DAİRESEL DELİKLİ DİKDÖRTGEN LEVHANIN H-TİPİ SONLU ELEMANLAR İLE UYARLAMALI ANALİZİ

Transkript

1 Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. J. F. Eg. Ar. Gzi Uiv. Cilt 22, No, 39-46, 27 Vol 22, No, 39-46, 27 DAİRESEL DELİKLİ DİKDÖRGEN LEVHANIN H-İPİ SONLU ELEMANLAR İLE UYARLAMALI ANALİZİ Bdır ALYAVUZ İşt Müedisliği Bölümü, Müedislik Mimrlık Fkültesi, Gzi Üiversitesi, 657, Mltepe, Akr (Geliş/Reeived: 8..25; Kbul/Aepted: ) ÖZE H-tipi elemlr kullılrk diresel bir boşluk içere levlrı gerilme lizi uyrlmlı solu elemlr metoduyl MALAB ortmıd yzıl bir progrml ypılmıştır. Yük etkisideki levı uyrlmlı solu elemlrl itertif çözümüde iki tip yklşım kullılmıştır. Bulrd ilkide sisteme it bşlgıç çözüm ğı teşkil edilip gerilme lizi yptıkt sor, Ziekiewiz ve Zu trfıd oluşturulmuş ol ızlı ykısy ym düzeltmesi (HYD) kullılmkt ve solu elemlr çözümüde elde edile gerilmeler iyileştirilmektedir. İkii yklşımd, seçile bir gerilme bileşeii komşu oktlr rsıdki değişimii dikkte lrk solu elemlr ğı sıklştırılmktdır. Solu elemlr çözüm ğıı oluşturulmsıd Deluy kriteri kullılmıştır. HYD iyileştirmesi kullrk optimum syıd solu eleml uyrlmlı liz ypılmıştır. İkii yötemde elde edile üçge elem syısı birii yötemdekie göre yklşık yüzde 5 d fzl olmktdır. Atr Kelimeler: H-tipi solu elemlr, uyrlmlı çözüm, HYD. H-VERSION ADAPIVE FINIE ELEMEN ANALYSIS OF PLAE WIH CIRCULAR HOLE ABSRAC Stress lysis of retgulr pltes wit irulr ole is rried out by progrm writte i MALAB eviromet d itertive -versio dptive fiite elemet metod. wo differet pproes were used i te dptive solutio of loded plte. I te first oe, stress lultio ws mde usig iitil ourse mes d superoverget pt reovery teique (SPR) proposed by Ziekiewiz ve Zu ws employed to refie te stress vlues. I seod ppro, fiite elemet mes ws refied osiderig te vritio of ose stress ompoet betwee djet odes. rigulr mes ws obtied usig Deluy riterio. Adptive lyses were rried out usig SPR teique wit optimum umber of fiite elemets. Number of trigulr elemets obtied from seod ppro ws bout 5 peret greter t te umber of elemets i te first ppro. Keywords: H-versio fiite elemets, dptive solutio, SPR.. GİRİŞ (INRODUCION) Solu elemlr metodu souçlrıı tutrlılığı, müedislik problemlerii liz süreideki e öemli fktördür. utrlılık kvrmı, problemi kesi souçlrı ile espl yklşık souçlrıı rsıdki frkı yi kesi tı z olduğu durum krşılık gelir. Çözümde oluş t, solu elemlr metodu çözüm ğıı problem sıırlrıyl tm olrk örtüşmemesi, eterpolsyo, itegrlleri syısl olrk esplmsı ve oluş deklem tkımıı çözümüdeki yklşıklıkt dolyıdır ve bu tlrı zltmk elimizdedir. Litertürde uyrlmlı liz yötemleri olrk dldırıl -, p-, r- ve -p-tipi solu elemlrl stdrt solu elemlr çözümüde elde edile souçlrı tutrlılığı rtırılmy çlışılır. p-tipi uyrlmlı solu elemlrd, kullıl şekil foksiyouu dereesi (p) rtırılır []. Şekil foksiyolrı değiştirilmede elem syısıı () değiştirerek d fzl serbestlik syısı elde edile yötem -tipi uyrlmlı solu elemlrdır. Burd elem formülsyou yı klır. Şekil foksiyolrıı dereesii ve çözüm ğıdki elem syısıı değiştirmede vr ol çözüm ğıı reket ettirerek bzı bölgelerde d küçük solu elemlr

