ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Seval SÜZÜLMÜŞ FAKTÖR ANALİZİ MODELLERİNİN BELİRLENEBİLİRLİĞİ VE GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLERİN KULLANIMI İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 5

2 ÖZ DOKTORA TEZİ FAKTÖR ANALİZİ MODELLERİNİN BELİRLENEBİLİRLİĞİ VE GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLERİN KULLANIMI Seval SÜZÜLMÜŞ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Danışman: Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Yıl: 5, Sayfa: 45 Jür: Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. H.Altan ÇABUK Prof.Dr. İhsan ÜNVER Doç.Dr. Selahattn KAÇIRANLAR Bu tezde, faktör analz modelnn belrlenmes, boyut ndrgeme anlamında kullanılan temel bleşenler analz ncelenerek faktör analz model le benzerlğ ve farklılığı araştırılmıştır. Faktör analz modelndek arametre tahmnler çn verlen yöntemler (temel bleşenler analz, maksmum lkelhood, ağırlıklandırılmamış en küçük kareler ve genelleştrlmş en küçük kareler yöntem) ncelenmştr. Bu yöntemlerde varyans-kovaryans matrs oztf tanımlıdır. Az sayıda çalışmada genelleştrlmş nvers kullanımına rastlanıldığından, bu nedenle yatığımız çalışmada matrsnn negatf olmayan tanımlı olması durumunda, arametre tahmn çn genelleştrlmş nverslern kullanılması da ele alınarak faktör analz ncelenmştr. Yaılan çalışmalar sayısal örnekle desteklenmştr. Anahtar Kelmeler: Faktör Analz, Temel Bleşenler Analz, Faktör Döndürmes, Genelleştrlmş Invers. I

3 ABSTRACT PhD. THESIS IDENTIFYING MODELS OF FACTOR ANALYSIS AND USING OF GENERALIZED INVERSES Seval SÜZÜLMÜŞ DEPARTMENT OF STATISTICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Suervsor: Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Year: 5, Pages: 45 Jury: Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. H. Altan ÇABUK Prof.Dr. İhsan ÜNVER Doç.Dr. Selahattn KAÇIRANLAR In ths thess examned dentfyng of factor analyss model and the smlartes and dfferences between factor analyss and rncal comonent analyss. In factor analyss model for estmaton aremeters Prncal Comonent Analyss, Maxsmum Lkelhood Analyss, Unweghted Least Squares and Generalzed Least Squares methods are used. In these methods the varance covarance matrce s ostve defnte. In a few methods, when s not ostve defnte generalzed nverse s used. So we nvestgate the case of the matrx s nonnegatve-defnte matrx. Key Words: : Factor Analyss, Prncal Comonent Analyss, Rotaton of Factors, Generalzed Inverse. II

4 TEŞEKKÜR Doktora tez çalışmam süresnce göstermş olduğu destek ve yardımlarından dolayı danışman hocam Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU na sonsuz teşekkürlerm sunuyorum. Ayrıca İstatstk bölüm başkanı Prof.Dr. Fkr Akdenz e tez çalışmalarım süresnce yatığı öner ve desteklernden dolayı teşekkür ederm. Tezmn yazım aşamasında bana destek veren Prof.Dr. Altan Çabuk a ve sevgl arkadaşım Arş.Gör.Dr. Gülsen Kıral a teşekürlerm sunarım. Zor zamanlarımda bana olan nancını hçbr zaman kaybetmeyen ve tüm gücüyle destek olan aleme en çten teşekkürlerm sunuyorum. III

5 İÇİNDEKİLER SAYFA NO: ÖZ I ABSRACT II TEŞEKKÜR... III İÇINDEKILER... IV TABLOLAR DİZİNİ..... VII ŞEKILLER DİZİNİ.... XIII. GİRİŞ... ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Faktör Analz Modelnde Temel Kavramlar Faktör Analznn Verlere Uygulanması Faktör Analz Yaarken Elde Edeceğmz Matrs Türler Ver Matrs Gözlenen Korelasyon Matrs Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs Rezdü Korelasyon Matrs Rotasyonlu Olmayan Faktör Matrs Rotasyonlu Faktör Matrs Faktör Skorlarının Matrs Çözüm Yöntemler Tek Ortak Faktörlü Çözüm İk Ortak Faktörlü Çözüm İkden Fazla Faktör Olması Durumunda Çözüm Ver Kümesnn Analzndek Sorunlar Faktör Analz İçn Verlern Uygunluğunun Test Edlmes (Örneklem Büyüklüğünün Yeterllğ) Faktör Sayısını Belrleyen Kurallar... 4 IV

6 3.8. Faktör Bulma Yöntemler Temel Bleşenler Analz Yöntem Temel Bleşenlern Elde Edlmes Temel Bleşenlern Geometrk Yorumu Temel Bleşen Sayısının Belrlenmes Temel Bleşenlern Özellkler Ağırlıklandırılmamış En Küçük Kareler Yöntem Genelleştrlmş En Küçük Kareler Yöntem En Çok Olablrlk Yöntem Faktör Analz Modelnde Teklk Bleşenlern Belrlemek İçn Genelleştrlmş İnvers Kullanımı FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE DÖNME Faktör Döndürmes Dk Döndürme Yöntemler Quartmax Yöntem Varmax Yöntem Orthomax Yöntem Equamax Yöntem Dk Döndürmenn Özellkler Eğk Döndürme Yöntemler Oblmax Yöntem Quartmn Yöntem Covarmn Yöntem Bquartmn Yöntem Oblmn Yöntem Bnoramn Yöntem Eğk Döndürmenn Özellkler UYGULAMA Faktör Analz le Türkye Genelnde En Çok Tüketlen Gıda Fyatlarının Temel Bleşenler Analz(TBA) ve Varmax Yöntem Kullanılarak İllere Göre Sıralanması V

7 5.. Faktör Analz le Türkye Genelnde En Çok Tüketlen Gıda Fyatlarının Maksmum Lkelhood (ML) ve Varmax Yöntem Kullanılarak İllere Göre Sıralanması Faktör Analz le Türkye Genelnde En Çok Tüketlen Gıda Fyatlarının Ağırlıklandırılmış En Küçük Kareler (AEKK) ve Varmax Yöntem Kullanılarak İllere Göre Sıralanması Faktör Analz le Türkye Genelnde En Çok Tüketlen Gıda Fyatlarının Genelleştrlmş En Küçük Kareler (GEKK) ve Varmax Yöntem Kullanılarak İllere Göre Sıralanması SONUÇLAR... 5 KAYNAKLAR... 6 ÖZGEÇMİŞ EKLER... VI

8 TABLOLAR DİZİNİ SAYFA NO: Tablo 5.. NRMEKMEK Analzdeyken Türkye de Farklı Bölgede Tüketlen Gıda Fyatlarının Ortalama ve Standart Sama Değerler. 9 Tablo 5.. NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Türkye de Farklı Bölgede Tüketlen Gıda Fyatlarının Ortalama ve Standart Sama Değerler. 9 Tablo 5.3. NRMEKMEK Değşken Analzdeyken KMO ve Barlett Ölçümü... 9 Tablo 5.4. NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra KMO ve Barlett Ölçümü 9 Tablo 5.5. TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Ortak Faktör Varyansları Tablo 5.6. TBA ve Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Ortak Faktör Varyansları. 9 Tablo 5.7. TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonsuz Faktör Matrs.. 94 Tablo 5.8. TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonsuz Faktör Matrs Tablo 5.9. TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonlu Faktör Matrs 96 Tablo 5.. TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonlu Faktör Matrs. 96 Tablo 5.. TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Dönüşüm Matrs Tablo 5.. TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Dönüşüm Matrs.. 97 Tablo 5.3. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Katsayı Matrs Tablo 5.4. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Katsayı Matrs 98 VII

