Yapı ve LQR kontrol sisteminin birleşik optimum tasarımı

Transkript

1 tüdergs/d mühedslk Clt:5, Sayı:, Kısım:, Nsa 6 Yapı ve LQR kotrol sstem brleşk optmum tasarımı Mehmet BOZCA *, Ata MUĞAN İÜ Maka Fakültes, Maka Mühedslğ Bölümü, 4464, Gümüşsuyu, İstabul Özet Bu çalışmada, yapıı ve kotrol sstem brleşk optmum tasarımı çalışılmıştır. Yapı solu elemalar metodu kullaılarak modellemş ve kotrolcü lear quadratk regulatör (LQR) formülasyou kullaılarak tasarlamıştır. Yapı ve kotrolcü eşzamalı ve ardışık olarak optmze edlmştr. Yapıları ve LQR formülasyoları kullaılarak kotrolcüler eş zamalı optmzasyouu, yapıları yapısal tekl değer şeklledrmes le optmze edldğ ve başarılı br şeklde herhag br lgl kotrol kuralıı tasarlaableceğ br eşdeğer ayrık optmzasyo probleme drgeebleceğ gösterlmştr. Yapıları ve kotrolcüler ayrık optmzasyou özellkle çok serbestlk derecese sahp yapılar ç belrl üstülüklere sahptr. Yapıları ve kotrolcüler eş zamalı ve ardışık optmzasyoları br kafes yapı ve kotrolcüsüe uygulamıştır. Brleşk LQR tasarım problem ç ardışık optmzasyo yaklaşımıı eş zamalı optmzasyo yaklaşımıda çok daha hızlı global mmumu verdğ soucua varılmıştır. Aahtar Kelmeler: Yapısal optmzasyo, optmum kotrol, tekl değer ayrıklaştırması, solu elemalar metodu. Itegrated optmum desg of structures ad LQR cotrol systems Abstract I ths study, tegrated optmum desg of structures ad cotrol systems s studed. he structures are modeled by the use of fte elemets method, ad the cotrollers are desged by the use of lear quadratc regulator (LQR) formulato. he structures ad cotrollers are optmzed smultaeously ad successvely. It s show that smultaeous optmzato of structures ad cotrollers by usg LQR formulatos ca be acheved by a equvalet decoupled optmzato problem where structures are optmzed by shapg the structural sgular values ad succeedgly ay cotrol law of terest ca be desged. Decoupled optmzato of structures ad cotrollers has certa advatages, especally for structures havg large degreesof-freedom (DOF). Computatoal cost of the assocated sgular value shapg problem s very low sce t s oly ecessary to compute the largest ad smallest sgular values that ca be computed by usg selectve egevalue solvers. Model order reducto techques should be employed at every desg terato for smultaeous optmzato approach order to desg LQR laws; however, successve optmzato approach developed ths paper does ot eed ay model order reducto techque durg structural optmzato ad ca easly be mplemeted to problems havg large DOF. he, smultaeous ad successve optmzato of structures ad cotrollers are appled to a truss structure ad ts cotroller. t s cocluded that successve optmzato approach to tegrated LQR desg problem yelds the global mmum much faster tha the smultaeous optmzato approach. Keywords: Structural optmzato, optmum cotrol, sgular value decomposto, fte elemet method. * Yazışmaları yapılacağı yazar: Mehmet BOZCA. mbozca@yldz.edu.tr; el: () dahl:. Bu makale, brc yazar tarafıda İÜ Maka Fakültes'de tamamlamış ola "Yapıları ve kotrol sstemler brleşk optmum tasarımı" adlı doktora tezde hazırlamıştır. Makale met..5 tarhde dergye ulaşmış,.8.5 tarhde basım kararı alımıştır. Makale le lgl tartışmalar.9.6 tarhe kadar dergye göderlmeldr.

