DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 7 Sayı: 3 s Ekim 2005

Transkript

1 DEÜ ÜHEDİLİK FAKÜLTEİ FE VE ÜHEDİLİK DERGİİ Cilt: 7 aı: s Ei 5 CEBİREL KATAYILI DİFERAİYEL DEKLELERİ PLİE FOKİYOU İLE ÇÖZÜÜ OLUTIO OF DIFFEREIYEL EQUATIO WITH ALGEBRAIC COEFFICIET BY PLIE FUCTIO ÖZET/ABTRACT eval ÇATAL* Genel olara, cebirsel atsaılı oojen vea oojen olaan adi diferansiel denlelerin apalı çözüleri için geliştiriliş genel bir çözü öntei er zaan bulunaaatadır. Bu tip adi diferansiel denlelerin genel çözüleri apalı olara elde edileediğinde başlangıç vea sınır oşulları altındai çözüleri saısal önteler ullanılara bulunabilir. Problein sınır oşulları altındai saısal çözülerini veren bu öntelere ooting, sonlu farlar, Raleig-Ritz öntelerini örne olara verebiliriz. Bu çalışada bu öntelerin dışında pline fonsionu alaşıı ile sınır değer problelerinin çözüü üzerinde duruluş, iinci ertebeden diferansiel denlein en genel ali için önte ugulanış ve ugulanan önte örneler ile desteleniştir. In general, a general solution etod developed for closed solutions of oogeneous or non-oogeneous ordinar differential equations wit algebraic coefficients do not alwas eist. Te solutions under initial and boundar conditions of tese ind of ordinar differential equations can be ade b nuerical etods wen teir general solutions cannot be obtained in closed fors. ooting, finite differences, and Raleig-Ritz etods are eaples for tese etods tat give nuerical solutions under boundar conditions of te proble. In tis stud, solution of boundar value probles b pline function approac, different fro tose etods, is considered; te etods applied for general solution of second order differential equation and te applied etod is supported b eaples. AAHTAR KELİELER/KEYWORD Adi diferansiel denleler, ınır değer problei, pline fonsionları Ordinar differential equations, Boundar value probles, pline functions *DEÜ, üendisli Fa., İnşaat ü. Bölüü, Tınaztepe Yerleşesi, 5, Buca, İZİR.

2 afa o: 5., ÇATAL.GİRİŞ Yüse ertebeden diferansiel denlelerin içinde özellile iinci ertebeden doğrusal diferansiel denlelerin, gere fizite, gerese eletri, aine gibi üendisli dallarında pe ço ve öneli ugulaa alanı vardır. Bu tip diferansiel denlelerin er zaan analiti çözülerini bula ola olaabilir. Bu duruda saısal çözü öntelerine başvurulur. Bu öntelere başlangıç değer probleleri için Talor serisini, Euler önteini, Runge- Kutta öntelerini, ilne önteini; sınır değer probleleri için ooting önteini, sonlu farlar önteini, Raleig-Ritz önteini verebiliriz Çatal, ; Çatal,. ınır değer probleinin çözüünde ullanılan ooting önteinde proble başlangıç değer probleine dönüştürülere çözüleniren, sonlu farlar önteinde türevlerin erezi farlar cinsinden açılıından ararlanılara elde edilen indis denleinin eşit aralılar için oluşan doğrusal denle taıının çözüü ile elde ediliren, Raleig-Ritz önteinde basit teel fonsionların sonlu saıda doğrusal derleesi ile alaşı çözüleri bulunur Gerald ve Weatle, 989. Bu çalışada, daa önce ifade edilen öntelerin dışında pline fonsionları ardıı ile sınır değer probleinin çözüü üzerinde durulacatır. Bu onuda; alla ve El-Hawara pline fonsionlarının birinci ertebeden diferansiel denlelere ugunluğunun stabilitesini ve aınsalığını inceleişlerdir ala ve El-Hawara, 98; ala ve El-Hawara, 984. Jain ve Aziz, birinci ertebeden polino ve trigonoetri spline fonsionlarının adi ve ısi diferansiel denlelerinin çözüleri üzerinde tartışışlardır Jain ve Aziz, 98. Papaicael ve Worse, dördüncü ertebeden doğrusal diferansiel denleleri içeren ii notalı sınır değer problelerinin saısal çözüü için pline önteini tanılaış, 4.üncü ertebeden sonlu farlarla ilişisi olduğunu gösterişlerdir Papaicael ve Worsa, 98. Ranor, ionlar için tanılı Toas-Feri odeline spline önteini ugulaıştır Ranor, 98. Kadalbajoo ve Raan, sonsuz aralı üzerinde tanılı sınır değer probleini asiptoti sınır oşulları altında sonlu aralığa indirgeere spline önteini ii notalı sınır değer probleine ugulaışlardır Kadalbajoo ve Raan, 98. alla ve Hussein, iinci ertebeden başlangıç değer probleine spline fonsionlarına ugulaara stabilitesini vurgulaışlardır ala ve Hussein, 984. Jain ve Aziz, diffizon denleinin nüeri çözüünde spline fonsionlarından ararlanışlardır Jain ve Aziz, 98. Desai, non-lineer analizde, Wang ve Hsu, tavieli beton olonlarının non-lineer analizinde pline fonsionlarından ararlanışlardır Desai, 97; Wang ve Hsu, 998. Beforooz pline fonsionlarının aınsalı ertebelerinin üzerinde çalışışlardır Beforooz, 99. Bundan sonrai bölüde önce pline fonsionları tanıına daa sonra diferansiel denlelere ugulanasına er verilecetir.. PLİE FOKİYOLARI Kübi spline interpolasonu:, notaları verildiğinde bu notalardan geçen eğrii bula işleidir. < < <... < bağıntısı ile tanılı düğü notasına saip pline fonsionu aşağıdai özellileri sağlar. [, ],, -, -, -,,, er notadan geçen /, -, süreli fonsion / /, -, düzenli fonsion // //, -, // süreli fonsion -