9 Tablo 5.5. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Matrs Tablo 5.6. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Matrs 99 Tablo 5.7. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Ortak Faktör Varyansları Tablo 5.8. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Ortak Faktör Varyansları... Tablo 5.9. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonsuz Faktör Matrs Tablo 5.. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonsuz Faktör Matrs Tablo 5.. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonlu Faktör Matrs... Tablo 5.. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonlu Faktör Matrs.. 3 Tablo 5.3. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Dönüşüm Matrs... 3 Tablo 5.4. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Dönüşüm Matrs... 3 Tablo 5.5. ML, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Katsayı Matrs... 4 Tablo 5.6. ML, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Katsayı Matrs 4 Tablo 5.7. ML, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Matrs Tablo 5.8. ML, Varmax ve Regresyon Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Matrs Tablo 5.9. AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Ortak Faktör Varyansları VIII

10 Tablo 5.3 AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Ortak Faktör Varyansları... 6 Tablo 5.3. AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonsuz Faktör Matrs.. 7 Tablo 5.3. AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonsuz Faktör Matrs.. 7 Tablo AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonlu Faktör Matrs... 8 Tablo AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Rotasyonlu Faktör Matrs... 8 Tablo AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Dönüşüm Matrs. 9 Tablo AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Dönüşüm Matrs... 9 Tablo AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Katsayı Matrs... 9 Tablo AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Katsayı Matrs... 9 Tablo AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Matrs.. Tablo 5.4. AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorları Matrs... Tablo 5.4. GEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Ortak Faktör Varyansları.. Tablo 5.4. GEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonsuz Faktör Matrs. Tablo GEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Rotasyonlu Faktör Matrs... 3 Tablo GEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Dönüşüm Matrs. 3 IX

11 Tablo GEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Katsayı Matrs. 4 Tablo GEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorları Matrs... 4 Ek-Tablo 5.. Analzde Kullanılan Değşkenlern Lstes... 3 Ek-Tablo 5.. NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Korelasyon Katsayıları Matrs ve -olasılık Değerler. 4 Ek-Tablo 5.3. NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Korelasyon Katsayıları Matrs ve -olasılık Değerler. 5 Ek-Tablo5.4. NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Ant Image Korelasyon Katsayıları Matrs.. 6 Ek-Tablo 5.5. TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Ant-Image Korelasyon Katsayıları Matrs.. 7 Ek-Tablo 5.6 TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Mktarları. 8 Ek-Tablo 5.7. TBA ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Mktarları Ek-Tablo 5.8.TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs... 9 Ek-Tablo 5.9. TBA Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs... 3 Ek-Tablo 5.. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller... 3 Ek-Tablo 5.. TBA, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller Ek-Tablo 5.. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Oranları X

12 Ek-Tablo 5.3. ML ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Oranları. 33 Ek-Tablo 5.4. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs Ek-Tablo 5.5. ML Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs 35 Ek-Tablo 5.6. ML, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller.. 36 Ek-Tablo 5.7. ML, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller. 37 Ek-Tablo 5.8. AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Oranları Ek-Tablo 5.9. AEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Oranları 38 Ek-Tablo 5.. AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs 39 Ek-Tablo 5.. AEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs Ek-Tablo 5.. AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller. 4 Ek-Tablo 5.3. AEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller. 4 Ek-Tablo 5.4. GEKK ve Varmax Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Özdeğerler ve Tolam Açıklanan Varyans Oranları XI

13 Ek-Tablo 5.5. GEKK Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs. 44 Ek-Tablo 5.6. GEKK, Varmax ve Regresyon Yöntem Uygulandığında NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Faktör Skorlarına Göre Sıralanmış İller 45 XII

14 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA NO: Şekl 3.. Faktör Analz Uygulamadan Önce Değşkenlern Durumu Şekl 3.. Faktör Analz Uygulandıktan Sonra Değşkenlern Durumu. 9 Şekl 3.3. İk Değşkenl Tek Genel Faktörlü Model... 3 Şekl 3.4. Çok Değşkenl Tek Ortak Faktörlü Model Şekl 3.5. Çzg Grafğ Şekl 4.. Grafk Yöntemyle Faktör Döndürmes.. 75 Şekl 4.. Faktör Yüklernn Döndürme İle Değşm Şekl 4.3. Eğk Faktör Döndürmesnde Yük Değerler 83 Şekl 5.. NRMEKMEK Değşken Analzdeyken Çzg Grafğ.. 93 Şekl 5.. NRMEKMEK Değşken Analzden Çıkarıldıktan Sonra Çzg Grafğ XIII

15 . GİRİŞ Seval SÜZÜLMÜŞ. GİRİŞ Günlük yaşamda çoğu kez somut (gözleneblr) olayları soyut (gözlenemeyen) olaylarla açıklarız. Konuşurken yüzü kızaran, gözler r r açılan, sesn yükselten br kmsey snrl olarak ntelendrrz. Burada yüzün kızarması, gözlern r r açılması, sesn yükselmes somut, snrlenmek se soyut br olaydır. Olaylar çok sayıda değşkenn etks le meydana gelr. Bu durum çok değşkenl statstksel analz yöntemlernn kullanılmasını gerektrr. Çok değşkenl analz, statstğn uygulamalarda kullanılan öneml br koludur. Bu analzde brbrleryle lşkl çok sayıda değşken söz konusudur. Çok değşkenl analzde, deney brmlernden gözlem ya da ölçüm yoluyla elde edlen özellkler (değşkenler) ncelenr. Değşkenlern çok sayıda olması durumunda, karşılaşılan roblemlern çözümü çn 93 lardan başlayarak bugüne kadar brçok yöntem gelştrlmştr. Bu yöntemlerde temel amaç; blmsel çalışmaların sonuçlarının özetlenmes, yorumlanması ve karar verlrken kullanılmasının sağlanmasıdır. İstatstkte de, gözleneblr değşkenler gözlenemeyen değşkenlerle açıklayan yöntemler (faktör analz, temel bleşenler analz gb) vardır. Faktör analz, aralarında yüksek korelasyon bulunan değşkenler br araya getrerek daha az sayıda temel bleşenler ya da faktörler olarak adlandırılan yen değşkenler bulmayı amaçlar. Faktör analz, skoloj le başlamış olu, günümüzde başta sosyal blmler olmak üzere; ekonom, botank, byoloj, zraat, tı gb farklı uygulamalı blm dallarında yaygın olarak kullanılan çok değşkenl statstk analz yöntemlernden brdr. Searman, Karl Pearson, Thomson, Thurstone ve Burt un. yüzyılın başında yamış oldukları çalışmalarla faktör analz başlamıştır. Kovaryans ya da korelasyon matrslernn yaısı analz edlrken, k yaklaşım söz konusudur. Bunlardan br olan temel eksenler yöntemn Pearson(9) gelştrmş ve Hotellng(933) bu yöntem temel bleşenler analzne genşletmştr. Dğer se, Searman (94, 96) tarafından gelştrlen faktör analz kavramıdır. Çoklu faktör analz kavramına Garnett (99) le grlmş fakat bu kavramın gerçek anlamdak gelşm 93 ve 94 lı yıllarda Thurstone tarafından gerçekleştrlmştr. Çoklu

16 . GİRİŞ Seval SÜZÜLMÜŞ faktör analz termn ortaya atan Thurstone (93) daha sonra bast yaı olarak da blnen merkez faktör döndürme kavramını gelştrmştr (Darton, 98). Bu çalışmanın knc bölümünde, faktör analzyle lgl daha öncek yıllarda yaılan çalışmalar kısaca anlatıldı. Üçüncü bölümde; faktör analzne lşkn temel kavramlar, faktör sayısını belrleyen kurallar, faktör bulma yöntemler ve genelleştrlmş nverslern faktör analznde kullanılablrlğyle lgl çalışmalar anlatıldı. Dördüncü bölümde, faktör döndürmes, beşnc bölüm olan uygulama bölümünde se Devlet İstatstk Enttüsünden (DIE) alınan, Aralık 3 yılında Türkye nn çeştl bölgelernde tüketlen farklı gıda çeştlernn fyatlarına at verlern SPSS. (Statstcal Package for the Socal Scences) aket rogramı kullanılarak elde edlen faktör analz sonuçları yer almaktadır. Verler DIE tarafından belrlenmş olan 9 l ve Türkye ortalaması olmak üzere farklı bölgede tüketlen 5 farklı gıda çeştnn fyatlarında oluşmaktadır.

