İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİCİLERİ MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING

Transkript

1 İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİİLERİ MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING NİLGÜN ÖGÜL Hacttp Ünivrsitsi Lisansüstü Eğitim-Öğrtim v Sınav öntmliğinin İSTATİSTİ Anabilim Dalı İçin Öngördüğü ÜSE LİSANS TEİ olarak haırlanmıştır. 7

2 Fn Bilimlri Enstitüsü Müdürlüğü'n, Bu çalışma jürimi taraından İSTATİSTİ ANABİLİM DALI 'nda ÜSE LİSANS TEİ olarak kabul dilmiştir. Başkan :... rd. Doç. Dr. aprak Aru ÖDEMİR Ü (Danışman) :.... Pro. Dr. Hüla ÇINGI Ü :... Doç. Dr. m ADILAR ONA Bu t.../.../... tarihind Enstitü öntim urulunca kabul dilmiştir. Pro.Dr. Erdm AGAN FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ

3 İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİİLERİ Nilgün Ögül Ö Bu çalışmada, iki sahalı örnklm öntmi tanıtılmış v bu örnklm öntmind kitl ortalaması tahmini için önriln çşitli oransal v rgrson tahmin dicilr inclnmiştir. Anı amanda bu tahmin dicilrin an v hata karlr ortalamaları ld dilmiştir. Önriln tahmin dicilr birbirlril karşılaştırılmış v hangi koşullar altında hangi tahmin dicilrin tkin oldukları araştırılmıştır. Saısal örnkt, Milli Eğitim Bakanlığı vrilri kullanılmıştır. 6 ılında ÖSS gör rlşn öğrnci saısı ilgilniln dğişkn (), ortaöğrtimdki okul saısı ilk ardımcı dğişkn (), ÖSS haırlık drsan saısı ikinci ardımcı dğişkn () olarak alınmıştır. Önriln tahmin dicilr için an v hata karlr ortalaması hsaplanmıştır. Çalışmanın son bölümünd is, saısal örnklrd ld diln sonuçlara bağlı olarak tahmin dicilrin tkinliklri il ilgili tartışma v orumlar apılmıştır. ANAHTAR ELİMELER: İki sahalı örnklm öntmi, ortalama, oransal tahmin dici, rgrson tahmin dicisi, ardımcı bilgi, tkinlik, an, hata karlr ortalaması. Danışman: Pro.Dr.Hüla Çıngı, Hacttp Ünivrsitsi, İstatistik Bölümü. i

4 MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING Nilgün Ögül ABSTRAT In this stud, two phas sampling is introducd and various man stimators ar studid. Also bias and man squar rror o ths stimators ar obtaind. Estimators ar compard with ach othr and th icint conditions ar invstigatd or ths stimators. In numrical ampl, th data, which ar takn rom Ministr o National Education, ar usd. stud variabl is th numbr o studnts who achivd to ntr th univrsit b OSS am in 6, auiliar variabl is th numbr o high schools and auiliar variabl is th numbr o prparation courss or OSS am. Bias and man squar rror ar calculatd or ths stimators. In th last sction o th stud, discussions and intrprtations ar givn rlatd to man squar rror and icincis o th stimators basd on th rsults o th numrical ampl. E WORDS: Two phas sampling, man, ratio stimator, rgrssion stimator, auiliar inormation, icinc, bias, man squar rror. Advisor: Pro. Dr. Hula ıngı, Hacttp Univrsit, Dpartmnt o Statistics ii

5 TEŞEÜR T çalışmam sürsinc bilgisini, dstğini, hoşgörüsünü bndn sirgmn v bana tin hr aşamasında görüşlril v lştirilril ol göstrn dğrli danışmanım Saın Pro. Dr. Hüla ÇINGI a, katkılarından dolaı Saın Doç. Dr. m ADILAR a, şkati v dstğil hr an anımda olan Saın Öğr. Gr. Dr. Srpil ATAŞ a, ardımlarını sirgmn Uman mal BİRİNİ, manvi dstğini sirgmn çalışma arkadaşlarıma, hr aman anımda olarak bana dstk olan AİLEM içtnlikl tşkkür drim. iii

6 İÇİNDEİLER DİİNİ Saa Ö i ABSTRAT...ii TEŞEÜR.. iii İÇİNDEİLER DİİNİ.iv ÇİELGELER DİİNİ...i SİMGELER VE ISALTMALAR DİİNİ... BİRİNİ BÖLÜM.GİRİŞ. İİNİ BÖLÜM.GENEL BİLGİLER..... öntmin Tanımı..... Bir Örnklmdn Çşitli Tahmin Edicilr.7...Basit tahmin oransal tahmin Doğrusal rgrson tahmini Tahmin Edicinin İstnn Ölliklri Tanım ansılık Etkinlik...4 ÜÇÜNÜ BÖLÜM. İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE ORANSALTAHMİNEDİİLER lasik Oransal Tahmin Edici iv

