ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BÜTÜNLEŞTİRİLMİŞ DOKTORA TEZİ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BÜTÜNLEŞTİRİLMİŞ DOKTORA TEZİ MEVSİMSEL ZAMAN SERİLERİNDE KOİNTEGRASON VEKTÖRÜNÜN TAHMİNİ: SPEKTRAL REGRESON AKLAŞIMI Jeaie NDIHOKUBWAO İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 07 Her hakkı saklıdır

2

3 ETİK Akara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü ez yazım kurallarıa uygu olarak hazırladığım bu ez içideki büü bilgilerim doğru ve am olduğuu, bilgileri üreilmesi aşamasıda bilimsel eiğe uygu davradığımı, yararladığım büü kayakları aıf yaparak beliriğimi beya ederim. 05/0/07 Jeaie NDIHOKUBWAO i

4 ÖZET Büüleşirilmiş Dokora Tezi MEVSİMSEL ZAMAN SERİLERİNDE KOİNTEGRASON VEKTÖRÜNÜN TAHMİNİ: SPEKTRAL REGRESON AKLAŞIMI Jeaie NDIHOKUBWAO Akara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü İsaisik Aabilim Dalı Daışma: Prof. Dr. ılmaz AKDİ Bu çalışmada, Güey Afrika ülkesii öemli ekoomik değişkeleri icelemeye çalışılmışır. Gözlee üçer aylık zama serilerii mevsimsel birim kök içerip içermediği HEG ve periodogram abalı mevsimsel birim kök es yöemleri ile sıamışır. Ayı derecede büüleşik seriler arasıda muhemel koiegrasyo ilişkisi spekral regresyo yöemi ile araşırılmışır. Mevsimsel zama serileride birim kökü espii içi HEG yöemi e yaygı kullaıla yöemdir. HEG yöemi ile mevsimsel frekaslara karşılık gele birim kökler espi edilebilmekedir. Üçer aylık mevsimsel zama serileri arasıdaki mevsimsel birim kökleri ve muhemel koiegrasyo ilişkileri HEG, periodogram ve Egle-Grager yöemleri ile araşırılmışır. Çalışmada, icelee büü serileri mevsimsel birim köklü serileri olduğu espi edilmişir. Koiegrasyo ilişkileri elde edilirke bazı serilerde farklı souçlar elde edilmişir. Periodogramları özellikleri göz öüe alıdığıda, mevsimsel birim kökleri espii ve muhemel koiegrasyo ilişkileri içi periodogram abalı yöemleri ercih edilebileceği soucua verilmişir. Ocak 07, 53 sayfa Aahar Kelimeler: zama serileri, mevsimsel birim kök, Güey Afrika ekoomik değişkeleri, HEG yöemi, periodogram yöemi, koiegrasyo, Egle-Grager yöemi. ii

5 ABSTRACT Combied Ph.D. Thesis ESTIMATION OF THE COINTEGRATING VECTOR FOR SEASONAL TIME SERIES: A SPECTRAL REGRESSION APPROACH Jeaie NDIHOKUBWAO Akara Uiversiy Graduae School of Naural ad Applied Scieces Deparme of Saisics Supervisor: Prof. Dr. ılmaz AKDİ I his sudy, impora ecoomic variables of he Souh Africa coury were examied. I was esed wih HEG ad periodogram based mehods wheher he observed quarerly ime series iclude or o seasoal ui roo. The possible coiegraio relaioship bewee iegraed series havig he same degree was ivesigaed by specral regressio mehod. I seasoal ime series, HEG mehod is mos commolyused for he ideificaio of ui roo. Ui roos correspodig o seasoal frequecies ca be ideified wih HEG mehod. Seasoal ui roos ad possible coiegraio relaioship amog quarerly seasoal ime series were ivesigaed wih HEG, periodogram ad Egle-Grager mehods. I he sudy, all examied series were ideified o be seasoal ui roo series. While obaiig he coiegraio relaioships, he differe resuls were obaied for some series. Cosiderig periodogram properies, i was cocluded ha periodogram based mehods ca be prefered for he ideificaio of seasoal ui roos ad possible coiegraio relaioships. Jauary 07, 53 pages Key Words: Time series, seasoal ui roo, Souh Africa ecoomic variables, HEG mehod, periodogram mehod, coiegraio, Egle- Grager mehod. iii

6 TEŞEKKÜR Türkiye de geldiğimde iyi isaları buldum, özellikle Akara Üiversiesi İsaisik Aabilim Dalıda. Büüleşirilmiş Dokora öğreimim süresice karşılaşığım büü soruları çözümüde baa zama ayırarak fikirlerii hiçbir zama esirgemeye değerli bilgileri, yorumları, öerileri, büyük sabrı ile yol gösere ve her zama avsiye vere değerli daışmaım sayı Prof. Dr. ılmaz AKDİ ye (Akara Üiversiesi İsaisik Aabilim Dalı ve Bölümü Başkaı) e içe duygularımla çok eşekkür ederim. Öemli fikirler vererek kakılar sağlaya Tez İzleme Komiesi üyesi değerli sayı hocam Prof. Dr. Haka BERUMENT (Bilke Üiversiesi İkisa Fakülesi) ve ayrıca, Akara Üiversiesi e başladığım ada iibare ufkumu aça, her zama güler yüzüü, deseğii gördüğüm, Tez İzleme Komiesi üyesi ola değerli sayı hocam Doç. Dr. Rukiye DAĞALP e (Akara Üiversiesi İsaisik Aabilim Dalı) yorum ve kakılarıda dolayı çok eşekkür ederim. Bu ez jürisii diğer üyeleri ola sayı hocalarım Prof. Dr. Cemal ATAKAN ve Doç. Dr. Afşi ŞAHİN e çok eşekkür ederim. Ayrıca, Büüleşirilmiş Dokora öğreimim boyuca İsaisik Aabilim Dalıdaki büü hocalarıma baa verdikleri bilgi ve desek içi çok eşekkür ederim, İsaisik bölümü sekreerleri ve FEN Bilimleri Esiüsü persoelie de çok eşekkür ederim. Rahmeli Prof. Dr. Mgr. Elie Alexadre BUCONORI (Afrika Ümi Üiversiesi eski Rekörü) ve Mgr. Deograias NSHIMIIMANA baa verdikleri avsiyeler içi miearım. Türkiye ye geldiğimde iyi bir dos ve her zama yaımda olduğuu bildiğim Sohbe AMAN a e yakı arkadaşım olduğu içi çok eşekkür ederim. Türkiye de Büüleşirilmiş Dokora eğiimimi almak üzere gelmiş olduğum Burudi Cumhuriyei, Türkiye Cumhuriyei ve Hope Africa Uiversiy i baa sağlıdığı burs imkaı içi mielerimi ve eşekkürlerimi ileirim. Çalışmam boyuca her zama yaımda ola karşılaşığım zorluklarda deseğii hiçbir zama esirgemeye Türkçe kelimlerdeki bilgisii beimle paylaşa, sevdiğim ve saygı duyduğum haya arkadaşım ve sevgili eşim Dr. Vicor BARANTOTA ya sabrı ve höşgörüsü içi sosuz eşekkürlerimi suarım. Jeaie NDIHOKUBWAO Akara, Ocak 07 iv

7 İÇİNDEKİLER TEZ ONAI ETİK... i ÖZET...ii ABSTRACT...iii TEŞEKKÜR...iv SİMGELER DİZİNİ...vii ŞEKİLLER DİZİNİ...ix ÇİZELGELER DİZİNİ...x. GİRİŞ.... Moivasyo.... Amaç Lieraür Taraması...4. TEMEL KAVRAMLAR...7. Zama Serileri...7. Durağa ve Durağa Olmaya Zama Serileri Ögörü Mevsimsel Zama Serileri Birim Kök Koiegrasyo DURAĞAN OLMAAN ZAMAN SERİLERİ VE BİRİM KÖK TESTLERİ Dickey Fuller oemi Phillips-Perro Tesi Geişleilmiş Dickey Fuller Tesi Dickey Hasza - Fuller Tesi (DHF) HEG öemi Dickey-Paula Tesi ÇOK DEĞİŞKENLİ DURAĞAN VE DURAĞAN OLMAAN ZAMAN SERİLERİ VE KOİNTEGRASON VEKTÖRÜNÜN TAHMİNİ Çok Değişkeli Zama Serileri Durağa Olmaya Mevsimsel Zama Serileri...9 v

