ĠSTATĠSTĠKSEL ÇIKARIM ĠLKELERĠ ÜZERĠNE

Transkript

1 ĠSTATĠSTĠKSEL ÇIKARIM ĠLKELERĠ ÜZERĠNE Dr.Abraham WALD Türkçesi: Mustafa Y. Ata

2 Ġ S T A T Ġ S T Ġ K S E L Ç I K A R I M Ġ L K E L E R Ġ Ü Z E R Ġ N E Dr.Abraham WALD

3 Bu kitabı Türkiye deki tüm yayı hakları 'ya aittir. Kitabı tamamı ya da bir bölümü, ticari bir amaçla 5846 sayılı yasaı hükümlerie göre, ı ve yazarıı öcede izi olmada, her hagi bir yolla çoğaltılamaz, yayılaamaz ve dağıtılamaz. ya öcede bilgi verilerek, eğitim-öğretim kurumlarıda öğrecilere ücretsiz dağıtılmak koģuluyla çoğaltılmasıda bir sakıca yoktur. Diğer tüm hakları saklıdır.

4 Notre Dame Matematik Dersleri Numara 1 Notre Dame Evreketide, ġubat 1941 de Colombia Evreketi Profesörü Dr. Abraham WALD tarafıda verile Ġ S T A T Ġ S T Ġ K S E L Ç I K A R I M Ġ L K E L E R Ġ Ü Z E R Ġ N E Dört Ders TürkçeleĢtire Mustafa Y. Ata Yayı Komisyou ca hakem değerledirme sürecide geçirile eser, Gazi Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi Yöetim Kuruluu tarih ve 07 olu kararıyla yardımcı ders kitabı olarak uygu görülmüģtür. NOTRE DAME, INDIANA 1952 Özgü baskı:

5 Telif hakkı 1942 NOTRE DAME EVRENKENTĠ A.B.D. de basılmıģtır. EDVARDS BROTHERS, Ic. ANN ARBOR, MICHIGAN

6

7 Türkçe Baskıya ÖNSÖZ Tarih boyuca ulusal bir dilde özgü bilimsel yapıtları üretilebilmesii ö koģulu, her zama, baģka dillerdeki özgü kayakları eksiksiz ve herkes tarafıda alaģılır bir biçimde ulusal dile aktarılması olmuģtur. Ġçide yer aldığımız geçmiģteki coğrafyada yakı iliģki içide bulua Eski Çi, Hit, ve Yua bilimii öemli yapıtları, öce Arapça ya ve daha sora da Arap ve Türk Ġslam bilimii yapıtları Latice ye çevrilerek so iki bi yıla damgasıı vura Orta Doğu daki ve Avrupa daki iki büyük aydılama çağıı alt yapısı oluģturuldu. Bu alt yapıı oluģması geçmiģte bir kaç yüzyıllık süreç gerektirirke, Ģimdi yei ve sürekli bir aydılama çağıı alt yapısıı oluģturmak, böyle bir amaca yöelecek uluslar içi biliģim çağıı sağladığı olaaklarla bir kaç yıla sığdırılabilir duruma gelmiģtir. Buu içi tek gereke, yabacı bir dilde yazılı yapıtlardaki bilgiye toplumsal eriģim yolu olarak, toplumu tümüü yabacı dil öğremeye zorlamak yerie, kedi alalarıda uzlmalaģmıģ bireylerii biliçli bir biçimde bu amaç doğrultusuda yöledirmeyi ve özedirmeyi ulusal bir devlet siyaseti olarak beimsemektir. Tarih, birici yolu seçe toplumları bu süreç souda kedi aa dillerii de yitirerek asıl yok olduklarıı

8 Türkçe Baskıya Ösöz ii örekleriyle doludur. Bu kouda ulusal bir devlet siyasetii bulumadığı yerlerde, e yazık ki, yabacı dil bilgisii böyle bir amaç doğrultusuda kullamak yerie, ticari amaçla kullamak, geçmiģte olduğu gibi güümüzde de yaygıdır. Bu eğilimi doğal soucu olarak, sözde telif kesmece-yapıģtırmacalar bir yaa, bir dilde diğerie çevrile yapıtları pek azı bilimsel itelikte ve bilimsel itelikte olaları içide de özgü temel kayak iteliğide olalar çok azdır. Özellikle matematik ve fe alalarıda, öcelikle uzu yıllar calı kalmıģ ve büyük katkı iteliği taģıya özgü kayakları ulusal dile kazadırılması, söz kousu dilde de çağdaģ düģüce ve kavramları içsel alamlarıyla ifade edilebilir kouma getirir ve bu yolla diğer alalara zicirleme yasıya tetikleyici bir etki oluģturur. ġimdi okumakta olduğuuz bu küçük ama öemli yapıt, böyle bir düģüceyle seçildi ve Türkçe ye aktarıldı. Dr.Abraham Wald ı, 1941 ġubatı da, Notre Dame Evreketi de dört oturumda verdiği Ġstatistiksel Çıkarım Ġlkeleri Üzerie baģlıklı dersi otları, istatistik kuramıa iliģki kediside öceki bilgileri özetleye ve kediside sorakilere de bir yol haritası sua, matematiksel istatistik alaıda so derece öemli bir köģe taģıdır. Bu yapıt, üzeride 70 yılı aģkı süre geçmesie karģılık değerii korumakta ve özgü basımı, değerii farkıda olalar tarafıda açık eriģim ortamıda Ġgilizce bileleri yararlaımıa suulmaktadır. Bu kısa yapıtta yer ala istatistik kuramıı temel kavramlarıa iliģki taımlar, istatistik aa

9 Türkçe Baskıya Ösöz iii bilim dalıda öğreim göre birisii sahip olması gereke lisas düzeyideki bilgileri ıģığıda kolayca kavrayabileceği ve bugü de geçerli ola taımlardır. Ġstatistik kuramıa bir kuģ bakıģı ola bu yapıt okudukta sora, matematiksel istatistik alaıdaki gücel kayakları daha kolay okuabileceği bekleir. Yalızca yabacı bir dildeki kayak kitaplarda ediile bilgiler, söz kousu yabacı dili bilmeye ya da ayı kayakta yararlaamayalara aktarılırke, bu kouda çaba harcamakta kaçıarak, öemli terimleri ve kavramları yabacı dilde yazıldığı ve okuduğu biçimde kullaılmasıı, düģümeye katkı alamıda, yararıda çok zararı olacağı düģücesiyle, yapıt Türkçe ye aktarılırke, kavramları içsel alamıı tam verecek Türkçe sözcükleri seçimie büyük öze gösterildi. Bu bağlamda, Türkçe istatistik kitaplarıda yaygı olarak kullaılmakta ola ve Ġgilizce okuduğu gibi yazıla bir kaç terim içi yei sözcükler öerildi. Yaygı kullaıma ola alıģkalıklarıda ötürü, bu yei Türkçe sözcükleri hagi kavramlara karģılık olarak kullaıldığıı ilk bakıģta sezemeyecekler içi, çoğulukla yapıldığı gibi Ġgilizce karģılıkları meti içide değil, yapıtı souda verildi. Yapıtı özgü baskısı, daktilo ile yazılmıģ bir ders otu iteliğidedir. Türkçe baskısıa, yalızca bu ösöz, Abraham Wald'ı kısa bir yaģam öyküsü, Jerzy Neyma'ı bir değerledirmesi, içidekiler, simgelem, kavram dizii, ve heüz yaygı kullaımı olmaya ve meti içide koyu yazıla bir kaç sözcüğü Ġgilizce karģılıklarıı yer aldığı küçük bir sözlük ekledi.

10 Türkçe Baskıya Ösöz iv Bu yapıtı Türkçe ye aktarırke kedi adıma oda çok Ģey öğredim. Bu yapıtı vere Dr.Abraham Wald a ve özgü baskısıı elektroik ortamda açık eriģime açalara teģekkür borçluyum. Türkçe baskısıı okuyaları da ayı duyguları paylaģtığıı duyarsam, yabacı dil bilgimi doğru yerde ve yararlı bir amaç içi kulladığımı alayacağım ve bu baa büyük bir mutluluk verecek. M. Y. A.

