Nano ölçekli plakların serbest titreşimi ve tek katmanlı grafen uygulaması

Transkript

1 Araştıra Maalesi BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) DOI: /baunfbed J. BAUN Inst. Sci. Technol., 19(1), , (017) Nano ölçeli plaların serbest titreşii ve te atanlı grafen ugulaası Kadir MERCAN, Çiğde DEMİR, Öer CİVALEK * Adeniz Üniversitesi Mühendisli aültesi, Antala-TÜRKİYE Geliş Tarihi (Recived Date): Kabul Tarihi (Accepted Date): Özet Malzee biliindei son gelişelere paralel olara nano ölçeli cihazlar pe ço alanda agın olara ullanılatadır. Bölece nanotenoloji günüüzde pe ço bili dalını ilgilendiren bir araştıra alanı oluştur. Bu çalışada, grafen tabaaların süreli eani odel ile serbest titreşi hesabı apılıştır. Kullanılan eani odel ince elasti platır. Pla için hareet denleleri elde ediliş ve he analiti he de saısal olara çözülüştür. Analiti çözüde değişenlere aıra etodu ullanılıştır. Saısal çözü ise arı teil onvolüson önteile apılıştır. Te atanlı grafen tabaaların serbest titreşi hesabı pla odel için apılara sonuçlar tablo halinde veriliştir. Elde edilen sonuçlara göre, od saısı arttıça doğal ve açısal freansın büüdüğü, odellenen plağın enar uzunluları arttıça da doğal ve açısal freansın üçüldüğü gözleleniştir. Anahtar elieler: Nano-ölçeli odellee, grafen, pla odeli, titreşi. ree vibration of nano-scaled plates and application to singlelaer graphene Abstract As parallel to the recent developents in aterial sciences, nano-scaled devices have widel used in an area. Thus, nanotechnolog is being a popular research area which interested an disciplines nowadas. In this stud free vibration analsis of graphene sheets has been ade via continuous echanical odel. Thin elastic plate Kadir MERCAN, ercanadir@adeniz.edu.tr, Çiğde DEMİR, cigdedeir@adeniz.edu.tr, * Öer CİVALEK, civale@ahoo.co, 10

2 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. odel is used in order to ae analsis. Equations of otion are obtained for plate odel and solved both analticall and nuericall. Separation of variables has been used for analtical solution. The nuerical solution, however, is obtained via discrete singular convolution ethod. ree vibration analsis of single-laered graphene sheets is ade for plate and results are given in tables. As it can be seen fro obtained results, the higher od nuber gives higher natural and angular frequencies; on the other hand longer plate diension gives lower natural and angular frequencies. Kewords: Nano-scaled odeling, graphene, plate odel, vibration. 1. Giriş Günüüzde tenoloji iânların artasıla iro ve nano boutlardai çalışalara hız veriliştir. Nanotenoloji, üleler için strateji bir öne taşıaa başlaış durudadır. Gelişiş üleler öncelili alanlarını belirleip çalışa ve eğiti progralarını geliştiriren, üleizde nanotenoloji araştıralarının çoğu urasal ve biresel düzede alıştır. Avrupa Birliğinin 6. Çerçeve Prograı saesinde nanotenoloji araştıraları eniden apılana ve ive azanıştır. Anı zaanda nanotenoloji, TÜBİTAK tarafından hazırlanan Vizon 03 Prograında öncelili alanlardan biri olara er alıştır. Grafen, son zaanlarda olduça ilgi uandıran bir alzeedir [1-11]. Grafenler sp bağ apısına sahip olan te tabaalı düzlesel arbon apılardır ve üç boutlu grafitlerin ii boutlu opalarıdır. Müeel apıdai grafenler, hezagonal hücrelerden oluşur. Te duvarlı arbon nanotüpler ise, grafenin silindire uvarlanış hali olara düşünülebilirler. Grafenin gösterdiği öneli özellilerden biri sıcalıtan bağısız 10 c² V-1s-1 değerine ulaşan obilitesi olup, diğer öneli bir özelliği de Kesirli Kuantu Hall [1] etisidir. Mebran odeli burulaa arşı rijitliği olaan ince pla odelidir ve anal güçleri esenel ve erezi ese uvvetleri ile taşır. Bu nedenle, ebran taşııcı sisteleri, aşırı incelileri ve oent taşıa güçlerinin ihal edilebilir olası nedenile gergin ablo ağlarına benzetilebilirler [13-1]. Pla odelinde ise burulaa arşı rijitli vardır ve odellenen tabaa belli bir h alınlığına sahiptir [1]. Bu çalışada, grafen bir tabaa süreli bir odel şelinde çözüleniş ve didörtgen pla olara odelleniştir. Atoi odeller ve denesel çalışalar he pahalı he de üse apasitede bilgisaar apasitesi geretirdiğinden süreli odeller nanotenoloji için ii bir alternatif olatadır.. Grafen tabaalar Olağanüstü özellilere sahip bir adde olan ve endüstriel anlada alternatif bir apı alzeesi olara ullanılabileceği düşünülen grafen, ince, esne ve çeliten 100 at daha güçlü bir addedir. Grafenin iletenliği baırdan daha fazladır ve plastile %1 oranında arıştırıldığında plastiği eletri ileten hale getirebiletedir. Bunun sonucunda, grafenin eletroni alanındai silionun erine geçebileceği düşünületedir [8]. Arıca, su ıslahı, petrol sızıntısı teizliği ve hatta ço daha ince 105

