ABRAC Maser hesis CHARACERIZAION OF HE HAZARD RAE OF YEM PARALLEL AND ERIE COMPOED OF WO OCHAICALLY DEPENDEN COMPONEN FOR OME BIVARIAE EXPONENIAL DIRI

Transkript

1 ÖZE Yüksek Lisans ezi OKAİK OLARAK BİRBİRLERİNE BAĞLI İKİ BİLEŞENİN OLUŞURDUĞU İEMLERİN ERİ-PARALEL BAZI İKİ BOYULU ÜEL DAĞILIMLAR İÇİN BOZULMA ORANLARININ ÖZELLİKLERİNİN BELİRLENMEİ Berna GÜVENDİREN Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehme YILMAZ Bileşenlerin orak yaşam zamanlarının iki boyl üsel dağılımlı oldğ drm göz önüne alınarak seri ve paralel sisemlerin bozlma oranlarının, bağımsız drmdaki sisemin bozlma oranlarına göre karşılaşırılması araşırılmışır. Blglar ışığında; Gmbel I., II. ve III. ip, Block ve Bas nn, Cowan ın, Marshall ve Olkin in ve ingprwalla ve Yongren in iki boyl üsel dağılımları için bozlma oranı sıralamaları elde edilmeye çalışılmışır. ıralama yapılmasının mümkün olmadığı bazı drmlar oraya çıkmışır, b drmlar için ise koşlları daha hafif olan sokasik sıralamanın yapılabildiği göserilmişir. Bnn yanında, bağımlı iki bileşenden olşan seri ve paralel sisemlerin bozlma oranlarının kendisini olşran bileşenininki gibi davranıp davranmadığı da araşırılmışır. emmz, 83 sayfa Anahar Kelimeler : Bozlma oranı, bozlma oranı sıralaması, bağımlı bileşenleri olan sisemler, iki boyl üsel dağılımlar i

2 ABRAC Maser hesis CHARACERIZAION OF HE HAZARD RAE OF YEM PARALLEL AND ERIE COMPOED OF WO OCHAICALLY DEPENDEN COMPONEN FOR OME BIVARIAE EXPONENIAL DIRIBUION Berna GÜVENDİREN Ankara Universiy Gradae chool Insie of Naral and ciences Deparmen of aisics pervisor: Asis Prof. Dr. Mehme YILMAZ We invesigae a comparison beween hazard raes of hose sysems and he hazard rae of sysem wih independen componens by considering he sysem series or parallel composed of wo componens having he bivariae exponenial disribion. In he ligh of hese findings; we ry o obain a hazard rae ordering for Gmbel ype I., II. ve III., Block and Bas s, Cowan s, Marshall and Olkin s and ingprwalla and Yongren s bivariae exponenial disribions. here are some siaions ha make imposible o have ordering, for hose siaions we show ha sochasic ordering which is he weaker cold be done. Besides, we find o ha wheher he hazard raes of he sysems series or parallel wih dependen componens behave like is componens or no. Jly, 83 pages Keywords : Hazard rae, hazard rae ordering, sysem wih dependen componens, bivariae exponenial disribions ii

3 EŞEKKÜR Çalışmalarımda bilgi ve önerilerini esirgemeyen, iizlikle desek veren danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Mehme YILMAZ a Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi ve eğiimin süresince gösermiş oldkları anlayış ve fedakarlıkan dolayı annem İffe ve babam Erdal a eşekkür ederim. Berna Güvendiren Ankara, emmz iii

4 İÇİNDEKİLER ÖZE... i ABRAC... ii EŞEKKÜR... iii ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii. GİRİŞ.... EMEL KAVRAMLAR isem Güvenilirlik isem Güvenilirliği Yaşlanma Kavramı....5 Bozlma Kavramı Aran bozlma oranı Increasing Failre Rae IFR kavramı Azalan bozlma oranı Decreasing Failre Rae DFR kavramı abi bozlma oranı Consan Failre Rae CFR Kavramı....6 Önceki Çalışmalar MAERYAL VE YÖNEM okasik ıralama Bozlma Oranı ıralaması Olabilirlik Oranı ıralaması Oralama Kalan Yaşam ıralaması Bileşenleri Bağımsız Olan İki Bileşenli isemlerin Karakerizasyon Bileşenleri Bağımlı Olan İki Bileşenli isemlerin Karakerizasyon Bazı İki Boyl Üsel Dağılımlar Gmbel İki Boyl Üsel Dağılım I. ip Model Gmbel İki Boyl Üsel Dağılım II. ip Model Gmbel İki Boyl Üsel Dağılım III. ip Model Block ve Bas nn İki Boyl Üsel Dağılımı Cowan ın İki Boyl Üsel Dağılımı Marshall ve Olkin in İki Boyl Üsel Dağılımı iv

5 3.7.7 ingprwalla ve Yongren in İki Boyl Üsel Dağılımı ARAŞIRMA BULGULARI Gmbel İki Boyl Üsel Dağılımı I. ip Model için Karakerizasyon Gmbel İki Boyl Üsel Dağılımı II. ip Model için Karakerizasyon Gmbel İki Boyl Üsel Dağılımı II. ip Model için Karakerizasyon Block ve Bas nn İki Boyl Üsel Dağılımı için Karakerizasyon Cowan ın İki Boyl Üsel Dağılımı için Karakerizasyon Marshall ve Olkin in İki Boyl Üsel Dağılımı için Karakerizasyon ingprwalla ve Yongren in İki Boyl Üsel Dağılımı için Karakerizasyon ARIŞMA VE ONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

6 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. isemlerin olşrlma biçimlerine göre göserimi... 5 Şekil. Havz sisemi... 7 Şekil.3 Paralel bağlı pompalar... 8 Şekil.4 Azalmayan bozlma oranı... 4 Şekil.5 Armayan bozlma oranı... 4 Şekil.6 Küve biçimli bozlma oranı... 5 Şekil.7 ers küve biçimli bozlma oranı... 5 Şekil.8 Modifiye küve biçimli bozlma oranı... 5 Şekil.9 Roller-Coaser şekilli bozlma oranı... 6 Şekil. Yararlı yaşam zamanı... 6 Şekil. Parçanın bozlma oranı ahmini... 9 Şekil. Paralel sisemin bozlma oranı ahmini... Şekil 3. eri bağlı piller... 3 Şekil 3. Karşılaşırmalı pil ömürleri... 3 vi

7 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge. özdeş pompadan bozlanların sayısı Çizelge. özdeş paralel sisemden bozlanların sayısı... 9 Çizelge 3. A marka pil ömrü... 3 Çizelge 3. B marka pil ömrü... 3 Çizelge 3.3 A marka pillerin kllanıldığı radyonn çalışma süreleri ve bozlma oranı... 3 Çizelge 3.4 B marka pillerin kllanıldığı radyonn çalışma süreleri ve bozlma oranı Çizelge 5. Monoonlk ve Bozlma Oranı ıralaması Çizelge 5. Bağımlılık Drm ve okasik ıralama vii

8 . GİRİŞ Bileşenleri yml bileşenin çalışıp çalışmama drm sisemin çalışma drmn ekileyen bileşenler olan sisemlerde genellikle bir bileşenin davranışı diğerini ekilemekedir. iseme gelen yükün paylaşımında veya bir şokn ekisinde iken bileşenlerin birbirinden bağımsız olarak davranması gerçek hayaa pek karşılaşılabilir bir drm değildir. Genellikle sisemi olşran parçalar birbirleri ile sokasik anlamda bir bağımlılık içindedir. Brada amaç, böyle bir bağımlılığın sisemin bozlma oranını nasıl ekilediğini araşırmakır. isem güvenirliğinin eorisi krlrken, sisemi olşran bileşenlerin birbirinden bağımsız oldğ düşünülmeke idi. Ancak, son zamanlardaki çalışmalar b bileşenlerin bağımlı oldğ drm veya en azından birlikelik içinde oldğ drm göz önüne almakadır. B koşllar alında, bileşenlerin çalışma zamanlarının rasgele değişken oldğ düşünülerek sisem güvenirliğinin hesaplanması, sisemin bozlma oranının hesaplanması ve b bozlma oranının monoonlğnn araşırılması konlarına lieraürde raslanmakadır. B ez çalışmasının ana eması; bazı iki boyl üsel dağılımların, bağımlı drmlarda sisemi olşran bileşenlerin orak dağılımları yardımı ile bağımsız drmdan bağımlı drma bozlma oranının nasıl değişiğine ilişkin bir sıralamanın oraya çıkarılmasıdır. B amaçla, çalışmanın güvenirlik eorisine en azından iki bileşenli sisemler için kakı sağlayacağı düşünülmekedir. Bileşenlerin veya sisemin zamanla gelişmesi veya bozlması olarak anımlanan yaşlanma kavramı güvenirlik analizinde önemli bir yer almakadır. ek değişkenli yaşlanma kavramına ilişkin çalışmalar lieraürde oldkça yaygındır. abiki ek değişkenlide verilen b kavramların, çok değişkenli yaşam zamanları için de genelleşirilmesi isenebilir. Çünkü kompleks sisemlerde bileşen sayısı birden fazladır. B bileşenler aynı çevre koşlları alında çalışır ve genellikle yaşam süreleri birbirlerine bağlıdır. Lieraürde de zn zamandır iki ve çok değişkenli yaşlanmayla ilgili