11 Abraham Wald ( ) Avusturya-Macarista'ı (Ģimdiki Romaya'ı) Cluj ketide Yahudi bir ailei çocuğu olarak 31 Ekim 1902'de doğdu. O zamaki Macar okullarıda zorulu ola cumartesi güü yüzüde, didar bir Yahudi olması edeiyle, ilk eğitim-öğretimii evde, so derece bilgili ve yeteekli öğretme oldukları alaģıla ae ve babasıda aldı. 1927'de Viyaa Evreketi'de lisasüstü öğreime baģladı. Karl Meger'i daıģmalığıda 1931'de matematik doktora derecesii aldı. Üstü derecede baģarılı olmasıa karģılık, Avusturya'daki Yahudi ayrımcılığı edeiyle, Evreket'te bir görev alamadı. Buula birlikte, Viyaa Evreketi'de Karl Meger'le çalıģmalarıı sürdürdü ve Oscar Morgestei'ı desteğiyle, Viyaa'daki ĠĢ Devri AraĢtırma Estitüsü'de araģtırmacı olarak bir iģ buldu. Ġsviçre'deki Geeva AraĢtırma Merkezi'de de bir araģtırma bursu alarak, iktisadi sorularla ilgili çalıģmalar yaptı. 1931'de Nazi baskısı edeiyle ülkeside ayrılıcaya kadar geçe sürede, içleride Aals of Mathematical Statistics, Ergebisse eies mathematische Kolloquiums, Mathematische Aale, Memoires

12 vi İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie et Commuicatios de l'academie des Scieces, Moatsberichte des Oesterreichische Istitutes für Kojukturforschug, Sitzugsberichte der Wieer Akademie, ad Zeitschrift für Natioalökoomie dergilerii buluduğu çeģitli dergilerde 17 makalesi yayıladı.[11] 1938'de Nazi'ler Avusturya'yı iģgal edice, Yahudi ayrımcılığı yoğulaģtı. Özellikle, Wald ve ailesi Yahudi oldukları içi baskı gördüler ve Cowles Ġktisadi AraĢtırma Komisyou'u, ekoometrik araģtırmalarda çalıģması içi yaptığı davet üzerie, BirleĢik Devletler'e göç ettiler. [1] Columbia Evreketi'de çalıģmaya baģlaya Wald, yeteeğii e iyi biçimde değerledirebileceği kouları ve ortamı, diğer bir çok istatistikçi gibi, o güe kadar karģılaģılmamıģ tekik soruları çözümü içi II. Düya SavaĢı sırasıda oluģturula büyük çaplı yöeylem araģtırma takımlarıda buldu. Wald bu istatistik yeteeğii, II. Düya SavaĢı'da düģma ateģiyle kaybedile bombardıma uçakları soruua uyguladı. Geri döe uçaklardaki hasar üzerie bir çalıģma yapılmıģ ve e fazla hasar ala yerleri zırhla kaplaması öerilmiģti. Wald'ı eģsiz seziģi, geri döe bombardıma uçakları üzerideki uçaksavar mermi deliklerii hasar alıabilecek alaları gösterdiğiydi. Verileri düģma ateģide hiç hasar görmede geri döe her bombardıma uçağıda da bezer izler olduğuu göstermesi, Wald'ı isabet alıdığıda bu izleri uçağı kaybıa yol açacak zayıf oktalar olduğu ve buraları güçledirilmesi gerektiği soucua götürdü. Bu çalıģma, o zamalar yei ortaya çıka yöeylem araģtırması alaıda ufuk aça bir çalıģma olmuģ ve çalıģmaı kuramsal temellerii de içere tekik rapor 1980'de açık eriģime açılmıģtır. [4] Ülü Amerika fizikçisi Robert Wald'ı da babası ola Abraham Wald, Meyer Girshick (Colombia Evreketi, 1947),

13 Abraham Wald ( ) vii Herma Cheroff (Brow Evreketi, 1948), Milto Sobel (Colombia Evreketi, 1951), ve Charles Stei (Colombia Evreketi, 1953)'ı doktora daıģmaı olmuģ ve yetiģtirdiği bu ülü istatistikçileri de, zicirleme olarak toplam ( =)553 istatistikçii yetiģmesie katkı verdiği saptamıģtır.[10] 1897 yılıda Zürich'te baģlaya, acak Ġki düya savaģı sırasıda kesitiye uğraya Uluslararası Matematikçiler Kogresi'i 30 Ağustos-6 Eylül 1950'de Cambridge (ABD)'de gerçekleģtirile 11iciside davetli kouģmacılar arasıda "Ġstatistiksel Karar Kuralları Geel Kuramıı Temel DüĢüceleri" baģlıklı dersiyle Wald da vardı. Matematik alaıdaki katkıları yüksek saygılık göreleri kouģmacı olarak davet edildikleri bu kogre dizisi dörder yıl arayla güümüzde de sürdürülmektedir.[12] Ne yazık ki, Wald, istatistik alaıa daha bir çok katkı yapabilecek yaģda, bir dizi ders vermek içi davet edildiği Hidista'a giderke 13 Aralık1950'de güey Hidista'ı Nilgiri dağlarıdaki bir uçak kazasıda eģiyle birlikte yaģamıı kaybetti.[1] Ölümüde sora, Sir Roald A. Fisher tarafıda ağır eleģtirilere uğradı. Fisher, özellikle Wald'ı deeyleri tasarımı üzerie ola çalıģmasıı, Fisher ve Frak Yates tarafıda gösterilmiģ ola temel düģülerde haberi olmadığı yoluda eleģtiriyordu.[5] Wald'ı çalıģmasıı Jerzy Neyma savudu.[6] Neyma, özellikle deeyleri tasarımıa iliģki olarak Wald'ı çalıģmasıı açıklık getirdi. Wald istatistiği, ters Gausgil dağılım olarak da bilie Wald dağılımı, Wald-Wolfowitz koģu sıaması, ardıģık olasılık ora sıaması gibi katkıları geiģ bir uygulama alaı bulmuģtur. BaĢlıca yapıtları arasıda,

14 viii İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie (1939) "A New Formula for the Idex of Cost of Livig", Ecoometrica, 7 (4): (1939) "Cotributios to the Theory of Statistical Estimatio ad Testig Hypotheses". Aals of Mathematical Statistics, 10 (4): (1940) "The Fittig of Straight Lies if Both Variables Are Subject to Error". Aals of Mathematical Statistics, 11 (3): (1945) "Sequetial Tests of Statistical Hypotheses". Aals of Mathematical Statistics, 16 (2): (1947) Sequetial Aalysis, New York: Joh Wiley ad Sos. (1950) Statistical Decisio Fuctios, Joh Wiley ad Sos, New York; Chapma ad Hall, Lodo. bulumaktadır. 1. Morgester, Oskar (1951). "Abraham Wald, ". Ecoometric, 19 (4): O'Coor, Joh J.; Robertso, Edmud F., "Abraham Wald", MacTutor History of Mathematics archive, Uiversity of St Adrews. 3. Magel, Marc; Samaiego, Fracisco (Jue 1984) "Abraham Wald's work o aircraft survivability", Joural of the America Statistical Associatio, 79 (386): Wald, Abraham. (1943) "A Method of Estimatig Plae Vulerability Based o Damage of Survivors", Statistical Research Group, Columbia Uiversity. CRC 432 reprit from July Ceter for Naval Aalyses.

15 Abraham Wald ( ) ix 5. Fisher, Roald (1955) "Statistical methods ad scietific iductio", Joural of the Royal Statistical Society, Series B, 17 (1): Neyma, Jerzy (1956) "Note o a Article by Sir Roald Fisher", Joural of the Royal Statistical Society, Series B, 18 (2): Robbis, Herbert (1951) "Review: A. Wald, Statistical decisio fuctios", Bulleti of the America Mathematical Society, 57 (5): Wolfowitz, Jacob (1952) "Abraham Wald, ", Aals of Mathematical Statistics, 23 (1): o= "The Publicatios of Abraham Wald". Aals of Mathematical Statistics, 23 (1):

