Bir Telekomünikasyon Probleminin Matematiksel Modellenmesi Üzerine

Transkript

1 Br Telekomükasyo Problem Matematksel Modellemes Üzere Urfat Nuryev, Murat Erşe Berberler, Mehmet Kurt, Arf Gürsoy, Haka Kutucu 2 Ege Üverstes, Matematk Bölümü, İzmr 2 İzmr Yüksek Tekolo Esttüsü, Matematk Bölümü, İzmr urfat.uryev@ege.edu.tr, murat.erse.berberler@ege.edu.tr, kurt.mehmet@gmal.com, arf.gursoy@ege.edu.tr, hakakutucu@yte.edu.tr Özet: Söz kousu problem, telekomükasyo sektörüde, farklı dalga boylarıı bölme ve çoklama tekolos kullaa br optk letşm ağıda, uygulaablr e yüksek malyet drm sağlamak ç, tek br kabloda hareket ede farklı dalga boylarıdak blg akışıı e uygu bçmde paketlemes araştıra br optmzasyo problemdr. Bu çalışmada, lteratürde Badpass problem olarak smledrle problem süresel matematksel modellemes yapılmış, karmaşıklık aalz hesaplaarak NP sııfta olduğu spatlamıştır. Problem özel örekler gelştrlmş, bu örekler paylaşıldığı teret kütüphaes hazırlamıştır. Problem çözümü ç heurstc br algortma gelştrlmş, örekler üzerde yapıla hesaplama deemelerde elde edle souçlar ble e y souçlarla karşılaştırılmıştır. Aahtar Sözcükler: Badpass Problem, Kombatork Optmalleştrme, NP Sııf, Heurstk Algortma, Badpass Problem İteret Kütüphaes Abstract: The problem s used to provde the optmal reducto of cost ad s applcable the telecommucato feld. It s a optmzato problem that seeks to fd the most coveet way of packagg formato flow dfferet wavelegths that move oe cable. The problem occurs a commucato etwork that uses multplexg ad dvso of dfferet wavelegth techology. I ths study, the mathematcal modellg ad the tme-complexty aalyss of the problem called Badpass problem s doe, ad t s prove that the problem belogs to NPcomplete class. Specfc examples of the problem are developed, ad a ole lbrary, where such examples may be shared, s created. A heurstc algorthm was also veted to solve the problem ad the results of calculato-expermets usg ths algorthm, are compared wth the best results of other algorthms.. Grş Güümüzde, ster büyük ster küçük ölçekl tüzel kşlkler varlıklarıı sürdüreblmek adıa, ya da gerek ş gerekse özel hayatlarıda gerçek kşler yaşam kalteler artırablmek ç popüler br kavrama hak ettğ öem vermektedrler: Vermllk Üretmler daha kârlı hale getrmek ç ham madde şleme le lostk gderlerde veya ş gücüde tasarruf etmek steye şrketler br yaa, bu şrketlerde görev yapa ve ulaşım, gıda vb. htyaçlarıı masraflarıı e aza drmek steye br çalışa da aslıda ayı kavramı etrafıda dolaşmaktadır.

2 Vermsz yapıları verml br bçme getrme problem kes br çözümü, üzerde çalışıla öreğ yapısı doğrultusuda, baze üzerde düşümeğe ble değmeyecek kadar kısa br süreç alablrke, baze de hesabı zor ve uzu şlemler gerektre br plalamaya htyaç duymaktadır. Fakat elde edlecek kazaç, özellkle şrketler, bu zor süreç ç araştırma yapmaya sevk etmektedr. İşte matematkte Optmzasyo Problemler başlığı altıda suula ala, yukarıda bahsedle zorlu süreçler araştırmak ç ortaya çıkmıştır. Optmzasyo Problemler öeml br araştırma sahası telekomükasyo veya daha özel olarak belrtmek gerekrse, ver letm soruudur. Br oktada br başka oktaya letle verler e az malyetle ve e hızlı br bçmde letlmes hem şrketler hem de so kullaıcılar açısıda oldukça öemldr. Telekomükasyou bu tür problemler geelde muhtemel yollar arasıda e verml olaı bulma amacıı gütmektedr. Öte yada, gelşe tekolo, araştırıla amaçlarda ye boyutlar açılmasıa ede olmaktadır. Çalışmaı aa kousuu teşkl ede Badpass (Bad-geçş) Problem, alışılmışı dışıda, so tekolok mkâlara da paralel olarak, ver hag yolda gdeceğ le değl asıl göderleceğ le lglemektedr. Br problem çözümüe lşk e öeml tesptlerde br bu problem zama karmaşıklığıdır. Problem eldek verler ve stee şartlar altıda e kadar sürede çözülebleceğ kullaıcıları açısıda e çok merak edle br usurdur. Bu problem, zor çözüle problemler sııfıda olduğu ç kes çözümü oldukça uzu br süreç gerektrmektedr. Bu edele problem ç kısa zamada verml br souç bulmaya yaraya yaklaşık çözümler araştırılmaktadır. Öte yada, problem bazı özel durumları çm kes çözümü garat ede yötemler de gelştrlmştr. Bu çalışmada, badpass problem tarhçese değlmş, matematksel modeller celemş, süresel karmaşıklığı hesaplamış, çözümü ç heurstc algortmalar gelştrlmş, özel problem örekler hazırlamıştır. Ayrıca bu örekler kou üzerde çalışacak araştırmacıları yaptığı hesaplamalarda karşılaştırma yapablmeler amacıyla ole br kütüphaede yayımlamıştır. So olarak çalışmaı şekllemesde faydalaıla akademk yayılara kayakça bölümüde yer verlmştr. 2. Badpass Problem 2.. Badpass Problem Ortaya Çıkış Sürec Başlagıcıda özellkle asker tekolo çalışmalarıa hız kazadırmak ç br kaç araştırma merkez kurumsal blgsayarlarıı brbre bağlaması ve böylelkle aradak ver letşm kolaylaştırması amacı bulua teret, güümüzde tüm saları kşsel blgsayarlarıı gülük htyaçlarıı gdermek ç kşsel ve kurumsal blgsayarlarıı brbre bağladığı br yapı hale gelmes ögörülemeye hızlı br süreçtr. Bu hız ve kullaım amacı değşklğ, tekolo üretcler, ye kullaıcı potasyeller ve bu potasyel htyaçlarıı y belrlemes ve bulara karşılık vereblmes sayesde gerçekleşmştr. Ver letşmdek gelşmeler sadece teret ve blgsayar le kısıtlı kalmamıştır. Dgtal tv yayıları, gsm şebekeler vb. yapılar da bu gelşm öeml parçalarıdır. Iteret, dgtal tv yayıları ve gsm şebekeler kullaımıı artması, letle verler büyüklüğü (ses, görütü, vb. ), üretcler letşm hızı ve kaltes adıa ye araştırmalara sevk etmektedr. Arta ver trafğ karşılamak adıa kullaıla kabloları fber optk kablolara döüşmes öeml br adım olarak görülmektedr. (Ramaswam ad Svaraa, 998) Bu kablolarda, TDM