8 4.3 Koiegrasyo Kavramı ve Koiegrasyo Vekörüü Tahmii Eegrasyo ve Koiegrasyo Egle ve Grager yöemi Johase yöemi HEG yöemi PERİODOGRAM TABANLI KOİNTEGRASON ANALİZİ Spekrum ve Spekral oğuluk Foksiyou Spekral Regresyo öemi Koiegrasyo Vekörüü Tahmii Periodogram aımı Çok değişkeli mevsimsel zama serileri çapraz periodogramları UGULAMA Üç aylık gsyih, ihala, ihraca üreim ve ükeim: Güey Afrika Öreği Verileri Tek Değişkeli Aalizleri Çok Değişkeli Aalizler SONUÇ VE TARTIŞMA...48 KANAKLAR...49 ÖZGEÇMİŞ...53 vi

9 SİMGELER DİZİNİ α σ Σ ˆ Alpha, alamlılık düzeyi Bea, paramere Sigma kare, varyas Kovaryas Mu, beklee değeri Rho,ookorelasyo Dela, birici derece fark Epsilo, haa erimi Arıklar ω Omega Pi, maris γ Gama, ookovaryas N Normal Ω Omega, örek uzayı D Dağılım U Bir sııf P Olasılık ( Ω, U, P ) Olasılık uzayı Ki kare dağılımı Olabilirlik oraı ˆi ( B) Karakerisik kökleri Poliom Kısalmalar WN HEG DP DHF DF PP GSİH lgsih AIC SBC SAR SAR 4 Beyaz gürülü Hylleberg, Egle, Grager ve oo Dickey ve Paula Dickey, Hasza ve Fuller Dickey-Fuller Phillips-Perro gayri safi yuriçi hasıla logarime gayri safi yuriçi hasıla Periodogram Akaike Bilgi Krieri Schwarz Bayesia Krieri Mevsimsel Ooregresif Üçer aylık mevsimsel ooregresif vii

10 SAR 4 Birici fark üçer aylık mevsimsel ooregresif AR Ooregresif MA Harekeli Oralama ARMA Ooregresif Harekeli Oralama I Büüleşik CI Koiegrasyo. ADF Geişleilmiş Dickey Fuller VECM Vekör Haa Düzelme Modeli VMA Vekör Harekeli Oralama VAR Vekör Ooregresif ECT Haa Düzelme Terimi s.e Sadar haa KTUK Kahve Tükeimi KURET Kahve Üreimi ACF Ookorelasyo PACF Kısmi Ookorelasyo TEFE Topa Eşya Fiya Edeksi TÜFE Tükeici Fiyaları Edeksi viii

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. AR() ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri... Şekil. AR() ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri...3 Şekil.3 Zama serisi, ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri...34 Şekil.4 Ookorelasyo foksiyou grafiği...40 Şekil 3. Zama serisi, ooregresif ve kısmi ooregresif grafikleri...6 Şekil 3. Zama serisi, ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri...65 Şekil 3.3 Zama serisi, ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri...70 Şekil 6. Haa erimii grafikleri...9 Şekil 6. GSİH, ihala, ihraca, üreim ve ükeim serilerii grafikleri...9 Şekil 6.3 lgsih, lihala, lihraca, lüreim ve lükeim serilerii grafikleri...30 Şekil 6.4 lükeim ve lgsih, lükeim ve lihraca, lükeim ve lüreim, lihala ve lgsih, lüreim ve lgsih, lihala ve lüreim, lihala ve lükeim, lihraca ve lgsih, lihraca ve lüreim, lihala ve lihraca serileri arıklar grafiği...45 ix

12 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3. AIC ve SBC isaisiklerii değerleri...6 Çizelge 3. Dickey-Fuller es isaisiğii souçları...63 Çizelge 3.3 Phillips-Perro es isaisiğii souçları...66 Çizelge 3.4 AIC ve SBC isaisiklerii değerleri...7 Çizelge 3.5 Geişleilmiş Dickey-Fuller es isaisiğii souçları...7 Çizelge 3.6 Hipoezler...80 Çizelge 4. Kökler arasıdaki karşılık gele frekaslar, devir sayıları ve operaörler...94 Çizelge 4. Egle Grager (987) koiegrasyo es souçları...00 Çizelge 4.3 İz ( race ) ve maksimum özdeğer ( max ) es isaisikleri içi kriik değerleri...04 Çizelge 4.4 Johase (988) koiegrasyo es souçları...05 Çizelge 6. AIC ve SBC isaisiklerii souçları...3 Çizelge 6. HEG mevsimsel birim kök esi souçları (α=%5)...35 Çizelge 6.3 lgsih ve lihala içi periodogram koordiaları ve -isaisiği...37 Çizelge 6.4 lihraca ve lüreim içi periodogram koordiaları ve -isaisiği...38 Çizelge 6.5 lükeim içi periodogram koordiaları ve -isaisiği...38 Çizelge 6.6 Kriik değerleri...39 Çizelge 6.7 Kriik değerler...4 Çizelge 6.8 lükeim ve lgsih, lükeim ve lihraca serileri kasayıları...43 Çizelge 6.9 lükeim ve lgsih, lükeim ve lihraca, lükeim ve lüreim, lihala ve lgsih, lüreim ve lgsih, lihala ve lüreim, lihala ve lükeim,lihraca ve lgsih, lihraca ve lüreim, lihala ve lihraca regresyolarıda elde edile arık serilerie ilişki durağalık es isaisiklerii souçları...44 Çizelge 6.0 Periodogram yöemi ile koiegrasyo aalizi...47 x

13 . GİRİŞ Zama serileride durağalık e öemli kavramlar arasıdadır. İsaisiki aalizler yapılmada öce serileri durağalığı korol edilmelidir. Serileri durağalığıı sıamak içi birim kök eslerie başvurulur. Bular arasıda paramereleri e küçük kareler ahmi edicilerie bağlı olarak gelişirile Dickey ve Fuller yöemi ile Phillips ve Perro yöemi e yaygı kullaıla yöemlerdir. Bu yöemler serii bir birim köklü olduğu varsayımıa bağlıdır. Serileri birde fazla birim köklü olup olmadığıı sıamak içi de yie paramereleri e küçük kareler ahmi edicilerii dağılımlarıa bağlı olarak gelişirile ve lieraürde ardışık birim kök esleri olarak bilie Dickey ve Paula (987) yöemidir. Ayrıca, mevsimsel zama serileri birim köklü ise bu birim kökler ekrar eder. Mevsimsel birim köklerii varlığıı sıamak içi lieraürde e yaygı kullaıla Hylleberg vd. (990) arafıda öerile ve HEG yöemi olarak bilie yöemdir. Bu yöemleri hepsi paramereleri ahmi edicilerii dağılımıa bağlıdır. Akdi ve Dickey (998) serii periodogramlarıa bağlı olarak gelişirdikleri periodogram abalı birim kök esi ise periodogramları oralamaya göre değişmez olması, model seçimide bağımsız olması gibi avaajları edei ile bu çalışmada bu yöem üzeride durulacakır. Çok değişkeli zama serileride ise serii durağa olmaya bileşeleri arasıda durağa bir lieer birleşimi elde edilmesi olarak aımlaa koiegrasyo (eşbüüleşme) ilişkisi de öemlidir. Bu ilişkii belirlemesie yöelik gelişirile ve Egle ve Grager yöemi ile Johase yöemi e yaygı kullaıla yöemlerdir. Bu çalışmada, Güey Afrika ülkesii öemli ekoomik değişkeleri kullaılarak, bu değişkeleri durağalığı sıadıka sora, ayı derecede durağa değişkeler arasıda koiegrasyo ilişkileri yukarıda özelee yöemler ile icelemeye çalışılacakır. Zama serileride değişkeler arasıdaki ilişki yapısıı araşırılmasıda e öemli kavramlarda biri koiegrasyo ilişkisii aalizidir. Koiegrasyo aalizi, durağa olmaya serileri uzu döemde degede olup olmadıklarıı sıamak içi yapıla bir

14 aalizdir. İki veya daha fazla durağa olmaya seri arasıdaki lieer ilişki durağasa, bu değişkeler koiegrasyo ilişkisi olarak adladırılır. Başka bir ifadeyle koiegrasyo, durağa olmaya değişkeler arasıdaki lieer birleşim olarak aımlamakadır. Geel olarak durağa olmaya serileri herhagi bir lieer birleşimi durağa veya birim köklü olabilir. Koiegrasyo aalizii uygulaabilmesi içi değişkeleri ayı derecede durağa olmaları gerekir. Egle ve Grager (987) arafıda verile aıma göre ayı derecede büüleşik ola seriler arasıda koiegrasyo ilişkisi söz edilebilir. Aksi halde farklı derecede büüleşik ise seriler arasıda koiegrasyo ilişkiside söz edilemez. Mevsimsel birim kök esi ve koiegrasyo aalizide de periodogram yöemi kullaılmakadır. Uygulamada seriler iceleirke serii durağa olup olmadığıı sıamak içi birim kök esleri kullaılır. Çalışmaı birici bölümüde moivasyo, amaç ve lieraür araması yer almakadır. İkici bölümüde emel kavramlar, zama serileri, mevsimsel zama serileri, birim kök ve koiegrasyo kavramlarıda bahsedilmişir. Üçücü bölümde durağa olmaya zama serileri ve birim kök esleri, dördücü bölümüde çok değişkeli durağa ve durağa olmaya zama serileri ve koiegrasyo vekörüü ahmii içi bazı yöemler hakkıda açıklamalar verilmişir. Beşici bölümüde periodogram abalı koiegrasyo aalizide bahsedilmekedir. Çalışmaı alıcı bölümüde kullaıla veri seii içeriğide bahsedilmekedir. Birim kök eside kullaıla HEG ve periodogram yöemleri, koiegrasyo aalizide ise kullaıla Egle-Grager ve periodogram yöemleri hakkıda uygulama bilgisi verilmişir. Bu çalışmada e so bölümüde ise HEG ve periodogram yöemleri ile Egle-Grager ve periodogram yöemlerii souçları arışılmışır.. Moivasyo Durağa olmaya zama serileri deildiği zama ilk akla gele birim köklü zama serileridir. Birim köklü seriler durağa olmaya seriler olup ögörü yapılamaz. Bu edele, herhagi bir isaisiki souç çıkarım içi öcelikle verileri durağalığı

