Özet SOLVING STOCHASTIC AND MULTI-OBJECTIVE PRODUCTION/INVENTORY PROBLEMS MODELED BY MARKOV DECISION PROCESS WITH GOAL PROGRAMMING APPROACH

Transkript

1 Douz Eylül Ünverte Soyal Blmler Enttüü Derg Clt:, Sayı:3, Yıl: 009, Sayfa: ISSN: MARKOV KARAR SÜRECİ İLE MODELLENEN STOKASTİK VE ÇOK AMAÇLI ÜRETİM/ENVANTER PROBLEMLERİNİN HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI İLE ÇÖZÜLMESİ Alı ÖZDEMİR * Geleeğe yönel planlar yapılıren belrzl çeren ararların verlmende toat yalaşımlardan br olan marov arar üreçler (MDP) yönetlere dete ağlayablmetedr. Kar mamzayonu, malyet mnmzayonu gb te br amaç ele alındığında MDP lernn çözümünde değer terayonu, polta terayonu veya doğrual programlama gb yöntemler ullanılablmetedr. Ana, şletmelern reabet ortamında aldıları ararlar, brden fazla ve çoğunlula da brbryle çatışan amaçların eş zamanlı olara ele alınmaını geretrmetedr. Hedef programlama (GP) yalaşımı bu tür orunların çözümünde ullanılablmetedr. Çalışmanın amaı, toat yapıda ço amaçlı arar problemlernn çözümü çn MDP ve GP yalaşımlarının br arada ullanıldığı bütünleş br baış açıı ortaya oymatır. Bu doğrultuda otomotv yan anaynde faalyet göteren br şletmenn üretm/envanter tem ele alınmıştır. Anahtar Kelmeler: Marov Karar Süre, Doğrual Programlama, Hedef Programlama, Ço Amaçlı Marov Karar Süre. Özet SOLVING STOCHASTIC AND MULTI-OBJECTIVE PRODUCTION/INVENTORY PROBLEMS MODELED BY MARKOV DECISION PROCESS WITH GOAL PROGRAMMING APPROACH Abtrat To mae deon nvolvng unertanty hle mang future plan, Marov Deon Proe (MDP), one of the tohat approahe, may provde atane to manager. Method uh a value teraton, poly teraton or lnear programmng an be ued n the oluton of MDP hen only one objetve uh a proft maxmzaton or ot mnmzaton ondered. Hoever the deon made by bune hle operatng n a ompetton envronment requre onderng multple and uually onfltng objetve multaneouly. Goal programmng (GP), an be ued to olve uh problem. The am of th tudy to provde an ntegrated perpetve nvolvng the utlzaton of MDP and GP approahe together for the oluton of tohat mult-objetve deon problem. To th end the produton/nventory ytem of a bune operatng n the automotve uppler ndutry ondered. Keyord: Marov Deon Proe, Lnear Programmng, Goal Programmng, Mult Objetve Marov Deon Proe. * DEÜ İİBF İşletme Bölümü Arş. Gör. Dr., al.yue@deu.edu.tr 75

2 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 1. GİRİŞ Stoat ve ço amaçlı br üretm/envanter problemn ele alan çalışmanın amaı; otomotv yan anaynde faalyet göteren br şletmede gerçeleştrlen uygulama le bu tür br arar problemn Marov arar üre (MDP) le modellemetr. Böylee brden fazla amaın yer aldığı MDP n ço amaçlı arar verme yalaşımlarından hedef programlama (GP) le çözme ve bu doğrultuda toat ve ço amaçlı arar verme yalaşımlarının br arada ullanıldığı br yalaşım ortaya oyma mümün olaatır. Kel X t, t 0,1,,... veya ürel X t, t 0 br toat üreç, n zaman peryodlar üme t 1 t t n çn, üren hang durumda olaağına lşn oşullu olaılığın adee br öne peryotta değere bağlı olmaı halnde Marov arar üre (MDP) olara adlandırılmatadır. Dğer br fadeyle, üren şu an durumu blndğnde gelee, geçmş durumlardan bağımız olmatadır (Parzen, 196: 188). MDP genel anlamıyla, durumlar ümen ve her durumda eçleblr hareetler çeren br temden oluşmatadır. MDP nn düzen aşağıda bçmde özetleneblmetedr (Chng ve Ng, 006: 34); () Belrl br peryotta MDP nn belrl br durumu () gözlemlenmetedr. (Süren durum uzayı S le göterldğnde, S ) () Durumun gözlemlenmenden onra, bu duruma lşn olaı ararlar ümenden (A ) br hareet () eçlmetedr. Her durumunda eçleblee hareetlere lşn ümelern (A ) brleşm üren hareet uzayını (A) oluşturmatadır. () Mevut duruma ve eçlen hareete bağlı olara br anlı ödül (getr veya ayıp) ( r ) ortaya çımatadır. r, alternatfnn eçlme halnde durumundan j j durumunda geçşle elde edlen ödülü götermetedr. j (v) Geçş olaılıları ( p j ) da eçlen hareetten etlenmetedr. p j, durumunda en hareetnn eçlmeyle temn j durumuna geçş yapma olaılığını fade etmetedr. (v) Zaman parametre arttıça yan zaman lerledçe, geçşler terar ortaya çımata ve yuarıda baamalar terarlanmatadır. Peryot, durum, hareet, geçş olaılıları ve ödül öğelernn brleşm T, S, A, p, r br Marov arar üren oluşturmatadır. j j 76

