TMOZ TMOZ. Pólya nın Sayma Teorisi. 1. Isınma Problemleri. Eylül 2006 Saygın Dinçer

Transkript

1 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres Eylül 006 Saygı Dçer Bazı ombator problemlerde çözümler sayısı, problem sahp olduğu smetrde dolayı, drger. Pólya ı sayma teors bu tür ombator problemler ç müemmel ve shrl br yötem suar. 1. Isıma Problemler Kouya braz ısıma ç aşağıda problemlere baalım. Đl soru braz olay gb. Dğerler braz daha zor. 1. Beze C 6 H 6 formülüe sahp br myasaldır. 6 arbo atomu br hala etrafıda dzlmştr. Formülü C 6 H 4 Br ola br myasal elde etme ç tae brom (Br) atomu elerse, üç tae yapı mümüdür. Aşağıda formüllere sahp aç yapı mümüdür? (a) da beze halası etrafıa dzlmş ola dört hdroje, br lor ve br brom atomu vardır. (b) de hdroje, lor ve brom atomu; (c) de hdroje, br yot, br lor ve brom atomu vardır. Moleülü dödürme veya ters çevrme ye br myasal sayılmamatadır. a. C 6 H 4 ClBr b. C 6 H C lbr c. C6H IClBr. parçaya bölümüş br şert farlı re le aç farlı şelde boyaablr? Şert ters çevrldğde elde edle boyama farlı br boyama sayılmamatadır. Öre olara, aşağıda boyama farlı değldr. Kırmızı re ç K, Yeşl re ç Y ve Mav re ç M ullaalım : K Y K M K K M M K K M K Y K

2 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres 3. Özdeş 4 ırmızı, 3 yeşl ve 5 mav bocu le aç tae olye yapablrz? Özdeş bocu ve farlı re le aç tae olye yapablrz? Çözümlere geçmede öce smetr grupları ve otasyolarıı hatırlamata fayda var. 1. Smetr Gruplar elemalı br üme ed üzere 1-1 bütü döüşümler(permütasyoları) br grup oluşturur ve bu gruba S smetr grubu der. f S se x, x, K, x } ümes ed 1.3. Öerme : Ayrı çevrmsel çarpımı değşmeldr. { 1 üzere 1-1 br döüşümüdür. Bu durumda f ( x ) = x (1 ) se le veya le gösterelm. x f = x 1 1 x x K x K x 1 K f = 1 K x = x = x 1.1. Taım: 1,,..., ( > 1) farlı tam sayılar olsu. f = ( 1... ) le f( 1 ) =, f( ) = 3,..., f( ) = 1 ve 1,,..., de farlı tam sayısıı değştrmeye, ya f() = ola, sıra değşm döüşümüe (permütasyoua) uzuluğuda br çevrmsel der Öre : ( 1 3 5) S5 ç ( 13 5) = Orta elema buludurmaya çevrmsellere ayrı çevrmseller dyeceğz. S üzerde şlem bleşe şlemdr ve f, g S ç geel olara f o g g o f dr. Buda sora f o g yere fg yazacağız ve bua çevrmseller çarpımı dyeceğz Öre : (134)(5) = (5)(134) faat (143)(3) = (143) ve (3)(143) = (143). (143) ve (3) ayrı devrler olmadığıda değşmel değldr. Đlerde ullaacağımız otasyolarla lgl br sııtı yaşamaması ç aşağıda öreğ y alaşılması geremetedr. a b c d 1.5. Öre : A = {a,b,c,d} ümes üzerde taımlı permütasyouu ele alalım. d c b a Burada a, d ye ve d de a ya gdyor. Bu durum (ad) le gösterlr. b, c ye ve c de b ye gdyor. Bu da (bc) le gösterlr. Dolayısıyla yuarıda permütasyo (ad)(bc) ayrı çevrmseller a b c d çarpımı olara yazılır. Eğer br elema edse gderse e olur? permütasyoua c b a d baalım. b ye b ye gttğde bu durum (b) le gösterlr. Dolayısıyla bu permütasyo (ac)(b)(d) le gösterlr.

