1. BÖLÜM GİRİŞ İstatistiğin kökeni ve tanımı

Transkript

1 . BÖLÜM GİRİŞ.. İstatstğ köke ve taımı İstatstk kelmes lk defa km tarafıda kullaılmış olması tartışma kousu olmakla brlkte, bazı blm adamlarıa göre lk defa Almaya da Achewall (79-79) tarafıda kullaıldığı, bazılarıa göre de İtalya da Ghl tarafıda kullaıldığı belrtlmektedr. İstatstk kelmes, İtalyaca devlet adamı alamıa gele Statsta kelmesde veya latce devlet ve durum alamıa gele Status kelmesde gelmş olableceğ düşüülmektedr. İstatstğ doğuşu ve kullaışı bakımıda tarh seyr dkkate alıdığıda, lk döemlerde devlet dares ç gerekl bazı blgler elde etme yötem olarak düşüüldüğü alaşılmaktadır. Batı dllerde olduğu gb Türkçe de de statstk kelmes br kaç alamda kullaılmaktadır. Brc alamı sayısal verdr. Bu alamda çoğul olarak kullaılır. Öreğ; Ölüm statstkler, Sağlık statstkler, Dış tcaret statstkler gb. İkc alamı: Örekte elde edle ve öreğ karakterze ede değerlere statstk der. Üçücü alamı se statstk yötem yada blm alamıdır. Bu alamı le statstk; üzerde durula özellk le lgl sayısal verler, gözlem veya deey yolu le doğru olarak toplaması, özetlemes, bu verler adı geçe özellğe etk ettğ düşüüle usurlara göre aalz edlmes, dğer özellkler le ola lşkler saptaması, elde edle souçları yorumlaması ve bu souçları tümevarım (düksyo) yaklaşımı le populasyoa geelleştrlmese lşk yapıla çalışmaları tümüdür... İstatstğ tarhçes Yaşamı başlagıcıda ber; saları kedlere at doğum, ölüm, evleme, mal varlığı gb bazı olayları celeme ve kaydetme htyacı duymuş olmaları dkkate alıdığıda, saları toplu yaşamaya başladıkları güde ber dolaylı olarak statstk le lglemş oldukları kabul edlmektedr. Tarh, Mısırlılar, Yualılar, Çller, Romalılar ve Türkler mal ve asker güçler dğer toplumlarla karşılaştırmak ve bua göre de km güçlü km güçsüz olduğuu belrleyerek, savaş stratejler yö verme amacıyla statstk yaptıklarıı göstermektedr. Mısırlıları tcaret ve üfus statstklere öem verdğ, her yıl mal ve asker sayım yaptıkları belrtlmektedr. M.Ö.. yıllarda Kral Amass üfusu her yıl sayılmasıı emrettğ ve üfus memurlarıa adıı, mesleğ ve gelr bldrmeyeler ölüm cezasıa çarptırılacağı tarh ktaplarıda yer almaktadır. Yuasta da üfus hareketler belrlemeye yöelk kütükler bulumakta ve dış ülkelerde gele ürüler kayıtları tutulmakta d. Ayrıca, Ata da rahpler doğumları kayıt etmekte d. 8-8 yıllarıda İgltere de Doomsyday Book adı verle br kütükte; kotlukta mevcut bölgeler, yüzölçümü, haeler, sahpler ve hayva sayılarıa at blgler kaydedlmştr. İstatstğe, slamyette de öem verlmştr. Mısırı Müslümalar tarafıda ele geçrlmes le brlkte burada sayım yapılmış, Abbasler ve Edülüs Emevler üfus sayımları yaıda mal varlıklarıı da tespt etmşlerdr. Selçuklular zamaıda devlet gelr ve gder durumları tablolar halde kaydedlmştr. Osmalılar döemde toprak yazımları yapılmış, Kau Sulta Süleyma, geel br üfus sayımı yaptırmayı ve buu belrl br döemlerde tekrar edlmes düşümüş acak bu pek fazla uygulaamamıştır. Bu döemlerde tutula statstkler; mutazam olmayıp, sadece devlet dare ve htyaçlarıa cevap verecek şeklde metodolojk eksklğ ola blglerd. Frasa da yılıda, dış tcaret statstkler hazırlamasıa başlamış ve 7 yılıda, Dış tcaret rakamlarıı toplamak üzere özel br büro tay edlmştr. Bu ülkede esas statstk bürolarıı kurulmasıa 8 yılıda başlamıştır. İgltere de lk statstk bürosu 8 yılıda kurulmuş ve bu büro şmdye kadar kurula statstk bürolarıı e esks sayılmaktadır. 7. yüzyıla kadar ola statstğe at kayıtlar geel olarak celedğde; statstğ devletler değşk tarf ve taımlarıa at olduğu görülür. lı yıllarda Helma Corg (-8) lk defa bu döeme at yayımlamış ola poltk ve ekoomk çerkl blgler kısıma ayırarak üverstede okutmaya başlamıştır. Daha sora Achewall (79-77) statstğe daha sstematk br şekl vererek statstğ üverstede yer sağlamlaşmasıı sağlamıştır. Bu çalışmalar, kısa sürede dğer Avrupa ülkelere de yayılmıştır. Moder statstğ orj 7. yüzyıla kadar uzamaktadır. İstatstğ gelşm k kayakta ortaya çıktığı düşüülmektedr. Bularda brcs; poltk blmlerle lgl olup, devlet yada hükümet, farklı özellkler (ekoomk, sosyal, asker vb) bakımıda durumuu rakamsal veya sayısal olarak taımlamak amacıyla olduğu ve bu edele de devlet veya durum alamlarıa gele state adıı aldığı düşüülmektedr. Bu kou ayı zamada poltka artmetğ olarak da blmektedr. Vergler ve sgortacılık şlemler; saları üfus sayımı, yaşam sürec ve ölüm oraı gb koularla lglemeye yöeltmştr. Bu koular, özellkle İgltere de mparatorluğu gelşm sürecde ülke başarısı olarak varsayılmakta d. Bu döemlerde; yaşam statstkler

2 le lglee lk blm adamlarıı İglz Joh Graut (- 7) ve Wllam Petty (-87) olduğu belrtlmektedr. Daha sora bu blm adamlarıı dğerler zlemştr. Moder statstğ kc çıkış köke şas oyularıa dayadırılmaktadır. Boş zamalarda şas oyularıı oyaması, olasılık teors gelşmese vme kazadırmıştır. Her ks de Frasız blm adamı ola Blase Pascal (-) ve Perre de Fermat (-) olasılık teors gelşmese öeml katkılar yapmıştır. İsveçl blm adamı ola Jacques Beroull (-7) se moder olasılık teors kurucusu olarak blr. İgltere de yaşamış Frasız blm adamı Abraham de Movre (7-7), yıllık değerler belrlemesde; lk olarak olasılık teors le gülük statstğ kombe etmştr. Normal dağılım eğrs veya hataları ormal dağılımı, statstğ gelşmesde öeml br yer tutmaktadır. Normal dağılım eğrse at eştlk lk olarak 7 yılıda De Movre tarafıda yayımlamıştır. Acak, De Movre bu eştlğ deeysel gözlemlere uygulaableceğ kousuda her hag br ddası yoktu ve bu çalışmaı öem 9 yılıda Karl Pearso br kütüphaede bu çalışmayı bulmasıa kadar blemed. De Movre ayı zamada, Bomyal dağılımda ormal dağılımı öeme yaklaşa lk blm adamıdır. De Movre eştlğe bezer souçlar, k matematkç ve astroomc ola Laplace (79-87) ve Gauss (777-8) tarafıda br brde bağımsız olarak gelştrlmştr. Gauss u statstğe katkısı e küçük kareler metoduu gelştrmekle olmuştur. Belçkalı matematkç ve astroomc ola Adolphe Quetelet (79-87) se statstğ teors, uygulama metotları le brleştrerek buları byoloj, tıp ve sosyoloj alaıdak problemlere uygulamış ve bu alalarda statstğ kullaılmasıı sağlamıştır. Quetelet, ayı zamada moder statstğ gelşm sağlamış, statstk varyasyo ve dağılımlar osyouu gelştrmştr. İstatstk 9. yüzyılda da gelşm sürdürmüş ve bu yüzyılda yaşamış ola Galto (8-9) Byometr ve Geetğ babası olarak adladırılmaktadır. Galto u Byolojye öeml katkısı, Byolojk varyasyoa statstk yötemler uygulamasıdır. Bular arasıda byolojk varyasyou aalz ve byolojk ölçümlerde regresyo ve korelasyo çalışmaları sayılablr. Galto le ayı döeme rastlaya; Florece Nghtgale (8-9) lk ülü baya statstkçdr. Nghtgale, moder hemşrelğ kurucusu olmasıı yaı sıra; sağlık ve yaşam statstkler grafk olarak gösterlmese ve derlemese öcülük edem ülü br matematkçdr. Karl Pearso (87-9), Galto u zde gderek, statstğ Byolojye uygulamaya devam etmş, taımlayıcı statstklerle ve korelasyo statstkler le lglemştr. Pearso yaklaşık yarım yüzyıla at sürec statstk araştırmalara harcamış ve buu yaı sıra; Bometrka dergs ve statstk okuluu kurmuştur. Böylece statstk çalışmaları ye br vme kazamıştır. Pearso, çalışmalarıı geellkle büyük öreklerle yapmakta d. Acak, bazı araştırmalarda büyük örek bulmadak zorluklar küçük öreklerle çalışılma gereksm ortaya çıkardı. Karl Pearso u öğrecs ola W. S. Gosset (87-97) bra fabrkasıda çalışa br blm adamı d. Gosset matematğ, örek stadart sapmalarıı kes dağılımı, örek ortalamasıı örek stadart sapmasıa oraıı dağılımı ve örek korelasyo katsayısıı örek stadart sapmasıa oraıı dağılımı kouları üzere yoğulaştı. Gosset, oyu kağıtlarıı dzlmes, hesaplaması ve amprk frekas dağılımlarıı derlemes le lgl makaleler 98 yılıda Studet takma adı le Bometrka dergsde yayımladı. Bugü Studet t dağılımı, statstkçler ve araştırıcılar ç öem korumaktadır. Yrmc yüzyıla geldğde, Pearso da ve Gosset te etklee Fsher (89-9) statstğe öeml katkıları le dkkat çekmektedr. Fsher ve öğrecler, statstk şlemler br çok alada, özellkle Zraat, Byoloj ve Geetk alaıda uygulaması le statstğ gelşme vme kazadırmıştır. J. Neyma ve Karl Pearso u oğlu E. S. Pearso (89-98) 9 ve 98 de statstk hpotez testler teors gelştrmşlerdr. İstatstğ gelşme katkıda bulua blm adamlarıda br de Abraham Wald (9-9) dır. Wald ı Sequetal Aalyss ve Statstcal Decso Fuctos adlı ktapları statstğe öeml katkı sağlamıştır. Gech Tagguch (9-) deeme deseler le statstğe katkı sağlaya br dğer blm adamıdır. Bu yüzyılda br çok statstk yötem gelşm hala devam etmektedr. Osmalı devletde lk statstk dares 87 yılıda kurulmuş ve müdürlüğüe br Rus tay edlmş, acak 877 Osmalı-Rus savaşı le bu dare kapatılmıştır. Daha sora, 89 yılıda İstatstk darelere at zamame le statstğ Osmalılarda uygulamasıa başlamış, Cumhuryet döemde (9-9 yılları arasıda) statstk çalışmaları tammlerle yürütülmüş, daha sora Devlet İstatstk Esttüsü (DİE) kurularak, bu kurum statstk şler yürütmüştür. yılıda ber bu kurum, Türkye İstatstk Kurumu (TÜİK) adı altıda çalışmalarıı sürdürmektedr. Sağlık alaıda lk statstğ kullaılmasıa 7. yüzyılda başlamıştır. Bu başlagıcı etkleye e öeml faktörü başıda bulaşıcı hastalıklar gelmektedr. Bulaşıcı hastalık salgıları le mücadele edeblmek ç hastalığı e çok yayıldığı bölgeler, hastalığa e çok yakala kşler yaşı, csyet gb bazı blgler toplaması gerekmektedr. Bu amaçla öce taıtıcı statstkler daha sorada aaltk statstkler sağlık alaıda kullaılmaya başlamıştır. 9. yüzyılda İgltere de doğum ölüm ve evleme le lgl br büro kuruldu. Bu büro. yüzyılda hastalık statstkler le de lglemeye başladı. Ülkemzde sağlık alaıda lk statstklere 9 yılıda rastlamaktadır. Ye bu yılda doğum ve ölümler hakkıda blgler kaydedld.