9 çalışmalar yapılmakadır. Çok değişkenli yaşlanma çalışmalarına Harris 97 ve Brindley ve homon 97 öncülük emişir. ek değişkenli yaşam zamanının modellenmesinde önerilen birçok yaşam zamanı dağılımı blnmakadır. Lieraürde çoğnlkla karşılaşılanlar Üsel dağılım, Gamma, Bdanmış Normal, Weibll, Lognormal, Birnbam-anders, ers Gaian, Gomperz, Makeham, Lineer Haa Oranı, Lomax Dağılımı, Log-Lojsik, BrrXII, Üsel Geomerik ve Genelleşirilmiş Üsel Geomerik Dağılımı biçiminde verilebilir. Yaşam zamanlarının dağılımlarını modelleme, hem mühendislik hem de biomerik güvenirliğinde karşılaşılmakadır. Üçüncü bir yglama alanı olarak ekonomeri verilebilir. Örneğin Heckman ve inger 986 işsizlik periyodnn znlğ, bir malın saılması için geçen süre gibi değişkenleri modellemede güvenirlik eorisinden faydalanarak çalışmalar yapmışlardır. Yaşam zamanlarını veya b yaşam zamanlarının dağılımlarının bir karşılaşırmasını yapmak gerek mühendislik, gerek ıp gerekse de ikisadi alanlarda önemli olabilir. Örneğin geirisi farklı olan A ve B ipindeki fonksiyonların zamanla hangisinin ercih edileceği isaisiksel olarak birimli ölçülere göre belirlenmekedir. B ve benzeri drmlarda iki dağılımı karşılaşırmanın en kolay yol onların oralamalarını karşılaşırmaksa da böyle bir karşılaşırma genellikle pek bilgi verici değildir. Ayrıca bazen oralamalar mevc olmayabilir. İki dağılım hakkındaki mümkün bilginin değişik formlarını emel alan birçok sıralamanın kllanışı yaygındır. Örneğin, oralaması eşi iki dağılım yayılım niceliği bakımından karşılaşırılmak isenilirse onların sandar sapmalarını karşılaşırmak bilinen bir yoldr. Faka ykarıdaki sornlar brada da karşımıza çıkabilir. O nedenle yayılım sıralamaları önerilmişir. İki rasgele değişkeni karşılaşırmanın bir diğer yol bozlma oranı sıralamasıdır. Bozlma oranı, bir parçanın birim zaman aralığı içindeki bozlmalarının sıklığıdır denilebilir. Bozlma oranı sıralaması ise iki farklı parçanın bozlma oranlarının büyüklük bakımından karşılaşırılmasına olanak sağlayan kısmi bir sıralamadır. B konya ilişkin fazla kaynak blnmamakla beraber Ro 983, Lehmann ve Rojo

10 99 ye bakılabilir. Boland 998, iki ürünü karşılaşırırken insanların gerçeke anladığı şeyin bozlma oranı oldğna dair bir örnek vermişir. Birim yaşaki bir sisem veya bileşenin kalan ömrünü açıklamaka kllanılan ve özellikle endüsride yglama alanı blan oralama kalan yaşam süresi yaşam dağılımlarında kllanılan önemli bir krierdir. Oralama kalan yaşam süresi fonksiyonnn eorik özellikleri Cox 96, Koz ve hanbhag 98, Hall ve Wellner 98 ayrıca Bhaacharjee 98 arafından verilmişir. Limi özellikleri ise Meilijson 97 ile Balkema ve De Haan 974 arafından çalışılmışır. B kon ezde anım düzeyinde verilmişir, ezin yglama kısmında özellikle bozlma oranı sıralaması üzerinde drlmşr. Bozlma oranı ve oralama kalan yaşam süresi kavramları yaşam zamanlarını modellemede ve b modelleri karşılaşırma bakımından önemli birer araç olmakadır. isemler veya bileşenler yaşamlarının çoğn, bozlma oranı bakımından küve biçimli eğrinin düz kısmında geçirirler. Üsel dağılım, sabi bozlma oranı özelliğinden dolayı b düz kısmı modellemede kllanışlıdır. Çoğ sisemde; bileşenlerinin davranışları genellikle birbirleri ile ilişkilidir. Bir şokn ekisinde veya yük paylaşımında birbirlerinden bağımsız olması pek gerçekçi bir drm değildir. Örneğin, marz kalınan soğğn böbreklere karşı yglanan bir şok oldğ düşünülürse, böbrekler b şokn ekisini paylaşırlar. Eğer böbreklerinden biri işlemez drma gelirse diğeri ile biraz daha yaşam sürdürebilir. B ise aslında böbreklerin birbirlerine paralel bağlı olabileceğini ve birbirlerinden ekilenebileceğini gösermekedir. Bileşenlere gelen şokların zamanlarının Poion sürecine ydğ varsayımı alında üreilmiş birçok üsel dağılım modeli blnmakadır. ez çalışmasında; b şekilde elde edilen iki boyl üsel dağılımlardan Gmbel dağılımının 3 modeli de incelenmişir, daha sonra Block ve Bas nn, Cowan ın, Marshall ve Olkin in ve son olarak da ingprwalla ve Yongren in iki boyl üsel dağılımları göz önünde alınarak, seri ve paralel sisemlerin bozlma oranlarının sıralamasına yer verilmişir. 3

11 ez beş bölümden olşmakadır. İkinci bölümde sisem, güvenirlik ve yaşlanma kavramları ile ilgili genel anımlar verildiken sonra bozlma sıralaması ile ilgili yapılmış önceki çalışmalar kaamlı bir şekilde verilmişir. ezin üçüncü bölümünde, bazı sokasik sıralamalar; sokasik sıralama, bozlma oranı sıralaması, olabilirlik oranı sıralaması ve oralama kalan yaşam sıralaması kavramları verilmişir. B sıralamalar arasındaki ilişkilerden bazıları lieraürde olmayan yönemler ile elde edilmesi önerilmişir. Bileşenleri bağımsız iki bileşenli sisemlerin bozlma oranları arsındaki ilişliden bahsedilmiş ve ardından b sisemler ve bileşenleri arasındaki sıralamalara değinilmişir. ezin amacına göre kllanılacak araç Al Bölüm 3.6 da önerilmişir. B aracın özellikleri Lemma 3. de verilmişir. İki bileşenli sisemler ve sisemin bileşenleri için bozlma oranı sıralamasına göre oldkca kolay elde edilebilen sokasik sıralama Lemma 3. de önerilmişir. ezde adı geçen İki Boyl üsel dağılımlar, b dağılımların çıkış nokaları ve güvenirlikeki önemleri Al Bölüm 3.7 de kısaca verilmişir. B iki boyl dağılımlar için seri ve paralel sisemler düşünülerek, bileşenlerinin bağımsız olmş olması drmndaki seri ve paralel sisemler ile bozlma oranı bakımından karşılaşırılması Dördüncü Bölümde yapılmışır. Ayrıca bağımlı sisemlerin bozlma oranının monoonlğ da incelenmişir. ezin diğer özgün kısmı da b bölümde yer almakadır. ezin arışma ve onç Bölümünde ise; blglar soncnda bazı drmlarda bozlma oranı sıralamasının yapılamadığı görülmüş ve b drmlarda yaşam zamanları arasındaki bağımlılık yapısını kllanarak hiç olmazsa sokasik olarak sıralanabildiği göserilmişir. ezde elde edilen sisemlerin bozlma oranının monoonlk bakımından nasıl değişiği sonraki çalışmalar için öneri olarak snlmşr. Çalışmada önerilen yönemin ve yapılan yglamalarda elde edilen sonçların güvenirlik eorisine iki bileşenli bağımlı sisemler için kakı sağlayacağı düşünülmekedir. 4

