DERS 6. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar - I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 6. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar - I"

Transkript

1 DERS 6 Türe Hesabı e Bazı Uyglamalar - I Öceki ersi soa belirttiğimiz üzere, b ersimize türe esabıı kolaylaştıracak kral e yötemler göreceğiz Türei yglaması olarak, ız karamıı, yaklaşık eğer esabıı e özel olarak, ekoomie marjial aalizi ele alacağız Her agi bir oksiyo teki türeii ' lim 0 olğ aımsayalım y eklemi ile taımlamış bir oksiyo içi ' yerie aşağıaki gösterimler e kllaılır: y y',,,, D 6 Sabit Foksiyo Türei Öceki ersi soa bir örekte görmüş olğmz gibi, eragi bir c reel sayısı içi c eklemi ile taımlaa sabit oksiyo türei ' lim 0 c c lim 0 0 olarak ele eilir Çükü, c olp eki eğişim y e eragi bir eğişime ee olmamaktaır Bla iae iğer gösterimle yazılırsa ş ormül ele eilir: c 0

2 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 96 Örek eklemi ile taımlaa sabit oksiyo türei 0 eklemi ile erilir Diğer gösterimle, 0 6 Ket Foksiyo Türei sııra arklı bir reel sayı olmak üzere eklemi ile taımlaa oksiyoa ket oksiyo eir Türe taımıa, ket oksiyo türei - olarak ele eilir oğal sayı olca b ormülü kaıtlamak çok kolayır: lim ] [ lim lim L L Ket oksiyo türei ile ilgili ormül iğer gösterimle yazılırsa ş biçimi alır: Örek ; Örek Karekök oksiyo türeii öceki erste taım kllaarak esaplamıştık Şimi ket oksiyo olarak Örek eklemi e bir ket oksiyo taımlar: Dolayısıyla Örek,

3 Ders Bir Sabit ile bir Foksiyo Çarpımıı Türei k bir sabit e bir oksiyo ols Eğer ' taımlı ise, y k çarpımı olarak taımlaa oksiyo türei y' k ' ile erilir Diğer gösterimle yazılırsa ş ormül ele eilir: k k ' Örek, Örek 6 Toplam e Farkı Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, y e y eklemleri ile taımlaa oksiyoları a türeleri mecttr e, ir Sözel olarak iae eilirse, iki oksiyo toplamıı türei türelerii toplamıa, arkıı türei e türelerii arkıa eşittir Örek Diğer gösterimle, Örek Diğer gösterimle,

4 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 98 Toplam e arkı türei ile ilgili kralları ikie çok oksiyo toplam e arkı içi e geçerli olğ görmek kolayır Örek 6 9 ' 6 0 Diğer gösterimle, Braya kaar ele eile soçlara a L a a a0 poliom oksiyo türei içi aşağıaki ormülü elee eeriz: a a a0 a L a a L 6 Türe e Hız Gülük yaşama türe ile açıklaabilecek e öemli karamlaraa biri ız karamıır Bir kooriat eksei üzerie areket ee bir esei aıaki yeri y eklemi ile erilmişse, b esei a aıa a aıa kaar ortalama ızı alılıa yol a a zama e a aıaki alık ızı ır ' a lim 0 a a Örek y - eksei üzerie areket ee bir esei aıaki yeri y olarak eriliyor Aşağıakileri blz a e e kaar ortalama ız, b Alık ız oksiyo, c e te alık ız, ç Hızı sıır olğ zamalar 6 7 Çözüm a b ' c ', ' olr ç ' eya Hız, 0 e aıa sıır

5 Ders Çarpımı Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, y eklemi ile taımlaa oksiyo türei ' ' ' ormülü ile blr Sözel iae ile, iki oksiyo çarpımıı türei, birici çarpaı türei ile ikici çarpaı çarpımıı ikici çarpaı türei ile birici çarpaı çarpımıa toplaması ile ele eilir Çarpımı türei ile ilgili ormülü iğer gösterimlerle yazılışları şöyleir:, ' ' ' y Örek ' ' ' Örek Örek ' ' Örek ' ' 0 Örek

