İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CİSİM GENİŞLEMELERİ HAKKINDA. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mehmet Fatih UÇAR

Transkript

1 İSTANBUL ÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CİSİM GENİŞLEMELERİ HAINDA YÜSE LİSANS TEZİ Mehet Fath UÇAR Aabl Dalı : Mateatk-Blgsayar Prograı : Mateatk-Blgsayar HAZİRAN 007

2 İSTANBUL ÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CİSİM GENİŞLEMELERİ HAINDA YÜSE LİSANS TEZİ Mehet Fath UÇAR Tez Esttüye Verldğ Tarh : Hazra 007 Tez Savuulduğu Tarh : 6 Teuz 007 Tez Daışaı : Dğer Jür Üyeler : Prof. Dr. Hülya ŞENON Prof. Dr. Ahet FEYZİOĞLU Doç. Dr. Çğde GENCER HAZİRAN 007

3 ÖNSÖZ Yüksek Lsas tez olarak hazırlaa bu çalışa tarhçe, teel kavralar ve cs geşleeler bölülerde oluşaktadır. Bu çalışaı aacı cs geşleeler teors celeyerek Galos Teorse br grş yaaktır. Bu çalışaı hazırlaasıda eeğ geçe herkese teşekkürü borç blr. Eksk yaları ve gözde kaçış olablecek yalışlar kousuda hocalarıı hoşgörüsüe sığıırı. İstabul, Hazra 007 Mehet Fath UÇAR

4 İÇİNDEİLER ÖZET SUMMARY v v. BÖLÜM I. TARİHÇE. BÖLÜM II. TEMEL AVRAMLAR 6. BÖLÜM III. CİSİM GENİŞLEMELERİ. Cs Geşleeler İle İlgl Geel Blgler. Cebrsel Geşleeler 40. roecker Teore Solu Csler Parçalaış Csler 7 6. Galos Teors 8 4. SONUÇLAR VE TARTIŞMA 05 AYNALAR 06 ÖZGEÇMİŞ 07

5 Üverstes : İstabul ültür Üverstes Esttüsü : Fe Bller Aabl Dalı : Mateatk-Blgsayar Prograı : Mateatk-Blgsayar Tez Daışaı : Prof. Dr. Hülya Şeko Tez Türü ve Tarh : Yüksek Lsas Hazra 007 ÖZET CİSİM GENİŞLEMELERİ Mehet Fath UÇAR Bu çalışada aaç, Galos Teors teeller oluştura, cs geşleeler teors ayrıtılı br şeklde verek ve Galos Teorse br grş yaaktır. Bu aaç doğrultusuda I. Bölüde, cs teors tarhsel gelşde ateatkçler yatığı çalışalar ve katkıları yer alaktadır. II. Bölüde se cs geşleeler teorsde kullaılacak teel kavralar verlektedr. III. Bölüde cs geşleeler teors, ayrıtılı br şeklde ele alıaktadır. Bu bölüü. aragrafıda cs geşleeler le lgl geel blgler verlekte,. aragrafta cs geşleeler öel br sııfıı oluştura cebrsel geşleeler celeekte,. aragrafta roecker Teore verlekte, 4. aragrafta eleater sayılar teorsde öel souçları da katkısıyla, solu csler teors ele alıakta, 5. aragrafta arçalaış csler celeekte, 6. ve so aragrafta se Galos Teorse grş yaılaktadır. Aahtar eleler : Cs geşlees, Galos geşlees, Cs zoorfs

6 Uversty : İstabul ültür Uversty Isttute : Isttute of Scece Scece Prograe : Matheatcs-Couter Prograe : Matheatcs-Couter Suervsor : Prof. Dr.Hülya Şeko Degree Awarded ad Date : MS Jue 007 SUMMARY FIELD EXTENSIONS Mehet Fath UÇAR The object of ths thess s to gve the theory of feld extesos whch gves the exosto to Galos Theory. For ths urose, Chater I a hstorcal troducto s gve, Chater II soe fudaetal cocets whch are ecessary the teory of feld extesos are gve. Chater III whch s the last chater of the thess, cossts of sx aragrahs. I the frst aragrah the geeralcocets about feld extesos are gve, the secod aragrah the algebrac extesos are studed, the thrd aragrah roecker s Theore s roved, the fourth aragrah the theory of fte feldes s cosdered, the ffth aragrah the slttg felds are studed ad the last aragrah a troducto to Galos Theory s gve eywords : Feld exteso, Galos exteso, Feld soorhs

7 BÖLÜM I. TARİHÇE Mateatk tarhde uzu br süre cebr, oloları kökler üzerde çalışa olarak alaşıldı. Bu tab k, verle özel br olou kökler üerk hesabıda açıkça ayırdedleldr. Newto etodu, oloları kökler hesalaasıda e y ble yötedr. ökler gerçek değer hesalaa ş, kc derecede öel aaçtı. Cebr asıl aacı, kökler yaısıı alaaktı: ökler katsayılara asıl bağlıdır?, ökler br forülle verleblr? gb. Tab k, oloları kökler varlığıyla lgl olarak da bezer br soru söz kousudur: Her olou br kökü var ı? Burada üstü kaalı olarak, oloları katsayılarıı reel sayılar olduğu alaşılırdı. A. Grard (595 6), herhag br sat yöte vereksz, her olou (utlaka koleks sayılar kües olası gerekeye) uygu br sayı kües çde br köküü buluduğuu fade ett. R. Descartes ( ), c br olou br kökü se x c bu olou br böle olduğuu ler sürdü ve özel br aralığı çdek reel kökler sayısıı belrleek ç br kural verd. L. Euler (707 78), her olou koleks br köke sah olduğuu açıkladı. Bu souç, kedse hç uygu olaya br sle, cebr esas teore olarak adladırıldı. Euler, bu teore dereces 6 ola ololar ç satladı. J.R. D Alebert (77 78), J.L. Lagrage (76 8) ve P.S. Lalace (749 87) se buu satlaak ç grşlerde buludular. Gauss u eleştrdğ gb, oları satları aslıda uygu br sayı küesde br kökü varlığıı kabul ed, o kökü de olduğuu gösterektedr. Gauss keds çeştl satlar verd k, bularda hçbr oder stadartlarda taae kabul göred. Buula beraber, Gauss, cebr esas teore geçerl sayıla lk satıı suuş olak gb br öee sahtr. roecker (8 89) 88 yılıda satlaış olduğu, herhag br olou uygu br sayı küesde br köküü buluduğua lşk teore, şu a geçerl ola esas teoredr. Bu teore, kökler varlığıı ükü kılar, fakat kökler yaısı hakkıda br açıklaa yaaaz.. derecede dekleler çözüü, çok esk uygarlıklar zaaıda blekteyd.. ve 4. derecede ololar, İtalya ateatkçler tarafıda celed. Scoe del Ferro (465 56), 55 yılıda x + ax = b şekldek. derecede dekle köklü fadelerle çözey başardı. 55 te se Tartagla (499/ ), x + ax = b bçdek. derecede dekle çözdü. G. Cardao (50 576),. derecede geel x + bx + cx + d olouda x yere x (b/) koyarak, bu olou, çde x l ter buluaya br oloa döüştürdü. Böylece, geellğ bozaksızı,. derece dekle x + x + q = 0 şeklde varsayarak, kökler ç q + q + + q q +

8 forülüü buldu. Bu forül, her e kadar Cardao forülü olarak blyorsa da, aslıda Tartagla ya attr. Tartagla bu forülü buldu, gzllk çde Cardao le aylaştı, fakat Cardao sözüü tutayarak, forülü 545 yılıda Ars Maga sl ktabıda yayıladı. Cardao yu bu çalışada özgü kıla se, geel. derece dekle drgeeeye bç dele x + x + q = 0 şekle döüştüres,. derecede br olou e fazla üç farklı köküü buluableceğ belrtes ve setrk ololara br grş yaış olasıdır. Cardao u ktabı, 540 larda öğrecs L.Ferrar (5 565) bulduğu, 4. derecede oloları kökler buluası le lgl br etod çerektedr. Bu kta, cebr gelşe büyük katkı sağladı. Cardao, tasavvur edleez gb görüle karaşık sayılarla ble şle yatı. Oda öcek ateatkçler, karaşık sayılara gereks duyaışlar, x = bçdek dekleler bastçe çözüleez olarak kabul etşlerd. Buula beraber, Cardao u forülüde, bütü kökler reel olsa ble, egatf br sayıı kareköküü alıası gerekyordu. Souç olarak, 6. yüzyılı lk yarısıda cebr kousuda öel lerleeler sağladı. 494 e kadar Fra Luca Pacol ( veya 57),. derecede br olou kök şaretler le çözüleeyeceğ dda ederke, 540 larda he. he de 4. derecede dekle, kök şaretleryle çözüldü. Br sorak aşaa se 5. derecede veya daha geel olarak,. derecede br olou kökler ç br forül bulak olacaktı. Dereces 4 ola dekleler başka çözüler, daha sora Descartes, Walter vo Tschrhaus (65-708) ve Euler tarafıda da verlşt. Adı geçe ateatkçler, 5. derecede br olou kökler ç br forül bulaya çalıştılar, fakat başarılı olaadılar. Buu üzere ateatkçler, 5. derecede br dekle kök şaretleryle çözülebles kousuda şüheye düştüler. Lagrage de, o zaaa dek ble bütü olo çözüü yöteler rdeledğ Réflexos sur la résoluto algébrque des équatos sl uzu çalışasıı yayıladı. Aacı, olo kökler buluası le lgl, ble bu yötelerde geel br çözü türetekt..,. ve 4. derecede oloları celeyerek, bu yöteler geel br res altıda tolaayı başardı. Br olou kökler, rezolvet adı verle br t büyüklüğü csde fade edlektedr ve t keds, ayı zaada rezolvet olou dele yardıcı br olou köküdür. Verle olou dereces se, rezolvet olou x ye göre dereces ( )! dr. O halde 4 ç yardıcı dekle dereces, verle olou derecesde daha küçüktür ve bu dekle, tüevarıla cebrsel olarak çözüleblr. Fakat 5 ç yardıcı dekle çözek, asıl dekle çözekte daha kolay değldr. Rezolvet, kökler br foksyou olu, bu kökler uygu erütasyoları le sabt kalır. Öreğ derece 4 se, r r + r r4 foksyou r, r ve r, r kökler, 4 aralarıda yer değştrdğ takdrde değşez. Lagrage böylece, uygu br söyleyş ve göster kullaaksızı, kökler erütasyoları le uğraşış, bugükü dlle,. derecede setrk gruta çalışıştır.

9 Lagrage, 4 durularıda rezolvet olouu, r ler verle olou kökler, α se x br kökü olak üzere, r + α r + + α r şeklde olacağıı belrtt. Bu şekldek br rezolvet, =5 ç geçerl değld, fakat farklı bçdek fadeler rezolvet olablrd. Lagrage, e tür fadeler rezolvet olableceğ kousuda çalışalar yatı. 799 da P.Ruff (765 8), 5. derecede geel dekle cebrsel olarak çözüüü ükü oladığıa lşk, çok tartışaya yol aça br sat öe sürdü. 86 yılıda Abel, bu kasızlık teore lk ta satıı verd. Bu sat, k kısıda oluşaktadır. İlk kısıda, rezolvetler geel yaısıı. ve 4. derece ç Lagrage ı öerdğ bçde olası gerektğ, kc kısıda se, 5. derecede br olou br köke sah olaayacağı gösterlektedr. Ayrıca, satsız olarak, derece 5 te büyük olası duruuda geel dekle cebrsel olarak çözüleeyeceğ ekleştr. Abel, hag özel dekleler kök şaretleryle çözülebleceğ de araştırdı. Bugükü dlle, br dekle kök şaretleryle çözülebles ç bu dekle Galos grubuu koütatf olası gerektğ fade ede br teore satladı. Bu yüzdedr k, koütatf grular ayı zaada abel grubu olarak da aılaktadır. Abel so olarak, geel dekle kök şaretleryle çözüleeyeceğ satladı. Geel olo, katsayıları bağısız değşkeler ola, ya bleyeler ola olodur. Abel teore, katsayıları karaşık sayılar ola ololar ç brşey fade eteektedr. Fakat, dereces 5 veya 5 te büyük ola, sabt katsayılı bazı olo dekleler, kök şaretleryle çözüleblektedr. Br dekle kök şaretleryle çözülebles ç gerekl krter edr? Bu soruu yaıtı, Frasız ateatkç Evarste Galos (8 8) tarafıda verld. Galos le brlkte cebr esas kousu, artık olo dekleler oldu. Galos, cebrsel yaıları (grular, halkalar, vektör uzayları, csler, vb) araştırılası alaıa gele oder cebr başlagıcıa dagasıı vuruş oldu. Galos, kısa ve draatk br yaşa sürdü. Makale yayılaaya lse öğrecs ke başladı (88). Olağaüstü br yeteeğe saht. Ecole Plytéchque e grek styordu, fakat k defa grdğ grş sıavlarıı kazaaadı. Daha sora söyledğe göre, başarısızlığıı ede, soruları çok bast olası edeyle cevalaaasıydı. Daha sora Ecole Norale e grd (89), fakat orada da öğrec gazetesde yayılaa br yazı yüzüde atıldı. Adı gtgde kötüye çıkıştı. Br tarafta ateatk dersler vererek hayatıı kazaaya çalışa Galos, br tarafta da syasete bulaşıştı. 80 Devr'e Cuhuryetç olarak katıldı. Syas edelerle de k kez hase gr çıka Galos, gzel br düello soucu öldü. Galos, Frasız Akades e brçok akale göderş, fakat bu akaleler, alaşılaaz buluarak ger çevrlşt. Galos s tü düyada duyulaya başlaası ve ou gelş geçş e y ateatkçlerde br olduğuu alaşılası, J.Louvelle (809 88) 846 da Galos ı yaşa öyküsüü yayılaası le gerçekleşt. Galos, her br rezolvet dekle, verle olou katsayılarıı at olduğu cs le kökler at olduğu cs arasıda yer ala br ara cs le lşkledrd. Galos ı dahyae fkr, verle olo ve ara csler le br dz

10 grubu lşkledrek ve csler hakkıdak blgler, grular teorsdek fadelere çevrekt. Böylece grular teors, Galos tarafıda şa edlş oldu. Galos, br olo dekle kök şaretleryle çözülebles ç gerek ve yeter koşulu, gru sersde her grubu oral ve br sorak gru çde asal deksl olası olduğuu sat ett. Galos ı verdğ krter, br olou kök şaretleryle çözülü çözüleeyeceğ alaak ç efektf br yol değldr. O zaak dğer ateatkçler, varola çözüleblrlğ, verle dekle katsayılarıı celees ya da bu deklele lgl daha düşük derecel dekleler çözüles gb daha sout yollarla gerçekleşes uuyorlardı. Galos br yazısıda: Baa kök şaretleryle çözülü çözüleyeceğ erak ettğz br olo dekle verrsez be sze sadece cevabı verr, buu çok da ratk olaya satıı herhag br şeklde szle ya da br başkasıyla aylaşak stee açıklaasıı yaıştı. Galos ı başardığı ve çağdaşlarıı kıyet bley başaraadığı şey, gru ve cs yaıları arasıdak büyüleyc aralellktr. Galos ı çalışaları, öceler sayı ve şekl bl ola cebr ve ateatkte öel br değşe yol açtı. Gauss ve Galos da tbare ateatk artık yaılar bl oluştu. Galos teors, ateatk tarhde cs ve gru gb k farklı yaıyı karşılaştıra lk teordr. Bu gelşeye ayak uydurak kolay değld. Galos da sorak ateatkçler ble Galos teors, dekleler teorsde bell soruları yaıtlaakta br araç olarak kulladılar. Galos teors ve uygulaaları hakkıda lk ktabı Herch Weber (84 9) yazdı. Weber, cebrle lgl ülü ktabıda (894) br bölüü bu teorye, br bölüü de lgl uygulaalarıa ayırıştı. Galos teorse değe lk yazar se E.Bett (8 89) dr. Bett, Galos ı çzgs tak ettğ Sulla rsoluzoe delle equazo algebrche sl br akale yayıladı (85) k, bu akale orjal br açıklaada çok, br yoru telğ taşıaktaydı. Bu teor hakkıda dğer br yoru da J.A.Serret (89 885) tarafıda yaıldı. Cale Jorda (88 9), Galos teorse, Galos ı çzgs zleeksz yoru getre lk kş oldu. Jorda le brlkte öe, ololarda grulara geçşt. Jorda, brçok öel ve özgü katkı yatı: asal ololar le traztf grular arasıdak lşky açıkladı, traztf grular teors gelştrd, bölü grularıı yardıcı dekle grubu olarak taıladı, çözüleblr br grubu herhag k koozsyo sersdek bölü grularıı brbre zoorf olduğuu satladı. Gru kavraı bell başlı uğraş hale gelse de, olo dekleler çözüü hala e büyük lgye saht. Ayı döede, k Ala ateatkç, L. roecker (8 89) ve R. Dedekd (8 96), cs teorse çok öel katkılar yatılar. Dedekd, Galos teors le lgl dersler verekteyd. Görüe odur k, Galos grubuu br erütasyo grubuda çok, br cs otoorf grubu olarak görüles gerektğ lk farkede, Dedekd tr. Dedekd aslıda, erütasyo ter bugü kulladığıız cs otoorfs yere kullaaktadır. Burada Dedekd Galos teors, çok doğru olarak, ololara lşk br teor olarak

11 değl, cslere lşk br teor olarak algıladığı alaşılaktadır. Dedekd, taba cs üzerdek br geşlee cs elealarıı bağılılığı/bağısızlığı kavraıı ortaya çıkardı. roecker, kata kavraıı ayrıtılı olarak celed; br cse cebrsel elealar gb, trasadat eleaları da katılasıı ükü olduğuu öe sürdü ve her olou uygu br geşlee csde leer çaralara ayrılableceğe lşk, öel br teore satladı. Weber, roecker ve Dedekd fkrler ler götürdü. Ou katkısı, kou hakkıdak lk oder yaklaşı olarak, sadece le sıırlı kalıyor, keyf br cs de kasıyordu. Weber, teor cs geşleeler ve bu geşleeler otoorf gruları le lgl olduğuu açık olarak belrtyordu. Weber, çalışaları le buluduğu çağı braz ötesde d; o zaak brçok ateatkç, ou yaklaşılarıı çok soyut ve zorlayıcı buluyordu. Daha sora El Art (898 96) geld ve leer cebr ve cs teors tekkler brleştrd. Geşleeler baze csler, baze de vektör uzayları olarak gözöüe alıırlar. Art, cs otoorfler celed, br geşlee dereces o geşlee otoorf grubuu ertebese eşt olduğuu satladı, Galos geşlees kavraıı ortaya attı ve rezolvet rolüü ortada kaldırdı. Art daha sora, ara csler le otoorf grubuu alt gruları arasıda lşk kurdu. Bütü hesalaalar, teorde çıkarıldı. Öceler br yazar, br arçalaış cs oluşturak ç adı-adı rezolvet katılııa sayfalar harcarke, Art sadece E, f(x) br arçalaış cs olsu dye yazıyordu. Art le, Galos teors, geçşle ola bütü bağlatısıı koarıştı.

12 BÖLÜM II. TEMEL AVRAMLAR Taı.. A ve B gb k küe verlş olsu. Eğer A ı her a eleaıa belrl br kurala göre B br b eleaı karşılık getrlrse A kües B kües çe resede br tasvr taılaıştır der. b eleaıa a eleaıı bu tasvrdek res (görütüsü), a ya da b ayı tasvrdek br orjal der. B her eleaıı A da e az br orjal varsa, ya B her eleaı, verle tasvrde br res se bu tasvre A ı B üzere br tasvr der. B verle tasvrde res ola her eleaıı A da br tek orjal varsa bu tasvre A ı B çe (-) br tasvr der. A ı B çe br tasvrde B her eleaı br res se ve bu elealarda her br A da br tek orjal varsa bu tasvre A ı B üzere (-) br tasvr der. Br A kües br B kües çe resede br f tasvr söz kousu olduğu zaa yazılır. f : A B veya A B a b= f( a) a b= f( a) Taı.. Br A kües her a eleaıa keds tekabül ettre tasvre A ı ked üzere datk tasvr der ve bu tasvr, I A le gösterlr. Taı.. Br A kües br B kües çe resede br f tasvr le B y br C kües çe resede br g tasvr verlş olsu. A ı her a eleaıa C g(f(a)) eleaıı tekabül ettre h tasvre f ve g tasvrler bleşkes( veya koozsyou) der ve bu tasvr, geellkle h=gf le gösterlr. f g A B C h: A C a f( a) g( f( a)) a g( f( a)) Taı.4. Br A kües le oda farklı olası gerekeye br B kües gözöüe alalı. A A olak üzere, A B çe resede br f tasvr verlş olsu. A yı B çe resede ve her a A ç f ( a) = f( a) koşuluu gerçekleye (ya A kües üzerde f le ayı etky yaa) br f tasvre f tasvr A ya br uzatılışı veya geşletlş der. f Taı.5. Br A kües le oda farklı olası gerekeye br B kües gözöüe alalı. A yı B çe resede br f tasvr le A ı herhag br A alt kües verlş olsu. A B çe resede ve her a A ç f ( a) = f( a) koşuluu gerçekleye f tasvre f tasvr A e kısıtlaışı veya daraltılışı der ve f = f yazılır. A Taı.6. Br A kües br B kües üzere (-) olarak resede br f tasvr verlş olsu. Her b B ye tek türlü belrl olduğuu bldğz a A orjal tekabül ettrel. Böylece elde edle tasvr, aşkar olarak B y A üzere (-) olarak reseder k, bua f tasvr ters der ve bu tasvr, le gösterlr. f

13 Teore.7 [, S., Theore.]. f : A B, g: B C k tasvr ve gf : A C bu tasvrler bleşkes olsu. Bu takdrde () f ve g üzere se gf de üzeredr, () f ve g (-) se gf de (-) dr. Teore.8 [, S.6, Theore.7]. () f : A B tasvr, üzere (-) olsu. Bu takdrde f : B A tasvr de üzere (-) dr. () Br f : A B tasvr verldğe göre, gf = I A, fg = IB olacak şeklde br g: B A tasvr varsa f üzere (-) dr (g, f tersdr). Taı.9. Herhag br M kües verldğe göre, M M y M çe resede br tasvr varsa, ya ab, M olak üzere, her sıralı (a,b) çfte taae belrl br c M tekabül ettrleblyorsa M de br kl şle taılaıştır der. Br kl şle, geellkle " o " şaretyle gösterlr ve bu şle soucuda (a,b) de elde edle elea c olduğua göre, c= ao b yazılır. Taı.0. İçde e az br tae kl şle taılaış br küeye br cebrsel yaı der. Öreğ br M küesde " o " gb br kl şle taılaış se bu cebrsel yaıyı < M, o > şeklde göstereceğz. İçde br tae kl şle taılaış br cebrsel yaıya tek şlel br cebrsel yaı der. İçde k tae kl şle taılaış br cebrsel yaıya k şlel br cebrsel yaı der; verle küe M ve çde taılaış ola şleler " o " ve " " se söz kousu cebrsel yaı, < M ; o, > şeklde gösterlr. Taı.. Br G küesde aşağıdak koşullara uya br " o " kl şle taılaış se G ye " o " şlee göre br gru der: () Her ab, Gç ao b G dr. () Her abc,, Gç ( aob) oc= ao( bo c) dr. () Her a G ç eo a = a olacak şeklde e az br e G vardır. * * (4) Her a G ye karşılık, a o a = e olacak şeklde e az br a G vardır. Bu gru, < G, o > le gösterlr. " o " şle koütatf se bu G grubua koütatf br gru veya abel grubu der. Taı.. İk şlel br H cebrsel yaısı, + şaretyle göstereceğz ve tolaa adıı vereceğz brc şlee göre br abel grubu,. şaretyle göstereceğz (veya eleaları ya yaa yazacağıız) ve çara adıı vereceğz kc şlee göre de br yarı gru se ve buda başka, çara şle tolaa şlee göre k yalı dstrbütf se (ya her abc,, H üçlüsü ç ab ( + c) = ab + a cve ( b+ c) a= b a+ c a se) H ya br halka der ve bu halka < H; +, > le gösterlr. < H, +> grubuu 0 H ötr eleaıa H halkasıı sıfırı der. Özellkle H ı. şlee göre de H gb br ötr eleaı varsa bua H halkasıı br der ve bu duruda halkaya brl br halka der. Taı.. oütatf br < H; + >, halkasıda a 0 H, b 0H ve ab = olacak şeklde a, b eleaları varsa a ve b ye H ı brer sıfır-böle, (a,b) 0 H

14 çfte H ı br sıfır-böle çft ve H ya da br sıfır-bölel halka der. Hçbr sıfırböle buluaya br halkaya da sıfır-bölesz halka der. Taı.4. Br ;, < + > halkasıda { } alt kües,. şlee göre br gru oluşturuyorsa bu halkaya br cs der. Br < ; + >, cs verldğe göre, { } < 0, > grubuu kısaca 0 * le göstereceğz. Br halka (cs) çde taılaış ola çara şle koütatf se o halkaya (cse) br koütatf halka (koütatf cs) der. oütatf, brl ve sıfır bölesz br halkaya br talık bölges der. Taı.5. Br C cebrsel yaısı verlş olsu. C br C alt kües, C dek kl şle veya şlelere göre ked başıa C le ayı türde br cebrsel yaı oluşturuyorsa C ye C br alt cebrsel yaısı der. Öreğ C br gru, halka, cs, talık bölges se C ye sırasıyla C br alt grubu, alt halkası, alt cs dyeceğz ve kısaca C C, C C, C C yazacağız. ag.. ah.. ac.. Teore.6 (Alt Gru rter) [ 5, S.8, Teore..]. Br G grubuu boş olaya br H alt kües, G br alt grubu olables ç gerek ve yeter koşullar şulardır: () Her ab, H ç ab H, () Her a H ç a H. Teore.7 (Alt Halka rter) [ 5, S.4, Teore..]. Br < H; +, > halkasıda boş olaya br H alt kües br alt halka olables ç gerek ve yeter koşullar şulardır: () Her ab, H ç a b H, () Her ab, H ç ab H. Taı.8. Br M { a, b, c,... } = küesde aşağıdak özelkler gerçekleye, " " şaretyle göstereceğz br kl bağıtı taılaış olsu: () a a (refleksflk veya yasıa özelğ) () a b b a (setr özelğ) () a b, b c a c (trastflk veya geçşe özelğ). Bu şeklde taılaa " " bağıtısıa M de br deklk (eşdeğerlk) bağıtısı der ve a b, a, b ye dektr şeklde okuur. Taı.9. Br M kües, kşer kşer ayrık br takı alt küeler brleş olarak gösterleblrse M, verle alt küeler yardııyla sııflara ayrılıştır der ve o alt küelere de bu ayrılıştak sııflar adı verlr. M söz kousu sııflara ayrılışı, N bu ayrılıştak sııflarda herhag br olak üzere, M = U N şeklde gösterlr. N ve N, bu sııflarda herhag ks se ya N = N dür veya N N olu, sııflara ayrılışı taıı gereğce N N = tur.