3 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: 57 übi polinou 4 bilineenli, 4 atsaılı, 4 serbestli dereceli denledir. Veriler oşulu sağlar, iii, iv ve v denlelerinin er birisi - oşul sağlar, bölece - 4- oşul bulunuş olur. polinou, parçalı süreli bir fonsiondur. Burada; sıfırıncı derece pline fonsionu süreli ola üzere; : a, [, ], birinci derece pline fonsionu, ve / birinci türevi süreli ola üzere; : a b, [, ], üçüncü derece übi pline fonsionu, : a b c d, [, ], şelinde tanılıdır. Ugulaada übi pline fonsionu, ullanılan interpolasonda üse dereceden seçilen polino fonsionunda oluşan osilason gözlenediğinden ço agın bir ullanıa saiptir. Bu nedenle alaşı olara übi pline terci ediliş ve forülason üçüncü dereceden için oluşturuluştur.... n- n- n Şeil. ıfırıncı, birinci ve --üçüncü dereceden pline fonsionları Doğrusal Lagrange interpolason forülü ile // tanılanıştır. ola üzere Eşitli de Burada // ; // ve bağıntıları Eşitli de erine azılırsa ve - için Eşitli elde edilir. Eşitli nin ii ez ardışı olara integre edilesi ile ii integral sabitine bağlı olara elde edilen bağıntı Eşitli te veriliştir. p q ve notaları için Eşitli den ve, p ve q a bağlı, sırası ile, aşağıdai Eşitli 4 dei bağıntılar elde edilir. p ve q Elde edilen p ve q değerleri Eşitli de erine azılırsa, Eşitli 5 elde edilir. 4

4 afa o: 58., ÇATAL 5 { } bilineenlerini bula için in birinci ertebeden türevini alırsa; Eşitli nin notasındai değeri ise Eşitli 7 de veriliştir. d, d 7 Eşitli 7 de erine - azıldığında Eşitli 8 elde edilir. d, d 8 Özelli iv den ve Eşitli 7, Eşitli 8 den -, ve arasındai ilişi Eşitli 9 dai gibi elde edilir u, u d d-, - 9 Eşitli 9 ile tanılı indis denleinden bilineenli - denle elde edilir. Elde edilen denle sisteinin çözüü için ii e oşula itiaç vardır ve bu oşullar aşağıdai şeilde tanılanabilir: ve değerleri A. Yığılış übi spline [ ] [ ] d ; d B. Doğal spline ; C. uç notalarda // in etrapolasonu ; D. Uç notalar civarında // sabit ise ; - E. Uç notalar civarında özel // // ; // Eğer veriliş ise ın esaplanası ile Eşitli 9 indis bağıntısı için Eşitli elde edilir. u Eğer veriliş ise - ın esaplanası ile Eşitli 9 indis bağıntısı - için Eşitli dei bağıntıa indirgenir u - - için Eşitli da verilen bağıntı,,,...,- için Eşitli 9 bağıntısı, - için Eşitli bağıntısı ele alınırsa; bilineenleri,,..., - olan n- bağıntı oluşur. Elde edilen sistein atris denlei ve atris foru Eşitli dei gibidir. [A]{} {V}