3 BAUN en Bil. Enstt. Dergisi, 19((1), , (017) onddo üretebiile onusunda da faadası dou unabileceği düşünüleetedir [8].G Grafit aslınnda gündeli haatta uullanılan çoo basit bir eşada bullunatadırr. Buna en güzel örnelerin birissi urşun aledir. K Kurşun aleelerdei urşunu üreete için ille arışştırılan graffit, grafen tabaalarınınn üst üste binesinde b en oluşattadır. Şeil 1 de tipi bir grafennin bal peteğine bennzer dousu u gösteril iştir. Buraada avi olara o gösteerilen üreleer arbon attolarıdır [11-3]. Şeill 1. Tipi bir b grafen tab baasının apısı. Graffenin rulo haline h gel iş foru olan arbon nanotüplerr, günüüzzde eletron niten sağlıığa birço alanda ullanılataddır [13-1].. Benzer şeeilde, graffenin de aarbon nanootüpler için öngörülen ö a alanlarda uullanılası üündüür. Nanotüpller için edin niliş deneilerden ararlanılarra, grafen tenolojisiinin önüüüzdei ıllarrda geliştiriilere farllı ühendisli alanlaarında ullaanılası beleneteedir. Grafennin nanotü üplere oranlla daha bassit olan eldde ediliş tenileri ve bu tenileerin nanotüüplere göre daha ontrrol edilebiliir olası, grafenin g nannotüp teno olojisi üzeriine hâiiet urasıını da berabberinde getiirebilir [16--3]. Nano ve iro sistelerin s a analizinde aatoi benzeti ve oleüler diinai alaşılar paahalı ve ap psalı hesaaplaıcılar ggeretirdiğinden, arıcca, her duruu için dennesel araşttıra ü ün olaaacağından süreli e ani odeeller [13, ] agın olara ulllanılatadır. Bu oodellerin ettinliği pe ço çalış ada ortaaa onuluşştur [5-36]. 3. Arı teil onvolüson n (ATK) ööntei Bu çalışada, çözü için analitii önteiin anı sııra saısal bir önttede ullaanılıştır. Bunun B için seçilen arrı teil o onvolüson (ATK) önntei, il olara o Wei[[37] tarafınndan ortaa onuluuştur. Bu öntede,, çeşitli feen bililerri ve üheendisli prooblelerindde görülen teil t onvollüsonlar (T TK), Hilberrt, Abelve Radon R gibi, ateati dönüşüleerinin özel bir b sınıfını oluşturat o tadır [38]. S Son bir aç ılda gelişe göstereen ateatiiğin eni dalı d Wavelett (dalgacı)) bu etodu dun esasını teşil eteetedir[39]. Arı teill onvolüson önteii, birço saısal önte de olduğu u gibi, süreli sistee ait türev deenleini erneller ulllanara alaşı veaa test fonsiionu olaraa arıştırır [0-]. Keernel olara Shannon ernel, Shannnon delta ernel, Dirichlet erneel, de la Vallee Va ernel vb. ullannılabilir. Eşşitlitei T ve (t)test fonsionun ndai ele an değerlerridir. Teil onvolüso n; (t ) (T η)(t ) T (t )η( )d (1) 106

