Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Ayon Kocatepe Ünverstes Fen ve Mühendslk Blmler Dergs Ayon Kocatepe Unversty Journal o Scence and Engneerng AKÜ FEMÜBİD 7 (07) 0350 (9-937) AKU J. Sc. Eng. 7 (07) 0350 (9-937) DOİ : /mbd.6695 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta- Sezgsel Algortma Hasan TEMURTAŞ, Celal YAŞAR, Serdar ÖZYÖN 3,* Dumlupınar Ünverstes, Mühendslk Fakültes, Blgsayar Mühendslğ Bölümü, Kütahya.,3 Dumlupınar Ünverstes, Mühendslk Fakültes, Elektrk Elektronk Mühendslğ Bölümü, Kütahya. e-posta: hasan.temurtas@dpu.edu.tr, celal.yasar@dpu.edu.tr, 3,* serdar.ozyon@dpu.edu.tr ( * İletşm Yazarı) Gelş Tarh: ; Kabul Tarh: Özet Anahtar kelmeler Optmzasyon, Metasezgsel algortmalar, Yerçekmsel arama algortması, Zıt konumlu öğrenme, Test onksyonları. Bu çalışmada lteratürde meta-sezgsel algortmaların perormanslarını artırmaya yönelk yaklaşımlardan br olan zıt konumlu öğrenme kavramı (OBL), yerçekmsel arama algortmasına (GSA) k arklı şeklde uygulanmıştır. Brnc yaklaşım da (ObGSA-), lk popülasyonunun oluşturulmasında ajanların yarısı rastgele atanırken, dğer yarısı bu ajanların smetrsne konumlandırılmıştır. İknc yaklaşımda (ObGSA-) se lk popülasyonda, rastgele olarak oluşturulan bütün ajanların zıt konumları belrlenmş ve uygunluk değer daha yüksek olan ajanlarla lk popülasyon oluşturulmuştur. Bu yaklaşımlarla perormans ve kararlılık açısından algortma yleştrlmştr. Ortaya çıkan bu yen algortmaya zıt konumlu yerçekmsel arama algortması (Opposte Based Gravtatonal Search Algorthm-ObGSA) adı verlmştr. Perormans analz çn ObGSA üç arklı yapıdak test onksyonlarına uygulanmıştır. Bu sonuçlara gelştrlen her k yaklaşımda (ObGSA-, ObGSA-), GSA ya göre daha y sonuçlar vermştr. İk yaklaşım kend aralarında değerlendrldğnde se ObSA- yaklaşımının, ObGSA- yaklaşımına göre daha y değerler yakaladığı ve daha kararlı br yapı olduğu sonucuna varılmıştır. A Novel Opposte-Based Meta-Heurstc Algorthm or Numercal Functon Optmzaton Abstract Keywords Optmzaton, Metaheurstc algorthms, Gravtatonal search algorthm, Oppostonbased learnng, Benchmark unctons. In ths study, Opposte Based Learnng concept (OBL) whch s one o the approaches to ncrease the perormance o meta-heurstc algorthms, has been appled to Gravtatonal Search Algorthm (GSA). Ths new algorthm that came out has been called Opposte Based Gravtatonal Search Algorthm (ObGSA). In the study OBL has been appled to GSA n two derent ways and these were called as ObGSA- and respectvely. In ObGSA- whle n the rst populaton ormaton o GSA hal o the agent have been assgned randomly, the other hal has been located accordng to the symmetry o these agents. Whereas n ObGSA- n the rst populaton the opposte locatons o all the agents that were ormed randomly have been dened and the rst populaton has been ormed wth the agents whose complance value were hgher. ObGSA- and have been appled to three test unctons wth derent structures successully or stablty and perormance analyss. Compared wth GSA, ObGSA- and have caught better results n shorter tme. When the approaches have been evaluated among themselves, the result that has been reached s that ObSA- has a better and more stable structure than ObSA-. Ayon Kocatepe Ünverstes 9

