T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KESİRLİ MERTEBEDEN POPÜLASYON MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Hülya ALTUNTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ Maemai Anabilim Dalını Haziran-5 KONYA Her Haı Salıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu ezdei büün bilgilerin ei davranış ve aademi urallar çerçevesinde elde edildiğini ve ez yazım urallarına uygun olara hazırlanan bu çalışmada bana ai olmayan her ürlü ifade ve bilginin aynağına esisiz aıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I here by declare ha all informaion in his documen has been obained and presened in accordance wih academic rules and ehical conduc. I also declare ha, as required by hese rules and conduc, I have fully cied and referenced all maerial and resuls ha are no original o his wor. İmza Hülya ALTUNTAŞ Tarih:

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ KESİRLİ MERTEBEDEN POPÜLASYON MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Hülya ALTUNTAŞ Selçu Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemai Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE 5, 59 Sayfa Jüri Prof. Dr. DURMUŞ BOZKURT Prof. Dr. GALİP OTURANÇ Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Bu çalışmada esirli merebeden popülasyon modeli analiz edilmiş, farlı durumlar için elde edilen esirli merebeden diferansiyel denlemlerin, Diferansiyel Dönüşüm Meodu (DTM) ile çözümü yapılmışır. Elde edilen sonuçlar Homoopi Perurbasyon Meodu (HPM) ve Varyasyonel İerasyon Meodu (VIM) ullanılara elde edilen sonuçlarla arşılaşırılmışır. Anahar Kelimeler: Kesirli merebeden popülasyon modeli; Diferansiyel Dönüşüm Meodu; Kesirli Merebeden Türev; Nüfus Modeli. iv

5 ABSTRACT MS THESIS SOLUTION OF THE FRACTIONAL ORDER POPULATION MODELS Hülya ALTUNTAŞ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE DEPARTMANT OF MATHEMATİCS Advisor: Assis. Prof. Dr. Hasan KÖSE 5, 59 Pages Jury Prof. Dr. DURMUŞ BOZKURT Prof. Dr. GALİP OTURANÇ Assis. Prof. Dr. Hasan KÖSE In his paper, we have inroduced fracional ordered populaion model which has been solved wih he help of differanial ransformaion meho (D.T.M) for differen cases. This paper represens a comparison beween D.T.M, H.P.M and V.I.M for solving our fracional-ordered populaion model dor differen fracional orders. Model Keywords: Prey-Predaor Populaion Model, Fracional Ordered Derivaive, Populaion v

6 ÖNSÖZ Son yıllarda pe ço bilimsel çalışma maemai modellemeler oluşurulara yapılmaadır. Maemai modelleme ise denlemlere dayalı urgulardır. Kullanılan denlemler, üzerinde çalışılan probleme göre lineer denlemlerden diferansiyel denlemlere adar farlılı gösermeedir. Nüfus modellemelerinde daha ço diferansiyel ve far denlemlerden yararlanılır. Şimdilerde ise esirli merebeden diferansiyel denlemlerle urulan nüfus modellemelerinin çözüm yönemleri maemaiçiler arasında olduça dia çemeedir. Bu çalışmada da esirli merebeden nüfus modellerinin çözümleri H.P.M, V.I.M ve D.T.M ile yapılmış ve elde edilen çözümler arşılaşırılmışır. Çalışmanın il bölümünde ezin yapılma amacı ve bu alanda yapılan çalışmalardan bahsedilmişir. İinci bölümünde esirli ürev ve esirli inegral avramları açılanara esirli diferansiyel denlem anımı yapılmışır. Üçüncü bölümde yalaşı çözüm yönemleri anlaılmış ve dördüncü bölümde de esirli merebeden nüfus modelinin uruluşu anlaılmışır. Modelin uruluşunda Loa-Volera denlemi ve lojisi denlemler diae alınmışır. Beşinci bölümde nüfus modeli farlı yalaşı çözüm meoları ile çözülere son bölümde çözümler arşılaşırılmışır. Bu ezi hazırlamamda bana yol göserip yardımlarını esirgemeyen başa danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE ye, Doç. Dr. Yıldıray KESKİN e ve Prof. Dr. Durmuş BOZKURT ço eşeür ederim. Hülya ALTUNTAŞ KONYA-5 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii. GİRİŞ..... Amaç ve Kapsam..... Kayna Araşırması.... KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiyel Denlem Kesirli Diferansiyel Denlem Kesirli Türev-Kesirli İnegral Gamma Fonsiyonu Kesirli İnegral Riemann Liouville Kesirli Türevleri Capuo Kesirli Türevi DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Diferansiyel Dönüşüm Meodu: Genelleşirilmiş Taylor Formülü: Kesirli Diferansiyel Dönüşüm Yönemi Homoopi Perurbasyon Meodu Varyasyonel İerasyon Yönemi: KESİRLİ POPÜLASYON MODELİ Maemai Model Lojisi Denlem Loa-Volera Denlemi Kesirli Popülasyon Modeli Model Kuruluşu KESİRLİ MERTEBEDEN POPÜLASYON MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Modelin Diferansiyel Dönüşüm Meodu (D.T.M) İle Çözümü Modelin Homoopi Perurbasyon Meodu (H.P.M) ile Çözümü Modelin Varyasyonel İerasyon Meodu (V.I.M) ile Çözümü SONUÇLAR VE ÖNERİLER vii

8 6. Sonuçlar Öneriler... 4 KAYNAKLAR... 4 EKLER ÖZGEÇMİŞ... 5 viii

9 . GİRİŞ.. Amaç ve Kapsam Fen ve sosyal bilimlerin pe ço alanında maemai modellemeler oluşurulmaadır. Maemai modelleme en genel anlamda hayaa dair her somu ve soyu bilginin maemaisel olara ifade edilmesi sürecidir. Maemaisel modelleme sürecinde verilenleri ullanara bir çözüme ulaşma, çözümü gerçe haya durumuyla arşılaşırma, eğer yeerli değilse çözümü gelişirme veya daha farlı bir çözüm gelişirme gibi birden fazla döngü vardır. Maemaisel modelleme sürecinde bahsedilen modelleme döngüsü, yani modellemenin döngü içeren bir süreç olduğu firi, modelleme yalaşımlarında gözlemlenen ora fiir olara arşımıza çımaadır (Zbie ve Conner, 6). Biyoloji ve isaisi alanlarında arşımıza çıan nüfus modelleri ise daha ço diferansiyel denlemlerle arşımıza çımaadır. Bu denlemlerin çözümleri genel olara analii yönemlerle yapılmaa idi. Anca birço denlemin analii çözümle elde edilemeyen sonuçları için, sayısal meolarla elde edilen yalaşı çözümler oraya çımışır. Son yıllarda ise oluşurulan maemai modellerin önemli bir ısmı esirli merebeden denlemlerle ifade edilmeedir. Bu şeilde urulan denlemlerin çözümü için ise yalaşı çözüm meoları gelişirilmişir. Bu meolar, Adomian Ayrışım Meodu, Homoopi Perurbasyon Meodu, Varyasyonel İerasyon Meodu, Homoopi Analiz Meodu, Diferansiyel Dönüşüm Meodu, Sonlu Farlar Meodu, Kesirli Lineer Adım Toplama Meodu, Esrapolasyon Meodu ve Belirleyici-Doğrulayıcı Meo olara ifade edilebilir. Diferansiyel Dönüşüm Meodu esirli merebeden hesaplamalar için olduça prai bir meo olara arşımıza çımaadır. Diferansiyel denlemlerin cebirsel denlemlere dönüşürülmesi emeline dayanan bu yönem bilgisayar programlamasına da daha uygundur. Bu çalışmada esirli merebeden Lojisi Avcı-Av Modeli üzerinden hesaplamalar yapılara Diferansiyel Dönüşüm Meodu (DTM), Varyasyonel İerasyon Meodu (VIM) ve Homoopi Perurbasyon Meodu (HPM) çözümleri Mapple programı ullanılara oluşurulan grafilerle arşılaşırılmışır.

