Sosyal Bilimlerde Yanlı Regresyon Tahmin Edicilerinin Kullanılması

Transkript

1 Eğtmde ve Pskolojde Ölçme ve Değerlendrme Dergs, Kış 00, (), Sosyal Blmlerde Yanlı Regresyon Tahmn Edclernn Kullanılması Orkun COŞKUNTUNCEL * Mersn Ünverstes Özet Regresyon analz değşkenler arasındak lşky araştırmak ve modellemek çn kullanılan br statstksel araştırma yöntemdr ve bu yöntem hemen hemen her alanda kullanılan br yöntemdr. Regresyon analznde regresyon katsayılarını hesaplamak çn kullanılan en yaygın yöntem klask yöntem olarak da blnen En Küçük Kareler (EKK) yöntemdr. Ancak EKK yöntem verdek aykırı değer(ler)den ve bağımsız değşkenler arasında görülen çoklu ç lşk ya da kötü koşulluluk problemnden çok fazla etklenen hassas br yöntemdr. Bu çalışmanın amacı sosyal blmler alanında derlenen verlerde çoklu ç lşk problemne karşı daha dayanıklı yanlı regresyon yöntemlernn (Rdge Regresyon ve Lu tahmn edcs) performanslarının ncelenmes ve EKK le karşılaştırılmasıdır. Anahtar Sözcükler: Rdge regresyon, Lu tahmn edcs, en küçük kareler, kötü koşulluluk, hata kareler ortalaması. Abstract Regresson analyss s a statstcal technque for nvestgatng and modelng the relatonshp between varables and ths technque occur n almost every feld. Least squares estmaton whch known classcal method s most useable regresson coeffcents estmaton n regresson analyss. However ths method s very senstve to outlers and multcollnearty n the data. The am of ths study s to propose based regresson methods (Rdge regresson and Lu estmator) for the model parameter of a regresson models that can combat wth the multcollnearty n socal scence. Keywords: Rdge regresson, Lu estmator, Least Squares, multcollnearty, Mean square error. Blm ve teknolojdek hızlı lerleme le beraber karmaşık kuramsal örüntülere sahp sosyal ve ekonomk olaylar daha da karmaşık br hal almakta ve bu alanlarda yapılan araştırmaların statstksel analzler daha da zorlaşarak araştırmacıları alternatf analzler yapmaya yöneltmektedr. Sosyal blmler alanında derlenen verlern analznde yaygın olarak kullanılan yöntemlerden br regresyon analzdr ve EKK regresyon analznn klask yöntemdr. Bu kadar sıklıkla kullanılmasının en öneml nedenler y sayısal özellkler ve kolay hesaplanmasıdır. Ancak EKK bağımlı ve/veya bağımsız değşkenler yönündek aykırı değerlere karşı aşırı hassas br yöntemdr öyle k br tek aykırı değer ble tahmnler çok olumsuz etkleyeblmektedr. Bu çalışmanın amacı, sosyal blmlerden elde edlen verlerde, çoklu ç lşk veya kötü koşulluluk problemnn EKK üzerndek olumsuz etklern ortaya çıkarmak, rdge veya lu gb yanlı regresyon tahmn edclernn bu tp verler üzerndek performanslarını EKK le karşılaştırmaktır. Farklı yöntemlerle elde edlen modellern karşılaştırılmasının en etkl ve bast yolu hata kareler ortalamalarının (Mean Square Error-MSE lernn) karşılaştırılmasıdır. Çünkü blndğ gb EKK yansız lneer tahmn edcler arasında en küçük varyansa sahp olan tahmndr. Ancak bu durum EKK le elde edlen varyanstan daha küçük varyans elde edlemeyeceğn garant etmez. Dolayısıyla MSE değer küçük olan model daha etkndr ve terch edlr. MSE genel olarak tahmn edcnn varyansı le * Yrd. Doç. Dr., Mersn Ünverstes Eğtm Fakültes, İlköğretm Bölümü, Matematk Öğretmenlğ Anablm Dalı, orkunct@mersn.edu.tr