3 (Zama Bölmel Çoğullama), FDM (Frekas Bölmel Çoğullama) ve WDM (Dalgaboyu Bölmel Çoğullama) gb çoğullama tekkler kullaılmaktadır. Özellkle geş ala ağlarıda kullaıla fber optk kablolardak letşm kapastes artırmak ç WDM tekğ kullaılmaktadır. (Jourda et al., 998) Dalgaboyu bölmel çoğullama (WDM Waveleght Dvso Multplexg) le tek br fber lf yüzlerce ayrı letşm kaalıa (dalgaboyua) bölüeblr. Böylece fber hat üzerde taşıa ver mktarı katlaarak artırılmıştır (Yag ad Wag, 2004; Nosu ad O Mahoy, 994) Kaalları (dalgaboyları) sayısı çok olduğuda ve dalga geşlğ çok yakı olduğuda öreğ m gb, bua Yoğu Dalgaboyu Bölmel Çoğullama DWDM (Dese Wavelegth Dvso Multplexg) der. DWDM le her br 0 Gb/s hızıda blg taşıya 28 değşk dalgaboyuda ışık, ayı fber optk kablo çde taşıablmektedr. Bu yolla da terabt hızlarıda letm elde edlmektedr. (Cheug et al., 990) Şekl 2.. de br WDM ağıdak ver letm şeması görülmektedr. Şekl 2.. WDM ver akış şeması So yıllarda Çok Yüksek Yoğuluklu Dalga Boyu Bölmel Çoklama (UDWDM) kavramı karşımıza çıkmaktadır. Bu yolla tek br fber lf blerce kaala bölüeblecek ve her kaal Gb/s kapastesde blgy leteblecektr. (Tutoral Gude, 200) Br DWDM sstem e öeml yapıtaşlarıda br ADM(Add/Drop Multplexer) dr. ADM ler adıda da alaşılacağı gb dalga boylarıı eklemes/çıkarılması ş yapar. ADM lere ağa dalga boyu eklemek veya soladırıcı oktalarda dalga boyu çıkarmak ç htyaç duyulur. Br ADM de grş portu, add/drop portu ve çıkış portu olmak üzere üç adet port vardır (Kamov et al., 996; Goralsk, 997). Şekl 2..2 de Optk ADM br DWDM ağıdak koumu görülmektedr. Şekl 2..2 DWDM ağıda OADM DWDM ortaya çıkmasıyla lk etklee ala uzu mesafe letm olmuştur. Şehrlerarası trafğ artmasıyla, taşıyıcılar uzu mesafe ağlarıı kapasteler artırma gereksm hssetmştr. Bu da DWDM le çalışa oktada-oktaya (pot-to-pot) bağlatılarda çok büyük yatırımları yapılmasıa ede olmuştur. Bu bağlatılar bat geşlğ problem çözmüş acak yöledrme kousuda çok fazla br şey getrmemştr. Optk aahtarlar brde çok DWDM bağlatısıa trafğ akıllı br şeklde akması ş gerçekleştrmştr. Şmd yapılması gereke uzu mesafelere çok y uyum sağlaya bu sstemler kısa mesafelerde asıl etk br şeklde kullaılableceğ bulmaya gelmştr. Acak mevcut DWDM sstemler şehr ağları (Metropolta Area Network - MAN) ç uygu olması brkaç açıda olası gözükmemektedr: Uzu mesafelerde trafk fazlaca add/drop gereksm olmada akar acak MAN da bua sık sık gereksm duyulur. Bazı üretcler DWDM sstemler MAN da daha ucuz hale asıl getrlebleceğ araştırmaktadır. Bzm çalışmamızda DWDM sstemlerde öeml br yer ola ADM chazlarıı kullaımıı e aza drgemes ö görülmektedr. Bu da MAN larda DWDM sstemler ucuz br şeklde kullaılablmes sağlayacaktır. DWDM tekolos kullaa moder optk kablo m(yüzlerce olablr)

4 farklı dalgaboyuda kodlamış blgy taşıyablr. Blgy taşıya bu dalgaboyları olarak temsl m edleblrler. İk sıırdaş dalga boyu ardışık olarak düşüüleblr. ADM ler görev bazı dalga boylarıda gerçekleşe letşm ağda soladırmak ya da ağa sumaktır. Optk ağda br dalga boyuda gerçekleşe letşm ADM lere ulaştığıda eğer hedef oktası se ADM tarafıda eklep/çıkartılır (add/drop) değlse ADM de geçer. Kısaca ADM ler br çeşt yöledrme chazları gb davraır. Fber optk ağdak her dalgaboyu ç ADM lerde özel br kart buluur. Ya ağdak adet dalgaboyu br Optk ADM de add/drop edlecekse o Optk ADM de adet kart gerekmektedr. Farklı dalgaboylarıda devam ede akışlar çoğu kez ayı ADM de geçmeldrler. Eğer bu dalga boyları ard arda se ( 2... gb) o zama badpass dedğmz gruplara ayı ADM lerde geçe bu dalga boylarıı paketleme mkaı vardır. Bu durumda her kart B (Badpass umarası) adet akışı sayısıı teblğ eder. Bu her dalgaboyu ç br tae kullaıla kartlarda br kaçıı (B aded) br adedyle değştrlmese z verr. Her br tek br dalgaboyua lşkl ola brkaç kartı bu dalgaboylarıda sadece br hakkıdak blgy ve B umarasıı taşıya br kart le değştrmek toplam kart sayısı azaltır ve toplam kart malyet drlmese öderlk eder. Problem daha y taıtablmek ç, söz gelm Şekl 2..3 tek gb br X merkezde br Z merkeze gde br hat le bu hat üzerde yer ala Y merkez modelleyelm. Şekl 2..3: X merkez le Z merkez arasıda br hat Y merkez, X te ayrıla kablo üzerde bulua kırmızı, lavcert, mav ve turucu olmak üzere 4 farklı dalgaboyuu talep ettğ varsayalım. Şekl 2..3 te görebleceğz gb kırmızı, lacvert ve mav ardışık dalgaboylarıdır. Bua karşı turucu bu ardışıklık çde değldr. 4 dalgaboyu talep ede Y merkez B=4 sayısıı taşıya tek br kart le bu dalgaboylarıı amıı alamamaktadır. Çükü talep ettğ dalgaboylarıı amı ardışık değldr. Bu durumda 4 tae kart kullamalıdır. Eğer Cam Göbeğ regdek dalgaboyu le Y merkez talep ettğ turucu rek yer değştrrse, bu durumda Y merkez talep ettğ 4 dalgaboyuu da ardışık olması edeyle lgl dalgaboylarıı çekmek ç tek br kart yeterl olacak ve malyet dörtte üç oraıda azalacaktır Badpass Problem Lteratürdek Yer Badpass Problem ve lk matematksel model D. A. Babayev ve G. I. Bell tarafıda 2004 yılıda suulmuştur. Bu suumu ardıda beş farklı matematksel model gelştrlmştr. (Nuryev ad Kutucu, 2007) Takp ede süreçte problem çözümüe lşk çeştl algortmalar gelştrlmş ve problem karmaşıklık sııfıa dar yayımlar suulmuştur. (Babayev, et al., 2007;2009; Nuryev et al., 2007) Problem sııfıa dar lk araştırmada Badpass Problem, Tatm Edleblrlk probleme drgemştr. (Babayev et al., 2007; 2009) Gelştrle algortmaları çeştl htmaller değerledrlerek test edleblmes, karşılaştırılablmes amacıyla problem örekler gelştrlmştr. Problem ye olması, araştırmacıları çalışmalarıı kıyaslayablmeler ve problemle lgl ola araştırmacıları letşm kurablmeler gb amaçlarla problem örekler Ege Üverstes Fe Fakültes Matematk Bölümü Web Stes büyesde detaylarıa yedc bölümde yer verle BadPass Problem Lbrary adıyla teret kütüphaes açıldı. (Babayev et al. 2007) 2009 yılıda Kaada Alberta