17 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR İncelenen makalelerde aşağıda belrtlenler yaılmıştır: karşılaştırdı. Kendall ve Lawley (956) temel bleşenler analz le faktör analz modeln Anderson ve Rubn (956) faktör analznde temel varsayımlarından söz ederek Λ ve Ψ matrslern belrlemek çn bazı teoremler verd. Bu teoremler arasında en çok kullanılan teorem: Ψ ve sağdan ortogonal br matrsle çarımına bağlı olarak Λ matrslernn belrleneblmes çn yeter koşul satırı çıkarıldığında ve Rubn koşulu denr. ve Ψ k Λ nın herhang br ranklı ayrık k alt matrsnn olmasıdır. Bu koşula Anderson Bu teorem Ihara ve Kano (986) ve Kano (989) çalışmasında kullanarak Λ matrslern tahmn etmek çn yen sonuçlar elde etmşlerdr. Guttman (956) R korelasyon matrsn graman ve mnmum ranklı yaan ortak varyansları tahmn etme roblemyle lglend. Çalışmasında, R Ψ matrs graman ve mnmum ranklı olacak şeklde Ψ köşegen matrsn bulmak roblemyle lglend. 968 yılına kadar, faktör analznde maksmum lkelhood tahmn edcsnn kullanımındak temel zorluk sayısal çözüm elde etmedek güvenlr yöntemlern yeterszlğyd. Jöreskog ve Lawley (968) yatıkları çalışmada maksmum lkelhood tahmnnn kullanımındak temel zorluk olan sayısal çözümlern elde edlmes eksklğn gdererek, faktör analznde teratf olarak maksmum lkelhood tahmn edcler çn yen ve hızlı sonuç veren yöntemler önerdler. Jennrch ve Robnson (969) se faktör analznde lkelhood eştlklernn çözümü çn Newton-Rahson yöntemnn uygulanablrlğn gösterdler. Yöntem, lkelhood fonksyonunun en az br yerel maksmumunu elde etmeye zn verr. Yerel maksmum elde etmek çn terasyon sayısının sabt olmadığı gösterld. Gebhardt (97) faktör analz modelnde bazı faktörlern blnmes durumunda ger kalan faktörler lşksz kabul ed, bu model çn maksmum lkelhood eştlklern elde ederek, bunun çözümü çn teratf br yöntem nceled. Temel eştlğmz; 3

18 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ x µ = xr x x F rx G xs gsx e x f + + (.) olu, burada f, g ve e nn ortalamalı normal dağılımlı ve brbrlernden bağımsız oldukları kabul edlr. E( f ) = Β f, E ( ) = Ι matrs, Ι brm matrs, Ψ : x tnde köşegen br matrstr. g g, E ( ee )= Ψ, Β : rxr tnde (.) modelnde G matrs blnmyorken F matrsnn blndğ kabul edlr. Β kovaryans matrsnn blnmedğ varsayılır. Bu varsayımlar altında kovaryans matrs x nn = E x µ x µ = F ΒF + GG + Ψ ( )( ) dr. S örneklem kovaryans matrs, S = n N ( x x)( x x) = şeklnde olu, x = [ x, x,..., xn ], x örneklem ortalama vektörü ve n = N dr. Lkelhood fonksyonunun logartması, { log Σ + tr( Σ )} log L = n S (.) şeklnde olu, ; Β, F, G ve Ψ nn fonksyonu olarak gözönünde bulundurulur. (.) eştlğnde maksmum lkelhood tahmn edclern elde etmek çn Β, G ve Ψ matrslerne göre türev alınır. Böylece log L = n + n S 4

19 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ log Β log G L = log L = Ψ n F = n n F + F L n dag G + n S S G ( Σ +Σ S Σ ) F eştlkler elde edlr. Bu eştlklern çözümü lgl makalede ncelenmştr. Jöreskog ve Goldberger (97) un yatığı çalışmada faktör analz modelnde genelleştrlmş en küçük kareler yöntemn kullandı, yatığı tahmnler Newton-Rahson yöntemyle hesaladı. x = Λ f + e x xk kx x faktör analz modelnde E ( f ) =, E ( f f ) = Ι, E ( ) = ( ) Ψ e, E ee = olu, köşegen br matrs, e ve f lşkszdr. Bu varsayımlardan x nn varyanskovaryans matrs, Ψ x = Λ xk Λ kx + Ψ x şeklndedr. Σ nın r = ( + ) farklı elemanı, Λ ve Ψ dek ( k + ) tane blnmeyen arametre tarafından açıklanır. Σ matrsnn yaısı bozulmayacak şeklde, Λ matrs sağ taraftan keyf seçlen kxk tndek ortogonal br matrsle çarılableceğnden, Λ ; k ( k ) tane bağımsız koşulu sağlayacak şeklde seçlr. s = k + k k ) olu, modeln Bu durumda blnmeyenlern sayısı ( ) ( [ ] serbestlk dereces, d = r s = ( k) ( + k) olur. S : x tnde, n + 5

20 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ brmlk rastgele örneklemden elde edlen matrsdr. S kullanılarak Λ ve Ψ nn tahmnler bulundu. x nn örneklem varyans-kovaryans Lawley ve Maxwell (973) yatıkları çalışmada regresyon yardımıyla faktör analz modeln aşağıdak şeklde nceledler: z, z,..., z rastgele değşkenn k tanes lneer bağımsız olsun. µ = E z ) se; ( k <, z = + αj j= k+ ( z µ ) =,,..., k µ (.3) j yazablrz. Α = [ j ]( k ) xk α ve z z,..., z ; Φ tekl olmayan k+, k+ kovaryans matrsl çok değşkenl normal dağılımlı olsun. Α ve Φ dek tolam arametre sayısı kxk k ( k) + k( k + ) = k k( k ) olur. Gerçek değerler olan x ler x = z + e =,,..., (.4) olarak yazablrz. e ler brbrlernden ve z lerden bağımsız rastgele değşkenler olu, e N, ψ ) dağılımlıdır. (.3) ve (.4) den temel faktör analz modeln ( k x = µ + λr fr + e =,,..., r = yazablrz. f f,..., N (, dağılımlı brbrlernden ve e lerden, f k ) bağımsız ortogonal faktörlerdr. λ arametres f üzernde x nn yüküdür. r r 6