6 Türe Hesabı e L Hospital Kralı Bölümü Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, eklemi ile taımlaa oksiyo türei ' ' ' ormülü ile blr Sözel olarak iae eersek, bir kesiri türei, o kesiri payıı türei ile payasıı çarpımıa payasıı türei ile payıı çarpımı çıkarılıca ele eile arkı pay; kesri payasıı karesii e paya olarak yazılığı kesirir İki oksiyo belirleiği bölümü ya a kesiri türei ile ilgili ormülü eğişik gösterimlere yazılışları şöyleir:, ' ' ' y Örek ' ' Örek Örek Örek Parçalı taımlamış bir oksiyo türeie bir örek erelim < > < > < >,,, ',,,

7 Ders 6 0 B oksiyo içi ' e ' türeleri esaplamak isteirse, taım kllaılır Öreği, ' lim lim 0 0 ir Bezer şekile taım kllaılarak ' esaplamağa çalışılırsa, ' i mect olmaığı görülür 68 Yaklaşık Değerler a içi türee saip bir oksiyo a, a oktasıaki teğetii eğimii ' a e o oktaaki teğeti eklemii e y ' a a a olğ biliyorz a ya yakı bir a eğeri içi a eğerii üşüelimşekile izleyiiz a, a ye, y a, a a a a, a a a, a a a yai sııra yaklaştıkça i graiği üzerieki a, a oktası teğet üzerieki a, aa oktasıa yaklaşacaktır B eele, i sııra yakı eğerleri içi teğet üzerie apsisi a ola oktaı oriatı ola a a eğeri a içi yaklaşık eğer olarak alıabilir İki eğeri birbirie yaklaşık eğerler olğ göstermek içi işaretii kllaacağız Böylece, a ' a a

8 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Geometrik olarak gözlemleiğimiz b ss, cebirsel olarak şöyle görülebilir Yaklaşık olkları kabl eile iki eğer arasıaki arkı a a a ' a a ' a a a biçimie iae eip ' a lim olğ aımsayalım i sııra 0 a a yakı eğerleri içi oraı ' a ya yakı olacağıa b tür eğerleri a a içi a ' a a ' a eğerleri e sııra yakı olacaktır Dolayısıyla, a ' a a Örek Ykarıaki ikri kllaarak 0 içi bir yaklaşık eğer blalım B içi, a 00, alıırsa, a 0 0, a 00 0, ', ' olr e ormüle ele eilir Örek 98 sayısıa bir yaklaşık eğer blalım B içi alıırsa, 98, a 8, ', ' a 98 olr e ormüle ele eilir, a,

9 Ders Marjial Değerler Ekoomie ortaya çıka oksiyolar içi yaklaşık eğer e türe karamlarıı ayrı bir öemi arır Gier oksiyo Gi yi ele alalım ürü içi toplam gieri Gi ile gösteriliğii aımsarsak, ürüü ürettikte sora bir sorakii, yai ici ürüü üretmek içi yapıla gieri olğ görürüz Gi Gi Diğer yaa, ykarıaki yaklaşık eğer ormülüü gier oksiyo Gi içi yazalım: B ormüle a, alıırsa, Gi a Gi' a Gi a Gi Gi' Gi ya a Gi Gi Gi' ele eilir Braa görüyorz ki, tae ürüe sora ici ürüü üretmek içi yapıla gier yaklaşık olarak Gi tir B eele, gier oksiyo türei ola Gi ' oksiyoa marjial gier oksiyo eir Gi ', aet ürü üretmek içi marjial gierir e b eğer, ürü üretilikte sora bir soraki yai, ici ürüü üretmek içi yapıla gieri yaklaşık eğerii erir Örek Çelik kapı ürete bir irmaı aylık toplam gieri kapı içi Gi YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Aya 0 kapı üretilirse toplam gier e olr? c ici kapıı üretilmesi içi yapılması gereke gieri yaklaşık olarak belirleyiiz e gerçek eğeri ile karşılaştırıız Çözüm a Gi' 00 b Gi YTL c Gi ' bi YTL Gi YTL Gerçek gier, Gi Gi YTL Gerçek gier ola 690 YTL yerie yaklaşık olarak 70 YTL alımakla 00 YTL ata yapılmıştır