5 Üverstes de Guohuo L, problem sııfıa dar suula lk spatı eleştrmş ve problem Hamlto Yol Probleme drgeyerek karmaşıklık sııfıa dar ye br spat sumuştur. L ayrıca bu makalesde üç sütulu Badpass Problem ç yaklaşık çözüm vere br algortma gelştrmştr. Hollada Katholeke Üverstes de Mustafa Mısır, problem çözümüyle lgl olarak Hyper-Heurstc yaklaşımlar üzerde çalışmıştır. Ortadoğu Tekk Üverstes de Göktürk Üçoluk problem çözümü ç geetk algortmalar üzerde çalışmıştır. (Berberler ad Gürsoy, 200) G.H. L ve Z. L, daha öce gelştrdkler ve üç sütu ç yaklaşık çözüm ürettğ dda ettkler algortmaı, lk makaledek çeştl katsayıları durumlarıı celeyerek, üretle çözümü aslıda kes çözüm olduğuu spatlamıştır. (L ad L, 200) So olarak Nuryev, Kutucu ve Kurt tarafıda hazırlaa Mathematcal Models of the Badpass Problem ad OrderMatc Computer Game makales Elsever Mathematcal ad Computer Modellg dergsde yayımlaması kabul edlmştr. (Nuryev et al, 200) 2.3. Badpass Problem Taımı Badpass Problem Matrs le Gösterlmes Br letşm ağıda adet farklı hedefe göderlmek üzere m adet pakete sahp br kayak olduğuu düşüelm. Bu durum A { a } matrs le fade edlr. Eğer paket (,..., m) oktasıa (,..., ) göderlecekse a a dr. Şekl de bu aks halde 0 matrs oluşturulmasıa br örek verlmştr. Grdler 0 ve ola mx boyutuda br { } matrsde ayı A a sütüda B adet sıfırda farklı elemaları ard arda gelmes br badpass oluşturur. Br sütuu sıfırda farklı ola her br elemaı sadece br badpass te yer alablr. Bu taım bze ayı sütuda brde fazla badpass ayı elemaı ya ayı satırı çeremeyeceğ fade etmektedr. Şekl Badpass Matrs Oluşturulması Badpass Problem Öreğ Tablo dek A matrsde 3 ve 5. sütular herhag br badpass çermemektedr Tablo Badpass Öreğ; A Matrs m, 5 Çükü B=5 adet ar darda sıfırda farklı elema çermemektedr. 2. sütu se 2. satırda 8 satıra kadar ard arda gele 7

6 adet sıfırda farklı elemaa sahptr. Bu sütudak 2. satırda 6. satıra kadar veya 3. satırda 7. satıra kadar veya 4. satırda 8. satıra kadar ola elemalar brer badpass oluştururlar. Fakat sadece bu üç grupta br bu sütü ç br badpass olarak seçleblr. Çükü yukarıdak badpass taımıı da z vermedğ üzere bu gruplarda herhag ks sıfırda farklı ortak elemalar çermektedr. Şekl de bu badpassları asıl kesştkler görülmektedr. = m a B / dr. Eğer matrs br sütuu badpass çermyorsa ama o sütudak sıfır olmaya elemaları toplamı B de az değlse matrs satırları yede düzeleerek br badpass elde edleblr. Satırları yede düzelemesde kasıt satırları brbrler le yer değştreblmesdr. Sadece satırlar yer değştreblr. Sütuları değerler korumalıdır. Öreğ; A matrsdek 5. sütuda br badpass yoktur ama 9. satır le 7. satır ya da 9. satır le 3. satır yer değştrr se bu sütuda br badpass oluşur. Şekl de bu değşm görülmektedr. Bu sütuda badpass oluşturmak ç başka yer değştrmeler de mümküdür. Şekl Kesşe Badpasslar Brde fazla badpass olması ç; br sütuda ard arda gele sıfırda farklı elema çere grupları brbrler le çakışmaması gerekmektedr. Her grup e az B tae elemada oluşmalıdır. Öreğ. sütuda 2 adet badpass bulumaktadır. Bular aşağıdak satır gruplarıda oluşa üç çft her br: { - 5 ve 6-0}, { - 5 ve 7 - }, {2-6 ve 7 }. Görüldüğü gb bu 3 çft her brde 5 elemada oluşa k grup ayı satırları çermemektedr. Şekl de kesşmeye badpass grupları görülmektedr. Şekl Kesşmeye Badpassler, sütuudak badpass sayısıı üst sıırı olsu. Öyleyse Şekl Satırları Yer Değşm 2.4. Badpass Problem Kes Çözümü ç Gereke Zama Aalz Bu problemde amaç, herhag br A matrs tüm sütularıda, ardışık olarak yerleşmes gereke ler sayısıı fade ede B badpass umarası (uzuluğu) ç toplam badpasss sayısıı maksmum yapa satırları dzlm bulmaktır. (Babayev ad Bell, 2004). Bu problem çözmede akla geleblecek lk yötem tüm satırları permütasyolarıı deemektr. Fakat bu yötem polom

7 zamada çözümü mkasız kılmaktadır. Çükü böyle br algortmaı çalışma zamaı O(m!) dr ve buu çalışma zamaı Tablo de görümektedr. Her aosayede (0-9 saye) br şlem yapıldığıı varsayarsak farklı zama karmaşıklıklı problemler ç değerledrmeler Tablo de yer almaktadır. g(m) M m saye saye saye m saye saye saye 0,04 8,4x0 5 3x0 4 m! saye yıl yıl Tablo Farklı Zama Karmaşıklığıa Sahp Algortmaları Çalışma Süreler 2.5. Badpass Problem Modeller Bu bölümde badpass problem matematksel ve kombatork modeller verlmştr. Her k modelde de amaç, 0 ve lerde oluşa mx boyutudak herhag br matrstek badpass gruplarıı toplamıı maksmum yapılmasıdır. Fakat modellerdek kısıt sayıları farklıdır Badpass Problem Matematksel Model Bu model Babayev, Bell ve Nuryev tarafıda suulmuştur. x k, y k {0,}, =,, m, =,,, k=,,m, eğer satırı k satırıa yerleştrld se x k 0, aks halde y k, eğer k satırı sütuudak br badpass'ı lk elemaı se 0, aks halde olmak üzere, (2.5..) Burada y k badpassları başlagıç satırlarıı koordatlarıı fade eder ve amaç y k ler toplamıı maksmum yapılmasıdır. m x k k (2.5..2) Kısıtlar: =, =,, m (2.5..2) kısıtı br satırı sadece br satırla yer değştrmes garatler. Buradak kısıt sayısı m adettr. m x k (2.5..3) =, k=,, m (2.5..3) kısıtı br satıra dğer satırlarda sadece br yerleşmes garatler. Buradak kısıt sayısı da m adettr. kb k y,,..., k,..., m B (2.5..4) (2.5..4) kısıtı k badpass ı brbrler le çakışmamasıı garatler. Buradak kısıt sayısı (m-b+) adettr. B y k k B m k a x r r =,,, k m-b + (2.5..5) r, (2.5..5) kısıtı badpassları koordatlarıı belrler. Buradak kısıt sayısı (m-b+) adettr. Bu modelde toplam 2m 2 ( m B ) adet kısıt mevcuttur. EB mb k Amaç Foksyou : y k Badpass Problem Kombatork Model y {0,}, =,,, k=,, k