21 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ [ λ r ] xk Λ = matrs k ranklıdır. λ r arametrelern ve faktörler tam olarak elde etmek çn λ r üzerne k ( k ) tane kısıtlama getrlrse, Λ dak bağımsız arametre sayısı = ΛΛ + Ψ k k( k ) olur. tane değşken yansız tahmn edcs olan Ψ x µ ={ µ, µ,..., } µ ortalama vektörlü, kovaryans matrsl çok değşkenl normal dağılımlıdır. dek arametreler bulunablr. Regresyon yardımıyla değşkennn blgs üzernden bulmaya çalışalım. Σ yerne, S kullanılarak maksmum lkelhood yöntemyle Λ ve x değşkennn tahmnn, tane x,..., x Χ = x, x,..., x ) ; f = f, f,..., f ) ( 3 λ Λ = Λ ( k σ Λ λ λ...,, = Λ λ =[, λ, λ ] λ k σ = λ λ + ψ, =ΛΛ + Ψ, Ψ ψ = M ψ M 3 K K O K M ψ şeklndedr. z, z3,..., değşkenlernden son tanes hatasız olarak ölçüleblsn. O halde; z k x = z = k +,..., elde edlr. x n en y tahmn edcs 7

22 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ z = k λ r f r r= ve dr. k Cov( x, z ) = Var( z )= λ λ r = λ r= Bu durumda ve arasındak korelasyon katsayısı ve Χ arasındak çoklu korelasyon katsayısı olur. Bu değer; x z x P = ( λ λ ) ( λ λ ) = σ ( λ λ + ) ψ dr. λ dek sadece lk eleman λ sıfırdan farklı olacak şeklde faktörler dönüştüreblrz. Bu durumda P λ = ψ ( λ + ) dr. n en küçük kareler tahmn edcs, x xˆ = λ Λ Σ Χ (.5) { } E mnmum olacak şeklde x n seçmdr. dr. Bu ( xˆ x ) kareler tahmn edcs, f nn en küçük fˆ =Λ Χ dr. O zaman; 8

23 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ ˆx = λ fˆ elde ederz. ve Χ arasındak çoklu korelasyon katsayısı x P, bu aynı zamanda x ve ˆx arasındak korelasyon katsayısı olu, = ( λ Λ Λ λ ) P (.6) σ olarak verlr. ( Ι +Γ ) Λ Ψ =Ψ Ψ Λ (.7) Λ = ( Ι + Γ ) Λ Ψ (.8) Λ Γ Λ = Ψ Λ = Λ ( Ι +Γ ) Γ =Γ ( Ι + Γ ) dr. (.5) ve (.6) eştlkler yerne, xˆ P ( Ι + Γ ) Λ Ψ x {( λ λ ) λ ( Ι + Γ ) λ } = λ = σ veya P = P λ ( Ι + Γ ) λ σ yazılablr. Son sonuçtan tahmn edcler yanlıdır. Yan; P < P elde edlr. Elde ettğmz en küçük kareler 9

24 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ ( f f ) E ˆ ( xˆ x ) f E x dr. Bunların yerne yansız tahmn edcler bulablrz. f nn ˆf * = { } * f ˆ ˆ * ˆ *, f,..., f k tahmn edcs ( ˆ * E f ) r f r y mnmumlaştırır ve E fˆ * f r = f olu, verlen r çn ( ) r { } fˆ ( xˆ x ) * E ( Λ Λ ) Λ x = (.9) * * = x koşuluna bağlı olarak xˆ = λ fˆ olarak verlr. (.7) ve (.8) eştlklernden (.9) eştlğn ˆf * = Γ Λ Ψ x * * olarak yazablrz. Buradan xˆ = λ Γ Λ Ψ x olarak yazablrz. ˆx ve x arasındak korelasyon katsayısı ρ * = ( λ λ ) { σ λ ( Ι + Γ ) λ } dr. z, z3,..., z değşkenlernden hatasız ölçüleblen < m < k tanesn göz önünde bulunduralım. = m +,..., çn x = z ve ψ = olur. ( f f ) f =,,..., ; Χ (,,..., ) 3 = x m+ x m+ x f m olmak üzere Χ 3 = Β3 f olur. Β 3 : mxm boyutlu tekl olmayan matrs,

25 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ Χ = x, x,..., ) ve f ( f, f,... = + +, f ) ( 3 x m m m k olu, Β : f üzernde Χ nn yük matrs Λ : f üzernde Χ nn yük matrs β ˆ f üzernde nn yük matrs : Χ λ : f üzernde Χ nn yük matrs dr. O halde; β λ Λ= Β Λ Β3 olarak yazablrz. ve Χ değşkenlernn arçalanmış kovaryans matrs Χ 3 Β Β + Λ Β 3 Β Λ + Ψ ΒΒ 3 Β Β 3 3 ( Β 3, tekl olmayan matrs) şeklndedr. Ψ ψ = M ψ 3 M K K O K M ψ m olu, Χ nn kovaryans matrs Λ Λ + Ψ dr. Bu

26 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ Χ ΒΒ3 Χ3 vektör değşkennn kovaryans matrsdr. f nn en küçük kareler tahmn edcs, ( Ι + Γ ) Λ Ψ ( Χ Β Β Χ ) ˆ f = ; Γ = Λ Ψ Λ 3 3 dr. ve den x n en küçük kareler tahmn edcs, Χ Χ3 ya da xˆ = ˆ β fˆ + λ fˆ x ˆ = β Β 3 x 3 + λ ( Ι + Γ ) Λ Ψ ( Χ Β Β Χ ) 3 3 şeklndedr. ya da Ρ Ρ = σ Ρ = λ { β β + λ λ λ ( Ι + Γ ) λ } ( Ι + Γ ) = ββ + λλ + Ψ λ σ ( β ) ve β λ Ρ = + λ σ σ dr. f nn yansız tahmn edcs, f ˆ * =Γ Λ Ψ ( Χ Β Β Χ ) 3 3 şeklndedr. Böylece

27 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ xˆ * = β f + λ fˆ * ya da * 3 3 ( Χ Β Β Χ ) x ˆ = β Β x + λ Γ Λ Ψ (.) 3 3 * şeklnde olu, ˆx ve x arasındak * Ρ korelasyon katsayısı P * = ( β β + λ λ ) σ { β β + λ ( Ι + Γ ) λ } olur. Chan (977), Lawley ve Maxwell (973) n önerdkler (.) eştlğndek tahmn edc { } * E ( ˆ x ) * * ˆx ın yanlı olduğunu göstererek E ( x x ) = x koşulu altında * x mnmum olacak şeklde n tahmn edcs olan ˆx ı x { } Λ ( β β + λ λ + Ψ ) β β + λ Λ ( Λ Λ +Φ ) * x = λ ˆx olarak elde ett. Burada ˆx x ˆ = β Β 3 Χ 3 + λ Λ ( Λ Λ +Φ ) ( Χ Β Β Χ ) 3 3 şeklndedr. Ihara ve Kano (986) faktör analznde ψ ler çn yen br tahmn edc verdler. Faktör analznde x x vektörünün varyans-kovaryans matrs Σ = ΛΛ + Ψ (.) 3

