DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI

Transkript

1 Ercie Üiveritei Mühedilik Fakültei Makia Mühediliği Bölümü DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Doç.Dr. Sebahatti ÜNALAN Kaeri, Elül

2 BÖLÜM I. GİRİŞ. ROBLEM ve DİFERANSİYEL ÇÖZÜM Mühedilik bir problemi çözümüe öelik araştırma apa bir heaplama bilimidir. Bir heaplama işlemi ie, değişik metodlar eticeide geliştirilmiş ola bağıtı-deklem-eşitlik imi verile, değişik fokioları kullaılmaıla mümküdür. Yai deklemiz bir problem çözümüde bahedilemez. Doğru-Yalış, Az-çok, Büük-Küçük gibi matıkal orumlar acak bir deklemi vereceği aıal ouca göre vea eğriel karekteretiğie göre apılabilir. Bu bağıtılar vea deklemler, deeel olarak bulumaı halide AMİRİK, ümerik metodlarla bulumaı halide NÜMERİK ve teorik tekiklerle elde edilmei halide ie ANALİTİK bağıtılar imii alırlar. Bir bağıtıı çözüm aralığı ve haaieti, ıırlı ve hataız olabileceği gibi, (-, ) aralığı ve belirli bir hata olabilir. Buu edei, bir deklemi üretimi ürecide bazı ö şartları kabul edilmei ve deklem üretimii imkaız kıla bazı parametreler ihmal edilmeidir. Dolaııla hem deklemleri kullaabilmek ve çözebilmek, hemde bu deklemlerde elde edilecek ouçları doğruluğu hakkıda orum apmak belirli bir bilgi birikimii gerektirecektir. Bu edele, heaplama işlemide kullaıla deklemleri aıl ve hagi şartlarda buluduğu çok öemli olacaktır. Başka bir ifadele, deklemleri aıl üretilildiğii ve çözüm metodlarıı e olduğuu bilimei mühediler içi vazgeçilmez bir aşamadır. Bu deri amacı, bahedile deklemlerde TEORİK ve NÜMERİK çözümleri ugulaabileceği temel apıı oluşturulabilmei içi gerekli ola matematikel ve temel fiziki tekikleri vermektir. İlave olarak, çözüm modeli olarakta iimledirilebilecek temel apıı ürüü ola deklemleri aıl çözüleceği oruuda cevaplaacaktır. Çözüm tekikleri ve çözümü ugulaacağı temel apı, tam olarak doğru olabileceğı gibi belirli bir hata paıı başta kabul ederek aklaşık eticeler de verebililecektir. Öemli ola bu hataı problem üzeride etkiii mühedilik açııda ihmal edilebilir eviede olmaıdır. Bu edele bir mühedi kei çözümleri aıda aklaşık çözümlerle de ilgilee kişidir. Çözüme ulaşma oluda, elerde vazgeçileceğii ve bu vazgeçile parametreleri ouç üzerideki etkii tahmi edebile matematik ve fizik adamıdır. Mühedi başka bir ifade ile matemetikel ve fizikel olarak doğru olabile bir çözümü mutlaka bulmak içi zorulu olarak kabul edile bir hataı, çözüm oraıda ouç üzerie etkiii aıtabilecek kadar, ilgili problemi gereği ola fizikel ve matematikel bilgie ahip ola kişi demektir. Diğer bir bakış açııla, mühedi problemi e kola, mümkü ola e doğru şekilde çözüp, bulua eticeleri geçerliliğiide tai edebile kişidir. Böle bir kabiliet ie acak matematiel ve fizikel bilgileri olarak tam olarak bilimeile ve buları harmalamaıla mümkü olabilir. Souçta, probleme ve problemi fiziğie ola hakimiet, pratik mühedilikte oluşabilecek arızaları vea üretim hatalarıı medaa geliş ebeplerii kola bir şekilde belirlemeie ve e kıa zamada arızaı giderilmeie de ardımcı olacaktır. Örek-: İlk hızı m/ ola maddeel okta, a şeklide zamaa bağlı ivme ile i(.5 t) hareketie devam etmektedir. Hareketi zamaa bağlı hızıı vere deklemi buluuz. Deklemdeki t i birimi aiedir.

3 dv Çözüm : a, ie hız dv a ivmei zama üzeride itegraouda V t buluabilir. dv itegrali i(.5 t) hareketi zamaa bağlı hız deklemii verecektir. Bu itegrali çözümü ile - araıdaki herhagi bir t zamaı içi geçerli VV(t) şeklide bir deklemi verecektir. Acak verile itegral çözülemee bir itegraldir. Dolaııla VV(t) şeklide bir bağıtı üretilemeecektir. Buda hareketi hızıı heaplaamamaı maaıadır. Bu aşamada tam bir çözüm erie aklaşık bir çözüm düşüülebilir. Bu aklaşık çözümü biricii aalitik olarak çözülemee itegrali aıal (ümerik) olarak çözülmeidir. İkicii ie, itegrali çözümüzlüğüe ede ola fokioel apıı belirli bir hata ile giderilmee çalışılmaıdır. İtegraldeki i(.5t) erie, küçük.5t değerleri içi.5t azılabilir. Bölece itegral çözülebilir hale döüşür. Bu aklaşımı doğruluğu, adaki şekilde gözleebilir. Zama-t i ile aie değerleri araıda i(.5t) ve.5t araıda büük bir uum vardır. İtegral eğri altıda kala alaı heabı maaıada geleceği içi - aie aralığıda her iki eğri altıdaki alada heme heme aı olacaktır. Acak, aiede büük zama değerleride aradaki fark büümektedir. Bölece - araıda kullaılmak üzere hareketi hızıı taımlaa bir deklem üretilebilir. V t dv i(.5 t) V(t) t / (t< ) t ie.5t i (.5 t).5 t t Çözülemee itegral ümerik ötemlerle çok haa bir şekilde çözülebilir. Nümerik çözüm ve V(t) t / deklemile değişik zamalar içi heaplaa hız değerleri mukaee edildiği zama de oraki hız değerlerii çok farklı olduğu görülecektir. Yadaki tabloda MATHAD ile apıla ümerik itegrao ve V(t)t / deklemi ile heaplaa hız değerleri görülmektedir. İfade edildiği gibi de ora hız değerleri araıda fark medaa gelmektedir. aie içi V(t)t / deklemide hız heaplaır- a % lik [( )*/5.5] bir hata apılmış olur. Değişik zamalar içi ümerik ve aalitik hız değerleri [m/] Zama Nüm.He. V(t)t / t [] Örek-: Aı kütlee ahip bir paraşütü ve bir çelik bilaı H kadar ükeklikte erbet bırakılmaı halide medaa gele hareketleri hız ve ol deklemlerii buluuz. Çözüm : Çelik bilaa ve paraşüte etkie kuvvetler Ağırlık (W) ve Hava Direç (F R ) kuvvetleridir. Hava direci cimi üze alaıla (A) akıda ilişkilidir. Büük üzelere büük direç kuvvetleri, küçük üzelere küçük direç kuvvetleri etkiecektir. Geel olarak akışka direç kuvvetleri akışka vea ciim hızıla.derecede (V ) oratılıdır. Bu durumda paraşüt ve çelik bila içi II.Newto Kauu ( Fma) ugulaıra ivme (a) şu şekilde buluur.

