ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YARIŞAN BAĞIMLI RİSKLERLE SAĞKALIM ANALİZİNDE ARCHIMEDEAN KAPULA YAKLAŞIMI.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YARIŞAN BAĞIMLI RİSKLERLE SAĞKALIM ANALİZİNDE ARCHIMEDEAN KAPULA YAKLAŞIMI Çiğdem TOPÇU İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 203 Her Haı Salıdır

2 ÖZET Doora Tezi YARIŞAN BAĞIMLI RİSKLERLE SAĞKALIM ANALİZİNDE ARCHIMEDEAN KAPULA YAKLAŞIMI Çiğdem TOPÇU Anara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisi Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fahrein ARSLAN Sağalım analizi, başlama anı ile çalışmanın başında belirlenen ve başarısızlı olara adlandırılan bir sonucun oraya çımasına adar geçen süre olara elde edilen verilerin analizidir. Sağalım analizinde birey için başarısızlı birden fazla nedenden meydana gelebilmeedir. Bu ür çalışmalarda, bireye ai sağalım süresi T ve meydana gelebilece başarısızlığın olası nedeni ise esili C rasgele değişeni ile göserilir. Burada, oplam ane farlı neden vardır ve bunlar. neden, 2.neden,,. neden biçiminde ifade edilir. Başarısızlığın bu olası nedenleri yarışan ris olara adlandırılmaadır. Yarışan rislerin var olduğu durumlarda emel varsayım her bireye ai poansiyel ( ) T, T2,..., T sağalım süresi veörünün olduğudur. Bu sağalım süreleri aynı anda gözlenemeyeceğinden örü (laen) bir yapıya sahipir. Tüm rislerin varlığında gözlenen gerçe sağalım süresi ( ) T = T T T olmaadır. Rislerin bağımlılığı ile bu örü sağalım sürelerinin min, 2,..., bağımlılığı anlaılmaadır. Çalışmada ii bağımlı yarışan risin varlığında, bu risler arasındai bağımlılığı en iyi şeilde emsil eden Archimedean apula fonsiyonunun ahmin edilmesi amaçlanmışır. Bu amaç için Genes ve Rives (993) in önerdiği parameri olmayan yönemin duruma uyarlaması yapılmışır. Son olara yönem gerçe bir veri sei üzerinde uygulanmış, elde edilen sonuçlar ve öneriler verilmişir. Oca 203, sayfa Anahar Kelimeler: Sağalım analizi, yarışan risler, bağımlılı, apula, Archimedean apula i

3 ABSTRACT Ph. D. Thesis ARCHIMEDEAN COPULA APPROACH TO DEPENDET COMPETING RISKS IN SURVIVAL ANALYSIS Çiğdem TOPÇU Anara Universiy Graduae School of Naural and Applied Science Deparmen of Saisics Advisor: Prof. Dr. Fahrein ARSLAN Survival analysis is relaed o analyze he daa which are obained as a ime unil a prespesified even is called failure even. In survival analysis, failure may occur from several causes for any individual. In such sudies, survival ime ha is assigned o an indivual and poenial cause of failure are represened by T and C, respecively. There are diffren causes and hese are represened by s cause, 2 nd cause,, h cause. These poenial causes are called as compeing riss. In he presence of compeing riss, he basic assumpion is here is a poenial ( ) T, T2,..., T survival ime vecor ha is assigned o every individual. Since hese survival imes are no observable random variables hey have a laen srucure. When all he riss are presen he acual observed survival ime is T ( T T T ) =. Dependen riss means min, 2,..., dependen hese laen survial imes. The aim of his sudy is o esimae he Archimedean copula funcion ha provide bes fi for he dependency beween wo dependen compeing riss. For he purpose, he mehod ha is suggesed by Genes and Rives (993) is adaped for he case. A he end of he sudy, he mehod is applied o a real-life daa se, he obained resuls and suggesions are presened. January 203, pages Key Words: Survival analysis, compeing riss, dependency, copula, Archimedean copulas ii

4 TEŞEKKÜR İhiyaç duyduğum her anda değerli zamanını bana ayırara gere aademi gerese haya deneyimini benimle cömerçe paylaşan, çalışmalarımın her aşamasında önerileriyle beni yönlendiren değerli danışman hocam Prof. Dr. Fahrein ARSLAN a (Anara Ünv. İsaisi Bölümü) sonsuz eşeürlerimi sunarım. Çalışmalarımı iizlile aip edere, yapmış olduğu aılar ve örne aldığım anlayışlı ve hoşgörülü işiliği için değerli hocam Prof. Dr. Hamza GAMGAM a (Gazi Ünv. İsaisi Bölümü) eşeürlerimi sunarım. Çalışmalarımı büyü bir özenle aip edere son ana adar yapığı değerli aıları, önerileri ve yardımları için değerli hocam Doç. Dr. Halil AYDOĞDU ya (Anara Ünv. İsaisi Bölümü) eşeürlerimi sunarım. Diale incelediği çalışmama yapığı önemli aılarından, önerilerinden ve esi emediği moral deseğinden dolayı değerli hocam Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT a (Anara Ünv. İsaisi Bölümü) eşeürlerimi sunarım. Tez çalışmama göserdiği özen, yapığı değerli aı ve önerilerinin yanı sıra benden esirgemediği moral deseen dolayı değerli hocam Doç. Dr. Çağdaş Haan ALADAĞ a (Haceepe Ünv. İsaisi Bölümü) eşeürlerimi sunarım. Her alanda olduğu gibi doora süresince de manevi deseğini benden esirgememiş olan sevgili dosum Yrd. Doç. Dr. Pelin KASAP a (Ondouz Mayıs Ünv. İsaisi Bölümü) eşeür ederim. Çalışmalarım süresince hep yanımda olan, ader oralığı yapığımız ve moral deseğini her an hisseiğim sevgili aradaşım Ayhan TOPCU ya eşeür ederim. Manevi deselerini, yardımlarını ve güler yüzlerini benden esirgemeyen Öğr. Gör. Dr. M. Bahar BAŞKIR (Anara Ünv. İsaisi Bölümü), Arş. Gör. Yeşim DÖNE (Anara Ünv. İsaisi Bölümü) ve Arş. Gör. Abdullah YALÇINKAYA (Anara Ünv. İsaisi Bölümü) başa olma üzere üm aradaşlarıma eşeür ederim. Yaşamımın her anında varlılarından güç aldığım, maddi ve manevi deselerini esirgemeden yanımda olan sevgili aileme en içen eşeürlerimi sunarım. Çiğdem TOPÇU Anara, Oca 203since benden deseğini esirgemeyen, biriimleriyle ilerlememe iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... ŞEKİLLER DİZİNİ... ÇİZELGELER DİZİNİ.... GİRİŞ SAĞKALIM ANALİZİNDE BAZI TEMEL KAVRAMLAR Sağalım Analizinde Sansürleme Kavramı ve Parameri Olmayan Tahminler Kaplan-Meier Tahmin Edicisi Kaplan-Meier Tahmin Edicisi İçin Oralama ve Varyansın Bulunması Parameri Olmayan En Ço Olabilirli Tahmin Edicisi Olara Kaplan- Meier Tahmnin Edicisi Nelson-Aalen Tahmin Edicisi Nelson-Aalen Tahmin Edicisi İçin Oralama ve Varyansın Bulunması YARIŞAN RİSKLERİN VARLIĞINDA SAĞKALIM ANALİZİ Temel Kavramlar ve Göserimler Örü Başarısızlı Zamanları Göserimi Kesili Başarısızlı Zamanları YARIŞAN RİSKLER TEORİSİNDE TAHMİNLER Parameri Tahminler Sansürlemenin Varlığında Tahminler BİRİKİMLİ SIKLIK FONKSİYONU Yarışan Rislerin Varlığında Biriimli Sılı Fonsiyonunun Tahmini K-M yönemi Yarışan risler yönemi YARIŞAN RİSKLER TEORİSİNDE BELİRLENEBİLME PROBLEMİ i ii iii vi vii iv