2 B. Alyvuz Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi oluşturmyı edefleye yötem r-tipi uyrlmlı solu elemlrdır [2]. -tipi ve p-tipi solu elemlrı birlikte kullıldığı krm yötem ise -p-tipi uyrlmlı solu elemlrdır [3]. Solu elemlrd ypılk uyrlmı bölgesel vey geel olmsı söz kousudur. Böylee omoje ve omoje olmy uyrlmlı solu elemlr lizleri olmk üzere iki grup oluşur. Homoje uyrlmlı lizlerde, çözüm ğıdki solu elemlrı poliom şekil foksiyolrıı mertebesi vey boyutu, beklee doğruluk dereesi elde edilee kdr problem sıırlrı içerisideki bütü solu elemlrd rtırılır. Bu yötem, çok syıd deklem içere bir sistem orty çıkrmkt ve bu deklem tkımıı çözümü içi büyük bilgisyr fızsı ve zm itiyç duyulmktdır [4]. Bilgisyr fızsıı ve zmı etkili ve ekoomik kullmyı sğly omoje olmy uyrlmlı liz yötemleride poliom şekil foksiyolrıı mertebesi vey solu elem syısı sdee yüksek mertebede t içere elemlrı oluştuğu bölgelerde rtırılır. Uyrlmlı liz içi gereke usur, bşlgıç (ilk) çözüm ğıdki düğüm oktlrıı koorditlrıı, elem yerleşimlerii ve syısıı e kdr değiştireeğimizi bize söyleyeek bir göstergedir Bzı yklşımlr göre, solu elemlrı frklı yölerdeki boyut değişimleri bir metrik tsör ile tımlır vey solu elemlrı iç çı, l ve yükseklik gibi geometrik özelliklerii optimizsyou kullılrk çözüm ğı yeileir [5-7]. Bulrı geel özelliği solu elemlr çözümüde elde edile deplsm vey gerilme değerlerii uyrlm süreide kullılmmsıdır. Diğer bir yklşıms t kotrolü ypmktır. Bu kotrolü ypbilmek içi çözümdeki tlrı belirlemesi, çoğu zm tmi edilmesi gerekir. Ekseriyetle kullıl t tmi metotlrı, residüel metotlr (rtık değer metotlrı) ve düzeltme metotlrıdır. Artık değer t tmii ilk olrk Bbusk ve Reiboldt [8] trfıd sekseli yıllrı bşıd verilmiştir. Burd t tmiide, problemi yöetii difersiyel deklemide bulu rtık değer kullılır. Solu elemlr metodu yklşık bir yötem olduğu içi yöetii deklemi sğlyk souçlr er zm elde edilemez ve rtık bir değer orty çıkr. Problemi yöetii difersiyel deklemii Lu+f= olrk lk olursk, Lu +f=r solu elemlr metodu içi geçerli olk difersiyel deklem olur. Residüel tipi t tmiide t, R rtık değeri iside yzılır. Düzeltme metotlrıdys, stdrt solu elemlr çözümüde bulu souçlrı kullımıyl elde edileek ve kesi souçlr d ykı değerleri bulumsı mçlır [9-]. Bu tür t tmiide etkili souçlr elde edebile bir yötem Ziekiewiz ve Zu [2,3] trfıd oluşturul gerilmeleri iyileştirilmesi tekiğidir. Hızlı ykısy ym düzeltmesi (HYD) olrk dldırıl yötemde t düzeltilmiş gerilme ile solu elemlr çözümü rsıdki frk olrk lımktdır. Bölüm 2. de bu yötemle ypıl t tmii yrıtılrıyl çıklmktdır. Yötemi mtemtik isptı [4] de bulubilir. Uyrlmlı olmy solu elemlr yzılımlrıd -tipi elemlr ile bölgesel sıklştırm kullıı trfıd geometrik süreksizlikleri görüldüğü bölgelerde ypılmktdır. Bu süreksizlikler problem sıırlrıı eğimideki süreksizlikler vey iç bölgelerdeki boşluklrdır. Alizi yp kullıı görsel olrk vey komut stırıd sıklştırm bölgelerii ve kullılk sıklştırm lgoritmsıı belirterek -tipi bölgesel sıklştırmyı sürekli ortm uygulr [5]. Ark rky ypğı lizler souud, bir öeki dımd yptığı lizde elde ettiği souçlrl ol göreli değişimi ieler. Bu liz bütüüyle kullıı terübesie dymktdır [6]. Bu çlışmd kullıı terübesie ve müdlesie itiyç duymy ve -tipi uyrlmlı solu elemlr metodu