8 m y ( k), eğer (k) satırı sütuudak br badpass'ı lk elemaı se 0, aks halde, (, 2,, m) elemalarıı permütasyoudur. Eb Z= (2.5.2.) B y ( k ),, 2,..., m (), (2),..., ( m) olmak üzere, Amaç Foksyou : m B k Kısıtlar: k B k a,, y k, =,,, k m-b+ ( ) k B, y, k =,,, k m-b+ ( ) 3. Badpass Problem Karmaşıklık Aalz Badpass Problem karmaşıklık aalze dar araştırmaları lk D.A. Babayev, G.I. Bell ve U.G. Nuryev tarafıda yayımladı. (Babayev et al., 2009) Bu makalede sütu sayısı olmak üzere, 3 ç Badpass Problem NP sııfta olduğu spatladı. Daha sora, G.H. L 200 yılıda, öcek lk spatı eleştrd ve Hamlto Yol Problem Badpass Probleme drgeyerek, Badpass Problem sütu sayısı olmak üzere, 3 ç NP sııfta olduğuu farklı br spatıı yayımladı. G.H. L ve Z. L ye 200 yılıda yayımladıkları makalede üç sütulu Badpass Problem kes çözümüü garat ede polom zamalı br çözüm algortması sudukları ç, öcek makalelerdek şartı 3 olarak gücelledler. Çalışmaı bu bölümüde Badpass Problem NP sııfta olduğua dar ye br spat öerlmştr. Ayrıca problem Güçlü NP olduğu gösterlmştr. Teorem 3.: Badpass Problem NP sııfıdadır. BANDPASS NP Kaıt ç lk olarak BANDPASS taıma problem taımlamıştır. 3.. BANDPASS Taıma Problem KOŞUL: x boyutlarıda, m elemaları 0 veya ola A { a } matrs ve B sayısı verlmştr. Burada matrsde mümkü Bub, A { a } ola tüm badpassları sayısıı üst sıırı olmak üzere L Bub dr. SORU: (,2,..., m ) satırlarıı öyle ( ( ), ( 2),..., ( 3)) permütasyou var mıdır k, matrste oluşa toplam badpass ları sayısı L değerde küçük olması? Ya, NB permütasyo soucu bulumuş badpassları toplam sayısı olmak üzere NB L y sağlaya NB var mıdır? Badpass problem aalz edeblmek ç problem özel hal ola her sütuda adet badpass olma durumuu ye br problem olarak taımlayalım ve bu problem adıa da - Badpass Problem dyelm Badpass Problem -Badpass her sütuuda e çok adet badpass bulua A matrsler

9 çerldğ problem sııfıı fade etmektedr. Ya bu sııftak A matrsler her sütuudak ler sayısı 2B de azdır. Böylelkle, -BANDPASS BANDPASS yazablrz. Açıktır k -Badpass Problem NP- sııfta olduğuu spat edlrse Badpass Problem de NP olduğu spat edlmş olur. -Badpass Problem NP lığıı spat edeblmek ç bu problem taıma versyouu taımlamak gerekr BANDPASS Taıma Problem KOŞUL: x boyutlarıda, m elemaları 0 veya ola A { a } matrs ve B ve L sayıları verlmştr, burada A matrs her sütuudak ' ler sayısı 2B de azdır ( 2B ) ve L. SORU: (,2,..., m ) satırlarıı öyle ( ( ), ( 2),..., ( 3)) permütasyou var mı k, matrste oluşa toplam badpass ları sayısı L de küçük olması? Ya, NB permütasyo soucu bulumuş badpassları toplam sayısı olmak üzere, NB L y sağlaya NB var mıdır? Badpass Problem NP-Tamlığıı YENİ Br İspatı Bölüm 3.2 ye göre, br problem NP taıma versyouu lığı spatlaırsa esas problem de NP lığı spatlamış olur. Açıktır k, -BANDPASS NP dr. Çükü herhag br permütasyouu problem koşullarıı sağlayıp sağlamadığıı ( m) kotrol edeblrz. şlem le Eğer Badpass Problem, NP olduğu ble br problem şeklde gösterleblrse Badpass Problem NP olduğu da spatlamış olacaktır. Bu amaca ulaşablmek ç 970 te Cook tarafıda NP- olduğu spatlaa TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem ve 3-TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem ele alalım. (Cook, 97) TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem KOŞUL: U { u, u,..., u u {0,},.. } 2 C c c c 2... m c v v.. v.... m 2 k u u matık değl alamıda kullaılacaktır. Ayrıca veya v u alıacaktır. SORU: v u u var mıdır k C olsu? TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem başka br fadeyle şöyle de taımlaablr: KOŞUL: U boole değşkeler kümes ve C U da verlmş br boole fade olsu. SORU: C fades tatm edleblr m? Ya değşkeler öyle değer var mı dır k C olsu? Problem sözel olarak Br boole fades matıksal değşkelere ataa değerlerle e eştlep eştleemeyeceğ bulmak olarak söyleeblr. İfade değer alırsa tatm edleblr, 0 değer alırsa tatm edlemez der TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem

10 3-TATMİNEDİLEBİLİRLİK Problem, TATMİNEDİLEBİLRİLİK Problem özel br haldr ve sııftadır. KOŞUL: 2 NP U { u, u,..., u u {0,},.. } C c c2... c.. m c 3 c v v v olsu? SORU : k 2 3 u var mıdır k C 3-TATMİNEDİLEBİLRİLİK Problemde C fades açık şeklde aşağıdak gb yazablrz: C c c2... c u u2 u3 u u2 u3... u u2 u3 Yukarıda bahsedle - BANDPASS Taıma Problem ç matık fades Deklem de aşağıdak gb olur. u a a... a B, 2,, u2 a 2, a 3,... a B,.. umb a mb, a mb2,... a m, u ler m B 3 olduğua göre soucu fade aşağıdak şekle döüşecektr; u3 a 3, a 4,... a m, Bezer şeklde aşağıdakler de yazablrz; 2 u a,2 a 2,2... a B,2. 2 u3 a 3,2 a 4,2... a m,2.. u a, a 2,... a B,.. u 3 a 3, a 4,... a m, Burada da; A matrs = a a... a ] [ a 3, 4,, a, a m,2 B,2 a a... a a a 2,2 3,2,2 3, a,2,2 ] B m [ a a... a, 2,, a 2 a, 3... a B, B, [ a a... a, 2,, a 2 a, 3... a B, B, a a... a ] 3, 4, m, elde edlr. Böylelkle -Badpass Problem L ve m B 3 olduğuda 3- TATMİNEDİLEBİLİRLİK problem gb gösterleblr. 3-TATMİNEDİLEBİLİRLİK NP olduğu ç - BANDPASS NP olur. Burada da BANDPASS NP olduğu spatlamış olur. Teorem 3.2: Badpass Problem Güçlü NP dır. BANDPASS Güçlü NP Teorem spatı Badpass Problem sayısal parametrel olmamasıda dolayı amlamış olur. 4. Badpass Problem Çözüm Algortmaları Badpass Problem ve lk matematksel model D.A. Babayev ve C.I. Bell tarafıda 2004 yılıda suulmasıı ardıda br çok araştırmacı problem çözüm algortması üzerde çalışmalar yapmıştır ve yapmaya da devam etmektedr yılıda D.A. Babayev, C.I. Bell ve U.G. Nuryev yayımladıkları makalede, Badpass Problem ç, sütu sayısıı (ya hedef oktaı sayısıı) 2 ye eşt olması durumuda polom zamada kes çözümü garat ede br çözüm algortması le sütu sayısıı 2 de fazla olması durumuda kes çözümü garat etmeye br çözüm algortması sumuşlardır. Ayrıca gelştrdkler matematksel model, Badpass İteret