12 . EMEL KAVRAMLAR. isem Bazı parçalardan olşan bir kümeyi göz önüne alalım. B parçalar belirli bir amaç doğrlsnda bir araya gelmişse, b kümeye sisem adı verilir. isemi olşran parçalara ise bileşen adı verilir. Kşksz b bileşenlerin sisemde ne şekilde ve nasıl çalışacağına sisemin yapısı karar vermekedir. isemleri olşma biçimine göre kendi içlerinde fiziki ve mekanik sisemler olmak üzere ikiye ayırabiliriz. Şekil. isemlerin olşrlma biçimlerine göre göserimi isemin anımı çok geniş anlamda verildiği için, ykarıdaki diyagrama pek bağlı kalınmayabilir. Örneğin, bir inşaaı amamlamak amacı ile bir araya gelmiş saların, inşaa işçilerinin, inşaa mühendislerinin, esisa salarının ve mimarın yanı sıra kllanılacak malzemeler ve eçhizalar da sisemi olşrabilir. 5

13 . Güvenilirlik Bir parçanın veya sisemin belirlenen çevre ve işleyiş koşlları alında, önceden belirli bir zaman aralığında kendisinden isenilen görevini yürüebilmesi yeeneğidir. Güvenirlik analizinde asıl çözüm aranan problem; birim yaşın öesindeki yaşam zamanıdır. Yani x zaman kadar yaşamış olan sisem veya bileşenin daha fazla yaşamasıyla ilgilenilmekedir..3 isem Güvenilirliği n bileşenden olşan bir sisem düşünülsün. Öyle ki b bileşenlerin çalışma drmları X i i,,..., n rasgele değişkenleri ile göserilsin ve b rasgele değişkenler birbirinden sokasik anlamda bağımsız olsnlar. X i i. bileşen çalışıyor i. bileşen çalışmıyor ve E [ X i ]; X i rasgele değişkeninin beklenen değerini gösermek üzere, her bir bileşenin E ve sisemi olşran bileşenlerin hangi maemaik güvenirliği [ X i] P X i pi yapıda oldğn göseren yapı fonksiyon φ ile göserilirse sisem çalışıyor φ x, x,..., x n sisem çalışmıyor biçiminde anımlanır. Bna göre sisemin güvenirliği yapı fonksiyonnn beklenen değerine eşiir ve bileşenler bağımsız oldğndan sisemin güvenirliği bileşenlerin güvenirliklerinin bir fonksiyon olarak yazılabilir. Öyle ki b fonksiyon h p, p,..., p n ile göserilirse; E[ φ X, X,..., X ] Pisemin çalışması h p, p,..., p n n 6

14 eşiliği ile elde edilir Barlow ve Proschan 975. Bn bir örnek üzerinde açıklamaya çalışalım; Şekil. Havz sisemi Şekil. de ve nol pompaların havz syn ahliye emek için kllanıldığını düşünelim. B pompaların çalışma drmları birbirinden bağımsız ve sırası ile %95 ve %96 olasılıkları ile çalışıklarını varsayalım. B iki pompa birbirine paralel bağlı ise havz ahliye siseminin güvenirliğini hesap emeye çalışalım; 7

15 h h Şekil.3 Paralel bağlı pompalar p, p P X, X P X P X p, p.95* olarak hesaplanır. Brada dikka edilmesi gereken hss bileşen güvenirliğinin herhangi bir belirlenmiş zamanda hesaplanmış olmasıdır. isemin güvenirliği ise o anda hesaplanmış değerdir. Kısacası eğer. yıldaki güvenirlik ykarıdaki gibi ise bndan 5 yıl sonraki güvenirlik aynı olamaz. B sebeple bileşenlerin ve onların olşrdğ sisemin yaşlanma ile karşı karşıya geldiğini aslında güvenirliğin zaman içinde değişebileceğini söylemek mümkündür. Şimdi ve rasgele değişkenleri sırası ile birinci ve ikinci pompanın yaşam zamanlarını gösersinler. Ayrıca P > F i, pompaların yaşam i fonksiyonlarını emsil esin. Bna göre, i. bileşenin zamana bağlı olarak çalışma drm i i, X i, i i > ile göserildiğinde, i. bileşenin,] aralığındaki güvenirliği 8

16 E[ X ] P > i i i biçiminde verilir. isemin güvenirliği ise, bileşenlerin çalışma zamanları bağımsız oldğndan h, E[ φ X, X ] biçiminde anımlanır. Bna göre havz sy ahliye siseminin güvenirliği h, P, F F dir. Örneğin pompaların yaşam zamanlarının dağılımı oralaması 3 yıl olan üsel dağılıma ydğ bilgisi verilmiş olsa idi havz sy pompalama siseminin en az yıl çalışması olasılığı güvenirliği /3 /3 h, e e.763 olarak hesap edilirdi. Güvenirlik hesabının içine zaman kavramı da girince, abiaaki her bir parçanın veya sisemin yaşlanma ile karşı karşıya geldiğini haırlamak gerekir. Ancak yaşlanmanın ekisi bileşenden bileşene veya sisemden siseme iyi veya köü yönde değişmekedir. Örneklerle açıklamak gerekirse, ıfır kilomere bir oomobil ile hız yapmaya kalkığınızda moor zorlanır. B sebeple moor açmak abirini kllanmak yerinde olr. İlk zamanlar moorda zorlanma yaşanır faka moor açıldıkça am randımanına laşılır. Zaman geçikçe moorn parçaları yıpranır ve ekrar zorlama yapar. B drmda moorn ilk zamanlar bozlması olasılığı yüksek iken kısa zamanda düşerek neredeyse sabilenir. Zaman geçikçe b olasılık arar. 9

17 Yeni doğan çocklarda hasalığa karşı bağışıklık son derece düşükür. Bağışıklık sisemi bazı hasalıkların çock yaşa alaılması ile gelişir ve hasalıklara karşı daha dayanıklı olr. Vüc yaşlandıkça direnç arar. B drmda kişi yaşlı grba dahil olncaya kadar hasalanma olasılığı azalır. Bina inşaalarında kolon dikilirken demir ve çimeno karışımı kllanılır. Kolon ama işlemi biiken sonra kolonn dayanıklılığı çok azdır. Ancak beon krdkça dayanıklılık armakadır. Bir zaman sonra gerek nem gerek havanın ekisinde kalan kolonn dayanıklılığı ekrar azalmaya başlayacakır. Çimeno ve demir karışımı, kolonn belirli zaman aralıklarında dayanıklılığı ölçüldüğünde ıpkı araba moor örneğindeki gibi bir drm oraya çıkacakır. Önce gençleşen sonra sabi süren ve sonra da yaşlanan bir grafik çizer. İşleyen demir ışıldar aa sözünün çıkış nokası düşünüldüğünde, işlek bir demir yolndaki ren rayları ile kllanılmayan halardaki ren raylarının dayanıklılığı aynı olmamakadır. Yine de zamana göre sürekli gençleşme eğilimi içinde olan sisemler de blnmamakadır..4 Yaşlanma Kavramı Yaşlanma kavramı güvenirlik analizi içinde çok önemli bir yere sahipir. Yaşlanmama ; parçanın yaşının kalan ömür dağılımına hiçbir ekisi olmaması anlamına gelirken, Poziif Yaşlanma ; parçanın yaşı arıkça yaşam zamanının azalması yönünde eki emesi, Negaif Yaşlanma ise parçanın yaşam zamanına olml eki emesidir. Yaşlanma kavramı; bileşenlerin veya sisemin zamanla gelişmesi veya bozlmasıdır. rasgele değişkeni bir sisemin ya da bileşenin yaşam zamanını gösermek üzere, kadar yaşamış bir parçanın en az x kadar süre daha yaşaması olasılığı,