kull bir bilgisyr yzılımı oluşturulmsı mçlmıştır. Kullııı problem geometrisii ve mlzeme özelliklerii belirlemeside sor ilk çözüm ğıı oluşumu, uyrlmlı lizi ypılmsı ve yei çözüm ğıı oluşturulmsı ile problem çözümüü grfik gösterimie kdr ol ve kullıı müdlesie gerek duymy işlemler otomtik olrk tımlmktdır. -tipi solu elemlr, vr ol solu elemlr kodu üzeride bir değişiklik ypm itiyı duymd uyrlmı ekleebilmesi edeiyle teri edilmiştir. Stdrt solu elemlr kodumuzu üzerie böylesi bir ekleme ypmk içi gereke temel öğe ise güveilir bir t göstergesidir. MALAB ortmıd ypıl uyrlmlı solu elemlr progrmıd, çözüm sorsı tekiği ol ızlı ykısy ym düzeltmesi tekiği kullılmkt ve bulu değer yklşık bir t prmetresi oluşturulmsıd kullılmktdır. Bu mklei ilerleye kısımlrıd, Bölüm 2 de t prmetresii oluşturulmsı içi gereke formülsyolr Ziekiewiz ve Zu çerçeveside gözde geçirilmektedir. Solu elemlr ğıı sıklştırılmsı Bölüm 3 de ve diresel delikli lev içi ypıl syısl liz öreği Bölüm 4 de verilmektedir. Bölüm 5 te ise lgoritmı frklı delik tipleri içi çlışmsı test edilmektedir. So olrk elde edile souçlr yorumlmktdır. 2. UYARLAMALI SE ANALİZİ (ADAPIVE FE ANALYSIS) Eşitliklerde kullıl klı büyük rfler mtrisleri, klı küçük rfler ise vektörleri temsil etmektedir. ={ 2 3 } ve b={b b 2 b 3 } iki vektör ise, bulrı skler ve diydik çrpımı sırsıyl b = ibi () b = ei e j (2) ib j e i ve e j birim vektörlerdir ve tekrr ede idisler üzeride toplm lşımı vrdır. Bu çrpımlr mtris otsyouyl sırsıyl, b = i bi = b + 2b2 + 3b3 (3) 4 Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27

3 Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi B. Alyvuz b = ib j b = 2 b 3b b 2 2b 2 3b 2 b3 2b3 3b3 (4) olrk yzılır. Bu şmd sor sdee mtris otsyou kullılktır. 2.. HYD: Gerilme İyileştirmesi (SPR: Stress Reovery) Kesi çözümü bilimediği durumlrd souçlrdki t miktrıı tmi edilmesi içi çeşitli yötemler vrdır. Bulrd biri de ızlı ykısy ym düzeltmesi tekiğidir. Ziekiewiz ve Zu [2,3], bu yötemde bir düğüm oktsı etrfıd teşkil edile ve dı ym deile solu elemlr ğı prçsı üzeride yrık e küçük kreler kull bir düzeltme tekiği uygulmışlrdır. Burd elemd espl gerilmede yol çıkılrk, sürekli bir gerilme lı oluşturulmktdır. Bu gerilmei doğruluğuu d fzl olduğu düşüülerek solu elemlr çözümü içi yklşık bir t değeri esplmıştır. Ziekiewiz ve Zu, yötem içi Eşitlik 5 de verile lieer eliptik problemi kullmışlrdır. Lu = S CSu = f (5) Burd L, u değişkei üzerie etkiye lieer difersiyel opertör, S grdy opertörü, C büye özelliklerii buluduğu elstisite mtrisi ve f yük vektörüdür. u değişkei yer değiştirme olrk lıırs bu problem bir elstisite problemie döüştürülebilir. Şöyle ki, toplm dış kuvveti sıfır olmsı durumud reket deklemi, σ x σ xy + + f x = σ xy σ y + + f y = Eşitlik 6-6b mtris formud, (6) (6b) S σ + f = (7) olrk yzılbilir. Burd S grdy opertörüü elemlrı, S = ve σ düzlem gerilme bileşeleri vektörü ile f kuvvet vektörüdür. Düzlem gerilme durumu içi birim deformsyo yer değiştirme ilişkileri, u v v u ε x =, ε y = ve 2 ε xy = + (8) Bu bğıtılr mtris formud, ε = Su (9) olrk yzılbilir. Burd birim deformsyo vektörü ε={ ε x ε y ε xy } ve yer değiştirme vektörü, u={ u v} dir. Birim deformsyo ile gerilme