tanımlayarak çözüm adımlarını önce özetle, sonra bazılarını ayrıntılarıyla verelim:

Transkript

1 DOĞRUSA ZAMAA DEĞİŞMEZ SİSTEMERDE DİFERASİYE DEKEMER olmk üzr, girişx çıkış ilişkisi M M K & bm x bm x K b x& b x gibi mrbdn doğrusl bir difrnsil dnklml vriliors sism mrbdn doğrusl bir sismdir Eğr,,, ; b, b,, b M ksılrının psi zmn gr sbis, ni dnklm sbi ksılıs sism mrbdn doğrusl zmnl dğişmz DZD bir sismdir Bu ksılrın birisi bil sdlşirilmz bir şkild zmn bğlıs doğrusl zmnl dğişn bir sismdir Anck r doğrusl v r DZD sism bl ifd dilmbilir Girişki üksk frkns gürülüsünün çıkış rn bir ornd ki mmsi için M olmsı rci dilir H M n kdr küçüks çıkışki üksk frkns gürülüsü ornsl olrk o kdr küçük olur Vriln bir giriş sinlin krşılık çıkış sinlinin bulunbilmsi için d şr iiç vrdır Gnllikl bu şrlr gibi bir bşlngıç nındki, &,, dğrlri il vrilir, ki bunlr bşlngıç şrlrı, bl problmlr d bşlngıç dğr problmi dnir Çzüm Adımlrı Dnklmin sğ rfını M M f bm x bm x K b x& b x nımlrk çzüm dımlrını nc zl, sonr bzılrını rınılrıl vrlim: f rin sıfır, rin zılrk omojn çzüm bulunur Bu çzüm nüz blirlnmmiş d sbi bğlı olrk zılır Dnklmdki f dikk lınrk, içbir omojn çzüm bilşni içrmn zl çzüm bulunur Bu çzümdki büün sbilr bu şmd blirlnir biçimind oplm çzüm zılır Burdki d sbi, bşlngıç şrlrı kullnılrk blirlnir Eğr f prçlı nımlıs, r nım rlığı için: dımd, sbilr için frklı smbollr kullnılrk nı biçimli olrk zılır dımd f nin lnızc dğişn bilşnlrin krşılık gln zl çzüm bilşnlri nidn bulunur Dğişmn bilşnlr krşılık gln zl çzüm bilşnlri nı klır dımın d krrlnmsı grkir; nck r rlık için rı rı bşlngıç şrlrı vrilmz Vriln şrlr sdc gçrli olduğu zmn rlığınd kullnılrk bulunn çzümdn, komşu rlığın bşlngıç v son dğrlrin gçiş pılır v bunlr o rlık kullnılır f gçiş nınd kin bir drb içrmiors gçiş nınd,, sıçrm pmz

2 Homojn çzüm K & λ omojn dnklminin çzümünün, biçimind bilşni olduğunu vrsrk bu çzümü omojn dnklmd rin zlım Bu bilşnin r ürvini lış bir λ çrpnı glcği için: λ sdlşirilirs: λ λ λ K λ λ λ λ λ K λ λ Bu dnklm, difrnsil dnklmin d sismin krkrisik dnklmi dnir λ, λ,, λ kklrinin r birin is difrnsil dnklmin d sismin zdğri ignvlu, d krkrisik kkü dnir Hr bir zdğr için bir omojn çzüm bilşni bulunmsı mümkün olduğu için omojn çzümün gnl ifdsi, çkışık zdğr oks üm zdğrlr birbirindn frklıs şl olur: Eğr çkışık zdğr vrs, mslâ krşılık gln omojn çzüm kısmı A k λ λ A A K λ k, m-klı bir zdğr k λk λk m λ K is bunlr m A A A λ k λ k m λ k A K k K Ak m k k k m olur İsnirs bu bilşnlrdki lrin psinin rin mslâ gibi kmlı bir ifd d zılbilir; bu sdc ksılrın frklı olmsını grkirir, ki nüz blirlnmmiş ksılrın bun gr blirlnmsi sorun şkil mz Bl kmlı ifdlr bzn sp v orum kollığı sğlbilir 6 Örnk: 7 6 6& omojn dnklminin çzüm ifdsini bulunuz 6 Çzüm: λ λ 7λ 6λ 6λ krkrisik dnklmindn zdğrlr λ λ, λ, λ λ λ6 bulunur Bun gr A A A A A A o: A A A6 A A A Eğr λk, k σ m jω gibi şlnik çiflr lind krmşık zdğrlr vrs, bunlr krşılık gln omojn çzüm bilşnlri, çkışık zdğr dğilslr B σ sin ω C 6 σ cosω biçimind d zılbilir Arıc bu zdğrlrin çkışmsı d vrs in bunun d nin ugun kuvvlril çrpılmış biçimlri d glir λ k