3 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3. MARKOV KARAR SÜREÇLERİ VE İŞLETME SORUNLARININ ÇÖZÜMÜNDE KULLANILMASI MDP lerde poltaların arşılaştırılmaı çn arar vernn performan ölçütünü belrleme geremetedr. Bu ölçüt azanç (ya da ayıp) değerlern çeren br ödül rterdr. MDP lerde ullanılan üç ödül rter; belenen toplam ödül, belenen toplam ndrgenmş ödül ve belenen ortalama ödül rterlerdr. Kararlar ı ı verldğnde (örneğn yıllı değl de aylı peryotlar öz onuu olduğunda (1/1+) le fade edlen ndrgeme fatörü 1 e yaın olduğundan) veya performan rter eonom termlerle olaylıla fade edlemedğnde, arar ver, poltaları, belenen toplam ndrgenmş ödüllerne göre değl belenen ortalama ödüllerne göre ıyalamayı terh edeblr. Özellle, uyru ontrolü teornde, ve özellle de letşm ağları ve blgayar temlernn ontrolüne uygulandığında, ve ıça yenden parş ararlarının verldğ envanter temlernde belenen ortalama ödül rter ullanılmatadır (Puterman, 1994: 331). Ayrıa ele alınan temden elde edlee belenen toplam ödül, n arttıça artmata ve belenen toplam ödül rter le temn uzun döneml eyr haında br blgye ulaşılamamatadır. Bu durumda belenen ortalama ödül rternn ullanılmaı arar verye hem temn uzun döneml eyr onuunda blg hem de farlı MDP lern ortalama getrlern arşılaştırma fıratı vermetedr. Belrl br poltanın belenen ortalama ödülü, üren bu polta le onuz deneblee adar uzun br zaman boyuna devam ettrlme le brm zamanda azanılan belenen ortalama ödüldür. Hareet eçmne lşn ararlar, arar dönemler olara adlandırılan zaman çnde belrl notalarda verlmetedr. Negatf olmayan reel ayılardan oluşan arar dönemler üme (T) el üme veya ürell ve onlu veya onuz üme olma üzere bçmde ınıflandırılablmetedr. Kel olmaı durumunda ararlar tüm arar dönemlernde verlmetedr (Puterman, 1994: 17). Karar dönemlernn üme T 1,,, N çn N onlu veya ayılablee adar onuz olduğunda arar problem onlu zamanlı, dğer durumda e onuz zamanlı problem olara ntelendrlmetedr (Puterman, 1994: 18). Karar vernn hareet eçmnde terh ettğ br arar uralı, belrl br arar dönemnde her br durum çn hareetn eçlmene yönel proedürü belrtmetedr. Karar uralları determnt Marovan dan raal geçmşe bağlı arar urallarına doğru değşmetedr. Karar uralları geçmş verlere bağlılı dereene ve hareet eçm yöntemne bağlı olara; geçmşe bağlı ve raal (HR), geçmşe bağlı ve determnt (HD), Marovan ve raal (MR) veya Marovan ve determnt (MD) olara dört ınıfa ayrılmatadır. Çalışmada determnt Marovan arar uralları ele alınmatadır. Karar uralı temn geçmş durum ve hareetlere adee temn mevut durumu araılığıyla bağlı olmaı nedenyle Marovan (hafızaız) ve enlle br hareetn eçlme nedenyle determnt olara ntelendrlmetedr (Puterman, 1994: 1). Polta, üreç boyuna alınmaı gereen tüm ararları tanımlar (Chng ve Ng, 006: 34). Polta, ayılablr arar vetörler dzdr. Eğer her zaman peryodu çn bu arar vetörler aynı e dğer 77

4 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 br fadeyle polta çnde bulunulan peryottan bağımız e bu durumda polta durağan polta olara adlandırılmatadır. Her durumu çn, ıfırdan falı br olaılıla br polta eçleblyora, raal olmayan (veya arı) polta en a halde raal poltadır (Nazareth ve Kularn, 1986: 14). Bellman ın 1957 yılında yayınlamış olduğu Dnam Programlama ml tapla ıralı arar problemlernn çözümünde ullanılan dnam programlama yalaşımı ortaya onmuştur. Bu yalaşımın ardından onra yıllarda (1961, 196, 1965) Bellman onuya lşn pe ço tap yayınlamıştır yılında Hoard yayınladığı Dnam Programlama ve Marov Süreçler ml tabı le dnam programlama ve matematel Marov znr avramını bütünleştrme fryle brlte Marov Karar Süreçler termn ortaya oymuştur ( Sonra yıllardan başlama üzere yapılan çalışmalarda MDP lern pazarlama, şgüü planlamaı, üretm planlamaı ve ontrolü, ayna dağıtımı, fnanman ve yatırım ararları başta olma üzere şletmelern pe ço ararında uygulandığı görülmüştür. Sonlu MDP lerde dnam programlama (DP) yalaşımı ve bu yalaşıma dayalı olara gelştrlmş olan değer terayonu yöntem ullanılablren, onuz zamanlı üreçlern optmzayonunda polta terayonu yöntemnden ve doğrual programlama yalaşımından yararlanılablmetedr. İşletme orunları çoğunlula onlu peryoda ahp olmayan ararları çerdğnden bu tür üreçlern optmzayonunda polta terayonu yöntem ullanılablmetedr. Polta terayonu yöntem, el dnam programlama problemlernn çözümü çn en hızlı heaplama yöntemlernden brdr faat yöntemn performanı problemn büyülüğüyle hızla düşer. Bu düşüşün neden, yöntemn, her terayonda polta değerlendrme aşamaında doğrual eştller etnn çözümünü geretrmedr (Mra, 00: 518). 3. MARKOV KARAR SÜRECİ İLE ELE ALINAN SORUNLARIN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ MDP olara formüle edlen problemlern optmzayonunda ullanılan çözüm yöntemler DP nn ynelemel lşnden faydalanara optmzayon ağlamatadır. Bunun yanında MDP problemlernn optmzayonunda şletme orunlarında genş uygulama alanına ahp br optmzayon tenğ olan Doğrual Programlama dan (LP) da faydalanılablmetedr. Ço ayıda zaman peryoduna ve duruma ahp orunların çözümünde MDP çözüm algortmaları yeterz alablmete ve ayrıa LP çeştl doğrual tem ııtlarının da probleme dahl edlmen ağlamatadır. MDP nn şletmelerde çeştl alanlarda uygulamalarına yönel olara lteratürde yer alan çalışmaların yanı ıra 1950 l yıllardan başlama ve çoğu üretm/envanter ve mane teçhzatın alte ontrolü baım-onarım ve yenlenme ararlarına yönel olma üzere şletme orunlarının ele alındığı çeştl 78