rsıdki bğıtıyı sğly büye deklemleri, σ σ σ x y xy vey = ε x ε y 66 2ε xy () σ = Cε () Burd C mtrisi elstisite mtrisidir ve yukrıdki liyle iki boyutlu problemler içi geçerlidir. Ktsyılrı değerlerii yzrk şğıdki formu lır. ν E C = ν (2) 2 ν ν 2 Burd E elstisite modülü ve ν Poisso orıdır. Eşitlik 5 de verile eliptik problem Eşitlik 9 ve i 7 de yerie yzılmsıyl elde edilir. Bu difersiyel deklemlerde u değişkei gerçek yer değiştirme değeridir. Solu elemlr metodu ile esplk yklşık yer değiştirme lıı u ile gösterip, düğüm oktlrıdki yer değiştirmeler ile şekil foksiyolrı iside, u = Nu (3) olrk yzbiliriz. Burd şekil foksiyolrı mtrisi, N N2 N3 N = (4) N N2 N2 ve u elem düğümlerideki yer değiştirme değerleridir. Lieer üçge solu elem içi bu şekil foksiyolrı şğıdki gibidir. N N N 2Ae x, y = [ x3 y x y3 2Ae y y3 x + x x3 y] (5b) x, y = [ x y2 x2 y 2Ae y2 y x + x2 x y] (5) ( x, y) = [( x2 y3 x3 y2 ) ( y3 y2 ) x + ( x3 x2 ) y] (5) 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Burd x i ve y i, lt idis ile belirtile düğümü koorditlrı ve A e elem lıdır. Solu elemlr metodud stdrt Glerki yötemi kullılrk düğüm oktlrıdki yer değiştirme değerleri, şğıdki lieer deklem sistemii çözümüyle buluur. K u = f (6) Burd f elem düğümlerie tşı yükleri oluşturduğu vektörü, K ise rijidlik mtrisidir ve lieer üçge solu elem içi, Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27 4

4 B. Alyvuz Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi ( SN) C( SN) K = Aet (7) olrk tımlıdır. Yer değiştirmeleri bulumsıı rdıd, solu elemlr çözümüe it gerilme değerleri Eşitlik 8 ile esplktır. σ = CSu (8) Düzeltme tekiğii mı Eşitlik 8 ile bulu gerilme değeride d doğru ve belirli bir bölgede tımlı sürekli bir gerilme lı, σ, oluşturmktır. Bu gerilme lı, solu elemlr formulsyoud d kulldığımız şekil foksiyolrı ve düğüm gerilmeleri iside Eşitlik 9 dki gibi ifde edilir. σ = Nσ (9) vey σ x ( x, y) = N ( x, y) σ x + N 2( x, y) σ x2 + N3( x, y) σ x3 (2) σ y ( x y) N ( x, y) σ + N 2( x, y) σ + N3( x, y) σ (2b), = y y2 y3 σ xy ( x y) N ( x, y) σ + N 2( x, y) σ + N3( x, y) σ (2), = xy xy2 xy3 Burd σ xi, σ yi ve σ xyi (i=,2,3) üçge solu elemlrı ilgili düğüm oktlrıdki gerilme değerleridir. HYD tekiğide bu düğüm gerilmeleri birer poliom çılımd, σ p de elde edilirler. Bu poliom foksiyolr, solu elemlr formulsyoud kullıl şekil foksiyolrı ile yı dereede olktır. σ σ σ σ { σ } px, σpy σpxy p =, vektörüü bileşeleri, p x = p x (2) p y = p y (2b) p xy = p xy (2) Burd p şekil foksiyolrımız ile yı dereede ol poliom foksiyolrıı terimlerii içere vektördür. İki boyutlu lieer üçge elem kullıldığımız içi p vektörüü bileşeleri, { x y} p = (22) Eşitlik 2-2 de yer l x, y, xy vektörleri poliom çılım içi gereke ktsyı vektörleridir. Bu ktsyı vektörlerii belirlemesi içi ızlı ykısy oktlrd solu elemlr çözümüyle espl gerilmeler ve HYD iyileştirmesi ile bulumk istee gerilmeler rsıdki frklrı krelerii toplmıı miimum ypılmsı presibi kullılmktdır. Bu işlem souud ktsyı vektörlerii bulmk içi gereke eşitlikler elde edilir. x = p σ p x y = p σ p y xy = p σ pxy pp (23) pp (24) pp (25) Şekil. Lieer üçge elemlrı oluşturduğu ym (Pt for lier trigle) ym merkez düğümü (pt eter