4 Fma, W-F R ma, Wmg ve F R AV ie AV a g m So ifadee göre ivme hızı fokioudur. Hareket üreice hız değişeceği içi ivme değişecektir. İvmede hıza ve hızda ola itegrao ile geçilebilir. a dv A m g V ie g dv A V m So itegrali alıabilmei değerii aıal değerie bağlıdır. aıı ciim geometriie, akışka ciie ve akış ciie göre.5 ile araıda değer alabilir. Bu durumda itegral alma işlemi geel maada mümkü olamadığı içi çözümüzlük var deilebilir. Çözüm içi çözümüzlüğe ebep ola direç kuvvet ihmal edilmei düşüülebilir. Çok küçük üze alaıa ahip çelik bila içi F R alıabilir. Bu durumda ivme erçekimi ivmeie eşit olup abit olacaktır. Yei durumda zamaa bağlı hız ve ol deklemleri dv a g ie Vgt ve gt olacaktır. Lie evieide fizik bilgii olarak verile bu deklemler adece direç kuvvetii aklaşık ıfır olduğu vea hareket ivmeii abit olduğu durumlarda kullaılabilir. Bir paraşüt hareketii aalizide kullaılamaz. Yukarıdaki öreklerde görüldüğü gibi problem çözümüde amaç e doğru ve e kola çözümü ugulamaktır. Tercih edile bir deklem vaıtaıla aalitik çözüm aramaktır. Sora ümerik ve gerekire deeel çözümler takip edilecektir. Geel olarak bir mühedilik problemii çözümü içi gerekli ola bir deklemi elde edilmei içi başlagıcıda oua kadar gelişe geel olalar Tablo-I deki akış şemaı ile açıklaabilir. Deeel ve ümerik çözümleri aşamaları Tablo- de açıktır. Bu çözüm metodları içi gerekli alt apı ve tekikler Ölçme Tekiği ve Nümerik Aaliz derlerile verilir. Aalitik vea teorik aalizi içere çözüm metodu ve aşamaları Diferaiel Deklemler Derii müfredatıı kapamaktadır. Bu deri kapamıı daha ii alaşılmaı bakımıda, aalitik çözüm içi bu tabloda görüe aşamalar daha detalı olarak alt bölümlerde icelemiştir:. Mühedilik roblemi: Makia mühediliğii ilgi alaı ola Eerji, Termodiamik, İmalat-Korükio, Makia Diamiği ve Mekaik aabilim dallarıı ilgiledire Diza, Üretim ve Kotrol heaplamalarıı tamamıdır. Hata taii, aar işlemleri, üretim oraı kotrol gibi tüm üreçler bir problemi kapamı dahilidedir. Bir problem bu aabilim dallarıda adece biri ile alakalı olabileceği, birde fazla alaıda kapaabilir. Bir problemi hem ümerik hem deeel vea hem teorik hemde deeel çözümü apılabilir. Dee reel ortamı temil edeceğide, eticeleri daha ağlıklı olacaktır. Acak deeel çalışma pahalı ve haa bir işlemdir. Bu edele literatürde teorii doğruluğu deeel çalışma ile doğruladıkta ora deeel çalışma tercih edilmez. Daha ekoomik ve kola ola aalitik ve ümerik çözümler ile etice araır.

5 Tablo - I : Bir Çözüm Deklemi Bulumaı içi Gerekli Aşamalar Mühedilik roblemi Dee Setii Hazırlamaı Deeel Çalışma ve Model Fizikel Büüklükleri Taımlamaı Teorik Çalışma Ugu Koordiat Sitemii Seçilmei Deeel Ölçümler ÖLÇME TEKNİĞİ Sıır ve Başlagıç Şartlarıı Belirlemei Diferaiel Deklemi Teşkil Edilmei Souçları Yorumu ve Hata Aalizi İSTATİSTİK METODLAR NÜMERİK ANALİZ Nümerik Çözüm Diferaiel Deklemi Çözümü Aalitik Çözüm Deeel Ölçümleri AMİRİK DENKLEME Döüştürülmei Tüm Souçları Fiziki Olarak Yorumlamaı. Teorik ve Deeel Neticeleri Mukaeei Örek: F [N] luk bir bama kuvveti zorlaa A keitli L uzuluğudaki makia elemaıı 5 o ve o ıcaklık ortamlarıda çalışmaı halide heaplamalarda dikkate alıacak kriterler eler olabilir. F L L F F L L < L Şekil değişmiş haller Flambaj hali 5 o (a) o (b) Değerledirme : Bu makia elemaıı F kuvvetii emietli bir şekilde taşımaı içi gerekli keit ve uzuluk değeri Makie Elemaları, Malzeme, Iı traferi ve Mukavemet bilgileri dahilide heaplamalıdır. Bu açıda kullaıla malzemei emietli gerilme değerleri F i ebep olduğu baıcı ve L uzuluğuu maruz kaldığı burkulmaı (flambaj) karşılaacak eviede olmalıdır. Baıç ve burkulma teiride malzeme bir şekil değişimie maruz kalacaktır. Bu şekil değişimii 5

6 çalışıla ortam ve malzeme ıcaklığı ile akı bir ilgii vardır. a şıkkıda malzeme oda ıcaklığıdadır. Bu edele atomik apıda bir değişim gözlemez. Böle bir halde ıcaklık oucu mukavemette bir azalma vea platik-elatik şekil değişimii tehlikeide bahedilemez. Mukavemet heaplamaları içi L, A ve F ile malzemei emiet ıırıı belirlee gerilme değeri eterlidir. Bu edele adece mukavemet problemi olarak ele alıabilir. Oaki b şıkkıda malzeme ükek ıcaklıktadır. Bu edele atomik (kritalik) apı değişim göterebilir. a şıkkıa göre şekil değiştirme (elatik vea platik deformao) kabilieti daha fazladır. Bu edele ükek ıcaklık ortamıda çalışmak itemee eticeler doğuracaktır. Bu açıda b şıkkıda malzeme ek bir itemle oğutulmalıdır. Dolaııla mukavemet heaplarıa ilave olarak ıı traferi heaplamaları ve malzemei mikrokobik aalizide apılmalıdır. Örek olarak, mikrokopik apı YMK apıda HMK apıa kaabilir. Bu değişim malzemei ertlik, elektrik iletkeliği, ıı iletme kabilieti, daaımı gibi tüm özelliklerii değişmeie ede olabilir. Hatta oğutmaı temi etmek içi elema apııda medaa gelecek diza değişimleri, mukavemet aalizide tekrar dikkate alımalıdır. Soğutma içi elema içeriide oğtucu akışka kaalları açılmalıdır. Bu keitte ve diğer boutlarda değişime ede olacaktır. Dolaııla koular birbiride bağımız olmaıp, birbirlerile etkileşim halidedirler.. Fizikel Büüklükler: İlgili probleme etkii ola birimli ( temel birim: m; metre, o ; atigrad derece, ; aie ve kg; kilogram) vea birimiz bütü büüklüklerdir. Diğer bir ifade ile buluacak çözüm deklemide ve çözüm aşamaıda karşımıza çıkacak Sabit ve Değişkelerdir. Bu büüklükleri belirlemei ilgili problemi fiziğie hakim olmakla mümküdür. Bir probleme etkie fizikel büüklükleri ii belirlemei çözümü ıhhatii de direkt etkiliecektir. Yalış bir belirleme haaplaa ve gerçekte medaa gele değerler araıda bir farkı medaa gelmeie ede olacaktır. İi bir fiziki bilgi aı zamada pratikte medaa gelebilecek problemleri giderilmeiede ardımcı olacaktır. Fizikel büüklükler tepit edilirke probleme ola etkiide başlagıçta belirleebilmelidir. Bölece, kola çözüm açııda hagi fizikel parametreleri ihmal edilebileceği tai edilebilir. Çükü, fizikel büüklük aııı artmaı, problemi daha komple olmaıa ve aalitik çözümü daha zor olmaıa ede olacaktır. Hiç çözüm bulamamak erie, kabul edilebilir bir çözümü üretilmei mühedilik formaouu bir oucudur. Tablo II : Temel Fizikel Büüklükler, Sembolleri ve Birimleri Değişkeler Sembol Birim Değişkeler Sembol Birim Zama T S Atalet mometi I mm, kgmm Yol, m. İş, Eerji W,E Joule Hız V,u m/ Özgül ıı p, v j/kg.h. o İvme a, g m/ Iı iletim kataıı K,λ kw/m. Kuvvet F, N Iı taşıım kataıı H,α kw/m. Güç,W Kw,BG Gerilme σ,τ dan/cm Sıcaklık T o, o K Kiematik vizkoite ν m / Iı Q,q Kcal, Joule Diamik vizkoite µ Kg/m.. Sürtüme Kataıı µ Boutuz Baıç,p N/m, Bar Birim uzama ε Boutuz Ya Kataıı k N/m Yoguluk ρ kg/m Momet M Nm Çökme miktarı δ Mm Kütle m Kg, g Makia mühediliği açııda öemli büüklükler, buları birimleri ve embolleri Tablo II verilmiştir. Fizikel büüklükleri problemi hiç bir afhaıda değişiklik götermee kımıa abit büüklükler imi verilir. Geelde, abitleri problem çözümüde bir zorlaştırıcı ve kolalaştırıcı bir etkii oktur. roblem çözümüde aıl etkili ola değişke fizikel büüklükler dir. E bait problem içi değişke aıı e az iki tae olmaı gerekirke, üt ıırı oktur. Fizikel 6