5 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: 59 { } { } v v v v V ; A L L istein çözüünden { } değerleri bulunara übi spline fonsionunun atsaıları esaplanır Eşitli ; ve er bir übi spline Eşitli 4 dei şeilde azılabilir., ;, d / ;, / ;, / [, W, W, ]W, W, 4 Eşitli ile tanılı sistein çözüünden { } değerleri bulunup Eşitli denleinde erine azılara,j değerleri elde edilir. Elde edilen bu değerler Eşitli 4 de erine erleştirildiğinde er bir aralığı için tanılı spline fonsionları oluşuş olur atews, 99. pline fonsionlarının diferansiel denlee ugulanası aşağıdai şeilde ifade edilebilir.. IIR DEĞER PROBLEİİ PLIE FOKİYOLARI İLE ÇÖZÜÜ İnterpolason teorisi, saısal integral ve türev, alaşı teorisi ve diferansiel denlelerin saısal çözülerinde ullanılan öntelerin gelişiine teel teşil etetedir. Bilgisaarların gelişesi ile interpolason teorisini içine alan saısal analiz önteleri öne azanaa başlaıştır. Her proble ateatisel arateristilerle ifade edilere sonlu far tabloları oluşturulara çözülee çalışılıştır. 9 lı ılların başından beri parçalı polino alaşı teorisi olduça popülerdir, ço agın bir ullanı alanı vardır, örneğin diferansiel denlelerin sınır değer problelerinin çözüü için trang ve Fi bu tür bir çalışa apışlardır. Bu çalışa pline fonsionlar üzerine apılan pe ço çalışanın erezi oluştur. pline fonsion teorisinin başlangıcı olara Prof. I. J. coenberg, 94, bilinetedir. Bu onu üzerinde ferdi ve grup çalışaları ola üzere pe ço aını olatadır Alberg ve Wals, 97. Bu çalışa grubu pline fonsionlarının ugulaalarının gelişii üzerine denesel verilerin en üçü areler odelleesinde gelece olduğunu belirtişlerdir. Bu çalışalar ve interpolason teorisinin saısal türeve ugulanışından ola çıara diferansiel denlee uarlaası aşağıdai şeilde tanılanır: pline fonsionunun diferansiel denlee ugulaasını tanılaabile için Eşitli 5 dei forülasonu ullanalı., 5

6 afa o:., ÇATAL, [, ] aralığı üzerinde tanılı übi pline, doğrusal Lagrange interpolasonu ola üzere; Eşitli ve Eşitli den Eşitli azılabilir., Burada şelinde tanılıdır., [, ] aralığında süreli olduğundan Eşitli bağıntısı ardışı olara ii ez integre edilere, integral sabitlerinin bulunası ile Eşitli 7 ve Eşitli 8 dei bağıntılar azılır., 7, 8,,..., n sabitlerini bula için Eşitli 8 bağıntısı ile tanılı pline fonsionunun,,..., n- notalarındai süreliliğinden, [, ] ve [ -, ] aralıları için Eşitli 9 un sağlanası alinde Eşitli dei indis denlei elde edilir., li li 9, Buradan { } şelinde bilineenli - eşitli elde edilir. Genel olara a ve b sınır oşulları ile tanılı iinci ertebeden diferansiel denle Eşitli dei gibi tanılansın. ıı f ı g r Eşitli bağıntısı notası için aşağıdai şeilde ifade edilir. ıı f ı g r, ola üzere Lagrange interpolasonu ardıı ile oluşturulan pline fonsionlarının ullanılası ile Eşitli in sınır oşulları altındai özel çözüleri aşağıdai şeilde elde edilir:.duru: Eşitli bağıntısı ile tanılı diferansiel denle f ve g olası alinde aşağıdai fora indirgenir. ıı r, Burada r, r, - r - alaşıının Eşitli bağıntısında erine azılıp düzenlenesi ile Eşitli dei indis eşitliği elde edilir.

