TITO sistemleri kararlı kılan sabit köşegen kontrolörler

Transkript

1 tüdergs/d mühendslk Clt:9 Saı 34-4 Şubat 00 TITO sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler İlker ÜSTOĞLU * Mehmet Turan SÖYLEMEZ İTÜ Fen Blmler Ensttüsü Kontrol ve Otomason Mühendslğ Programı Aazağa İstanbul Özet Proses kontrolün lk ve en öneml amacı sstem kararlı kılmaktır performans üzerne apılacak her elem bu temel koşul sağlandığı müddetçe br anlam taşır. Kontrolör tasarımında kullanılan öntemlerden br sstem kararlı kılacak tüm kontrolörler bulmak ve ardından tasarımdak dğer beklentler sağlamak üzere bu sınıf çnden ugun br kontrolörde karar kılmaktır. Bu hedef doğrultusunda apılanlar şu özellkler de barındırmalıdır k br kontrolör tasarım sürecnden söz edleblsn. Kontrolör kırılgan olmamalıdır an kontrolör de parametre değşmlerne karşı sstemn kararlılığını ve mümkünse performansını zedelememeldr. Kontrolörün düşük mertebeden olması parametre aarlama sürecnde büük kolalıklar sağlar zra ne kadar az parametre o kadar bast br tasarım sürec demektr. Öte andan pratk anlamı dolaısıla da az parametre a da düşük mertebe endüstrde görev alan ugulamacılar çn problemlern daha hızlı çözülmes anlamına gelr. Bu çalışmada çok değşkenl kontrol apıları arasında öneml br er tutan karakterstk değerler ve karakterstk değer eğrler ele alınmış rasonel polnomlar csmnde ndrgeneblr olan karakterstk denklemler çn karakterstk değerlern reel eksen kesm noktaları ve bu noktalar cvarındak davranışları üzernde durulmuştur. Zra bu değerler çok grşl çok çıkışlı sstemler kararlı kılan kontrolörlern bulunmasında a da verlen br kazanç değer çn kararlılığın analz edlmesnde hızlı hesaplanablrlkler önünden önem arz etmektedrler. Bu çalışma kapsamında k grşl k çıkışlı (TITO) sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler üzernde durulmuş karakterstk değer eğrlernn reel eksen kestkler erler ve eğrlern bu noktalardak geçş önlernden hareket ederek hızlı br algortma gelştrlmş ve bu tür sstemler kararlı kılan kontrolörler örnek sstem üzernde sınanarak hesaplanmıştır. Anahtar Kelmeler: Blgsaar cebr blok dagram ndrgeme PID kontrol parametre uzaı aklaşımı karakterstk değer eğrler. * Yazışmaların apılacağı azar: İlker ÜSTOĞLU. ustoglu@tu.edu.tr; Tel: () Bu makale brnc azar tarafından İTÜ Fen Blmler Ensttüsü Kontrol ve Otomason Mühendslğ Programı nda tamamlanmış olan "Analss and desgn of fxed order stablzng controllers for SISO and TITO sstems: A computer algebra pont of vew" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. Makale metn tarhnde derge ulaşmış tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar tarhne kadar derge gönderlmeldr.