18 x x P + > + > şeklinde anımlanmakadır..5 Bozlma Kavramı Yaşlanma kavramı irdelendiğinde; yaşlanmanın ekileri bozlma kavramını oraya çıkarmışır. rasgele değişkeni bir sisemin ya da bileşenin yaşam zamanını gösermek üzere, kadar yaşamış bir parçanın x kadar süre daha yaşayamaması olasılığı, x P x x > biçiminde ifade edilir. Kısaca ykarıdaki olasılık yaşındaki bir parçanın ] x +, aralığında haa vermesi bozlması olasılığıdır. Eğer x alınırsa, lim lim d df x x F x F x F x F x x + + eşiliği elde edilir. Eğer ykarıdaki eşilik x kadar arışa bölünürse birim başına bozlma oranı elde edilir ki b elde edilen orana bozlma oranı adı verilir. Yani ln d d f d d d df r biçiminde anımlanır. Bradan ile bozlma oranı r arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi yazmak mümkün olmakadır: R dz z r e e

19 Brada R birikimli bozlma oranını ifade emekedir Lai ve Xie, 6. Şimdi bozlma oranının monoonlğ hakkında ilgili kavramları vermeye çalışalım: Lieraürde yaşlanmanın özelliklerine göre bozlma oranı farklı sınıflandırmalara ayrılmakadır. Bnlar; aran, azalan ve sabi bozlma oranlarıdır..5. Aran bozlma oranı Increasing Failre Rae IFR kavramı i Eğer yaşındaki bir bileşenin en az x zaman kadar daha yaşaması olasılığı, + x, nin azalan bir fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı aran bozlma oranına IFR sahipir denilir. ii R bozlma oranı nin azalmayan fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı IFR dir. iii rasgele değişkeninin yoğnlk fonksiyon f olmak üzere, log f konkav bir fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı IFR dir Barlow ve Proschan, Azalan bozlma oranı Decreasing Failre Rae DFR kavramı i Eğer yaşındaki bir bileşenin en az x zaman kadar daha yaşaması olasılığı, + x, nin aran bir fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı azalan bozlma oranına DFR sahipir denilir. ii r bozlma oranı nin armayan fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı DFR dir. iii rasgele değişkeninin bileşenin yaşam zamanının yoğnlk fonksiyon f olmak üzere, log f konveks bir fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı DFR dir..5.3 abi bozlma oranı Consan Failre Rae CFR kavramı i Eğer yaşındaki bir bileşenin en az x zaman kadar daha yaşaması olasılığı, + x, nin bir fonksiyon değilse ilgili yaşam dağılımı sabi bozlma oranına CFR sahipir denilir.

20 ii r bozlma oranı sabi fonksiyon ise ilgili yaşam dağılımı CFR dir. abi bozlma oranı kavramını ifade emeye çalışalım; + x x x eşiliğinden çıkan sonç; sisem yada bileşen hangi yaşa olrsa olsn en az x kadar daha yaşaması olasılığı sabiir. Ykarıdaki ifadeden + x x eşiliği yazılabilir. Yaşam fonksiyon ile bozlma oranı arasındaki ilişki haırlanırsa, b eşilik e e e R + x R R x biçiminde yazılır. Her iki arafın logariması alınırsa, R + x R + R x eşiliğine laşılır. B eşiliken birikimli bozlma oranı fonksiyonnn lineer oldğ sonc oraya çıkmakadır. Eğer R nin r z dz eşiliği ile verildiği haırlanırsa, r z nin sabi oldğ sonc çıkmakadır. B ür bozlma oranları üsel dağılım ile modellenir, öyle ki b sonç birinci dereceden homojen diferansiyel denklemin çözülmesi ile elde edilebilir, c sabi bir reel sayıyı gösermek üzere; d c +, d 3

21 Güvenirlikle ilgilenen mühendisler monoon yaşlanmaya çok önem vermekedirler. Birçok yglamada yaşların ekisinin yararlı oldğ görülmüşür. Faka bir süre sonra poziif yaşlanmanın oldğ drmlarda aşınmaların başladığı da oraya çıkmışır. Ş an birçok şirke, özellikle elekronik malzeme üreenler sürecin kesinlikle küve şekilli bozlma oranı dağılımı özelliğine sahip oldğn kabl emişir. B sonç, endüsride kazanılan deneyim, birçok deney ve veri oplanması soncnda elde edilmekedir. Faka küve biçimli bozlma oran fonksiyon sisemlerin yaşam dönemlerini açıklamaka kllanılan ek yol değildir. isemlerin yaşam dönemlerini açıklarken kllanılan diğer grafikler; azalmayan, armayan, küve biçimli, ers küve biçimli ve roller-coaser biçimleridir. Bozlma oranı şekillerinden en çok kllanılanı ise küve biçimli bozlma oranıdır. Kısaca şekillere değinilirse; + + r :R R bozlma oranı fonksiyon olmak üzere; Büün ler için r ' > azalmayan bozlma oranı Şekil.4 Azalmayan Bozlma Oranı Büün ler için r' < armayan bozlma oranı Şekil.5 Armayan Bozlma Oranı 4

22 3, için r ' <, r', r' > öyle ki, > küve biçimli bozlma oranı Şekil.6 Küve Biçimli Bozlma Oranı 4, için r ' >, r', r' > öyle ki, > ers küve biçimli. Şekil.7 ers Küve Biçimli Bozlma Oranı 5 Eğer r önce azalmayan daha sonra küve şeklinde ise modifiye küve şeklindedir. Şekil.8 Modifiye Küve Biçimli Bozlma Oranı 6 Var olan bir n için < < <... < n < ve her bir aralık, ], j n+ [ j j öyle ki, n+ olmak üzere, r monoon ve herhangi iki komş aralıka karşı 5

23 monoonlğa sahip olsn. B drmda Roller-Coaser şeklinde bozlma oranı adı verilir Wong 988, 989, 99. Şekil.9 Roller-Coaser Şekilli Bozlma Oranı r nin önce azalan sonra sabi seyreden daha sonra da aran bir yapı izlediği drmlarıyla ilgili olarak Rajarshi ve Rajarshi 988 ve daha sonra da Lai vd. çalışmışlardır. Küve şekilli bozlmalar önceleri mühendislik lieraüründe görülmekeydi. Örneğin Kao 959, Kamins 96 ve Krohn 969. Küve şekilli bozlma oranı hakkındaki eorik çalışmaların ise fazla bir geçmişi yokr. Küve biçimli bozlma oranına ai grafiğe geri dönülürse küvein al kısmı yararlı zamanı, küvein ç kısımları ise yararsız faka doğal olan zamanı gösermekedir. Şekil. Yararlı yaşam zamanı 6

24 Çoğ sisem ya da bileşen yaşamlarının çok zn bir kısmını küve biçimli eğrinin düz kısmında geçirmekedirler. B kısmın modellenmesi için üsel dağılım modeli kllanılmakadır. Bnn nedeni açıklanmaya çalışılırsa;. abi bozlma oranı özelliğinden dolayı üsel dağılım, küvein düz ve zn kısmı için en iyi dağılımdır. Çünkü birçok bileşen yaşamlarının büyük bir kısmını b bölümde geçirirler.. Havzn zn kenarına parçalanarak bakılırsa, belirlenen zaman aralığı için oradaki sürekli değişimi ivmeyi blmaka üsel dağılım çok kllanışlıdır. Böylelikle herhangi bir modelin ahminini, parçalı üsel dağılım ile blp birleşirebiliriz. Genel olarak üsel dağılıma bakıldığında; Üsel Dağılım; isaisiksel süreç ürlerinde geniş bir alana sahipir. on dönemlerde en çok yaşam eslerinde kllanılmakadır. Çünkü önceki yaşı ne olrsa olsn ek bir zaman aralığında yaşaması olasılığı her zaman aynıdır. B drm da zamanla yaşlanmayan bileşenler anlamındadır. Basi yapılar işe yaramadığında, üsel dağılımın modifikasyonlarının da kllanılabilir olması önemli bir kllanım alanı sağlamakadır. Aynı zamanda için r dır, yani sabi bozlma oranına sahipir. Ayrıca üsel dağılımlar ek boyl oldklarında parçanın yaşam zamanını açıklarken, iki boyl alındıklarında iki bileşenin birlikelik halindeki yaşam zamanlarını açıklamakadır. Şok ekisi ile parçanın hasar gördüğü drmlarda üsel dağılımın önemi daha da oraya çıkmakadır. Aşağıdaki örneke yaşam zamanı üsel dağılımlı olan özdeş pompalardan ane alınarak parçanın bozlma oranı grafiği elde edilmişir. Daha sonra Şekil.3 de görüldüğü gibi b pompalar birbirlerine paralel bağlanmış ve havz sisemi için bozlma oranı grafiği elde edilmişir. Örnek. ane pompanın paralel bağlı olarak çalışığı bir havz 3 er aylık dilimlerde konrol ediliyor ve bozlan parçalar sapanıyor. B pompalar için elde edilen sonçlar sırası ile Çizelge. -. de verilmişir. 7