4 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. olara ifade edilebilir [37]. Teil ernel ise; T( ) ( n) δ ( ) ; (n =0,1,,...). () Buradai arı ernel, delta türündedir. Kernel eşitliği üzesel ve eğrisel interpolason için önelidir ve n>1 için türevsel eşitlilerin saısal çözüünde gerelidir. Yeterli düzgün alaşıla, arı teil onvolüson önteinin diate alınası son derece etilii olur [39]; α ( t) T α ( t ) f ( ) (3) Yaın geçişte, bazı eni ernellerin ullanıı eani ve ugulaalı ateati problelerinin çözüünde öneriliştir [37-]. Shannon ernel: δ,σ ( ) sin[( π / )( ( π/ )( ) )] ( e ) p σ () şelinde düzenleniştir. Burada =/(N-1) her bir düğü arası aralı ve N düğü nota saısı, paraetresi Gauss zarfı(gaussian envelope) genişliğidir ve = rh şelinde hesaplanır, r hesaplaanın başında seçilece bir paraetredir. Denle () teil onvolüson ernellerinin (delta türünde) arı alaşılar sağlaası için ullanılabilir. Örneğin bir fonsion için herhangi bir ertebeden türev şöle gösterilebilir; ( ) f n () M δ M ( ) f ( ) (5) olara seçiliştir ve (n) türevin ertebesinii gösteretedir.. Grafen tabaanın serbest titreşileri.1.pla teorisi Serbest titreşi denlei, Şeil de verilen uzunluğu a, genişliği b ve alınlığı h olan, hoojen ve izotropi didörtgen pla için azılacatır [1]. Şeil. Didörtgen pla 107

5 BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) Platai biri şeil Denle (6) da gösterildiği gibi eğrililer cinsinden hesaplanabilir. z, z, z (6) Burada z, plağın tarafsız esenden olan uzalığını, K, K ve K ise tarafsız esen eğrililerini gösteretedir ve aşağıdai şeilde tanılanabilir. w w,, w (7) Doğrusal elasti alzee için, plağa ait gerile bileşenleri eğrililer cinsinden aşağıdai şeildedir Ez ( K ) K 1, Ez ( 1 ) Ez K K, K 1 (8) Moent-gerile ilişisi şu şeilde gösterilebilir; M h / h / zdz, M h / h / zdz, M h / h / zdz (9) Denle (8), denle (9) da erine azılırsa oent ile eğrili arasındai ilişi aşağıdai fora dönüşür M M M 1 D K 0 K (1 ) K (10) Denle (10) a denle (7) dei ifadeler azılırsa, oent ifadeleri deplasan cinsinden elde ediliş olur M M M 1 D w 0 w 0 (1 ) w (11) Burada, E elastisite odülünü, υ poisson oranını, ρ plağın ütle oğunluğunu (biri 3 Eh alandai ütle) ifade ete üzere, D pla eğile rijitliğini gösteretedir. 1(1 ) Pla üzerinden, enarları sırasıla ve esenlerine paralel olan üçü bir didörtgen parçası alınaca olursa, pla üzerinde oluşaca iç uvvetler, eğile oentleri M ve 108