10 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Örek Bir irma küçük çitçiler içi çapa makiesi üretiyor aet makie üretmek içi toplam gier Gi YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Gi '0 eğerii blz e yormlayıız c ici makiei üretilebilmesi içi yapılacak gerçek gieri blz e marjial gier ile karşılaştırıız Çözüm a Gi' b Gi ' B eğer, ici makiei üretilebilmesi içi yapılacak yaklaşık gieri 77 YTL olğ gösterir c ici epo içi yapılacak gerçek gier Gi Gi YTL olr 0 ürü içi marjial gier ola 77 YTL ile ici ürü içi gerçek gier ola 7996 YTL arasıa 096 YTL ark arır Marjial gelir oksiyo e marjial kâr oksiyo ykarıakie bezer biçime taımlaır ürü üretilice toplam gelir Ge e toplam kâr K ile gösterilmek üzere, marjial gelir Ge e marjial kâr K olr ici ürüü üretice, saece ici ürüe ele eile gelir olp b yaklaşık eğeri Ge - Ge Ge Ge Ge ormülü ile erilir Bezer biçime, ici ürüe sağlaa kâr K K ir e b yaklaşık eğeri K K - K ormülü ile erilir

11 Ders 6 0 Örek Özel olarak tasarlamış bir MP- çalar p YTL e satılması rma aya aet talep görüyor e ile p arasıa aşağıaki bağıtı tespit eiliyor: p a Fiyatı göstere p yi talep, yai i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b Gelir oksiyo iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz c 00 ciaz satıması rma marjial geliri belirleyiiz e b eğeri yormlayıız ç 0 ciaz satılması rma marjial geliri belirleyiiz e b eğeri yormlayıız 00 Çözüm a p 60 p 00 p Dolayısıyla, 60 iyat oksiyo e o taım kümesi şöyleir: 00 p, 0 < < b Toplam gelir, satıla ürü sayısı ile satış iyatıı çarpımıır Dolayısıyla, gelir oksiyo 00 Ge p, 0 < < biçimie ele eilir 00 c Marjial gelir oksiyo Ge' olr Dolayısıyla, 00 ciaz satılması rma marjial gelir Ge '00 0 YTL olr O ale, 0 60 ici saatta sağlaacak gelir yaklaşık olarak 0 YTL ir ç Daa öce ele eile iaee, 0 saat satılması rma marjial gelir Ge ' YTL olr O ale, ici saatta sağlaacak gelir yaklaşık olarak 00 YTL ir Örek aet rayol alarm saatıı satışıa ele eile kâr olarak eriliyor K , 0 < < 000 a 0 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kârı blz

12 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 06 b Marjial kârı kllaarak 0 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık olarak belirleyiiz c 00 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kârı blz ç Marjial kârı kllaarak 00 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık olarak belirleyiiz Çözüm a 0 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kâr YTL olr K0 K b Marjial kâr oksiyo K ' e 0 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık eğeri K ' YTL olr c 00 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kâr K 00 K YTL olr 00 ici saatı satışıa zarar eiliyor, acak b zarar çok küçüktür ç 00 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık eğeri K ' YTL olr Gier, gelir e kâr oksiyolarıı tümüü içere örekler erelim

