YAPISAL İZLEME ANALİZLERİNDE ÇOK DEĞİŞKENLİ KONTROL GRAFİĞİ YAKLAŞIMI

Transkript

1 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ YAPISAL İZLEME ANALİZLERİNDE ÇOK DEĞİŞKENLİ KONTROL GRAFİĞİ YAKLAŞIMI H. Pehliva, Ö. Aydı Gebze Yükek Tekoloji Etitüü, Jeodezi ve Fotogrametri Mühediliği Bölümü, 4400, Gebze, Kocaeli. hpehliva@gyte.edu.tr Yıldız Tekik Üiveritei, Harita Mühediliği Bölümü, 340, Davutpaşa, İtabul. oaydi@yildiz.edu.tr ÖZET Yapı hareketlerii icelemeide; duyarlılıkları farklı, örekleme aralıkları eşit ve korelayolu çok ayıda değişkei aalizi öz kouudur. Yapıı hareket ürecii modelleye zama erilerii birlikte değerledirmei bir yötemi de çok değişkeli kotrol itatitiğidir. Çok değişkeli itatitik ile bir ürece ait değişkeleri hagi zama dilimide aıl değiştiği ve üreci aıl etkilediği belirleebilmektedir. Her bir erii tek değişkeli grafiğii icelemek yerie bir tae çok değişkeli kotrol grafiğii oluşturmak kullaıla farklı bir yaklaşımdır. Çok değişkeli kotrol yötemleri değişkeler araıdaki korelayou da dikkate aldığı içi tercih edile bir yötemdir. Bu çalışmada; GPS, eğim ölçer ve aemometre aletleri kullaılarak, -9 Kaım 007 tarihleri araıda kayıt edile, koum-eğim değişimi, rüzgar ve ıcaklık değişkeleri kullaılmıştır. Bu verilerde, çoklu itatitik aaliz yötemi ola Hotellig i T itatitiğie dayaılarak, çok değişkeli kotrol grafiği oluşturulmuştur. Çalışmada MATLAB 7.0 ortamıda hazırlaa bir algoritma geliştirilmiştir. Hazırlaa çok değişkeli kotrol grafiğide, 3, 6, 7 ve 9. gülerde öemli olayları gerçekleştiği alaşılmıştır. Çok değişkeli kotrol grafiklerii, yapı hareketlerii gerçek zamalı izlemeide, Coğrafi Bilgi Sitemi kapamıda bir yötem olarak kullaılabileceği oucua varılmıştır. Aahtar Sözcükler: Hotellig T, Çok Değişkeli Kotrol Grafiği, Yapıal İzleme, GPS MULTIVARIATE GRAPHIC CONTROL APPROACH IN ANALYSIS OF MONITORING STRUCTURAL ABSTRACT I the reearch of buildig movemet, the aalyi of variable which have differet eitivee, amplig iterval ad are correlated i the cae. Oe of the method to evaluate the time erie together which i modelig the movemet proce of the buildig i the multivariable cotrol tatitic. With the help of multi variable tatitic, the variatio of variable i ay proce i ay time iterval ad it effect o the proce ca be determied. The ue of a multivariable cotrol graphic i a alterative approach itead of examiig the igle variable graphic of each erie. The multivariable cotrol method i the preferred oe ice the correlatio betwee the variable i coidered. I thi reearch, the poitio-lope variatio, wid ad temperature variable which were recorded by GPS, icliometer ad aemometer betwee th ad 9th of November at 007 were ued. A multivariable cotrol graphic wa formed by thee data with the help of the Hotellig T multi tatitic aalyi techique. A algorithm wa alo developed with the ue of MATLAB 7.0. It wa ee that the multivariable cotrol graphic had preeted ome importat evet which happeed at 3rd, 6th, 7th ad 9th day. It i cocluded that the multivariable cotrol graphic hould be ued a a method withi the cotext