2 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd.. Grş Büyük arama uzaylarına sahp çok boyutlu problemlern sayısal yöntemlerle çözümlernn lteratürde uzun süreler aldığı görülmüştür. Bu nedenle günümüzde karmaşık ve sayısal yöntemlerle çözümü zor ya da mkânsız olan problemlern çözümünde sıklıkla meta-sezgsel algortmalar kullanılmaktadır (Cura, 008). alan meta-sezgsel algortmalar değşk yöntemlerle bu eksklğ gdermek çn yleştrlmek veya gelştrlmek durumundadır. Meta-sezgsel algortmaların perormanslarının daha da yleştrleblmes çn lteratürde arklı arklı yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden brs de zıt konumlu öğrenme yapısıdır (Tzhoosh vd. 005). Son yıllarda karmaşık mühendslk problemlernn çözümü çn brçok algortma gelştrlmştr. Bu algortmalardan bazıları Yerçekmsel arama algortması (Gravtatonal Search Algorthm-GSA) (Rashed vd. 009, Rashed vd. 00), genetk algortma (GA) (Goldberg, 989), deransyel gelşm (DE) (Storn ve Prce, 997), parçacık sürü optmzasyonu (PSO) (Kennedy ve Eberhart, 997), armon arama (HS) (Geem vd. 00), yapay arı kolons (ABC) (Karaboğa ve Baştürk, 007), yüklü sstem arama (CSS) (Kaveh ve Talahatar, 00), su dalgası optmzasyonu (WWO) (Zheng, 05), balna optmzasyonu (WOA) (Mrjall ve Lews, 06), güvercn optmzasyonu (CSA) (Rajaboun, 0), güve-alev optmzasyonu (MFO) (Mrjall, 05), karga arama (CSA) (Askarzadeh, 06), snüs kosnüs (SCA) (Mrjall, 06), optk tabanlı optmzasyon (OIO) (Kashan, 05), çoklu dze optmzasyonu (MVO) (Mrjall vd. 06), radyal hareket optmzasyonu (RMO) (Rahman ve Yuso, 04), bozkurt optmzasyonu (GWO) (Mrjall vd. 04), smbyotk organzmalar arama (SOS) (Cheng ve Prayogo, 04) ve grdap arama algortmaları (VS) (Doğan ve Ölmez, 05) şeklnde belrtleblr. Genel olarak meta-sezgsel algortmalar çözüm kümesn rastgele oluşturulan brey kümes le aramaya başlarlar. Bu nedenle lk oluşturulan popülasyondak breylern arama uzayındak yerleşmler en y sonucu elde edeblmek çn oldukça önemldr. İlk popülasyondak breylern yerel mnmumlar yakınında konumlanması durumunda çözümün en y sonuca yakınsaması sağlanamamaktadır. Bu durum aşılması gereken br eksklktr (Cura, 008). Bu nedenle lteratürde yer Lteratürde brçok meta-sezgsel algortmaya zıt konumlu öğrenme Opposte Based Learnng-OBL) yapısı eklenerek gelştrlmeye çalışılmıştır. Bunlardan bazıları, zıt konumlu deransyel gelşm (Rahnamayan ve Tzhoosh, 008), zıt konumlu öğrenme tabanlı parçacık sürü optmzasyonu (Omran, 009), zıt konumlu armon arama (Sngh ve dğerler. 03) ve zıt konumlu byocoğraya tabanlı optmzasyon algortması (Ergezer vd. 009) şeklndek çalışmalardır. Bu çalışmada, lteratürde yerçekmsel arama algortması (GSA) adıyla anılan meta-sezgsel algortma gelştrlmek üzere seçlmştr. Algortma 009 yılında Rashed ve arkadaşları taraından Newton un yerçekm ve hareket kanunlarından esnlenlerek gelştrlmştr. Lteratürde GSA ve gelştrlen versyonlarının arklı mühendslk problemne başarıyla uygulandığı çalışmalara rastlanmıştır. Bunlardan bazıları, ltre modellemes (Rashed vd. 0), ver madenclğ (Zahr, 0), hdrolk türbn yönetme sstemnn parametrelernn tanımlanması (L ve Zhou, 0), optmal ekonomk güç dağıtımı (Swan vd. 0) ve türbn ısı oranının tahmn problemler (Zhang vd. 03) şeklnde belrtleblr. Bu çalışmada GSA ya zıt konumlu öğrenme kavramı k arklı şeklde uygulanmıştır. Bunlardan brs, lk popülasyondak breylern yarısı rastgele oluşturulurken, breylern dğer yarısı se bunların her brs çn zıt konumunda yer alırlar. Çözüm kümes bu breylerden oluşturulan lk popülasyonla aramaya başlanır. Dğer yöntem se çözüm kümes çn br brey oluşturulur ve hemen 93

3 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. onun zıt konumunda başka br brey daha oluşturulur. Bu k brey karşılaştırılarak uygunluğu daha y olan brey çözüm kümesndek popülasyona katılır, dğer se atılır. İşlem bu şeklde breylern sayısı tamamlanıncaya kadar devam eder. Bu sayede daha hızlı br öğrenme amaçlanmaktadır. Gelştrlen yen algortmalar, üç arklı yapıdak test onksyonlarına uygulanmış ve elde edlen sonuçları değerlendrlmştr.. Yerçekmsel Arama Algortması (GSA) Fzkte, kütles olan nesneler brbrlerne doğru hızlanma eğlm göstermektedrler. Newton'un evrensel çekm kanununa göre, her br noktasal kütle dğer noktasal kütley, ksn brleştren br çzg doğrultusundak br kuvvet le çeker. Bu kuvvet bu k kütlenn çarpımıyla doğru orantılı, aralarındak mesaenn kares le ters orantılıdır. Bu çekmn etksyle küçük olan kütle, büyük olan kütleye doğru vmelenr (Rashed vd. 009, Rashed vd. 00). Algortmanın temelnde, kütle olarak adlandırılan ajanlar dzn Newton un hareket ve yerçekm kanunlarının smülasyonu le optmum çözümü bulmak üzere konumlandırılır. S arama uzayında konumlandırılan ajanlar (M) ve br ajana (M ) etkyen kuvvetlern gösterm Şekl de verlmştr. Şeklde yer alan her br kütlenn bulunduğu konum değerler, mevcut problemn brer çözüm adayıdır. Kütlelern büyüklüğü çözüme ne kadar yakın olduklarının göstergesdr. GSA,. kümenn konumunun denklem () de verldğ gb tanımlandığı, N ajanlı br yapıyla aramaya başlar. Bu ajanlar GSA da lk popülasyon çn S arama uzayında rastgele konumlandırılırlar. X x x x () d n (,...,,..., ),,,...,N d Burada x, d. boyuttak. kümenn konumudur, n se arama alanının boyutudur. Her br ajanın kütles, uygunluğu (çözüme yakınlığı) le temsl edlr ve popülasyondak dğer breylern uygunluğuna bağlı olarak denklem () ve (3) e göre hesaplanır. t ( t) worst( t) qt () best( t) worst( t) Mt () qt () s j q () t j () (3) Bu denklemlerde Mt () ve t () t sırasıyla kütley ve t anındak. ajanın uygunluk değern göstermektedr. Br mnmzasyon problem çn best() t ve worst() t denklem (4) ve (5) e göre tanımlanır. S M 4 best( t) mn t ( t) (4) j{,..., s} j F 4 M worst( t) max t ( t) (5) j{,..., s} j a F F 3 M F t M 3 Problem maksmzasyon problem se best() t ve worst() t yer değştrlerek aşağıdak gb tanımlanır. best( t) max t ( t) (6) j{,..., s} j{,..., s} j worst( t) mn t ( t) (7) j Şekl. S arama uzayında konumlandırılan br ajana etkyen kuvvetler 94