2 Eğtmde ve Pskolojde Ölçme ve Değerlendrme Dergs 0 yanlılığın karesnn toplamı le elde edlr. Buna göre, EKK yansız olduğundan, yanlılık sıfırdır ve MSE varyansa eşttr. Çalışmanın knc bölümünde EKK yöntem le lgl temel kavramlar le ç lşk problemnn varlığının araştırılması ve yarattığı olumsuzluklar üzernde durulmuştur. Üçüncü bölümde rdge ve lu yanlı tahmn edclernden bahsedlmştr. Dördüncü bölümde se verye üç farklı tahmn yöntem uygulanarak elde edlen uydurulmuş modeller karşılaştırılmıştır. En Küçük Kareler (EKK) Yöntem Çoklu doğrusal regresyon model matrs formunda y = Xb + e () şeklnde verlr. Burada, é y ù ê ú y = ê y ú, X = ê M ú ê ú ëy n û é ê ê êm ê ë M n M n L L L k ù éb0 ù éeù ú ê ú k ú, b = ê b ê ú ú, e = ê eú M ú ê M ú ê M ú ú ê ú ê ú nk û ëbk û ëen û olup genel olarak, y, n tpnde gözlemlern vektörü, X matrs, n p tpnde bağımsız değşken matrs, b, p tpnde regresyon katsayılarının vektörü ve e, n tpnde rastgele hataların vektörüdür. k bağımsız değşken sayısı olmak üzere p = k + dr ve ler sabt term çndr. Ayrıca k = alınırsa bast doğrusal regresyon model elde edlr. En küçük kareler tahmn edcler e = y Xb olmak üzere å e hata kareler toplamını mnmze eder. Böylece b nın en küçük kareler tahmn ˆb, ˆb = (X X) - X y () ve varyans-kovaryans matrs, Var( ˆb) = s (X X) - (3) şeklnde elde edlr. En küçük kareler çn standartlaştırılmış artık değerler, e = y ŷ olmak üzere, r = e ŝ (4) le verlr. Burada,

3 Yanlı Regresyon Tahmn Edcler 0 ŝ = å n e (5) - n p = dr ve hatalar bağımsız, sıfır ortalamalı, s standart sapmalı, özdeş dağılıma sahp olduğunda ŝ, s nn yansız tahmn edcsdr. Bazen standartlaştırılmış artık değerler yerne t = e sˆ -h (6) studentzed artık değerler kullanılır. Bu k çeşt artık değere genel olarak standartlaştırılmış artık değerler denr.,,..., p () de verlen modeldek X matrsnn p sütunu olsun. X matrsnn sütunları arasında tam br lneer bağımlılık varsa; yan, p å cjj = 0 (7) j = olacak şeklde tümü sıfır olmayan c j ler varsa X matrsnn rankı p den küçüktür. Bu durumda X X matrs tersnr değldr (sngülerdr) yan ters yoktur. Bununla brlkte p å 0 (8) j = se çoğu kez kötü koşulluluk olarak tanımlanan durum oluşur. Kötü koşulluluk ya da ç lşknn stenmeyen etkler vardır. Bunun en öneml neden EKK le elde ettğmz katsayı tahmnler bağımsız değşkenler arasındak korelasyon katsayılarına bağlıdır. Bu durumda yüksek korelasyon tahmn edlen regresyon katsayının büyük varyansa ve kovaryansa sahp