5.1. Tekne Form Eğrilerinin Polinomlar ile Temsili

Transkript

1 .. Teke Frm Eğrler lmlar le Teml Teke üze rmları amprk rmlar lduklarıda eke luşura rm eğrler de aalk lmaa klar lduğu kabul edlecekr. Teke rm eğrler maemakel emlde amprk rm eğrler eml ç ugu aalk klar =g( aramakadır. Gem rmuu aımlaa e değerler e eml edeblecek k p eçm pek çk aköre bağlıdır. Bu akörler araıda; eke rm eğr karakerk rmu verle e değerler dğruluğu emlde araa aklaşıklık raı aılablr. Teke rm eğr hakkıda e kadar blg ahb luura daha ugu br k p eçlme laılığı kadar armakadır. E ba maemakel eml öem ba kları [g(] aşağıdak gb leer br kmbau lacakır. g( = ag( + ag( + + ag( E agı larak karşılaşıla ba klar aşağıda görülmekedr. Ba lmlar ; = Trgmerk klar k ck ; k = Üel klar b e ; = Ba plmları leer kmbau le luşa. derecede plm aşağıda geel halle görülmekedr: ( g( = a + a + a + + a = a Furer (rgmerk klarıı leer kmbau le luşa plmlar e; ( g( = a + ac + ac + + ac + b + b + + b = a + a k c k b k k k k geel rmua ahp lacakır. Üel klarda luşa plmları geel rmu aşağıdak gbdr. ( g( = a e b a e b... a e b a e b Yukardak adede ( eke eğrler aımlaa e değerler göermeke ve bağımız değşkelere bağlı larak ade edlmekedr. lmlar le eml edle eke rm eğrler ek br maemakel ade le eml edldğde ürev egral ala mme ala merkez gb heaplar rahalıkla gerçekleşrlr.

2 lmlar k kaegre arılmakadır: erpla (verle e kalarıda geçe plmları ve aklaşık (e kalarıı aklaşık larak eml ede plmlar. İerpla ve aklaşık plmlara a örekler Şekl..a ve..b de görülmekedr. g ( Şekl..a. İerpla plmu (erplag plmal. Şekl..b. Yaklaşık br plm (apprmag plmal.... İerpla lmları Ierpla plmları verle br er e kaıda geçe maemakel klardır. Oe kalarıı dağılımıı düzgü lmaı durumuda erpla plmları le bu kalarda geçe eğr ek br k le aımlamaı mümkü lacakır. Değşk erpla plmu pler aşağıdak bölümlerde açıklamakadır.... Ba lmlar Verle + arık kaı erpla plmu p( le eml emek erek; p ( (... Burada kaları erpla kalarıı ve eğr buca değşe paramere değerler göermekedr. + ae leer deklem akımıı çözümü le erpla plmuu kaaıları elde edlmekedr. Deklem akımlarıı mar rmu halde azılışı aşağıda görülmekedr: Bu deklem akımıı ek br çözümü vardır ve bu çözümde elde edle kaaılar ( le daa kalarıda ( geçe ku p( ade elde edlmş lur. Ierpla plmlarıı e akıcalı aı ükek derecel plmlar ç leer deklem akımıı abl lmamaı (=ll cded ve maık dışı çözümler elde edlme laılığıdır. rıca rm düzgüleşrme çalışmalarıda ek br kada apıla değşklk 7

3 8 üm eğr buca ek göereceğde üm em ekrar çözülme gerekmeke ve bu da heap üküü arırmakadır. Örek. : Sekz e kaı le aımlamış br gem ked ele alalım ve bu gem ked br erpla plmu le ade emee çalışalım. Kede a e değerler aşağıda verlmekedr. z (m (m Çözüm : Verle +=8 arık kaı eml edecek erpla plmu aşağıdak gb azılablr 7 7 z z z z z z z (z raa kaaıları aşağıdak deklem akımıı çözümü le buluacakır Bu deklem em çözümü le araa kaaıları buluur ve e kalarıda geçe erpla plmu aşağıdak şeklde elde edlr: 7.8z.79z.z.8z.z 9.z 9.88z (z Bu adede değşk z değerler le çzle plm le ral ke rmuu aımlaa e kaları aşağıdak şeklde görülmekedr. Görüldüğü gb ka aııı azla lmaı edele erpla plmu verle kalarda geçmekle brlke cdd br alıım göermekedr. Bu huu çk kalı erpla plmu ugulamalarıda mulaka dkkae alımalıdır.