4 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. Algortmada yer alan herhang br ajanın vmesnn hesaplanması çn, lk olarak dğer ajanlar taraından o ajanın üzerne uygulanan toplam 3 kuvvet hesaplanır. Br ajana etkyen toplam kuvvet denklem (8) de verlmştr. Daha sonra hareket kanunları kullanılarak denklem (9) dan o ajanın vmes hesaplanır. Hesaplanan vme değer, ajanın mevcut hızına eklenerek yen hız vektörü elde edlr. Son olarak, br sonrak popülasyon çn ajanın yer alacağı konum, denklem () e göre belrlenr. M ( t) M ( t) F ( t) rand G( t) ( x ( t) x ( t)) (8) d j d d j j jk, () best j Rj t F () t M () t a ( t) rand G( t) ( x ( t) x ( t)) (9) d d j d d j j M ( t) jk, ( ) best j Rj t d d d v ( t ) rand v ( t) a ( t) (0) d d d x ( t ) x ( t) v ( t ) () Burada rand ve rand j [0,] aralığında rastgele k sayıdır. se matematksel olarak tanımsızlığı ortadan kaldırmak çn kullanılan küçük br değerdr. Rj() t, ve j ajanları arasındak ökld mesaesdr ve Rj ( t) X( t), X j( t) olarak tanımlanır. k best, en y uygunluk değerl dolayısıyla en büyük kütleye sahp K ajanlarının br dzsdr. Bu dz başlangıçta K 0 da başlatılan ve zamanla azaltılan br onksyondur. Burada K 0, toplam ajan sayısı (N) kümesdr ve doğrusal olarak e düşürülür. Bunun anlamı başlangıçta bütün ajanlar brbrlerne kuvvet uygularken, zaman geçtkçe kuvvet uygulayan ajan sayısı azalacak ve sonunda sstemde dğer kütlelere kuvvet uygulayan tek br ajan kalacaktır. Kuvvet ve vme denklemlernde yer alan yerçekmsel sabt değer Gt (), başlangıç değer G 0, sabt katsayı, t terasyon sayısı, T se btş terasyon sayısını göstermek üzere denklem () de verlmştr. G() t ( tt / ) G0e () G 0 ve nın algortmanın yakınsama hızı ve en y çözümü bulması üzerne etkler büyüktür. Dolayısıyla her problemn özellğne göre bu değerlern yenden belrlenmes gerekmektedr. Yukarıda çözüm aşamaları anlatılan GSA algortmasının akış dyagramı Şekl de verlmştr. GSA parametrelern gr. G 0, α, ε, N, IteN=0 Başlangıç popülasyonunu belrlenen sayıda (N) ajanla rastgele oluştur Popülasyondak bütün ajanların uygunluğunu hesapla. Uygunluklarına göre Eny ve enkötü ajanı belrle Hayır G y güncelle Her ajanın kütlesn (M) ve vmesn (a) hesapla Bütün ajanların hızlarını ve pozsyonlarını güncelle IteN=IteN+ Durma krter (IteN) sağlandı mı? Evet Popülasyondak en y çözümü yazdır DUR Şekl. GSA akış dyagramı 3. Zıt Konumluluk Kavramı (OBL-Opposton-Based Learnng) Meta-sezgsel algortmalar, en y çözüme ulaşmak üzere hesaplamaya br başlangıç popülasyonu le başlarlar. İlk popülasyon tanımlanırken, ajanlar çözüm uzayında rastgele konumlarda oluşturulurlar. Fakat rastgele oluşturulan konumlar yerne, uygunluk değer daha y olan breylere sahp br lk popülasyon le hesaplamaya başlamak, popülasyonun en y çözüme ulaşırken geçrdğ gelşm şlemn hızlandırablr. Bu nedenle, 005 yılında Tzhoosh taraından zıt konumlu öğrenme kavramı ortaya atılmıştır. Tzhoosh 95