15 Teore.0 [ 4, S.8, Teore..8]. Br M küesde taılaış her deklk bağıtısı, M br sııflara ayrılışıı belrtr; karşıt olarak, M her sııflara ayrılışı, M de br deklk bağıtısı belrtr. Taı.. Br C cebrsel yaısıda br " " deklk bağıtısı verlş olsu. Eğer C de taılaış herhag br " o " kl şle ç a a, b b a ob ao b koşulu gerçekleyorsa " " deklk bağıtısı, "" o şle le uyguluk haldedr der. Teore. [ 4, S., Teore.4.8]. Br C cebrsel yaısıı herhag br sııflara ayrılışı verlş olsu ve bu ayrılışı belrttğ " " deklk bağıtısıı gözöüe alalı. C sııflar kües ab,,... eleaları arasıda, C dek br " o " şlee aralel br şle aob = ao b şeklde taılaables ç gerek ve yeter koşul, " " deklk bağıtısıı " o " şle le uyguluk halde olasıdır. Taı.. Br C cebrsel yaısıı herhag br sııflara ayrılışı verlş olsu. Bu sııflara ayrılışı belrttğ deklk bağıtısı, C dek her şlele uyguluk halde se C sııflar küesde C dek şleler herbre aralel brer şle, yukarıdak gb taılaablr. Eğer C, bu şlelere göre C le ayı türde br cebrsel yaı oluşturuyorsa C ye C br bölü yaısı der. Öreğ C br gru veya halka se C ye sırasıyla C br bölü grubu veya bölü halkası der. Taı.4. Br C cebrsel yaısıda taılaış ola br " " deklk bağıtısı, C dek her şlele uyguluk halde se " " bağıtısıa br kogrüas bağıtısı der. Taı.5. C ve C gb, her ks de tek veya her ks de çft şlel k cebrsel yaı verlş olsu. Eğer C y C çe resede ve şleler souçlarıı koruya br ϕ tasvr varsa C cebrsel yaısı ϕ tasvr le C ye hooorf olarak resedlştr veya kısaca C, C ye hooorftur der ve C C veya C ϕ C yazılır. Bu duruda ϕ ye C y C ye resede br hooorf, C ye de C br hooorf res der. ϕ hooorfs, üstelk üzere ve (-) se C, C ye ϕ zoorftur der ve C C veya C C yazılır; ϕ ye C y C ye resede br zoorf, C ye de C br zoorf res der. Br C cebrsel yaısıı ked üzere br zoorfse C br otoorfs der. I C datk tasvr, aşkar olarak C br otoorfsdr k, bua C datk otoorfs der. Şu halde ϕ, br < C, o > cebrsel yaısıı br < C, > cebrsel yaısıa resede br hooorf se

16 ϕ : C C a ϕ( a) b ϕ( b) ϕ( aob) = ϕ( a) ϕ( b) dr. İk şlel cebrsel yaılarda her k şle brde koruası gerekr, ya ϕ, br < C; +, > cebrsel yaısıı br < C ;, > cebrsel yaısıa resede br hooorf se her ab, Cç ϕ( a+ b) = ϕ( a) ϕ( b), ϕ( ab ) = ϕ( a) ϕ( b) dr. Taı.6. a, br < G, > grubuu herhag br eleaı, de herhag br ta sayı olak üzere, a (a ı. kuvvet) şu şeklde taılaır: a ( = ç) () > 0 se a = a a a ( ç), 44 tae () = 0 se a =, () < 0 ve = ( > 0) se a G a = a ı G dek ters ( = ç) = a ( a ) ( = ç). 4 Lea.7 (uvvetler Teel Özelkler) ([,.0]) S. () ( a ) = a () ( ab ) = b a Geelleştre. ( a a ak) = ak a a ( k ). + () a a = a (, )... Geelleştre. k k a a a = a ( k ;,,..., k ). (4) ( a ) = a (, ) (5) ab = ba se her ç ( ab ) = a b dr. Taı.8. a, br < G, +> abel grubuu herhag br eleaı, de herhag br ta sayı olak üzere, a (a ı katı) şöyle taılaır: a ( = ç) () > 0 se a = a+ a a ( ç), 44 tae () = 0 se a = 0 G, a= a ı G dek zıddı ( = ç) () = ( > 0) se a = ( ) a= ( a) ( ç).

17 Lea.9 (atları Teel Özelkler). () ( a) = a () ( a+ b) = ( b) + ( a) = ( a) + ( b) Geelleştre. ( a + a + + a ) = ( a ) + + ( a ) + ( a ) k k = ( a ) + ( a ) + + ( a ) ( k ). () a + a = ( + ) a (, ) Geelleştre. a + a + + a = ( ) a k ( k ;,,..., ) (4) a ( ) = ( a ) (, ) (5) < G, +> koütatf olduğuda her ab, Gçft ç a+ b= b+ a dır. Şu halde her ab, Gve her ç a ( + b) = a+ bdr. Taı.0. G br gru ve M, G boş olaya herhag br alt kües olsu. G M y kasaya bütü alt grularıı arakeste (k, bu arakest te G br alt grubudur) G M tarafıda doğurula alt grubu, M elealarıa da bu alt grubu doğurayları der ve söz kousu alt gru, G(M) le gösterlr. GM ( ) = I H. M = { a} se G(M), ya G({ } M H G ag.. a ) yere kısaca G(a) yazılır. Eğer M doğurduğu alt gru, G le çakışıyorsa, ya G(M)=G se M elealarıa G doğurayları adı verlr ve G grubu, M eleaları tarafıda doğuruluştur der. Özellkle M kües solu ve G(M)=G se G grubua solu doğuraylı br gru der. Taı.. Br tek eleaı tarafıda doğurula br gruba br devresel gru der. Bua göre, br a eleaı tarafıda doğurula, solu br G devresel grubu,,,..., G = a a a a = şekldedr k, bu grubu kısaca { G } ( G) < a > le göstereceğz. Taı.. G solu br gru ve a G olduğua göre, a ı G çde t doğurduğu devresel grubu ertebese, başka br deyşle, a = G koşulua uya t ler e küçüğüe a eleaıı (G grubudak) ertebes der k, bu ertebey a le göstereceğz. Taı.. a ve b, br < G, > grubuu a =, b =, b a= a b koşullarıa uya k eleaı olak üzere, k l G = a b k = 0,,..., ; l = 0, se G ye br dhedral gru der. { } Teore.4 [, S.09, Theore.8]. G br devresel gru ve k k k H G olsu. Bu takdrde H da br devresel grutur. Daha açık br şeklde fade etek gerekrse: ag..

18 G =< a > olsu. Bu takdrde, H = { G } se G { a H } H =< > dr; { } kües e küçük eleaı olak üzere, H se t, H G t =< a > dr. Taı.5. G br gru, H da G herhag br alt grubu olsu. ab, G olduğua göre, a b H se a b( H ), ab sol Hse a sağ b( H ) yazacağız. Bu şeklde taılaa " " ve " " bağıtıları, G de brer eşdeğerlk bağıtısıdır. sol sağ Ayrıca a b( H )( a b( H )) se a, b ye H alt grubua göre solda (sağda) sol sağ eşdeğerdr der. G H alt grubua göre " " (" ") eşdeğerlk bağıtısıı G de sol sağ belrttğ sııflara G H alt grubua göre sol (sağ) kala sııfları veya H ı G çdek sol (sağ) kala sııfları der. Teore.6 [, 5 S.6, Teore.6.5]. G H ya göre br sol (sağ) kala sııfı, a bu sııfı herhag br eleaı olak üzere, br ah = { a h h H} Ha = { h a h H} alt kües le çakışır. ( ) Teore.7 (Lagrage Teore) [ 5, S.6, Teore.6.]. Solu br G grubuda her H alt grubuu ertebes, G ertebes böler, ya G H = se N dr. = N ve ah Taı.8. G br gru, H da G br alt grubu olsu. Eğer her a G ç = Ha se H ya G br oral alt grubu der ve H < G yazılır. Teore.9 [ 5, S.78, Teore.8.]. Br G grubuu br H oral alt grubua göre " " ve " " eşdeğerlk bağıtıları, brbryle çakışır ve G de br sol sağ kogrüas bağıtısı olur. Teore.40 [ 5, S.79, Teore.8.4]. G br gru ve H < G se yukarık Teoredek kogrüas bağıtısıı G de belrttğ kala sııfları arasıda, ah o bh = ( a b) H şeklde br " o " şle taılaablr ve söz kousu kala sııflarıda oluşa G kües, " o " şlee göre br grutur. Taı.4. < G, o > grubua G H oral alt grubua göre bölü grubu der ve bu gru, G/ H le gösterlr. Taı.4. A ve B, br < G, > grubuu boş olaya k alt kües olsu. a A, b B olak üzere, ükü ola bütü ab çarılarıı oluşturalı. Bu çarılar çde brbre eşt olalar varsa, olarda brer tae alıarak elde edle küeye A ve B küeler (bu sıradak) çarıı der ve bu çarı A B le gösterlr.

19 Teore.4 [ 5, S.80, Not.8.6]. Yukarıda taılaa ah o bh, ayı zaada ah ve bh küeler çarııa eşttr, ya ah o bh = ah bh dır. Taı.44. ϕ : G G br gru hooorfs olsu. ϕ( a) G a G = b G b= ϕ( a) ( a G) { } { } küese, ya G elealarıı ϕ dek bütü görütüler küese G ϕ tasvrdek görütüsü der ve bu küe, Iϕ veya ϕ ( G) le gösterlr. Teore.45 [ 5, S.0, Teore.0.]. < G, > br gru, G tek şlel br cebrsel yaı ve G, G br ϕ hooorfsdek res olsu. Bu takdrde Iϕ, G dek kl şlee göre br grutur ve buda başka, aşağıdak özelkler geçerldr: () G, ϕ dek görütüler G ola elealarıı kües, G N gb br oral alt grubudur. () Herhag br a G verldğe göre, G, ϕ dek görütüler a ola elealarıı kües, N G çdek uygu br kala sııfıdır. () G/ N Iϕ dr. Taı.46. Yukarıdak N oral alt grubua ϕ hooorfs çekrdeğ der ve N = kerϕ yazılır. Şu halde ker ϕ = { a G ϕ ( a) = G } dür. Teore.47 [, S., Theore 0.8]. Br ϕ : G G gru hooorfs kerϕ = olasıdır. (-) olası ç gerek ve yeter koşul, { } Teore.48 (Bo Teore) [, S.5, Theore 9.6]. < H; +, > br k k halka ve ab, H olsu. ab = ba se her ç ( a+ b) = a b k = 0 k dır. Taı.49. Br H halkasıı aşağıdak koşulları gerçekleye br I alt küese H ı br sol (sağ) deal der: () Her ab I, ç a b I, () Her h H ve her a I ç ha I ( ah I ). I, H ı he br sol, he de br sağ deal se I ye br k yalı deal veya yalızca deal der. Taı.50. H koütatf br halka ve a, a,..., ak H olak üzere, { h a h a... hk ak a a... kak h H, (,..., k) } I= = kües, H ı br dealdr. H brl se a = ( a) = ( ) a G H H

20 yazılablr, ya s : = H H olak üzere, a = s a ( =,..., k) dr. Bua göre h% : = h + s H ( =,..., k) olak üzere { h% a h% a... h% a h% H (,..., k) } k k I= = olur. Bu duruda I ye a, a,..., a k tarafıda doğuruluş deal adı verlr ve I= ( a, a,..., a k ) yazılır; a, a,..., a k ya da I deal doğurayları der. Taı.5. Br tek a eleaı tarafıda doğurula br deale esas deal der ve bu deal, (a) le gösterlr. Bua göre ( a) = h a h H { } dır. Br H halkasıı bütü dealler esas dealler se H ya br esas deal halkası der. Teore.5 [ 5, S., Teore..]. H br halka, I de H ı herhag br deal olsu. H ı I deale göre kala sııfları (ya < H, +> grubuu <I+>, alt grubua göre kala sııfları) arasıda ( a+i ) + ( b+i ) = ( a+ b) +I, ( a+i) ( b+i ) = ( a b) +I ( a, b H) şeklde br tolaa ve br de çara şle taılaablr ve söz kousu kala sııflarıda oluşa H kües, bu şlelere göre br halkadır. Taı.5. < H; +, > halkasıa H ı I deale göre bölü halkası der ve bu halka H / I le gösterlr. Teore.54 [ 5, S.44, Teore..]. Br H halkası le k şlel br H cebrsel yaısı verlş olsu. Eğer H, H ı br ϕ hooorfsdek res se Iϕ, H dek şlelere göre br halkadır ve buda başka, aşağıdak özelkler geçerldr: () H ı, ϕ dek görütüler 0 H ola elealarıı kües, H ı I gb br dealdr. () Herhag br a H verldğe göre, H ı, ϕ dek görütüler a ola elealarıı kües, I H çdek uygu br kala sııfıdır. () H / I Iϕ dr. Taı.55. Yukarıdak I deale ϕ hooorfs çekrdeğ der ve I= kerϕ yazılır. Şu halde kerϕ = { a H ϕ ( a) = 0 H } dür. Lea.56 [, S.49, Lea 0.6]. ϕ : H H ve ψ : H H k halka zoorfs olsu. Bu takdrde () ψϕ : H H br halka zoorfsdr, () ϕ : H H br halka zoorfsdr.

21 Teore.57 [, S.5, Theore 0.9(7)]. ϕ :H H, H ı H üzere br halka hooorfs olsu. I, H ı kerϕ y kasaya br deal se I, I ϕ dek görütüsü olak üzere, H / I H / I dr. Taı.58. a0, a,..., a,... terler br < H; + >, halkasıda alıa ve e çok solu sayıda ter 0 H da farklı ola br dz, x te br şaret olak üzere a0 + ax+ a x ax +... (.) şekldek sebolk fadeler oluşturalı. Burada x e br değşke (belrsz veya bleye) (.) sebolüe H halkası üzerde tek değşkel br olo, a ( = 0,,,...) lere bu olou katsayıları, ax ye bu olou geel ter, a ye de bu olou geel katsayısı der. Poloları A(x), B(x), f(x), g(x),... le göstereceğz. Şd H üzerdek bütü tek değşkel ololarda oluşa küey Hx [ ] le gösterel. se Teore.59 [ 5, S.6, Yard. Teore.6.]. A( x), B( x) H[ x] ve Ax ( ) = a + ax+ ax ax +..., (.) olak üzere oluşturula fades, Hx [ ] ye attr. 0 0 Bx ( ) = b+ bx+ bx bx +... (.) c = a + b ( = 0,,...) c + c x+ c x + + c x + (.4) Taı.60. (.4) tek Cx ( ) = c0 + cx + cx cx +..., c = a + b ( = 0,,...) oloua A(x) ve B(x) ololarıı (bu sıradak) tolaı der ve Cx ( ) = Ax ( ) Bx ( ) yazılır. Teore.6 [ 5, S.6, Yard. Teore.6.5]. A( x ) ve B( x ) oloları (.) ve (.) tek gb verldğe göre, d = a0 b + a b a b0 = a b ( = 0,,...) (.5) olak üzere oluşturula d0 + dx+ d x dx +... (.6) fades, Hx [ ] ye attr. = 0

22 Taı.6. (.6) dak ( ) = , = ( = 0,,...) = 0 Dx d dx dx dx d a b oloua A(x) ve B(x) ololarıı (bu sıradak) çarıı der ve Dx ( ) = Ax ( ) Bx ( ) yazılır. Teore.6 [ 5, S.64, Teore.6.7]. Hx [ ] kües, yukarıda taılaa " " ve " " şlelere göre br halkadır. Teore.64 [ 5, S.66, Yard. Teore.6.9]. Hx [ ] halkası, H ya zoorf br H = a + 0 x x +... a H da barettr. alt halka çerr k, bu { 0 H H 0 } Hx= Hx H + Hhalkasıa H halkası üzerdek tek değşkel ololar halkası, bu halkaı H ya at ola elealarıa da sabt ololar der. Eğer f ( x) H[ x] se f ( x ) e katsayıları H ya at ola br olo veya H üzerde alıış br olo der. Taı.65. [ ] ( [ ] ) H[x] olo halkası ç, H halkasıa x değşke katılası le elde edlştr de der. Şd H ya br x değşke katakla elde edle Hx [ ] halkasıa kc br x değşke katalı ve bu şeklde deva ederek x, x,..., x gb tae değşke kattığıızı düşüel. Böylece elde edle Hx [ ][ x]...[ x ] halkasıa H halkası üzerde değşkel ololar halkası der.,,..., sayıları,,..., sayılarıı herhag br erütasyouu gösterek üzere, Hx [ ][ x]...[ ] [ x = Hx][ x]...[ x] olu, söz kousu halka, kısaca Hx [, x,..., x ] şeklde gösterlr. Bua uygu olarak, Hx [, x,..., x ] herhag br eleaı da Ax (, x,..., x ) şeklde gösterlr. Taı.66. Br T talık bölgesde bütü eleaları böle br eleaa T br artetk br der. Teore.67 [ 5, S.77, Teore.7.7]. T bütü artetk brler, T bölelerde barettr. Taı.68. T br talık bölges ve ab, T olsu. ε, T br artetk br olak üzere, b= ε a se b, a le lgldr der ve b a yazılır. der. Taı.69. Br a T ε ve ε a bölelere a ı trvyal böleler Taı.70. Br T talık bölgesde artetk brlerde farklı ola ve trvyal bölelerde başka hçbr böle buluaya br eleaa br asal elea der.

23 Taı.7. Br T talık bölges 0 T de ve artetk brlerde farklı her eleaı, T ye at solu sayıda asal eleaı çarıı olarak gösterleblyorsa ve bu gösterlş, çaraları sırasıda ve aralarıda lgllkte vazgeçldğ takdrde, tek türlü belrl se T ye asal çaralara ayrılışı tek olduğu br talık bölges der. Teore.7 [, S.8, Theore.5]. D br esas deal halkası ve π, D 0 D de ve G de farklı br eleaı olsu. Bu takdrde π asal olası ç gerek ve yeter koşul, D/ Dπ bölü halkasıı br cs olasıdır. Lea.7 [, S.95, Lea.7]. H ve H k halka ve ϕ : H H br halka hooorfs olsu. Bu takdrde ˆ ϕ ax = ϕ( a) x = 0 = 0 şeklde taılaa ˆ ϕ : Hx [ ] H [ x] tasvr de br halka hooorfsdr. Üstelk, ker ˆ ϕ = (ker ϕ)[ x] ve I ˆ ϕ = (I ϕ)[ x] tr. Lea.74[, S.49, Lea 5.]. H br halka, S, H yı kasaya br halka ve s, S br eleaı olsu. S koütatf se Ts : H[ x] S f f() s tasvr br halka hooorfsdr k, bu halka hooorfse sübsttüsyo hooorfs der. Teore.75. H ve H halkaları brbre zoorf se H[x] ve H [ x] olo halkaları da brbre zoorftur. Teore.76 [ 5, S.65, Teore.6.8]. T br talık bölges se T[x] de br talık bölgesdr. Taı.77. T br talık bölges olsu. T[x] te br f olou le sıfır olouda (ya bütü katsayıları 0 T ola oloda) farklı br g olou verldğe göre, f = g h olacak şeklde br h T[ x] varsa f, g le bölüeblr der ve g f yazılır. Sıfırda farklı br e T[ x] olou, uygu br h T[ x] ç eh = T koşuluu gerçeklyorsa, veya bua dek olarak, her f Tx [ ] ç ef se e ye T[x] br artetk br der. Teore.78 [ 5, S.79, Örek.7.7]. br koütatf cs olak üzere, [x] olo halkasıdak artetk brler, ı 0 da farklı elealarıda, * ya grubuu elealarıda barettr.

24 Taı.79. T[x]\{ 0 T } ye at br f olou, T[x] br artetk br değlse ve T[x] te f = g h şeklde çaralarıa ayrıldığıda g ve h da e az br artetk br oluyorsa, f ye T üzerde asal br olo der. Teore.80 [, S.409, Theore 4.5()]. br cs olsu. Bu takdrde [x], asal çaralara ayrılışı tek olduğu br talık bölgesdr. Taı.8. T asal çaralara ayrılışı tek olduğu br talık bölges ve f, T[x] te sıfır olouda farklı herhag br olo olsu. f katsayılarıı br e büyük ortak bölee f br uhtevası der ve bu uhteva, C(f) le gösterlr. Taı.8. T br talık bölges olsu ve T y kasaya br koütatf cs buluduğuu varsayalı. ı T y kasaya bütü alt csler arakest de ı T y kasaya br alt csdr k, bu I = (.7) T ac.. cse T talık bölges cs çde doğurduğu alt cs der. Taı.8. ab, T ve a 0 T olak üzere, a x= b cs çde tek türlü belrl ola x a b b a = = çözüü, b a şeklde gösterlr ve b a ya T talık bölgese lşk br kesr der. T her a eleaı, T ye lşk br kesr olarak gösterleblr, çükü a T a= a dır k, burada da a = soucu çıkar. Şu halde T ye lşk bütü T kesrlerde oluşa küey le gösterrsek, T dır. Teore.84 [ 5, S.55, Teore.5.6]. kües ı br alt cs olu, (.7) dek csyle çakışır. Taı.85. ( = ) cse T talık bölges kesrler cs der. Taı.86. T br talık bölges se Teore.75 e göre T[x] olo halkası da br talık bölgesdr. T[x] kesrler cse T üzerdek tek değşkel rasyoel foksyolar cs der ve bu cs T(x) le gösterlr. Şu halde f( x) Tx ( ) = : f( x), gx ( ) Tx [ ], gx ( ) 0T gx ( ) dr.

25 Lea.87 [, S.4, Lea 4.]. T, asal çaralara ayrılışı tek olduğu br talık bölges ve F, T kesrler cs olsu. f, T[x] e at ve C( f) koşuluu sağlaya, sıfırda farklı br olo olsu. Bu takdrde f F[x] te asal olası ç gerek ve yeter koşul, f Tx [ ] olasıdır. Teore.88 [, S.4, Theore 5.6]. T br talık bölges ve f, T[x] te keyf br olo olsu. E, T y kasaya br talık bölges ve a E olsu. Bu takdrde a ı f br kökü olası ç gerek ve yeter koşul, E[x] te ( x a) f olasıdır. Teore.89 [, S.4, Theore 5.7]. T br talık bölges, f, T[x] te sıfırda farklı br olo ve E, T y kasaya br talık bölges olsu. Bu takdrde f E ye at brbrde farklı e fazla deg f tae kökü vardır. Lea.90 [, S.49, Lea 5.6]. H br halka ve f, f,..., f, f, g H[ x] olsu. Bu takdrde tr. ( f + f f ) = f + f f, () () ( ff... f ) = f f... f + ff... f ff... f, () ( g ) = g g, (4) [ f ( gx ( ))] = f( gx ( )) g ( x) Teore.9 [, S.40, Theore 5.7]. T br talık bölges ve E, T y kasaya br talık bölges olsu. c E ve f, T[x] te sıfırda farklı br olo olsu. Bu takdrde c, f çokkatlı br kökü olası ç gerek ve yeter koşul, c f olou le f türev br ortak kökü olasıdır. Teore.9 [, S.40, Theore 5.8]. br cs ve E, yı kasaya br talık bölges olsu. f ve g, [x] te sıfırda farklı keyf k olo olsu. Bu takdrde () f ve g aralarıda asal se f ve g E de ortak kökü yoktur. () f ve f aralarıda asal se f E de çokkatlı kökü yoktur. () f, [x] te asal se ya f ve g aralarıda asaldır ya da [x] te f g dr. (4) f, [x] te asal ve deg f > deg g se, f ve g E de ortak kökü yoktur. (5) f, [x] te asal ve f 0 se, f E de çokkatlı kökü yoktur. (6) f, [x] te asal se ve f E ye at, çokkatlı olaya br kökü varsa, bu takdrde f 0 dır. Taı.9. Br C cebrsel yaısıa öyle br O kües bağlaabls k, O C = {( α, a) α O, a C} kües C çe resede, ya her ( α, a) O C ye taae belrl br c C tekabül ettre br tasvr bulusu. Bu duruda C ye O

26 üzerde br oeratörlü cebrsel yaı, O ya br oeratör bölges, O u elealarıa da oeratörler veya skalerler der. ( α, a) ya karşı gele c, geellkle c= αa şeklde gösterlr ve bua a ı α oeratörüyle (skaleryle) çarıı der. Belrl br α O ve br a C verldğe göre, α a yı bulaya da C a eleaıa α oeratörüü uygulaak veya a eleaıı α skaleryle çarak der. Taı.94. < V, +> br abel grubu, < ; + >, da br koütatf cs olsu ve V y V çe resede br oeratörlü çarı verlş olsu. Bu oeratörlü çarı, aşağıdak koşulları gerçekledğ takdrde V ye üzerde br vektör uzayı (leer küe) veya kısaca br -vektör uzayı der (burada ab, V ve α, β dır): () α( a+ b) = αa+ αb, () ( α + β) a= αa+ βa, () α( βa) = ( α β) a, (4) a= a. Taı.95. v, v,..., v br cs üzerde br vektör uzayıı (brbrde farklı olası gerekeye) solu sayıda vektörü olsu. Bu takdrde α, α,..., α olak üzere oluşturula αv+ αv αv vektörüe v, v,..., v vektörler br -leer kobezou der. Taı.96. V ve U, ayı cs üzerde k vektör uzayı olsu. Her v, v, v V ve her α ç ϕ( v+ v) = ϕ( v) + ϕ( v), ϕ( αv) = αϕ( v) koşullarıı sağlaya br ϕ :V U tasvre br vektör uzayı hooorfs veya br -leer trasforasyo veya br -leer tasvr der. ϕ (-) ve üzere se ϕ ye br vektör uzayı zoorfs der ve V U yazılır. Taı.97. V, br cs üzerde br vektör uzayı ve v, v,..., v, V ye at solu sayıda vektör olsu. da αv+ αv αv= 0V olacak şeklde, hes brde 0 ya eşt olaya α, α,..., α skalerler varsa, v, v,..., v vektörler üzerde leer bağılıdır der. Eğer v, v,..., v vektörler, üzerde leer bağılı değlse, ya α, α,..., α olak üzere, αv+ αv αv= 0V şekldek br bağıtıda daa α = α =... = α = 0 soucu çıkıyorsa v, v,..., v vektörler üzerde leer bağısızdır der. Taı.98. V, br cs üzerde br vektör uzayı ve A { v v v } =,,...,, V boş olaya solu br alt kües olsu. Bu takdrde v, v,..., v vektörler üzerdek bütü leer kobezolarıı

27 ( ) { α α... α α, α,..., α } W = v + v + + v kües, V br alt uzayıdır. Bu W alt uzayıa V A tarafıda doğurula alt uzayı veya V v, v,..., v vektörler tarafıda doğurula alt uzayı veya A ı -sa der ve bu alt uzay s ( A ) le gösterlr. A= { v, v,..., v} solu br küe se {,,..., } s ( v, v,..., v ) yazılır. s ( ) = { 0 } dır. s v v v yere Taı.99. V, br cs üzerde br vektör uzayı olsu. V boş olaya br B alt kües, üzerde leer bağısız se ve üzerde V y doğuruyorsa (ya s ( B) = V se) B ye üzerde V br tabaı veya V br - tabaı der. Lea.00 [, S.496, Lea 4.0]. V, U, W br cs üzerde üç vektör uzayı, ϕ :V U ve ψ :U W k vektör uzayı zoorfs olsu. Bu takdrde () ψϕ :V W bleşke tasvr, br vektör uzayı zoorfsdr, () ϕ ϕ :U V ters, br vektör uzayı zoorfsdr. Teore.0 [, S.508, Theore 4.8]. V, br cs üzerde br vektör uzayı ve B = { v, v,..., v}, V boş olaya br alt kües olsu. Bu takdrde B, V br -tabaı olası ç gerek ve yeter koşul, V her a eleaıı α, α,..., α skalerler le a= αv+ αv αv şeklde tek türlü yazılablesdr. Teore.0(Stetz Yer Değştre Teore) [, S.509, Theore 4.0]. V, br cs üzerde br vektör uzayı ve w, w,..., w, V ye at solu sayıda vektör olsu. v, v,..., v V, w, w,..., w s ( w, w,..., w ) -sa de tae leer bağısız vektör olsu. Bu takdrde dr. Buda başka, V ye at v, v,..., v gb, tae leer bağısız vektör verldğe göre, V de s ( v, v,..., v, w+, w+,..., w) = s( w, w,..., w) olacak şeklde tae w, w,..., w vektörü vardır. Lea.0 [, S.5, Lea 4.]. V, br cs üzerde br vektör uzayı, dv = ve v, v,..., v, V ye at tae vektör olsu. Bu takdrde () v, v,..., v vektörler, üzerde leer bağısız se s( v, v,..., v) = V dr, () s( v, v,..., v) = V se v, v,..., v vektörler üzerde leer bağısızdır.