6 7. KAPULA FOKİYONLARI VE ARCHIMEDEAN KAPULA AİLESİ Kapula Kavramı ve Özellileri Bağımlılı Kavramı ve Kuyru Bağımlılığı Archimedean Kapula Ailesi İKİ BOYUTLU ARCHİMEDEAN KAPULA FONKSİYONUNUN TAHMİNİ Birlieli Parameresinin Tahmini Kendall ın au ilişi asayısına dayanan ahmin yönemi En ço olabilirli yönemi ile ahmin Simülasyon sonuçları Archimedean Kapula Fonsiyonunun Tahmini Yönemin Uygulanması ve Elde Edilen Sonuçlar Yarışan Rislerin Varlığında Bağımlılığın Modellenmesinde Kapula Yalaşımı UYGULAMA TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR... 0 EKLER EK Tamoxifen çalışması sonucunda elde edilmiş verilerin bir ısmı EK2 Tamoxifen çalışmasındai değişenlerin anımları ÖZGEÇMİŞ... 0 v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şeil 8. Ampiri ve eori λ -fonsiyonu grafileri Şeil 9. Kombine edavi alında ii rise ai ampiri ve eori λ fonsiyonu vi

8 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2. Kaplan-Meier ahminleri... 2 Çizelge 5. K-M yönemiyle hesaplanan sağalım olasılıları... 5 Çizelge 5.2 Yarışan risler yönemiyle göre hesaplanan sağalım olasılıları Çizelge 7. Çalışmada ullanılan ii boyulu Archimedean apulalar... 7 Çizelge 8. Çalışmada ullanılan Archimedean apulaların dağılımı Çizelge 8.2 Çalışmada ullanılan Archimedean apulalar ile Kendall ın au asayısı arasındai ilişi Çizelge 8.3 Clayon ( θ =.5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları... 8 Çizelge 8.4 Clayon ( θ = 3) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları... 8 Çizelge 8.5 Clayon ( θ = 5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları... 8 Çizelge 8.6 Gumbel ( θ =.5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8.7 Gumbel ( θ = 3) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8.8 Gumbel ( θ = 5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8.9 Fran ( θ =.5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8.0 Fran ( θ = 5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8. Fran ( θ = 5) apulası için elde edilen simülasyon sonuçları Çizelge 8.2 Birlieli parameresinin TAU ve MLE ahminleri Çizelge 8.3 ˆ θ TAU ullanılara elde edilen sonuçlar Çizelge 8.4 ˆ θ MLE ullanılara elde edilen sonuçlar Çizelge 9. Tamoxifen edavisi alındai hasa grubu için, uza organ yayılım risi ve olualı lenf nodu bölgesinde nüs risi arasındai bağımlılı modelini seçimi Çizelge 9.2 Tamoxifen ve radyoerapi edavisi alındai hasa grubu için olualı lenf nodu bölgesinde nüs risi uza organ yayılım risi arasındai bağımlılı modelini seçimi 94 vii

9 . GİRİŞ Sağalım analizi, başarısızlı olara belirlenen bir sonucun oraya çımasına adar geçen süre ile ilgili olara elde edilen verilerin analizidir. Özellile, ıp alanındai çalışmaların birçoğunda çalışmanın başında belirlenen ve oraya çıması gözlenen bu olay, hasanın ölümü, hasalığın nüs emesi, hasalığın başa bir hasalığı eilemesi gibi olaylar olabilmeedir. Sağalım analizinde meydana gelmesi gözlenen olaylar genellile olumsuz olduğundan bu olaylar başarısızlı olara adlandırmaadır. Yarışan rislerin olmadığı, lasi sağalım analizinde başarısızlığın e bir nedeni ile ilgilenilmee ve başarısızlığa neden olan diğer olaylar göz ardı edilmeedir. Birço çalışmada, başarısızlığın birden ço nedeni olmaadır (Moeschberger ve David 97). Birden fazla başarısızlı nedeninin olduğu durumlarda yapılan sağalım analizinde ilgilenilen başarısızlı nedeninin yanında diğer nedenlerin de göz önüne alınması daha gerçeçi bir yalaşım olmaadır. Örneğin, belli bir ür anser anısı onmuş bir hasa grubuna uygulanan bir ya da biraç farlı edavi ürünün einliğinin araşırılma isendiği bir çalışma düzeni göz önüne alınsın. Başarısızlı olara adlandırılan sonuç hasanın ölümüdür. Hasanın ölümünü oraya çıaran rislerin, cerrahi operasyon sonucu gelişen bir omplisayon, hasalığın nüs emesi, enfesiyon ve alp rizinin olabileceği düşünülsün. Ölümü oraya çıaraca bu ris ler, ölüm meydana geldien sonra hasanın ölümü için neden olara adlandırılmaadır. Risler neden olma için yarışmışır. Çalışmanın amacı doğrulusunda, bu rislerden hasalığın nüs emesine ai veriler oplanıp analizler yapılıren diğer risler de göz önüne alınmalıdır. Başarısızlığın e bir nedeniyle ilgilenilen lasi sağalım analizinde, nüs sebebiyle ölüm dışında meydana gelen ölümler sansürlü gözlem olara düşünülmeedir. Kalp rizi nedeniyle ölümlerin sansürlü gözlem olara düşünülmesi, uygulanan edavinin alp rizi risini arırabileceği bilgisini gözden açırmaya sebep olabileceir. Bu nedenle, edavi einliğinin araşırıldığı bu çalışmada, diğer risler nedeniyle ölümleri de göz önüne alma daha gerçeçi bir sonuçlar vereceir.

10 Yarışan rislerin var olduğu sandar düzenlerin analiz ve modellemesi için ii yapı söz onusudur. Bu yapılar; i) Nedene özel al dağılım fonsiyonu ya da biriimli sılı fonsiyonu (cumulaive incidance funcion, CI); F ( ) = P( T, C = ), =, 2,..., ii) Nedene özel hazard fonsiyonu; P( T < +, C = T ) λ ( ) = lim, =, 2,..., 0 şelindedir. Çalışmanın iinci bölümünde sağalım analizinde yer alan bazı emel avramlar üzerinde durulmuşur. Yine, başa sağalım analizinde önemli bir yere sahip olan Kaplan-Meier (K-M) ahmin edicisi anıılmış ve parameri olmayan en ço olabilirli ahmin edicisi olara nasıl elde edildiği göserilmişir. Biriimli hazard fonsiyonunun parameri olmayan ahmin edicisi olan Nelson-Aalen ahmin edicisi üzerinde durulmuş, K-M ahmin edicisi ile aralarındai ilişiye değinilmişir. Üçüncü bölümünde ise, çalışmanın onusunu oluşuran yarışan risler eorisine ai avramlara ve göserimlere yer verilmişir. Maemaisel olara yarışan risler modeli incelenmiş ve yarışan risler modelinin örü (laen) başarısızlı süreleri olara ifade edilmesi üzerinde durulmuşur. Dördüncü ve beşinci bölümde sırasıyla, yarışan risler eorisinde nedene özel hazard fonsiyonuna ve biriimli sılı fonsiyonuna değinilmiş bu fonsiyonlarının ahminlerinin nasıl elde edileceği açılanmışır. 2

11 Alıncı bölümde, örü başarısızlı süreleri göserimi ile göz önüne alınan yarışan risler modelinde, değişenlerin bağımlılığı söz onusu ien bu değişenlere ai ora dağılımın belirlenmesinde arşılaşılan belirlenebilme problemine değinilmişir. Yedinci bölümde, yarışan rislerin bağımlılığı durumunda ora dağılımın belirlenmesinde apula fonsiyonlarının ullanımı üzerinde durulmuşur. Maemaisel özellileri, uygulamada sağladığı olaylı ve sağalım ipi verilerine uygunluğu nedeniyle çalışmada geniş yer verilece olan Archimedean apula ailesi anıılmışır. Bu aileye ai olan, poziif bağımlılığın modellenmesi ve uyru bağımlılığın yorumlanmasına olana anıyan Gumbel ve Clayon apulalarının yanı sıra, hem poziif hem de negaif bağımlılığın modellenmesinde ullanılan Fran apula incelenmişir. Seizinci bölümde, değişenlerin sahip olduğu bağımlılığı en iyi modelleyece Archimedean apula fonsiyonunun seçimi diğer bir ifadeyle, ii boyulu Archimedean apula fonsiyonun ahmin edilmesi üzerinde durulmuşur. Veriyi modelleyece uygun apulanın seçim yönemi için, Genes ve Rives (993) in önerdiği parameri olmayan yönem esas alınmışır. Genes ve Rives (993) çalışmasında, apula parameresinin (birlieli parameresinin) ahmini için Kendall ın au asayısına dayanara elde edilen ahmin ediciyi ullanıren, bu çalışmada aynı yönem için apula parameresinin en ço olabilirli ahmin edicisi ullanılmışır. Bu ii ahmin edicinin arşılaşırılması amacıyla bir simülasyon çalışması yapılmışır. Çalışmanın devamında uygun apula fonsiyonunun seçim rieri için Cramer Von Misses isaisiği ullanılabileceğinden bahsedilmiş ve Gumbel apuladan simülasyon yoluyla edilen bir veri sei üzerinde, yönem uygulanmış elde edilen sonuçlar arışılmışır. Çalışmanın uygulama bölümünde ise Fyles vd. (2004) çalışmasının sonuçlarından oluşan gerçe bir veri sei ullanılara, bu çalışmada önerilen yönem uygulanmış ve bağımlılığı modelleyen uygun apula fonsiyonu seçilmiş ve yorumlanmışır. 3