7 .. Basit Oransal Tahmin Edici...6. Srivastava Tahmin Edicisi hand Tahmin Edicilri hand tahmin dicisi hand tahmin dicisi-...5.irgra Oransal Tahmin Edicisi Upadhaa tahmin dicisi Singh v Upadhaa Tahmin Edicilri Singh v Upadhaa tahmin dicisi Singh v Upadhaa tahmin dicisi Singh v Upadhaa Tahmin Edicisi Singh v Upadhaa tahmin dicisi Singh Gnllştirilmiş Tahmin Edicisi Prasad, Singh v Singh Tahmin Edicilri Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi Singh v Espjo Tahmin Edicisi DÖRDÜNÜ BÖLÜM 4. İNİRLEME ÖRNELEME ÖNTEMİNDE REGRESON TAHMİN EDİİLERİ lasik Rgrson Tahmin Edici Mohant Tahmin Edicilri v

8 4... Mohant tahmin dicisi Mohant tahmin dicisi irgra Rgrson Tahmin Edicilri irgra rgrson tahmin dicisi irgra rgrson tahmin dicisi Ro Tahmin Edicisi....9 BEŞİNİ BÖLÜM 5. İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE TAHMİN EDİİ AİLELERİ Singh, Singh v Shukla Tahmin Edici Ailsi Singh, Upadhaa v handra Tahmin Edici Ailsi 95 ALTINI BÖLÜM 6.TAHMİN EDİİLERİN ARŞILAŞTIRILMASI Oransal Tahmin Edicilrinin arşılaştırılması Basit oransal tahmin dici il Srivastava tahmin dicisinin karşılaştırılması Basit oransal tahmin dici il hand tahmin dicisi- in karşılaştırılması Basit oransal tahmin dici il irgra oransal tahmin dicisinin karşılaştırılması hand tahmin dicisi- il irgra oransal tahmin dicisinin karşılaştırılması Upadhaa tahmin dicisi il irgra oransal tahmin dicisinin karşılaştırılması Singh v Upadhaa tahmin dicisi- il Singh v Upadhaa-tahmin dicisi- ün karşılaştırılması..8 vi

9 6..7. Singh v Upadhaa tahmin dicisi- il Singh v Upadhaa tahmin dicisi-4 ün karşılaştırılması Singh v Upadhaa tahmin dicisi- il Singh v Upadhaa tahmin dicisi-4 ün arşılaştırılması Singh v Upadhaa tahmin dicisi- il Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- in karşılaştırılması Singh v Upadhaa tahmin dicisi- il Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- ün karşılaştırılması Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- il Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- nin karşılaştırılması 6... Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- il Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- ün karşılaştırılması Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- il Singh gnllştirilmiş tahmin dicisi- ün karşılaştırılması irgra oransal tahmin dicisi il Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- in karşılaştırılması hand tahmin dicisi- il Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- in karşılaştırılması Upadhaa tahmin dicisi il Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- in karşılaştırılması Upadhaa tahmin dicisi il Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi - nin karşılaştırılması Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- il Prasad, Singh v Singh tahmindicisi- nin karşılaştırılması Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- il Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- ün karşılaştırılması Rgrson Tahmin Edicilrinin arşılaştırılması...6 vii

10 6... İki sahalı klasik rgrson tahmin dicisi il Mohant tahmin dicisi- in karşılaştırılması Mohant tahmin dicisi- il irgra rgrson tahmin dicisi- in karşılaştırılması irgra rgrson tahmin dicisi- il irgra rgrson tahmin dicisi- nin karşılaştırılması EDİNİ BÖLÜM 7.SAISAL ÖRNE Torik arşılaştırmaların Ugulamadaki Sonuçları...4 SEİİNİ BÖLÜM 8. SONUÇ VE TARTIŞMA.... ANALAR...6 viii

11 ÇİELGELER DİİNİ Saa Çilg.5.. Tahmin Edici Ailsind Eld Ediln Baı Tahmin Edicilr. Çilg (7.) 6 ılında ÖSS Gör rlşn Öğrnci Saısı, Ortaöğrtimdki Okul Saısı X, ÖSS Haırlık Drsan Saısı Dğişknlrin Ait itl Bilgilri..... Çilg (7.) 6 ılında ÖSS Gör rlşn Öğrnci Saısı, Ortaöğrtimdki Okul Saısı X, ÖSS Haırlık Drsan Saısı Dğişknlrin Ait Örnklm Bilgilri { ( n 765),(n447) } Çilg (7.) Tahmin Edicilrin Tahmin, an v Hata arlr Ortalaması Dğrlri v HO Sıralaması { ( n 765),(n447) }... Çilg(7.4) Ön v Alt Örnklm Büüklüklri... Çilg (7.5) Farklı Ön v Alt Örnklm Büüklüklri İçin Tahmin Edicilrin HO Dğrlri... i