16

17 JERZY NEYMAN'ı DEĞERLENDĠRMESĠ * Notre Dame Evreketi, yei matematiksel yayılar dizisiii "Notre Dame Matematik Dersleri"i, çağdaģ istatistik kuramıı e gözde destekçileride birisi, Dr. Abraham Wald tarafıda verile dört dersle baģlattı. Yei dizileri baģarısıı yürekte isteye birisi, maliyet edeleriyle basılı bir biçimde ortaya çıkmamasıda da, bir tür üzütü duyabilir. Kitap taģbaskıyla yapılmıģ ve tüm formülleri okuaklı taģbaskı çok iyi. Yie de, basılı bir biçimi çok daha iyi gözükecekti. Hak ettikleri dıģ görüüģte iyi matematiksel yayılara kayak sağlayacak özel bir yardımsever ya da bir kurumu zamala buluacağıı umabiliriz. Söz edildiği üzere, Dr. Wald'ı kitapçığı dört ders içeriyor. Buula birlikte altı bölüme ayrılmıģ, I. GiriĢ, II. Ġstatistiksel bir savı sıamasıda Neyma Pearso kuramı, III. R. A. Fisher'i tahmi kuramı, IV. Güve aralıkları kuramı, V. Asimptotik e güçlü sıamalar ve asimptotik e dar güve aralıkları, ve Geel bir istatistiksel çıkarım kuramıı aa hatları. Matematiksel bir okuyucuu görüģüyle, "istatistiksel yötemler" üzerie sayısız kitapla ortak bir yaı bulumaya kitapçık, belli özellikteki uygulama sorularıyla ilgilememekte; acak, so 25 yılda arģivlemiģ gerçekte e öemli temel kavrayıģlarla uğraģmaktadır. Bu kapsamla karģılaģtırıldığıda kitapçığı boyutu çok küçük ve buda ötürü belli kısımları suumu ister istemez kısa. Bu, özellikle Dr.Wald'ı kedisii asimptotik e güçlü sıamalar ve geel istatistik çıkarım kavrayıģıyla istatistik * Neyma, Jerzy (1942) "O the Priciples of Statistical Iferece, by Abraham Wald", Book Reviews, Bulleti of the America Mathematical Society, 48 (9), 'da TürkçeleĢtirildi. VI.

18 xii İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie kuramıa etki katkılar sağlaya biri olarak görümeside öce yapılmıģ olaları alatıldığı ilk 28 sayfa içi geçerli. Suumu kısalığıa karģılık kitap so derece bilgi verici. Gerçekte, bir dizi dergiye yayılmıģ makaleleri taramada, matematiksel istatistik alaıda yapılmakta olaları kuģ bakıģı bir görüümüü isteye tüm matematiksel okuyuculara kusursuz bir bilgi kayağı olabilirdi. var. Bu açıda birisii özlemii duyabileceği yalızca iki boģluk Yazar, aralıklarla tahmi sorularıı tartıģırke güve aralıkları kuramı ile R. A. Fisher'i geliģtirdiği güvee dayalı ola arasıdaki farka değiiyor. Acak, ilkii bir özetii verirke, Fisher'i çeģitli makalelerie gödermeler dıģıda, sorakie iliģki her hagi bir bilgi sumuyor. Bir diğer boģluk, gözleebile rassal değiģgeleri olasılık yasasıda içerilebilecek, bileģik savları sıamasıa ve tüm ölçümöteler yerie bazılarıı tahmi edilmesi sorularıa iliģki e azıda bir kaç ayrıtıı atlamıģ olmasıdır. Bu istatistiksel sorular, daha öce ele alımamıģ, "bezer bölgeler" deileleri salt çözümleme sorularıa yol açmıģ olduğuda, Ģimdi iceleme altıdaki gibi bir kitapta buları taımıı da verilmesi kitabı değerii ve soruları Ģimdi olada daha hızlı ve doyurucu çözümüü elde etme Ģasıı arttırabilirdi. Buula birlikte, kısa olacak alamıda bir kitap gerçekte kısadır demek, bir eleģtiri olarak görülmemelidir.

19 SİMGELEM E e.b.a.s. e.k.ü.s. : örek uzayıı bir oktası : e büyük alt sıır : e küçük üst sıır O U ı e büyük alt sıırı GU : LU, T : U ve O U O T T bölge ikilisi içi ı e küçük üst sıırı. O. : olasılık R : örek uzayıı bir alt kümesi sydb : sosuz yakı daha büyük : bilimeye dağılım iģlevi S x1, x2, x3,, x i, sııfıda olduğu savı 2 s : örek değiģkesi Xi 1(1) X1, X 2, X3,..., X : tae rassal değiģge dizisi xi 1(1) x1, x2, x3,..., x : X leri gözlee değerleri x : Örek ortalaması. ( x) : X rassal değiģkeii olasılık dağılım iģlevi E : örek uzayıı E oktasıda taımlı bir istatistik. X : X i ortalaması. : örek uzayı. : dağılım iģlevlerii belirli bir sııfı 2 X : X i değiģkesi. E, E : örek uzayıı E oktasıa göre ölçümötesi içi güve aralığı alt ve üst sıırları.

20

21 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... i Abraham Wald ( )... xiii Jerzy Neyma'ı Değerledirmesi... xiii SĠMGELEM... xiii ĠÇĠNDEKĠLER... xv I GiriĢ... 1 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması III R.A.Fisher i Tahmi Kuramı IV Güve Aralıkları Kuramı V Asimptotik E Güçlü Sıama ve Asimptotik E Dar Güve Aralığı VI Geel Bir Ġstatistiksel Çıkarım Kuramıı Aa Hatları Kayaklar Sözlük Dizi... 65

22

23 I Giriş Ġstatistiği amacı, geometri ya da fizikte olduğu gibi, gerçek bir olguyu taımlamaktır. Gerçek düyaı eseleri, sağlam bir kuramı temelii oluģturabilecek tam ve kesi bir biçimde asla taımlaamaz. Yerlerie, açık ya da örtülü bir aksiyomlar sistemiyle taımlamıģ kimi idealleģtirilmiģ eseleri koymak zorudayız. Öreği, geometride, oktayı, doğru parçasıı, ve düzlem i, örtük olarak bir aksiyomlar sistemiyle taımlarız. Olar, doğru taımlarıyla tam uyuģmaya olgusal oktaları, doğru parçalarıı ve düzlemleri yerii alır. Kuramı gerçeğe uygulamak içi, kuramı idealleģtirdiği eselerle gerçek düyaı eseleri arasıdaki bağlatıyı kurmada bir takım kurallara gereksiim duyarız. Bu kurallar her zama biraz karalık kalır ve kuramı kedisii bir bölümüü asla oluģturamaz. Ġstatistiği amacı, yığı olgusuu ve yielee olayları belirli yölerii betimlemektir. Kullaıla aa fikir, olasılık tır. Kuramsal taımı, açık ya da örtük, bir aksiyomlar dizgesiyle

24 2 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie yapılır. Öreği, Mises, bir olayı olasılığıı, belirli koģulları sağlaya sosuz bir deemeler diziside bu olaya iliģki göreli sıklıkları erimi olarak taımlar.[10],[11] Bu olasılığı açık bir taımıdır. Kolmogoroff olasılığı, belirli bir aksiyomlar dizgesii sağlaya bir küme iģlevi olarak taımlar.[9] E= 1 olayıı olasılığı p dir. öermesii, E = 1 olayıı, uzu bir deemeler dizisideki göreli sıklığı, yaklaģık olarak p dir. öermesie döüģtüre bu idealleģtirilmiģ matematiksel taımlar, kuramı uygulamasıa iliģkidir. Böyle bir kuramsal öermeyi olgusal bir öermeye döüģtürme, uzu ve yaklaģık sözcüklerii alamları üzerie bir Ģey söylemediğide, oldukça üstü kapalıdır. Acak, kuramı gerçek olguya uygulamasıda, her zama böyle bir belirsizlik buluur. Olasılık sözcüğüü yukarıdaki döüģtürmesi yerie, daha kolay alaģılabilecek, E i bire yakı bir olasılığı vardır öermesii, tek bir deemede E i gerçekleģeceği heme heme kesidir öermesie döüģümüü kullamaı yeterli olacağı söyleebilir. Gerçekte, eğer bir olayı olasılığı p ise, Beroulli i bir teoremie göre, yeterice uzu bir deeme dizisideki E i göreli sıklığıı, p i küçük bir komģuluğuda olma olasılığı, 1 e olabildiğice yakıdır. Eğer 1 e yakı olasılığı, heme heme kesi e çevirirsek, uzu bir deeme dizisideki E i göreli sıklığıı, p i küçük bir komģuluğuda olacağı heme heme kesidir. ifadesii elde ederiz. Her zama istatistikte, belli gerçek olguları betimlemekte yeterli olduğua iadığımız olasılık yapıları kurarız. Öreği,