5 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. taraından tanımı yapılan bu yaklaşım şu şekldedr, herhang rastgele br sayının zıt konumlu durumu çözüme rastgele sayıdan büyük htmalle daha yakındır (Tzhoosh vd. 005). Bundan dolayı, br sayının zıt konumlu değer le brlkte oluşturulan başlangıç popülasyonunun, en y çözüme yakınsamak çn daha küçük br arama uzayına htyaç duyacağı söyleneblr. Bu şlem yakınsamayı hızlandırablr. Zıt konumlu öğrenme kavramı; zıt konumlu sayı, nokta ve optmzasyon olarak aşağıda alt bölümler halnde açıklanmıştır. 3.. Zıt konumlu sayı x sayısı [ ab, ] aralığında tanımlı gerçek br sayı se bu sayının zıttı ( x ), zıt konum teoremne uygun olarak denklem (3) e göre tanımlanır (Tzhoosh vd. 005). x a b x (3) 3.. Zıt konumlu nokta Denklem (3) de yer alan ade çok boyutlu dzler çn genelleştrlleblr. Bunun çn d-boyutlu uzayda br P ( x, x,..., x d ) noktası tanımlansın. Burada x, x,..., x d R ve x [ a, b ] {,,..., d} olsun. Bu noktanın zıt konumunun P ( x, x,..., x d ) bleşenler aşağıdak denklem le tanımlanır. x a b x (4) Tek boyutlu uzay çn [ ab, ] aralığında tanımlı br x noktası ve bu noktanın zıt konumu x aşağıdak şeklde gösterlmştr. noktanın zıt konumu düzlem merkezne eşt uzaklıktadır (Tzhoosh vd. 005) Zıt konumlu optmzasyon Br optmzasyon problemnn çözümünde P ( x, x,..., x d ) gb d-boyutlu arama uzayında tanımlanmış br nokta, popülasyonda yer alan her br aday çözüm çn benzetleblr. Zıt konumlu nokta tanımına göre bu noktanın zıt konumu P x x x d (,,..., ) şeklnde gösterlr. Bu durumda yen tanımlanan zıt konumlu nokta mevcut problemn çözüm adaylarından brdr. O zaman amaç onksyonuna göre değerlendrldğnde her k aday çözümün uygunluk onksyonları sırasıyla P ( ) ve P ( ) olacaktır. Daha y çözüm çn eğer ( P) ( P) se, uygunluk değer daha y olan P brey P breynn yern alır (Tzhoosh vd. 005). 4. Yerçekmsel arama algortmasının gelştrlmes Bu çalışmada GSA nın perormansının yleştrlmes çn k arklı zıt konumlu öğrenme kavramı türetlmştr. Bu k arklı zıt konumlu öğrenme kavramı GSA ya ayrı ayrı entegre edlerek, zıt konumlu yer çekmsel arama algortması (Opposte Based Gravtatonal Search Algorthm-ObGSA) denlen k arklı algortma elde edlmştr. Bunlara ObGSA- ve algortmaları adı verlmş ve k arklı durum alt başlığında ncelenmştr. Çalışmada önerlen ObGSA- ve algortmaları çn akış dyagramı Şekl 4 te verlmştr. Verlen dyagramda GSA algortmasına göre arklılıklar kırmızı renkte gösterlmştr. a x c x b Şekl 3. Tek boyutlu uzay çn br nokta ve bu noktanın zıt konumunun gösterm Şekl 3 te [ ab, ] düzlem sınırlarını, c se düzlem merkezn temsl eder. Tanımlanan nokta ve bu 4.. Durum Brnc yaklaşım (ObGSA-), GSA nın lk popülasyonunun oluşturulmasında ajanların yarısı rastgele atanırken, dğer yarısının bu ajanların smetrsne konumlandırılması temelne dayanır. Şekl 5 te gösterldğ gb ajanın rastgele oluşturulan lk konumu ve zıt konumunun kütles arklı olablr. 96

6 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. Bunun neden arama uzayında arklı noktalara yerleştrlen ajanların uygunluğunun arklı olmasıdır. ObGSA- ObGSA parametrelern gr G0, α, ε, N, IteN=0 Zıt konumlu öğrenme tpn seçnz ObGSA- daha yakın yan uygunluk değer daha yüksek olan breyler le arama şlemne başlanarak GSA nın yakınsama hızının arttırılması amaçlanmıştır. Algortmanın lk popülasyon yapısının oluşumu Şekl 6 da gösterlmştr. Başlangıç popülasyonununun yarısını (N/) rastgele oluştur Başlangıç popülasyonunun dğer yarısını (N/),rastgele oluşturulan ajanların zıt konumlarında oluştur N=0 Başlangıç popülasyonu çn rastgele br ajan oluştur ve uygunluğunu () hesapla x x M M M M S Rastgele oluşturulan breyn zıt konumunda knc brey oluştur ve Evet uygunluğunu () hesapla M 3 M 3 ve değerlern karşılaştır. Uygunluğu y olan brey popülasyona kat M 4 M 4 Popülasyondak bütün ajanların uygunluğunu hesapla Uygunluklarına göre Eny ve enkötü ajanı belrle G y güncelle Evet Ajan sayısı (N) tamamlandı mı? Hayır N=N+ x x c M M S Her ajanın kütlesn (M) ve vmesn (a) hesapla Bütün ajanların hızlarını ve pozsyonlarını güncelle M 3 IteN=IteN+ M 4 Hayır Durma krter (IteN) sağlandı mı? Evet Popülasyondak Hayır en y çözümü yazdır Şekl 6. S arama uzayına sahp, k boyutlu br problem çn ObGSA- algortması lk popülasyon yapısı DUR Şekl 4. ObGSA- ve ObGSA- çn akış dyagramı x x M 3 M M 4 M M Şekl 5. S arama uzayına sahp, k boyutlu br problem çn ObGSA- algortması lk popülasyon yapısı 4.. Durum İknc yaklaşımda (ObGSA-) se lk popülasyonda, rastgele olarak oluşturulan bütün ajanların zıt konumları belrlenmş ve uygunluk değer daha yüksek olan ajanlarla lk popülasyon oluşturulmuştur. Bu şlem le, problemn çözümüne c M 4 M M 3 S 5. Test Fonksyonları Önerlen algortmaların (ObGSA- ve ), perormanslarının değerlendrleblmes çn lteratürde arklı araştırmacılar taraından daha önce GSA le çözümü yapılmış olan 3 adet test onksyonu seçlmştr. Bu onksyonlar üç grup halnde Çzelge, ve 3 te verlmştr. Çzelgelerde (D) değer onksyonun boyutunu, (S) arama uzayını, mn se onksyonun mnmum değern göstermektedr. Çzelge dek 7 onksyonları tek br optmum noktaya sahp (unmodal), Çzelge dek 83 onksyonları se brçok lokal mnmum noktaları olan (multmodal) onksyonlardır. 3 onksyonları yüksek boyutlu veya genş arama uzayına sahp onksyonlardır. Çzelge 3 te yer alan, 43 onksyonları se düşük ve sabt boyutlu olup az sayıda lokal mnmum noktaları olan multmodal onksyonlardır (Rashed vd. 009, Rashed vd. 00). Çzelge 3 tek onksyonlardan 4,5 ve