11 Kütüphaesde yer ala problem örekler ç sayılı doğrusal programlama çözücüsü CPLEX-NEOS makesde test etmşlerdr. Kaada Alberta Üverstes de G.H. L, sütu sayısıı 3 e eşt olması durumuda 2009 yılıda yayımladığı makale le öerdğ kes çözümü garat etmeye satır sıralama algortması ı, satır kombasyoları özel durumlarıa göre yede aalz ederek gelştrmş ve 200 yılıda Z. L le brlkte üç sütulu Badpass Problem kes çözümüü polom zamalı olarak ürete br çözüm algortması yayımlamıştır. Hollada Katholeke Üverstes de Mustafa Mısır çözüm algortması ç Hyper- Heurstc yaklaşımlar üzerde, Ortadoğu Tekk Üverstes de Göktürk Üçoluk se geetk algortmalar üzerde çalışmıştır. M.E. Berberler ve A. Gürsoy 200 yılıda yayımladıkları bldrde geetk yaklaşımla gelştrle br çözüm algortması sumuşlardır. Bu bölümde lk olarak saydığımız bu çözüm algortmalarıı kısa özet suulacak, daha sora da kes çözümü garat etmeye ye br çözüm algortması öerlecektr. 4.. Kes Çözüm Algortmaları 4... İk Sütulu Badpass Problem Çözüm Algortması İlk olarak D.A Babayev, G.I. Bell ve U.G. Nuryev tarafıda 2009 yılıda suulmuştur. Bu algortmada k sütulu Badpass Problem muhtemel satır alteratflerde hareket edlmştr. İk sütulu br Badpass Problem satırları ç 4 farklı alteratf vardır: (0,0), (0,), (,0) ve (,). Bu oktada (0,0) bçmdek satırı herhag br değer olmadığıda göz ardı edleblr. Problem kes çözümü ç dğer üç farklı alteratf, brbr ayı ola tüm satırlar ardışık olacak bçmde aşağıdak sırada yerleştrlmes öerlmştr: (,0) - (,) - (0,) Böylece, her k sütuda da yer ala tüm ler ardışık olması garat edldğde bu sıralama algortması kes çözüm vermektedr Üç Sütulu Badpass Problem Çözüm Algortması Üç sütulu Badpass Problem ç kes çözümü vere algortma lk olarak G.H. L ve Z. L tarafıda suulmuştur. G.H. L, 2009 yılıda üç sütulu Badpass Problem hakkıda yayımladığı lk makalesde, üç sütu ç muhtemel (0,0,0), (0,0,), (0,,0), (0,,), (,0,0), (,0,), (,,0) ve (,,) satırlarıı, brbr ayı ola tüm satırlar ardışık olacak bçmde aşağıdak sırada yerleştrlmes öermştr: (0,0,) - (0,,) - (0,,0) - (,,0) - (,,) - (,0,) - (,0,0) Bu sıralama B 2 ç kes çözümü garat ede fakat 3 B ç kes çözümü garat etmeye br sıralamadır. Burada ye, herhag br etks olmadığıda (0,0,0) alteratf hmal edleblrdr. Dkkatl olarak celedğde bu sıralama le, aslıda lk k sütu ç, bu sütularda yer ala tüm ler ardışık olması sağladığıda, lk k sütuda herhag br B değer ç muhtemel tüm badpassları oluşturulduğu garat edlmektedr. Soru so sütuda kayaklamaktadır. Öte yada G.H. L, bu sıralama le k farklı souç türetlebleceğ, bularda br tüm sütularda oluşturulablecek maksmum badpass sayısı olacağıı, dğer de maksmum badpass sayısıda eksk olacağıı dda etmştr. Bu makalede bu muhtemel k farklı souç yüzüde kes çözümü garat etmemştr. Bu doğrultuda hareket ede G.H. L ve Z. L, daha öce suula satır sıralama algortmasıda yola çıkarak, farklı satır tpler sayısıa, bu sayıı verle B sayısıa bölümüde elde edle kalaa ve bu durumları başka alt durumlarıa göre celemeler yapmışlardır. Bu celemeler etcesde,

12 her br alt durum ç muhtemel 7 farklı satır versyouu, brbr ayı olalar baze ardışık baze de ardışık olmayacak bçmde sıralamakla elde edle ve kes çözümü vere br çözüm algortması sumuşlardır NEOS Çözümler D.A Babayev, G.I. Bell ve U.G. Nuryev Badpass Problem ç hazırladıkları matematksel model, Bölüm 7 de taıtıla problem örekler doğrultusuda geellkle Dal-Sıır tekğ kullaa sayılı doğrusal programlama çözücüsü CPLEX-NEOS makelerde test etmşlerdr. Problemler ç 2.66GHz Itel Quads şlemcye sahp üç make çalıştırılmıştır. (Czyzyk, et al, 998; Dola, 200; Gropp ad More, 997) Bu oktada bazı örekler ç optmal souçlar bulumuş bazı örekler çse sstem yöetcler tarafıda 0 saat süre sıırladırmalı ayarlaa makelerde optmal souç elde edlememştr. Tablo de bazı örekler ç elde edle souçlar lstelemektedr: Problem Satır Sütu NEOS B Sayısı Sayısı Souç AB A2B A3B A6B A7B A7B A8B A0B A0B Tablo NEOS Makelerde Elde Edle Souçlar 4.2. Yaklaşık Çözüm Algortmaları 4.2..Üçte Çok Sütulu Badpass Problem Çözüm Algortması İlk olarak D. A. Babayev, G.I. Bell ve U.G. Nuryev tarafıda suula ve kes çözümü garat etmeye polom zamalı br algortmadır. Algortma, m satır sayısı olmak üzere, m aşamada m satırda ye br sıra oluşturmaktadır. Her br aşamada, daha öcede sıraya yerleştrlmemş fakat yerleştrldğde tüm sütular düşüüldüğüde badpass oluşturma veya daha fazla badpass oluşturma olasılığı daha yüksek (Öreğ, e so eklee satırı br sütuuda ola hücreler arkasıa ardışığı ola br satır eklemesyle badpass oluşturma olasılığı yükselr) ola br satır seçlr ve sıraya kour Temel Algortma ç Ö Taımlar Taım Skor Vektörü: Bleşeler egatf sayı olmaya boyutlu ( s,..., s,... s ) vektörüdür. s, sütuuda so eklee satıra kadar yerleşmş satırları hücrelerdek ardışık ler sayısıı tutar. Bu değer, B değere eşt olduğuda ya da ye eklee br satır le ardışık sırası bozulduğuda sıfırlaır. Taım Yerleşe Satır Kümes: R, A matrsde yerleşe l satırları kümesdr. Başlagıçta boş kümedr. Elema sayısı satır sayısıa eşt olduğuda algortma solaır. Taım Sütu Kümes: J { s a B} le taımlaa Rl kümedr. Yerleştrlmemş br satırı yerleştrldğde badpass oluşturablecek hücreye sahp ola sütuları kümesdr. Taım Alık Skor: s, a se olmak üzere r 0, a 0 se r le taımlamıştır. J Temel Algortma