25 I GiriĢ 3 madei bir parayı atmada olası souçlara iliģki durumları, uzu bir deeme dizisi içideki toplam atıģları yaklaģık yarısıı tura gelmesii bekliyorsak, tek bir atıģta tura gelme olasılığıı 1/2 olduğuu söyleyerek taımlarız. Ya da, bir çubuğu uzuluğuu bir aygıtla ölçüyorsak, baze soucu ormal dağılımlı rasgele değişge olduğuu varsayarız. Rassal değiģge ve dağılım iģlevi Ģöyle taımlaır: eğer ( x), gerçek bir X değiģgeii, x te küçük olma olasılığıı vere bir iģlevse, X bir rassal değişge ve ( x) de, X i olasılık dağılımıdır. Eğer ( x), x 2 1 y 2 1 ( x) e dy 2 (1) ise, X i ormal dağılımlı olduğu söyleir. ve icelikleri gerçek ölçümötelerdir. Böylece, eğer bir çubuğu uzuluğuu ölçülmeside ölçüm souçlarıı ormal dağılımlı rassal bir değiģge olduğuu varsayarsak, ölçümü, x i verile bir değeride daha küçük olma olasılığıı (1) le ifade edebiliriz. X1, X 2, X3,..., X, tae rassal değiģge, ve x1, x2, x3,..., x, gerçek sayıları her hagi bir kümesi ise, x x x x eģalı olasılığı olur. de,,,..., X x, X x, X x,..., X x bileģik olayıı Bu iģlev, tae rassal değiģgei ortak olasılık dağılımı olarak adladırılır. Eğer x x x x iģlevi, ilki,,,..., yalızca x 1 i, ikicisi yalızca x 2 i,., soucusu yalızca i iģlevi olmak üzere, tae iģlevi, x

26 4 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie x, x, x,..., x ( x ). ( x ). ( x )... ( x ) biçimide çarpımıysa, X1, X 2, X3,..., X rassal değiģgelerii bağımsız dağılımlı olduğu söyleir. Öreği, bir çubuğu kere X1, X 2, X3,..., X ölçümleri birbiride bağımsız ve ayı ormal dağılımlı ise, y x 1 y x1, x2, x3,, x 2 e dy e dy 2 2 x e x 2 1 y 2 dy (2) olur. Bir aygıtla çubuk uzuluğuu kere ölçülmeside, olasılık yapısı olarak geellikle, (2) de verile tae ölçüm soucuu ortak olasılık dağılımıı kabul ederiz. Ġstatistiksel çıkarımı temel sorularıda biri, istatistiksel savları sıaması soruudur. Ġstatistik kuramıda ele almak zoruda oduğumuz istatistiksel bir savı e geel biçimi, Ģöyle ifade edilebilir: X1, X 2, X3,..., X, rassal değiģgeleri solu bir kümesi ve x1, x2, x3,, x de ortak olasılık dağılım iģlevi olsu. O zama, istatistiksel sav, bilimeye dağılım iģlevi x x x x,,,,, dağılım iģlevlerii belirli bir sııfı ı bir bireyidir öermesidir. Öreği, çubuğu uzuluğua iliģki ardıģık ölçümler x1, x2, x3,..., x ise, X1, X 2, X3,..., X i birbiride

27 I GiriĢ 5 bağımsız ayı ormal dağılımlı olduğu savıı ele alalım. Burada, her hagi pozitif bir sayı ve her hagi gerçek bir sayı olmak üzere, (2) de verile iki ölçümöteli bir ailei bireyidir. Eğer, X1, X 2, X3,..., X i sıfır ortalamalı ( 0 değişkeli ( 2 ) ve birim 1) birbiride bağımsız ormal dağılımlı olduğu savıı ele alırsak, o zama tek bireyli olur. tek bireyli olduğuda söz kousu savı bileşik bir sav olduğu söyleir. yalı bir sav, aksi durumda ise Bir savı sıaması, Xi 1(1) rassal değiģgeii gözlee x, x, x,..., değeri xi 1(1) olmak üzere, x gibi tae gözleme dayalı olarak, bilimeye dağılım iģlevi x x x x,,,, i, sııfıda olduğu S savıı red ya da kabul edilmesidir. gözlemlik küme, örek uzayı olarak adladırıla -boyutlu Kartezgil uzayda E gibi bir oktayla gösterilebilir. S savıı tae gözleme dayalı olarak sıamak, örek uzayıı R gibi bir alt kümesii seçerek, E oktasıı R kümesii bir bireyi olması durumuda S yi red; aksi durumda ise S yi kabul etmektir. Açıktır ki buradaki soru, kritik bölge olarak adladırıla R alt kümesii seçimidir. Bu soruu çözümü, bir ölçüde, bilimeye x1, x2, x3,, x iģlevie iliģki olarak sahip olabileceğimiz her hagi bir öcül bilgiye bağlıdır. E sık yapıla ve çok öemli ola öcül varsayımlarda biri, her biri ayı dağılıma sahip X1, X 2, X3,..., X rassal değiģgelerii bağımsız dağılımlı

28 6 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie olduğudur. Böylece, iģlevii, tüm i, j ler içi i j olmak üzere, x, x, x,, x ( x ) i i i1 biçimide olduğuu varsaymıģ oluruz. Bilimeye dağılıma iliģki böyle öcül bir bilgi, x1, x2, x3,, x iģlevii, dağılım iģlevlerii belli bir sııfı ı bireyi olduğu söyleerek her zama ifade edilebilir. Bua göre, ilgilediğimiz, her zama ı bir alt sııfıdır. Göreceğiz ki, S savıı sıaması içi kritik bölge R i seçimi, öcül bilgisie dayaır. ġimdi alaģılıyor ki, sav sıama soruu, bilimeye dağılım işlevi sııfıı bir bireyi ise, i, ı belli bir alt sııfı ya ait olup olmadığıa karar vermektir. Çözülmesi gereke soru, örek uzayıda kritik bölgei asıl seçileceğidir. Öreği,, X1, X 2, X3,..., X leri birbiride bağımsız ve ayı ormal dağılımlı olarak taımlaabilir, ve X1, X 2, X3,..., X leri beklee değerlerii sıfır olduğu bir altsııfı olabilir. Bu durumda, ileride tartıģacağımız belli kurallara göre, uygu kritik bölge; x sabit olmak üzere, 1 xi i 1 1 s xi x ve c belli bir 1, 2 2 i1

29 I GiriĢ 7 x s c eģitsizliğiyle belirleebilir. Acak, her biri ayı dağılıma sahip X1, X 2, X3,..., X leri birbiride bağımsız dağılımlı olduğu, çok daha geiģ bir sııf olduğuda, S ı sıamasıda yukarıdaki kritik bölge uygu değildir ve bir baģka kritik bölge seçilmelidir Daha fazla ilerlemede, birkaç matematiksel terimi istatistiksel alamlarıı, aģağıdaki çizelge biçimide vermek yararlı olabilir. Matematiksel Terim -boyutlu uzay, E(örek uzayı), E üzeride iģlev sııfı, ı bir alt sııfı R, (kritik bölge), E i alt bir kümesi İstatistiksel Alamı gözlemi olası souçları Olasılık dağılımlarıı olası sııfı Ġstatistiksel sav. Gerçek dağılım ı bir üyesi. Gerçek dağılım ı bir üyesidir savıı red etme kıstası. R i, ve, birlikteliği Savı sıaması içi kritik bölgei seçimi Savları sıaması soruu, istatistiksel çıkarım sorularıı yalızca birisidir. Diğeri, tahmi soruudur. Bilimeye dağılım iģlevii dağılım iģlevlerii belli bir sııfıa ait olduğu verilmiģke, E i her E oktasıda taımlı, değeri her zama ı üyesi ve bilimeye dağılım iģlevi ola, bir E iģlevii asıl seçebiliriz? E i iyi bir tahmii i i yakı bir

30 8 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie komģuluğuda olma olasılığı olabildiğice yüksekse, E i i iyi bir istatistiksel tahmii olduğuu söyleyebiliriz. Bu ilkeyi Bölüm III de daha ice bir biçimde belirleyeceğiz. Öreği,, X1, X 2, X3,..., X leri birbiride bağımsız ve ayı ortalama ve birim değiģkeli ormal dağıldığıı ifade ediyorsa, o zama dağılım iģlevlerii tek ölçümöteli bir ailesidir ve bilimeye ü değeri belirleerek ı bir üyesi tümüyle belirleebilir. Dolayısıyla, bilimeye dağılım iģlevi yi tahmi etmekle, bilimeye yü tahmi etmek ayı Ģeydir. Bua göre tahmi soruu, örek uzayıı her oktasıda taımlı gerçek bir E bulmaktır; öyle ki, E bilimeye ortalama ü istatistiksel bir tahmii olsu. Soruu bu özel durumudaki klasik çözüm, E 1 xi İ 1 olarak verilir. ġimdiye kadar değiile istatistiksel çıkarımı iki türü, karģılaģılabilecek tüm soruları kapsamaz. 1 Öreği, dağılım iģlevleri sııfı, 1, 2, 3 gibi üç alt-sııfı toplamı, ve bilimeye dağılım i sav i i bir üyesi olduğuu öe süre S ise; gözleme dayalı olarak bu üç savda hagisii i seçileceğie karar vermek, 1 Bu bağlamda [16: ss ] e bakıız. e bir sav sıama, e de bir tahmi