3 .. İstatstğ öem Gülük hayatta, br çok doğum, evleme, boşama, ölüm, hastalık, fyat artışı, suç, thar gb br takım Byolojk, ekoomk ve sosyal olaylar meydaa gelmektedr. Her gü değşk sıklıkla meydaa gele bu olaylar ç bazı sorular akla geleblr. Bu soruları çözümü ç bazı blglere htyaç vardır. Bu blgler e kadar ve e çeşt blglerdr? Bu blgler elde edldkte sora e yapılablr? Öreğ, kalp krz egelleye br laç asıl test edleblr? Sgara çmek, akcğer kasere yakalama rsk e kadar artırmaktadır? Normalde daha ağır doğa bebekler yaşama şası ormal ağırlıkta doğa bebeklerde daha düşük müdür? İşte statstk bu gb sorulara cevap aramaya yardımcı olur. Bezer şeklde; Türkye dek doğum ve ölüm oraı, ortalama ekmek fyatı, ortalama yaşam süres hakkıda blg edlmek steeblr. Bu gb koular hakkıda blg edmek ç bazı hesaplamalar yapmak gerekr. Bu hesaplamaları doğru ve güvelr olablmes ç bazı statstk yötemler kullaılması gerekr. Öreğ, statstk yötemler olmadığı çok esk döemlerde, br erkek çocuğa karşılık kız çocuğuu doğduğu dda edlyordu. Bu hatalı ddaı gerekçes se aleler çoğulukla erkek çocuk styor olması ve kız çocuğu doğduğuda, kş bekletse ters br durumda dolayı soucu daha çok dkkat çekyor olmasıdır. Bezer şeklde, br döemde Hdsta da her kadıa erkek düştüğü dda edlyordu. Bu hatalı durum, gözlee vakaları tam br tesadüflk lkes le gözlemedğde ve bu şeklde br souç vermes yöüde seçme breyler alımasıda kayaklamıştır. İstatstğ, gülük hayatta her a kullaıldığıı söylemek abartı olmaz. Evde, okulda, hastaede ve şyerde kullaıla her türlü alet ve ekpmaı, yele yyeceğ, çle çeceğ ve hastalıkları tedavsde kullaıla laçları gelştrlmesde statstk yötemler kullaılmıştır. Gülük hayatta verle kararları br çoğuda, statstkte yararlaılır. Her gü tüketle ekmeğ üretldğ buğday çeşd, u yapımıda kullaıla alet, e uygu pşrlme sıcaklığıı ve pşrme şekl belrlemesde statstk yötemlerde yararlaılmıştır. Kullaıla elektrok aletler kullaım süres ve ortalama ömrüü belrlemesde, gyslerde kullaıla plkler gelştrlmesde, hava raporlarıda ve laçları gelştrlmesde statstk yötemler kullaılmaktadır. Burada sayılmaya dğer her alada statstk kullaılmaktadır. İstatstk poztf blmlerde araştırma yapa tüm araştırıcıları kulladığı yötemler çermektedr. İstatstğ devlet poltkası ç de öem büyüktür. Öreğ, mll eğtm poltkasıı belrlemesde ve plalamasıda, e kadar öğretmee, okula ve eğtm araçlarıa gereksm duyulduğu, sağlık şler başarılı br şeklde yürütüleblmes ç halkı e kadarıı e tür hastalıklara maruz kaldığı, e kadar ve e çeşt laca, hekme ve sağlık persoele htyaç duyulduğuu belrlemes gerekr. Saay ç uygu klm, şgücü ve eerj htyaçlarıı belrlemes gerekr. Bular ç uygu statstk yötemler kullaılmasıa gerek vardır. Blmsel araştırmalarda, özellkle deeysel çalışmalarda, kurula hpotezler test edlmesde statstğe gerek vardır. Uygu br statstk yötem kullaılmada yapıla br çalışmaı, blmsel çalışma olarak kabul edlmes heme heme hç mümkü değldr. Br yöredek topraklarda e verml ve e ekoomk olarak hag ürüü yetştrleceğ, ayı yöre ç süt üretm yapmak üzere hag ırkı uygu olacağı, o yörede yaşaya breyler araba markası terchler e olduğu gb koularda statstk yötemlere htyaç vardır. İstatstğ sağlık blmlerdek öem k başlık altıda celeeblr. Klkte uygulaa teşhs ve tedavlerde br dğere ola üstülüğüü belrlemesde statstk yötemler kullaılır. Halk sağlığı açısıda: Bölge ve toplumu sağlık durumuu tetkk edlmesde, bölge üfusu, yaşı csyet dağılımı, ölüm oraı ve sebepler le lgl blgler elde edlmesde, üzerde durula özellkler bakımıda bölgeler karşılaştırılmasıda, lgl sağlık tessler plalamasıda ve koruyucu tedbrler alımasıda statstk yötemler kullaılır... Bazı kavram ve taımlar Üzerde durula özellk le lgl sayısal verler, gözlem veya deey yolu le doğru olarak toplaması, özetlemes, bu verler adı geçe özellğe etk ettğ düşüüle usurlara göre aalz edlmes, dğer özellkler le ola lşkler saptaması, elde edle souçları yorumlaması ve bu souçları tümevarım (düksyo) yaklaşımı le populasyoa geelleştrlmese lşk yapıla çalışmaları tümü İstatstk Yötemler olarak blr. Yötem blm olarak statstk; matematksel (teork) statstk ve uygulamalı statstk olmak üzere k başlık altıda rdeler. Matematksel statstk, statstkte kullaıla yötemler matematksel teors le lglee blm dalıdır. Uygulamalı statstk se matematksel statstğ gelştrmş olduğu yötemler lgl alalarda uygulaya şlev kotrol ede souçlarıı yorumlaya blm dalıdır. Uygulamalı statstk; uygulama alalarıa göre ), Ekoometr, Sosyometr, Atropometr, Arkeometr ve Byometr (Byostatstk gb blm dallarıa ayrılmıştır.