of Geographical Iformatio Sytem to moitor the real time buildig movemet. Keyword: Hotellig T, multivariable cotrol graphic, tructural moitorig, GPS. GİRİŞ Büyük ölçekte ve kritik öeme ahip mühedilik yapıları bütü düyada olduğu gibi ülkemizde de yaygılaşmaktadır. Bu yapıları diamik davraışlarıı izlemek ve hakkıda yargılara varmak içi ürekli ya da periyodik ölçümler yapılmaı gerekmektedir. Mühedilik yapılarıı hareketlerii etkileye etki ve tepki yüklerii zamaa göre değişimi; jeodezik, geotekik ve meteorolojik ölçme aletleri kullaılarak belirleebilmektedir. Yapıı hareket ürecii modelleye birbiri ile korelayolu bu zama erilerii aalizi kouuda farklı yaklaşımlar ve çözüm tekikleri kullaılmıştır. Tek değişkeli kotrol grafikleri (Shewhart grafikleri), bir üreci modelleye her bir zama eriii hata ve tred bileşeleri içi icelemeide kullaıla e bait yötemdir. Acak bu durumda, diğer değişkeleri etkii ya da değişkeler araıdaki ilişki göz ardı edilmektedir. Bu durum çok ayıda grafik icelemeie ede olmakta ve değişkeler araıdaki ilişki (korelayo) yok ayılacağıda değişkeleri hatalı yorumlamaıa da ede olmaktadır (Barbara ve Lida, 989, Morrio, 990, Barett 994). Gözlemlee bir üreçteki ai değişimleri belirlemek ve hata kayaklarıı ortaya çıkarmak içi yaygı şekilde kullaıla çok değişkeli kotrol grafiği yötemi, Hotellig i T grafiğidir. Harold Hotellig tarafıda geliştirile Hotellig T çok değişkeli kotrol grafiği, heaplamaları baitliği edeiyle 947 de beri kullaıla bir yötemdir. Tek değişkeli 05

2 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ çizelgeleri yakalayamadığı kotrol dışı oktaları Hotellig i T çizelgei ile yakalamak mümküdür. T itatitiği, tek değişkeli tudet-t itatitiğii çok değişkeli duruma geişletilmiş halidir. Çok değişkeli ormal dağılıma ahip ortalama vektörüü bir abit değere eşit olup olmadığıı tet edildiği hipotez tetleride kullaılır. Bu itatitiği Hotellig i T çizelgelerie uyarlamaı ile ortalama vektörüdeki kayma belirleir. Bir ürece ait çok değişkeli gözlem değerleride bir T itatitik değeri üretildiğide; bu değerler zama ıraıyla Hotellig T çizelgeleride göterilir. Hotellig T çizelgeleride, değişkeler araıdaki korelayo yapııı heaba kata T itatitiğie dayalı eliptik bir kotrol bölgei kullaılmaktadır (Ogaja vd., 006). Korelayo yapııı dikkate ala bu çizelgeler, kotrol dışı durumları doğru şekilde aptamaktadır, acak çok değişkeli gözlem değerlerii tek bir T değerie idirgemei Hotellig i T çizelgelerii yorumuu zorlaştırmaktadır (Mao, 00). Hotellig i T çizelgelerii öemli bir dezavatajı üreçte kotrol dışı durumu doğru şekilde belirlemeie rağme hagi değişke ya da değişke grubuu kotrol dışı olduğu kouuda bilgi vermemeidir (Tracy vd., 995).. ÇOK DEĞİŞKENLİ KONTROL GRAFİK HESAPLAMALARI Geel olarak deetim grafikleri iki aşamada gerçekleştirilir. Birici aşamada ürece ait tüm erileri itatitikel kotrolü yapılır ve kotrol ıırları buluur. Bu aşamada üreci ormal dağılımlı ve abit değişimli olduğu kabul edilir. Süreç ortalama vektörü ve varya-kovarya matrii tahmi edildikte ora çizelgei üt kotrol ıırı heaplaır. Bu