekastır. Şekil 7'ye göre [f(îi)]2'i ifadesi şu biçimde çıkarılır: elde edilir. döüşümüü yapalım. (4.26) <4.27) [te)]' = A (a -a.) 2 T P ' (422) şeklie girer. 4 (4.28) Z - Z-. fi (4.29) döüşümleri ile Şekil 7. SödUrme badı boyuca zayıflamaı ablt otaaması durumu. K(Z) =, e(z») e(2?) + Zf (Z2) (4.30) elde edilir. K(Z)'i paydasıı ^ södürme badı kutuplarıda kökü olacaktır. Şu halde (4.12) deklemie başvurularak Î(Q,) = 1 ola oktalarda A = A p olacağı, görülür. Bular O = Ot, ve o = l'dlr. (4.31) Burada, [p()] olarak yazılabilir. Burada gerek e gerek fi çift foksiyolar olduğu görüjür. Şu halde ^ trasmisyo sıfırları (södürme badı kutupları bilie bir filtrede aşağıdaki işlemler ile K(s* kurulabilir): 1. ök da o k 'ya, orada Z k 'ya geçilir. (4.24) 2. Kökleri Z k ola poliom kurulur. Buu çift kısmı e(zp), tek kısmı Zf(Z2) dlr. j ^ -I I? 2 )] 7'. (4.32) 2, 2 'J (4.25) olarak buluur. Elektrik Mühedisliği 188

7 5. SONUÇ Bu yazıda araya girme kaybı ciside eüageç setez yötemi taıtılmış, basamaklı LC devreleri ile gerçekleştirilmek üzere Buttevorth, Tchebychev, Cauer ve geel parametreli tipte süzgeçler icelemiştir. (3.7) ve (3.8) formülleri ve K(s)'i kutuplarıı trasmisyo sıfırla olmasıda dolayı verile yötemler maksada yeterli olabilir. Acak ortada daha iki problem olduğu açıktır : 1. K(s)'i buluması ile H(s)'i de bulmak içi, m G(s) = v (s g^+crcs qj) şeklide bir i İ G(s)=E(s).Ef s) foksiyouu hesabı g';- rekir. (E(s)'e geçebilmek içi G(s)'i tüm köklerii bulmak gerekecektir. Dördücü derecede yüksek poliomlar içi bu işlem bir bilgisayarı kullaılmasıı gerektirir. Acak bilgisayarları da iglemlerde kulladıkları sayılar sıırlıdır. öreği, beş sayı ile (s +1,0002)j (s+ 0,9998) çarpımıı soucu; s2 + 2s + 0, değil " S2 + 2S + 1 = (S + 1)2 şeklie girecektir. Görülüyor ki, kökleri birbirlerie yakı olmaları durumuda, buları bulumaları zorlaşacaktır. Buu ölemek üzere iki yol öerilmiştir, a. (4.26) döüşümüü soua kadar korumak : Bu işlem G(z)'i köklerii arasıı açar )[1], [7], [10]. b. Kökleri bilie iki poliomu toplamlarıru köküü bulmak içi bir yol geliştirmek [10]. Bu gü, süzgeçleri geçirme ile södürme batları arasıı gittikçe daha dar olması istemekte, bu durumda Gfs)'i köklerii yeterli doğrulukta bulabilme öem kazamaktadır. Yukardaki yötemlere diğer bir yazımızda değieceğiz. 2. Devreleri fiziksel olarak gerçekleştirilmeside kullaıla L ve C elemaları ideal değildir. Buları etkisi soucuda gerçekleşe H ve K isteilei vermiyecektir. Devrei topolojisii ve trasmisyo sıfırlarıı değiştirmede elema değerlerii adım adım değiştirerek H ve K"ya yak- Jagmayı sağlıya ve bilgisayarlar içi programlamaya uygu yötemler geliştirilmiştir. Görüldüğü gibi özellikle geel parametreli filtrelerde bilgisayarlar araya girme kaybı ile süzgeç setezie zorulu olarak girmiştir. Böylece istee koşulla sağlıya filtreleri elema değerleri çabuk ve kolay olarak buluabilmekte, ideal olmıya elemaları etkisi azaltılabilmekte, öreği bir basamak foksiyouu süzgeci çıkışıda e gibi bir değişim göstereceği süzgeç gerçekleştirmede görülebilmektedir. Çalışmalamda yardımlarıda dolayı Sayı Prof. Dr. Tarık ÖZKER'e tegekkürü bir borç bilirim. KAYNAKLAR: [1] J. A. C. Bigahm; «A Nefw Method of Solvig the Accuracy Problem i Filter Desig», IEEE CT., 11. September [2] G. Bosse; «Sythese Elektrischer Siebsohaltuge», S. Hirzel Verlag, Stuttgart, [3] W. Cauer, «Sythesis of Liear Commuicatio Netvvorks», New York, Mc Graw- Hill, [4] P. R. Geffe; «Simplified Moder Filter Desig», New York, Joh F. Rider Publlshers Ic, [5] A. Grossma; «Sythesig of Tchebychev Parameter Symmetrical Filters», İRE Proc., April [6] Humpherys; «The Aalysis Desig ad Sythesis of Electrical Filters», Prötlce - Hail, [7] H. J. Orchard, ad G. C. Temes; «FUter Desig Usig Trasformed Varfables», IEEE CT. 15 Decemıber, [8] M. B. Reed; * Electric Network Sythesis>, Pretice-. Hail, [9] R. Saal ad E. Ulbrich; «O the Desig of Filters by Sythesis», İRE CT. 5 December, [10] J. K. SkMrirzyski; «O Sythesis of Filters» IEEE CT. 18 Jamıary, [11] J. Vlach; «Computorized Approximatio ad Sythesis of Liear Networks» Joh Wiley ad Sos, [12] F. Yücel; Cauer Parametreli Filtreler», P.T.T. Araştırma Lâboratuva Yayıla, Elektrik MUhâdlsllgl 188