15 sıamalıdır. Eğer zama serisi durağa değilse, seri durağa hale geirildike sora isaisiki souç çıkarımlar yapılmalıdır. Serileri durağalığıı sıamak içi bir çok yöem bulumakadır. Bu çalışmaları içide eredeyse amamı modele bağlıdır. Buu içi de herhagi bir isaisiki souç çıkarım içi paramere ahmilerie ihiyaç duyulur. Ayrıca değişik paramere ahmi yöemleri de bulumakadır. Bu çalışmada, serileri durağalığıı es emek içi periodogram isaisiği kullaılacakır. Periodogramlar, rigoomerik foksiyolar ile hesapladığı içi, rigoomerik foksiyoları özellikleride periodogramlar oralamaya göre değişmediği gibi modele de bağlı değildir. Ayrıca, periodogramlara bağlı es isaisiklerii dağılımları öreklem hacmie de bağlı değildir. Diğer arafa birim kök esleri içi geellikle güç karşılaşırması yapılmadığı gibi baze sadece ampirik güç verilir. Oysa, periodogramlara bağlı birim kök esleri içi aaliik güç foksiyouda mevcu olup yöem öreklem hacmie de bağlı değildir. Bu edele, bu çalışmada ağırlıklı olarak periodogramlara bağlı yöem üzeride durulacakır.. Amaç Bu çalışmada, Güey Afrika devleii öemli ekoomik gösergeleride ola GSİH (gayri safi yuriçi hasila), ihala, ihraca, üreim ve ükeim değişkeleri göz öüe alıacakır. Öcelikle bu değişkeler içi uygu zama serisi modeli belirledike sora, serileri durağalığı değişik birim kök es yöemleri ile sıaacakır. Durağa olmaya serileri büüleşme dereceleri belirledike sora, ayı derecede büüleşik ola değişkeler arasıda koiegrasyo ilişkisi araşırılacakır. Buu içi değişik koiegrasyo yöemleri kullaılacak ve aralarıdaki farklar arışılacakır. 3

16 .3 Lieraür Taraması Serileri birim köklü olup olmadığıı sıamak içi birçok yöem bulumakadır. Mevsimsel birim kökü es emek içi Dickey, Hasza ve Fuller (984), Hylleberg, Egle, Grager ve oo (990) yöemleri araşırılmışır. Dickey ve Paula (987) arafıda çoklu birim kökü es emek içi öerile ve Dickey ve Paula yöemi olarak bilie yöem farklı alıa serilere ekrar birim kök eslerii uygulamasıı yalış souçlar verebileceğii gösermişlerdir. Fuller (996) durağa ve durağa olmaya zama serileri ile ilgili bilgi vermişir. Dickey vd. (984) arafıda öerile simerik e küçük kareler yöemi yai DHF esi kullaılarak mevsimsel birim kök esleri icelemişir Phillips ve Perro (988) haa erimlerii ookorelasyolu olması halide Dickey ve Fuller yöemii haalı souçlar verebileceğii gösermişlerdir. DF ve PP yöemleri içi es isaisiklerii kriik değerleri ayıdır. Akdi vd. (005) arafıda ükeici fiya edeksi (TÜFE) ile opa eşya fiya edeksi (TEFE) arasıdaki muhemel bir ilişki uzu ve kısa döem ilişkileri olarak aaliz edilmişir. 987:0-004:08 döemi Türkiye i TÜFE ve TEFE serileride koiegrasyo ilişkisi olup olmadığıı araşırmışır. Egle ve Grager (987) ve Johase i koiegrasyo esleri TÜFE ve TEFE serileri arasıda muhemel uzu döemli bir ilişki içi karışık kaı vermişir. Çalışmalarıda geleeksel koiegrasyo eslerii kullaarak TÜFE ve TEFE serileri arasıdaki muhemel bir ilişkiyi araşırmışlardır. Akdi (995) periodogram abalı koiegrasyo eslerii gelişirmişir. Hylleberg vd. (990) arafıda HEG yöemi üç aylık seriler içi çalışmış, aylık serilerde ise mevsimsel birim kök esleri Frases ve Hobij (997) arafıda icelemişir. ardımcı regresyo kullaıla değişkeler ile Hylleberg vd. İgilere de ükeim ve gelir serileri, Frases ve Hobij ise Hollada da yei oomobil saışlarıı üç 4

17 aylık serileri üzerie uygulama yapmışır. Ayrıca, Frases ve Hobij (997) mevsimsel ve mevsimsel olmaya birim kökler içide yardımcı regresyo kullamışır. Hylleberg vd. üç aylık zama serileride mevsimsel ve mevsimsel olmaya birim kökleri varlığıı es emek içi bir yöem olarak öerilmişir. Frases ve Hobij (997), HEG yöemii mevsimsel zama serileri içi gelişirmişir. Hem üç aylık seriler, hem alı aylık seriler, hem de aylık seriler içi yardımcı regresyo kullaılmışır. Gürel ve Tiryakioğlu (0) 997:0-008:04 döemi içi Türkiye i ekoomik beş Türk imala saayi serisii mevsimsel deselerii araşırmışır. Çalışmada HEG yöemi farklı modeller içi aaliz edilerek, her model verilerii mevsimsel birim kök içerip içermediği hakkıda bilgi vermişir. Ayrıca mevsimsel birim kök esi içi Gürel ve Tiryakioğlu beş farklı model üzeride araşırma yapmışır. Türk saayi üreim serileride uzu döem ve mevsimsel birim kök esleri içi HEG yöemi icelemişir. Tıraşoğlu (0) üç aylık seriler içi gelişirile HEG mevsimsel birim kök eslerii eorisi hakkıda bilgi vermişir. Çalışmada Türkiye de TÜFE ve TÜFE harcama grupları içi mevsimsel birim kökü var olup olmadığı araşırılmışır. HEG yöemi ile mevsimsel birim kök bulua değişkelerde 0 frekasa ola farklı deermiisik bileşelerde birim kök bulumuşur. Seriler 4 ve 3 4 frekasa ise TÜFE ve birçok harcama grubuda mevsimsel birim kökü varlığı gözlememişir. frekasa ise TÜFE ve bazı harcama gruplarıda mevsimsel birim kökü varlığı gözlemişir. Johase (988) arafıda koiegrasyo vekörlerii isaisiksel aalizi hakkıda durağa olmaya vekör ooregresif süreci birici derecede büüleşikir. Johase (988) arafıda koiegrasyo vekörlerii uzayı ve hipoezi olabilirlik oraı esii e çok olabilirlik ahmi edicisii belirli boyuları sayısıı var olduğu soucua varmışır. Koiegrasyo vekörü hakkıda lieer hipoezleri es emişir. 5

18 Johase (988), Johase ve Juselius (990), Johase yöemi içi deermiisik erimler ve sokasik değişkeleri sayısı ile ilgili ipik varsayımlar alıda kriik değerleri hesaplamışlardır. Ghysels vd. (994) mevsimsel zama serileride birim kök esleri hakkıda çalışmışlardır. Çalışmada ekoomik zama serilerii sıfır frekasaki mevsimsel birim kökü varlığı göserilmişir. Ghysels vd. (994) uygu ooregresif düzelme erimlerii modele eklediği düzeyde sıfır frekasa bir birim kökü es emek içi Dickey-Fuller eslerii kullamışır. Kus ve Frases (009) zama serilerii aylık paelleride mevsimsel birim kök hakkıda bilgi vermiş ve mevsimsel serileri durağalığıa sıaması ile ilgili geel problemleri arışmışlardır. Sevükeki ve Nargeleçekeler (00), Egle-Grager yöemi içi iki değişke arasıda uzu döemli ilişkiyi araşırırke, modelde kullaıla üm değişkeleri ayı derecede büüleşik olduğuu gösermişlerdir. Ayrıca, bu iki yazar değişkeler farklı derecede büüleşik ise Egle-Grager yöemi kullaılmadığıı da gösermişir. Akdi ve Dickey (998) arafıda birim kök ooregresif zama seriler içi elde edile ormalleşirilmiş periodogramları asimpoik dağılımıı birim köklü mevsimsel zama serileri modelleri ile ayı olduğu göserilmişir. Akdi ve Dickey (999) vekör ooregresif zama serisi bileşelerii ekoomerik ve zama serileri alaıda koiegrasyo ilişkisii vere popüler bir kou çalışmışır. Çalışmada zama serileri aalizide birim kök eslerie ilişki periodogram yöemie dayalı mevsimsel zama serisi modelleri gelişirilmişir. 6