28 Teore.04 [, S.5, Theore 4.4]. V, br cs üzerde ( ) boyutlu br vektör uzayı olsu. v, v,..., v de V ye at ( ) tae leer bağısız vektör olsu. Bu takdrde V { v, v,..., v} B olacak şeklde br B -tabaı vardır. Taı.05. V br cs üzerde br vektör uzayı olsu. V solu br -tabaı varsa V herhag br -tabaıdak elaaları sayısıa V üzerdek boyutu veya V -boyutu der ve bu boyut, dv şeklde gösterlr. V hçbr solu -tabaı yoksa V -boyutu sosuz olarak taılaır ve bu duruda d V = yazılır. Lea.06 [, S.54, Lea 4.5]. V, br cs üzerde solu boyutlu br vektör uzayı ve W, V br alt uzayı olsu. Bu takdrde () W solu boyutludur ve dw dv dr, () dw = dv olası ç gerek ve yeter koşul, W = V olasıdır. Teore.07 [, S.59, Theore 4.]. V ve U, br cs üzerde solu boyutlu k vektör uzayı ve ϕ :V U br -leer tasvr olsu. V ve U u üzerdek boyutlarıı ayı olduğuu varsayalı. Bu takdrde aşağıdak fadeler brbre dektr: () ϕ (-) dr, () ϕ üzeredr, () ϕ br vektör uzayı zoorfsdr.

29 BÖLÜM III. CİSİM GENİŞLEMELERİ. Cs Geşleeler İle İlgl Geel Blgler Taı... <E;+,.> br cs ve, E boş olaya br alt kües olsu., E de taılaa şlelere göre ked başıa br cs oluşturuyorsa ya E br alt cs der. Bu duruda E ye de ı br cs geşlees veya kısaca ı br geşlees der. E ı br geşlees olduğuu gösterek ç E/ yazılır ve bu sebol, E/ cs geşlees dye okuur. Bu sebolü br bölü grubu veya br bölü uzayıyla karıştırılası söz kousu değldr. Cs geşleeler ç sık sık Hasse dyagralarıı kullaacağız. Öreğ şekl, ı E br alt cs olduğuu gösterecektr. Alt grularda, alt halkalarda ve alt uzaylarda olduğu gb, alt csler ç de br krter verleblr: Lea.. (Alt Cs rter). E br cs ve, E boş olaya br alt kües olsu. ı E br alt cs olables ç gerek ve yeter koşullar şulardır: Her a, b ç () a+b, () b, () a b, (v) b ( b 0 ç). İsat. E br cs olduğua göre br halkadır ve E 0 E de farklı eleaları, çara şlee göre br koütatf gru oluştururlar. O halde ı E br alt cs olables ç gerek ve yeter koşul, ı E br alt halkası olası ve ı 0 E de farklı elealarıı çara şlee göre br koütatf * gru oluşturasıdır. uşkusuz, E = E { 0 E } grubuu her alt grubu koütatftr. Buda dolayı ı E br alt cs olables ç gerek ve yeter koşul, ı E * br alt halkası olası ve { 0 } ı E ı br alt grubu olasıdır. Şd ı E br alt halkası olables ç gerek ve yeter koşul, (), (), () ü * sağlaasıdır; { 0 } ı E ı br alt grubu olası ç gerek ve yeter koşul se Her a, b { 0 } ç a b { 0 } ( )

30 ve (v) ü sağlaasıdır. E ve E cs sıfır-bölesz olduğuda ( ), () te daha zayıftır. Dolayısıyla, ı E br alt cs olables ç gerek ve yeter koşul, (), (), () ve (v) ü sağlaasıdır. Not... Şu ada tbare, br cs 0 da farklı br b eleaıı ters ç b yere (veya / b ) yazacağız. Bezer şeklde, br csde a b herhag br elea, b de cs sıfırıda farklı herhag br elea olak üzere a b = b a a çarıı yere (veya a/b) yazacağız. b Lea.. ye göre, E br alt cs se a, b ç a a+b, a b, a b, b dır (so durudab 0 olduğu varsayılaktadır). O halde E br alt cs, E tolaa, çıkara, çara ve ( 0 E de farklı elealar le) böleye göre kaalı br alt küesdr. Örek..4., u br geşlees ve de u br geşleesdr., ayı zaada br alt csdr. Örek..5. herhag br cs, x te üzerde br değşke se, (x) a br alt csdr. Gerçekte, ı br a eleaıı rasyoel foksyou le özdeşleştreblrz k, burada ay ve ayda, [x] elealarıdır. Bezer şeklde, y üzerde başka br değşke olak üzere, (x,y) br alt csdr. Örek..6. (): { x y : x, y } = + kües gözöüe alalı. Her ab, ( ) ç a= x+ y ve b= z+ u ( x, y, z, u ) olu, () a+b=(x+z)+(y+u) (), () b=( z)+( u) (), () a b =(xz yu)+(xu+yz) (), z u (v) = = + z + u z + u z + u b () (b=z+u 0+ 0 = 0 olak koşuluyla) dr. Dolayısıyla ( ) [] = a+ b: a, b Gauss ta sayılar halkasıı kesrler cs ola bu cs, Gauss cs olarak adladırılır., br alt csdr. { } Örek..7. ( ): { x y : x, y } = +, br alt csdr. Gerçekte, her ab, ( ) ç a= x+ y, b= z+ u ( x, y, z, u ) olu, () a+ b= ( x+ z) + ( y+ u) ( ), ( ) b = ( z) + ( u) ( ),

31 ( ) a b = ( xz + yu) + ( xu + yz) ( ), z u ( v) b = + ( ) ( b = z + u 0+ 0 = 0 z u z u koşuluyla) olak dr. Burada br rrasyoel sayı olduğu, dolayısıyla z ve u, e az br sıfırda farklı k rasyoel sayı olak üzere, z u 0 olduğu kullaılaktadır. Örek..8. L: { x y } : x, y = + kües gözöüe alalı. L, br alt cs değldr, çükü öreğ L, fakat = 4 L dr. 4 L olduğuu varsayalı, ya x+ y = 4 olacak şeklde xy, bulusu. ( x+ y ) = ( 4) x + xy+ 4y = 6 =. So eştlkte 4 = x + y yazalı. x + xy+ ( x+ y ) y =, x + xy = (xy+ y ), x + xy = y + xy x + xy xy, olduğuda olur, oysa dur 5, S. y + xy. Bu şeklde br çelşk elde ettğze göre, yoktur, ya 4 L dr. Dğer tarafta, x + y = 4 olacak şeklde, xy = { x+ y + z x y z } { x y z( ) } : x, y, z ( ): 4 :,, br alt csdr. Gerçekte, her b u v w x y z u v w = (,,,,, ) olu, = + +, ab, ( ) ç a= x+ y + z 4, a+ b= x+ u + y+ v + z+ w, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) b = u + v + w, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) a b = ( xu + yw + zv) + ( xv + yu + zw) + ( xw + yv + zu) 4 ( ), ( v) b = ( ) u+ v + w 4 dr. Bu takdrde özelkler her Örek..9. br cs ve ( I) ı alt csler br ales olsu. I I, ı br alt csdr. Çükü Lea.. dek kaalılık ç geçerl olduğuda I ç de geçerldr. I

32 So örekte, br cs bütü alt csler kesş ı br alt cs olduğu soucua varırız (E azıda ı keds, ı br alt cs olduğuda bu kesş boş değldr). Taı..0. br cs olsu. ı bütü alt csler kesşe ı asal alt cs der. O halde ı her alt cs, ı asal alt cs kasar, ya ou br geşleesdr. Şd ı asal alt csdek eleaları belrleeye çalışalı. P, ı asal alt cs gösters. ı br eleaıyla brbrde açık br şeklde ayırt etek ç ı br eleaıı e le göstereceğz. 0 P, e P ve 0 e olduğuu blyoruz, çükü P br csdr. P, tolaa şlee göre br gru olduğuda e+e=e, e+e=e, e+e=4e,...p elealarıdır ve ayı zaada e, e, e, 4e,... de P elealarıdır. Buda dolayı..., -4e, -e, -e, -e, 0, e, e, e, 4e,... elealarıı hes P ye attr, ya { e : } P dr. Buda başka, P (0 da farklı elealar le) böleye göre de kaalıdır ve bu edele P : = 0 { e / e :, }, P br alt küesdr. P 0 ı ı br alt cs olduğuu (ve dolayısıyla P 0 =P olduğuu) bekleek gayet doğaldır. Gerçekte, bölü taıı ve br ve katları özelkler kullaılarak, her e / e, re / se P0 (,, r, s ) ç e re ( s + r) e () + = P0, e se ( s) e re ( r) e ( ) = P0, se se e re ( r) e ( ) = P0, e se ( s) e se re ( v) = P0 ( 0, ya re 0 re olak koşuluyla) re se se olduğu gösterleblr. Teore... Herhag br cs asal alt cs, asal sayısı ç ye zoorftur. ya ya da uygu br İsat. e, ı br eleaı ve P de ı asal alt cs olsu. O zaa e= e 0 ve ( ) e= e 0 dır. Şd e = 0 koşuluu sağlaya br 0 ta sayısıı varlığı ve yokluğua göre k duru ayıracağız.. Duru: e = 0 olacak şeklde, sıfırda farklı br ta sayısıı buluduğuu varsayalı. Bu takdrde ke = 0 olacak şeklde k doğal sayıları vardır. Bu k doğal sayılarıı e küçüğü olsu. Şu halde e = 0 dır. Şd

33 ϕ : P e tasvr br halka hooorfs, br asal sayı olduğuu ve P dda edyoruz. Her, ç, Lea.9() e göre ϕ( + ) = ( + ) e= e+ e= ϕ( ) + ϕ( ), (4) e göre se ϕ( ) = ( ) e = ( e)( e) = ϕ( ) ϕ( ) dr. Dolayısıyla ϕ br halka hooorfsdr. olduğuu bleşk br sayı olsa rs,, < r<,< s< olak üzere, =rs olur ve burada 0 = e= ( rs) e= ( re)( se) elde edlr. sıfır-bölesz olduğuda burada re = 0, se = 0 da e az br doğru olduğu soucu çıkar. Bu se e = 0 koşuluu sağlaya e küçük doğal sayı oluşuyla çelşr. O halde br asal sayıdır. P olduğuu satlaak ç erϕ y bulacağız. e = 0 da erϕ soucu çıkar ve dolayısıyla her ç erϕ olur (çükü erϕ, br dealdr). O halde erϕ (.) dr. Dğer tarafta erϕ se =q+r ve 0 r < olacak şeklde qr, vardır. Burada 0 = e = ( q + r) e = ( q) e + re = q( e) + re = q0 + re = 0 + re = re, ya re = 0 elde edlr. 0 r < olduğuda r=0 olak zorudadır. Burada da =q, ya soucu çıkar. O halde erϕ (.) dr. (.) ve (.) de erϕ = soucu çıkar. Bu edele = / = / erϕ Iϕ P ve dolayısıyla Iϕ dr. br cs olduğuda, oa zoorf ola Iϕ halkası da br csdr. Dolayısıyla Iϕ, ı br alt csdr, o halde P Iϕ dr. Burada, dda edldğ üzere, P = Iϕ ve P soucua varırız.. Duru: e = 0 olacak şeklde, sıfırda farklı hçbr ta sayısıı buluadığıı varsayalı. ψ : P / e/ e tasvr br halka hooorfs olduğuu ve P olduğuu dda edyoruz. Öce ψ y taılı olduğuu göstereceğz. = (,,,, 0, 0) se = dr, bu edele

34 ( ) e = ( ) e P ve dolayısıyla ( e)( e) = ( e)( e) P dr. Bu eştlğ her k tarafıı e e P le çararak e = e elde edlr. Şu halde ψ y taılıdır. e e r Şd ψ br halka hooorfs olduğuu gösterel. Her, s ( rs,,,, 0, s 0) ç r s + r ( s + r) e ( s) e + ( r) e ψ + = ψ = = s s ( s) e ( s) e ( e)( se) + ( re)( e) e re r = = + = ψ + ψ, ( e)( se) e se s r r ( r) e ( e)( re) e re r ψ = ψ = = = = ψ ψ s s ( s) e ( e)( se) e se s dr. Şu halde ψ gerçekte br halka hooorfsdr.. duruda her { 0} ç e 0 olduğuu varsaydığıızda dolayı, e er ψ : 0 = = = : e = 0 = : = 0 = 0 e dır, bu edele { } / 0 = / erψ Iψ P ve dolayısıyla Iψ dr. br cs olduğuda burada Iψ de br cs olduğu soucu çıkar. Şu halde Iψ, ı br alt csdr, bu edele P Iψ dr ve dda edldğ üzere, burada P = Iψ ve dolayısıyla P soucu çıkar. Taı... br cs ve e, ı br eleaı olsu. e = 0 olacak şeklde, sıfırda farklı ta sayıları varsa ve bu koşulu sağlaya e küçük doğal sayı se, ya karakterstğ ola br cs, ye se ı karakterstğ der ve kar= yazılır. e = 0 olacak şeklde, sıfırda farklı hçbr ta sayısı yoksa, ya karakterstğ 0 ola br cs, 0 a se ı karakterstğ der ve kar=0 yazılır. Bua dek olarak, ı asal alt cs veya ya zoorf oluşua göre, ı karakterstğ veya 0 dır. Öreğ kar = ve kar () =kar ( )= kar =kar =0 dır. Geellkle veya yu ı asal alt cs le ayı kabul edeceğz. Özellkle ı br olarak e yere yazacağız. Böylece, veya u br geşlees olarak düşüülecektr., karakterstğ ola br cs se, her a ç 0 a = olduğua şaret edel. Gerçekte, {}

35 dır. a = a44 + a a = a + a a = ( ) a = ( ) a = 0 a = 0 tae tae Şd k alaşa yaacağız: Buda böyle yere F yazacağız. Bu her zaa bze F br cs olduğuu aısatacaktır. İkc olarak, F elealarıı yazarke çzgler atacağız. Öreğ F 5 yere yazacağız. ta sayısıı F, F, F 5, daha geel olarak F ( herhag br asal sayı) le karıştıraaya dkkat etelyz. de hag alada söz edldğ, etde alaşılacaktır. Şd cs hooorfler celeyeceğz. Lea... br cs se ı yalızca k deal vardır k, bular da ve { 0 } da barettr. İsat. A, ı br deal ve A { 0 } se a 0 olacak şeklde br a A vardır. a ı da a gb br ters vardır ve A br deal olduğuda a A a = dır. Burada her b ç b= b A ve dolayısıyla A elde edlr; şu halde A= dır. Lea..4., k cs ve ϕ : br halka hooorfs se, ya her a ç ϕ ( a) = 0 dr veya ϕ (-) dr. İsat. erϕ, br deal olduğuda, Lea.. e göre ya erϕ = ya da erϕ = { 0 } dr. Brc duruda her a ç ϕ ( a) = 0 dr, kc duruda se ϕ (-) dr. Br csde dğere halka hooorfler celerke, doğal olarak taı küesdek her eleaı sağ taraftak cs sıfır eleaıa götüre, lgç olaya halka hooorfs hal etek sterz. Buu dışıdak tü halka hooorfler, Lea..4 e göre (-) dr. Bu bz şu taıa götürür: Taı..5., k cs ve ϕ : tasvr, (-) br halka hooorfs se, ϕ ye br cs hooorfs der.ϕ tasvr üzere br cs hooorfs se ϕ ye br cs zoorfs der. ı ked üzere br cs zoorfse ı br (cs) otoorfs der. ϕ : br cs zoorfs se ϕ, <, +> grubuu <, +> grubua br hooorfsdr, o halde (0 ) 0 erϕ = ϕ = ve ayı zaada { 0 } dr.

36 Şu halde ϕ { 0 } { } { } : 0 0 tasvr, üzere (-) br tasvrdr. Bua ek olarak, her ab, ç ϕ( ab) ϕ( a) ϕ( b) de ϕ( ab ) = ϕ( a) ϕ( b) dr ve dolayısıyla = olduğuda, her ab, { 0 } ϕ : tasvr, grubu üzere (-) br hooorfsdr, ya ç grubuu dır. Özellkle ve, sırasıyla ve csler brler olak üzere, ϕ ( ) = dr. Lea..6.,, üç cs olsu. () ϕ : ve ψ : cs hooorfler se, ψϕ : te br cs hooorfsdr. () ϕ : ve ψ : cs zoorfler se, ψϕ : te br cs zoorfsdr. () ϕ : br cs zoorfs se, zoorfsdr. ϕ de br cs : İsat. () ψϕ tasvr, Lea.56() e göre br halka hooorfsdr, Teore.7() ye göre de (-) dr. Şu halde ψϕ br cs hooorfsdr. () ψϕ tasvr, () de dolayı br cs hooorfsdr, Teore.7() e göre de üzeredr. Şu halde ψϕ br cs zoorfsdr. () ϕ : tasvr, Lea.56() ye göre br halka hooorfsdr, Teore.8() e göre de (-) dr. Şu halde ϕ br cs zoorfsdr. Br ϕ : cs hooorfs (-) br foksyo olarak karakterze edleblr, öyle k, her ab, ( böledeb 0 ) ç a ϕ( a) ϕ( a+ b) = ϕ( a) + ϕ( b), ϕ( a b) = ϕ( a) ϕ( b), ϕ( a b) = ϕ( a) ϕ( b), ϕ( ) = b ϕ( b) dr. Şd bazı örekler verel. Örek..7. ϕ : x x tasvr, br otoorfsdr, çükü her xy, ç x + y = x+ y, x y = x y, x y = x y, ( x / y) = x/ y dr. Örek..8. ϕ : ( ) ( ) a+ b a b

37 tasvr, ( ) br otoorfsdr, çükü her a+ b, c+ d ( ) ( abcd,,, ) ç ϕ(( a+ b ) + ( c+ d )) = ϕ(( a+ c) + ( b+ d) ) = ( a+ c) ( b+ d) = ( a b ) + ( c d ) = ϕ( a+ b ) + ϕ( c+ d ), ϕ(( a + b )( c + d )) = ϕ(( ac + bd) + ( ad + bc) ) = ( ac + bd) ( ad + bc) = ( ac + ( b)( d)) + ( a( d) + ( b) c) = ( a b )( c d ) = ϕ( a+ b ) ϕ( c+ d ) dr. Bua göre ϕ br cs hooorfsdr; ϕ() = ϕ( + 0 ) = 0 = 0 olduğuda erϕ ( ) dr ve dolayısıyla ϕ (-) dr. Örek..9. br cs ve x, üzerde br değşke olsu. ϕ : ( x) ( x) ( x) ( x ) qx ( ) qx ( ) tasvr br cs hooorfsdr. I ϕ ( x) olduğuda (x), ked has alt kües ola Iϕ ye zoorftur. E/ br cs geşlees olsu. Bu takdrde E br tolasal grutur ve her ab, ve her x, y E ç a( x+ y) = a x+ a y, ( a+ b) x= a x+ b x, ( a b) x= a( b x), E x= x tr. O halde E, üzerde br vektör uzayıdır. E he cs, he de vektör uzayı yaısı üzere çalışak, çok yararlı olacaktır. Özellkle E üzerdek boyutu, çok öel br rol oyayacaktır. Taı..0. E/ br cs geşlees olsu. E üzerdek boyutua E üzerdek dereces veya E/ geşlees dereces der. E üzerdek dereces ç d E yere E: yazak daha uygu olacaktır. E: ı solu veya sosuz oluşua göre E ye ı solu boyutlu br geşlees veya ı sosuz boyutlu br geşlees der. Solu boyutlu geşlee yere baze kısaca solu geşlee ter kullaılır. Cs teorsde öel br gerçek şudur: Solu boyutlu br geşlee solu boyutlu br geşlees, gee solu boyutlu br geşleedr ve bu arada dereceler çarılır. Daha açık olarak: Teore... F/E ve E/ cs geşleeler ve F : E ve E : dereceler solu olsu. Bu takdrde F/ solu boyutlu br geşlee olu, F : = F : E. E :

38 dır; ayrıca { f f f }, F br E-tabaı ve { },,..., r { f ej (,,..., r; j,,..., s) } = =, F br -tabaıdır. ac.. ac.. ac.. e, e,..., e s, E br -tabaı se İsat. E ve E F se F dr; o halde F, ı br geşleesdr. Şd dereceyle lgl ddaya gelel. ısalık ç F : E =r ve E : =s dyel. F üzerdek boyutuu rs olduğuu göstereceğz. { f, f,..., f r}, F br E-tabaı, { e, e,..., e s} de E br -tabaı olsu. F rs elealı br -tabaıı bulalıyız. Buu ç yaılacak e doğal şey, rs tae f e j çarııı gözöüe alaktır. { f ej ( =,,..., r; j =,,..., s) } F br -tabaı olduğuu dda edyoruz. Öce f e j çarılarıı üzerde F y doğurduklarıı gösterel. f, F keyf br eleaı olsu. Bu takdrde uygu b, b,..., br E le f = b f+ b f br fr yazablrz, çükü { f ( =,..., r) } E üzerde F y doğuraktadır. Öte yada, her (=,...,r) ç, uygu a, a,..., as le b = a e + a e + + a e yazablrz, çükü { ej ( j,..., s) }... s s = üzerde E y doğuraktadır. Burada r r s r s f = b f = ( a e ) f = a ( e f ) j j j j = = j= = j= elde edlr, ya f, ej f = f ej ler üzerdek br leer kobezoudur. Şu halde { f e j}, üzerde F y doğurur. Buda başka, f e j ler üzerde leer bağısızdır. Gerçekte, c j ler ı eleaları olak üzere, olsa olur. { f (,..., r) } j= r s = j= c f e = 0 j j F r s s ( c e ) f = 0 ( c e E ( =,..., r) ) j j F j j = j= j= = E üzerde leer bağısız olduğuda burada s cj ej = 0 E ( =,..., r) soucu çıkar. { ej ( j =,..., s) } üzerde leer bağısız j = = = elde edlr. Şu halde { f e j} olduğuda burada da c 0 (,..., r; j,..., s) üzerde leer bağısızdır. Souç olarak { f e j} burada da F: = rs = F : E. E: soucu çıkar., F br -tabaıdır k, Teore.. de tüevarıla şu souca varablrz: /, /,..., / solu boyutlu cs geşleeler se : = : : :

39 dr. Teore.. ve bu geelleştrlş, sosuz boyutlu geşleeler ç de doğrudur, fakat burada oa htyacıız olayacaktır. Lea... F/E ve E/ k cs geşlees olsu. F : solu se F : E ve E: da soludur, hatta her ks de F : ı bölelerdr ve F: = F : E. E: dır. İsat. = : f ( =,..., ) F üzerde br tabaı olsu. f ( =,..., ) E üzerde F y doğurur ve dolayısıyla Stetz yer dr. O halde F : E soludur. Şd E : ı F olsu ve { } Bu takdrde { } değştre teoree göre F : E soluluğua bakalı. E, üzerde sosuz boyutlu olsaydı E + tae -leer bağısız eleaı buluurdu, böylece F + tae -leer bağısız eleaı buluuş olurdu k, bu F : = oluşu le çelşrd. O halde E: soludur. Teore.. de = F: = F : E. E: elde edlr. Şu halde F : E ve E:, y böler. Taı... E, ı br geşlee cs olsu. F br cs ve F E se F ye E/ geşlees br ara cs der. Taı..4. E/ br cs geşlees ve S, E br alt kües olsu. E S y kasaya bütü alt csler kesşe (k bu kesş, Örek..9 a göre E br alt csdr) E üzerde S tarafıda doğurula alt cs der ve bu cs (S) le gösterlr. Bu taıda hee ( S) E olduğu, ya (S) E/ ı br ara cs olduğu soucu çıkacaktır. S, E solu br alt kües se, ya S = { a, a,..., a} se ( { a, a,..., a } ) yere a (, a,..., a ) yazılır. Özellkle a E se (a), taı gereğ, E he yı, he de a yı kasaya e küçük alt... csdr. S dek herhag br erütasyou ç... a (, a,..., a) = a (, a,..., a) dr. Taı..5. E/ br cs geşlees ve S, E br alt kües olsu. E S y kasaya bütü alt halkalarıı kesşe (k bu kesş, E br alt halkasıdır) E üzerde S tarafıda doğurula alt halkası der ve bu halka, [S] le gösterlr. E S y kasaya her alt cs, ayı zaada E S y kasaya br alt halkası olduğuda, [ S] ( S) E dr. S, E solu br alt kües, ya S = { a, a,..., a} se [ { a, a,..., a } ] yere a [, a,..., a ] yazılır. Özellkle a E se [a], taı gereğ, E he yı, he de a yı

40 kasaya e küçük alt halkasıdır. S dek herhag br ç a [, a,..., a] = a [, a,..., a] dr erütasyou Örek..6. / geşleesde, üzerde tarafıda doğurula alt cs bulalı. he yu, he de y kasaya her alt cs, a+ b ( abcd,,,, c+ d 0 ) bçdek her koleks sayıyı çerr. Şd c+ d a+ b F= : abcd,,,, c+ d 0 kües gözöüe alalı. c+ d a+ b e+ f Her x, y F ç x = ve y= ( abcde,,,,, f, gh, ) c + d g+ h ( ag + ce bh df ) + ( ah + bg + cf + de) () x + y = F, ( cg dh) + ( ch + dg) ( e) + ( f) () y = F, g+ h ( ae bf ) + ( af + be) () x y = F, ( cg dh) + ( ch + dg) g+ h (v) y = F ( e+ f 0 olak koşuluyla) e+ f olu, dr. O halde F, ve y kasaya br alt csdr, dolayısıyla F, üzerde tarafıda doğurula alt csdr. F her eleaı x+ y ( x, y ) bçde yazılableceğde { x + y x, y } = F dr ve F, Örek..6 da taılaa () cse eşttr. Şu halde Örek..6 dak x + y göster, Taı..4 dek le tutarlıdır. Yukarık örek, br alt cs üzerde br alt küe tarafıda doğurula cs elealarıı asıl belrleeceğ gösteres bakııda öeldr. Lea..7. E/ br cs geşlees ve a, a,..., a E olsu. Bu duruda () a [, a,..., a] = { f( a, a,..., a) E: f x [, x,..., x] }, () a (, a,..., a ) = f( a, a,..., a ) E : f, g [ x, x,..., x], g( a, a,..., a) 0E ga (, a,..., a) dr.