25 Periyodik olarak alınan veriler yardımıyla bozlma oranının ahminini hesaplamak için 3], + zaman aralığı göz önüne alınarak; + r ˆ {, 3] zaman araliginda bozlan parcalarin sayisi} / 3 { aninda saglam parcalarin sayisi} formülü kllanılacakır Özürk ve Özbek, 7. Çizelge. özdeş pompadan bozlanların sayısı 8

26 Çizelge. özdeş paralel sisemden bozlanların sayısı Parçaların bozlma oranlarına ilişkin şekil aşağıdaki gibidir Şekil. Parçanın bozlma oranı ahmini Şekilden parçaların bozlma oranlarının sabi bir eğilimde dağıldığı görülmekedir. isemin bozlma oranlarına ilişkin grafik aşağıda verilmişir. 9

27 Şekil. Paralel sisemin bozlma oranı ahmini Şekilden görüleceği üzere sisemin bozlma oranı arma eğilimindedir. Bileşenler sabi bozlma oranına sahip olmasına rağmen onların olşrdkları paralel sisemde bozlma oranı arma eğiliminde olmakadır. Bozlma oranı ve sıralamasıyla ilgili yapılan önceki çalışmalar aşağıdaki al bölümde verilmişir. Konya ilişkin kaynak araması olabildiğince geniş lmşr..6 Önceki Çalışmalar Bozlma oranı fonksiyon arlı sisemler ve bileşenlerinin bozlma oranı arasındaki ilişkiyi bozlma oranı sıralamasını kllanarak Boland ve Proschan 994 çalışmışır. isemi iyileşirmek için, sisem kararlılığını iyileşirmişler, sisem kararlılık iyileşirilmeleri yapıldığında sisemin sokasik olarak nasıl değişiğini incelemişlerdir. Çalışmalarında oranılı bozlma oranlı n de k lı sisemler için sıra isaisiklerinin sokasik karşılaşırmalarını yglamışlardır. El-Neweihi ve eaman 993, sisemlerin bazı bileşenlerini farklı yollarla güçlendirerek güvenirliği maksimm yapmanın güvenirlik eorisinin önemli bir eması oldğn vrglayarak, b maksimizasyonn bileşenlerin yaşam zamanı sıralamalarıyla ve yedeklerle deseklenerek yapılması üzerine çalışmışlardır. c ve Al

28 fonksiyonlarını en iyi sonca akif ve drağan arlılığı farklı selerle, minimm amir ve shock-eshold modellerde kllanmışlardır. Aly ve Kochar 993, marjinal dağılımların bozlma oranı veya olabilirlik oranı sıralamasını kordğ drmda bağımlı rasgele değişkenler için bozlma oranı sıralaması ile iki değişkenli ölçek modelleri arasındaki ilişkiyi çalışmışlardır. Boland vd.994, çalışmalarında bozlma oranı sıralamasını; haa oranı fonksiyonlarını göz önünde blndrarak rasgele değişkenlerin sıralamaları bakımından karşılaşırmasını yapmışlardır. Çalışmalarında bozlma oranı sıralamasının, sokasik sıralamadan daha güçlü faka olabilirlik oran sıralamasından daha zayıf oldğn gösermişlerdir. Bozlma oranı sıralaması güvenirlik analizinde ve yaşam analizlerinde, bozlma oranı fonksiyonnn önemli oldğ bölgelerde kllanışlı oldğna değinmişler ve makalelerinde daha önceki çalışmalardaki bozlma oranı sıralamaları haırlaılmış, arlı sisemler için yeni sonçlar vermişlerdir. Makalede n de k lı sisemlerin yaşam zamanlarının bozlma oranı sıralamasını vermişlerdir. Boland ve El-Neweihi 995, dizayn mühendislerinin sokasik sonçlardan, bileşenlerin kararlılığının sisem kararlılığından üsün oldğnn bilincinde oldklarına değinmişlerdir. Güvenirlik analizinde ve yaşam esinde bozlma oranına önem verilmekedir ve b nedenden dolayı da, b drmn daha güçlü olan sokasik sıralamalar için, örneğin bozlma oranı sıralaması için nasıl oldğn incelemişlerdir. Şaşırıcı bir şekilde yedekler orjinal parçaların dağılımıyla eşleşmediği drmlarda seri sisem için b drmnn sağlanmadığını, yedeklerin eşleşmesi drmnda sağlandığını gösermişlerdir. Çalışmalarında b drm n de k lı sisem;g arka arkaya k anesinin bozlması drm sisemlerde var oldğn düşünmekedirler ve b drm cold-sandby kararlılıka incelemişlerdir. arlı sisemlerin formasyon alında bileşenler ve sisemin ers bozlma oranı sıralaması için yeerli koşllarını Nanda vd.998 vermişlerdir. n de k lı sisemlerde de b koşlların sağlandığını gösermişlerdir. Aynı dağılımlı ve aynı dağılımlı olnmadığı iki drm incelenmişir. Aynı zamanda, yml sisemlerin olabilirlik oranı sıralaması

29 için bazı sonçlar elde edilmişir. Aynı dağılımlı olmayan bileşenlerden olşan seri ve paralel sisemler bileşenin ers bozlma oranı ve sisemin ers bozlma fonksiyon arasındaki ilişkinin karakerizasyon üzerine çalışmışlardır. Choi ve Kim 998, her bir bileşenin yaşam zamanı k oralamalı üsel dağılıma sahip olan seri sisemler için bileşen düzeyindeki sanby kararlılığın sisem düzeyindekinden olabilirlik oranı sıralaması ve bozlma oranı sıralamasına göre bakıldığında dahi iyi oldğn gösermişir. arlı sisemleri karşılaşırmak için var olan meoları ve krierleri Kochar vd.999 arışmışlardır. Bileşenler bağımsız ve aynı dağılımlı oldğ drmlarda arlı sisemlerin karşılaşırılması için eorik meolar çıkarmışlardır. Büün b karşılaşırmalar sisemin işareinin bir fonksiyon biçiminde emsil edilen, sisem yaşam zamanının dağılımı göz önüne alınarak yapılmışır. Akmadi ve Arghami, rekor değerlerin dağılımının güvenirlik özellikleri üzerinde drmşlardır; sokasik, bozlma oranı ve oralama kalan yaşam zamanı sıralamaları göz önüne alınarak yaşam zamanları ve rekor değerleri arasındaki sıralama ilişkisini oraya koymşlardır. Gpa ve Nanda, üselleşirilmiş rasgele değişkenler için ers bozlma oranı sıralamasını elde emişlerdir. Asadi vd.4 çalışmalarında güvenirlik analizinde asıl ilgilenilen problemin, birim yaşın öesindeki yaşam zamanı oldğna değinerek, bilgi fonksiyonları de bağımlı kalan yaşam zamanı dağılımı oldğn ve bnların dinamik oldğna değinmişlerdir. Çalışmalarında, monoon yoğnlk fonksiyonna sahip dağılım fonksiyonları için sisemlerdeki düzensizliğin kalan yaşam zamanına bağlı oldğ düşüncesi ile, bozlma oranı fonksiyon ile bağdaşırarak dinamik düzensizlik sıralamasının bozlma oranı sıralaması ile ilişkili oldğn gösermişlerdir. Uyglamalarda, bazı paramerik ailelerin dağılımlarının dinamik düzensizlik sıralaması, sisem yaşam zamanı dağılımlarının sıralamaları, paralel ve seri sisem şeklinde bağlanan bileşenlerin kaydedilen değerleri