3 Örnk: & 7 & omojn dnklminin çzüm ifdsini bulunuz Çzüm: λ λ 7λ krkrisik dnklmindn zdğrlr λ, λ m bulunur Çkışık kk olmdığı için: A A cos A sin olur Örnk: 8& 8 omojn dnklminin çzüm ifdsini bulunuz &, j Çzüm: λ 8λ 8 krkrisik dnklmindn zdğrlr λ λ j, λ λ j bulunur Eşlnik kklrin r biri klı olduğu için: b cos b sin A cos A sin A cos A sin olur Bu iki biçimdn isnn kullnılbilir Özl çzüm Difrnsil dnklmin sğ rfı f bilşnlrin rılır Hr bilşn için rı rı zl çzüm bilşnlri bulunur v psinin oplmı zl çzüm olur Özl çzüm, omojn çzüm rfındn kpsnn rngi bir bilşn içrmmlidir p r gibi bir bilşn için zl çzüm bilşni: p { λ, K, λ } is c p p λ k gibi m-klı bir zdğr şis bu zdğr çkışık dğils m dir f içindki sbi rimlr için p olduğu unuulmmlıdır λ k c olur m Özl çzüm bilşnlrinin ksılrı, bşlngıç şrlrı kullnılmdn blirlnmlidir Bunun için, c ksısı, difrnsil dnklmd rin v f rin lnızc ilgili bilşni bulunur Bu ol, r p zılrk p { λ, K, λ } is c p p K p r biçimind krkrisik dnklmd λ rin p kullnıln kıs bir l glir p in bir zdğr şi olmsı durumund bu kıs ol gçrsizdir Tüm bilşnlr için zl çzüm bilşnlri bulundukn sonr bunlrın oplmı lınrk zl çzüm bulunur: K Özl çzüm bilşnlrind d isnirs rin mslâ gibi kmlı bir ifd d zılbilir; bu sdc ksılrın frklı olmsını grkirir, ki nüz blirlnmmiş ksılrın bun gr blirlnmsi sorun şkil mz Bl kmlı ifdlr bzn sp v orum kollığı sğlbilir

4 Örnk: & & 6 x sisminin çıkışını, x u girişi v, & bşlngıç şrlrı için bulunuz Çzüm: λ λ 6 λ, λ < için x olduğundn, < A A Dnklmin sğ rfınd drb olmdığı için A A Türv is & A A olduğundn, & & A A Burdn A A ni bulunur için omojn çzüm frklı ksılrl nı biçimli olur: B B için f x v {, } olduğundn c bulunur Dolısıl v 6 c Burd B B B B Türv is & B B olduğundn, & B B B, B Sonuç üm zmnlrın çzümü: < is is d kısc u o: Eğr < için f is ni f K u biçimind zılbilior v dki, &,, bşlngıç dğrlrinin psi sıfır is < için olcğı zn bllidir Bu üzdn bl bir durumd lnız için u kork bulunn çzümü u il çrprk üm zmnlrın çzümü ld dilir Örnk: & x sisminin çıkışını, x u u girişi v, & bşlngıç şrlrı için bulunuz Çzüm: λ λ m j için omojn çzüm: Acos Bsin, için dnklmin sğ rfı x olup üsl bilşnlrin üs ksılrındn m { λ, λ } m d { λ, λ } olduğu için zl çzüm bilşnlri: için c olup c v