19 . TEMEL KAVRAMLAR. Zama Serileri Zama serileri, bilimi her alaıda uygulamaları buluabile, isaisiği baze de ekoomerii öemli bir uygulama alaıdır. Aylık eflasyo oraları, aylık yağış mikarları, yıllık ihala veya ihraca mikarları, yıllık üfüs arış oraları zama serilerie örek olarak verilebilir. Bu alamda zama serisi, birim zama aralıklarıdaki gözlemleri bir kümesi olarak alıabilir. Reel değerli zama serileri oralamada göserdiği sapmalara göre durağa ve durağa olmaya seriler olarak iki emel başlık alıda icelemekedir. İcelee zama serisii oralaması ve varyası simerik bir değişme göseriyorsa veya seri periyodik dalgalamalarda arımış ise bu ür seriler durağa zama serileridir. Durağalık zama serileride öemli bir kavramdır. Heme heme büü isaisiki souç çıkarımlarıda serii durağa olması varsayımıa ihiyaç duyulur. Seri durağa değilse, bazı ekikler kullaılarak (fark alma gibi) seri durağa hale geirildike sora aalizler yapılmalıdır. Bir çok ikisadi veri (özellikle parasal veriler) durağa olmaya serilerdir. Taım. (Ω,U,P) bir olasılık uzayı olmak üzere reel değerli bir zama serisi, Ω örek uzayıda reel sayılara gide bir foksiyodur. T bir idis kümesi olmak üzere bir zama serisi (.,.):ΩxT R (ω,) (ω,) şeklide ifade edilebilir. (ω,) şeklide ifade edile zama serisi geellikle (ω) ya da kısaca ile göserilir. T idis kümesi R veya (0,) gibi sayılamaya bir küme ise zama serisie sürekli zamalı sokasik süreç (coiuous ime sochasic process ) adı verilir. Diğer arafa T idis kümesi T=N = {,,3,4,5, }, T= Z = { 5, 4, 3,,,0,,, 3, 4, 5, } gibi sayılabile kümeler alıdığıda kesikli zamalı sokasik süreç (discree ime sochasic 7

20 process) ya da kısaca zama serisidir. Buda böyle aksi söylemedikçe, T idis kümesi, doğal sayılar kümesi olacakır.. Durağa ve Durağa Olmaya Zama Serileri Durağa olmaya zama serileri zamala değişe korelasyo veya kovaryas yapısıa sahip ola serileridir. Taım. Herhagi bir T zama serisi,, i) E =, her içi ii), Cov kovaryası sadece s i bir foksiyoudur s özelliklerii sağlıyorsa, T zama serisie ikici derecede durağadır (zayıf, durağadır, kovaryas durağadır ya da kısaca durağadır) deir. Taım (.) deki Cov, kovaryası geellikle, s Bu kovaryas zama serisii ookovaryas foksiyou olup Cov şeklide ifade edilir. h h =, Cov (.) h şeklide ifade edilir. Ookovaryas foksiyou zama serileride çok kullaışlı özelliklere sahipir. h foksiyou, zama serilerii modellemeside, model derecelerii belirlemeside ve serii durağalığı hakkıda görsel bilgiler elde emek gibi öemli özelliklere sahipir. Foksiyou aımıda da görüleceği gibi serii varyasıdır. Burada, 0 = ookovaryas foksiyoua bağlı olarak 0 Var olup serii ookorelasyo foksiyou da h = h 0 (.) 8

21 şeklide aımlaır (Wei 006, Akdi 00). ookovaryas foksiyou ile bezer özelliklere sahipir. h ookorelasyo foksiyou da Taım.3 T zama serisi içi, F y, y,, y = F y, y,, y,,, h, h,, h,, eşiliği sağlaıyorsa, T zama serisie güçlü durağadır deir. Burada F, rasgele değişkeii dağılım foksiyouu gösermekedir., T güçlü durağa ise büü, h ve ler içi F y, y,, y = F y, y,, y,,, olmalıdır. Buu kısaca büü, h, h,, h h ve ler içi D,,,,,, h h h şeklide ifade edebiliriz. T güçlü durağa ise =, h = içi D D D ve =, h = içi, h D, D D,, 3 sahipir. ai T zama serisi ayı dağılımlıdır., zama serisi gibi özelliklere Güçlü durağalık varsayımlarıı sağlaılması geellikle zordur. Ou içi durağalıka bahsedildiğide zayıf durağalık alaşılmakadır. Buda böyle durağa zama serileride bahsedildiğide zayıf durağalığı alayacağız., T zama serisii göz öüe alalım. Bilidiği gibi h foksiyou zama serileride kullaışlı özelliklere sahipir.,,, zama serisie ai gözlem değerleri verildiğide öreklem oralamasıı gösermek üzere edicisi h i bir ahmi h h ˆ h= (.3) h 9

22 olarak alıabilir. Kolayca görüleceği gibi Var ˆ = ˆ 0 ookorelasyo foksiyouu bir ahmi edicisi de dır. Burada zama serisii ˆ h ˆ h = ˆ 0 (.4) olarak alıabilir (Wei 006, Kirchgässer vd. 03, Mechgoug 03) Herhagi bir T zama serisi durağa değilse, durağa olmaya bir zama serisidir., Durağa olmaya bir T zama serisii göz öüe alalım. Durağalığı boza, başlıca iki ede olabilir. Eğer zama serisi durağa değilse, ya serii beklee değeri E zamaa bağlıdır ya da kovaryası, de zamaa bağlıdır. Cov zamaa bağlıdır ya da her ikisi h Herhagi bir isaisiki souç çıkarım yapmak içi öce serii durağa olması gerekir. Eğer seri durağa değilse, öce durağalık sağlaılmalı ve isaisiki souç çıkarımlar durağalaşırılmış seri üzeride yapılmalıdır. Eğer durağalık beklee değerde bozuluyor ise (yai seride deermiisik bir red varsa) bu seriyi durağalaşırmak kolaydır ( X şeklide bir döüşüm seriyi durağa hale geirir). Acak, durağalık kovaryas arafıda bozulmuş ise seride sokasik bir red vardır. Bu durumda da fark almak gibi başka döüşümler uygulaarak durağalaşırma yapılabilir. Serii durağalığıı sıaması ile ilgili yaygı olarak kullaıla ve lieraürde birim kök esleri olarak bilie durağalık eslerie ileriki bölümlerde ayrıca değiilecekir. Taım.4,,, rasgele değişkeleri her ε içi 0

23 şeklide yazılabiliyorsa,,, rasgele değişkeleride ara bir red vardır. Aksi halde, her ε içi şeklide sıralaabiliyorsa azala bir red vardır. Durağa olmaya seriler geelde red içere serilerdir. Herhagi bir isaisiki souç çıkarım içi bu redi yok edilmesi gerekir. ok edilmesi gereke red ya deermiisikir ya da sokasikir. Eğer deermiisik bir red varsa, bu redi yok edilmesi içi orijial seride öreklem oralaması çıkarılması yeerli olabilir (yai red durağalık sağlaır). Eğer red sokasik ise fark alma yöemi ile yok edilir. ai, serisi fark durağadır (differece saioary). Herhagi bir zama serisi olsu. B gerileme operaörü k B şeklide k aımlaır. Burada B operaörüe de fark operaörü deir ve ile göserilir. ai, = B = birici derece farkır. B ikici derecede fark serisidir. Eğer k durağa oluyorsa, zama serisi k. derecede fark durağadır., T beklee değeri 0, varyası ola birbiride bağımsız ayı dağılımlı rasgele değişkeleri bir dizisi olsu. = (.5) zama serisi modelii göz öüe alalım. Kolayca görüleceği gibi ( i ardışık olarak yazılması ile) = 0 3 (.6)

24 ifadesi elde edilir. 0 =0 ise zama serisi = i şeklide yazılır. i Var = Burada E =0 olmasıa rağme ve, h Cov = mi, h dır (Kirchgässer vd. 03). ai, serii varyası ve kovaryasları zamaa bağlıdır. O halde seri durağa değildir. Başka bir ifade ile yukarıda bahsedildiği gibi seride sokasik bir red vardır. Bu redi yok emek içi fark almak gerekir. ai, B Z = = serisi durağa oluyorsa seri birici derecede fark durağadır. Böylece, Z = = B = olur. = modeli = şeklide döüşürki bu model de durağadır. ai model fark durağadır (differece saioary). Bir zama serisi modeli = + (.7) şeklide verilmiş olsu. Burada leri ardışık olarak yazılması ile = 0 i (.8) i eşiliği elde edilir. = olmak üzere, zama serisi = + = + + = 3 3 = = 0 i i şeklide yazılabilir (Kirchgässer vd. 03). Burada, i iid 0, dir.