7 büüklükleri değişebilir kımı kedi araıda BAĞIMLI DEĞİŞKEN ve BAĞIMSIZ DEĞİŞKEN şeklide iki alt gruba arılır. Bu aırma işlemi problemi çözümüde etkilidir. Kola çözümü vere bir grublama tercih edilmelidir. Bağımız değişke geelde kefi değer alabile değişkedir. Bağımlı değişke ie bağımız değişkee karşı değer alabile bir değişkedir. ()f() fokioel göterimide bağımlı, ie bağımız değişkedir [Örek: ()i]. Eğer () şeklide [Örek: ()i] bir düzeleme apılıra, bağımlı bağımız değişkeler olacaktır. Öceki örekte verile hareket problemide, V hız bağımlı değişke olarak, t zama ie bağımız değişke olarak iimledirilir. Geelde, hagi zama da hız e olur? şeklideki oru orulmaı edeile VV(t) şeklide göterim gerekir. Eğer V ike t? oruuu cevabı öemli ie tt(v) şeklide bağımlı ve bağımız değişkeleri erdeğiştirmei de mümküdür. Örek: Atmoferde hızla hareket ede roketi uç kımıdaki ıcaklık değerii doğru olarak heaplamaı içi gerekli fizikel büüklükler e olmalıdır? Et kalılığı Hareket öü Roket içideki cihazlar Hava akım çizgileri Açıklama: Roketi atmofer içeriideki hareti eaıda hava taeciklerii akım çizgileri roketi uç kımıda dolaı şekilde göterile apıa ahip olur. Hava taecikleri roket ucuu çarparak hareket doğrultuua dik doğrultuda dağılırlar. Bu edele uç tarafta ürtüme medaa gelir. Bu ürtüme de aşırı ıımaa ede olur. Medaa gele ııma roket ucuu geometrii, roket hızı gibi değerlere büük orada bağlı olacaktır. Aerodiamik apıa ahip bir uç geometrii ile düzlem üzee (küt geometri) ahip bir uç geometrii aı etkie ede olmaacaktır. Hatta havaı ıcaklığı emi, gece güdüz gibi bir çok faktörle medaa gelecek ııma değerii etkileecektir. Medaa gelecek ıı uç taraftaki ıcaklığı ükelmei ile eticeleir. Sıcaklık ükelmei malzemei ergime ıırıı aşara itemee, roket hareketii boza etkileşimler medaa gelir. Burada amaç roket ucudaki ıcaklık değerii rokete ve roket içideki cihazlara zarar vermeecek bir eviede olmaıdır. Çükü, roketi hedefie varmada bozucu teiri altıa girmei roketi imal edilme düşüceie akırıdır. Sıcaklığı düşürülmei içi bir oğutma itemi düşüülebilir. Gerek ergime ve gereke oğutma problemleri içi roket ucudaki ıcaklık dağılımı bilimelidir. İtemee bir olaı medaa gelmemei içi roket ucudaki malzeme ciii ve et kalılığıı itee şartları ağlaacak derecede olmaı gerekir. Sıcaklık değerii heaplaabilmei içi deeel vea teorik çalışma ouda bir bağıtıı bulumaı gerekir. Elde edilecek bu bağıtı bulumaı gerekli vea kurulacak dee etide ölçülecek fizikel büüklüklere şular olmalıdır: Fizikel büüklükler : - Sıcaklık, T Değişke parametre - Roketi hızı, V Değişke parametre - malzeme ve malzemei ıı iletim kataıı, k Sabit parametre - roket ucuu geometrik apıı,a Sabit parametre - hava oğulugu, ρ Değişke parametre - hareket doğrultuu, Değişke parametre - ürtüme oucu medaa gele ıı, Q Değişke parametre - erçekimi ivmei,g Sabit parametre Bu büüklüklerde uç geometrii, malzeme ve erçekimi roketi hareketi üreice abit kalırke, diğerleri değişir. Çükü, malzeme apııı değişmei başlagıçta apıla heaplamalarıda 7

8 etkileecektir. Bu edele malzeme özellikleri hareket üreice abit kalmalıdır. Değişke büüklüklerde ıcaklık bağımlı, diğerleri bağımız değişke olarak iimledirilebilir. Çükü, TT(ρ,,Q,V) şeklide bir bağıtı araştırılıor. Bölece kefi ve bağımız ρ,, Q ve V değerlerie karşılık T i bağlı olarak hagi değerleri alacağı heaplaabilir.. Deeel Çalışma Oldukca karışık ve aalitik çözümü mümkü olmaa bazı problemlerde pratik heaplamalar içi kullaıla bir takım bağıtılar-deklemler deeel çalışmalar eticeide buluur. Bulara deeel olarak bulumaları ebebile AMİRİK BAĞINTI imi verilir. Böle bir bağıtıı bulumaı içi dee apa kişii ölçüm cihazlarıı kullaım kapaitei ve hata apma büüklüğü hakkıda uzma olmaı gerekir. Dee eti, oucu mümkü olduğuca doğru olmaı içi gerçek problemi küçük bir maketi olmalıdır. Aı zamada deeel ölçümler oucu bulumuş datalar ii bir itatikel bilgi ile değerledirilmelidir. Deeel çalışmalarla bulua bu bağıtıları kullaılabilme aralığı aalitik deklemlere göre oldukça ıırlıdır. Acak gerçek bir ugulamada (dee bir evi ugulama ahaı olarak alıabilir) bulumaı edeile eticeleri aalitik deklemlere göre daha ağlıklı olacaktır. Yiede her hal içi çok aıda apılmaı gereke deeleri getirdiği ükek maliet edeile teorik aalizi mümkü olmadığı vea büük orada hatalı olduğu hallerde deeel öteme başvurulur. Çükü, herhagi bir problemi deeel olarak aalizi çok kapamlı dee etii ve çok aıda dee apılmaıı gerekli kılar. Bir çok mühedilik problemii var olduğu düşüülüre ouza gide aıda dee eti ile acak tüm mühedilik problemleri çözüme kavuşturulabilir. Hiç üpheiz ki, ouza gide aıdaki dee eti ie o kadar büük aıda peroel ve maddi deteği gerekli kılacaktır. Yai, deeel çalışma acak, teorik aalizi ii eticeler vermediği, çözümüzlüğü olduğu durumlarda kullaılmalıdır. Güümüzde, mühedilik problemlerii çoğu teorik ve deeel eticeleri birlikte değerledirildiği özelliktedirler. Öreği, oğuluk, ıı iletim kataıı (katıları ıı trafer etme kabilietii göterir), ıı taşıım kataıı (akışkaları ıı trafer etme eteeğii göterir), vikozite (akışkaları ıvılık kabilietii göterir), erçekimi ivmei gibi fizikel büüklükler acak deeel olarak tebit edilebilirler. Buula birlikte, oğuluğu ve ıı iletim kabilieti deeel olarak belirlemiş bir metal plaka içeriideki ıcaklık dağılımı oldukca ii bir haaietle teorik olarak heaplaabilir. Verile bir deklemi ampirik olduğu, değişkeleri öüde ve üt olarak bulua abitleri çok küüratlı olmaıda alaşılabilir. İlgili kitaplarada, deklemi ampirik olup olmadığı belirtilir. Aı zamada ampirik deklemi ağlıklı kullaılma aralığı da belirtilmiştir. Deklemlerde bulua değişkeleri birimlerii e olmaı gerektiği de açıklamıştır. Örek: Aşağıda verile deklemleri aalitik ve ampirik olmaı durumua göre değerlediriiz. a) V(t)V o -at, (t)v o t-.5at : V o ilk hızıla başlamış bir hareketi zamaa bağlı hız ve ol deklemleridir. Bu deklemler ivmei abit olduğu ve hareketi avaşlaa bir karaktere ahip olduğuu götermektedir. Bu deklemler ile heaplama bağımız değişke ola zamaı < t < aralığı içideki tüm değerleri içi geçerlidir. Verile deklemler II.Newto Kauu ve itegraola buluduğu içi ANALİTİK DENKLEM lerdir. Dikkat edilire, deklemlerde abitler çok küüratli değildir ve V(hız), (ol), a(ivme) ve t(zama) değişkeleri içi bir birim mecburieti verilmemiştir. Sadece değişkeleri birimleri birbirlerile uumlu olmalıdırlar. Yol ve zama km (kilometre) ve h (aat) olarak verilmişe hız ve ivme km/h vea km/h ; cm ve (aie) verilmiş ie cm/ vea cm/ olacaktır. Bu deklemler, abit olmaıda dolaı, g erçekimi etkiide gelişe hareketler içide kullaılabilir. Bu durumda ag olacaktır. Bölece deeel olarak belirleebile erçekimi ivmei teorik bir aalizle birleştirilerek deklem üretimide kullaılabildiğie dikkat edilmelidir. 8