28 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ eştlğyle verlr. Λ xk ve Ψ x arametreler S örneklem matrsnden tahmn edlr. Tahmn edcler ( Λˆ ve Ψˆ ); (.) kısıtlaması altında F ( Λ Ψ) = trσ S log Σ S, fonksyonunun mnmumundan elde edlr. F nn türev ( Λ, Ψ) ye bağlı olarak non-lneer olduğundan, çözüm S nn tam fonksyonu olarak gösterlemez. Bu makalede, S nn tam (açık) fonksyonu olan stenen özellklere sah br tahmn edc önerld. (.) eştlğndek Anderson ve Rubn (956) koşulunu sağlasın. k Λ matrs Λ nın herhang br satırı slndğnde boyutlu ayrık, tekl olmayan k alt matrs elde ederz. Bu da belrleneblrlğ çn yeter koşuldur. Σ, Λ ve Ψ şu şeklde arçalansın: Ψ nn Σ Σ = Σ Σ Σ Σ Σ σ σ σ σ 3 Λ Λ Λ = Λ3 λ Ψ Ψ = Ψ Ψ 3 ψ (.) Bu koşullar altında, Λ : kxk edleblr. Σ = Λ matrs tekl olmadığından, Λ ve Λ : kxk tekl olmayan matrsler olarak kabul σ Λ ( ΛΛ ) Σσ = λ Λ λ = λ λ elde ederz. Böylece, σ = λ λ + ψ eştlğnden, ψ = σ σ Σ σ (.3) olur. Λ dak herhang br satır slndğnde, (.3) dek gb gösterleblr. Bu nedenle, ψ değer, Λ ve Ψ matrsnn tüm köşegen elemanları Λ seçmne bağlı olmayı, Σ ye bağlıdır. 4

29 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ S örneklem kovaryans matrsn (.) dek gb arçalayalım. olmayan matrs se, ψ tahmn edcs, S tekl ψ ˆ = s s S s olur. İlgl makalede anlatılan yöntem, Emmett ve Holznger&Swneford verlerne uygulanmıştır. Focke (986) faktör analznde maksmum lkelhood yöntemn uygulayarak, faktör yüklern hesalamak çn Newton yöntemn kullanmıştır. Yatığı bu çalışmasında üç örnek ele alarak elde ettğ sonuçları ve terasyon şlemn daha önce yaılan çalışmalarda bulunan sonuçlarla karşılaştırmıştır. Kano (989) genelleştrlmş nvers kullanarak faktör analznde tahmn roblemn ele almıştır. Anderson ve Rubn (956) koşulunu kabul ederek; Ihara ve Kano (986) nun çalışmasındak gb matrsler blok halnde arçalayı, Σ matrsnn tekl olması durumunda tahmn edcler bulmuştur. Bu tahmn edcnn bulunması çn Ihara ve Kano(986) da yaılanlardan daha az şlem gerektğ belrtld. Yatıkları çalışmada k + olduğu kabul edlerek; Σ, Λ ve Ψ matrsler aşağıdak şeklde arçalandı: σ σ Σ = σ σ 3 4 Σ Σ Σ 3 4 Σ Σ Σ 44 λ Λ Λ = Λ Λ 3 4 ψ Ψ = Ψ Ψ 3 Ψ 4 (.4) Burada λ :xk ; Λ : kxk ; Λ : kxk ve Λ : ( k ) xk boyutludur. 3 4 S örneklem varyans-kovaryans matrs de aynı şeklde arçalandı. Bu makalede Σ = ΛΛ + Ψ ayrışımının teklğnn sağlanması çn, Anderson ve Rubn (956) 5

30 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ koşulu kabul edld. (986) dan Λ ve Λ 3 tekl olmayan matrsler olmak üzere, Ihara ve Kano ψ = Σ (.5) σ σ 3σ 3 bağıntısı bulundu ve ψ ˆ = s s S s (.6) 3 3 tahmn edcs önerld. (.4) dek Λ ve Λ 3 ün seçm çn brçok alternatf vardır ve (.6) dak tahmn edcler bu gb seçmlere bağlı olu brbrnden farklı değerlern bulunmasına zn verr. > k + den büyük olduğunda, brbrnden farklı değerl brçok tahmn edcler olacaktır. Bu tahmn edcler arasından krtere göre y tahmn edcler bulmak çn oldukça yoğun hesalamalar yamak gerekr. s, S 4 4 ve S43 tek blglern kullanılması bu hesalamaları yamaya yeterl değldr. ~ ~ ~ ~ Λ 4 : ( k )xk matrs Λ 4 = [ Λ 4 Λ 5] olarak arçalandı. Λ 4 ve Λ 5 sırasıyla ve Λ e eklendğnde Λ matrs Λ 3 λ Λ = Λ Λ 3 olur. Burada λ :xk ; Λ k xk ve : Λ 3 : k 3 xk boyutludur. k ve k3 sayıları k dan büyüktür. Anderson ve Rubn (956) koşulu altında Λ ve ranklı olduğundan boyutlu ve boyutlu a vektörler vardır öyle k; k a k3 3 Λ 3 tam sütun λ = a Λ a = 3Λ3 6

31 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ dır. Böylece, 3 3 = λ Λ 3 3 ( Λ Λ ) λ λ = a Λ Λ a = a Λ Λ Λ Λ a ( Λ3Λ ) Λ3λ = σ Σ3σ dır. Burada;, Σ nn genelleştrlmş nversdr(g-ters). Böylece, Σ 3 3 ψ = Σ (.7) σ σ 3σ 3 elde edlr. Buradan, Λ ve Λ 3 ün nonsngular olması koşulu yerne tam sütun ranklı olması koşulu getrleblr. Bu nedenle (.7) dek bağıntı (.5) n genel şekldr. Eğer ve Λ k ranklı se, Σ nın arçalanmasına ve g-ters matrsnn Λ 3 seçmne bakmaksızın, (.7) dek koşul her zaman geçerldr. (.7) n sağ tarafındak fade Σ ın daha çok elemanını çerdğnde, (.7) e bağlı tahmn edcnn, S matrsndek elemanlardan daha çok kullanması beklenr. ψ çn brçok tahmn edcler vardır. Bu tahmn edclern sayısı Ihara ve Kano nunknden oldukça küçüktür. Örneğn; = 9 ve k = 3 ve k = k 4 çn, bu yöntemde (986) yöntemnde 8 dr. Verlen ψ nn tahmn sayısı = 35 k Ψˆ çn 3 = tr. Bu sayı Ihara ve Kano Λ ın tahmn edcs, maksmum lkelhood tahmn edcsndek gb benzer şeklde hesalanır. Sektral ayrışımın kullanılmasıyla, Ψˆ / ( Ψˆ ) Ψˆ / D S = [ P P ] [ P P ] D 7

32 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Seval SÜZÜLMÜŞ elde edlr. P : xk ve P : x( k) boyutlu olu özvektörlerden oluşan ortonormal matrsler, D : kxk ve D : ( k) x( k) boyutlu olu özdeğerlern köşegen matrsler ve bu özdeğerler azalan sıradadır. O halde; Λ ˆ = Ψˆ / P D / bulunur. Λˆ, Λ ˆ Ψ ˆ Λˆ matrsnn köşegen olma kısıtlamasını sağlar. Görüldüğü gb faktör analznde yaılan tahmn yöntemlernde blnen en küçük kareler, maksmum lkelhood gb tahmn yöntemler kullanılmıştır. Bunlar ncelenrken Newton, Newton-Rahson gb teratf yöntemler ele alınmıştır. Az sayıda çalışmada genelleştrlmş nvers kullanımına rastlanmaktadır. Bu nedenle yatığımız çalışmada genelleştrlmş nvers kullanımı da alınmıştır. ncelenmştr: ncelenmes, ncelenmes, Yaılan çalışmalar da göz önüne alınarak, bu çalışmada aşağıdak durumlar ) Faktör analz modelnn belrlenmes, ) Faktör analz model le temel bleşenler analz arasındak lşknn ) Faktör analz modelndek arametre tahmnler çn verlen yöntemlern v) Σ = ΛΛ + Ψ eştlğndek matrsnn negatf olmayan tanımlı olması durumunda, arametre tahmn edcs çn genelleştrlmş nverslern kullanılmasının ncelenmes, v) Yaılan çalışmaların sayısal örnekle desteklenmes. 8