4 Ekoometr; statstğ Ekoomk verlerde, Sosyometr; sosyal blmlerde, Atropometr; Atropolojde ve Arkeometr se Arkeolojde uygulamasıdır. Byometr (Byostatstk), statstk yötemler Byoloj alaıda uygulamasıı ve elde edle souçları yorumlamasıı çerr. Bu ala, Zooloj, Botak, Zraat, Tıp, Veterer Hekmlğ, Dş Hekmlğ ve Eczacılık gb dspller kapsar. Acak, so zamalarda; Byostatstk, statstğ Sağlık blmler (Tıp, Eczacılık ve Dş hekmlğ) alaıda uygulaması ç kullaılmaktadır. Daha geş alamı le Byostatstk, sağlık blmler le lgl verler, gözlem veya deey yolu le doğru olarak toplaması, özetlemes, bu verler adı geçe özellğe etk ettğ düşüüle usurlarıa göre aalz edlmes, dğer özellkler le ola lşkler saptaması, elde edle souçları yorumlaması ve bu souçları populasyoa geelleştrlmes le lgl çalışmaları kapsaya blm dalıdır. Farklı uygulama alalarıda, düşüülmemeldr. statstk yötemler (metotlar) arasıda herhag br fark olduğu Byostatstk, k başlık altıda celeeblr. a) Taımlayıcı (Descrptve) Byostatstk: Populasyo le lgl taıtıcı statstkler (yerleşm ve değşm ölçüler, tablolar yada grafkler) oluşturulması şlemler kapsar. b) Aaltk (Aaltcal) Byostatstk: Üzerde durula özellkle lgl varsayımları (ö şartları) test edlmes, uygu souçları elde edlmes, populasyoa lşk kararlar alıması ve geelleme yapılması le lgl şlemler kapsar. Üzerde durula özellk (değşke) bakımıda verler, gözlemler ya da rakamlar; deek, deey ütes, gözlem brm, olgu, vaka (case) veya öreklem brm adı verle breylerde veya eselerde elde edlr. Gözlemler (verler) elde edlmş olduğu sıırlı sayıda brey çere ve lgl populasyou temsl edeble topluluklara ya da gruplara örek veya öreklem adı verlr. Ya örek, üzerde durula özellk bakımıda lgl populasyoda alıa ve at olduğu populasyou temsl edeble sıırlı sayıda brey (deey ütes) çere gruba der. Kedsde rakam elde edle, üzerde ölçüm yapıla e küçük brme Deey ütes (deek) der. Deey ütelerde ölçülmüş ola her br rakama se ver (data, varyat) adı verlr. Bazı durumlarda ölçüm hassasyet artırmak amacıyla ayı deey ütesde brde fazla ölçüm yapılablr. Bu ölçümlere paralel adı verlr. Belrl br özellk bakımıda örekte elde edle değerlere statstk der. Yötem blm olma dışıda statstk kelmes dğer br alamı da budur. İstatstkler, bugü kullaıla Lat alfabes harfler le (a, b, r gb) gösterlr. Ye üzerde durula özellk bakımıda teork olarak sosuz veya sosuza yakı sayıda brey çere topluluklara populasyo, evre, toplum, yığı veya aa ktle der. Populasyo değerlere se parametre adı verlr. Deeysel çalışmalarda bazı araştırıcılar, parametre term üzerde çalışıla özellk ç kullamakta ve parametre le çalışıldı, araştırmada parametreye bakıldı gb hatalı fadeler kullamaktadırlar. Üzerde durula özellkler (değşkeler) ç parametre term kullamaı yalış olduğu uutulmamalıdır. Parametreler, Yua alfabes harfler le (,, gb) gösterlr. Öreğ, üverste öğrecler ağırlıkları üzerde durulduğu varsayılsı. Bu bakımda, her e kadar çde sosuz adet brey mevcut değlse de, üverste öğrecler tümü br populasyo olarak düşüüleblr. Üzerde durula özellk bakımıda bütü üverste öğrecler teker teker elde geçrmek oldukça zama alıcı ve ezyetl br ştr. Bua karşılık, br sııftak öğrecler adı geçe populasyoda tesadüfe ya kura le alımış br örek olarak düşüüleblr. Bu öreğ oluştura breyler teker teker tartılıp, sııfı ağırlık ortalaması buluablr. Bu ortalama mesela kg. olarak bulumuş olsu. Bu değer örekte elde edlmş br değer olduğu ç br statstktr. Bu statstk, Lat alfabes harflerde herhag brs le mesela A harf le gösterleblr. A kg (ortalama söz kousu olduğuda, harf üzere yatay br çzg kour; B, X, Ş vb). Örekte hesaplamış ola bu değer ya statstk, blmeye populasyo değer ya parametre (bu da Yua alfabes harflerde (mü) le gösterlr) br tahmdr. Dolayısıyla, örekte hesaplaa her değer (statstk), adı geçe özellk bakımıda populasyo değer (parametre) br tahmdr. Ne var k, öeml ola böyle br tahmdek sabet (doğruluk) dereces % olması yalız ve acak öreğ, populasyou oluştura sosuz veya sosuza yakı sayıdak breyler tümüü çermes halde mümküdür. Bu se her zama gerçekleştrlemez. Zra, teork olarak solu ola sa ömrü, sosuz veya sosuza yakı sayıdak brey celemeye (ölçmeye, tartmaya, aalz etmeye vs.) yetmez. Acak bazı öeml ayrıtılara dkkat edlrse, statstkte yola çıkarak parametrey tahm etmedek sabet (doğruluk) dereces yükseltleblr. İsabet dereces yüksek olması aşağıdak hususlara bağlıdır. Her şeyde öce, örek; üzerde durula özellk bakımıda, adı geçe populasyou temsl etmeldr. Yukarıdak örekte, "Üverste öğrecler oluşturduğu populasyou ağırlık ortalaması" üzerde durulmuştur. adet lköğretm öğrecs (k bu br örektr) ağırlıklarıı tartıp ortalamasıı (k bu da br statstktr) buldukta sora, bu statstğe bakarak, üverste öğrecler oluşturduğu populasyou ağırlık ortalaması (k bu br parametredr) hakkıda br tahmde buluulursa, bu tahmdek sabet (doğruluk)

5 dereces % olacağı belldr. Zra, adı geçe örek, üzerde durula özellk bakımıda populasyou hç temsl etmemektedr. Öreğ populasyou temsl etmes her şeyde öce, araştırıcıı blg düzey le lgldr. Yukarıdak msalde, araştırıcı lköğretm öğrecler le üverste öğrecler brbrde ayırt edemyorsa; ou, üverste öğrecler temsl ede br örek alması mümkü değldr. Bezer şeklde, ye doğmuş bebekler csyetler brbrde ayırt edemeye br araştırıcıı, erkek ve kız bebek populasyouu temsl ede br örek alması; Yafa ve Valesya portakal çeştler, Barbuya ve Şeker fasulye çeştler, buğday ve mısır uuu, vşe ve portakal suyuu brbrde ayırt edemeye br araştırıcıı adı geçe populasyoları temsl edeble örekler alması ve dolayısıyla da bu öreklerde elde edle değerlere (ya statstklere) bakarak populasyo değerlere (ya parametrelere) yöelk sabet (doğruluk) dereces yüksek ola tahmlerde buluablmes mümkü değldr. Zra böyle durumdak br araştırıcıı almış olduğu örekler ey temsl ettğ blmek mümkü değldr. Örek, üzerde durula özellk bakımıda, populasyou mümkü olduğu kadar y temsl etmeldr. Bu se öreğe alıacak her breye ayı şası vermekle, ya öreğe alıacak breyler populasyo çde tamame tesadüfe (rasgele), kura çekerek almakla mümkü olur. Üverste öğrecler populasyouda örek alırke, sadece boyu 9 cm üzerdek öğrecler alarak oluşturula örek, populasyou y temsl etmez. Zra bu boydak öğrecler, kısa ve orta boylularda daha ağırdırlar. Her e kadar örek çdek brey aded (ya, örek geşlğ) mümkü olduğu kadar fazla olması arzu edlrse de, bu durum baze sağlıksız sayısal değerler toplamasıa sebep olablr. Ye doğmuş fareler veya yumurtada ye çıkmış cvcvler oluşturduğu br populasyou ağırlık ortalaması (bu ortalama br parametredr) hakkıda blg edlmek steldğ varsayılsı. Bu amaçla, acak - güde tartılablecek fazlalıkta fare yavrusu veya cvcv alıırsa, bu şeklde elde edlecek sayısal değerler sağlıklı olmayacaktır. Bezer şeklde ye doğmuş bebekler ağırlık ortalamasıı bulmak ç - güde tartımı yapılacak kadar çok sayıda bebek alıırsa elde edle sayısal değerler sağlıklı olmayacaktır. Çükü, lk tartılalar le so tartılalar arasıda - gülük yaş farkı olacağıda, so tartılalar bu süre çersde br mktar büyümüş olacaklar ve (lk döemlerde büyüme hızlıdır) daha ağır olacaklardır. Örek çde e kadar brey olması gerektğ üzerde durula özellk bakımıda breyler arasıdak farklılık (değşm varyasyo) le lgldr. Br sııftak öğrecler, br populasyo olarak varsayılsı. Üzerde durula özellkler de, bu populasyou vücut sıcaklığı ve boy bakımıda ortalamaları (buları her br brer parametredr) olsu. Bldğ gb sağlıklı salarda vücut sıcaklığı bakımıda gözlee farklılıklar (varyasyo) küçük olmasıa karşılık, boy uzuluğu bakımıda gözlee farklılıklar (varyasyo) daha büyüktür. Böylece, boy uzuluğu üzerde durulduğuda; statstğe bakarak, populasyo değer ola parametre hakkıdak yapılacak tahmdek sabet dereces yüksek olması ç vücut sıcaklığıa göre daha fazla sayıda brey çere örek alımalıdır. Dolayısıyla, vücut sıcaklığı özellğe lşk parametre tahmde daha az sayıda brey le yetleblr. Üzerde durula özellk bakımıda breyler arasıda hç br farklılık yoksa, (böyle br durum çok adrdr) tek br brey çere örekte elde edlecek statstk, populasyo değere ya parametreye eşt olacaktır. Ekstrem br msal olarak, sağlıklı bebek populasyouda, bebekler sağ ellerdek ortalama parmak b,lmek stes. Bu amaçla alıacak öreğ çersde sadece br adet bebeğ olması yeterldr. Çükü, sağlıklı bebekler sağ ellerdek parmak sayıları arasıda br farklılık yoktur. Örek çde kaç adet brey olması gerektğ, parametre tahmdek amaçla da lgldr. Deey fareler ortalama doğum ağırlıkları hakkıda kabaca br fkr edmek steye br araştırıcı, br kaç ye doğmuş deey fares tartıp ortalamasıı almakla merakıı gdermş olur. Bua karşılık, Geetk parametreler le lglee br Geetkç, örek çersde çok daha fazla fare yavrusu bulumasıı arzu edecektr... Üzerde durula özellk bakımıda deey ütelerde verler toplamasıda dkkat edlecek hususlar Verler (sayısal değerler veya rakamları) elde edlmesdek e öeml husus, buları doğru olmasıdır. Uutulmamalıdır k, yalış verlerde yola çıkarak, doğru souç elde etmeye yöelk hç br statstk yötem yoktur. Dolayısıyla, yalış verlerde elde edle souçlara dayalı doğru akıl yürütme ve yorum yapılması da mümkü değldr. Doğru verler toplaablmes ç; ölçü, tartı veya aalz chaz ve aletler sık sık kotrol edlmes ve ayarlarıı yapılması (veya yaptırılması) gerekr. Gerektğde bu aletler bakımlarıı yaptırılması sağlamalıdır. Verler, mümkü olduğuca bzzat araştırıcıı keds tarafıda toplamalıdır. Verler hem toplarke, hem de muhafaza ederke ttz olumalıdır. Doğru rakam elde etmek ç sabırlı ve dürüst olmak gerekr. Bazı aalz souçlarıı ya sayısal değerler elde edlmes; güler, haftalar, hatta yıllar süreblr. Araştırıcı buu ç sabırla beklemes blmeldr. Ezyet ve masrafla toplamış verler çere br dosyaı herhag br yerde uutulup kayıp edlmes se araştırıcı açısıda fevkalade üzücü souçlar doğurablr.