7 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. e at a, b, c, aj, b j ve P j değerler Ekler bölümündek Ek Çzelge -5 te verlmştr. n ( x) x Çzelge. Unmodal test onksyonları Formülü Fonksyon Adı D Aralık (S) mn Sphere 30 [ 00,00] n 0 n n Schweel s No:. 30 [ 0,0] n () x x x ( x) x j j n 3 Schweel s No:. 30 [ 00,00] n ( x) max x, n Schweel s No:. 30 [ 00,00] n 0 n 5( ) 00 Rosenbrock 30 [ 30,30] n x x x x n x Step 30 [ 00,00] n ( x) [ 0.5] 6 n 4 7( ) [0,) 0 0 x x random Quartc 30 [.8,.8] n 0 n ( x) x sn x 8 Çzelge. Multmodal test onksyonları Formülü Fonksyon Adı D Aralık (S) mn Schweel s No:.6 30 [ 500,500] n ( ) x n n 9( x) x 0 ( ) 0 cos x Rastrgn 30 [ 5.,5.] n 0 0( x n ) 0exp 0. x n exp cos( x ) 0 e n n x ( ) cos 4000 n n x x Ackley 30 [ 3,3] n Grewank 30 [ 600,600] n n n ( x) 0sn( y) ( y ) 0sn ( y ) u( x,,, ) a k m n m k( x a) x a x y, a 0, k 00, m 4, u( x, a, k, m) 0 -a x a 4 m k( x a) x a n 3 x x x x xn x n ( ) 0. sn (3 ) ( ) sn (3 ) ( ) sn ( ) n... u( x, a, k, m), a 5, k 00, m 4 Penalzed No: Penalzed No: [ 50,50] n 0 30 [ 50,50] n 0 5 4( x) j j ( x ) a j 5( x) a b bx3x4 Çzelge 3. Sabt boyutlu Multmodal test onksyonları Formülü Fonksyon Adı D Aralık (S) mn Shekel s Foxholes x ( b b x ) Kowalk 4 ( x) 4x.x x x x 4x 4x x x x x Cosx ( ) ( x) [ ( x x ) (9 4x 3x 4x 6x x 3 x )] 8...[30 (x 3 x ) (8 3x x 48x 36x x 7 x )] ( x) 4 exp 3 ( ) 9 c a x p j j j j Sx-Hump Camel-Back [ 65.53,65.53] Brann 5,0 x0,5 Goldsten-Prce Hartman3 3 Hartman6 6 ( ) exp ( ) j j j j x c a x p 5 4 ( ) T ( )( ) ) j j j j j Shekel5 4 x x a x a c 7 4 ( ) T ( )( ) ) j j j j j Shekel7 4 x x a x a c 4 [ 5,5] [ 5,5] [,] 3 3 [0,] [0,] [0,0] [0,0]

8 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd ( ) ( T )( ) ) 4 Shekel0 4 j j j j j x x a x a c [0,0] Sayısal Sonuçlar Bu çalışmada yer alan test onksyonlarının çözümünde kullanılan parametre değerler, lteratürde GSA algortmasıyla aynı değerler olarak alınmıştır. Bunun neden algortmalar arasındak karşılaştırmanın doğru ve sağlıklı yapılablmes çndr. Böylelkle gelştrlen metotlar perormans, yakınsama, kararlılık ve hız açısından daha doğru değerlendrlmş olacaktır. Buna göre ObGSA- ve ObGSA- de kullanılan parametre değerler Çzelge 4 te verldğ gb alınmıştır. Fonksyonlar İterasyon Sayısı (N) Tablo 4. ObGSA parametre değerler Ajan Sayısı (S) Fonsyon Çağrımı (FCall) Yerçekmsel Sabt Başlangıç Değer (G0) Sabt Sayı (α) Tanımsızlık Sabt (ε) Test onksyonlarının çözümü çn MATLAB R05b de gelştrlen program Intel Xeon E5-637 v GHz şlemcl ve 8 GB RAM bellekl ş stasyonunda Çzelge ve dek onksyonlar çn 000 terasyon (50000 onksyon çağırımı, FCall) ve Çzelge 3 tek onksyonlar çn 500 terasyon (5000 onksyon çağırımı, FCall) çalıştırılmıştır. Çzelge ve de tanımlanan unmodal ve multmodal onksyonlar çn 30-D çn elde edlen sonuç değerler Çzelge 5 ve 6 da verlmştr. Çzelge 3 te tanımlanan sabt boyutlu multmodal onksyonlar çn elde edlen çözüm değerler se Çzelge 7 de verlmştr. Çzelge D çn elde edlen verler (Çzelge, 30 çalışma terasyon) ObGSA- ObGSA- ObGSA- ObGSA- 3 Worst e e-5 Worst e+0.035e+0 Average e e-6 Average e e+0 Best.36565e e-7 Best.07449e e+0 StdDev.4636e e-6 StdDev.86378e e+0 Tme Tme Worst e e-05 Worst e e-5 Average.67869e e-07 Average.35854e e-6 Best e e-08 Best e e-7 StdDev e e-06 StdDev e e-6 Tme Tme Worst.05776e e+0 Worst e e-0 Average e e+00 Average.676e e-0 Best e e-07 Best 4.697e e-03 StdDev e e+0 StdDev e e-0 Tme Tme

