ESTIMATION of VARIANCE COMPONENTS of TWO SYSTEM COORDINATES in 2D SIMILARITY TRANSFORMATION

Transkript

1 İKİ BOYULU BNZRLİK DÖNÜŞÜÜND İKİ SİS KOORDİNLRININ VRYNS BİLŞNLRİNİN KSİRİİ C. YDIN, S. Ö. UYGUR Yıldız n Ünvrss, İnşaa Faüls, Hara ühndslğ Bölümü, Jodz nablm Dalı, İsanbul, cadn@ldz.du.r Yıldız n Ünvrss, İnşaa Faüls, Hara ühndslğ Bölümü, Jodz nablm Dalı, İsanbul, ougur@ldz.du.r Öz İ va üç boulu oordna dönüşüm problmnd alnız hdf ssm oordnaları dğl, başlangıç ssm oordnaları da rasgl haalı dğrlr olablr. Bu durumda las dnglm modl rn Kasaıların da Rasgl Haalı Olduğu Dnglm odl (rrors In Varabls/IV modl l alınmalıdır. Klas IV modln soas ısmı (blnmn br varans blşn (varans çarpanı l oluşurulur. Yan şln noaların oordna ssmnd oordnalarının homojn olduğu varsaılır. nca hdf v başlangıç ssm oordnaları farlı anaan gln rasgl dğşnlr olablr. Bu ndnl las modl farlı varans blşn blnmnl IV modl olara l alınmalıdır. Klas IV modld asaılar mars haalıdır. Bu modl, ğırlılı oplam n Küçü Karlr (Wghd oal Las Squars/WLS adı vrln önm lşn raf algormalar l çözülür. Dğr andan, farlı varans blşnlrnn çözümün lşn raf algormalarda (Hlmr, IU, BIU vb. asaılar mars doğru olmalıdır. P farlı varans blşnl IV modln çözümü çn WLS algormaları l varans blşn srm algormaları nasıl brlşrlc v anlamlı sonuç ld dlblcr? Bu çalışmada bu soruu anılama çn br nümr algorma vrlm; problmn çözümü boulu bnzrl dönüşümü üzrndn rdlnmdr. nahar lmlr: Kasaıların da Haalı Olduğu Dnglm odl, Varans Blşn Ksrm, İ Boulu Bnzrl Dönüşümü SIION of VRINC COPONNS of WO SYS COORDINS n D SIILRIY RNSFORION bsrac In wo or hr dmnsonal coordna ransformaon problms, no onl arg ssm coordnas bu also sar ssm coordnas ma b random varabls. In such a cas, nsad of classcal adjusmn modl, rrors In Varabls (IV modl should b an no accoun. h sochasc par of h classcal IV modl s sablshd b a unqu varanc componn (varanc facor. In ohr words, s assumd ha h dncal pons coordnas n wo coordna ssms ar homognous. Howvr, h arg and h sar ssm coordnas ma b h random varabls comng from wo dffrn sourcs. hrfor, classcal modl should b an as h IV modl wh unnown varanc componns. HKO ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum,