12 2. SAĞKALIM ANALİZİNDE BAZI TEMEL KAVRAMLAR Genel olara sağalım analizi; çalışmada başarısızlı abul edilen bir sonucun oraya çımasına adar geçen süre ile ilgili verilerin analizidir. Negaif olmayan süreli bir T rasgele değişeni, bir iledei bireylerin sağalım süresini gösersin ve T rasgele değişeninin olasılı yoğunlu fonsiyonu, f olsun. Herhangi bir bireyin zamanından sonra yaşama olasılığı; S () = PT ( > ) = f( xdx ) (2.) şelinde anımlanır ve Sağalım Fonsiyonu olara adlandırılır. Bu fonsiyon aşağıdai özellileri aşıyan, armayan bir fonsiyondur. lim S ( ) = 0 ve lim S ( ) =. 0 Ayrıca, F () = PT ( ) = f( xdx ), > 0 (2.2) 0 şelinde anımlanan fonsiyona, Biriimli Başarısızlı ( Failure) Fonsiyonu denir ve bireyin, zamanından önce ölmesi olasılığını verir. Sağalım fonsiyonu ile biriimli başarısızlı fonsiyonu arasında; () = F() S 4

13 ile ifade edilen bir ilişi vardır. zamanına adar yaşadığı bilinen bir bireyin zamanındai ani başarısızlı (failure) ya da ölüm oranı, ( ) () P ( T< + T ) f h () = lim = 0 S (2.3) şelinde anımlanır ve h () fonsiyonuna hazard fonsiyonu denir. Daha önce anımları verilen S( ) ve f ( ) fonsiyonları ullanılara h () ve S( ) arasındai ilişiler aşağıdai gibi elde edilir. d d () = ln S() h ( ) ( ) ln S x = ln S( ) ln S(0) = h x dx 0 S ( 0) = olduğundan ln S (0) = 0 ve böylece ln S ( ) = h( xdx ) 0 () = exp ( ) S yazılır. 0 h x dx (2.4) 0 Böylelile biriimli hazard fonsiyonunun anımını yapma mümün olacaır ve (2.5) ile göserildiği şeilde anımlanır. 0 0 ( x) f H() = h( x) dx = dx. (2.5) S( x) (2.4) ile göserilen sağalım fonsiyonu, biriimli hazard fonsiyonu yardımıyla 5

14 () = exp H() S (2.6) olara yazılabilir. Ayrıca, f olasılı fonsiyonu f () h() exp = h( x) dx (2.7) 0 olur. T rasgele değişeni esili bir değişen olara düşünüldüğünde {,,...} ( 0...) 2, < < < T nin aldığı değerlerin ümesi olma üzere, T nin olasılı fonsiyonu; 2 f( ) = P( T = ), =, 2,... (2.8) ve sağalım fonsiyonu; ( ) (2.9) S () = PT ( ) = PT= = f( ) : dır. Sağalım fonsiyonu, her 0 için S ( 0) = ve ( ) 0 süreli armayan bir basama fonsiyonudur. S = özellilerini aşıyan soldan Kesili zaman hazard fonsiyonu; h ( ) = PT ( = T ) (2.0) olma üzere 6

15 f( ) h ( ) =, =, 2,... (2.) S ( ) ile anımlanır. Ayrıca; f ( ) = S( ) S( + ) (2.2) olduğundan (2.) ile göserilen ifadeden yola çıılara, h S ( ) = = (2.3) + ( ),, 2,... S ( ) eşiliği ve bu eşiliğin yardımıyla S () = h ( ) (2.4) : < ifadesine ulaşılır. (2.4) ile göserilen ifade esili durum için yazılabilmeedir ve (2.2) eşiliği ardışı olara çalışırılara elde edilişi göserilebilmeedir. 2. Sağalım Analizinde Sansürleme Kavramı ve Parameri Olmayan Tahmin Ediciler Sağalım analizi, başlama anı ile belirlenen bir olayın oraya çımasına adar geçen süre boyunca birimlerden elde edilece gözlemlerin, bir aım nedenlerden dolayı am olara gözlenememesi sansürlü verilerin oraya çımasına neden olur. Sansürlü verilerin analizinin hedeflendiği sağalım analizinde, ilgilenilen emel onu P( T > ) = S( ) sağalım fonsiyonunun ahmin edilmesidir. Sağalım analizinde T ve C, sırasıyla sağalım süresi ve sansürleme süresini göseren negaif olmayan rasgele değişenler olma üzere, gözlemler X = min( TC, ) formunda elde edilmeedir. T ve C nin 7

16 bağımsızlığının varsayımını içeren bilgilendirici olmayan (noninformaive) sansürleme modeli çerçevesinde, S () sağalım fonsiyonu için en uygun ahmin edici, Kaplan- Meier (K-M) ahmin edicisi olmaadır (Kaplan-Meier 958). Sansürlü verilerin analizi için önerilen neredeyse üm isaisisel yönemlerde T ve C nin bağımsızlığı varsayımı ullanılmaadır. Bu varsayımda, sağalım süresinin sansürlemenin meydana gelme sebeplerinden eilenmediği düşünülmeedir. Örneğin; lini çalışmalarda hasalar edaviden, edavinin yan eilerinden veya edavinin eisiz almasından veya belenmeyen bir durumun oraya çımasından dolayı ayrılabilir. Bu durumların sonucunda, sansürlü gözlemler elde edilmeedir. Böyle durumlarda, sağalım süresinin ahmini aşamasında, her bireyin sansürlenme nedeninin sağalım süresine eisi göz ardı edilmeedir. Yani; sansürlemenin bireyin sağalım süresi haında bilgi vermediği düşünülmeedir (Lagaos 979). Bu varsayımın geçerliliğinin aşağıda belirilen üç durum için sorgulanabilir olduğunu öne sürülmüşür (Lagaos 979). Hasaların, lini denemelerde edavinin yan eilerinden dolayı çalışmadan ayrılmaları Klini çalışmalarda, hasaların meazas gibi rii sebeplerden dolayı çalışmaya devam edememesi Asıl oraya çıması belenen olay dışında, iinci bir olayın oraya çıması nedeniyle çalışmadan ayrılması Bu üç durumda da bireylerin sağalım süreleri sansürlenmişir. Sansürleme sonucunda; hasalığın seyri haında hüüm verme için ullanılan gelece sağalım ahminleri, sansürlenen bu bireylerin olası sağalımlarından eilenmeedir. Faa, K-M ahmin edicisi bu durumu gözardı emeedir. Sansürlemenin gerçeçi olmayan prognoz oraya çıardığı durumlarda, uygun ahmin ediciler K-M ahmin edicisi ile üsen, gözlenen X rasgele değişeninin ampiri sağalım fonsiyonu ile alan sınırlı olmalıdır (Lin 989). 8

17 2.2 Kaplan-Meier Tahmin Edicisi Sansürlenmiş gözlemlerin olduğu örnelemlerde, sağalım süresi den büyü gözlemlerin sayısı esin olara bilinemeyeceir. Bu durum, sansürlemenin olmadığı durumda elde edilen sağalım fonsiyonunun ahmininin sansürlemenin olduğu duruma uyarlanmasını gereirir. Bu uyarlama sonucu elde edilen sağalım fonsiyonunun ahmini "Çarpım Limi (Ç-L) ahmin edicisi" olara bilinir. Sağalım fonsiyonu için, K-M ahmin edicisi aşağıdai belirilen aşamalara dayanır (Kaplan ve Meier 958). 0,, 0 = a0 < a <... < a < a + = olma üzere uygun olara seçilen + ane I, = a a) olaca şeilde al aralılara bölünür. b) Her bir, a, a ) aralığı için, a den sonra yaşadığı bilinen bir bireyin, a) Zaman eseni [ ) a den sonrada sağalma olasılığı olara anımlanan oşullu olasılığı, ( > ) ( T > a ) P T a P S( a) p = P ( T > a T > a ) = = = P P S( a ) c) noası için; P () S( ) Pr( T ) olara ifade edilir. = = > olasılığı den öncei üm aralılar için ahmin edilen p lerin çarpımı olara bulunur. Hiç bir zaman aralığının her bir birey için sansürleme ve başarısızlı durumunu aynı anda içermediği abul edilmeedir. P( ) ( ) P = T > a = S a, =,..., + (2.5) = 0 için S( a ) = S( 0) = P = 0 0 olur. 9