41 İsat. () Eştlğ sağ tarafıdak küeye A dyel. E yı ve { a, a,..., a } kües kasaya her alt halkası, ka a... a + ( k, { 0 } ( =,,..., ) ) bçdek eleaları, dolayısıyla ayı zaada + k ( {} )... a a... a..., 0 (,,..., ) k = (.) bçdek eleaları çerecektr. Fakat (.) tolaı, f ( x, x,..., x ) = k x x... x [ x, x,..., x ]... olouu x = a, x = a,..., x = a ç değerde başka brşey değldr. Dolayısıyla A ı her eleaı, E yı ve { a, a,..., a } kües kasaya her alt halkasıa attr. O halde A [ a, a,..., a ] dr. Bu kasaa bağıtısıı ters satlaak ç, A ı E br alt halkası olduğuu gösterek yeterldr, çükü { a, a,..., a} A E dr. Herhag br f ( a, a,..., a ), ga (, a,..., a) A ( f, g x [, x,..., x]) çft verldğe göre, f ( a, a,..., a) + g( a, a,..., a) = ( f + g)( a, a,..., a) A, ga (, a,..., a) = ( g)( a, a,..., a) A, f ( a, a,..., a) g( a, a,..., a) = ( f g)( a, a,..., a) A dır. Çükü f, g [ x, x,..., x ] olduğuda f + g, g, f g [ x, x,..., x ] dr. Şu halde Teore.7 ye göre A, E br alt halkasıdır. Böylece a [, a,..., a] = Aolduğu satlaış olur. () Burada da düşüce şekl, () deke bezerdr. () eştlğ sağ tarafıdak küeye B dyel. A B olduğu açıktır. b B= E: b, c A, c 0 E = { b c E: b, c A, c 0E} olduğua dkkat edel. c E yı ve { a, a,..., a } kües kasaya her alt cs a [, a,..., a ] = Ayı da kasayacaktır ve br alt cs, böleye göre kaalı olduğuda, ayı zaada b (, bc A, c 0) E elealarıı da kasayacaktır. Bu, B, E yı ve c { a, a,..., a } kües kasaya her alt cs çde olduğu alaıa gelr. O halde B ( a, a,..., a ) dr. Bu kasaa bağıtısıı ters satlaak ç B E br alt cs olduğuu gösterek yeterldr, çükü { a, a,..., a} B E dr. Herhag br b d, ( bcde,,, A; ce, 0 E ) çft verldğe göre, c e b d b e+ d c + = B, c e c e d B, e

42 b d b d = B, c e c e E e = B ( d / e 0 E, ya d 0E olak koşuluyla) d d e dr, çükü bcde,,, A ı eleaları olduğuda b e+ dc, ce, d, b d ve ce de A ı elealarıdır ve c 0 E, e 0E olduğuda ce 0 E dr (A, E br alt halkası olduğuda sıfır-böleszdr). Dolayısıyla Lea.. e göre B, E br alt csdr. Böylece ( a, a,..., a ) = B olduğu satlaış olur. Şd Lea..7 ışığı altıda Örek..6 yı yede ele alalı. Örek..6 dak F cs ta olarak, =, =, a = olak üzere, Lea..7 de taılaa csdr. Dğer tarafta { x+ y : x, y } cs ta olarak, =, =, a = olak üzere, Lea..7 de taılaa alt halkasıdır. Dolayısıyla () = [] dr. dır. Lea..8. E/ br cs geşlees ve aba,,, a,..., a Eolsu. () a ( ) = olası ç gerek ve yeter koşul, a olasıdır, ( ) () ( a, a,..., a, a) = ( a, a,..., a ) ( a) ve a [, a,..., a, a] = [ a [, a,..., a ] ][ a] dr, () ab (, ) = ( a ( ))( b) = ( b ( ))( a) ve = [ ] = [ ] ab [, ] a [ ] [ b] b [ ] [ a] İsat. () Gereklk. a ( ) = se a dır: aı ( ) taıı gereğce a ( a) dır. a ( ) = olduğuda burada a elde edlr. Yeterlk. a se a ( ) = dır: a = a dır., E he yı, he de a yı kasaya bütü alt csler kesş olduğuda, burada a ( ) = soucu çıkar. () ( ) olduğuda { } L= a, a,..., a dyel. L, yı ve a, a,..., a kasaaktadır. La ( ), E he L y, he de a y kasaya br alt csdr, o halde La ( ), E, yı, a, a,..., a ve a y kasaya br alt csdr. Bu duruda E yı ve a, a,..., a, a y kasaya bütü alt csler kesş ola a (, a,..., a, a), La ( ) br alt csdr. O halde a (, a,..., a, a) La ( ) (.4) dr. Dğer tarafta a (, a,..., a, a), E yı, a, a,..., a ve ayı zaada a y kasaya br alt csdr. O halde L= ( a, a,..., a ) taııda L ( a, a,..., a, a) elde edlr ve a ( a, a,..., a, a) dr. Şu halde

43 a (, a,..., a, a), E he L y, he de a y kasaya br alt csdr. La ( ) taıı gereğce burada La ( ) a (, a,..., a, a) (.5) elde edlr. (.4) ve (.5) te a (, a,..., a, a) = La ( ) soucu çıkar. Dğer eştlk de bezer yolla, alt cs yere alt halka kullaılarak satlaır. () () y k kez kullaarak ( ) ( ) ( ) ( ) bezer şeklde [ a [ ]][ b] = ab [, ] = ba [, ] = [ b [ ]][ a] elde edlr. a ( ) ( b) = ab, = ba, = b ( ) ( a) ve Şd cs geşleeler çok öel br sııfladırasıı oluştura cebrsel ve trasadat geşleeler taılayacağız. Taı..9. E/ br cs geşlees olsu. E br a eleaı verldğe göre, a yı kök kabul ede, ya f( a ) = 0 E koşulua uya, sıfırda farklı br f x [ ] varsa, a eleaıa üzerde cebrsel der. a cebrsel değlse, ya f( a ) = 0 E olacak şeklde, sıfırda farklı hçbr f x [ ] yoksa E bu a eleaıa üzerde trasadat der. E bütü eleaları üzerde cebrsel se E ye ı br cebrsel geşlees, E/ ya da br cebrsel geşlee der. Bu duruda E, üzerde cebrseldr der. E, ı br cebrsel geşlees değlse, E ye ı br trasadat geşlees, E/ ya da br trasadat geşlee der. Eğer duru böyle se, ya E, üzerde cebrsel olaya e az br elea çeryorsa, E, üzerde trasadattır der. Örek..0. herhag br cs olsu. ı her a eleaı ç f ( ): [ ] a x = x a x tr ve a, f a ı br köküdür. O halde ı her eleaı üzerde cebrseldr ve dolayısıyla, ı br cebrsel geşleesdr. Örek..., x + [ x] olouu br köküdür. O halde, üzerde cebrseldr. Ayrıca ( ) her a+ b ( a, b ) eleaı, [ x ( a+ b)][ x ( a b)] = x ax+ ( a + b ) [ x] olouu br köküdür ve dolayısıyla üzerde cebrseldr. O halde ()/ br cebrsel geşleedr. Örek..., x [ x] olouu br köküdür. O halde, üzerde cebrseldr. Ayrıca ( ) her a+ b ( a, b ) eleaı, [ x ( a+ b )][ x ( a b )] = x ax+ ( a b ) [ x] olouu br köküdür ve dolayısıyla üzerde cebrseldr. O halde ( )/ br cebrsel geşleedr.

44 Örek... Sayılar teorsde bldğ üzere, π ve e reel sayıları üzerde trasadattır. O halde / br trasadat geşleedr, ( π ) ve ( e ) de u trasadat geşleelerdr. Örek..4. br cs ve x, üzerde br değşke olak üzere, (x), ı br geşlee csdr ve x ( x) tr. f, [x] te sıfırda farklı herhag br olo se f( x) = f 0 dır. O halde x, üzerde trasadattır ve ( x) / br trasadat geşleedr. Bezer şeklde, [x] te sıfırda farklı her f olou ç f( x ) 0 olduğuda x, üzerde trasadattır. Dğer tarafta y, üzerde y x ( x ) [ y] olouu br köküdür, başka br değşke se, x, ( ) dolayısıyla x, ( x ) üzerde cebrseldr. O halde br elea, br cs üzerde trasadat, başka br cs üzerde cebrsel olablr. Taı..5. E/ br cs geşlees olsu. E de E=(a) olacak şeklde br a eleaı varsa E ye ı br bast geşlees der. Bu duruda E E=(a) eştlğ sağlaya herhag br a eleaıa E/ geşlees br rtf eleaı der. E de E = ( a, a,..., a ) olacak şeklde solu sayıda a, a,..., a eleaı varsa E ye üzerde solu doğuraylı br cs der. Not..6. Solu boyutlu geşleeler le solu doğuraylı geşleeler, brbryle karıştırılaalıdır. Teore..7. E/ br cs geşlees ve a E, üzerde trasadat olsu. Bu duruda x, üzerde br değşke olak üzere, a ( ) x ( ) tr. İsat. (x) te (a) üzere br zoorf bulalıyız. Buu ç ϕ : ( x) ( a) f f( a) g g( a) tasvr ele alalı. Bu tasvr, y taılaış br tasvrdr. Gerçekte, verle f herhag br ( x) ( f, g [ x], g 0 ) g ç ga ( ) 0 dır (çükü a, f f( a) üzerde trasadattır) ve dolayısıyla ϕ =, (a) ı taae belrl br g g( a) eleaıdır. Öte yada (x) te f / g = f/ g ( f, g, f, g [ x], g 0, g 0 ) se [x] te f g = f g dr k, burada Lea.74 e göre E de f( a) g ( a) = f ( a) g( a) ( g ( a) 0, g( a) 0 ) eştlğ elde edlr. Bu eştlğ her k tarafı / g( a) g( a) le çarılarak f f( a) f( a) f ϕ = = = ϕ g g( a) g( a) g buluur. Bu se ϕ y taılı olduğuu gösterr.

45 f h ϕ br halka hooorfsdr, çükü Lea.74 e göre her, ( x) g k ( f, g, h, k [ x], g 0, k 0 ) ç ve f h f k+ h g ( f k+ h g)( a) f( a) k( a) + h( a) g( a) ϕ + = ϕ = = g k g k ( g k)( a) g( a) k( a) f( a) h( a) f h = + = ϕ + ϕ ga ( ) ka ( ) g k f h f h ( f h)( a) f( a) h( a) ϕ = ϕ = = g k g k ( g k)( a) g( a) k( a) f( a) h( a) f h = = ϕ ϕ ( ga ( ) 0, ka ( ) 0 ) ga ( ) ka ( ) g k dır. { } { f / g ( x): f, g [ x], g 0, f( a) 0} { f / g ( x): f, g [ x], g 0, f 0} { 0 } er ϕ = f / g ( x) : f, g [ x], g 0, f( a) / g( a) = 0 = = = = = olduğuda ϕ (-) dr. O halde ϕ br cs hooorfsdr. Lea..7() ye göre ϕ : ( x) ( a) üzeredr, dolayısıyla ϕ br cs zoorfsdr, ya a ( ) x ( ) tr.

46 . Cebrsel Geşleeler E/ br cs geşlees ve a E, üzerde cebrsel olsu. Bu takdrde [x] te f( a ) = 0 olacak şeklde, sıfırda farklı br f olou vardır. Şu halde A= { f x [ ]: f( a) = 0 } x [ ] kües, sadece sıfırda oluşaaktadır. A, [x] br dealdr, çükü A, Ta : [ x] E sübsttüsyo hooorfs çekrdeğdr. O halde A, [x] br dealdr ve A { 0 } dır. [x] br esas deal halkası olduğuda, sıfırda farklı uygu br f0 x [ ] olou ç A= [ x] f0 = ( f0) dır. Herhag br g [ x] olou ç ( g) = A= ( f0) bağıtısıı gerçeklees ç gerek ve yeter koşul, f 0 ve g [x] te aralarıda lgl olaları, ya uygu * br c ç gx ( ) = cf0( x) olasıdır. c f ( ) 0 0 x baş katsayısı e eşt olacak * şeklde br tek c0 vardır. Bu c 0 le, g0( x) = c0f0( x) dyel. O halde g 0, [x] te ( g0) = A= { f [ x]: f( a) = 0 } olacak şeklde tek ok olodur ve br f x [ ] ç f( a ) = 0 olası ç gerek ve yeter koşul, [x] te g0 f olasıdır. Özellkle, a yı kök olarak kabul ede herhag br f x [ ] ç deg g0 deg f tr. Bu şeklde, a E y [x] te tek türlü belrl br g 0 ok olou le lşkledrş oluruz. Bu g 0, [x] te a yı kök olarak kabul ede e küçük derecel ok olodur. g 0, üzerde asaldır. Çükü g ( x) = ( x) q( x), 0 deg ( x) < deg g0( x) ve deg q( x) < deg g0( x) olacak şeklde ( x), q( x) [ x] oloları bulusa, 0 = g0( a) = a ( ) qa ( ) eştlğde ( x) A ve qx ( ) Ada e az br doğru olduğu ve dolayısıyla [x] te g0 ve g0 q da e az br doğru olduğu soucu çıkar k, bu deg ( x) < deg g0( x) ve deg q( x) < deg g0( x) oluşu le çelşr. Böylece aşağıdak teore sat etş olduk: Teore... E/ br cs geşlees ve a E olsu. a, üzerde cebrsel se, [x] te sıfırda farklı br tek g(x) olou vardır, öyle k, her f ( x) [ x] ç, f( x ) = 0 olası ç gerek ve yeter koşul, [x] te gx ( ) f( x ) olasıdır. Özellkle a, g(x) br köküdür ve g(x), [x] tek ololar arasıda a yı kök olarak kabul ede e küçük derecel olodur. Üstelk g(x), üzerde asaldır. Taı... E/ br cs geşlees ve a E, üzerde cebrsel olsu. Teore.. dek, tek türlü belrl ola g(x) oloua a ı üzerdek al olou der. a ı üzerdek al oloua ayı zaada a ı üzerdek asal olou da der. E üzerde cebrsel ola br a eleaı ve br hx ( ) x [ ] olou verldğe göre, h(x) a ı üzerdek al olou olu oladığıı alaak ç, a yı kök olarak kabul ede bütü

47 f ( x) [ x] oloları ç hx ( ) f( x ) olu oladığıı kotrol etez gerekr gb görüüyor. Fakat eyse k, aşağıdak teorede göreceğz gb, al oloları başka br karakterzasyou vardır. Teore... E/ br cs geşlees ve a E olsu. a ı üzerde cebrsel olduğuu varsayalı. h(x), [x] te sıfırda farklı br olo olsu. () h(x) ok, () a, h(x) br kökü, () h(x), üzerde asal se h(x), a ı üzerdek al oloudur. İsat. İddayı sat etek ç, h(x) a yı kök olarak kabul ede herhag br f ( x) [ x] olouu böldüğüü gösterez gerekr. f(x), [x] e at br olo olsu ve a ı f(x) br kökü olduğuu varsayalı. f(x) h(x) le bölersek,uygu qx, ( ) rx ( ) x [ ] le f( x) = qx ( ) hx ( ) + rx ( ) rx ( ) = 0 veya deg r( x) < deg h( x) elde ederz. Bu eştlkte x yere a koyarsak 0 = f( a) = qa ( ) ha ( ) + ra ( ) = qa ( ) 0 + ra ( ) = ra ( ) ra ( ) = 0 olur. r(x), [x] te sıfır olouda farklı olsaydı, h(x) asal olouu, dereces oukde daha küçük ola r(x) olou le ortak a kökü buluuş olurdu k, Teore.9(4) e göre bu ükü değldr. O halde rx= ( ) 0 ve dolayısıyla f ( x) = q( x) h( x) tr. Böylece a yı kök kabul ede her f ( x) [ x] ç hx ( ) f( x ) olduğu satlaış olur. Örek..4. üzerdek al olouu bulalı., ok ve üzerde asal ola x + [ x] olouu br köküdür, o halde Teore.. e göre x +, üzerdek al oloudur. Ayı şeklde, x + [ x], üzerdek al oloudur. Dğer tarafta x + ( ( ))[ x], () üzerde asal değldr, çükü ( ( ))[ x ] te x + = ( x )( x+ ) dr., x br kökü olu, x, ( ( ))[ x ] te br ok asal olodur, dolayısıyla x, () üzerdek al oloudur. Örek..5. u = + üzerdek al olouu bulalı. u = + u u = u+ = (.6) u = u 4 u u + = 8u 4 u 0u + = 0

48 4 olduğuda +, f ( x) = x 0x + [ x] ok olouu br köküdür. Şd f(x) üzerde asal olduğuu gösterel. Souçta Teore.. e göre f(x), + ü üzerdek al olou olacaktır. Lea.87 ye göre, f(x) üzerde asal olduğuu gösterek yeter. ± / ± =± sayıları f(x) kökler oladığıda f(x) [ x ] te brc derecede olo çaraı yoktur. f(x), [ x ] te 4 x 0x + = ( x + ax+ b)( x + cx+ d) (.7) şeklde, kc derecede k olou çarıı bçde yazılablseyd 4 ( x + ax + b)( x + cx + d) = x + ( a + c) x + ( d + ac + b) x + ( ad + bc) x + bd 4 = x 0x + olurdu ve burada a + c = 0, d + ac + b = 0, ad + bc = 0, bd = elde edlrd. So deklede b= d =± buluur ve lk k deklede a+ c= 0, ac= veya a+ c= 0, ac= 8, ya a = veya a = 8 soucu çıkardı, oysa kares veya 8 e eşt ola hçbr a ta sayısı yoktur. O halde f(x), [ x ] te asaldır ve dolayısıyla + ü üzerdek al oloudur. Dördücü derecede f(x) olouu üzerde asal olduğu, dereces dörtte daha küçük ola başka br olou, da daha geş br cs üzerde asal olduğu gösterlerek satlaablrd. Şd roblee daha der br bakış açısı getre bu yöte vereceğz. (.6) eştlğ, + ü f ( x ): = x x ( ( ))[ x ] olouu br kökü olduğuu gösterr. + ü ( ) üzerdek al olou gx ( ) ( ( ))[ x] olsu. Bu takdrde ( ( ))[ x ] te gx ( ) f( x ) tr. Burada gx ( ) f( x) olsa deg g( x ) = ve gx ( ) = x ( + ) olurdu, çükü x ( + ) olou, + ü kök kabul ede, brc derecede tek ok olodur. Fakat gx ( ) ( ( ))[ x] tr; burada + ( ) ve dolayısıyla ( ) soucu çıkar. O halde uygu, ( 0, 0) le = + olur ve burada = + + = elde edlr k, bu br çelşkdr, çükü dur. O halde f ( x) g( x) = tr ve f ( x ), + ü ( ) üzerdek al oloudur. Şd f(x) üzerde asal olduğu kolayca gösterleblr. f(x) [x] te brc derecede çaraı yoktur. f(x), [x] te a,b,c,d rasyoel sayılar (ta sayı

49 olaları gerekez) olak üzere, (.7) dek gb çaralara ayrılablseyd, +, (.7) dek çaralarda br, öreğ x + ax + b br kökü olurdu. Dolayısıyla ( ( ))[ x ] te + ü kök kabul ede x + ax + b olou, ( ( ))[ x ] te + ü ( ) üzerdek al olou ola f ( x) = x x le bölüeblrd. Burada dereceler ve baş katsayılar karşılaştırılarak x x = x + ax+ b ve dolayısıyla a = elde edlrd k, bu a ı rasyoel oluşuyla çelşr. O halde f(x), üzerde asaldır. Aşağıdak lea, so örekte kulladığıız düşüce tarzıı belrgleştrr: Lea..6. E üç cs ve a E olsu. a, üzerde cebrsel se üzerde de cebrseldr. Üstelk f ve f, a ı sırasıyla ve üzerdek al oloları se [ x ] te f f dr. İsat. a, üzerde cebrsel ve f ( x ), a ı üzerdek al olou se f ( ) 0 a = dır. f( x) [ x] [ x] olduğuda burada, a ı üzerde cebrsel olduğu soucu çıkar. O halde f ( ) 0 a = ve f( x) [ x] te, a ı üzerdek f ( x ) al olouu taıı gereğce [ x ] te f( x) f( x ) elde edlr. Şd bast cebrsel geşleeler taılayacağız. Daha öcede bulduğuuz [ ] = () eştlğ aısayalı. Bu duru, br cebrsel elea tarafıda doğurula br bast geşlee gözöüe alıdığı her zaa geçerldr. Teore..7. E/ br cs geşlees ve a E olsu. a ı üzerde cebrsel olduğuu varsayalı, f de a ı üzerdek al olou olsu. [x] te f tarafıda doğurula esas deal xf [ ] = : ( f) le gösterecek olursak, a ( ) = a [ ] x [ ]/( f) tr. İsat. Ta : [ x] E sübsttüsyo hooorfs gözöüe alalı. Teore.. e göre erta = { h [ x]: h( a) = 0 E} = ( f ) tr ve Lea..7() e göre I Ta = [ a] dır. O halde x [ ]/( f) = x [ ]/ erta I Ta = a [ ] dır. Şd a ( ) = a [ ] eştlğ gerçekledğ gösterel. a [ ] a ( ) olduğuda sadece a ( ) a [ ] olduğuu gösterelyz. Buu ç, Lea..7 ye göre, sadece, ga ( ) 0 E koşulua uya her gx ( ) x [ ] ç a [ ] ga ( ) olduğuu gösterez gerekr. Gerçekte, gx ( ) x [ ] ve ga ( ) 0 E se f, g y böleez ve f, [x] te asal olduğuda f(x) ve g(x) oloları, Teore.9() e göre [x] te aralarıda asaldır. O halde f( x) r( x) + g( x) s( x) =

50 olacak şeklde rx ( ), sx ( ) x [ ] vardır. Bu eştlkte x yere a koyarsak, f( a ) = 0 E olduğuda ga ( ) sa ( ) = elde ederz. Burada = sa ( ) a [ ] soucu çıkar, ga ( ) dolayısıyla a ( ) a [ ] dır. O halde a ( ) = a [ ] dır. Teore..8. E/ br cs geşlees ve a E olsu. a ı üzerde cebrsel olduğuu varsayalı ve f, a ı üzerdek al olou olsu. Bu duruda a ( ): = degf tr, ya (a) cs üzerdek dereces, a ı [x] tek f al olouu derecese eşttr. deg f = se {, aa,,..., a }, (a) ı br -tabaıdır ve (a) ı her eleaı k0 + k a+ k a k a ( k0, k, k,..., k ) şeklde tek türlü gösterleblr. aa a, (a) ı br -tabaı olduğuu satlayacağız. Öce A ı üzerde (a) yı doğurduğuu gösterel. Teore..7 de a ( ) = a [ ], Lea..7() de de a [ ] = { ga ( ) E: g x [ ]} olduğuu blyoruz. O halde (a) ı her u eleaı, g(x), [x] te uygu br olo olak üzere, g(a) şeklde yazılablr. Bu g(x) olouu, dereces ola br f(x) olou le bölersek, uygu q(x), r(x) x [ ] le gx ( ) = qx ( ) f( x) + rx ( ) ( rx ( ) = 0 E veya deg r( x) ) elde ederz. Bu eştlkte x yere a koyarsak, u = g( a) = q( a) f( a) + r( a) = q( a) 0 E + r( a) = r( a) buluruz. O halde rx ( ) = k0 + kx + kx k x ( k ; = 0,,..., ) dersek, u = k0 + k a+ k a k a olur ve dolayısıyla A, üzerde (a) yı doğurur. İsat. A:= {,,,..., } Şd A ı üzerde leer bağısız olduğuu gösterel. k0 + k a+ k a k a = 0 E ( k0, k, k,..., k ) se a, hx ( ) = k0 + kx + kx k x x [ ] olouu br köküdür, dolayısıyla Teore..7 ye göre f ( x) h( x ) tr. Burada hx ( ) = 0 E olalıdır, çükü aks halde hx ( ) 0 E olurdu k, bu = deg f degh oluşu le çelşrd. hx ( ) = 0 E olası se k0 = k = k = = k = 0E olası deektr. O halde A, üzerde leer bağısızdır. Böylece A ı (a) ı br -tabaı olduğuu satlaış olduk. Burada a ( ) : = da ( ) =, aa,,..., a = = degf( x) { } soucu çıkar ve Teore.0 e göre (a) ı her eleaı k0 + k a+ k a k a şeklde tek türlü gösterleblr.

51 Taı..9. E/ br cs geşlees ve a E olsu. a ı üzerde cebrsel olduğuu varsayalı. a ı üzerdek al olouu derecese (k, bu ayı zaada (a) ı üzerdek derecesdr) a ı üzerdek dereces der. Örek..0. üzerdek al olou, Örek..4 e göre x + [ x] tr ve x + dereces dr. O halde, üzerde cebrsel olu, üzerdek dereces dr. Bezer şeklde, üzerdek al olou x + [ x] tr ve üzerdek dereces dr. Örek... Örek..5 te + üzerdek al 4 olouu x 0x + [ x] olarak buluştuk. Şu halde + ü üzerdek dereces 4 tür. Bu souç ayı zaada Teore..8 de de çıkarılır. Gerçekte, ve sayıları ( ) cs br -tabaıı oluştururlar, dolayısıyla ( ): = dr. Şd aşağıdak şeaya dkkat edel: 9 = ( + ) + ( + ) yazılableceğde ( + ) ve dolayısıyla ( ) ( + ) tür. O halde ( ), ( + )/ geşlees br ara csdr. Bua göre Teore.. de 4 = ( + ): = ( + ): ( ) ( ): = ( + ): ( ) ve dolayısıyla ( + ): ( ) = elde edlr, o halde + ü ( ) üzerdek dereces dr. Örek... üzerdek al olou x + [ x] olduğuda, Teore..7 ye göre [ x]/( x + ) ( ) dr. [ x]/( x + ) halkasıda x + [ x]( x + ) = + [ x]( x + ) eştlğ geçerldr. Burada şleler [ x ] halkasıdak gb yaılakta, fakat [ x+ [ x]( x + )] = x + [ x]( x + ) yere + [ x]( x + ) koaktadır. Ayı şeklde () = de şleler, üzerde br

52 değşkeş gb yaılakta ve yere yazılaktadır. Böylece [ x]/( x + ) ( ) = olduğu satlaış olur. Örek... Bezer şeklde, E/ br cs geşlees ve a E, üzerde al olou x + c x + c x cx+ c0 ola cebrsel br elea se, ya a = c a c a... c a c 0 se (a) cs k + k a+ k a k a ( k, k, k,..., k ) 0 0 elealarıda oluşur. (a) da hesalaalar, a üzerde br değşkeş gb düşüülerek ve a yere c a c a... c a c yazılarak yaılır. 0 4 Öreğ, + yere a yazılırsa, ( a ) da a = 0a elde edlr. t = + a a + a ( a) ve u = a+ a + a ( a) se t+ u = + a+ 5 a ( a), tu = ( + a a + a )( a + a + a ) = a+ a + 4a + a + a + a a a a + a + a + 6a = a+ a + 4a + 4a + a + 6a = a+ a + 4a + 4(0a ) + a(0a ) + 6 a (0a ) = a+ a + 4a + 40a 4 + 0a a+ 60(0a ) 6a = 64 + a+ 67a + 4 a ( a) dır. Şd a + a+ ters bulalı. Teore..7 ye göre [ x ] te 4 ( x 0x + ) r( x) + ( x + x+ ) s( x) = olacak şeklde rx ( ), sx ( ) oloları bulalıyız. Buu Ökld algortesyle yaalı. 4 x 0x + = ( x x 0)( x + x+ ) + (x+ ) x + x+ = x ( x+ ) + olu, burada = ( x + x+ ) x ( x+ ) 4 = ( x + x+ ) x ( x 0x + ) ( x x 0)( x + x+ ) 4 = ( x + x+ ) + x ( x x 0) x ( x 0x + ), ya 0 4 = ( x + x+ ) x x x+ x ( x 0x + ) elde edlr. Bu eştlkte x yere a yazılarak

53 ve dolayısıyla buluur. ( ) 0 = a + a+ a a a = + ( ) / a a a a a 4 Dkkat edlrse, a burada yalızca a 0a + = 0 bağıtısıı sağlaya br seboldür. a ı sayısal değer ola + =, br reel sayı olarak 4 dkkate alıaıştır. Bu, üthş br eseklk sağlar: a yı u, x 0x + olouu br köküü çere herhag br E geşlee cs br eleaı olarak düşüeblrz. Bu fkr, aşağıda ele alıacaktır. Teore..4. E/ solu boyutlu br geşlee olsu. Bu duruda E, üzerde cebrseldr ve ayı zaada solu doğuraylıdır. İsat. E: = olsu. E üzerde cebrsel olduğuu satlaak ç, E her eleaıı [x] te sıfırda farklı br olou kökü olduğuu gösterelyz. u, E keyf br eleaı se, Stetz yer değştre teoree göre E + tae, uu,,..., u, u eleaı, üzerde leer bağısız olaaz. O halde k0 + k u+ k u k u + k u = 0E olacak şeklde, hes brde sıfır olaya k0, k, k,..., k, k vardır. Şu halde gx ( ) = k0 + kx + kx k x + kx, [x] te dereces ola, sıfırda farklı br olodur ve u, g(x) br köküdür. O halde u, üzerde cebrseldr. u, E keyf br eleaı olduğuda, burada E üzerde cebrsel olduğu soucu çıkar. İkc olarak, { b, b,..., b} E, E br -tabaı se, E = s( b, b,..., b) = { k b+ k b k b : k, k,..., k } { f( b, b,..., b ) E: f [ x, x,..., x ]} = b (, b,..., b ) E ve dolayısıyla E = ( b, b,..., b ) dr, ya E, üzerde solu doğuraylıdır. Yukarık satta g(x) olouu dereces olduğu gerçeğ ayrı br lea olarak fade edel: Lea..5. E/, dereces E: = ola br cs geşlees olsu. Bu duruda E her eleaı üzerde cebrseldr ve bu eleaı üzerdek dereces, e fazla ye eşttr. Şd, cebrsel elealar tarafıda doğurula br geşlee cebrsel olduğuu göstereceğz.