5 için c c olup c bulunur Yni için oplm çzüm: Acos B sin Bşlngıç dğrlri il: A & B A 7, B Son noki şrlrdn sğlndığı için üm zmnlr için çzüm: 7 cos sin u Grüldüğü gibi bzn çzümü gr zmk, m ksılrın kol bulunmsını, m d sonucun d ii orumlnmsını sğlmkdır Örnk: & & x sisminin çıkışını, x u u girişi v, & bşlngıç şrlrı için bulunuz Çzüm: λ λ λ, λ < için x olduğundn, < A A Dnklmin sğ rfınd drb olmdığı için A A Türv is & A A olduğundn, & & A A Burdn A, A bulunur Yni < < B B Sğ rf is f 6 6 bulunduğu için c çünkü { λ, λ} &, & & Bunlr difrnsil dnklmd lnız ilgili bilşn için rin konurs: c 6 c Toplm çzüm is B B Türvi is & B B Bşlngıç şrlrındn: B B & B B B, B K K Sğ rfki 6 rimi dğişmdiği için d nıdır için is λ p k klı zdğrin şi olduğu için zl çzüm bilşni: c olur Türvlri is: & c c v & c K Sdc çrpnı içrmn kısımlr c ksısını bulmmız rdığı için, son ürvd v difrnsil dnklmd rin zrkn

6 çrpnı içrn kısımlrı dirk gçişirbilioruz Bunlrı difrnsil dnklmd sdc ilgili bilşn için rin zrsk: c c K & & Burdn c, ni: K K bulunur K v K sbilrini bulmk için bu zmn blgsind iki şr iiç vrdır Difrnsil dnklmin sğ rfınd gçiş nınd kin bir drb olmdığı için bir ncki zmn rlığı çzümünün son dğrlrini bu blgnin bşlngıç şrlrı olrk kullnbiliriz: 6 K K 6 6 & & K K K v K Gnl çzümü zrsk: 6 < < o: f rigonomrik v üsl çrpnlı rigonomrik bir bilşn içriors bunun üsl sinllr biçimindki ifdsinin üs ksılrı p, α m jβ gibi şlnik çiflr krşılık glir Dolısıl α α f içindki r cos β r sin β bilşnin krşılık, bu ikisindn lnız birisi ols bil, α m jβ λ, K, λ } is zl çzüm bilşni olrk { c cos β c α α sin β zılır Eğr α m jβ, m-klı bir zdğr çifin şis, ukrıdki ifdnin α için bu, zorlnmış rzonns olduğu nlmın glir m il çrpılmışı zılır Örnk: & x sisminin çıkışını, x 6 cos girişi v bşlngıç şrı için splınız Çzüm: λ λ A 6 6 bilşni için, λ olduğundn, c c cos için, m j λ olduğundn, c cos c sin Bu bilşn için difrnsil dnklm 6

7 c c c cos c c c sin cos & kullnılrk c v c c, c bulunur Gnl çzüm: A sin A A sin Örnk Zorlnmış rzonns: & x sisminin çıkışını, x u sin girişi v, & bşlngıç şrlrı için splınız Çzüm: λ λ m, j için Acos B sin Sğdki sin için, m j λ, k klı şlnik zdğr çifin şi olduğundn c cos c sin zl çzümü zılır Bu v ürvi difrnsil dnklmd zılır: & c cos c sin c sin c cos c c cos c c sin K & & c cos c sin K sin Son ürvd v zl çzümün rin zıldığı difrnsil dnklmd çrpnlı kısmın ksı bulunmsın fdsı olmdığı için dirk gçilmişir c v c c v c bulunur Toplm çzüm is: Acos B sin cos Bşlngıç şrlrındn: A & B A, B bulunur 8 Sğ rf u il çrpılmış v, & olduğu için üm zmnlr için: bulunur sin cos u 8 7