2 Classcal IV modl consss of an rronous dsgn mar. hr s dffrn rav algorhms dducd from Wghd oal Las Squars (WLS mhod o solv hs modl. On h ohr hand, h varanc componn smaon rav algorhms (Hlmr, IU, BIU c. should b adapd o an adjusmn modl wh a ru dsgn mar. So, how do w combn h WLS algorhms and sng varanc componn smaon algorhms and how do w g a unqu soluon? In hs conrbuon, w gv a numrcal algorhm o answr hs quson; h soluon of h corrspondng problm s amnd usng D smlar ransformaon. Kwords: rrors In Varabls odl, Varanc Componn smaon, D Smlar ransformaon. Yönm. IV odl v WLS Çözümü =β; (, σ şlnd br dnglm modlnd gçn nu boulu (düzlm dnlmlr asaılar marsnn lmanlarının ümü va br bölümü haalı rmlrdn oluşuorsa, bu modl, aşağıda bçmd azılır; =( β ; = ~ (, Σ = σ ( Buna IV modl adı vrlr. Burada,, n boulu ölçülr vörü;, n boulu ölçülrn haa vörü;, asaılar marsn lşn nu boulu haa mars;, dan vc opraörül ld dln nu boulu haa vörü ( =vc ;, n(u+ boulu oplam haa vörü; Σ, a lşn ovarans mars; v, sırasıla, v a lşn nn boulu v nunu boulu ofaör marslr; β, u boulu blnmnlr vörü; σ, (blnmn varans çarpanı (varans blşn v n l u, sırasıla, ölçü saısı v blnmn saısıdır (Snow,. ( d vrln IV modl, WLS önm l çözülür (Schaffrn v Wsr, 8. Yönm, + arsl bçmnn ( β= oşul dnlmlrn gör n üçü apılmasına; buradan ld dln Lagrang fonsonu l bulunan dör ulr dnlmnn çözümün daanır. Sonuç normal dnlmlrn (gnl normal dnlmlrn hr arafında da blnmnlr r alır (Schaffrn v Wsr, 8; Snow,. Bu amaçla, çözüm çn raf algormalar oluşurulmuşur. Güncl analarda r alan bu algormalar üç başlı alında l anılablr; Gnl normal dnlmlrdn doğrudan ld dln raf algorma (Schaffrn v Wsr, 8; Snow, ; Gnl normal dnlmlrdn bazı blnmnlrn lmnasonu l oluşurulan raf algorma (Snow, ; 3 Söz onusu normal dnlmlrn farlı l alınışı l oluşurulmuş glşrlmş WLS çözüm algorması (ong, vd.. Sözü dln raf algormalar l ş sonuçlar ld dlr. Yanı Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum

3 İ Boulu Bnzrl Dönüşümünd İ Ssm Koordnalarının Varans Blşnlrnn Ksrm Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum sıra, Nzl (, IV modln doğrusal olmaan Gauss Hlmr modl bçmd azılablcğn blrmş, bu modln ugun bçmd doğrusallaşırılara raf çözüldüğü br algormaı vrmşr. Bu algormanın şllr dğrlrl arşılaşırıldığında aslında uarıda blrln nc algormaa dn gldğ görülmdr.. İ Boulu Bnzrl Dönüşümü çn IV odl p> saıda şln noaa lşn hdf ssm oordnaları vörü, =[...X Y...] v başlangıç ssm oordnaları vörü, =[......] olsun. Bu ssm arasında bnzrl dönüşümü çn ( l vrln IV modl aşağıda gbdr; { { β = Y X ( Y X = =( β ; =, ( ~ = σ = = σ = J J J Σ ( Burada, lr ölm blnmnlr; lar dğr dönüşüm paramrlr;, =p boulu başlangıç ssm oordnalarının haa vörü; J, vöründn vörün gçş sağlaan nun boulu Jacoban mars v, başlangıç ssm oordnalarının nn boulu ofaör marsdr. J mars uarıda bnzrl dönüşüm modl çn şöl oluşurulur; J= n n n n D I, (D= p (p K I v K= (3 Burada, I, brm mars; s Kroncr çarpımıdır. Br önc bölümd sözü dln WLS algormaları ullanılara, n son rasonda blnmnlrn srm dğrlr (,,, v haa vörlrnn srm dğrlr ( v bulunur. Sonuça varans çarpanı, u n + = σ ( şlnd blrlnr (Snow,.