54 Teore..6. E/ br cs geşlees ve a, a,..., a, a E solu sayıda eleaı olsu. a, a,..., a, a üzerde cebrsel olduğuu varsayalı. Bu duruda a (, a,..., a, a), ı br cebrsel geşleesdr. Aslıda, a (, a,..., a, a) ı solu boyutlu br geşleesdr ve dır. a (, a,..., a, a) : a ( ) : a ( ) : a ( ) : İsat. r = ( a ): olsu. =,...,-, ç a eleaı üzerde cebrseldr, dolayısıyla Lea..6 ya göre ayı zaada a (,..., a ) üzerde cebrseldr. Bua ek olarak, a a (,..., a ) cs üzerdek al olou, a üzerdek al olouu br böledr; bu al oloları dereceler karşılaştırılı, Teore..8 kullaılarak r : = ( ( a,..., a ))( a) : ( a,..., a ) ( a) : (=,...,-,) elde edlr. ( a) ( a, a)... ( a, a,..., a ) ( a, a,..., a, a) ve Lea..8() ye göre a (,..., a, a) = ( a (,..., a ))( a) (=,...,-,) olduğuda, Teore.. e göre a (, a,..., a, a) : = rr... rr ( a): ( a ): ( a): ( a): elde edlr. O halde a (, a,..., a, a), ı solu boyutlu br geşleesdr ve Teore..4 e göre ı br cebrsel geşleesdr. Lea..7. E/ br cs geşlees ve ab, Eolsu. a ve b, üzerde cebrsel se, a+ b, a b, a b ve a/ b ( b 0 E olduğu duruda) üzerde cebrseldr. İsat. a ve b, üzerde cebrsel se, Teore..6 ya göre (a,b), ı br cebrsel geşleesdr, ya (a,b) her eleaı üzerde cebrseldr. a+ b, a b, a b, a/ b de (a,b) eleaları olduğuda, olar da üzerde cebrseldr. Teore..8. E/ br cs geşlees, A da E üzerde cebrsel ola bütü elealarıı kües olsu. Bu duruda A, E br alt csdr (ve dolayısıyla E/ geşlees br ara csdr). İsat. ab, Ese a ve b, üzerde cebrseldr, o halde a+ b, a b, a b ve E / b ( b 0 E olduğu duruda), Lea..7 ye göre üzerde cebrseldr, dolayısıyla Lea.. ye göre A, E br alt csdr. ı her eleaı Örek..0 a göre üzerde cebrsel olduğuda, A dır. O halde A, E/ geşlees br ara csdr.

55 Taı..9. E/ br cs geşlees, A da E üzerde cebrsel ola bütü elealarıda oluşa alt cs olsu. Bu duruda A ya ı E dek cebrsel kaaışı der. A, şühesz ı br cebrsel geşleesdr. Gerçekte, a E se, a ı üzerde cebrsel olası ç gerek ve yeter koşul, a A olasıdır ve F, E/ ı br ara cs se, F üzerde cebrsel olası ç gerek ve yeter koşul, F A olasıdır. Bu bölüü so teore, br cebrsel geşlee br cebrsel geşlees gee br cebrsel geşlee olduğuu fade etektedr (cebrsel geşlee trastflğ). Teore..0. F, E, üç cs olsu. F, E br cebrsel geşlees, E de ı br cebrsel geşlees se F, ı br cebrsel geşleesdr. İsat. F her eleaıı üzerde cebrsel olduğuu gösterelyz. u F alalı. F, E üzerde cebrsel olduğuda u da E üzerde cebrseldr, o halde f( u ) = 0 E olacak şeklde br f ( x) = e0 + ex e x E[ x] vardır. L= ( e0, e,..., e ) dyel. f ( x) L[ x] olduğu açıktır. E, üzerde cebrsel olduğuda e0, e,..., e ler herbr üzerde cebrseldr ve Teore..6 ya göre L/ solu boyutludur. Ayrıca, f( u ) = 0 E ve f ( x) L[ x] olduğuda, u u L üzerde cebrsel olduğu soucu çıkar ve Teore..8 e göre L(u)/L solu boyutludur. O halde L( u): = L( u): L L: solu br sayıdır, ya L(u), ı solu boyutlu br geşleesdr. Teore..4 e göre L(u), ı br cebrsel geşleesdr. O halde L(u) u her eleaı üzerde cebrseldr. Özellkle u L( u) olduğuda, u u üzerde cebrsel olduğu görülür. u, F keyf br eleaı olduğuda, burada F ı br cebrsel geşlees olduğu soucu çıkar. Taı... ve L, br E cs k alt cs olsu. P, E asal alt cs olak üzere, E P üzerde L tarafıda doğurula alt cse ve L kooztuu der ve bu cs, L le gösterlr. O halde bu taıa göre L = P( L) = P( L ) = L, ya L=L dır. L kooztuu, E, ve L ks brde kasaya e küçük alt csdr k, burada da L=(L)=L() soucu çıkar. ve L gb k cs kooztuuu taılaak ç, buları daha geş br cs çde buluaları zoruludur. ve L, ortak br cs alt csler değlse L kooztuu taılaaaz. E/ br cs geşlees ve ab, Ese (a) ve (b) (a)(b) ( P a, b ) = ( a, b) dr. kooztuu, { }

56 . roecker Teore Bu aragrafta L. roecker, br cs üzerdek herhag br olou uygu br geşlee csde br köküü buluduğuu fade ede öel br teore satlayacağız. Bu teore, cs geşleeler esas teore olarak kabul edleblr. roecker felsef bakış açısıda bekleebleceğ üzere, sat kostrüktf br sattır, ya sadece br geşlee varlığı satlaakla kalayı, aslıda elealarıı eler olduğu ve oları asıl toladığı, çarıldığı ve tersler alıdığı gösterlektedr. Poloları kökleryle lgl tartışalarıızda () br cs, () [x] te br f(x) olouu, () ı br E geşlee cs, (4) E, f(x) kökü ola br a eleaıı verldğ varsaydık. Fakat brçok duruda sadece br cs ve [x] te br f(x) olou verld, roble de, f(x) br köküü bulaktı. Daha ayrıtılı olarak roble, ı br E geşlees ve E f( a ) = 0 E olacak şeklde br a eleaıı bulaktır. Sadece a yı bulakla kalayı, ayı zaada başta verleye E y de bulaız gerekr. roecker teore, buu asıl yaacağıızı alatır. Şd, 8. ve 9. yüzyılda koleks sayıları ateatkte ortaya çıktığı şu tarh öreğ gözöüe alalı: Mateatkçler, reel sayılar cs ve x + [ x] olouu blyordu. Bu olou de kökü yoktur, çükü kares e eşt ola hçbr reel sayı yoktur. Fakat. derecede br olou kökler vere, Cardao forüller gb öyle güçlü gösterler vardı k, x + [ x] olouu br kökü ç de böyle brşey buluablrd. Sora e yatı ateatkçler? Br reel sayı oladığıı çok y bldkler sebolüü türettler ve a+ b ( a, b ) fadeler gözöüe aldılar. Bu ttek fadelere koleks sayılar deld. a+ b ve c+ d gb k koleks sayıı eşt kabul edles ç gerek ve yeter koşul, a = c ve b= d olasıdır. İk koleks sayıı tolaı ( a+ b ) + ( c+ d ) = ( a+ c) + ( b+ d), çarıı se, ( ) sebolü reel sayısıa eşt olarak yorulaak üzere, ( a + b )( c + d ) = ac + ad + b c + b d = ac + bd + ad + bc ( ) ( ) = ( ac bd) + ( ad + bc) şeklde taıladı. Dolayısıyla, hesalaable br ese hale geld. oleks sayılar, cs özelkler kullaılarak ve ( ) yere koularak çarıldı. oleks sayıları sıralı reel sayı kller olarak şası, 9. yüzyılı ortalarıda W.R. Halto tarafıda verld. oleks sayıları daha öcek ateatkçler tarafıda kullaıla taııda teel olarak hçbr hata yoktu. cs, x + [ x] olouu br köküü çere ()

57 geşlee cs olarak bu şeklde şa edld. Daha ayrıtılı br şeklde belrtek gerekrse, 0+ koleks sayısı x + br köküdür. 4 Başka br örek verel: cs ve x 0x + [ x] olou verls. Bu olou br köküü bulak steyel. Örek.. te olduğu gb, burada da 4 a 0a + = 0 koşulua uya br a sebolü türetrz ve c0, c, c, c üzerde brbrde bağısız olarak dolaşak üzere, bütü c0 + ca + ca + ca fadeler gözöüe alırız. Bu fadeler ye sayılar dır. Bu ye sayılar, cs teel 4 özelkler kullaılarak ve a 0a + yere 0 yazılarak veya bua dek olarak, 4 a yere 0a yazılarak çarılır. (a) cs, ve a da, u, 4 x 0x + [ x] olouu br köküü çere br geşlee cs olarak şa 4 edlştr. Daha ayrıtılı olarak, 0+ a+ 0a + 0a sayısı, x 0x + br köküdür. Geel duruda e yaılacağı şd daha açıktır. Br cs ve [x] te asal ola br f(x) olou verldğe göre, f(x) br köküü bulak ç, f( u ) = 0 koşulua uya br u sebolü türetrz ve = deg f( x) ve, uu,,..., u ler hesalaable eseler olak üzere, -tabaı, uu,,..., u ola -vektör uzayıı gözöüe alırız. Bu -vektör uzayıı elealarıı, u yu üzerde br değşke olarak kabul ed, f(u) yere 0 yazarak çararız. Buu yaaı e atıklı yolu, Teore..7 de de öerldğ gb, x [ ]/( f ) bölü halkasıı gözöüe alaktır. Teore.. (roecker Teore). br cs ve f(x), [x] te asal br olo olsu. Bu takdrde ı, f(x) br köküü çere br E geşlee cs vardır. İsat. [x] f(x) tarafıda doğurula esas deale göre bölü halkası E = [ x]/( f) olsu. [x] br esas deal halkası ve f(x), [x] te asal olduğuda, Teore.7 ye göre E = x [ ]/( f) bölü halkası, br csdr. ϕ : E k k+ ( f) tasvr br halka hooorfsdr, çükü her k, k ç ϕ( k+ k) = ( k+ k) + ( f) = ( k+ ( f)) + ( k + ( f)) = ϕ( k) + ϕ( k), ϕ( k k) = k k + ( f) = ( k+ ( f)) ( k + ( f)) = ϕ( k) ϕ( k) dr. f(x), [x] te asal olduğuda, [x] te br artetk br değldr, dolayısıyla ϕ ( ) = + ( f ) 0 + ( f ) tr ve Lea..4 e göre ϕ (-) dr. Şu halde ϕ br cs hooorfsdr. yı E dek ϕ ( ) görütüsüyle özdeşleştrel ve k olak üzere, k+ ( f) yere k yazalı. Bu şeklde, yı E br alt cs, E y de ı br geşlees olarak elde etş oluruz. ısalık açısıda u = x+ ( f) E yazalı. u u, f(x) br kökü olduğuu dda edyoruz. Gerçekte,

58 se f x b bx b x b x x b ( ) = [ ] ( 0 ) f u = b + b u+ b u + + b u ( ) 0... ( b0 ( f)) ( b ( f))( x ( f)) ( b ( f))( x ( f))... ( b ( f))( x ( f)) = ( b0 ( f)) ( b ( f))( x ( f)) ( b ( f))( x ( f))... ( b ( f))( x ( f)) = = ( ) b0 bx bx b x f = f + ( f) = 0 + ( f ) = 0 E E dr ve dolayısıyla u E, f(x) br köküdür. Böylece E, ı, f(x) br köküü çere br geşlee csdr ( yı ϕ( ) E le özdeşleştrdğzde dolayı, k olak üzere, k 0 u 0 u... 0 u E yere k yazablrz). Yukarık sattak göster aye koruyalı. u ( ) Eolduğu açıktır. Ayı zaada, E her eleaı c0 + cx+ c x cx + ( f) bçde olu, c + c x+ c x c x + ( f) = c + c ( x+ ( f)) + c ( x+ ( f)) c ( x+ ( f)) = c + c u+ c u c u yazılablr ve dolayısıyla (u) ya attr; o halde E u ( ) dur. Bu se, E = u ( ) deektr, ya E = u ( ), ı br bast geşleesdr. Şd F = () t, ı, f ( x) [ x] br t F kökü tarafıda doğurula başka br bast geşlees olsu. Teore..7 ye göre Tu : [ x] ( u) Tt : [ x] ( t) gx ( ) gu ( ) gx ( ) gt ( ) sübsttüsyo hooorflerde hareketle α : x [ ]/( f) u ( ) β : x [ ]/( f) t ( ) gx ( ) + ( f) gu ( ) gx ( ) + ( f) gt ( ) cs zoorfler elde edlr. Dolayısıyla βα : u ( ) t ( ) gu ( ) gt ( ) br cs zoorfsdr, ya u ( ) t ( ) dr. Üstelk, her k ç α( k) = α( k+ ( f)) = Tu ( k) = k ve bezer şeklde her k ç β ( k) = k olduğuda βα ( u) ya kısıtlaışı, ı datk tasvrdr. Böylece, roecker teoree takvye telğ taşıya şu teore satlaış olduk:

59 Teore... br cs ve f ( x) [ x], [x] te asal br olo olsu. Bu takdrde ı, u ( u), f(x) br kökü olacak şeklde br u ( ) bast geşlees vardır. Üstelk, (t), t ( t), f(x) br kökü olak üzere, ı br bast geşlees se u ( ) t ( ) dr ve gerçekte ya kısıtlaışı, ı datk tasvr ola br ϕ : u ( ) t ( ) zoorfs vardır. Taı... br cs ve f(x), [x] te br asal olo olsu. Bu duruda u, f(x) br kökü olak üzere, ı br u ( ) bast geşleese (Teore.. ye göre böyle br cs vardır ve ya kısıtlaışı, ı datk tasvr le çakışa br zoorfde vazgeçldğ takdrde, tek türlü belrldr), f(x) br köküü ya katakla elde edle cs der. Not..4. br cs ve f(x), [x] te br asal olo olsu. u ( ) u, ya f(x) br u köküü katakla elde edle cs olduğuu varsayalı. c, f(x) baş katsayısı olsu. Teore.. te f ( x), u u üzerdek al olou c olduğuu blyoruz. O halde Teore..8 de u ( ): = deg f( x) = degf( x) c elde edlr, ya ya asal br f ( x) [ x] olouu br köküü katakla elde edle cs üzerdek dereces, f(x) derecese eşttr. Teore..5 (roecker). br cs ve f(x), [x]\ da dereces ola ( üzerde asal olası gerekeye) br olo olsu. Bu takdrde ı öyle br E geşlee cs vardır k, f(x) br köküü çerr ve E : dr. İsat. f ( x) [ x] olduğuda f(x), e sıfır oloudur, e de [x] te br artetk brdr. [x], asal çaralara ayrılışı tek olduğu br talık bölges olduğuda, f(x) asal oloları çarıı olarak yazablrz ve f(x) asal bölelerde br br köküü ya katablrz. Bu şeklde elde edle E cs, f(x) o asal böle ve dolayısıyla f(x) br köküü çerecektr. Üstelk, E :, f(x) o asal böle derecese eşt olacaktır; şu halde E:, e çok f(x) derecese eşttr. Örek..6. f ( x) = x F 5[ x] olouu gözöüe alalı. f(x), F 5 üzerde asaldır, çükü aks halde f(x) F 5 te br kökü buluurdu, oysa F 5 te kares F 5 ola hçbr elea yoktur. Şd f(x) br u köküü F 5 e katalı. Oluşa F ( u) cs, 5 F-tabaı 5 {, u } ola br F5 -vektör uzayıdır ve u = F 5 tr. Şd F ( u) 5 da brkaç örek hesalaa yaalı: (4 + u)( + u) = + 4u+ 6u+ u = + 0u+ = + 0 u+ =, ( + u)( + 4 u) = 6 + u+ 4u+ 8u = + u+ 4u+ = 7 + 6u = + u. u = F deklede dolayı ( u) 5 ( 5) alaşacağız. Burada F da u yere yaza kousuda sadece hesalaa u eses dğer s olduğuu

60 tab k uutayacağız, ya, sayısal değer,44... ola reel sayı değl, kares ola br seboldür. Şd (+ )( + ) ve hesalayalı. (4 + ) {, } F-tabaı 5 csde (+ )( + ) = = ( + 4) + (+ 6) = +, = = = = = (4 ) = 4(4 ) = 6 4 = +. 4 ϕ : F ( ) F ( ) 5 5 a+ b a b tasvr, F ( ) 5 br otoorfsdr, çükü her a+ b, c+ d F 5( ) ç ϕ[( a+ b ) + ( c+ d )] = ϕ[( a+ c) + ( b+ d) ] = ( a+ c) ( b+ d) = ( a b ) + ( c d ) = ϕ( a+ b ) + ϕ( c+ d ) ve ϕ[( a + b ) ( c + d )] = ϕ[( ac + bd) + ( ad + bc) ] = ( ac + bd) ( ad + bc) = ( ac + ( b)( d)) + ( a( d) + ( b) c) = ( a b ) ( c d ) = ϕ( a+ b ) ϕ( c+ d ) dr. ϕ aşkar olarak üzeredr ve erϕ F ( ) 5 dr. Bo teoree (Teore.48) göre her a+ b F5 ( ) ç ( a+ b ) = a + 5a b + 0a b + 0a b + 5ab 4+ b = a + 4b = a+ 4b = a b dr. O halde ϕ ayı zaada olarak da taılaablr. ϕ : F ( ) F ( ) 5 5 t t 5 Örek..7. gx ( ) = x F 5[ x] olou da F 5 üzerde asaldır. g(x) br kökü ola ü F 5 e katakla F ( ) cs elde edlr k, bu cs br 5 F- 5 vektör uzayı olu, 5, tür ve ( ) = F 5 tr. Tab k, F üzerdek br tabaı { } ü,7... reel sayısı oladığıı, sadece kares ola, hesalaable br ese olduğuu uutaalıyız. F ( ) te 5

61 (+ )(+ 4 ) = = 7+ 4 = + 4, ( + )( + 4 ) = = = 4, + = = = = ( + ) = 4( + ) = tür. F 5 te 8= olduğu gb, ç de 8 yazablrz. Burada 5 8 F ( ), ( 8) = 8= ü sağlaya, hesalaable br esedr, ya 8,,88... reel sayısı değldr, kares 8 ola br esedr. 8 8 = 4 = şeklde yazaya kalkışablrz. Acak, bu doğru değldr. Çükü 8 F 5( ) ve F 5( ) dr, ya 8 ve, k farklı cs eleaıdır ve bu k cs kesş F 5 e eşt oladığıda, 8= yazak alalı değldr. Burada ψ : F ( ) F ( ) 5 5 a+ b a+ b tasvr, lgç br tasvrdr. Gerçekte, her a+ b, c+ d F 5( ) ç ψ[( a+ b ) + ( c+ d )] = ψ[( a+ c) + ( b+ d) ] = ( a+ c) + ( b+ d) = ( a+ b ) + ( c+ d ) = ψ( a+ b ) + ψ( c+ d ) ve ψ[( a + b ) ( c + d )] = ψ [( ac + bd) + ( ad + bc) ] = ( ac + bd) + ( ad + bc) = ( ac + b d) + ( a d + b c) = ( a+ b ) ( c+ d ) = ψ( a+ b ) ψ( c+ d ) tür ve dolayısıyla ψ br halka hooorfsdr. ψ üzere (-) olduğu açıktır, şu halde ψ br cs zoorfsdr. O halde F ( ) ve F ( ) 5 5, zoorf cslerdr, ya F5( ) F 5( ) dr. Bu k cs ψ zoorfs edeyle özdeşleştreblrz, ya her ab, F 5 ç a+ b = a+ b yazablrz. Acak o zaa = yazablrz. Bu k cs her ab, F 5 ç a+ b = a b dyerek, ya ϕψ : F5( ) F 5( ) zoorfs yardııyla özdeşleştreblrdk. Buları asıl özdeşleştrdğz öel değldr, fakat tutarlı br şeklde, he ayı özdeşleştrey kullaalıyız.

62 F ( ) ve F ( ) csler, her 5 5 ab, F 5 ç a+ b = a+ b yazarak özdeşleştrdğz takdrde, öreğ 8 kares 8 F 5 ola, hesalaable br ese olarak yorulayaayız, çükü F5( ) = F 5( ) de kares 8 ola k elea vardır k, bular ve = dr. 8 olarak ve de hags kastettğz utlaka belrtelyz. Aks takdrde, dek ye bezer br hata olarak, F ( ) de 5 7 = ( 7) = 49 = 7 = 9 = 8= 9 = 4 = gb hatalar yaablrz. de kares 49 ola k sayı vardır k, bular 7 ve -7 dr ve 49, 7 ve 7 sayılarıda oztf olaı olarak alaşılır. Şu halde 49 yazdığıızda Bu, 49 olarak 7 ve 7 hags kastettğz keslkle belrtrz. 7 = ( 7) hatasıı yaaızı öler. F ( ) 5 de de, 8 olarak ve de hags aldığıızı belrtek, = hatasıa düşez öler.

63 4. Solu Csler Solu csler, ya solu elealı csler bazı örekler daha öce görüştük. Bu aragrafta solu csler bazı özelkler ele alacağız. So zaalarda, solu cslerle Galos teorsde sora uğraşak adet hale gelştr. Bz solu cslere yaklaşııız, alışılışta daha eleater ve daha sout olacaktır. Bu da Galos teors daha y alaşılasıı sağlayacaktır. Br solu cs ertebes asal sayı kuvvetlere kısıtlayarak şe başlayalı. Lea.4.. q br doğal sayı ve, q elealı br cs olsu. Bu takdrde uygu br asal sayısı ve uygu br doğal sayısı ç q= dr. İsat., q elealı br cs olsu. ı ya zoorf olduğuu bldğz asal alt cs olaaz, çükü aks halde sosuz elea çerrd. O halde ı asal alt cs, uygu br asal sayısı ç F olak zorudadır. Şd yı br F -vektör uzayı olarak gözöüe alalı. ı F üzerdek boyutu solu olak zorudadır. Bu solu boyuta : F = dyel. ı br F -tabaı { k, k,..., k } olsu. Bu takdrde, a ( =,,..., ) ler brbrde bağısız olarak F y dolaşak üzere, a k+ a k a k elealarıda oluşur ve ( a, a,..., a) ( b, b,..., b) olduğuda a k+ a k a k b k+ b k b k olur. Böylece a, a,..., a de her br ç tae olası seç vardır ve dolayısıyla da ta tae elea vardır. O halde q = koşulu, q elealı br cs varlığı ç gerek br koşuldur. Bu aragraftak asıl aaçlarıızda br, bu koşulu ayı zaada yeter br koşul olduğuu gösterektr. Lea.4. satıda, elealı br cs karakterstğ olduğuu blyoruz. Şd karakterstğ asal ola (solu olaları gerekeye) cslere lşk k lea satlayacağız. Lea.4.., karakterstğ 0 ola br cs olsu. Bu duruda her ab, ç ( a+ b) = a + b, ( a b) = a b dr.

64 İsat. Bo teore kullaacağız. Burada br asal sayıdır ve k=,,..., ç bo katsayıları, le bölüeble ta sayılardır. Çükü k!, le bölüeblr, ya k! ( k)!, le bölüeblr; fakat k! ( k)! le k aralarıda asal olduğuda, Artetğ Esas Yardıcı Teoree göre, yı k böler. O halde her ab, ç k k ( a+ b) = a + a b + b = a b = a + b k= k k= dr, çükü, br katıdır ve kar= olduğuda, k a k k b = 0 ( k =,,..., ) dır. Böylece ( a+ b) = a + b eştlğ k satlaış olur. ( ab ) = a b ddası se Lea.7(5) te dolayı doğrudur. Lea.4. de dolayı ϕ : a a tasvr, br cs hooorfsdr ( = 0 olduğu açıktır). arakterstğ br asal sayısı ola br cs a, a,..., a gb tae eleaı ç ( a+ a a) = a + a a olduğu, ye göre tüevarıla sat edlr. Lea.4.., karakterstğ 0 ola br cs ve olsu. Bu takdrde her ab, ç dr. ( a+ b) = a + b İsat. İsatı ye göre tüevarıla yaacağız. Lea.4. ye göre ( a+ b) = a + b dr, ya dda = ç doğrudur. Şd > alalı ve ddayı =k ç doğru varsayalı, ya ( a+ b) k = a k + b k olsu. Bu takdrde her ab, ç k + k k k k k k + k + ( a+ b) = [( a+ b) ] = [ a + b ] = ( a ) + ( b ) = a + b olur, ya dda =k+ ç de doğrudur. Şu halde dda her ç doğrudur. Lea.4.5. q ve, q elealı br cs olsu. Bu takdrde: * q () Her a ç a = dır. () Her a ç q a = a dır.

65 () [x] te x q x= ( x a) dır. a (4) f(x), [x] te dereces d ola, sıfırda farklı br olo olsu. [x] te q f ( x) x x se, f(x) da ta d tae kökü vardır ve bu kökler, kşer kşer brbrde farklıdır. a * ç İsat. () * * br çarı grubu olu, { } q a = dır. q () a 0 se () de, a = 0 se 0 = 0 eştlğde = \ 0 = q dr. Şu halde her q a = a elde edlr. q () ı her a eleaı, () de dolayı, x x [ x] olouu br köküdür. O halde he q x x, he de ( x a), [x] te, ı q tae a eleaıı a q kök olarak kabul ede, q. derecede br ok olodur. x x ( x a) q olsaydı ( x x) ( x a) olou, dereces q da küçük ola ve brbrde a farklı e az q tae kökü ola, sıfırda farklı br olo olurdu k, bu Teore.89 q le çelşr. Şu halde x x= ( x a) olak zorudadır. (4) f ( x) x q a a q x olduğuda x x= f( x) g( x) olacak şeklde br q gx ( ) x [ ] vardır ve deg g( x) = q d dr. () e göre x x kökler kşer kşer q brbrde farklıdır ve f(x) her kökü, ayı zaada x x de br kökü olduğuda, f(x) kökler de kşer kşer brbrde farklı olduğu görülür. Bezer şeklde, g(x) kökler de kşer kşer brbrde farklıdır. Teore.89 a göre g(x) da e fazla q d tae kökü vardır. f(x) da r tae kökü bulusaydı q ve r<d olsaydı x x= f( x) g( x) da e fazla r+(q d)(<q) tae kökü olurdu. q Bu se ı, sayıları q ola tü elealarıı, x x kökler oluşua aykırıdır. O halde f(x) da e az d tae kökü vardır. Oysa Teore.89 a göre f(x) da e fazla d tae kökü buluablr. Şu halde f(x) da ta d tae kökü vardır. Lea.4.6. L/ br cs geşlees olsu ve ı q( ) tae eleaıı buluduğuu varsayalı. b, L herhag br eleaı olsu. b q olası ç gerek ve yeter koşul, b = b olasıdır. İsat. b olası ç gerek ve yeter koşul, b, ( x a) olouu br kökü olası, dolayısıyla q x x br kökü olası, ya a q b = b olasıdır. So k lea, solu br cs alt csler hakkıda blg sahb olaızı sağlayacaktır. ve, sırasıyla ve elealı k solu cs ve * * olsu. Bu takdrde dır ve dolayısıyla Lagrage teoree göre ag..