9 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. 4 Worst.60360e e+00 Average.33655e e-0 Best e e-08 StdDev e e-0 Tme Çzelge D çn elde edlen verler (Çzelge - 30 çalışma terasyon) ObGSA- ObGSA- ObGSA- ObGSA Worst e e+03 Worst e e+00 Average e e+03 Average e e+00 Best e e+03 Best e e+00 StdDev e e+0 StdDev.8943e e-0 Tme Tme Worst.05585e+0.989e+0 Worst 4.467e e-0 Average e e+0 Average.4895e e-03 Best e e+0 Best.7684e e-08 StdDev e e+0 StdDev e e-0 Tme Tme Worst e e+00 Worst.04330e e+0 Average e e-0 Average e e-0 Best.906e e-08 Best e e-7 StdDev e e-0 StdDev.97978e e+00 Tme Tme Çzelge 7. Sabt boyutlu onksyonlar çn elde edlen verler (Çzelge 3-30 çalışma terasyon) ObGSA- ObGSA- ObGSA- ObGSA Worst e e+00 Worst e e+00 Average.0634e e+00 Average e e+00 Best e e-0 Best e e+00 StdDev e e-0 StdDev.8767e e-0 Tme Tme Worst.0740e e-0 Worst e e+00 Average.83809e e-0 Average e e Best e e-0 Best e e+00 StdDev e e-0 StdDev e e-0 Tme Tme Worst e e+00 Worst e e+00 Average e e+00 Average e e+00 Best e e+00 Best e e+0 StdDev.07588e e- StdDev 3.368e e+00 Tme Tme Worst e e-0 Worst e e+00 Average e e-0 Average e e+00 Best e e-0 Best e e+0 StdDev e e-6 StdDev.356e e+00 Tme Tme Worst e e+00 Worst e e

10 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. 8 Average e e+00 Average e e+00 3 Best e e+00 Best e e+0 StdDev e e-09 StdDev e e+00 Tme Tme Çzelge 5 de yer alan unmodal ve onksyonları çn 30 çalışmada elde edlen en y çözümlere at, terasyon sayısına göre yakınsamayı gösteren grakler Şekl 7 ve 9 da ve en y değerlern yayılımını gösteren kutu grakler se Şekl 8 ve 0 da verlmştr. Şekl 0. çn kutu grakler (30-D) Şekl 7. çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (30-D) Çzelge 5 te bulunan onksyonlar çn örnek olarak alınan onksyonlara at grakler ncelendğnde, yakınsama eğrlernden ObGSA- yaklaşımının ObGSA- yaklaşımına göre daha y değerlere yakınsadığı görülmüştür. Fonksyonların 30 kez çözümünden elde edlen kutu graklerne bakıldığında se ObGSA- yaklaşımında onksyonu çn 5 adet değer, onksyonu çn se 3 adet değer sapma göstermştr, buna karşın her k onksyon çnde ObGSA- yaklaşımı 30 çalışmada da mnmum değer kararlılıkla yakalamıştır. Şekl 8. çn kutu grakler (30-D) Şekl 9. çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (30-D) Çzelge 6 da yer alan multmodal 8 ve 9 onksyonları çn 30 çalışmada elde edlen en y çözümlere at, terasyon sayısına göre yakınsamayı gösteren grakler ve en y değerlern yayılımını gösteren kutu grakler Şekl,, 3 ve 4 te gösterlmştr. Lteratürde rastlandığı gb benzer grakler çzelgedek bütün onksyonlar çn elde edlmş, akat çok azla yer kaplaması nedenyle çalışmada gösterlmemştr. Ama sonuç ve değerlendrmeler çn çalışmada verlmeyen graklerde dkkate alınmıştır. 93

11 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. yaklaşımına göre yakınsama yönünden üstünlüğü göze çarpmaktadır. Fonksyonların çözümünden elde edlen kutu graklerne bakıldığında se 8 onksyonu çn ObGSA- yaklaşımının mnmuma daha yakın br ortanca değer yakaladığı, 9 onksyonu çn se ObGSA- yaklaşımının ortanca değernn yüksek olmasına rağmen daha az sayıda sapma gösteren değere sahp olduğu görülmüştür. Şekl. 8 çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (30-D) Çzelge 7 de yer alan sabt boyutlu 4 ve 5 onksyonları çn 30 çalışma le elde edlen en y çözümlere at, terasyon sayısına göre yakınsamayı gösteren grakler Şekl 5 ve 7 de ve aynı onksyonlara at 30 çalışma çn en y değerlern yayılımını gösteren kutu grakler Şekl 6 ve 8 de verlmştr. Şekl. 8 çn kutu grakler (30-D) 0 0 Çzelge 7 den seçlen sabt boyutlu 4 ve 5 onksyonları çn çzdrlen graklerde, 4 çn ObGSA- yaklaşımının, 5 çn se ObGSA- yaklaşımının yakınsama bakımından üstünlüğü görülmektedr. Çözümlerden elde edlen kutu graklerne bakıldığında se 4 onksyonu çn yakınsamalarda olduğu gb ObGSA- yaklaşımının hem mnmuma daha yakın br ortanca değer yakaladığı hem de daha az sapma gösteren değere sahp olduğu anlaşılmaktadır. 5 onksyonu çn se ObGSA- yaklaşımdak 6 adet sapma gösteren değere karşın ObGSA- yaklaşımda sapma gösteren değer bulunmamaktadır. Şekl 3. 9 çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (30-D) Şekl 4. 9 çn kutu grakler (30-D) Şekl 5. 4 çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (-D) Çzelge 6 dan örnek olarak alınan onksyonlara at graklerde ObGSA- yaklaşımının ObGSA- 93