10 .. Kayna Araşırması Diferansiyel Dönüşüm Yönemini il olara Zhou (986) çalışmasında, eleri devre analizlerinde oaya çıan lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemlerini çözme için oraya oymuşur. Chen, C.K., Ho, S.H.( 996) ise çalışmasında, diferansiyel dönüşüm (DT) meodunu özdeğer problemlerine uygulamışır. Daha sonra Chen, C.K., Ho, S.H.; (999) yalnızca adi ürevli diferansiyel denlemler için uygulanabilen diferansiyel dönüşüm meodunu, bu çalışmayla birlie il olara ısmi ürevli diferansiyel denlemlere genişlemiş olup bunun için ii boyulu diferansiyel dönüşümü anımlamışır. Ayrıca Jang, M.J., Chen, C.L., Liu, Y.C.;() çalışmalarında, il olara lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemleri gridler yardımıyla diferansiyel dönüşüm yönemi ullanara çözmüşlerdir. Benzer olara, Bor- Lih Kuo (5) Serbes Konvesiyon Problemini diferansiyel dönüşüm yönemini ullanara çözmüşür. Ouranç G., Kurnaz A., Kesin Y.(7). çalışmalarında esirli ürevli diferansiyel denlemlerin çözümlerine yöneli yeni bir yalaşı analii meo sunmuşlardır. Ayrıca Kurnaz A.,Kesin Y., Ouranç G. (7) çalışmalarında lineer olmayan esirli ürevli diferansiyel denlem sisemlerine ve lineer ço erimli diferansiyel denlemlerin çözümlerine yöneli yeni bir yalaşı analii meodunu sunmuşlar, verilen enile ilgili problem çözümleri verilmişir. I.H. Abel-Halim Hasan (8) ise diferansiyel denlem sisemlerinin çözümleri için diferansiyel dönüşüm yönemini ullanmış ve analii çözümle arşılaşırmışır. Diferansiyel dönüşüm yöneminin lineer ve lineer olmayan diferansiyel denlem sisemleri için daha güçlü bir araç olduğunu oraya oymuşur. Bu çalışma Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana () Avcı-Av Popülasyon Modelinin Analizi adlı maale esas alınara hazırlanmışır.

11 3. KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. Diferansiyel Denlem Pe ço bilim dalında uygulama problemlerinde oraya çıan denlemler genel olara diferansiyel denlemlerdir. Diferansiyel denlemler bilinmeyen bir fonsiyon ve bu fonsiyonun ürevlerini içeren denlemler olara anımlanır. Bir diferansiyel denlemde bir veya daha fazla sayıda bağımlı değişen olmasına arşın eğer yalnız bir bağımsız değişen varsa bu denleme adi ürevli diferansiyel denlem denir. Birinci merebeden adi diferansiyel denlemler; dy Fx, y, y' Fx, y, dx ve ya y' f x, y dy f x, y dx biçimindedir. n. merebeden adi diferansiyel denlemler; ve ya n n dy d y d y F x, y, y', y'',..., y F x, y,,,..., dx dx dx n n n n n d y dy d y d y y x, y, y', y'',..., y f x, y,,,..., n n dx dx dx dx biçimindedir. Bir diferansiyel denlem, bir e bağımlı değişenin ii veya daha fazla sayıda bağımsız değişen cinsinden ürevlerini içeriyorsa bu denleme ısmi ürevli diferansiyel denlem denir... Kesirli Diferansiyel Denlem Maemai modelleri beimleyen diferansiyel denlemlerin dereceleri, ele alınan modelde bir değişim hızı belirlemeedir. Tamsayı dereceden diferansiyel denlemlerin, bazı modellemeleri açılamaai zayıflılarından dolayı, bu noada esirli dereceden diferansiyel denlemlere ihiyaç duyulmuşur. Modelin araerinin anlaşılmasında da esirli diferansiyel denlemler büyü bir rol oynamaadır.

12 4 Kesirli diferansiyel denlem endi isminden de anlaşılacağı üzere ürev ve inegralin am olmayan derecelere genişleilmiş şelidir. Konu diferansiyel hesap adar esi olup, Leibniz ve Newon un diferansiyel hesaplama eniğine adar uzanır. (Bayın S.4) Bir fonsiyonun birinci, iinci, üçüncü, vs. ürevlerinin nasıl alındığını biliyoruz, anca 4/3 üncü ürevini nasıl alabiliriz? Aynı şeilde fonsiyonu ii ya da üç defa inegre edebiliriz, faa / defa inegre edebilir miyiz? Leibniz in 695 e L.Hospial a sorduğu "Tamsayı basamaan ürevler esirli basamaan ürevlere genişleilebilir mi?" sorusu esirli diferansiyelin çıış arihi olara göserilebilir. Leibniz in yanı sıra Liouville, Riemann, Weyl, Lagrange, Laplace, Fourier, Euler, Abel gibi birço maemaiçi de bu onu üzerine çalışmışlardır. (Loverro A.4) Kesirli diferansiyel denlemler diferansiyel denlemlerle urulan birço maemai modelden daha hassas modelleme problemlerinde özellile popülasyon modellerinde arşımıza çımaadır..3. Kesirli Türev-Kesirli İnegral Kesirli merebeden ürev veya inegral hesaplarının yapılabilmesi için gama fonsiyonunu anımlama gereir..3.. Gamma Fonsiyonu Gamma fonsiyonu, esirli diferansiyel ile doğrudan ilişilidir. Gamma fonsiyonunun en basi anlamı faöriyelin büün reel sayılar için genelleşirilmesidir. x ile gösereceğimiz gamma fonsiyonu: x e d x genelleşirilmiş inegrali ile anımlanır. Gamma fonsiyonuna faöriyel fonsiyonu da denir. genelleşirilmiş inegrali yardımıyla n e d n