8 Burdki çrpnlı bilşn, slınım gnliğinin giikç rmsın ndn olrk prik sismin modlinin gçrli olduğu sınırlrı zorlrk bozulm ndn olur Kprü v cm şlrd ıkım ndn olduğu slnn rzonns, norml rzonns dğil, bu rnkki gibi zorlnmış rzonnsır Slınck, srkç gibi slınd doğrusl olmıp, küçük slınım sınırlrınd klşık doğrusl oln sismlrd d slınım gnliğinin bir r kdr kolc rırılbilmsi için sllm kuvvinin, sismin doğl slınım frknsınd olmsı grkir Mslâ slıncğı bir rfn ikldikn doğl slınım priodu kdr sonr slınck nı rf glck, o nd krr iklninc slınım gnliği kolc rckır İki rfn iklnn slınck d bir rfn ugulnn kuvv rı, diğr rfn ugulnn kuvv ksi olduğu için kuvvin priodu in nıdır Anck sismi doğrusl vrsılbilck sınırlrın dışın çıkrn slınım gnliklrin ulşınc bu gnlik sınırlı l glckir Slıncğı, doğl slınım frknsındn bşk bir frkns kuvvl sllmk dnnirs, gnlik rışının n kdr zor olduğu grülür Difrnsil Dnklmin Sğ Trfınd Drb Vrs Çzüm K & f g rδ biçimind olsun Burd v g, nınd kin bir drb içrmn sonlu bir fonksion olsun r nin is sbi d bğlı olmsı iç frk mz; çünkü bğlı ols d lnızc dki dğri kullnılır Bl bir durumd < v > blglri için rı rı çzüm pılır v bii bu blglrd δ olduğundn bu drb dikk lınmz Anck omojn çzümdn gln ksılrı bulmk için kullnılmsı grkn, < blgsin i, &,, son dğrlr il > blgsin i, &,, bşlngıç dğrlri rsındki gçiş şl pılır: r M Bu kısım için ugulnır is lnızc n üski, ni İsp: Difrnsil dnklmin [ ], r ugulnır rlığınd ingrlini llım: d d K & d d g d r δ Sol rf ilki riç üm ingrllr, sğ rfki ilk ingrl, sonlu büüklüklrin sonsuz küçük zmn rlığınd ingrllri olduğu için sıfırdır Bu zmn rlığınd lnızc sğdki drb v onun doğrudn kildiği sonsuz olup bunlrın ingrllri şilnrk: d 8

9 [ ] [ ] r r bulunur Vrs is d düşük mrbli ürvlrd is sıçrm olmz Sğ rf drbnin d ürvlri olsdı d düşük mrbli ürvlrd d sıçrm pırbilirdi; nck bu konuu burd l lmcğız Sırdki konu bu konunun ugulmsı niliğinddir Sismin Difrnsil Dnklmindn Birim Drb Tpkisinin Bulunmsı ormld x rin δ, v rin zrk difrnsil dnklmi çzüp birim drb pkisini bulbiliriz Anck z ncki konud nlıln kurlı, olmk üzr, girişx çıkış ilişkisi K & b x il vriln ndnsl bir sism ugulrsk birim drb pkisini bulm nmi oldukç bsilşir Çünkü ndnsl DZD sismlrd < olduğu için < blgsind nin büün ürvlri d sıfır olckır Blc > blgsin i bşlngıç şrlrı nı için kolc blirlnbilckir Sonsuz küçük zmn frkını gz rdı drk bşlngıç nını rin lırsk nm şu şkild zlnbilir: rin, sğ rf d sıfır zrk > blgsi için K & difrnsil dnklmi şu bşlngıç şrlrı için çzülür: b M Bu kısım için ugulnır is lnızc n üski, ni b ugulnır Bulunn çzüm u il çrpılrk birim drb pkisinin üm zmnlr için ifdsi ld dilir Dnklm v dolısıl çzümü omojndir Örnk: Şkildki dvrnin birim drb pkisini bulunuz Çzüm: R & x olduğun gr x R 9

10 > & dnklmini R R R bşlngıç şrı için çzmliiz λ λ R R R Tüm zmnlr için ifdsi is: u R A R A R R Örnk: & && 6&& & 6 x il nımlı ndnsl sismin birim drb pkisini bulunuz Çzüm: > & && 6&& & 6 λ 6λ λ 6 λ, λ, λ A A A A A A & A A Sonuç: u A & A A A, A, A A 9 o: Bzn difrnsil dnklmin lnız sğ rfı K & bx gibi zmnd lnmiş biçimli olbilir Bu durumd d nc nlıln bşlngıç şrlrı rin nı için zılır v ksılr bulundukn sonr ifdsi u rin u- il çrpılrk üm zmnlr için gçrli ifd zılır Bu çzümü - gr düznlmk, m ksılrın kol bulunmsını, m d çizim v orum kollığı sğlr Yni > blgsi için K & difrnsil dnklmi şu bşlngıç şrlrı için çzülür: b M Bu kısım için ugulnır Sonr d bu çzüm u- il çrpılrk üm zmnlr için gçrli ifd ld dilir

11 Örnk: & & x il vriln ndnsl sismin birim drb pkisini bulunuz Çzüm: > & λ λ m Sonuç: sin[ ] u Acos Bsin A B A, B, j