13 Ders 6 07 Örek Bilgisayar masası ürete bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae masa satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo 70 0 p bağıtısı ile e tae masaı üretimi içi toplam gier Gi YTL olarak eriliyor a Fiyatı göstere p yi i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b tae masa satılması rma ele eilecek gelir Ge i esaplayıız Gelir oksiyo Ge i taım kümesi eir? c tae masa satılması rma ele eilecek kâr K i esaplayıız Kâr oksiyo K ı taım kümesi eir? ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyolarıı blz Gi '00, Ge'00, K'00 eğerlerii blz e yormlayıız Çözüm a 70 0p 0p 70 p 00 Dolayısıyla, iyat oksiyo e o taım kümesi şöyleir: p 00, 0 < < 70 p i taım kümesi 0,70 aralığıır Braa problemi oğası gereği e tamsayı eğerler alabilir p acak b tae masa satılması rma ele eilecek gelir YTL olarak Ge ir e Ge i taım kümesi e 0,70 aralığıır c tae masa satılması rma ele eilecek kâr K Ge Gi ir K i e taım kümesi 0,70 aralığıır ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyoları eklemleri ile erilir Gi ' 00, Ge' 00, K' 00 Gi '00 00, 0 ici masa içi yapılacak yaklaşık gieri gösterir Braa, gier oksiyo iaesie, er bir masa içi sabit gier ışıa 00 YTL gier olğ görülmekteir Dolayısıyla, 00 masa üretilikte sora, 0 ici masa içi yapılacak gerçek gier, 00 YTL ir e b, ilk cümlee iae eile yaklaşık eğer ile çakışmaktaır Ge ' , 0 ici masaa ele eile yaklaşık geliri gösterir K ' , 0 ici masaa ele eile yaklaşık kârı erir

14 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 08 Örek 6 Fiyat - Talep Deklemi p ile, gier oksiyo Gi 00 ile e para birimi birim parabp olarak eriliğie göre a Fiyat p yi talep i oksiyo olarak iae eiiz e p i taım kümesii belirleyiiz b Marjial gier oksiyo blz c Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz ç Kâr e marjial kâr oksiyolarıı belirleyiiz, kâr oksiyo graiğii çiziiz Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? e 0 ici ürüe sağlaacak kârı yaklaşık eğerii blz Çözüm a p 8 00, b Gi ' c Gelir oksiyo Ge 8 00 eklemi ile, marjial gelir oksiyo Ge' eklemi ile erilir Ge 8 00 iaesie gelir oksiyo karesel oksiyo olğ görüyorz Gelir oksiyo graiği içi b a , 600 y k b c a y Ge e köşe oktası 00, 600 olarak ele eilir; -kesişimleri Ge , 800 e 0,0 e 800,0 olarak ele eilir Böylece gelir oksiyo graiği yaa gösteriliği gibiir 0,

15 Ders 6 09 ç Kâr oksiyo K Ge Gi iaesi ile taımlamaktaır Marjial kâr oksiyo K' eklemi ile erilir Kâr oksiyo graiği aşağıaki gibiir y 00, ,0 00 0, ,-900 Kâr e zarar eile üretim seiyelerii b graikte görebiliyor msz? Ykarıaki iki graikte kolayca görülebileceği üzere, maksimm gelir, 00 ürü üretilice, 600 birim para olarak gerçekleşir Maksimm kâr, 00 ürü üretilice, 00 birim para olarak gerçekleşir e 0 ici ürüe sağlaacak kâr, yaklaşık olarak K ' YTL olacaktır Demek ki, 0 ici ürüe zarar eiliyor, acak b üretim seiyesie toplama eüz zarara geçilmemiş olğa ikkât eiiz Maksimm kâr gerçekleştikte sora üretile er ürü toplam kâra üşüşe ee olmakta, b eele marjial kâr egati olmaktaır