18 p P = olduğundan; P P = için p = = P P = p P 0 P2 = 2 için p = P = p p P = 3 için p P3 = P = p p p P P = için p = P = pp... p P P p p... p p = = 2 = olara bulunur. Buradan, bir noası için; P () S( ) P( T ) = = > olasılığı yi içeren ve öncesinde bulunan üm aralılar için ahmin edilen p ˆ lerin çarpımı olara ahmin edilir. = ˆ () = P ˆ() S pˆ = (2.6) n ; a, a ) zaman aralığında ris alında olan, yani a de yaşayan ve öncesinde gözlem alında olan (sansürlenmemiş) oplam birey sayısı d ; a, a ) zaman aralığında gözlenen oplam başarısızlı sayısı olara anımlanırsa; 0

19 ' ˆ() ˆ n d n P = P = = n n (2.7) ' ile ahmin edilir. Burada, n = n d ifadesi rise maruz alan birey sayısını vermeedir. Bu durumda, K-M ahmin edicisi; () Sˆ n d n = = ' = n = n (2.8) ile anımlanır (Kaplan and Meier 958). Bununla birlie, herhangi bir al zaman aralığında başarısızlı yo ise o aralı için p ˆ = olacaır. * Eğer, elde edilen üm gözlemler, () (2)... ( n ) olara sıralandığında, ( n) =, en büyü gözlem zamanı, bir sansürleme zamanı ise, (2.8) formülü ullanılamayacaır. Bu durumda, Ŝ( ) ahmini ( 0, * ) * > için için anımlı olacaır ve * Ŝ( ) ise, ne bir biçimde anımlı olmayacaır (Kaplan ve Meier 958). (2.7) ifadesinde, n = n ve n = n d, =,2,..., yazılırsa, K-M ahmin edicisi sansürlemenin olmadığı durumda elde edilen, ampiri sağalım fonsiyonu ahminine indirgenir. Örne 2. Kaplan-Meier (958) çalışmasında, K-M ahminlerinin elde edilişinin anlaıldığı örne aşağıdai biçimde özelenebilir. Çalışmada, 8 birey gözlenmiş ve sağalım süreleri ay olara aydedilmişir. Bu bireylerden 4 anesi için başarısızlı gerçeleşmiş ve geri alan bireylerin sağalım süreleri sansürlenmişir. Bilgiler aşağıdai gibi özelenmişir. Başarısızlı zamanları: Sansürleme zamanları: ay ay

20 n ; a, a ) zaman aralığında ris alında olan oplam birey sayısı d ; a, a ) zaman aralığında gözlenen oplam başarısızlı sayısı olma üzere, ' n = n d ve λ = ' n n + olara anımlanır. Burada, λ a, a ) zaman aralığındai ölüm ve ayıpların sayısını gösermeedir. K-M ahminlerinin elde edilme yöneminde, başarısızlı zamanları büyüen üçüğe doğru sıralanır ve gözlem aralıları oluşurulur. Buna göre, [ 0.8, 3. ) aralığının başında ris alında bulunan birey sayısı 8 ve bu aralıa gözlenen başarısızlı sayısı ise dir. Çünü veriye baıldığında, sağalım süresi bu aralığa düşen ane başarısızlı vardır. Diğer aralılarda, aynı şeilde yorumlanara Çizelge 2. oluşurulmuşur. Çizelge 2. Kaplan-Meier ahminleri a - n d ' n λ ˆ ( ) S a ( 2. ) * Son saırda, göserilen ( = 2.) değeri bir sansürleme zamanı olduğu için, ˆP ( T> * ) * ahmini anımsız olacaır. Çünü ( 2.) gözlenen başarısızlı sayısı bilinemeyeceir. = zamanından sonra sağ alan birey sayısı, 2

21 2.3 Kaplan Meier Tahmin Edicisi İçin Oralama ve Varyansın Bulunması Sağalım fonsiyonu S nin () K-M ahmin edicisi (2.6) ifadesinden () 2 Sˆ = pˆ pˆ... pˆ (2.9) olara yazılır. Bu ısımda, K-M ahmin edicisinin oralama ve varyansının elde edilişi üzerinde durulacaır. Bu amaçla, aşağıdai ii önemli varsayım göz önüne alınacaır. n = n d rise maruz alan birey sayısı olma üzere, ' i) ' n verildiğinde ˆp ' n =, i =,2,..., ahmin edicisinin binom oranı varsayımı n ile q p q p oralama ve ' n = p dır. varyansına sahip olduğu varsayılır. Burada, ii) n, n,..., n isaisileri verildiğinde, pˆ ˆ ˆ, p2,..., p ahmin edicileri birbirinden ' ' ' 2 bağımsızdır. Birinci ve iinci varsayımlar göz önüne alındığında, E pˆ n, n,..., n = p ' ' ' 2 (2.20) ve () ' ' ' ' ' ' E Sˆ n ˆ ˆ, n2,..., n E p... p n, n2,..., n = = () ' ' ' = E p ˆ n, n2,..., n = p... p = S (2.2) 3

22 olur. Böylece, abul edilen varsayımlar alında, Ŝ( ), S( ) için yansız bir ahmin edicidir. K-M ahmin edicisi anı zamanda uarlı bir ahmin edicidir (Kaplan ve Meier 958, Fleming ve Harringon 2005). K-M ahmin edicisine ilişin varyans ise aşağıdai gibi elde edilir. () = () () ( ) 2 ' ' ' 2 ' ' ' ' ' ' Var Sˆ n ˆ ˆ, n2,..., n E S n, n2,..., n E S n, n2,..., n ( ) ' ' ' ' ' ' = E p ˆ ˆ ˆ ˆ... p n, n2,..., n E p... p n, n2,..., n ( ) ( ) 2 2 ' ' ' ' ' ' E pˆ ˆ n, n2,..., n E p n, n2,..., n (2.22) = = = ( ˆ 2 ' ' ' ) ( ˆ ' ' ' ) ( ˆ ' ' ' ) 2, 2,...,, 2,...,, 2,..., E p n n n = Var p n n n + E p n n n olduğunun göz önüne alınmasıyla, () ' ' ' Var Sˆ n, n2,..., n 2 pq 2 p p = n = = + = + 2 q 2 p p = pn i= = + 2 q 2 p p = = pn i= 2 2 q p p = = pn = = + 2 q p = = pn = + (2.23) () = S 2 A olur. Burada, 4

23 q q q A = pn pn 2 2 pn q q q... pn pn pn 2 = Yüse dereceli erimler ihmal edilmesiyle ˆ () S() 2 = Var S q (2.24) p n ifadesine ulaşılır. (2.24) ifadesi Greenwood formülü olara bilinir (Greenwood 926). qˆ d d = n = ve pˆ n ahmin edici olduğunun göz önüne alınmasıyla, Var S ˆ( ) için bir ˆ () ˆ S() Var ˆ S d (2.25) 2 = n n d ( ) olur. 2.4 Parameri Olmayan En Ço Olabilirli Tahmin Edicisi Olara K-M Tahmin Edicisi K-M ahmin edicisi; S () sağalım fonsiyonunun parameri olmayan en ço olabilirli ahmin edicisi olara elde edilebilir. Bu amaçla, n ane bireyin = 0 anından başarısızlı olara belirlenen olay gerçeleşene adar aip edildiği düşünülsün. Bu bireylere ai sağalım süreleri T, T 2,..., T n olara göserilsin ve bu sürelerin birbirinden bağımsız olduğu varsayılsın. = 0,, 2,... zaman noaları için, i. bireye ai sağalım 5