5 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 çalışmalarda (Manne, 1960; Klen, 196; Wolfe ve Dantzg, 196; D epenoux, 1963; Derman ve Klen, 1965; Klen, 1966; Kolear, 1967; Ghelln ve Epen, 1967; Klev ve Amad, 1968; Denardo, 1970; Hnomoto, 1971a; Hnomoto, 1971b; Hordj ve Kallenberg, 1979; Nazareth ve Kularn, 1986; Yate ve Rehman, 1998; Berman ve Sapna, 001; Jayaumar ve Agarpoor, 006), MDP lern çözümünde LP nn br optmzayon tenğ olara ullanılableeğ ortaya onmuştur. Üretm/envanter orunlarının ele alındığı çalışmalardan Manne nn (1960) çalışmaında denge durumu olaılıları le belenen ortalama üretm, tolama ve touzlu malyetn mnmze etmey amaçlayan LP model oluşturulara optmal üretm ve to mtarları belrlenmştr. Aynı ödül yapıının ullanıldığı Klen (1966) n çalışmaında farlı olara ıarta payı (parş aamalarını önleme amaçlı üretm fazlalığı) da modele dahl edlmetedr. D epenoux (1963), te ürünlü br üretm/envanter temn MDP le modellemş ve üren çözümü çn toplam ndrgenmş malyet (üretm ve tolama malyetler) mnmze eden br LP formülayonu ortaya oymuştur. Lteratürde bu çalışmalar nelendğnde MDP lern doğrual programlama formülayonunda, belenen ortalama ödül ve belenen toplam ndrgenmş ödül rterlernn performan ölçütü olara ullanıldığı görülmüştür. N-durumlu, tamamıyla ergod br Marov üre çn tem zaman çnde geçş yaptıça temn belenen toplam azanı da artmatadır. Bu durumda üren ortalama getr daha anlamlı br performan ölçütü olablmetedr. Ergod olma özellğ le denge durumuna ulaşablen üren belenen ortalama getrnn heaplanmaında üren denge durumu olaılıları ullanılmatadır. İşletmelern de ço ıa ürede faalyetlern ona erdrmeme ve bu doğrultuda planlama peryodunun onuz olmaı neden le bu tür arar problemlernde hem üren uzun döneml eyrn ortaya oyma hem de performanını değerlendrme çn belenen ortalama ödül rternn ullanılmaı daha uygun olmatadır. Bu doğrultuda çalışmada belenen ortalama ödül rter ullanılmatadır. Sonlu durum uzayına ahp ve el zamanlı olan br MDP çn oluşturulan LP model aşağıda göterlmetedr. N max veya mn K Z 1 1 x N K Z 1 1 x N K x ( 1,,, N çn) (1) K 1 x j N K 1 1 x p j ( j 1,,, N çn) x 0 ( 1,,, N ve 1,,, K çn) Denge durumu olaılılarından oluşan denge durumu vetörü ve S çn denge durumuna ulaşıldığında üren durumunda olma olaılığı le göterldğnde, denge durumunda üren durumunda olmaı ve eçlen hareetn 79

6 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 olmaı olaılığı K x 1 x, ( S ve A ), LP modelnn arar değşendr ve dır. durumunda alternatfn ullanmanın belenen ödülü, bu alternatfn ullanımıyla br onra geçşten belenen ödül, ve q N j1 p j j r 80 q le göterlmete le heaplanmatadır. Belenen ödül, azanç olmaı durumunda ve malyet olmaı durumunda le göterleetr. Amaç, üren belenen ortalama azanını mamze etme ya da belenen ortalama malyetn mnmze etmetr ve bu belenen değerlern heaplanmaında da denge durumu olaılıları ullanılmatadır. LP modelnde yer alan ııtlardan l, denge durumu vetöründe yer alan değerlernn toplamının 1 olmaı ( 1,,, N çn 1 N 1 ) oşuludur. LP modelnn dğer ııtları e denge durumuna lşn ııtlardır. Geçş olaılıları matr, ço ayıda geçş yapılmaı onuunda yan bu matrn ço ayıda uvvetnn alınmaıyla, atırları aynı olan br vetöre dönüşmetedr yan j n gttçe P N 1 p j n. Süren bu denge durumu oşulları le olduğundan LP modelnn dğer ııtları temn bu ınırlayıı özellğne lşndr. Son olara arar değşenlernn poztfl oşulu dğer br fadeyle denge durumu olaılılarının negatf olmamaı oşulu ( 0) da modele elenmetedr. MDP le ele alınan çeştl arar orunlarının modellenmende LP yalaşımını ullanmanın avantajlarına arşın, şletmelern arşılaştıları orunlar brbryle çatışan brden fazla amaın eşzamanlı olara ele alınmaını geretrmetedr. Bu doğrultuda şletmelern belrzl çeren ço amaçlı arar verme ortamında etn ararlar vereblmeler hem toat yöntemler hem de ço amaçlı arar verme yalaşımlarını br arada ullanmalarını geretrmetedr. Ço amaçlı arar verme yalaşımlarından br olan Hedef Programlama (GP) brden fazla amaın eş zamanlı olara ele alınmaını ağlamaının yanı ıra önell yapıda GP modelleryle arar verlern farlı önel terhlernn modele dahl edlmen ve farlı önel düzeylernde arşılaştırılmalı analz yapılmaını da ağlamatadır. Bu doğrultuda LP yalaşımına ıyala daha yüe düzeyde enel ağlayara arar verlern terhlernn de modele dahl edlmene olana vermetedr. GP de temel düşüne, her amaç çn pef hedeflern belrlenme, her amaç çn br amaç fonyonunun formüle edlme ve bu amaç fonyonlarının hedeflernden apmalarının toplamını mnmze eden br çözüm aranmaıdır (Vangur, 1998: 1). GP modelnde yer alan apma değşenler, her hedef değernden negatf ve poztf apmalar olara ele alınmatadır. Bu doğrultuda amaç fonyonu, hedeflere atanan görel önem ya da önel düzeyler doğrultuunda hedeflerden apmaların toplamını mnmze etmetr. Brden fazla amaın yer