2 M. Bozca, A. Muğa Grş Bu çalışmada, yapıları ve kotrol sstemler brleşk optmum tasarımı ç leer quadratk regulatör (LQR) formülasyou uygulamıştır. Eğer uygulamada yapıları serbestlk dereces çok büyük se, model dereces düşürme tekkler brleşk optmum tasarım yaklaşımlarıda br kotrol kuralıı tasarlayablmek ç optmzasyo esasıda her LQR tasarım adımıda kullaılmaları gerekr. Bu se CPU zamaıı arttırır ve modelleme hataları çerr. LQR formülasyolarıı yapıı yapısal tekl değerler şeklledrlmes le optmze edldğ, ve sora kotrolcüü herhag br stee yolla tasarlaableceğ br yapı ve kotrolcüsü ç ayrık optmzasyo probleme döüşebleceğ gösterlmştr. Bu yaklaşım optmze edlmş yapılara daha hızlı gtme, yapıı ve kotrolcüsüü ayrık tasarımıa müsaade etme, kotrolcüler tasarlamak ç model dereces düşürme tekkler kullaımıda modelleme hatalarıı ortada kaldırma gb üstülüklere sahptr. Bu yüzde, çok serbestlk derecese sahp yapılar ç uygudurlar. LQR formülasyou ve yapıı toplam şekl değştrme ve ketk eerjs arasıdak bağıtı yapısal tekl değer şeklledrme problem le bağlatılı olarak türetlmştr. Bu çalışmaı aa hatları aşağıdak gbdr: Öce LQR problem taımlamıştır. Daha sora, kotrol edlmş yapıları optmum tasarımı ç bağıtılar suulmuştur. Sayısal örekler verlmş ve souçlar gösterlmştr. LQR tasarım metodu Br doğrusal-zamala değşmeye (lear tmevarat) yapı aşağıdak stadart formda taımlamıştır. x& = Ax + Bu, x ( ) = x verle fakat keyf () z + = C x D u () Bua göre, stadart LQR tasarım problem aşağıdak gb taımlaır: -Problem taımı: LQR kotrol problem, performas krter z yı mmum yapacak [ ) u L, aralığıda br optmal kotrol kuralı bulmaktır (Aderso ve Moore, 99). Dğer tarafta, geşletlmş LQR problem aşağıdak gb taımlaır: -Problem taımı: LQR problem, sstem çte kararlı yapacak.e., x L [, ) ve () le taımlaa performas krter mmum yapacak, u L [, ) aralığıda br optmal kotrol kuralıı bulmaktır (Aderso ve Moore, 99) t ( x Qx u Ru) J = + dt () Burada Q = Q ve R = R > sırasıyla x durum değşke ve u grş ç ceza matrslerdr. Optmal kazaç matrs K, ger besleme kuralı u = Kx fades yukarıdak J malyet foksyouu mmze edecek şeklde hesaplaır. LQR problemler ç çözümler (Aderso ve Moore, 99) da buluablr. Kotrol edlmş yapıları optmum tasarımı Br yapıı ve LQR ı eş zamalı optmum tasarımı ç, () le taımlaa malyet foksyou br optmzasyo algortması kullaılarak yapıı optmum tasarım parametreler buluması le mmze edlr. Burada Q ve R ceza matrsler öcede tasarımcı tarafıda verlr. Yapısal ve kotrol parametreler, () dek J malyet foksyouu mmze etmek ç teratf optmzasyo algortmaları kullaılarak eşzamalı veya ardışık olarak optmze edlmeldrler. Eşzamalı optmzasyo yaklaşımıda, yapıı ve kotrolcüsüü tasarım parametreler eşzamalı olarak optmze edlr. Yapıları ve LQR ları eşzamalı optmum tasarımı ç de paralel eşzamalı optmzasyo yaklaşımı (hem yapısal hem de kotrolcü parametreler ayı ada mmze edlr) zlemştr. Yapıları ve LQR tasarım problem ardışık optmzasyou Bu bölümde, yapı ve LQR kotrolcüsüü brleşk optmum tasarımıı br yapısal tekl değer şeklledrmes şeklde fade edleblr ve ay- 9