aşamada üreci izleme amaçları doğrultuuda, kotrol ıırlarıı aptamak içi bir veri grubu elde edilir. Bu küme kullaılarak Hotellig i T çizelgei oluşturulur. İkici aşamada üreçte heaplaa T itatitik değerleri gözlem ıraıyla çizelgeye yerleştirilerek üt kotrol ıırıı ütüde bir değer buluup bulumadığı takip edilir (Mao 00). Böyle bir değer, kotrol dışı durum iyali olarak değerledirilir ve olaı hata kayakları araştırılır. Çok değişkeli üreci ortalamaıı kotrolde olup olmadığı izleir. Ortalama ve tadart apma ıfır ya da ıfıra yakı bir değer olduğuda; Kotrolde kavramı, Çok değişkeli üreci ortalamaıı değişmei; Kotrol dışı kavramıyla belirtilir. I. Aşama İlk aşamada; kotrol ıırlarıı belirlemede öce üreci kotrolde olup olmadığı tet edilir. kotrol vektörüü; μ ortalama vektörü ve Σ pxp boyutlu kovarya matrii ifade etmek üzere, çok değişkeli ormal dağılım izleyip izlemediği ki-kare teti ile belirleir. χ = T ( μ) Σ x ( x μ) () eşitliğide bulua değerler, ortalamaı μ ya eşit olmaı durumuda, erbetlik derecei ile kikare dağılımı yapacaktır (Seber, 984). Çok değişkeli bir ki-kare grafiği, α = 0.0 ya da α = 0.05 güve aralığıda χ de kotrol ıırları; alt kotrol ıırı : α, AKS = χ ( α /; p) () ve üt kotrol ıırı : UKS = χ ( α / ; p) (3) şeklidedir. Burada χ ( α; p), p erbetlik değerleri ile ki kare dağılımıı -α yüzdelik değeridir. () eşitliğideki χ, μ ortalama değeride her bir oktaı ağırlıklı uzaklığıı göterir (Mahalaobi meafei). Böylece elip merkezi; μ ortalamaı ve elip yarıçapı; üt kotrol ıırı ile bulua değer 06

3 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ olmak üzere, bir güve elipi taımlamış olur. Burada değişkeleri güve elipi içide olup olmadıkları kotrol edilebilir. İlk örek kümeide kotrol dışı gözlemler aptaarak kümede atılır. Daha ora, eş zamalı olarak ölçülmüş p adet değişkei deetim ıırları; Σ kovarya matriii bilimediği ve bir alt grup veride tahmi edilmei gerektiği zama Hotellig i T itatitiği ile heaplaabilir. Ölçüm ayıı ola, p adet değişkei oluşturduğu, (px) boyutuda veri matrii, X X K X = M O M X p X L p (4) şeklidedir. Bu matrite; : toplam ölçüm ayııı, p: toplam değişke ayııı, X ij : i değişkeii j değerii götermektedir. Her bir gözlem eriii oluşturduğu ayıda gözlem değeride oluşa p adet değişkeler matrii, X i x p T = x x L (5) vektörleride oluşur. X matriii her bir atır vektörüü ortalamaları; X i = X j= ij (6) eşitliği ile değişkeii aritmetik ortalamaı heaplaır. Her bir eriii ortalamaları; M =... o xx x p (7) eşitliğide heaplaarak, xp boyutuda M o ortalamalar matrii elde edilir. değişkeii tadart apmaı: S i ( xij xi) = j= (8) eşitliği ile heaplaır. i değişkeii j gözlemi içi tadartlaştırılmış değeri: Z ij = ( x ) ij xi i i=,,,p, j=,,, (9) eşitliğide heaplaır. Z= ( Z,Z,...Z p) vektörleride oluşa (px) boyutuda tadartlaştırılmış veri matrii; Z K Z Z = M O M Zp Z L p (0) 07