24 fonsiyonu Si ( ) ve hazard fonsiyonu hi ( ) olduğu göz önüne alınara aşağıdai anımlar yapılır (Lawless 2003). Y() =Ι( T, bireyinsağ alımsüresizamanındanönce sansürlenmemişir) (2.26) i i olara anımlanır ve i. bireyin zamanında yaşadığını ve öncesinde gözlem alında olduğunu göseren ris gösergesidir. Eğer, birey ris alında ise yani zamanından önce bireyin sağalım süresi sansürlenmemişse bu değişen değerini alır, asi durumda 0 değerini alacaır. n Y () = Y (); zamanında ris alında bulunan birey sayısını ifade eder. (2.27) i= i dn () = Y ()( Ι T = ) (2.28) i i i ifadesi ise,. i birey için [, ) + zaman aralığında başarısızlığın gerçeleşip gerçeleşmediğini ve nin öncesinde gözlem alında olup olmadığını göserir. Eğer, birey için başarısızlı gerçeleşmiş ise, dni ( ) = olaca asi durumda 0 değerini alacaır. n dn() = dn () (2.29) i= i ifadesi [, ) + zaman aralığında gözlenen başarısızlı sayısını ifade eder. ( ) dc () = Y () Ι i. birey zamanında sansürlüdür i i (2.30) ifadesi ise,. i birey sağalım süresinin [, ) + zaman aralığında sansürlü olup olmadığını göserir. Eğer, bireyin sağalım süresi sansürlenmiş ise, dci ( ) = olaca asi durumda 0 değerini alacaır. 6

25 n dc() = dc () (2.3) i= i ifadesi [, ) + zaman aralığındai sansürlü gözlemlerin sayısını ifade eder. Herhangi bir birey için, { dni(), dci(), 0} değerlerinden sadece bir anesi sıfırdan farlıdır. Yuarıdai anımlardan yola çıara, ( ) dn ( ) = dn ( ),..., dn ( ) (2.32) n ( ) dc( ) = dc ( ),..., dc ( ) n (2.33) veörleri anımlanabilir. zamanında meydana gelen başarısızlı ve sansürleme geçmişi; {( N C( )) = } H ( ) = d (s), d s, s 0,,..., (2.34) ile özelenmeedir. Burada; ( ) zamanına adar olan başarısızlı ve sansürleme bilgisi yer almaadır. Gözlenen veriye bağlı olara L, olabilirli fonsiyonu L = P( dn() dh ())P( dc() dn(), dh ()) (2.35) = 0 olara yazılır (Lawless 2003). i. bireye ai hazard fonsiyonu h( ) ; bireyin zamanına adar yaşadığı bilindiğinde [, ) i + zaman aralığında başarısızlığa uğrama olasılığını gösermeedir. Bu durumda, 7

26 , Yi ( ) = 0 PdN ( i ( ) = 0 H ( )) = hi( ), Yi( ) = (2.36) ve PdN ( ( ) = H ( )) = h( ) (2.37) i i olacaır. Buradan; P( d ( ) n dn () ()( ()) i Y ( )) ( ) [ ( )] i dn i = hi hi i= N H (2.38) elde edilir. Eğer, P( dc( ) dn( ), dh ( )) ifadesi, h( ) yi belirleyen herhangi bir paramere i içermiyorsa, sansürleme bilgilendirici olmayan ya da hüüm vermeyen adını aşımaadır. Bu durumda, bu erimler olabilirli fonsiyonundan düşürülere ve (2.38) ifadesi, (2.35) in içerisine yerleşirilere; n dn ()( ()) i () Y () [ ()] i dn i i i (2.39) L= h h i= = 0 ifadesi elde edilir. T, T,... T n olara göserilen sağalım sürelerinin bağımsız olduğu yuarıda belirilmişi, 2 bu değişenlerin aynı dağılımlı olduğu varsayılsın. Yani S ( ) = S( ) ve h() = h() olsun. T nin dağılımı paramere olara düşünülen h ( ) hazard fonsiyonu aracılığı ile incelenmeedir. Bu durumda, (2.39) ile göserilen olabilirli fonsiyonu i i n ( ) dn () () i Yi dni() () () (2.40) L= h h i= = 0 şelinde olacaır. 8

27 (2.29) ve (2.3) ifadeleri, n d = dn() = dn () (2.4) i= i n n i= i () = Y (2.42) olara düzenlenere, (2.40) ile göserilen olabilirli fonsiyonu, d () n d () (2.43) L= h h = 0 ifadesine dönüşeceir (Lawless 2003). (2.43) ile göserilen olabilirli fonsiyonunda h () parameresi için en ço olabilirli ahmin edicisi yani fonsiyonu masimum değeri; hˆ d n () = ( = 0,,... τ ), max ( : n > 0) τ= (2.44) olara elde edilir. Kesili modellerde, sağalım fonsiyonu; : < ( ) S () = h (2.45) olara ifade edilmeeydi. Bu durum göz önüne alınara, S( ) için en ço olabilirli ahmin edicisi, = 0,,... τ için, 9

28 () = hˆ ( s) Sˆ s= 0 d = s= 0 n s s (2.46) olara elde edilir. Bu ahminin (2.7) ifadesi ile eş değer olduğu görülür. Yani, K-M ahmin edicisi S () sağalım fonsiyonunun parameri olmayan en ço olabilirli ahmin edicisidir (Lawless 2003). içeren erim olmadığından, s ise, ( ) n nin sıfıra eşi olması durumunda, h ( ), h+ ( ),... > τ için, hs () haında bilgi olmayacaır. Eğer, d S ˆ τ + > 0 olaca ve τ + den sonra ahmin anımlı olmayacaır. Böyle bir durumla, en büyü gözlemin değerinin sansürleme zamanı olduğunda arşılaşılır. d = n ise, S ˆ ( τ + ) = 0 olaca, S () armayan bir fonsiyon olduğundan, S () nin τ τ ahmini > τ için sıfır olacaır. τ < n τ 2.5 Nelson-Aalen Tahmin Edicisi [ 0, ) zaman eseni, 0 = a0 < a <... < a < a + = olma üzere I, = a a) biçiminde + ane al aralılara bölünsün ve bölüm 2.4 e yapılan anımlamalar ullanılara, K-M ahmin edicisi dn( a) S ˆ( ) = a+ a Ya ( ), a 0 (2.47) olara yazılabilir. Burada, a noaları için a+ a olduğu düşünülmelidir. Örnelem genişliği yeerince büyü ve a yeerince üçü ise, dn( a) Ya ( ) ço üçü bir sayı haa dn( a) 0 a yaın olacaır. 0 Ya ( ) ien ve il ii erime yaınsadığı düşünülürse; dn ( a) Y( a) e fonsiyonunu MacLauren açılımı yapılır 20

29 dn( a) dn( a) exp Ya ( ) Ya ( ) (2.48) yazılabilir (Zhang 2005). Böylece, K-M ahmin edicisi; dn( a) dn( a) S ˆ( ) exp = exp a+ a Ya ( ) a< Ya ( ) (2.49) ifadesine yaınsamaadır. S () e H () = ilişi göz önüne alındığında, () Hˆ dn( a) = = Ya d (2.50) a< ( ) : n ahmin edicisi, H () = h ( ) olara ifade edilen biriimli hazard fonsiyonunun : < Nelson-Aalen (N-A) ahmin edicisi olara bilinir (Nelson 969). Temel olara bu ahmin edici, zamanından öncei belirli zamanlarda gözlenen ölümlerin (başarısızlı) sayısının o zamanlarda ris alında bulunan birey sayısına bölünüp oplanmasıyla elde edilir. a yeerince üçü ( a 0 ) alınır ve her aralıa bir ere başarısızlı gözlendiği düşünüldüğünde, N-A ahmin edicisi () Hˆ dn( a) = (2.5) Ya ( ) 0 olara yazılabilir (Nelson 969). 2

30 2.6 Nelson Tahmin Edicisi İçin Oralama ve Varyansın Bulunması Bölüm 2.4 e verilen anımlar diae alındığında ve dn( ) H ( ) : Binom( Y ( ), h( )) olduğundan, [ ] E dn() H () = Y() h() (2.52) [ ] Var dn() H () = Y () h()( h()) (2.53) dn() E ( ) = h ( ) Y () H (2.54) yazılabilir. N-A ahmin edicisinin belenen değeri ve varyansı aşağıdai gibi elde edilmişir. Bu amaçla, oşullandırma yapara çif belenen değer alma işlemi ullanılmışır. X ve Y herhangi ii rasgele değişen ya da rasgele veör olma üzere, EX [ ] = EEX [ ( Y)] Var( X ) = Var[ E( X Y )] + E[ Var( X Y )] (2.55) yazılabilir. Buna göre ahmin edicinin belenen değeri aşağıdai gibi bulunur. ˆ dn( a) dn( a) EH [ ( )] = E[ ] = E[ ] Ya ( ) Ya ( ) a< a< dn( a) = EE [ [ H ( a)]] = ha ( ) (2.56) Ya ( ) a< a< ha ( ) a hada ( ) = Ha ( ) ( a 0) a< 0 22