ode) gerilmeler içi ızlı ykısy oktlr (superoverget poits for stress vlues) Burd ym içeriside bulu ızlı ykısy oktlrı syısıdır (Şekil ). Ktsyı vektörleri, =, ( j x, y, xy) j A b j i= = (26) ( x i, yi ) p ( xi, yi ) A = p (27) j i= ( x i, yi ) σ ( xi, yi ) b = p (28) ve j x i, yi ızlı ykısy oktlrı koorditlrıdır. { σ, σ x σ } y xy σ gerilme bileşeleri ve iyileştirilmiş p =, p p p düğüm gerilme değerleri, j (j=x,y,xy) vektörlerii bileşelerii bulumsı ile elde edilmiş olur. Çözüm dımıd ergi bir elemd oluş t vey bölgesel t değeriyse, e e = σ σ (29) olrk esplmıştır. Burd σ x, σ y ve σ xy HYD tekiği ile düzeltilmiş gerilme değerleri, σ x, σ y ve σ xy stdrt solu elemlr metodud bulu gerilme değerleridir. 3. ELEMAN AĞI VE SIKLAŞIRILMASI (ELEMEN MESH AND REFINEMEN) 3. Üçgeleştirme (rigultio) Üçge çözüm ğı oluşturulmsı öeside gerekli dımlr, sıır ve iç l düğüm oktlrıı oluşturulmsıdır. Geometrik lıı krmşık olmsı ve iç bölgede boşluklrı bulumsı düzeli dğılmış oktlr kümesi ve ğ ypısı oluşumuu kısıtlyıı fktörlerdir. Bu durumd üçgeleştirme içi gereke oktlrı oluşturulmsıd rstgele üretile oktlrd yrrlılbilir. Buu içi problem geometrisi lt bölgelere bölümüş, er bir lt bölgede rstgele bir okt oluşturulmuştur. Bu lt bölgeler geellikle kre olmkt, boyutlrı ise okt yoğuluğu bğlı olmktdır. Geometrik 42 Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27

5 Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi B. Alyvuz b () l içide oluşturduğumuz umrldırılmış oktlr ilk oktd so okty kdr trrk üçge oluşturk üç okt seçimi ypılır. Bu trmd üçge köşelerii oluşturk üç okt içi üç det for dögüsü gerekir. Üçge elemlr birbirlerie girişim ypmyk şekilde oluşmlıdır. Yi elem kerlrı birbirlerii kesmemelidir. Seçile oktlrı oluşturduğu üçge Deluy üçgeiyse bşk bir ifdeyle boş çember kurlı uyuyors kesişim vey girişim ypm olsılığı ortd klkr. Boş çember kurlı göre s i, s j, s k oktlrıı oluşturduğu üçgee it çevre çemberi içide ergi bir düğüm oktsıı bulummsı gereklidir (Şekil 2) [8]. Bu işlem içi de ek olrk bir det for dögüsü gerekmiştir HYD Ht Göstergesi Kullrk Sıklştırm (Refiemet Usig SPR Error Iditor) İtertif çözümlemede bir esp dımıd belirlee t seviyesi elde edilemediği tkdirde, yüksek t değeri ol bölgelerde üçge elemlr silierek d küçük solu elemlr ile çözüm ğı oluşturmk gerekmektedir. Bu bölümde Eşitlik 29 d verile ve elemlrd esplk ol t değerleri kullılktır. Ht değerii şılmsı durumud elem içerisie Deluy oktsı ekleerek yei düğüm oktsı teşkil edileektir [7]. Bu yötemde, yei oluşturulk düğüm oktsıı yeri içi üçge çevre çemberi merkez oktsı ess lımktdır. Yei ekleeek düğüm oktlrı epsi oluşturuldukt sor, çözüm ğı tekrr teşkil edileektir Gerilme Değişimi Kullrk Sıklştırm (Refiemet Usig Stress Cge) d Yei çözüm ğı içi okt oluşumud ikii bir yötem olrk, birbirlerie komşu düğümler rsıdki gerilmeleri değerlerii krşılştırm souud, üçge kerı üzerie okt ekleme kullılmıştır. İki komşu düğüm rsıd gerilme grdyı prmetrik bir değer lie getirilir ve kullııı belirleyeeği değerde fzl olmsı durumud elem kerıd yei bir düğüm oktsı oluşturulur. Bu düğüm oktsı, ker ort oktsı yerleştirilebileeği gibi bir ğırlık foksiyou kullrk frklı mesfelere de yerleştirilebilir. 