3 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres. Tasvr Edc Çözümler Pólya ı (shr) yötem ullamada da çözüleble br aç bast problemle başlayacağız. Problemler çözdüte sora shr yötem uygulayacağız, teğ göstereceğz faat (şmdl) bu yötem ede çalıştığıı açılamayacağız. Her durumda da ayı cevaba ulaştığımızı göreceğz..1. Şert Problem parçaya bölümüş br şert farlı re le aç farlı şelde boyaablr? Şert ters çevrldğde elde edle boyama farlı br boyama sayılmamatadır. Öre olara, aşağıda boyama farlı değldr. Kırmızı re ç K, Yeşl re ç Y ve Mav re ç M ullaalım : K Y K M K K M M K K M K Y K Eğer şert ters çevrldğde elde edle boyamayı ayı olara abul etseyd cevap açı olurdu. ( parçaı her br farlı re le boyaableceğde toplam farlı boyama mümü olurdu). Faat bu cevap ço büyü çüü şerd ters çevrdğmzde farlı br boyama elde etmyoruz. (Yuarıda şerde baalım KYKMKKM şelde boyalı şerd ters çevrdğmzde MKKMKYK şelde boyamayı elde ederz ve bu boyamalar brbrde farlı değldr). Đl baışta sa her şey defa saymışız gb görüse de öyle değldr. Buu böyle olmadığı ç şu öreğe baalım : Elmzde parçaya bölümüş br şert ve üç farlı re varsa toplam 3 = 9 farlı boyama mümüdür (Şerd ters çevrlme durumuu göz öüe almadı). Her boyamayı defa saymış olsaydı cevabımız 9/ olurdu. Burada problem bazı boyamaları brbr smetrğ olmasıdır. E so verdğmz örete 3 tae smetr boyama vardır. O zama smetr boyamalar harcde her boyama ere sayılmış olur. Bu yüzde, gerçe cevap smetr durumları sayısıa, smetr olmaya durumları sayısıı ye bölümüşüü elemesyle elde edlr. Ya, = Buu alımızda tutarsa problem çözümü ço zor değldr. Sadece smetr durumları sayısıı saymamız gereldr. Herhalde burada ufacı br problemmz olduğuu far etmşszdr. Elmzde şert çft sayıda mı yosa te sayıda mı parçaya bölümüştür? Bu probleme ufacı dedm, çüü : çft se, = m dyelm, m tae smetr durum; te se, x le göstereceğz. O halde ( te ya da çft olmasıda bağımsız olara ) smetr durumları sayısı : = m + 1 dyelm, m+1 tae smetr durum vardır. x tam değer ( +1/ ) Bu smetr boyamaları sayısı olduğuda, tüm boyamaları sayısı ( + 1/ ) ( + 1/ ) ( + 1/ ) + + =

4 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres Bu formülü orjal problemmzde = 5 ve = 3 alara uygularsa cevap 135 tr. Bua e olara aşağıdaler de doğru olduğuu otrol edz: 5 parça da yeşl le boyaacasa, 1 şelde yapablrz. 5 parça 3 ırmızı ve yeşl le boyaacasa, 6 şelde yapablrz. Buu görelm : 3 K ve Y ed aralarıda 5!/3!.! = 10 farlı şelde dzlrler. Smetr durum 10 + = farlı boyama olur. ırmızı, yeşl ve 1 mav le boyaacasa, 16 şelde yapablrz. vardır. YKKKY ve KYKYK. Dolayısıyla toplam 6 Şmd bu tür soruları çöze tasvr edc br yötem göstereceğz, faat bu yötem asıl ve ede çalıştığıı (şmdl) açılamayacağız. Boşua tasvr edc yötem demed. Şertte parçaları sahp olduğu permütasyoa baalım. Boyamış ola parçaları solda sağa doğru sırasıyla a, b, c, d ve e le gösterelm. Đ tae smetr şlem vardır : Olduğu gb bıra veya ters çevr. Çevrmsel otasyoda bular sırasıyla (a)(b)(c)(d)(e) ve (ae)(bd)(c) le gösterlr. (Bz Öre) Đl permütasyo 5 tae 1-çevrmsele, c permütasyo 1 tae 1-çevrmsele ve tae - çevrmsele sahptr. 1-çevrmsel ç f 1, -çevrmsel ç f yazalım. Eğer elmzde 3- çevrmsel olsaydı buu ç de f 3 ullaacatı vb. Söz ousu permütasyou şu şelde gösterelm : br tae de 1 1 f 5 f 1 ve 1 1 f f. Elmzde br tae f var. Çevrmsel des adıı vereceğmz aşağıda polomu yazalım : 5 f 1 ve Paydada elmzde toplam permütasyoları sayısıı ve payda 1 ler se o yapıya sahp permütasyoları sayısıı göstermetedr. Şmd aşağıda değşe değştrmey yapalım. Elmzde 3 re olduğu ç, f 1 yere (x + y + z) ve f yere (x + y + z ) yazalım. Öreğ, br de f 5 e sahp olsaydı buu yere de (x 5 + y 5 + z 5 ) yazardı. Bezer olara elmzde 3 yere 4 re olsaydı dördücü br blmeye daha ullaırdı ve bu durumda blmeyelermz x, y, z ve w olurdu. Değşe değştrm yaptıta sora : açarsa