25 Taım.5 Beklee değeri E =0 ola herhagi bir, T ookovaryas foksiyou zama serisii h, h 0 = 0, dd.. (.9) şeklide ise, T zama serisie beyaz gürülü (Whie Noise) serisi deir. Beyaz gürülü serisi içi 0, WN göserimi kullaılacakır (Wei 006). Şimdi, T olmak üzere bazı durağa zama serisi modellerie kısaca gözaalım. MA modeli birici derecede harekeli oralama serisi (Movig Average, MA()) olmak üzere = şeklide verilir. Serii beklee değeri ve varyası sırasıyla E = ve Var = 0 Diğer arafa, = = dir. = Cov, = Cov, = olup, h içi ookorelasyo foksiyoları sırası ile, = dir ve burada h =0 dır. MA modelii ookovaryas ve, h 0, h 0 h =, h, h =, h 0, dd.. 0, dd.. (.0) şeklidedir. MA serisii beklee değer ve ookovaryas foksiyou zamaa bağlı olmadığıda durağadır. İkici derecede MA serisi (MA()) ise = 0, WN olmak üzere, şeklide verilir. Bu serii beklee değer ve varyası sırası ile, 3

26 E = ve Var = 0 = olup 3 h içi h açıkır. Diğer arafa, ookovaryas foksiyouu ilk iki değeri de =, Cov = Cov, = =, Cov = Cov, = =0 olduğu olarak bulumuşur. Ookovaryas foksiyouu simeriklik özelliğide ve değerleri de = = ve = MA serisii ookovaryas ve ookorelasyo foksiyoları sırası ile, = olup,, h 0 h =, h, h 0, dd.., h 0, h =, h 0, dd.., h (.) şeklide yazılabilir. 0, WN, solu bir q ve q 0 içi MAq zama serisi modeli, = + + q i i (.) i şeklide verilir. Kolayca görüldüğü gibi E = olup MAq serisii varyas ve ookovaryas foksiyou aşağıda hesaplamışır. 0 = olmak üzere 4

27 q = + i i (.3) i0 şeklide yazalım. Burada, MAq modeli içi varyas ve ookovaryaslar ve q q q Var = Var i i = Var i i = i (.4) i0 i0 i0 0 = q q Cov h = Cov, i0 j0 h =, i i j h j q q = i jcov i, h j i0 j0 qh = iih (.5) i0 olarak hesaplamışır. Burada modeli ookovaryas ve ookorelasyo foksiyoları qh q h q iih, 0hq h, 0 = i0, h = iih i hq i0 i0 0, dd.. 0, dd.. (.6) şeklide yazılabilir. Beklee değer ve ookovaryas foksiyou zamaa bağlı olmadığıda bu model de durağadır. Cov i, h j, i= h j olduğuda Ayrıca ve diğer durumlarda ise sıfır eşiir. i= h j eşi olduğuda j = h + i ye eşi olup, j idisi 0 j h i q, i idisi de q h ye kadar değer alır. Aslıda, q solu bir doğal sayı olduğu sürece MAq modeli her zama durağadır. 5

28 q solu bir doğal sayı olduğu sürece durağa ola MAq modelleri q = olduğuda, modeli hagi koşullarda durağa olacağıı iceleyelim. Buu içi MA modelii = + + 0, i WN olmak üzere, i i şeklide verildiğii düşüelim. i durağalığı içi beklee değer ve ookovaryas foksiyouu buluması gerekir. 0 = ve 0, WN olduğuda (beklee değer ile sosuz oplamı yer değişirilebilir olduğu varsayımı alıda) serii beklee değeri, E = E ii = + E i i i0 i0 ookovaryas foksiyou da h = Cov, h = Cov, i0 j0 = + ie i i i j h j = i jcov i, h j i0 j0 = i0 i ih olur. Beklee değer ile ookovaryas foksiyou zamaa bağlı olmadığıda model durağadır. Daha sora, beklee değer ile sosuz oplamı yer değişirebilmesi içi i < olması yeerlidir (Fuller 996). i0 i0 = Örek. 0, WN ve < içi i = i olmak üzere MA( ) serisi, i = + i şeklide verilmiş olsu. i0 < olduğuda i = i0 < olup, beklee değer ile sosuz oplam yer değişirebilir. Böylece, modeli beklee değeri, varyas ve ookovaryas foksiyou sırası ile, 6

29 i E = E i= + E i0 Var = Var h =, i i= i Var i i0 i0 i j Cov h = Cov, i0 j0 i i i= + E i i0 i0 = = i = i h j i j = Cov i, h j i0 j0 = i ih i0 = h i = i0 i0 h = h 0 elde edilir. Souç olarak seri durağadır. İşlemlerde karmaşıklığıa ölemek içi =0 alalım. ve serilerii açık olarak = = şeklide yazalım. Bular araf arafa çıkarıldığıda, - = elde edilir. Bu model + şeklide de yazılabilir. < ve = 0, WN olmak üzere, + zama serisi modeli = = i i şeklide yazılabilir. E i0 =0 ve Var = h =, Cov = h olup, ookovaryas foksiyou h 0 şeklide buluur. Burada, serii ookorelasyo foksiyou, h = h 0 = h olur. < olduğuda dolayı ookorelasyo foksiyou üsel olarak azaladır. Bu azalma hızı yavaş ise serii durağalığıda şüpheleilir (, e doğru yaklaşır). Dolayısı ile verir. h foksiyou grafiği bize serii durağalığı hakkıda görsel bilgiler 7

30 Ayı model içi > olması durumuda = 0 şeklide yazılabilir. Burada, E = 0 i + i i0 Var = olmasıa rağme olup, serii varyası zamaa bağlı olarak arığıda dolayı, seri durağa değildir. > olması durumu uygulamada karşılaşıla bir durum değildir. Bu edele > olması durumu üzeride durulmayacakır (Koop 005, Kirchgässer vd. 03). Ooregresif (AuoRegresssive, AR) zama serileri, serii geçmiş değerleri ve beyaz gürülüde ekileir. Bir çok ikisadi veri ooregresif zama serisi olarak modelleir. Öreği, aylık eflasyo oraları, bir öceki değerleride ekilediği gibi daha öceki aylardaki oralarda da ekileir. Ağusos ayıı eflasyo oraıı, Temmuz ile bir öceki yılı Ağusos ve Temmuz aylardaki eflasyo oralarıda ekileeceği düşüülür. Tabii, diğer aylardaki arış oraları da Ağusos ayıdaki arış oraı ile ilişkili olabilir. Bua bezer örekler arırılabilir. 0, WN ve de serii beklee değerii gösermek üzere, p. derecede ooregresif zama serisi modeli = p i i i + (.7) olarak verilir. Model, = p p i + i i i i + p = i + i p i i i + (.8) olarak yazılabildiğide, AR p zama serisi modeli geellikle = 0 + p i i i + (.9) şeklide ifade edilir. İşlemleri kolay yürümesi açısıda =0 alarak, AR p modelii, 8

31 = p i i i + (.0) şeklide yazalır. Model durağa ise =0 alıması herhagi bir probleme ede olmaz. Aksi halde, Z = döüşümü ile sıfır beklee değerli modele döülür. Ooregresif zama serileride durağalığı sağlaması MA serilerideki gibi kolay değildir. MA modelide edildi. ai, durağa i leri özel olarak seçilmesi ile AR zama serisi modeli elde AR zama serisi modeli, MA modeli gibi yazılabilir. Bezer şekilde durağa herhagi bir AR p zama serisi modeli de MA modeli olarak ifade edilebilir. Buu öreklerii aşağıda göreceğiz. AR modelleride durağalık serii karakerisik deklemii köklerie bağlıdır. Deklemi büü kökleri mulak değerce de küçük ise model durağadır. Dolayısı ile, AR serileride durağalık koşullarıı doğruda sağlaılması praik olmadığıda, karakerisik deklemi köklerie bakılır. AR p modelie karşılık gele karakerisik deklem p m p pi im =0 (.) i şeklidedir. Köklerde e az bir aesi mulak değerce ola serilere birim köklü seriler deir. Birim köklü seriler ileride ayrıılı olarak ele alıacakır. Kökleri mulak değerce de büyük olması, praike karşılaşıla bir durum olmadığıda böyle seriler üzeride durulmayacakır. ukarıda MA modelide kasayıları özel seçimi ile elde edile ele alalım. AR modelii 0, WN olmak üzere, AR modelii 9