31 Böylece, E[ H ˆ ( )] = ha ( ) (2.57) a< olmaadır. Eğer, a yeerince üçü alınırsa ha ( ) ifadesinin limii () durumda, Ĥ( ), H() için yalaşı yansız bir ahmin edici olacaır. a< H ye eşi olacaır. Bu N-A ahmin edicisinin varyansı ise aşağıdai gibi elde edilir. Varyans anımı ullanılara, Var( Hˆ( )) = E[ Hˆ( ) E( Hˆ( ))] dn( a) = E[ h( a)] Ya ( ) a< a< dn( a) = E[ h( a) ] a< Ya ( ) (2.58) yazılabilir. Yuarıdai belenen değer, 2 2 dn( a) dn( a) dn( a ') E h( a) + h( a) h( a') a< Ya ( ) ' a a < Ya ( ) Ya ( ') dn( a) dn( a) dn( a ') = E ha ( ) E ha ( ) ha ( ') a< Ya ( ) + ' a a < Ya ( ) Ya ( ') (2.59) ifadesine eşi olur. Çarpım erimlerinin belenen değeri sıfır olmaadır. Bir anesi için bu durum aşağıdai gibi göserilir. 23

32 a< a' için dn( a) dn( a ') E h( a) h( a') Ya ( ) Ya ( ') dn( a) dn( a ') = E E ha ( ) ha ( ') H ( a') Ya ( ) Ya ( ') (2.60) a< a' için olduğu için H ( a ') ifadesine oşullu olara yazılan dn( a), Y ( a ) ve ha ( ) ifadeleri sabi birer sayıdır. Buradan dn( a) dn( a ') E h( a) E h( a') H ( a') (2.6) Ya ( ) Ya ( ') yazılır. dn( a ') E H ( a ') = h ( a ') (2.62) Ya ( ') olduğundan, dn( a) dn( a ') E h( a) h( a') = 0 Ya ( ) Ya ( ') (2.63) dır. Buradan, 2 ˆ dn( a) Var( H ( )) = E h( a) a< Ya ( ) (2.64) olara yazılır. Benze oşullandırma işlemi ullanılara, 24

33 2 2 dn( a) dn( a) E h( a) E E h( a) ( a) Ya ( ) = H Ya ( ) [ ha] dn( a) ha ( ) ( ) = E Var H ( a ) = E Ya ( ) Ya ( ) (2.65) ifadesine ulaşılır. Böylece Ĥ() ahmin edicisinin varyansı, [ ha] ˆ ha ( ) ( ) Var( H ( )) = E a< Ya ( ) (2.66) olara elde edilir ve [ ha] ha ( ) ( ) Ya ( ) ifadesini ahmin eme için dn( a) dn( a) Ya ( ) Ya ( ) Ya ( ) (2.67) ahmin edicisi ullanılırsa aşağıdai ifadeye ulaşılır. dn( a) dn( a) ˆ ˆ Ya ( ) Ya ( ) Var( H ( )) = E (2.68) a< Ya ( ) Yuarıdai varyans ahmin edicisinin Var( Λ ˆ ( )) için yansız bir ahmin edici olduğu aşağıdai gibi göserilir. 25

34 dn( a) dn( a) dn( a) dn( a) Ya ( ) Ya ( ) Ya ( ) Ya ( ) E = E a< Ya ( ) a< Ya ( ) dn( a) dn( a) Ya ( ) Ya ( ) = E E ( a) H a< Ya ( ) ha ( )[ ha ( )] = E = Var( H ˆ ()) a< Ya ( ) (2.69) H ˆ () asimpoi olara H ( ) oralama ve Var( Hˆ ( )) varyans ile normal dağılıma sahipir. H ˆ () ahmin edicisinin yansızlı ve asimpoi normalli özellileri ullanılara () H için ( α ) güven düzeyinde güven aralığı aşağıdai gibi yazılır. H ˆ() ± z ˆ ˆ α /2 VarH ( ()) /2 (2.70) Bu güven aralığı () = ilişisi ullanılara sağalım fonsiyonu için aşağıdai S () e H gibi düzenlenebilir. e /2 /2 H ˆ ( ) z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ /2 Var ( H ( )) α H ( ) + z α/2 Var ( H ( )), e (2.7) Ŝ() ve Ĥ( ), ahmin edicilerinin iisi de parameri olmayan en ço olabilirli ahmin edicisidir. Dia edilmelidir i, esili modellerde Ŝ( ) ve Ĥ() için, süreli dağılımlar için geçerli olan H () = log S() ilişisi geçerli olmamaadır. Süreli modellerde, bazen sağalım fonsiyonun ahmini için alernaif olara, S % () = exp H ˆ () önerilmeedir. H () için önerilen ahmin ise; log S ˆ( ) olacaır. 26

35 3. YARIŞAN RİSKLERİN VARLIĞINDA SAĞKALIM ANALİZİ Yarışan risler eorisi ve çeşili alanlardai uygulamasıyla ilgili lieraürde birço maale ve iap bulunmaadır. Bu ayalardan bazıları çalışmada başvuru aynağı olara ullanılmışır. Moeschberger ve David (97) yarışan risler eorisine ilişin yayınlanan il çalışmalardan biridir. Gail (975), yarışan risler analizinde ullanılan bazı modeller üzerine yapığı inceleme çalışması lieraürün önemli çalışmalarından biridir. Bu alanda diğer bir önemli çalışma ise Moeschberger ve David (97) çalışmasıdır. Prenice vd. (978), yarışan rislerin varlığında sağalın analizini göz önüne alaan çalışmalardan biridir. Crowder (200) yarışan risler eorisinin ele alındığı ve uygulamalarına yer verildiği geniş apsamlı bir ayna olara lieraürde önemli bir yere sahipir. Yarışan risler eorisinin medial alandai uygulamalarına yer veren Pinilie (2006) farlı uygulama örnelerini bilgisayar programları ile incelemesi açısından önemli aynalardan biridir. Kalbfleisch ve Prenice (980) ve Lawless (2003) sağalım analizinin emel avramlarını apsamlı olara inceledileri iaplarının bir bölümünü yarışan risler eorisine ayırmışlardır. 3. Temel Kavramlar ve Göserimler Yarışan rislerin var olduğu sağalım analizi çalışmalarında, oplanan veriler için önerilen bir isaisisel model, gözlenebilen ( TCx,, ) büyülülerinin dağılımını belirlemeyi amaçlar. Genellile, verilen bir x açılayıcı değişen veörü için ( TC, ) iilisine ilişin bir model belirleme yeerli olmaadır (Prenice ve Kalbfleisch 978). Çalışmada, x açılayıcı değişeni göz ardı edilere ( TC, ) diğer bir göserimle, ( T, T2) iilisinin dağılımı göz önüne alınmışır. Öncelile, her birey için ( TC, ) iilisi anımlanır. Burada, T ; sağalım süresi (başarısızlı zamanı) ve C; başarısızlı nedeni yani gözlemin sonlanmasına neden olan olaydır ve,2,..., değerlerini alan rasgele değişendir. Böyle bir durumda, T süreli bir değişen ien, C esili bir değişen olmaadır. Her birey için gözlenen bu ( TC, ) iilisinin ora dağılımının belirlenmesi, yarışan risler eorisinin emel olasılı 27

36 çerçevesini oluşurmaadır. Her birey için gözlenen, ( TC, ) iilisine ai ora dağılım aşağıdai gibi ifade edilir. F ( ) = P( T, C = ), =,2,..., (3.) Bu ora dağılıma,. neden için al dağılım fonsiyonu ya da. nedene özel dağılım fonsiyonu denir. Ayrıca,. nedene özel dağılım fonsiyonu, S ( ) ise. nedene özel sağalım fonsiyonu ise aşağıdai gibi ifade edilir. S ( ) = P( T >, C = ), =,2,..., (3.2). nedene özel yoğunlu fonsiyonu ise, d f () = F() (3.3) d ya da d f () = S() (3.4) d olara ifade edilmeedir. (3.), (3.2) ve (3.3) ile göserilen bu nedene özel fonsiyonlar bazı aynalarda sırasıyla, F (,, ) S (, ) ve f (, ) olara göserilmeedir. Bu çalışmada, güncel olara ullanılan göserimler ercih edilmişir. Bu anımlardan sonra,. nedenin meydana gelme olasılığı, yani C değişeninin değerini alma olasılığı C değişenin marinal dağılımıdır ve aşağıdai gibi ifade edilir. 28