olmasına neden olacaktır. Yan aynı bağımsız değşkenler çn başka br örneklem seçtğmzde tahmn edlecek model parametreler çok farklı olacaktır. İç lşknn br dğer öneml etks de tahmn edlecek regresyon katsayılarını şşrmesdr. Bağımsız değşkenler arasında çoklu ç lşknn ya da kötü koşulluluğun görülmesnn temel olarak üç neden vardır. Brncs, deney tasarımında yeterl planlama yapılmamasından veya araştırmanın zayıf gözlemsel verlere dayandırılmasından kaynaklanan ç lşk problemdr. İkncs, bağımsız değşkenlern kuvvetler veya çarpımları gb matematksel şlemler sonucu oluşturulan yen br değşken nedenyle ortaya çıkan yapısal veya model belrlenmesnden kaynaklanan ç lşkdr. Yapısal çoklu ç lşk, modeldek bleşen sayısının gözlem sayısından fazla olduğu durumlarda da görülür. Üçüncüsü se, bağımsız değşkenler üzerndek kısıtlamalardan kaynaklanan ç lşkdr. Kötü koşulluluğun varlığının belrlenmesnde en çok kullanılan yöntem VIF (Varance Inflaton Factors-Varyans şşrme faktörler) ve koşul sayısı yöntemlerdr. (VIF) ler, (X X) - matrsnn köşegen elemanlarıdır. Brownlee (965),

4 Eğtmde ve Pskolojde Ölçme ve Değerlendrme Dergs 03 VIF = - R olduğunu göstermştr. Bu, büyük R (örneğn R > 0,99) değerlernden kaçınmanın büyük VIF den kaçınmaya denk olduğunu gösterr. Gorman (970), R > 0,99 se kötü koşulluluk problem olduğunu belrtmştr. Bu VIF > 00 olması le aynı anlama gelmektedr. Marquardt (970), VIF lern herhang brnn 0 dan büyük olması durumunda en küçük kareler kestrclernn kullanılması le elde edlen tahmnlern kararlı olmadıklarını bunun yerne alternatf model oluşturulması gerektğn veya alternatf tahmn edclern kullanılması gerektğn belrtmştr. Alternatf tahmn edc olarak Rdge Regresyon tahmn edcs ve Lu tahmn edcs kullanılablr. Kötü koşulluluğun belrlenmesnde uygulanablecek dğer br yöntem, X X matrsnn özdeğerlerne dayalı koşul sayısı yöntemdr. Sıfırdan farklı özdeğerlern sayısı matrsn rankını verr. X X matrsnn özdeğerlernden br sıfıra eştse X X matrs sngülerdr ve böylece X matrsnn kolonları lneer bağımlıdır. Özdeğerler elde edldkten sonra en büyük özdeğer le en küçük özdeğern oranı alınarak X X matrsnn koşul sayısı elde edlr. (9) Koşul sayısı = l l ma mn (0) Belsley ve ark. (980), koşul sayısının 5 den büyük olduğu durumların araştırılması gereken durumlar olduğunu belrtmşlerdr. Genel olarak koşul sayısı 00 den küçük se, çoklu ç lşk problemnn cdd boyutlarda olmadığı, 00 le 000 arasında se, güçlü br ç lşk problem olduğu, 000 den büyük se, çok cdd br ç lşk problem olduğu söylenr. Rdge ve Lu Tahmn Edcler Daha öncede belrttğmz gb EKK en y lneer yansız tahmn edclerdr. Ancak bu en küçük karelern verdğ varyansın küçük olduğu anlamına gelmez. Rdge ve Lu regresyon tahmn edcler X ver matrsnn kötü koşulluluğa sahp olduğu durumlarda b nın daha küçük varyansa sahp, daha kararlı yanlı tahmnn vereblrler. () model çn Rdge regresyon tahmn edcs normal denklemeler (X X + ki) ˆb R = X y () ve b nın rdge tahmn edcs k ³ 0 yanlılık çarpanı ve ˆb LS, b nın en küçük kareler tahmn olmak üzere, ˆb R = (X X + ki) - X y = (X X + ki) - X Xbˆ LS () dr ve varyans kovaryans matrs, Var( ˆb R ) = s (X X + ki) - X X(X X + ki) - (3)