7 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: - r 4 r r -, - Eşitli dei sınır oşullarının ullanılası ile -- boutlu denle sisteinin çözüünden,,..., - bilineenleri elde edilir ve ifadesinde erine azılara sonuca ulaşılır..duru: Eşitli bağıntısı ile tanılı diferansiel denle f olası alinde aşağıdai fora indirgenir. ıı g r, Burada - g r, - g r, - - g - - r - alaşıının Eşitli bağıntısında erine azılıp düzenlenesi ile Eşitli dei indis eşitliğine ulaşılır. [ /g ] [ /g ] [ /g - ] - r 4 r r - /, - Eşitli dei sınır oşullarının ullanılası ile -- boutlu denle sisteinin çözüünden elde edilen,,..., - bilineenleri denleinde erine azılara sonuca ulaşılır..duru: Eşitli bağıntısı ile tanılı diferansiel denlein oojen ani r olası alinde aşağıdai for elde edilir. ıı f ı g, Burada - f ı g, - f ı g, - - f - ı - g - - ; ve ı ı / / - - / olduğundan - f [/ / - - /] g f f f g, 4 indis eşitliği elde edilir. ı ı -/ / / bağıntısından - f [-/ / /] g f f f g, 5 indis eşitliği elde edilir. Eşitli 4 ve Eşitli 5 bağıntılarının eşitliğinden Eşitli indis eşitliğinden elde edilen -- boutlu sistein çözüü ile sonuca ulaşılır /, - 4.DURU: Eşitli bağıntısı ile tanılı diferansiel denlede r f ı g, r f ı g, - r- f- ı- g- - ola üzere ı ı sürelili tanıından Eşitli 4 ve Eşitli 5 bağıntılarına benzer olara aşağıdai bağıntılar elde edilir. ı - f f r f g, 7 ı f f r f g, 8

8 afa o:., ÇATAL indis eşitlileri elde edilir. Eşitli 7 ve Eşitli 8 bağıntılarının eşitliğinden elde edilen Eşitli indis eşitliğinin açı foru aşağıdai gibidir. için 4 / için 4 / 9 - için / Eşitli 9 ile tanılı sınır değer probleinde ve değerleri için A,B,C, D, ve E oşullarından ararlanıldığında -- boutlu sistee ulaşılır. Burada A ve C oşulları altında elde edilen çözü değerleri, B, D ve E oşulları altında elde edilen çözüü değerlerinden gerçeğe daa aın sonuçlar verdiği gözleniştir. Bölece Eşitli 9 ile tanılı eşitli sistei C alaşıı altında aşağıdai şeilde azılabilir. - f g r af -a f g - 4f 4 g f g r 4r r af -f f 4 f g - 4f f 4 4 g f 4 g 4 4 r 4r r 4 -f f 4 f 4 g - 4f 4 f 5 4 g 4 4 f 5 g 5 5 r 4r 4 r 5 -f -4-5 f -4 4 f - g f - f - 4 g - - f - g - - r -4 4r - r - -f - -4 f - 4 f - g f - f - 4 g - - f - g - - r - 4r - r - - f - g - - f - - r - b Eşitli un çözüünden,,..., - bulundutan sonra Eşitli de,j, atsaıları erine azılır ve düzenlenirse diferansiel denlein çözüünden elde edilen übi pline alaşıı Eşitli dei forül ile oluşturulur. 4. AYIAL UYGULAA Bu bölüde, iinci bölüde interpolason ile elde edilen pline fonsionlarının üçüncü bölüde diferansiel denlee ugulaasına ve verilen alaşı önteini desteleen örnelere er veriliştir.