32 = + (.) şeklide yazalım. deklemi kökü m = dır. O halde AR modelie karşılık gele karakerisik deklem m =0 da, durağa, aksi halde durağa değildir. Bu model, 0 AR modeli, mulak değerce de küçük ise = olmak üzere, = (.3) şeklide de yazılabilir. = olması halide serii beklee değeri, modelde düşer ve model = + halie gelir. 0 =0 içi ler açık olarak yazıldığıda model şeklide döüşür ve E =0 olmasıa rağme = 3 dir. Var = Souça, varyas zamaa bağlıdır ve model durağa değildir. u mulak değerce de küçük olması halide serii durağa olduğuu (MA( ) şeklide yazıldığıda) biliyoruz. < içi + zama serisi modeli durağadır. Burada, beklee değer, = Var = varyas ve ookovaryas foksiyou sırasıyla E =0, ve h = h 0 şeklide olup, zamaa bağlı değildir. Varyas ve ookovaryas foksiyou başka şekilde de hesaplaabilir. Ookovaryas foksiyou h =0 içi 0 = Var = Vr açıkır. Ayrıca 0 = 0 + a = Var + Var + Cov = g,, 3,, ve Cov,, olduğu =0 olduğuda varyas şeklide yazılabilir. Burada modeli varyası 0 = Ookovaryas foksiyou h > 0 içi, olur. 0

33 h = Cov, = Cov, = Cov h h, h = Cov, h + Cov, h = h = h şeklidedir. Öze olarak, 0 = 0 +, h = h deklemleri yazılır. Bu deklemler deklemleridir. ule-walker deklemlerii ikiciside, 3 h h = h = h = h 3 = = 0 elde edilir. Burada da modeli ookorelasyo foksiyou da AR zama serisi modeli içi ule-walker h = h şeklide olur. AR serisii ookorelasyo foksiyou < olduğuda üsel olarak azalır. büyüdükçe bu azalma yavaşlar. ukarıda durağa MA zama serisi modeli verildiğide, özel seçilmiş kasayılar ile + serisie ulaşılır. Aslıda buu = ersi de geçerlidir. ai durağa bir AR modeli MA modeli gibi yazılabilir. B gerileme operaörü ile = + modeli (.4) B = veya = B (.5) şeklide yazılabilir. Böylece, durağa = + zama serisi modeli = B = B i0 i i i = B i0 i = i = i i (.6) i0 i0 şeklide ifade edilebilir. Daha yüksek derecede durağa AR zama serisi modelleri içi de bezer geçişler yapılabilir. AR modelii 0, WN olmak üzere u değişik değerleri kullaılarak, modelie uygu rasgele 00 veri üreilmişir. Üreile serileri ookorelasyolarıda, değerleri e yaklaşıkça ookorelasyolardaki azalmaı da yavaşladığı gözlemekedir. = olduğuda model

34 durağa değildir. u 0.55, 0.85, 0.90, 0.97 ve farklı değerleri içi ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri şekil. ve. de verilmekedir. =0.55 içi =0.85 içi =0.90 içi Şekil. AR() ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri =0.97, içi ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri aşağıda verilmekedir. =0.97 içi

35 =0.999 içi Şekil. AR() ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri Diğer arafa ρ > olması durumu çok adir karşılaşıla bir durumdur (Koop 005). WN 0, olmak üzere birici derecede ooregresif zama serisi modeli = + veya = modeli beklee değeri modelde düşer. Şimdi derecede ooregresif zama serisi modeli p = i i i + veya =0 olması durumuda (Aksi halde = p i i i + + şeklide verildi. Burada = olduğuda p 3 0 olmak üzere Z = alıır) 0, WN olmak üzere p. şeklide verilir ve AR p şeklide göserilir. ukarıda verile AR p modelii durağalığı modeli p m p pi im =0 i şeklide verile karakerisik deklemii köklerie bağlıdır. Bu deklemi büü kökleri mulak değerce de küçük ise model durağadır. Aksi halde model durağa değildir. Köklerde e az bir aesi mulak değerce ise verile AR p zama serisi birim köklüdür.

36 AR p zama serisi modeli p = i i i + 0, WN olmak üzere şeklide verilmiş olsu. Bu modeli karakerisik deklemii kökleride e az bir aesi mulak değerce olduğuu kabul edelim. ukarıdaki model p = i + i p i i i + şeklide de yazılabilir. ai modeli = p p + (.7) şeklide de ifade edebiliriz. f m = m Modeli karakerisik deklemi p p i m kökleride e az bir aesi ise bu deklemi bir kökü olduğuda i pi =0 olmak üzere, eğer deklemi f =0 olur. ai f =0 p p i i p i =0 p i = (.8) i elde edilir. ai, modeli birim köklü olması içi gerek ve yeer koşul olmasıdır. Dolayısı ile, model birim köklü ise p i = i p = i + i p i i i + şeklide verile modelde düşer. Eğer model durağa ise karakerisik deklemi büü kökleri mulak değerce de küçük olup model i < olmak üzere i0 = i i şeklide yazılabilir. Burada modeli beklee değeri i0 E = ie i =0, i0 Var = i ve h i0 4 Cov h = i0 =, i ih (.9)

37 dir. Örek. İkici derecede durağa AR zama serisi modeli WN 0, olmak üzere, deklemi. 0.4 = + şeklide verilmiş olsu. Serii karakerisik m.m+0.4=0 ve kökleri m =0.8 ve m =0.3 dir. Her iki kök de mulak değerce de küçükür. O halde, verile AR zama serisi modeli durağadır. Model durağa olduğuda = i i şeklide yazılabilir. Model bu şekilde yazıldığıda i i0 kasayılarıı belirlemesi gerekir. Bu kasayılar değişik yollarda buluabilir. Öreği ile ve serileri = i i +. = i i 0.4 = i i + şeklide açık olarak yazılsı. Sol araf olacak şekilde araf arafa opladığıda, sağ arafı sadece olması gerekir. Bu şekilde bir düzeleme ile, = i i i i i eşiliği elde edilir. Sağ arafı özdeş olarak olması içi i kasayısı hariç diğer büü kasayılar sıfırdır. ai, 0 =, =. ve i içi i. i 0.4 i=0 dir. Kasayıları belirlemesi içi i. i 0.4 i=0 homoje fark deklemii, 0 =, =. başlagıç koşulları alıda çözülmesi gerekir. Homoje deklemi kökleri, serii karakerisik deklemii kökleri ile ayıdır. Kökler, 0.8 ve 0.3 olup, reel ve birbirleride farklıdır. Bua göre geel çözüm i = c 0.8 i + c 0.3 i olup, 0 = ve =. başlagıç koşulları ile c + c = ve 0.8 c +0.3 c =. deklemleri elde edilir. Bu deklemleri çözümüde kasayılar c =.6 ve c =-0.6 olarak buluur. 5

38 Burada, = şeklide verile durağa ikici derecede AR zama serisi modeli, =.60.8 i i i= i0 i0 şeklide yazılabilir. Bu kasayıları şimdi de başka bir yolda elde edelim. i i C B =. B +0.4 B olmak üzere, = zama serisi modelii C B = = şeklide yazalım. Bu durumda,, ler ürüde.b0.4b şeklide yazılabilir. Ayrıca, = 0.8B 0.3B = + 0.8B 0.3B 0.8B 0.3B b b de 0.3Bb + 0.8Bb özdeşliği elde edilir. Bu özdeşliği çözülmesi ile kasayılar b + b = ve 0.3 b +0.8b =0 eşilikleride b =.6 ve b = 0.6 olarak buluur. Bu kasayılar yukarıda elde edile c ve c ile ayıdır. Burada i kasayıları, i =.60.8 i i şeklide olur. Kolayca görüleceği gibi, i =.60.8 i i i0 i i +0.6 i0 = i0 0.3 i = 6 7 < dir. Daha öce, durağa bir MA seriside harekele ulaşabildiğimizi gördük. Şimdi, yie MA modelide harekele asıl ulaşabileceğimizi görelim. zama serisi modeli = i i =.60.8 i i i0 i0 i olarak verilmiş olsu. i 0.8 ile çarpılması ile, = i0 i i i AR modelie asıl AR modelie 6