33 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ 3.. Faktör Analz Modelnde Temel Kavramlar Faktör analz kavramı lk olarak yaklaşık yıl kadar önce Charles Searman tarafından bulundu ve Thurstone (93) tarafından tanıtıldı. Faktör analznn en öneml amacı, değşken sayısını azaltmak ve aynı özellklere sah değşkenler sınıflandırmaktır. Aşağıdak faktörler nasıl grularız? Şekl 3.. Faktör Analz Uygulamadan Önce Değşkenlern Durumu Şekl 3.. Faktör Analz Uygulandıktan Sonra Değşkenlern Durumu Görüldüğü gb benzer özellklere sah değşken faktör analz yaılarak 4 faktör olarak grulandırılablr. 9

34 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Açıklayıcı (exloratory) ve doğrulayıcı (confrmatory) faktör analz olmak üzere k tür faktör analz vardır. Açıklayıcı faktör analznde, araştırmacının faktör yaısı hakkında braz blgs vardır ya da hç blgs yoktur. Kabul edelm k araştırmacının: ) faktörlern sayısı, ) faktörlern dk ya da eğk olu olmadığı, ) her br faktördek değşken sayısı, v) hang değşkenn hang faktörle lşkl olduğu hakkında hç blgs olmasın. Böyle br durumda, araştırmacı verler tolayablr ve faktör yaısını ya da değşkenler arasındak korelasyonları açıklayan teory araştırablr. Böyle br analz açıklayıcı faktör analz olarak adlandırılır. Öte yandan, doğrulayıcı faktör analz faktör yaısının blndğn kabul eder (Sharma, 996). Açıklayıcı faktör analz faktörlern sayısını belrlerken, doğrulayıcı faktör analz önceden faktörlern sayısını sabtler. Açıklayıcı faktör analz, faktörlern lşkl olu olmadığını belrler, doğrulayıcı faktör analz se faktörlern lşkl ya da lşksz olduğuna önceden karar verr. Açıklayıcı faktör analznde değşkenlern tüm faktörler üzerndek yükler serbestr, doğrulayıcı faktör analznde se değşkenlern belrl faktör ya da faktörler üzerndek yükler önceden sabtlenr (Stevens, ). Faktör analz başlangıçta değşkenler arasındak korelasyonları açıklamak çn gelştrldğnden açıklayıcı faktör analz faktör yaısını tahmn etmek çn korelasyon matrsn kullanır. Böylece, açıklayıcı faktör analznde kovaryans matrs çok az kullanılır (Sharma, 996). Bu çalışmada açıklayıcı faktör analzn kullanacağız. Faktör analz model matrs notasyonu kullanılarak, x = Λ f + e (3.) eştlğyle gösterlr. Burada; x : x tnde gözleneblr rastgele değşkenlern vektörü x = x, x,..., x ). ( f : kx tnde ortak faktörler olarak adlandırılan, gözlenemeyen değşkenlern vektörü f = f, f,..., f ). ( k

35 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ e : x tnde gözlenemeyen değşkenlern vektörü (rezdülern vektörü), e = e, e,..., e ) dr. ( Λ : [ λ r ] xk faktör yükler olarak adlandırılan blnmeyen sabtlern matrs olu, λ λ Λ = M λ λ λ λ M O... λ k λ k M λ k dr. Faktör analzndek varsayımlar: ) f, e ve x vektörler sıfır ortalamalı (E ( f ) =, E ( e ) =, E ( x ) = ) normal dağılımlıdır, 956). ) ) e ler brbrleryle lşksz, f ler brbrleryle lşkszdr, e le f de brbryle lşkszdr (Co v ( f, e ) = ) (Kendall ve Lawley, f, e ve x lern varyans-kovaryans matrsler sırasıyla Φ, Ψ ve Σ dır. f ler brbryle lşksz olduğundan Φ, kxk tnde brm matrse dönüşür. Yan; E ( f f ) = Ιk dır. E( e e ) ψ = Ψ = M ψ M O... M ψ Ψ, köşegenndek elemanları ψ, ψ,..., ψ olan köşegen br matrstr.

36 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Faktör analz model; ) Dk faktör analz model ) Eğk faktör analz model olmak üzere k türlüdür. Dk faktör analz modelnde faktörler brbryle lşkszdr (E( ff ) = Ι ), eğk faktör analznde se faktörler brbryle lşkldr (E k ( ff ) Bu çalışmada dk faktör analz model ncelenecektr. Dk faktör analz modelnde x n varyans-kovaryans matrs: Ι k ). E( x x ) = E ( f + e )( Λf + e ) Λ f Λ = E ( Λ f f Λ ) + E( Λ f e ) + E( f Λ ) Λ =E[ f + Λfe + ef Λ + ee ] e +E( e e ) = ΛΛ + Ψ = Σ olarak elde edlr. O halde; x değşkenlernn varyans-kovaryans matrs ( ) E x = = σ olu, σ ; x ve x arasındak kovaryanstır. Σ, x tnde x Σ [ j ] x oztf tanımlı br matrstr. Benzer şeklde; j j cov (, f = E x ) (( Λ f + e) f ) = E( f f + ef ) Λ = E Λ ( f ) f + E( e f )= Λ elde edlr. O halde dk faktör analz model çn; ve ( x ) ( ) cov = E x = = σ ( ) x Σ [ j ] x var x = λ + λ λk + ψ x, = λ λ j + λ λ j λkλ jk cov ( ) x j ( ) cov, f = ya da cov x Λ ( j ) j x, f = λ şeklndedr (Johnson ve Wchern, ). Λ ve Ψ nn elemanları deneysel verlerden tahmn edlen blnmeyen arametrelerdr.

37 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ tane değşken çn; tane ortalama, tane varyans, ( ) tane kovaryans olduğundan, (Cooley ve Lohnes, 97). ( ) + tane tahmn edlecek arametre vardır Ortak Varyans (Communalty): Br değşkenn ortak varyansı, faktörler tarafından açıklanmış varyans anlamına gelr.. değşkenn k -ortak faktörün katkısı le sah olduğu ortak faktör varyansı; h = k r= λr = λ + λ λk şeklnde gösterlr. Ortak varyans, br değşkenn varyansına tüm ortak faktörlern katkısını belrtr. Ortak varyans hesalarken br değşkenn her br faktöre lşkn faktör yüklernn kareler alınarak tolanır. Değşkenler standart şeklde se, varyansları olacağından, k = r = σ λ + ψ = r olur. Böylece varyans yüzde olarak fade edlmş olur. λ sayısı, f faktörünün değşkennn varyansına olan katkısını (varyansının yüzde kaçını açıkladığını) fade etmektedr. r r x Teklk Bleşen (Unquness): Teklk bleşen ortak varyansın tamamlayıcısı olu, ψ = h şeklnde gösterlr. Yan; teklk bleşen, varyansın model tarafından açıklanamayan kısmıdır. 3

38 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Açıklanan Varyans Oranı (Proorton of Varance): Br gru değşkendek br faktör tarafından açıklanmış varyans oranını hesalamak çn; önce faktör yüklernn kareler alını tolanır, daha sonra tolanan sayı değşkenlern varyansları tolamına bölünür. Br f r faktörünün tüm değşkenlern varyansına olan tolam katkısı; V r = = λ r dır. Tüm ortak faktörlern tüm değşkenlern varyansına olan tolam katkısı da V = k r= k r= = V r = λ = h r = olarak fade edlr. Faktörler brbrne dk olduğunda, değşkenlern varyansları tolamı gözlenen değşken sayısı ye eşt olduğundan, V tüm ortak faktörler tarafından açıklanan varyans oranı olu, bu oran modeln değşkenlerdek değşmn yüzde kaçını açıkladığını gösterr (Km ve Mueller, 98). 3.. Faktör Analznn Verlere Uygulanması Faktör analznn gerçek verlere uygulanışını ana adımlar halnde vermek gerekrse, bunları 4 adımda tolayablrz: ) Verlern tolanması ve lgl kovaryans matrsn hazırlanması, ) Başlangıç faktörlern belrlenmes, ) Sonuç çözüm çn döndürme ve yorumlama, v) Faktör skorlarının bulunması. ) Verlern Tolanması ve Varyans-Kovaryans Matrsnn Hazırlanması: Faktör analznde lk adım, analz çn lgl verlern tolanması ve varyanskovaryans matrsnn hazırlanmasıdır. 4