13 5 n! n n n olur..3. Kesirli İnegral Lieraürde, esirli merebeden inegralin en sı arşılaşılan açılaması aşağıda verilen Riemann-Liouville inegralidir. x ( ) ( ) ( ) J f x x f d ( ) Burada, R ve n n, n Z dir Riemann Liouville Kesirli Türevleri m a x a x a x D f x D J f x m x d m m x u f u du m m dx m m d f m x m dx eşiliği ile verilen esirli ürev anımı Riemann-Liouville anımıdır. D sembolünün anlamı, eğer ise q defa inegrasyon, ise defa diferansiyeldir. a D x Riemann-Liouville esirli ürev operaörüdür Capuo Kesirli Türevi Bir f x fonsiyonunun Capuo esirli ürevi şu şeilde anımlanır: m m a * a x a x f m x u x a m m D f x J D f x d dx m m du m m f x, m

14 6 m Burada m m, mn, x, f C dir. Özellileri m m m m - D f x J D f x D J f x D f x * m x D* f x D f x f! - 3-, R olma üzere D ( f x g x ) D f x D g * * * eşiliğinde görüldüğü gibi Capuo esirli ürevinin lineerli özelliği vardır. 4- D D f x D f x D D f x * * * * * n 5- D x n * 6- D * c (c sabi) 7- D J f x f x *, nm, nn n x, nm, nn n x J D* f x f x f! 8- m, m m m, m N ve f C, Kesirli hesap (esirli ürev, esirli inegral ) ullanılara oluşurulan modellemeler esirli diferansiyel denlemler olara arşımıza çımaadır. Örneğin; dy D y y d,5 *, başlangıç oşul problemi, bir lineer olmayan esirli diferansiyel denlemdir.

15 7 3. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Bu bölümde diferansiyel denlemleri cebirsel denlemlere dönüşürere yalaşı çözümler elde emeyi hedefleyen meolarından üç anesini, Diferansiyel Dönüşüm Meodu (D.T.M.), Homoopi Perurbasyon Meodu (H.P.M.) ve Varyasyonel İerasyon Yönemi (V.I.M.) haında ısaca bilgi verileceir. 3.. Diferansiyel Dönüşüm Meodu: Diferansiyel dönüşüm meodu, seri formda hemen hemene analii çözümler urar. Sonsuz seri çözüm apaılabildiği adirde analii çözüm fonsiyonuna ulaşılmış olur. Bu meo ile diferansiyel denlemler dönüşürülebilir ve elde edilen cebirsel denlemler de bazı basi işlemlerle olaylıla sisemai bir şeilde çözülebilir. Kesirli diferansiyel denlemlerin çözümü için genelleşirilmiş Taylor formülünden yararlanılır. Burada, lieraürde mevcu olan e boyulu, ii boyulu ve n boyulu diferansiyel dönüşüm yönemi haında bilgi verileceir (Zhou 986, Chen 996, Ayaz, 3, Kurnaz 5). Bu yönem, e değişene bağlı diferansiyel denlemlerin çözümleri için ullanılır Genelleşirilmiş Taylor Formülü: Kabul edelim i; olsun. Bu durumda; D f a * C ( a, b ],,,..., n i ia n a i f D * Rn, a i a ifadesi Genelleşirilmiş Taylor Formülü olara adlandırılır. Burada; n a n, n * a,,, (, ] Rn a D f a ab dır. n Ayrıca D* D* D*... D* ( n defa) ifade emeedir. Tanım 3...: olma üzere, Te değişenli ux ux fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu U ( ) nin e boyulu diferansiyel dönüşümü

16 8 d U u x! dx x olara anımlanır. (G. Ouranç, Y. Kesin ) Tanım 3...: ifade eder ve Diferansiyel ers dönüşüm fonsiyonu, u x (3..) U dönüşüm fonsiyonunun ersini U x (3..) biçimde anımlanır. (3..) eşiliğinde (3..) ifadesi yazılara aşağıdai (3..3) eşiliği elde edilir. d ux u x x! dx (3..3) x (Chen ve Ho 996, Chen ve Liu 998, Chen ve Ho 999, Abdel-Halim 4, Arioglu ve Özol 4): 3... Kesirli Diferansiyel Dönüşüm Yönemi Bir y fonsiyonunun esirli diferansiyel dönüşümü şu şeilde anımlanır; Y () D y * ( ),,,,... (3...) Burada D* D* D*... D* ( defa ) olara ifade edilir. { Y ( )} serisinin esirli diferansiyel dönüşümünün ersi ise; (3...) y() Y ( )( )

17 9 olara bulunur. (3...) ve (3...) eşililerini ullanara Y() D y ( ) ( ) * (3...3) eşiliğinin sağlandığını söyleyebiliriz. (G. Ouranç, A. Kurnaz, Y. Kesin,8) Bu şeilde elde edilen esirli diferansiyel dönüşümlerin bazı emel özellileri aşağıdai abloda özelenmişir. Fonsiyon Diferansiyel Dönüşümü y u v Y U V cu Y cu y, c sabi D u Y U y * n Y U n y D u * n u v Y U rv r U rv r y p Y p y, p/, p/ 3.. Homoopi Perurbasyon Meodu Perürbasyon eorisi, am olara çözülemeyen bir problemin yalaşı çözümünü bulma için ullanılan maemaisel meolar içerir. Eğer problem, bir üçü erim elenere am olara çözülebilen probleme formüle ediliyorsa probleme perürbasyon eorisi uygulanabilir. Perürbasyon eorisi, problemin çözümünü, am olara çözülebilen problemden sapmayı ölçen bir üçü paramerenin uvve serisi cinsinden bulmayı

18 amaçlar. Kuvve serisindei il erim, am olara çözülebilen problemin çözümü ien, diğer erimler, çözümde başlangıç problemine göre sapmayı anımlarlar. A çözümüne yalaşım için aşağıdai üçü paramereye göre açılan (burada paramere ε dur) seri verilsin: A A A A... Bu örnee A, am olara çözülebilen başlangıç probleminin bilinen çözümünü ve A, A,..., bir sisemai yönemle ieraif olara bulunan daha yüse dereceden çözümleri göserir. ε un ço üçü olması durumunda, yuarıdai serinin yaınsa olması, üçü ε değeri için bulunan daha yüse dereceden çözümlerin daha az önemli olduğu anlamına gelir. Bir yalaşı perürbasyon çözümü, seriyi bir yerden sonra esip, genelde sadece il ii erimi, başlangıç çözümü ve birinci derece perürbasyon düzelmesini, bıraara elde edilir. ε ço üçü olmasına rağmen, bazı problemlerde çözüm yaınsa olmayabilir. Birço önemli problemde üçü perürbasyonların verilmesi, çözümlerin niceleyici ve nieleyici özellilerini oraya oyar faa bu özelliler, perürbe edilmeyen problemlerin çözümlerininilerden olduça farlı olabilirler. Örneğin ; u' u, u ve u' u, u denlemleri göz önüne alınsın. Birinci denlemin çözümü u perürbe edilmemiş denlemin çözümü u e dir. ε<< olduğunda e ien u u için perürbasyon çözümünün doğruluğu yüseir. İinci denlem için ise perürbe edilmemiş problemin çözümü u e dir ve u u e elde edilir. Burada, çözümü olara düşünülemez. olduğunda u, denlemin yalaşı Perürbasyon meoları, orijinal problemin, am olara çözmeye yeece adar basileşirilmiş formuyla başlar. Genel yönem, fen ve mühendislie ço ullanılan maemaisel bir araçır: basileşirilmiş bir problemle başlama ve aşamalı olara düzelmeler eleren düzelmiş problemin gidere gerçeği emsil eden formüle yaınlaşmasını sağlama.