16 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Yaklaşık eğer e marjial eğer yglamasıa bir örek aa eriyorz Örek 7 Yei basıla bir kitap bi aet satıyor t aya 00t S t t 0 a S ' t yi blz b S 0 e S '0 eğerlerii blz e yormlayıız c S '0 kllaarak ici ayı soa yapılacak satışı tami eiiz Çözüm a S ' t 00t t 0 00t 00 t 0 t b S 0 B eğer, 0 aya 000 aet kitap satılığıı gösterir S' 0 97 eğeri e ici ay boyca yaklaşık 9 7 kitap satılığıı 600 gösterir c 0 aya satıla kitap sayısı 000 aet e ici ay boyca satıla oy sayısı yaklaşık 9 7 aet olğa, ici ayı soa, yaklaşık S 0 S' bi, yai 7 aet kitap satılır Gerçek eğer S 68 bi ir

17 Ders 6 Problemler 6 Aşağıaki türeleri esaplayıız a içi b y π içi y c y içi 6 ç e 7 g 0 y 6 7 Aşağıaki türeleri esaplayıız a - içi b c içi ç içi olğa göre i graiğie,0 oktasıa teğet ola oğr eklemii yazıız olğa göre i graiğie, oktasıa teğet ola oğr eklemii yazıız y i graiğie e teğet ola oğr eklemii yazıız 8 a b c 6 Aşağıa erile oksiyoları graikleri üzerieki agi oktalara teğet oğrları yatayır? a b c 7 Y-eksei üzerie areket ee bir esei aıa zama saiye ile e zaklık satimetre ile ölçülsü blğ oktaı oriatı 8 7 olarak eriliyor a Alık ız oksiyo blz b e aıa ızı blz c Hızı sıır olğ aları blz 8 a ' a a a yaklaşık eğer ormülüü kllaarak aşağıakiler içi yaklaşık eğerler blz a b 70 c 7998 ç 7

18 Türe Hesabı e L Hospital Kralı 9 Bir irma otomobiller içi otomatik ites kts üretmekteir Aya aet ites kts üretiliği takire toplam gier Gi YTL olarak eriliyor Ba göre a Marjial gier oksiyo blz b Gi 00 ü blz e blğz soc yormlayıız c 0 ici ites kts üretmek içi gerçek gieri esaplayıız e blğz soc ba öceki şıkta blğz marjial gier ile karşılaştırıız 0 tae rayo satılırsa ele eile gelir Ge YTL olarak eriliyor a Marjial gelir oksiyo blz b Ge '600 e Ge '00 eğerlerii blz e b eğerleri yormlayıız tae otogra makiesi satılırsa ele eile kâr K YTL olarak eriliyor a Marjial kâr oksiyo blz b K '0 e K '0 eğerlerii blz e b eğerleri yormlayıız Dizüstü bilgisayar ürete bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae bilgisayar satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo 00 0 p bağıtısı ile e tae bilgisayarı üretimi içi toplam gier Gi YTL olarak eriliyor a Fiyatı göstere p yi i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b tae bilgisayar satılması rma ele eilecek gelir Ge i esaplayıız Gelir oksiyo Ge i taım kümesi eir? c tae bilgisayar satılması rma ele eilecek kâr K i esaplayıız Kâr oksiyo K i taım kümesi eir? ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyolarıı blz Gi '0, Ge'0, K'0 eğerlerii blz e yormlayıız Bir ürü üzerie çalışa bir irma, aet ürü üretip b ürüleri tamamıı satacağıı arsayarsa iyat talep oksiyo p e gier oksiyo Gi olacağıı tespit eiyor a Marjial gier oksiyo blz b Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz c Kâr e marjial kâr oksiyolarıı blz, kâr oksiyo graiğii çiziiz ç Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? 0 ici ürüe sağlaacak geliri e kârı yaklaşık eğerlerii blz Bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae ürü satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo p 000, 0 < < 00 e tae ürüü üretimi içi toplam gier Gi YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz c Kâr e marjial kâr oksiyolarıı blz, kâr oksiyo graiğii çiziiz ç Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? Gi '90, Ge'90, K'90 eğerlerii blz e yormlayıız

f (a+h) f (a) h + f(a)

f (a+h) f (a) h + f(a) DERS 7 Marjinal Analiz 7.. Marjinal Değerler. f fonksiyonunun (a, f(a noktasınaki teğetinin eğiminin f (a ve teğetin enkleminin e y f (a ( a + f(a oluğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h eğeri için f (a+h