4. SAYISAL ANALİZLER (NUMERICAL ANALYSIS) b (b) Şekil 2.. Boş çember kurlı uy üçgeleştirme b. Kurl ykırı üçgeleştirme (. rigultio obeyig empty irle rule b. rigultio wi does ot obey te rule) d q b () (b) () Şekil 3.. Lev geometrisi b. Bşlgıç çözüm ğı. Souç çözüm ğı (. Geometry of te plte, b. Iitil mes,. Fil mes) Diresel delikli levy y= ve y=b sıırlrıd, y eksei doğrultusud q düzgü yyılı yükü etkidiği düşüülmüştür (Şekil 3-). Bölüm 3. de verile yötemle oluşturul bşlgıç solu elemlr ğıd delik etrfıd oluş üçge elemlr çok küçük iç çılı üçgeler olrk oluşmktdır. Bu tip elemlr ktılr mekiğide solu elemlr lizi içi isteilmeye elemlrdır. Ak ilerleye itersyolrd bu üçgeler otomtik olrk eşker üçgelere ykı üçgeler ile sıklşktır. Probleme it geometrik sbitler, = 6 m, b = 8 m, r =.5 m dir ve birim geişlik düşüülmüştür. Lev q = N/m çekme etkisi ltıd bulumktdır. HYD tekiği ve gerilme değişimi ile rk rky dört itersyo gerçekleştirilmiştir.bu itersyolr sırsıd oluş bşlgıç üçge elem ğı ve HYD tekiği souud oluş souç üçge elem ğı ile elde edile gerilme grfikleri suulmktdır (Şekil 3 ve 4). 34 olu düğüm içi oluşturul ym içi Eşitlik 24 de verile y ktsyılrı esplmış ve bu ymd geçerli ol bir poliom foksiyo σ p y = P y olrk elde edilmiştir. Bu foksiyo σ p y ( x, y) = + 2 x + 3 y şeklide bir yüzeyi gösterir (Şekil 5). Foksiyo yrdımıyl elem düğümleride vey bşk bir oktsıd gerilmeler HYD tekiği kullılrk esplmış olur. Ark rky ypıl dört itersyo ile birii yötemde 779 üçge eleml, ikii yötemde 55 üçge eleml litik çözüme yklşılmıştır. Bu düğüm oktsı içi oluşturul ym HYD tekiğiyle espl t göstergesie göre ypıl itertif çözüm ile gerilme değişimi itertif çözümü souu elde edile orml gerilmei üçge elem syısıyl değişimi Şekil 6 d suulmktdır. Burd [9] d yer l t tmii yötemiyle çözülmüş bezer bir problem HYD* çözümü olrk görülmektedir. σ x σ y σ xy Şekil 4. HYD tekiği kullrk uyrlmlı solu elemlr lizi gerilme değişimleri (Stresses obtied from results of dptive fiite elemet lysis usig SPR) Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27 43

6 B. Alyvuz Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi σ y ( N/m 2 ) ( x, y) = + 2x + y f 3 y(m) Şekil 5. x,y = 3.5,4 koorditlrıd bulu 34 olu düğüm içi oluşturul ym ve HYD gerilmesi grfiği (Reovery pt d SPR stress grp for te poit x,y = 3.5,4) σy (N/m 2 ) itersyo# itersyo#2 itersyo#3 779 elem 54 elem Üçge solu elem syısı itersyo#4 SE çözümü HYD çözümü Gerilme değişimi çözümü HYD* * çözümü Alitik çözüm Şekil olu düğüm içi orml gerilmei solu elem syısı ile değişimi (Norml stress vritio versus elemet umber for te poit 34) x(m) Ayrı plk içeriside σ y orml gerilmesii delik kerıd itibre mesfe ile değişimii elde etmek mıyl örek bir delikli levı ¼ lük lı modellemiştir. Bu örek içi lı delik geometrisi ile HYD uyrlmlı çözümü ve litik çözümü [2] krşılştırmlı grfikleri ikii ve dördüü itersyolr içi elde edilmiştir (Şekil 7). Bu grfikleri oluşturulmsıd y=4 sıırıd bulu düğümler kullılmıştır. 