2 İ. Üstoğlu M. T. Sölemez Stablzng constant dagonal controllers for TITO sstems Extended abstract A control sstem s an nterconnecton of components to perform certan tasks and to generate desred output sgnal when t s drven b the nput sgnal. In contrast to an open-loop sstem a closedloop control sstem uses sensors to measure the actual output to adust the nput n order to acheve desred output. Most ndustral control sstems are no longer sngle-nput and sngle-output (SISO) but mult-nput and mult-output (MIMO) sstems wth a hgh couplng between the channels. In the desgn of all dnamcal sstems stablt s the most mportant propert. When a dnamc sstem s descrbed b ts nput-output relatonshp such as a transfer functon the sstem s stable f t generates bounded outputs for an bounded nputs; bounded-nput boundedoutput (BIBO) stablt. For a lnear tme-nvarant sstem modeled b a transfer functon matrx the BIBO stablt s guaranteed f and onl f all the poles of the transfer functon matrx are n the openleft-half complex plane. A reasonable approach to controller desgn s to fnd the set of all stablzng compensators and then usng a member of ths set to satsf further desgn crtera. A complete parameterzaton of all stablzng controllers for a gven sstem was suggested b Youla. An mportant dsadvantage of ths parameterzaton s that the order of the controller cannot be fxed. As a result the order of the controller tends to be qute hgh most of the tme. Therefore n the last few ears computaton of all stablzng controllers of a gven order s examned b several researchers. It s a common fact that t s more dffcult to desgn controllers for MIMO sstems because there are usuall nteractons between dfferent control loops. To overcome ths dffcult decentralzed controllers are consdered whch have fewer tunng parameters compared to general multvarable controllers. For example decentralzed PID (P: proportonal I: ntegral D: dervatve) controllers are wdel used n process control due ther smplct and faclt n workng n case of actuator and/or sensor falure because t s relatvel eas to tune manuall as onl one loop s drectl affected b the falure. If a MIMO sstem descrbed b a n n transfer-functon matrx G(s) s dagonal domnant over the bandwdth of nterest or there exsts an nput compensator matrx C(s) to acheve dagonal domnance then the stablt and tme doman behavor of the sstem can be nferred from the dagonal elements of G(s)C(s). The relatve gan arra the (nverse ) Nqust arra approach the block Nqust arra method the Perron-Frobenus scalng procedure and the characterstc locus method are among the analss and desgn methods to reduce the nteracton n a multvarable sstem. However these approaches do not provde the set of all stablzng controllers. Generalzng the Nqust stablt crteron for MIMO case s partcularl mportant because plottng the characterstc values of the open-loop transfer functon enables us to check the stablt of the closed-loop sstem for a gan parameter. A stable characterstc polnomal becomes unstable f and onl f at least one root crosses the magnar axs. The parameter values of the root crossng form the stablt boundares n the parameter space whch can be classfed nto three cases: the real root boundar where a root crosses the magnar axs at the orgn the nfnte root boundar where a root leaves the left half plane at nfnt and the complex root boundar where a par of conugate complex roots crosses