4 lm Oeler Şekl.. Br gem ked erpla plmu le eml... New Bölümüş Farklar lmu New plmlarıı geel ade aşağıdak şekldedr: p ( New emel klarıı ( maemakel ade aşağıdak gbdr ( ( ( ( (...(... Bua göre gem dza eğrler eml ede e kalarıda ( = geçe New plmuu ade açık larak şöle azılablr: p ( ( ( (... (...( - Bu adede ararlaarak çzle lk dör New emel ku Şekl. de görülmekedr. New plmlarıı kaaılarıı belrleme ç verle e kaları plmu adede ere kura; p p p p ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9

5 ( ( ( ( Şekl.. New plmları. Bu deklem em çözülerek New plmuu kaaıları belrler. Görüldüğü üzere New plmuu kaaıları e kalarıa bağlıdır. Bu aşamada bölümüş arkları aıılmaı ve kaaıları bölümüş arklar cde azılmaı emak heaplama açııda klalık ağlaacakır: Bölümüş arkları aımak ve zkel larak e alama geldğ alamak ç öcelkle ürev adee br göz aalım. d( ( ( ( lm d Sürekl ve ürev alıable br ( kuu ürev ade aklaşık larak bölümüş arklar le eml edleblr: ( (

6 Burada brc bölümüş arkları eml emekedr. Br başka deşle arık kalarla eml edle eğrler ürev bölümüş arklar kullaılarak heaplaablmekedr. Yükek merebede bölümüş arklar da bezer şeklde heaplamakadır. Örek larak beş ka le aımlaa br eğr ç bölümüş arklar abluu luşuralım.. arklar. arklar. arklar. arklar []= [] [] [] [] []= []= [ ] []= [ ] [ ] []= [ ] []= Dördücü derece br eğr e azla dördücü ürev heaplaableceğ arklar abluu da görülmekedr. New plmuu kaaılarıı ( adeler celedğde bu kaaıları bölümüş arklar cde azılableceğ görülmekedr Bu aımları kullaarak New u erpla plmuu ade bölümüş arklar cde azalım....( ( ( ( ( ( p - Bu ade daha geel larak azablrz: - (... ( p [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ]

7 Örek larak leer durumu (= ele alalım. ( p( Bu durumda k kada geçe dğru deklem p( ( larak buluur. Nka aııı üçe çıkardığımızda üç kada geçe kc derece (= br eğr elde ederz. p ( ( ( ( ( ( ( Örek.: Dör e kaı le aımlamış balblı br gem ked ele alalım. Bu gem kedde geçe New bölümüş arklar plmuu ade bulalım. (= 9 (= 8 Çözüm: New plmu. derece br plm lacakır. (= ( ( ( ( ( ( - p( lmu kaaılarıı heaplamak ç bölümüş arklar abluu luşurmak gerekldr.. arklar. arklar. arklar []= [] [] [] []= [ ] []= [ ] [ ] []= [] [ ] []= [ ]

8 Heaplaa bölümüş ark değerler ablda ere kalım.. arklar. arklar. arklar []= [] [] [] ( - ( ( ( ( ( ( p Bulua kaaıları plmu deklemde ere karak; ( - (.9( (.(.( ( p elde edlr. Bu üçücü derece k kullaılarak çzle eğr Şekl. de görülmekedr.. -.9

9 ( 9 8 ( ( ( Şekl.. Dör kada geçe New erpla plmu Şekl. de k pk gem ked New plmu kullaılarak çzlmşr. Şekl..a da görüle ke dör e kaı le aımlaa üçücü derece br eğrdr. Şekl..b dek ke e alı e kaı le aımlamışır. Oe kaı aııı armaı le brlke eğrde alıım özellğ raa çıkmaa başlamışır. Bu p plmları geelde çk ka le aımlaa gem dza eğrler eml ç ugu br öem lmadığıı rahalıkla öleeblrz. (a Şekl.. ra ka aıı le başlaa alıım apma eğlm (b