37 PC ( = ) = F(, ) = S(0, ) = π, =,2,...,, (3.5) Burada, π > 0 ve π = olduğu varsayılır. = Aynı şeilde C rasgele değişeni üzerinden oplam olasılı formülünün çalışırılmasıyla, T nin marinal sağalım fonsiyonu (üm rislerin varlığında) ve marinal dağılımı sırasıyla aşağıda göserildiği gibi ifade edilir. PT ( > ) = S () = S() (3.6) T = PT ( ) = F() = F() (3.7) T = Buradan, T ye ai marinal yoğunlu fonsiyonu d d f () = S () = S () T T d d = d = S () = f () = d = (3.8) ya da d d f () = F () = F () = f () T T d d = = (3.9) olara elde edilir. Burada, f ( ) nin. nedene özel yoğunlu fonsiyonudur. Dia edilmelidir i, S (, ). nedene ai sağalım fonsiyonu değildir. ( TC nin, ) ora dağılımıdır.. nedene ai sağalım fonsiyonu, yani başarısızlığın. nedenden 29

38 aynalandığı bilindiğinde elde edilece sağalım ve başarısızlı fonsiyonu sırasıyla aşağıdai gibidir. () * PT ( > C, = ) S S () = P( T > C = ) = = PC ( = ) π ve () * PT ( C, = ) F F () = P( T C = ) = = PC ( = ) π (3.0) (3.) ( TC, ) iilisinin dağılımının belirlenmesinde, hazard fonsiyonlarının ullanılması sıça ercih edilen bir yoldur. Sonra i bölümlerde nedene özel hazard fonsiyonlarına geniş olara yer verileceir. Birey ölüm oranıyla (moraliy) ilgilenilen çalışmalarda, yaşına adar sağ olduğu bilinen bireyin, yaşında belirli bir nedenden ölüm oranını emsil eden nedene özel hazard fonsiyonu diğer bir ifadeyle,. nedenden aynalanan başarısızlı için al hazard fonsiyonu, P( T < +, C = T ) λ () = lim 0 f () = S () T =,2,..., (3.2) olara anımlanır ve marinal hazard fonsiyonu ise, f () λ () () f () T = λ = = = = S () S () = (3.3) biçimindedir. Nedene özel dağılım, yoğunlu ve hazard fonsiyonları arasında aşağıda göserileceği şeilde bir ilişi vardır. (3.2) ile göserilen ifade göz önüne alındığında, f () = λ () S () (3.4) T 30

39 yazılır. (3.3) ifadesi göz önüne alındığında, F () = P( T, C = ) = λ ( u) S( u) du (3.5) 0 ifadesine ulaşılır. T ye ai marinal hazard fonsiyonu ise, λ () = λ () (3.6) T = olara ifade edilir. Yine T ye biriimli hazard fonsiyonu ise, Λ () = Λ () (3.7) = olara elde edilir. Bölüm 2 de yer verilen anımlamalar doğrulusunda, (3.6) ile verilen T nin marinal sağalım fonsiyonu ile (3.7) ile göserilen marinal biriimli hazard fonsiyonu arasında aşağıdai ilişi olduğu açıır. Λ () = Λ() ST () e e = = (3.8) 3.2 Örü Başarısızlı Zamanları Göserimi Yarışan rislerin varlığındai durumu anımlamadai genel yalaşımın, örü başarısızlı zamanı modelinin ullanılması yönündedir. Bu modelde, her bir risle ilişilendirilen, ( =,..., ), ane poansiyel başarısızlı zamanının ( T ), olduğu 3

40 varsayılmaadır. Bu ane başarısızlı zamanından her biri, diğer rislerin var olmadığı durumdai, varsayımsal (hipoei) başarısızlı zamanı olara düşünülür ve bu başarısızlı zamanlarına örü (laen) başarısızlı zamanı adı verilir. Tüm rislerin var olduğu durumda ise, gözlenen başarısızlı zamanı, T = min( T,..., T ) olara ifade edilir. Eğer, T = T ise C = olmaadır. Burada, T,. ris dışındai üm rislerin olmadığı durumdai gözlenen başarısızlı zamanı olara anımlanır. Diğer bir ifadeyle,. risin e başarısızlı nedeni olduğu durumdai başarısızlı zamanıdır. T, T2,..., T sağlaım sürelerinin negaif olmayan rasgele değişenler olduğu göz önüne alınsın. = (, 2,..., ) olma üzere, T = ( T, T2,..., T ) ya ai ora dağılım fonsiyonu ve sağalım fonsiyonu sırasıyla, H( ) = P( T ) = P( T, T,..., T ) (3.9) 2 2 G( ) = P( T > ) = P( T, T,..., T ) (3.20) 2 2 olara anımlanır. T lerin bağımsızlığı durumunda, ora sağalım fonsiyonu; G() = G () (3.2) = olara anımlanır ve T nin marinal sağalım fonsiyonu, G ( ) = P( T > ) (3.22) olara ifade edilir. Bu fonsiyon diğer rislerin olmadığı sadece. risin olduğu durumdai T ye ai marinal fonsiyondur. 32

41 Esi lieraürde, bu fonsiyonlar ne sağalım fonsiyonları ve daha öncei bölümde anımlanan S () nedene özel sağalım fonsiyonları ise aba (crude) sağalım fonsiyonları olara adlandırılmaadır. T, T2,..., T sağalım sürelerinin hepsinin aynı anda gözlenebilen değişenler olmadığına yuarıda değinilmişi. Bu nedenle bu değişenler arasındai yapı örü (laen) adını almaadır. Nedene özel yoğunlu fonsiyonları ve nedene özel hazard fonsiyonları ise, ora sağalım fonsiyonu ullanılara doğrudan elde edilebilir. ( T, T 2,..., T ) ya ai ora sağalım fonsiyonu (3.20) ile ifade edildiği gibi G(,,..., ) = P( T >,..., T > ) (3.23) 2 şelindedir. (3.20) ile verilen ora dağılım bilinen bir forma sahipse, (3.6) ile verilen ( TCiilisindei, ) değişenlerden biri olan T nin marinal sağalım fonsiyonu, S ( ) = G(,,..., ) (3.24) T olara bulunabilir (Tsiais 975). Nedene özel yoğunlu fonsiyonları, örü sağalım sürelerinin ora dağılımından doğrudan elde edilir. G (,..., ) f () = =... = = (3.25) 33

42 Yuarıdai eoreme e olara, g( ), ( T, T2,..., T ) nın ora olasılı yoğunlu fonsiyonu olma üzere, G( ) ds... ds g( s ) = p p { } f ( ) ds... ds ds = p = 2 için f ( ) = g( r ) ds, r = ( s, ) ve r = ( s, ) 2 olur. Buradan (3.3) ve (3.4) ile verilen nedene özel yoğunlu fonsiyonuna ise, G (,..., ) f () = =... = = (3.26) olara geçilebilir. Ayrıca, (3.2) ile verilen nedene özel hazard fonsiyonu ise, λ () f () log G (,..., ) S () = = =... = = (3.27) olur. (3.8) göz önüne alındığında; S G * () = exp Λ () = () = = (3.28) { } G * ( ) = exp Λ ( ), =,..., (3.29) yazılabilir. 34

43 Dia edilmelidir i burada, G * () fonsiyonları, maemaisel olara süreli sağalım fonsiyonları özellilerini aşır faa herhangi gözlenebilir bir rasgele değişenin sağalım fonsiyonu olmamaadır (Lawless 2003, Lindqvis 2006). G * () ve G ( ) fonsiyonları anca rislerin bağımsızlığı durumunda birbirine eşi olmaadır. Bölüm 6 da bu onuya değinileceir. Benzer biçimde, ' G() g () h () = G () = G () (3.30) olara ifade edilen hazard fonsiyonu h ( ) ile daha öncei bölümlerde anımlanan nedene özel hazard fonsiyonu λ ( ) birbirinden farlı anlamlar aşır. Burada, h ( ),. ris dışındai risler ayrı uulara yani izole edilere elde edilen hazard fonsiyonu ien, λ ( ) diğer rislerin varlığında. nedene ai hazard fonsiyonu olmaadır. Tüm > 0 için, h( ) = λ ( ) eşiliği, T lerin bağımsızlığı durumunda geçerli olmaadır. 3.3 Kesili Başarısızlı Zamanları Bazı durumlarda sağalım süresi ya da başarısızlı süresi esili olara düşünülebilir. Örneğin, bir sisem için bozulma, sisemin belenen performansı yerine geirememesi anlamına gelmeedir. Kırılma, palama gibi durumların meydana gelmesinden sonra, sisem belendiği gibi çalışmayacaır. Süreli bir işleyişe sahip bir sisem göz önüne alınsın ve sisemin belirli aralılarla onrol edildiği düşünülsün. Sisemin parçalarından biri ya da biraç ullanım ömrünün sonuna geldiğinde sisemin ullanım dışı olduğu varsayılsın. Gözlemler aynı ürdei bir işleyişin döngü sayısı olara elde edilmeedir. Burada, sisemin ömrü, ullanım dışı olduğu espi edilene adar yapılan deneimlerin sayısıdır. 35