66 =, = böler. Şd buu olables ç gerek ve yeter * * koşulu olduğuu göstereceğz. Lea.4.7., olsu ve d = (, ) dyel. Bu takdrde: d () Her k ç ( k, k ) = k dr. () herhag br cs ve x, üzerde br değşke se asal çaralara ayrılışı tek olduğu [x] talık bölgesde ( x, x ) x d dr. İsat. () ( e= k, k ) dyel. d d ( / d) d ( / d) d k = ( k )[( k ) + ( k ) k + ] d d d olduğuda k k dr. Bezer şeklde k k dr, dolayısıyla k e dr. Dğer tarafta, k ( e) dr, o halde k = dr ve dolayısıyla k * da e ( ) dr. Bezer şeklde k dr, o halde k d ve dolayısıyla * da e ( ) d k = dr k, bu d d d d d da k ( e), ya ek deektr. k e ve ek de e= k soucu çıkar. () f( x) = ( x, x ) dyel. d d ( / d) d ( / d) d x = ( x )[( x ) + ( x ) x + ] olduğuda [x] te d d x x dır. Bezer şeklde x x f x dır ve d dolayısıyla x ( ) tr. Dğer tarafta f( x) x olduğuda x [ ]/( f( x )) te ( x + ( f)) = x + ( f) = + ( f) dr, dolayısıyla x + ( f), [ x]/( f) te br artetk * brdr ve x + ( f) ( [ x]/( f)) ı ertebes le, bezer şeklde le ve d d dolayısıyla d le bölüeblr. O halde x + ( f) = ( x+ ( f)) = + ( f) dr ve [x] te ( ) d d d d f x x dır. x f( x) ve f( x) x da f( x) x soucu çıkar. Lea.4.8.,,, br cs ve x, üzerde br değşke olsu. () Her k ç, k k olası ç gerek ve yeter koşul, olasıdır. () [x] olo halkasıda x x olası ç gerek ve yeter koşul, olasıdır. () [x] olo halkasıda x xx xolası ç gerek ve yeter koşul, olasıdır. İsat. (, ) () k k ( k, k ) = k k = k (, ) =

67 (, ) () x x ( x, x ) x x = x () (, ) = () () x xx x x x Teore.4.9., ( asal) elealı br cs olsu. ı elealı br alt cs buluables ç gerek ve yeter koşul, olasıdır. olası duruuda ı elealı br ve br tek alt cs vardır ve bu alt cs dır. { a a } = a İsat. Gereklk. elealı cs elealı br alt cs varsa dr: Daha öce de fade edldğ gb, ı elealı br H alt cs varsa * * H, ı br alt grubudur ve dolayısıyla Lagrage teoree göre * * H =, = böler. de Lea.4.8() e göre elde edlr. Yeterlk. se Lea.4.6 dak gb, da elealı cs a kües gözöüe alalı ve { } boş değldr ve her ab, elealı br alt cs vardır: = a koşuluu gerçekleye bütü a elealarıı = a a = a dyel. olduğuda ç ( ) a+ b = a + b = a+ b (Lea.4. e göre) olduğuda a+ b, ( b) = [( ) b] = ( ) b = ( ) b b, ( ) ab = a b = ab ab, ( / b) = / b = / b ( b 0 olak koşuluyla) / b dr, dolayısıyla, ı br alt csdr. Şd ta tae eleaıı buluduğuu gösterel. olduğuda Lea.4.8() e göre [x] te x xx xtr. O halde Lea.4.5(4) e göre x x olouu ta tae kökü vardır ve bu kökler, kşer kşer brbrde farklıdır ve x x kökler, elealarıda barettr. Şu halde gerçekte ta tae eleaı vardır. Bu se olduğuda ı elealı br alt cs evcut olduğuu kaıtlar. Üstelk, elealı tek alt cs vardır., ı br alt cs ve = se, herhag br b eleaı, Lea.4.6 ya göre b = b eştlğ gerçekler ve dolayısıyla dr k, burada da = soucu çıkar.

68 Teore.4.9 a br örek olarak, 4096 ı 4096 = elealı br cs olduğuu farzedel. Bu takdrde q, q elealı br cs gösterek üzere, 4096 ı bütü alt csler, aşağıdak şeklde görüldüğü gbdr: Özellkle, 4096 elealı br cs varlığıı kabul etekle, ayı zaada 4 6,,,, elealı br cs de varlığı soucua varablrz. Fakat 4096 elealı br cs gerçekte var olu oladığıı blyoruz, dolayısıyla yukarık dda çok zayıftır. Aslıda herhag br asal sayısı ve herhag br doğal sayısı ç elealı br cs varlığı doğrudur. Bu ddayı sat edeceğz. Buu ç eleater sayılar teorsde bazı souçlara htyacıız vardır. Aşağıda ad göster kullaacağız. Bu şu alaa gelektedr: d dr ve d, ( ve de dahl) bütü oztf böleler dolaşak üzere, a d terler tolaı alıaktadır. Öreğ ad = a+ a + a + a4 + a6 + a ve d ad = a+ a+ a5 + a5 tr. Aşkar olarak ad = a/ d d 5 d d gösterler, bezer alalar taşıyacaktır. dr. ad ve U Sd d d dr. Lea.4.0. ϕ, Euler foksyou olak üzere, her ç d ϕ ( d) = İsat. Her k ç ϕ ( k), k yı geçeye ve k le aralarıda asal ola doğal sayıları sayısı olarak taılaıştır.,,..., sayılarıda herhag br le e büyük ortak böle, d gb br oztf böledr. Dolayısıyla S = k k,( k, ) = d olak üzere, dr. So eştlkte { } d { } { },,..., = U Sd =,,..., = Sd elde edlr. Burada d d

69 d { :, (, ) } S = k k k = d { k : k, d k, ( k, ) d} = = { k : k, k db ( b ), ( k, ) d} { db : db, ( db, ) d} = = = = = = db : db, db, d = d d = db : b, b, = d d dr. O halde S d, b ve b, = koşullarıa uya b doğal sayılarıı d d sayısıa, ya ϕ ( / d) ye eşttr. Burada elde edlr. = S = ϕ( / d) = ϕ( d) d d d d Br sorak leaı fadesde kolaylık sağlaası açısıda bazı taılaalar yaacağız: olak üzere, br od. ta kala sste, tae ta sayıda oluşa br küe olarak taılaır, öyle k,bu ta sayılarda her br,,,..., de br ve yalız bre od. kogrüdür. O halde od. br ta kala sste öyle br { r, r,..., r } küesdr k, r, r,..., r od. kala sııfları, y oluştururlar. Özellkle r ( =,..., ) ta sayıları od. brbrlere kogrü değldrler (ve tab k, brbrlerde farklıdırlar). r, r,..., r od. brbre kogrü olaya ta sayılar se { r, r,..., r } kües od. br ta kala sstedr. Ayı zaada, her ta sayı r, r,..., r ta sayılarıda bre od. kogrü se, { r, r,..., r } kües gee od. br ta kala sste oluşturur. Mod. br drgeş kala sste, ϕ ( ) tae ta sayıda oluşa br küe olarak taılaır, öyle k, ta sayılarda herbr,,,..., ta sayıları çde le aralarıda asal olalarda br ve yalız bre od. kogrüdür. O halde od. br drgeş kala sste öyle br { a, a,..., a ϕ ( ) } küesdr k, * a, a,..., a ϕ ( ) od. kala sııfları, ı oluştururlar. Özellkle a ( =,..., ϕ( )) ler brbrlere od. kogrü değldrler (ve tab k, brbrlerde farklıdırlar). a, a,..., a ϕ ( ) le aralarıda asal ola ve od. brbrlere kogrü olaya ta sayılar se, { a, a,..., a ϕ ( ) } od. br drgeş kala sstedr. Ayı zaada, le aralarıda asal ola her ta sayı a, a,..., a ϕ ( ) ta sayılarıda bre od. kogrü se { a, a,..., a ϕ ( ) } kües gee br od. drgeş kala sstedr.

70 Lea.4.., ve (,)= olsu. Bu takdrde: () { r r r } br od. ta kala sste ve { },,..., od. ta kala sste se br od. ta kala sstedr. { s rj :,..., ; j,..., } + = = () {,,..., ( ) } { b, b,..., b ϕ ( ) } br od. drgeş kala sste se { a bj :,..., ϕ( ); j,..., ϕ( ) } s, s,..., s br a a a ϕ br od. drgeş kala sste ve + = = br od. drgeş kala sstedr. () ϕ( ) = ϕ( ) ϕ( ). İsat. () tae s + rj ta sayılarıı brbrde farklı herhag k taes od. brbre kogrü oladığıı gösterek yeterldr. Gerçekte, s + rj s + rj ( ) se s + rj s + rj ( ) ve s + rj s + rj ( ) rj rj ( ) ve s s ( ) ((,)= olduğuda) rj rj ( ) ve s s ( ) rj = r j ve s = s olacağıda s + rj = s + rj dür. () { a, a,..., aϕ ( ) } { r, r,..., r} ve { b, b,..., b ( ) } { s, s,..., s} şeklde br { r r r } od. ve br { },,..., Burada { a, a,..., a ( ) } { rj j,...,, ( rj, ) } ϕ = = = ve { b, b,..., b ( ) } { s,...,, ( s, ) } { s rj,..., ; j,..., } ϕ = = = dr. Bu duruda ϕ olacak s, s,..., s od. ta kala sste alalı. + = =, od. br ta kala sstedr. O halde s + rj le aralarıda asal olası ç gerek ve yeter koşulu ( s, ) = ve ( rj, ) = olası olduğuu gösterek yeterl olacaktır. Gereklk. ( s + rj, ) = se ( s, ) = ve ( rj, ) = dr: ( s, ) > olsa ( s, ) s + r j ( s, ) ( s + rj, ) ( s + rj, ) > ( s, )

71 olur. Bezer şeklde ( rj, ) > olsa ( s + rj, ) > olur. Oysa hoteze göre ( s + r, ) = dr. Şu halde ( s, ) = ve ( r, ) = olak zorudadır. j Yeterlk. ( s, ) = ve ( rj, ) = se ( s + rj, ) = dr: d=( s + r, ) dyel. d > olsa d olacak şeklde br asal sayısı buluur. olur ve, j j se d s ; s d s j + j, (, ) = (, ) = r j,.... (, ) = AEYT rj r r r de (, r ) = gb br çelşk elde edlr. Bezer şeklde, j se (, s ) = gb br çelşk elde edlr. O halde ( s + rj, ) = olak zorudadır. () () ye göre od. br drgeş kala sste elea sayısı ϕ( ) ϕ( ) dr. O halde le aralarıda asal olduğuda ϕ( ) = ϕ( ) ϕ( ) dr. k ya göre tüevarıla şu geelleştreye varablrz: İkşer kşer aralarıda asal ola,,..., k doğal sayıları ç ϕ(.... ) = ϕ( ). ϕ( )... ϕ( ) k dır. Özellkle se ve kaok ayrılışı... k = α α k şeklde se k ϕ( ) = ϕ( α ). ϕ( α )... ϕ( α k ) dır. Şd, br asal sayı olak üzere, ϕ ( α ) yı kaalı şeklde bulak kolaydır: α tae,,..., α ta sayısı çde ta α taes, ya,,..., α α α ta sayıları, le aralarıda asal değldr, dolayısıyla ta taes le α α α aralarıda asaldır. Bu se ϕ( ) = deektr. ϕ ( α ) ayı zaada α α ϕ( ) = olarak da yazılablr. k α j se O halde, > se ve kaok ayrılışı... k = α α α şeklde k

72 ϕ dır. So fadey açarak α α α α αk αk ( ) = ( )( )...( ) α α αk =... ( )( )...( ) k α α α k =... k... k =... k k k k k ϕ( ) = ( )... k k k k elde ederz. O halde d, farklı asal böleler br çarııı gösterek üzere, ϕ ( ), bçdek terler tolaıa eşttr ve şaret, asal böleler d sayısıı tek veya çft oluşua göre veya + dır. Şu halde ϕ ( ), ϕ( ) = μ( d) d d şeklde yazılablr. Burada, d uygu br asal sayıı kares le bölüeblr se μ ( d) = 0 dır, aks halde d farklı asal böleler sayısıı çft veya tek oluşua göre μ ( d) = veya μ ( d) = dr. Taı.4.. μ () =, μ ( ) = ( ) r (, r tae farklı asal sayıı çarıı bçde se) μ ( ) = 0 (, br asal sayıı kares le bölüeblyorsa) şeklde taılaa μ : foksyoua Möbus foksyou der. Öreğ μ () =, μ () =, μ () =, μ (4) = 0, μ (5) =, μ (6) =, μ (7) =, μ (8) = 0, μ (9) = 0, μ (0) = dr. = ϕ( d) ve ϕ( ) = μ( d) forüller brbre eşdeğerdr. Bu, d d d Möbus Ters Çevre Forülü olarak ble ve ad böleler tolaı le a d y brbre bağlaya br forülü özel haldr. Bu forülü verede öce şu leaya htyacıız vardır: Lea.4.. Br verldğe göre, μ( d) tolaı, = ç e, > ç 0 a eşttr. d d

73 İsat. = se d μ( d) = μ( d) = μ() = dr. > se ve kaok ayrılışı... k = α α α k bçde se d dır. μ( d) = μ( d) = μ() + ( μ( ) + μ( ) μ( )) d d... k + ( μ( ) + μ( ) μ( )) k + ( μ( ) μ( )) k k k μ(... ) k k k k = k k = ( ) = 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) k k k f : Lea.4.4 (Möbus Ters Çevre Forülü). br cs ve herhag br foksyo olsu. F: foksyouu F( ) = f( d) ( ) şeklde taılayalı. Bu duruda her ç f ( ) = μ( d) F = μ F( d) d d d d dr. d İsat. olsu. herhag br d oztf böle ç F = f( b), d b d μ( d) F = μ( d) f( b), d d b d μ( d) F = μ( d) f( b) d d b d dr. So tola, db koşulua uya oztf böleler bütü ( db, ) sıralı kller üzerde alıaktadır. Bu tola, ayı zaada bd koşulua uya oztf böleler bütü (, bd ) sıralı kller üzerde alıa toladır. O halde μ( df ) = μ( d) fb ( ) = fb ( ) μ( d) = f ( ) d d b b d/ b d b

74 dr, çükü Lea.4. e göre, böle se 0 a eşttr. F : μ( d) tolaı b= ç e, b, br has d/ b * Lea.4.5. br cs ve f : herhag br foksyo olsu. foksyouu F( ) = f( d) ( ) şeklde taılayalı. Bu duruda her ç μ ( d ) f( ) = F = F( d) d d d dr. İsat. olsu. F = f( b) d d b d μ d olduğuda F d μ ( d ) = b d μ ( d ) ( ), f b ve dolayısıyla dr. F d μ ( d ) = d d b d d b b d b f( b) μ ( d ) μ ( d ) μ ( d ) F = f b = f b = f d μ ( d ) d/ b ( ) ( ) ( ) Şd tekrar solu cslere döel. Her asal sayısı ve her doğal sayısı ç, elealı br solu cs buluduğuu ve elea sayıları ayı ola herhag k solu cs brbre zoorf olduğuu satlayacağız. Öcelkle, asal çaralara ayrılışı tek olduğu F [ x ] halkasıda x x F [ x ] asal ololara ayrılışıyla şe başlayalı. Burada x x bütü asal çaralarıı brbrde farklı olduğu ve F [ x ] te br asal olou x x böles ç gerek ve yeter koşulu, dereces y böles olduğu soucu çıkacaktır. Teore.4.6. br oztf asal sayı olsu ve Fd ( x ), F [ x ] te dereceler d ola bütü ok asal oloları çarıı olsu ( F [ x ] te dereces d ola hçbr ok asal olo yoksa Fd ( x ), F [ x ] sabt oloua eşt olsu). Bu takdrde F [ x ] te

75 tr. İsat. x aralarıda asaldır. Şu halde bölüeez. Özellkle le bölüeez. x x F ( x) = d x bütü kökler basttr, çükü x x d x x x le türev, x, F [ x ] te herhag br olou kares le x, F [ x ] te asal çaralarıda herhag br kares f ( x ) F [ x ] te br ok asal olo olduğuu farzedel ve d = deg f( x) olsu. f(x) br a köküü F ye katarak F ( a ) cs oluşturalı. f(x), a ı F üzerdek al oloudur, dolayısıyla F ( a): F = deg f( x) = d dr ve F ( a ), a elealı br csdr. Bu edele, Lea.4.5() e göre, her b F ( a) ç olası ç gerek ve yeter koşulu a b = b dr. Şd, F [ x ] te ( ) f x x x de d olası olduğuu satlaalıyız. Yeterlk. de d se F [ x ] te ( ) f x x x tr: a F ( a) olduğuda d a d = a dır, dolayısıyla a, x x F [ x] br köküdür. f(x), a ı F üzerdek al olou olduğuda, f ( x) x d x olak zorudadır. d olduğuda Lea.4.8() e göre d x xx xtr k, burada da f ( x) x x soucu çıkar. Gereklk. F [ x ] te ( ) f x x x se de d dr: f ( x) x x olduğuu varsayalı. Bu duruda uygu br gx ( ) F [ x] ç f ( x) g( x) = x x ve dolayısıyla f( a) g( a) = a a= 0 dır. O halde a, x x br köküdür. Dğer tarafta F ( a ) ı her eleaı, x x br köküdür. Çükü b F ( a) se d f0, f,..., fd F olak üzere, b= f0 + f. a+ f. a fd. a dr k, burada d b = ( f + f. a+ f. a f. a ) 0 d = f + f. a + f.( a ) f.( a ) = f + f a+ f a + + f a = b d 0 d d d. elde edlr. Lea.4.5() e göre F ( a ) ı eleaları, d x d x x x kökleryle çakıştığıda, x her köküü x de br kökü olduğu görülür. O d halde x xx xtr ve dolayısıyla Lea.4.8() e göre d dr.

76 Lea.4.7. br asal sayı, N de F [ x ] te dereces d ola ok asal d oloları sayısı olsu. Fd ( x ) se F [ x ] te dereces d ola N d tae ok asal olou çarıı olsu ( N d = 0 se Fd( x ) = F dr). Bu takdrde her ç dır. () = dnd, () d F x x x μ ( / d) ( ) = ( ), d d () N = μ( / d), d (4) N > 0 d İsat. () x x= F ( x) eştlğ her k tarafıdak oloları dereceler eştleerek, forülü doğru olduğu görülür. d d () Lea.4.5, y F ( x ) e götüre F: F ( x) tasvr le uygulaarak, x x= F ( x) eştlğde souç elde edlr. edlr. d d () () de Möbus Ters Çevre Forülü yardııyla stee eştlk elde d (4) Taı gereğ N 0 dır. N = 0 olsa, () e göre μ ( / d) = 0 olur. d d0 Bu eştlğ her k tarafı μ( / d) 0 koşulua uya ler e küçüğü ola d d0 le bölüerek μ( / d ) = μ( / d) şeklde br eştlk elde edlr k, bu 0 d d d 0 eştlğ sağ tarafı le bölüeblr, acak sol tarafı le bölüeez. Şu halde N > 0 olak zorudadır. d Teore.4.8. br doğal sayı ve br asal sayı olsu. Bu takdrde elealı br solu cs vardır. İsat. Lea.4.7(4) e göre F [ x ] te. derecede br f(x) asal olou vardır., f(x) br köküü F ye katakla elde edle cs olsu. Bu takdrde Teore..8 e göre : F = dr ve, elealı br csdr. * Teore.4.9. br cs ve G, ı solu br alt grubu olsu. Bu * duruda G devreseldr. Özellkle, solu br cs se da devreseldr.

77 İsat. = G olsu. G herhag br g eleaıı ertebes, br böledr. O halde G y br ayrık brleş olarak U { : } G = g G g = d d şeklde yazablrz. Burada, ψ ( d), G de ertebes d ola eleaları sayısıı gösterek üzere, G ψ ( d) elde edlr. = = Şd ψ ( d) ya sıfıra ya da ϕ ( d) ye eşt olduğuu göstereceğz. G de ertebes d ola hçbr elea yoksa tab k, ψ ( d) = 0 dır. G de ertebes d ola br g eleaı varsa, bu takdrde g tarafıda doğurula <g> devresel grubudak d d d tae eleaı herbr g = G eştlğ sağlar. O halde bu elealar, x x [ ] olouu köküdür, dolayısıyla bu olou da e az d tae kökü vardır. Dğer tarafta, bu olou da e fazla d tae kökü buluablr. Şu halde bu olou da ta d tae kökü vardır k, bu kökler <g> elealarıdır. O halde d G ertebes d ola her eleaı (k, bu elea x olouu br kökü olak zorudadır) <g> alt grubuu br eleaıdır ve <g> dek br eleaı ertebes d olası ç gerek ve yeter koşul, o eleaı <g> br doğurayı olasıdır. O halde G ertebes d ola eleaları, <g> doğurayları le çakışır. <g> ϕ ( d) tae doğurayı olduğua göre, G de ertebes d ola ϕ ( d) tae elea vardır, ya dda edldğ gb, ψ ( d) = ϕ( d) dr. herhag br oztf d böle ç ψ ( d) ϕ( d) olduğuda, = ψ( d) ϕ( d) = elde edlr. Burada her d oztf böle ç d d ψ ( d) = ϕ( d) soucu çıkar. Özellkle ψ ( ) = ϕ( ) > 0 se G de ertebes ola br a eleaı vardır. Şu halde G, a tarafıda doğurula devresel grutur, ya G=<a> dır. Teore.4.0., elealı br cs ve t, doğurayı olsu. Bu takdrde d * devresel grubuu br () = F () t, () t F üzerdek al olouu dereces dr, (), elealı herhag br cs se, t F üzerdek al olouu de br kökü vardır. İsat. () 0 F ( t ) olduğuda ve ı 0 da farklı her eleaı, t br kuvvet şeklde olası edeyle F ( t ) ye at olduğuda F ( t) dr. Burada = F () t elde edlr.

78 () t F üzerdek al olouu dereces, F (): t F = : F = dr. () t F üzerdek al olouu dereces ye eşt ve dolayısıyla br böle olduğuda, Teore.4.6 ya göre bu olo, x x br böledr ve Lea.4.5() e göre bu olou de brbrde farklı tae kökü vardır, dolayısıyla bu olou de br kökü buluur. Teore.4.. Elea sayıları ayı ola herhag k solu cs, brbre zoorftur. İsat. ve, elealı k cs olsu. Bu takdrde Teore.4.9 a * * göre br devresel grutur. t, ı br doğurayı olsu. Bu duruda Teore.4.0() e göre = F ( t) dr. t F üzerdek al olou f ( x) F [ x] olsu. Teore.4.0() e göre f ( x ) de c gb br kökü vardır. F üzerde c tarafıda doğurula alt cs F () c olsu. Bu takdrde = deg f( x) = F( c): F : F = de F () c = olduğu soucu çıkar. O halde Teore..7 de = F( c) F[ x]/( f( x)) F ( t) = elde edlr. Şu halde dır. Bu teore sayesde, elea sayıları ayı ola bütü solu csler özdeşleştreblrz. O halde q ( q= ) elealı br tek cs vardır k, bu cs, buda böyle F q le gösterlecektr.

79 5. Parçalaış Csler Bu aragrafta, verle br cs ve br f ( x) [ x] \ olou ç f (x), E[ x ] te brc derecede oloları br çarıı olarak yazılablecek şeklde, ı br E geşlee cs buluasıı ükü olu olayacağıı araştıracağız. Bu roble, cs geşleeler teorsdek şu öel soruyla bağlatılıdır: Br cs zoorfs, geşlee cs br cs zoorfse uzatılablr? Daha açık olarak, E / ve E / k cs geşlees ve ϕ : br cs zoorfs se = ϕ olacak şeklde br ψ : E E cs zoorfs ψ buluablr? Geel olarak ceva egatftr, fakat geşleeler bast cebrsel geşleeler olduğu öel duruda ceva, oztfe döer. Herhag br ϕ : cs zoorfs ç ˆϕ a x = ϕ ( a ) x = 0 = 0 eştlğ le taılaa ˆ ϕ : [ x] [ x] tasvr, br halka zoorfs d ( Lea.7, Teore.75 ). Lea.5.. E/ ve E / k cs geşlees ve ϕ : br cs zoorfs olsu. f( x) [ x] [ ] x te asal br olo olduğuu varsayalı ve f ( x), f( x) ˆϕ tasvrdek görütüsü, ya f( x) = ˆ ϕ( f( x)) [ x] olsu. u E, f ( x ) br kökü, u E de f ( x ) br kökü olsu. Buda başka, ( u) E, E u tarafıda doğurula alt cs, ( u ) E de ( u ) cs ( ) uzatılablr, ya ( ) u E u tarafıda doğurula alt cs olsu. Bu takdrde ϕ, u cse resede ve u u ye götüre br zoorfye ψ u = ve = ϕ olacak şeklde br ψ ( u ) ( ) ψ : u cs zoorfs vardır. Üstelk, bu özelkler taşıya ψ zoorfs, tek türlü belrldr. İsat. İsatta Teore..7 ve Teore.54 ü kullaacağız. u, ( f x) br kökü ve f ( x ) [ ] x te asal olduğuda, c, ( 0 f x) baş katsayısı olak üzere c ( 0 f x), Teore.. e göre u üzerdek al oloudur ( f ( x ) asal olduğuda sıfır olou veya dereces sıfır ola br olo değldr) Aşkar olarak, ( c 0 f) = ( f) dr. Teore..7 de ve Teore.54 le Taı.55 e dayaa satıda α : ( u ) [ x]/( f ) a u a ( x + ( f)) tasvr br cs zoorfs olduğuu blyoruz. Bezer şeklde

80 β : ( u ) [ x]/( f ) a u a ( x + ( f )) tasvr de br cs zoorfsdr. Ayrıca ˆ ϕ : [ x] [ x] gb br halka zoorfs vardır. Burada ( f), [ x ] br dealdr, bu edele I ˆ ϕ = f ) de [ ] x br dealdr ve Teore.57(7) ye göre ( f ) ( dr. Daha açık olarak, tasvr, söz kousu zoorfdr. ˆ ϕ = ( f ) [ x]/( f ) [ x]/i [ x]/( f ) λ : [ x]/( f ) [ x]/( f ) g + ( f) ˆ( ϕ g) + ( f O halde, β λα : ( u) ( u ) tasvr br halka, ayı zaada br cs zoorfsdr. ψ = β λα dyel. Bu takdrde herhag br a ç ψ ( a ) = ( β λ)( α( a)) = ( β λ)( a) = ( β λ) ([ a + ( f) ]) = β [ a + ( f )] = β ( a) = a olur ( burada ve, roecker teorede olduğu gb, sırasıyla [ x]/( f ) ve [ x]/( f ) br alt cs olarak alıaktadır ) ve ψ ( u ) = ( β λ)( α( u)) = ( β λ) ([ x + ( f) ]) = β ( x + ( f )) = u elde edlr. O halde ψ, ϕ br uzatılışı olu, ψ ( u) = ψ ( u) dr. Şd ψ, stee koşullara uya tek zoorf olduğuu gösterel. u kuvvetler, Teore..8 e göre ( u ) br -tabaıı oluştururlar. μ : ( u) ( u ), μ( u ) = u ve μ = ϕ koşullarıa uya br cs zoorfs se μ, ( u ) herhag br t = a u ( a ) eleaıı μ() t = μ( au ) = μ ( a )( μ( u)) = ϕ( a ) u = ψ ( au ) = ψ ( t) ye reseder, dolayısıyla μ = ψ dr. Teore.5.. E / ve E / k cs geşlees olsu. Buda başka, u E ve u E, üzerde cebrsel olsu. Bu takdrde u üzerdek al olouu, u üzerdek al olou le çakışası ç gerek ve yeter koşul, u u ye resede ve ya kısıtlaışı ı datk tasvr ola br (ve souçta br tek) ψ : ( u) ( u ) cs zoorfs buluasıdır. İsat. Gereklk. u ve u üzerdek al oloları ayı se yukarıdak özelkler sağlaya br ψ zoorfs vardır: Lea.5. dek ϕ yere I : datk tasvr alırsak, bu tasvr, ψ ( u ) = u koşulua uya, tek türlü belrl br ψ ( u ) ( ) zoorfse uzatılablr. : u )

81 Yeterlk. ψ : ( u) ( u ) tasvr, ψ ( u ) = u ve ψ ( a ) = a ( a ) koşullarıı sağlaya br cs zoorfs se u ve u üzerdek al oloları ayıdır: olsu. Bu takdrde 0 = ψ (0 = = 0 a. u f ( x) = a x, u üzerdek al olou ) = a. u = = 0 = 0 f ( u 0 ) = ψ ( = 0 = f ( u ) a. u ) = = 0 ψ ( a. u dır. Burada ) = = 0 ψ ( a ). ψ ( u ) = = 0 a.( ψ ( u )) elde edlr. O halde u, f (x) br köküdür. Fakat f ( x) [ x] br ok asal olodur. Bu se f (x), u üzerdek al olou olası alaıa gelr. Not.5.. Lea.5. de, her cs zoorfs daha geş cslere uzatılableceğ soucu çıkarılaalıdır. Öreğ ϕ : ( ) ( ) a+ b a b ( a, b ) 4 zoorfs gözöüe alalı. ( ), ( ) br geşlee csdr. ϕ 4 4 zoorfs, br ψ : ( ) ( ) zoorfse uzatılablseyd, 4 4 = ϕ( ) = ψ( ) = ψ (( ) ) = ψ (( )) olurdu k, bu br çelşkdr, çükü ψ ( )( ( ) ) kares oztf olak zorudadır. O halde ϕ, ( ) cs br zoorfse uzatılaaz. Br olou herhag k arçalaış cs brbre zoorf oluşu, Lea.5. e öel uygulaasıdır. Şd bu kouyu ele alacağız. Taı.5.4. E / br cs geşlees ve f ( x) [ x] \ olsu. f (x), E[ x ] te leer oloları br çarıı şeklde yazılablrse, ya f ( x) = a0 ( x a )( x a )...( x a ) olacak şeklde a0, a, a,..., a E varsa f (x) E de arçalaıyor der. f (x), E de arçalaır, fakat E yı kasaya hçbr has alt csde arçalaaz se E ye f (x) üzerde br arçalaış cs der. Örek.5.5. x + [ x ] gözöüe alalı. [ x ] te x + = ( x + )( x ) dr ve dolayısıyla x +, de arçalaır. Fakat x +, y kasaya hçbr has alt csde arçalaaaz, çükü, y kasaya tek has alt csdr, öyle k, x +, [ x ] te arçalaaz. O halde, x + üzerde br arçalaış csdr.