31 I GiriĢ 9 soruudur. Öreği, ürüü ölçülebilir ve gerçek bir sayıyla belirleebilir iteliğii iki erim arasıda tutmak zoruda ola ve iteliği gerçekte bu erimler arasıda mı; alt erimde düģük mü; ya da, üst erimde yüksek mi olduğuu, öreklemeyle sıamak isteye bir üreticii durumuda, böyle bir soru ortaya çıkabilir. Böyle bir üçlem i, bir sav sıama ya da tahmi soruuda farklı oluģuu edeleri acak burada gösterilebilir. Her çıkarım soruua bir çok yaklaģımı olduğu ve kuramı, belli yaklaģımları diğer yaklaģımlarda daha iyi olduğua karar vererek aralarıda seçim yapma araçlarıı sağladığı görülecektir. ġimdi, yukarıdaki üçlemi, diyelim ki, bilimeye dağılım iģlevi tahmi edilerek ve i tahmiii içere alt-sııfa iliģki savı kabul edilmesi biçimide, bir tahmi soruua idirgemesi ögörülebilir. Bu, üçlem e bir yaıt olabilir; acak bu yaıt, geliģmiģ kurallara göre hiç bir biçimde e iyi yaıt değildir. Ġstatistiksel çıkarım soruuu e geel biçimi Ģudur: Dağılım iģlevleri sııfı ı alt-sııflarıı bir dizgesi D olsu. D i her d üyesi içi, bilimeye dağılım i, d i bir üyesi olduğuu öe süre sav bir örek yardımıyla, S d, ve tüm böyle savları dizgesi S D i hagi üyesi kabul edilmelidir? S D ise, Daha öce sıralaa sorular bu geel soruu özel durumlarıdır. Biri ı bir alt-sııfı ve diğeri ou 'daki tümleyei olmak üzere, D yalızca iki üyede oluģuyorsa, soru,

32 10 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie i gerçek dağılımıı, sıaması soruuyla ayıdır. D, ı bir üyesi olduğu savıı ı tüm üyelerii bir dizgesiyse, soru, bir tahmi soruu; ve D, toplamları ola 1, 2, 3 gibi üç alt-sııf ise, üçlem dir.

33 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre İstatistiksel Bir Savı Sıaması [12],[14],[15] R. A. Fisher, Neyma ve Pearso tarafıda so yirmi yılda geliģtirile istatistiksel çıkarımı ilkeleri, öceki sayfalarda dile getirilmiģ ola geel istatistiksel çıkarım soruua değil, bir savı sıaması ve tahmii sorularıa iģkidir. Bu kuramlardaki bir baģka kısıt da, ı, dağılım iģlevlerii yalızca k-ölçümöteli bir aile olduğu durumlara iliģki olması; baģka bir deyiģle, gerçek,,,..., k ama bilimeye dağılım iģlevi i, lar ölçümöteler olmak üzere, k-ölçümöteli bir x, x, x,..., x ;,,,..., iģlevler ailesii üyesi olarak ele k alııyor olmasıdır. Bu durumda, ölçümöte değerleri, dağılım iģlevi yı tam olarak belirler. Ölçümöte değerlerii bir kümesi, ölçümöte uzayı olarak adladırıla k-boyutlu bir Öklitgil uzayda, bir okta ile gösterilebilir. ı üyeleri ile ölçümöte uzayıı oktaları arasıdaki bire-bir bağıtıda ötürü, yı ölçümöte uzayıyla

34 12 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie taıtlayabiliriz. Öreği, X1, X 2, X3,..., X, her biri bir biride bağımsız, (2) deki gibi ayı ormal dağılımlıysa, ölçümöte uzayı; 1 ortalama değer, ve 0 2 stadart sapma olmak üzere, yarım bir düzlemdir. ye iliģki bir sav, gerçek ölçümöte oktasıı, ölçümöte uzayı ı belirli bir alt-kümesi ı bireyi olduğu yoluda ifade edilir. Daha öce olduğu gibi, eğer, tek bir oktada oluģuyorsa, savı yalı bir sav olduğu söyleir. Yoksa, savı bileşik olduğu söyleir. Yukarıdaki örekte, 0, 1 olduğuu öe sürülmesi, yalı bir sav; içi bir değer öe sürülmeksizi, yalızca 0 olduğuu öe sürülmesi bileģik bir savdır. Fisher, Neyma ve Pearso kuramlarıdaki temel düģüceleri göstermek içi yeterli olduğuda, yalılık bakımıda kedimizi bilimeye tek ölçümöteli durumla sıırlayacağız. Öce, istatistiksel bir savı sıamasıda Neyma- Pearso kuramıı ele alacağız. Bilimeye dağılım iģlevii, tek ölçümöteli x, x, x,..., x ; dağılım iģlevleri ailesii bir üyesi olduğuu varsayıyoruz ve 0 savıı sıamak istiyoruz. Bu durum içi basit bir örek Ģöyle verilebilir: X1, X 2, X3,..., X, bağımsız ayı ortalama ve birim değiģkeli ormal dağılımlı; bir baģka deyiģle,, tek-ölçümöteli

35 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması x1 1 v x 1 v x1, x2, x3,, x; 2 e dv e dv 2 2 dağılım iģlevleri ailesii üyesi olsu, ve 0 savıı sıamak istediğimizi düģüelim. Klasik kurama göre bu savı, d bir sabiti göstermek üzere, acak ve acak eğer, 1 i i 1 x x d ise red ederiz. d sabitii değeri, 0 savıı doğru olduğu varsayımı altıda, x d olma olasılığıı, savı red etmek isteyeceğimiz kadar küçük olacak biçimde seçilir. Bu olasılığı yüzde 5 olmasıı istersek, 1.96 d olmalıdır. Verile örekte, örek uzayı Öklitgil düzlem olacak biçimde, yalızca x1, x 2 gibi iki gözlem almıģ olsaydık, kritik bölge, tüm x x ve x x oktalarıda oluģurdu. Eğer, gözlemlere karģılık gele okta kritik bölgeye düģerse (iki gözlemi aritmetik ortalaması, 1.96 de büyük ya da 1.96 de küçükse) ortalama değeri sıfır olduğu savıı red edeceğiz.

36 14 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie 1 2 x 1 + x 2 = 1.96 x 2 Kritik Bölge x x x 1 Kritik Bölge x x 1 2 x 1 + x 2 = 1.96 Acak klasik kuram, ede bu kritik bölgei kullaılacağıı belirtmemektedir. Sav doğruysa, yalızca gözlem oktasıı kritik bölgeye düģme olasılığıı yüzde beģ olduğuu kaıtlar. Acak, ayı özellikte sosuz çoklukta bölge varke, yukarıda sözü edile bölgei ede seçilmesi gerekeceğie iliģki olarak klasik kuram her hagi bir açıklamada bulumaz. ÇeĢitli kritik bölgeler arasıda bir ayrıģtırma içi, Neyma ve Pearso Ģu düģücelerle ilerliyor. Bir savı kabul ya da red edilmeside, iki tür hataya düģebiliriz: (1) doğru olduğu halde savı red etmek(i. tür hata); (2) yalıģ olduğu halde kabul etmek(ii. tür hata). Bilimeye ölçümöte ı belirli bir 0 gibi değeri olduğuu öe sürme durumu aģağıdaki gibi özetleebilir:

37 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması 15 0 savıa iliģki yargıı Doğruluğu ya da YalıĢlığı Gerçek Durum 0 Kabul Edile 0 0 Doğru I tür hata 0 II tür hata Doğru Kritik bölgei büyüklüğü dediğide, savı doğru olduğu varsayımı altıda hesaplaa, gözlemlere iliģki oktaı kritik bölgeye düģme olasılığı alaģılır. (Bua göre, daha öce kullaıla örekte, kritik bölgei büyüklüğü yüzde beģti.) Bu, kritik bölgei büyüklüğü, I. tür hata iģleme olasılığıa eģittir diye ifade edilebilir. Neyma ve Pearso kuramıı altıda yata geel düģüce, I. tür hata olasılığıı sabit tutarak, II. tür hatayı e aza idirmektir. Örek uzayıda R, her hagi bir bölgeyi ve E, gözlemlere iliģki oktayı göstermek üzere, O R 1 ile, bilimeye ölçümötesii gerçek değerii 1 olduğu varsayımı altıda hesaplaa E i R içide olma olasılığıı belirteceğiz; yai, Stieltjes R O R ı R bölgeside dx, x,..., x ; tümlevie eģit olduğuu söyleyeceğiz. Böylece, 0 savıı öerir ve kritik bölge olarak R yi seçersek, kritik bölgei