10 ... Lagrage lmları Lagrage plmları dğer erpla plmları le karşılaşırıldığıda er balğ ve kullaım klalığı açııda daha çk erch edle br öemdr. Lagrage erpla plmlarıı geel ade aşağıdak deklemle verlmekedr: ( L ( Yukarıdak adede verle erpla kalarıdır ve L emel Lagrage plm klarıdır. Lagrage emel kuu açık ade aşağıda verlmekedr: ( (...( (...( ( L ( = ( (...( (...( ( Bu k aşağıdak özellğe ahp br kdur: L ( = Yukarıdak rmüla kullaılarak elde edle Lagrage emel klarıı rmu Şekl. dak gb lacakır. L( Şekl.. Lagrage plmları E ba hal (= ç k kada geçe Lagrage erpla plmuu ade azalım. ( L ( L ( L( ( L ( ( ( L( ( Lagrage plmlarıı ere karak; ( ( ( ( ( ( Bölece Lagrage plmu bldğmz leer erpla deklem larak karşımıza çıkar. Örek larak kc derece Lagrage plmuu ade azarak:

11 ( L ( L ( ( ( ( ( L ( L ( ( ( ( ( ( ( ( ( Lagrage plmlarıı e emel avaaı er ba heap üküü az lmaıdır. Faka e daa kalarıı ekleme üm emel Lagrage klarıı ekrar heaplamaıa l açmaka dlaııla bu da heap üküde br arış medaa germekedr. Bu dezavaa Lagrage emel klarıı New klarıla değşrlmele gderleblmekedr. Lagrage plmlarıı kullaımıda br prblem de ka aııı arışıla raa çıkmakadır (. lmu derece erpla kalarıı aııa bağlı lduğuda ka aıı arıkça eğr derece de armakadır. Eğr derece arıkça Lagrage plmuda erpla kaları cvarıda alıımlar luşablmekedr. Suç larak bu öem ka aıı azla eke rm eğrler ç kullaılmaı pek ugu görülmemekedr. Örek. : Dör e kaı le aımlamış balblı br gem ked ele alalım. Bu gem kedde geçe Lagrage plmuu ade bulalım. : 9 :. 7. Çözüm: = ç Lagrage plmuu ade. derece lacakır. ( L ( L ( L( L ( L( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Bu ade de e kalarıı ere karak: ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( 7. ( ( ( Bu ade düzelerek üçücü derece br plm la Lagrage plmuu ade aşağıdak gb elde ederz. (. 7. ( ( 9 - ( ( 9 ( ( Bu ku ade kullaılarak udurula eğr Şekl.7 de görülmekedr.

12 ( 9 7. (. ( ( Şekl.7. Dör kada geçe Lagrage erpla plmu... Kübk Herme İerpla lmu Br gem ked vea u haı eğr [ (] [ (] [+ (+] şeklde + ade e kaı le aımladığıı varaalım. macımız bu ke vea u haıı eml edecek la kübk Herme erpla plmuu ( blmee c kaaılarıı bulmak lacakır. ( = c + c ( - + c ( - + c ( - = Bu adede de alaşılacağı gb Herme plmu üm e kaları [ +] araıda arklı maemakel adelere ahp ade kübk plmu brleşmede luşa br plmdur. Herme plmuu özellğ erpla kalarıdak brc ürev değerler plmu adede kullaılmaıdır. lmu ade ( başlagıça aımlaa e kaları = ( ve her kaa a brc ürev değerler ( kullaılarak elde edlmekedr. raıla ( kübk erpla plmu k e kaıda [ +] ve bu plmu brc ürev eğr e ( bu kalarda aımlaa brc ürev değerlerde geçmek zrudadır. Şöle k; ( ( ( ( ( ( ( ( 7

13 8 Bu plmu ade [ +] aralığıda New bölümüş arklar rmülau kullaılarak azılıra: ( ( ( ( ( ( ( ( ( eşlğ kullaılarak plmu ade ( ( - ( ( ( ( ( hal alır. Bu adede Δ dr. Bu ade kullaılarak Herme erpla plmuu kaaıları c c c c rahalıkla heaplaablr: ( c ( c Δ - c Δ ( lduğuda Δ c Δ c larak buluur. Δ ( - ( lduğuda Δ c larak buluur. Yukarıdak adelerde de görülebleceğ gb bu plmu adede brc ürev değerler ( bulumakadır. Ya üm e kalarıdak brc ürev değerler de blme gerekldr. Bu ürev adeler heabı ç kübk Beel erpla aklaşımı ldukça uçlar vermekedr.... Δ Δ Δ Δ ( Bu deklem celedğ akdrde k uçak ürevler heabı ç ( ve + başa ve da k kaa ( ve + daha gerekm duulduğu görülecekr. Bu kalar ç aşağıdak kabulü apablrz:

14 9 Oe kalarıda ugu ürev değerler kullaılmaıla öem ldukça uçlar vermekedr. Her br daa kaı araıda arklı maemakel ade bulua Herme erpla plmları brc derecede ürekllğe ahpr ve bu plmları kullaılmaıla dğer plmlarda aşaa alıım prblem büük ölçüde rada kalkmışır. rıca eğr derece ka aııda bağımızdır. Yalız bu plmu akıcaı br mdel vea çzmde elde edle e kaları hakkıda blg ahb lumaıa rağme eğr eldede heme heme eşdeğer ek bulua ürev değerler hakkıda pek br kr ahb lumamaıdır. Bu da ele rmda eğr elde edlememee l açablmekedr. Örek. : Dör e kaı (+= le aımlamış balblı br gem ked örek larak ele alalım. Bu gem kedde geçe kübk Herme erpla plmuu her br e aralığıdak ade çıkaralım. ( = - Çözüm: Çözüm ç öcelkle Beel erpla aklaşımıı kullaarak üm kalardak brc ürev değerler bulumaı gerekldr.... Δ Δ Δ Δ - ( - ( Başak ek ka ç kabulu kullaılarak larak alıır. Bölece araa ürev değerler aşağıdak gb buluur:. - (- ( -. - ( - (. - ( - ( - ( - (

15 Sdak ek ka ç kabulu kullaılarak alıır. Bölece kaı brc ürev değer: larak ( - (- -. larak buluur. Her kaa a brc ürev değerler =. = -. = -. ve =. elde edldğde Herme erpla plmu kaaıları c c c c arık heaplaablr. ( - ( Dör ka le aımlaa bu gem ked üç Herme plmuu ( = c + c ( - + c ( - + c ( - brleşmede luşmuşur. Öcelkle lk e aralığıdak [ ]=[] plmu ( kaaılarıı heaplaalım. c ( c (.. (. ( c Δ. c Δ (. Δ c [] aralığıda plmu deklem; ( = +.( - -.( - + ( - =.-. larak buluur. İkc aralık ç [ ]=[] plmu ( kaaıları: c ( c (.. (. ( c Δ

16 (. c Δ (. Δ c [] aralığıda plmu deklem; ( = -.( - -.( - + ( - larak buluur. S aralıka e [ ]=[] plmu ( kaaıları: c ( c ( -... ( c Δ (. c Δ (. Δ c [] aralığıda plmu deklem; larak buluur. ( = --.( -+.( - + ( - = --.( -+.( - [ +] c c c c Balblı gem ked çzm ç ( ( ( deklemler kullaılarak heaplaa ade ka Tabl. de görülmekedr. - araıdak kalar ( deklem - araıdak kalar ( deklem - araıdak kalar e ( deklem kullaılarak heaplamışır. Bu kalar kullaılarak çzle eğr Şekl.8 de görülmekedr. Kübk Herme plmuu derece ka aııda bağımız lduğu ç geelde çk aıda ka le eml edle eke rm keler ç uç vermekedr. Şekl.9 da pk gem kelere ugulamış Herme erpla plmları görülmekedr.