13 Adım : Başlagıçta tüm satırlar celer ve tüm elemaları 0 ola satırlar çıkartılır. İlk satır olarak e çok çere satır seçlr ve R kümese ekler. s l skor vektörü taımlaır. Tüm sütular J kümese alıır. Adım 2: Eğer s a B Rl varsa umaralı sütu J kümesde çıkarılır. Bu adım ye br badpass oluşma olasılığı ola sütuları eler. Adım 3: R elemaı olmaya tüm satırlar ç alık skor hesaplaır. Adım 4: E yüksek alık skora sahp satır seçlr ve R kümese dahl edlr. Ya bu satır sıralaır. Adım 5: Skor Vektörü, eklee so satır ç güceller. Adım 6: Eğer R elema sayısı satır sayısıa eştledyse algortma solaır, eştlemedyse Adım 2 ye ger döülür ve devam edlr. Bu algortmaı, başlagıç satırıı tüm satırlarıı başlagıç satırı olarak seçlmesyle ya da sütuları farklı sıralamalar le yede düzelemesyle k farklı versyou daha öerlmştr Geetk Yaklaşımla Üretle Çözüm Algortması M.E. Berberler ve A. Gürsoy, yapısal olarak, uygu br satır sıralaması araması bakımıda Gezg Satıcı Problem e bezeye Badpass Problem teret kütüphaesde yer ala örekler üzerde geetk olarak celemşlerdr. Çalışmalarıda çaprazlama, k ve ç okta mutasyou yötemleryle hesaplamalarda bulumuşlardır. Kayak matrs olarak doğruda kütüphaede verle örekler değl bu örekler Bölüm de suula algortma etcesde elde edle çözüm matrsler kullamışlardır ve heme hepsde yleştrme sağlamışlardır. l l Üçte Çok Sütulu l Badpass Problem ç YENİ Br Çözüm Algortması Öers Temel Algortma İç Ö Blgler Taım Serbestlk Dereces: Herhag br sütudak tüm badpasslar seçldkte sora o sütuda gerye kala sıfırda farklı elemaları sayısıa, o sütuu serbestlk dereces der. Taım Değer Foksyou: Sıfırda farklı elemaları seçmek ç bu sütuu üstülük dereces belrler Temel Algortma (0) Adım 0: t=0, = B, q 0 = 0 m = a (0) m a =, =, m, =,, =, p = B - (mod B) (0) (0) (0) (0) (0) s = s,, s,, s( ) = (0) (0) (0) (0) 0,,0 d = d,, d,, d = 0,,0 Burada ( k), p ( k), s ( k), d ( k) uygu olarak k-ıcı terasyoda - c sütudak: (k ) - Sütudak sıfırda farklı elemaları sayısı. (k ) p - Serbestlk dereces ters. (k ) s - Sütuda arka arkaya sıfırda farklı elemaları sayısı. (k ) d - Değer foksyou. Adım : (0) p büyük ola sütu (0) seçlr. E büyük p değer brkaç sütu ç ayı se lk sütu sırada

14 rastgele seçlr. Bu sütuda elemaları sıfırda farklı ola satırlarda e = arg m, m ola satır seçlr. e değer brkaç satır ç ayı olursa, bu satırlarda sırada rasgele br satır seçlr. Sorak adımlarda bu satırlarda e değer yede hesaplaır. Böylelkle, ya e e R satırı le seçlr. Adım k, k=2,6,0,,2+4(m-2): Aşağıdak () - (8) formüller le seçlmş e satırıa göre s,, p, d foksyolarıı ye değerler hesaplaır: s ( t) ( t) s, f ae 0, f ae 0., () Eğer s B s 0, ( t) ( t), (2) d ( t) ( t), f ae ( t), f ae 0, (3) ( t) ( t) ( t ) t ( t) ( t ) d ( m / ( B s )) ( / m ) ( m / ( p )), f s 0 ( t) 0, f s 0., (4) ( t) Sıfırda farklı ( d ) ler azala sırada sıralaır: ( t) d d ( t) 2 d s ( t), d d L L L2 d 0, (6) ( t ) Eğer p B p t (7) Eğe ( t) ( t) ( t) s 0 & B p B (8) Adım (k+): Aşağıdak (9)-(0) formüller le seçlmemş R satırları ç hesaplaır: r ve - ye değerler ( t) t d p, f a r = 0, f a 0. e e s, (9) = r = { k = Adım (k+2): arg max k0, q }, k= 0, L k { q } e arg m { R s R s = e k k } (0) Adım (k+3): Eğer R \ R s = SON Aks halde t = t + Adım k 5. Badpass Problem İteret Kütüphaes 5.. İteret Kütüphae Sayfası k qk d, k, L ( t ) p = p p ( t) t, f a, f a e e 0 (5)