5. ALGORİMA İÇİN ES (ES FOR HE ALGORIHM) Bu testi mı Bölüm 4 de yer l diresel delikli levd oluşturul bşlgıç üçge elem ğıd bulu çok küçük iç çılı üçgeleri solu elemlr sıklştırmsı âkim olup olmdığıı lmktır. Bu tür elemlr problemi dış sıırlrıdki düğüm oktsı rlığıı, delik sıırlrıdki oktlrı rlığıd çok fzl olmsıd kyklır. Bu edele, e bsit geometriye sip boşluk ol üçge ve dörtge boşluklr oluşturulrk, boşluk sıırlrıd bşlgıç okt üretimide e z syıd sıır düğümü elde edilmiş ve okt rlıklrı birbirlerie ykı olmuştur (Şekil 8). Elde edile çözüm ğıd içbir çok küçük iç 35 3 Solu Elemlr Alitik Çözüm Solu Elemlr Alitik Çözüm σ y (N/m 2 ) σ y (N/m 2 ) 2 5 r =.m Şekil 7. y=4 sıırıdki fiite elemet meses) 5 ikii itersyo 2 3 x(m) x (m) 5 dördüü itersyo x x(m) σ y orml gerilmesii değişimi ve çözüm ğlrı (σ y orml stress vritio t y=4 boudry d 44 Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27

7 Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi B. Alyvuz souud HYD tekiğide 779, gerilme değişim lgoritmsıd ise 54 üçge elem ile sou yklşmıştır. Üretile solu elemlr gerilme değişim lgoritmsıd HYD tekiğie göre yklşık %5 d fzl syıd olmuştur. Her iki yötem de itersyo zmlrı çısıd yklşık olrk yı sürede çlışmktdır. Bu çıd d bkıldığıd eşit sürelerde d z üçge elem üretebile HYD tekiği d vtjlı görülmektedir. Çok d fzl serbestlik dereesie sip problemlerde elde edileek deklem tkımı syısıı e z seviyede olmsı çözüm içi gerekeek bilgisyr fızsı problemii de zltktır. () (b) () Şekil 8. est örekleri:. Bşlgıç elem ğı, b. Souç elem ğı,. Deformsyolr (est exmples:. Iitil mes, b. Fil mes,. Deformtios) çılı iğe olrk tbir edile elem bulummktdır. Ypıl itersyolr souud uygul yük ve boşluklr dikkte lıdığıd bekleile elem sıklştırmsı lgoritm trfıd bşrıyl gerçekleştirilmiştir. 6. SONUÇLAR (RESULS) H-tipi solu elemlr ile itertif çözümle ypılmış ve yötem kkıd gerekli bilgiler suulmuştur. İtertif çözümleme ypmk içi iki yrı yötem seçilmiştir. Bu yötemlerde biriiside HYD tekiği kullılrk tlrı kotrolü ile birlikte yüksek tlı elemlr Deluy oktsı ekleme suretiyle çözüm ğı yeilemiştir. Seçile bir okt etrfıd oluşturul ym üzeride geçerli ol HYD tekiğii kullılmsı ile solu elemlr çözümüde gerçek değere d ykı souçlr elde edilmektedir. Geellikle elde bulumy kesi çözümü yerie gerçeğe solu elemlr çözümüde d ykı ol HYD gerilme değerleri kullılrk tlr esplmıştır. İkii yötemde ise t kotrolü ypılmksızı düğümler rsı gerilme değişimleri kotrol edilerek yei çözüm ğı oluşturulmuştur. Bu yötemde sisteme ekleeek yei düğüm oktlrı üçge solu elemlrı kerlrı üzeride bulumktdır. HYD tekiği lieer üçge solu elemd bşrıyl kullılmıştır. Bu yötem syeside sdee geometrik sıır bilgilerii bilgisyr verilmesiyle otomtik olrk çözüm ypılbilmektedir. Ypısl düzesiz üçge elemlr ğı kullımı ile sıklştırm d z syıd üçge eleml gerçekleşmiştir. Ypıl krşılştırm souud HYD tekiği ile itertif çözümü, gerileme değişimi lgoritmsı göre d z syıd üçge elem kulldığı görülmüştür. 