12 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. Şekl 6. 4 çn kutu grakler (-D) Şekl 7. 5 çn en y sonuçların elde edldğ yakınsama eğrler (4-D) Şekl 8. 5 çn kutu grakler (4-D) Çalışmada bütün onksyonlar çn elde edlen en y sonuçlar (Rashed vd. 009) da yer alan 30-D çn verlen en y sonuçlarla Çzelge 8 de karşılaştırılmıştır. Lteratürden alınan sayısal değerler, karşılaştırmaların daha kolay anlaşılablmes çn çalışmadak ormatla aynı şeklde yazılmıştır. Çalışmada gelştrlen ObGSA- ve algortmaları kend aralarında karşılaştırıldığında, en y sonuç değer çzelgede koyu renkle gösterlmştr. Çzelge D çn lteratür karşılaştırması Best Outputs mn GSA [] ObGSA- ObGSA e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+0 Çzelge 8 de verlen değerler ncelendğnde, ObGSA- ve le elde edlen sonuçların, GSA dan oldukça y oldukları görülmektedr. ObGSA-, 5 onksyonda GSA dan daha y sonuçlar bulmasına karşın, ObGSA-, 0 onksyonda daha y sonuçlara yakınsamıştır. ObGSA- ve kend aralarında karşılaştırıldığında se, ObGSA- nn yaklaşımının e göre daha üstün olduğu söyleneblr. Aynı parametre değerleryle yapılan çözümlerde ObGSA- 933

13 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. yaklaşımı, brçok onksyonda daha y sonuçlar yakalamıştır. 7. Perormans Değerlendrlmes Lteratürde bu tür çalışmaları statstk olarak karşılaştırablmek çn elde edlen sonuçlara eşleştrlmş t-test (Pared sample T-Test) ve Wlcoxon test uygulanmaktadır (Garca vd. 009). Ver sayısının az olması durumunda parametrk olan eşleştrlmş t-test tam doğru sonuç veremedğnden, parametrk olmayan Wlcoxon test uygulanarak daha hassas ve doğru sonuç elde edlmektedr. Bu nedenle Çzelge 8 de yer alan 3 adet test onksyonuna at GSA, ObGSA- ve algortmalarına at 30 çalışmanın en y değerler, eşleştrlmş t-test ve Wlcoxon test gb statstk değerlendrme testlerne tab tutulmuştur. Elde edlen statstk test sonuçları Çzelge 9 da verlmştr. Verlern analznde anlamlılık düzey lteratürdek gb 0.05 olarak alınmıştır. ObGSA- ve, 3 adet test onksyonu çn 30 kez çalıştırılmıştır. Elde edlen en y değerlern 30 çalışma çn kararlılıklarını gösteren grakler, seçlen, ve 4 onksyonları çn Şekl 9, 0 ve de gösterlmştr. Şekl 0. çn 30 çalışma en y sonuçları (30-D) Şekl. 6 çn 30 çalışma en y sonuçları (-D) ObGSA- algortması, aynı parametrelerle 30 çalışma değer çn ObGSA- algortmasına göre daha azla sayıda mnmum sonuca yakınsamıştır. Bu nedenle ObGSA- nn, ObGSA- den daha kararlı br yapıya sahp olduğu sonucuna varılmıştır. GSA ve ObGSA algortmalarıyla 3 adet test onksyonu çn elde edlen optmum değerler arasında anlamlı br arklılığın bulunduğu görülmektedr. Verler dkkatle ncelendğnde, bu anlamlı arklılığın ObGSA- lehne daha azla olduğu görülmektedr. Şekl 9. çn 30 çalışma en y sonuçları (30-D) Çzelge 9. 3 onksyonlarına at 30 çalışma ve 30-D çn elde edlen en y değerler çn statstk test sonuçları T-Test (p-değer) Wlcoxon (p-değer) 7 GSA vs ObGSA GSA vs ObGSA ObGSA- vs GSA vs ObGSA GSA vs ObGSA ObGSA- vs

14 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. 4 3 GSA vs ObGSA GSA vs ObGSA ObGSA- vs GSA vs ObGSA GSA vs ObGSA ObGSA- vs onksyonları çn GSA nın, ObGSA- le arasında anlamlı br arkın olmadığı ( p 0.05), akat ObGSA- le aralarında anlamlı br arklılık olduğu ( p 0.05) görülmüştür. 83 onksyonları çn GSA le her k yaklaşım arasında da anlamlı br ark olmasına rağmen ( p 0.05), 43 onksyonları çn anlamlı br arklılığın olmadığı ( p 0.05) görülmüştür. Çözümü yapılan onksyonların tamamına 43 bakıldığında se, GSA algortması le her k yaklaşım arasında da yapılan çalışmanın amacını doğrular ntelkte anlamlı arklılıklar olduğu ( p 0.05) görülmüştür. Verler dkkate alındığında, bu anlamlı arklılığın ObGSA- yaklaşımı lehne daha azla olduğu görülmektedr. Teşekkür Bu çalışma Dumlupınar Ünverstes, Blmsel Araştırma Projeler Komsyonu (BAP) taraından, nolu proje kapsamında desteklenmştr. 8. Sonuç Çalışmada zıt konumlu öğrenme yapısı GSA ya k arklı yaklaşımla entegre edlerek ObGSA- ve algortmaları gelştrlmştr. Her k yaklaşımda 3 adet test onksyonu çn 30 ar kez çözülmüştür. Bu çözümlern tamamında ObGSA- ve algortmaları GSA dan daha y sonuçlar vermştr. Bu nedenle optmzasyon problemlernn çözümünde daha y sonuçları daha kısa sürelerde elde etmek çn bu çalışmada gelştrlen yaklaşımlar terch edleblr. Yaklaşımlar arasında br karşılaştırma yapıldığında se ObGSA- nn den uygunluk, kararlılık ve süre bakımından daha y olduğu görülmüştür. Ekler Ek Çzelge : ( x ) onksyonundak 4 a j katsayıları j a, j Ek Çzelge : ( x ) onksyonundak 5 a ve b katsayıları a b Ek Çzelge 3: ( x ) onksyonundak, 9 a c ve P j katsayıları aj, j,,3 c Pj, j,, j Ek Çzelge 4: ( x ) onksyonundak, 0 a c ve P j katsayıları aj, j,,3,4,5,6 c Pj, j,,3,4,5,6 j 935