5 Yanlı Regresyon Tahmn Edcler 04 dr. Rdge çn MSE, l, X X matrsnn özdeğerler olmak üzere, MSE( ˆb p l R ) = s - å k LS(X X ki) LS ( l+ k) + b + b (4) = dr. ˆb R en küçük kareler tahmnne dayalıdır ve eğer k = 0 alınırsa en küçük kareler tahmn edcs elde edlr. Rdge tahmn edcsnde yanlılık parametres k nın seçm çok öneml br yer tutar. k nın br uygun seçm ˆb LS ve ŝ en küçük kareler tahmnler olmak üzere, k HK = pˆ s bˆ bˆ LS LS (5) dır (Hoerl ve Kennard, 970a,b). Lu tahmn edcs, çoklu ç lşk problem le mücadele edeblen, Rdge tahmn edcsne alternatf yanlı tahmn edcdr. () model çn alışılmış Lu tahmn edcs 0 < d < yanlılık çarpanı olmak üzere, ˆb L (d) = (X X + I) - (X X + di) ˆb LS (6) dr ve varyans kovaryans matrs, Var( ˆb L ) = s (X X + I) - (X X+dI)(X X) - (X X + di)(x X + I) - (7) dr. Rdge çn MSE, l, X X matrsnn özdeğerler olmak üzere MSE( ˆb L ) = ( l + d) bˆ p p + (d -) = l( l+ ) = ( l+ ) å å (8) dr. Lu tahmn edcsnn Rdge tahmn edcsne göre avantajı d yanlılık parametresnn br lneer fonksyonu olmasıdır ve böylece d nn seçm k dan daha kolay olacaktır (Lu, 993). Bu çalışmanın amacı çoklu ç lşkye problemne sahp br ver set üzernde EKK le adı geçen yanlı regresyon tahmn edclernn performanslarını karşılaştırmaktır.

6 Eğtmde ve Pskolojde Ölçme ve Değerlendrme Dergs 05 Katılımcılar Yöntem Bu araştırmanın verler 63 ü erkek 38 kız toplam 40 ünverste öğrencsnden toplanmıştır. Bu öğrenclern yaşlarının ortalaması,8 ve standart sapması se,06 dır. Ver Toplama Araçları Blşsel Esneklk Ölçeğ (BEÖ): BEÖ Martn ve Rubn (995) tarafından gelştrlmş olan ve Çelkkalel (yayında) tarafından Türkçe ye uyarlanmıştır. 6 lı Lkert tp br ölçme aracı olan BEÖ kesnlkle katılmıyorum ve 6 kesnlkle katılıyorum bçmnde cevaplandırılmaktadır ve maddeden oluşmaktadır. Yapılan geçerlk ve güvenrlk çalışmalarında BEÖ nn tek faktörlü br yapıdan oluştuğu; faktör yüklernn 0.34 le 0.77 arasında değştğ ve ç tutarlı katsayısının 0.76 olduğu rapor edlmştr. Dğer tarafta test tekrar test güvenrlk katsayısı se 0.65 olarak elde edlmştr. Problem Çözme Envanter (PÇE): Ölçme aracı, Heppner ve Peterson (98) tarafından (Akt: Savaşır ve Şahn, 997) gelştrlmş olup, -6 arasında puanlanan ve 35 maddeden oluşan Lkert tp br ölçektr. Maddelere verleblecek tepkler; her zaman böyle davranırım, çoğunlukla böyle davranırım, sık sık böyle davranırım, arada sırada böyle davranırım, ender olarak böyle davranırım ve hçbr zaman böyle davranmam şeklnde sıralanmaktadır. Ölçekten alınablecek toplam puan 3-9 arasında değşmektedr. Ölçeğn güvenrlk çalışmasında ölçeğn tümü çn elde