19 Homoopi, diferansiyel opolojinin önemli bir onusudur. Bir nonlineer cebirsel denlemin büün ölerini bulma için homoopi enileri uygulanabilir. Bunu göserme için aşağıdai denlem göz önüne alınsın: f x, x IR (3..) Bu denlemde homoopiyi uygulayabilme için, p, bir gömme (embedding) parameresi, x, (3..) denleminin başlangıç yalaşımı olma üzere aşağıdai H : IR, IR homoopisi urulabilir.,,, H p pf p f f x IR p veya, f H, p f f x H olduğu açıır. p dan (3...a) p e değişiçe, H, p değeri dan f f x Bu bir opoloji deformasyondur. f f x ve (3...b) f ye değişir. f de homoopiir. p olduğundan gömme parameresi üçü paramereler olara düşünülebilir. Perürbasyon eniği uygulanara (3..) denleminin çözümü p nin bir uvve serisi olara şu şeilde yazılabilir: (3..3) p p... p parameresi e yaınsaren (3...a.b) denlemleri (3..) denlemine arşılı gelir ve (3..3) serisi, (3..) denleminin bir yalaşı çözümü olur ve çözüm: x lim (3..4) p olara bulunur. (3..) denleminin yalaşı çözümünü elde eme için f fonsiyonu, noası civarında Taylor serisine açılır; f f f ' p p... f '' p p (3..5)! (3..5) eşiliği, (3...b) eşiliğinde yerine onup, p nin uvvelerine göre asayılar eşilenere; p f f x : (3..6)

20 p f f x : ' (3..7) p : f ' f '' (3..8)! 3 3 p : f ' 3 f '' f ''' (3..9)! 3!... denlemleri elde edilir. İl dör denlemden,, 3 çözülere ; f ' x, (3..) f f '' f '' f x! f '! f ' f ', (3..) f '' f ''' f '' f x f ''' f x 3 f ' 3! f ' f ' f ' 6 f ' f ', (3..) bulunur. p = ien birinci dereceden yalaşı çözüm, x f ' (3..3) f biçiminde elde edilir. Bu çözüm, x f ' n n n f (3..4) n ierasyon formülü ullanılara da yazılabilir. (3..6) denleminin bir çözümü olan x da (3..4) denleminde yerine yazılara, f x n x n f ' x x n n Newon ierasyon formülü elde edilir. Benzer olara iinci dereceden yalaşı çözüm x biçimindedir ve ierasyon formülüyle x n f n f '' n f n n f ' n f ' n f ' n

21 3 veya f xn f '' x n f x n xn xn f ' xn f ' x n f ' x n biçiminde göserilir. Üçüncü dereceden yalaşı çözüm ise; x 3 olduğundan ierasyon formülüyle x n veya x n f f f f f f n f ' n f ' n f ' n f ' n 6 f ' n f ' n 3 '' n n n '' n ''' n n f x f x f x f x f x f x xn f ' xn f ' xn f ' xn f ' xn 6 f ' xn f ' xn 3 '' n n n '' n ''' n n ile verilir. (He, J.H.998, Javidi M.7) 3.3. Varyasyonel İerasyon Yönemi: Varyasyonel ierasyon meodunun uygulanmasında, L lineer operaör, N lineer olmayan operaör ve g( x ) ise homojenliği bozan erim olma üzere, çözüm aranan diferansiyel denlem, Lu Nu g( x) formunda ele alınır. Varyasyonel ierasyon meoduna göre denlemin, x un () x un() x Lu () () () n s Nu n s g s ds formundai varyasyon fonsiyonu urulur. Burada, Lagrange çarpanı (Inoui 978) olup varyasyon eorisinden hareele Maple, Mahemaica gibi pae programları yardımıyla hesaplanır. u n sınırlanmış varyasyon (He 999) olup u n dır. Bulunan sayı değerine göre varyasyon fonsiyonu yeniden düzenlenere aranan çözüm fonsiyonu için reürans bağınısı oluşurulmuş olur. Başlangıç oşulu olara verilen fonsiyon u olara seçilme sureiyle n için u n erimleri için yalaşımlar elde edilmiş olur. Son olara çözüm fonsiyonu,

22 4 eşiliğinden elde edilir. u lim u n n Burada ullanılaca Lagrange çarpanı aşağıdai ablodan yararlanılara espi edilebilir.. (He, J.H.998) Denlem Lagrange çarpanı y f() () s y f() () s s y y f() () s e s y y f() () s e s

23 5 4. KESİRLİ POPÜLASYON MODELİ 4.. Maemai Model Maemaisel model ya da dinami model, bir sisemin maemai diliyle ifade edilmesidir. Bir maemaisel model oluşurma süreci maemaisel modelleme olara adlandırılmaadır. Fizi, biyoloji, yer bilimleri, meeoroloji gibi doğal bilimlerin yanı sıra farlı mühendisli dallarında da sıça ullanılan maemaisel modele eonomi, psioloji, sosyoloji ve siyase bilimi gibi sosyal bilim dallarında da raslanmaadır. Diferansiyel denlemler doğada dinami olara değişen süreçlerin davranışını açılayan ço güçlü bir araçır. Cevaplanması zor süreçleri modelleyere haındai sorulara cevap arama için diferansiyel denlemleri ullanırız. Bir maemaisel modelinin urulabilmesi için biraım genel oşulların sağlanması geremeedir. Bu oşullar su şeilde sıralanabilir:. Süreç evrimsel olmalıdır: Yani, süreç ölçülebilir bir zaman süresinde belirli yasalara uygun olara gelişmelidir.. Süreç, maemaisel olara, sonlu sayıda paramerenin yardımıyla ifade edilebilmelidir. 3. Sürecin deerminisi bir süreç olması geremeedir: Diğer bir deyişle, sürecin bir anda belli olan durumuna göre geçmişi ve geleceği e değerli olara belirlenebilmelidir. 4. Süreç diferansiyellenebilir fonsiyonlar yardımıyla ifade edilebilece bir süreç olmalıdır. Popülasyon modeli Thomas Rober Malhus arafından 978 yılında gelişirilmiş olan bir problemdir. Onun modeline göre popülasyon oranılı olara armaadır ve popülasyonu P ile ve her bir birey için sabi doğum oranını (>) ile göserdiğimizde, aşağıdai diferansiyel denlem ile ifade edilmeedir. dp P, sabi d Böylece limisiz büyüme bu diferansiyel denlemin çözümü olan ve exponansiyel ural olara da adlandırılan exp P P