4 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ şeklidedir. Her değişkee ait ayıal değerlerde o değişke atırıı aritmetik ortalamaı ( X i ) çıkarılıp, ayı değişkei tadart apmaıa ( S i ) bölüerek veri tadartlaştırılmış olur. Bu şekilde elde edile tadartlaştırılmış değişkeleri aritmetik ortalamaları 0, tadart apmaları 'dir. elemalı, p değişkeli eriler içi pxp boyutlu S varya kovarya matrii; S = ( xi x)( xi x) i= () eşitliğide heaplaır. Burada S varya kovarya matrii tadartlaştırılmış verilerde heapladığıda; x i gözlemlerii ikişerli korelayo katayılarıı temil eder. r K r p R = M O M rp r L pp () R, (pxp) boyutuda, tadartlaştırılmış değişkeler araı korelayo matriidir. Z i ile Z k araıdaki kovarya, (( i)( k) ) Cov( Z, Z ) = S = Z Z Z Z i k ik ij kj j= (3) şeklide olduğuda, i değişkei ile k değişkei araıdaki korelayo katayıı; i =,,..., p, k =,,..., p, r = r ik ik r, i kolmak üzere; ki j= ( ( zij zi)( z kj zk) ) ( i) ( k) Cov( zi, zk) = = Var ( zi) Var ( zk) z z z z (4) j= ij j= kj eşitliğide heaplaır. Korelayo katayıı ile iki değişke araıdaki ilişkii derecei, yöü ve itatitikel açıda öemli olup olmadığı aptaır. Burada ikili ilişkiler alamlı ie çok değişkeli deetim grafiklerii çizmek içi uygudur oucua varılır. Hotellig i T itatitiğie dayaarak çok değişkeli bir deetim grafiği oluşturmak içi, x i gözlemide grafik itatitiği kullaılır. ( i ) ( i ) T = M M S M M (5) eşitliği ile çok değişkeli T meafei buluur. Daha ora F dağılımı kullaılarak bir üt kotrol ıırı (T UKS) elde edilir. mx boyutlu bir çok değişkeli gözlem vektörü ve m elemalı bir alt grup gözlemlere dayaa S tahmii içi; 08

5 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ T UKS ( m ) = F m m α ( m, ) ( ) (6) Üt kotrol ıır değeri buluur. Burada Fα (, m ) ifadeide; (,m-) erbetlik derecei ile F dağılımıı göterir. Eşitlik (5) e göre heaplaa m adet değerde, eşitlik (6) da verile kotrol ıırıı aşalar, ilk veri kümeide atılır, azala m değerie göre; yei kotrol ıırı ve T değerleri heaplaıp çizilir. Bu veri atma işlemi kotrol ıırları dışıda okta kalmayaa kadar tekrar edilir. Bazı durumlarda, işlem üç-dört kez tekrar ettiği halde ıırlar dışıda bazı oktalar kalır; bu oktalar içi herhagi bir olaı hata kayağı aptaamıyora işlem durdurulabilir. II. Aşama Veri atma işlemii ardıda elde edile refera veri kümeii hacmie diyelim. i gözlemi ola y i i, y ve S de bağımız olduğu düşüülüre, T itatitiği p ve m-p erbetlik değerleri ile F dağılımıı izler. Bu durumda ikici aşamada kullaılacak üt kotrol ıırı; UKS = ve alt kotrol ıırı: AKS = ( + )( m ) p m F ( m ) m p ( )( + ) ( α ; pm ; p) p F ( ) p p α p ( ; ; ) (7) (8) eşitlikleride heaplaır ve T değeri şöyle yazılır: ( ) ( i )( ) ( ) T = y y S y y (9) i i i Burada; Fα, p, m p, p ve m -p erbetlik derecei değerleri ile F dağılımıı -α yüzdelik değeridir. Ayrıca (9) eşitliğide ve S i refera veri kümeide tahmi edildiğie dikkat edilmelidir; burada (7) ve (9) eşitlikleride, m yerie m kullaılarak refera veri kümeie uygulamalıdır. Acak yapıla tet çalışmaları, m > 5 ie birici ve ikici aşama kotrol ıırları yerie yaklaşık bir değer olarak p erbetlik dereceli ki-kare dağılım yüzdeliği kullaılmaktadır. Birçok durum içi AKS ıfır olarak kabul edilebilir. Buu edei, ortalamadaki herhagi bir apmaı T itatitiğide her zama bir artışa ebep olmaı ve bu yüzde AKS i yok ayılmaıdır. T, adece ortalama vektörüdeki apmalara değil kovarya matriideki değişikliklere de bağlıdır. Kovarya matrii değişmek üzere ie bu durum T i aormal derecede ki küçük değerler almaıyla ouçlaabilir. Bua bezer değişiklikleri aptamaı içi ıfırda farklı bir AKS gereklidir. 