3 Yapı ve LQR kotrol sstem rıklaştırılablr olduğu gösterlmştr. Sosuz ufuklu problem (fte horzo problem) ç aşağıdak LQR malyet foksyouu göz öüe alalım (Aderso ve Moore, 99) K Q = x x M. () m J = m X X ( x Qx + u Ru) dt. (4) Burada X yapısal ve kotrolcü parametreler çere tasarım parametre vektörüdür. Dğer tarafta, yapısal deklemler elde etmek ç solu elemalar metoduu kullaıldığıı ve yapıı yarı ayrık deklemler aşağıdak formda olduğuu varsayalım M & z + Cz& + Kz = f (5) (5) le verle yapıı deklemler aşağıdak gb durum vektörüü taımlaması le kolayca durum-uzay formua () döüştürüleblr. [ z z& ] x = (6) Burada yapıya karşılık ola durum değşkeler (6) le taımlaır. LQR formülasyouu alamı yapıı toplam eerjs mmze etmektr. Çükü J mmzasyou (4) tek her br term mmzasyouu gerektrr ve brc term Q u bu taımı ç yapıı toplam eerjse eşdeğerdr. Geellkle, br keyf Q matrs ç, br durum ağırlık matrs W s buluablr (Hor ve Johso, 995) öylek Q = W s K W M durum değşkeler s () Yapıı U şekl değştrme eerjs ve ketk eerjs aşağıdak gb yazılablr (Haug ve Cho, 986). x = W s z z& () U = z Kz (7) = z& Mz&. (8) Sstem toplam eerjs E E = U + = K x z M z & x [ z z& ] (9) le verlr. Burada x x boyutuda sıfır matrstr ve yapıı serbestlk derecesdr. (5) dek kc term söümleme termdr ve kayıp eerj sorumlusudur. Durum ceza matrs Q u aşağıdak gb olduğuu düşüelm; le taımlaa br yapıya karşılık gelr. Durum ceza matrs Q geellkle br dagoal matrs olarak seçldğde dolayı, ağırlık matrs W s aşağıdak gb seçleblr W s X k = X m. () Burada X k ve X m matrsler sütuları sırasıyla K ve M matrsler özvektörlerdr. Eğer Q matrs dagoal olarak seçlmez se, bu takdrde () le verle matrs deklemde, W s çözülmeldr. Özetle, br keyf durum ceza matrs Q ç, (4) le taımlaa J mmzasyou () le verle toplam yapısal eerj mmzasyoua karşılık gelr. Ya toplam yapısal eerj () de olduğu gb ağırlaştırılmış alamda mmze edlr. 9

4 M. Bozca, A. Muğa Bu arada, (Postlethwate vd., 98) sayesde, br belrleyc (determstc) peryodk olmaya grş vektörü u(t) ç, eerj yoğuluğu oraı, aşağıdak gb maksmum ve mmum tekl değerler kareler le sıırlıdır; yˆ( j) (4) uˆ( j) Burada y(t) grş vektörü u(t) ye cevap ola çıkış vektörüdür, ve y ˆ( j) ve u ˆ( j) sırasıyla y(t) ve u(t) Fourer döüşümlerdr ve + jt = y ( t e dt yˆ ( j ) ) (5) + jt = u ( t e dt uˆ ( j ) ) (6) le taımlaırlar. Böylece, br keyf ceza matrs Q ç toplam yapısal eerj mmzasyou ((4) dek brc term) durum değşkeler () le taımlaa yapıı ve değerler mmzasyoua eşdeğerdr. Yukarıdak souca paralel olarak, G ve P sırasıyla bozucu etkde çıkışa ve referas grşte çıkışa trasfer matrsler gösterrler. Böylece, ayrık yapısal optmzasyo problemde ( G ( j) ) ı mmzasyou, (5) de f=d kuvvet vektörüe eşt yapılarak hesaplaable bozucu etk grş d ye cevap olarak toplam yapısal eerj E d mmzasyoua eşdeğerdr. Bu takdrde, E d le gösterle çıktıya karşılık gele toplam yapısal eerj bozucu etk grş d yüzüde olacaktır. Bezer olarak, ayrık yapısal optmzasyo problemde, ( P( j) ) ı maksmzasyou, (5) de f=u kotrol grşe eşt kuvvet vektörü durumua karşılık gele kotrol grş u ya cevap olarak toplam yapısal eerj E u u maksmzasyoua eşdeğerdr. Bu takdrde, E u le gösterle çıktıya karşılık gele toplam yapısal eerj kotrol grş u yüzüde olacaktır. Souç olarak, LQR problem ç amaç foksyou aşağıdak eerj oraıı mmumu olarak taımlaır Ed Mmum (7) E veya eşdeğer olarak u Mmum () ke Maksmum () (8) E d le belrtlr. Şmd, (4) tek kc term üzerde çalışılacaktır. u ~ grş vektörüü büyüklüğüü gösters (.e., u = u( t) = us ~ t ). Bu durumda, aşağıdak grş-çıkış trasfer matrs (s) ola br yapı aşağıdak fade ç geçerldr (Postlethwate vd., 98). SMSVO( ) (9) SMSVI Burada (), ( j) ı.tekl değerdr (yapısal tekl değer). SMSVO () br peryod ç m sürekl-durum çıkışı y ss kares ortalama değer toplamıı gösterr. π SMSVO = π yss ( t) yss ( t) dt E u = u~ S( ) u ~ () le verlr. SMSVI br peryod ç grş kares ortalama değer toplamıı gösterr. π SMSVI = u ( t) u( t) dt = uˆ π le verlr ve uˆ * * [ ( j) ( j) ( j) ( j) ] () S = + () 9