38 16 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie büyüklüğü O R 0 olacaktır. Eğer sav yalıģ ve ı gerçek değeri 1 olur. ise, o zama II. tür hatayı öleme olasılığı, O R 1 II. tür hata iģlememe olasılığı (bir eksi II. tür hata iģleme O R e, 1 olasılığı) 1 deir. savıa göre kritik bölge R i gücü O R, ı bir iģlevidir. Ordiat değerleri, absisi 0 değeride R i büyüklüğü; ve absisi diğer her 1 0 değeride, 1 savıa göre R i gücü ola bir eğri olarak çizilebilir. Bu eğri, R kritik bölgesii güç eğrisi olarak adladırılır. Dağılımı bilimeye ortalamalı ve birim değiģkeli ormal olduğu, ve ( üzere) kritik bölgei x, x, x,..., x leri aritmetik ortalaması x olmak 1.96 x olarak seçildiği öceki örekte, güç eğrisi içi hesaplamalar kolayca yapılabilir ve eğrii biçimi aģağıda gösterildiği gibidir. O R

39 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması x sıamasıı olası diğer sıamalarla karģılaģtırmak içi, yukarıdaki güç eğrisii ayı yüzde 5 büyüklüğüdeki diğer kritik bölgeleri güç eğrileriyle karģılaģtırmalıyız. Geelde, her ikisi de istee büyüklükte R ve R gibi iki kritik bölgemiz varsa ve R güç eğrisi, 1 oktasıda R güç eğrisii yukarısıdaysa, o zama ı gerçek değerii 1 olduğu savıı sıamada R kritik bölgesi, R kritik bölgeside daha iyidir. R yerie R kullaıldığıda, II. tür hata yapma olasılığı daha küçük olurke, I tür hata iģleme olasılığı ayı kalır. Ġki eğrii buluģtuğu 0 oktası dıģıda her değeri içi, R güç eğrisi R güç eğrisii yukarısıdaysa, R, R de tekdüze daha güçlü olarak adladırılır. R kritik bölgesii kullaa sıama, kullaılması her koģulda R i kullaımıda daha az uygu olduğuda, kabul edilemez olarak iteleecektir. Bua açıklık getirmek içi, her biri N tae gözlemde oluģa, M gibi çok büyük bir sayıda öreklem çektiğimizi varsayalım. S ve

40 18 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie S olarak adladırdığımız iki istatistikçi, M tae öreklemi her birii kullaarak ayı savı sıasılar. S sıamalarıı R bölgesie dayadırırke, sıama içi, S i R kritik bölgesii kulladığıı düģüelim. S ve S, (sıaacak sav)yokluk savıı red mi edileceği sorusua M tae yaıt elde edecektir. Bu yaıtları kimi doğru, kimi de yalıģ olacaktır. S ve S ı kayıtlarıı karģılaģtıralım. Yokluk savıı doğru olduğu ve yalıģ olduğu durumları ayırt etmeliyiz. a) Birici durumda, istatistikçileri yaıtı, ya sav kabul edilmelidir doğru yaıt; ya da, sav red edilmelidir I. tür hatalı yaıt. Rasgele oluģturulmuģ bir öreklemle yokluk savıı sıamasıda I. tür hata iģleme olasılığı, sıamada kullaıla kritik bölgei büyüklüğüe eģittir. Eğer M büyükse, I. tür hataları göreli sıklığı, heme heme I. tür hata olasılığıa, yai kritik bölgei büyüklüğüe eģit olacaktır. R ve R ı ayı büyüklükte olduğu varsayımıyla, iki istatistikçi de heme heme ayı sayıda I. tür hataya düģecektir. b) Eğer yokluk savı yalıģsa, istatistikçileri her birii vereceği M yaıtta kimisi ret biçimide doğru, kimisi de II. tür hataya düģerek kabul yöüde olacaktır. Eğer M büyükse, doğru yaıtları göreli sıklığı, yaklaģık olarak II. tür hataya düģmeme olasılığıa, yai kullaıla sıamaı gücüe eģit olacaktır. Varsayıma göre, yalızca 0 olmak üzere ı gerçek değeri e olursa olsu, R ı gücü, R i gücüde büyüktür. Dolayısıyla, S i yalıģ yaıtlarıı göreli sıklığı, S ı yalıģ yaıtlarıı göreli sıklığıda daha büyük olma eğilimide olacaktır. Böylece, ( ı gerçek değerii

41 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması 19 e olduğua bakılmaksızı) yokluk savı yalıģsa, S i daha çok yalıģ yaıt vereceği; yokluk savı doğruysa, S ve S ı yaklaģık eģit sayıda yalıģ yaıt verecekleri bellidir. Buda ötürü, S ı R kritik bölgesii kullaa yötemi, S i R kritik bölgesii kullaa yötemide üstüdür. Birisi diğeride tekdüze daha güçlü, yai güç eğrisi, iki eğrii buluģtuğu 0 oktası dıģıda her değeri içi, diğeriikide yukarıda ola, ayı büyüklükte iki kritik bölge arasıda seçime bu düģüceler karar verir. Öte yada, R güç eğrisi R güç eğrisii kimi değerleri içi üzeride, acak ı diğer değerleri içi altıdaysa, seçimi dayaağı olacak ek ilkeler getirmede iki bölgede birisii seçemeyiz. Eğer tüm değerleri içi, R bölgesii güç eğrisi, ayı büyüklükteki her hagi diğer bir R bölgesii güç eğrisii hiç altıa düģmüyorsa, R ye tekdüze egüçlü bölge ve R ye iliģki sıamaya da tekdüze e güçlü sıama deir. Bir sıamaı seçimide ilk ilke Ģudur: tekdüze e güçlü bir sıama bulabilirsek, ou ayı büyüklükteki bölgeleri kullaa diğer tüm sıamalara yeğleiriz. Ne yazık ki, çoğu durumda tekdüze e güçlü sıama bulumaz. 13. sayfada verdiğimiz örekte, 1.64 x eģitsizliğiyle belirlee R bölgesii ele alalım. (daha öce ele alıa R bölgesi

42 20 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie gibi) R bölgesie iliģki büyüklüğü 0.05 olduğu kolayca gösterilebilir. AĢağıda R ve R güç eğrileri görülüyor: ˆR R 0 Tüm 0 değerleri içi R ı R de, ve 0 içi de R i R da daha güçlü olduğuu görebiliriz. Böyle durumlarda, seçimi temelledirileceği daha baģka ilkeler koymamız gerekir. Yapacağımız seçimi, ı olası farklı değerlerii gerçekliğie iliģki öcül iacımızı derecesie bağlı olduğu açıktır. Öreği, ı egatif olamayacağıı öcede biliyorsak, R yı yeğleyeceğiz. Dahası, ölçümöte uzayı ı egatif olmaya değerleriyle sıırlaırsa, R ı tekdüze e güçlü olduğu gösterilebilir. Eğer ı egatif ve pozitif değerlerii dek olası olduğuu ögörürsek, R yi R ya daha çok yeğleyeceğiz demektir. Bu örek, kritik bölge seçimii temelde ya bağlı olduğuu gösterir. Eğer, ı tüm egatif olmaya değerleride oluģuyorsa, o zama R bölgesi tekdüze e güçlü sıamadır. Eğer, ı tüm pozitif olmaya değerleride oluģuyorsa, o zama

43 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması x ile taımlaa ˆR bölgesi tekdüze e iyi bölgedir. So olarak, eğer, ı tüm gerçek değerleride oluģuyorsa, o zama R i kullaılması, R ya da ˆR ı kullaılmasıda daha matıklıdır. Tekdüze e güçlü bölgeler seyrek buluduğuda, Neyma ve Pearso, kritik bölge seçimii dayaacağı, sapmasızlık dee bir baģka ilke daha getirmiģlerdir. Sıamaı güç iģlevii, sıaacak sav 0 olmak üzere, 0 değeride görece bir e küçük değeri varsa, sıama sapmasızdır deir. Bu ilkei usavurumu Ģöyle yapılabilir: Bir sıamaı sapmalı olduğuu varsayalım, o zama, ı 0 komģuluğudaki kimi değerleri içi, sıamaı gücü bölgei büyüklüğüde daha küçük olur. Acak bu, 0 savıı red etme olasılığıı, 1 i doğru olduğu durumdakide 0 ı doğru olduğu durumdakii daha yüksek olduğu alamıa gelir ki, bu istemeye bir durumdur. Geelde, sosuz sapmasız sıama buluur, dolayısıyla aralarıda uygu olaı seçmek içi bir baģka ilkeye daha gereksiimimiz var. Tüm karģı savlara göre, e az ayı büyüklükteki diğer bölgeleri gücüdeki sıamaya tekdüze e güçlü sapmasız sıama diyeceğiz. Eğer tekdüze e güçlü sapmasız bir sıama varsa ve sapmasızlık ilkesii kabul edersek, bu sıamaı kullaılabilecek e kazaçlı sıama olduğu ortadadır.