3. TEST ÖLÇÜLERİNİN ANALİZİ Tet çalışmaıda (Pehliva, H., doktora tezi kapamıda); -9 Şubat 007 tarihleri araıda kayıt edile GPS, eğim ölçer, rüzgar ve ıcaklık verileri çok değişkeli T çizelgei ile icelemiştir. GPS verii, 0 Hz örekleme oraı ile ± cm yatay ve ± cm düşey doğrulukla ölçülmüştür. Rüzgar ve ıcaklık ölçümleride; rüzgar hızı içi 0.0 m/, ıcaklık eörü içi yaklaşık olarak 0.5 o C doğrulukla, eğim ölçeri ölçme doğruluğu ie ± mrad dır (Pehliva, 009). Çoklu itatitik aaliz yötemi Hotellig i T itatitiğie dayaılarak, 9 gülük etki ve tepki erilerii çok değişkeli deetim grafiği ile icelemei amaçlamıştır. Tepki yükleri olarak X Y yölü GPS ve Nivel0 erileri; etki yükleri olarak rüzgar ve ıcaklık erileri kullaılmıştır. 09

6 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ Kaım, aat 00:00 da 9 Kaım, aat 4:00 e kadar ölçüle 9 gülük zama erileri dakika ile yeide öreklemiştir. GPS erileri zama boyutuda icelemiş kaba hataları filtrelemiş ve gürültü azaltma işlemi uygulamıştır. GPS gözlemlerii (GPSX, GPSY), eğim ölçer bileşeleri (EgimX, EgimY), rüzgar ve ıcaklık değişimlerii götere gözlem erileri Şekil de uulmuştur (Pehliva, 009). Şekil. Eş zamalı ölçülmüş etki ve tepki erileri Şekil. Stadartlaştırılmış etki ve tepki erileri 0

7 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ Şekil de tadartlaştırılmış zama erileri görülmektedir. Serileri ö değerledilimei, itatitikel ölçütler kullaılarak yapılmıştır. Değişkilere ait itatitik değerler Tablo de uulmuştur. Stadardize edilmiş eriler -5 ile +5 değerleri araıda olduğuda, değişkeler ormal bir dağılım izlemiştir. Herbir değişkei gözlem ayıı =960 ve değişke ayıı p=6 olmak üzere, ortalamalar matrii (7) eşitliğide; Mo=[ ] şeklide heaplamıştır. Tablo. -9 Kaım verileri itatitik bilgileri N (dk) Miimum Maximum Ortalama Std. Sapma GPS X (m) GPS Y (m) Nivel X (mrad) Nivel Y (mrad) Rüzgar (m/) Sıcaklık (C o ) Stadardize edilmiş erileri varya kovarya matrii () eşitliğide heaplamıştır. Heaplaa 6x6 boyutlu matri gözlemleri r korelayo matrii; r = şeklide heaplamıştır. Korelayoları kotrolüde birbiriyle ilişkiiz veri olmadığı alaşılmıştır. r k matriide 0 değeri değişke çiftler araıda bir ilişkii olduğuu göterir rk = Korelayo matriii köşege elemaları dışıdaki elemalarıda görüldüğü gibi altı değişke ikişerli olarak birbiriyle ilişkilidir. Birbiriyle korelayolu altı değişke içi çokdeğişkeli deetim grafiği oluşturmaı uygu olduğu oucua varılmıştır. Çokdeğişkeli bir deetim grafiği oluşturmak içi deetim ıırları ve bir grafikledirme itatitiği gereklidir. (5) eşitliği kullaılarak, T grafikledirme itatitiğii değerleri heaplamıştır. α = 0.0 olduğu (7) ve (8) eşitlikleri ile deetim ıırları: Üt kotrol ıırı (UKS), F tablouda 960 gözlem ve 6 değişke içi 3.09 değeri alıarak aşağıda ki şekilde