7 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 aldığı problemlern çözümünde LP yalaşımının ullanılmaına arar verlme durumunda, amaç fonyonu dışında dğer amaçları ııt olara ele alma geremete ve LP model optmal çözümün tüm ııtların ağlamaını zorunlu ılmatadır (Lee ve Moore, 1975: ). Kııtların ağlanamamaı durumunda oluruz çözüm ortaya çımatadır. GP yalaşımı da l olara, Charne ve Cooper tarafından, LP modellernde bu oluruz çözümler ele alma üzere ortaya onmuştur. Charne vd. (1955) tarafından gelştrlen bçmyle GP nn temelnde düşüne, eş zamanlı olara elde edlemeyee hedefler etne mümün olabldğne yaın olablee çözümler gelştrmetr (Perez, 1985: 16). Daha en ve açı br tanım e hedef programlama avramının l ez ullanıldığı Charne ve Cooper ın 1961 de yayınlanan Management Model and Indutral Applaton of Lnear Programmng ml eernde yer almıştır (Tamz, Jone ve Romero, 1998: 569). Ijr (1965) başlangıçta bu frler gelştrere önell GP modeln (Perez, 1985: 18) gelştrmştr. Sonra yıllarda Lee (197), Ignzo (1976), Arthur ve Ravndran (1978), Shnederjan ve Ka (198), Ignzo (198, 1985), ve Olon (1984) un çalışmalarında farlı GP modeller ve mple algortmaları ortaya onmuştur (Arthur ve Ravndran, 1978: ; Olon, 1984: 348; Tamz ve Jone, 1996: 198). Lteratürde çalışmalar nelendğnde GP modellernn, şgüü planlamaı, pazarlama ararları, ulaştırma ve lojt ararları, tem taarımı, portföy eçm vb. fnanman ve muhaebe ararları, üretm planlamaı ve çzelgeleme, envanter ontrolü, alte ontrol ve performan değerlendrme gb çeştl şletme ararlarında uygulandığı (Ignzo, 1978: 1; Lee, 1979: ; Lee ve Moore, 1975: 8-9; Ravndran, Phllp ve Solberg, 1987: 06) görülmetedr. Çalışmanın amaı doğrultuunda MDP problemlernn GP le modellendğ çalışmalar nelendğnde bu yalaşımın şgüü planlamaı ve PERT ağlarında uygulandığı görülmetedr. Georgou (1999), çalışmaında şgüü planlamaı orununu homojen olmayan (geçş olaılılarının zamana bağlı olduğu) el zamanlı MDP le modelleyere hyerarş br popülayon yapıı çnde yer alan çalışanları çeştl ntellerne göre ınıfa ayırmıştır. Sınıflar yan MDP nn durumları araında geçşlere lşn olaılılar belrlenmştr. Sorunda, her durum çn malyet mnmzayonu ve şe alım poltaına bağlı olara tenen şgüü yapııyla lgl olma üzere brden fazla amaç yer almatadır. Süren ınırlayıı davranışından faydalanara, bu amaçların ele alınablme çn ağırlılandırılmış ve önell GP ullanara bu yalaşımı br ünvertenn şgüü planlamaı orununa (4 durumlu br marov üre) uygulamıştır. Georgou ve Tanta (00), Georgou (1999) nun yaptığı çalışmaya e olara, hyerarş ınıfa laveten, şe alımlarda şgüü tou gb hzmet veree yen br eğtm/yede ınıfı oluşturmuş ve MDP modeln GP yalaşımı le çözmüştür. Azaron, Katagr ve Saaa (007), Marov PERT ağlarında zaman-malyet denge problemler çn ço amaçlı br optmal ontrol problem ortaya oymuştur. Görev ürelernn Erlang dağılımlı brbrnden bağımız raal değşenler olduğu varayımı altında, problemde, projenn toplam dret malyetlernn mnmzayonu, proje tamamlanma ürenn ortalamaının mnmzayonu ve proje tamamlanma ürenn varyanının mnmzayonu olma 81

8 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 üzere üç amaç ele alınmatadır. Doğrual olmayan optmzayon problemne dönüştürülen problemn çözümü çn GP yalaşımı ullanılmıştır. Ele alınan çalışmalar dışında, lteratürde, GP yapıı çnde MDP lern yer aldığı çalışmalara da ratlanmıştır. İşgüü planlamaında uygulanan bu çalışmalardan brnde Zana ve Maret (1981), MDP-önell GP ardışı yalaşımı ortaya oymuştur. Çalışanların bölümler araı tranfer, şten ayrılmaları gb çeştl durumlar MDP le modellenere geçş olaılıları matr oluşturulmuş, bu olaılılar ve malyetler le belenen yıllı malyet matr heaplanara, belrlenen 1 hedeften br olan malyet mnmze etme hedefnn oluşturulmaında bu malyetler ullanılmış ve önell doğrual GP model çözülmüştür. Br dğer çalışmada Kornbluth (1981), Zana ve Maret n (1981) ortaya oyduğu orunun aynıını önell GP model yerne ağırlılandırılmış amaç fonyonu le çözmüştür. Kalu nun 1994 ve 1999 yıllarında çalışmalarında e GP modelnde parametrelern (ategorler araında geçş yapan peronel oranlarının) tahmnlenmende MDP den faydalanılmıştır. Lteratürde yer alan çalışmalarda yer alan LP ve GP modeller temel alınara şletmelern üretm/envanter ontrolü problemler çn, LP formülayonunda yer alan belenen ortalama ödül rter (Manne, 1960; Wolfe ve Dantzg 196; D epenoux 1963; Klen, 1966; Nazareth ve Kularn, 1986) ullanılara önell GP model (Jaaelanen, 1969; Lee ve Moore, 1975; Golany, Yadn ve Learner, 1991; Perez, 1985) oluşturulmuştur. Z N mn 0 1 N 0 1 N x0 1 N 0 1 K 1 K K K x j Pr ( d d x, d x x, d 1 N x d d d 0 1 K, d d x, d d d b p j, d ) Pr ( d b b j 0,1,, N çn., d 0 d ) Pr ( d d ) () Modelde yer alan 1.hedef ııtı azanç hedefn (b ),. hedef ııtı üretm, tolama ve touzlu malyetlernden oluşan malyet hedefn (b ) ve on olara 3. hedef ııtı da touzlu rne lşn hedef (b ) fade ederen, dğer ııtlar LP formülayonunda tanımlanan ve MDP nn olaılı yapıına lşn olan ııtlardır. GP modelnde yer alan arar değşenler denge durumu olaılılarını ve parametreler de geçş olaılıları ve ödüllerle heaplanan azanç ve malyet değerlern götermetedr. Bu doğrultuda modelde yer alan arar değşenler ve parametreler MDP yalaşımının uzantııdır. 8