edlen ç tutarlılık katsayısı 0.90, alt ölçekler çn elde edlen katsayılar se 0.7 le 0.85 arasında değşmektedr. Ölçeğn madde-toplam puan korelasyonlarının ranjı se 0.5 le 0.7 arasında değşmektedr. Ölçeğn alt ölçeklernn test-tekrar test güvenrlk katsayıları 0.83 le 0.89 arasında değşmektedr. Yapı geçerlğ çalışmasında se problem çözme yeteneğne güven (α = 0.85), yaklaşma kaçınma (α = 0.84) ve kşsel kontrol (α = 0.7) olmak üzere üç faktörden oluştuğu saptanmıştır. Bu üç faktör arasındak korelasyon katsayıları se 0.38 le 0.49 arasında hesaplanmıştır (Akt: Savaşır ve Şahn, 997). Ölçeğn Türkye uyarlaması Şahn, Şahn ve Heppner tarafından (993) yapılmıştır. Ölçeğn güvenrlk çalışmasında, toplam 44 ünverste öğrencs üzernde yapılan çalışmada ç tutarlık katsayısı 0.88 olarak hesaplanmıştır. Test yarıya bölme güvenrlk çalışmasında elde edlen korelasyon katsayısı 0.8 olarak bulunmuştur. Ölçeğn geçerlk çalışmasında; ölçüt bağıntılı geçerlk yöntem kullanılmış ve ölçeğn toplam puanı le Beck Depresyon Envanter toplam puanları arasındak korelasyon ve STAI-T toplam puanları arasındak korelasyon katsayısı se olarak hesaplanmıştır. Yapılan faktör analz sonucunda se ölçeğn; acelec yaklaşım (α = 0.78), düşünen yaklaşım (α = 0.76), kaçıngan yaklaşım (α = 0.74), değerlendrc yaklaşım (α = 0.69), kendne güvenl yaklaşım (α = 0.64) ve planlı yaklaşım (α = 0.59) olmak üzere altı faktörden oluştuğu görülmüştür (Akt. Savaşır ve Şahn, 997). Bu araştırmada Şahn, Şahn ve Heppner (993) tarafından yapılan uyarlama çalışması kullanılmıştır. Başaçıkma Stratejler Ölçeğ (BSÖ): Amrkhan (990) tarafından gelştrlmş, Aysan (994) tarafından Türkçe ye uyarlama ve geçerlk, güvenrlk çalışması yapılmış br kendn değerlendrme envanterdr. Problem Çözme, Sosyal Destek Arama ve Kaçınma olmak üzere 3 alt ölçekten oluşmaktadır. Alt ölçeklerde toplam er madde bulunmakta ve alt ölçek toplam puanları le 33 arasında değşeblmektedr. Ölçekte -hç, -braz, 3-çok olmak üzere 3 lü Lkert tp br değerlendrme vardır. Alt ölçek toplam puanlarının yüksek olması, tanımlanan ntelğn arttığına şaret etmektedr. Ölçeğn güvenrlk katsayısı 0.9 olarak bulunmuştur. Benzer ölçekler geçerlk çalışmalarında, Problem Çözme alt ölçeğnn İç Kontrol le poztf yönde; Kaçınma alt ölçeğnn Yaşam Doyumu le negatf, Depresyon düzey le poztf yönde lşkl olduğu belrlenmştr. Genel Yetknlk İnancı Ölçeğ (GYİÖ): GYİÖ, Jerusalem ve Schwarzer (99) tarafından gelştrlmş ve Çelkkalel ve Çapr (008) tarafından Türkçe ye uyarlanmıştır. 0 maddeden oluşan Lkert tp ölçme aracı braz doğru ve 5 tümüyle doğru bçmnde cevaplandırılmaktadır. Yapılan geçerlk ve güvenrlk çalışmalarında ölçeğn ç tutarlık katsayısı üç farklı grupta sırasıyla