heaplamıştır. (960 ) UKS = 960 (6 /(960 6 )) 3.09 = (6 /960 6 ) 3.09 AKS yaklaşık olarak ıfır kabul edilmiştir. T ve üt kotrol ıır değeri ile verilere ait çok değişkeli deetim grafiği zamaa bağlı olarak oluşturulmuş ve Şekil 3 te uulmuştur. Şekilde görüle deetim grafiği, deetim ıırları dışıda beş tepe oktaıı göterir. Deetim grafiğide, 3, 6, 7 ve 9. gülerde öemli olayları gerçekleştiği alaşılmaktadır. Çok değişkeli T değerii büyüklüğü, altı aa bileşede birii ya da birkaçıı etkii ile açıklaabilir. Zama ekeli etki yükleri

8 III. Uzakta Algılama ve Coğrafi Bilgi Sitemleri Sempozyumu, 3 Ekim 00, Gebze KOCAELİ icelediğide 3 Kaım güüde ıcaklığı etkili olduğu, 6 ve 7 Kaım güleride ai rüzgarıcaklık değişimlerii etkili olduğu, 9 kaım da azda ola ıcaklık değişimii etkili olduğu görülmüştür. 4. SONUÇ Şekil 3. Çok değişkeli deetim grafiği Çok değişkeli itatitikel aalizde, bir ürece ait adet ölçüm ve p adet değişke icelemektedir. Hotellig i T grafikleri ardışık zamalarda toplamış tek gözlemlere uygulaabileceği gibi altgruplar halide toplamış gözlemlere de uygulaabilir. Bu çalışmada tek gözlemler kullaıldığı içi, diğer bir ifade ile altgrup büyüklüğü bir alıdığı içi, çizelgei adece bu koşullarda kullaımı icelemiştir. Bu kapamda dokuz gülük ürede dakika periyotla ölçüle GPS, eğim, ıcaklık ve rüzgar bileşelerii Hotelli i T kotrol grafiği heaplamıştır. Heaplamada 6 adet değişkee ait 960 ölçüm değeri kullaılmıştır. Bu grafikte dört farklı güde, beş adet tepe oktaı tepit edilmiştir. Tepe oktaları altı aa bileşede birii ya da birkaçıı etkii ile açıklaabilir ve bu gülerde öemli olayları gerçekleştiği alaşılır. Sözkouu gülerde zama ekeli etki yükleri icelediğide ıcaklık değişimii etkili olduğu oucua varılmıştır. Bu bildiride çok değişkeli kotrol grafiği ile GPS ve yardımcı eör veriii tümü iceleerek, kotrol dışı durumlar belirlemiştir. Bütü değişkeleri birbiriyle ilişkili olmaı ve değişke ayııı çok fazla olmaı verii değerledirilmeii güçleştirmektedir. Çok değişkeli kotrol grafikleri, eş zamalı ölçümleri içere yapı izleme çalışmalarıda olduğu gibi birbiriyle ilişkili çok ayıda verii değerledirilmeide oldukça faydalı bir tekik olabilir. KAYNAKLAR Barbara G. T. ad Lida S. F., 989, Uig Multivariate Statitic. d ed. Harper & Row, New York. 746 pp. Barett, V., 994, Outlier i Statitical Data. 3rd ed. Wiley, Chicheter, New York. 584 pp. Mao, R.L., 00, Youg, J.C., Multivariate Statitical Proce Cotrol with Idutrial Applicatio, ASA- SIAM, Philadelphia. Morrio, D. F. 990, Multivariate Statitical Method. 3rd. McGraw-Hill, New York. 495p. Ogaja, C., Li X., Rizo C., 006, Advace i Structural Moitorig with Global Poitioig Sytem Techology: Pehliva H., 009, Gerçek Zamalı Kiematik GPS Yötemiyle Yapıları Diamik Davraışlarıı İcelemei, Doktora tezi, YTÜ, İtabul. Seber, G. A. F., 984, Multivariate Obervatio. Joh Wiley & So, New York. Tatlıdil H., 99, Uygulamalı Çok Değişkeli İtatitikel Aaliz,Akara,. Tracy, N.D., Youg, J.C., Mao, R. L., 995, Decompoitio of T for Multivariate Cotrol Chart Iterpretatio, Joural of Quality Techology, 7(),