9 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 4. STOKASTİK ENVANTER PROBLEMİNİN GP İLE ÇÖZÜMÜNE YÖNELİK BİR UYGULAMA Verlen GP model doğrultuunda çalışmanın bu bölümünde gerçe şletme verler le uygulama yapılmatadır Araştırma Problem ve Probleme İlşn Verler Öne bölümlerde teor çerçeve ortaya onan MDP ve GP yalaşımlarını br arada ullanara ortaya onan modeln gerçe şletme verler le uygulanablrlğn göterme üzere otomotv yan anaynde faalyet göteren büyü ölçel br şletmenn verler ele alınmıştır. Uygulamanın gerçeleştrlme çn gerel verler frmanın alte ve planlama departmanlarının yönetler le yüz yüze görüşmeler yapılara ve üretm üre gözlemlenere toplanmıştır. Yapılan görüşmeler doğrultuunda şletmenn reabet avantajına zarar vermeme çn şletme mne çalışmada yer verlmemetedr. İşletme, yrm yılı aşın üredr otomotv yan anaynde faalyet götermete, global pazarlarda faalyet göteren pe ço şletmenn de yan anay olma özellğ taşımata ve üretmnn yalaşı %75 n çeştl ülelerde otomotv şletmelerne hraç etmetedr. İ üretm tende üç vardyalı çalışma temyle yıllı toplam, yalaşı 4 mlyon adetl üretm apatene ahp şletme 400 den fazla farlı modelde ürün üretmete ve yalaşı 1000 ş thdam etmetedr. Üretmde CAD/CAM tenolojler ullanılmatadır. Tam zamanında üretme geçme amaı doğrultuunda üretm ürende hataların önlenme ve toların mnmzayonu hedeflenmetedr. Çalışmada yıllı üretm apatenn %10 lu bölümüne ahp ürün model ele alınmatadır. Bu doğrultuda te ürünlü br üretm/envanter tem modelleneetr. Ürüne lşn verler aşağıda özetlenmetedr. Üretm Mtarı (Part Büyülüğü): Üretm ürende part büyülüğü 1500 adettr. Ürünlern 1500 adetl partler halnde üretlme doğrultuunda atışlar ve tolar çn de part büyülüğü ea alınmata dğer br fadeyle ürünlern partler halnde atıldığı ve tolandığı varayılmatadır. Üretm Kapate: : Ürünün aylı üretm apate adet = 0 partdr. Satış Mtarı: Ürünün yıllı (006 yılı) atış mtarı adettr. Stolama Kapate: Ürün çn aylı tolama apate 3000 adet = partdr. Fyat ve Malyet Verler: Ürünün atış fyatı 70 TL, brm üretm malyet 31.5 TL, tolama malyet 17.5 TL ve touzlu malyet 14 TL dr. Belrtlen varayım doğrultuunda 1500 adetl br part ürün çn fyat 105 TL ( 1000) ve malyetler de ıraıyla 47.5 TL, 6.5 TL ve 1 TL ( 1000) dr. Ürüne lşn yıllı talep ver ( adet) ullanılara ve şletme yönetler le görüşmeler doğrultuunda oluşturulan aylı talep verler Tablo 1 de verlmetedr. 83

10 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Tablo 1. Aylı Talep Ver y Talep (adet) Talep (part ayıı) y Talep (adet) Talep (part ayıı) İşletmenn planlama departmanı, ço ayıda büyü otomotv şletme le devam eden özleşmelernn olmaı nedenyle talepte mevmel dalgalanmaların yaşanmadığını belrtmştr. Tabloda yer alan aylı talep vernn, SPSS de yapılan Te-Örnelem Kolmogorov-Smrnov tet onuunda adet 15 part le Poon dağılıma uyduğu belrlenmştr. Tabloda part ayıları el değerler alınara heaplanmıştır. 4.. Marov Karar Sürenn Bleşenler İşletmenn üretm/envanter temnde değşmelern çoğunlula mevut dönemde duruma göre verlme nedenyle ve lteratürde bu alanda yapılan çalışmaların da bu varayımı deteleme doğrultuunda, envanter mtarlarına bağlı olara verlee üretm ararı problem MDP le modellenmetedr. Bu doğrultuda MDP ve bleşenler belrlenmeldr. Stoat Süreç ve Süren Durumları: İşletmenn üretm/envanter tem ve envanter mtarlarında değşmeler MPD le ortaya onulduğundan dönem başı envanter mtarları MDP nn durumları olara ntelendrlmetedr. Karar Dönemler ve Peryotlar: Ele alınan şletmenn üretm ürende ararlar, her dönemn başında (el zamanlarda), envanter mtarına bağlı olara o dönemde ne adar üretm yapılaağının belrlenmene yönel olduğundan ele alınan MDP el br üreçtr. MDP nn peryodu, gözlemn yapılara ararın verldğ zaman brm, 1 aydır. İşletmenn varlığının ıa br üre faalyet göterdten onra on bulmamaı nedenyle arar dönemler üme T={0,1,,,n, }, onuz olara ntelendrlmetedr. Durum Uzayı: İşletmenn ele alınan ürüne lşn aylı tolama apate part olduğundan olaı durumların üme yan üren durum uzayı S 0,1, olara tanımlanmatadır. Hareet Kümeler: Her durum çn belrlenen hareet alternatfler aşağıda bçmde tanımlanablr: 84

11 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Dönem başı envanter mtarı 0 olduğunda (=0 çn), Tablo 1 de yer alan aylı talep verlernde mnmum talep mtarına göre şletmenn en az 10 part üretm yapmaı geretğ öyleneblr. İşletmenn ürüne lşn aylı üretm apate 0 partdr. Ürün çn aylı tolama apatenn part olmaı göz önünde bulundurulduğunda, şletme, 0 tola döneme başlamaı halnde 0 part üretm gerçeleştrere olaı mamum taleb (18 part) arşılamaı onuunda part tola dönem onuna gelmetedr. Dğer br fadeyle şletme 0 tola döneme başladığında üretm mtarını 0 partye adar çıarablmetedr. Bu nedenle =0 çn hareet alternatfler üme A 0 1,,3,4,5,6,7,8,9,10, le tanımlanmata ve =1 alternatf 10, = alternatf ve = alternatf de 0 part üretm fade etmetedr. Mnmum mamum talep mtarları le ürüne lşn üretm ve tolama apateler doğrultuunda; hareet alternatfler üme, =1 çn A 1 1,,3,4,5,6,7,8,9,10, le ve = çn e A 1,,3,4,5,6,7,8,9,10, le tanımlanmatadır. MDP nn hareet uzayının 33 elemanı vardır. Geçş Olaılıları ve Ödüller: Her durum çn farlı hareet alternatflerne göre geçş olaılıları ve ödüller (azanç ve malyet değerler) heaplanmalıdır. Ele alınan orunda; hareet alternatflerne göre durumlar araı geçşe lşn belenen üretm malyet u, tolama malyet j h, touzlu malyet =0 en ve arar ver =1 (10 partl üretm) alternatfn eçtğnde br 1 onra döneme 0 tola başlanmaı (j=0 durumuna geçş) le u TL ( 1000) üretm malyet ortaya çımatadır. Br onra döneme 0 tola başlanmaı dğer br fadeyle çnde bulunulan dönemn onunda 0 to almış olmaı nedenyle tolama malyet ( h ) ortaya çımamatadır. Talep 10 part olduğunda touzlu öz onuu olmazen veya daha fazla olduğunda şletme touz almata ve e malyete atlanmatadır. partl talep olduğunda 1 85 j l ve toplam malyet j uj hj l le azanç e daha öne de belrtldğ gb j j le göterlmetedr. Durum nn alternatf eçlme le belenen malyet ve azanı j j0 olara tanımlanmıştır. j0 j Talep verlernn Poon dağılıma uymaı doğrultuunda 15 çn Poon olaılı değerlern ullanara, her durum çn farlı alternatflere göre geçş olaılılarının ve geçşlerle ortaya çıan ödüllern heaplanmaı aşağıda şelde özetleneblr: Dönem başı envanter 0 part (=0) olduğunda ve arar ver =1 (10 part üretm) alternatfn eçtğnde, şletmenn br onra döneme 0 tola (j=0) başlamaı, bu dönemde ürüne olan talebn 10 part ya da daha fazla olmaı onuunda gerçeleşeblr. Talebn 10 ya da daha fazla olmaı olaılığı 1 p olara bulunmatadır. =0, j=0,1, ve =1,,3,4,5,6,7,8,9,10, A ) çn benzer şelde geçş olaılıları heaplanmıştır. ( 0 j