6 Rakamları toplamasıda gerekl ola duyarlı hae (basamak) sayısıı belrlemesde, sağduyulu davraılmalıdır. Gereğde az duyarlı basamak sayısı deey üteler arasıda gerçekte var ola farklılıkları (varyasyou) örter. Bu se br blg (formasyo) kaybıdır. Msal olarak; ye doğmuş bebekler ağırlıklarıı kg, kg, kg şeklde saptaması pek uygu değldr. Zra, mesela 'er kg olarak belrtlmş k bebekte br. kg, ötek de. kg olmuş olablr. Bu bebekler ks de 'er kg olarak kayıt edldğde, bu k bebeğ ağırlığı arasıda hç br farklılık (varyasyo) yokmuş gb br zlem edlr k, bu durum yaıltıcıdır. Dğer tarafta, duyarlı basamak sayısıı gereğde fazla artırmaı da br alamı yoktur. Duyarlı basamak sayısıı artırma mkaıa sahp ölçü, tartı, aalz chazlarıı so derece pahalı olableceğ de uutulmamalıdır. Mesela, lköğretm öğrecler ağırlıklarıı tartarke buları 8. kg,.7 kg şeklde veya sstolk ka basıcıı ölçerke.78 mm/hg,.8 mm/hg şeklde ölçmek (kaydetmek) alamsız ve yararsızdır. Duyarlı basamak sayısıı belrlemesde; kaba br yaklaşım olarak, üzerde durula özellk bakımıda gözleeblecek e büyük değer le e küçük değer arasıdak farkı, la arasıda brm adıma bölümes uygu olablr. Yukarıdak öğrec msalde; e ağır öğrec kg, e haff öğrec kg olduğu varsayılsı. Aradak fark; dkkat edleceğ gb (-) brm adımıdır. Dolayısıyla öğrecler br basamak duyarlı tartmak akılcı olablr. Böylece yukarıdak öğrecler mesela; 8. kg ve. kg tartılmış olacaklarıdır. Böyle br belrlemede aradak fark (.-.) brm adımı olmaktadır k, bu mktarda yukarıda kabaca belrtle la arasıdadır. Öğrec ağırlıkları k duyarlı basamak le (böyle br tartıma mka verecek terazler vardır) mesela;. gr ve. gr olarak tartılmış olsa, söz kousu fark 8 (8. -.) brm adımı olacaktır k, bu mktar olarak kabaca belrlemş ola üst sıırı da çok ötesdedr. Dolayısıyla, öğrec ağırlıklarıı., 8., vs. dye belrlemek yeterldr. Gereksm duyulacak duyarlı basamak sayısıı her şeyde öce araştırıcıı amacı ve sağduyusu belrler... Değşkeler Üzerde durula özellkler; ölçüleble (measured varables), sıralamış (raked) ve telksel (omal) özellkler veya değşkeler olarak sııfladırılablr. Ölçüleble değşkeler de ked çersde sürekl değşkeler (cotuous varables) ve keskl değşkeler (dscotous, dscrete varables) olmak üzere kye ayrılır. Ölçerek, tartarak veya aalz ederek elde edle değerler ölçülmüş olalardır. Her hag k ölçüm arasıda, teork olarak sosuz sayıda değer çere değşkeler sürekl (cotous) değşkeler olarak adladırılır. Öreğ;. kg ve.7 kg olarak tartılmış k öğrec arasıa, tartım chazıı duyarlılığıa bağlı olarak sosuz sayıda öğrec ağırlığı geleblr. Ölçülmüş değşkeler, sadece tam sayılı değerler alablelere veya sayılarak elde edleble değşkelere keskl değşkeler adı verlr. Elmalardak çekrdek sayıları, belrl br aladak yaba btk sayısı, aledek brey sayısı, ağızdak dş sayısı, br haedek oda sayısı, başaktak tae sayısı gb özellkler keskl değşkelere msal olarak verleblr. Bu değşkeler;,, gb tamsayılı değerler alablrke,.7,. gb değerler alamaz. Her tamsayı le fade edle değşke keskl değşke değldr. Öreğ br pskolog breyler; çok saldırga (), saldırga (), tarafsız () gb belrlemş olablr. Bu ve bezer şeklde kodlaable değşkeler keskl değşke olmadığı uutulmamalıdır. Bazı özellkler ölçülemeseler de belrl br bakış açısıa göre, c, 'c, vb gb sıraya koulablrler bu özellklere veya değşkelere sıralı (ordal) değşkeler der. Msal olarak üversteye grşte terch edle fakülteler veya bölümler, aleler gelr durumu, toplumları gelşmşlk durumu, domuz, tavşa gb çoklu doğum yapa hayvalarda, yavruları düyaya gelş sıraları, şarap çeştler veya markaları veya beğelme durumları sıralı değşkelere örek olarak verleblr. Ölçülemeye fakat, kaltatf olarak belrtleble özellklere veya değşkelere telksel (smsel) değşkeler der. Bular ayı zamada kategork veya omal değşkeler olarak da adladırılır. Bezelye reg (yeşl, sarı) csyet (erkek, dş veya kız), breyler saç reg, te reg, göz reg, ae, babaı sağ veya ölü olma durumu, gebelk durumu gb özellkler telksel özellklere msal olarak verleblr. Bu gb özellkler rakamlarla fade etmek mümküdür. Mesela; yeşl rekl bezelyeler ç "", beyaz rekl bezelyeler ç "" ve sarı rekl bezelyeler ç "" veya gebe olmayalar ç "", gebe olalar ç "", erkek olalar ç, kız olalar ç gb keyf kodlar verleblr. Bazı özellkler, ora, yüzde, hız veya deks olarak fade edlrler. Bu tür özellkler, değşk ya sayısal değerler ayrı ayrı belrlemş ola değşkeler yardımıyla belrlerler. Bulara türetlmş (derved) veya hesaplamış (computed) değşkeler adı verlr. Kız öğrecler erkek öğreclere oraı, büyüme hızı, kuluçkada çıkaları %'s, kuzularda belrl br zama aralığıdak ağırlık artışı (hız), boy uzuluğuu vücut ağırlığıa bölümes le bulua "Bede ktle deks" gb özellkler türetlmş veya hesaplamış değşkelere msal olarak verleblr. Blmsel çalışmalarda, araştırıcıı celedğ kou le lgl olarak değşkeler aşağıdak gb farklı şekllerde adladırılablr. a) Bağımlı değşke (Depedet, Edogeous varable): Çalışmada ele alıa dğer değşke veya değşkelerle tahm edlmeye veya açıklamaya çalışıla değşkedr. Araştırıcıı üzerde durduğu esas değşkedr deleblr.