the magnar axes. These stablt boundares separate regons n whch the number of closed loop sstem unstable poles does not change n parameter space. The man obectve of ths work s to develop an effcent and fast algorthm that can be used n fndng all stablzng constant controllers of dag(kk)-tpe for TITO processes. Recall that a TITO sstem has two characterstc values that are n the feld of ratonal functons f the characterstc equaton s reducble n ths feld. Hence Nqust stablt crteron can be appled to both of the characterstc values n order to determne the condtons for stablt. Recall that the generalzed Nqust theorem requres that the net sum of encrclements of the pont - b the characterstc values equal to the number of open-loop unstable poles of the sstem. Hence t s of specal mportance to determne where the characterstc locus ntersects wth the real axs.e. where the magnar part of ( w) = s zero. The drecton of these crossngs s also mportant because the net count of crossngs at an ntersecton pont wll ndcate whether there are closed-loop poles to cross the magnar axs. Kewords: Computer Algebra block dagram reducton PID control parameter space approach characterstc value plots. 35

3 TITO sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler Grş ve matematksel önblgler Dnamk sstemler çn kararlılık sağlanması gereken en öneml özellktr. Kontrolör tasarımı çn kabul edlen öntemlerden br sstem kararlı kılan tüm kontrolörlern bulunması ve ardından dğer amaç ölçütlern sağlaacak şeklde brnn bu kontrolörler ales çnden seçlmesdr. Verlen br sstem çn tüm kararlı kılan kontrolörlern belrlenmesnde Youla ( ) tarafından önerlen öntem her ne kadar ukarıda belrtlen amaca önelk se de öntemn dezavantaı kontrolör mertebesnn kısıtlanamaması ve genellkle de üksek mertebeden br kontrolör le karşı karşıa kalınmasıdır. Bu amaçla son ıllarda br sstem kararlı kılan tüm düşük mertebeden kontrolörlern belrlenmes konusu üzernde oğun çalışmalar apılmaktadır. Shafe ve Shenton ( ) kararlılık bölgelern parametre uzaında verdkler br grafk öntem gelştrmşlerdr. Bu alanda bu çalışmaı Ho ve dğerlernn ( ) genelleştrlmş Hermte-Behler teoremne daanan önetm zler. Öte andan Munro ve dğerler (999) ve Sölemez ve dğerler (003) düşük mertebel kontrolörlern bulunması çn nümerk br frekans tanım bölges öntem gelştrmşlerdr. Bu öntem Nqust eğrsnn reel eksen kesm noktalarına ve bu noktalar cvarında davranışına an reel eksen geçş önünün de belrlenmesne daanır. Ackermann ve Kaesbauer (003) bu sonuçları daha genş problem sınıflarına genşletmşlerdr. Grazna ve Polak D-arışımı öntemn ve geometrsn polnomlar çn ele aldılar ve öntem çok gşşl çok çıkışlı sstemlere genşlettler arıca kararlı ve kararsız kutupların saısının değşmez kaldığı bölgeler ncelerken bu bölgelern saısının ne kadar olableceğ problem üzerne de eğldler. Farklı kontrol çevrmler arasındak etkleşmn kaçınılmaz olacağı çok grşl ve çok çıkışlı sstemler çn kontrolör tasarımının ne denl zor olduğu blnen br gerçektr. Bu sorunun üstesnden geleblmek çn parametre aarının daha az olablmes amacıla merkez apılı kontrolörler önerlr. Örneğn n-grşl n-çıkışlı br sstem çn PID (oransal ntegral türev) tpnde kontrolörler tasarlanacaksa 3n tane parametre aarlanmalıdır. Ancak merkez apılı PID kontrolörler öngöreblnrse bu saının 3n kadar olacağı açıkça görülür bu da problemn pratk an- lamda önemn oldukça arttırır arıca bastlğ algılaıcı a/ada elec hataları