44 22 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie Neyma ve Pearso, tekdüze e güçlü sapmasız sıamaya iliģki kritik bölgeye, A1 türü kritik bölge adıı vermiģlerdir. Daha öce ele alıa örekte, x d ile verile kritik bölge, söz kousu savı sıamasıda A1 türü kritik bir bölgedir. A1 türü kritik bölgei bir baģka öreği Ģudur: X1, X 2, X3,..., X, birbiride bağımsız, sıfır ortalamalı ve ortak değiģkeli ormal dağılmıģ olsu. O zama, ortak değiģke savıı sıamasıda, örek uzayıı, 2 i sıfıra eģit olduğu 2 2 x... x d 1 1 ya da 2 2 x... x d 1 2 eģitsizlikleride e az birisii sağlaya tüm oktalarıda oluģa kritik bölge, eğer d 1 ve d 2 değiģmezleri uygu seçilirse, A1 türü kritik bir bölgedir. A1 türü kritik bölge, karģılaģılacak durumları öemli acak çok kısıtlı bir sııfıda vardır ve olmadığı pek çok durum buluur. Buda dolayı, Neyma ve Pearso, A türü bölge olarak bilie, üçücü tür bir bölge taımlar. Bir R bölgesii güç iģlevi O içi, R, R ile ayı büyüklükte ve (1) i sağlaya tüm R bölgeleri O R 0 0 (1)

45 II Neyma-Pearso Kuramıa Göre Ġstatistiksel Bir Savı Sıaması 23 2 O 2 R O R ˆ (2) olacak biçimdeyse, A türü bir bölgedir. Birici koģul bölgeyi sapmasız olmakla sıırladırır. Ġkicisi, A türü bir bölgei güç iģlevii, ayı büyüklükteki sapmasız her hagi diğer bir bölgeikide daha büyük bir kıvrılımı olmasıı gerektirir. Kabaca ifade etmek gerekirse bu, 0 komģuluğuda bölgei e güçlü olduğu alamıa gelir. Uygulamadaki çoğu durumda sağlaa çok zayıf koģullar altıda, A türü kritik bir bölge buluur. Acak, ı 0 komģuluğudaki seçeeklerde daha çok, 0 da uzaktakileri güç iģlevi davraıģıyla ilgilediğimiz yoluda, A türü kritik bölgeye bir itirazda buluulabilir. Bua karģılık, göreceğimiz üzere so geliģmeleri ıģığıda, A türü kritik bir bölgei kullaılmasıa iliģki iyi bir gerekçe verilebilir.

46

47 III R.A.Fisher i Tahmi Kuramı [3],[4],[5],[6] Bilimeye ölçümötesii tahmi soruu, belli bir alamda ı iyi ya da e iyi tahmii olabilecek t x,, 1 x gibi bir iģlev bulma soruudur. t x,, 1 x tahmii rassal bir değiģge olduğuda, bilimeye ölçümöteyle çakıģmasıı bekleyemeyiz; acak t x,, 1 x yi, t i bilimeye ölçümötesii değerie olabildiğice yakı olma olasılığıı, olabildiğice büyük tutacak biçimde seçmeye çalıģacağız. Bu iyi ya da e iyi istatistiksel tami içi gerekei biraz üstü kapalı ifadesidir. Bu birkaç farklı yolda daha açık duruma getirilebilir. taımlıyor: Markoff[15:344], öreği, e iyi kavramıı Ģöyle Bir t istatistiği, (gözlemleri her hagi bir iģlevie istatistik diyeceğiz), eğer, (1) t, ı sapmasız bir tahmii, baģka bir deyiģle, ölçümötesii gerçek değerii olduğu varsayımı altıda t i beklee değeri E t olmak üzere, E t,

48 26 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie E t E t ise, (2) tüm (1) i sağlaya t ler içi 2 2 ı e iyi bir tahmidir. t i değiģkesi küçüldükçe, ı yakı bir komģuluğuda olma olasılığı artacağıda, geelde, e iyi tahmi i bu taımı matıklı ve kabul edilebilir görülmektedir. DeğiĢkei küçüklüğü, (Chebyshev eģitsizliğie göre) t i ı yakı bir komģuluğuda olma olasılığıı küçük olmasıı gerektirse de, tersii geellikle doğru olmadığıa iģaret etmek gerekir. Bir t istatistiğii değiģkesi büyük olabilir ve yie de ı yakı bir komģuluğuda olma olasılığı büyük olabilir. Bu, Markoff u taımıa karģıt bir durumdur. Buula birlikte, daha ciddi bir zorluk, Markoff u alayıģıa göre e iyi ola tahmii seyrek olması gerçeğidir. R.A.Fisher i tahmi kuramı, e çok olabilirlik ilkesi üzerie kuruludur. Örek uzayıı ölçülebilir her hagi bir alt kümesi W içi, O ( W ) o x1,..., x; dx W olacak biçimde, örek uzayıda, bir o x,..., ; 1 x olasılık yoğuluğuu buluduğu varsayılır. Birikimli dağılım iģlevi, bir

49 III R.A.Fisher i Tahmi Kuramı 27 ile verilir. x x1 x1 x, x, x,, x ;... P v, v,..., v dv dv... dv, Eçok olabilirlik tahmii x, x,..., x, 1 2 o x,..., ; 1 x i e yüksek olduğu değeri olarak taımlaır. ġimdi X1, X 2, X3,..., X i ayı dağılımlı bağımsız rassal değiģgeler olduğuu varsayalım. Bu, ayı X rassal değiģgeie iliģki x, x, x,..., x birbiride bağımsız tae gözlem değerii olduğu söyleerek de ifade edilebilir. Fisher i tahmi kuramıı temel soucu Ģöyle ifade edilebilir: Eğer, ayı X rassal değiģgeie x, x, x,..., iliģki 1(1) tae bağımsız gözlem x ise ve X i dağılım iģlevi (fazla kısıtlayıcı olmaya ve uygulamada çoğulukla yerie getirile) belli koģulları sağlıyorsa, o zama ˆ, etki bir istatistiktir. Etki istatistik aģağıdaki gibi taımlaır: Eğer, (1) t solu ormal bir dağılımsa, ve ı ere dağılımı sıfır ortalamalı ve değiģkesi (2) er t ve er t

50 28 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie olmak üzere, (1) i sağlaya her hagi diğer bir t 1(1) istatistik dizisii etkiliği, 1(1) ise t dizisi, ı etki tahmiidir. Kabaca söylersek, büyük öreklerde e çok olabilirlik tahmii, ere dağılımı ormal ola istatistikler içide e küçük değiģkeli oladır. Bu karģılaģtırmayı, ere dağılımı ormal ola istatistiklerle sıırladırmak ağır bir sıırladırma gibi görülebilir. Acak, yei varıla souçlar, e çok olabilirlik tahmiii, etkilikte çok daha güçlü bir özelliği olduğuu ve erei ormal dağılımlı olmaya istatistikler içide bile e iyi büyük örek tahmii olarak görülebileceğii göstermiģtir. [ 20] E çok olabilirlik tahmiii tutarlılık ve ere dağılımı soruu H. Hotellig[7] tarafıda ele alımıģ, tam bir ispat J. L. Doob[1] tarafıda verilmiģtir. Bir örek olarak, ortalaması bilimeye birim değiģkeli ormal rassal bir değiģgei tae bağımsız gözlem değerleri x1, x2, x3,..., x olsu. ı eçok olabilirlik tahmiii ˆ 1 i1 x i t x x x x, x1, x2, x3,..., x olduğu kolayca gösterilebilir.,,,..., leri ortacası olsu. t i ere dağılımıı, sıfır

51 III R.A.Fisher i Tahmi Kuramı 29 ortalamalı ve 2 değiģkeli ormal olduğu gösterilebilir. Dolayısı ile, ı tahmii olarak ortacaı etkiliği, dır.