39 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Analzde kullanılacak olan matrsn varyans-kovaryans veya korelasyon matrs olu olmaması le lgl br seçm yaılablr. Açıklayıcı faktör analznde korelasyon matrsnn kullanımı daha uygundur. Bu seçmn k ratk avantajı vardır: ) Brçok blgsayar rogramları temel grd olarak varyans-kovaryans matrsn kabul etmez. ) Lteratürdek örneklern çoğu korelasyon matrsler üzerne kurulmuştur. Böylece okuyucu çn sonuçları anlamak ve dğerler le karşılaştırmak daha kolay olacaktır. ) Başlangıç Faktörlernn Belrlenmes: Faktör analznde knc ana adım, gözlenen değşkenler arasındak korelasyonları ya da kovaryansları yeterl derecede açıklayan faktör sayısını bulmaktır. Bunun çn, temel bleşenler analz, en çok olablrlk (maksmum lkelhood), ağırlıklandırılmamış en küçük kareler, genelleştrlmş en küçük kareler, alfa faktörleştrmes ve maj faktörleştrmes gb brçok yöntem vardır. Analzn bu aşamasında, tüm başlangıç çözümler dk çözümler üzerne kurulduğundan faktörlern dk veya eğk olu olmaması le lglenlmez. Elde edlen faktörlern yorumlanablr veya anlamlı olu olmadığı le de lglenlmez. Bu aşamada esas lglenlen, daha az sayıdak faktörlern, değşkenler arasındak daha fazla korelasyonları hesaba katı katmadığıdır. Bu aşamada elde edlecek başlangıç faktörlernn sayısının belrlenmes gerekr. ) Sonuç Çözüm İçn Döndürme ve Yorumlama: Başlangıç faktörler elde etmek çn bell varsayımlar yaılır. Bu varsayımlar: ) k tane ortak faktör vardır, ) Faktörler brbrlerne dktr, ) Brnc faktör mümkün olduğu kadar daha fazla varyansı hesaba katar, knc faktör brnc faktör tarafından açıklanmayan kalan artık varyansın büyük br kısmını hesaba katar, üçüncü faktör lk k faktör tarafından açıklanmayan kalan artık varyansın çoğunu hesaba katar ve bu sınırlamalar böyle devam eder. 5

40 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ İknc ve üçüncü sınırlamalar steğe bağlı düşünülür, daha bast ve daha yorumlanablr sonuçlar elde etmek çn döndürme aşamasında bu sınırlamalardan br veya ks çıkarılır. Herhang br döndürme sonucu elde edlen faktör çözümü lk çözümde olduğu gb ver kümesnde daha fazla kovaryansı açıklar. Daha bast br yaı elde etmek çn döndürmenn farklı yöntemler uygulanır. Dk döndürmenn anlaşılması ve yorumlanması daha kolay olduğundan, eğk döndürmeye göre daha çok terch edlr. v) Faktör Skorlarının Bulunması: Faktör analznn kullanımındak temel amaç, yalnız değşkenler kümes arasındak faktör yaısını kurmak değl, aynı zamanda boyut ndrgeme ve başka çalışmalarda değşken olarak kullanablecek faktör skorlarının bulunmasıdır. Brçok faktör analz blgsayar rogramları faktör skorlarını hesalar, bu nedenle faktör skorları bulmak zor değldr (Km ve Mueller, 98) Faktör Analz Yaarken Elde Edeceğmz Matrs Türler Ver Matrs Χ ; değşken sayısı, n brey sayısı olmak üzere nx boyutundak ver matrs, X x x = x M xn 3 x x x x 3 M n M... x x x j j 3 j x M nj M... x x x x 3 M n şeklnde gösterlr. Burada ( ) x j =,,..., n ve j =,,..., olmak üzere, Χ = :. brey çn, j. değşkenn gözlem değern gösterr. Her br sütun x x,...,, x değşkenlern gösterr. Her br değşkenn ortalaması x, x,..., x ; standart saması se s, s,..., s le gösterlr. 6

41 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Gözlenen Korelasyon Matrs (Observed Correlaton Matrx) Gözlenen değşkenlere göre elde edlen korelasyon matrsdr. R x le gösterlr, smetrk br matrs olu, ver matrsndek blgy özetler. Herhang k değşken arasındak korelasyon ortak faktör yüklernn mktarına bağlıdır ve lgl k faktör yüklernn çarımıyla elde edlr, örneğn tek ortak faktörlü x ve x değşkenler arasındak korelasyon; r = λλ şeklnde hesalanır Yenden Üretlmş Korelasyon Matrs (Reroduced Correlaton Matrx) Faktörler belrlendkten sonra üretlen korelasyon matrsdr. R = ΛΛ * şeklnde hesalanır Rezdü Korelasyon Matrs (Resdual Correlaton Matrx) Gözlenen ve yenden üretlmş korelasyon matrsler arasındak farktır * ( R = R R ). Orjnal korelasyon matrsnden farklılık gösterdğnden dolayı rez rezdü korelasyon matrs denr. İy br faktör analznde rezdü korelasyon matrsndek korelasyonlar küçüktür. Bu durum, k matrs arasında yakın br uyumum şaret olarak düşünüleblr. 7

42 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Rotasyonlu Olmayan Faktör Matrs Korelasyon matrsne dayanarak hesalanan, k ya da daha fazla faktör matrslernden brncs rotasyonlu olmayan faktör matrsdr. Faktör matrsndek her satır, faktör analznde yer alan br değşkene karşılık gelr. Sütunların her br se br faktörü temsl eder. Sütun sayısı satır sayısından az olu, her satırdak değşken, faktörler açısından fade edlr. Rotasyonlu olmayan faktör matrs xk boyutunda olu, bu matrste yer alan elemanlar le + arasında değşen ve değşkenn faktör le korelasyonu olarak adlandırılan, rotasyonlu olmayan faktör yükler değerlerdr. Br faktör çn mutlak değerce büyük katsayılar, faktörün o değşken le yüksek lşkl olduğu anlamına gelr. Tahmn edlen faktörler brbrler le lşksz yan ortogonal se faktör yükler aynı zamanda faktörler le değşkenler arasındak korelasyonlardır. Faktör yüklernn kares, değşken le faktörler arasındak ortak varyans kısmını verr. Benzer şeklde br sütundak yüklern kareler tolandığında, o faktör tarafından açıklanan tolam varyansı temsl eden özdeğer elde edlr. Her faktör tarafından açıklanan varyansların tolamı, bütün faktörler tarafından ne kadar varyansın açıklandığını gösterr Rotasyonlu Faktör Matrs Rotasyon yaılmayan faktörlern doğru yorumlanablmes kolay olmayablr. Bu nedenle söz konusu faktörler rotasyona tab tutulmalıdır. Rotasyona tab olan matrsten hang değşkenlern hang faktör le lşkl olduğunu faktör yüklernn yüksek olanlarına bakarak belrlerz. Yüklern yüksek olu olmadığı araştırmadan araştırmaya değşeblr. Sözkonusu değer.35 kadar küçük olablrken,.55 gb büyük br kesme noktası da test edleblr (Akgül, 3). Rotasyonlu faktör matrsnde, değşkenler artık daha öncek şeklde sıralı olmayı, yüklernn gücüne göre sıralanmışlardır. 8