24 6 fonsiyonu ile ifade edilmeedir. Burada P, anındai popülasyon ve P ise eyfi anındai popülasyon olara göserilmeedir. Daha sonraları bu modelin ço gerçeçi olmadığı gözlenere, model manısal model olara adlandırılmışır ve diferansiyel denlemi ile ifade edilmişir. 4.. Lojisi Denlem dp P P,, sabi d doğum oranının, P nüfus büyülüğünün bir lineer azalan fonsiyonu olduğu abul edilsin. Böylece ve ler poziif sabiler olma üzere P dir. Eğer ölüm oranı sabi alırsa genel nüfus denlemi ; şelini alır. Yani a > ve b > olma üzere elde edilen dp P d P dp ap bp d denlemine lojisi denlem denir. Denlemdei paramerelerin değerleriyle P() nüfusunun davranışını ilişilendirme amacı ile, = b ve M= a/b olma üzere lojisi denlem ; dp P M P d olara da yazılabilir Loa-Volera Denlemi Lieraürde Avcı-Av modeli olara da bilinen denlem sisemi, Ameria lı maemaiçi, fizio imyacı ve aynı zamanda isaisiçi olan Alfred J. Loa (95) ile İalyan maemaiçi ve fiziçi Vio Volerra nın (96) maemaisel biyolojiye yapıları aının önemli bir parçasını oluşurur. İi bilim adamı 9 li yılların orasında birbirlerinden bağımsız olara yapıları çalışmalarda aynı biyoloji çevrede bulunan farlı canlı ürleri arasındai nüfus dinamilerini açılamaya çalışmışlardır.

25 7 Denlem sisemi ile aynı biyoloji çevrede bulunan birisi avcı olara nielendirilen canlı ürü ile bu canlı ürünün besin aynağını oluşuran diğer canlı ürü arasındai nüfus eileşimleri analiz edilmişir. Loa ve Volerra ii farlı denlem sei gelişirmişir; bir se av-avcı eileşimlerine, diğer se ise ayna reabeine uygulanır. Reabele ilgili denlem aşağıdai gibidir: dn d K N N, rn K Burada N : Birinci ürün popülasyon büyülüğü K : Birinci ürün aşıma apasiesi : zaman r : Birinci ürün arış miarı α< ise ür içi reabe, ürler arası reabeen daha şiddelidir. α> ise ürler arası reabe ür içi reabeen daha şiddelidir. α= ise reabe ürünün şiddei eşiir Kesirli Popülasyon Modeli Bu çalışmada Loa-Volerra denleminin genelleşirilmiş biçimini içeren esirli merebeden av-avcı popülasyon modeli incelenmişir. Farlı fonsiyonel epiler ve sayısal epiler seçere normal durum ve açlı durumu olara adlandırılan ii durum olduğunu varsayalım. Bu modelde birinci merebeden zaman ürevi yerine ve merebesinden esirli ürevler ullanılmışır. (, ) Normal durum ve açlı durumları için esirli sıralanmış lojisi av-avcı modelini şu şeilde düşünelim:.durum: Normal Koşullarda ( cn ap ): d N ( ) r N ( ) { ( ) } N ( ) ap() (4.4.) d d P ( ) b dp(), d

26 8.Durum: Açlı Koşulunda (cn ap): d N ( ) r N ( ) ( ) c N( ) d d P ( ) c ap ( ) b N() d ln P() d a T cn() (4.4.) il oşullarla ; N c, P c N ve P ve,. Burada sırasıyla av ve avcı popülasyon yoğunluğunu gösermeedir. Modeldei paramereler aşağıda göserilmişir: r: Av popülasyonunun gerçe büyüme oranı : Av popülasyonunun aşıma apasiesi a: Avcı popülasyonunun masimum saldırı apasiesi b: Avcı doğum oranı c: Masimum avlanma oranı d: Avcı popülasyonunda doğal ölüm oranı T: Açlığa yanı veren ipi zaman (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ) Model Kuruluşu Genel lojisi uralını ele alaca olursa; d N ( ) r N ( ) { ( ) } N ( ) d ise model Gomperz modeli olara adlandırılır. İse model basi lojisi model olur. Şimdi bunu esirli merebeden av-avcı modelimizde ullanalım. Fonsiyonel Tepi Fonsiyonu N, P : Fonsiyonel epi fonsiyonu, her bir avcının verilen av ve avcı yoğunluğunda birim zamanda üeiği av sayısı olara anımlanır. Model şu ii varsayım üzerine urulur:

27 9 Masimum fonsiyonel epi bir a sabiidir, yani, avcının saldırı apasiesinin bir limii olduğunu varsayıyoruz. Geniş bir avcı popülasyonu büün av popülasyonunu e bir zamanda yiyemeyeceğinden, av popülasyonunun sadece sabi bir miarının, birim zamanda üm av popülasyonu arafından yaalanabileceğini abul ederiz. P avcı cn avı paylaşma zorunda olduğundan, fonsiyonel epi oranı olara bilinir. N c P olur. c aynı zamanda masimum avlanma ve varsayımlarını birleşirirse, modelimiz için fonsiyonel epi fonsiyonu: N, P a, cn ap N c, cn ap P (4.4.3) olara verilir. Durumda: Fonsiyonel epi her bir avcının saldırı apasiesine eşiir. Bu duruma normal durum diyoruz. Durumda: Fonsiyonel epi saldırı apasiesinden üçüür. Yani daha fazla av erişilebilir durumda ise avcılar yaalamalarını arıracaır. Bu duruma açlı durumu diyoruz. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ) Sayısal Tepi Fonsiyonu N, P : Sayısal epi, av yoğunluğunun armasıyla avcıların daha verimli hale gelmesi demeir. Modelimiz için sayısal epi fonsiyonunun avcıların doğum ve ölüm oranlarının beslenmelerine bağlı olduğunu varsayalım. fonsiyonunun; olaca şeilde poziif ısmı ve negaif ısmı vardır. avcı popülasyonunun oplam doğum oranıdır. Normal durumda doğum oranı masimum b değerindedir ve açlı durumunda doğum oranı besin açığı ile oranılı olara düşer. Burada b/a yı (4.4.3) ile oranılı çarpan olara alırsa; N, P b, cn ap cn b, cn ap ap

28 elde edilir. avcı popülasyonunun açlı nedeniyle ölüm oranıdır. a N, P ln T ( N, P) formülünü ullanara ve (4.4.3) ile,, cn ap N, P ap ln, cn ap T cn elde ederiz. Böylece yuarıdai varsayımları birleşirdiğimiz zaman (4.4.) ve (4.4.) de anımlamış olduğumuz esirli merebeden av-avcı modelini urmuş oluyoruz. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana )

29 5. KESİRLİ MERTEBEDEN POPÜLASYON MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Kesirli merebeden diferansiyel denlemler ullanılara elde edilen modellemelerin çözümleri genellile farlı yalaşı çözüm meoları ile elde edilen çözümlerdir. Biz de burada (4.4.) ve (4.4.) denlemlerini üç farlı meola çözere, elde edeceğimiz çözümleri arşılaşıracağız. 5.. Modelin Diferansiyel Dönüşüm Meodu (D.T.M) İle Çözümü Şimdi diferansiyel dönüşüm meodunu ullanara (4.4.) ve (4.4.) denlemlerinin çözümünü bulalım:. Durum: Normal Koşullarda ( cn ap ): d N d r N N ap (4.4.) d P d b dp Burada başlangıç oşulları; N c, P c r = = a = b = d = λ = ve, değerleri ile ve ms, ns olara aldığımızda (4.4.) denlemini; ms D N ( N) N P ns D P( ) P 9P olara yazabiliriz. Şimdi bu denlemin diferansiyel dönüşümünü yazarsa; s ms Nm N N r N r P s r

30 s ns Pn 9P s bulunur. Şimdi N P,.5 alara ve nın farlı değerleri için hesaplama yapalım:. için, Bu durumda denlem esirli merebeden olmaz, adi diferansiyel denlem haline gelir. Buna göre; dn d dp d ( N ). N P ( ) P 9P olur. Bu denlemin DTM arşılığı; N ( )( ) N ( ) NrN ( ) ( r) P ( ) P ( )( ) 9 P ( ) r şelindedir. N() ve P().5 için mapple programından yararlanara ierasyon uyguladığımızda (bz. E.) sonuçlar grafi olara elde edilir...8 için, Bu durumda; 4*., 4*. ve l,, m4, s 4 olur. Buna göre; (,,8) N [ 4]. N [ ] Nr [ ]. N [ r] P [ ] (, ) (,,8) P[ 4]. 9 P[ ] (, ) r N[], P[],5 ve N[ ], P[ ], = -,-, şelinde alınıp mapple programı yazıldığında ( bz. E )

31 için, 3*., 3*. ve l,, m3, s 3 olur. Buna göre; (,,6) N [ 3]. N [ ] Nr [ ]. N [ r] P [ ] (, ) (,,6) P[ 3]. 9 P[ ] (, ) r N[], P[].5 ve N[ ], P[ ], = -,-, şelinde alınır ve Maple programı yazıldığında ( bz. E3 ) 4..4 için, *., *. ve l,, m, s olur. Buna göre; (,,4) N [ ]. N [ ] Nr [ ]. N [ r] P [ ] (, ) (,,4) P[ ]. 9 P[ ] (, ) r N[], P[].5 ve N[ ], P[ ], = -,-, şelinde alınır ve mapple programı yazıldığında ( bz. E4 ) II. Durum: Açlı Koşulunda ( cn d N ( ) r N ( ) ( ) c N( ) d ap ): d P ( ) c ap ( ) b N() d ln P() d a T cn() (4.4.) N c, P c arşılığını yazalım: ve, denleminin diferansiyel dönüşüm

32 4 ms, ns olara aldığımızda; ( s ms ) N[ m]. R[ ]. N[ r] ( s ) r ( s ns ) c P[ n]. b N[ ] Q[ ]. P[ r] ( s ) a r r N() şelindedir. Burada R[], { ( ) } c nin, Q[] ise dönüşüm arşılığını gösermeedir. ap( ) d ln( ) T cn() nin a =, b =, c =, d =, r =, = 5, λ =, T = 4, c =,5, c = 5 olma üzere,. α = β = için; N[ ].() N[ ] N[r]. N[ r] N[ ] r r P[ ].( ) N[ ] Q[ ]. P[ r] N[]=,5 P[] = 5 alınıp mapple programı ile (bz. E 5) ierasyon uygulandığında çözüm elde edilir: ( Q[] için yazılan mapple programı için bz. E 6). α = β =.8 için; 4 N R N r r c. P 4b N QP r a r N[] =,5 P[] = 5 alınıp mapple programı ile (bz. E 7) ierasyon uygulandığında çözüm elde edilir: ( R[] için yazılan mapple programı için bz. E 8) 3. α = β =.6 için; 3 N R N r r c. P 3b N QP r a r N[] =,5 P[] = 5 alınıp mapple programı ile (bz. E 7) ierasyon uygulandığında çözüm elde edilir: ( R[] için yazılan mapple programı için bz. E 8)

33 5 4. α = β =.4 için; N R N r r c. P b N QP r a r N[] =,5 P[] = 5 alınıp mapple programı ile (bz. E 7) ierasyon uygulandığında çözüm elde edilir: ( R[] için yazılan mapple programı için bz. E 8) 5.. Modelin Homoopi Perurbasyon Meodu (H.P.M) ile Çözümü Homoopi perurbasyon meodunu ullanara (4.4.) ve (4.4.) denlemlerinin çözümünü bulalım:. Durum: Normal Koşullarda ( cn ap ): Homoopi perurbasyon meoduna göre aşağıdai eşiliği urabiliriz: r N D N p N ap D P p b d P (4.4.3.) Gömme parameresi p üçü paramere olara düşünülürse, lasi perürbasyon eniği uygulanara (4.4.3.) denleminin çözümünü p nin bir uvve serisi olara verildiğini düşünebiliriz. Yani; N N pn p N p N... P P pp p P p P 3... (4.4.3.) p ien (4.4.3.) denlemi (4.4.) denlemini sağlar,(4.4.3.) denlemi (4.4.) denleminin yalaşı çözümü haline gelir. (4.4.3.) denlemini (4.4.3.) denleminde yerine yazara aşağıdai lineer denlemleri elde ederiz: (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana )

34 6 p D N :, D P. r N :, p D N N ap D P b d P p : D N N N r N N ap r D P b d P r 3 p : D N3 N N N.. N N N r N N ap, D P b d P 3. r N N N ( )

35 7 N c, P c, r c N c ac, P bdc. r c r c c N c ac r abdc, P bdc. r c r c c N3 c ac r 3 r c c r abdc 3 c r c c r r 3 abd c, P b d c 3 3 ve bu şeilde devam eder. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ) Bu meo J ve J ( D ve D Capuo ürevlerinin ers operaörleri) operaörlerinin ( ) denlemlerinin her ii arafına uygulanmasına dayanır. x ve m y nin bileşenlerinin geri alanları için olayca ileri gidilirse, m m için HPM sağlanabilir ve buradan seri çözümleri isenen yalaşımları belirebilir. Sonuç olara serilerle buluruz. N ve P nin yalaşı çözümlerini aşağıda verilen ısılı lim, lim N P M M M M

36 8 M M N, P M m M m m m olma üzere. Yuarıdai bu ii seri ço hızlı olara reel fizi problemlerinde yaınsamaadır. Hızlı yaınsama, yalaşı çözümleri elde eme için sadece biraç erimin gereli olması anlamına gelir. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ). Durum: Açlı Durumunda ( cn ap ): Homoopi perurbasyon meoduna göre (4.4.) denleminin homoopisini aşağıdai gibi urabiliriz: r N D N p cn c ap D P pb N P d ln a T cn ( ) Gömme parameresi p üçü paramere olara düşünülürse, lasi perürbasyon eniği uygulanara ( ) denleminin çözümünü p nin bir uvve serisi olara verildiğini düşünebiliriz. Yani; N N pn p N p N... P P pp p P p P 3... ( ) p ien ( ) denlemi (4.4.) denlemini sağlar,( ) denlemi (4.4.) denleminin yalaşı çözümü haline gelir. ( ) denlemini ( ) denleminde yerine yazara aşağıdai lineer denlemleri elde ederiz: p : D N, D P. : r N, c ap D P b N P d a T cn p D N c N ln.