12 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 partl talep arşılanamadığından 1 TL ( 1000) l touzlu malyet ortaya çımatadır ve talebn part olmaı olaılığı (Poon olaılı değerlernden) dür. 1 partl talep olduğunda e partl touzlu onuunda touzlu malyet 4 TL ( 1000) olmatadır ve talebn 1 part olmaı olaılığı 0,089 dur. Benzer şelde olaı talep mtarları çn malyet ve olaılı değerler çarpılıp toplandığında =0, =1 ve j=0 çn belenen touzlu malyet 1 l TL ( 1000) olara heaplanmıştır. Bu doğrultuda toplam belenen 00 1 malyet olmatadır. Ele alınan üretm/envanter temnde yer alan tüm durumlar çn, her duruma lşn tüm hareet alternatflerne göre heaplanan geçş olaılıları ve ödüller EK 1 de yer alan tabloda özetlenmetedr. Karar Kuralı ve Polta: Üretm/envanter temnn modellenmende MD (Marovan-hafızaız ve determnt) arar uralı ullanılmata ve durağan (zamana bağlı olmayan) arı (raal olmayan) polta zlenmetedr MDP le Ele Alınan Problemn LP ve GP Yalaşımları le Çözümü Çalışmanın bu ımında MDP nn çözümü çn LP ve GP modeller ortaya onulmata ve elde edlen onuçlar arşılaştırılmatadır MDP problemnn doğrual programlama yalaşımı le çözülme İşletmenn üretm/envanter problem çn ortaya onan MDP ve elde edlen verler (EK1) le orunun çözümünde LP yalaşımının ullanılmaı çn, () de yer alan GP modelnde ele alınan azanç mamzayonu, malyet mnmzayonu ve touzlu rnn mnmzayonu amaçlarının her brne yönel ayrı ayrı üç LP model oluşturulmalıdır. Her br amaç çn LP model oluşturuluren dğer amaçlar modeln ııtları olara ele alınmatadır. LP Model I: Kazanç Mamzayonu (1) le verlen LP modelnde yer alan MDP ııtları dışında, GP modelnde hedef olara ele alınan malyet (en fazla 1800 TL) ve touzlu rne lşn (en fazla 0,10) hedef ııtları da LP modelne elenmete ve modelde gerçe ııt olara ele alınmatadır. Bu doğrultuda, aylı belenen ortalama azanı mamze eden LP model 3 de göterlmetedr: 86

13 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Z max x x 1 ve x x p ( j 0,1, çn) j (Malyet Kııtı) (3) x x 0.10 (Stouzlu Rne İlşn Kııt) x 0 ( 0,1, ve 1,,, çn) LP Model II: Malyet Mnmzayonu Karar değşenler aynı olan modelde amaç aylı belenen ortalama malyet mnmze etme olduğundan amaç fonyonu Z x olaa j mn 0 1 ve malyet ııtı yerne öne modelde amaç fonyonunda yer alan azanç (en az 100 TL) bu modelde ııt olara 100 bçmnde yer alaatır. 0 1 x LP Model III: Stouzlu Rnn Mnmzayonu Amaç herhang br ayda touz alma olaılığını mnmze etme olduğu çn amaç fonyonu Z x olmata ve öne modelde amaç mn 1 0 fonyonunda yer alan azanç ve malyet e bu modelde ııt olara ve 1800 le göterlmetedr. x 0 1 x GP modelnde ele alınan amaçların her br çn ayrı ayrı oluşturulan LP modellernn POM-QM for Wndo ullanılara çözülme le üç LP modelnn de oluruz çözüme ahp olduğu belrlenmştr Marov arar üre problemnn hedef programlama yalaşımı le çözülme Probleme lşn GP modelnn oluşturulmaından öne modelde arar değşenler, ııtlar, şletmenn amaçları, bu amaçların hedef değerler ve hedeflern önel düzeyler (önel hyerarş belrlenyora) tanımlanmalıdır. Karar Değşenler: GP modelnn arar değşenler de durumlara lşn denge durumu olaılıları ve buna e olara GP yalaşımının temeln oluşturan negatf (d - ) ve poztf apma (d + ) değşenlerdr.

14 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Kııtlar: GP modelnde yer alan hedef ııtları dışında ııtlar dğer br deyşle gerçe ııtlar, LP formülayonunda yer alan ve MDP nn olaılı yapıından ve de denge durumundan aynalanan ııtlardır. Amaçlar ve Hedef Değerler: () le ortaya onan modelde tanımlanan amaçlar ve hedef değerler şletmenn planlama ve alte yönetleryle yapılan görüşmeler doğrultuunda ele alınmış ve yuarıda LP modellernde ullanıldığı gb; b =100 TL, b =1800 TL ve b =%10 olara belrlenmştr. Hedeflern Önel Düzeyler: İşletme yönetler ortaya onan üç amaç araında ço farlılı yarataa br önel ıralamaı yapmamış ve bu nedenle de br önel hyerarş belrlememştr. Bu durumda eşt önell 3 amaç öz onuu olduğundan, arar verlern bu görüşler doğrultuunda, () de yer alan önell GP model, önellern olmadığı GP modelne dönüştürülmüştür. İşletmenn MDP olara modellenen üretm/envanter tem çn oluşturulan GP model (4) de göterlmetedr. Z mn d d d x d d 100 (Kazanç Hedef) x d d 1800 (Malyet Hedef) x d d 0.10 (Stouzlu Rne İlşn Hedef) x 1 (4) j x x p ( j 0,1, çn) j x, d, d, d, d, d, d 0 ( 0,1, ve 1,,, çn) (4) götermnde özetlenen GP modelne EK 1 de verlen belenen azanç, belenen malyet ve geçş olaılıları değerler yerleştrldğnde ve düzenlendğnde elde edlen model EK de göterlmetedr. Eşt önell üç amaa ahp GP modelnn POM-QM for Wndo programının GP modülü le çözülme onuunda; şletmenn dönem (ay) başı envanter mtarı doğrultuunda belrledğ hedeflere ulaşma çn gerçeleştrme gereen üretm mtarları, hedeflere ulaşma düzeyler ve hedeflerden apmalar belrlenmştr. Çözüm onuçları Tablo de özetlenmetedr. Tabloda denge durumu olaılılarını göteren değşenlern tümü değl adee 0 dan farlı değer alan değşenlere yer verlmştr. 88