9 H b) o : Bu bağıtı atmoferi değişik ükeklikleride (H) ölçüle baıç To () değerlerii ümerik ve itatitik metodlarla deklem halie döüştürülmeide belirlemiş olup, havaı atmoferik baıcııı deklemel ifadeidir. Daha öce çeşitli ölçüm cihazlarıla baıç değerleri ölçülmüştür. Daha ora Nümerik Tekikler kullaılarak, ölçüm değerleri formülize edilmişlerdir. o ve T o deiz evieideki baıç ve ıcaklıklardır. Deklemdeki abitler çok küüratlıdır ve değişkeler H ve, ıraıla m ve Atm. birimleride olmak zorudadırlar. Başka birimlerde, (örek olarak mm ve N/m ), H ve i bu deklemde kullaılmaı alış etice verecektir. Bu deklem ile ağlıklı bir heaplama içi makimum H ükekliği m olabilir. Daha ükeklerde alış etice verecektir. Yai deklemi kullaımıa bir ıır getirilmiştir. Dolaııla bu bir AMİRİK DENKLEM dir. Bu deklemde ile metre araıdaki herhagi ükeklik azılarak, o irtifa evieideki baıç heaplaabilir..5 Teorik Çalışma ve Diferaiel Çözüm Teorik çalışma deeel çalışmaa göre ucuz olmaı edeile tercih edilir. Geelde bir teorii eticei deeel bir çalışmala doğrulamaa çalışılır. Bu doğrulama işlemi bir problemi birkaç ahaı içi içra edildikte ora ileri ürüle teorii doğru eticeler verdiği kaaatie ulaşılır. Teorik çalışmada problemi eri üzeride etkili ola fizikel büüklükler tebit edildikte ora, bu değişkeleri problemi geçerliliği üreice oadığı rol de tepit edilmelidir. Bu işlemde amaç fizikel büüklükleri abit ve değişke şeklide iki gruba aırmaktır. Değişke fizikel büüklükleri arta aıı teorik aalizi apılabilirliğii azaltır. Geel olarak, belirlemiş fizikel büüklükler araıda direkt olarak bir deklem türetmek pek mümkü değildir. Çükü direkt bir deklem azmak içi matike ve fizikel olarak gerekçe buluamaz. Dolaııla, bu gerekçeleri üretilebileceği ei ortamlar düşüülmelidir. Bu edele, çözülemee mühedilik problemleride geellikle üperpozio ilkei ugulaır. Bu preibe göre çözülemee bir problem çözülebilir daha küçük parçalara arılır. Arıla bu parçalar teker teker birbirleride arı olarak çözüme tabii tutulurlar. Daha ora ouçta elde edile çözümler belirli fizik kaidelerie göre toplaır. Bu şekilde aıl problem içi lazım ola geel çözüm elde edilmiş olur. arçalama işlemi maka vea tetere ile gerçekleştirile bir olgu olmaıp, çözüm gaei ile üretilmiş, haali-aal olarak düşüüle, aa probleme göre çok daha küçük ola problemciklerdir. Bahedile parçalama işlemii aıı arttıkca, düşüülecek parametre aııda azaldığı içi, elde edile eticei daha ağlıklı olmaıda özkouudur. Daha büük problemleri ve apıları daha küçük problemler vea apılar şeklide düşümei temel matığı, çözülebilirlik şartıa ulaşılabilmeidir. Souç olarak büük itemleri belirli aıda alt itemlere bölüerek, büük problemi N aıda küçük probleme arılmaı eatır. Şaet, çözülemee problemi ouza (N ) gide aıda parçalama ile çözümü araıra, elde edile her bir parçaa DİFERANSİYEL ELEMAN imi verilir. Başka bir ifade ile e küçük fizikel apıa diferaiel elema demek de mümküdür. Acak, e küçük olmakla birlikte hiçbir zama ıfır değere ahip değildir. Sıfıra e akı ve e küçük şeklideki bir orum daha doğrudur. Diferaiel elema, matematiel olarak, zama (t) içi (zamaı diferaiel elemaı vea diferaieli ); lim N O t t N şeklide bir örekle tarifleebilir. arçalama işlemi diğer bir taımla türetmedir. Bir fizikel büüklüğü e küçük parçaı, ou matematiel olarak türevi (igilizcede diferaiel) dir. Bu diferaiel elema duruma göre Diferaiel Aralık, Diferaiel Yüze vea Diferaiel Hacim iimleriide alabilir. Özellikle, termodiamikte ve akışkalar mekaiğide Kotrol Hacmi olarakda iimledirilir. Çözülemee problemde, parçalama işlemi bağımız değişkeler olarak belirlee fizikel büüklükler ea alıarak gerçekleştirilir. Geel olarak, çözüle problem bir geometrik problem ie, diferaiel elema ea problemi bir miik miatürü şeklide olur. Ea 9

10 problem bir prizma ie diferaiel elemada miik bir prizma, bir küre ie diferaiel elema küçük bir bir küre parçaı, ea problem bir ilidir ie diferaiel elema da küçük bir ilidir parçaı şeklidedir. Diferaiel elema ile aa problem üzeride etkili ola fizikel büüklükler araıda belirli fiziki kaidelere göre geliştirilmiş bağıtılara ie DİFERANSİYEL DENKLEM imi verilir. Geelliklede, deklem teşkil edilirke bağımız değişkei diferaiel boutuda, bağımlı değişkei aıl değiştiği araştırılır. Matıkal olarak e küçük apı içeriide bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi acak lieer olabilirler. Yai diferaiel boutta parobolik, iuziodal ve logaritmik eğriler vea değişimler medaa gelmez. Bu tür eğriler vea değişimler aıl problem boutuda medaa gelir. Bir problemde bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi herhegi bir eğridir. Bu eğrii bilie foiolar (iü, coiü, log, ta, ep vea porabolik) ciide açık ifadeii azılabilmei problemi çözülmüş olduğuu göterir. Mühedilik problemleride bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi başlagıçta bilimez. Dolaııla bir çözümüzlük mevcuttur. Acak, çözülemee bu problemi e küçük parçaı ola diferaiel elema içeriide tüm değişimler lieerdir. Başka bir bakış açııla, lieer bir değişim akalamak içi, item ouza gide aıda parçalara arılarak üperpoze edilir. Çükü, e bait eğri-e bait deklem-e bait değişim lieer (ab) bir deklemdir. Lieer deklemde daha bait ifade ie abitlerdir. Dolaııla çözülemee aa problemler üperpoze edilirke geel çözüm grubuu oluştura herhagi bir eğri çok aıda doğrulara bölümektedir. Souç olarak, e küçük parçalara aırarak medaa getirile çözüm tekiğie ie DİFERANSİYEL ÇÖZÜM deir. Bir diferaiel deklem, bildiğimiz klaik deklemlerde farklıdır. Direkt heaplamalar içi kullaılamazlar. Bu edele a ümerik olarak ada aalitik olarak tekrar çözülmelidirler. Daha öce verilmiş ola İtegraller e bait diferaiel deklemlerdir. d itegralide.5 içi e olmalıdır? oruu cevaplaamaz. Acak, bu itegrali çözümü ola.5 de,.5(.5) şeklide heaplama apılmaı mümküdür. Çükü,.5 ie d? oruu hiç bir zama etice bulamaz. Bilie d e küçük ama, ıfır olmaa bir büüklüktür. İtegralleri çözümüde karşılaşıla değişke döüşümleri, kımi itegrao, arım açı formülleri vb çözüm şekilleri gibi, diferaiel deklemleri çözümleride de çeşitli tekikler vardır. Diferaiel deklemleride, alıabile vea alıamaa itegrallerde olduğu gibi, aalitik olarak çözülebile ve çözülemee tipleri mevcuttur. Diferaiel çözümü alaşılabilmei içi aşağıdaki kiematik problemii üzeride durulmaıda büük fada vardır. Örek : İki değişik harekette olu zamaa göre değişimleri aşağıdaki şekilde verilmiştir. Bua göre hareketleri taımlamak içi gerekli ola bağıtıları taımlaıız. Hagi aralıklarda çözüm ağlıklıdır. Buluacak bu bağıtı bezer hagi problemlerde S(ol) kullaılabilir. gibi orulara cevapları mutlaka bilimei gereklidir. Eğriel Değişim (II.Hareket) S S θ Lieer Değişim (I.hareket) t t t(zama) Açıklama : Dikkat edilire bir heaplama içi mutlaka gerekli ola bir deklem vea bağıtı iteior. Alıda oruda Şekli azı ifadei edir oruua cevap iteior. Bu edele Bu bağıtı aıl olmalıdır? Naıl elde edilir? Bu şekle göre I. Harekette ol zamaa göre lieer olarak artmaktadır. Lieer bir değimi eğimi (θ) tüm t değerleri içi aıdır. Herhagi bir t aıdaki θ değeri buluura bu tüm t ler içi kullaılabilir. Şekilde S S tgθ azılabilir. Bu deklemdeki t t tgθ ol/zama kavramıa ugu olarak m/ birimie ahip olmalıdır. Dolaııla I. Hareket içi ve t böle bir kavramla birbirie bağlamakta ve bir dekleme döüşmektedir. Souç olarak I. Hareketi tam olarak taımlaabilmei içi ve t e