30 ve bozlma fonksiyon ile oralama kalan yaşam zamanı fonksiyonnn gelişirilen yollarındaki MDE Maksimm Dinamik Düzensizlik modellerin formülasyonn vermişlerdir. Khaledi ve Kochar 5, poziif bağımlılık ile çok değişkenli bozlma oranı sıralaması arasındaki ilişkiyi kaplalar yardımı ile oraya çıkarmışlardır. Gpa vd.6, iki rasgele değişkenin minimm maksimm bozlma oranının ers bozlma oranının bileşenlerinin haa oranlarının oplamı oldğn ayrıca marjinallerin haa oranı monoonlğ minimm maksimm ers haa oranının monoonlğ ile anımlandığına değindikleri çalışmalarında, iki bileşenli dağılımlar için b soncn her zaman geçerli olmadığını gösermişlerdir. Farlie-Gmbel-Morgensern ve armanov gibi iyi bilinen iki boyl dağılım ailesinde mininn maksimm sisemlerin bozlma oranı monoonlğn çalışmışlardır. Valdés ve Zeqeira 6, iki bileşenden olşan seri sisemi göz önüne alıp ilk olarak, herbir bileşenin yedeği kendisine paralel bağlı yeni bir sisem olşrmşlardır. İkinci olarak, yedeklerin birbirleri ile yer değişirdiği sisemi düşünmüşler, çalışmalarında, b iki yeni sisemin birbirleri ile bozlma oranı bakımından karşılaşırılmasını yapmışlardır. Bağımlı değişkenli sisemlerde güvenirlik önemli çalışma başlıklarındandır faka çalışmalarda genellikle bağımsız değişkenler kllanılmışır. Ancak, Navarro ve Lai 7 bağımlılığın sisem performansını nasıl ekilediğini gösermeye çalışmışlardır. Bağımsız bileşenlerde var olan bazı sonçları bağımlı bileşenler drmyla karşılaşırmışlardır. İki bileşenin çoğnlkla üsel paremereleri için, güçlü zayıf olan paralel seri sisemlerin sokasik sıralamalarını gösermişlerdir. Bldkları genel sonçları bazı orak iki değişkenli modellerin güvenirlik eorilerine yglamışlardır. Kochar ve X 7, aynı dağılıma sahip n bileşenli bağımsız iki bileşen seinden olşrlan paralel sisemlerin olabilirlik oranı sıralamasını yapmışlardır. Bnn yanı 3

31 sıra yine iki bileşen sei için onlardan olşrlan paralel sisem ile seri sisemin yaşam zamanlarının farkına ilişkin ers bozlma oranı sıralamasını incelemişlerdir. Yol selerinden yml bir sisemi çalışıran bileşenlerin her bir sei elde edilen seri sisemlerin karma dağılımları biçiminde emsil edilen yml sisemlerin dağılımlarını kllanarak yml sisemler için kyrk bozlma oranı sıralamasını sıra isaisiklerinin bozlma oranına dayalı sıralama Navarro 7 çalışmışır. Pălănea 8, bileşenlerin yaşam zamanı n de n- sisemlerin fail-safe sisem bozlma oranı sıralamalarını elde emeye çalışmışır. Joo ve Mi, bileşenlerin yaşam zamanları birbirinden bağımsız ve üsel dağılımlı paralel sisemler için bozlma oranı fonksiyonlarının karşılaşırılmasını üsel paramerelerin majorizasyonna baskınlık dayanarak elde emişlerdir. Bnn yanında, Marshal-Olkin ve Gmbel II. ip iki boyl üsel dağılımlarını göz önüne alarak, bağımlı bileşenleri olan paralel sisemlerin karşılaşırılmasını çalışmışlardır. Orak güvenirlik fonksiyon log-konkav log-konveks oldğnda seri ve paralel sisemlerin bozlma oranlarının monoonlğ üzerine Navarro ve haked 9 çalışmışlardır. Zhao ve Li 9, ilk drm olarak paramereleri birbirinden farklı ve üsel dağılımlı yaşam zamanlarına sahip n bileşenden paralel ve seri sisem olşrmşlar, ikinci drm olarak da aynı üsel dağılımlı n bileşenden olşan diğer bir paralel ve seri sisem olşrmşlardır. Birinciden olşrlan paralel ve seri sisemin yaşam zamanlarının farkının benzer biçimde ikinciden olşrlan farkan hem sokasik sıralama bakımından hem de olabilirlik oranı bakımından büyük oldğn gösermişlerdir. Navarro ve pizzichino 9, aynı yaşam zamanı kaplasını paylaşan bileşenlerden olşan vekörlerin olşrdğ seri ve paralel sisemlerin sokasik olarak karşılaşırmasını çalışmışlardır. Orak kapladaki bazı koşllar alında, heerojen bileşenli seri sisem, orak güvenirlik fonksiyonna sahip homojen bileşenli seri 4

32 sisemden daha köü oldğn gösermişlerdir. Öyle ki, heerojen bileşenlerin güvenirlik fonksiyonlarının oralamasına eşiir. Faka b özelliğin keyfi seçilen her kapla için sağlanmadığını da gösermişlerdir. Benzer özellikleri paralel sisemler ve arlı sisemler için de gösermişlerdir. Zhao ve H, homojen olmayan geomerik rasgele değişkenlerin oplamı için bozlma oranı sıralamasını elde emişlerdir. Bn yaparken paramerelerin geomerik oralamaları ile bozlma oranı arasındaki ilişkiye dikka emişlerdir. B çalışmalar ışığında bağımlı iki bileşenli sisemler için bozlma oranının nasıl karakerize edilebileceğini oraya çıkarmak amacı ile bir dönüşüm kllanarak lieraürde ele alınmayan bazı üsel dağılımlar için sisemlerin bozlma oranlarının karşılaşırılması yapılmışır. Ayrıca bileşenlerin birbirlerine bağımlı oldğ drmda bozlma oranlarının bileşenlerine göre değişip değişmediği arışılmışır. 5

33 3. MAERYAL VE YÖNEM B bölümde sokasik sıralama, oralama kalan ömür sıralaması, bozlma oranı sıralaması ve olabilirlik oranı sıralamasının anımları özel olarak b bölümde verilmişir. B sıralamaların birbirleri ile olan ilişkileri farklı bir bakış açısı ile göserilmeye çalışılmışır. Bağımlı drm ile ilgili arışmalara geçmeden önce bağımsız bileşenlerden olşan paralel sisemin bozlma oranı ile seri sisemin bozlma oranı arasındaki ilişki oraya çıkarılmışır. ıralama anımlarının arkasından bileşenlerin yaşam zamanları birbirinden bağımsız olan iki bileşenli seri ve paralel sisemlerin karakerizasyon verilmişir. Benzer karakerizasyonn bileşenler bağımlı oldğ drmda oraya çıkabilmesi için sisemin yaşam fonksiyon üzerinde bir dönüşüm önerilmişir. B dönüşümün özellikleri verilerek hangi koşllarda sıralamaları oraya çıkardığından bahsedilmişir. 3. okasik ıralama okasik sıralama güvenirlik analizinde, özellikle de sisem güvenirliği yglamalarında çok kllanılan bir meor. Çünkü sonl beklenen değere sahip iki yaşam zamanının oralama znlğn karşılaşıran bir sıralamadır. ve gibi yaşam zamanını göseren iki rasgele değişkeni göz önüne alalım., için ise yaşam zamanı, yaşam zamanından sokasik olarak daha küçükür denilir ve s 6

34 ile göserilir. Eğer [ ] < E [ ] E i ve d<, i, varsayımları alında, i d oldğ haırlanırsa, ykarıdaki eşisizliğe denk olarak, i [ ] E[ ] E i eşisizliğini yazmak mümkündür haked ve hanhikmar, Bozlma Oranı ıralaması Bozlma oranı sıralaması; bozlma oranı fonksiyonlarını göz önünde blndrarak rasgele değişkenlerin birim zamandaki bozlma hızları bakımından karşılaşırmasını yapmakır. Öyle ki; ve rasgele değişkenleri negaif değerler almayan ve mlak sürekli dağılımları dolayısı ile yoğnlk fonksiyonları blnan olan iki yaşam zamanını gösersin. rasgele değişkeninin bozlma oranı r ile ve rasgele değişkeninin bozlma oranı q ile göserilmek üzere,, için r q ise, rasgele değişkeni rasgele değişkenine göre daha küçük bir güvenirliğe ya da daha çok bozlmaya sahip olabileceği söylenir ve b biçiminde ifade edilir. Bnn anlamı, rasgele değişkeni bozlma oranı sıralamasına göre rasgele değişkeninden daha küçük oldğ anlamındadır. B rasgele değişkenler 7