6 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. M, burula oentleri M ve M, ese uvvetleri ise Q ve Q şelindedir (Şeil 3). M M Şeil 3. Pla eleanında oluşan iç uvvetler Şeil 3 e göre denge denleleri azılaca olursa, M Q d M Q z M Q d Q M d M Q M Q M M M M d d d Q Q w h t (1a) Q M M (1b) M Q M (1c) Şelinde üç adet denle elde ediliş olur. Bu duruda denle (11) in denle (1b-c) de erlerine azılasıla ese uvvetleri şu şeilde azılabilir; Q Q w w D w w D (13a) (13b) son olara denle 13(a-b) denle 1(a) da erlerine azılırsa hareet denlei deplasanlara bağlı olara elde ediliş olur w D w h 0 t (1) Burada biharoni operatör olara isilendirilir ve aşağıdai şeilde tanılanabilir 109

7 BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) w (15) Proble çözüünden öncelile olası sınır oşulları belirtilece olursa, doğrultusuna paralel sınır oşulları; w 0 a da V 0 w 0 a da M 0 (16) doğrultusuna paralel sınır oşulları; w 0 a da V 0 w 0 a da M 0 (17) in sabit bir değeri için denle (16) nın farlı esnet oşulları için ifadesi, anastre esnet; w w 0 basit esnet; w M 0 serbest uç; M V 0 (18) şelindedir. Burada V ve V Kelvin-Kirchhoff sınır reasionlarıdır ve aşağıdai şeilde tanılanabilirler V Q M vev M Q (19) Denle (11) ve denleler 13(a-b), denle (19) dai erlerine azılırsa son hali, olur w w w w V D ( v) 3 vev D ( v) 3 (0).. Öz değer problei Plaların serbest titreşi analizindei teel sorun ugun sınır oşullarına tabi olan diferansiel eşitliği çözetir. Bir plağın titreşi probleini çöze için denle (1) den ararlanılabilir; w (,, t) W (, ) cos( t ) (1) 110

8 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. Burada, rastgele seçiliş bir sabiti, W (, ) ise bilineen bir fonsionu gösteretedir. Denle (1), denle (1) te erine onulursa denle () elde edilir. h W (, ) W(, ) 0 D ()..1. Dört enarı basit esnetli pla odeli Navier çözüleri tü enarlarından basit esnetleniş bir pla için denle (3) de verilen denle ardııla hesaplanabilir; n W (, ) A sin sin (3) a b Buradai ve n tasaıları, A ise sıfıra eşit olaan bir sabit değildir. (3) eşitliğindei ifade otoati olara sınır oşulları özelleştiriliş olan () eşitliğini de sağlanatadır. Denle () de denle (3) erine onulduğunda ise şu arateristi denle elde edilir; n h 0 () a b D Yuarıdai denlein öleri plağın doğal freanslarıdır ve denle (5) dei gibi azılabilir n n D, a b, n 1,,... (5) h Bu işle Navier çözüü olara bilinetedir..3. İi enarı basit esnetli diğer enarları anastre ve serbest pla odeli Karşılılı ii enarı basit esnetli plalar için Lev çözüü ugulanıştır. Pla ii arşılılı enardan basit esnetleniş ( =0 ve =a enarları) ve diğer ii enarda (=0 ve =b) rastgele seçiliş sınır oşullarına sahiptir. Bu rastgele seçiliş esnetler, C ve harflerile sırasıla anastre ve serbest enarları gösteretedir. W (, ) Y ( )sin (6) a Buradai bir ta saı ve Y() belirlenece bir bilineen fonsiondur. Denle(6) dai sinüs fonsionu otoati olara sınır oşullarını =0 ve =b de olasını sağlaatadır. Lev tipi çözü olara bilinen denle () de erine azılırsa, d d Y( ) Y( ) Y ( ) 0 (7) d d 111