39 eşiliği elde edilir. yerie yazıldığıda Z = 0.8 olmak üzere Z, ve 0.8 i yukarıdaki ifadeleri Z = 0.8 = =.60.8 i i i i i i i i i.60.8 i i i0 i0 i0 i i olur. Z = 0.3 i i olup bu model i0 Z = 0.3Z + şeklide AR modeli olarak yazılabilir (Örek.3). 0.8 =0.3 Z = 0.8 eşiliği kullaılırsa model şeklie döüşür. Buu düzelemesi ile de = şeklide zama serisi modelie ulaşılır. Souç olarak, modeli şeklide yazılabilir. Örek.3 Durağa = AR modeli 0, AR AR zama serisi modeli de MA WN olmak üzere, + şeklide verilsi. Modeli karakerisik deklemi m.7 m +0.7=0 olup, kökleri m = ve m =0.7 dir. Köklerde bir aesi olduğuda model durağa değildir. Modeli kedisi durağa olmamasıa rağme Z = birici fark serisi durağadır. Burada,.7 ifadesi.7 = +0.7 şeklide yazıldığıda = elde edilir. ai, = =0.7 + veya edilir. Burada zama serisi durağa değildir acak (bir ae birim kök olduğuda). AR p zama serisi modeli = p i i i + Z =0.7 + durağa zama serisi modeli elde 0, WN olmak üzere, birici fark serisi durağadır şeklide verilmiş olsu. Eğer model durağa ise E = 0 olup modeli varyası 7

40 Var = 0 = Cov, = Cov, p p i i i = icov, i + Cov, = i i i p + (.30) i şeklide elde edilir. ai, varyas içi 0 = p (.3) p eşiliği yazılabilir. Diğer arafa ookovaryalar ise h > 0 olduğuda Cov, olup, h ookovaryas foksiyou içi h >0 h = Cov, = Cov, = Cov, = Cov p h h i i i h h p p, =, icov h i i = icov h, i = i h i i eşiliği yazılır. Burada AR p zama serisi modeli içi p i 0 = p Cov, h (.3) + h = h + h + h + + p 3 3 şeklide ule-walker deklemleri yazılır. Karmaşıklığı ölemek içi p = alalım ve olmak üzere, p h p AR zama serisi modeli WN 0, = + + (.33) şeklide yazalım. Bua göre ule-walker deklemleri 8

41 0 = + + h = h + h şeklide olup h = ve h = içi bu deklemler = + 0 = + 0 şeklide yazılır. Daha açık olarak 0 = 0 lieer deklem sisemi elde edilir. Bilidiği gibi,, h, olduğuda ookovaryasları içi AR modelie uygu zama serisie ai gözlemler ˆ h= h h h (.34) ahmi edicileri yazılabilir. Burada h =0, ve olmak üzere hesaplaacak ˆ ve ˆ ˆ 0, değerleri yukardaki lieer deklem sisemide yerie koulması ile ve paramereleri içi ˆ ˆ ˆ = ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ahmi edicileri elde edilir. Bu ahmi edicilere ule Walker ahmi edicileri deir. Kolayca görüleceği gibi eğer model durağa değilse (yai birim köklü ise) 0 0 marisi sigüler olup ve paramereleri ule Walker ahmi edicileri buluamaz. 9

42 .3 Ögörü Zama serileride e öemli amaçlarda biri rasgele değişkeleri geleceke alabileceği değerleri ögörülmesidir. ai,,,, zama serisii gözlem değerleri verildiğide,,, s rasgele değişkelerii alacağı değerleri ögörmek zama serileride e öemli amaçlarda biridir. Buu içi,,, verilerie bağlı olarak bir zama serisi modeli oluşurulur. Bu modele bağlı olarak da zama serisii gelecekeki değerleri ögörülür.,,, zama serisii gözlem değerleri verildiğide siçi bir ögörü, ˆ s = E s,,, (.35) koşullu beklee değeri ile verilir. Acak zama serisii gelecek değerlerii ögörülebilmesi içi öcelikle serii durağa olması gerekir. Durağa olmaya seriler ileride ayrıılı olarak iceleeceğide durağa bir zama serisi modeli içi ögörüleri asıl hesaplaacağıı, durağalığı bozulduğuda da eleri ekilediğii aşağıdaki örek üzeride açıklayalım. Örek.4 0, WN olmak üzere zama serisi AR olarak modellemiş olsu. ai, zama serisi verileri içi +,,,, = şeklide bir modeli uygu olduğuu düşüelim. Bu durumda, ˆ = E,,, = = E,,, ˆ s = E s,,, = s veya ardışık olarak ˆ s = ˆ s 30

43 şeklide hesaplaır. AR modeli içi ögörüler görüldüğü gibi e so gözlem değerie bağlıdır. Böylece ˆ s = s dir. Ayrıca, s içi ögörüler serii oralamasıa yaklaşır ki bu da s ike ˆ s= s 0 dir. Başka bir ifade ile ögörüler serii oralamasıa doğru yaklaşır. Ögörüler hesapladıka sora, ögörü haalarıı hesaplaması ve ögörü haalarıı varyaslarıı hesaplaması da isaisiki souç çıkarımlar içi öemlidir.,,, zama serisi gözlemleri verildiğide ögörü haası s Durağa ˆ s s içi bir ögörü ˆ s olup, dır. Ayrıca ögörü haasıı varyası da Var ˆ s s AR modeli içi bu değerler dır. s j = sj (.36) ˆ s s j0 şeklide ifade edilir. Ayrıca, ögörü haalarıı varyası da Var s s ˆ j s = (.37) j0 olup limvar s s s s ˆ j = lim = s j0 (.38) dir. Bu da AR zama serisi modelii varyasıdır. ai, durağa AR modeli içi ögörüler serii oralamasıa, ögörü haalarıı varyası da serii varyasıa yaklaşır. Bu durum daha yüksek derecede AR modelleri içide geçerlidir. Şimdi yukarıdaki veriler içi AR modeli durağa olması. ai, = +, şeklide 3

44 verile (model = + şeklide de verilebilirdi) modelde = olsu. Kısaca, modeli durağa olmadığıı varsayalım. Bu durumda model + = şeklide olup,,, içi rasgele değişkeleri gözlem değerleri verildiğide ögörüler yie koşullu beklee değer ile hesaplaır ki, ögörüler, büü s ler içi ˆ s = E s,,, = (.39) şeklidedir. Başka bir ifade ile ögörüler hep ayı kalır ve serii oralaması ile hiç bir ilgisi yokur. Zae oralama modelde düşüğü içi buu bir alamı da yokur. ie basi arimeik işlemler souda ögörü haaları s j = sj (.40) ˆ s s j0 şeklide olup, varyası s dir. Burada, Var ˆ s s = s dir. Burada s içi varyas da sosuza doğru gider. Başka bir ifade ile varyas da serii varyasıda uzakır. ukarıda AR zama serisi modeli içi verile örek büü durağa zama serisi modelleri içi geçerlidir. Başka deyişle, herhagi bir durağa bir zama serisi olarak modellemiş ise ögörüler serii oralamasıa ögörü haalarıı varyası da serii varyasıa yaklaşır. Acak, seri durağa değil ise, bu souçlar geçerli değildir. Ou içi, herhagi bir isaisiki souç çıkarım yapmada öce serii durağa olup olmadığı korol edilmelidir. Eğer seri durağa değil ise, seri durağa olacak şekilde döüşümler yapılmalı ve isaisiki souç çıkarımlar bu döüşüm alıda yapılmalıdır..4 Mevsimsel Zama Serileri 0, WN olmak üzere AR p zama serisi modeli 3

45 p = i i i + şeklide verildiğii ve bu modeli durağalığıı ise köklerie bağlı olduğuu söylemişik. Şimdi yie p m p i 0, m i pi =0 deklemii WN zama serisi modeli = (.4) şeklide verildiğii düşüelim. Eğer = = 3 =0 ise model = (.4) şeklide yazılır. ai model = (.43) şeklide de ifade edilir. Bu modele karşılık gele karakerisik deklem 4 m 4 =0 olup, deklemi dör kökü de mulak değerce de küçük ise model durağadır. Acak deklemi kökü mulak değerce ise diğer büü kökler de dir. 4 = ise kökler m =, m =, m 3 = i ve m 4 = i olup büü kökler mulak değerce dir. Bu durumda serii durağalaşırılması içi 4 defa farkıı alıması gerekiği düşüülebilir. ai, serii dör ae birim kökü olduğuda Z = B 4 şeklide bir döüşümle serii durağalaşırılması gerekir. Oysa böyle bir döüşüm seriyi durağalaşıramayabileceği gibi çok basi görüe model çok karmaşık hale gelebilir. Ou içi mevsimsel fark alma yöemleri ile serii durağalaşırılması sağlaır. ai durağalaşırır (Baze = W = 4 göserimide kullaılır). W = B 4 seriyi 33