5 Yapı ve LQR kotrol sstem le gösterlr. Burada (*) eşlek traspozu ve üst çzg eşleklğ gösterr. Kotrol grş ceza matrs R aşağıdak formda ayrıklaştırıldığı düşüüldüğüde, R = () W R ΛWR le verlr. Burada W R orthogoal ve Λ dagoaldr (Hor ve Johso, 995). Yere koyarak u~ = Λ W u (4) R elde edlr. Sora, () aşağıdak formda elde edlr SMSVI = u~ u~ = u WR Λ Λ WRu = u Ru (5) (5) deklem, (4) le verle br grş ç sstem SMSVI ı (4) le verle LQR malyet foksyou J dek so terme eşt olduğu alamıa gelr. Bu edele SMSVO () ve (4) kullaılarak da hesaplaablr. Böylece J mmzasyou (9) le taımlaa br ağırlaştırılmış grş ç SMSVI ı mmum yapılması alamıa gelr; bu da aşağıdak gb maksmzasyouu gerektrr SMSVI (6) SMSVO SMSVI u grş foksyou ke, yapısal tekl değerler ve sadece yapısal parametrelere bağlı olması dkkate değerdr ve SMSVO hem u grş hemde yapısal parametreler foksyoudur. (4) deklemdek amaç foksyoudak brc ve kc termler sırasıyla (4) ve (6) le açıklaa yapısal tekl değer şeklledrme problemler terse eşdeğer oldukları öemldr. Gerçekte, Q ve R ceza matrsler kullaımı le degelee, brc ve kc termler katkıları ç (4) le taımlaa J amaç foksyouda br lşk vardır. Müteakbe, sayısal çözümlerde yapı ç br ayrık optmzasyo problem ola aşağıdak amaç foksyou kullaılır ( ) Mmum A + + ( ) B + (7) ( ) A ve B katsayıları sırasıyla, toplam yapısal eerjy ve SMSVI yı cezaladırmak ç bağımsız olarak seçlr. () sadece ve çerdğde dolayı, ble optmzasyo problem hesaplama malyet düşüre seçml öz değer çözücüler (Golub ve Loa, 98) kullaılablr (öreğ, bkz. Muğa, ). Gerçekte, LQR problem karşılığı br ayrık yapısal tekl değer şeklledrme problem olarak ortaya komuştur. Gerçekte, yapıı ve kotrolcüü optmum tasarımı ç LQR formülasyou frekas uzayıda yapısal tekl değer şeklledrmes problem le lgldr ve de frekas uzayıda yapısal eerj şeklledrlmese eşdeğerdr. Aşağıdak bölümde LQR formülasyoları üzere sayısal örekler gösterlmştr. Uygulama Şekl de belrtle kafes sstem ve ou kotrolcüsü ç ble eşzamalı ve ardışık optmum tasarım problemler LQR formülasyoları kullaılarak bu bölümde çözülmüştür. Kafes sstem 7 kafes elemada oluşturulmuştur ve yapısal parametreler aşağıdak gbdr: Elastklk modülü E 9 =.x N / m, elema boyu l = m, malzeme yoğuluğu ρ = 785kg / m dür. Bütü optmzasyo çalışmalarıda, Ardışık Quadratk Programlama metodu kullaılmıştır. Yapıı mukavemet garat etmek ç optmzasyo problem maksmum gerlme ( τ j ) max br emyet gerlmes (τ j ) emyet le sıırladırıldığı br kısıtlı optmzasyo problem olarak çözülmüştür. St 7 çelk malzeme ç τ ak = 4 N/cm, emyet katsayısı S=4 ve 9