17 Tabl.. Dör kada geçe kübk Herme erpla plmua a değerler ( ( - ( ( Şekl.8. Dör ka le aımlaa ked kübük Herme plmu le eml

18 BIR TNKER KESIDI LD7 KESIT N. 7 LD7 KESIT N. 8 LD7 KESIT N. Şekl.9. Tpk gem keler kübk Herme ku le eml.

19 ... arablk Harmalama lmu arablk harmalama plmu lk larak Overhauer ( araıda raa aılmışır. Dğer plmlarda bulumaa lkal krl eğe vekör öüü ve büüklüğüü krl mkaı v. gb özellklere ahpr. Faka plmu ürekllğ brc merebede lmaı (C br dezavaa larak raa çıkmakadır. Ye de maemakel şlem üküü halğ gerdğ avaala ve brc derecede ürekllğ eerl lduğu ugulamalarda erch edle br öemdr. Bu plmlarla elde edle eğr ardışık dör ka ( le aımlı k arı parablü üüe çakışmaıı ürüü br eğrdr. Brc parabl verle lk üç ka le aımlamaka ( kc e üç ka ( le aımlamakadır. Orada k parablü çakışmaı ucu elde edle parablk harmalama plmu kc ve üçücü kalar araıda aımlıdır. Her k parabl de düzlemel lmaıa rağme elde edle parablk harmalama plmu düzlemel lmaa üçücü derecede br eğrdr. Bu plmu C( ade başlagıç ç aşağıdak şeklde azılablmekedr. C( = (-p(r + q( Bu adede r ve eğr paramereler göermeke p(r ve q( e lk ve daa eler le aımlamış paramerk parabller göermekedr. arablk harmalama plmuu çzmde kullaıla parabller ve luşurula eğr C( (ku çzlmş eğr Şekl. da görülmekedr. C( q( p(r Şekl.. arablk harmalama Her k parabl de mar au kullaılarak aşağıdak gb azılablr: p(r = [r r ] [B] q( = [ ] [D] [B] ve [D] kum marler göermekedr. r ve paramereler araıda aşağıdak gb br leer bağıı lduğu varaılmakadır. r = k +k = k+ k k ıır kşulları kullaılarak belrleecek ablerdr.

20 Yapıla emel kabuller: Daa kalarıı eş aralıklı lduğu aramere aralığıı rmalleşrldğ r rblem ıır kşulları:. parabl : p( = p(/ = p( =. parabl : q( = q(/ = q( = Harmalama plmu : C( = C( = Blmee k abler ukardak şarlar kullaılarak belrlemekedr: r = k + k ; kaıda r = ½ = k = ½ kaıda r = = k = ½ = k + k ; kaıda = = k = kaıda = ½ = k = ½ Bölece paramereler araıdak leer bağıılar aşağıdak gb azılablr: r( = ½ (+ ( = ½ rıca [B] ve [D] kum vekörler belrlemede de ukarda aımlaa ıır kşulları kullaılmakadır. p( = = [ ] [B] p(½ = = [ ¼ ½ ] [B] p( = = [ ] [B] [B] mar ek br mar şeklde ekrar azılarak aşağıdak gb elde edlr: / / M B MB B M [D] mar de aı şeklde belrleerek aşağıdak ade elde edlr:

21 D arablk harmalama plmuu deklemde p(r ad q( parabller adeler ere karak; C( = (- p(r + q( C( = (- [r r ] [B] + [ ] [D] r ve paramereler paramere cde bulduğumuz adeler [r( = ½(+ ( = ½ ] ukarıdak deklemde ere kura aşağıdak ade elde edlr; D B C( [B] ve [D] marler adeler ere kura parablk harmalama eğr ade elde edlr: ( ( ( ( ( ( C( Mar deklem üm kaları ( kapaacak şeklde düzelerek; ( ( ( ( ( ( C( Heaplarda klalık ağlamak ç ukarıdak deklem ekrar rgaze edlre üç mar çarpımı şeklde azılablr; G T G C(

22 Yukarıdak deklemde [T] paramere mar [] kaaı mar ve [G] daa kalarıı çere gemer mar göermekedr. C( T G Şekl. de [T][] mar çarpımıda elde edle harmalama ku [F] görülmekedr F F. F F Şekl.. Harmalama kları Bu maemakel ku başarıı maemakel er balğde amakadır. Şekl. de arklı gem e kelere a ugulamalar görülmekedr. Ugulamadak klalık ve öem maemakel eml başarıı ugulamalarda açıkça görülmekedr. Eğr er ve ugulamaı ba lmaıa rağme eğr ürekllk merebe daha kmplke ugulamalar açııda eerl değldr. Bu öem acak ükek merebede ürekllğ aramadığı durumlarda kullaılmakadır. 7

23 BIR TNKER KESIDI LD 7 KESIDI NO. 7 LD 7 KESIDI NO. 8 LD 7 KESIDI NO. Şekl.. Tpk gem keler parablk harmalama erpla plmu le eml. 8

24 9 Örek.: şağıdak e kaları le br geme a br eğr aımlamakadır. Bu e kalarıı kullaarak ve kaları araıdak parablk harmalama plmuu belrleerek = ½ dek e değer bulalım. : : 9 :. Çözüm: ve kaları araıdak parablk harmalama plmu aşağıdak gb verlmekedr: C( Bu deklemde araa paramere değer = ½ ve üm e kalarıı ere karak:. 8 C( C(/ = [..7] elde edlr. Oe kaları ve ve kaları araıdak parablk harmalama plmu Şekl. de çzlmşr. Şekl.. ve kaları araıda çzle parablk harmalama ku 9. C(..7