5 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres Đşte shr buradadır. Açılımda bütü atsayıları toplarsa : = 135. Bütü boyamaları sayısı 135 tr! Daha btmed. 16xy z term atsayısı 16 ve br mav (x), ırmızı(y ) ve yeşl (z ) le yapableceğmz tüm boyamaları sayısı da 16 dır. Aslıda, tahm ettğz gb, (1) eştlğde tüm atsayıları toplama yere x = y = z = 1 alara ( ) / = (43 + 7) / = Kolyede Bocular Özdeş bocu ve farlı re le aç tae olye yapablrz? Elmzde dört tae bocu olsu. olyey dödürebleceğmz ç ırmızı, ırmızı, mav, mav dzlm ırmızı, mav, mav, ırmızı dzlm le ayıdır. Ayrıca, olye sadece bocularda yapıldığı ç, olyey ters çevreblrz. Böylece ırmızı, yeşl, sarı, mav dzlm mav, sarı, yeşl, ırmızı le ayıdır. Bldğmz sayma yötemleryle bu problem = ( re) ve = 4 (4 bocu) ç çözelm. Sora da Pólya ı yötem ullaara ayı souca ulaşacağımızı görelm. 4 bocu ve re(ırmızı, mav) le mümü ola tüm durumları lsteleyelm : KKKK, MMMM, KMMM, MKKK, KKMM, KMKM. Toplam 6 durum söz ousu. Şmd de Pólya ı yötem ullaalım : Bocuları oumlarıı a, b, c ve d le gösterelm. Kolyey ed üstüe resmede permütasyolar aşağıda verlmştr. (Buları otrol edz). (a)(b)(c)(d), (adcb), (ac)( bd), (abcd), (ad)(bc), (ac)(b)(d), (ab)(cd) ve (bd)(ac). Şmd çevrmsel des yazalım : tae -çevrmsele sahp üç tae permütasyo olduğuda f öüde atsayı 3 tür vb. f 1 = (x+y), f = (x + y ) ve f 4 = (x 4 + y 4 ) yazalım. Sadece re olduğu ç x ve y ulladı. Değşe değştrmeler yaptıta sora : açarsa x = y = 1 alara toplam 6 farlı boyamaı olduğuu görürüz. x ırmızı bocu ve y y mav bocu olara düşüürse, x 4 ü atsayısı (ya 1) dört bocuğu da ırmızıyla boyamaı sayısıı, x y öüde atsayı ola de ırmızı ve mav ulaara yapıla boyamaları sayısıı verr vb. Şmd braz daha lgç br şey deeyelm. Üç re olsaydı e olurdu? Reler ırmızı, yeşl, mav olsu ve bu reler ç sırasıyla K, Y, M yazalım.

6 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres Aşağıdaler otrol edz : Bocuları heps ayı re. KKKK gb. (3 şelde) Bocuları 3 taes ayı re ve dğer başa br re. KYYY gb. (6 şelde) Bocuları taes ayı re ve dğer s ayı re. KKMM, KMKM gb. (6 şelde) Bocuları taes ayı re ve dğer s farlı re. KKYM gb. (6 şelde) Toplam = 1 farlı boyama yapılablr. Yuarıda () eştlğe uygu olara çevrmsel des yazalım : x = y = z = 1 ç toplam boyamaları sayısı : (3) te fadey açarsa : Bu açılımda atsayıları yuarıda lsteyle arşılaştırıız. Bocu ve re sayısı az olduğuda tabr cazse parma hesabı yapma tab daha olaydır. Faat bocuları veya reler sayısı arttıça Pólya ı yötem ço daha çec olur. Đstersez buu br örele gösterelm. 17 bocu ve 4 tae re olsu. Çevrmsel des : w = x = y = z = 1 ç toplam boymaları sayısı Eğer özel br durumla lgleyorsa yuarıda P fades heps açma zoruda değlz. Öreğ, ırmızı, 4 mav, 3 sarı ve 8 yeşl bocu le aç tae 17 boculu olye yapablrz? sorusua cevap arıyorsa te yapmamız geree w x 4 y 3 z 8 l term atsayısıı hesaplamatır. Buu yapma ç elmzde ço değerl br araç var : Multom atsayıları formülü (bu aslıda bom atsayılarıı vere formülü geelleştrlmş haldr). (x + y), (x + y + z) ve (x + y + z + w) ç multom açılımlar aşağıda verlmştr: (Bom açılımı alışılmış bçmde br parça daha farlı verlmştr daha arışı versyolarıyla arasıda bezerlğ göreblmez ç).

7 / Türye Matemat Öğretmeler Zümres ırmızı, 4 mav, 3 sarı ve 8 yeşl bocu le elde edleblece 17 boculu olye sayısı bulablme ç (4) te fade payıda bulua üç terme bamalıyız. w x 4 y 3 z 8 l term atsayısıı arıyoruz. (w + x + y + z) 17 fades açılımıda aradığımız atsayı 17!/(!.4!.3!.8!) olacatır. 16(w 17 + x 17 + y 17 + z 17 ) açılımıda aradığımız term yotur. 17(w + x + y + z)(w + x + y + z ) 8 de se brc paratezde y y, c paratezde w x 4 y z 8 almalıyız ve bu da 8!/(1!.!.1!.4!) ere olur. Böylece aradığımız atsayı : Bu oşullara uygu tae olye yapılablr. Devam edece... TEŞEKKÜR Değerl frler paylaşa Hacettepe Üverstes Matemat Bölümü Araştırma Görevllerde Bület Saraç a teşeürlerm suarım. KAYNAKLAR 1.Davs, Tom, Pólya s Coutg Theory, Eylül 07, 006 tarh tbaryle stesde,. Çallıalp, Feth, Soyut Cebr-I,1981,