7 b) Bağımsız değşke (Idepedet, Explaatory, Exogeous, Predctor varable): Çalışmada ele alıa özellk üzere etkl olableceğ ve bu özellğ açıklayableceğ varsayıla değşkedr. c) Faktör (Factor): Üzerde durula özellğe etkl olduğu varsayıla kategork değşkedr. d) Kovaryet (Ortak) değşke (Covarate varable): Üzerde durula özellğe etkl olduğu varsayıla sürekl değşkedr. e) Rsk faktörü (Rsk factor): Br değşke üzere etkl olup olmadığı kes olarak blmeye acak o değşke üzere dğer faktörle brlkte etkl olableceğ düşüüle değşkedr. Öreğ sgara çme durumu akcğer kaser ç br rsk faktörüdür..7. Verlerde doğruluk ve hassasyet (Accuracy ad Precso) Doğruluk ve hassasyet kavramları br bre sıkça karıştırıla kavramlardır. Doğruluk: Üzerde durula özellk ç lgl deey ütesde ölçüle veya hesaplaa değer, adı geçe deey ütes gerçek değere yakılığıdır. Dolayısıyla, ölçüle br değer doğruluğu hakkıda br şey söyleyeblmek ç gerçek değer e olduğuu blmes gerekr. Hassasyet: Ayı deey ütes üzerde yapıla ölçümler br brlere ola yakılığıdır. Dolayısıyla; hassasyet, doğruluk demek değldr. Hassas br ölçüm, mutlaka doğru br ölçüm değldr. Keskl değşkeler geellkle hassas olarak ölçüleblrler. Öreğ, br doğum klğde br güde doğa bebeklerde taes kız se yalış sayılmadığı sürece, de fazla sayım yapıldığıda hep olarak buluacaktır. Sürekl değşkeler ç yapıla ölçümler yaklaşık ölçümlerdr. Ölçüm yapıla alet duyarlılığıa göre ölçümler değşeblr. Öreğ, ye doğmuş br bebeğ boyu cm olarak ölçülmüş olsu. Eğer ölçüm duyarlılığı / düzeyde yapılmış olsaydı; cm belk de.9 veya. cm olarak ölçülmüş olacaktı. Dğer yada, ölçüm duyarlılığıı artırılması, doğru ölçüm yapılacağı alamıa gelmez.. 8. Verler özetlemes Özetleme: Ezyet ve masrafla toplamış ola verler, materyal tümü hakkıda br bakışta blg vereblecek, tablo, cetvel veya grafk halde düzelemese özetleme der. Grafk aslıda tablou şeklle fade edlmş haldr. Bu yaklaşım araştırma souçlarıa lşk akıl yürütme ve yorumlamaları kolaylaştırır..8.. Keskl verler özetlemes Msal.. Br dş klğe başvura adet brey ağzıdak çürük dş sayıları aşağıdak gbdr. Frekas dağılım tablosuu oluşturarak grafğ çzz. Dkkat edleceğ üzere, araştırma materyal sadece öğrec çerdğ halde br bakışta çürük dş adetler durumu hakkıda blg edeblmek kolay değldr (Öğrec aded değl de mesela, olmuş olsa d sayfalar dolusu rakama bakarak br fkr edeblmek hç mümkü olamayacaktı). Bua karşılık, eldek rakamlar aşağıdak gb br cetvel halde özetleeblr. Bu şeklde tablolar halde özetlemeye "Frekas Dağılım Tablosu" adı verlr. Keskl değşkeler ç frekas dağılım tablolarıı oluşturulmasıda; keskl değşke her hal br sııf olarak kabul edlr. Bu msalde,, ve olmak üzere sııf oluşturulmuştur. Her sııfta düşe brey sayısı frekas olarak adladırılır. Daha geel br fade le frekas her hag br değer veya her hag br aralıktak değerler görülme sıklığıdır. Çürük dş aded Toplam Öğrec aded (frekas) Sayı Yüzde (%) 7

8 Grafkler halde özetleme se,"çubuklu Dyagram (çubuk grafk)", "Hstogram" veya "Polgo" grafklerde br çzlmesyle yapılmaktadır. Keskl değşkeler grafkler halde özetlemesde Çubuklu dyagram veya çubuk grafk kullaılır. Sayımla belrlee varyatları kesk kesk ola dağılımlarıı e y şeklde çubuklu dyagram gösterr. Çubuklu dyagram, X ekse üzerdek her sııf değere karşılık gele oktalarda, her sııftak varyat sayısıa uygu uzulukta çubuklar çıkarmak suretyle çzlr. Çürük dş sayısı (frekas) Çubuk grafk Dş sayısı sııfları Şekl.. Çürük dş sayılarıa lşk çubuklu dyagram (Çubuk grafk) Msal.. gü boyuca br otoyolda br güde meydaa gele kaza sayıları aşağıdak gbdr. Frekas dağılım tablosuu oluşturarak ve grafğ çzz. (Grafk Çz) Kaza Sayısı Sııfları Çubuk grafk Gü Sayısı f (Frekas) Sayı % Kaza sayısı (frekas, gü) 8 Kaza sayısı sııfları Şekl.. Kaza sayılarıa lşk çubuklu dyagram Msal.. Üç çocuklu aledek erkek çocuk sayıları aşağıdak gbdr. Bua göre frekas dağılım tablosuu oluşturarak grafğ çzz. Erkek Çocuk sayısı Ale Sayısı f (Frekas) Sayı %

9 Çubuk grafk Ale sayısı (frekas) 8 Erkek çocuk sayısı sııfları Şekl.. Erkek çocuk sayılarıa at çubuklu dyagram Msal.. adet şletmedek damızlık hayva sayıları kaydedlmş ve aşağıdak verler elde edlmştr. Bua göre damızlık hayva sayılarıa lşk frekaslar göstererek grafğ çzz. Damızlık Hayva sayısı Çubuk grafk İşletme Sayısı (f) Sayı % İşletme sayısı 8 Damızlık hayva sayısı sııfları Şekl.. Damızlık hayva sayılarıa at çubuklu dyagram.8.. Sürekl verler özetlemes Sürekl verler özetlemesde, frekas (dağılım) tablolarıı oluşturulması keskl değşkeler özetlemes kadar kolay değldr. Bu edele; sürekl değşkeler özetlemede, frekas dağılım tablolarıı hazırlaması aşağıdak msal üzerde adım adım alatılacaktır. Msal.. Ell () adet - yaş arası çocuğa at zeka test sayısı (IQ) değerler aşağıdak gb ölçülmüştür. Frekas dağılım tablosuu oluşturuuz

10 Frekas dağılım tablosuu oluşturulması: Dkkat edleceğ üzere; bu msalde, yukarıda keskl değşkeler özetlemesde verle msallerde olduğu gb her farklı değer ayrı br sııf yapmak pek mümkü değldr. Eğer adet çocuğu her br IQ değerler farklı olsaydı, sııf yapmak gerekecekt k bu durum özetleme olmazdı. Sürekl değşkeler özetlemesde öreğ oluştura verler belrl aralıklarda sııflaır. Şüphesz k, aralığı geş tutulması sııf sayıı azaltır ve blg kaybıa ede olur. Dğer yada, aralığı dar tutulması durumuda gereksz yere sııf sayısı artar ve bu durumda bazı sııflardak frekas sıfır olablr. Sııf sayısı, eşt yada brbre yakı değerl gözlem değerler oluşturduğu ayrık kümeler sayısıdır ve geellkle k le gösterlr. Sııf sayısıı uygu olup olmadığıı kotrol etmek ç, so sııfı üst sıırıa bakılır. Eğer bu sııfı üst sıırı, örektek (ver grubudak) e büyük değer çeryorsa, sııf sayısı uygudur deleblr. Eğer çermyorsa, sııf sayısı artırılmalıdır. Sııf sayısıı belrlemese yöelk Sturges eştlğ kullaılablr. Bu eştlk; k +. log() şeklde fade edlr. Acak uygulamada geellkle bu eştlk pek fazla kullaılmaz. Frekas dağılım tabloları ç uygulamada geellkle uygu sııf sayısıı 8- arasıda belrlemes öerlr. Örek geşlğ adete kadar ola öreklerde; 8, ve 'de daha fazla örek geşlklerde se 8 - ve üstü alıablr. Dağılıma at tepe oktasıı belrleyeblme kolaylığı bakımıda sııf sayısı olarak; 9, gb tek sayıları alıması öerlr.. Adım: Eldek örekte e büyük varyat le e küçük varyat buluur. Örekte E Büyük Değer E küçük Değer dr.. Adım: Değşm Geşlğ (Rage) hesaplaır. Değşm geşlğ veya değşm aralığı, br ver setdek (örektek) e büyük değer le e küçük değer arasıdak farktır. Değşm Geşlğ E Büyük Değer - E Küçük Değer - dr.. Adım: Sııf sayısı belrler. Sııf sayısı olarak belrlemş olsu.. Adım: Sııf aralığı belrler. c le gösterle sııf aralığı değşm geşlğ sııf sayısıa bölümes le buluur. O halde; Sııf Aralığı (c) Değşm Geşlğ / Sııf sayısı /. dr. Sııf aralığı, herhag br sııfı kedde br öcek veya br sorak sııf le ola arasıdak uzaklığı gösterr. Buradak örekte;. olarak bulua sııf aralığı değer olarak yuvarlaklaştırılmasıı ede; verle rakamları duyarlılığı (hassasyet) le lgldr. Eğer bu yuvarlaklaştırma yapılmasaydı, örektek değerler arasıda 87., 9., 9.8 gb ölçüm değerler olması da mümkü olacaktı. Halbuk, öğrecler IQ değerler, ölçülürke tam sayılı değerler olarak ölçülmüştür. Bu durum tamame br ölçme tekğdr ve söz kousu ölçüyü yapa kş blg ve terche bağlıdır. Eğer verle sayısal değerler. ve. olsaydı, ölçme duyarlılığı (hassasyet). olacaktı ve. olarak bulua sııf aralığı da. olarak alıablecekt (bu durumda ble sııf aralığı olarak alıablr). Duyarlılığı olması durumuda, sııf aralığı hesaplama souda. gb br değer olarak bulumuş olsaydı, bu değer de veya. veya. olarak alıablrd. Frekas dağılım tablolarıda, bazı zorulu hallerde sııf aralığı eşt alımayablr acak statstk hesaplamalarda kolaylık sağlaması açısıda eşt olması terch edlr.. Adım: Sııf aralığı buludukta sora, sııfları alt sıırları buluur. Brc sııfı alt sıırı geellkle e küçük varyatta (bu örekte dr) başlar. Dğer sııfları alt sıırları, br öcek sııfı alt sıırıa sııf aralığı ekleerek buluur. Alt sıırlar buludukta sora sııfları üst sıırları oluşturulur. Brc sııfı üst sıırı buluurke; kc sııfı alt sıırıda rakamları duyarlılığıa (hassasyete) göre,., veya. çıkarılır. Ya örektek rakamlar tam sayılı olarak oluşturulmuşsa,, vrgülde sora hael olarak (., 8. gb) oluşturulmuşa. vrgülde sora hael olarak (., 8. gb ) oluşturulmuşsa. çıkarılır. Dğer sııfları üst sıırları buluurke de bezer şlemler yapılableceğ gb brc sııfı üst sıırı buludukta sora bu değere sııf aralığı ekleerek de dğer sııfları üst sıırları buluablr. Bu örekte rakamlar tam sayılı olarak elde edlmş olduğuda,. sııfı üst sıırı buluurke,. sııfı alt sıırıda çıkarılmıştır.. Adım: Sııflar oluşturuldukta sora, so aşamada; eldek örektek varyatlar tek tek okuarak, hag sııfa düşüyorsa o sııfı karşısıa br şaret kour. Bua çeteleme der. Daha sora bu şaretler sayılarak frekaslar belrler. Frekasları toplamı, toplam varyat sayısıı vermeldr. İşaretleme yapılırke sııfladırıla her varyatı üstü çzlr se varyatları uutulması veya tekrar sııfladırılması ölemş olur. Bu msal ç sııf sayısı ve c olarak alıdığıda, frekas dağılım tablosu aşağıdak gb oluşmuş olur.