15 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd Ek Çzelge 5: ( x), ( x ) ve ( x ) onksyonlarındak 3 a j ve c katsayıları aj, j,,3,4 c Kaynaklar Askarzadeh, A., 06. A novel metaheurstc method or solvng constraned engneerng optmzaton problems: Crow search algorthm, Computers and Structures, 69, -. Cheng, M.Y., Prayogo, D., 04. Symbotc organsms search: A new metaheurstc optmzaton algorthm, Computers and Structures, 39, 98-. Cura, Tunçhan, 008. Modern sezgsel teknkler ve uygulamaları. Papatya Yayıncılık, 4-5. Doğan, B., Ölmez, T., 05. A new metaheurstc or numercal uncton optmzaton: Vortex search algorthm, Inormaton Scences, 93, Ergezer, M., Smon, D., and Du, D., 009. Oppostonal bogeography-based optmzaton, n: Proceedngs o IEEE Internatonal Conerence on Systems, Man, and Cybernetcs (ICSMC 09), pp García, S., Molna, D., Lozano, M., and Herrera, F., 009. A study on the use o non-parametrc tests or analyzng the evolutonary algorthms behavour: a case study on the CEC 005 Specal Sesson on Real Parameter Optmzaton, Journal o Heurstcs, 5, Geem, Z.W., Km, J.H., and Loganathan, G.V., 00. A new heurstc optmzaton algorthm: Harmony search, Smulaton, 76 (), Goldberg, D.E., Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Machne Learnng, 989. Addson-Wesley Publshng Company, Inc. Karaboğa, D., Baştürk, B., 007. A powerul and ecent algorthm or numercal uncton optmzaton: Artcal bee colony (ABC) algorthm, Journal o Global Optmzaton, 39 (3), Kashan, A.H., 05. A new metaheurstc or optmzaton: Optcs nspred optmzaton (OIO), Computers and Operatons Research, 55, Kaveh, A., Talahatar, S., 00. A novel heurstc optmzaton method: Charged system search, Acta Mechanca, 3 (3-4), Kennedy, J., Eberhart, R., 995. Partcle Swarm Optmzaton, Proceedngs o IEEE Internatonal Conerence on Neural Networks, L, C., Zhou, J., 0. Parameters dentcaton o hydraulc turbne governng system usng mproved gravtatonal search algorthm, Energy Converson and Management, 5 (), Mrjall, S., 05. Moth-lame optmzaton algorthm: A novel nature-nspred heurstc paradgm, Knowledge-Based Systems, 89,

16 Nümerk Fonksyonların Optmzasyonu çn Karşıt Tabanlı Yen Br Meta-Sezgsel Algortma, Temurtaş vd. Mrjall, S., 06. SCA: A sne cosne algorthm or solvng optmzaton problems, Knowledge- Based Systems, 96, Mrjall, S., Lews, A., 06. The whale optmzaton algorthm, Advances n Engneerng Sotware, 95, Mrjall, S., Mrjall, S.M., and Hatamlou, A., 06. Mult-verse optmzer: A nature -nspred algorthm or global optmzaton, Neural Computng and Applcatons, 7, Mrjall, S., Mrjall, S.M., and Lews, A., 04. Grey wol optmzer, Advances n Engneerng Sotware, 69, Omran, M.G.H., 009. Usng opposton-based learnng wth partcle swarm optmzaton and barebones derental evoluton, Partcle Swarm Optmzaton, Aleksandar Laznca (Ed.), InTech, Rahman, R., Yuso, R., 04. A new smple, ast and ecent algorthm or global optmzaton over contnuous search-space problems: Radal movement optmzaton, Appled Mathematcs and Computaton, 48, Rahnamayan, S., Tzhoosh, H.R., and. Salama, M.M.A., 008. Opposton-based derental evoluton, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, (), Rajaboun, R., 0. Cuckoo optmzaton algorthm, Appled Sot Computng,, Rashed, E., Nezamabad-pour, H. and Saryazd, S., 009. GSA: A gravtatonal search algorthm, Inormaton Scences, 79 5 (3), Rashed, E., Nezamabad-pour, H. and Saryazd, S., 00. BGSA: Bnary gravtatonal search algorthm, Natural Computng, 9 (3), Rashed, E., Nezamabad-pour, H., and Saryazd, S., 0. Flter modelng usng gravtatonal search algorthm, Engneerng Applcatons o Artcal Intellgence, 4, 7-. Sngh, R.P., Mykherje, V., and Ghoshal, S.P., 03. The opposton-based harmony search algorthm, Journal o the Insttuton o Engneers (Inda): Seres B, 94 (4), Storn, R., Prce, K., 997. Derental evoluton - A smple and ecent heurstc or global optmzaton over contnuous spaces, Journal o Global Optmzaton,, Swan, R.K., Sahu, N.C., and Hota, P.K., 0. Gravtatonal search algorthm or optmal economc dspatch, Proceda Technology, 6, Tzhoosh. H.R., 005. Opposton-based learnng: A new scheme or machne ntellgence, n: Proceedngs o Internatonal Conerence on Computatonal Intellgence or Modellng, Control and Automaton, and Internatonal Conerence on Intellgent Agents, Web Technologes and Internet Commerce (CIMCA- IAWTIC 05), vol. I, pp Zahr, S.H., 0. Fuzzy gravtatonal search algorthm an approach or data mmng, Iranan Journal o Fuzzy Systems, 9 (), -37. Zhang, W., Nu, P., L, G., and L, P., 03. Forecastng o turbne heat rate wth onlne least squares support vector machne based on gravtatonal search algorthm, Knowledge-Based Systems, 39, Zheng, Y.J., 05. Water wave optmzaton: A new nature-nspred metaheurstc, Computers and Operatons Research, 55,