Detaylı

limiti reel sayı Sonuç:

limiti reel sayı Sonuç: 6 TÜREV MAT Bara Yücel Taı: a, br veriliş ols. olak üzere : a, b R oksiyo ab, içi li liiti reel sayı ise, b liit değerie oksiyo oktasıdaki türevi deir ve d dy, ya da biçiide gösterilir. d d Ba göre, li

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını DERS 6 ürev 6 ürev y enklemi ile verilen onksiyon ve ir a sayısı üşüne nin a civarınaki eğişim oranını a a olarak tanımlaığımızı anımsayalımaşağıaki şekle akarak oranı yormlamağa çalışalım a y a a Eğim:

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları

DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları DERS 0 Kapalı Türev, Değişim Oranları 0.. Kapalı Türev. Fonksiyon kavramının ele alınığı ikinci erste kapalı enklemlerin e fonksiyon tanımlayabileceğini görmüştük. F (, enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Titreşim Sistemlerinin Modellenmesi : Matematik Model

Titreşim Sistemlerinin Modellenmesi : Matematik Model Tireşim Sisemlerii Moellemesi : Maemaik Moel Müheislik sisemleri ile ilgili ireşim aalizlerii gerçekleşirme içi öcelikle sisem serbeslik erecelerii yapılacak ireşim aalizi ile uyumlu olarak emsil eecek

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Değişim Oraı: oksiouu değişimii ile, i değişimii İle östere. Değişim oraı olur. Diğer tarata olduğuda, Değişim oraı ve 0, alalım. Örek: Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol olur. 0,

Detaylı

Dalgalarda Kırınım ve Girişim. Test 1 Çözüm. 3. fant. m dir. Young deneyinde saçak genişliği Dx = L d. P ve A 0

Dalgalarda Kırınım ve Girişim. Test 1 Çözüm. 3. fant. m dir. Young deneyinde saçak genişliği Dx = L d. P ve A 0 34 Dalgalara Kırıı ve Girişi Test Çözü 3.. kayağı tek yarık pere A x kayağı x y Youg eeyie saçak geişliği Dx = ir.. Tek yarıkta saçak geişliği Dx = ir. Bu bağıtıya göre, yarık geişliği ile saçak geişliği

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

DĐNAMĐĞĐNDE BELĐRSĐZLĐK ĐÇEREN BĐR UÇAĞIN BOYLAMASINA HAREKETĐNĐN DAYANIKLI DENETĐMĐ

DĐNAMĐĞĐNDE BELĐRSĐZLĐK ĐÇEREN BĐR UÇAĞIN BOYLAMASINA HAREKETĐNĐN DAYANIKLI DENETĐMĐ DĐNAMĐĞĐNDE BEĐRSĐĐK ĐÇEREN BĐR UÇAĞIN BOYAMASINA HAREKEĐNĐN DAYANIKI DENEĐMĐ Güyaz ABAY Ahmet UÇAR Fırat Üiersitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, Elektrik-Elektroik Müh. Aa Bilim Dalı, 39 Elazığ e-posta: g_ablay@yahoo.com

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 5. ÜNİTE: DALGALAR ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 5. ÜNİTE: DALGALAR ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINI ONU ANATII 5. ÜNİTE: DAGAAR ETİNİ e TEST ÇÖZÜERİ 31 5. Üite 1. ou Etkilik C i Çözümleri c. 1. Soruda e dalgalarıı hızı eşit erilmiş. Ayrıca şekil icelediğide m = 4 birim, m = 2 birimdir. Burada;

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

(c) λ>>d. (b) λ d. (a) λ<<d

(c) λ>>d. (b) λ d. (a) λ<<d 1. Geometrik Otik Geometrik otik düzgü düzlem elektromayetik dalgaları arklı malzemeleri ara yüzeyide yasıma ve kırılmasıı ieler. Pratikte dalgaları madde ile etkileşmeside düzgü düzlem dalgalarda bahsedemeyiz.