15 Badpass problem gerek ye br problem olması gerekse gelştrmeye açık yöler olması edeyle br çok araştırmacıı lgs çekmektedr. Tab olarak e yy bulma arzusudak araştırmacıları ked çalışmalarıı mevcut yötemlere göre değerledreblmes de gerekmektedr. Bu bakımda kouyla lglee tüm araştırmacıları ayı örek problemler üzerde deemelerde buluması oldukça faydalı olacaktır. Bu doğrultuda ortak br kayağa duyula htyaç açıktır. Çevrmç Badpass Kütüphaes, problem le lglee blm adamlarıı çalışmalarıı test ederek gerektğde dğer blm adamlarıyla letşm kurması ve problem le lgl gelşmeler lgllere duyurulması amacıyla Ege Üverstes Fe Fakültes Matematk Bölümü teret stes büyesde kurulmuştur. Kütüphaeye emslbrary/ adresde erşleblmektedr. Kütüphae yayı dl İglzcedr. Grş sayfası ekra görütüsü aşağıdak gbdr. Resm 5... : Kütüphae grş sayfası ekra görütüsü Grş sayfasıda stede yer ala bölümlerle lgl blgler verlmektedr. Kütüphae beş bağlatıda oluşmaktadır: Badpass Problem, Problems & Solutos, People, Refereces, Cotact Us. Grş sayfasıa, sorada, alt bağlatıları üzerdek mav zemde yer ala Badpass Problem Lbrary bölümüe tıklayarak erşlmektedr. BadPass Problem bağlatısıyla ulaşılablmektedr, Badpass problem taıtılmakta ve matematksel modellemes verlmektedr. Ayrıca zyaretçler bu bölümü Ms Word dosyası olarak da blgsayarlarıa kopyalayablmektedrler. Resm : Badpass Problem bağlatısı ekra görütüsü Problems & Solutos bağlatısı se k alt bölümde oluşmaktadır: Best Kow ve Optmal. Resm : Optmal ve Best Kow Bağlatıları Optmal bağlatısıda kes çözümler ble problem örekler; Best Kow bağlatısıda se e y çözümü ble problem örekler zyaretçler tarafıda tem edleblmektedr. Her k bölümde de MS Excel formatıda 45 er tae farklı problem öreğ yer almaktadır. Bu bağlatılara tıkladığıda Resm 5..4 te görüle sayfalara erşlmektedr. Resm : Optmal ve Best Kow Sayfaları Ekra Görütüler Bu bağlatılara erşldğde satır sayısı, sütu sayısı, Badpass geşlğ,

16 matrstek değer oraı, ble kes (optmal bağlatısı ç) veya e y (best kow ç) çözümüü br tablo le lstelee problem örekler görülmektedr. Zyaretçler kopyalamak stedkler problem öreğ satırıdak Excel bağlatısıa tıklayarak lgl dosyayı blgsayarlarıa kopyalayablmektedrler. Ayrıca her br satırda Applcato sütuuda o satıra at Excel dosyasıı kaç defa kopyaladığı tutulmaktadır. Buradak dosyaları çerkler Bölüm 5.2 de detayladırılmıştır. People bağlatısıda problemle lglee blm adamlarıa yer verlmştr. belrledğmz satır sayısı, sütu sayısı, badpass umarası ve matrstek ler yoğuluk oraı grdler doğrultusuda hazırlamıştır. Pascal dlde yazıla br program le stee şartlarda her br sütuda e çok badpass oluşturulacak bçmde br matrs oluşturulmuş ve oluşturula bu matrs rastgele sırada sıralaarak (optmal hal bozularak) problem örekler üretlmştr. Best Kow bağlatısıda verle problem örekler se ye verle satır sayısı, sütu sayısı, badpass umarası ve ler yoğuluk oraı doğrultusuda optmal soucu verecek bçmde değl, rastgele oluşturulmuştur. Optmal souçları blmemektedr. Araştırmacıları bu matrslerle lgl yolladığı çözüm matrsler etcesde bu dosyalar yeleeblmektedr. Resm 5..4.: People Ekra Görütüsü Refereces bağlatısıda Badpass Problem kou ala ve blmsel derglerde yayımlaa makalelere yer verlmştr. Cotact Us bağlatısıda se gerek problemle ve stedek matematksel dokümalarla lgl görüşler letlmes ç gerekse çevrmç kütüphaedek sayfa sorularıı letlmes ç gerekl e-posta adresler duyurulmuştur. 5.2.KütüphaeProblem Örekler Badpass Problem Çevrmç Kütüphaesde problem örekler Ms Excel dosyası formatıda yer almaktadır. Best Kow ve Optmal başlıkları altıda 45 er tae farklı problem öreğ paylaşılmıştır. Optmal bağlatısıdak problem öreklerde verle toplam Badpass sayıları ulaşılması hedeflee kes çözümlerdr. Bu problem örekler Resm 5.2..: Optmal Matrs Problem Öreğ Ekra Görütüsü Resm 5.2. de de görüldüğü gb, OS (Optmal Soluto) problem öreğ Ms Excel dosyası açıldığıda, sol kısımda satır ve sütu umaraları sarı rek le rekledrlmş kayak örek yer almaktadır. Bu matrs heme üzerde lgl matrs satır sayısı, sütu sayısı, badpass umarası ve matrstek ler oraı yer almaktadır. Ekraı sağ kısmıda satır ve sütu umaraları turkuaz rek le rekledrlmş matrs se optmal çözümü buluduğu satır dzlm yer almaktadır. Heme üzerde de bu optmal çözüm yazılmıştır. Ayrıca matrs üzerde mav çerçeve le

17 oluşa badpasslar gösterlmştr. Oluşturula örekler çözümü öce bldk yötemlerle hesaplamıştır. Daha sora problem çözümüe lşk ye br algortma gelştrlmş, gelştrle bu ye algortmaı souçları dğer yötemlerle karşılaştırılmış, daha y souçlar verdğ görülmüştür. Öümüzdek süreçte problem ye örekler oluşturulması ve geetk yötemlerle çözüm algortmasıı gelştrlmes hedeflemektedr. Kayaklar Resm : Best Kow Matrs Problem Öreğ Ekra Görütüsü Resm de de görüldüğü gb, BKS (Best Kow Soluto) problem öreğ Ms Excel dosyası açıldığıda, sol kısımda satır ve sütu umaraları sarı rek le rekledrlmş kayak örek yer almaktadır. Bu matrs heme üzerde lgl matrs satır sayısı, sütu sayısı, badpass umarası ve matrstek ler oraı yer almaktadır. Ekraı sağ kısmıda satır ve sütu umaraları turkuaz rek le rekledrlmş matrs se ble e y çözümü buluduğu satır dzlm yer almaktadır. Heme üzerde de bu ble e y çözüm yazılmıştır. Ayrıca matrs üzerde mav çerçeve le oluşa badpasslar gösterlmştr. 6. Souç Bu çalışmada, letşm ağlarıı daha verml br bçmde hzmet vermes amacıyla gelştrle DWDM tekğ ele alımıştır. Verler letlmes sürec matematksel olarak modellemştr. İlgl matematksel model problem özel örekler oluşturulmuş ve teret kütüphaesde yayımlamıştır. Model karmaşıklık aalz yapılmış ve Np- olduğu spatlamıştır. [] Aarts, E. ad Lestra, J. K., 997, Local Search Combatoral Optmzato, Joh Wley & Sos, Lodo, 52p. [2] Babayev, D. A., Bell, G. I. ad Nuryev, U. G., 2009, The Badpass Problem, Combotarla Optmzato ad Lbrary of Problems, J Comb Optm Vol 8, 5-72p. [3] Babayev, D. A., Nuryev, U. G., Bell, G. I., Berberler, M. E., Kutucu, H., Gürsoy, A. ad Kurt, M., 2008, Mathematcal Modellg of a Telecommucato Packg Problem ad a Heurstc Approach for Fdg a Soluto, Iteratoal Coferece o Cotrol ad Optmzato wth Idustral Applcatos, Baku, Azerbaa, Jue 2-4, 44p. [4] Babayev, D. A., Bell, G. I., Nuryev, U. G., Kurt, M., Berberler, M.E. ad Gürsoy, A., 2007, Lbrary of Badpass Problems. ~math/badpassproblemslbrary/ (So erşm Tarh: ) [5] Babayev, D. A., Nuryev, U. G., Berberler, M. E. ve Kurt, M., 2007, Badgeçş (Badpass) Problem Üzere, Yöeylem Araştırması ve Edüstr Mühedslğ XXVII Ulusal Kogres, Dokuz Eylül Üverstes, İzmr, 2 4 Temmuz.