7 Yanlı Regresyon Tahmn Edcler , 0.86 ve 0.87 olarak elde edlmştr. Ölçeğn faktör yükler 0.56 le 0.75 arasında değşmektedr. Ölçüt bağıntılı geçerlk çalışmasında GYİÖ le Aday Öğretmenn Kendne İlşkn Yeterlk İnancı Ölçeğ arasındak korelasyon 0.46; madde toplam test korelasyonlarının se 0.47 le 0.66 arasında değşmekte olduğu bulunmuştur. Yapılan çapraz geçerleme çalışmasında se tüm grup ve alt gruplardan benzer bulgular elde edlmştr. Ayrıca, test-tekrar test korelasyon katsayısı 0.9 olarak bulunmuştur. Verlern Analz Verlern analznde EKK yöntem le Rdge ve Lu yanlı regresyon yöntemler kullanılmıştır. Bulgular Bu ver grubu çn varyans 36,897 olarak elde edlmş yan EKK çn MSE = 36,897 dr. Tablo de elde edlen EKK katsayı tahmnler, Özdeğerler ve VIF değerler verlmştr. En büyük özdeğer le en küçük özdeğern oranı 47 ve VIF değerler tümü 0 dan büyük olup cdd ç lşk problem olduğu açıkça görülmektedr. Tablo. EKK sonuçları Term EKK Özdeğer VIF Sabt 40,530 5,888 87,46 0,640 0,048 55,58-0,005 0,05 6,0 3 0,4 0,03 37,50 4-0,090 0,0 40,06 5-0,097 0,004 39,79 Bu ver çn rdge çözümünü elde etmek çn (X X + ki)ˆb R = X y denklemn k nın çeştl değerler çn çözmemz gerekr. Tablo de k nın brkaç değer çn rdge katsayıları ve d = 0,85 çn lu katsayıları verlmştr. Bu tabloda ayrıca her rdge ve lu çözümü çn MSE ve R değerler de verlmştr. Tablo. Çeştl k değerler çn rdge çözümü Term k = 0 k = 0,05 k = 0. k = 0,5 k = 0,9 k = 0,35* d = 0,85** Sabt 40, ,79 3,85 8,530 38,8 38,593 0, ,655 0,70 0,740 0,659 0,656-0, ,006 0,043 0,07 0,00 0, , ,4 0,58 0,8 0,7 0,5 4-0, ,084-0,06-0,044-0,08-0, , ,09-0,073-0,060-0,090-0,090 MSE 36,897 6,49 5,765,354 8,567 5,87 9,4 R 0,36 0,360 0,355 0,330 0,30 0,353 0,354 * (5) te verlen k HK çn sonuçlar **. d = 0,85 çn Lu tahmn sonuçları Sonuçlar ncelendğnde artan k değerler çn MSE azalmakta brlkte R değer azalmaktadır. Ancak elde edlen katsayı tahmnler hızla dengelendğ zlenmektedr. Özellkle knc katsayıya at sonuçlar EKK çn negatf ken rdge le poztf olup şaret değşmş ve dğer katsayılarda mutlak değerce farklılıklar oluşmuştur. Ayrıca tüm k değerler çn VIF değerler 0 le arasında elde edlmştr. Yan kötü koşulluluk problem ortadan kalkmıştır. Aynı durum lu tahmn çn de geçerldr. VIF ler 0 le aralığındadır MSE değer EKK le elde edlen MSE değernden küçüktür. Burada da sorun azalan R değerdr. Ancak R değer tıpkı EKK gb verdek aykırı değerlerden çok fazla etklenr. Br tek aykırı değer ble R de çok fazla değşme neden olur. Buda çok dkkatl

8 Eğtmde ve Pskolojde Ölçme ve Değerlendrme Dergs kullanılması gerektğ anlamına gelr. Unutulmamalıdır k nceledğmz her k yanlı teknk EKK tahmnne dayalıdır. 