12 SİMGELER VE ISALTMALAR DİİNİ B HO TE Xˆ O Ç itl Rgrson atsaısı Hata arlr Ortalaması Tahmin Edici X Dğişkni için itl Ortalaması Tahmini Oransal Tahmin Edici Çarpımsal Tahmin Edici SO İki Sahalı Oransal Tahmin Edici SÇ İki Sahalı Çarpımsal Tahmin Edici BO Basit Oransal Tahmin Edici s Srivastava Tahmini Edicisi hand Tahmin Edicisi- hand Tahmin Edicisi- U irgra Oransal Tahmin Edicisi Upadhaa Tahmin Edicisi SD Sisodia v Dwivdi Tahmin Edicisi * Sarl Tahmin Edicisi us Upadhaa v Singh Tahmin Edicisi- us Upadhaa v Singh Tahmin Edicisi- su Singh v Upadhaa Tahmin Edicisi- su Singh v Upadhaa Tahmin Edicisi- su Singh v Upadhaa Tahmin Edicisi- su4 Singh v Upadhaa Tahmin Edicisi-4 () sg Singh Gnllştirilmiş Tahmin Edicisi- ( ) sg Singh Gnllştirilmiş Tahmin Edicisi- ( ) sg Singh Gnllştirilmiş Tahmin Edicisi- sg Singh GnllştirilmişTahmin Edicisi Prasad, Singh v Singh Tahmin Edicisi-

13 (,β ) Prasad, Singh v Singh Tahmin Edicisi- (,β,γ ) Prasad, Singh v Singh Tahmin Edicisi- oç Singh v Espjo Tahmin Edicisi SR İki Sahalı lasik Rgrson Tahmin Edicisi M Mohant Tahmin Edicisi- M Mohant Tahmin Edicisi- irgra Rgrson Tahmin Edicisi- irgra Rgrson Tahmin Edicisi- R Ro Tahmin Edicisi SSS Singh, Singh v Shukla Tahmin Edici Ailsi t t t Singh, Upadhaa v handra Tahmin Edici Ailsi- Singh, Upadhaa v handra Tahmin Edici Ailsi- Singh, Upadhaa v handra Tahmin Edici Ailsi- i

14 BİRİNİ BÖLÜM. GİRİŞ İnsanların mantıkları ardımıla bir karar vrmk amacıla kullandıkları öntmlrdn biri örnklm öntmidir. Günümüd, iik, kima, bioloji gibi n dallarında, çşitli mühndislik dallarında, tıp, ca, diş gibi sağlık bilimlri v sosal bilimlrd apılan pk çok araştırmada; kamuou oklamalarında v paarlama araştırmalarında, örnklm öntmindn ararlanılır (Çıngı, 994). Araştırma sonuçlarının gçrli, güvnilir v kullanılabilir olması için vrilrin toplandığı kitlnin ölliği çok önmlidir. En doğru sonuç, aranan bilginin ld dilcği kitlnin tümündn ld diln sonuçtur. Ancak hr aman bu olanaklı dğildir. Öllikl kitl çok büük olduğunda bunu apmak son drc ordur. Bunun için araştırmacılar kitlnin tümünü inclmk rin blirli bir örnklm ürind çalışmak orundadırlar. Ancak baı örnklmlr kitli tümül tmsil drkn baı örnklmlrd bu tmsil oktur. Örnğin bir damla kan vücuttaki bütün kanı tmsil dbilir, ancak bir okuldan sçiln öğrnci tüm okulu tmsil tmbilir. Bu ndnl kişilrin nasıl sçildiği çok önmlidir. Örnklm sürci, örnklm çkimi v tahmin olmak ür iki ksim arılmıştır. Araştırmalarda amaç, ii bir örnklm il ansı, tutarlı v duarlı tahminlr apabilmktir. İi bir örnklm, kitl n ugun örnklm öntminin blirlnmsindn sonra bu öntm gör örnklm büüklüğünün saptanmasıla ld dilbilir. Ugun örnklm öntminin blirlnmsi paramtr ilişkin örnklm varansının n küçük apılmasıla mümkündür. Bu ndnl ugun örnklm öntminin sçimi istatistikt önmli bir r tutar (Çıngı, 994).

15 Bu t çalışmasında amaç, iki sahalı örnklm öntmind apılan çşitli ortalama tahmin dicilrini tanıtmak, bu tahmin dicilrin anlarını v hata karlr ortalamalarını (HO) inclmk, bu tahmin dicilri birbirlril karşılaştırmak v arıca saısal örnklr vrrk konunun daha ii anlaşılmasını sağlamaktır.