37 9 r p : D N N N ln. r N N cn, c P N D P b N P a T P N P r N ap d T cn N 3 p : D N3 N N ( ) r N N cn, c D P b N P 3 a T P P N N N N P P N N P N P T P N r N N N P ap d T cn ln. Ve bu şeilde devam eder. Bu meo J! ve J! ( D!ƽ! D! Capuo ürevlerinin ers operaörleri) operaörlerinin ( ) denlemlerinin her ii arafına uygulanmasına dayanır. N c P c

38 3, ln. c r N c c c ac c P b c c d a T cc c c r r N c c c c r P c 3 ln ln. c c c b a Tc ac c b c c d a T cc ac d T T cc c c r r N c c c c c r r c 3 ln c r P c c r c c b c a T ac c b c c d a T cc 3 ln 3 ac d T T cc c c r c c c b a Tc

39 3 ac ln d T T cc c r c c ac b ccd ln Tc a T cc 3 c T r c c ac cb ccd ln T a T cc. 3 x m ve y m nin bileşenlerinin geri alanları için olayca ileri gidilirse, m için HPM sağlanabilir ve buradan seri çözümleri isenen yalaşımları belirebilir. Sonuç olara N() ve P() nin yalaşı çözümlerini aşağıda verilen ısılı serilerle buluruz. N () lim () P( ) lim ( ) M M M M M () N (), M m m M M m m () P () olma üzere. Yuarıdai bu ii seri ço hızlı olara reel fizi problemlerinde yaınsamaadır. Hızlı yaınsama, yalaşı çözümleri elde eme için sadece biraç erimin gereli olması anlamına gelir. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ) 5.3. Modelin Varyasyonel İerasyon Meodu (V.I.M) ile Çözümü Varyasyonel ierasyon yönemini ullanara (4.4.) ve (4.4.) denlemlerinin çözümünü bulalım:. Durum: Normal Koşullarda ( cn ap ): Varyasyonel ierasyon meoduna göre (4.4.) siseminin ierasyon formülü;

40 3 ( ) ( ) r N ( ) N () N () D N ( ) N ( ) ap ( ) d ( ) () () P P D P b d P d Yuarıdai varyasyonel ierasyon formülü ile başlayara aşağıdai yalaşımlar elde edebiliriz. N c ve P c ile r () c N c cac, P c b d c () r c r r c N c c ac ( ) caca b d c r c c ( ) c ac r r 3 c c ac r c cac P c bdcbd c bdc 3, ve bu şeilde devam eder. Basi işlemler yoluyla N ve belirlenebilir. P nın isenen esin sonucu. Durum: Açlı Durumunda ( cn ap ): Varyasyonel ierasyon meoduna göre (4.4.) siseminin ierasyon formülü; ( ) ( ) r N ( ) N () N () D N ( ) c N ( ) d ( ) ( ) bc ap ( ) P ( ) P ( ) D P ( ) N ( ) d ln P ( ) d a T cn ( )

41 33 Yuarıdai varyasyonel ierasyon formülü ile başlayara aşağıdai yalaşımlar elde edebiliriz. N c ve P c ile r () c N c cc, () bcc ac P () c d ln c a T cc r c r r c N c cc c c c r c c c c r r cc 3 c r c c c () bcc ac bcc P () c d ln c dc a T cc a bc r c bcc ac ccd d ln c a a T cc bcc ac d ln c a T cc 3 bcc ac 4T d ln c a T cc bcc ac bcc ac c ln c c ln c d ln c d ln c a T cc a T cc

42 34 bcc ac bcc ac c d ln c lna c d ln c a T cc a T cc cc r c 4T cc r c bcc ac bcc ac 4c d ln c c d ln c a T cc a T cc + r c bcc ac c c d ln c a T cc + r c bcc ac a cc cc d ln c a T cc r c ln cln c cc r c + cc bcc ac r c c d ln c lnc c c c a T cc ve bu şeilde devam eder. Basi işlemler yoluyla N ve sonucu belirlenebilir. (Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana ) P nın isenen esin

43 35 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 6. Sonuçlar Bu bölümde av ve avcı ürlerini.4,.6,.8 farlı esirli Brown hareei için ve sandar hareei için DTM, HPM ve VIM ullanılara, zamanının çeşili değerleri için ve ablo ve ablo de verilen diğer değişenler için sayısal simülasyonları hesaplanmışır. Bu arşılaşırmalı sonuçlar Şeil Şeil 8 de grafilerle verilmişir. Şeil -Şeil 4 de, av-avcı popülasyon yoğunluğunun zaman evrimi normal durum için cn ap, ablo dei başlangıç oşulları alında DTM, HPM ve VIM nin her biri ullanılara grafisel olara verilmişir. Bu durumda, her ii popülasyonunda mevcu olduğu faa zamanına bağlı olara av popülasyonunun azaldığı avcı popülasyonunun arığı gözlemlenmeedir. Diğer arafan, Şeil 5- Şeil 8 e adar avavcı popülasyon yoğunluğunun zaman evrimi açlı durumu için cn ap, ablo dei başlangıç oşulları alında DTM, HPM ve VIM nin her biri ullanılara grafisel olara verilmişir. Bu durumda her ii popülasyon da mevcu ve zamanı ile armaadır. Faa zamanı ile av popülasyon arış oranı, avcı popülasyonundan daha büyüür. (4.4.) ve (4.4.) denlemlerinin D.T.M, H.P.M ve V.I.M ile elde edilen çözümleri Maple programı ullanılara oluşurulan grafilerle aşağıdai gibi verilmişir.. durum ve ablo değerlerine göre; a) için, Tablo a b d r λ c c.5

44 36 Şeil a HPM Şeil b VIM Şeil c DTM b).8 için, Şeil a HPM Şeil b VIM

45 37 Şeil c DTM c).6 için, Şeil 3a HPM Şeil 3b VIM Şeil 3c DTM

46 38 d).4 için Şeil 4a HPM Şeil 4b VIM Şeil 4c DTM.durum ve ablo değerlerine göre; Tablo a b c d r 5 λ T 4 c.5 c 5

47 39 a) için Şeil 5a HPM Şeil 5B VIM b).8 için c).6 için

48 4 d).4 için Grafiler incelendiğinde, farlı dönüşüm meoları ullanılara elde edilen çözümler arasında bir benzerli gözlenmişir. Bu yönemlerden HPM ve DTM ile elde edilen sonuçlar birbirine daha yaın görülmee ien VIM ile elde edilen sonuçlar biraz daha farlılı gösermeedir. 6. Öneriler Kesirli merebeden diferansiyel denlemlere dayalı modellerin gelişim süreci farlı lineer olmayan fenomenlerin yalaşı anımını sağlama becerileri nedeniyle dinami sisemlerin incelenmesinde son zamanlarda popülerli azanmışır. Eoloji model araşırmacıları ve esirli hesap araşırmacıları bu alanlarda Brown hareeleri ve farlı esirli merebeden diferansiyel sisemlerin avanajlarını ullanara ve ayrıca Gomperz modeli üzerine yeni çalışmalar yapabilirler.