11 ilave olarak m/ birimie ahip ei bir fizikel büüklük gereklidir. Bu büüklüğe literatürde HIZ imi verilmiş ve V harfi ile imgeelleşmiştir. Neticede I. Hareketi deklemi, V bağımlı ve t bağımız S S S değişkeler olmak üzere Vt () t t t şeklideki olup tüm zamalar içi hareketi hızıı verir. Bu deklem eğimi abit olduğu, ai, olu zamaa göre düzgü değiştiği tüm hareketler içi geçerlidir. II. Harekette olduğu gibi ol zamaa göre düzgü değişmiora kullaılamaz. II. Harekette ie olu zamaa göre değişimi herhagi bir eğridir. Eğrii eğimi zamala değişmektedir. Dolaııla I. Hareketteki aklaşımla hızı bulmak mümkü değildir. Çükü, herhagi bir a içi bulumuş ola eğim diğer zama dilimleri içi alış olacaktır. Bu eğrii bilie fokioları çarpımı, toplamı vea bölümü şeklide direkt azmak, matıkal bir tabaı olmadığı içi alış olacaktır. Öreği, II. Hareket içi Vit lt vea V 5t -e t gibi bir taımlamalar doğru olmaacaktır. Çükü, Niçi böle bir fokio? oruu her eferide cevap bulamaacaktır. Bölece, II. Hareket içi bu oktada bir çözümüzlük mevcuttur. Çözmek içide hareket daha kıa üreli hareketciklere bölümelidir. VV(t) vea S S(t) şeklide bir bağlatı aradığı içi t bağımız değişke olarak tercih edilmelidir. Çükü, kiematik problemlerde herhagi bir adaki hız ve ol merak edilir. Çözüm içi II. Hareket ve 8 parçaa arılıra, aşağıdaki S-t grafikleri elde edilir. S(ol) ε Lieer değişim kabulu t t t t t(zama) I.hareketi parçaa bölümei S(ol) ε t t t t(zama) I.hareketi 8 parçaa bölümei I.hareketi çözümüde ve t araıda lieer bir değişim içi çözümü olabileceği oucu ortaa çıkmıştır. Bu edele, II.hareket çözüm gaeile daha küçük parçalara arılırke, zamaa göre değişimleri lieer olmaı preibi gözetilmelidir. II.hareket t lik zamaa ahip eşit hareketciğe bölüdüğü zama her hareketcik içeriide -t değişimii biraz daha bait olduğu görülecektir. Bu edele her dilim içerideki değişim lieer olarak kabul edilire, gerçek eğri ve lieer eğri araıda bir ε kadar Hata farkı medaa gelecektir. Bu hata kabul edilire her bir hareketcik içi I.harekette elde edile hız bağıtıı ugulaabilir. Bölece küçük hareket içi tae deklem ve hız değeri buluacaktır. Fakat, bu çözüm küçükte ola hatalı olacaktır. Bu hataı azaltmak içi çözüm düşüüle küçük hareket aııı artırılmaıdır. Bu amaçla dilim aıı bölüm aııı 8 olura, her bir hareketi zamaı t t / olacaktır. Buula birlikte lieer değişim ve gerçek değişim araıdaki farkta ε de arı arıa azalarak ε e düşecektir. I.hareket ugulamaıda elde edilecek hız ve deklem aııda 8 e çıkacaktır. Bu deklemler birbirie bağlı olup birii eticei bir oraki hareketciği iput bilgii olacaktır. Dolaııla hareketcik içi bilimeeli, 8 parçacık içi 8 bilimeeli deklem itemi ortaa çıkacaktır. Netice olarak, bölüm vea dilim aııı artmaı halide medaa gele hata azalacaktır. Yai gerçek ve lieer değişimler birbirie aklaşacaktır. Bu aklaşımda hareketle parçalama aıı arttıkca, gerçek değişimler çözüm içi olmaı arzu edile lieer değişimler birbirlerie aklaşacaktır şeklide geel ouç elde edilir. Buula 8

12 birlikte ele daha fazla bilimeeli deklem itemi elde edilmektedir. Bu deklem itemii çözümü arı bir zorluk olarak düşüülmelidir. Yiede, hata ıfır değildir. E az hata içi dilim aıı olabildiğice artırılmalıdır. Acak medaa gelecek çok bilimeeli deklem itemii çözümü bu artırıma egel olacaktır. Eğer parçalama aıı ouza gide miktarda büük alııra hata değeride ıfıra ve hareketciği zamaı gidecektir. Hareketciği medaa geldiği bu e kıa zama aralığı DİFERANSİYEL ELEMAN olacaktır. Souzluk matematikel ve fizikel olarak orumlaamaa bir büüklüktür., N, m/ vea o gibi ifadeler ölçüm aletlerii ve ia hafalaıı öteide bir olgudur. Bu edele herhagi bir ifadei ouz kabul etmek mümkü değildir. Acak, ouz vea taımız olmada öceki, taımlı ola o değere matematikte bildiğimiz LİMİT ile ulaşılabilir. Bu açıda II.hareket içi herhegi bir zama dilimide hız ifadei matematikel aklaşımla şu şekilde azılabilir:, parçalama aıı t S ds lim V t ε Bu proele bulua deklem DİFERANSİYEL DENKLEM olacaktır. Bu dekleme ulaşmak içi ugulaa ouz küçük parçalara aırma matığı ve üreci DİFERANSİYEL ÇÖZÜM olarak bilimektedir. İşlemlerdeki t ve S olu küçük zama ve ol, ve ds ie ouz küçük zama ve ol olarak iimledirilir. Yolu (S) diferaieli ds, zamaı (t) diferaieli, hızı (V) diferaieli dv ve ıcaklığı (T) diferaieli dt olacaktır. Bu o ifadede hızı, olu zamaa göre birici türevi olduğu oucu çıkarılabilir. Dolaııla, II.hareketi S S(t) fokiou belirleip zamaa göre türetilire hız bulumuş olur. Bulua bu deklem tüm hareketler içi geçerlidir. Yolu zamaa göre değişimi e olura olu bu deklemle cevap almak mümküdür. Acak, Çok bilimeeli deklem itemi aıl çözülecek? ve ukarıdaki ifadede S aıl çekilecel? oruları cevaplamalıdır. E az hata ile çözüm içi item e küçük parçaıa arılır; bua türev vea diferaiel, elde edile deklem itemi bir toplama işlemi gerektirir ki buada itegrao imi verilir. Başka bir ifadele birbirii teri ola, türev ve itegrao, çözüm içi bir itemi ouz küçük parçalara arılmaı ve buları tekrar toplamaı olarak tarifleebilir. Daha öce bahedile ve aıl problem üzeride etkili ola fizikel büüklükleri değişke olaları diferaiel deklemleri bağımlı ve bağımız değişkelerii medaa getirirler. Bu değişkeleri aılarıa göre diferaiel elema üzeride elde edilecek diferaiel deklemi iimledirilmei apılabilir. Bağımız değişke aıı ve bağımlı değişke aıı birer tae ie diferaiel deklem ADİ DİFERANSİYEL DENKLEM imii alır. Bağımız değişke aıı birde fazla ie KİSMİ DİFERANSİYEL DENKLEM, bağımlı değişke aıı birde fazla ie DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ imii alır. Hem bağımlı hemde bağımız değişke aıı birde fazla ie KİSMİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ özkouu olacaktır. Diferaiel deklem itemlerii çözümü içi bağımlı değişke aııca diferaiel deklem elde bulumalıdır. Adi diferaiel deklemler d, operatörü ile, kımi diferaiel deklemler operatörü ile göterilirler. Diferaiel deklemler aı zamada bağımlı ve bağımız değişkeleri diferaiellik dereceie (türev mertebeie) göre Mertebe olarak, bağımlı değişkei vea türevlerii e büük kuvvet dereceie görede Derece olarakta ııfladırılabilir. Çözüm aşamaıda bağımlı değişke ve türevleri eşitliği ol tarafıda, bağımız değişke ve abitler ie eşitliği diğer tarafıda toplaırlar. Bu işlem oucu, eğer eşitliği ağ tarafı ıfır ie Homeje, ıfır değile Homoje Olmaa (o-homoje) diferaiel deklem olarakta iimledirilir. Bu kavramlar diferaiel deklemi çözümüü de belirlemektedir. Bu taımlamalara ilave olarak, çözüm tekiğii ve diferaiel deklemi ilk bula bilim adamlarıı iimlerile aıla diferaiel deklemlerde mevcuttur.