9 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: Örne 4.: ıı diferansiel denleinin.75 ve.79 sınır oşulları altındai çözüünü pline fonsionlarının eşitliğe ugulanası olu ile elde ediniz. Çözü: 4 için b - a / / 4.5 olara alalı..75??? verilen diferansiel denle.duruda f ve g - ve ; ; - - ola üzere diferansiel denle aşağıdai indis eşitliği ile ifade edilir / Elde edilen indis eşitlilerinde sınır oşullarının ullanılası ile aşağıdai bağıntı bulunur.,,, Eşitli den elde edilen Eşitli bağıntısına benzer olan eşitli sisteinin atris foru aşağıdai gibidir. 4 ınır oşulları.75, 4.79 ve.5 için elde edilen eşitli sisteinin çözüünden; olara bulunur. pline fonsionları ise aşağıdai gibi bulunur Ele alınan diferansiel denlein sınır oşulları altındai analiti çözüü olan in ile pline fonsionları ve far eşitlileri ile çözüleri Çizelge de sunuluştur. Çizelge. Örne 4. de tanılı diferansiel denlein çözü değerleri in onlu Farlar pline Fonsionları

10 afa o: 4., ÇATAL Örne 4.: ıı [ / 5] diferansiel denleinin ve - sınır oşulları altındai çözüünü elde ediniz. Çözü: için b a / / 4. olara alalı. Ele alınan diferansiel denle 4.duruda, f ; g - / 5 ; [- / 5] ; [- / 5] ; - - [- - / 5]- ola üzere Eşitli, indis eşitliğinden aşağıdai gibi ifade edilir. Elde edilen eşitli sistei ve atris foru aşağıdai gibidir. 4 4, eşitli sisteinin çözüünden aranılan değerler esaplanır Bu değerler için pline fonsionları ise aşağıdai gibi bulunur Ele alınan diferansiel denlein sonlu farlar, ooting ve pline fonsionları öntei ile çözüünden elde edilen değerler Çizelge de sunuluştur.

11 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: 5 Çizelge. Örne 4. de tanılı diferansiel denlein çözü değerleri onlu Farlar ooting Yöntei pline Fonsionları Örne 4.: ıı ı diferansiel denleinin ve sınır oşulları altındai çözüünü elde ediniz. Çözü: ı ; ı; - ı- ola üzere diferansiel denle /, -: şelindedir. 4 için b a / / 4.5;, 4 doğal pline tanıı ile; ve 4 sınır oşulları altında elde edilen indis eşitliğinin atris foru, elde edilen sonuçlar ve spline fonsionları sırası ile aşağıdai gibidir: için b a / / 4.5;, 4 doğrusal interpolason; ve 4 sınır oşulları altında elde edilen indis eşitliğinin atris foru, sistein çözüü ve bu değerler için pline fonsionları ise aşağıdai gibi sırası ile bulunur

12 afa o:., ÇATAL Diferansiel denlein analiti çözüü olan fonsion e e / e den gerçe çözü değerleri;.5.5;.5.775;.75.5 olara bulunur. onuç olara, doğrusal interpolason uguladığında elde edilen değerlerin gerçeğe daa aın olduğu gözleniş ve problein çözüü alınara. için oluşan denle sisteinin atris foru, elde edilen sonuçlar ve bu değerler için oluşturulan pline fonsionları ise aşağıdai gibi azılır OUÇ ınır değer problelerinin apalı çözüleri elde edileediğinde saısal öntelerin ullanılası ile çözü değerleri bulunur. Bu tip problelerin çözülerinde genellile sonlu farlar öntei ullanılır. onlu farlar öntei ile ara değerler n adı saısına bağlı artışına göre bulunur. adı saısı arttıça artışı üçüldüçe sınırlar arası ara değerlerin saısı artacağından elde edilen denle sisteinin bout büüece ve çözü zorlaşacatır. Bu çalışada er alan pline fonsionları ardıı ile diferansiel denlein çözüünde ine n adı saısına göre ara değerler esaplanır. onlu farlar önteinden farlı olara bu ara değerler ullanılara - tane übi pline fonsionu oluşturulur. Bölece n adı saısını arttıradan daa üçü artışlı ara değerler bulunabilir, arıca aralılar içinde polino şelinde tanılı apalı fonsionlardan oluşan çözü elde ediliş olur. Örne 4. de tanılı 8