söz konusu olduğunda etknn sadece br kanal üzernde olması dolaısıla problemn ernn belrlenmes açısından sağladığı kolalıklar ve elle aara olanak vermes önünden getrdğ rahatlık bu tür kontrol apılarının proses kontrol endüstrsnde çokça kullanılmasının nedenlern açıklar. Sölemez ve Üstoğlu (006) sembolk cebr ardımıla k-grşl k-çıkışlı (TITO) sstemler çn statk çıkış gerbeslemel kontrolör tasarımına önelk br çalışma aptılar öte andan sembolk cebrn daha brçok tasarım problemnn çözümünde ne tür esneklkler getrdğ üzernde durdular. n-grşl n-çıkışlı br sstem olan Gs () köşegen baskın se a da bu sstem köşegen baskın kılan br Cs () önkompanzatörü bulunablorsa sstemn kararlılığı Gs nn () a da GsCs () () nn köşegen elemanları tarafından belrlenr. Bu fkr Rosenbrock un ( ) çalışmalarına daanır k Rosenbrock çok grşl çok çıkışlı sstem tasarımını bu aklaşımı le tek grşl tek çıkışlı tasarımın esneklk ve kolalığına ndrgemştr. Bağıl kazanç dzs (ters-) Nqust dzs blok Nqust dzs Peron- Frobenus ölçekleme aklaşımı ve karakterstk değer eğrler aklaşımı öntemler her ne kadar çok grşl çok çıkışlı sstemlerm analz ve tasarımında kullanılsalar da sstem kararlı kılan tüm kontrolörlern belrlenmesne doğrudan katkıları olmamıştır. Cebrsel fonksonlar teorsndek kavramlar ardımıla Barman ve Katzenelson (974) çok değşkenl sstemlern kararlılığını nceledler. MacFarlene and Postlethwate (977) anı amaç doğrultusunda Remann üzelern kullandılar. Desoer ve Wang se analtk fonksonlar teorsndek temel özellkler ardımıla özdeğer eğrler eksenl br kararlılık test öntemn bu tür sstemler çn gelştrdler. Karakterstk değer adını alan br karmaşık değşken ve I k boutlu brm matrs olmak üzere boutlu Gs () transfer matrsnn karakterstk denklem p( s) = ( s) I G( s) = 0 () fadesle verlr. Karakterstk değerler hesaplanır ve s karmaşık düzlemde Nqust kontörü- 36

4 İ. Üstoğlu M. T. Sölemez nü dolanırken br k tane eğr elde edlr bu k eğr genelleştrlmş Nqust dagramları a da karakterstk değer eğrler adını alırlar. Bu dagramlar polnom kontrol sstemler araç kutusunun br fonksonu olan CharacterstcValuePlot[] komutu le rahatlıkla çzdrleblr (Sölemez ve Üstoğlu 007). Bu dagramlar ardımıla br grşl br çıkışlı sstemlern kararlılığı çn kullanılan Nqust kararlılık krter çok grşl çok çıkışlı sstemlere genşletleblr. Teorem D N standart Nqust kontörü u 0 açık çevrml sstemn kararsız kutuplarının saısı olmak üzere Şekl dek sstem ancak ve ancak ) I + kg 0 s DN () ) N[ I + kg( s) 0] + u0 = 0 (3) koşullarını sağlıorsa asmptotk kararlıdır. (3) fadesnde er alan Nhs [ ( ) s 0] hs ( ) karmaşık fonksonunun s 0 noktası etrafındak çevreleme saısını fade etmektedr. + - G(s) k I Şekl. Kapalı çevrm kontrol sstem Karakterstk değerler daha anlaablmek çn aşağıdak sstem göz önüne alalım: s + s 5s 5 ( s 3s )( s 3) ( s 3s )( s 3) G: s+ s + s+ 9 ( s + 3s+ )( s+ 3) ( s + 3s+ )( s+ 3) (4) (4) fadesnde verlen sstemn karakterstk değerler () s = (5) s + 3 = s s + + 3s+ bçmndedr. Br dğer örnek olarak s+ s+ G : s + ( s+ )( s+ ) s+ sstemn göz önüne alırsak bu durumda 3 5s 7 s = p( ) s+ ( s+ ) ( s+ ) (6) (7) (8) karakterstk polnomunun rasonel fonksonlar csmnde daha fazla ndrgenemez olduğunu görürüz. Genel olarak boutlu Gstransfer ( ) matrsn g g() s Gs () = g g() s (9) bçmnde düşünelm. Bu durumda karakterstk δ = g g g g ve denklem τ = g + g tanımlamaları altında τ + δ = 0 (0) apısında olur. (0) denklemnn çözümler olan ve nn Nqust dagramlarının elde edlmes çn s = w değşken dönüşümü apılması ve w parametresne bağlı olarak ( w) ve ( w) reel ve sanal kısımlarının karşılıklı çzdrlmes eterldr. ( w) ve ( w) nın herhang br reel x noktasından geçtğ frekanslar sırası le { w w w µ } { w µ + w w µ + η} ve bçmnde lstelenmş ol- 37