52

53 IV Güve Aralıkları Kuramı Burada gösterildiği biçimiyle tahmi yötemi, okta tahmi olarak da adladırılır. Uygulamada güve aralıkları tahmii çok daha öemlidir. Söylemek istee, E örek uzayıı bir oktası olmak üzere, gözlemleri E ve E gibi iki iģlevii belirlemeli ve ölçümötesii E E, E aralığıda olmasıı tahmi etmeliyiz. Aralık tahmiie iliģki olarak, R.A.Fisher, güve olasılığı ve güve erimleri fikrii ileri sürerke, Neyma klasik olasılık kuramı üzerie kurulu aralık tahmi kuramıı geliģtirdi[8]. Burada, Neyma kuramıı kısa bir özetii vereceğim. Örek seçimide öce, E oktası rassal bir değiģgedir ve, buda dolayı, E ve E iģlevleri de birer rassal değiģgedir. Dolayısıyla, yalızca sabit bir bilimeye olarak görülse de, örek çekimide öce, E< < E (3)

54 32 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie olasılığıda söz edebiliriz. Diyelim ki, belli bir E 0 örek oktasıı elde edildiği örek çekimide sora, yalızca bir sabit ise, E < < E (4) 0 0 olasılığıda söz etmek alamlı değildir. (4) eģitsizliğideki her terim belirlemiģ bir sabittir ve (4) eģitsizliği bu sabitleri belirli değerleri içi doğru ya da yalıģtır. Eğer ı kedisi, öcül olasılık dağılımı olarak adladırıla belli bir olasılık dağılımıa sahip rassal bir değiģge olarak görülebilirse, (4) deki olayı olasılığıda söz edilebilir. Bu durumda, olasılık deyice, (4) ü ardıdaki, E E0 olduğu varsayımı altıda, ardıl dağılım olarak da adladırıla koģullu olasığı alarız. Eğer, ı öcül bir dağılımı varsa ve bu dağılım biliiyorsa, o zama Bayes teoremii kullaarak, ı öcül dağılımıı kolayca bulabiliriz. Acak, uygulamada, öcül dağılımı varlığı varsayımıı geçerli olduğu durumlarla adire karģılaģılır; so varsayımı yapılabildiği bu adir durumlarda bile, öcül olasılık dağılımıı biçimii geellikle bilmeyiz ve bu da Bayes teoremii uygulamasıı olaaksız yapar. Bu edelerle aralık tahmi kuramı, geçerliği öcül bir dağılımı varlığıa bağlı olmayacak biçimde geliģtirilmek zorudadır. Buda ötürü, bu kuramda yalızca (3) teki olasılıkta söz edilecek ve asla (4) teki olasılıkta söz edilmeyecektir.

55 V Güve Aralıkları Kuramı 33 Her hagi bir R iliģkisi içi, ölçümötesii gerçek değerii olduğu varsayımı altıda hesapla R i olasılığıı O R ile göstereceğiz. Eğer, tüm E oktaları içi, E E ve,, güve katsayısı dee belirlemiģ sabit bir olmak üzere, ı tüm değerleri içi, O E E ise, E ve E iģlev ikilisie, ı güve aralığı deir. Güve aralığıı pratik alamı ve öemi Ģudur: Eğer büyük sayıda öreklem çekilir ve her öreklemde, ı E E, E aralığıda olduğu ögörülürse, doğru ögörüleri göreli sıklığı yaklaģık olarak ya eģittir. Geel olarak, sabit bir güve katsayısı ya iliģki sosuz çoklukta güve aralığı buluur, ve buları arasıda seçim içi kimi kurallar koymamız gerekir. Açıktır ki, sabit bir güve katsayısı ya iliģki güve aralığıı olabildiğice dar olmasıı isteriz. gerekir. E dar güve aralığıı tam bir taımıı vermemiz Eğer, O E E ve (a) yı sağlaya her E güve aralığı ve ı tüm ve değerleri içi, E E O E O E

56 34 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie ise E E, E güve aralığıa, güve katsayısı ya karģılık gele e dar güve aralığı deir. Eğer e dar bir güve aralığı varsa, e üstü olduğu görülür. Ne yazık ki, e dar güve aralıkları yalızca olağaüstü durumlarda vardır. Dolayısı ile, seçimi dayaacağı daha baģka kurallar getirmek gerekir. Böyle bir kural, sapmasızlık kuralıdır. vetüm ve Eğer, O E E içi, O E E ise, E değerleri güve aralığıa, güve katsayısı ya karģılık gele sapmasız güve aralığı deir. E Güve katsayısı ya karģılık gele sapmasız bir güve aralığı ve ayı güve katsayılı her hagi bir baģka sapmasız bir güve aralığı E olmak üzere, tüm ve E değerleri içi, E E O E O E ise,, sapmasız e dar güve aralığı olarak adladırılır. Sapmasızlık ilkesii kabul edersek, e dar sapmasız güve aralığı, e elveriģli görüedir. E dar sapmasız güve aralıkları da, karģılaģılabilecek durumları yalızca kısıtlı ama öemli bir sııfıda vardır. E dar sapmasız güve aralığı yoksa, Neyma, sapmasız dar güve aralığı adıı verdiği üçücü tür bir güve aralığıı kullaılmasıı öerir. Tüm değerleri ve güve katsayılı sapmasız tüm E güve aralıkları içi,

57 V Güve Aralıkları Kuramı O E E O E E ise, güve katsayılı sapmasız güve aralığı E, sapmasız dar 2 2 güve aralığı olarak adladırılır. Tek bir bilimeye ölçümöte durumuu tartıģtım. Farklı ölçümöteler durumuda, tek ölçümöte durumuda karģılaģılmaya kimi yei sorular ortaya çıkar. Acak, tek ölçümöte durumu, Fisher, Neyma ve Pearso kuramlarıı temel düģücelerii iyi bir açıklamasıı vermiģ olduğuda, buları tartıģmayacağım.

58

59 V Asimptotik E Güçlü Sıama ve Asimptotik E Dar Güve Aralığı [17],[18],[19],[20] Gördüğümüz üzere, tekdüze e güçlü(sapmasız) bir sıama ve e dar(sapmasız) bir güve aralığı varsa, bir sav sıama ve aralık tahmii soruuu yeterli bir çözümüü bular sağlar. Ne yazık ki, yalızca karģılaģılabilecek durumları kısıtlı bir sııfıda buluurlar. Buları yerie, sırasıyla A türü kritik bölge ve dar güve aralığıı kullaılması öerilmiģtir. Sıaacak 0 değerii, ya yakı değerleride çok da uzak değerleride güç iģlevii davraıģıyla daha çok ilgilediğimizde, A türü kritik bölgei uyguluğu oldukça kuģkuludur. Bezer karģı çıkıģ dar güve aralığıa da yapılabilir. Acak, so araģtırmalar, durumu ilk bakıģta görüldüğüde çok daha elveriģli olduğuu göstermiģtir. Asimptotik olarak tekdüze e güçlü sapmasız sıamalar ve asimptotik olarak e dar sapmasız güve aralıkları heme heme her zama buluduğuda, tekdüze e güçlü sapmasız sıamaları ve e dar sapmasız güve aralıklarıı

60 38 İstatistiksel Çıkarım İlkeleri Üzerie bulumamasıda kayaklaa zorlukları, örek büyüklüğüü artmasıyla giderek azaldığı gösterilmiģtir. x1, x2, x3,..., x gözlem değerlerii, dağılım iģlevi tek bir bilimeye ölçümötesii içere ayı X rassal değiģgei üzerie tae bağımsız gözlem değeri olduğuu varsayacağız. X i olasılık yoğuluk iģlevi de, diyelim ki, x, olsu. TartıĢmamızda, gözlemleri sayısı sabit tutulmayacağıda, örek uzayıı boyutuu uygu alt-simgelemeyle belirteceğiz. Öreği, -boyutlu örek uzayıda kritik bir bölge, alt-simgelemi ola büyük bir harfle gösterilecektir. -boyutlu örek uzayı oktası simgeleecektir. E ve gözleme dayalı güve aralığı E ile Her hagi bir U bölgesi içi GU, O U ı e büyük alt sıırıı(e.b.a.s.); her hagi LU, T de, O U PT sıırıı(e.k.ü.s.) göstersi. U ve T bölge ikilisi içi ı e küçük üst Eğer O W 0 ise ve 0 bölge dizisi içi, er LZ W dizisie, 0 O Z sydb, 0 ola her Z 1(1) ise, 1(1) W bölge savıı, alamlılık düzeyide, asimptotik e güçlü sıaması deir.