07 Sonuç ve Önerler Ver grupları yaklaşık olarak normal dağıldığında klask yöntemle elde edlen tahmnler en y tahmnlerdr. Ancak araştırmacıların çok sıkça karşılaştıkları, verlern normal dağılıma sahp olmadığı, ver kümesnn farklı alt gruplardan oluşması veya verlerde çoğunluğa uymayan etkn gözlemlern (sapan değerlern) olması durumunda klask yöntem le elde edlen sonuçlar verlern durumunu tam olarak yansıtmaz ve bu yöntem kullanan araştırmacıların yanlış sonuçlara ulaşmalarına neden olur. Sosyal blmler alanı ver çeştllğ açısından teorde etkn olan br teknğn pratkte ne kadar etkn ve tutarlı olduğunu görmek çn çok uygun br alandır. Alternatf regresyon yöntemler klask yöntemlerle üstesnden gelnemeyen problemlern çözümünde kullanılmak üzere tanımlanmış yöntemlerdr ve bu çalışmada gerçek br ver üzernde ortaya çıkan kötü koşulluluk veya ç lşk olarak blnen durumun klask yöntemle elde edlen katsayı tahmnler üzerndek etkler verlmeye çalışılmıştır. Verlen örnekte elde edlen tahmnler öneml k sorunu karşımıza çıkarıyor. Brncs gerek EKK gerekse yanlı yöntemler le elde edlen R değernn stenlen sevyenn altında olması sorunudur k bu durum verdek aykırı değerlerl lgl olarak ortaya çıkablen br durumdur. Sapan değerlere karşı en etkl yöntemler M, Genelleştrlmş M, Least Medan of Squares-LMS gb sağlam (robust) statstksel yöntemlerdr (Huber 964,98, Hampel ve ark. 986, Rousseeuw ve Leroy, 987, Arslan, 004). Bu yöntemler sapan değerlern uydurulan model üzerndek etklern en aza ndrecek yöntemlerdr. İkncs EKK nın dezavantajlarına karşılık yanlı yöntemlern EKK tahmnne dayalı olması. Eğer ver hem sapan değer hem de kötü koşulluluğa sahpse EKK tutarlı olmayacaktır ve yanlı regresyon verdğmz örnekte de olduğu gb kötü koşulluluğu ortadan kaldırsa ble çok tatmn edc durmamaktadır. Bu durumda hem sağlam hem de yanlı olan yöntemler terch edleblr. Ancak unutulmamalıdır k alternatf yöntemler muczeler yaratmazlar ve tıpkı EKK ve ona dayalı R statstkler gb çok dkkatl kullanılmaları gerekr. Kaynaklar Anastas, A. (997). Psychologcal testng. Prentce Hall Inc., New York, U.S.A. Amrkhan, J. H. (990). A factor analytcally derved measure of copng: The Copng Strategy Indcator. Journal of Personalty and Socal Psychology, 59 (5), Arslan, O. (004). Convergence Behavor of an Iteratve Reweghtng Algorthm to Compute Multvarate M- Estmates for Locaton and Scatter. Journal of Statstcal Plannng and Inference, Vol. 8, 5-8. Aysan, F. (988). Lse Öğrenclernn Stres Yaşantılarında Kullandıkları Başaçıkma Stratejlernn Bazı Değşkenler Açısından İncelenmes, Yayınlanmamış Doktora Tez, Hacettepe Ünverstes, Ankara. Aysan, F. (994). Başa Çıkma stratejs ölçeğnn ünverste öğrencler çn geçerllğ, güvenrllğ.. Eğtm Brmler kongresnde sunulan bldr Ç.Ü. Ankara Baykul, Y. (000). Eğtmde ve Pskolojde Ölçme: Klask Test Teors ve Uygulaması. ÖSYM Yayınları, Ankara. Baykul, Y.,Gelbal, S., Kelecoğlu, H. (00). Eğtmde Ölçme ve Değerlendrme, MEB yayınları, Ankara. Belsley, D.A., Kuh, E., Welsch, R.E. (980). Regresson Dagnostcs: Identfyng Influental Data and Sources of Collnearty, Wley, New York. Crocker, L., Algna, J. (986). Introducton to Clascal and Modern Test Theory., Harcourt Brace Jovanovch College Publshers, Florda, U.S.A.