5 TITO sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler sun. Arıca her br frekans çn reel eksenn kesldğ o noktada eğrnn geçş önü de blnor olsun eğr negatf bölgeden poztf olana geçorsa geçş önü poztf aks halde negatf kabul edlecektr. m nc ( m = {} ) karakterstk değer eğrsnn adı geçen x noktasından geçtğ nc frekans çn geçş önünü md temsl etmek üzere c µ = d () = fades brnc karakterstk değer çn o noktadak net geçş önünü verrken c µ + η = d () = µ + fades anı blg knc karakterstk değer çn sağlar. Net geçş se c = c + c (3) formülü le elde edlr. Teorem Verlen br TITO sstem ve C = f ( w) kapalı * kontörü çn öle br w frekansı vardır k karakterstk değerlerden brnn a da her ksnn brden sanal kısmı ancak ve ancak k = sabt kazancı le sıfırlanır arıca kazanç bu k * x değer cvarında değştrldğnde (3) formülünde verlen c kadar kutup kararlılık sınırının br tarafından dğer tarafına geçş apar. Varsaalım k karakterstk değer eğrler reel eksenlern { x x x q } lstesle verlen q adet arık noktada kesor olsun bu durumda x 0 = ve x q + = tanımlaarak { I I I q + } bçmnde q+ adet aralık le karşı karşıaız demektr. Her br aralık I = [ x x) apısındadır. Öte andan kazançlar çnde benzer bçmde aralıklar tanımlaablrz. Sözü edlen aralıklar K = { k : < k < } bçmndedr. Arıca x x * her aralık çn sstemn kararsız kutup saısı u le temsl edlor olsun. Bu durumda aşağıdak teorem geçerldr: Yardımcı Teorem Verlen br TITO sstem çn gerbesleme kazancı k br K kazanç aralığından seçldğnde sstemn kararsız kutup saısı 0 u = u + c (4) n= 0 n formülü le hesaplanır burada u 0 açık çevrm sstemn kararsız kutup saısını göstermektedr. Sabt köşegen kontrolörler le TITO sstemlern kararlı kılınması Şekl de verlen Gs stemnn k grşl k çıkışlı gerbesleme düzennn de dag(kk) bçmnde olduğunu göz önüne alalım.bu durumda kapalı çevrm karakterstk denklem c ( ) τ() δ() 0 p s k = + k s + k s = (5) bçmnde olacaktır. pc ( w k ) = 0 denklemnn reel ve sanal kısımları se sırasıla k R( w) k R( w) 0 + Τ + = (6) I( ) I( ) 0 kτ w + k w = (7) bçmnde arıştırılablr. Burada ( w R ) = Re[ δ ( w )] I ( w) = Im[ δ ( w)] T ( R w ) = Re { τ ( w ) } TI ( w) = Im { τ ( w) } tanımlamaları apılmıştır. (7) denklemnden a k = 0 a da ΤI ( w) k = (8) ( w) I olması gerektğ bulunur. (8) fades (6) da erne azılacak olursa ( ) I I I R I R 0 qw = Τ Τ +Τ = (9) 38

6 İ. Üstoğlu M. T. Sölemez fades elde edlr k bu fade çözülecek olursa kararlılık sınırının br tarafından dğer tarafına geçşe lşkn krtk frekanslar elde edlmş olur. Ardından bu frekanslar (8) de erlerne azılacak olursa krtk kazanç değerlerne ulaşılır. İndrgeneblr karakterstk denklem hal Varsaalım k karakterstk denklemmz ndrgeneblr olsun an N = (0) D N = () D fadeler tanımlansın. Bu tanımlamaları braz daha ler götürecek olursak N + N X ( w ) Y( w ) ( ) ( ) re m ( w) = = + w D re + D m Z w Z w N + N X ( w ) Y ( w ) ( ) ( ) re m ( w) = = + w D re + D m Z w Z w sonuçlarına ulaşırız burada = { } çn e e o o () (3) X ( w ) = D N + w D N (4) Y w = D N D N (5) ( ) e o o e Z ( w ) = D + w D (6) e o fadelernde se D e D o N e ve N o göstermler De ( w ) Do ( w ) Ne ( w ) ve No ( w ) erne kullanılmış