9 BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) a (8) Burada (i) 0 < <a için, Y( ) Acosh Bsinh C cosh Dsinh ve (9) (ii) için, Y( ) Acosh Bsinh C D. (30) (iii) a için Y( ) Acosh Bsinh C cos Dsin ve. (31) Plağın arateristi eşitliği (9) ile (31) arasındai eşitliler sınır oşullarının denle () erine onulara elde edilir ve plağın doğal freansları (33) eşitliğinde verildiği gibi elde edilir. h D = n 1/ a b (3) Birleşi od şeli; n a n 1/ b D, h f : (33) * Diğer esnet oşulları için de benzer şeilde doğal freans ve birleşi od denleleri elde edilebilir. 5. Saısal Sonuçlar 5.1. Dört enarı basit esnetli pla olara odelleniş grafen için sonuçlar Şeil de, boutları a ve b olan didörtgen pla gösteriliştir. Pla boutlarında çeşitli değişililere gidiliş ve farlı boutlar için farlı sonuçlar elde ediliştir. Sonuçlar aşağıda Tablo 1 de gösteriliştir. 11

10 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. Şeil. Dört enarı basit esnetli pla Didörtgen plağın açısal freansı ve açısal freansa bağlı freansı şu bağıntıdan elde edilir [1]: n a n b D h n n(, ) An sin sin, a b f : (3) * Tablo 1.Dört enarı basit esnetli didörtgen plağın il douz oddai açısal freans ve freans değerleri ( g/n 3 ) Mod (,n) D=1 nns/n a=10, b=10 a=10, b=0 a=10, b=30 a=10, b=10 a=10, b=0 a=10, b=30 (1,1) (1,) (1,3) (,1) (,) (,3) (3,1) (3,) (3,3) İi enarı basit esnetli diğer enarları anastre ve serbest pla olara odelleniş grafen için sonuçlar Şeil 5 te, boutları a ve b olan didörtgen pla gösteriliştir. Pla boutlarında çeşitli değişililere gidiliş ve farlı boutlar için farlı sonuçlar elde ediliştir. Sonuçlar Tablo de gösteriliştir. 113

11 BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) Şeil 5. İi enarı basit esnetli diğer enarları anastre ve serbest olan pla Didörtgen plağın açısal freansı ve açısal freansa bağlı freansı şu bağıntıdan elde edilir: n 1/ D n, f : (35) b h * a Tablo. İi enarı basit esnetli diğer enarları anastre ve serbest didörtgen plağın il douz oddai açısal freans ve freans değerleri ( g/n 3 ) D=1 nns/n D= nns/n a=10, b=10 a=10, b=0 a=10, b=30 a=10, b=10 a=10, b=0 a=10, b=30 Mod (,n) (1,1) (1,) (1,3) (,1) (,) (,3) (3,1) (3,) (3,3) Tablo 1 ve Tablo de sırasıla dört enarı basit esnetli ve ii enarı basit esnetli bir enarı anastre, bir enarı serbest didörtgen pla için sonuçlar veriliş olup aralarındai değişi açıça gösteriliştir. 6. Sonuç Bu çalışada grafen tabaalar bir pla olara odellenip titreşi analizleri apılıştır. Didörtgen plalara ait hareet denleleri ince pla teorisi için çıarılara ii enarı basit, bir enarı anastre, bir enarı serbest ve dört enarı basit esnetliş pla odeller için çözülüştür. Sonuçlar tablolar halinde sunuluştur. Tablolardan açıça görüldüğü gibi pla uzunluları ve od saıları doğal ve açısal freansa eti etetedir. Kenar 11