15 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Tablo. Hedef Programlama Modelnn Çözüm Sonuçları Hedeflere İlşn Sonuçlar Hedef Değer Negatf Sapma (d - ) Poztf Sapma (d + ) Kazanç Hedef (d - ) 100 (YTL) d d 0 Malyet Hedef (d + ) 1800 (YTL) d d 0 Stouzlu R Hedef (d + ) 0.10 d 0 d Karar Değşenlerne İlşn Sonuçlar Denge Durumu Olaılıları x x x 0. 8 GP modelnn çözümü le elde edlen ve tablonun üt ımında verlen hedeflere lşn onuçlara göre şletme azanç hedefne ulaşamamata ve yalaşı 764 TL ( 1000) apma le aylı ortalama 1336 TL ( 1000) azanç elde etmetedr. İşletmenn belenen aylı ortalama malyet (üretm, tolama ve touzlu malyetlernn toplamı) yalaşı 908 YTL ( 1000) dr. Bu doğrultuda 1800 TL l belenen ortalama aylı malyet hedefnden daha düşü malyet ( d ) ortaya çımatadır. Son olara, şletmenn, herhang br ayda touz alma olaılığının en fazla %10 düzeynde olmaına lşn hedefe ulaşamadığı ve %3 lü br poztf apmayla ( d 0. 03) şletmenn touz alma olaılığının bu verler altında %13 olduğu görülmetedr. Tablonun alt bölümünde denge durumu olaılılarına lşn olara verlen onuçlara göre; şletmenn gelee dönemlerde touz alma olaılığı %13 dür ve şletmenn herhang br döneme, aya, %6 olaılıla 1 part ve %8 olaılıla part ürünle başlamaı belenmetedr. İşletmenn 0 tola döneme başlamaı durumunda 0 part üretm yapmayı (=), dönem başı to 1 part olduğunda 18 part üretm yapmayı (=10) ve başlangıçta to bulunduğunda da 18 part üretm yapmayı (=) terh etme belenmetedr. Bu üretm ararları doğrultuunda da belrtldğ gb adee aylı malyet hedefne ulaşılablmetedr. 5. SONUÇ İşletmelern belrzl unurunu da arar verme ürende ele alablmelern ağlayan yönetm blm tenlernden br olan MDP nn, günümüzde artan reabetle brlte şletmelern adee te br amaa değl brden fazla brbryle çatışan amaa odalanmalarını zorunlu ılmaından dolayı, brden fazla amaın te br yapı çernde ele alınabldğ ço amaçlı arar verme tenleryle brlte ullanılmaı geremetedr. GP yalaşımı da yönetlere bu yapıyı ağlamatadır. MDP le modellenen orunların GP le ele alınmaına lşn olara lteratürde şgüü planlamaı ve proje yönetmne yönel braç çalışma 89

16 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 olduğu görülmetedr. Çalışmada lteratürde yer alan GP modeller temel alınara şletmelern MDP le modelleneblen toat üretm/envanter orunlarının çözümü çn önell ve önell olmayan GP modeller önerlmştr. Otomotv yan anaynde yrm yılı aşın üredr faalyet götermete olan br şletmenn farlı modeller çnden en ço talep edlen ürününe lşn verler ele alınara üretm/envanter tem MDP olara modellenmştr. Ele alınan orunda her ayın başında tota bulundurulan ürün mtarı MDP nn durumları olara tanımlanmış ve orunun çözümü çn hem LP hem de GP yalaşımları ullanılmıştır. İşletme yönetm, atışlardan elde edlen belenen aylı ortalama azanın mamzayonu, belenen aylı ortalama malyetn mnmzayonu ve touz alma rnn mnmzayonu olma üzere 3 farlı amaı ele almatadır. Modellerde yer alan arar değşenler marovan üren denge durumu olaılılarıdır. Üç amaç çn ayrı ayrı LP modeller formüle edlere çözüldüğünde her üç problemde de oluruz çözüm ortaya çımıştır. Kar hedefnden negatf, malyet hedefnden ve touz alma olaılığına lşn hedeften de poztf apmaların ele alınara bu apmaların toplamının mnmze edlme amaçlandığında yan GP yalaşımı ullanıldığında, şletmenn bu 3 amaı çn brbrne ıyala ço büyü farlılı yaratan br önel hyerarş ortaya onmadığından önellern belrlenmedğ yapı ele alınmıştır. Sorun doğrual GP model le çözüldüğünde elde edlen onuçlara göre şletme azanç ve touzlu rne lşn hedeflere ulaşamazen hedefledğ ortalama aylı malyetten daha düşü malyet ortaya çımıştır. Ayrıa, şletmenn touz alma olaılığının %13 ve bu durumda üreteeğ mtarın 0 part, şletmenn herhang br aya 1 part ürün touyla başlama olaılığının %6 ve bu to düzeynde gerçeleştreeğ üretmn 18 part ve on olara part ürün touyla döneme başlama olaılığının %8 ve vereeğ üretm ararının 18 part olmaı belenmetedr. Tüet htyaçlarının zamanında arşılanablme ve malyetler açıından şletmelern reabet avantajında büyü önem taşıyan ve toat yapıda üretm/envanter problemnn GP yalaşımı le modellenme ve çözülme le, LP yalaşımından farlı olara, 3 amaç eş zamanlı olara ele alınablmete ve bu hedeflere ulaşma düzeyler belrleneblmetedr. GP yalaşımı, ş dünyaında yer alan artan belrzl ve reabet nedenyle olablee değşmeler le hedef değerlernden apmaların da ortaya çıableeğn date alara daha ene çözümlern elde edlmen ağlamatadır. Ortaya onan yapının, arar verlere, şgüü, pazarlama, fnanman vb. onularla lgl ararlarda da yardımı olableeğ düşünülmetedr. 90