11 Çzelge.. Zeka test sayısıa at frekas dağılım tablosu Sııf Değerler Sııf Sıırları Frekaslar ( f ) ( X) Alt Üst İşaret Mutlak II 8 Frekas dağılım tabloları oluşturulurke, k öeml husus göz öüe alımalıdır. Bularda brcs, hçbr varyat dışarıda kalmamalıdır. İkcs se br varyat brde fazla sııfa yazılmamalıdır. Eğer sııfları oluşturulmasıda; gb sııflama yapılmışsa; bu sııflama yalıştır. Zra, olarak ölçülmüş değer. sııfa mı yoksa. sııfa mı yazılacak bu bell değldr. Dğer yada, sııflamaı şeklde yapılması da yalıştır. Bu durumda olarak ölçüle varyatı hag sııfa yazılacağı bell değldr. Sııf aralığıı yuvarlatmada dolayı; sııf sayısı, sııf aralığıı belrlemek ç başlagıçta kararlaştırıla değerde az veya fazla olablr. Bu msalde başlagıçta sııf yapılmasıa karar verlmş olduğu halde sııf yapılmıştır. Eğer, sııfta bırakılmış olsaydı, so sııfa düşe frekas veya frekaslar açıkta kalacaktı ve yukarıda belrtle brc hususa aykırı durum ortaya çıkacaktı. Frekas dağılım tablosu şeklde özetlee verlerde her sııfa düşe varyatı gerçek değer blemez. Mesela, yukarıdak frekas dağılım tablosuda; - aralığıda k frekas var, acak bu k değer e olduğu bell değldr. Bu k değer e olduğu kousuda bu aralıkta sosuz adet değer düşüüleblr. Bu edele, her sııfa düşe frekasları, o sııfa at alt sıır ve üst sııra at değer orta oktası ola sııf değer aldığı kabul edlr. Sııf değerler, lerde frekas dağılım tablolarıda bazı statstkler hesaplaması ç gerekecektr. Herhag br sııf ç sııf değer; Sııf değer Alt Sıır Üst Sıır fadese göre hesaplaır. Msal.. Br hastaeye br güde gele hastalarda rasgele alıa breye at VKI değerler (kg/m ) aşağıdak gb bulumuştur. Bu verlere lşk frekas dağılım tablosuu oluşturuuz E küçük değer., E büyük değer. Değşm geşlğ.-.. Sııf sayısı 8 olsu Sııf aralığı ( c). / 8.. alımalıdır. Bu souçlara göre frekas dağılım tablosu aşağıdak gb oluşturulur.

12 Çzelge.. VKI değerlere at frekas dağılım tablosu A. S Ü. S f 8 8 Sııf değer ( X ) Alt gerçek sıır Üst gerçek sıır Eklemel frekaslar...de az...de fazla o Msal.7. Belrl br hastalığa yakalamış adet breye at vücut sıcaklıkları ( C) aşağıdak gbdr. Frekas dağılım tablosuu oluşturuuz E küçük değer 7., E büyük değer. Değşm geşlğ Sııf sayısı olsu Sııf aralığı ( c). /.. Bu souçlara göre frekas dağılım tablosu aşağıdak gb oluşturulur. Çzelge.. Vücut sıcaklığıa at frekas dağılım tablosu Sııf Sıırları Alt Üst Frekaslar ( f ) İşaret II Mutlak 7 Sııf Değerler ( X ) Sürekl değşkeler ç grafkler Msal.8. Br bölgede 99 yılları arasıda der kasere yakalaıp hastaeye kaldırıla 8 adet hastaı yaşlarıa lşk frekas dağılım tablosu aşağıdak gbdr. Hstogram, polgo ve eklemel frekas polgou grafkler çzz. Sııf Sıırları Alt 8 8 Üst Frekas 7 8 Gerçek Sıır Sııf Değerler ( X ) de daha az mutlak sb de daha çok mutlak sb

13 Hstogram grafkler Hstogramlar, sııfları sııf değerler ortaya alacak şeklde, sııfları gerçek sıırları üzere ya yaa çzlmş ola dkdörtge şekldek grafkler olup, grafkler yükseklkler sııfları frekasları kadardır. Her sııfta çzle dkdörtge alaı, o sııftak varyatları kapladığı sahayı gösterr. Hstogramlar çzlrke sııfları alt ve üst sıırları, X ekse boyuca şaretledğde sııflar arasıda açıklıklar buluur. Msal olarak,. sııf ç -7,. sııf ç de 8 - aralığı alıdığıda, 7-8 aralığıa düşe varyatlar herhag br sııfa dahl edlemez. Dolayısıyla bu aralık açık kalır. Oysa k, sürekl değşkeler brbrlerde kes sıırlarla ayrılamazlar, br sürekllk söz kousudur. Buu sağlayablmek ç bu aralığı, ya 7-8 aralığıı yarısı br öcek sııfa, yarısı da br sorak sııfa dahl edlr. Böylece bu k sııfı brbrde ayıra değer de (7+8) / 7. olur. Dkkat edleceğ üzere; gerçek sıır, brbr zleye k sııfta öcek üst sıırı le sorak alt sıırıı ortasıdır. Bu değer, ayı zamada öcek sııfı üst, sorak sııfı se alt gerçek sıırıdır. Bu değer, br sııfta takp ede dğer sııfa geçş oktasıdır. Bezer şlemler dğer sııflar ç de yapılması soucu elde edle bu değerlere gerçek sıırlar der. Dğer sııfları gerçek sıırları, ayı zamada. sııfı gerçek sıırıa sııf aralığı ekleerek de buluablr. İşte hstogramlar bu gerçek sıırlara göre çzle grafklerdr. Polgo grafkler Polgo grafkler, sııf değerlere göre çzle grafklerdr. Polgo grafklere Frekas eğrs de der. X eksede sııf değerler, Y eksede de frekaslar gösterlr. Polgolar çzlrke, polgo grafğ X ekse kestğ oktalar belrtlmeldr. Bu oktalar,. sııfı sııf değerde sııf aralığı çıkarılarak ve so sııfı sııf değere sııf aralığı ekleerek buluur. Hstogram grafğ Frekas Frekas Polgo grafğ 8 8,,,, 8,,,,,,,,, 8,,,, Sııf değerler, Sı ı f Değerler Şekl.. Hasta yaşlarıa at polgo grafğ Şekl.. Hasta yaşlarıa at hstogram grafğ Eklemel frekas polgoları Belrl br değerde daha küçük veya daha büyük değerl varyatları mutlak veya sb mktarlarıı belrlemek ç eklemel frekaslar kullaılır. Eklemel frekaslar ( de daha az ve de daha çok) gerçek sıırlara göre oluşturulurlar. Ya. de daha az kaç frekas vardır? sorusuu cevabı. sııfı eklemel frekasıı verr. Ayı soru dğer sııfları gerçek sıırlarıa da sorularak de daha az eklemel frekaslar oluşturulur. Bulua mutlak frekaslar eğer sterse sp frekasa döüştürüleblr. de daha çok eklemel frekaslar ç de bezer şlemler yapılır. Ya. de daha çok kaç frekas fardır? sorusuu cevabı. sııfı de daha çok eklemel frekasıı verr. Ayı soru dğer sııfları gerçek sıırlarıa da sorularak de daha çok eklemel frekaslar oluşturulur. Mutlak frekaslarda yararlaılarak eğer sterse sp frekaslar da buluablr.

14 Eklemel frekas polgou de daha az Eklemel frekas de daha çok 8 7, 7,, 9,,, 7,, 9,, Gerçek sıırlar Şekl.. Hasta yaşlarıa at eklemel frekas polgo grafğ

15 . BÖLÜM TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Daha öce de belrtldğ gb verler toplamasıda temel amaç, üzerde durula kou le lgl olarak ye blglere ulaşmaktır. Bu amaca yöelk, lgl kou hakkıda yeterl sayıda gözlem çere örekte elde edle verlerde lk bakışta brtakım blgler elde etmek sıkıcı olableceğ gb bazı durumlarda mümkü değldr. Bu edele de öreğ oluştura bu verler uygu br şeklde özetlemes gerekr. Daha öce değle grafkler ve frekas dağılım tabloları br çeşt özetleme olsa da, br çok amaç ç ver grubuu karakterze ede ya da taımlaya rakamsal blgler gerekldr. Bu blgler taımlayıcı statstkler (Descrptve statstcs) olarak adladırılır. Taımlayıcı statstkler, frekas dağılım tablosu şeklde düzelemş veya düzelememş ver setlerde verler toplama eğlm gösterdkler değer ve bu değer etrafıdak dağılımıı (yayılımıı) göstere statstkler geel adıdır. Taımlayıcı statstkler k başlık altıda celer. a) Merkez Eğlm (Locato) Ölçüler veya Yerleşm Ölçüler, Ortalamalar b) Değşm (Varato) Ölçüler... Merkez eğlm ölçüler Üzerde durula özellk bakımıda verler (ölçüm değerler) toplama (yerleşme) eğlm gösterdkler sayısal değer belrlemese yöelk ölçülerdr. Bu ölçüler; artmetk ortalama, tepe değer (mode), ortaca değer (meda), harmok ortalama ve geometrk ortalama olmak üzere grupta celer. İstatstkte çok kullaılması edeyle, Toplama Notasyou (Sgma ( ) Notasyou) hakkıda kısaca blg vermede yarar vardır. Msal.. Üç () Breye at ağırlıklar (kg) aşağıdak gb olsu Al Vel Nyaz X X X X X + X X c sabt br sayı olmak üzere; Y Y + Y + Y X X X olur. c c + c c x c cx c X + c X c X c (X + X X ) c X ( X Y ) X Y X Y... X Y X X... X Y Y... Y X Y X Y XY X Y... X Y So yazıla bu fadeye br örek çdek breyler ayı zamada ölçülmüş X ve Y değerler çarpımları toplamı adı verlr.... Artmetk ortalama (Mea) Artmetk ortalama, e yaygı kullaıla merkez eğlm veya yerleşm ölçüsüdür. Br örektek gözlem değerler toplamıı gözlem sayısıa (örek geşlğe) bölümesyle elde edle değere Artmetk ortalama (mea) der. İstatstkte kısaca ortalama olarak da adladırılır veya ortalama dece Artmetk ortalama alaşılır. Artmetk ortalama varyatları gösterdğ dağılımı merkezdr. Degedek br teraz destek oktasıa bezer. Buu k tarafıdak varyatları toplamı br bre eşttr. Örekte hesaplaa ortalama, herhag br Lat harf le gösterleblr. Acak ortalamayı ayırmak ç söz kousu harf üzere br çzg çzlr. Mesela, X özellğ örek ortalaması X le, A özellğ örek ortalaması A le, B özellğ örek ortalaması da B le gösterlebleceğ gb başka harflerle de gösterleblr. Eğer ortalama br populasyoa at se (ya br parametre se), Yua harflerde br ola (mü okuur) le gösterlr ve üzerde durula özellk de ds olarak yazılır.

16 Mesela, X özellğ populasyo ortalaması X, A özellğ populasyo ortalaması A ve B özellğ populasyo ortalaması da B olarak gösterlr. X özellğ Artmetk ortalaması, ortalamaı taımı gereğ X fadese göre hesaplaır. Eştlğ payıdak İşaret Grekçe büyük sgma harf olup, öüdek değşke toplaacağıı gösterr. X altıdak harf se X br değşke olduğuu gösterr. Bu durumda yukarıdak msalde breye at ağırlık ortalaması; X X X 8 kg olarak buluur Tartılı artmetk ortalama: Br takım alt gruplarda oluşa örek veya çlerde farklı sayılarda brey bulua öreklerde hesaplaa artmetk ortalama, her alt grubu temsl edlme dereces le uygu olmalıdır. Msal olarak; adet kız, adet de erkek öğrec buluduğu br sııfta ağırlık ortalaması hesaplaırke; kızları ortalaması le erkekler ortalamasıı toplayıp kye bölmek hatalıdır. Zra, o zama; adet kız öğrec, öreğ adet erkek öğrec kadar temsl etmş olur veya adet erkek öğrec adet kız öğrec kadar temsl edlmş olur. Buu ç doğru yötem olarak her alt gruba brey aded kadar ağırlık vermektr. Özellkle, frekas dağılım tablolarıda artmetk ortalama hesaplaırke, her sııftak gözlem sayısı farklı olduğu ç, artmetk ortalama sııf frekasları le tartılı olarak hesaplamalıdır. Mesela, A ola br A öreğde; ortalama gelr X YTL, B ola br B öreğde de X YTL olarak hesaplamışsa, bu özellğ geel ortalamasıı; X YTL olarak hesaplamak hatalıdır. Çükü bu değer hesaplamasıda le değerler eşt ağırlıkta (tartıda) katkıya sahptrler. Halbuk, ' ü adet gözlemde ' u se adet gözlemde elde edlmeler edeyle, souç üzerdek ağırlıklarıı da bulara uygu olması gerekr. Dolayısı le söz kousu x x özellk ç artmetk ortalamaı, X 9.7 mlyo olarak hesaplaması daha doğrudur. Tartılı artmetk ortalama: k X X k olarak hesaplaır. Burada k; alt grup sayısıı, de alt gruptak gözlem sayısıı göstermektedr. Dkkat edleceğ üzere; bütü alt gruplardak varyat sayısı eşt se o zama her alt grup ayı derecede tartılacağıda ya her alt grup ayı ağırlıkta olacağıda, doğruda doğruya alt grup ortalamalarıı toplayıp alt grup sayısıa bölmek doğru olacaktır. k adet alt grubu her brde adet varyat buluduğuda; yukarıdak formülde ler sabt duruma geçeceğde, bu formül; k X X k k X k olacaktır k, bu yukarıda belrtle fadedr. Frekas dağılım tablolarıda da bezer durum k f X söz kousu olduğuda artmetk ortalama; X k f fadese göre hesaplaır ve bu hesaplama yöteme artmetk ortalamaı uzu yolda hesabı der. Bu fade de k, sııf sayısıı, f,. Sııfı frekasıı ve X de. sııfı sııf değer göstermektedr. Farklı kredye sahp dersler ala öğrecler döem sou ot ortalamasıı veya mezuyet ortalamasıı hesaplamasıda da tartılı artmetk ortalama kullaılır.... Artmetk ortalamaı özellkler. Br örek çdek breyler teker teker örek ortalamalarıda ola farkları ya sapmaları toplamı her ( X X) zama sıfıra eşttr. ( X X) X X X X X)... X ( tae X X X X X X dır.

17 Al Vel Nyaz X X X X ( + + ) / 8 / (X X) ( - ) + ( - ) + ( - ) - +. Br örek çdek breyler her bre teker teker ayı sabt sayı ekleerek ye gözlemler elde edlrse, bu ye gözlemler ortalaması; esk gözlemler ortalamasıda adı geçe sabt sayı kadar daha fazladır. X özellğe lşk ortalama X ve X Y + A (A herhag br sabt sayı) se, X özellğ ortalaması; X X (Y A) Y A Y A YA. Br örek çdek gözlemler her brde teker teker ayı sabt sayı çıkarılarak ye gözlemler elde edlrse, bu ye gözlemler ortalaması; esk gözlemler ortalamasıda adı geçe sabt sayı kadar azdır. X özellğe lşk ortalama X ve X Y - A (A herhag br sabt sayı) se X özellğ ortalaması; X X (Y A) Y A Y A Y A. Br örek çdek gözlemler heps teker teker ayı sabt le çarpılarak ye değerler elde edlmşse, bu ye değerler ortalaması; esk değerler ortalaması le adı geçe sabt sayıı çarpımıa eşttr. X özellğe lşk ortalama X ve X A.Y (A herhag br sabt sayı) se, X özellğ ortalaması; X X AY A Y A Y A.Y. Br örek çdek gözlemler heps teker teker ayı br sabt sayıya bölüerek ye değerler elde edlmşse, bu ye değerler ortalaması; esk değerler ortalamasıı le adı geçe sabt sayıya bölümüe eşttr.... Ortaca değer (Meda) Ortaca değer küçükte büyüğe doğru sıraya dzlmş ola değerler tam ortasıdak değerdr. Örek çdek breyler % ' s ortaca değerde büyük, % ' s de ortaca değerde küçüktür. Dolayısıyla ortaca değer ver set k eşt parçaya böler. Dğer br br fade le gözlem sayısıı yarısı medyaı sağıda dğer yarısı da medyaı souda yer alır. Msal.. Aşağıda breye at aylık harcama mktarı (mlyo TL) verlmştr. Uygu ola merkez eğlm ölçüsüü hesaplayıız. Gelr (X) 8 X Artmetk ortalama; X. mlyo TL dr. Buu alamı, bu örektek her br kş ortalama olarak. mlyo TL' s var demektr. Örektek breyler değerler celerse, bulua ortalamada çok farklı oldukları görülmektedr. Buu sebeb, örektek ekstrem (uç) değer ola 8 mlyo TL'dr. Ortalama bu Al Vel Nyaz Peyam Selam 7

18 değerde etklemş ve bu değere doğru kaymıştır. Bu örekte Ortaca değer bulumak sterse, öce gözlemler küçükte büyüğe doğru sıralaır (ortaca değer taımı gereğ).. Değer. Değer. Değer. Değer. Değer 8 Tam ortadak değer, başta tbare. sırada gele değerdr. O halde Ortaca Değer (O.D.) de buu değer ola ' tür. Ya bu örekte O.D. ' tür. Görüleceğ üzere bu değer ortalamada daha y br yerleşm ölçüsüdür. Örek geşlğ tek sayı se ortaca değer; başta tbare (+) / ' c sıradak gözlem (brey) değerdr. Örek geşlğ çft sayı se ortaca değer; başta tbare / ' c sıradak brey değer le (/ + )' c sıradak brey değer artmetk ortalamasıa eşttr.,,, öreğ ortaca değer: çft olduğuda;,,, şeklde sıralaa değerlerde / /.brey değer ola le, ( / + ) ( / + ) ( + ). brey değer ola ' u artmetk ortalaması alıarak buluur. Ya bu örekte Ortaca Değer ( + )/ / dr. Aşağıdak hallerde öreğ yerleşm ölçüsü olarak, artmetk ortalama yere ortaca değer terch edlr a) Artmetk ortalama örek çdek ekstrem ya uç değerlerde fazlaca etkler ve öreğ taıtmak bakımıda y br ölçü olmayablr. Bu gb durumlarda artmetk ortalama yere öreğ taıtmak amacıyla ortaca değer kullamak daha uygudur. Yukarıda belrtldğ gb Nyaz ye at değer artmetk ortalamayı kedse doğru çekmştr. Bu gb durumlarda artmetk ortalama yere ortaca değer kullaılır. b) Br ucu veya k ucu açık frekas dağılım tablolarıda artmetk ortalamaı hesaplaması mümkü değldr. Bu durumda ortaca değer kolayca buluablr. Mesela; Sıırlar Frekas öğrec öğrec öğrec öğrec öğrec f Sııf değer kg 7 kg kg 7 kg 7 kg Bu frekas dağılım tablosuda artmetk ortalama: X ( ) / 77 /. olarak hesaplaablmektedr. Aşağıdak Frekas dağılım tablosuda se. ve soucu sııfları sııf değerler hesaplaamadığıda artmetk ortalama hesaplaamaz. Böyle durumlarda ortaca değer kolaylıkla hesaplaablr. Ortaca değer başta tbare (frekas dağılım tablolarıda gözlem değerler zate sıralı olduğuda) (+) /. brey değere eşttr. Bu brey değer, buluduğu sııfı sııf değer olarak alıablr.. brey. sııfta buluduğuda,. sııfı sııf değer ola ortaca değerdr. Sıırlar Frekas Sııf değer de haff? da ağır? f c) Gözlemler, üzerde durula kouu gereğ olarak küçükte büyüğe doğru zama çde sıralamış br şeklde elde edleblrler. Bu durumda, ortalama yere ortaca değer kullaılır. Ayı güde doğmuş yüz adet bebeğ ay olarak ortalama baba kelmes söyleme yaşı bulumak sterse;. Al. Vel. Nyaz... ay. ay. ay.. 8

19 9. Selam. Peyam. İlham. ay. ay. ay Bu durumda, çft olduğuda, Ortaca değer; ve. bebeğ baba kelmes söyleme yaşlarıı ortalaması alıarak kolaylıkla buluablr. O.D. (+) / ay. Oysak artmetk ortalamaı hesaplaablmes ç bebeğde baba kelmes söyleme yaşı kadar beklemek gerekecekt.... Tepe değer (Mode) Br örekte (veya populasyoda) e çok rastlaa değere, ya e yüksek frekasa sahp ola değere tepe değer (Mode) der. Br sııfta rasgele alıa adet öğrec kardeş sayıları aşağıdak gb olsu.,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Kardeş sayısı Frekas Frekası e yüksek ola (e çok tekrarlaa) değer. Sııfı değer olduğuda (. sııfı frekası ); Tepe değer adet kardeştr. Bazı dağılımlarda brde fazla tepe değer buluur. Bulara çok tepel dağılımlar der. Tepe değer küçük öreklerde pratk br öem yoktur. Fakat tcar ve ktsad araştırmalarda e çok vuku bula olayı ya tepe değer blmes ster. Grafk şeklde özetlemş verlerde tepe değer grafğ e yüksek oktadak değerdr.... Geometrk ortalama adet poztf değer Geometrk ortalaması, buları çarpımlarıı. derecede kareköküdür. Geometrk ortalama; G. O. / X.X...X veya G. O. (x.x.. x ) olarak hesaplaır. Böyle br eştlk logartma yolu le daha kolay çözülür. Log G.O / N (log y + log y + + log yn ) Bu durumda br ser logartmk değer artmetk ortalaması, geometrk ortalamaı logartmasıa eşttr. Geometrk ortalamaı keds se bulua logartmk değer atlogartmasıdır. Geometrk ortalama, geometrk ser oluştura varyatlar ç e uygu ortalamadır. Mesela, br örekte tespt edle,, 8,, 9 gb değerler, geometrk br dz şeklde olduğu kolayca / alaşılablr. Bular ç e tpk değer, Geometrk ortalamadır. G.O. ( ) 7.7 olarak buluur veya Log G.O. / log 78 / log Burada atlog olur. Bezer şeklde Log G.O. / ( ) / (.).889 ve Atlog dür. Geometrk ortalama özellkle eşt zama aralıkları le değşe oralar ç kullaılır. Mesela; br kırsal kesmde çalışa br şç ücret yılda %, %, % ve % olarak artmışsa ve bu artış oraları da br öcek yıl ücretler üzerde belrtlmş se % ortalama ücret artışı ç Geometrk ortalama hesaplamak gerekr. Bu / durumda; Ortalama % ücret artışı (G.O.) (. x. x. x.). %. olarak buluur. Oysa k, artmetk ortalama bulusaydı, A.O. / ( ) %.7 olarak buluacaktı. Geometrk ortalama tıpta ve byolojde her hag br olayı zama akışı çersde sabt br orada değştğ durumlarda da kullaılablr. Nüfusu zamala artışı, Br klğe zamala gele hasta sayısı gb. Belrl br bakter kültürüde brm alaa düşe bakter sayısı gü çersde de e çıkmış se ve gülük ortalama artış (r) steyorsa;. gü soudak bakter sayısı + r (+ r). gü soudak bakter sayısı (+r) + (+r) r (+ r ) /. gü soudak bakter sayısı olduğua göre (+ r) (+ r), + r + r.87, r % 8.7 9

20 Geel olarak belrl br başlagıç değer (M) herhag br zama dlm çersde r gb sabt hızla artıyorsa; zama brm souda alacağı değer; B M ( + r ) olarak hesaplaır. Hatırlaacağı üzere bu bleşk faz formülüdür. Mesela P kadar lraı seede a kadar fazle see bakada kalması soucuda olacağı değer: S P (+ a) dr. Msal.. Br çftç Lra parası yıl souda 7. lra olmuştur. Ortalama yıllık faz edr? / r ( 7. / ).. %. dır. Msal.. Dört () gülük cvcv embryosuu kuru ağırlığı. gr, gülük embryoları ağırlığı se. gramdır. Gülük ortalama artış e kadardır? / r (. /.) % 8.7 dr. Buu ç artmetk ortalama hesaplamış olsaydı; A. O. (..) /.8 gram olarak buluurdu k, bu yalıştır.... Harmok ortalama adet poztf değer harmok ortalaması, buları tersler ortalamasıı tersdr. Ya harmok ortalama formülü le hesaplaır. Bazı durumlarda hız ve fyat ortalamaları... ) ( ) ( X X X X harmok ortalama le fade edlr. Mesela; Hız X d / t şeklde fade edlmşse ve sorula soruu cevabı ç d sabt olması daha uygu olarak kabul edlyorsa harmok ortalama alıır. H.O Msal.. Br bölgede satıla A malıı ortalama satış fyatı tespt edlmek üzer rasgele dükkada elde edle değerler aşağıdak gbdr.. Dükka lraya klogram A malı veryor. Dükka lraya klogram A malı veryor. Dükka lraya klogram A malı veryor. Dükka lraya 7 klogram A malı veryor. Dükka lraya 7 klogram A malı veryor Dkkat edleceğ üzere burada fyat madde / para şeklde fade edlmştr. Burada kg A malıı fyatı öeml olduğuda, yukarıda verle rakamları harmok ortalaması alımalıdır.. kg olarak buluur. Ya lraya ortalama olarak. kg mal alıablyorsa, g A malıı fyatı 7 /.8 lra ya.8 kuruştur. H.O Msal.. döüm tarla A alet le saatte, B alet le saatte ve C alet le saatte sürülmektedr. Ortalama sürme hızı edr? H. O. / ( / + / + / ).8 Demek k, döüm yer sürüleblmesde ortalama hız.8 saattr. Msal.7. Br yaya A şehrde B şehre gderke 8 km / saat hızla, B şehrde A şehre gderke km /saat hızla gtmştr. Yayaı ortalama hızı edr? Burada mesafe sabt olduğuda ortalama hız: A.O. ( 8 + ) / km / saat değldr. Buu yere Harmok ortalamaı alıması gerekr. H. O. / ( / 8 + / ). km /saat tr. Msal.8. Br ale her ay bütçesde laç masrafı olarak lra ayırmaktadır. Sürekl kulladığı laçları fyatı. ay,. ay,. ay da da lra olmuştur. Ortalama fyat edr?