13 Örek : Aşağıdaki diferaiel deklemleri iimlediriiz. ) d i : bağımlı, bağımız değişke..mertebe,.derece (lieer) o-homoje d ) d i : bağımlı, bağımız değişke..mertebe,.derece (lieer) o-homoje d ) d i : bağımlı, bağımız.. Mertebe,.derece (o-lieer) o-homoje d ) 5) d d i : bağımlı, bağımız değişke.. Mertebe,.derece o-homoje d : bağımlı, bağımız değişke.. mertebe,.derece homoje d 6) q k dt : Fourier Dif. Deklemi ; Iı traferide kullaılır.. mertebe.derece dr T T 7) : T bağımlı değişke, ve bağımız değişkeler. Kımi dif.deklem 8) 9) d dr : ve r bağımlı, t bağımız değişkeler. Adi dif.dek.itemi dr lt u v :u ve v bağımlı, ve bağımız değişkeler. Kımi dif.dek. itemi u v.5. Bazı Diferaiel Ugulamaları Diferaiel aklaşım deklem üretimii aıda varola bazı deklemleri çözümüde de kullaılır. Açık formu bilimee birde fazla bağımız değişkee bağlı bir bağıtıı diferaieli alıabilir ve bu diferaiel form miimum-makimum heabı vea başka çözüm amacıla kullaılabilir. Bir zz(,) foiouu. ve. türevleri şu şekildedir. z z dz d d d d z z d z z dd d d Özellikle etramum (miimum vea makimum) oktaları belirlemei oktaıda çok fadalıdır. Bir etramum oktada bağımlı değişkei diferaieli ıfırdır. Fakat bağımız değişke bu oktalarda keilikle ıfır değildir. Bölece ukaridaki örek içi z, d ve d azılabilecektir. Bu oktada bazı örekler şu şekilde verilebilir.

14 roblem-: Bir akış ortamıda akışka taeciklerii hızıı vere hız profilii vea hız alaıı belirleiiz. Taecikleri ivmei içi bir bağıtı türetiiz. z V Çözüm içi gerekli koordiat itemi karteze (::z) olarak eçilire akışka taeciklerii hızı, ve z e göre değişecektir. Hız bir vektörel büüklük olup her eke üzeride de izdüşümü medaa gelebilir. Yukarıdaki şekilde görüleceği üzere eçile oriji oktaıda uzaklaştıkca farklı hız değerlerie ulaşılacaktır. Akış kaalıı boutları, dolaıla akış keiti değiştiği içi kütlei koruumua göre hızda değişmelidir. Aı zamada her oktadaki hız değeri zamalada değişebilir. Bu durumda hız,,z ve t i fokiou olacaktır. V hızıı, ve z üzerideki izdüşümleri U, V ve W olarak göterilire hız içi şu işlemler apılabilir. V V V V V Ui Vj Wk, VV(,,z,t) ie dv d d dz azılabilir. z t Bulua diferaiel ifade e bölüerek ivme bağıtıı buluabilir. dv V d V d V dz V a ie z t V V V V a U V W z t So ifadedeki ilk üç terim kouma bağlı kovektif ivme, o terim ie zamaa bağlı ivme olarak biliir. Dolaııla hız abit olada akışkalar içi ivme ıfır olmaabilir. roblem-: 5 o lık ortam ıcaklığıda o lık ıcaklığa ahip m lük bir ıcak ıvıı aklamak üzere iki farklı geometrie ahip depo düşüülmektedir.. geometri R arıçapıda ve H ükekliğideki bir ilidirik apı,. geometri ie KLM boutlarıda prizmatik apıdır. Sıcak ıvıı oğumaıı e az düzede olabilmei içi düşüüle geometrileri boutları e olmalıdır. E az ıı kabı içi hagi geometri ugudur. R K H M L Açıklama: Iı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Iı akış doğrultuları şekilde oklarla göterilmiştir. Medaa gele ıı traferi Q.A.(T iç -T dış ).A.(-5) deklemile baitce heaplaabilir. Burada depo malzemeii ve ortamı bir abit değeridir. A ie ııı trafer olduğu üzedir. Bu durumda ııı e az miktarda kabı içi adece A üzei ile

15 oaabilir. Q ve A doğru oratılı olacağı içi, e az ıı traferi içi A değeride e küçük olmalıdır. m lük hacmi vere e küçük A üzei aramalıdır. Silidirik apı içi çözüm: π π πr πr A ı e küçük değerii bulmak içi türevi ıfır olmalıdır. A ı R e göre değişimi şekilde verilmiştir. Bu şekle göre R i 5 m civarlarıda A üze alaıı miumum bir değeri vardır. da A πr πr R dr R HAİM R H H ve A R πrh πr πr.6 Ar () r R π / 5.9m H. 88m, / πr π π A mi πr π (5.9) m R 5.9 rizmatik apı içi çözüm: HAİM KLM K ve A ( KL KM LM ) ( LM ) LM M L Öcekide farklı olarak burada A hem L hemde M i fokiou olarak elde edilebildi. Silidir içi adece R i fokiou olarak değişiordu. AA(M,L) ie diferaieli şu şekildedir. A A A A da dl dm ie dl ve dm,, olmalıdır. L M L M A ı e küçük değerii bulmak içi türevi (da) ıfır olmalıdır. Buu içide A ı L ve M e göre kımi türevleri ıfır olmalıdır. A ( LM ) M L A ie ( M ) M L L L A ( L) L, L L ie L m M M M / L [ ] M/ m ve K/(.) m dir. A mi (...)6 m m lük hacim ilidir apı ile daha düşük üze alaı ile ağlamaktadır. Silidiri üze alaı (55.58 m ), prizmaı üze alaıda (6 m ) daha küçüktür. Silidir apıı tercih edilmeile ıı kaçağıda %7.7 ([ ]/6) daha taarruf edilebilir. 5

16 roblem-: 5 m uzuluğudaki bir tel ile bir aha çevreleecektir. Dikdötge şeklide olmaı itee ahaı, alaıı makimum a b olmaı içi kear uzulukları e olmalıdır.? Çevreab5 m, a5-b AlaAa.b b(5-b) 5b-b da/db ie 5-b ie b5 m ve a5 m buluur.5. Seriler Aalitik vea teorik çözümleri üretilmeide e çok kullaıla ötemlerde biride eri açılımlardır. Değişik eri ifadeler olmakla birlikte e temel eri kuvvet erii olarak biliir. Bu erii bir o oktaı civarıda göterimi şu şekildedir: ( ) o ( ) ( ) o o ( ) o ( ) o... ( ) o Bu ifade. Derece bir poliomu göterir. Herhagi bir trigiometrik vea logaritmik fokiou kedii çarpımı vea toplamı bu açılım ile göterilebilir. Çözüm üreci içeriide fokiou kedii işlemi devamıı mümkü kılmaz ie eri açılımıla devam edilir. Bu erideki o çözüm ahaıı alt ve üt oktaları araıı vea çözüm civarıı tarif eder. Örek olmaı açııda bir itegrali alt ve üt ıırıı ortalamaı, bir araıla kök değerii aklaşık değeri vea bir türevi oktaı olabilir. Bu erileri o açılımı Maclauri ve o açılımı ie Talor erii olarak bilimektedir. ( ) () ' () ' '() ' ''(). ( IV ).. ( V ) ( ) ()! ( ) ( o ) '( o )( o ) ''( o ) ( o ) '' '( o ) ( o).... ( ) ( o ) ( o )! Bu açılımlar ardımıla çözümüzlüğe ebep ola bir türevleebilir bir fokio poliom halie döüştürülerek çözümüzlük aşılmaa çalışılır. roblem: Şekilde görüle taralı alada Z vektörü düzlemel değişim götermektedir. Koordiat itemii (:) eçerek diferaiel elemaı oluşturuuz. Seriler ardımıla d.d lik diferaiel elamaı ıırları araıda bir bağıtı geliştiriiz. d d d d Z Z Z Z Diferaiel Elema Diferaiel üze d d Z?? 6