4 Çözüm ulaşılan m. rasonda IV modl s aşağıda gb br Gauss Hlmr modl bçmd azılablr (Nzl, ; Snow, ; (, m β + B =, m β ; Σ = σ (5 m m Burada, (m ndsl dğrlr önc rason sonucunda ld dln srm dğrlr; B m mars s m rasonunda bulunan blnmnlrn br fonsonudur; m [ n m n B = I ( β I ] (6.3 Farlı Varans Blşn Blnmnl IV odl v Çözümü Br önc bölümd blrln oordnaların rasgl haa vörlr, sırasıla (, σ v (, σ olsun; an hdf v başlangıç oordnaları farlı analardan glsn. Buna gör ( l vrln IV modl, =( β ; = ~ (, + σ Σ = σ (7 şln, an farlı varans blşn blnmnl IV modl dönüşür. Bunun doğrudan çözümü our. Çözüm çn br WLS algorması l lgl varans blşn algorması brl çalışırılmalıdır. Bunun çn br nümr algorma oluşurulmuşur; Başlangıç dımı (j= : (σ = v (σ = alara (7 modln oluşur (Bu modl, ( modl l özdş olur. Br WLS algorması l çözüm grçlşr; dım j (j=, : β v ları bul. şama : Önc adımdan bulunan srm dğrlrn ( β (j v (j v varans blşnlrn ( ( σ (j v ( σ (j gör aşağıda Gauss Hlmr modln az; (j (j ( β + B = (j (j (j (j β ; ( Σ = σ + ( ( σ (j şama : Söz onusu Gauss Hlmr modlnd varans blşnlrn lgl varans blşn srm önm (Hlmr, IU va BIU l raf sr; (j (σ v (j (σ lr bul. şama 3: Bunları sab alara ndn (7 modln oluşur; (j β v (j lr alaşı dğrlr alara söz onusu WLS algorması l n dğrlrn ( β (j v (j lr ld. Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum

5 İ Boulu Bnzrl Dönüşümünd İ Ssm Koordnalarının Varans Blşnlrnn Ksrm şama : β (j l (j β lr arşılaşır. Brbrlrn şs, şlm sonlandır. Dğls n br adıma gç. Yuarıda vrln algorma l (7 modl ugun bçmd çözülür. Söz onusu algorma l mr Smoo (3 d vrln algorma brbrlrn bnzmdr. nca uarıda vrln algormada hrhang br WLS algorması v hrhang br varans blşn srm algorması ullanılablr. Çözüm ulaşıldığında ld dlc dnglm sonrası varans faörü hr zaman gdr. Bu da zan varans blşn srmnn br özllğdr.. Saısal Ugulama Saısal ugulama çn ssmd oordnaları Dmrl (9 da vrln 6 noa ullanılmışır (ablo. Bunların ağırlıları sonradan problm lnmşr. ablo. Hdf v başlangıç ssmlrnn oordnaları v ağırlıları Karzn Koordnalar (m ğırlılar (m Hdf Ssm Başlangıç Ssm Hdf Ssm Başlangıç Ssm X Y P X P Y P P Söz onusu oordnaların ofaör marslr, ablo d vrln ağırlılardan =P, (P =dag(...p X P Y v =P, (P =dag(...p P şlnd oluşurulmuşur. Üç farlı bnzrl dönüşümü çözümü apılmışır; KK: Yalnız hdf ssm haalı öngörülr blnn ollardan dnglm, WLS: Bölüm. d açılanan modl gör çözüm v 3 WLS+VB Ksrm: Bölüm.3 d açılanan algormaa gör varans blşnlrn d srldğ IV modl çözümü (varans blşn srm Hlmr önmn gör apılmışır. WLS v Hlmr algormalarında olrans dğrlr, sırasıla v 8 alınmışır. Bölüm.3 d vrln şama çn s 9 olrans dğr ullanılmışır. ablo, bu çözümlrdn ld dln blnmn srmlrn, ölç çarpanı dğşmlrn (δ λ =( +, dönülülr;( ϕ = arcan( / v blnmnlrn sandar sapmalarını (σ lı rmlr gösrmdr. Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum

6 6 ablo. Üç farlı çözümdn ld dln srm dğrlr KK WLS WLS+VB (m (m δ λ (ppm ϕ 7 o.8 7 o.8 7 o.77 σ σ σ (m σ (m σ ablo nclndğnd, WLS çözümünün, KK süununda r alan çözümdn olduça farlı olduğu görülmdr. Buradan bnzrl dönüşümünd oordna ssmnd oordnaların haalı dğrlr olduğu blnorn mulaa WLS çözümünün ugulanması grğ sonucu çımaadır. Dğr andan üçüncü süunda vrln sonuçlar da dğrlrndn farlıdır. Buradan da ssm oordnalarının farlı anaan glms durumunda arıca varans blşnlrnn d hsaba aılması grğ anlamı çımaadır. Çalışmada rdlnn algormada adım çözümlr ablo 3 d vrlmdr. dım j ablo 3. WLS+Varans Blşn algormasında adım sonuçları (IS: İrason Saısı Varans Blşn Ksrm lgorması (j (σ (j (σ IS (j (j WLS lgorması (j 5397 (m (j 69 (m IS ablo 3 dn görüldüğü üzr raf çözüm d adımda sonuca aınsamışır. İl adımda varans blşn srm algorması uzun br zamanda aınsarn, sonra adımlarda algormalar hızlanmışır. Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum

7 İ Boulu Bnzrl Dönüşümünd İ Ssm Koordnalarının Varans Blşnlrnn Ksrm 3. Sonuç v Önrlr Koordna dönüşüm problmlrnd ssm oordnaları rasgl haalı olablr. Bu durumda blnn dnglm modl rn, hr ssm oordnalarının haalarının göz önün alındığı IV modl oluşurulmalı v çözüm çn WLS raf çözüm algormaları ullanılmalıdır. nca bu modld d oordnaların anı anaan gldğ varsaılmaadır. ğr bunların farlı analardan gldğ blnorsa çözüm çn söz onusu IV modl d rl olmaz; modld bu haaların varans blşnlr d gçml, WLS algorması l brl br varans blşn srm algorması da ullanılmalıdır. Çalışmada boulu bnzrl dönüşümü çn bu amaçla farlı varans blşn blnmnl IV modl düşünülmüş v bunun çözümü çn algormanın parall olara çalışığı br algorma rdlnmşr. Br boulu bnzrl dönüşümü çn saısal ugulama grçlşrlmşr. IV modl v farlı varans blşn blnmnl IV modl çözümlr olduça farlı bulunmuş; nc modl l daha ugun çözümlr ld dldğ görülmüşür. Bu ndnl söz onusu modln lgl problmn çözümünd göz önün alınması grğ sonucuna varılmışır. Çalışmada rdlnn algorma hr ürlü problm ugulanablr nldr. nca, bazı problmlrd (örnğn, marslrnn brm mars olduğu problmlrd varans blşn srm algorması çözüm ulaşamamaır. Bunun algormadan analanan br sorun olmadığı, lgl blşnlrn ld dlms çn modld rl blgnn bulunmamasının br sonucu olduğu düşünülmldr. Kanalar mr Smoo,. R., (3. pplcaon of las squars varanc componn smaon o rrors nvarabls modls, Journal of Gods, 87, Dmrl, H., (9. Dnglm Hsabı, Üçüncü Basım, YÜ Basım Yaın rz, İsanbul. Nzl, F., (. Gnralzaon of oal las squars on ampl of unwghd and wghd D smlar ransformaon, Journal of Gods, 8, Schaffrn, B. v Wsr,.,(8. On wghd oal las squars adjusmn for lnar rgrsson, Journal of Gods, 8, 5. Snow, K., (. opcs n oal Las Squars djusmn whn h rrors In Varabls odl: Sngular Cofacor arcs and Pror Informaon, Doora z, Godc Scnc Oho Sa Unvrs, Columbus, Oho. ong, X., Jn, Y., L, L., (. n mprovd wghd oal las squars mhod wh applcaons n lnar fng and coordna ransformaon, Journal of Survng ngnrng, 37,, 8. Hara v Kadasro ühndslr Odası, ühndsl Ölçmlr SB Komsonu 7. Ulusal ühndsl Ölçmlr Smpozumu 5 7 m, H Ünvrss Çorum