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl: 2011 113-124

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl: 2011 113-124 EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 STURM LİOUVİLLE FARK OERATÖRÜNÜN SEKTRAL ÖZELLİKLERİ SECTRAL ROERTIES OF THE STURM LIOUVILLE DIFFERENCE OERATOR Ateki ERYILMAZ * e Bileder AŞAOĞLU

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2.

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2. Bölüm 3 Türev Kuralları Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, ir. x [cf(x)] = c x f(x) Kural 2. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x) ± g(x)]

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2:

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2: MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK : ÖRNEK 2:, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullaarak rakamlar birbiride farkl ola, üç basamakl ve 780 de küçük kaç de iflik say yaz labilir? A) 6 B) 2 C) 36 D) 30 E) 2 (999

Detaylı

DENGELEME PROBLEMİNE HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI

DENGELEME PROBLEMİNE HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI ÖE MMOB arta ve Kaastro Müesler Oası ürkye arta Blsel ve ekk Krltayı Mayıs Akara DENGELEME PROBLEMİNE EDEF PROGRAMLAMA AKLAŞIMI Mstaa ŞİMŞEK arta Geel Kotalığı Akara staassek@gkltr B çalışaa; e küçük karelerle

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru,

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04 İşaat projelerii içi fiasal ve ekoomik aaliz yötemleri İşaat projeleri içi temel maliyet kavramları Yaşam boyu maliyet: Projei kafamızda şekillemeye başladığı ada itibare başlayıp kullaım ömrüü tamamlayaa

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

KAPALI DEVRE BAKIR BORU VE LEVHALI TERMOSİFON AKIŞLI GÜNEŞ TOPLACININ ISIL ANALİZİNİN DENEYSEL VE ANALİTİK ARAŞTIRILMASI

KAPALI DEVRE BAKIR BORU VE LEVHALI TERMOSİFON AKIŞLI GÜNEŞ TOPLACININ ISIL ANALİZİNİN DENEYSEL VE ANALİTİK ARAŞTIRILMASI Osmagazi Üiversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XVIII, S.1, 005 Eg&Arch.Fac.Osmagazi Uiversity, Vol..XVIII, No:1, 005 APAI DEVRE BAIR BORU VE EVHAI ERMOSİFON AIŞI GÜNEŞ OPACININ ISI ANAİZİNİN DENEYSE VE ANAİİ

Detaylı

Kırsal Kalkınma için IPARD Programı ndan Sektöre BÜYÜK DESTEK

Kırsal Kalkınma için IPARD Programı ndan Sektöre BÜYÜK DESTEK KAPAK KONUSU Kırsal Kalkıma içi IPARD Programı da Sektöre BÜYÜK DESTEK Kırsal Kalkıma (IPARD) Programı Kırmızı Et Üretimi ve Et Ürülerii İşlemesi ve Pazarlaması alalarıda gerçekleştirilecek yatırımları

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

vor vsu n Sini 2 = n 12 = sabit ; Sinr n1 Sini n = Sinr Sinr = Sini

vor vsu n Sini 2 = n 12 = sabit ; Sinr n1 Sini n = Sinr Sinr = Sini KIRILMALAR Gülük hayatta çok sık rastladığımız ve gözlemlediğimiz bir olaydır kırılma. Bir su kuyusua baktığımız zama kuyuu dibii daha yakıda görürüz. Çay bardağıdaki kaşığı bardak içideyke kırık gibi

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr. Galip Caever Korol Siemleri Taarımı Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır.

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır. C) ELEKTRİKSEL POTNSİYEL ENERJİ: Şekil 1 eki +Q yükü, + yükünü Q. F k kuvveti ile iter. Bu neenle + yükünü sonsuzan ya a topraktan noktasına getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılır. Bu iş,

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı