BULANIK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİNE ÇÖZÜM ÖNERİSİ

Transkript

1 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİNE ÇÖZÜM ÖNERİSİ Mateatkç Nurda ÇETİN F.B.E.Mateatk Aabl Dalıda Mateatk Prograıda Hazırlaa DOKTORA TEZİ Tez Daışaı : Prof..Dr. Fata TİRYAKİ (Y.T.Ü) İSTANBUL 008

2 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİNE ÇÖZÜM ÖNERİSİ Mateatkç Nurda ÇETİN FBE Mateatk Aabl Dalıda Mateatk Prograıda Hazırlaa DOKTORA TEZİ Tez Daışaı : Prof. Dr. Fata TİRYAKİ (Y.T.Ü) İSTANBUL 008

3 ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa SĠMGE LĠSTESĠ KISALTMA LĠSTESĠ v ġekġl LĠSTESĠ. v ÇĠZELGE LĠSTESĠ. v ÖNSÖZ.. ÖZET. ABSTRACT... GĠRĠġ.. BULANIK ÇOK AMAÇLI LĠNEER PROGRAMLAMA ĠÇĠN ALTYAPI..3. Bulaık Küe Teors Bulaık Küeler..3.. Zadeh GeĢlee Presb...3 Bulaık Sayılar Özel Bulaık Sayılar Bulaık Karar Vere Bulaık Leer Progralaa Çok Aaçlı Leer Prgralaa ÇALP ç Çözü Yöteler Ölçeklee Metodları Ağırlıkladıra Metodu Kısıt Metodu Ağırlıklı a- Metodu Leer Hedef Progralaa EtkleĢl Çok Aaçlı Leer Progralaa Bulaık Çok Aaçlı Leer Progralaa Üyelk foksyolarıı değģk bçler LĠNEER KESĠRLĠ PROGRAMLAMA Tek Aaçlı Leer Kesrl Progralaa Proble Tek Aaçlı LKP Proble Forülasyou Tek Aaçlı LKP Proble Çözü Yöteler Chares-Cooper DöüĢüü GücelleĢtrlĢ (Updated) Aaç Foksyou Yöte Dkelbach Algortası Çok Aaçlı Leer Kesrl Progralaa Proble.. 56

4 4. TAġIMA PROBLEMLERĠ Klask TaĢıa Proble (TP) TaĢıa Proble Forülasyou TaĢıa Proble Çözü Yöteler BaĢlagıç Çözüüü Belrlees Optal Çözüü Belrlees Atlaa TaĢı Yöte MODI Yöte Çok Aaçlı TaĢıa Proble Leer Kesrl TaĢıa Proble LKTP forülasyou TaĢıa Spleks Yöte Nüerk Örek ÇOK AMAÇLI LĠNEER KESĠRLĠ TAġIMA PROBLEMĠ (ÇALKTP) e BULANIK YAKLAġIMLAR.8 5. ÇALKTP Forülasyou ÇALKTP ç Bulaık YaklaĢılar Leer Üyelk Foksyolarıı Kullaıldığı YaklaĢılar Aaçları Üyelk Foksyolarıı OluĢturulası ÇALKTP ç GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası Pareto-optallk Test Açıklayıcı Örek ÇALKTP ç Ġkye Böle Yöte Açıklayıcı Örek ÇALKTP ç Bulaık Hedef Progralaa YaklaĢıı Açıklayıcı Örek No-Leer Üyelk Foksyolarıı Kullaıldığı YaklaĢılar Hperbolk Üyelk Foksyoları le ÇALKTP Çözüü Açıklayıcı Örek Üstel Üyelk Foksyoları le ÇALKTP Çözüü Açıklayıcı Örek Parçalı Leer Üyelk Foksyou Haa ı YaklaĢıı Yag ve dğerler YaklaĢıı SONUÇ.45 KAYNAKLAR...46 ÖZGEÇMĠġ....49

5 SĠMGE LĠSTESĠ A U A Üyelk foksyou Bulaık br küe Evresel küe Bulaık A kües -kese X z Z Uygu çözüler bölges karar uzayı veya alteratfler uzayı Aaç foksyou Krter uzayı CO X Çok Aaçlı Leer Progralaa Proble ta optal çözüler kües X P Çok Aaçlı Leer Progralaa Proble Pareto-optal çözüler kües WP X Çok Aaçlı Leer Progralaa Proble zayıf Pareto-optal çözüler kües w t Ağırlık vektörü Hedef sevyeler d d Hedef sevyelerde poztf yöde sapa ktarıı göstere değģke Hedef sevyelerde egatf yöde sapa ktarıı göstere değģke P j j. öcelk sevyesdek hedefler S E Çok Aaçlı Leer Kesrl TaĢıa Proble Pareto-optal çözüler kües W E Çok Aaçlı Leer Kesrl TaĢıa Proble zayıf Pareto-optal çözüler kües a. kayak oktasıı arz ktarı b j j. talep oktasıı talep ktarı c j. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa br br alı taģıa alyet j. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak al ktarıı göstere karar değģke p j kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak br br al ç elde edle kâr P Kâr atrs d j kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak br br ürü ç taģıa alyet D p 0 Malyet atrs Sabt kâr d 0 Sabt alyet

6 Bç paraetre değer E. aaç foksyou ç üstel üyelk foksyou H. aaç foksyou ç hperbolk üyelk foksyou PL. aaç foksyou ç parçalı leer üyelk foksyou Aaç foksyoları ç e teel tat sevyes z. aaç foksyouu breysel aksu değer z. aaç foksyouu breysel u değer YaklaĢa paraetres

7 KISALTMA LĠSTESĠ BLP Bulaık Leer Progralaa ÇALKP Çok Aaçlı Leer Kesrl Progralaa ÇALKTP Çok Aaçlı Leer Kesrl TaĢıa Proble ÇALP Çok Aaçlı Leer Progralaa ÇATP Çok Aaçlı TaĢıa Proble HP Hedef Progralaa KV Karar Verc LKTP Leer Kesrl TaĢıa Proble LKP Leer Kesrl Progralaa LP Leer Progralaa TP TaĢıa Proble

8 ġekġl LĠSTESĠ ġekl. Sayfa Yaşlı kües üyelk foksyou....4 ġekl. Br otoobl hız uzayıı bulaıklaģtırılası ġekl.3 Koveks bulaık küe.. 6 ġekl.4 Koveks olaya bulaık küe....6 ġekl.5 Ġk bulaık küe kesģ. 8 ġekl.6 Ġk bulaık küe brleģ... 9 ġekl.7 Bulaık küe tüleye... 9 ġekl.8 A ve B bulaık küeler kesģ... 0 ġekl.9 GeĢlee presb açıklaası... 3 ġekl.0 GeĢlee presb göster. 4 ġekl. Bulaık sayı örekler.. 6 ġekl. Bulaık A sayısıı kese...6 ġekl.3 L-R tpl bulaık sayılar... 8 ġekl.4 Üçgesel ve yauksal bulaık sayılar. 8 ġekl.5 L-R tpl bulaık sayısıı açıklaası.. 9 ġekl.6 Bulaık karar 9 ġekl.7. aaç foksyou ç leer üyelk foksyou... 4 ġekl.8. aaç foksyou ç leer üyelk foksyou.. 44 ġekl.9 Üstel üyelk foksyou ġekl.0 Hperbolk üyelk foksyou. 46 ġekl. Ters hperbolk üyelk foksyou ġekl. Parçalı leer üyelk foksyou.. 47 H ġekl 5. ( z ( )) hperbolk üyelk foksyou ġekl 5. ( z( )) hperbolk üyelk foksyou 3 ġekl 5.3 ( z( )) hperbolk üyelk foksyou ġekl 5.4 3( z3( )) hperbolk üyelk foksyou 3 E ġekl 5.5 ( z ( )) üstel üyelk foksyou... 5 ġekl 5.6 ( z( )) üstel üyelk foksyou ġekl 5.7 ( z( )) üstel üyelk foksyou.8 ġekl 5.8 3( z3( )) üstel üyelk foksyou.....8

9 PL ġekl 5.9 ( z ( )) parçalı leer üyelk foksyou.. 0 ġekl 5. ( z( )) parçalı leer üyelk foksyou... 6 ġekl 5.3 ( z( )) parçalı leer üyelk foksyou... 6 ġekl 5.4 3( z3( )) parçalı leer üyelk foksyou... 7 ġekl 5.5 Parçalı leer kokav üyelk foksyou ġekl 5.6 S -bçl üyelk foksyou

10 ÇĠZELGE LĠSTESĠ Sayfa Çzelge. M ( ) N ( ) ç cebrsel Ģleler... 3 Çzelge. M ( a b ) N ( c d ) ç bulaık Ģleler Çzelge.3 M ( l u) N ( a b c) ç bulaık Ģleler. 4 Çzelge.4 M a b c ) N a b c ) ç bulaık Ģleler.. 4 ( d ( d Çzelge.5 Karar odeller. 3 Çzelge 4. TaĢıa tablosu.. 6 Çzelge 4. LKTP ç spleks taģıa tablosu Çzelge 4.3 Dögü oluģtura örekler 73 Çzelge 4.4 Dögü oluģturaya örekler.. 73 Çzelge 4.5 Kâr ve alyet atrsler eleaları Çzelge 4.6 TaĢıa Spleks Metot öreğ- BaĢlagıç uygu taba çözü...75 Çzelge 4.7 TaĢıa Spleks Metot öreğ- Brc AĢaa Çzelge 4.8 TaĢıa Spleks Metot öreğ- Ġkc AĢaa Çzelge 5. (5.) problede herbr aaç ç u ve aksu çözüler ve karģılık gele aaç değerler Çzelge 5. (5.3) proble beģ terasyo ç souçları Çzelge 5.3 Ġkye Böle Yöte' terasyoları ve souçları.. 0 Çzelge 5.4 ( z( )) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles... 3 Çzelge 5.5 ( z( )) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles.. 4 Çzelge 5.6 3( z3( )) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles.. 5 Çzelge 5.7 ( z( )) kokav parçalı leer üyelk foksyouu elde edles. 33 Çzelge 5.8 ( z( )) leer üyelk foksyouu elde edles 33 Çzelge 5.9 3( z3( )) kokav parçalı leer üyelk foksyouu elde edles. 34 Çzelge 5.0 ( z( )) o-kokav (k kokav) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles Çzelge 5. ( z( )) o-kokav (k kokav) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles... 4 Çzelge 5. 3( z3( )) o-kokav (k kokav) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles... 4

11 ÖNSÖZ Dezcler ç kutup yıldızıı dğerler arasıda yer br baģkadır. Yöler oa göre belrler rotalarıda ĢaĢazlar. Bu çalıģaı kutup yıldızı ola yol göstere ve güç kata değerl hoca Prof. Dr. Fata TĠRYAKĠ e büyük destekç oldu. Kedse Ģükra borçluyu. Mesleğzde örek aldığıız br duaye olarak eģsz fkrler ve daha öels çok değerl zaaıı esrgeeye ve büyük tevazu le paylaģa saygıdeğer hoca Prof. Dr. Mehet AHLATÇIOĞLU a da e der sevg ve Ģükralarıı suarı. Nurda ÇETĠN

12 BULANIK ÇOK AMAÇLI LĠNEER KESĠRLĠ TAġIMA PROBLEMĠNE ÇÖZÜM ÖNERĠSĠ Nurda ÇETĠN Mateatk Bölüü Doktora Tez TaĢıa probleler ve gelģtrle çözü yöteler lojstkte tedark zcr yöetde alyetler azaltılası ve servs hzetler yleģtrede öel br rol oyaaktadır. Kısıtlı kapasteye sahp üret erkezlerde talepler bell ola tüket erkezlere taģıa yapılırke ayı ada brde fazla krter optze edleye çalıģılablr. Öreğ alyet zasyou öcelkl üģterlere ortalaa dağıtı zaaıı zasyou yakıt tüket zasyou gb. Bu krterlerde bazıları kâr/alyet kâr/ģgücü htyacı kâr/rsk oraı ya da kârlılık oraıı akszasyou gb kesrl yapıda olablr. Böyle taģıa probleler Çok Aaçlı Leer Kesrl TaĢıa Proble (ÇALKTP) olarak adladıraktayız. Bu çalıģada aaçları k leer foksyou oraı ve kısıtları taģıa proble kısıtları ola çok aaçlı leer kesrl taģıa proble ele alııģ ve bu problee bulaık çözü öerler gelģtrlģtr. ÇalıĢaız beģ bölüde oluģaktadır. GrĢ baģlığıı verdğz brc bölüde çalıģaızda ele aldığıız koular aa hatlarıyla alatılaktadır. Ġkc bölüde bulaık küe teors ve bulaık karar vere üçücü bölüde leer kesrl progralaa (LKP) dördücü bölüde de taģıa probleler baģlığı altıda klask taģıa proble çok aaçlı taģıa proble ve leer kesrl taģıa proble ele alıaktadır. ÇalıĢaızı orjal kısı ola beģc bölüde se ÇALKTP forülasyou; proble çözüleblrlğ ç teel teoreler; Pareto-optal zayıf Pareto-optal ve uzlaģık çözü kavraları; problee bulaık yaklaģıla çözü öerlerz yer alaktadır. Öerdğz bulaık yaklaģılar üyelk foksyolarıı yapılarıa göre leer ve o-leer (hperbolk üstel ve parçalı leer) üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar olak üzere k aa baģlık altıda gruplaakta olup her br yaklaģıı ĢleyĢ ayı teel örek proble üzerde açıklaaktadır. Aahtar Keleler: TaĢıa proble leer kesrl progralaa proble çok aaçlı leer progralaa bulaık ateatk progralaa. JÜRĠ:. Prof.Dr. Fata TĠRYAKĠ Kabul tarh: Prof.Dr. Mehet AHLATÇIOĞLU Sayfa Sayısı: Prof.Dr. Erha ÖZDEMĠR 4. Prof.Dr. Müft GĠRESUNLU 5. Prof.Dr. Mustafa BAYRAM

13 SOLUTĠON PROPOSAL to FUZZY MULTĠOBJECTĠVE LĠNEAR FRACTĠONAL TRANSPORTATĠON PROBLEM Nurda CETĠN Matheatcs Departet Ph.D. Thess Trasportato probles ad ther soluto techues play a portat role logstcs ad supply cha aageet for reducg cost ad provg servce. Whle havg a trasportato process fro supply pots wth lted capacty to dead pots or cosupto ceters wth defte deads ore tha oe crtera ca be optzed at the sae te. The zato of the cost fuel cosupto ad average dstrbuto te to the custoers wth hgh prorty ca be gve as eaples of such crtera. I addto soe of those crtera ca be a fractoal structure such as proft/cost or proft/te or the azato of proftablty rato. We called those type of trasportato probles as Mult- Objectve Lear Fractoal Trasportato Probles (MLFTP). I ths study the MLFTP whose objectves are the ratos of two lear fuctos ad whose costrats are the trasportato proble's costrats s dealt wth ad fuzzy soluto proposals for ths proble are proposed. Ths study cossts of fve sectos. I the frst secto we called t as troducto we outled the subjects to be deal wth ths thess. I the secod secto fuzzy set theory ad fuzzy decso akg; the thrd secto lear fractoal prograg (LFP); the fourth secto the classcal trasportato proble the ultobjectve trasportato proble ad the lear fractoal trasportato proble that are subttles of the trasportato probles were studed. I the ffth secto whch s the orgal part of our study we gave the MLFTP forulzato ad basc theores about the solvablty of the proble. Defg Pareto-optal weak Pareto-optal ad coprose soluto cocepts for ths proble we offered fuzzy soluto proposals usg fuzzy approaches. Our fuzzy approaches are groupped uder two basc topcs accordg to the structure of ther ebershp fuctos: approaches usg leer ebershp fuctos ad approaches usg o-leer ebershp fuctos. The eecuto for each approach s dsplayed o the sae basc saple proble. Keywords: Mult-objectve trasportato proble ult-objectve leer fractoal prograg fuzzy atheatcal prograg. JÜRĠ:. Prof.Dr. Fata TĠRYAKĠ Kabul tarh: Prof.Dr. Mehet AHLATÇIOĞLU Sayfa Sayısı: Prof.Dr. Erha ÖZDEMĠR 4. Prof.Dr. Müft GĠRESUNLU 5. Prof.Dr. Mustafa BAYRAM

14 . GĠRĠġ Zadeh 965 de Iforato ad Cotrol adlı dergde Fuzzy sets adlı akalesyle ortaya attığı bulaık küe teors aacı belrszlk çere kavraları üyelk dereceleryle belrl hale getrektr. Dolayısıyla klask ateatk progralaa le çözeedğz belrszlk çere çeģtl probleler bulaık küe teors yardııyla çözüleblektedr. Bu teor yöeyle araģtırası yapay zeka sr ağları oyu teors yöet bl kotrol teors Ģlete ekoo statstk v.s. gb brçok alaa uygulaaktadır. Ayrıca bulaık küe teors karar problelere uygulaası 970 yılıda Bella ve Zadeh tarafıda yapılıģtır. Bulaık karar vere yaklaģıı gerçek yaģa probleler odellees ve çözüüde öel br yere sahptr. TaĢıa proble de gerçek yaģada sıkça rastlaa özel tpte br leer progralaa (LP) probledr ve persoel ataa lojstk tedark zcr yöet gb brçok alada uygulaa bulaktadır. Bldğ gb klask taģıa problede aaç alyet zasyou ya da kâr akszasyoudur. Oysa bu aaçları yaısıra taģıa sstede yakıt tüket zasyou belrl br proseste yapıla üret akszasyou üģterlere ortalaa dağıtı zaaıı zasyou gb brde fazla ve geellkle brbryle çelģe aaçlar da ayı ada optze (aksze ya da ze) edleye çalıģılaktadır. Aaç foksyolarıı yapısı k leer foksyou oraı olarak leer kesrl yapıda seler öreğ: kâr/rsk kâr/alyet kâr/zaa gb ÇALKTP ortaya çıkaktadır. Bu çalıģada çalıģaızı esas kousu ola ÇALKTP e bulaık yaklaģıla çözü öerler gelģtrlektedr. GrĢ te sorak bölüde Zadeh bulaık küe teors; Bella ve Zadeh' 970 de öerdğ "bulaık karar" taıı bulaık leer progralaa proble; çok aaçlı leer progralaa proble taıı teel kavraları ve çözüü ç teel yaklaģıları; bulaık çok aaçlı leer progralaa kousu çeģtl tpte (leer üstel hperbolk ve parçalı leer) üyelk foksyoları ve çözü yöteler aa hatlarıyla verlektedr. Üçücü bölüde leer kesrl progralaa proble tek aaçlı ve çok aaçlı olarak k alt kısıda celeektedr. Probleler taıları özellkler örek proble ve çözü yöteler geel çerçevede ele alıaktadır. Dördücü bölü taģıa problelere ayrılıģ olup klask taģıa proble bldğ düģücesyle sadece odel taıı yapılıģ tablo le çözü yötelere yer verleģtr. Çok aaçlı taģıa proble ç taı ve yaklaģıları sııfladırılası yapılıģtır. Ayrıca

15 leer kesrl taģıa proble taıtılıģ Bajalov u (Bajalov 003) tablo yöte dıģıda çözü yaklaģılarıa lteratürde rastlaadığı vurgulaarak bu tablo yöte alatılıģtır. ÇalıĢaızı orjal kısıı oluģtura beģc bölüde se öcelkle ÇALKTP forülasyou proble çözüleblrlğ ç teel teoreler Pareto-optal zayıf Paretooptal ve uzlaģık çözü kavraları verlektedr. Daha sora leer kesrl aaç foksyolarıa karģılık gele üyelk foksyoları (leer ya da o-leer) kurulaktadır. Zera ı u operatörü kullaılarak bulaık yaklaģıla (Bulaık Mateatk Progralaa yoluyla) ÇALKTP ç uzlaģık Pareto-optal çözü elde etek üzere verdğz çözü öerler: Leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar ve No-leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar olarak k aa baģlık altıda gruplaaktadır. Leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar da GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası Ġkye Böle Yöte ve Hedef Progralaa YaklaĢıı le No-leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar da da Hperbolk Üyelk Foksyoları Üstel Üyelk Foksyoları ve Parçalı Leer Üyelk Foksyoları kullaılarak ÇALKTP Pareto-optal çözüü buluaktadır. Çözü yaklaģılarıı ĢleyĢler br teel örek proble üzerde ayrıtılarıyla açıklaaktadır. Souç kısıda çalıģaızda eler yapıldığı ve elde edldğ fade edlektedr. Ayrıca leer kesrl progralaa taģıa kârlılık oralarıı optzasyou ve buları bulaık çerçevede celee öe vurgulaakta; gelecekte yapılablecek çalıģalar hakkıda araģtıracılar yöledrlektedr.

16 3. BULANIK ÇOK AMAÇLI LĠNEER PROGRAMLAMA ĠÇĠN ALTYAPI. Bulaık Küe Teors Klask atıkta öereler ya "doğru" ya da "yalıģ" tır. Fakat gülük hayatıızda hee hee hçbr Ģey keslkle doğru ya da keslkle yalıģ değldr ya öereler kıse doğru olablr. ĠĢte klask atığı yeterl oladığı böyle durularda bulaık atığa htyaç duyulaktadır. Bulaık atıkta öereler doğruluk değer 0 aralığıa at br reel sayıdır. Bezer Ģeklde klask küe teors geģletlģ Ģekl ola bulaık küe teorsde br eleaı br küeye at ola (üyelk) dereces vardır ya br elea br küeye bell derecede attr. Bulaık küe kavraı lk olarak Lütf A. Zadeh tarafıda 965 de ortaya atılıģtır. Bulaık küe teors aacı belrszlk çere kavraları üyelk dereceleryle belrl hale getrektr... Bulaık Küeler Teel Taılar Üyelk Foksyou (Karakterstk foksyo): U evresel küesdek br eleaıı A alt küese at ola dereces vere foksyoa üyelk foksyou der ve ( ) le gösterle üyelk foksyou ( ) : 0 U A Ģeklde taılıdır. Bulaık Küe: U evresel küe ve ( ) : 0 U A üyelk foksyou olak üzere A {( ( )): U} le taılaa A kües bulaık küe adıı alır. A Bulaık küeler geelde A B C seboller le gösterlese rağe bastlk açısıda baze A B C le de yazılablr. U... solu evresel kües üzerde taılı A bulaık kües A ( ( ))( ( ))...( ( )) A A A Ģeklde gösterleblr. Bu fadede bastlk açısıda üyelk dereces sıfır ola elealara at kller yazılayablr (Sakawa 993). Ayrıca A bulaık kües eğer U evresel kües sayılablr veya keskl se A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A 3 A A... 3 A

17 4 ve eğer U evresel kües sayılaaz (sosuz elealı) ve sürekl se ( ) A A U bçde gösterleblr (Öğütlü 00). Örek.: U olsu. yaklaģık olarak 5 e eģt ola tasayılar bulaık kües A (30.4)(40.8)(5)(60.8)(70.4) veya Ģeklde gösterlr (Sakawa 993) A Örek.: 40 yaģ üzerdek br kģ yaşlı olarak teledrldğ ve apss kģ yaģıı belrttğ kabul edlrse ġekl. de verle üyelk foksyou le br kģ e derece yaşlı olduğu belrleeblr. ġekl. Yaşlı kües üyelk foksyou. Örek.3: Br otoobl otoyol üzerde yapableceğ hız 0 le 0 k/saat arasıda olsu. ġekl. de verle otoobl ç hız uzayı: Yavaş (0 le 40 k/saat) Noral Hızda (60 le 80 k/saat) ve Hızlı (00 le 0 K/saat) olak üzere üç küeye ayrılsı. Bu otoyolda 70 k/saat hızıda gde br otoobl Noral küese; 90 k/saat hızıda gde br otoobl se bell br üyelk derecesde Noral ve bell br üyelk derecesde Hızlı küese grer. Bu öreğe göre otoobl Hızlı(90) 0.5 ve Noral (90) 0.5 üyelk değerlerde her k küe de üyesdr (Topuz vd. 00).

18 5 ġekl. Br otoobl hız uzayıı bulaıklaģtırılası (Topuz vd. 00). Bulaık Küe Desteğ U evresel küesdek br A bulaık kües desteğ üyelk dereces poztf ola oktaları oluģturduğu kes (crsp) küedr ve SA ( ) Ģeklde gösterlr. S( A) X ( ) 0. A Bulaık Küe Alfa Kese U evresel küesdek A bulaık kües kese bu küe çersde üyelk dereces 0 sayısıda büyük veya eģt ola eleaları oluģturduğu kes küedr ve A ( ) X A Ģeklde gösterlr (Zera 993). Örek.4: Örek. de verle A (30.4)(40.8)(5)(60.8)(70.4) bulaık kües bazı -keseler Ģu Ģekldedr: A A A A 5. Koveks Bulaık Küe U evresel küesdek A bulaık kües tü keseler koveks se bulaık küeye koveks bulaık küe der. BaĢka br fadeyle br A bulaık kües koveks

19 6 olası ç gerek ve yeter Ģart U 0 ç ( ( ) ) ( ( ) ( )) eģtszlğ sağlaasıdır. A A A ġekl.3 Koveks bulaık küe. ġekl.4 Koveks olaya bulaık küe. Bulaık Küe Yükseklğ U evresel küesdek br A bulaık kües yükseklğ ( ) üyelk foksyolarıı e küçük üst sıırıdır ve yükseklk( A ) Ģeklde gösterlr: yükseklk ( A) sup ( ). U A A Noral Bulaık Küe ( ) eģtlğ sağlaya e az br U eleaı varsa A bulaık kües oral A bulaık küedr. Noral olaya bulaık küe de alt oral (suboral) bulaık küedr.

20 7 Herhag br A alt oral bulaık kües çersdek tü ( ) üyelk değerler küe yükseklğe bölüerek küe oralze edleblr (Sakawa993). A Bulaık Küe Kardaltes U evresel küesdek solu A bulaık kües kardaltes küeye at ola eleaları üyelk dereceler toplaıa eģttr ve A ( ) Ģeklde gösterlr. U A Ayrıca A bulaık kües görecel kardaltes A A le taılaır. U Eğer U evresel kües solu değlse A ı kardaltes A U ( ) A d Ģeklde taılaır ve bu duruda kardalte daa var olayablr (Zera 993). Bulaık Küelerde Teel Küe Teors ĠĢleler Teel küe teors Ģleler bulaık küeler üyelk foksyoları aracılığıyla taılaır. Zadeh tarafıda öerle teel küe teors Ģleler aģağıdadır (Sakawa 993). Br U evresel küesde boģ küede farklı k bulaık küe A ve B olsu. EĢtlk (Eualty): A ve B küeler eģt olables ç gerek ve yeter Ģart U evresel küesdek tü oktalar ç bu bulaık küeler üyelk dereceler eģt olasıdır. A B ( ) ( ) U. A B Altküe (Cotaet): A bulaık kües B altkües olası ç gerek ve yeter Ģart A dak elealara karģılık gele tü üyelk dereceler bu eleaları B dek üyelk derecelerde küçük veya eģt olasıdır. A B ( ) ( ) U. A B Tüleye (Copleetato): A bulaık kües tüleye A le gösterlr ve ( ) A( ) U A üyelk foksyou le taılaır. Örek.5: Örek. dek A (30.4)(40.8)(5)(60.8)(70.4) bulaık kües tüleye A ()()(30.6)(40.)(60.)(70.6)(8)(9) dr.

21 8 KesĢe (Itersecto): A ve B bulaık küeler kesģ A B le gösterlr ve AB( ) { A( ) B( )} U Ģeklde taılaır. Bulaık küeler arası kesģ " " Ģaret le gösterle atıksal ve bağlacıa karģılık gelektedr. BrleĢe (Uo): A ve B bulaık küeler brleģ A B le gösterlr ve A B( ) a{ A( ) B( )} U Ģeklde taılaır. Bulaık küeler arası brleģ " " Ģaret le gösterle atıksal veya bağlacıa karģılık gelektedr. Örek.6: U 3456 evresel kües B bulaık küeler verls A B A B Ģekldedr A ve ġekl.5 Ġk bulaık küe kesģ.

22 9 ġekl.6 Ġk bulaık küe brleģ. ġekl.7 Bulaık küe tüleye (Sakawa 993). ġekl.5 ve ġekl.6 da A ve B bulaık küeler koveks ve oral olasıa rağe A B kües koveks olaya küe A B kües de oral olaya küedr. ġekl.7 de A ı tüleye A sadece kovekslk özellğ kaybetģtr. Örek.7: A 0 da çok büyük reel sayılar ve B e yaklaģık sayılar bulaık küelere karģılık gele üyelk foksyoları sırasıyla 0 0 A( ) ( ( 0) ) 0 ve ( B ) ( ( ) ) 4

23 0 olsu. Bu duruda k bulaık küe kesģ ve brleģ küeler üyelk foksyoları sırasıyla AB 4 ( ( 0) ) ( ( ) ) 0 ( ) A B( ) a ( ( 0) ) ( ( ) ) U olarak taılaır. Ġk bulaık küe kesģ üyelk foksyou ġekl.8 le verlģtr (Zera 993). ġekl.8 A ve B bulaık küeler kesģ (Örek.7). Bulaık Küeler Özellkler (Sakawa 993) U evresel kües üzerde taılı k bulaık küe A ve B olsu. Klask küe teorsdek değģe brleģe dağıla v.s. gb aģağıda verle özellkler bulaık küe teorsde de geçerldr.. Değşe Özellğ (Coutatvty Laws): AB B A AB B A. Brleşe Özellğ (Assocatvty Laws): A( BC) ( AB) C A( BC) ( AB) C 3. Dağıla Özellğ (Dstrbutvty Laws): A( BC) ( AB) C) A( BC) ( AB) ( A C)

24 4. De Morga Kuralları (De Morga s Laws): (A A B (A A B 5. EĢgüçlülük (Idepotece): AA A AA A 6. Soğura (Absorpto): A( AB) A A( AB) A AU U A 7. ÖzdeĢlk (Idetty): A A AU A 8. Çft Değllee (Ivoluto): A A Burada belrtleldr k klask küelerde farklı olarak bulaık küeler ç geçerl ola yegae kural AA U ve A A özellklerdr. Bu özellkler klask le bulaık küe teorler arasıda ayırt edc rol oyarlar. Bulaık Küelerde Cebrsel ĠĢleler Klask küe Ģlelere ek olarak bulaık küeler üzerde cebrsel Ģleler kullaak da yararlıdır. Cebrsel Çarpı (Algebrac product): A ve B bulaık küeler cebrsel çarpıı ola bulaık küe AB le gösterlr ve üyelk foksyou ( ) ( ) ( ) AB A B olarak taılaır. Cebrsel Topla (Algebrac su): A ve B bulaık küeler cebrsel toplaı ola bulaık küe A B le gösterlr ve üyelk foksyou AB ( ) A( ) B ( ) A( ) B( )

25 olarak taılaır. Sıırlı Çarpı (Bouded product): A ve B bulaık küeler sıırlı çarpıı ola bulaık küe A B le gösterlr ve üyelk foksyou A B( ) a(0 ( ) A B( ) ) 0 ( A( ) B( ) ) olarak taılaır. Sıırlı Topla (Bouded su): A ve B bulaık küeler sıırlı toplaı ola bulaık küe A B le gösterlr ve üyelk foksyou AB( ) ( ( A ) B( )) ( A( ) B( )) olarak taılaır. Sıırlı Fark (Bouded dfferece): A ve B bulaık küeler sıırlı farkı ola bulaık küe A B le gösterlr ve üyelk foksyou AB( ) a (0 ( A ) B( )) 0 ( A( ) B( )) olarak taılaır. Örek.8: U evresel kües B bulaık küeler verls A B A B A ve A AB 3 6 A B A B A B A B Zadeh GeĢlee Presb (Sakawa 993) Klask küeler arasıda taılaa foksyo kavraıı bulaık küeler üzerde taılaasıa geģlee presb der. BaĢka br fadeyle f I küesde J küese br foksyo f : I J olsu. GeĢlee presb; I üzerde bulaık A kües ve f foksyou aracılığıyla Y kües üzerde B ( y B( y)) y f ( ) I kües bulaık

26 3 B( y) sup A( ) f ( y) y f ( ) 0 f ( y) üyelk foksyou le taılaasıa kâ sağlar (ġekl.9). Burada f ( y) y ters görütüsüdür. ġekl.9 GeĢlee presb açıklaası Örek.9: A 0 olak üzere geģlee presb le br bulaık küe ve f ( ) br foksyo B 0 4 bulaık kües taılaır. Örek.9 a uygulaa geģlee presb ġekl.0 le gösterlģtr.

27 4 ġekl.0 GeĢlee presb göster (Örek.9). Taı. (Kartezye Çarpı) (Sakawa 993): I I... I üzerde taılı bulaık küeler sırasıyla A A karģılık gele üyelk foksyoları da A ( )... ( ) A A... olsu. A... A A bulaık küeler kartezye çarpıı I I... I üzerde A A... A le gösterle br bulaık küedr ve üyelk foksyou da A A... A (... ) ( A ( )... A ( )) (.) olarak fade edlr. Örek.0: I I A olsu. I üzerde A ve I üzerde A bulaık küeler: A olarak verls. Bu duruda kartezye çarpı kües; A (33) (53) (73) (35) (55) A olur. Dkkat edlrse A (75) A A bulaık küeler oladığıda (.) kartezye çarpıı kes küelerdek klask taııa drger. Bulaık küelerdek kartezye çarpı taııda geģlee presb aģağıdak gb geelleģtrleblr.

28 5 Taı. (Kartezye Uzayda GeĢlee Presb): f : I... I J olak üzere geģlee presb; I I... I üzerde bulaık A A... A kües ve f foksyou aracılığıyla J kües üzerde B ( y ( y)) y f (... ) (... ) I I... I bulaık kües B B ( y) sup... (... ) A A ( ) f y y f ( ) (... ) X... X 0 f ( y) üyelk foksyou le taılaasıa ka sağlar. Burada f (.) ( y) y ters görütüsüdür. 978'de H.T. Nguye alfa sevye kües kavraıı kullaarak (.) geģlee presb aģağıdak fadeye eģdeğer olduğuu gösterģtr. Teore. (Nguye): Herhag br y J ç B( y) (... ) olacak Ģeklde A... A... ler evcutsa ya bazı... ç (.) supreuua ulaģılırsa f ( A... A ) f ( A... A ) eģtlğ geçerldr...3 Bulaık Sayılar Taı.3: Üyelk foksyou parçalı sürekl ola reel eksede taılı koveks ve oralze edlģ bulaık küeye bulaık sayı der (Sakawa 993). Taı.4: Br M bulaık sayısı tü egatf (poztf) değerler ç sıfır üyelk değer alıyorsa bu bulaık sayı poztftr (egatftr) der. Ya M bulaık sayısı poztftr (egatftr). 0 ( 0) ç ( ) 0 dır. Örek.: YaklaĢık olarak cvarıda br M bulaık sayısı ç üyelk foksyo örekler olarak üçgesel üyelk foksyou M ( ) a (0 ) a 0 a ve ça Ģekll üyelk foksyou b( ) ( ) M e b M

29 6 yaygı Ģeklde kullaılaktadır (ġekl.). ġekl. Bulaık sayı örekler. Br Bulaık Sayıı Güve Aralığı (Cofdece Iterval) (Sakawa 993 sayfa 3) Üyelk dereces ( 0 ) sayısıda büyük veya eģt ola tü reel sayıları oluģturduğu aralığa güve aralığı ( kese) der. A A( ) al a u Br bulaık A sayısıı kese A ġekl. de gösterlģtr. ġekl. Bulaık A sayısıı kese.

30 7 Bulaık Sayılarda Teel Artetk ĠĢleler Bulaık küe teorsde geģlee presb aa uygulaalarıda br klask küe teorsde ve cebrsel Ģleler bulaık sayılara geģletlesdr. Böyle br geģlee Zadeh geģlee presb le yapılablr. M ve N bulaık sayılarıı üyelk foksyoları sırasıyla ( ) ve ( ) olak üzere M dek ve kl Ģleler M ve N bulaık sayılarıı ve kl Ģlelere geģlee presb le aģağıdak gb geģletleblr (Sakawa 993).. Geşletlş Toplaa: M N ( z) sup ( ( ) ( y)) M N M N z y sup ( ( ) ( z )).. Geşletlş Çıkara: M N ( z) sup ( ( ) ( y)) M N M N z y M sup ( ( ) ( z)). 3. Geşletlş Çarpa: M N ( z) sup ( ( ) ( y)) M N M N z y M N N sup ( M( ) N( z / )) z 0 a{sup ( M ( ) N (0))sup ( M (0) N ( y))} z 0. y 4. Geşletlş Böle: M N ( z) sup ( ( ) ( y)) MN z / y sup ( ( ) ( / z)) sup ( ( z. y) ( y)). y S ( N ) 0 S( N) M M M N N N N..4 Özel Bulaık Sayılar Özel bulaık sayılar hesaplaa uğraģısıı azaltak ç öerlģlerdr. Lteratürde Ģdye kadar üçgesel yauksal ve buları L R tpl olaları farklı karar odellere uygulaıģtır (Che ve Hwag 99). ġekl.3 ve ġekl.4 bazı özel bulaık sayıları verektedr.

31 8 ġekl.3 L R tpl bulaık sayılar. ġekl.4 Üçgesel ve yauksal bulaık sayılar. Taı.5 L - R tpl bulaık sayılar (Sakawa 993): M bulaık sayısıı L R tpl br bulaık sayı olası ç gerek ve yeter Ģart. L( ) L( ). L(0) 3. L ( ) 0 aralığıda artaya sol bç foksyou olak üzere L( ) 0 M ( ) R( ) 0

32 9 olasıdır. Burada M bulaık sayısıı orta değer ve sırasıyla sol ve sağ yayılılardır. ve yayılıları sıfır olduğuda M bulaık sayısı kes sayısıa drger. R() sağ yayılı foksyou da L() ya bezer Ģeklde taılaablr. M bulaık sayısı orta değer sağ ve sol yayılılar ve bç foksyoları kullaılarak br L Rtpl bulaık sayı M ( ) LR le sebolk Ģeklde gösterleblr. ġekl.5 L R tpl bulaık sayısıı açıklaası. Sol bç foksyolarıa örek olarak aģağıdak foksyolar verleblr: L( ) a (0 ) p 0 L( ) ep ( ) p 0 L( ) /( ) p 0 p p p Tepe oktası tek değl se L R tpl M bulaık sayısıı düz br tepe bölges vardır ve M olarak yazılablr (ġekl.3). ( ) LR Üçgesel (veya yauksal) bulaık sayı (Che ve Hwag 99) l u olak üzere M üçgesel bulaık sayısı 0 l l M ( ) u u 0 l l u u

33 0 olarak taılaır. ġekl.4 dek M ( l u) bulaık sayısıı alt sıırı l ve üst sıırı da u dur. ġekl.4 dek M yauksal bulaık sayısıı brçok tepe oktası vardır ve M ( a b c d) Ģeklde gösterlr. M bulaık sayısı ç bc aralığı e olası değerler a değer altıda ve d değer üstüdek yerler se taae kasız ola değerler gösterr. b de a ya ve c de d ye üyelk değer derece derece (veya leer olarak) azalır. Üçgesel (veya yauksal) bulaık sayı L R tpl bulaık sayıda daha kısıtlayıcı fordadır. Tü bacaklar leer olalıdır. Üstelk l ve u olduğuda M ( l u) ( ) olur. Bezer Ģeklde b a ve d c olduğuda se M ( a b c d) ( b c ) olur. M ve M bulaık sayılarıı karakterstkler ayı kalır. Bulaık sayıları dört farklı tp elde ettk. Her br kede at cebrsel Ģle forulasyou vardır. Çzelge. ve Çzelge. sırasıyla L R tpl üçgesel ve yauksal bulaık sayılar ç cebrsel Ģleler Çzelge.3 ve Çzelge.4 se sırasıyla üçgesel ve yauksal bulaık sayılar ç cebrsel Ģleler özetleektedr. α - keseler Yardııyla Üçgesel Bulaık Sayılar ç Cebrsel ĠĢleler: Br M ( l u) üçgesel bulaık sayısı -keseler yardııyla 0 ç M l u l l u u ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] olarak taılaır (Kaufa ve Gupta 988). Böylece M ( l u) ve N ( a b c) üçgesel bulaık sayıları arasıdak cebrsel Ģleler aģağıdak gbdr: Skaler le Çarpa: k 0 olak üzere Toplaa: k M k M k l k u ( ) ( ) [ ] M ( ) N M ( ) N [ l u ] [ a c ] l a u c Çıkara: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M ( ) N M ( ) N [ l u ] [ a c ] l c u a Çarpa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sadece poztf reel sayılar ç taılı ola çarpı Ģle: M N l a u c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] olarak taılaır. Daha açık br Ģeklde:

34 M( ) N [( l) l ( u ) u]( )[( b a) a ( c b) c] [(( l) l) (( ba) a) ( ( u ) u) ( ( c b) c)] la ( lb la a) ( l)( b a) uc ( ub uc c) ( u )( c b) olarak da yazılablr. M ( l u) ve N ( a b c) bulaık sayılarıı doğruda çarpı Ģle M 0 N 0 ç M ( ) N ( la b uc) (Çzelge.3) olup M N kese ( M N) [( b la) la ( uc b) uc] Ģekldedr. Doğruda çarpı le güve aralıkları le yapıla çarpı karģılaģtırıldığıda doğruda çarpıı güve aralıkları le yapıla çarpıda bell ktarda saptığı görülektedr. Bu sapa ktarı kabul edleblr olduğuda Ģlede kolaylık açısıda doğruda çarpı terch edlektedr. Böle: Sadece poztf reel sayılar ç taılı ola böle Ģle a 0 ve c 0 olak üzere her 0 ç M l u l l u u (:) N c a c b c a b a Ģeklde taılaır (Aksoy vd. 003). M ( l u) ve N ( a b c) bulaık sayılarıı doğruda bölüü M 0 N 0 ç l u M(:) N ( ) c b a (Çzelge.3) olup doğruda ve güve aralıkları le yapıla böle Ģle souçları çarpa Ģlee bezer Ģeklde karģılaģtırılablr. Ters Ala: ( ) ( ) M [ l u ] M ( ) ( ) u l (Aksoy vd. 003). Örek.: Ġk bulaık sayı M ( 34) ve ( 05) M l u l l u u N olsu. 0 ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] [5 3 4] N a c b a a c b c ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ] [ 5 5] olur. Burada ç:

35 M( ) N [ ] [ ] M( ) N [5 3 ( 5 5) 4 ( )] [ ] elde edlr. 0 ç M 0( ) N0 [ 49] ve ç M( ) N [] 0 ç M0( ) N0 [ 85] ve ç M( ) N [] dr. Örek.3: Ġk üçgesel bulaık sayı M (35) ve (48) M [ 5] ve N [3 4 8] olup M( ) N [ 5]( )[3 4 8] [( )(3 )( 5)( 4 8)] M [ ] 5 (:) N elde edlr. 0 M0( ) N0 [40] ve M N olur (Kaufa ve Gupta 988). ( ) [] N olsu. 0 ç:

36 4 Çzelge. ) ( M ) ( N ç Cebrsel ĠĢleler Çzelge. ) ( b a M ) ( d c N ç Bulaık ĠĢleler N görütüsü: ) ( N N görütüsü: ) ( : c d N N N ters: ) ( N N ters: ) ) ( ) ( ( c c d d c a N Toplaa: ) ( ) ( N M Toplaa: ) ( ) ( d b c a N M Çıkara: ) ( ) ( N M Çıkara: ) ( ) ( c b d a N M Çarpa Çarpa : ) ( ( ) 0: 0 N M N M ) ( ( ) 0: 0 d b c a bd ac N M N M ) ( ( ) 0: 0 N M N M ) ( ( ) 0: 0 c b a d bc ad N M N M ) ( ( ) 0: 0 N M N M ) ( ( ) 0: 0 c a d b ac bd N M N M Skaler Çarpı 0 : ( ) ( ) k k k M k k k 0 : ( ) ( ) k k k M k k k Böle Böle ) ( (:) 0 : 0 N M N M ) ) ( ) ( ( (:) 0 : 0 c c c b d d d a c b d a N M N M ) ( (:) 0 : 0 N M N M ) ) ( ) ( ( (:) 0 : 0 d d b d c c a c d b c a N M N M 0 0: (:) ( ) M N M N ) ) ( ) ( ( (:) 0 : 0 d d d a c c c b d a c b N M N M

37 4 Çzelge.3 ) ( u l M ) ( c b a N ç Bulaık ĠĢleler Çzelge.4 ) ( d c b a M ) ( d c b a N ç Bulaık ĠĢleler N görütüsü: ) ( a b c N N görütüsü: ) ( : a b c d N N N ters: ) ( a b c N N ters: ) ( a b c d N Toplaa: ) ( ) ( c u b a l N M Toplaa: ) ( ) ( d d c c b b a a N M Çıkara: ) ( ) ( a u b c l N M Çıkara: ) ( ) ( a d b c c b d a N M Skaler Çarpı Skaler Çarpı 0 : ( ) ( ) k k k M kl k ku 0 : ( ) ( ) k k k M ka kb kc kd 0 : ( ) ( ) k k k M ku k kl 0 : ( ) ( ) k k k M kd kc kb ka Çarpa Çarpa ) ( ( ) 0: 0 uc b la N M N M ) ( ) ( 0 : b a b a b a b a N M N M ) ( ( ) 0: 0 ua b lc N M N M ) ( ) ( 0 : 0 a d b c c b d a N M N M ) ( ( ) 0: 0 la b uc N M N M ) ( ) ( 0 : 0 a a b b c c d d N M N M Böle Böle ) ( (:) 0 : 0 a u b c l N M N M ) ( (:) 0 : 0 a d b c c b d a N M N M ) ( (:) 0 : 0 a l b c u N M N M ) ( (:) 0 : 0 a a b b c c d d N M N M ) ( (:) 0 : 0 c l b a u N M N M ) ( (:) 0 : 0 d a c b b c a d N M N M

38 5 α - keseler Yardııyla Yauksal Bulaık Sayılar ç Cebrsel ĠĢleler: Br yauksal M bulaık sayısı -keseler yardııyla 0 ç ( ) ( ) M [ a d ] [( b a ) a ( d c ) d] olarak taılaır. Böylece M a b c ) ve N a b c ) yauksal bulaık ( d sayıları arasıdak cebrsel Ģleler aģağıdak gbdr: Toplaa: ( d M ( ) N M ( ) N [ a d ] [ a d ] a a d d Çıkara: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M ( ) N M ( ) N [ a d ] [ a d ] a d d a Çarpa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sadece poztf reel sayılar ve doğal sayılar ç taılı yauksal bulaık sayılarda çarpa Ģle M 0 N 0 ç olarak taılaır. Böle: M ( ) N [ a a d d ] ( ) ( ) ( ) ( ) Poztf reel sayılar küesde taılı yauksal bulaık sayılarda böle Ģle a 0 ve d olak üzere her 0 0 ç M a d (:) N d a Ģeklde taılaır (Aksoy vd. 003). Ters Ala: Poztf reel sayılar küesde taılı ola M yauksal bulaık sayısıı ters M ( ) ( ) d a olarak taılaır. Örek.4: Ġk yauksal bulaık sayı M ( 3 7) ve N ( 568) olsu. 0 ç M [ a d ] [ 3 5 7] ( ) ( ) olur. Burada M( ) N [ ] N [ a d ] [6 8] ( ) ( )

39 6 elde edlr. 0 ç M 0( ) N0 [ 45] ve ç M( ) N [48] buluur. Örek.5: Poztf k yauksal bulaık sayı M (469) ve N (370) olsu. 0 ç M [ 4 3 ] ve N [ 3 0] olur. Burada M M ( ) N [( 4) ( )( 3 ) ( 3 0)] [ ] 4 3 (:) N 3 0 elde edlr. 0 M0( ) N0 [40] ve M N buluur (Kaufa ve Gupta 988). ( ) [863] Cebrsel ĠĢlelerdek Bastlk-Hassasyet trade-off (değģ-tokuģ) u Bulaık küeler sa düyasıdak kes olaya veya belrsz kavraları ateatksel olarak odelleede kullaılırlar. Bulaık küe teors Ģleler yardııyla farklı bulaık küeler kobe edleblr ve klask ateatk odeller kullaılarak çözüleeye problelere bazı özel cevaplar elde edleblr. Br bulaık sayı eleaları reel eksede ola br bulaık küedr. Klask ateatk kavralarla bulaık ktarları Zadeh geģlee presb kullaarak brleģtrek doğal br yoldur. Fakat bu yolu alfa-kese yöte yardıı le ble olsa cebrsel Ģlelere uygulaak oldukça zordur. Böylece orallk ve kovekslk gb bazı kısıtlayıcı özellkler ola ye br tür bulaık sayılar çeģtl araģtıracılar tarafıda taılaıģtır. Geellkle bu özel bulaık sayılar karar probleler odelleede htyaçlarıızı karģılaaktadır. Bu özel bulaık sayıları her br tp ç çok sayıda cebrsel Ģle forüller verlģtr. Bu cebrsel forüller çoğu duruda sadece yaklaģık souçlar üretrler. Böylece bu forüller orjal problee daha fazla belrszlk ya da bulaıklık katarlar. Bastlk le hassasyet arasıdak trade-off sorusu kolay cevaplaacak br soru değldr. KV hassasyet (ya geģlee presb ve düzgü (regüler) bulaık sayılar kullaa) ve bastlk (ya özel bulaık sayı ve yaklaģı forüller kullaa) arasıda seç yapalıdır. Buula brlkte pratk bakıģ açısıda bastlğ daha ağırlıklı olası gerektğ hssedlr. Çükü gerçek yaģa

40 7 probleler çoğu büyük boyutludur ve karaģık hesaplaa prosedürler oları akul br alyette ele alaaz (Che ve Hwag 99).. Bulaık Karar Vere Bella ve Zadeh (970) bulaık hedef bulaık kısıt ve bulaık karar olak üzere üç teel kavraı taılaıģ ve buları bulaıklık altıda karar süreçlere uygulaaları le lgl brçok çalıģa yapıģlardır. X alteratfler uzayı üzerde br bulaık hedef; : X 0 G üyelk foksyou le; br bulaık kısıt se : X 0 C üyelk foksyou le taılaa br bulaık küedr. Bella ve Zadeh (970) öerdğ bulaık karar taııda bulaık hedef le bulaık kısıtı ayı ada sağlaası ster. Böylece Bella ve Zadeh bulaık karar D y; bulaık hedef G ve bulaık kısıt C kesģ le taılaaktadır. Daha açıkça üzerde taılı bulaık karar kües; D G C le taılaır ve bu küe kües ( ) ( ) ( ) (.3) D GC G C üyelk foksyou le belrler. Bu taıda aksze edc karar a ( ) a ( ( ) ( )) X olur. D G C X Daha geel olarak k tae bulaık hedef G G... G k tae bulaık kısıt C C... C olak üzere bulaık karar; D G G G C C C k... ve bulaık kararı üyelk foksyou da D G G Gk C C C G C j Ģekldedr. Ayrıca aksze edc karar se a ( ) a ( ( )... ( ) ( )... ( )) X D G Gk C C X olarak taılaır. Acak karara etks açısıda bulaık hedef ve bulaık kısıt arasıda br fark oladığı her ks de eģt öe ağırlığıyla karara katkıda buluduğu uutulaalıdır. Bazı durularda hedef ve bulaık kısıtları farklı ağırlıklarla br araya getre brleģtrc X

41 8 odeller kullaılablr. Bella ve Zadeh (970) bulaık hedef ve kısıtları eģt öe ağırlığıa sahp oladığı bu durular ç koveks bulaık karar taııı verģlerdr. Bu taıa göre bulaık karar k koveks D G j C j j ( ) ( ) ( ) k j j 0 j üyelk foksyou le taılaır. Burada ve sırasıyla hedefler ve kısıtları görecel öeler yasıta ağırlık katsayılarıdır. Ayrıca çarpı Ģleyle de bulaık kararı üyelk foksyou k çarpı D ( ) G ( ) C ( ) j j olarak taılaablr. edlesyle buluur. optal seçeeğ de koveks ve çarpı bulaık kararı aksze k koveks D ( ) a G ( ) j C ( ) X j j k çarpı ( ) a ( D G ) C ( ) X j j çarpı koveks Bu üç bulaık kararı üyelk foksyoları arasıda ( ) ( ) ( ) bağıtısı vardır (Sakawa993). D D D Örek.6: 0 da oldukça büyük olalı aaç foksyou 0 0 G ( ) ( ( 0) ) 0 üyelk foksyou le cvarıda olalı kısıtı ( C ) ( ( ) ) üyelk foksyou le karakterze edls. Burada kararı üyelk foksyou ( ) ( ) ( ) D G C 4 4 ( ( 0) ) ( ( ) ) 0 D( ) 0 0 olur. Bulaık karar ġekl.6 le gösterlģtr (Zera 993).

42 9 ġekl.6 Bulaık karar..3 Bulaık Leer Progralaa (BLP) Ġlk kez H.-J. Zera 976 yılıda geleeksel LP problelerde bulaık küe teors kullaıģtır. ÇalıĢasıda br bulaık hedef ve bulaık kısıtları ola LP probleler göz öüe alıģtır. Leer üyelk foksyolarıyla brlkte Bella ve Zadeh öerdğ bulaık kararı zleyerek br eģdeğer LP proble evcut olduğuu spatlaıģtır. O zaada ber bulaık LP brçok baģarılı uygulaada farklı yölerde gelģektedr. Güüüzde bulaık progralaa bulaıklık altıda çok aaçlı optzasyou e öel alaı olarak dkkate alıaktadır (Sakawa 993). LP odeller karar odel özel br Ģekl olarak düģüüleblr. Karar uzayı kısıtlarla hedef (fayda foksyou) se aaç foksyou le taılaır. LP probleler klask odel: T Aaç: a f ( ) c Kısıtlar: A b 0 c b A (.4) le gösterlģtr. Klask odelde A b ve c tü bleģeler kes sayılardır. sebolü ve a sözcüğü keslk fade etektedr. KV aaç foksyouu aksze veya ze etek yere bazı stek sevyelere ulaģak ya evcut duruuu olabldğce yleģtrek steyeblr. Bua karģılık kısıtlar Ģaret kes ateatksel alaıı fade eteyeblr küçük hlaller (sapaları) kabul edeblecek Ģeklde belrsz olablr baze de duyulara lģk gereksler tesl edles

43 30 duruuda uygu br kes kısıt kestrleeyeblr. Ayrıca; b c vektörler ve A atrs bleģeler de bulaık yapıda olablr. Çükü bu paraetreler bulaık algılaalarda dolayı bulaık karakterlerle fade edleblrler. (.4) de bu gb olası odfkasyolar varsa LP problee bulaık leer progralaa proble (BLP) der (Zera993). BLP de odelleecek gerçek duruu özellklere ve kabullere bağlı olarak brçok odel tp evcuttur. Zera ı karar odeller sııfladırası Çzelge.5 de verlģtr. Çzelge karar odeller durularıa ve odellee prosese bağlı olarak ortaya çıkablecek odel tpler gösterektedr. Tablodak setrk odel fades esas olarak hedefler yaı sıra kısıtları da bulaık küeler yoluyla odelleebleceğ kabul etektedr. Ayrıca çözüler hedeflere ve kısıtlara göre üyelk dereceler karģılaģtırılablr olduğu kabulü de evcuttur. Çzelge.5 dek Tp odel ya kısıtları kes yapıda aaç foksyouu bulaık küe olduğu odel Tp 5 özel br duruudur. Bulaık küe teors fayda teorse de uygulaablr (Tp 3 ve Tp 6). Ayrık çözü uzayı ç k teel yaklaģı sııfı vardır. Brcsde faydalar geellkle lgustk değģkeler kullaılarak bulaık küeler le odeller. Alteratflere at bulaık faydalar bulaık küelerdek sıralaa etotları le dereceledrlr böylece alteratfler sıralaır. Ġkc yaklaģı sııfı se faydaları aacıa ya olayları arzu edleblrlklere göre olayları sıralaaya odaklaır ve böylece bulaık sıralaa bağıtılarıı kullaır. Çözü uzayı sürekl olduğuda se bu yaklaģılar artık geçerl değldr. Fayda teorse bulaık küe teors e sade uygulaa Ģekl fayda foksyouu br bulaık küe olarak yorulaaktır. Fakat bu yoru fayda foksyouu br kes üyelk foksyou olarak görüles sağlar. Böylece proble setrk bulaık seç odele drger. YaklaĢıda karar verc stek sevyeler bldğ kabulü vardır. Acak bu kabul pek gerçekç gözükeektedr. Dolayısıyla fayda teorse bulaık küe teors uygulaa yolu fayda foksyouu br bulaık foksyo olarak ele alaktır (Zera987 Sayfa 4).

44 3 Çzelge.5 Karar Modeller (Zera987). HEDEFLER Kes Bulaık küe Bulaık foksyo ) Geleeksel seç ) Setrk 3) Bulaık fayda KISITLAR Kes odel (o-setrk odel o-setrk odel odel) Bulaık 4) No-setrk odel 5) Setrk odel 6) Bulaık fayda o-setrk odel.4 Çok Aaçlı Leer Progralaa (ÇALP) Verle leer kısıtlar altıda brde fazla leer aacı optze eteye çalıģa proble Çok Aaçlı Leer Progralaa (ÇALP) proble olarak adladırılır. Proble ateatksel odel Ģu Ģekldedr: Aaçlar: a z( ) c a z ( ) c a z ( ) c (.5) k k Kısıtlar: A b (Leer eģtszlk kısıtı) 0 (Noegatflk kısıtı) Burada c ( c c ) z... k aacıı katsayılar vektörü; ( ) T ; boyutlu karar değģkeler vektörü; a a A a a boyutlu tekolojk katsayılar atrs; b ( b b ) T boyutlu sağ taraf sabtler vektörüdür. T z( ) ( ( ) ( )) ( c c ) k boyutlu krter vektörü ve C ( c c c ) T k T z z k k k boyutlu fyat atrs olak üzere ÇALP proble kısaca: Aaç: a z( ) C (.6) Kısıtlar: X A b 0

45 3 vektör-akszasyo proble olarak da fade edleblr. Burada X küese proble uygu çözüler bölges karar uzayı veya alteratfler uzayı da deleblr. Taı.6 (Ġdeal Nokta): Her br z ( ) aacıı optal değer z a { z ( ) A b 0 }... k olak üzere z ( z z z ) oktasıa deal okta der. k Taı.7 (Ta-optal çözü) (Coplete optal soluto): X oktasıı ta-optal çözü olası ç gerek ve yeter Ģart X ç z ( ) z( )... k olacak Ģeklde X oktasıı evcut olasıdır. Acak geelde aaç foksyoları brbrler le çelģtğde aaç foksyolarıı tüüü ayı ada aksu yapa br ta optal çözü daa evcut değldr. Böylece ta optal çözü kavraıı yaısıra X karar uzayı da pareto-optalte (etklk) zayıf- Pareto optalte (zayıf-etklk) Z krter uzayı da da basılaazlık (odoated) gb ye kavralar gelģtrlģtr. Taı.8 (Basılaaz Krter vektör): k Z z z C X krter uzayıda uygu bölge olak üzere z Z olsu. z basılaaz olası ç gerek ve yeter Ģart evcut olaasıdır. Aks halde z basıla br krter vektördür. z z ve z z olacak Ģeklde br baģka z Z Taı.9 (Pareto-optal çözü): X oktasıı Pareto-optal çözü (etk çözü) olası ç gerek ve yeter Ģart ç z ( ) z( ) ve j ç z j( ) zj( ) olacak Ģeklde br baģka X oktasıı evcut olaasıdır. Pareto-optallğe ek olarak aģağıdak zayıf pareto-optalte kavraı pareto-optaltede braz daha zayıf br çözü kavraı olarak taılaır. Bu edele lteratürde etk çözü le kuvvetl etk (strogly effcet) çözü taıları ayıdır. Taı.0 (Zayıf Pareto-optal çözü) (Zayıf-etk çözü): X oktasıı zayıf Pareto-optal çözü olası ç gerek ve yeter Ģart... k ç z ( ) z( ) olacak Ģeklde br baģka X oktasıı evcut olaasıdır.

46 33 Bu taılara göre çok aaçlı leer progralaada CO X P X ve optal pareto-optal ve zayıf pareto-optal çözü küeler gösterek üzere CO P WP X X X bağıtısı geçerldr (Sakawa 993). WP X sırasıyla ta.4. ÇALP ç Çözü Yöteler.4.. Ölçeklee Metodları (Scalarzato Methods): ÇALP y ölçekleede farklı etotlara bağlı olarak pareto-optal çözüler ede etek üzere brçok etot öerlektedr. Bu etotlar arasıda e çok bleler: Ağırlıkladıra etodu Kısıt etodu Ağırlıklı -a etodu olarak sayılablr Ağırlıkladıra Metodu: Br pareto-optal çözü elde ede bu etod orjal ÇALP proble çözek ç bütü aaç foksyoları ağırlıklı toplaıı alarak forülze edlģ br ağırlıklı proble çözektedr. Model kısaca: Aaç: Kısıtlar: k a w z( ) w z ( ) (.7) X olarak taılaır. Burada w ( w w w k ) aaç foksyolarıa ataıģ ağırlık katsayılar vektörüdür ve w ( w w w k ) 0 olduğu kabul edlr. (.7) ağırlıklı proble optal çözüü kavraı arasıdak lģk aģağıdak teorelerle verlektedr. le ÇALP proble pareto-optalte Teore.: X bazı w proble br pareto-optal çözüüdür. Ġspat: Ağırlıklı proble değlse bazı j ler ç Ģeklde 0 ç ağırlıklı proble br optal çözüü se ÇALP optal çözüü ÇALP proble br pareto-optal çözüü z j( ) zj( ) ve... k j ç X evcuttur. w ( w w w k ) 0 olduğuda Fakat bu eģtszlk bazı le çelģr. w 0 ç w z z ( ) z( ) olacak ( ) w z ( ) dır. ı ağırlıklı proble optal çözüü olası kabulü

47 34 Bu teorede w 0 Ģartı koulduğuda ağırlıkladıra proble çözüüü teklğ garatleeez. Bu duruda zayıf pareto-optallkte söz edlr. Teore.3: w w w k X ÇALP proble br pareto-optal çözüü se; w ( ) 0 ç ağırlıklı proble br optal çözüüdür. bazı.4... Kısıt etodu: Br pareto-optal çözü elde ede kısıt etoduda. aaç aksu yapılak üzere seçlr ve dğer aaçlar kısıtlara katılır. Mateatksel olarak etot: Aaç: a z j ( ) k j alt sevyeler le (.8) Kısıtlar: z ( ) k j X Ģeklde LP proble olarak fade edlr. Teore.4: X bazı k j ç (.8) kısıt proble yegae (uue) optal çözüü se; ÇALP proble br pareto-optal çözüüdür. Ġspat: Kısıt proble yegae optal çözüü çözüü değlse bazı l ç Ģeklde X evcuttur. Bu ya ( ) ( ) z l( ) zl( ) z z k j ya da ÇALP proble br pareto-optal ve k l ç z j( ) zj( ) z ( ) z( ) olacak z z k j ( ) ( ) z j( ) zj( ) deektr. Dolayısıyla bu da 'ı bazı k j ler ç kısıt proble yegae optal çözüü olduğu kabulü le çelģr. Bu teore spatıda alaģılableceğ gb br çözüü teklğ garatleeezse sadece zayıf pareto-optallk garatler. Teore.5: X ÇALP proble br pareto-optal çözüü se; bazı k j ç kısıt proble br optal çözüüdür.

48 35 Ġspat: ÇALP proble br pareto-optal çözüü kısıt proble br optal çözüü değlse X bazı k j ç z j( ) zj( ) z z k j ( ) ( ) olacak Ģeklde olası le çelģr. X evcuttur. Bu da ı ÇALP proble br pareto-optal çözüü Ağırlıklı a- etodu: Pareto-optal çözüler elde ede ağırlıklı a- etodu: Aaç: Kısıtlar: a wz( ) X k (.9) veya eģdeğer olarak Aaç: a v (.0) Kısıtlar: w z ( ) v... k X proble çözüüdür. Geellğ kaybeteksz X ç z ( ) 0... k olduğu kabul edlr. X ç z ( ) 0 ı sağlaaya aaç foksyoları ç aaçları breysel uu z z ( ) kullaılarak ve X zˆ ( ) z ( ) z alıarak X ç zˆ ( ) 0... k olur. Teore.6: X bazı w ( w w w k ) 0 ç ağırlıklı a- proble yegae optal çözüü se; ÇALP br pareto-optal çözüüdür. Ġspat: Bazı w ( w w w k ) 0 ç ağırlıklı a- proble yegae optal çözüü br pareto-optal çözü değlse bazı j ler ç z j( ) zj( ) ve... k j ç z olacak Ģeklde X evcuttur. w ( w w w k ) 0 ( ) z( ) olduğuda w z ( ) w z ( )... k ve w z ( ) w z ( ) X X olur. Bu da w ( w w w k ) 0 ç ağırlıklı a- proble yegae optal çözüü ı olası le çelģr. Bu teore spatıda alaģılacağı gb br çözüü teklğ garatleeezse sadece zayıf pareto-optallk garatler.

49 36 Teore.7: w w w k X ÇALP proble br pareto-optal çözüü se; w ( ) 0 ç a- proble br optal çözüüdür. bazı Ġspat: ÇALP proble br pareto-optal çözüü X ç w ( w w w k ) 0 seçerek w z ( ) v... k y oluģturalı. O halde tü X ç z ( ) 0... k olduğuda w ( w w w k ) 0 olarak elde edlr. ġd proble br optal çözüü oladığı kabul edldğde ı a- w z ( ) w z ( ) v... k olacak Ģeklde X evcuttur. Bu fade w ( w w w k ) 0 olduğuda z ( ) z( )... k olacak Ģeklde X ı br paretooptal çözü olası kabulü le çelģr. varlığıı gösterr. Bu da Teore.4 ve Teore.6 da ölçeklee proble ç optal çözü garatleeez se a Pareto-optallk test yapak gerekr. ı teklğ Pareto optallk Test: ç bu test karar değģkeler ( ) T ve k ( ) T olak üzere Aaç: a k (.) Kısıtlar: z ( ) z ( )... k X 0 LP proble çözektr. Teore.8: (.) pareto-optallk test proble ve optal çözüler ç. Tü 0 se ÇALP proble br pareto-optal çözüüdür.. E azıda br 0 se ÇALP proble br pareto-optal çözüü değldr. ı yere ölçeklee proble ç br pareto-optal çözüdür. Ġspat:. ÇALP proble br pareto-optal çözüü değlse bazı j ler ç z j( ) zj( ) ve... k j ç z ( ) z ( ) olacak Ģeklde X evcuttur. Bu da tü 0 olduğu kabulü le çelģr.

50 37. E azıda br 0 ve ÇALP proble br pareto-optal çözüü değlse bazı j ler ç z ( ) z ( ) ve... k j ç z ( ) z ( ) olacak Ģeklde X j j evcuttur. Böylece bazı 0 ç z( ) z( ) olacak Ģeklde X evcuttur. Bu da optallğ le çelģr (Sakawa 993)..4.. Leer Hedef Progralaa: Hedef progralaa (HP) çok krterl karar vere alaıda e esk yaklaģılarıda brdr. BaĢlagıçta tek aaçlı LP uygulaası olarak Chares ve Cooper tarafıda 955 de ÇALP y ele ala çalıģasıda da 96 de kullaılıģtır. KV aaç foksyoları ç hedef veya stek sevyeler belrledğ kabulü yapılıģtır. 960 ve 970 lerde Ijr Lee ve Igzo le popüler oluģtur. Ayrıca araģtıra akaleler 977 de Chares-Cooper ve 983 de Igzo tarafıda suuluģtur. Bu yötede öcelkle KV de her br aaç ç erģles arzu ettğ br hedef değer belrlees ster. Yöte teel fkr KV hedef veya stek sevyelerde sapaları ze etektr. Böylece HP çoğu duruda br optze edc çözü elde etede zyade br tat edc çözü (satsfyg soluto) verr. Geel br HP proble: Hedef Hedef Hedef c z ( z t ) (.) Hedef c z z t c c Kısıtlar: X ( ) z z t ( ) ( ) l u 4 z4 z4 t4 t4 tpler herhag kobasyolarıda brs Ģeklde fade edlr. Burada t ler hedef sevyelerdr. HP çözüü ç k teel yaklaģı vardır: Archeda yaklaģı ve öcelkl (preeptve) yaklaģı. Lteratürde Archeda yaklaģı ağırlıklı hedef progralaa öcelkl yaklaģı lecographc hedef progralaa olarak da aılaktadır.

51 38 Archeda HP (.) dek HP proble Archeda odel; Aaç: Kısıtlar: w d w d w d w d w d w d c d t c d t c d d t c d t l c d t u X d d 0 34 Ģeklde LP probledr. Burada w ( 34 ) ler poztf ceza ağırlıkları; d d ler hedef sevyelerde sırasıyla artı ve eks yöde sapa değģkelerdr. Modelde steeye sapa değģkeler yer alaktadır. t Öcelkl HP Öcelkl HP de hedefler öcelklere göre grupladırılarak dsler. Küçük dsl hedef br sorak hedefte sosuz derecede daha öeldr. Örek br öcelkl HP proble; Hedef Hedef z P ( z t ) (.3) Hedef c z P z t ( ) c c 3 z3 P3 z3 t3 ( ) Kısıtlar: X olsu. Burada P j 3 ler j. öcelk sevyesdek hedefler belrtr. Ayrıca j P j Pj Ģeklde olup çok daha büyük (öcelkl) alaıdadır. Bu proble;

52 39 Aaç: Kısıtlar: P( d ) P ( d ) P ( d d ) cd t c d c d d 0 3 t d d t X Ģeklde yazılablr. Proble LP le çözek ç üç optzasyo aģaası gerekldr. Brc aģaada; Aaç: Kısıtlar: d c d t X d 0 LP proble çözülür. Alteratf optal çözü varsa kc aģaada; Aaç: Kısıtlar: d c t d ( ) LP proble çözülür. Burada ( ) brc aģaadak ı optal değerdr. Alteratf optal çözü varsa üçücü aģaada; Aaç: c d X d 0 d d 3 3 t d d Kısıtlar: c t d ( ) c t d cd d t X d 3 d 3 0 ( )

53 40 LP proble çözülür. Burada ( ) kc aģaadak optal değerdr. Üçücü d d aģaada bulua herhag br çözü öcelkl HP çözüüdür. Tek br çözüü ola optzasyo aģaasıa rastladığıda dğer aģaalar çözülez. Böylece alt sıradak hedefler HP bulua çözüler etkleyeez. Her br aģaa daha öcek aģaalarda optallk blgs aldığıda öcelkl HP y çöze dak br prosestr (Steuer986 Sayfa Tryak 993) EtkleĢl Çok Aaçlı Leer Progralaa: EtkleĢl yöteler hesaplaa fazları ve ardarda gele karar vere fazları le taılaır. Her terasyoda karar verc-aalst veya karar verc-blgsayar dyaloğu kurulur. Yötelerde lk olarak br uzlaģık çözü buluur. Bu çözü çok krterl proble le bağlatılı ola tek aaçlı proble optal çözüüdür. KV le dyalog sayesde krterlerdek stek ya da kabul sevyeler belrler krterler arası değģ-tokuģlar tay edlr ve belrl çözüler karģılaģtırılır. Elde edle blglerle oluģturula ye tek aaçlı proble optal çözüü ye uzlaģık çözüdür. EtkleĢl yöteler uygu bölge daraltılası ağırlıkladıra vektörü uzayıı daraltılası krter kos daraltılası ya da doğrultu araa (le search) yöteler olarak sııfladırılablr. DaraltılıĢ uygu bölge yötee örek olarak 97 de Beayou Motgolfer Tergy ve Lartchev tarafıda suuluģ STEM (step) Yöte verleblr. Bu yöte çok aaçlı sahasıda etks ola lk etkleģl yötedr. DaraltılıĢ ağırlıkladıra vektör uzayı yötee örek olarak Zots ve Walleus tarafıda 976 da suuluģ ve 983 de gelģtrlģ Z-W Yöte verleblr. Krter kos daraltılası yötee örek olarak Steuer 977 de verdğ Darala Gradyet Ko Yöte doğrultu araa yötee örek olarak da Geoffro Dyer ve Feberg tarafıda 97 de suula GDF Yöte verleblr (Steuer 986 sayfa Tryak 993). KV ç Pareto-optal çözü küesde tat edc br çözü ürete br etkleģl algorta yapısı Ģu Ģeklde vereblr. le Ģaretl adılar KV le etkleģey gösterektedr. Bu etkleģl etot trade-off (değģ-tokuģ) blgs çere br referas okta etodu olarak da yorulaablr. Burada trade-off fades KV fayda foksyou bledğde kedsde talep edle br blgdr. Ya krterler erģle değerler arasıda dğerler lehe brde yapableceğ fedakarlık ktarı (veya ters) blgsdr.

54 4 Etkleşl Çok Aaçlı Leer Progralaa Algortası: Adı 0: Verle kısıtlar altıda her br aaç foksyouu breysel uuu z z ( ) X ve breysel aksuuu z a z ( ) a X hesapla. Adı : KV de breysel uu ve breysel aksuu dkkate alarak baģlagıç referas oktasıı seçes ste. KV böyle br oktayı taılaayı zor ya da kasız bulursa bu aaçla deal okta z a z ( ) kullaılablr. a X Adı : KV tarafıda taılaıģ referas okta ç aaç foksyoları arasıda trade-off blgs le brlkte pareto-optal çözü elde etek ç karģılık gele a- proble çöz. Adı 3 : KV pareto-optal çözüü aldığı değerler tat edc bulduysa DUR. O halde evcut pareto-optal çözü KV ç tat edc çözüdür. Aks halde KV de aaç foksyoları arasıda trade-off oraları le brlkte aaç foksyolarıı Ģdk değerler dkkate alarak evcut referas oktasıı gücellees ste ve Adı ye ger dö. KV ye herhag br aaç foksyoudak br yleģe ya da artıģı sadece dğer aaçları e azıda brde br azala le ükü olableceğ keslkle alatılalıdır (Sakawa993)..5 Bulaık Çok Aaçlı Leer Progralaa 978 de H.-J. Zera bulaık leer progralaa yaklaģııı k tae leer a z ( ) c k aaç foksyoua sahp ÇALP ye aģağıdak gb geģletģtr: Aaçlar: a z( ) ( z( ) z( )... z ( )) T k (.4) Kısıtlar: A b 0 Burada c ( c... c ) k ( ) T b ( b b ) T ve A a j L olarak taılıdır. KV her br a z ( ) c ( k) aacı ç ( z ( )) leer üyelk foksyou; 0 z( ) z z ( ) z 0 L 0 ( z ( )) z ( ) 0 z z z z z( ) z 0 (.5)

55 4 0 olarak taılaır. Burada ve z değerler z ( ) aacıı üyelk foksyouu sırasıyla 0 z ve olduğu değerler gösterektedr. Leer üyelk foksyouu grafğ ġekl.7 de gösterlģtr. ġekl.7. aaç foksyou ç leer üyelk foksyou. L Böyle ( z ( )) k leer üyelk foksyoları kullaılarak ve Bella ve Zadeh bulaık karar taııda orjal ÇALP proble: Aaç: Kısıtlar:... k L a ( z ( )) A b 0 (.6) olarak yazılablr. L ( z ( )) yardıcı değģkeyle proble Aaç: a L Kısıtlar: ( z ( )) k A b 0 (.7) geleeksel LP problee döüģür. 978 de Zera a z ( ) k le taılaıģ breysel akszasyo o L probleler optal çözüler varlığıı kabul ederek ( z ( )) leer üyelk foksyouu belrleye br yöte öerģtr. Breysel aksu a o z z ( ) a z ( ) k (.8) X le brlkte X

56 43 (.9) o o o k o z ( z ( )... z ( ) z ( )... z ( )) k a 0 bularak ayrıca z z ve z z alarak (.5) dek gb leer üyelk foksyouu belrleģtr. Bu üyelk foksyou ç (.6) veya (.7) optal çözüü yegae se bu çözüü ye ÇALP de br pareto optal çözüü olduğu kolaylıkla gösterleblr (Sakawa993)..5. Üyelk foksyolarıı değģk bçler Bulaık yaklaģı kullaarak probleler çözüüde üyelk foksyouu seç öel br yere sahptr. Hesaplaalarda kolaylık sağladığı ve LP drekt olarak uygulaabldğ ç geellkle leer üyelk foksyou terch edlektedr. Fakat lteratürde leer üyelk foksyolarıı yaı sıra hperbolk üstel ters hperbolk parçalı leer gb o-leer yapıda çeģtl üyelk foksyoları da evcuttur. Bu o-leer yapıdak üyelk foksyoları çözülecek proble de o-leer yapılara götürektedr. Acak çeģtl döüģüler yapılarak o-leer yapıdak bu probleler geellkle leer yapılara drgeeblektedr. Her e kadar o-leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı proble çözüler zor olsa da uygulaa alalarıda rastlaa bazı ssteler böyle o-leer üyelk foksyolarıı kullaııı gerektrr. Çükü böyle o-leer foksyolar ssteler daha y odelleektedr. Böylece üyelk foksyouu yapısıı seç ve proble yapısıa uyguluğu proble çözüüü doğruda etkleektedr. Öreğ 98 de Leberlg hperbolk üyelk foksyolarıı 98 de Haa ve 984 de Nakaura parçalı leer üyelk foksyolarıı 986 da Carlsso ve Korhoe üstel üyelk foksyolarıı kullaıģlardır (Yelez 00). Zera 978 de leer yapıdak üyelk foksyolarıı kullaarak bulaık operatör odel gelģtrģ ve ÇALP tek aaçlı LP problee drgeebleceğ gösterģtr. Daha sora Leberlg 98 de ÇALP ç o-leer (hperbolk) yapılı üyelk foksyouu kullaıģ ve elde edle bulaık leer progralaa proble çözüler daa etk olduğuu gösterģtr. ÇALP ç Haa 98 de parçalı leer üyelk foksyouu Lee ve L 99 de üstel üyelk foksyouu kullaıģlardır. Ayrıca Dhgra ve Moskowtz 99 de o-leer üyelk foksyolarıı dğer tpler (üstel kuadratk ve logartk üyelk foksyoları) taılaıģlar ve optal dzay problelere uygulaıģlardır. Vera ve dğerler 997 de çok aaçlı taģıa proble çözek ç özel tptek o-leer üyelk foksyolarıı (hperbolk ve üstel üyelk foksyoları) kullaıģlar ve proble ç

57 44 optal uzlaģık çözü elde etģlerdr. Elde edle çözüü br leer üyelk foksyo kullaarak bulua çözü le karģılaģtırıģlardır. KV her br z ( ).. Q aaç foksyoua karģılık ( z ( )) üyelk foksyouu kuruluģu Ģöyledr: Verle kısıtlar altıda aaçları breysel aksu ve u ve değerler hesaplaır. Üyelk foksyoudak tat artıģ oraı le brlkte her br aaç foksyouu aksu ve u değerler dkkate alıarak KV de leer üstel hperbolk ters hperbolk ve parçalı leer tpte foksyolar arasıda br üyelk foksyouu subjektf tarzda seçes ster. AĢağıdak alt baģlıklarda görüleceğ üzere bu üyelk foksyolarıa at paraetre değerler KV de etkleģe yoluyla alıablr. Açıklaalardak z olak a üzere fades; ve z aralığıda olacak Ģeklde z ( ) değer ( z ( )) de oa z karģılık gele üyelk foksyo değer gösterektedr (Sakawa 993).. Leer Üyelk Foksyou Her br aaç foksyou ç karģılık gele leer üyelk foksyou z ( ) z 0 0 ( z ( )) z 0 z z z z 0.. Q (.0) 0 olarak taılaır. Bu üyelk foksyou ve aralığıda ve oktaları KV de steerek belrler. ya göre leer ve ooto artadır. ġekl.8 leer üyelk foksyouu grafğ gösterektedr. z z z z z 0 z z z z z a z 0 ġekl.8. aaç foksyou ç leer üyelk foksyou.

58 45. Üstel Üyelk Foksyou Her br aaç foksyou ç karģılık gele üstel üyelk foksyou: 0 0 z z ( ( )) ep ( ( ) ) ( ) (.) z a z z z z z z z.. Q z z le taılaır. Burada paraetreler a 0 veya a 0 0 dır. KV de ve z z z z z aralığıda üç tae ( ve ) okta belrlees steerek üstel üyelk foksyou kurulur. ya da bç paraetres (shape paraeter) der. ġekl.9 üstel üyelk foksyouu grafğ gösterektedr. ġekl.9 Üstel üyelk foksyou. 3. Hperbolk Üyelk Foksyou Her br aaç foksyou ç karģılık gele hperbolk üyelk foksyou: 0 0 z z 0 ( z ( )) tah(( z( ) b ) ) z z z.. Q (.) z z le taılaır. Burada 0.. Q bç paraetresdr. KV de ve aralığıda z z k okta ( ve ) belrlees steerek hperbolk üyelk foksyou kurulur. Burada z z

59 46 b z z grafğ gösterektedr. fades bükü oktasıdır. ġekl.0 hperbolk üyelk foksyouu ġekl.0 Hperbolk üyelk foksyou. 4. Ters Hperbolk Foksyou Her br aaç foksyou ç karģılık gele ters hperbolk üyelk foksyou: 0 0 z z 0 ( z ( )) a tah (( z( ) b ) ) z z z.. Q (.3) z z le taılaır. Burada paraetreler a 0 ve 0.. Q olasıyla üyelk 0 foksyouu ooto artalığı görülektedr. KV de ve aralığıda üç okta ( z z z 0.5 z ve 0.5 z ) belrlees steerek ters hperbolk üyelk foksyou kurulur. Burada bç paraetres ve z b üyelk foksyouu grafğ gösterektedr. z fades de bükü oktasıdır. ġekl. ters hperbolk

60 47 ġekl. Ters hperbolk üyelk foksyou. 5. Parçalı Leer Üyelk Foksyou Her br aaç foksyou ç karģılık gele parçalı leer üyelk foksyou ( z( )) trz( ) sr g z ( ) g r r le taılaır. Burada t ve s r ler [ g r gr ] aralığıda sırasıyla ( z ( )) u eğ r ve eksede kestğ parçasıı gösterektedr. KV de ve aralığıda aaç foksyolarıı brçok değerlere karģılık üyelk dereceler belrlees ster. Her br alt z z aralıkta leer üyelk foksyou kurularak 0 [ z z] aralığıda parçalı leer üyelk foksyou 0 oluģturulur. [ z z ] [ z z ] aralığıda parçalaa sayısı olak üzere ġekl. N parçalı leer üyelk foksyouu grafğ gösterektedr. ġekl. Parçalı leer üyelk foksyou.

61 48 Her br aaç foksyou ç üyelk foksyoları belrledkte sora ve 970 de Bella ve Zadeh öerdğ bulaık karar uygulaarak çözülecek proble: a ( ( z ( )) X... Q veya eģdeğer olarak Aaç: a Kısıtlar: ( z ( )) A b 0 0 yapısıdadır. Acak beģ tp üyelk foksyouu her br ç bu proble br o-leer progralaa probledr. Bu proble LP y kullaarak çözek ç Sakawa (Sakawa 993) beģ tp üyelk foksyouu yer aldığı her br kısıt deklede aģağıdak döüģüler yapıģtır: ( z ( ) z ) ( z z ) dır. Çükü z z olduğuda z ( ) ( z z ) z 0 0 elde edlr a ep ( z( ) z ) ( z z ) dır. a ve 0 duruuda 0 0 ( a ) a ep ( z( ) z ) ( z z ) olur. Logarta alıarak yede düzeleerek z z z z a a 0 0 ( ) ( ) log ( ) elde edlr. Bezer Ģeklde a 0 ve 0 duruuda da ayı souçlar buluur. 3. tah(( z( ) b ) ) dır. tah ve tah foksyoları kes ooto arta olduğuda ( z( ) b ) tah () olduğu görülür. 0 ç

62 49 z b ( ) tah ( ) eģtszlğ geçerldr. 4. a tah (( z( ) b ) ) dır. tah ve tah foksyoları kes ooto arta olduğuda ve a 0 0 ç olduğu görülür. 5. f ( g r ) f ( g r ) ç t z ( ) s dır. t 0 olduğuda ) f ( g ) ç z ( ) ( s ) t olduğu görülür. z ( ) b tah ( ) a f ( g r r r r r r r BeĢ tp üyelk foksyou ç her br ( z ( )) kısıtı yukarıda taılaıģ forlarıa döüģtürülürse aģağıdak proble elde edlr: Aaç: a Kısıtlar: z ( ) ( z z ) z 0 0 z z z z a a 0 0 ( ) ( ) log ( ) z b ( ) tah ( ) Bu odelde z ( ) ( s ) t f g ) f ( g ) ç A b 0. drgeebleceğe dkkat edel. değer sabt tutulduğuda proble br leer eģtszlkler küese optal çözüüü elde ete sürec proble kısıt dekleler sağlaya kabul edleblr br küe evcut olacak Ģeklde değer belrleeye eģdeğerdr. ı aksu olduğuda bu proble çözek ç Sakawa kye böle yöte le LP faz kobe ede br yöte öerģtr (Sakawa 993). z ( ) b tah ( ) a r r 0 ( r r

63 50 3. LĠNEER KESĠRLĠ PROGRAMLAMA (LKP) 3. Tek Aaçlı Leer Kesrl Progralaa Proble 960 da Macar ateatkçs Bela Martos tarafıda hperbolk progralaa proble forüle edlģ ve bu proble Ġglzce lteratürüde leer kesrl progralaa proble olarak aılıģtır. 98 de Schable tarafıda kesrl progralaa ve ou uygulaalarıyla lgl brçok çalıģa yayılaıģtır (Schable 98). Bu kou hale popülerlğ sürdürektedr. Stacu Masa 960 da güüüze kadar altı tae kesrl progralaa bblyografyası yayılaıģtır (Stacu Masa ). Lteratürdek bazı uygulaa alaları ve ükü leer kesrl aaçlara örek olarak: Kayak dağıtı problelerde yatırı kazacı ya kâr/seraye oraıı aksze etek kâr/alyet oraıı aksze etek üret plalaa problelerde yatırı foları ve dğer kayak kısıtları altıda Ģlete kârıı Ģlete alyete oraıı aksze etek optal kese problelerde evcut kısıtlar altıda artık alları (freler) kullaıla haadde ktarıa oraıı ze etek edüstryel alada aül verllğ aksu yapak; projelere Ģgüçler ataası problede kâr/br zaa kâr/alyet gb oraları aksze etek yatırı seç problelerde kazaç oraıı kârı rske oraıı aksu yapak dez taģıa problelerde taģıacak al ktarları ve ge taģıa kapastes kısıtları altıda kâr/alyet oraıı aksze etek ürü karıģıı problelerde karıģıı oluģtura bleģelerde farklı oralarda kullaarak ve stee Ģartlara uyarak gelr/alyet oraıı aksze etek üverste plalaa problelerde öğrec/öğrete alyet/öğrec gb oraları u yapak pazarlaa ve edya seç problelerde pazar payı oraıı aksu yapak rekla harcaaları/satıģlar oraıı u yapak hastae plalaa problelerde alyet/hasta heģre/hasta gb oraları u yapak faydalaa oraıı aksu yapak vs. verleblr.

64 5 3.. Tek Aaçlı LKP Proble Forülasyou Geel br tek aaçlı LKP proble: T P( ) p p0 Aaç: a z( ) (3.) T D( ) d d Kısıtlar: Ģekldedr. Burada p ( p p p ) T ve d ( d d d ) T ler sırasıyla pay ve paydadak leer foksyoları katsayılar vektörler karar değģkeler vektörü le d sabtler ve A ( a a a ) T j... olak üzere A ( A A A ) katsayılar atrsdr. Yapıla kabuller: X A b 0 b j j j j 0 p0 0 X X ç D( ) d d 0 T 0 dr. z( ) br k leer foksyou oraı olarak leer olaya br yapıda olasıa rağe keyf z -yüzey eğrs ç T p T d p d 0 0 z ( p z d) T d z p 0 0 leer dekle elde edlr. Bu edele tek aaçlı LKP proble optu çözüü varsa X uç oktalarıda e azıda brde oluģur. 3.. Tek Aaçlı LKP Proble Çözü Yöteler Tek aaçlı LKP probleler çözüü ç çeģtl yöteler evcut olup aģağıda e teel olaları verlecektr Chares-Cooper DöüĢüü Chares ve Cooper tarafıda 96 de gelģtrlģtr. (3.) dek tek aaçlı LKP problede T d d 0 değģke döüģüü yapılır. Bu döüģüle aaç foksyou

65 5 ( p ) p 0 olur. Her ç y döüģüler de yapılırsa tek aaçlı LKP proble Aaç: Kısıtlar: a p T y Ay b 0 p 0 T d yd0 0y 0 Ģeklde değģkel kısıtlı LP problee döüģür (Steuer 986; Tryak 993). Teore 3.: Leer kesrl aaç foksyou z( ) aksu değer A b 0 ı uygu taba çözüüde alır. Ġspatıda Ģu yardıcı teore gerekldr. Yardıcı Teore 3.: Ay b 0 T d y y 0 ( 0 spesfk br sayıdır) kısıtlarıı sağlaya her y çözülerde 0 dır (Tryak993). Örek 3.: Aaç: P( ) a z( ) D( ) Kısıtlar: j 3 j tek aaçlı LKP proble ele alalı. Kısıtları oluģturduğu uygu bölge boģ küede farklı ve bu küe üzerde olduğuda değģke 3 7 döüģüü yapılır. Böylece proble: 3

66 53 Aaç: a z( ) 8y 9y 4y 4 3 Kısıtlar: y y y 3 0 y 0 j Ģekldek LP problee drger. Bu proble çözülerek y y y buluur. kullaılarak optal çözü olur. P( ) 30 D( ) 5 de de aaç değer z( ) olarak elde edlr (Bajalov 003). 3 y y 4y y 3y y y 3y y 7 j 3 y ( 0 ) T y / (0) T 3... GücelleĢtrlĢ (Updated) Aaç Foksyou Yöte Btra ve Novaes tarafıda 973 de verle bu yötede kesrl aaç foksyouu oktasıdak bölgesel (local) gradyet T ( d d ) p ( p p ) d z( ) ( d ) peryodk olarak yede hesaplaır. Bu gradyetler br LP proble aaç foksyo katsayıları olarak alıır ve böylece br dz LP proble çözülerek LKP proble çözülür. Yöte algortası Ģöyledr: Adı : Adı : Adı 3: 0 al. () T 0 0 T d0 yap. oktasıda aaç foksyouu bölgesel gradyet hesapla. ( ) Adı 4: a z( ) X proble çözerek uç oktasıı bul. Adı 5: Adı 6: ( ) ( ) () se Adı ye gt aks halde Adı 6 ya gt. LKP proble optal çözüüdür DUR. Bu yöte 993). X sıırsız bölge olası duruuda yakısaayablr ( Steuer986 Tryak

67 Dkelbach Algortası Tek aaçlı LKP proble çözüü ç W. Dkelbach tarafıda gelģtrle paraetrk br yaklaģıdır. Bu etot ya Dkelbach Algortası br dz F( ) a P( ) D( ) (3.) X paraetrk proble çözeye karģılık gelr. Algortayı verede öce aģağıdak yardıcı teore verel. Bu teore algortaı teork teel oluģasıda öel br rol oyaaktadır. Teore 3.: ç gerek ve yeter Ģart vektörüü (3.) dek tek aaçlı LKP proble optal çözüü olası P D ( ) ( ) (3.3) olacak Ģeklde F P D ( ) a ( ) ( ) 0 X (3.4) olasıdır. Ġspat: vektörü (3.) dek tek aaçlı LKP proble optal çözüü se X ç deektr. Burada X ç dır. (3.3) fades dkkate alıarak elde edlr. Terse olarak ç olur. Bu da olası deektr. P D P ( ) P( ) ( ) D( ) ( ) D( ) 0 a ( ) ( ) 0 X P D X P D P D vektörü (3.4) proble br optal çözüü se ( ) ( ) ( ) ( ) 0 vektörüü (3.) dek tek aaçlı LKP proble br optal çözüü Bu teore tek aaçlı LKP proble optal çözüler hesaplaak ç br prosedür verr. X ç D( ) 0 olduğuda F( ) D( ) 0

68 55 dır. Böylece F( ) ya göre ooto azaladır ve algortaı adıları Ģöyledr: Dkelbach Algortası: (0) (0) () P( ) Adı 0: X al. : hesapla ve k : al; (0) D( ) Adı : ( k) ( k) P D : arg a ( ) ( ) X belrle; ( k ) ( ) Adı : Eğer F( ) 0 se k optal çözü; DUR. ( k ) ( k ) P( ) Adı 3: : hesapla; k: kal; Adı e gt. ( k ) D( ) Örek 3.: Aaç: P( ) 5 a z( ) D( ) 3 5 Kısıtlar: 3 6 (3.5) tek aaçlı LKP problee Dkelbach Algortasıı uygulayalı. Adı 0: (00) T (0) vektörü proble tü kısıtlarıı sağladığıda X baģlagıç oktası olarak alısı. Böylece (00) T ç (0) () P( ) 5 : (0) elde edlr. Adı : (3.5) kısıtlarıyla LP proble çözülerek (03) T elde edlr. D( ) 5 3 P D P D 3 3 () a ( ) ( ) a ( ) ( ) a () F () ( ) Adı : Adı 3: F () ( ) 0 dır. () P : D () ( ) () ( ) 3 5 sora

69 56 k: k alıır ve Adı e gdlr. Adı : (3.5) kısıtlarıyla a 7 7 () a P( ) D( ) a ( 3) ( ) (5 5 () LP proble çözülerek optal çözü (03) T () ve F( ) 0 elde edlr. () () Adı : F( ) 0 olduğuda vektörü optal çözüdür; Algorta so bulur. Algortaya göre tek aaçlı LKP proble optal çözüü değer de z( ) olur (Bajalov 003). 8 (03) T ve optal aaç LKP problee paraetrk yaklaģı ola Dkelbach Algortası lteratürde çeģtl alalarda uygulaa buluģtur. Br fas uygulaası öreğ Özder ve Gresulu tarafıda Portföy seç ç br algorta öers sl çalıģada verlģtr (Özder ve Gresulu 998). Bu çalıģada E portföyü beklee getrs V portföyü rsk olak üzere portföy seçde kullaıla E/ V odel Markowtz EV odele döüģtürülüģtür. Bu Ģle sırasıda kesrl progralaa proble paraetrk çözüü ola Dkelbach yötede esleģ ve kye böle yöte kullaılarak portföy seç ç br algorta suuluģtur. Ayrıca E/ V odel le EV odel ayı etk çözülere sahp olduğu da teorelerle spatlaıģtır. ġd LKP proble çok aaçlı versyouu kısaca celeyel: 3. Çok Aaçlı Leer Kesrl Progralaa (ÇALKP) Proble ÇALKP proble: T P ( ) p p0 Aaçlar: a z( )..Q (3.6) T D ( ) d d Kısıtlar: 0 X A b 0 b Ģekldedr. Burada kabuller: X ÇALKP proble uygu çözüler bölges olak üzere yapıla X X ve her.. Q ç kapalı ve sıırlı br küe (Kopakt küe) D ( ) d d 0 T 0

70 57 dr. Brbryle zıtlaģa ve ayı ada optze edleeye brde fazla leer kesrl aaca sahp probleler dez taģıacılığı fabrka plalaa eğt plalaa Ģebeke akıģları gb alalarda uygulaa bulaktadır. Bldğ gb tek aaçlı progralaadak optal çözü kavraıı yere çok krterl progralaada etk (effcet) veya Pareto-optal çözü kavraları kullaılaktadır. Etk çözüü stadart taıı ola kuvvetl etklk (strogly-effcet) ÇALKP da yeterl değldr ve zayıf etklk (weakly effcet) (zayıf Pareto-optal) kavraı dkkate alıaktadır. Teork olarak ÇALKP proble kuvvetl-etk çözüler bula arzu edlr. Acak lteratürdek çözü algortaları zayıf etk çözüler kües çalıģırlar. Çükü yı bulaya kües daa kapalıdır ve tepeler bağlatılı graf oluģturaktadır (Korbluth ve Steuer 98a98b; Beso 985; Nykowsk ve Zolkewsk 985; Tryak 993). W E Bu proble çöze çeģtl yaklaģılarda bazıları aģağıdadır: Ağırlıklı Toplalar (Weghted su) Yaklaşıı: (3.6) dak ÇALKP probledek aaç foksyoları KV terchler fade ede w 0 W E ağırlıkları le brleģtrlerek a z( ) w z( ) Q aaç foksyou (KV terch foksyou) elde edlr ve w (... ) w w w Q ağırlık vektörü ve X X üzerde çözülür. Burada de terch edle çözüdür. Ayrıca terch foksyouu z ları yapısıda dolayı yüksek ertebede br o-leer foksyo olduğua dkkat edleldr. Dlsel (Lecographc) Yaklaşı: z.. Q leer kesrl foksyoları ç öcelk sırası: z ( ) z ( )... z ( ) Q Ģeklde olsu. O halde ardıģık olarak çözülecek optzasyo probleler Ģöyledr: ( ) : ( ) : a ( ) X z a ( ) X z ( Q ) : a z ( ) X Q Q

71 58 Burada X X X X z ( ) z X X z ( ) z 3 X X z ( ) z Q Q Q Q ve z değer ( )... Q proble optal aaç değerdr. Her k yaklaģı eğer evcutsa etk çözü üretr ve etk sıır (effcet froter) olarak ble bütü S E kabuller geçerldr. etk oktalar kües üretek ç problede ye daha öce fade edle ÇALKP probleler ç brçok araģtıracı tarafıda öerle teel yaklaģı orjal proble br ÇALP problee drgeese dayaaktadır. Öreğ 985 de Nykowsk ve Zolkewsk (3.6) dak orjal kesrl aaç foksyoları yere tü X ç z ( )>0..Q yaparak a ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) F P P P Q D D D Q X çok aaçlı LP proble kuruģlardır. Ayrıca Luhadjula tarafıda 984 de Dutta ve arkadaģları tarafıda 993 de bulaık yaklaģılar öerlģtr. 997 de Stacu-Masa (3.6) dak orjal ÇALKP probleyle ÇALP proble arasıda aģağıdak lģky kuruģtur: (0) X oktasıı alarak (0) (0) h p D( ) d P( ).. Q j... j j j katsayıları buluur ve G ( ) h j j j.. Q olak üzere

72 59 Aaç: (3.7) a G( ) ( G( ) G( )... G Q ( )).. Q Kısıtlar: X ÇALP proble çözülür. AĢağıdak teore (3.6) dak orjal ÇALKP proble le (3.7) dek ÇALP proble arasıdak teel lģky kurar. Teore 3.3: (0) olası ç gerek ve yeter Ģart çözüü olasıdır (Bajalov 003). X vektörüü (3.6) dak orjal ÇALKP proble etk çözüü (0) X vektörüü (3.7) dek ÇALP proble br etk

73 60 4. TAġIMA PROBLEMLERĠ 4. Klask TaĢıa Proble Klask TaĢıa Proble ya da sadece TaĢıa Proble (TP) tek tp br ürüü kısıtlı kapasteye sahp üret erkezlerde (fabrka kayak arz oktası vs) talepler bell ola tüket erkezlere (depo pazar hedef talep oktası vs) alyet u ya da kârı aksu yapacak Ģeklde dağıtııı yapa problelerdr. TaĢıa odel lk kez Frak L. Htchcock tarafıda 94 yılıda öerlģtr. Daha sora 947 de Koopas ı TaĢıa sstelerde optu yararlaa adlı akalesde gelģtrdğ tekklerle ayrıca G. B. Datzg pral spleks taģıa yöte adı altıda gelģtrdğ spleks algorta le 954 de de Chares ve Cooper ı TP optal çözüüü bula atlaa taģı yöte le yaygıca kullaılaya baģlaıģtır (Taha 000). TP özel yapılı br LP proble olup kedse at çözü yöteler evcuttur. TP ve gelģtrle çözü yöteler lojstkte tedark zcr yöetde alyetler azaltılası ve servs hzetler yleģtrlesde öel br rol oyaaktadır. 4.. TP Forülasyou (Sezga 993) Kapasteler a a a ola tae kayak oktası ve kapasteler b b b ola tae varıģ oktası olak üzere TP de aģağıdak varsayılar geçerldr: Varsayı : Her ( ) kayağıda her j ( j ) varıģ yere tek tp al taģıaktadır. Varsayı : VarıĢ yerler talepler taae karģıladığı zaa kayaklardak topla al ktarı da taae tükeģ olacaktır. Bu varsayıa arz-talep deges der. Eğer topla arz topla talebe eģtse ya a b j j (Dege ġartı) se proble degel TP aks halde degesz TP olarak adladırılır. Degesz TP hayal (duy) kayak veya hayal talep erkez ekleerek degel hale döüģtürüleblr. Varsayı 3:. kayaktak alları j. varıģ yere dağıtıı sürecde aktara oktaları yoktur. Varsayı 4:. kayakta j. varıģ yere taģıacak ktar br baģıa taģıa alyet c (sabt) olak üzere. kayakta. varıģ yere taģıa alyet c le oratılıdır. j j j j j j

74 6 TP ateatksel odel: Aaç: z j c j j (4.) Kısıtlar : a (Arz Kısıtları) (4.) j j b j (Talep Kısıtları) (4.3) j j 0 ; j j (4.4) yapısıdadır. TP odel tae kayak tae talep kısıtı olak üzere sayıda kısıt ve sayıda karar değģke çerdğde A katsayılar atrs ( ) boyutlu olup ve 0 elealarıda oluģur. Bu edele spleks yötede daha etk çözü algortaları evcuttur. AĢağıdak üç özellk degel TP ç çözü yöteler teel oluģturaktadır: Özellk (Gereksz Kısıt Özellğ): A katsayılar atrs rakı e fazla dr. İspat: A atrse eleater satır Ģleler uyguladığıda e az br satırı leer bağılı ve bu edele atrs rakıı e çok olduğu görülür. O halde e fazla leer bağısız vektör buluduğuda leer dekle sste taba değģke sayısı da e çok olur. Özellk (Çözüleblrlk Özellğ): Her degel TP e az br uygu çözüü olup optal çözüü de evcuttur. ab j İspat: a bj alıırsa j değerler br uygu çözü oluģturur. O halde j TP de uygu çözü bölges boģ küede farklıdır. Öte yada a 0 ve b 0 olduğuda j j 0 olak duruudadır k karar değģkeler toplaları altta sıfır üstte de a ler veya b lerle sıırlı deektr. c sabt olduğuda aaç foksyou z sıırlıdır. E az br j j uygu çözü olduğua göre odel utlaka br optal çözüü vardır. Özellk 3 (Tasayı Ola Özellğ): TP de a ve b ler tasayı se her uygu taba çözü ve bua bağlı olarak optal çözü de tasayı değer alır. j

75 6 İspat: Model katsayılar atrs eleaları veya 0 olduğua göre spleks yötede br uygu taba çözüde dğer br uygu taba çözüe geçerke geģletlģ katsayılar atrs satırları arasıda yalızca toplaa ve çıkara Ģle yapıldığıda uygu taba çözüler a lerle b ler toplaası ya da çıkartılasıyla buluablr. O halde a lerle j ler tasayı olduğuda uygu taba değģkeler alacağı değerler de tasayı olur. Dolayısıyla optal çözü de tasayı değer alır. TP çözüüde taģıa tablolarıda yararlaılaktadır. Kayaklar satırları talep yerler sütuları gösterek üzere kayak-talep yer eģleeler taģıa tablosu hale döüģür ( Kara 99). Çzelge 4. TaĢıa tablosu. hücres ola Çzelge 4. dek bj 4.. TP Çözü Yöteler TP çözü yöteler spleks yöte adılarıı aye takp ede algortalar olup oral spleks tabloyu kullaak yere TP özel yapısıı avatajıı kullaa daha etk çözü algortalarıdır. Algortalarda öcelkle baģlagıç uygu taba çözüü buluur daha sora bulua çözüü optallğ kotrol edlr ve optal çözü elde edlee kadar br uygu taba çözüde dğere geçlr.

76 BaĢlagıç Çözüüü Belrlees BaĢlagıç uygu taba çözüü buluası ç gelģtrle yötelerde bazıları Ģulardır:. Kuzey Batı KöĢes Yöte. E DüĢük Malyetler Yöte 3. VAM (Vogel YaklaĢı) Yöte (Ceza Malyet Yöte) Bu üç yöte arasıda oluģturdukları baģlagıç taba çözüü kaltes açısıda farklılık vardır Optal Çözüü Belrlees TP de elde var ola br uygu taba çözüü optal çözü olup oladığıı test etek ç farklı yöteler gelģtrlģtr. Bularda br her taba dıģı değģke tabaa alıası halde taba değģkelerde eydaa gelecek farklılaģalarda hareketle aaç foksyoudak arta veya azalayı hesaplaaya dayaa atlaa taģı (steppg stoe) yötedr. Dğer se dual odelde hareketle eldek uygu taba çözüe karģılık gele dual değģkeler dual proble kısıtlarıı sağlayıp sağlaadığıa baka kolay ve yaygı uygulaable MODI (Modfed Dstrbuto Method) yötedr. Ayrıca lteratürde TP y çöze bu klask yötelerde farklı yöteler de öreğ DıĢ okta algortaları (Eteror Pot Algorths) vardır (Papaathou vd. 004) Atlaa TaĢı Yöte (Taha 000 ve Öztürk 00) Atlaa TaĢı Yöte boģ br hücreye ataa yapıldığıda topla alyet e kadar değģeceğ hesaplayarak optal çözüe yaklaģa br yötedr. BoĢ br hücreye br brlk ataa yapıldığıda alyettek et değģe ktarı hesaplaır. Bulua ktarı boģ hücreye at taba dıģıdak değģke tabaa alıdığıda aaca br katkısı olarak yorulaablr. Br brlk al ataa hücre buluduğu satır ve sütuu arz ve talep ktarlarıı koruası gerekldr. Bu edele ataa yapıla hücrede baģlayarak bu hücre buluduğu satır ve sütudak dolu hücrelerdek ataaları sırasıyla br br azaltarak ve artırarak dege koruuģ olur. Dögüye at her köģe oktası hesaplaaı yapıldığı hücre harcde taba değģkelere at hücrelerdr. Bu hesaplaa sadece yatay ve düģey olarak brbrlere bağlaıģ hücrelerde oluģa kapalı br dögü oluģturularak yapılır çapraz bağlatıya z verlez. dj dj

77 64 Aacı u alyet olduğu da göz öüe alıırsa utlak değerce e büyük egatf et değģ ktarıa sahp ola hücredek değģke tabaa gresyle aaçta tasarruf sağlaacak ve lgl değģke tabaa grecektr. Ayrıca söz kousu hücreye daha çok al ataa olaağı buluduğuda oluģa dögüdek taba değģkeler değerler arasıda e küçüğü boģ hücreye ataacak ktar olarak belrler. Böylece boģ hücre bu değerle tabaa gre değģke e küçük değere sahp taba değģke de tabada çıka değģke olur. Ġteratf Ģleler soucuda eğer tü boģ hücreler ç hesaplaa d j değerler arasıda egatf br değer kalaıģsa baģka br fadeyle d j 0 se herhag br boģ hücreye yapılacak ataa topla alyette br tasarruf sağlaayacaktır ve dolayısıyla evcut çözü optal çözüdür MODI Yöte (Öztürk 00) MODI yöte dual proble çözüüe dayaır. Degel klask taģıa proble pral proble olarak alırsak proble dual aģağıdak Ģekldedr: Aaç: a g a u b v (4.5) j j j Kısıtlar: u v c (4.6) u j j v serbest j (4.7) j tae arz kısıtıa karģılık u ( ) dual değģkeler ve tae talep kısıtıa karģılık v ( j ) dual değģkeler getrldğde topla j sayıda dual değģke vardır. Ayrıca pralde tae taba değģke var olduğuda bu değģkelere karģılık gele cj u v j spleks çarpaları sıfır değer alır. Burada elde edle deklee karģılık sayıda dual değģke evcut olduğuda u ve v lerde br değer sıfır olarak kabul edlp dekle sste çözülür. Özetle dolu hücreler ya taba değģkeler ç c u v 0 kabul edlerek tü u ve v değerler hesaplaır. Ataa j j j j yapılaya boģ hücreler ya taba dıģı değģkeler c u v j j değerler hesaplaır. Eğer tü taba dıģı değģkeler ç hesaplaa spleks çarpalar sıfıra eģt veya sıfırda büyük se evcut taba çözü optaldr. Eğer taba dıģı değģkelerde e az brs ç spleks çarpa değer egatf se utlak değerce e büyük değere sahp hücreye ataa yapılarak topla alyet azaltılablr.

78 65 Tabada çıka değģke belrleek ç atlaa taģı yötee bezer olarak tabaa grecek değģke ç kapalı dögü oluģturulur. Burada evcut yöte atlaa taģı yötede farkı bu dögüü sadece gre değģke ç kurulasıdır. Oysa atlaa taģı yötede hag değģke tabaa greceğ heüz bell oladığıda bu dögü tü taba dıģı değģkeler ç kurulaktaydı. Ayrıca evcut yötede çıka değģke br öcek yötede olduğu gb dögüdek e küçük değere sahp taba değģke olarak seçlr. Souç olarak tek taba dıģı değģke ç kurula dögü le bu değģke hag değerle tabaa greceğ ve buu yaıda hag taba değģke tabada çıkacağı da belrleģ olur. Elde edle ye çözü le yöte adıları tekrarlaır. TP çözü Ģleler sırasıda bozuluģ uygu taba çözüle karģılaģıldığıda taba değģke sayısıı yapacak Ģeklde taģıa tablosuu uygu hücrelere yeterce küçük poztf kadar dağıtı yapılıp Ģlelere deva edlr ( Kara 99). 4. Çok Aaçlı TaĢıa Proble (ÇATP) Gerçek yaģa problelerde taģıa yapılırke sadece alyet zasyou değl buu yaı sıra dağıtı güvelğ akszasyou dağıtı zaaıı zasyou ya da yakıt tüket zasyou gb geellkle brbryle çelģe brde fazla aaç optze edlektedr. TP çok aaçlı versyou ve çözü yöteler aģağıda geel olarak verlecektr. ÇATP ateatksel odel: Aaçlar: z ( ) c.. Q (4.8) j j j Kısıtlar: a ( ) (Arz Kısıtları) (4.9) j j j b j ( j ) (Talep Kısıtları) (4.0) 0 ( ; j ) j (4.) Ģekldedr. Burada z ( ) ( z ( ) z ( )... z ( )) Q tae aaç foksyouu çere br Q vektör ve S (4.9)-(4.) kısıtlarıı sağladığı uygu çözüler bölges olsu. Ayrıca

79 66 a 0 b 0 j c 0 ( j) j j a b j j kabuller geçerldr. Taı 4. (ÇATP ç Basılaaz Çözü): S oktasıı basılaaz br çözü olası ç gerek ve yeter Ģart... Q ç j c j j j c j j ve ç c c eģtszlkler j j j j j j sağlaya S oktasıı evcut olaasıdır. Taı 4. (ÇATP ç UzlaĢık Çözü): S uygu çözüler bölges E etk çözüler kües u operatörüü gösterek üzere; S uzlaşık çözü dür. E ve z( ) z( ) olasıdır. E etk çözüler kües bütü elealarıı belrleek ve bu elealar arasıda uzlaģık çözü bulak oldukça zordur. Bu edele küe bütü elealarıı belrleede uzlaģık çözü bula farklı yaklaģılar gelģtrlģtr. Bu yaklaģılar dört grupta sııfladırılaktadır (Abd El-Wahed ve Lee 006): (a) Etkleşl Yaklaşılar öreğ 987 de Rguest ve Rks; 993 de Claco et al. (Claco vd. 993) (b) Etkleşl olaya yaklaşılar öreğ 979 da Aaje ve Nar 979 da Isera ve 000 de Kasaa (Kasaa 000) (c) Hedef Progralaa yaklaşıları öreğ 973 de Lee ve Moore; 994 de Aeada ve Kwak (Aeada ve Kwak 994) (d) Bulaık Yaklaşılar: Bt ve dğerler (Bt vd. 99) çok krterl TP probleler çözüü ç bulaık progralaa tekğ kullaıldığı br prosedür gelģtrģ ve sora 993 de ÇALTP ç toplalı br bulaık progralaa odel suuģtur. Das ve dğerler (Das vd. 999) arz ve talep paraetreler aaç foksyo alyet katsayılarıı KV ler tarafıda aralık olarak verldğ br ÇATP y çözek ç br yöte suuģlardır. Abd El- Wahed (Abd El-Wahed 00) ÇATP ye uzlaģık br çözü sağlaak ç br bulaık yaklaģı gelģtrd ve ÇATP odel özel br yapısı üzerde bulaık progralaa kullaaı etks celed. Ayrıca L ve La (L ve La 000) ÇATP ye br uzlaģık çözü S

80 67 elde etek ç br bulaık yaklaģı gelģtrģlerdr. Aar ve Youess (Aar ve Youess 005) bulaık sayılarla (bulaık katsayılar ve/veya bulaık arz ktarları ve/veya bulaık talep ktarları) ÇATP kararlılığıı ve etk çözüler celeģlerdr. Abd El- Wahed (Abd El-Wahed 006) ÇATP ç terch edle uzlaģık çözüler belrleek ç br etkleģl bulaık hedef progralaa yaklaģıı suuģtur. 4.3 Leer Kesrl TaĢıa Proble (LKTP) LKTP arz ve talep kısıtları altıda kâr/alyet veya kâr/zaa olarak fade edle kârlılık oraıı aksze ede ya da alyet/taģıacak al ktarı oraıı ze ede br probledr. Bajalov u çalıģası (Bajalov 003) dıģıda LKTP le lgl çalıģaya lteratürde rastlaaaktadır. Bajalov LKTP geel forülasyouu verģ ve TP çözü yötelerde ola TaĢıa Spleks Metoduu ya taģıa tablolarıı kulllaa çözü tekğ LKTP ye adapte etģtr LKTP forülasyou: Br LKTP de geellkle aģağıdak blgler evcuttur:. Kapasteler a a... a ola tae kayak oktası (arz oktası) vardır.. Kapasteler b b... b ola tae varıģ oktası (talep oktası) vardır. 3. kayak oktasıda j.varıģ oktasıa taģıacak br br ürü ç elde edle kâr ve p j kâr atrs P p j dr. 4.. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak br br ürü ç taģıa alyet ve d j alyet atrs D d j dr. 5. ve d da sırasıyla sabt kâr ve alyet gösterektedr. p0 0 kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıa ktar ateatksel odel Ģu Ģekldedr: j olak üzere LKTP

81 68 Aaç: P( ) a Q( ) D( ) j j p j d j j j p d 0 0 (4.) Kısıtlar: j a ( ) (4.3) j j bj ( j ) (4.4) 0 ( ; j ). (4.5) j Burada S (4.3)-(4.5) kısıtlarıı sağladığı kapalı ve koveks br küedr. Ayrıca kesrl progralaa proble ve taģıa problelerde gele aģağıdak kabuller: ( ) S ç D( ) 0 j a 0 b 0 ( ) ; ( j ) j a b (Topla arz ktarı topla talep ktarıda küçük olaaz.) (4.6) j j geçerldr. (4.6) eģtszlğ (4.)-(4.5) proble uygu çözüüü varlığıı göstere fadedr. Böylece ele aldığıız LKTP çözüleblrlğ ç aģağıdak teore verel. Teore 4.: LKTP çözüleblr olası ç gerek ve yeter Ģart (4.6) eģtszlğ sağlaasıdır. Ġspat: Teore spatı (Bajalov 003 sayfa 47) de verlektedr. Taı 4.3 (Degel LKTP): (4.)-(4.5) proble a j b j (Dege Ģartı) (4.7) Ģartıı sağlıyorsa ya topla arz ktarı topla talep ktarıa eģt se degel LKTP olarak adladırılır. (4.)-(4.5) proble eģtlk kısıtlarıa sahp kaok foru aģağıdak gb taılaır:

82 69 pjj p0 Aaç: P( ) j a Q( ) (4.8) D( ) j j j Kısıtlar: j a (4.9) j 0 j bj j (4.0) 0 ; j ; (4.) j burada ( ) S ç D( ) 0 dır. j Teore 4.: Kaok fordak LKTP ((4.8)-(4.) proble) çözüleblr olası ç gerek ve yeter Ģart (4.7) dek dege Ģartıı sağlaasıdır. Ġspat: Teore spatı (Bajalov 003 sayfa 50-5) de verlektedr LKTP ç TaĢıa Spleks Yöte LKTP tablo yöte le çözüü k aģaada oluģaktadır. Adı : BaĢlagıç uygu taba çözüü buluası. Adı : Mevcut uygu taba çözüü optallk krter sağlaaa kadar gelģtrles. LKTP ç baģlagıç uygu taba çözü bula leer taģıa proble le ayıdır. Adı açıklaası aģağıdadır. LKTP odelde de taes kayak taes talep kısıtı olak üzere sayıda kısıt ve sayıda karar değģke çerdğde A katsayılar atrs ( ) boyutlu olup ve 0 elealarıda oluģur. Dolayısıyla TP de olduğu gb aģağıdak üç özellk kaok forda verle LKTP ç TaĢıa Spleks Yöte teel oluģturaktadır: Özellk (Gereksz Kısıt Özellğ): A katsayılar atrs rakı e fazla dr. Özellk (Çözüleblrlk Özellğ): Her degel kaok fordak LKTP e az br uygu çözüü olup optal çözüü de evcuttur. Özellk 3 (Tasayı Ola Özellğ): Kaok fordak LKTP de a ve b ler poztf tasayı j seler ve dege Ģartı sağlaıyorsa her uygu taba çözü ve bua bağlı olarak çözüü de tasayı değer alır. optal

83 70 sayıdak A vektörler oluģturduğu br B sste kaok fordak LKTP j br tabaı olsu. A taba vektörlere karģılık gele ( j) ds çftler kües J le j gösterls. Ayrıca J kües ( ) ( j ) olası tü ( j) ds çftler kües olak üzere J N J / J B kües de B tabaıda olaya ya taba dıģı Aj B vektörler ( j) ds kües gösterr. Taı 4.4: ( j ) çözüü Aj j R R a a... a... b b b ve ( j) J N ç j 0 j J B ( ) sste sağlıyorsa kaok fordak LKTP br taba çözüüdür. T ( j ) çözüüde (( j) J B ) değģkelere taba değģke ve ( ( j) J N ) j j değģkelere de taba dıģı değģkeler der. Taı 4.5: Taba değģkelerde e azıda br sıfırsa ( ( j) : ( j) J B 0 ) taba çözüüe dejeere taba çözü der. ( j) J B ç 0 se taba çözüüe dejeere olaış taba çözü der. Taı 4.6: ( j) J B olak üzere bütü eleaları (4.) dek o-egatflk kısıtıı j j j sağlıyorsa der. ( j ) taba çözüüe kaok fordak LKTP uygu taba çözüü Br LKTP e taģıa spleks etoduu asıl adapte edlebleceğ gösterek ç öcelkle P( ) payı le u v spleks çarpaları D() paydasıyla da u v spleks j j çarpaları lģkledrls. (4.9) dak tae arz kısıtıa karģılık gele elealar u ve u ; (4.0) dek tae talep kısıtıa karģılık gele elealar da v j ve v j j se aģağıdak leer eģtlk ssteler: u v p ( j) J ve j j B u v d ( j) J j j B (4.) (4.3) de u v u ve v spleks çarpaları buluur. ve azaltılış alyetler olak üzere j j j j

84 7 j u v j pj j u v j dj j (4.4) Ģekldedr. Ayrıca U ( ) u Q( ) u V ( ) v Q( ) v j j j j Z ( ) U ( ) V ( ) j j j C ( ) p Q( ) d j j j j değerler taılaarak ( ) Z ( ) C ( ) j j j j ya da bu fade ( ) Q( ) j (4.5) j j j yazılablr. Bu otasyolar kullaılarak verleblr: uygu taba çözüüü optallğ ç aģağıdak teore Teore 4.3 (Optallk Krter): 0 j (4.6) j se kaok fordak LKTP ( j ) uygu taba çözüü optaldr. Ġspat: Kaok fordak LKTP br uygu tabaı B ve karģılık gele uygu taba çözüü de olsu. Taba dıģı ( rk) J N değģke tabaa grerek sadece br eleaı le rk de farklı ve de elde edlģ baģka br çözüüü var olduğu kabul edls. P( ) P( ) rk ve D( ) D( ) rk Burada 0 ye taba değģkeler le lgl br değerdr ve azaltılıģ rk rk rk alyetler (4.4) le hesaplaır. Q( ) ve Q() aaç değerler arasıdak fark hesaplaarak P( ) P( ) P( ) rk P( ) Q( ) Q( ) D( ) D( ) D( ) D( ) rk D( ) rk P( ) ( rk Q( ) rk ) D( ) D( ) D( ) rk ( ) ( rk ) J D( ) N rk (4.7)

85 7 elde edlr. S ç D( ) 0 olduğuda (4.7) dek Q( ) Q( ) aaç değerler farkı sadece ( ) 0 ola ( rk) ds evcut olduğuda poztftr. Böylece teore spatlaıģ rk olur. LKTP tablosu (Çzelge (4.)) taģıa tablosudake bezer yapıdadır. Proble verler tablo hücrelere ( j) J B se p j dj j p ( j) J N se ( ) veya ( ) d j j j p d j j j j j gb yerleģtrleblr. Taı 4.8: TaĢıa spleks tablosuu e azıda dört farklı hücrede oluģa br sıralı altkües. Herhag k ardıģık hücre ayı satırda (ya da sütuda) buluursa. ArdıĢık üç hücre ayı satırda (ya da sütuda) buluazsa 3. Dzdek so hücre le lk hücre ortak br satıra (ya da sütua) sahpse br dögü oluģturur. Öreğ dögü oluģtura yollar: () () () (4) (44) (4) () ve (3) (5) (5) () (4) (43) (3) Ģeklde olup Çzelge 4.3 de verlektedr. Dögü oluģturaya yollar se Çzelge 4.4 de görülektedr.

86 73 Çzelge 4. LKTP ç spleks taģıa tablosu. Dükka Dükka Dükka Arz Depo p d p d p d b Depo p d p d p d b Depo p d p d p d b Talep a a a Çzelge 4.3 Dögü oluģtura örekler Çzelge 4.4 Dögü oluģturaya örekler

87 Nüerk Örek AĢağıda verle degel LKTP y ele alalı: Aaç: P( ) a Q( ) D( ) 3 4 j 3 4 j p j d j j j p d 0 0 (4.9) 50 Kısıtlar: 50 (4.30) j 3 4 j (4.3) (4.3) Burada p0 00 d 0 0 ve p d sırasıyla kâr ve alyet katsayıları Çzelge 4.5 de j j verlektedr. Çzelge 4.5 Kâr ve alyet atrsler eleaları. pj 3 4 j 3 4 d Maksu Kâr Metodu kullaılarak Çzelge 4.6 da gösterle br baģlagıç uygu çözüü ya taģıa yapılablecek sadece 5 dolu hücre: buluur. Bu aģaada proble tae taba değģke çeredğde uygu çözü br baģlagıç uygu taba çözü değldr. Bu duruda taba dıģı değģke öreğ 0 tabaa grer. Böylece Çzelge 4.6 da gösterle çözü aģağıdak taba ds kües J B ()()()(4)(3)(33)

88 75 ola dejeere br çözüdür. Çzelge 4.6 TaĢıa spleks etot öreğ- BaĢlagıç uygu taba çözü Bu çözüe karģılık P( ) p p p p p p p Q( ) D( ) d d d d d d d Q( ) P( ) 6700 Q( ) D( ) 6870 aaç değer elde edlr. Bu uygu taba çözü ve (4.)-(4.3) forülasyoları kullaılarak u v p 0 u v p 4 u v p u v 4 p4 8 u 3 v p3 9 u 3 v 3 p33 5 (4.33) ve u v d 5 u v d u v d 6 u v 4 d4 u 3 v d3 3 u 3 v 3 d33 (4.34) leer eģtlk ssteler kurulur.

89 76 Bu sstelerde sırasıyla 0 u ve u 0 alıarak ger kala bleyeler çözülürse: 0 u ve u u3 v 0 v 4 v3 6 v 0 ve u 0 u 6 u3 v 5 v v3 4 v 8 elde edlr. Bu değerler J N (3)(4)()(3)(3)(34) taba dıģı dsler ç ve azaltılıģ alyetler hesaplaada kullaılırsa: 3 u v3 p u v4 p4 0 0 u v p u v3 p u3 v p u3 v4 p u v 3 d u v 4 d u v d u v3 d u3 v d u3 v4 d buluur. Ayrıca taba dıģı ve değerler elde ettkte sora (4.5) forülasyouu kullaarak taba dıģı değģkeler ç ( ) Q( ) j j j 653 3( ) 3 Q( ) ( ) 4 Q( ) j j j j j 4 4 ( ) azaltılıģ alyet değerler:

90 ( ) Q( ) ( ) 3 Q( ) ( ) 3 Q( ) ( ) 34 Q( ) olur. Bütü taba dıģı j ( ) azaltılıģ alyetler o-egatf oladığıda optallk krter (Teore 4.3) gereğce evcut uygu taba çözüü optal çözü değldr. Bu edele egatf azaltılıģ alyet ler arasıda utlak değerce e büyüğü le lgl taba dıģı değģke j seçlr ve bu değģke tabaa grer. Bu değģke 4 dür. Böylece (4) hücrese bu aģaada değer bleye 0 taģıa ktarı grlr ve ı değer belrleek ç br dögü kurulur. Bu aģaa Çzelge 4.7 de gösterlektedr. Dögü kuruldukta sora ı değer: olarak belrler. Bu fadede ı al değer () ve (4) dslerde elde edldğ görülür. Böylece 4 değģkelerde br taes tabada ayrılır ve kcs dejeere değģke olarak sıfır değeryle tabada kalır. Dyel k 4 değģke tabada ayrılsı de tabada kalsı. Bu duruda ye oluģa taba ds kües J N ke J B ()()(4)()(3)(33) olur. Gerekl düzeleeler yapılırsa Çzelge 4.8 dek verler elde edlr. Bu tabloda ye uygu taba çözü ; olarak buluur. Bua karģılık aaç foksyo değer de P( ) 7000 ve D( ) 5370 de 7000 Q( ) olur j (3)(4)()(3)(3)(34) ( )

91 78 Çzelge 4.7 TaĢıa spleks etot öreğ-brc aģaa Çzelge 4.8 TaĢıa spleks etot öreğ-ġkc aģaa Ye taba ç u v p 0 u v p 4 u v 4 p4 u v p u 3 v p3 9 u v p 5 ve

92 79 u v d 5 u v d u v 4 d4 8 u v d 6 u 3 v d3 3 u v d eģtlk ssteler kurulur. Bu ssteler çözülerek ve u u u3 v 0 v 4 v3 6 v elde edlr. Bu değerler ve ( ) taba-dıģı azaltılıģ alyetler aģağıdak gb yede hesaplaaya kâ sağlar: ve souçta 4 u 0 u 6 u3 v 5 v v3 4 v4 8 j j 3 u v3 p u v p u v3 p u v4 p4 8 3 u3 v p u3 v4 p u v3 d u v d u v3 d u v4 d u3 v d u3 v4 d j

93 ( ) 3 Q( ) ( ) Q( ) ( ) 3 Q( ) ( ) 4 Q( ) ( ) 3 Q( ) ( ) 34 Q( ) buluur. Tü taba-dıģı azaltılıģ alyetler 0 ( j) J N olduğuda evcut j uygu taba çözüü LKTP br optal çözüüdür. O halde optal çözü ( ) ( ) ve optal aaç foksyo değer de Q ( ).304 olarak elde edlr.

94 8 5. ÇOK AMAÇLI LĠNEER KESĠRLĠ TAġIMA PROBLEMĠ (ÇALKTP) e BULANIK YAKLAġIMLAR ÇalıĢaızı esas kousu ola ÇALKTP odel ve bua at çözü yöteler Tryak ve Çet (Tryak ve Çet ) çalıģalarıda baģka lteratürde hee hee yok gbdr. Tezz orjal kısı ola bu bölüde öcelkle ÇALKTP forülasyou proble çözüleblrlğ ç teel teoreler problele lgl Pareto-optal zayıf Pareto-optal ve uzlaģık çözü kavraları verlecektr. Daha sora leer kesrl aaç foksyolarıa karģılık üyelk foksyoları kurulacak ve bağlatılı olarak çözü öerlerz ayrıtılarıyla açıklaacaktır. Bulaık yaklaģılarıız üyelk foksyolarıı yapılarıa göre leer ve o-leer (hperbolk üstel ve parçalı leer) üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar olarak k aa baģlık altıda grupladırılacaktır. Her br yaklaģıı ĢleyĢ ayı teel örek proble üzerde açıklaacaktır. 5. ÇALKTP Forülasyou Taı 5.: Br ÇALKTP de geellkle aģağıdak blgler evcuttur:. Kapasteler a a... a ola tae kayak oktası (arz erkez fabrkalar üret erkez vs. ) vardır.. Kapasteler b b... b ola tae varıģ oktası (talep erkez pazar satıģ oktası vs.) vardır. z ( ) (.. Q ) aacı ç 3.. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak br br ürü ç elde edle kâr p j ve kâr atrs P p j dr. 4.. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıacak br br ürü ç taģıa alyet d j ve alyet atrs D d j dr. 5. ve d da sırasıyla sabt kâr ve alyet gösterektedr. p0 0. kayak oktasıda j. varıģ oktasıa taģıa ktar olak üzere eģtszlk kısıtlarıa sahp br ÇALKTP ateatksel forülasyou Ģu Ģekldedr: j

95 8 pj j p0 Aaçlar: p ( ) j a z (5..a) ( ).. Q d ( ) d d j j Kısıtlar: j a (5..b) j j 0 j b j j (5..c) 0 ; j. (5..d) j Burada z ) ( z ( ) z ( )... z ( )) Q tae aaç foksyouu çere vektör (krter ( Q vektörü); S (5..b) (5..d) kısıtlarıı sağladığı kapalı ve koveks br küedr. Ayrıca kesrl progralaa proble ve taģıa problelerde gele aģağıdak kabuller: ( ) S ç d ( ) 0.. Q j a 0 ; b 0 j ; j ç p 0 d 0 p 0 d 0 j j j 0 0 a b (Topla arz ktarı topla talep ktarıda büyük veya eģttr) (5.) j j geçerldr. (5.) eģtszlğ (5.) proble uygu çözüüü varlığıı göstere fadedr. Böylece ele aldığıız ÇALKTP çözüleblrlğ ç aģağıdak teore verel. Teore 5.: ÇALKTP çözüleblr olası ç gerek ve yeter Ģart (5.) eģtszlğ sağlaasıdır. Ġspat: Gerekllk. ÇALKTP çözüleblr olduğuu varsayalı ve de bu proble br uygu taba çözüü olsu. Her ç (5..b) arz kısıtlarıı ve her j ç (5..c) talep kısıtlarıı taraf tarafa toplayarak j j a ve j j b j j elde edlr. EĢtszlkler sol tarafları ayı olduğuda topla talep ktarı topla arz ktarıda küçük ya da eģt olur. Böylece (5.) eģtszlğ sağlaır.

96 83 Yeterllk. ġd (5.) eģtszlğ sağladığıı kabul edel. (5.) proble S uygu çözüler bölges boģ küede farklı ve tü z ( ).. Q aaç foksyolarıı S bölges üzerde sıırlı olduğuu gösterelyz. Öcelkle b j j R 0 olak üzere ab j j j R alalı ve Gerçekte j ü (5.) proble br uygu çözüü olduğuu gösterel. j a b j a a j b j R a... R R R j j ve b a b b j j j b j j a b j R b j j... R R R R j dr. Ayrıca a 0 ; b 0 j olduğuda her j ç 0 sağlaır. j j Burada S uygu çözüler bölges boģ küede farklıdır ya ( ) S j dr. ġd de z ( ).. Q aaç foksyolarıı S bölges üzerde sıırlı olduğuu gösterel. (5..b) ve (5..d) de 0 j j a dr. Bu eģtszlk S uygu çözüler bölges sıırlı olduğu alaıa gelr. S sıırlı uygu çözüler bölges üzerde p ( ) ve d ( ).. Q leer foksyolar ve d ( ) 0.. Q olduğuda tü z( ) aaç foksyoları S üzerde sıırlıdır. Dolayısıyla ÇALKTP çözüleblr br probledr.

97 84 Taı 5. (Degel ÇALKTP): (5.) proble a j b j (Dege Ģartı) (5.3) Ģartıı sağlıyorsa ya topla arz ktarı topla talep ktarıa eģt se degel ÇALKTP olarak adladırılır. Bldğ gb br taģıa problede topla arz topla talepte küçük se proble degesz taşıa proble olup uygu çözüe sahp değldr. Bu duruda bazı talep erkezler htyaçları karģılaaaaktadır. KarĢılaaaya talep ktarıa eģt üret yapa hayal br arz oktası oluģturularak ve oula lgl br ceza fyatı belrleerek proble degel hale getrleblr. Dolayısıyla dege Ģartıı sağlaadığı ÇALKTP de de bezer Ģleler uygulaarak dege Ģartı sağlaablr. (5.) proble eģtlk kısıtlarıa sahp kaok foru aģağıdak gb taılaır: pj j p0 p ( ) j Aaçlar: a z (5.4.a) ( ).. Q d ( ) d d j j j 0 Kısıtlar: j a (5.4.b) j j bj j (5.4.c) 0 ; j ; (5.4.d) j burada ( ) S ç d ( ) 0.. Q dır. j Teore 5.: Kaok fordak ÇALKTP ((5.4) proble) çözüleblr olası ç gerek ve yeter koģul (5.3) dek dege Ģartıı sağlaasıdır. Ġspat: Teore 5. deke bezer Ģeklde spatlaablr. AĢağıda ÇALKTP ç Pareto-optal zayıf Pareto-optal uzlaģık çözü gb teel taılar verlektedr.

98 85 Taı 5.3 (ÇALKTP ç Pareto-optal çözü ): S oktasıı Pareto-optal (strogly effcet or odoated ) çözü olası ç gerek ve yeter Ģart.. Q ç z ( ) z ( ) ve ç z ( ) z ( ) olacak Ģeklde br baģka S oktasıı evcut olaasıdır. Taı 5.4 (ÇALKTP ç zayıf Pareto-optal çözü): S oktasıı zayıf Pareto-optal (weakly effcet) çözü olası ç gerek ve yeter Ģart... Q ç z ( ) z ( ) olacak Ģeklde br baģka S oktasıı evcut olaasıdır. S W Bu taılara göre E ve E sırasıyla Pareto-optal ve zayıf pareto-optal çözüler kües gösterek üzere E S E W olur. Taı 5.5 (ÇALKTP ç uzlaģık (coprose) çözü): S uygu çözüüü br uzlaģık çözü (Leberlg 98; Abd El-Wahed ve Lee 006; w Tryak 006) olası ç gerek ve yeter Ģart E ve Z( ) S Z( ) olasıdır. Burada Z ) ( z ( ) z ( )... z ( )) dr ve operatöre karģılık gelr. Taı 5.5 e göre: ( Q () () UzlaĢık çözü br zayıf-etk çözü olalıdır. uygu çözü vektörü S dek dğer oktalara azara deal oktada u sapaya sahp olalıdır. UzlaĢık çözü KV fayda foksyouu aksu yapa deal çözüe e yakı ola çözüdür. Geellkle ÇALKTP de aaç foksyoları brbrleryle çelģtğde bütü aaç foksyolarıı ayı ada aksze ede br optal çözü her zaa evcut değldr. Bell br pareto-optal çözü seçldğde dğer aaç foksyolarıda e az brdek kayıba karģılık herhag br aaçta br yleģe sağlaablr. Böylece ÇALKTP ç yukarıdak Taı 5.3 le çok aaçlı progralaadak pareto-optallk taıı ayıdır. 5. ÇALKTP ç Bulaık YaklaĢılar Bu bölüde Zera ı u operatörüü kullaarak bulaık yaklaģıla (Bulaık Mateatk Progralaa yoluyla) ÇALKTP ç uzlaģık Pareto-optal çözü elde etek üzere çözü öerlerz aģağıdak baģlıklar altıda verlecektr.

99 86 Leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar: ÇALKTP ç GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası ÇALKTP ç Ġkye Böle Yöte ÇALKTP ç Hedef Progralaa YaklaĢıı. No-leer üyelk foksyolarıı kullaıldığı yaklaģılar: Hperbolk Üyelk Foksyoları le ÇALKTP çözüü Üstel Üyelk Foksyoları le ÇALKTP çözüü Parçalı Leer Üyelk Foksyoları le ÇALKTP çözüü. 5.. Leer Üyelk Foksyolarıı Kullaıldığı YaklaĢılar Bu kısıda ÇALKTP çözüü ç leer üyelk foksyolarıı kullaa üç bulaık progralaa yaklaģıı yer alaktadır. Öcelkle yaklaģıları teel oluģtura leer üyelk foksyoları kurulacak daha sora Zera ı u operatörü le problee karģılık br yardıcı proble (u operatör odel) elde edlecektr. Aaç foksyolarıı kesrl olasıda dolayı bu yardıcı proble oleer yapıdadır. Üç farklı yaklaģı: GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası Ġkye Böle Yöte Hedef Progralaa YaklaĢıı le yardıcı problez leer yapıya drgeecektr. Böylece ÇALKTP ç br zayıf etk çözü bu çözüe de Pareto-optallk test uygulaarak kuvvetl etk çözü elde edlecektr. Çözü yaklaģılarıı ĢleyĢler br teel örek proble üzerde ayrıtılarıyla açıklaacaktır Aaçları Üyelk Foksyolarıı OluĢturulası Lteratürde çeģtl tplerde öreğ leer hperbolk ters hperbolk üstel ve parçalı leer v.s. üyelk foksyoları evcuttur (Sakawa 993). Bu kısıda e bast tp ola leer üyelk foksyou kurulacaktır. ÇALKTP. aaç foksyoua karģılık gele leer yapıya sahp ( z ) üyelk foksyouu

100 87 z 0 z ( z ) z z z z z z z z z..q (5.5) olarak taılayalı. Burada z ( ) z ve a z ( ) z.. Q değerler S S üyelk foksyouu sırasıyla 0 ve yapa z () aaç foksyo değerler gösterr. Bu üyelk foksyou [ z z ] aralığıda z ya göre leer ve ooto artadır. (5.5) fadesdek üyelk foksyoları belrlerke proble çözülektedr. Q tae tek aaçlı leer kesrl taģıa Öcelkle ÇALKTP y çözek ç Zera tarafıda öerle bulaık operatör odel (Zera 978) kullaarak Aaç: a ( z ( )) (5.6) Q Kısıtlar: S yardıcı proble oluģturalı. yardıcı değģke le ( z ) ( z ) alıarak bu yardıcı proble Aaç: a Kısıtlar: ( ) (5.7) z S akszasyo problee döüģtürülür. ( z ) üyelk foksyou [ z z ] aralığıda aaç foksyoua göre ooto arta olduğuda üzere (5.7) proble ( ) f z ( z ) z olak Aaç: a Kısıtlar: ( ) z S Ģeklde de yazılablr.

101 88 Aaç foksyo değer kâr/alyet veya kâr/zaa olarak fade edle bütü leer kesrl aaçlar arasıda u tat sevyes ayı ada aksze ede br tat değer belrtr. Bu değer ayı zaada e teel tat olarak da yorulaablr. Ya taģıa sstede yer ala her br aaç foksyou e azıda bu olaktadır. değer kadar tat (5.6) dak a- proble eģdeğer olarak (5.7) dek u operatör odel ayı zaada geelleģtrlģ leer kesrl taģıa proble (LKTP) olarak da adladırablrz. Böylece o-leer yapıdak bu proble GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası le leerleģtrerek ve br dz leer progralaa proble çözüüe drgeyerek teratf olarak çözüleblrz (Borde ve Crouze 987 Katagr vd. 00; Bajalov 003). Ġterasyo soucu bulua çözü (5.) proble ç br zayıf Pareto-optal çözüdür. Mu operatör odel degeleyc olaya (o-copesatory) br odel (Tryak 006) olduğuda ÇALKTP ç kuvvetl Pareto-optal çözü elde etey garatleez. Dolayısıyla bulua zayıf Pareto-optal çözüe Pareto-optallk test uygulaarak kuvvetl Pareto-optal çözü araģtırılır. Test asıl uygulaacağı algorta verldkte sora açıklaacaktır ÇALKTP ç GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası (5.6) dak a- problede bütü üyelk foksyoları leer kesrl foksyolar olduğuda bu proble GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası (Borde ve Crouze 987 Katagr vd. 00; Bajalov 003) le leerleģtrlerek çözüleblr. z z P ( ) ( z( )) üyelk foksyouu [ z z ] aralığıdak parçasıı ( z( )) z z D ( )..Q Ģeklde gösterel ve (5.6) proble a S (5.8) Q P ( ) D ( ) olarak yede fade edel. GeelleĢtrlĢ Dkelbach Algortası br dz F( ) a ( P ( ) D ( )). (5.9) S Q paraetrk proble çözeye karģılık gelr.

102 89 Algortayı suada öce aģağıdak k yardıcı teore verel. Bu teoreler paraetrk aaç foksyoua sahp (5.9) proble le geelleģtrlģ LKTP ((5.8) proble) dolayısıyla orjal proble ola (5.) proble arasıda br lģk kuraktadır. F( ) Yardıcı Teore 5. (Bajalov 003) : P ( ) a olsu. O halde S Q D ( ). Paraetrk foksyo F( ) dır. Ayrıca F( ) altta yarı-sürekl (lower secotuous) ve azalaya (o-decreasg) dır;. olası ç gerek ve yeter Ģart F( ) 0 ; 3. F( ) 0 ; 4. (5.8) proble çözüleblrse F( ) 0 dır. 5. F( ) 0 se (5.8) ve (5.9) probleler ayı optal çözüler küese sahptr. Yardıcı Teore 5. (Bajalov 003): S uygu çözüler kües kopakt se. Paraetrk foksyo F( ) dır. Ayrıca F( ) sürekl ve daa artadır;. (5.8) ve (5.9) probleler daa optal çözülere sahptr; 3. solu br değerdr ve F( ) 0 dır; 4. F( ) 0 olası olduğuu gösterr; Bu k yardıcı teore Dkelbach Algortası'ı geelleģtrles ç gerekl teork teel sağlaaktadır. ÇALKTP çözüü ç Geelleştrlş Dkelbach Algortası: Adı 0: r 0 al. Adı : Keyf br (0) r 0 (0) P ( ) ( ) S uygu çözüüü al ve Q (0) D ( ) değer hesapla. Adı : a t r [ P ( ) ( )] D r t D ( )...Q S proble çöz ve elde edle çözüü r olarak al.

103 90 Adı 3: Eğer t ( Burada 0 yaklaģa paraetresdr.) se evcut çözü r ( ) (5.8) proble optal çözüüdür ve r de ou optal değerdr DUR. Aks halde ( r) r P ( ) Q r D ( ) değer hesapla r: r al ve Adı ye dö. r F Adı de ( ) paraetrk problede üretlģ r dzs yakısaklığı dz aģağıdak özellkler le garatler: ( r) r Tü r 0 ç ( z ( ))] dır r Q dzs ooto artadır burada a ( z ( )) S Q dır Pareto-optallk Test (5.8) proble Adı 3 de elde edle çözüü (5.) proble zayıf Pareto-optal (uzlaģık) çözüüdür. Eğer ayı optal değlse değer vere br alteratf çözü evcut çözüü ayı zaada kuvvetl Pareto-optal çözüdür. Eğer alteratf optal çözü varsa br kuvvetl Pareto-optal çözü bulak ç (Korbluth ve Steuer 98a 98b; Steuer 986; Sakawa ve Nshzak 00; Ahlatçıoğlu ve Tryak 007): Aaç: a Q Kısıtlar: z ( ) z ( ).. Q S Q problee eģdeğer: Aaç: a Q Kısıtlar: ( p d z ) d z p..q (5.0) j j 0 0 j j S 0 0..Q

104 9 pareto LP proble çözülür. Q Eğer a 0 se kuvvetl Pareto-optal çözüdür. Q Eğer a 0 se pareto LP proble çözüü ı yere kour ve tekrar (5.0) proble çözülür. Bu Ģle Q a 0 sağlaaa kadar sürdürülür. Elde edle so çözü dolayısıyla kuvvetl pareto-optal çözüdür Açıklayıcı Örek AĢağıdak ÇALKTP y Teel Örek Proble olarak taılayalı. Öereceğz bütü bulaık yaklaģıları ĢleyĢler bu proble üzerde açıklaacaktır. Aaçlar: a z ( ) a z( ) 3 4 Kısıtlar: (5.) Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( : ) a z3( ) 3 5 Üç tae leer kesrl taģıa proble oleer yapıdadır. Bu kesrl taģıa probleler aksu ve u çözüler ya GAMS (Rosethal 007) Go gb oleer probleler drekt olarak çözeble paket progralar yardııyla ya da Chares Cooper değģke döüģüü (Chares ve Cooper 96) le kesrl foksyolar leerleģtrlp wsb LINDO gb LP çöze paket progralar yardııyla buluablr. Çzelge 5. de üç tae leer kesrl taģıa proble ayrı ayrı çözülesyle elde edle aksu ve u çözüler ve bu çözülere karģılık gele aaç foksyo değerler verlektedr. Öreğ z aaç foksyou ç aksu çözü ( ) ( ) ve karģılık gele aksu aaç değer z. ; u çözü se

105 9 ( ) ( ) ve karģılık gele u aaç değer z.059 dır. Ayrıca ( ) ( ) çözüüe karģılık z aacıı değer 4.38 aacıı se.687 dr. z 3 Çzelge 5. (5.) problede herbr aaç ç u ve aksu çözüler ve karģılık gele aaç değerler z z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) Böylece Çzelge 5. dek verler ve (5.5) dek leer üyelk foksyo yapısı kullaılarak üç tae aaç foksyouu [ z z ] 3 aralığıdak üyelk foksyoları Ģöyledr: ( z( )) ( z( )) (5.) ( z3( )). 3 5 (5.) ç (5.8) e karģılık gele operatör odelz aģağıdak fordadır:

106 93 Aaç: Kısıtlar: a z( ) z( ) z3( ) 3 5 Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: : (5.3) ( ) 0 Teel Örek Proble İç Geelleştrlş Dkelbach Algortasıı Uygulaışı Adı 0: r 0 al. T (0) Adı : a0 S br uygu çözüü ( ) S olsu. (0) çözüüe karģılık aaçları tat sevyeler P ( ) 0 P ( ) ( z( )) 0 ( z( )) 0 0 D ( ) D ( ) 0 P ( ) ( z ( )) 0 ( ) D3 ve aaçları u tat sevyes olarak buluur. 0 P ( ) 0 ( ) ( ) ( ) P( ) P( ) D D D3 Adı : ġd (0) 0 ç aģağıdak proble kurulur:

107 94 Aaç: Kısıtlar: a t (0) P 0 ( ) D( ) t D ( ) (0) P 0 ( ) D( ) t D ( ) (0) P 0 3( ) D3( ) t D3 ( ) Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( ) 0. Burada Aaç: Kısıtlar: a t t t t Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( ) 0 yazılır ve proble çözülerek edlr. () ( ) ( ) elde () Adı 3: YaklaĢa paraetres 0.00 olsu. t 0.46 olduğuda ç tat P ( ) P ( ) sevyeler ( z( )) 0.57 ( z( )) 0.49 D ( ) D ( ) P ( ) ( z ( )) 0.57 ( ) D3 dr ve buları u değer P( ) P ( ) P ( ) 0.49 ( ) ( ) ( ) 3 D D D3 dır. r: r ( r 0) alalı. Adı : () 0.49 ç aģağıdak proble:

108 95 Aaç: Kısıtlar: a t () P ( ) D( ) t D ( ) () P ( ) D( ) t D ( ) () P 3( ) D3( ) t D3 ( ) Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( ) 0 ya Aaç: Kısıtlar: a t t t t Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( ) 0 kurulur. Bu proble çözülerek elde edlr. () ( ) ( ) Algortayı bu tarzda uygulaaya deva ederek (5.8) proble beģ terasyo ç elde edle souçları Çzelge 5. de verlektedr. Çzelgede terasyo sayısı r r. r ( r) terasyodak çözüler bu çözüler ç aaçları tat sevyeler ( ) r 3 ooto arta dzs ve yakısaklık paraetres t görülektedr. r 5 ç Adı de t dır. Mevcut çözü r (5) ( ) (5.3) proble ( operator odel) br uzlaģık çözüüdür. KarĢılık gele üyelk foksyolarıı değerler

109 96 ( (5) ) 0.47 ( (5) ) 0.47 ve aaç foksyolarıı değerler se z ( z ( z ( 3 olur. Böylece ( r) (5) 0.47 (5) ( ) (5.3) proble optal değerdr. Bu değer taģıa sstede her br aacı ulaģableceğ e teel tat sevyes olarak yorulaablr. (5.3) proble alteratf çözüü oladığıda Pareto optallk test gereğ bu zayıf etk (uzlaģık) çözü ayı zaada kuvvetl Pareto-optal br çözüdür. Not: Bulua çözüler GAMS paket prograı kullaılarak elde edlģtr. Ġterasyo r r 0 (0) Çzelge 5. (5.3) proble beģ terasyo ç souçları ( r ) ( ) ( ( r) ) ( ( r) ) ( r) ( ( r) ) _ t r () ( ) r () ( ) r 3 (3) ( ) r 4 (4) ( ) r 5 (5) ( ) ÇALKTP ç Ġkye Böle Yöte Bu bölüde Sakawa ve Yue (983) Sakawa ve Yao (988) u ÇALKP proble ç öerdğ br etkleģl bulaık yöte teel ya kye böle yöte le LP kobasyou ola br algortayı ÇALKTP ye uygulayacağız. Bu yötele taģıa proble çöze zorluğu terasyo sayısıı fazla ya çözüe yakısaaı oldukça yavaģ olasıdır. No-leer proble ola (5.7) de değer sabt tutulduğuda proble br leer eģtszlkler küese drgeebleceğe dkkat edel. LeerleĢtrlĢ proble optal çözüüü elde ete proses (5.7) kısıtlarıı sağlaya kabul edleblr br kües evcut olacak Ģeklde ı aksu değer bulaya eģdeğerdr. u u değer olak üzere olduğuda (5.7) S.. Q

110 97 problez çözek ç kye böle yöte le LP dek spleks etodu faz kullaa çözü algortaız Ģöyledr: Adı : 0 al ve spleks etodu faz yöte kullaarak (5.7) proble kısıtlarıı sağlaya kabul edleblr br kües evcut olup oladığıı test et. Eğer kües varsa algortaya deva et. Aks takdrde DUR. S S Adı : al ve (5.7) proble kısıtlarıı sağlaya br S kües evcut olup oladığıı spleks etodu faz yöte kullaarak test et. Eğer S kües evcut se al. Aks takdrde (5.7) proble kısıtlarıı sağlaya ı aksu değer le arasıda olduğuda Adı 3 e geç. Adı 3: değer baģlagıç değer 0.5 alıarak kye böle etodu le aģağıdak gb güceller: ç uygu çözü bölges evcut se ç uygu çözü bölges evcut değlse. Ya her br sabt değer ç (5.7) proble leer kısıtlarıı sağlaya kabul edleblr br S kües evcut olup oladığı spleks etodu faz yöte kullaılarak test edlģ ve böylece o-leer (5.7) proble kısıtlarıı sağlaya aksu değer belrleģ olur Açıklayıcı Örek: ÇALKTP çözüü ç öerdğz kye böle yöte le LP brleģ teel ala bulaık yaklaģıı uygulaak üzere (5.) de verle teel örek proble yede ele alalı. (5.3) proble çözüü ç LP tabalı kye böle algortasıı aģağıdak gb uygulayablrz: Adı : 0 alalı. (5.7) problee karģılık kurula (5.3) a- proble kısıtlarıı sağlaya kabul edleblr br Buu ç S kües evcut olup oladığıı test edel.

111 98 Aaç: Kısıtlar: a 0 T z ( ) z ( ) z ( ) Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: proble eģdeğer olarak ( ) 0 Aaç: Kısıtlar: a 0 T z ( ) z ( ) z ( ) Arz kısıtları: Talep kısıtları: No-egatflk kısıtı: ( ) 0 LP proble kuralı. Spleks yöte faz proble çözerek ( ) ( ) S oktasıı buluruz. Böylece kabul edleblr br S kües evcuttur. ( S olası duruuda 0 deektr ya ÇALKTP tü aaç foksyolarıı

112 99 ayı ada tat ede pareto-optal çözü bulaık yaklaģıla buluaıyor alaıa gelektedr.) Adı : 0 alalı. (5.7) problee karģılık kurula (5.3) a- proble kısıtlarıı sağlaya br kabul edleblr test edel. Buu ç: S kües evcut olup oladığıı Aaç: a 0 T Kısıtlar: z ( ) z ( ) z ( ) ( ) 0 proble çözülerek S buluur. Adı 3: BaĢlagıç değer alıarak Aaç: a 0 T Kısıtlar: z ( ) z ( ) z ( ) ( ) 0 proble çözülür ve S buluur. değer ç kabul edleblr br S kües evcut oladığıda forülü le 0.5 4

113 00 olarak güceller. 0.5 değer ç Aaç: a 0 T Kısıtlar: z ( ) z ( ) z ( ) proble çözülerek ( ) 0 ( ) ( ) S oktası buluur. Böylece br kabul edleblr S kües evcuttur. değer ç kabul edleblr S kües evcut olduğuda forülü le olarak güceller değer ç Aaç: a 0 T Kısıtlar: z ( ) z ( ) z ( ) proble çözülerek ( ) 0 ( ) ( )

114 0 3 S buluur. Burada değer kullaılarak elde edlr. Bu Ģeklde deva edlerek o terasyo sora değer elde edlr. Böylece Aaç: a 0 T Kısıtlar: z ( ) z ( ) z ( ) proble çözülerek ( ) 0 ( ) ( ) S oktası buluur. ArdıĢık k terasyo souda ayı oktası buluduğuda ya değerde buda sora gücellee yapılaadığıda terasyo soa erer ve buluur. Bu oktaya karģılık gele üyelk foksyo değerler ( z ( )) ( z ( )) ve aaç foksyo değerler z ( ).0836 z ( ) 4.53 z ( ) olarak elde edlr. 3 z3 S ( ( ))

115 0 Çzelge 5.3 Ġkye böle yöte terasyoları ve souçları Ġterato r 0 r r ( r ) r (0) ( ) S (uygu çözü yoktur) S ( r) (uygu çözü yoktur) r 3 (3) ( ) 0.5 r 4 (4) ( ) r 5 (5) ( ) r 6 (5) ( ) r 7 r 8 r 9 r 0 S (uygu çözü yoktur) S (uygu çözü yoktur) S (uygu çözü yoktur) (5) ( ) r (5) ( ) r (5) ( ) ÇALKTP ç Bulaık Hedef Progralaa (HP) YaklaĢıı Geellkle brbrleryle çelģe brde fazla aacı çere çok aaçlı karar vere probleler çözü yötelerde brs ola HP KV her br aaç ç stele br hedef değer belrleese dayaır. Ġstele çözü bu hedef değerlerde sapaları u yapa çözüdür. HP yaklaģııda aaç foksyoları sapa değģkeler le kısıtlara katılır ve steeye sapa değģkeler u yapılarak çözü araģtırılır. HP yöte avatajı LP odel kullaasıdır. HP odelde aaç foksyoları ve aaçlara at hedef değerler ve kısıtlar deterstktr. Acak hedef değerler hedefler öcelkler sırasıı ve görecel ağırlıklarıı kes olarak belrleek oldukça zordur. Bu verler çoğu zaa KV terchlere göre belrler. HP odeldek bu subjektflk olgusu bulaık küe teors le de ele alıablr. Bulaık küe teors HP odele uyguladığı zaa aaçları hedef değerler ve terch öcelkler kes olaya fadelerle ele alıır. Hedefler öcelğe göre bulaık HP odel k Ģeklde ele alıablr. Bularda lk bütü hedefler ayı terch öcelğe sahp olduğu bulaık HP odeldr. Bu odelde bütü hedefler eģalı (the Archeda fuzzy GP) olarak doyura br çözü belrler. Ġkcs se hedefler farklı terch öcelklerde yer alabldğ terch öcelkl bulaık HP (the

116 03 preeptve fuzzy GP) odeldr. Bu odelde KV terch dkkate ala br çözü belrleeye çalıģılır (Özka 003). ÇalıĢaızı bu bölüüde Pal ve dğerler (Pal vd. 003) tarafıda bulaık ÇALKP ç öerle HP yaklaģııı ÇALKTP y çözede kullaacağız. Aacıız öcelkle problez aaç foksyolarıı ya bu aaçlara karģılık gele üyelk foksyolarıı kurak üyelk foksyolarıa hedef değerler olarak ataak ve daha sora belrlee her br üyelk hedef stele hedef değerde egatf yöde sapasıı ağırlıklı toplaıı u yapaktır. ġd öcelkle (5.5) dek leer üyelk foksyoları ç hedef değer olarak atayalı. Bu duruda üyelk hedef kısıtlarıı ( z ( )) r r.. Q Ģeklde yazablrz. r ( 0) ve r ( 0).. Q değģkeler sırasıyla hedef değerde egatf ve poztf sapa ktarlarıı gösterek üzere r r 0 olur. Aacıız egatf sapa değģke değerler ağırlıklı toplaıı u yapaktır. Böylece bu yaklaģıda r sadece r değģkeler u yapılır. Bulaık hedefte poztf sapa ktarları üyelk foksyo değer ta tat olası alaıa gelektedr. Bu edele u yapılası aslıda gerekszdr. Üyelk hedefler Leerleştrles r değģkeler z z P ( ) ( z( )) z z D ( )..Q olduğuda ( ) R r D ve R r D ( ) değģke döüģüler le ( z ( )) r r P ( ) R R D.. Q leer dekleler elde edlr. r r 0 ve D ( ) 0 olduğuda R R 0 ve R R R 0 olur. r u yapılası oraıı uuu bulaya D ( ) eģdeğerdr. Üyelk hedefler ta tat olduğuda egatf sapa değģke r 0 üyelk

117 04 hedefler hç tat oladığıda r olur. Böylece çözüde r eģtszlğ R buluası proble odelde ya R D( ) 0 kısıtıı buluasıı D ( ) gerektrr. Burada r poztf sapa değģke u yapılasıı gerekszlğ kousudak tartıģaya dayaarak bu değģkee karģılık böyle br kısıt odel forülasyouda yer alaz. Söz kousu Ģartlar altıda (5.7) problez HP odel forülasyou aģağıdak gbdr: Aaç: Q w R Kısıtlar: P ( ) R R D R ( ) 0 D ( ) S R R 0 Q. j Burada w ( 0 ) üerk ağırlıkları sapa değģkeler ağırlıklarıdır ve bulaık hedefler görecel öeler yasıtır. Bu ağırlıklar KV tarafıda çeģtl Ģeklde belrleeblr. Mohaed (Mohaed 997) tarafıda öerlģ ağırlıkladıra plaı Ģöyledr: w z z aralığıda leer ve ooto arta foksyo se z z z z aralığıda leer ve ooto azala foksyo se z z Q. ÇalıĢaızda w ( 0 ) ağırlık değerler toplaları br olacak Ģeklde eģt ağırlıklı olarak belrleyeceğz. Fakat sterse ağırlıklar aaçları öe derecese göre farklı alıablr veya Mohaed tarafıda verle yaklaģıla da belrleeblr.

118 Açıklayıcı Örek: (5.0) da verle üyelk foksyoları ç üyelk hedef değerler olarak atayalı ( z ( )) r r r r ( z ( )) r r r r ( z ( )) r r r r Burada r r 0 r r 0 3 tür. Forülasyoda paydalar eģtleerek ve R r ( 3 ) ve R r ( 3 ) R r ( 3 4) ve R r ( 3 4) R3 r3 ( 3 5) ve R3 r3 ( 3 5) değģke döüģüler yapılarak her br aaç ç sırasıyla R R R R 6.65 leer dekleler elde edlr. r r 0 ve D ( ) 0 3 olduğuda R R 0 ve R R 0 3 olur. r r ve r 3 eģtszlklere karģılık sırasıyla R ( 3 ) 0 R ( 3 4) 0 kısıtları buluur. Üyelk hedefler ağırlıkları w 3 olak üzere (5.) proble ç Archeda bulaık HP odel R R R ( 3 5) 0 3

119 06 Aaç: Kısıtlar: w R w R w R R R 4.69 olur. Bu proble öreğ ( ) 0 R R 0 3 le çözüldüğüde u ağırlıklı topla sapa ktarı olarak R R R R R 3 R 3 4 R w w w3 / 3 ( ) ( ) eģt ağırlıkları alıarak GAMS paket prograı değeryle çözü takıı oktası buluur. Elde edle zayıf etk oktası Pareto-optallk test gereğ alteratf çözü oladığıda ayı zaada Pareto-optal okta olur. Ayrıca ( z ( )) 0 ( z ( )) ( z ( )) üyelk değerler ve z ( ) z ( ) z 3 ( ) uygulaırsa aaç foksyo değerler buluur. Mohaed ağırlıkladıra plaı w z z..059 w z z w z3 z3 ağırlıkları ve oralze edlerek w ( ) ağırlık vektörü elde edlr. Bu ağırlıklarla bulaık hedef progralaa proble çözüldüğüde az öce verle çözü takıı değģede kalasıa rağe u ağırlıklı topla sapa ktarı oluģtur. Görüldüğü gb hedeflere farklı ağırlıklar atayarak hedef değer de orasal olarak egatf yödek sapaları topla ktarıı u yapacak Ģeklde egatf yödek sapa ktarlarıı bula çözüler araģtırılıģtır.

120 No-Leer Üyelk Foksyolarıı Kullaıldığı YaklaĢılar ÇALKTP y çözek ç (5.3) fadesde verle leer üyelk foksyouu kullaa bulaık yaklaģılarıız Kısı 5.. de verlģt. Bu kısıda se o-leer (hperbolk üstel ve parçalı leer) üyelk foksyolarıı kullaa bulaık çözü öerlerz le (5.) proble çözülecektr Hperbolk Üyelk Foksyoları le ÇALKTP çözüü Leberlg (98) tarafıda taılaa hperbolk üyelk foksyouda faydalaarak H ÇALKTP. leer kesrl aaç foksyoua karģılık ( z ( )) hperbolk üyelk foksyouu: 0 z z H ( ( )) tah ( ( ) ) z z b z z z z z.. Q (5.4) veya eģdeğer olarak 0 z z z z z z ( z ( ) ) ( z ( ) ) e e ( z ( )) z z z H z z z z ( z ( ) ) ( z ( ) ) e e z z.. Q le taılayalı. Burada.. Q bç paraetresdr. Lteratürde geellkle z Ģeklde 3 z z ( ) H (Leberlg 98) olarak alıaktadır. b fades se ( z ( )) 0.5 olacak değer gösterr ve üyelk foksyouu bükü oktası le lgl değerdr. z z Leberlg tarafıda b olarak alııģtır (Sakawa 993). (5.4) dek hperbolk üyelk foksyou aģağıdak özellklere sahptr:

121 08 H ( z ( )) üyelk foksyou [ z z ] aralığıda z ( ) e göre kes ooto arta br foksyodur. H z z ( z( )) üyelk foksyou [ z z ] aralığıda z( ) se kes koveks z z ( ) z z z se kes kokav ve z( ) se dr. H H Tü R ler ç 0 ( z ( )) eģtszlğ geçerldr: Dolayısıyla ( z ( )) hperbolk üyelk foksyouu alt astotk foksyou H ( z ( )) 0 ve üst astotk foksyou se H ( z ( )) dr. H ġekl 5. ( z ( )) Hperbolk Üyelk Foksyou ġekl 5. de verle grafkte görüldüğü gb hperbolk üyelk foksyoudak tat artıģ oraı leer üyelk foksyoudak gb daa sabt değldr. (5.7) dek Zera ı operatör odel ve (5.4) dek hperbolk üyelk foksyou kullaılarak Aaç: a z z z z ( z ( ) ) ( z ( ) ) e e H Kısıtlar: ( ( )) z z z z z ( z ( ) ) ( z ( ) ) e e (5.5).. Q S 0

122 09 o-leer progralaa proble elde edlr. Teore 5.3: ( ) (5.5) proble optal çözüü olak üzere; eģtszlğ sağlar. H Ġspat: Tü ve tü.. Q ç 0 ( z ( )) dr. 0 ( z ( )) ( ( z ( ))) : ( z ( )) H H D ve H 0 ( z( )) olduğuda 0 dr. H ( z ( )) tajat hperbolk üyelk foksyoları ve z ( ) leer kesrl foksyolarıı her ks de o-leer yapıda olduğuda (5.5) forülasyouda bastlğ sağlaak ç Leberlg (98) döüģüüü uygulayablrz. 0 olduğuda (5.5) proble yede düzeleyerek Aaç: a Kısıtlar: tah( z( ) b ) S 0.. Q ya da eģdeğer olarak Aaç: a z z Kısıtlar: tah (( z( ) ) ) ().. Q S 0 Ģeklde yazablrz. tah tajat hperbolk foksyou ve tah ters tajat hperbolk foksyou e göre kes ooto arta olduğuda Aaç: a Kısıtlar: z z tah () ( z( ) ).. Q (5.6) S 0 elde ederz.

123 0 tah ( ) dersek tah ( ) (5.7) olur. tah( ) foksyou e göre kes ooto arta foksyo olduğuda ı akszasyou akszasyoua eģdeğerdr. Böylece (5.6) proble aģağıdak o-leer progralaa problee döüģtüreblrz: Aaç: a Kısıtlar: z z z ( ).. Q (5.8) S 0. Bu proble optal çözüü optal çözüü ( ) olsu. (5.7) fades kullaarak (5.8) proble ( ) ( ta h( ) ) olur. (5.5) proble optal çözüüü pareto-optallğ le lgl olarak da Leberlg ÇALP ç spatladığı teorede faydalaarak ÇALKTP ç aģağıdak teore vereblrz: Teore 5.4:. ( ) (5.5) proble br optal çözüü se; ÇALKTP br zayıf Paretooptal çözüüdür.. ( ) (5.5) proble yegae optal çözüü se; ÇALKTP Pareto-optal çözüüdür. Ġspat:. ÇALKTP br zayıf Pareto-optal çözüü olası. O halde z ( ) z ( ˆ )..Q H olacak Ģeklde ( ) uygu çözüü evcuttur. ( z ( )) z ( ) e göre H H kes ooto arta olduğuda ( z ( )) ( z ( )).. Q elde edlr. Böylece

124 ( z ( )) ( z ( )) H H... Q... Q olur k bu da ( ) ı optallğ le çelģr.. ÇALKTP br Pareto-optal çözüü olası. O halde bazı j ler ç z ( ) z ( ˆ ) ve her.. Q j ç z ( ) z ( ˆ ) olacak Ģeklde j j ˆ ( ) H uygu çözüü evcuttur. ( z ( )) z ( ) e göre kes ooto arta olduğuda H H bazı j ler ç ( z ( )) (( z ( ˆ )) ve her.. Q j ç j j j j H H ( z ( )) (( z( )) ˆ deektr. Böylece ( z ( )) ( z ( ˆ )) ˆ H H... Q... Q elde ederz k bu da ya ya da olarak ( ) ı yegae optal çözü olasıyla çelģr. ˆ ˆ Teore spatı böylece taalaır Açıklayıcı Örek: (5.) proble ele alalı. Çzelge 5. gözöüe alarak (5.4) de taılaa hperbolk üyelk foksyo ç 3 bç paraetre değerler z z z z z z olarak seçel. (5.8) odele karģılık kurula; Aaç: Kısıtlar: a 4 z z z( ) 4 z z z( ) 4 z z 3 3 3z3( ) ( ) 0

125 o-leer progralaa problede elde edle paraetre değerler yere yazılıp gerekl düzeleeler yapılırsa proble: Aaç: Kısıtlar: a ( ) 0 Ģekle döüģür. Bu o-leer proble GAMS paket prograı le çözülerek 4 0 ve ( ) ( ) zayıf pareto-optal çözüü Pareto-optallk test gereğ ayı zaada pareto-optal çözüü elde edlr. 4 tah ( ) çözü takıı döüģüüde 0.5 buluur. O halde (5.) proble ç optal ( ) ( tah ( ) ) ( ) dır. (5.) proble ç ( ) z 3 aaçlarıa karģılık [ z z ] aralığıda z( ) ya göre kes ooto arta olarak kurula H ( z ( )) hperbolk üyelk foksyolarıı e ( z( )) z e z( ) z( ) ( ) e e z ( ) e ( z( )) e z( ) z( ) e z( ) z( ) e ve e 3( z3( )) e z3( ) z3( ) e z3( ) z3( ) e

126 3 aa çz prograı ġekl 5.4 de verlģtr. (008) le çzle grafkler sırasıyla ġekl 5. ġekl 5.3 ve 0.9 fu ġekl 5. ( z ( )) hperbolk üyelk foksyou ġekl 5.3 ( z ( )) hperbolk üyelk foksyou fu ġekl 5.4 ( z ( )) 3 3 hperbolk üyelk foksyou

127 Üstel Üyelk Foksyoları le ÇALKTP çözüü Çok aaçlı LP problelerde üstel üyelk foksyouu kullaaı k avatajı vardır. Brcs çarpı ve dğer çeģtl o-leer brleģtre operatörler kullaıldığıda elde edle o-leer probleler leer problee döüģtürüleblr. Ġkcs de bazı pratk uygulaalarda leer üyelk foksyolar yere üstel üyelk foksyoları kullaa le gerçek yaģa probleler daha y yasıtılaktadır (L ve Lee 99). Acak leer kesrl foksyolarla çalıģırke üstel üyelk foksyoları kullaa le elde edle avataj oleer proble leer problee drgees yere gerçek yaģa probleler daha gerçekç tesl edlesdr. L ve Lee (99) tarafıda taılaa üstel üyelk foksyouda faydalaarak E ÇALKTP. leer kesrl aaç foksyoua karģılık ( z ( )) üstel üyelk foksyouu: a ( z z ) ep ( ) ( ] E z z ( z( )) z z dğer duruda (5.9) olarak taılayalı. Burada a.. Q bç paraetres olarak br ayarlaa çarpaıdır. a.. Q L ve Lee (99) tarafıda a 3 olarak alııģtır. (5.9) dak üstel üyelk foksyou aģağıdak özellklere sahptr: E ( z ( )) üyelk foksyou [ z z ] aralığıda z ( ) e göre kes ooto arta foksyodur. E E z ( z ] ç 0 ( z ( )) ve ( z ( )) dr. E z gttkçe ( z ( )) 0 olur.

128 5 ġekl 5.5. Üstel Üyelk Foksyou (5.7) dek Zera ı operatör odel ve (5.9) dak üstel üyelk foksyouu kullaarak Aaç: a a ( z z) Kısıtlar: ep ( )..Q (5.0) z z 0 o-leer progralaa proble elde ederz. S E ( z ( )) üstel üyelk foksyoları ve z ( ) leer kesrl foksyolar her ksde oleer yapıda olduğuda (5.9) forülasyouda bastlğ sağlaak ç L ve Lee (99) döüģüüü uygulayablrz. Burada l alıırsa a z z a z z ep ( ) ( ) l ( ) ( ) z z z z a z z ( ) l ( ) z z a z z ( ) ( ) z z 0 0

129 6 a ( z z) E z z z ( ) ( ) 0 elde edlr. O halde (5.0) proble Aaç: a ( z z) Kısıtlar: ( )..Q (5.) z z a z z ( ) 0 ( ) z z S 0 problee drger. Bu proble z ( ) leer kesrl aaç foksyoları ve değģkede dolayı hala o-leer yapıdadır. Dolayısıyla üstel üyelk foksyolarıı kullaa avatajı o-leer proble leer progralaa problee drgees değl gerçek yaģa probleler bu kullaı yoluyla y tesl edlesdr. (5.) proble optal çözüü ( ) se l döüģüü le ÇALKTP Pareto-optal çözüü ( ) ( e ) olur Açıklayıcı Örek (5.) proble ele alalı. (5.9) da taılaa üstel üyelk foksyou ç bç paraetres a 3 olarak seçel. (5.0) odele karģılık kurula; Aaç: a Kısıtlar: ( z ( ) z ) ep ( ) z z ( z ( ) z ) ep ( ) z z3 ( z ( ) z ) ep ( ) z z ( ) 0 0 o-leer progralaa problede Çzelge 5. döüģüüü yaparak gözöüe alarak ve l

130 7 Aaç: Kısıtlar: ( ) 0 0 proble elde ederz. Bu proble GAMS paket prograı le çözülerek ( ) ( ).055 ve zayıf pareto-optal çözüü elde edlr. Pareto-optallk test yapıldığıda bu çözüü ayı zaada Pareto-optal çözü olduğu görülür. l döüģüüde optal değer buluur. O halde (5.) proble ç optal çözü takıı ( ) ( ) dır. (5.) proble ç ( ) z 3 aaçlarıa karģılık [ z z ] aralığıda z( ) ya göre kes ooto arta olarak kurula z ( ) ( z( )) ep( ) z( ) ( z( )) ep( ) z ( ) ( z3( )) ep( ) E ( z ( )) üstel üyelk foksyolarıı

131 8 aa çz prograı ġekl 5.8 de verlģtr. (008) le çzle grafkler sırasıyla ġekl 5.6 ġekl 5.7 ve ġekl 5.6 ( z ( )) üstel üyelk foksyou %e^( ) ġekl 5.7 ( z ( )) üstel üyelk foksyou 6e %e^(-3.47) 5e+006 4e+006 3e+006 e+006 e ġekl 5.8 ( z ( )) 3 3 üstel üyelk foksyou

132 Parçalı Leer Üyelk Foksyou Çok krterl progralaa odeller ele ala bulaık leer progralaa (BLP) problede leer üyelk foksyoları kullaıldıysa proble tek aaçlı br LP problee döüģtürüleblr. Böylece döüģtürülüģ odel herhag br leer progralaa algortasıyla çözüleblr. Çok geel o-leer üyelk foksyolarıı kullaııda döüģtüre proses br hayl karıģıktır. No-leer üyelk foksyolarıa parça parça leer foksyolarla (pecewse lear approato) yaklaģarak o-leer progralaa odeller br dz leer progralaa odellere drgeeblr. Çok sayıda leer yaklaģı yapak ya çok sayıda doğru parçasıyla yaklaģak kabul edleblr br hassaslık sağlar. Acak bua karģılık döüģüģ odelde kısıt sayısı dolayısıyla proble çözüüde yapıla Ģle hac artar. Böylece tpk br bulaık o-leer üyelk foksyou sadece kokav koveks veya S -bçl yapıda olduğuda leer yaklaģıları sayısı al olalıdır. AĢağıda parçalı leer üyelk foksyolarıı kullaa Haa ı (Haa 98) ve Yag ve dğerler (Yag vd. 99) BLP ç verdğ yaklaģılar ÇALKTP e uygulaacak ve yaklaģılarıız teel örek proble üzerde açıklaacaktır Haa ı YaklaĢıı (Haa 98) E.L.Haa (Haa 98) Leberlg hperbolk üyelk foksyouda farklı ola ve parçalı leer üyelk foksyouu kullaa br yaklaģı öerģtr. Bu yaklaģı Zera ı leer üyelk foksyouu br uzatısıdır. YaklaĢıda KV ÇALP probledek z ( ) dereces belrledğ varsayılaktadır. aaç foksyouu çeģtl değerler ç üyelk foksyolarıı Haa ı parçalı leer üyelk foksyouda faydalaarak ÇALKTP. leer kesrl aaç foksyoua karģılık ( z ( )) PL parçalı leer üyelk foksyouu: N PL ( z ( )) j z( ) g j z( ) j (5.) olarak taılayalı. Burada ( t t ) / ; j j j ( t t ) / ; N

133 0 ( s s ) /.. Q ; j.. N ( N parçalaa oktalarıı sayısı) N dır. Her br g z ( ) g r r doğru parçası ç bu parçalı leer üyelk foksyouu PL ( z( )) t r z( ) s r olduğuu kabul edyoruz. Burada tr ve s ler sırasıyla PL [ g r gr ] aralığıda ( z( )) u eğ ve eksede kestğ oktayı PL gösterektedr. ( z( )) değerler üyelk dereces gösterdğde tü z ( ) r PL..Q ler ç 0 ( z ( )) dr. ġekl 5.9 ( z ( )) PL parçalı leer üyelk foksyou. KV bulaık hedeflere göre kurula parçalı leer üyelk foksyou kullaılarak ÇALKTP ç Zera ı operatör odel: Aaç: a PL Kısıtlar: ( z ( )).. Q (5.3) S 0 Ģekldedr. Bu proble hedef progralaa proble olarak fade etek üzere g j değer j. oktada. leer kesrl aaç foksyou z ( ) ç hedef değer olarak; j ve d d j değģkeler de j. okta ç sapa değģkeler olarak taılayalı. O halde proble ç hedef kısıtlarıı

134 z ( ) d d g N N N z ( ) d d g Ģeklde yazablrz. Böylece Haa ı yaklaģııda faydalaarak leer üyelk foksyou ( z ( )) PL parçalı N PL j j j j ( z ( )) ( d d ) z ( ).. Q olur. Böylece (5.3) proble aģağıdak hedef tpl kısıtlara sahp br o-leer progralaa problee döüģür: Aaç: a Kısıtlar: ( z ( )) ( d d ) z ( ).. Q (5.4)..Q ; j.. N S 0 d 0 d 0..Q ; j.. N Ayrıca Haa 98 dek çalıģasıda bulaık karar yere herbr parçalı leer üyelk foksyou ç ( 0 ˆ ).. Q hedef değerler ve hedefler arasıda P l... L öcelkler belrleģtr (Sakawa993 sayfa 75). Böylece çok aaçlı o-leer kesrl taģıa problez aģağıdak geel bulaık o-leer hedef progralaa taģıa problee döüģtüreblrz: N PL j j j z ( ) d d g j j j j ˆ j l

135 Aaç: L P ( ) l l e I l PL Kısıtlar: ( z ( )) e e ˆ.. Q (5.5) z ( ) d d g j j j..q ; j.. N S 0 d j 0 d j 0.. Q ; j.. N e 0 e 0.. Q Burada I l. öcelk sııfıdak aaç foksyolarıı ds kües ve e l e lerde sapa değģkeler gösterektedr. Elde edle ( ) çözüüü Pareto-optallğ ç Pareto-optallk test yapılır ve herbr aaç ç ( z ( )).. Q tat sevyeler buluur. Açıklayıcı Örek : Kısı de verle Teel Örek Proble ele alalı. KV tarafıda sağlaa z ( ) z ( ) z ( ) 3 aaç foksyo değerler ve karģılık gele üyelk foksyo dereceler sırasıyla Çzelge 5.4 Çzelge 5.5 ve Çzelge 5.6 da verlģtr.

136 3 Çzelge 5.4 ( z ( )) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles KV de sağlaa blgler Üyelk foksyouu leer parçalarıı elde edles ( z( )) z ( ) ( z( )) t r z( ) s r r 3 0 g0 z g t s ( z( )) tz ( ) ( z ( )) 8.88 z ( ) g g t s ( z( )) t z( ) ( z ( )) z ( ) g.0957 g3 z t s3 ( z( )) t3z ( ) ( z ( )) z ( )

137 4 Çzelge 5.5 ( z ( )) parçalı leer üyelk foksyouu elde edles KV de sağlaa blgler Üyelk foksyouu leer parçalarıı elde edles ( z( )) z ( ) ( z( )) t r z( ) s r r 3 0 g0 z g t s ( z( )) tz( ) ( z ( )) z ( ) g g t s ( z( )) tz( ).7694 ( z ( )).7409 z ( ) g g3 z t s3 ( z( )) t3z( ).964 ( z ( )) z ( ).964 3

138 5 Çzelge 5.6 ( z ( )) 3 3 parçalı leer üyelk foksyouu elde edles KV de sağlaa blgler Üyelk foksyouu leer parçalarıı elde edles 3( z3( )) z ( ) 3 3( z3( )) t3 r z3( ) s3 r r 3 0 g30 z g t s3 3( z3( )) tz ( ) ( z ( )) z ( ) g g t s3 3( z3( )) t3z3( ) ( z ( )) z ( ) g3.754 g33 z t s33 3( z3( )) t33z3( ) ( z ( )) z ( ) Yukarıdak verlerde yararlaarak herbr aaca at elde edle parçalı leer üyelk foksyoları sırasıyla: 0 z( ).059 ( z( ) 8.88 z( ) z( ).0836 ( z( )) ( z( ) z( ) z( ) ( z( ) z( ) z( ). z( ). 0 z( ) 4.38 ( z( ) z( ) z( ) ( z( )) ( z( ).7409 z( ) z( ) ( z( ) z( ) z( ) 4.97 z( ) 4.97 (5.6) (5.7)

139 6 0 z3( ).687 3( z3( ) z3( ) z3( ) ( z3( )) 3( z3( ) z3( ) z3( ) ( z3( ) z3( ) z3( ).736 z3( ).736 (5.8) Ģeklde yazılablr. Bu üyelk foksyoları sırasıyla ġekl 5. ġekl 5.3 ġekl 5.4 de gösterlģtr. ġekl 5. ( z ( )) parçalı leer üyelk foksyou ġekl 5.3 ( z ( )) parçalı leer üyelk foksyou

140 7 ġekl 5.4 ( z ( )) 3 3 parçalı leer üyelk foksyou Haa ı yaklaģııda ve Çzelge 5.4 Çzelge 5.5 Çzelge 5.6 dak verlerde PL faydalaarak her br aaca karģılık gele ( z ( )) 3 parçalı leer üyelk foksyoları: ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) t t t t t t s s ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) t t t t t t s s ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) ( z ( )).0049 ( d d ) ( d d ) z ( ).9564 ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) t t t t t t s s ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) ( z ( )) ( d d ) ( d d ) 8.75 z ( ) ve hedef kısıtları:

141 8 z ( ) d d g z ( ) d d.0836 z ( ) d d g z ( ) d d.0957 z ( ) d d g z ( ) d d z ( ) d d g z ( ) d d z ( ) d d g z ( ) d d z ( ) d d g z ( ) d d yazılablr. Böylece ÇALKTP ç Zera ı operatör odel aģağıdak hedef tpl kısıtlara sahp br o-leer progralaa problee döüģür: Aaç: a Kısıtlar: ( z ( ) ( d d ) ( d d ) z ( ) ( z ( ).0049 ( d d ) ( d d ) z ( ).9564 ( z ( ) ( d d ) ( d d ) 8.75 z ( ) z ( ) d d.0836 z d d z ( ) d d z ( ) d d (5.9) z ( ) d d d 0 d 0 3; j ( ) z3 d3 d3 j j ( ).754 Herbr parçalı leer üyelk foksyou ç hedef değer ˆ 3 ve hedefler arasıda P l... L öcelkler kullaılarak da çok aaçlı o-leer kesrl taģıa l proble aģağıdak bulaık o-leer hedef progralaa problee döüģtürüleblr:

142 9 Aaç: e e e 3 e e e 3 ( ) Kısıtlar: ( z ( )) ( d d ) ( d d ) z ( ) e e ˆ ( z ( )).0049 ( d d ) ( d d ) z ( ).9564 e e ˆ ( z ( ) ( d d ) ( d d ) 8.75 z ( ) e e ˆ z ( ) d d.0836 z ( ) d d.0957 (5.30) z ( ) d d z d d z ( ) d d.7375 ( ) z3 d3 d3 ( ) d 0 d 0 e 0 e 0 3; j. j j Burada e 0 e 0 3 üyelk foksyoları le lgl d 0 d 0 3 j j j de aaç foksyoları le lgl sapa değģkeler gösterektedr. (5.30) proble GAMS paket prograı le çözülür. Elde edle zayıf Pareto-optal oktası Pareto-optallk test gereğ alteratf çözü oladığıda ayı zaada Pareto-optal oktadır. Ayrıca örek proble dğer souçları olarak: sapa değģkeler e e 0 e 0 e 0 e 3 0 e 3 0 d 0.07 d 0 0 d 0.05 d 0 d d d 0 d 0.39 d d d 3 0 d ; aaç foksyo değerler z ( ).0865 z ( ) z ( ) ; aaçlarda sağlaa tat dereceler ( z ( )) ( z ( )) 0 ( z ( )) 0 elde edlģtr. Dolayısıyla (5.9) 3 3 ( ) ( ) proble ç 0 dır Yag ve dğerler YaklaĢıı (Yag vd. 99) Yag ve dğerler (99) bulaık çok aaçlı leer progralaa probleler çözek ç o-leer üyelk foksyolarıa parçalı leer foksyolarla yaklaģa; leer ve/veya tasayı progralaa etotlarıı üstülüğüde yararlaa; Haa ı yaklaģııa göre daha avatajlı ola br etot öerģtr. Bu etotta bütü üyelk foksyolarıı tüü kokav se döüģüģ odel br LP odel olur; eğer herhag br üyelk foksyou o-

143 30 kokav (ya koveks ya da S -bçl) se bulaık çok aaçlı leer progralaa odel he sürekl he de 0 bary değģkelere sahp br tasayılı LP odele döüģür. Br S -bçl üyelk foksyou koveks ve kokav kısılarıa bölüeblr. Kokav kısılarıdak doğru parçaları hçbr ayrık değģke kullaııı gerektredğde odeldek bary değģkeler sayısı koveks kısılarıı brleģtre doğru parçalarıı sayısıyla sıırlıdır. () Kokav Parçalı Leer Üyelk Foksyou Yag ve dğerler yaklaģııda kokav br üyelk foksyoua N sayıda doğru parçaları le yaklaģılaktadır. Yöte açıklaak ç ġekl 5.5 dek gb parçalı leer kokav üyelk foksyouu ve gb k tae doğru parçasıı brleģ olarak alalı. Ya [ b d b ] aralığıda kokav üyelk foksyou fades le oluģturulur. ġekl 5.5 Parçalı leer kokav üyelk foksyou Br parçalı leer üyelk foksyou le br bulaık hedef bast leer üyelk foksyoları le brçok hedefe bölüeblr. Öreğ ġekl 5.5 dek gb KV. aaç foksyoua at üyelk foksyou ( z ( ))