olup; D ve N polnomlarının çft ve tek kısımlarından oluşmaktadır. Öte andan v = ˆ w olarak tanımlaa- lım. Y (v) nn poztf reel köklernn v v v µ olduğu ve Y (v) nn poztf reel köklernn vµ + vµ + vµ + η olduğu kabul edlrse; ukarıda sözü edlen karakterstk değer eğrler w = 0 w = vea m = µ + η çn w=± v da reel eksenden geçer. Arıca m reel eksenn kesm noktaları = q ve m = µ + µ + µ + η çn x x X ( v ) m = (7) Z( vm ) X ( v ) = m Z( vm ) (8) olarak hesaplanır. Bu blgler ışığında TITO sstemler çn tüm kararlı kılan sabt köşegen kontrolör kazançlarını parametrze eden aşağıdak teoreme ulaşırız: Teorem 3 İk grşl k çıkışlı Gs stemnn karakterstk değerlernn sanal eksen üzernde köklernn olmadığını varsaalım. Y () v nn baş katsaısı le gösterlrken; Y () v nn en son sıfır olmaan katsaısı 0 le gösterlsn. Benzer şeklde Y () v nn baş katsaısı le gösterlrken; Y () v nn en son sıfır olmaan katsaısı 0 le gösterlsn. Verlen br k K = çn kapalı çevrm sstemn kararsız kutuplarının saısı x x (4) de verldğ gbdr. Arıca geçş önler l () l ( ( ) )sgn( Ym ( v)) 0 < v < d = sgn( ) v = 0 sgn( m ) v = m m0 (9) formülü le verlr Burada Burada Y () l m () v Y () m v nn v noktasındak sıfır olmaan brnc türevdr. (9) dak sgn sembolü şaret fonksonunu göstermektedr. (4) den u = 0 olan kazanç aralıkları kararlı kılan kazançları verr. Şmd karakterstk değerler 3 4( s 3s + s 5) () s = ( s + s+ ) 3 s s s () s = s + 6s + 5s + 8s+ 0 (30) (3) 39

7 TITO sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler olan br TITO sstem ele alalım. Bu durumda Teorem 3 ü ugulaablmek çn çeştl tanımlama ve hesaplamalara gerek duulur bunlar sırasıla; N s = s s + s (3) 3 () D s = s + s + s + s+ (33) () N s = s + s s+ (34) 3 ( ) D s = s + s + s + s+ (35) 4 3 () tanımlamaları ve D w = w w + (36) 4 e( ) 8 4 D w = w + (37) o ( ) 4 8 N w = w (38) e( ) 60 N w = w + (39) o ( ) 4 8 D w = w w + (40) 4 e( ) 5 0 D w = w + (4) o ( ) 6 8 N w = w + (4) e ( ) 5 66 N w = w (43) o ( ) 6 tanımlamaları bçmndedr bunların ardından X w = w w + w (44) 6 4 ( ) Y w = w + w w + (45) 6 4 ( ) Z w = w + w + (46) ( ) hesaplamaları ve X w = w + w w + (47) 6 4 ( ) Y w = w w + w (48) 6 4 ( ) Z w = w + w + w + w + (49) ( ) hesaplamaları apılır. w= v olduğu hatırlanacak olursa X v = v v + v (50) 3 ( ) Y v = v + v v + (5) 3 ( ) Z v = v + v + (5) 4 () 8 6 X v = v + v v + (53) 3 ( ) Y v = v v + v (54) 3 ( ) Z v = v + v + v + v+ (55) 4 3 () fadeler elde edlr. Y () v nn poztf kökler v = v = 4 ve v 3 = 6 dır. Bu frekanslar çn geçş noktaları x = 4.5 x = ve x 3 = olarak elde edlr. Y () v nn lk ve son katsaısı = 4 ve 0 = 5 dr. Bu arada Y () = Y (4) = 96 ve Y (6) = 67 sonuçları elde edlr. Öte andan Y () v nn poztf kökler v 4 =.78 ve v 5 = 6 dır. Bu frekanslar çn geçş noktaları x 4 = 3.0 ve x 5 = olarak elde edlr. Y () v nn lk ve son katsaısı = ve 0 = 5408 dr. Bu arada Y (.78) = ve Y (6) = 366 sonuçları hesaplanırsa kararlılığı kolaca belrlemek amacıla br tablo hazırlanablr (Tablo ). Tablo. Krtk frekanslar erler geçş önler v x x d d Tablo den hareketle kararlılığın belrlendğ karar tablosu oluşturulablr (Tablo ): c 40