17 Çözüm içi taralı ala diferaiel üzelere bölümüştür. Souza gide aıda ola diferaiel üzelerde bir taei ele alıarak itee bağıtı kurulabilir. Bu elemaı koordiatları ( : ) ve ( d: d) olacaktır. Buradaki,, ve değişke oldukları içi eçile bir elema tüm diferaiel elemaları temil edecektir. Diferaiel elemaı bir üzeideki ( : ) vea girişideki değerler Z ve Z ie karşılık üzelerdeki ( d: d) vea çıkıştaki değeri edir? Bu oru diferaiel elema üzeride deklem üretimide, özellikle ürekli ortamlar içi (ıı akışı vea akışka akışıı oluşturduğu ortam katı ciimler gibi belirli bir ııra ahip olmadığı içi ürekli ortam olarak iimledirilir) öemlidir. Naıl bir eğri değişimi ile iki ıır birbirie bağlamaktadır. Bir üzedeki Z ve Z değerleri hagi fokioel değişimle diğer üzelere ulaşmaktadır. Bu oru eri açılım ile cevaplaabilir. Sadece diferaiel elema içi değil, tüm itemler içi bir değişimi eri ile ifade etmek mümküdür. Çükü tüm fokiolar erie açılabilir. Diferaiel elema üzeride ve olduğu içi Talor Serii bu amaçla kullaılabilir. Daha öce verile eride erie Z azarak ve öüdeki değişimler Talor Serii belirlemiş olur. Acak Z hem hemde ile değiştiğide türevler kımi türev olacaktır. Bu durumda Z i ve e göre ve daki Talor açılımları şu şekilde olacaktır: Z( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o ) o o.! Z ( ) Z ( ) ( )... Z( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o ) o o.! Z( ) Z( ) ( )... Daha öce diferaiel elemaı ouz küçük olduğu ve içeriideki tüm değişimleri lieer olduğu ölemişti. Dolaııla ukarıdaki ifadede, Z ve e göre lieer olarak artacağı vea azalacağı içi, Zab ve Zcd ie.türev abit olacaktır. Daha ükek mertebede türevler bu durumda ıfır olacaktır. Bölece ukarıdaki açılımlar şu şekle döüşürler, Z ( o) Z( o ) Z( ) Z( o) ( o), Z( ) Z( o) ( o) Bu ifadeler diferaiel elema içeriide Z i ve e göre değişimii götermektedir. ( : ) daki Z değerleri biliior kabul edilire, ( d: d) daki Z değerleri bu deklemler ardımıla belirleebilir. Bu amaçla, ukarıdaki deklemde d ve d azılmalıdır: Z ( o) Z( o) Z( o d) Z( o) ( o do), Z( o d) Z( o) ( o do) Bulua o ifadelerde gerekli oketmeler apılarak ve eide düzeleire Z ( o) Z( o d) Z( o) d, Z( o) Z( o d) Z( o) d buluur Bulua ouçlar mühedilikte kullaıla değişik fizikel büüklükler içi gemelleştirilebilir. Örek olarak diferaiel elemaı bir üzeideki gerilme σ ie d kadar ve d kadar oraki değerleri şöledir. σ ( ) σ ( ) σ( d) σ( ) d σ( d) σ( ) d Bir hava akımıda akış ıcaklığıa ve baıcıa bağlı olarak hava oguluğu çok değişecektir. (:) düzlemide hava oğuluğu heabı apılmak iteire ukarıdakie bezer işlemler apılır. Direkt bir deklem azmak mümkü olduğu içi, akış ortamı bir deklemi azılabileceği 7

18 diferaiel elemalara bölüür. Elemaı bir üzeideki belirli kabul edilerek diğer üzeideki oguluklar azılabilir. Yoğuluk (ρ) içi bu değerler; ρ( ) ρ( ) ρ( d) ρ( ) d ρ( d) ρ( ) d Diferaiel elema üzeride çeşitli fizikel kaular, kütlei koruumu, eerjii koruumu, II.Newto Yaaı vb kullaılarak ukarıdaki eşitlikler ile bir diferaiel deklem buluur. Bu diferaiel deklemi çözümüde heaplamalarda kullaılabilecek aalitik bağıtılar buluur..6 Başlagıç ve Sıır Şartları İtegralleri e bait diferaiel deklem oldukları oktaıda hareketle başlagıç ve ıır şartlarıı tarifi ve gereği itegrao işlemide verilebilir. Bilidiği gibi belirli itegrao (ıırlı itegrao) ve beliriz itegrao (ıırız itegrao) şeklide iki itegral alma ötemi mevcuttur. Diferaiel deklemleri çözümü daha ziade beliriz itegral çözüm matığı ile çözülürler. Dolaııla, diferaiel deklemleri çözümü eaıda da beliriz itegral çözümüde karşımıza çıka itegral abitlerie bezee diferaiel deklem abitleri karşımıza çıkar. Yai, itegrao işlemi vea diferaiel deklem çözümü oraıda elde edilecek çözüm deklemi bu abitleriide içerecektir. bir abit olup reel, tamaı, egatif, pozitif vea comple aıal karşılığı belirli olmaa büüklüktür. Souç olarak ümerik karşılığı belli olmaa li deklem ile direkt olarak aıal bir heaplama apılamaz. Örek olarak; d? ( de dolaı tam belli değil) Beliriz itegral ile adece bir abiti karşımıza çıkmaktadır. Diferaiel deklem çözümleride bu abitleri aıı daha fazla olabilir. Bu abitleri aıı diferaiel deklemi mertebeie göre değişir.. mertebe içi tae abiti,. mertebe içi tae abiti,. mertebe içi tae abiti buluur. Eğer bağımız değişke aıı bide fazla ie bu aılar bağımız değişke adedi ile çarpılmalıdır.. Mertebe, bağımız değişke aıı ola bir kımi diferaiel deklemi abiti aıı tür. İşte bu abitlerii aıal karşılıklarıı bulumaıı ağlaa hallere BAŞLANGIÇ ve SINIR ŞARTLARI imi verilir. Görülebileceği gibi çözüm içi belirli olmaı gereke şart aııı abiti aııa eşit olmaı gerekir. Bu şartlar aı zamada diferaiel deklemi çözümü oraıda bulua aalitik ifadei ağlamaı gereke değerlerdir. Bir oktada çözüm deklemii fiziki olarak doğru olup olmadığı hakkıda karar vermemizi ağlaa e temel büüklüklerdir. Eğer bu şartlar erie gelmeze rahatlıkla çözümü alışlığıda bahedebiliriz. Diğer tarafta, diferaiel deklemim çözümü mutlaka bir koordiat itemie (karteze koordiatlar, ilidirik koordiatlar vea küreel koordiatlar ) göre apılmak zorudadır. Her koordiat itemi mutlaka bir oriji oktaıa ahiptir. Başlagıç ve ıır artları tarifleirke bu oriji oktaı ve koordiat itemii tipi dikkate alımalıdır. Eğer proplem geometrii üzerideki oriji oktaı er değiştirire, başlagıç ve ıır şartlarıı değeride değişecektir. Bu şartlar, özellikle kımi diferaiel deklemleri çözümüde çok etkilidirler. Çözüm fokiou buluabilmeie rağme, başlagıç ve ıır şartları şartlar ağlaamadığı içi çözümüzlük mümkü olabilmektedir. Souç olarak başlagıç ve ıır şartlarıı bilimei vea problem üzeride çıkarılabilmei gerekir. Diferaiel deklemi bağımız değişkei zama ie bulumaı gereke şart BAŞLANGIÇ ŞARTI, bağımız değişke geometri vea bout ie bulumaı gereke şart SINIR ŞARTI olarak iimledirilir. Literatürde, kullaılacak şartları durumlarıa göre problemler SINIR DEĞER ROLEMİ vea BAŞLANGIÇ DEĞER ROBLEMİ olarak da iimledirilebilir. Bir problem adece ıır vea adece başlagıç şartı gerektirebileceği gibi her ikiiide birde iteebilir. Bu şartlar problemi apııda elde edilir. İi tebit edilmeleri çözümü ağlığı üzeride müpet öde etkili olacaktır. Bu şartları alaşılmaı içi, makie mühediliği eğitimi ürecide mutlaka 8