18 [6] Babayev, D. A., Nuryev, U. G. Ad Berberler, M. E., 2007, Complexty Aalyss of Badpass Problem, II Turksh World Mathematcs Symposum, Sakarya, 4-7 July. [7] Babayev, D. A. ad Bell, G., 2004, Badpass Problem, Aual INFORMS Meetg, October, Dever, CO, USA. [8] Bakır, M. A. ve Altukayak, B., 2003, Tamsayılı Programlama: Teor, Modeller ve Algortmalar, Nobel Yayı Dağıtım, Akara, 630s. [9] Berberler, M. E. ad Gürsoy, A., 200, Geetc Algorthm Approach for Badpas Problem, Proceedg of the 24-th M Euro Coferece o Cotuous Optmzato ad Iformato-Based Techologes the Facal Sector (MEC EurOPT 200), Jue 23 26, Izmr, TURKEY, p. [0] Cheug, N. K., Nosu, G. ad Wzer, G., 990, Specal Issue o Dese WDM Networks, IEEE JSAC, Vol 8, August. [] Cook, S. A., 97, The Complexty of Theorem Pprovg Procedures, Aual ACM Symposum o Theory of Computg, 5 58p. [2] Corme, T. H., Leserso, C. E., Rvest, R. L. ad Ste, C., 200, Itroducto To Algorthms, The MIT Press, Cambrdge, 80p. [3] Cura, T., 2008, Moder Sezgsel Tekkler ve Uygulamaları, Papatya Yayıcılık, İstabul, 78s. [4] Czyzyk, J., Meser, M. ad Moré, J., 998, The NEOS Server, IEEE J Comput Sc Eg 5, 68 75p. [5] Çölkese, R., 2002, Ver Yapıları ve Algortmalar, Papatya Yayıcılık, İstabul, 328s. [6] Dese wavelegth dvso multplexg, Crcuts ad Systems, 200, Tutoral Gude ISCAS, The IEEE Iteratoal Symposum, 6-9 May, p. [7] Dola, E., 200, The NEOS Server 4.0 Admstratve Gude, Techcal Memoradum ANL/MCS-TM-250, Mathematcs ad Computer Scece Dvso, Argoe Natoal Laboratory, May, İstabul. [8] Garey, M. R. ad Johso, D. S., 979, Computers ad Itractablty: A Gude to the Theory of NP-Completeess, W.H. Freema ad Compay, Sa Fracsco. [9] Gass, S. I. ad Assad, A. A., 2004, A Aotated Tmele of Operatos Research: A Iformal Hstory, Iteratoal Seres Operatos Research & Maagemet Scece, Vol. 75, Sprger. [20] Ge, M., 2006, Geetc Algorthms ad Ther Applcatos, Sprger Hadbook of Egeerg Statstc, Sprger Lodo, p. [2] Glover, F. ad Lagua, M., 997, Tabu Search, Kluwer Academc Publshers, Bosto, 82p. [22] Goralsk, W. J., 997, A Gude to Sychroous Optcal Networks, Seres o Computer Commucatos, McGrow- Hll, New York, 484p. [23] Gropp, W. ad Moré, J., 997, Optmzato Evromets ad The NEOS Server., Buhma MD, Iserles A Approxmato Theory ad Optmzato. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, 67 82p. [24] Harbour, J. S., 2008, Vsual Basc Game Programmg for Tees Secod Edto, Thomso Course Techology, Cambrdge, Lodo, 40p.

19 [25] Jourda, A., Bakht, F., Bruyere, F., Chbat, M. W., Charo, D., Dro, C., Eleberger, G. J., Garot, M., Masett, F., Perrer, P.A. ad Reaud, M., 998, Key Buldg Blocks for Hgh- Capacty WDM Photoc Trasport Networks, IEEE Joural o Selected Areas Commucatos, Vol 6, No 7, September, p. [26] Kamov, I. P., Doerr, C. R. ad Dragoe, C., 996, A Wdebad All Optcal WDM Network, IEEE JSAC/JLT 4(5): p. [27] L, G. H., 2009, O the Badpass Problem. Joural of Combatoral Optmzato, Acceptedad publshed ole frst, Do: 0.007/s [28] L, G.H. ad L, Z., 200, The Three Colum Badpass Problem s Solvable Lear Tme, Theoretcal Computer Scece, Acceptedad publshed o-le frst. Do: 0.06/.tcs [29] McCoell, J. J., 200, Aalyss of Algorthms: A Actve Learg Approach, Sudbury, Joes ad Bartlett Publshers, 45p. [30] Nabyev, V. V., 2009, Teorde Uygulamalara Algortmalar, Seçk Yayıcılık, Akara, 824s. [3] Nemhauser, G. L. ad Woolsey, L. A., 998, Iteger ad Combatoral Optmzato. Wley, New York, 763p. [32] Nosu, K. L. ad O Mahoy, M. J., 994, Specal Issue o Optcally Multplexed Networks, IEEE Commucatos Magaze, Vol 32, December [33] Nuryev, U. G. ad Kurt, M., 2008, Badpass Problem ad SıralaMatk Computer Game, Secod Iteratoal Computer ad Istructoal Techologes Symposum, İzmr, 6-8 Aprl. [34] Nuryev, U. G. ve Kutucu, H., 2007, Badgeçş (Badpass) Problem Matematksel Modellemes Üzere, Yöeylem Araştırması ve Edüstr Mühedslğ XXVII Ulusal Kogres, Dokuz Eylül Üverstes, İzmr, 2-4 Temmuz. [35] Nuryev, U. G., Gürsoy, A. ve Berberler, M. E., 2007, Batgeçş (Badpass) Problem Çözmek ç Heurstk Br Algortma, Yöeylem Araştırması ve Edüstr Mühedslğ XXVII Ulusal kogres, Dokuz Eylül Üverstes, İzmr, 2 4 Temmuz [36] Nuryev, U. G., Kutucu, H. ad Kurt, M., 200, Mathematcal Models of the Badpass Problem ad OrderMatc Computer Game, Mathematcal ad Computer Modellg, Do:0.06/.mcm [37] Papadmtrou, C. H. ad Stegltz, K., 998, Combatoral Optmzato: Algorthms ad Complexty, Dover Publcatos Ic., New York, 496p. [38] Ramaswam, R. ad Svaraa, K. I., 998, Optcal Networks, A Practcal Perspectve, Morga Kaufma, Sa Fracsco, 632p. [39] Yag, Y. ad Wag J., 2004, Desgg WDM Optcal Itercoects wth Full Coectvty by Usg Lmted Wavelegth Coverso, IEEE Trasactos o Computers, Vol 53, No 2, December [40] Zak, D., 999, Programmg wth MS Vsual Basc 6.0, Thomso Course Techology, Cambrdge, Lodo, 843p. [4] Wedy, Z., 998, Advaced MS Vsual Basc 6.0 Secod Edto, Mcrosoft Press, Redmod, WA, USA, 830p. [42] Woolsey, L. A., 998, Iteger programmg. Wley, New York, 264p.