8 İ. Üstoğlu M. T. Sölemez x I Tablo. Karar tablosu x x K x u Stabl Evet Haır Haır Haır Haır Haır Evet Tablo dkkatlce ncelendğnde sstemn ancak k ( ) değerler çn kararlı olduğu anlaşılır. Yan bu sstem tüm kararlı kılan dag(k k) tpndek kontrolör kazançları bulunan bu aralık le parametrze edleblr. Elde edlen sonuçlar sonunda aşağıdak algortma TITO sstemlern kararlılığı üzerne oldukça hızlı br öntem önermektedr. Algortma Adım: (9) denklemn çözerek krtk frekansları bul. Adım : (7) ve (8) denklemlernden kesm noktalarının erlern bul ( x ). Adım 3: x < x olacak şeklde bu noktaları sırala. Adım 4: Anı x noktasına karşı düşen frekansları her k karakterstk değer çn sırala ve enden adlandır. Brnc karakterstk değer çn { w w w µ } knc karakterstk değer çn{ w µ + w w µ + η}. Adım 5: Brnc karakterstk değer çn x noktasının geçş önü olan d ler hesapla. c belrle. Adım 6: İknc karakterstk değer çn x noktasının geçş önü olan d ler hesapla. c belrle. Adım 7: c = c + c eştlğnden ola çıkarak net geçş saısını belrle. Adım 8: I ve K aralıklarını oluştur her br çn kararsız kutup saısı olan u (4) fadesn kullanarak hesapla. Adım 9: u = 0 koşulunu sağlaan aralıkları kararlı kulan aralıklar olarak belrle. Sonuçlar Bu çalışmada TITO sstemler çn sstem kararlı kılan tüm dag(k k) tpnde kontrolörlern hızlı olarak nasıl bulunableceğ üzernde durulmuştur. Problemn çözünü br teorem ardımıla br algortma çne gömülmüştür. Açıklaıcı br örnek le öntemn ne denl bast olduğu gösterlmştr. Problemn sadece ndrgeneblr durum çn çözümünün olmadığı kolalıkla söleneblr. Şu an daanıklı kararlılık üzerne apılan çalışmalar devam etmektedr. Kanaklar Ackermann J. ve Kaesbauer D. (003). Stable polhedra n parameter space Automatca Barman J.F. ve Katzenelson J. (974). A generalzed Nqust-tpe stablt crteron for multvarable feedback sstems Internatonal Journal of Control Grazna E.N. ve Polak B.T. (006). Stablt regons n the parameter space: D-decomposton revsted Automatca Ho M.-T. Datta A. ve Bhattacharra S.P. (996). A new approach to feedback stablzaton The 35 th IEEE Conference on Decson and Control. Kobe Japan December -3. Ho M.-T. Datta A. ve Bhattacharra S.P. (997). A lnear programmng characterzaton of all stablzng PID controllers IEEE Proc. Amercan Control Conference Albuquerque NM USA June 4-6. MacFarlane A.G.J. ve Postlethwate I. (977): Generalzed Nqust stablt crteron and multvarable root loc Internatonal Journal of Control Munro N. Sölemez M.T. ve Bak H. (999). Computaton of D-Stablzng low-order compensators Control Sstem Centre Report 88 UMIST Manchester UK. 4

9 TITO sstemler kararlı kılan sabt köşegen kontrolörler Rosenbrock H.H. (969). Desgn of multvarable control sstems usng the nverse Nqust arra Procedng of IEEE Rosenbrock H.H. (970). State-Space and Multvarable Theor London Nelson UK. Shafe Z. ve Shenton A.T. (994). Tunng of PIDtpe controllers for stable and unstable sstems wth tme dela Automatca Shafe Z. ve Shenton A.T. (997). Frequencdoman desgn of PID controllers for stable and unstable sstems wth tme dela Automatca Skogestad S. ve Morar M. (989). Robust performance of decentralzed control sstems b ndependent desgns Automatca Sölemez M.T. Munro N. ve Bak H. (003). Fast calculaton of stablzng PID controllers Automatca Sölemez M.T. ve Üstoğlu İ. (006). Desgnng control sstems usng exact and smbolc manpulatons of formulae Internatonal Journal of Control Sölemez M.T. ve Üstoğlu İ. (007). Polnomal control sstems IEEE Control Sstem Magazne Youla D.C. Bongorno J.J. ve Lu C.N. (974). Sngle-loop feedback stablzaton of lnear multvarable plants Automatca Youla D.C. Jabr H.A. ve Bongorno J.J. (976). Modern Wener-Hopf desgn of optmal controllers Part II: multvarable case IEEE Transactons on Automatc Control Theor