77 det üçge solu elem ile bşly itersyolr dördüü itersyou İlk bkışt, oluşturul bşlgıç çözüm ğıd bulu çok küçük çılı üçge elemlrı itersyolrı etkileyeeği ve eşker üçgelerde çok uzk ol bu elemlrdki t seviyesii yüksek olmsıı elem geometriside kyklbileeği düşüülmüştür. Ak dördüü bölümde yer l ve bütüüyle eşker solu elemlr ykı elemlrd oluş test geometrileri souud boşluklr etrfıd sıklşm gerçekleşmiş ve sıklşmd üçge elemlrı çok küçük çılı vey eşker üçgee ykı olmsıı etkisii olmdığı souu vrılmıştır. Burd yüklü levd bulu geometrik süreksizlikler rol oymktdır. Uyrlmlı ol çözümleri mtığıd d z syıd solu eleml doğru sou ulşm isteği bulumktdır. Bu d HYD tekiği ile elde edilebilmektedir. Verile lgoritmlr ile içeriside isteile şekilde ve syıd boşluk içere yüklü levlrı gerilme lizleri kullııı geometrik süreksizlikleri belirlemesie gerek klmksızı gerçekleştirilebilmektedir. KAYNAKLAR (REFERENCES). Bsu, P.P., Peo, A., Adptivity i p-versio Fiite Elemet Alysis, Jourl of Struturl Egieerig, Cilt 9, , Bker,.J., Mes Adpttio Strtegies for Problems i Fluid Dymis, Fiite Elemets i Alysis d Desig, Cilt 25, , Ziekiewiz, O.C., Zu, J.Z., Gog, N.G., Effetive d Prtil p Adptive Alysis Proedure for te Fiite Elemet Metod, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 28, , Crevli, P., Morris, R.B., suji, Y., ylor, G., New Bsis Futios d Computtiol Proedures for p-versio Fiite Elemet Alysis, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 36, , Berger, M.J., Jmeso, A., Automti Adptive Grid Refiemet for Euler Equtios, AIAA J., Cilt 23, , Rivr, M.C., A 3-D Refiemet Algoritm Suitble for Adptive d Multi-Grid eiques, Commu. Appl. Numer. Met., Cilt 8, 28-29, Borouki, H., Frey, P.J., Adptive rigulr- Qudrilterl Mes Geertio, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 4, , 998. Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27 45

8 B. Alyvuz Diresel Delikli Dikdörtge Levı H-ipi Solu Elemlr ile Uyrmlı Alizi 8. Bbusk, I., Reiboldt, W.C., A Posteriori Error Estimtes of te Fiite Elemet Metod, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 2, , Hito, E., Cmpbell, J.S., Lol d Globl Smootig of Disotiuous Fiite Elemet Futios Usig Lest Squres Metod, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 8, 46-48, Ziekiewiz, O.C., Zu, J.Z., A Simple Error Estimtor d Adptive Proedure for Prtil Egieerig Alysis, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 24, , Grosse, I.R., Ktrgdd, P., Beoit, J., A Adptive Aury-Bsed Posteriori Error Estimtor, Fiite Elemets i Alysis d Desig, Cilt 2, 75-9, Ziekiewiz, O.C., Zu, J.Z., e Superoverget Pt Reovery d Posteriori Error Estimte. Prt. e Reovery eique, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 33, , Ziekiewiz, O.C., Zu, J.Z., e Superoverget Pt Reovery d Posteriori Error Estimte. Prt 2. Error Estimtes d Adptivity, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 33, , Zu, Q., Zo, Q., SPR eique d Fiite Elemet Corretio, Numer. Mt., Cilt 96, 85-96, ANSYS Olie Help, SAS IP, Pulio, G.H., Meezes, I.F.M., Cvlte Neto, J.B., Mrt, L.F., A Metodology for Adptive Fiite Elemet Alysis: owrds Itegrted Computtiol Eviromet, Computtiol Meis, Cilt 23, , Frey, W.H., Seletive Refiemet: A New Strtegy for Automti Node Plemet i Grded rigulr Meses, It. J. Numer. Met. Egg., Cilt 24, , Ber, M., Plssm, P., Mes Geertio, Hdbook of Computtiol Geometry, Sk J.R., Urruti J. (editors), Nort Holld, , Wiberg, N.-E., Abdulwb, F., Error Estimtio wit Postproessed Fiite Elemet Solutios, Computers d Strutures, Cilt 64, 3-37, imoseko, S.P., Goodier, J.N., eory of Elstiity, MGrw-Hill, New York, Gzi Üiv. Mü. Mim. Fk. Der. Cilt 22, No, 27