17 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 KAYNAKÇA Arthur, J. L. ve Ravndran A. (1978). An Effent Goal Programmng Algorthm Ung Contrant Parttonng and Varable Elmnaton. Management Sene, 4(8): Azaron, A., Katagr, H. ve Saaa, M. (007). Tme-Cot Trade-off Va Optmal Control Theory n Marov PERT Netor. Annal of Operaton Reearh, 150(1): Berman, O. ve Sapna, K.P. (001). Optmal Control of Serve for Falte Holdng Inventory. Computer and Operaton Reearh, 8(5): Chng, W-K. ve Ng, M.K. (006). Marov Chan: Model, Algorthm and Applaton. USA: Sprnger. D epenoux, F. (1963). A Probablt Produton and Inventory Problem. Management Sene, 10(1): Denardo, E.V. (1970). On Lnear Programmng n a Marov Deon Problem. Management Sene, 16(5): Derman, C. ve Klen, M. (1965). Some Remar on Fnte Horzon Marovan Deon Model. Operaton Reearh, 13(): Georgou, A.C. (1999). Apraton and Prorte n a Three Phae Approah of a Nonhomogeneou Marov Sytem. European Journal of Operatonal Reearh, 6(3): Georgou, A.C. ve Tanta, N. (00). Modellng Rerutment Tranng n Mathematal Human Reoure Plannng. Appled Stohat Model n Bune and Indutry, 18(1): Ghelln, G.T.D. ve Eppen, G.D. (1967). Lnear Programmng Soluton for Separable Marovan Deon Problem. Management Sene, 13(5): Golany, B., Yadn, M. ve Learner, O. (1991). A Goal Programmng Inventory Control Model Appled at a Large Chemal Plant. Produton and Inventory Management Journal, 3(1): Hnomoto, H. (1971a). Seletve Control Independent Atvte: Lnear Programmng of Marovan Deon. Management Sene, 18(1): Hnomoto, H. (1971b). Sequental Control of Homogeneou Atvte- Lnear Programmng of Sem-Marovan Deon. Operaton Reearh, 19(7): Hordj, A. ve Kallenberg, C.M. (1979). Lnear Programmng and Marov Deon Chan. Management Sene, 5(4): Hoard, R.A. (1960). Dynam Programmng and Marov Proee. USA: M.I.T. Pre 91

18 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Ignzo, J.P. (1978). A Reve of Goal Programmng: A Tool for Multobjetve Analy. Journal of Operatonal Reearh Soety, 9(): Jaaelanen, V. (1969). A Goal Programmng Model of Aggregate Produton Plannng. The Sedh Journal of Eonom, 71(1): Jayaumar, A. ve Agarpoor, S. (006). Mantenane Optmzaton of Equpment by Lnear Programmng. Probablty n the Engneerng and Informatonal Sene, 0(1): Kalu, T.Ch.U. (1994). Determnng the Impat of Ngera Eonom Cr on the Multnatonal Ol Compane: A Goal Programmng Approah. The Journal of the Operatonal Reearh Soety, 45(): Kalu, T.Ch.U. (1999). Captal Budgetng Under Unertanty: An Extended Goal Programmng Approah. Internatonal Journal of Produton Eonom, 58(3): Klev, Y. ve Amad, A. (1968). Lnear and Dynam Programmng n Marov Chan. Ameran Journal of Agrultural Eonom, 50(1): Klen, M. (196). Inpeton-Mantenane-Replaement Shedule Under Marovan Deteroraton. Management Sene, 9(1): 5-3. Klen, M. (1966). Marovan Deon Model for Rejet Alloane Problem. Management Sene, 1(5): Kolear, P. (1967). Randomzed Replaement Rule Whh Maxmze the Expeted Cyle Length of Equpment Subjet to Marovan Deteroraton. Management Sene, 13(): Kornbluth, J.S.H. (1981). Aggregate Manpoer Plannng Ung a Marovan Goal Programmng Approah. The Journal of the Operatonal Reearh Soety, 3(10): Krtenen, A.R. (1996), Dynam Programmng and Marov Deon Proee, Erşm: Lee, S.M. (1979). Goal Programmng Method for Multple Objetve Integer Program, OR Monograph Sere No:. Atlanta: Ameran Inttute of Indutral Engneer In. Lee, S. M. ve Moore, L.J. (1975). Introduton to Deon Sene. Ne Yor: Petroell/Charter. Manne, A.S. (1960). Lnear Programmng and Sequental Deon. Management Sene, 6(3): Mra, M. (00). Poly Iteraton Aelerated th Krylov Method. Journal of Eonom Dynam and Control, 6(4):

19 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 Nazareth, J.L. ve Kularn, R.B. (1986). Lnear Programmng Formulaton of Marov Deon Proee. Operaton Reearh Letter, 5(1): Olon, D. (1984). Comparon of Four Goal Programmng Algorthm. Journal of Operatonal Reearh Soety, 35(4): Parzen, E. (196). Stohat Proee, Holden-Day In., USA. Perez, S.J. (1985). Multple Objetve Deon Mang Ung Goal Programmng Tehnque: An Interatve Mroomputer Approah. Yayınlanmamış Dotora Tez, Graduate College of Texa A&M Unverty, Texa. Puterman, L. (1994). Marov Deon Proee: Drete Stohat Dynam Programmng. UK: John Wley&Son In. Ravndran, A., Phllp, D.T. ve Solberg, J.J. (1987). Operaton Reearh: Prnple and Prate, Seond Edton. USA: John Wley and Son In. Shnederjan, M.J. ve Ka, N.K. (198). An Alternatve Soluton Method for Goal Programmng Problem: A Tutoral. Journal of Operatonal Reearh Soety, 33(3): Tamz, M., Jone, D. ve Romero, C. (1998). Goal Programmng for Deon Mang: An Overve of the Current State-of-the-Art. European Journal of Operatonal Reearh, 1(3): Tamz, M. ve Jone, D.F. (1996). An Overve of Current Soluton Method and Modellng Prate n Goal Programmng, Mult-Objetve Programmng and Goal Programmng Theore and Applaton (.198-). Germany: Sprnger-Verlag. Trzaal, T. (1998). Multobjetve Analy n Dynam Envronment., Katoe: The Karol Adame Unverty of Eonom Pre Vangur, U.P. (1998). Goal Programmng for Penon Fund Portfolo Modelng. Yayınlanmamış Yüe Lan Tez, Unverty of Mantoba The Warren Centre for Atuaral Stude and Reearh, Mantoba. Wolfe, P. ve Dantzg, G.B. (196). Lnear Programmng n a Marov Chan. Operaton Reearh, 10(5): Yate, C.M. ve Rehman, T. (1998). A Lnear Programmng Formulaton of the Marovan Deon Proe Approah to Modellng the Dary Replaement Problem. Agrultural Sytem, 58(): Zana, S.H. ve Maret, M.W. (1981). A Marovan Goal Programmng Approah to Aggregate Manpoer Plannng. The Journal of the Operatonal Reearh Soety, 3(1):

20 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 EK 1: MDP nn Farlı Durum ve Alternatflere İlşn Geçş Olaılıları ve Ödüller 94

21 Marov Karar Süre İle DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 95

22 Özdemr, A. DEÜ SBE Derg Clt:, Sayı:3 EK. Hedef Programlama Model 96