46 şeklide verile model SAR olarak biliir. 4 SAR modeli 4 = içi rasgele 300 ade üreile veriye ai zama serisi grafiği ile ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo foksiyolarıı grafikleri şekil.3 e verilmişir. Seri ACF PACF Şekil.3 Zama serisi, ookorelasyo ve kısmi ookorelasyo grafikleri Görüldüğü gibi kısmi ookorelasyolar dördücü gecikmede gözlee sıçrama haricide hep sıfırdır. Ookorelasyolar üsel olarak azalmasıa rağme değeri e yaklaşıkça azalma hızı yavaşlar. Ayrıca ookorelasyolar periodik bir yapıya sahipir. Ayrıca SAR 4 modeli de = (.44) şeklide ifade edilir. Bu dekleme karşılık gele karakerisik deklemde 8 4 m 4 m 8 =0 olup deklemi büü kökleri (burada 8 ae) mulak değerce de küçük ise model durağadır. Aksi halde durağa değildir. Öreği =.7 4 SAR 4 modeli , WN olmak üzere şeklide verildiğide modeli karakerisik deklemi 8 m.7 m =0 dir. Bu deklemi 8 ae kökü vardır. Burada Z = Z.7 Z +0.7=0 4 m deirse karakerisik deklem 34

47 şeklide döüşür. Bu deklemi ise iki ae kökü vardır ve Z =, Z =0.7 dir. Döüşürülmüş model Z = olduğuda durağa değildir. Ayrıca, Z = 4 m = olup,, i, i de deklemi kökleridir ve 4 ae birim kök vardır. Bu serii durağalaşırılması içi Z = B 4 döüşümü yapılır. =.7 4 modeli Z = + =0.7 4 = B + olup, + 4 = 4 olup başlagıçaki modele geri döersek Z = 4 durağadır. O halde verile herhagi bir serii mevsimsel birim kök içerip içermediğii sıamak içi sadar birim kök eslerii uygulamak doğru olmayabilir. Buu içi lieraürde oldukça çok çalışma bulumasıa rağme HEG yöemi olarak bilie çalışma ile paramereleri simerik e küçük kareler ahmi edicisii dağılımıa bağlı olarak gelişirile DHF (Dickey-Hasza- Fuller) esleri öe çıkmakadır. 0, WN olmak üzere ARMA( p, q ) modeli p = i i i + j j (.45) + q j şeklide verilir. Burada durağalığıa bağlıdır. ai, p m p pi im =0 i p 0 ve q 0 olup, modeli durağalığı AR kısmıı deklemii büü kökleri mulak değerce de küçükse model durağadır. Daha öce bahsedildiği gibi AR modelleride ookorelasyolar üsel olarak (mulak değerce) azalır, kısmi ookorelasyolar ise belli bir yerde sora sıfır olur. MA 35

48 modelleride ise ookorelasyolar belli bir yerde sora sıfır olur. Baze ookorelasyolar periyodik davraışlar göserir. Bu ür zama serilerii de mevsimsel zama serileri olarak modelleebileceğii söyledik. Baze de e ookorelasyolar e de kısmi ookorelasyolar belli bir yerde sora sıfır olur. Bu ür zama serileri de ARMA olarak modelleir. Acak, AR veya MA modelleride olduğu gibi model derecede foksiyoları grafikleriide belirlemek zordur. Ou içi, ARMA modelleride model derecelerii belirlemesi içi Akaike Bilgi Krieri (AIC) veya Schwarz Bayesia Krieri (SBC) gibi model belirleme krierleri ileride biraz daha ayrıısı ile ekrar iceleecekir. 0, WN olmak üzere zama serisi Burada B B B B B olarak verilmiş olsu (Wei 006). ve -B, ve olup, praike e çok kullaıla mevsimsel modelidir. Havayolu yolcularıa ai aylık bile saış serilerii modellemek içi Box ve Jekis (976), Box vd. (008), Mogomery vd. (008) arafıda bu meo öerilmişir. W olmak üzere, geellikle (-B) ve B B B sırasıyla düzeli fark ve mevsimsel fark olarak adladırılır. Geel olarak ve farklı değerlere sahip olacakır. Bu ifadeleri kombie edilmesi ile mevsimsel çarpımsal modeli elde edilir. B B W B B B B deirse W (-ϴB)(-ΘB )ε (-ϴB-ΘB +ϴΘB 3 )ε (-ϴB-ΘB +ϴΘB 3 )ε ε -ϴε -Θε +ϴΘε 3, W ~I(0) şeklide yazılır. W serisi içi W =μ+(-θb)(-θb ) ε harekeli oralama çarpımsal modelidir. Modeli basileşirmek içi μ=0 alalım. 36

49 E(W )=0 ve W serisi içi ookovaryaslar aşağıdaki gibi verilmişir: γ(0)=var(w )=(+Θ +Θ +Θ Θ )σ ε =(+Θ )(+Θ )σ ε γ()=cov(w, W )=(-ϴ+Θ(-ϴΘ))σ ε =-ϴ(+Θ )σ ε γ()= γ(3)= γ(4)= =γ(0)=0 γ()=θθσ ε γ()=-θ(+θ )σ ε γ(3)=θθσ ε γ(j)=0, j> 3 γ()= γ(3)=θθσ ε dir. Bu eşilikler soucuda ookorelasyolar, 0 3 olarak buluur. Diğer ookorelasyolar ise sıfırdır. ai, dır. Geel olarak ookovaryaslar ve ookorelasyolar,, h 0, h 0, h, h γ(h)=, h, ρ(h)=, h, h,3, h,3 0, dd.. 0, dd.. (.46) şeklide yazılabilir (Box ve Jekis 976, Wei 006, Box vd. 008, Mogomery vd. 008). 37

50 Mevsimsel zama serileride modelleme içi e öemli usurlarda biri uygu fark derecesii belirlemesidir. Uygu fark derecelerii belirlemesi ile ilgili birim kök kousu dördücü kısımda iceleecekir. ε ~WN(0, σ ) olmak üzere mevsimsel zama serileri ooregresif modeli yai SAR 4 (), ( μ)=β( 4 -μ)+ε, =,,, şeklide yazılabilir. Burada β 0 =μ( β) ve β=β 4 olmak üzere, model =β 0 +β 4 4 +ε şeklide yazılabilir. Mevsimsel zama serisi modeli regresyo modeli gibi yazılabilir. d bir poziif amsayı (serii mevsimsellik gecikmesidir) olmak üzere model ( μ)=β( d -μ)+ε şeklide verilmişir. Bu model SAR d () şeklide ifade edilir. ukarıdaki d=4, β < içi model durağadır. Bua göre ( μ)=β( 4 -μ)+ε olarak verile model SAR 4 () ile ifade edilir. Eğer μ =0 ise =β 4 +ε modeli β < içi durağadır. Serii ookovaryas foksiyou, γ(h)=cov(, +h )=Cov(, h ) =Cov( β 4 +ε, h ) =βcov( 4, h )+Cov(ε, h ) =βγ(h-4)+σ I(h=0) şeklidedir. Burada I(h=0) göserge foksiyou olup, h=0 içi γ(0)= βγ(4)+σ, I(h=0) = ile ule-walker deklemleri, γ(0)= βγ(4)+σ γ()= βγ(3) γ()= βγ() γ(3)= βγ() γ(4)= βγ(0) dir. γ(0)= βγ(4)+σ =β(βγ(0))+σ =β γ(0)+σ, 38

51 0 0 03). σ 0 = 0 σ β dir (Kirchgässer vd. 3 bu eşilikleri sağlaabilmesi içi γ()=γ()= γ(3)=0 olması 3 gerekir. Çükü γ()= βγ(3), γ()= ββγ()=β γ() γ(3)= βγ() γ()-β γ()=0 (-β )γ()=0 γ()=0 γ()= βγ() ( β)γ()=0 γ()=0 γ(3)= βγ() γ(3)=0 γ(4)= βγ(0)=β γ(5)= βγ()=0 γ(6)= βγ()=0 γ(7)= βγ(3)=0 σ β γ(8)= βγ(4) olup, γ(4) yerie β γ(9)= βγ(5), γ(5)=0 γ(9)=0 γ(0)= βγ(6), γ(6)=0 γ(0)=0 γ()= βγ(7), γ(7)=0 γ()=0 γ()= βγ(8) olup, γ(8) yerie σ β σ yazılırsa, γ(8)=β β β = β σ β dır. β σ yazılırsa, γ()= β β σ β β = β3 σ eşiliği buluur. β Paramere değeri β =0.8 seçilerek ookorelasyo foksiyou grafiği içi aşağıda şekil.4 e verilmişir. 39

52 Şekil.4 Ookorelasyo foksiyou grafiği Geel olarak ookovaryas foksiyou, h 4, h 4 j, j 0,, h = 0, dd.. (.47) ρ(h)= ( h ) (0) olduğuda ookorelasyo foksiyou, h 4, h 4 j, j 0,, h = 0, dd.. (.48) şeklide yazılır (Akdi 00). 40