49 4 KAYNAKLAR A. Arıoğlu, I. Özol, Soluion of fracional differenial equaions by using differenial ransform mehod. Chaos, Solions & Fracals 34 (5) (7), Gulsu M.,Sezer M.,5,A Taylor polynomial approach for solving differenialdifference equaions, Journal of Comp. and Applied Mah.,86, Gulsu M.,Sezer M., Güney Z., 6,Approximae soluion of general high-order linear nonhomegeneous difference equaions by means of Taylor Collacaion mehod, Appl. Mah. Comp. 73, G. Ouranç, Y. Kesin,, Diferansiyel dönüşüm yönemiyle diferansiyel denlemlerin çözülmesi Konya Selçu Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü G. Ouranç, A. Kurnaz, Y. Kesin, A new analyical approximae mehod for he soluion of fracional differenial equaions. Inernaional Journal of Compuer Mahemaics 85 () (8), 3 4. He, J.H Variaional Ieraion Mehod A Kind Of Nonlinear Analyical Technique: Some Examples, In. J. Non-Linear Mech. 34, He,J.H. Newon-lie ieraion mehod for solving algebraic equaions, 998, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simula., 3 (), 6 9. Javidi M. 7, Ieraive mehods o nonlinear equaions, Applied Mahemaics and Compuaion, 93, K.B. Oldham, J Spanier, The Fracional Calculus. New Yor: Academic Press; Karamee A.,Sezer M.,,A Taylor Collacaion mehod for he soluion of Linear inegro differenial equaions, Inern. J. Compuer Mah,79(9),987- Kesin Yıldıray,5,Yüse Lisans ezi, Diferansiyel dönüşüm yönemiyle diferansiyel denlemlerin çözülmesi, Konya Selçu Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Kesin Y., Ouranç, G.,8, The differenial ransform mehods for nonlinear funcion and is applicaions,sjam Winer-Spring,Volume 9,Number,69-76

50 4 Kurnaz, A., Ouranç, G., Kiriş, M. E. 5, n dimensional differenial ransformaion mehod for solving PDEs, İnernaional journal of Compuer Mahemaics, 8,Number 3, Kurnaz, A., Ouranç, G. 5, The differenial ransform approximaion for he sysem of ordinary differenial equaion, Inernaional Journal of Compuer Mahemaics, 8, Number 6, 79-79() Lüleci A.,, Yüse Lisan Tezi, Kesirli basamaan bazı diferansiyel denlem modelleri, Anara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü N.T. Shawagfeh, Analyical approximae soluions for nonlinear fracional differenial equaions. Applied Mahemaics and Compuaion 3( 3) (), N.H. Sweilam, M.M. Khader, R. F. Al Bar, Numerical sudies for a muli-order fracional differenial equaion, Physics Leers A 37 ( ) (7), O. Abdulaziz, I. Hashim, S. Momani, Solving sysems of fracional differenial equaions by homoopy perurbaion mehod. Physics Leers A 37 (4) (8), S. Abbasbandy, An approximaion soluion of a nonlinear equaion wih Riemann Liouville's fracional derivaives by He's variaional ieraion mehod. Journal of Compuaional and Applied Mahemaics 7 () (7), Sema Servi, Diferansiyel Denlemlerin Nümeri Çözümleri Üzerine Farlı Yalaşımlar, Yüse lisans Tezi, Selcu Universiy,8, Konya. Sezer M., Karamee A.,Gulsu M.,5,Taylor polynomial soluions of sysems of linear differenial equaions wih variable coeffienciens, Inern. J. Compuer Mah,8(6), S. Momani, Z. Odiba, Numerical comparison of mehods for solving linear differenial equaions of fracional order. Chaos, Solions & Fracals 3 (5) (7), S.S. Ray, R.K. Bera, An approximae soluion of a nonlinear fracional differenial equaion by Adomian decomposiion mehod. Applied Mahemaics and Compuaion 67 () (5),

51 43 Swarnalı Sharma ve,g.p. Samana Analysıs Of A Predaor-Prey Populaıon Model Deparmen of Mahemaics Bengal Engineering and Science Universiy, Shibpur Howrah - 7 3, INDIA() Y. Hu, Y. Luo, Z. Lu, Analyical soluion of he linear fracional differenial equaion by Adomian decomposiion mehod. Journal of Compuaional and Applied Mahemaics 5 () (8), 9. Çenesiz, Yücel. Bagley-Torvi denleminin esirli diferensiyel dönüşüm meodu ile çözümü ve diğer yönemlerle arşılaşırılması. Diss. Selçu Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü, 7. Z. Odiba, S. Momani, Applicaion of variaional ieraion mehod o nonlinear differenial equaions of fracional order, In. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 7 () (6) 5 7. V.S. Erür, S. Momani, Solving sysems of fracional differenial equaions using differenial ransform mehod. Journal of Compuaional and Applied Mahemaics 5 () (8), 4 5. Y. Hu, Y. Luo, Z. Lu, Analyical soluion of he linear fracional differenial equaion by Adomian decomposiion mehod. Journal of Compuaional and Applied Mahemaics 5 () (8), 9. Z. Odiba, S. Momani, Applicaion of variaional ieraion mehod o nonlinear differenial equaions of fracional order, In. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 7 () (6) 5 7.

52 44 EKLER EK-

53 EK- 45

54 EK-3 46

55 EK-4 47

56 EK-5 48

57 EK-6 49

58 EK-7 5

59 5 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : Hülya ALTUNTAŞ Uyruğu : T.C Doğum Yeri ve Tarihi : KAYSERİ / hulal@gmail.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Biirme Yılı Lise : T.E.D Kayseri Koleji 995 Üniversie : Erciyes Üniversiesi, Kayseri Yüse Lisans : Selçu Üniversiesi, Konya İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görevi M.E.B (Meram Meslei ve Teni Maemai -5 Anadolu Lisesi) Öğremeni Maemai 5-Halen M.E.B (Karaay Anadolu Lisesi) Öğremeni UZMANLIK ALANI Uygulamalı Maemai YABANCI DİLLER İngilizce