6 M. Bozca, A. Muğa τ emyet =6 N/cm olarak alımıştır. Kafeskrş sstem ç tasarım parametreler kafeskrş elemaları h kest alalarıdır. Optmzasyo algortmasıda h kest alalarıı alt ve üst 4 4 sıırları sırasıyla.4x m ve x m olarak alımıştır. Yapıı kütles düğüm oktalarıa paylaştırılmıştır. C=αK formudak Raylegh söümü sayısal smülasyoda kabul edlmştr burada α değer. le. arasıdadır. Global mmumları bulmak ç, yapısal parametreler (öreğ, kafes-krş elemaları kest alaları) ç başlagıç koşulları sayısal çözümler esasıda değştrlmştr. z z 4 z z 6 z z z Şekl. Kafes sstem asarım parametreler kafes-krş sstemdek çubukları h kest alalarıdır ve LQR formülasyoları le hesaplaa u=-kx kotrol grş ç ger besleme matrs K dır. (4) dek durum ceza matrs Q ve kotrol ceza matrs R 5 z 9 7 z 8 z 7 ç, bütü tasarım çalışmalarıda bastlk ç brm matrsler olarak seçlmşlerdr. Keyf Q ve R matrsler de seçleblrd. Ardışık optmzasyo ç, aşağıdak malyet foksyou (7) de A= ve B= seçlerek mmze edlmştr. Mmum ( + (8) ( P j) ) ( P( j )) Bu yapıları ve kotrolcüler eşzamalı optmzasyoları le elde edle heme heme ayı souçları verr. ( P( j )) çok küçük ( -5 mertebesde) ve ( P( j )) mertebesde ol- / P j term baskıdır duğuda dolayı, ( ( )) ve buu soucuda / ( P( j )) ı malyet foksyou (8) dek gb ayı souçları verr. ablo ve ablo de sırasıyla eşzamalı ve ardışık optmum tasarım yaklaşımları ç bazı souçlar suulmuştur. Br mpulsa karşılık ola J malyet foksyouu değerler, tarasfer matrs H ormu ve (8) malyet foksyouu değerler sırasıyla kafes-krş sstem eşzamalı ve ardışık optmum tasarımları ve LQR ç çubukları toplam kest alalarıı (kafes-krş sstem toplam ağırlığı le oratılı) çözüm grubu çde değştğ durumda Şekl ve te verlmştr. ablo. Eşzamalı LQR optmzasyo yaklaşımı le elde edle bazı çözümler Çözüm o Optmum kest alaları (cm ) oplam ala (cm ) J + CPU Zamaı (s) h başlagıç = [,,,,,, ] h optmum = [.4,.97,.87,.4,.87,.4,.4] h başlagıç = [5, 5, 5, 5, 5, 5, 5] h optmum = [.99, 4.99,.,.4, 4.56, 4.65, 4.9] h başlagıç = [,,,,,, ] h optmum = [8.8,.5, 6.,.4,.5,.5,.7]

7 Yapı ve LQR kotrol sstem ablo. Ardışık LQR optmzasyo yaklaşımı le elde edle bazı çözümler Çözüm o Optmum kest alaları (cm ) oplam ala (cm ) J + CPU Zamaı (s) h başlagıç = [,,,,,, ] h optmum = [.67,.76,.97,.4,.4,.4,.4] h başlagıç = [5, 5, 5, 5, 5, 5, 5] h optmum = [.74,.69,.8,.4,.4,.74,.4] h başlagıç = [,,,,,, ] h optmum = [.88,.4,.8,.4,.4,.4,.4] h Şekl. (8) amaç foksyoua göre, kafes sstem eşzamalı optmum tasarımı ç toplam kest alaı değştğde J malyet foksyou, H ormu ve tekl değerler tersler toplamı 95

8 M. Bozca, A. Muğa x H O Eştlk (8) + J malyet h Şekl. (8) amaç foksyoua göre, kafes sstem ardışık optmum tasarımı ç toplam kest alaı değştğde J malyet foksyou, H ormu ve tekl değerler tersler toplamı Br çok-amaçlı karar krter kullaarak bu şekllerde suula çözüm grupları arasıda e y çözümü seçm tasarımcıı hedefdr. ablo de ardışık optmzasyo yaklaşımı le elde edle optmum çözümü, ablo de eşzamalı optmzasyo yaklaşımı le elde edlede daha y olduğu gözlemler. CPU zamalarıa dayalı mukayeseler eşzamalı optmzasyo yaklaşımı ç model dereces düşürme tekğ gerçekte gerekmemese rağme, ardışık optmzasyo yaklaşımıı lehedr. Eğer herhag br model dereces düşürme tekğ eşzamalı optmzasyo yaklaşımı ç uygulasaydı, bu takdrde, eş zamalı optmzasyo yaklaşımıı CPU zamaları artacak, modelleme hataları problem çe grecek ve ardışık optmzasyo yaklaşımı eş zamalı optmzasyo yaklaşımıda daha üstü olacaktır. Souçlar Br yapı ve ou kotrolcüsüü brleşk optmum tasarım problem LQR formülasyoları kullaılarak çalışılmıştır. Eşzamalı optmzasyo problemlerde LQR kullaımı özellkle çok