13 Fen ve üendisli Dergisi Cilt: 7 aı: afa o: 7 diferansiel denlein, pline fonsionları ile elde edilen Eşitli atris denleinin sınır oşulları altındai çözü değerleri sonlu farlar öntei ullanılara elde edilen değerlerden analiti çözüden elde edilen değerlere daa aın çıtığı gözleniş ve sonuçlar Çizelge de ifade ediliştir. Örne 4. de tanılı diferansiel denlein pline fonsionları ile çözüü elde ediliş, sonlu farlar ve ooting öntei ugulanara elde edilen sonuçlar ile birlite Çizelge de sunuluştur. Elde edilen sonuçların birbirine aın olduğu gözleniştir. Örne 4. de tanılı diferansiel denlein, pline fonsionları ile çözüünde e oşul bula için ullanılan doğrusal interpolason Eşitli 7 bağıntısı ile tanılı denle sisteinin çözüü ile elde edilen sonuçlar doğal pline fonsionunun ugulanası sonucu ulaşılan Eşitli atris denleinin çözüü ile elde edilen sonuçlardan daa ço gerçeğe aın olduğu vurgulanıştır. Arıca Örne 4. de farlı adı saısı ile elde edilen sonuçlara er veriliştir. arttıça gerçeğe aın sonuçlara ulaşıldığı gözleniştir. Tü bu örnelerde ifade edilen fonsionları ile diferansiel denlein çözüündei i değerleri artış üçüldüçe de elde edilebileceğini bunun için denle sisteinin terar oluşturulasına gere aladan ara değerler için fonsionlarından sonucun ifade edilebileceği vurgulanıştır. Arıca bu öntein doğrusal olaan diferansiel denlelerin çözülerinde de ugulanabilirliği incelenebilir. KAYAKLAR Alberg J.E., Wals J. 97: Te Teor of plines and Teir Applications, Acadeic Press. Beforooz G.H. 99: A new Approac to pline Functions, Applied uerical ateatics, Vol., o: 4, pp Çatal. : Depre uabele Hesaplarında ateatisel Çözü Yöntelerinin Kıaslanası, Batı Anadolu nun Depreselliği epozuu, BADE, 4-7 aıs, İzir. Çatal. : Doğrusal Olaan Elasti Eğri Diferansiel Denleinin Çözü Yöntelerinin Kıaslanası, XII. Ulusal eani Kongresi, TUTK, -4 Elül, Kona. Desai.C. 97: on-linear Analses using pline Functions, Journal of te oil ecanics and Foundations Division, Vol. 97, o., pp Gerald F.C., Weatle P.O. 989: Applied uerical Analsis, ew Yor, Addison- Wesle Publising Copan, pp: Jain.K., Aziz T. 98: pline Function Approiation for Differential Equations, Coputer etods in Applied ecanics and Engineering, Vol., o:, pp Jain.K., Aziz T. 98: uerical olution of tiff and Convection-Diffusion Equations Using Adaptive pline Function Approiation, Applied ateatical odeling, Vol. 7, o:, pp Kadalbajoo.K., Raan K.. 98: Cubic pline olutions of Boundar Value Probles Over Infinite Intervals, Journal of Coputational and Applied ateatics, Vol: 5, o:, pp atews J. H. 99: uerical etods, London, Prentice-Hall International Inc., pp Papaicael., Worse A.J. 98: A Cubic pline etod for te olution of a Linear Fort-Order Two Point Boundar Value Proble, Journal of Coputational and Applied ateatics, Vol: 7, o., pp

14 afa o: 8., ÇATAL Ranor. 98: Cubic pline etod for olving econd-order Differential Equations Teor and Application to te Toas-Feri odel for Ions, Ceical Psics, Vol., o:, pp alla., El-Hawara H.. 98: A Deficient pline Function Approiation to stes of First Order Differential Equations, Applied ateatical odeling, Volue 7, Issue 5, pp alla., El-Hawara H.. 984: A Deficient pline Function Approiation to stes of First Order Differential Equations: Part, Applied ateatical odeling, Vol: 8, o:, pp. 8-. alla., Hussien.A. 984: Deficient pline Function Approiation to econd-order Differential Equations, Applied at. odeling, Vol. 8, o:, pp Wang G.G., Hsu C.T.T 998: on-linear Analsis of Reinforced Concrete Coluns b Cubic pline Function, Journal of Engineering ecanics, Vol. 4, o. 7, pp. 8-8.