9 Yanlı Regresyon Tahmn Edcler 08 Çelkkalel, Ö. (yayında). Ünveste öğrenclernde blşsel esneklklernde problem çözme ve yetknlk nancının etks. MEÜ Eğtm Fakültes Dergs. Coşkuntuncel, O. (009). Eğtmle İlgl Aşırı Değer İçeren Ver Kümelernde En Küçük Kareler ve Robust M Tahmn Edcsnn Karşılaştırılması. Mersn Ünverstes Eğtm Fakültes Dergs, Yayınlanmak üzere kabul edld. Coşkuntuncel, O. (005). Robust Statstcal Analyss for Mture Eperment and Models. Unpublshed PhD. Thess, Çukurova Unversty, Adana, Turkey. Coşkuntuncel, O. (005). Robust Estmators for the Regresson Parameters of Eperment wth Mtures Models. Internatonal Jour. of Pure and App. Math., Vol.4, No.4, Çelkkalel, Ö., Çapr, B. (008). Genel Yetknlk İnancı Ölçeğ nn Türkçe formunun geçerlk ve güvenrlk çalışması. Ç.Ü. Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs, 7(3), Erkuş A (003) Pskometr Üzerne Yazılar: Ölçme ve Pskometrnn Tarhsel Kökenler, Güvenrlk, Geçerlk, madde Analz, Tutumlar; Bleşenler ve Ölçülmes.. baskı, Ankara. Türk Pskologlar Derneğ Yayınları No:4. s Gorman, J. W. (970). Fttng equatons to mture data wth restrants on compostons. Journal of Qualty Technology, Vol., pp Hampel, F.R., Ronchett, E.M., Rousseeuw, P.J., Stahel, W.A. (986). Robust Statstcs: The Approach Based on Influental Functons, Wley, New York. Happer, P. P. ve Petersen, C. H. (98). The development and mplcaton of a personal problem solvng nventory. Journal of Counselng Psychology, 9, Hoerl, A.E., Kennard, R.W. (970a). Rdge Regresson: Based Estmaton for Nonorthogonal Problems. Technometrcs, Vol. -, Hoerl, A.E., Kennard, R.W. (970b). Rdge Regresson: Applcatons to Nonorthogonal Problems. Technometrcs, Vol. -, Huber, P.J. (964). Robust Estmaton of a Locaton Parameters. The Annals of Mathematcal Statstcs, Vol 35, Huber, P.J. (98). Robust Statstcs, Wley, New York. Jerusalem, M. ve Schwarzer, R. (99). Self-effcacy as a resource factor n stress apprasal processes. In R. Schwarder (Ed.), Self-effcacy: Thought Control of Acton (pp. 95 3). Washngton, DC: Hemsphere. Lu, K. (993). A new class of based estmate n lnear regresson. Communcatons n Statstcs A,, Martn, M.M., ve Rubn, R.B. (995). A new measure of cogntve fleblty. Psychologcal Reports, 76, Marquardt, D.W. (970). Generalzed nverses, Rdge regresson, based lnear estmaton, and nonlnear estmaton. Technometrcs,, Rousseeuw, P.J., Leroy, A.M. (987). Robust Regresson and Outler Detecton. Wley, New York. Sahn. N., Sahn. N. H. ve Happner, P. P. (993). Psychometrc propetes of the Problem Solvng Inventory n a group of Turksh unversty students. Cogntve Therapy and Research, 7 (4), Savaşır, I., ve Şahn, N. H. (997). Blşsel-davranışçı teraplerde değerlendrme: Sık kullanılan ölçekler. Ankara: Türk Pskologlar Derneğ Yayınları.