35 yaşam zamanlarını göserdiği için rasgele değişkeni rasgele değişkenine göre daha küçük yaşam zamanını emsil emekedir. Bozlma oranı sıralamasına denk anımları aşağıdaki al maddeler halinde vermek mümkündür: I., için oranı nin armayan bir fonksiyondr. II. < ' için ' ' III. ve x> için P > + x > P > + x > B üç denk anım ve rasgele değişkenlerinin mlak sürekli olmadığı drmlar için de geçerlidir. adece kesikli değerler alan rasgele değişkenler için aşağıdaki denk anım verilebilir: IV. ve rasgele değişkenleri {,,,...} olsnlar. B drmda, kesikli değerlerini alan rasgele değişkenler P P ise dir. n P > n P n, > n n {,,,... } 8

36 adece sürekli dağılımlar için aşağıdaki denk anım verilebilir. V., için, oranı nn azalmayan bir fonksiyondr. Brada,. nin ers fonksiyondr haked ve hanhikmar, 994. okasik sıralama ile bozlma oranı sıralaması arasındaki ilişki için bozlma oranı sıralamasının sokasik sıralamayı gerekirdiği söylenebilir. Yani; i s ilişkisi geçerlidir. B ilişkiyi kolaylıkla gösermek mümkündür. r q oldğndan, güvenirlik fonksiyon ile bozlma oranı fonksiyon arasındaki ilişki haırlanırsa; r z dz q z dz e 443 e 443 soncna laşılmış olr. ii > ] [ ] [ s > b çif yönlü gerekirme denk anım III den kolaylıkla görülmekedir. Aşağıdaki açıklayıcı örneke bileşenlerin, sisemi bozlma oranı bakımından nasıl ekilediği göserilmeye çalışılmışır. 9

37 Örnek 3. A ve B marka pillerden 5 şer çif alınarak küçük bir el radyosna akılıyor. Radyonn b iki ür pil için çalışma süreleri saa olarak belirleniyor. Piller pil besleme yaağına seri bağlandıkları için radyonn güç sisemi aşağıdaki gibi olacakır: Şekil 3. : eri bağlı piller A marka pilden alınan ikişerli çiflerin A, A bozlma zamanları ve sisemin bozlma zamanları verilmişir. Çizelge 3. A marka pil ömrü A A A٨A A A A٨A A A A٨A A A A٨A,,4,4 6 3,4,8,8 5,65,7,65 76,,6, 9,79,5,5 7,94,86,94 5,7,, 77 8,44,8,8 3 9,5 3,68 3,68 8,53 3,3,53 53,6,3,3 78,3 9,8,3 4 3, 4,7 4,7 9,83,7, ,5,, 79,9,84,84 5,8,,8 3,8,57,57 55,8 3,,8 8,,33, 6,86,78,86 3,4,9,9 56,43,3,43 8,48,46,46 7,64 3,8,64 3,63,5,5 57 4,,76,76 8,5 6,,5 8,3 3, 3, 33,4,97,4 58,95 3,9,95 83,6,7,6 9 7,9,77, ,56 5,68 5, ,,35, ,39,86,86 8,3,9,9 35,33,54,33 6 5,98,88 5,98 85,88,34,34 4,5,73,73 36,54,7,54 6 5,39 5,46 5, ,89 3,55 3,55 4,9 3,53 3, ,,, 6 5,48 8,46 5,48 87,38,,38 3 3, 9,97 3, 38 9,64 3,43 3,43 63,7,7,7 88 6,6,6,6 4 3,6 4,5 3,6 39,78 9,8,78 64,4,9,9 89 4,58 5,7 4,58 5,47,8,47 4,55 6,7,55 65,64,6,64 9 6,,8,8 6 3,36,39,39 4,39,9,9 66,8 7,,8 9 3,3 7,79 3,3 7 4,97 4,35 4,35 4 9,3,, 67 5,7 3,58 5,7 9 3,6,9,9 8,,, 43,79,8,8 68 4, 3,8 3,8 93,79,97,79 9,9 9,75,9 44,84,, 69 9,5 9,53 9,5 94 4,46,4,4,86,35, ,37,57,57 7 6,99 9, 6,99 95,9 7,34,9,,77, ,5,3,3 7 5,9 7,9 5,9 96,35 8,34,35,9 3,,9 47,77 3,93,77 7,75,78, ,9 5,7 5,7 3,5 6,8,5 48 9,84 3,8 3,8 73,8 4,43,8 98,9 6,73,9 4,8 5,4,8 49,4,3,4 74,57,3,57 99,87,3,87 5,6 3,47,6 5 6,54,87, ,5,4,4,7 8,5,7 B marka pilden alınan ikişerli çiflerin B, B bozlma zamanları ve sisemin bozlma zamanları ise Çizelge 3. de verilmişir. 3

38 Çizelge 3. B marka pil ömrü B B B٨B B B B٨B B B B٨B B B B٨B 3,67,6,6 6,6 4,36 4,36 5 6,,5,5 76,89,3,89,4 5,8,4 7,7 3,87,7 5 8,6,5,5 77 3,97,7,7 3,53,38,38 8 6,3 7,93 7,93 53, 4,, 78 5,9, 5,9 4,8 8,6,8 9 3,44 5,7 5,7 54,8,96,8 79,3 3,74,3 5,57 5,9,57 3,39 9,9,39 55,76 4,,76 8,4 8,,4 6,84,4,84 3 7,6,4 7,6 56 9,6,8,8 8 3,93 5,37 3,93 7 5,45,8,8 3 8,8, 8,8 57,77,83,77 8,44 8,35,44 8 3,77 6,5 3,77 33, 3,, 58,8 3,5,8 83,79,7,7 9 6,76,9,9 34,65 3,6,65 59,37,33, ,8,57,57,4 9,7 9,7 35,7,34,34 6,44,68,68 85,43,48,43 8,3,5 8,3 36 9,47,3 9,47 6 3,9 3,47 3,47 86,9 4,,9,98 7,44, ,7,34,34 6 5,7 4, 5,7 87,73,75,73 3 5,74,76, ,5,4,4 63 4,9 8,53 4,9 88 4,8 7,5 4,8 4,5 7,,5 39 3,6 5,3 3,6 64 9,78,57, , 6,6 3, 5 8,85,8 8,85 4 5,5 5,9 5,9 65,4,3,3 9 4,9,49,49 6 4,38 5,5 4,38 4 3,5,, 66 5,8,8,8 9,7 4,84,7 7,46,48,48 4,65 8,74,65 67,95 5,55,95 9,7 5,8,7 8,97,7,97 43,78 8,6,78 68,46,5,5 93 6,49 4,74 4,74 9 5,4,, 44 5,4,5 5,4 69,3 6,4,3 94 8,7,, 5,74 3,4 3,4 45,64 3,9,64 7 5,3,97,97 95,96 6,9,96 7,4,33, ,7 7, 8,7 7,7,7,7 96 6,59 4, 4, 3, 4, 3, 47,54 7,46,54 7,4 3,3,4 97 6,76 5,74 5,74 3,74,3, ,93,5 3,93 73,3,4,4 98,,43,43 4 6, 4,5 6, 49,83 6,33 6,33 74, 5,36 5, ,8 5,8 3,8 5 9,,5,59 5,4 9,58,4 75 7,8 5, 5,,99 4,6,99 A marka pil kllanıldığında radyo sisemine ai 5 er dakikalık ölçümlerle elde edilen bozlma oranları aşağıdaki abloda verilmişir. Çizelge 3.3 A marka pillerin kllanıldığı radyonn çalışma süreleri ve bozlma oranı aa,5,5,75,5,5,75,5,5,75 3 3,5 ağlam parça sayısı oplam bozlan parça sayısı anındaki bozlma oranı ,4,8,39,8,38,6,7,68,4,5,4,59,5,4 aa 3,5 3,75 4 4,5 4,5 4,75 5 5,5 5,5 5,75 6 6,5 6,5 6,75 ağlam parça sayısı oplam bozlan parça sayısı anındaki bozlma oranı ,89,9,,3,67,,4,89,7,,,,,33 B marka pil kllanıldığında radyo siseminin bozlma oranları aşağıdaki gibidir. Çizelge 3.4 B marka pillerin kllanıldığı radyonn çalışma süreleri ve bozlma oranı 3