82 , x + üzerde br arçalaış cs değldr, çükü x +, () csde arçalaır. x +, ( ) yu kasaya tek has alt cs ola da arçalaaz. Şu halde (), x + üzerde br arçalaış csdr. csdr. Örek.5.6. ( ), x [ x ] üzerde br arçalaış Örek.5.7. x [ x ], ( ) de arçalaaz, çükü ( )[ x ] te x = ( x )( x + x + ( ) ) dr ve buradak kc çara, ( )[ x ] te asaldır. Dğer tarafta, (, ω )[ x] te x = ( x )( x ω )( x ω ) dr ve dolayısıyla x, (, ω )[ x] te arçalaır. Aslıda (, ω ), x üzerdek br arçalaış csdr. Burada (, ω) = (, ω, ω ) üzerde x kökler tarafıda doğurula cs olduğua dkkat edel. Örek.5.8. E / br cs geşlees ve f ( x) [ x], > 0 derecel br olo olsu. E f (x) (çokkatlılıklarıyla sayıla) a, a,..., a kökler çerdğ varsayalı. Bu takdrde H = ( a, a,..., a ), f (x) üzerde br arçalaış csdr. Gerçekte, a 0, f (x) baş katsayısı olak üzere, f (x), Hx [ ] te f ( x) = a0 ( x a)( x a )...( x a ) şeklde çaralara ayrılır, çükü her x ak çaraı Hx [ ] e attr. O halde f (x), Hx [ ] te arçalaır. Dğer tarafta L, E / ı, f (x) arçaladığı br ara cs se her k ç x a k, Lx [ ] e at ve dolayısıyla a k, L ye attr. Şu halde { a, a,..., a } L ve dolayısıyla H = ( a, a,..., a ) L dr. O halde f (x), H ı yı kasaya hçbr has alt csde arçalaaz. Şu halde H, f (x) üzerde br arçalaış csdr. Bu aslıda, ( a, a,..., a ), E / ı f (x) üzerde br arçalaış cs ola tek ara cs olduğuu gösterr. Özellkle, E, f (x) üzerde br arçalaış cs olası ç gerek ve yeter koşul, E = ( a, a,..., a ) olasıdır. Örek.5.9. E / br cs geşlees, L, bu geşlee br ara cs ve f ( x) [ x] \ olsu. E, f (x) üzerde br arçalaış cs olduğuu varsayalı. Bu takdrde E, ayı zaada f (x) L üzerde br arçalaış csdr, çükü f (x), E de arçalaır, fakat E yı kasaya hçbr has alt csde arçalaaz, hatta buu da ötesde, E L y kasaya hçbr has alt csde de arçalaaz. Örek.5.0. br asal sayı olsu. x le x türev herhag br e büyük ortak böle, F [ x ] te br artetk brdr, ya bu x ololar aralarıda asaldır. O halde Teore.9() ye göre x x F [ x ]

83 çokkatlı kökü yoktur. Bu duruda x cs, e azıda, f (x) brbrde farklı Lea.4.5() te Şu halde x x elealı x arçaladığı, F br geşlee F, x F üzerde br arçalaış csdr. x tae köküü çerek zorudadır. F csde arçaladığıı blyoruz. Örek.5.. E / br cs geşlees ve f ( x) [ x] \ olsu. a E, f (x) br kökü ve L = ( a ), uygu br gx ( ) Lx [ ] ç f ( x) = ( x a) g( x) olacak şeklde, E üzerde a tarafıda doğurula alt cs olsu. g (x) dereces oztf se ve E, g (x) L üzerde br arçalaış cs se E ayı zaada f (x) üzerde br arçalaış csdr. Gerçekte, E, g (x) L üzerde br arçalaış cs se c ve a,..., a E olak üzere, g (x) = c( x a )...( x a ) dr. Örek.5.8 de E = L( a,..., a ) olduğuu blyoruz. O halde E[ x ] te f ( x) = c( x a)( x a )...( x a ) dr, dolayısıyla f (x), Ex [ ] te arçalaır. Dğer tarafta, E, E / ı herhag br ara cs se ve f (x), E de arçalaırsa, bu takdrde c( x a)( x a )...( x a ), E [ x] e attr, o halde, a E, L= ( a ) E ve a,..., a E dür; burada L( a,..., a ) E ve E E elde edlr. O halde f (x), E yı kasaya hçbr has alt csde arçalaaz. Bu duruda E, f (x) üzerde br arçalaış csdr. Örek.5.. Örek.5.7 de (, ω ) ı, x üzerde br arçalaış cs olduğuu görüştük. Bezer şeklde, ( ) [ y]/( y + y+ ) ve ( ω) [ y]/( y ), x üzerde brer arçalaış csdr (burada y, üzerde br değşkedr). Bu cslerde x, sırasıyla [ x ( + ( y + y+ ))][ x ( y+ ( y + y+ ))][ x ( y + ( y + y+ ))] ve [ x ( y+ ( y ))][ x ( ωy+ ( y ))][ x ( ω y+ ( y ))] şeklde arçalaır. Herhag br olou br arçalaış cs buluu buluadığı sorusu, doğal olarak saı aklıa gelyor. Şd, bu soruu yaıtıı olulu olduğuu, roecker e at şu teorele göstereceğz: Teore.5.. f (x), keyf br cs üzerde oztf derecel herhag br olo olsu. Bu takdrde ı br E geşlee cs vardır, öyle k, E: ( deg f( x))! dr ve E, f (x) üzerde br arçalaış csdr. İsat. İsatı deg f ( x) = ye göre tüevarıla yaalı. = se uygu br a, c çft ç f ( x) = c( x a) dır, şu halde, f (x) üzerde br arçalaış csdr ve E : =! = dr. O halde dda = ç doğrudur.

84 Şd deg f ( x) = olduğuu ve teore herhag br cs üzerde, dereces ola herhag br olo ç doğru olduğuu varsayalı. Teore..5 e göre ı, f (x) br a köküü çerecek ve L : olacak şeklde br L geşlee cs oluşturablrz. O halde Teore.88 e göre L[x] te uygu br g (x) olou ç f ( x) = ( x a) g( x) tr. deg f ( x) = olduğuda tüevarı hoteze göre L öyle br E geşlee cs vardır k, E, g (x) L üzerde br arçalaış csdr ve E : L ( )! dr. Örek.5. de E, f (x) üzerde br arçalaış cs olduğu soucua varırız.üstelk, E : = E: L L: ( )! L: ( )! =! dr. Görüyoruz k, Teore.5. te yaıla, roecker teore ardarda uygulaasıda başka brşey değldr. f (x) bütü kökler çere br cs bulaa kadar Teore..5 ard arda kullaırız. Teore.5. ü satıda kökler ardarda katak yere tüevarı yöte uygulaaktadır. Şd teklk sorusua döel. Örek.5., br olou brbrde farklı brçok arçalaış cs buluableceğ ortaya çıkarıştır. Acak, daha öce de şaret ettğz üzere, br olou bütü arçalaış csler, brbre zoorftur. Buula lgl olarak, şu daha geel teore satlayalı: Teore.5.4. E / ve E / k cs geşlees ve ϕ : br cs zoorfs olsu. f ( x ), [ x ]\ e at br olo ve f( x) = ˆ ϕ( f( x)) [ x] \, f ( x ) ˆϕ tasvrdek görütüsü olsu. E, ( f x) üzerde br arçalaış cs ve E, ( f x) üzerde br arçalaış cs se ϕ, br Φ : E E cs zoorfse uzatılablr ve dolayısıyla E E dr. İsat. E, üzerde ( ) f x kökler tarafıda doğuruluştur. f ( x ) her kökü üzerde cebrsel olduğuda ve solu sayıda kök buluduğuda, Teore..6 da E : solu olduğu soucu çıkar. İsatı E : e göre tüevarıla yaacağız. E : = se E = dr ve f ( x), de arçalaır. f ( x ) de de arçalaır ve = E dr. O halde ϕ = E E =, stee zoorfdr. Şd E: olduğuu ve dereces e çok ola br arçalaış cs ç, herhag br cs zoorfs, o cslere karşılık gele oloları arçalaış csler br zoorfse uzatılabldğ varsayalı. E: olduğuda ve E, üzerde ( ) f x kökler tarafıda doğurulduğuda, f ( x ) E de olu, de olaya br kökü bulualıdır. O halde u, ( f x) E \ e at br kökü olsu. g ( x ) [ x ], u üzerdek al olou olduğuu varsayalı ve u, ˆϕ ( g( x)) = g ( x) [ x ] E dek br

85 kökü olsu. Lea.5. de ϕ br ψ ( u ) ( ) zoorfse uzatılableceğ blyoruz. : u ( u) : > u E \ olduğuda, Teore.. e göre de E : ( u) < dr. Örek.5.9 a göre E, ( f x) ( u ) üzerde br arçalaış cs ve E, f ( x) ( u ) üzerde br arçalaış cs olduğuda burada tüevarıla ψ br Φ : E E zoorfse uzatılableceğ soucua varırız. Bu Φ tasvr, ϕ stee uzatılışıdır. Teore.5.5. br cs ve f(x), [x] te oztf derecel herhag br olo olsu. Bu takdrde f(x) üzerde herhag k arçalaış cs, brbre zoorftur ve bu zoorf, ı her eleaıı sabt bıraka br zoorfdr. te soucu çıkar. İsat. E ve E f(x) üzerde k arçalaış cs olsu. Teore.5.4 = = ve ϕ = I alıırsa, burada E le E brbre zoorf olduğu Bu aragrafı kala kısıda cebrsel kaalı csler celeyeceğz. Taı.5.6. Br cs hçbr has cebrsel geşlees yoksa, ya ı her E cebrsel geşlees, le çakışıyorsa ya cebrsel kaalı br cs der. Teore.5.7. br cs olsu. Bu duruda aşağıdak fadeler, brbre dektr: (), cebrsel kaalıdır. () [x] tek her asal olou dereces dr. () [x] tek oztf derecel her olou da br kökü vardır. (4) [x] tek oztf derecel her olo, da arçalaır. İsat. () (): cebrsel kaalı olsu. [x] te dereces de büyük br f(x) asal olou bulusaydı, E = [ x]/( f), ı br cebrsel geşlees ve E olurdu k, bu ı hçbr has cebrsel geşlees buluaası varsayııyla çelşr. O halde [x] te her asal olou dereces dr. () (): [x] te her asal olou dereces olduğuu varsayalı. ı hçbr has cebrsel geşlees buluadığıı gösterek styoruz. E, ı br has cebrsel geşlees olsaydı, br a E\ buluurdu. Şd a, üzerde cebrseldr ve a olduğuda Lea..8() e göre (a), ı br has üst csdr. < a ( ): =a ı üzerdek al olouu dereces = [x] tek br asal olou dereces= olur k, bu da < çelşkse ede olur. Şu halde cebrsel kaalıdır. () (): [x] tek her asal olou dereces olduğuu varsayalı. f(x), [x] te oztf derecel herhag br olo olsu. f(x) da br köküü buluduğuu göstereceğz. Gerçekte, f(x) her asal böle cx ( a) ( ca, )

86 bçdedr, o halde bu asal böle da br a kökü vardır; burada f(x) de da br a köküü buluduğu soucu çıkar. () (4): [x] tek oztf derecel her olou da br köküü buluduğuu varsayalı ve f ( x) [ x] \ olsu. Bu takdrde da, f ( x ) a gb br kökü vardır, dolayısıyla uygu br f ( x) [ x] ç f( x) = ( x a) f( x) tr. f ( x ) oztf derecel se f ( x ) da br a kökü vardır ve uygu br f ( x) [ x] ç f( x) = ( x a) f( x) tr; bu duruda f( x) = ( x a)( x a) f( x) tr. f ( x ) oztf derecel se f ( x ) da a gb br kökü vardır ve uygu br f ( x) [ x] ç 4 f( x) = ( x a) f4( x) tr, dolayısıyla f( x) = ( x a)( x a)( x a) f4( x) tr. Bu şeklde dereces sıfır ola br f( x ) olou buluaa kadar deva edersek, souçta f( x) = ( x a)( x a)( x a)...( x a ) f elde edlr, burada da f ( ) x da arçaladığı soucu çıkar. (4) (): [x] te oztf derecel her olou da arçaladığıı varsayalı ve f(x), [x] te br asal olo olsu. Bu takdrde varsayıa göre f(x), deg f ( x ) tae brc decede oloa arçalaır. f(x) asal olduğuda burada çara sayısı ola deg f ( x ) olduğu soucu çıkar. Şu halde [x] tek her asal olo, brc derecededr. Cebrsel kaalı br cse örek olarak verleblr. Bu, koleks katsayılı her olou de br köküü buluduğuu fade ede ve Cebr Esas Teore olarak ble öel teore br soucudur. Cebr Esas Teore s braz gartr, çükü bu teore e br esas teoredr, e de cebr br teoredr! Bu teore herhag br satıda aalzde bazı souçlar kullaılaktadır. Lea.5.8. E/ br cs geşlees olsu ve E cebrsel kaalı olduğuu varsayalı. ı E dek cebrsel kaaışı A olsu. Bu takdrde A cebrsel kaalı br csdr. İsat. A[x]\A dak her olou A da br köküü buluduğuu gösterek yeterldr. f(x), A[x] te oztf derecel herhag br olo olsu. Bu takdrde f(x), E[x] te oztf derecel br olodur ve dolayısıyla Teore.5.7 ye göre f(x) E de b gb br kökü vardır. Bu duruda A(b), A ı br cebrsel geşleesdr ve A, ı br cebrsel geşleesdr; şu halde Teore..0 ye göre A(b), ı br cebrsel geşleesdr. Souçta b A( b), üzerde cebrseldr ve burada A ı taıı gereğce b A olduğu soucu çıkar, ya f(x) A da br kökü vardır. Taı.5.9. E/ br cs geşlees olsu. E, ı br cebrsel geşlees se ve cebrsel kaalı se E ye ı br cebrsel kaaışı der. Her cs br cebrsel kaaışı var ıdır? Bu soruu yaıtı evet tr ve satı Zor Leası yardııyla yaılır. Br cs cebrsel kaaışı şu alada tek türlü belrldr: ı herhag k cebrsel kaaışı arasıda, ı her eleaıı sabt bıraka br zoorf kurulablr.

87 6. Galos Teors Bu aragrafta Galos teorse br grş yaacağız. Herhag br E/ cs geşlees verldğe göre, E/ ı ara csler le geşlee Galos grubu dele br grubu alt gruları arasıda lşk kuracağız. Böylece geşlee ara cs yaısı le lgl ek çok soru, Galos grubuu alt gru yaısı le lgl sorulara drgeeblecektr. Bz burada taae I. alasky yaklaşııı zleyeceğz. E/ br cs geşlees se E br csdr ve ayı zaada br -vektör uzayıdır. E ayı ada he cs, he de vektör uzayı yaısıyla çalışak çok verl olacaktır. Bu edele, bu yaıları her ks de koruya tasvrler gözöüe alacağız. E br cs olsu. E br ϕ cs otoorfs E ked üzere (-) br halka hooorfs olduğuu hatırlayalı. Bua dek olarak, E br cs otoorfs, <E,+> grubuu br otoorfsdr k, bu ayı zaada E br halka zoorfsdr. E datk tasvr E br cs otoorfs olduğu açıktır, dolayısıyla E bütü cs otoorfler oluşturduğu küe boş değldr. Üstelk, ϕ ve ψ, E herhag k cs otoorfs se ϕψ ve ϕ tasvrler, <E,+> grubuu brer otoorfsdr k, Lea.56 ya göre bu tasvrler, ayı zaada E ked üzere brer halka zoorfsdr. Şu halde ϕψ ve ϕ tasvrler, E cs otoorflerdr. Buda dolayı E bütü cs otoorfler kües, <E,+> grubuu bütü otoorfler oluşturduğu grubu br alt grubudur. E bütü cs otoorfler grubuu Aut(E) le göstereceğz. O halde E tola grubuu otoorfler grubu le E cs otoorfler grubu ç (brbryle karıştıraak koşuluyla) ayı göster kullaacağız. Aut(E), E y ked üzere resede ve E cs yaısıı koruya tasvrler alesdr. Bu cs otoorflerde E vektör uzayı yaısıı koruya tasvrler seçeceğz. Taı.6.. E/ ve F/ k cs geşlees olsu. Br ϕ : E F tasvr he br cs hooorfs, he de br -vektör uzayı hooorfs se ϕ ye br - hooorf der. Br ϕ : E F -hooorfs (-) ve üzere se ϕ ye br - zoorf der. E ked üzere br -zoorfse E br -otoorfs der. E bütü -otoorfler kües Aut E veya G(E/) le göstereceğz. ϕ :E F br -hooorf se Taı..5 e göre ϕ ( E) = F dr, çükü ϕ br cs hooorfsdr ve ϕ br -leer trasforasyo olduğuda her k ç ϕ( k) = ϕ( k E) = k ϕ( E) = k F = k eştlğ sağlaır. O halde her k ç ϕ ( k) = k dır. Terse, ϕ : E F tasvr, her k ç ϕ ( k) = k koşuluu sağlaya br -hooorf se bu takdrde her k ve e E ç ϕ( k e) = ϕ( k) ϕ( e) = k ϕ() e dr ve dolayısıyla ϕ, br -leer trasforasyodur. Souç olarak, br ϕ : E F cs hooorfs br -hooorf olası ç gerek ve yeter koşul, ϕ ı her eleaıı sabt bırakasıdır.

88 Lea.6.. E/ br cs geşlees se E üzerdek bütü - otoorfler Aut E kües br grutur. İsat. I E AutE Aut( E) dr ve Aut(E) br grutur. Teore.00 e göre k vektör uzayı zoorfs bleşkes ve br vektör uzayı zoorfs ters gee br vektör uzayı zoorfs olduğuda Aut E, bleşke ve ters ala şlelere göre kaalıdır. Şu halde Aut E, Aut(E) br alt grubudur. Taı.6.. E/ br cs geşlees olsu. üzerdek Galos grubu der. Aut E =G(E/) grubua E Örek.6.4. E herhag br cs ve P, E asal alt cs olsu.e her ϕ cs otoorfs, E y sabt bırakır. Burada ϕ, P her eleaıı sabt bıraktığı soucu çıkar. O halde E her cs otoorfs, E br P-otoorfsdr ve Aut( E) = AutPE dr. Örek.6.5. ϕ : a+ b a b ( a, b ) eşlek ala tasvr, br -otoorfsdr. Örek.6.6. ϕ : ( ) ( ) a+ b a b ( a, b ) tasvr, ( ) br -otoorfsdr. Örek.6.7. br cs ve x, üzerde br değşke olsu. Bu takdrde * (x), ı br cs geşleesdr. a se ax, üzerde trasadattır ve Teore..7 ye göre σ a : ( x) ( x) f ( x) f( ax) gx ( ) gax ( ) tasvr, (x) br cs otoorfsdr. σ a ı aslıda (x) br -otoorfs olduğuu görek zor değldr. Bezer şeklde, herhag br b ç τ b : ( x) ( x) f ( x) f( x+ b) gx ( ) gx ( + b) tasvr, (x) br -otoorfsdr. a ve b 0 ç ( τ bσa)( x) = τb( σa( x)) = τb( ax) = a( x+ b) ax+ b= σa( x+ b) = σa( τb( x)) = ( σaτb)( x) olduğuda Aut ( x ), koütatf olaya br grutur. Şd ( ) Aut x grubuu bulacağız. Aşağıda y ve z y, üzerde brbrde farklı k ye değşke olarak kullaacağız.

89 u, (x)\ ı keyf br eleaı olsu, ya (x) ve q(x), [x] te aralarıda asal k olo ve qx ( ) 0 olak üzere, u = ( x) / q( x) dyel. u u üzerde trasadat olduğuu ve (x) (u) üzerde solu boyutlu (dolayısıyla cebrsel) olduğuu dda edyoruz. Öce lk ddayı, ya u u üzerde trasasat olduğuu sat edel. u, üzerde cebrsel olsaydı, u u üzerde k k H( y) = y + ck y cy+ c0 [ y] gb br al olou buluurdu. Hu ( ) = 0 eştlğde k k ( x ( )/ qx ( )) + c ( x ( )/ qx ( )) c( x ( )/ qx ( )) + c = 0, k 0 k k k k k 0 ( x) c ( x) qx cx( qx) c( qx) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = 0 elde edlrd ve burada [x] te qx ( ) ( x ( )) k ve ( x ( ), qx ( )), q(x), [x] te br artetk br ve dolayısıyla qx ( ), u = ( x)/ q( x) [ x] k k soucu çıkardı. O halde Hu ( ) = u + ck u cu + c0, dereces kdegx ( ( )) ola br olo olurdu k, bu Hu ( ) = 0 oluşuyla çelşr. Şu halde u, üzerde trasadattır. İkc olarak, ( x): ( u ) u solu olduğuu satlayalı. u = ( x)/ q( x) te ( )... 0, ( ) x = ax + a x + + a x+ a q x = bx + b x bx + b0 ( a 0, b 0 ) olsu. uq( x) ( x) = 0 eştlğde dolayı x, (u)[y] de F( y) = ( bu) y + ( b u) y ( bu ) y+ b0 ay a y... ay a0 olouu br köküdür. Şu halde x, (u) üzerde cebrseldr. Üstelk, deg F( y) = ax (, ) = ax ( deg ( x), deg q( x)) olduğu görülür, çükü u olduğuda bu a 0 dır. Şd F(y) (u) üzerde asal olduğuu göstereceğz. Burada, / cf, ( y ) baş katsayısı olak üzere, cf( y ), x (u) üzerdek al olou olduğu ve dolayısıyla ( x): ( u) = degcf( y) = deg F( y) = ax ( deg ( x), deg q( x)) olduğu soucu çıkacaktır. u, üzerde trasadat olduğuda, Teore..7 ye göre z u sübsttüsyo hooorfs, aslıda (z) u ( ) x ( ) üzere br cs zoorfsdr. O halde u ( ) z ( ) dr ve Teore.75 e göre u ( )[ y] z ( )[ y] dr. Bu duruda F( y ) u ( )[ y ] de asal olables ç gerek ve yeter koşul, F( z) ( z)[ y] görütüsüü ( z)[ y ] de asal olasıdır. Lea.87 de, F( z ) ( z)[ y ] de asal olası ç gerek ve yeter koşulu, F( z) = q( y) z ( y) z [ ][ y] = y [ ][ z] de asal olası olduğu soucuu çıkarırız. Fakat F( z) = q( y) z ( y), [ y][ z ] de tab k asaldır, çükü qyz ( ) y ( ), [ y][ z ] de

90 brc derecededr, qy ( ) ve ( y) katsayıları, [ y ] de aralarıda asaldır (çükü (x) ve q(x), x [ ] te aralarıda asaldır). O halde (x) ve q(x), [x] te aralarıda asal k olo ve qx ( ) 0 olak üzere, (x)\ ya at her u = ( x) / q( x) eleaı ç ( x): ( u) = ax( deg ( x), degq( x)) tr. Şd ϕ Aut ( x) ve ϕ ( x) = u olsu. Yukarıdak gb u = ( x)/ q( x) yazalı. u ( ) = ( ϕ( x)) = f( ϕ( x))/ g( ϕ( x)) f, g x [ ], g 0 { } { ϕ( f( x))/ ϕ( g( x)) f, g [ x], g 0} { ϕ( f( x)/ g( x)) f, g [ x], g 0} = = = ϕ( ( x)) = ( x) olduğuda u (x)\ dır ve = ( x): ( x) = ( x): ( u) = ax( deg ( x), degq( x)) eştlğde uygu abcd,,, le ( x) = ax+ b, q( x) = cx+ d olduğu soucu çıkar. Burada ad bc 0 dır, çükü ad bc = 0 olsa u = ( x)/ q( x) = ( ax+ b)/( cx+ d) gb br çelşk elde edlr. O halde Aut ( x ) tek her otoorf, abcd,,,, ad bc 0 koşuluu sağlaya uygu elealar olak üzere, x ( ax + b) /( cx + d) ye götüre br sübsttüsyo hooorfsdr. Terse, ϕ, ϕ ( x) = ( ax + b) /( cx + d) ( abcd,,,, ad bc 0 ) bçde br sübsttüsyo hooorfs se ( ax + b)/( cx + d) = : u, ya at değldr, dolayısıyla u, üzerde trasadattır ve ϕ, (x) te (u) üzere br cs hooorfsdr. ad bc 0 olduğuda he a, he de c, 0 olaaz, o halde ( x): ( u) = ax ( deg ( ax + b)), deg ( cx + d)) = ve u ( ) = x ( ) tr. Şu halde ϕ, (x) ked üzere br cs hooorfsdr.ϕ, ı her eleaıı sabt bıraktığıda, burada ϕ Aut ( x ) e at olduğu soucu çıkar. Bu edele Aut ( x ), taae x ( ax + b) /( cx + d) ( a, b, c, d, ad bc 0 ) sübsttüsyo hooorflerde oluşur. Br sorak lea, şu ble gerçeğ br geelleştrlşdr: Reel katsayılı br olou herhag br koleks köküü eşleğ de o olou br köküdür. Lea.6.8. E/ br cs geşlees ve f ( x) [ x] olsu. u E, f( x) br kökü se herhag br ϕ Aut E ç E ϕ ( u) eleaı da f(x) br köküdür. İsat. f ( x) = a x se f( u ) = 0 da 0 = ϕ(0 ) = ϕ( f ( u)) = ϕ( au ) = 0 ϕ( a) ϕ( u ) a ( ϕ( u) ) f( ϕ( u)) soucu çıkar. Şu halde ( u) = = = = 0 = 0 br köküdür. = 0 ϕ, f ( x )

91 E/ solu boyutlu br geşlee olsu ve { } a, a,..., a E br - tabaı olduğuu varsayalı. Bu takdrde E her -otoorfs, bu otoorf taba eleaları üzerdek etksyle taae belrler, çükü ϕ ve ψ, E k -otoorfs ve ϕ ( a ) = ψ ( a ) ( =,,..., ) se, herhag br a E ç ka. bçde yazdığıız ϕ( a) = ϕ( k. a ) = ϕ( k ) ϕ( a ) = k ϕ( a ) = k ψ( a ) = ψ( k ) ψ( a ) = = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ψ( ka. ) = ψ( a) = 0 = 0 dır. Buda dolayı, E -otoorfler, taba elealarıı görütüler vererek taılayacağız. O halde eşlek ala tasvr le, Örek.6.6 dak tasvr le göstereceğz. Özellkle, E/ bast br geşlee ve a br rtf elea se, Teore..8 e göre, a ı üzerdek al olouu dereces olak üzere {, aa,,..., a }, E=(a) ı br -tabaıdır. Şd ϕ Aut E olsu. ( ϕ a ) = ( ϕ( a)) ( =,,..., ) olduğuda ϕ tasvr, ϕ a üzerdek etksyle taae belrler. ϕ ( a), a ı üzerdek al olouu a ( ) ya at br köküdür. O halde r, a ı üzerdek al olouu a ( ) dak brbrde farklı kökler sayısıı gösterek üzere, Aut E r dr. Böylece aşağıdak leayı satlaış olduk: Lea.6.9. br cs olsu. a, üzerde cebrsel ve a ı üzerdek al olou f se r, f (a) dak brbrde farklı kökler sayısı olak üzere, Aut ( a) r deg f = ( a): dır. Örek.6.0., oztf reel kükökü olsu. O halde Şd Aut ( ) grubuu bulalı. ϕ Aut ( ) se ( ) dr. ϕ( ), üzerdek x al olouu br köküdür. x de farklı kökler koleks olduğuda, ϕ ( ) = olak zorudadır. Şu halde ϕ, ( ) datk tasvrdr ve dolayısıyla Aut ( ) { I ( } ) = dr. Örek.6.. = () dr ve üzerdek al olou, de k kökü bulua x + dr. Şu halde Aut dr. İdatk tasvr ve eşlek ala tasvr, k -otoorfs olduğuda burada Aut = soucu çıkar ve dolayısıyla Aut C ( C, kc ertebede br devresel grubu gösterektedr) elde edlr. Bezer şeklde, Aut ( ) C dr.