12 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. uzunlularının artası freansları üçültee eti ederen od saısının artası ise freansları büüte önünde eti ettiği gösteriliştir. Süreli eani odellerin nanotenolojide bir alternatif olabileceği vurgulanıştır. Teşeür Katılarından dolaı Adeniz Üniversitesi BAP biriine teşeürleriizi sunarız. Kanalar [1] Agöz, B., Yüse ertebeden elastisite teorilerile iro ve nano apıların lineer ve lineer olaan analizleri. Yüse Lisans Tezi, Adeniz Üniversitesi, 7 safa, (010). [] Ahan, A., Dünden Bugüne Türie de Bili-Tenoloji ve Geleceğin Tenolojileri, Beta Bası Yaı Dağıtı, İstanbul, (00). [3] Baara, T., Güna, V. ve Musluoğlu, E., Nanotenoloji ve nano-alzee süreçleri. Tübita MAM, (010). [] Cenger, Y., Nanotenoloji ve arbon nanoapılar, Bitire Tezi, Anara Üniversitesi, Anara, (006). [5] Çıracı, S., Nanotenolojide eni ufular, Bili ve Teni Dergisi, (006). [6] Işı, Ç., Nano ve iro apıların loal olaan elastisite teorisi ile eğile ve titreşi hesabı, Yüse Lisans Tezi, Adeniz Üniversitesi, en Bilileri Enstitüsü, Antala, (011). [7] Eroç, Ş., Karbon nano apılar, Bili ve Teni Dergisi, (001). [8] Eroç, Ş., Nanobili ve Nanotenoloji, O.D.T.Ü. Bili ve Toplu Kitapları Dizisi, (008). [9] Miazai, K. ve Isla, N., Nanotechnolog Sstes of Innovation - An Analsis of Industr and Acadeia Research Activities, Technovation, , (007). [10] Özer, Y., Nanobili ve nanotenoloji: Üle güvenliği/etinliği açısından doğru odelin belirlenesi. Yüse Lisans Tezi, T.C. Kara Harp Oulu, Anara, (008). [11] Rasden, J., Nanotenolojinin Esasları. ÖDTÜ Geliştire Vafı Yaıncılı ve İletişi A.Ş. Yaınları, Anara, (009). [1] Leissa, W.A.,Qatu, S.M., Vibration of continuoussstes, TheMcGrow-Hill, (011). [13] TÜSİAD, Uluslararası Reabet Stratejileri: Nanotenoloji ve Türie. Reabet Stratejileri Dizisi No:11, TÜSİAD-T/008-11/7, (008). [1] Zhang, Y., Tan, Y. W., Storer, H. L., Ki, P., Eperiental observation of the quantu Hall effect and Berr s phase in graphene", Nature38: doi: /nature035, (005). [15] Yeğen,.I., Grafen Şeritler.Yüse Lisans Tezi, Anara Üniversitesi, en Bilileri Enstitüsü, Anara, (011). [16] Young, A.., ve Ki, P., Quantu interference and Klein tunnelling in graphene heterojunctions, NaturePhsics, 5,, (009). [17] Dede, D., ve Bozurt, L., Nanotenoloji, ugulaaları, grafen ve grafen plaaa didörtgen ebran ugulaasının apılası. Lisans Bitire Tezi, Adeniz Üniversitesi, Antala, (013). 115