19 görülecek e temel kouları ihtiva ede, aşağıdaki ugulama problemlerii ii aaliz edilmeide fada vardır. Bu problemlerde ilk öce diferaiel deklemi medaa getirilmei araştırılacak daha ora başlagıç ve ıır şartları buluacaktır. E o olarakta, elde edile diferaiel deklemleri çözümüle bulumaı gereke eğriler araştırılacaktır. Bulua diferaiel deklemleri belirlee ıır vea başlagıç şartları vaıtaıla çözümleri ileriki bölümlerde verilecektir. ROBLEM-: L kalılığıdaki levha vea duvarı iki üzeideki ıcaklıklar T ve T dir. Bu ıcaklık değerleri T >T şeklide birbiride farklı olarak verilmiş ie levha-duvar içeriide geçe ıı miktarıı ve levha-duvar içeriideki ıcaklık dağılımıı problem üzeride etkili ola fizikel büüklüklere bağlı olarak buluuz. Başlagıç ve ıır şartlarıı belirleiiz. Doğru olmaı mümkü olabilecek vea beklee çözümler eler olabilir? T q Iı akış Doğrultuu T T a b Duvar vea Levha T T c L L Duvar içeride ıcaklık değişimi Beklee ıcaklık eğrileri roblemi etkilee Sıır Şartları Fizikel büüklükler: oriji oktaı olda oriji oktaı ağda. Trafer ola ıı mıktarı ; q. ıe TT ıe TT. Sıcaklık ; T. L ie TT L ie TT. Malzeme (oğuluk, ıı iletim eteeği ). Kalılık ; L 5. Zama ; t TT -T 6. Yüze alaı ; A Bir duvar vea levha ile iki arı ıcaklığa ahip iki arı ortam oluşturulmuştur. Termodiamik kaulara göre iki ortam araıda ıı traferii olabilmei içi ortamlar araıdaki ıcaklık farkıı ıfırda farklı olmaı gerekir ( TT -T ). Iı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Böle bir durumda iki ortam araıdaki levha vea duvar üzeride bir miktar ıı geçecektir. Bölece duvarı bir üzei T, diğer üzei T ıcaklığıa ahip olacaktır. Duvarı vea levhaı iç bölgeideki ıcaklıklarda bu iki değeri araıda olacaktır. Iıı ükek ıcaklıkta düşük ıcaklığa akmaı gerektiği içi, duvarı iç oktalarıdaki ıcaklık değerleri T ve T de büük vea küçük olamaz. Bölece duvar içeriideki ıcaklık değişimi T() eğrii vea deklemi şekildeki a, b ve c eğrileride biri olacaktır. Doğru bir çözüm içi, çözüm fokiouu bu eğrilerde birii vermei gerekir. Aki halde, şekilde görüle keik çizgilerle verilmiş eğrileri taımlaa, miimum vea makimum oktalara ahip çözümler fizike alış olacaktır. Çükü, duvar vea levha içideki ıcaklık ükelire bir ıı üreticii, düşere bir ıı aborberi olmalıdır. Böle bir bilgi olmadığı içi doru ıcaklık dağılımları a,b ve c eğrileride biri olacaktır Her mühedilik problemii çözümüde mutlaka bir refera item olarak bir eke takımı (Karteze koordiat itemi, Silidirik vea küreel koordiatlarda birii) eçilmeli ve problem geometriii bir eride eke takımıı oriji oktaı olarak tercih edilmelidir. Çükü, bulumaı 9

20 gerekli başlagıç ve ıır şartları acak orijii belirli ola bir item içi belirleebilir. Aı zamada buluacak çözümü formuda eke takımıı tipide ve oriji oktaıı eride etkileecektir. Seçile eke takımıı her ekeie (her doğrultuua) fizikel büüklüklerde bir taei atamalıdır. Bu işlem apılırke mutlaka fizikel büüklükleri DEĞİŞKEN ola tipi ele alımalıdır. Yukarıdaki fizikel büüklükleri, ve 5 olu elemaları değişke olurke diğerleri abittirler. Kalılık abit değer gibi görülebilir. Acak duvar vea levha içeriide her okta içi bir ıcaklık değeri özkouudur. Yai ıcaklık duvar içeriideki oktada oktaa değişmektedir. Duvar içerii koordiat itemii boutu ile temil edildiğide T e göre değişecektir. Bölece çözüm düzlemi düşe doğrultu T ve ata ıı akış doğrultuu olacaktır. Bölece boutludeğişkeli (T ve ) çözüm araacaktır. Eğer öü q doğrultuua göre o açılı eçiledi T ve q hem hemde e dik doğrultuda ( doğrultuu) değişim götereceğide boutlu (T, ve ) bir problem medaa gelecekti. Malzeme, üze alaı ve trafer ola ıı abittir. Çükü, cözüm üreice vea çözüm alaıda değişmezler. Buula beraber ıcaklık kalılığı her oktaıda farklı değerler aldığı içi değişkedir. Başka bir ifade ile ıcaklık (T) kalılığa (L,) bağlı olarak değişmektedir. Eke takımı olarak, problem geometrii bir düzlem apı arzettiği içi, düzlemel karteze koordiatlar eçilmiş ve eke doğrultularıda T ve olarak alımıştır. Eke takımıı oriji oktaı olarak levhaı ol tarafı tercih edilmiştir. Bu şartlar altıda gerekli ola ıır şartları çıkarılmıştır. Eke takımı ve oriji oktaıı eri değiştirilmiş ola ıır şartlarııda değişeceği açıkca görülebilir. 5 olu fizikel büüklük ola zama da bir değişkedir. Acak, mühediliği pratik ugulamalarıda zamaa göre bir değişme itemez. Çükü, zama problemi çözümüü zorlaştırmaıı aıda, problem parametrelerii zamaa göre değişimi itemee ve beklemee bazı olumuzlukları beraberide getirir. Bu tür zamaa bağlı olarak değişmee problemler DAİMİ (tead) vea SÜREKLİ REJİM olarak iimledirilir. Zama bağlı olarak değişe problemlere DAİMİ OLMAYAN (utead) problem imi verilir. Şaet T ve zamaa bağlı olarak değişmiş oladı ekeleri biri zama boutuu temil ederke, ıır şartlarıa ilavete birde başlagıç artı gerekecekti. Bu problemi çözümüde amaç fizikel büüklükler araıda qq(t,,malzeme,a,t) () şeklide bir deklem geliştirmektir. Direkt böle bir bağıtıı azılmaı şu aşamada mümkü değildir. Acak bir deklemi vea bağıtıı geliştirilmeie ardımcı olabilecek, fizikel büüklükler araıda şu orumlar çıkarılabilir: - Levhaı vea duvarı kalılığı arttıkca q miktarı azalmalıdır. Yai q ile L ter oratılıdır. Fakat bu oratıı derecei biliemez. ( q / L m ; m: oratı derecei) - Termodiamiği. aaıa göre ıı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Başka bir ifade ile iki ortam araıda ıı traferii olmaı içi aralarıda bir ıcaklık farkıı ( TT -T ) olmaı gerekir. Bu ıcaklık farkı ıfır ie ıı traferi olmaz. Dolaıı ile ıcaklık farkı büüdükce trafer ola ıı miktarııda artmaı gerekir. Yai trafer ola ıı miktarı ıcaklık farkı ile doğru oratılıdır. ( q T ; :oratıı derecei) - Levha vea duvar malzemeii ıı iletme kabilieti ii ie daha çok ıı, kötü ie daha az ıı iletilmelidir. Yai malzemei ıı iletme kabilieti ıı ükü ile doğru oratılıdır. Malzemei ıı iletme kabilieti malzemee ait bir abit olup, deeel çalışmalarla düzelemiş tablolarda malzeme tipie göre eçilir. Bu değer literatürde ISI İLETİM KATSAYISI olarak bilimektedir. - A ıı akış doğrultuua dik üze alaı olup trafer ola ıı ile doğru oratılıdır. Yukarıdaki orumları ilk ikii birleştirilerek şu şekide bir deklem elde edilir.