43 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ Faktörler test etmek çn, aynı faktöre at büyük yükler olan değşkenler grulanmalıdır. Küçük yükler hmal edleblr. Ancak br faktör üzernde yoğunlaşan değşkenler belrlendkten sonra bu faktöre anlamlı br sm verleblr Faktör Skorlarının Matrs Faktör analznde amacımız faktör modelndek arametreler ( Λ ve Ψ ) tahmn etmektr. Ortak faktörlern tahmn edlen değerler faktör skorları olarak adlandırılır. Faktör skorları, faktör yükler elde edldkten sonra tahmn edleblr. Regresyonda olduğu gb katsayılar, faktör skorlarını hesalamak çn ağırlıklandırılmış değşkenlerden elde edleblr. Blgsayar aket rogramlarında en yaygın olarak kullanılan faktör skorlarını tahmn etme yöntemler aşağıdak gb sıralanablr. ) Barlett Yöntem: (3.) faktör model çn faktör yükler Λ nın ve özel varyansların oluşturduğu Ψ n blndğn kabul edelm (Johnson ve Wchern, ). Barlett n yılları arasında ler sürdüğü bu yöntem, ortak faktörler; n breyn her br çn değşken üzernden, hata faktörlernn katkısını mnmum yamayı amaçlar (Kendall ve Smth, 95). = ˆ Ψ e = ( x Λˆ f ) Ψˆ ( x Λˆ f ) (3.). değşken çn faktör skorları; hata termlernn kareler kend varyanslarının tersleryle ağırlıklandırılarak bunların tolamının mnmum yaılmasıyla hesalanır. (3.) eştlğnn sağ tarafının ye göre türevnn alınmasıyla Barlett (ağırlıklandırılmış en küçük kareler) çözümü f ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ Λ Ψ Λ Λ Ψ f = x 9

44 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ şeklndedr. Bu denklem faktör skorlarının matrs şeklnde yazılırsa; ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F =ΧΨ Λ ΛΨ Λ elde edlr. Eğer ˆ ˆ ΛΨ Λˆ nn elemanları den oldukça büyük se regresyon ve Barlett yöntem yaklaşık olarak aynı faktör skorlarını verecektr (Morrson, 976). ) Thomson (Regresyon) Yöntem: Thomson ın (95) önerdğ yöntem, Barlett yöntemne benzer özellkler gösterse de temelde bazı farklılıklar çermektedr. Barlett yöntem, her br breydek değşm ortak faktörler olabldğnce hesaba katarak ele alırken, regresyon yöntem her br değşkenn değşmn mnmum yaar. Her k yöntemde de ön blgye ya da arametrelernn tahmnne gerek duyulur (Kendall ve Smth, 95). (3.) faktör model çn Λ ve Ψ nn blndğn; ortak faktörler ve hata termlernn sıfır ortalamalı, sırasıyla Ι ve Ψ varyanslı ortak normal dağılımlı olduğunu kabul edelm. Genellkle, Λ ve Ψ bazı yöntemlerle tahmn edlmesne rağmen, faktör skorlarını hesalarken örneklem hataları göz önünde bulundurulmayablr (Johnson ve Wchern, ).. r =,,..., çn, f r x değşkenne bağlı r. nc faktör skoru se, o zaman f faktör skorunu x lern lneer kombnasyonu olarak tahmn ederz. r Böylece, fˆr λ fˆ = a x = x a r r r şeklnde olacaktır. Burada ar, boyutlu br vektördür. ar y ( ) = E ˆ E( x ) f r f r a r f r 3

45 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ mnmum olacak şeklde seçerz. Bu denklem a r ye göre mnmum yamak çn a r ye göre türevn alı sıfıra eştlerz. E [ x( x a f )] = ( Σa λ ) = r r r r denklemnden, Σa r = λ r ya da a r = Σ λr bulunur. Burada λ r, Λ nın r. nc sütunudur. Böylece fˆ r fˆ r = ˆλ Σˆ r x elde edlr. fˆ vektörünü ( f = ˆ [ fˆ, fˆ,..., ˆ ] f ) fˆ = Λˆ ˆ Σ x (3.3) olarak gösterrz. Regresyon yöntem, beklenen değern tahmn eder. (3.3) eştlğ değşkene at br kümedek faktörlern fˆ = ( Ι + Γˆ ) Λˆ Ψˆ x Γ ˆ = Λ Ψ ˆ ˆ Λ şeklnde de yazılablr (Lawley ve Maxwell, 97). ) Anderson ve Rubn Yöntem: Anderson ve Rubn (956) tarafından önerlen bu yaklaşım, faktörler lşkl olsa ble brbrnden bağımsız faktör skorları üretmektedr. Faktör skorlarının ortalaması sıfır, standart saması dr. Regresyon 3

46 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ yaklaşımında olduğu gb faktör skorları kendlerne at değşkenlerle lşkldr. Fakat bazen dğer faktörlerle de lşkl olablrler. Böylelkle yanlı tahmnler vereceklerdr. Eğer lşksz faktör skorlarına gerek duyuluyorsa, Anderson ve Rubn yöntem terch edlecek en y yöntemdr (Tabachnck ve Fdell, 996) Çözüm Yöntemler Tek Ortak Faktörlü Çözüm Br tane genel faktör ve her br değşkenn tek (unque) varyansını belrleyen özel faktör bulunduğundan k faktör çözümü de denlmektedr. Bu yaklaşım Searman (97) tarafından skoloj alanında gösterlmştr (Rummel, 97). Model anlatmak çn, gözlenen k değşken arasındak kovaryansdan sorumlu tek genel faktörlü en bast durumu ele alalım. Bu durum aşağıdak şeklde anlatılablr: λ x e f λ x e Şekl 3.3. İk Değşkenl Tek Genel Faktörlü Model (Km ve Mueller, 98). Şekl 3.3, n ve n ağırlıklı tolamı ve n de ve e nn x f e x f ağırlıklı tolamı olduğunu gösterr. Çünkü faktörü ve x n her ks çn de f x ortaktır, bu nedenle ortak faktör olarak adlandırılır. Benzer şeklde ve e de e 3

47 3. FAKTÖR ANALİZİ MODELİNDE TEMEL KAVRAMLAR VE FAKTÖR BULMA YÖNTEMLERİ Seval SÜZÜLMÜŞ gözlenen her br değşkenn tek varyansını belrleyen özel faktörler olarak adlandırılır. Cebrsel formda, Şekl 3.3 den k denklem x x = λ f + e = λ f + e olarak tanımlanır. Aynı zamanda Şekl 3.3, le arasında ve le e arasında f e f ve le e arasında kovaryansın olmadığını da gösterr. Yan; e f Cov ( f ) v ( e e ) Cov (, e )=, e =Co, = dır. Şekl 3.3 dek sstemde ve arasında kovaryans vardır. Bununla brlkte, ve arasında kovaryans vardır; çünkü her ks de f ortak faktörünü aylaşmaktadır. x f x x Tüm değşkenler brm varyanslı standart değşkenler se λ ve λ faktör yükler olarak adlandırılır. Şekl 3.3 ü genşletecek olursak, çok değşkenl tek ortak faktörlü modeln yol dyagramı Şekl 3.4 de görüldüğü gbdr: λ x e λ f x e. λ.. x e Şekl 3.4. Çok Değşkenl Tek Ortak Faktörlü Model (Km ve Mueller, 98). 33