13 BAUN en Bil. Enst. Dergisi, 19(1), , (017) [18] Portugal R., Golebiowsi L., ve renel D., Oscillation of ebranes using coputer algebra, Aerican Journal of Phsics, 67, 6, , (1999). [19] Novoselov, K. S., Two-diensional gas of assless Dirac ferions in graphene, Nature38 (7065): doi: /nature033. PMID , (005). [0] Moğuloç, A., Grafende ütlesiz dırac ferionları gazı, Yüse Lisans Tezi, Anara Üniversitesi, en Bilileri Enstitüsü, Anara, (008). [1] Novoselov, K.S. ve Gei, A.K., The rise of graphene, Nature, 6, , (007). [] Çıracı, S., Nanotenolojide eni ufular, Bili ve Teni Dergisi, (005). [3] Leissa, W.A., ve Qatu, S.M., Vibration of continuous sstes, The McGrow- Hill, (011). [] Luş, H. ve Yerlici, V. 007., Yapı Dinaiği ne Giriş., Boğaziçi Üniversitesi Yaınevi, İstanbul, (007). [5] Mercan, K., ve Civale, Ö., DSC ethod for bucling analsis of boron nitride nanotube (BNNT) surrounded b an elastic atri, Coposite Structures, 13, , (016). [6] Mercan, K., Deir, C., Agöz, B., ve Civale, Ö., Coordinate Transforation for Sector and Annular Sector Shaped Graphene Sheets on Silicone Matri. International Journal of Engineering & Applied Sciences, 7,, 56-73, (015). [7] Civale, Ö., ve Agöz, B., Static analsis of single walled carbon nanotubes (SWCNT) based on Eringen s nonlocal elasticit theor, International Journal of Engineering and Applied Sciences, 1,, 7-56, (009). [8] Civale, Ö., ve Agöz, B., Vibration analsis of icro-scaled sector shaped graphene surrounded b an elastic atri, Coputational Materials Science, 77, , (013). [9] Deir, Ç., ve Civale, Ö., Torsional and longitudinal frequenc and wave response of icrotubules based on the nonlocal continuu and nonlocal discrete odels, Applied Matheatical Modelling, 37,, , (013). [30] Civale, Ö., ve Deir, Ç., A siple atheatical odel of icrotubules surrounded b an elastic atri b nonlocal finite eleent ethod, Applied Matheatics and Coputations, 89, , (016). [31] Deir, Ç., ve Civale, Ö., Nonlocal deflection of icrotubules under point load, International Journal of Engineering and Applied Sciences, 7, 3, 33-39, (015). [3] Civale, Ö., ve Deir, Ç., Bucling and bending analses of cantilever carbon nanotubes using the euler-bernoulli bea theor based on non-local continuu odel. Asian Journal of Civil Engineering, 1, 5, , (011). [33] ( ). [3] Agöz, B., Civale, Ö., Shear deforation bea odels for functionall graded icrobeas with new shear correction factors, Coposite Structures, 11, 1-5, (01). [35] Agöz, B., ve Civale, Ö., A icrostructure-dependent sinusoidal plate odel based on the strain gradient elasticit theor, Acta Mechanica, 6, 7, 77-9, (015). [36] Agöz, B., ve Civale, Ö., A new trigonoetric bea odel for bucling of strain gradient icrobeas, International Journal of Mechanical Sciences, 81, 88-9, (01). 116

14 MERCAN K., DEMİR Ç., CİVALEK Ö. [37] Wei G.W., A new algorith for solving soe echanical probles, Coput. Methods, Applied Mechanics and Engineering, 190, , (001). [38] Wei, G.W., Vibration analsis b discrete singular convolution, Journal of Sound and Vibration,, , (001). [39] Wei, G.W., Discrete singular convolution for bea analsis, Engineering Structures, 3, , (001). [0] Baltacıoğlu, A.K., Civale, Ö., Agöz, B., ve Deir,., Large deflection analsis of lainated coposite plates resting on nonlinear elastic foundations b the ethod of discrete singular convolution, International Journal of Pressure Vessels and Piping, 88, 8, , (011). [1] Civale, Ö., The deterination of frequencies of lainated conical shells via the discrete singular convolution ethod, Journal of Mechanics of Materials and Structures, 1, 1, , (006). [] Civale, Ö., ve Gürses, M., ree vibration analsis of rotating clindrical shells using discrete singular convolution technique, International Journal of Pressure Vessels and Piping, 86,10, , (009). [3] Civale, Ö., undaental frequenc of isotropic and orthotropic rectangular plates with linearl varing thicness b discrete singular convolution ethod, Applied Matheatical Modelling, 33,10, , (009). [] Deir, Ç, Mercan, K., ve Civale, Ö., Deterination of critical bucling loads of isotropic, GM and lainated truncated conical panel, Coposites Part B: Engineering, 9, 1-10, (016). 117