tanımlı negatif değerler almayan bir fonksiyon olmak üzere, c 0 için P g( X ) c { g( x) c} { g( x) c} g( x) f ( x) dx c f ( x) dx c P( g( X ) c)

Transkript

1 . ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI.. İSTATİSTİKTE KULLANILAN BAZI EŞİTSİZLİKLER Olasılık ve statstkte eştszlkler öeml br yer tutar. Baze, olasılıkları ve rasgele değşke mometler hesaplaması zor olablr. Böyle durumlarda, olasılık ve mometler ç br alt veya üst sıır verlr....markov Eştszlğ br rasgele değşke g de g : taımlı egatf değerler almaya br foksyo olmak üzere, 0 ç P g( ) E g( ) dr. İspat: sürekl olsu (keskl durumda tegral yere toplam gelr). olasılık yoğuluk foksyou f( x ) olmak üzere, g ( ) beklee değer E g( ) g( x) f ( x) dx g( x) f ( x) dx g( x) f ( x) dx { g( x) } { g( x) } g( x) f ( x) dx f ( x) dx P( g( ) ) { g( x) } { g( x) } şeklde br eştszlk elde edlr. Burada, gx ( ) egatf olmaya değerler aldığıda, g( x) g( x) f ( x) dx f ( x) dx { g( x) } { g( x) } dr. Burada da, 0 ç E( g( )) P( g( ) ) şeklde araa eştszlk spat edlmş olur.

2 ...Chebyshev Eştszlğ rasgele değşke beklee değer, varyası solu olsu. 0 olmak üzere, Var( ) P( ) dr. İspat: Y ( ) olarak alısı. Bu durumda Y egatf değerler almaya br rasgele değşkedr ve E( Y) E( ) Var( ) olaur. Bua göre Markov eştszlğde, E( Y) Var( ) P( ) P( Y ) k alıırsa k olur. Burada, P( k) / k P( k) / k elde edlr. Chebyshev eştszlğ geellkle olasılıklar ç br alt veya üst sıır belrlemek ç kullaılır. Chebyshev eştszlğ br rasgele değşke ked ortalaması komşuluğuda buluması olasılığı ç, k P k k gb br sıır değer belrlemektedr. Öreğ, varyası var ola her hag br olasılık dağılımıda, Chebyshev eştszlğe göre

3 P( ) 0.75 dır. Öreğ, olduğuda, P( ) dır. Örek: rasgele değşke beklee değer 0 ve stadart sapmasıı 5 olduğu blyor. Bua gore aşağıdak olasılıklar ç br alt ve üst sıır belrleyz. a) P ( 0 veya 0)? b) P( 5 5)? a) P( 0 k ) / k 5 k olduğuda P ( 0 veya 0) durumu sağlaır. Bua göre, P( 0 5) / 4 şeklde br üst sıır belrler. b) Chebyhev eştszlğde P( k) / k olduğuda, P( 0 3 5) / 3 olup P( 5 5) / bçmde br alt sıır elde edlr. 3

4 .. ZAYIF BÜYÜK SAYILAR KANUNU,... bağımsız ve ayı ortalamalı varyaslı rasgele değşkeler se dır. Ya, bağımsız rasgele değşkeler, E ( ), olmak üzere, Var ( ) lm P dr ( olasılıkta ye yakısar). Bu Zayıf Büyük Sayılar Kauu olarak blr. Buu böyle olduğu gösterls. ler ortalaması, olmak üzere, E ve Var( ) olup, Chebyshev eştszlğde, P k P k k dr. s k olarak alıırsa e k 0 ç P bçmde elde edlr. Eştszlğ her k tarafıı ç lmt alıırsa, 4

5 lm P lm olup olasılık brde büyük olamayaağıda, elde edlr. lm P Örek.,...,,... düzgü br paraı ard arda atılışıda gele tura sayısıı (0 ya da tae) göstermek üzere Sayılar Kauu a göre b(, p ),,,3,... dağılımıa sahp olur. Zayıf Büyük deemedek başarı sayısı P p dr. İsteldğ kadar küçük e 0 değer ç, lm P dır.ya, düzgü br para atıldıkça gele tura sayısıı ortalaması / değere yakısar. Zayıf Büyük Sayılar Kauu u bu özel hal Beroull Büyük Sayılar Kauu olarak blr..3 MERKEZI LIMIT TEOREMI,... bağımsız ve ayı dağılıma (ayı beklee değer, varyas ) sahp rasgele değşkeler olmak üzere, 5

6 E( ) t z lm P t e dz Var( ) dır. Burada, Z N (0,) dr. Büyük ler ç, z P t e dz t ya, Z N (0,) olmak üzere P t P( Z t) dır. Bu şu demektr, yaklaşık olarak yapılable olasılık hesaplarıda, büyük ler ç, dağılım foksyou yere stadart ormal dağılımı dağılım foksyou alıablr. Hattâ dağılım foksyou yere N s m, ormal dağılımı dağılım foksyou alıablr. Örek: Düzgü br tavla zarıı 00 kez atılışıda gele okta sayılarıı toplamıı [340,360] aralığıda olması olasılığı edr? 00 P( )? P( x )

7 E ( ) Var( ) 35 olmak üzere, keskl dağılımlarda Merkez Lmt Teorem kullaablmek ç sürekllk düzeltmes dee aşağıdak şlem yapılmaktadır P( ) P( ) E( ) E( ) E( ) P( ) Var( ) Var( ) Var( ) P( Z ) P( Z 0.648) P(0 Z 0.648) ( ) = bçmde buluur. Düzgü br tavla zarıı =00 atılışıda gele okta sayısı toplamıı 350 olması olasılığı edr sorusu sorulduğuda sürekllk düzeltmese göre, P( 350) P( ) P( Z ) = P( 0.05 Z 0.05 ) P( Z 0.093) = değer buluur. 7