92 Örek.6.. Aut (, ) grubuu bulalı. (, ) = ( )( ) tür. Burada {, }, ( ) br -tabaı, { } ( )-tabaıdır (çükü, se ( )( ) ü br x, ( ) üzerde asaldır) ve dolayısıyla Teore.. e göre {,,, 6 }, (, ) ü br -tabaıdır. Şd herhag br ϕ Aut (, ) tasvr, y veya ye, ü se veya e götürür. Şu halde ϕ ç 4 olası duru vardır: ϕ ( a+ b + c + d 6) = a+ b + c + d 6 ϕ ( a+ b + c + d 6) = a+ b c d 6 ϕ ( a+ b + c + d 6) = a b + c d 6 ϕ ( a+ b + c + d 6) = a b c + d 6 ( abcd,,, ). 4 ϕ, ϕ, ϕ, ϕ 4 ü gerçekte (, )ü -otoorfler olduğu kolayca görülür, o halde Aut (, ) { ϕ, ϕ, ϕ, ϕ } tasvrdr ve {, j, k } = {,,4} ç Aut (, ) C C V dörtlü grubudur) tür. = 4 tür. Burada 4 ( ), j k ϕ, (, ) ü datk ϕ = ϕ ϕϕ = ϕ dır. O halde ( V { I } Şd br E/ geşlees ara csler le arasıdak lşky göreceğz. 4 =,()(4),()(4),(4)() grubu, le ı Aut E alt gruları Lea.6.. E/ br cs geşlees olsu ve G = Aut E dyel. () L, E/ ı br ara cs se L = { ϕ G: ϕ( l) = l ( l L) } G br alt grubudur. () H G se ag.. E/ ı br ara csdr. { : ϕ( ) ( ϕ )} H = a E a = a G İsat. () I E L olduğu açıktır, şu halde L dr. ϕ, ψ L se her l L ç ( ψϕ)( l) = ψ( ϕ( l)) = ψ( l) = l olduğuda ψϕ L dür. Her l L ç ϕ ( l) = l ve dolayısıyla ϕ () l = l dr, şu halde ϕ L dür. O halde L, Aut E br alt grubudur (aslıda L = Aut E dr). L () Her ϕ H Aut E, ı elealarıı sabt bıraktığıda H dür. ab, H se her ϕ H ç ϕ ( a) = a ve ϕ ( b) = b dr, dolayısıyla

93 ϕ( a+ b) = ϕ( a) + ϕ ( b) = a+ b a+ b H, ϕ( b) = ϕ ( b) = b b H, ϕ( ab ) = ϕ( a) ϕ ( b) = ab ab H, ϕ( E / b) = E / ϕ( b) = E / b ( b 0 olak koşuluyla) E / dür. Şu halde H, E br alt csdr ve dolayısıyla H, E/ ı br ara csdr. ve dur. Öreğ, Örek.6. dak gösterle (, ) = G G = Aut (, ), ag { }.. = { ϕ ϕ }, ( ) = { ϕ, ϕ }, ( 6) { ϕ, ϕ } ( ), { } = (, ), { ϕ, ϕ } = ( ), { } G { } 4 ϕ, ϕ = ( 6), G = =, = G 4 ϕ, ϕ = ( ), E/ br cs geşlees ve H Aut E se H ye H ı sabt bıraktığı ag.. cs der. Şd Lea.6. tek üs ala şle 4 uç duruuu gözöüe alalı. Lea.6.4. E/ br cs geşlees ve () { G } = E, () E = { G }, () = G, (4) G dür. G = Aut E olsu. Bu takdrde { ( )} { } = a E ( a) = a = a E I ( a) = a = E. İsat. () { } ϕ ϕ { } () ϕ ϕ ( ) () = ϕ G ϕ( a) = a( a ) = G. G G E { ( ) } { } { } { } dür. Örek.6.0 da Aut ( ) { I ( } ) E = G a = a a E = I E = G. (4) Tab k, G blyoruz, şu halde = ( ) ={ I } ( ) = olduğuu ( )/ geşlees ç G={ G } ve = G dür. Şu halde G her zaa ya eşt değldr. Şekl.

94 Taı.6.5. E/ br cs geşlees olsu ve G = Aut E dyel. G, ya eşt se E/ ya br Galos geşlees der. Bua dek olarak, E/ ı br Galos geşlees olası ç gerek ve yeter koşul, E/ ı her a eleaı ç ϕ( a) a olacak şeklde br ϕ Aut E buluasıdır. Öreğ,, (, ) ve ( ) se u brer Galos geşleesdr. Lea.6.6. E/ br cs geşlees olsu ve G = Aut E dyel. L ve M, E/ ı k ara cs, H ve J de G k alt grubu olsu. X, E/ ı br ara cs veya G br alt grubu se ( X ) yü kısaca X le gösterel. Bu takdrde aşağıdakler sağlaır: () L M se M L dür, () ac.. ag.. ag.. H J se J H dür, () L L ve H ac.. ac.. H dür, ag.. (4) L = L ve H = H dür. İsat. () L M olduğuu varsayalı. ϕ M se her a M ve ac.. dolayısıyla her a L ç ϕ ( a) = a dır, şu halde ϕ L ve souç olarak M L dür. () H J olduğuu varsayalı. a J se her ϕ J ve dolayısıyla her ag.. ϕ H ç ϕ ( a) = a dır, şu halde a H ve souç olarak J H dür. () Herhag br a L alalı. L ü taıı gereğce her ϕ L ç ϕ ( a) = a dır, o halde a, L dek bütü -otoorflerde sabt kalır. Bu duruda a, L ü sabt bıraktığı cse attr, ya a L dür. Burada L L olduğu soucu çıkar. Şd herhag br ϕ H alalı. H ü taıı gereğce her a H ç ϕ ( a) = a dır, dolayısıyla ϕ, H dek her eleaı sabt bırakır, o halde ϕ H dür. Burada H H elde edlr. ag.. (4) () e göre L L ve H ac.. ac.. ag.. ac.. ag.. ag.. H dür. Şu halde () e göre L L ve () ye göre H H dür. () te L yere H, H yere L koyarsak H H ve L L elde edlr. Burada da L = L ve H = H olduğu soucu çıkar. ac.. ag..

95 Şekl. Geelde L, L ü, H da H ü br has alt kües olablr. Eştlk duruu ç br taı verel. Taı.6.7. E/ br cs geşlees ve G = Aut E olsu. E/ ı br L ara cse L= L olası halde kaalı br ara cs der ve G br H alt grubua da H = H olası halde kaalı br alt gru der. Şu halde E, ı br Galos geşlees olası ç gerek ve yeter koşul, ı kaalı olasıdır. Lea.6.6(4) e göre her üslü ese, kaalıdır. Teore.6.8. E/ br cs geşlees ve G = Aut E olsu. Bu takdrde E/ ı bütü kaalı ara csler kües le G bütü kaalı alt grularıı kües arasıda L L şeklde verle (-) br tekabül vardır. İsat. L, E/ ı br kaalı ara cs se Lea.6.() e göre L G br alt grubudur ve Lea.6.6(4) e göre de L kaalıdır. Şu halde üs ala, geşlee bütü kaalı ara csler küesde G bütü kaalı alt grularıı kües çe br tasvrdr. Bu tasvr (-) dr, çükü L = M de ( L ) = ( M ) çıkar ve burada gee Lea.6.6(4) e göre L=M elde edlr. So olarak, üs ala tasvr, üzeredr, çükü H, G herhag br kaalı alt grubu se H kaalı br ara csdr ve ( H ) = H dır. Bu teore, hag ara csler ve hag alt gruları kaalı olduğuu belrtedğz sürece hee hee faydasız dır. E öel duruda, ya E/ solu boyutlu br Galos geşlees olduğuda bütü ara csler ve alt grular kaalı hale gelecektr. Şdk aacıız, br ese kaalı br esede solu ktarda büyük olası halde kaalı olduğuu gösterektr. Buu ç k tekk leaya htyaç duyaktayız. E/ br cs geşlees, L ve M, L M koşulua uya k ara cs se M L üzerdek M : L boyutua L ve M görecel boyutu der. G, bu geşlee Galos grubu, H ve J, G H J koşulua uya k alt grubu se, H ac.. ag.. ı J çdek J : H dekse H ve J görecel deks der.

96 Lea.6.9. E/ br cs geşlees, L ve M, L M koşulua uya k ara cs olsu. L ve M M : L görecel boyutu solu se M ve L ü görecel deksler de soludur. Gerçekte, L : M M : L dr. Özellkle, E/ solu boyutlu br geşlee se Aut E E : dır. ac.. İsat. İsatı = M : L ye göre tüevarıla yaalı. = se M = L ve L = M dür, dolayısıyla L : M = dr. Şd alalı ve teore her < ç sat edlş olduğuu varsayalı. M : L > olduğuda br a M\L bulablrz. Hotez gereğce M : L soludur, o halde Teore..4 e göre M, L br cebrsel geşleesdr ve dolayısıyla a, L üzerde cebrseldr. f ( x) L[ x], a ı L üzerdek al olou olsu ve k = deg f( x) dyel. Lea..8 e göre k > dr, çükü a Ldr. Teore..8 de La ( ): L= ksoucu çıkar ve Teore.. de M : La ( ) = / k elde edlr. Bu duru, aşağıdak şeada gösterlştr: Şekl. k < duruuda tüevarı herşey sağlar: / k < ve k < de La ( ) : M M: La ( ), L : L( a) L( a): L ve souçta L : M = L : L( a) L( a) : M L( a): L M : L( a) = k( / k) = = M : L elde edlr. k= duruu ç ayrı br sat gerekldr. Şd k= olduğuu varsayalı. Bu takdrde M : L( a ) = ve dolayısıyla M = La ( ) dır. L : M olduğuu satlaak ç, M ü L dek bütü sağ kala sııflarıı R küesde, f(x) brbrde farklı bütü köklerde oluşa küe çe (-) br tasvr kuracağız. R da L : M tae sağ kala sııfı buluduğuda burada, r, f(x) M dek brbrde farklı kökler sayısıı gösterek üzere, L : M r olduğu soucu çıkacaktır. r deg f = L( a): L = M : L olduğuda teore, böylece satlaış olacaktır. İstee tasvr e olası gerektğ Lea.6.8 verecektr. α : R b M f( b) = 0 { } M ϕ ϕ( a) ( ϕ L )

97 tasvr gözöüe alalı. a, f(x) br kökü ve ϕ L G = Aut E olduğuda Lea.6.8 e göre ϕ ( a), gerçekte f(x) br köküdür. α tasvr y taılıdır, çükü M ϕ = M ψ ( ϕ, ψ L ) se uygu br μ M ç ϕ = μψ dr, şu halde μ, M her eleaıı ve dolayısıyla a yı sabt bırakır ve α( M ϕ) = ϕ( a) = ( μψ)( a) = μ( ψ( a)) = ψ( a) = α( Mψ ) eştlğ elde edlr. α, üstelk (-) dr, çükü α( M ϕ) = α( M ψ) se ϕ( a) = ψ ( a) ve dolayısıyla ψ ( ϕ( a)) = a dır; o halde ψ ϕ, a yı ve souçta La ( ) = M her eleaıı sabt bırakır, şu halde ψ ϕ M ve M ϕ = M ψ dr. Böylece L : M M : L satı taalaış olur. Aut E Aut E : { } = { } G ag.. E : ddası da gerçekte doğrudur, çükü Aut E = : G = : E E: dır. Lea.6.0. E/ br cs geşlees, H ve J, G = Aut E H J koşulua uya k alt grubu olsu. H ve J J : H görecel deks solu se J ve H ü görecel boyutu da soludur. Gerçekte H : J J : H dır. İsat. J : H = olsu ve H : J > olduğuu varsayalı. Bu takdrde H de J üzerde leer bağısız ola a, a,..., a, a + gb + tae elea vardır. U = Hϕ, J H ya göre sağ kala sııflarıa ayrılışı olsu. ϕ j( a) E ( j =,,...,, =,,..., + ) olak üzere, + bleyel tae leer deklede oluşa ag.. ϕ( a) x+ ϕ( a) x + ϕ( a) x ϕ( a+ ) x+ = 0E ϕ ( a ) x + ϕ ( a ) x + ϕ ( a ) x ϕ ( a ) x = 0... ϕ ( a ) x + ϕ ( a ) x + ϕ ( a ) x ϕ ( a ) x = E + + E (.8) sste gözöüe alalı. Bleye sayısı, dekle sayısıda büyük olduğuda, (.8) sste E de trvyal olaya br çözüü vardır. (.8) trvyal olaya çözülerde, x ler arasıda sıfırları sayısı ükü olduğuca az ola br taes seçel. Bu çözü, x = b, x = b, x = b,..., x+ = b+ olsu. bj ler r ( r + ) taes 0 E de farklı olduğuu varsayalı. bj ler seç gereğce, (.8) sste, 0 E de farklı c j ler sayısı r de küçük olacak şeklde hçbr x = c, x = c, x = c,..., x+ = c+ çözüü yoktur.

98 Gerektğde b j ler uaralarıı değştrerek, b,..., b r 0 E de farklı ve ( + > r olası duruuda) br+ =... = b+ = 0E olduğuu varsayablrz. Ayrıca b = E olduğuu varsayablrz, çükü b E se b, b,..., b + çözüü yere b/ b, b / b,..., b + / b çözüüü de alablrz; kuşkusuz her k çözüde de 0 E de farklı eleaları sayısı ayıdır. Şd ψ J olsu. ψϕ ( ( a)) x+ ψϕ ( ( a)) x + ψϕ ( ( a)) x ψϕ ( ( a+ )) x+ = 0E ψϕ ( ( a )) x + ψϕ ( ( a )) x + ψϕ ( ( a )) x ψϕ ( ( a )) x = 0... ψϕ ( ( a)) x+ ψϕ ( ( a)) x + ψϕ ( ( a)) x ψϕ ( ( a+ )) x + = E E (.9) sste gözöüe alalı. Bu sste le lgl olarak k gözle yaalı. Brcs, x = b =, E x = b, x = b,..., x+ = b+, (.8) çözüü ve ψ br hooorf olduğuda x = ψ ( b) = E, x = ψ( b), x = ψ( b),..., x+ = ψ( b+ ) de (.9) u br çözüüdür. İkcs, (.9) sste le (.8) sste brbre eşdeğerdr. Bu ddayı satlaak ç ψϕ, ψϕ, ψϕ,..., ψϕ, H ı J çdek brbrde farklı sağ kala sııflarıı eleaları olduğua dkkat edel, çükü Hψϕ = Hψϕj se ( ψϕ)( ψϕ j) H ve dolayısıyla ϕϕ j H dır; burada Hϕ = Hϕ j ve dolayısıyla = j soucu çıkar. O halde Hψϕ = Hϕ, Hψϕ = Hϕ, Hψϕ = Hϕ,..., Hψϕ = Hϕ olsu. Bu takdrde uygu η, η, η,..., η H le ψϕ ηϕ, ψϕ η ϕ, ψϕ η ϕ,..., ψϕ η ϕ,,..., =,,..., = = = = { } { } ( ) yazablrz. Herbr η k, H dek herbr a y sabt bıraktığıda (.8) dek k. dekle ola ϕ ( a) x+ ϕ ( ) ( )... ( ) 0 k a x + ϕ k a x + + ϕ k a k + x+ = E dekle, ( ηkϕ )( a) x+ ( η )( ) ( )( )... ( )( ) 0 k kϕ a x + η k kϕ a x + + η k kϕ a k + x+ = E deklee ve dolayısıyla (.9) dak k. dekle ola ψ ( ϕk( a)) x+ ψ( ϕk( a)) x + ψ( ϕk( a)) x ψ( ϕ k( a+ )) x+ = 0E deklee eşdeğerdr. Burada (.8) ve (.9) ssteler brbre eşdeğer olduğu soucu çıkar. Şu halde (.9) sste x = ψ ( b) = E, x = ψ( b), x = ψ( b),..., x+ = ψ ( b+ ) çözüü, ayı zaada (.8) sste de br çözüüdür. Dğer tarafta x = b =, E x = b, x = b,..., x+ = b+ de (.8) br çözüüdür. O halde bu k çözüü farkı x = 0 E, x = b ψ ( b), x = b ψ( b),..., x+ = b+ ψ( b+ ), ya

99 x = 0 E, x = b ψ ( b),..., xr = br ψ ( br), xr+ = 0 E,..., x+ = 0E (.0) de (.8) br çözüüdür. ψ y J keyf br eleaı olarak alıştık. Şd ψ ç akul br seç yaacağız. ϕ, ϕ, ϕ,..., ϕ de br H ya attr; öreğ ϕ H olsu. Bu takdrde ϕ ( ) a = a dr, çükü a H ( =,,...,, + ) dür. x = b, x = b, x = b,..., x+ = b+ (.8) br çözüü olduğuda (.8) dek lk deklede ab. + ab. + ab a+. b+ = 0E elde edlr. Burada { a, a, a,..., a + }, J üzerde leer bağısızdır ve b = E 0E dr. Şu halde b, b,..., b + ler taaı J ye at olaaz. Bularda br, öreğ b, J ye at değldr, dolayısıyla ψ ( b) b olacak şeklde br ψ J vardır. Şd ψ J y ψ ( b) b olacak şeklde seçel. Bu takdrde (.8) sste (.0) çözüü, trvyal çözüde farklı br çözüdür k, bu çözüde 0 E de farklı eleaları sayısı, r de küçüktür; bu se r taıı le çelşr. Bu çelşk, H : J > olaayacağıı gösterr. O halde H : J = J : H dır. ı Teore.6.. E/ br cs geşlees ve G = Aut E olsu. L ve M, E/ L M koşulua uya k ara cs, H ve J de G = Aut E H J ac.. koşulua uya k alt grubu olsu. Bu takdrde () L kaalı ve M : L solu se M kaalıdır ve L : M = M : L dr, () H kaalı ve J : H solu se J kaalıdır ve H : J = J : H dır. İsat. () Lea.6.6() e göre M M, hoteze göre de L= L dür. O halde Lea.6.9 ve Lea.6.0 de M : L M : M M : L = M : L = M : L = ( M ) :( L ) L : M M : L elde edlr. Böylece L : M = M : L olduğu sat edlş olur. () satı da taae bezer şeklde yaılır. Şd bu aragrafı e büyük teore fade ve sat edeceğz. Teore.6. (Galos Teors Esas Teore). E/ solu boyutlu br Galos geşlees ve G = Aut E olsu. Bu takdrde E/ ı bütü ara csler kües le G bütü alt grularıı kües arasıda L L şeklde (-) br tasvr kurulablr. Bu tasvrde k ara cs görecel boyutu, olara karşılık gele alt gruları görecel dekse eşttr. Özellkle, G = Aut E = E: dır. İsat. Teore.6.8 e göre, E/ ı bütü kaalı ara csler kües le G bütü kaalı alt grularıı kües arasıda L L şeklde (-) br tekabül vardır. E/ br Galos geşlees olduğuda hoteze göre kaalıdır ve bütü ara csler, üzerde solu boyutlu olduklarıda Teore.6.() e göre ag..

100 kaalıdırlar. Buda başka, M herhag br ara cs se : M = M : dır. Özellkle, E kaalıdır ve AutE = G = G : { G} = G : E = : E = E: dır. O halde G soludur. { G } kaalı olduğuda Teore.6.() de G bütü alt grularıı kaalı olduğu soucu çıkar, çükü bular, G solu alt grularıdır. Şu halde üs ala tasvr, E/ ı bütü ara csler kües le G bütü alt grularıı kües arasıda (-) br tasvrdr. Teore.6. e göre, L M koşulua uya k ara cs M : L görecel boyutu, G olara karşılık gele alt grularıı L : M görecel dekse eşttr ve G H ag.. ac.. J koşulua uya k alt grubuu J : H görecel deks de bu alt grulara karşılık gele ara csler H : J görecel boyutua eşttr. Örek.6.., reel kü kökü olsu ve üzerde (, ω ) geşlees gözöüe alalı. (, ω ) ı -otoorfler şulardır: ϕ:, ϕ4 : ω, ω ω ω ω = ω ϕ :, ϕ : ω = ( ω), 5 = ω ω ω ω ω ϕ : ω, ϕ : ω = ( ω), 6 = ω ω ω ω ω (, ω ) ı her u eleaı, u = a+ b + c 4+ dω+ e ω+ f 4 ω ( a, b, c, d, e, f ) bçde tek türlü yazılablr. Şd (, ω ) ı, u br Galos geşlees olduğuu göstereceğz. Buu ç G sabt cs ta olarak olduğuu gösterelyz. ϕ( a+ b + c 4+ dω+ e ω+ f 4 ω) = a+ b + c 4 + ( d + e + f 4) ω = a+ b + c 4 + ( d + e + f 4)( ω) = ( a d) + ( b e) + ( c f) 4 dω e ω f 4ω olduğuda, (, ω ) ı br u = a+ b + c 4+ dω + e ω+ f 4ω eleaıı ϕ tasvrde sabt kalası ç gerek ve yeter koşul, a= a d, d = d b= b e, e= e c= c f, f = f

101 eştlkler sağlaasıdır. O halde a b c bçdedr. (, ω ) ı ϕ le sabt kala br u eleaı ϕ de u yu sabt bırakıyorsa, bu takdrde a+ b + c 4 = ϕ ( a+ b + c 4) = a+ b ω + c 4ω = a+ b ω + c 4( ω) = a c 4+ b ω c 4ω olur k, burada b= 0 E, c= c, c= 0E ve dolayısıyla u = a soucu çıkar. G sabt bıraktığı csde br u eleaı ster steez ϕ ve ϕ tarafıda sabt kalacağıda, o u eleaı rasyoel olak zorudadır. O halde G sabt bıraktığı cs, dur. Bu se (, ω ) ı, u br Galos geşlees olduğuu gösterr. G( (, ω )/ ) grubuu çarı tablosu kolayca oluşturulablr. ( ϕϕ )( ) = ϕ( ) = ω ve ( ϕϕ)( ω) = ϕ( ω ) = ω olduğuda, ϕϕ = ϕ4 tür, v.s. Şu halde G( (, ω )/ ) u çarı tablosu şu şekldedr: Şekl.4 O halde G( (, ω )/ ), 6. ertebede koütatf olaya br grutur ve yukarıdak tablo le S ü aşağıdak çarı tablosu karşılaştırılarak, G( (, ω )/ ) u S e zoorf olduğu kolayca görüleblr: Şekl.5 G( (, ω)/ ) S zoorfs, G( (, ω )/ ) dak her otoorf, x kökler üzerdek etksyle taae belrledğ gözleleyerek daha

102 güzel br yolla buluablr. x kökler u =, u = ω, u = ω dr. ϕ, u u e, u y u e ve u ü u ye resettğde u u u = ( uu ) u u u erütasyouyla, ya S tek () erütasyouyla gösterleblr Dğer ϕ j ler de bezer şeklde S te brer erütasyo olarak düşüüleblr ve burada G ( (, ω)/ ) S olduğu soucu çıkar. Yukarıdak çarı tablolarıda, j ϕ le ou bu zoorfdek görütüsü, ütekabl yerler şgal eder. S ü çok y ble alt gru şeası şu şekldedr: O halde Şekl.6 G( (, ω)/ ) u alt grular şeası şekldedr ve üs ala şlede Şekl.7

103 Şekl.8 elde edlr. Örek , dördücü derecede reel kökü olsu ve 4 4 (, ) geşlees gözöüe alalı. (, ) -otoorfler üzerde ϕ :, ϕ :, ϕ :, ϕ :, ϕ :, ϕ :, ϕ :, ϕ :, Şd ϕ = τ ve ϕ = σ dyel. Bu duruda τ =, σ = 4 ve τ σ = σ dr. O 4 4 halde G( (, )/ ), 8. ertebede br dhedral grutur. G( (, )/ ) dak her otoorf, x u u u 4 =, =, =, u = kökler üzerdek 4 4 etksyle taae belrledğde, G( (, )/ ) grubu, S 4 ü br alt grubua u u u u4 u u u u4 zoorftur. σ = = ( uuuu 4), τ = = ( uu 4) olduğuda u u u4 u u u4 u u br

104 ϕ = τ (4) ϕ = σ (4) 4 zoorfs le G( (, ) / ) < (4),(4) >= { I } S4,(),(4),()(4),()(4),(4)(),(4),(4) tür. ag.. grubuu alt grular şeası şu şekldedr: 4 G( (, )/ ) Şd 4 (, )/ Şekl.9 geşlees {, } G τσ alt grubua karşılık gele ara cs bulalı. ısalık açısıda u = 4 yazalı. Bu takdrde ( τσ )( u) = ( τσ )( σ ( u)) = ( τσ )( u) = τ ( σ ( u) σ ( )) = τ ( u ) = τ ( u) = τ ( u) = u ve ( τσ )() ( τσ )( σ ()) τ ( σ ()) τ () = = = = dr. Şd abcde,,,,, f, gh, olak üzere, s = a + bu + cu + du + e + fu + gu + hu olsu. Bu takdrde ( τσ )( s) = ( τσ )( a + bu + cu + du + e + fu + gu + hu ) = a+ b( u) + c( u) + d( u) + e( ) + f( u)( ) + g( u) ( ) + h( u) ( ) = a bu + cu du e + fu gu + hu dr; o halde s τσ tasvrde sabt kalası ç gerek ve yeter koşul, a = a, b= b, c= c, d = d, e= e, f = f, g = g, h= h, olası, ya b= d = e= g = 0 olası, ya s = a + cu + fu + hu = a + f ( u) c( u) h( u), ya s ( u) olasıdır. O halde 4 (, )/, G τσ alt grubua karşılık gele ara cs, { } geşlees { }, ( ) ( 4 ) G τσ = u = dr. Bezer hesalaalar soucu Galos tekabülü, aşağıdak şeada görüldüğü şeklde buluur (burada ara csler le kedlere karşılık gele alt grular, her k şeada ayı yerler şgal etektedr):

105 Şekl.0 Örek.6.5. br asal sayı ve olsu. F / F geşlees gözöüe alalı. σ : F F a a tasvr, Lea.4. ye göre br cs hooorfsdr ve Teore.4.9 a göre F her eleaıı sabt bırakır. O halde σ F -leerdr ve F : F solu olduğuda Teore.07 ye göre σ, σ, F br F -otoorfsdr. F ked üzere br tasvrdr. Şu halde Şd G = Aut E dyel. G =< σ > olduğuu gösterek styoruz. Öce σ = olduğuu satlayalı. Lea.4.5() veya Teore.4.9 a göre her a F ç σ ( a) = a = a olduğuda σ = dr k, burada σ elde edlr. Dğer tarafta, br oztf has böle se Teore.4.9 a göre elealı G F F has alt cs buluur ve σ ( b) = b b olacak şeklde br b F \ F eleaı vardır, dolayısıyla σ dr. Burada σ = olduğu soucu çıkar. F : F solu olduğuda Lea.6.9 da { } = σ =< σ > G = G : = ( F ):( F ) F : F = elde edlr, o halde < σ > = G = ve G =< σ > dr. G G Şd F, F br Galos geşlees olduğuu gösterek kolaydır. Teore.4.9 a göre G =< σ >= a F σ( a) = a = F dr, şu halde F { }, F br Galos geşleesdr.