44 ( TC, ) iilisindei ii değişenin de esili olduğu göz önüne alınırsa, bölüm 3. de yapılan anımlamalar yapılabilir. T nin alacağı olası değerler, 0 = τ 0 < τ <... < τm ( m sonlu ya da sonsuz olabilir) ve C nin alacağı değerler ise {, 2,..., } olara düşünülsün. Nedene özel esili dağılım ve nedene özel esili sağalım fonsiyonları, F () = P( T, C = c) (3.3) c S () = P( T >, C = c) c (3.32) şelinde ifade edilir. Ayrıca, S(0, C = c) = P( C = c) = π c (3.33) yazılabilir. T ye ai marinal esili dağılım ve sağalım fonsiyonu sırasıyla, F () = PT ( ) = F() (3.34) c= c S () = PT ( > ) = S() (3.35) c= c olara ifade edilir. Kesii nedene özel olasılı fonsiyonları ve marinal olasılı fonsiyonu ise aşağıdai gibi anımlanır. l =,..., m için; 36

45 f ( τ ) = Pr( T = τ, C = c) = S ( τ ) S ( τ ) (3.36) c l l c l c l f( τ ) = f ( τ ) (3.37) l c l c Eğer, τ ise f ( τ ) = 0 dır. Aynı zamanda f (0) = 0 ve l > için l c l c m ( ) ( ) (3.38) S ( τ ) = f τ = π f τ c l c s c c s s=+ l s= l şelinde anımlanır. Nedene özel esili hazard fonsiyonları ve marinal hazard fonsiyonu l =,..., m için aşağıdai gibi anımlanır PT ( = τ l, C= c) hc( τl) = P( T = τl, C = c T τl) = PT ( τ ) fc( τl) fc( τl) = = PT ( > τ ) + PT ( = τ ) S( τ ) + S( τ ) S( τ ) fc( τ l) = S( τ ) l l l l l l l (3.39) l l l c l c= h( τ ) = f( τ ) S( τ ) = h ( τ ) (3.40) l = 0 için hc ( τ 0) = 0 dır. Olası en son başarısızlı zamanı τ m de S( τ m) = 0, S( τ m ) = f( τ m) ve h( τ m) = değerlerini alır. (2.47) göz önüne alınara l =,..., m için l s= 0 { h τ } S( τ ) = ( ) l s (3.4) 37

46 l { } f( τ ) = h( τ ) h( τ ) l l s s= 0 (3.42) olara yazılabilir. 38

47 4. YARIŞAN RİSKLER TEORİSİNDE TAHMİNLER 4. Parameri Tahminler Bu bölümde, T,..., T başarısızlı sürelerinin parameri bir aileden geldiği varsayılara, en ço olabilirli fonsiyonunun elde edilmesi inceleneceir. Genel olara, yarışan risler eorisinde ane başarısızlı risi ve bu rislere arşılı gelen poansiyel başarısızlı/sağalım sürelerinin olduğu düşünülmeedir. Bu poansiyel sağalım sürelerine birço aynaa ne sağalım süreleri adı verilir ve aşağıdai gibi -boyulu bir veör ile göserilir. T = (,,..., ) (4.) T T2 T Buna göre bu değişenlerin belirli bir parameri forma sahip ora olasılı yoğunlu fonsiyonu; f( ; θ ) = f(,..., ; θ,..., θ ) (4.2) m olara ifade edilir. Gözlenen sağalım/başarısızlı süresi ise, T = min( T,..., T ) (4.3) olur. Burada, PT ( = T) = 0, i olduğu varsayılmaadır. i ( TC, ) iilisinin ora dağılımı ise aşağıdai gibidir. 39

48 F () = P( T, C = ) { } { } = PT ( T, < T), i,...,, +,...,, i,...,, i i =... f(,..., ) d d... d d... d d (4.4) olara elde edilir. ( TC, ) iilisinin ora sağalım fonsiyonu ise (3.2) ile ifade edildiği gibi bulunur. T nin marinal dağılımı ve marinal sağalım fonsiyonu sırasıyla aşağıdai gibidir. F () = F () (4.5) T = S () = F () (4.6) T = olara ifade edilir. Belirlenmiş bir. için, π = PT ( = T), =,..., (4.7) ifadesi başarısızlı nedeninin. neden olması olasılığıdır. Bu olasılı θ (4.8) π = f ( ; ) d d i = 0 = i = + = = ile elde edilir (Moeschberger David 97, Birnbaum 979). 40

49 Y, başarısızlığının. nedenden aynalandığı bilindiğindei sağalım süresi, Y = T C = olsun. üzere, (3.9) göz önüne alındığında, bu sağalım süresinin dağılım ve olasılı fonsiyonları aşağıdai gibi bulunur. PT ( y, C= ) F( y) FY( y) = P( Y y) = P( T y C = ) = =. (4.9) PC ( = ) π Bu ifadeden (4.4) ile ürev alınara; f ( y ; θ)... f(,...,, y,,..., ; θ,..., θ ) d d... d d... d Y + m 2 + π y y = (4.0) elde edilir. N ane bireyin gözlendiği bir çalışmada, N anesi. nedenden dolayı başarısızlığa uğradığı göz önüne alınsın. N ler bilindiğinde gözlenen Y, r =,2,..., N sağalım r sürelerinin ora olasılı yoğunlu fonsiyonu; N N π... f (,...,, yr, +,..., ; θ,..., θn) dd2... d = r= yr yr (4.) olacaır (Moeschberger ve David 97). (4.) ile verilen ora olasılı yoğunlu fonsiyonu N ye göre oşullandırılmışır. Bir rasgele değişen olan N çoerimli dağılıma sahipir. Buna göre N N N hn (,..., N) = N! N! π = = (4.2) yazılır. 4

50 Sağalım sürelerinin olabilirli fonsiyonu; L= L(..., y,...; θ,..., θ ) r m (4.3) m L= m! m!... f(,...,, y,,..., ; θ,..., θ ) d d... d (4.4) r + m 2 = = r= yr yr biçiminde yazılır (Moeschberger ve David 97). Dia edilmelidir i, bu ifade, ne sağalım sürelerinin bağımsızlığı varsayımını gereirmemeedir. Burada, sağlanması gereen e varsayım, bu sürelerin ora dağılımının belirli bir parameri forma sahip olmasıdır. Parameri aile bilindiğinde ve gözlem değerleri elde edildiğinde, olabilirli fonsiyonu, θ,..., θ m paramereleri için en ço olabilirli ahmin edicilerinin elde edilmesi için ullanılabilir. Aşağıdai şeilde ifade edilen ısmi ürevlerin sıfıra eşilenmesi ve bunun sonucunda elde edilece m ane eşiliğin, θ,..., θ m için çözülmesiyle isenen ahmin edicilere ulaşılır. L ln L ( veya ) θ θ s s (4.5) Eğer, gerçe sağalım süreleri bağımsız, olasılı yoğunlu fonsiyonu f ( ; θ ) ve sağalım fonsiyonu S ( ; θ ) ise ora olasılı yoğunlu fonsiyonu; f ( ; θ ) f ( y ; ) S ( ; θ ) Y θ = l l π S( ; θ ) l= (4.6) biçimini alır ve olabilirli fonsiyonu; N f ( ; ) yr θ L( = N! N! Sl( yr; θ ) = = r= S( yr; θ ) l= (4.7) 42

51 olara elde edilir ve bilinen yollarla en ço olabilirli ahmin edicileri bulunur. 4.2 Sansürlemenin Varlığında Tahminler Sağdan sansürlemenin var olduğu, n bireyden oluşan ve ( T, C ), i=,2,..., n iilisinden elde edilen bir rasgele örnelemden gözlemler alındığı düşünülsün. Bağımsız sansürleme varsayımı alında, olabilirli fonsiyonu; i i n δi L= fc ( ) ( ) i i S i i= δi (4.8) şelinde olacaır. Burada,, i başarısızlı/ sağalım zamanı δi = 0, i sansürleme zamanı olara anımlanır. T ye ai marinal sağalım fonsiyonu (3.24) ve (3.25) göz önüne alınara aşağıdai gibi anımlanır. S () = exp Λ () = G() = = (4.9) Olabilirli fonsiyonu, δ = I ( C = ) noasyonu ullanılara yeniden yazılırsa; i i 43