39 aa,5,5,75,5,5,75,5,5,75 3 3,5 ağlam parça sayısı oplam bozlan parça sayısı anındaki Bozlma oranı,,34,8,,46,3,,44,35,38,5,68,47,3 aa 3,5 3,75 4 4,5 4,5 4,75 5 5,5 5,5 5,75 6 6,5 6,5 6,75 ağlam parça sayısı oplam bozlan parça sayısı anındaki Bozlma oranı,4,43,48,36,,,8,5,53,3,33,36,, A ve B marka piller kllanılarak çalışırılan radyonn bozlma oranının grafik göserimi Şekil 3. de verilmişir. Şekil 3. Karşılaşırmalı pil ömürleri B marka pil kllanıldığında radyo daha zn süre ile çalışmakadır. Çünkü bozlma oranı daha düşük seyremekedir. 3

40 3.3 Olabilirlik Oranı ıralaması okasik sıralamalar iç içe kümeler şeklinde düşünülürse, en içeki diğer büün kümelerce kaanan sıralama olabilirlik oranı sıralamasıdır. Lieraürde en bilinen şekli ile anımı aşağıdaki gibidir; ve rasgele değişkenlerinin yoğnlk fonksiyonları sırası ile f ve olsn. < için g f g f g ise olabilirlik oranı bakımından rasgele değişkeni rasgele değişkeninden daha küçükür denilir ve lr ile göserilir. Şimdi olabilirlik oranı sıralaması ile ilgili denk anımları verelim: i G konveks bir fonksiyondr. lr F G konveks bir fonksiyon oldğndan F fonksiyondr. Eğer F alınırsa, azalmayan bir fonksiyondr. Bradan da sonç elde edilir. dg F ifadesi nn azalmayan bir d dg dg d g oranı nin df df f d ii için [ '] s [ ' ] ise lr dir. 33

41 34 Koşll olasılık ve s nin anımı gereği ' ' ' ' P x P P x P < < < < eşisizliği yazılır. Bradan + + ' ' ' ' x x x x x x dv v f d f dv v g dv v g d g dv v f eşisizliğine laşılır. Oralama Değer eoremi yglandığında b eşisizlik, ' [ ' ] [ ' ] ' x f x g x g x f x f x g ξ ξ + ξ ξ + ξ ξ biçiminde yazılır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa, ' ' ' ξ ξ ξ ξ g f x x g f x x + ' ' ' ξ ξ ξ ξ g f x x g f x x + eşiziliği elde edilir ki bradan, ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ g f g f g f g f sonc elde edilir. Olabilirlik oranı ile bozlma oranı sıralaması arasındaki ilişki;

42 lr Bn denk anım I den faydalanarak gösermeye çalışalım: + G eşiliği geçerlidir. F ve alınıp ykarıdaki eşilike yerine yazıldığında G F G F + eşiliği elde edilir. G dönüşümü konveks oldğndan nn azalmayan bir F fonksiyon olp G F ifadesi nn azalmayan bir fonksiyondr. Bozlma oranı sıralamasının V. denk anımından olabilirlik oranı sıralamasının bozlma oranı sıralamasını gerekirdiği soncna laşılır. 3.4 Oralama Kalan Yaşam ıralaması Güvenirlike, isaisiksel analizlerde ve birçok alanda oralama kalan yaşam çalışılmışır ve birçok sonç üreilmişir. yaşındaki bir bileşen veya sisemin kalan yaşam süresi oralama kalan yaşam zamanı olarak adlandırılır. Bir parça için opimal haa verene kadarki süreyi blmak için oralama kalan yaşam önemli bir krierdir. Ge ve Proschan 988 b meodn eori ve yglamalarını yeniden ele almışır. on yıldır birçok kişi arafından konyla ilgili makaleler yazılmış ve birçok revizyon önemli hale gelmişir. ezin kons gereği b konya yer verilmeyecekir. Oralama kalan yaşam sıralamasının maemaik anımı aşağıda verilmişir. 35

43 onl oralamaya sahip yaşındaki bir parçanın kalan oralama yaşamı [ > > ] E, < m, d. d. * fonksiyon ile belirlenir. Brada sp{ : > } dır. B anıma göre, m m mrl sıralaması verilebilir. Yani yaşam zamanına sahip parçanın kalan ömrü ninkine göre daha kısadır. Eğer m fonksiyon biraz daha açılırsa; m zf z dz zf z F z dz + z dz + z dz eşiliği elde edilir. B eşilik, yaşındaki bir parçanın kalan oralama yaşam zamanının doğal olarak den daha küçük olamayacağını gösermekedir. Bna göre, aynı yaşaki iki parça için alınır. mrl bakımından sıralama yapılırken oplamdaki ikinci erim dikkae Şimdi b sıralamanın diğer sıralamalar ile olan ilişkisini vermeye çalışalım: i mrl bozlma oranına ilişkin denk anım III den, ve x > için + x + x eşisizliği geçerli olp, b eşisizlik aşağıdaki gibi yeniden düzenlendiğinde 36

44 + x x + eşisizliği elde edilir. Bradan, eşisizliğin her iki arafı x değişkenine göre inegrali alındığında; + x dx + x dx eşisizliği de yazılabilir. Şimdi + x z dönüşümü alınıp son ifadeye yglanırsa, z dz z dz z dz z dz elde edilir ki, aynı yaşa iki parça için oralama geriye kalan yaşam zamanı bakımından birinci parçanınki ikinci parçanınkinden daha küçükür. Yani, sıralaması geçerlidir. mrl ii mrl s için m m geçerli olp, z dz m E[ ] eşiliği ile sonca laşılır. B dör sıralama arasındaki ilişki aşağıdaki gibi verilebilir: lr mrl s 37

45 Lai ve Xai, 6 Brada dikka edilirse olabilirlik oran sıralaması en güçlü sıralama iken sokasik sıralama koşlları en hafif olan, en zayıf sıralamadır. Kompleks sisemlerde bileşen sayısı birden fazladır. B bileşenler aynı koşllar alında çalışır ve genellikle yaşam süreleri birbirlerine bağlıdır. Lieraürde de zn zamandır iki ve çok değişkenli yaşlanmayla ilgili çalışmalar yapılmakadır. Mazzam bir yglama alanına sahip olsa da iki ve çok boyl sokasik yaşlanma, ek boyldan oldkça zordr. B konda daha çok çalışmalar yapılabilir. Xie ve Lai 996, yedekleri paralel bağlı sisemler üzerinde çalışan diğer yazarlar gibi, değişkenleri bağımsız varsaymışır. B varsayım gerçek hayaa nadiren geçerlidir. Ayrıca güvenirlik analizinde bileşenlerin yaşam zamanları genellikle bağımlıdır. Güvenirlik yapısında iki bileşen ya yükü bölüşürler ya da gerilime dayanan aynı grpa yer alırlar. B da iki yaşam zamanının birbirleriyle ilişkili olmalarına, ya da bağımlı olmalarına neden olr. Genelde poziif bağımlı oldklarından bozlma zamanları aynı zamanda zn veya kısa olmaya meyillilerdir. Şimdi de bağımsız çalışma zamanı oldğ drmlarda iki bileşenli sisemlerin bozlma oranını açıklamaya çalışalım. 3.5 Bileşenleri Bağımsız Olan İki Bileşenli isemlerin Karakerizasyon rasgele değişkeni bağımsız bileşenli seri sisemin yaşam zamanını, rasgele değişkeni ise benzer yapıda paralel sisemin yaşam zamanını gösersin. isemi olşran bileşenlerin özdeş oldğn yani aynı dağılıma sahip oldğn kabl edelim. ve F F P P > F 3. P F 3. 38

46 39 ilgili sisemlerin yaşam zamanlarının dağılım fonksiyonlarını emsil emekedirler. Bnn yanı sıra, f F F d d f 3.3 f F F d d f 3.4 yoğnlk fonksiyonları sırası ile seri ve paralel sisemin yaşam zamanlarının yoğnlk fonksiyonlarını emsil emekedirler. 3. ve 3. ifadelerinden F F F ve f f f eşiliklerini yazmak mümkündür. ırası ile bozlma oranlarını hesaplayalım: ln r d d r 3.7 ve F F r F f F f r Bradan r ile r arasındaki ilişki + + F r F F r r 3.9 biçiminde blnabilir.