serbestlk derecese sahp yapılar ç her tasarım aşamasıda yapılar ç model dereces düşürme tekkler kullaımıa gereksm duyar. Bu yüzde, öeml yaklaşım hataları çermes gb belrl sakıcalara sahp olduğu blmektedr. Kotrol edlmş yapıı optmum tasarımıı br çok-amaçlı optmzasyo problem olduğu dkkate değerdr. Br bast kafeskrş sstem ç, amaçları çubukları toplam kest alaları (toplam ağırlıkla oratılı) ve amaç foksyo (öreğ, (4) dek J malyet foksyou ve (7) dek yapısal tekl değerler foksyou) ola farklı yaklaşımlar ç çözüm grupları verlmştr. Yapıları ve kotrolcüler eşzamalı optmzasyouu aşağıdak gb br ayrık (ardışık) optmum tasarım yaklaşımıa drgeebleceğ gösterlmştr: İlk öce, yapı yapısal tekl değerler şeklledrlmes le optmze edlr, sora kotrolcü herhag br lgl metod le tasarlaablr. Ardışık optmzasyo yaklaşımıda yapısal optmzasyo ç amaç 96

9 Yapı ve LQR kotrol sstem foksyoları (7) le verle yapısal tekl değerlere göre açıklaır. Ble tekl değer şeklledrme problem hesaplama malyet br yapıı solu elema model serbestlk dereces büyük olmasıa rağme çok düşüktür. Çükü sadece e büyük ve e küçük tekl değerler hesaplaması gerekr ve seçml öz değer çözücüler kullaımı le hesaplaablr ve dğer tekl değerler gerekl değldr. Eş zamalı LQR optmzasyo problem çözümler ardışık optmzasyo yaklaşımı le elde edlebleceğ de gözlemlemştr. Sayısal çalışmaya dayaarak, aşağıdak yaklaşımı kotrol edlmş yapıı optmum tasarımı ç çok verml olduğu soucu çıkarılmıştır: İlk öce (7) le verle amaç foksyouu yapıyı optmze etmek ç kulla ve yerel mmumları karşılığı ola bütü çözümler kaydedlr. Sora herhag br kotrol kuralı bu çözümler ç br kotrolcü tasarlamak ç kullaılablr.nha tasarım bu aday çözümler arasıda seçleblr. Öte yada, eş zamalı optmzasyo yaklaşımı ç, LQR kurallarıı tasarımıda her tasarım adımıda model dereces düşürme tekkler kullaılması gerekr. Buula beraber, bu çalışmada gelştrle ardışık optmzasyo yaklaşımı yapısal optmzasyo esasıda herhag br model dereces düşürme tekğe htyaç duymaz ve çok serbestlk derecel problemlere kolayca uygulaablr. Ardışık optmzasyo yaklaşımıda, kotrolcü yapı optmze edldkte sora tasarlaır; böylece, eşzamalı optmzasyo yaklaşımıda çok daha az CPU zamaıa htyaç duyar. Model dereces düşürme tekğ uygulamadığı durumda, ardışık optmzasyo yaklaşımıı toplam CPU zamaı yaklaşık le 4 kat bu eşzamalı optmzasyo yaklaşımıda daha azdır. Eğer eşzamalı optmzasyo yaklaşımı ç br model dereces düşürme tekğ uygulaırsa, CPU zamaı karşılaştırması ardışık optmzasyo yaklaşımıı daha fazla lehe olacaktır. eşekkür Bu çalışma kısme İstabul ekk Üverstes Araştırma Etklkler Sekreterlğ tarafıda desteklemştr. Kayaklar Aderso, B. D. O. ve Moore, J.B. (99). Optmal cotrol, Pretce Hall, New Jersey. Golub, G. H. ve Loa, C. F. (98). Matrx computatos, Johs Hopks Uversty Pres, Marylad. Haug, E. J. ve Cho, K. K. (986). Desg sestvty aalyss of structural system, Academc Press, Lodo. Hor, R. A. ve Johso, C. R. (995) opcs matrx aalyss, Cambrdge Uversty Pres, New York. Muğa, A. (). Effect of mode localzato o ıput-output drectoal propertes of structure, Joural of Soud ad Vbratos,. 58, Postlethwate,I. Edmud J. M. Ve Macferlae, A.G. Postlethwate,I. Edmud J. M. ve Macferlae, A.G. J. (98). Prcpal gas ad prcpal phases the aalyss of lear multvarable feedback systems, IEEE rasactos o Automatc Cotrol,,