16 İİNİ BÖLÜM. GENEL BİLGİLER.. öntmin Tanımı N birimdn oluşan sonlu bir kitld kitl ortalaması tahmin dilmk istnsin. itl ortalaması birçok tahmin öntmil tahmin dilbilir. Basit tahmin bilinn n klasik tahmin öntmidir. İlgilniln dğişkn il üksk ilişkili olan bir ardımcı dğişknin kullanılmasıla tahminlr daha duarlı olmaktadır. ardımcı dğişkn bilgisi oransal, rgrson v çarpımsal tahmin dicilrd kullanılır. Ancak baı araştırmalarda, ardımcı dğişkn ait kitl bilgisin ulaşılamaabilir. Bu durumda iki sahalı örnklm öntmi kullanılır. Bu öntm, ardımcı dğişkn ait kitl bilgilrinin ld dilmsind, hm ugulama bakımdan hm d düşük malitli olması bakımından trcih diln bir örnklm öntmidir. Bu örnklm öntmind amaç, ilk örnklm ardımıla X ardımcı dğişknin ait kitl bilgilrinin n tkin şkild tahminini sağlamak v ikinci sahada sçiln alt örnklmd n tkin tahminini ld tmktir. Bu bakımdan örnklmlrin sçim öntmi çok önmli rol onamaktadır. Bu örnklm öntmi iki sahada grçklşir. İlk sahada X dğişknin ait bilgilrin tahmini için bir örnklm sçilir. Birinci sahada sçiln örnklm ön örnklm (primar-sampl) dnir v s il iad dilir. Ön örnklm, N büüklüğündki kitldn ugun bir örnklm öntmil rin konularak a da konulmadan sçilir v n ( n < N) birimdn oluşur. s örnklmi tamamn X dğişkninin bilgilrinin tahminind kullanılan örnklmdir. X dğişkninin bilgilrinin tahminind ikinci bir ardımcı dğişkn () kullanılabilir. Ön örnklmd X v dğişknlri gölnir. Ön örnklm n kadar büük olursa tahminlrin duarlılığı v doğruluğu o kadar çok artmaktadır. Bu üdn sçim aşamasında ön örnklm büük tutulmaa çalışılır.

17 X dğişknin ait grkli bilgilrin tahmin dilmsindn sonra ikinci sahaa gçilir. İkinci sahada, dğişkninin kitl ortalaması, birinci sahada ld diln X ardımcı dğişkninin bilgilri ardımıla tahmin dilir. İkinci sahada dğişkninin tahmini için bir örnklm sçilir. İkinci sahada sçiln örnklm alt örnklm (sub-sampl) dnir v s il iad dilir. Alt örnklm, ön örnklmdn ugun bir örnklm öntmil rin konularak a da konulmadan sçilir v n ( n n ) < birimdn oluşur. Bu durumda iki örnklm birbirin bağımlı olarak sçilmiş olur. Alt örnklmin büüklüğü d tahminlrin duarlılığı v doğruluğu bakımından çok önmlidir. Örnklm sçimlrind dikkat dilmsi grkn n önmli nokta örnklm büüklüklridir. Hr iki örnklmin büüklüğünün n kadar olması grktiği kararı tahminlrin duarlılıklarında önmli bir tki aratacaktır. Alt örnklm büüklüğü ön örnklm büüklüğündn ala olmamalıdır. Ön örnklm n kadar büük olursa tahminlrin duarlılığı da o kadar ala olacaktır. Bu üdn grk ön örnklmin grks alt örnklmin sçilmsind örnklmlrin büüklüğü, örnklmlrin hangi örnklm öntmil sçilcği v hangi tahmin dicilrin kullanılacağı, tahminlrin duarlılığı v doğruluğu açısından çok önmli olmaktadır. Bu çalışmada ön v alt örnklmlr rin konmadan basit rasgl örnklm il sçilcktir. İki sahalı örnklm öntmind ön v alt örnklm sçimi Şkil.. d göstrildiği gibi olmaktadır. 4

18 N n n X v dğişknlri gölnir. X, v dğişknlri gölnir Şkil.. : İki Sahalı Örnklm öntmind Örnklm Sçimi İki sahalı örnklm öntmind, alt örnklmin ön örnklmdn bağımsı olarak sçildiği durum da sö konusudur. Bu durumda, ön örnklm v alt örnklm kitldn ugun bir örnklm öntmil rin konularak a da rin konulmadan sçilir. Dolaısıla hr iki örnklm d bağımsı olarak sçilir (Diana v Tommasi, 4). Ancak bu durum çok agın olmaan bir durum v ilk duruma gör ugulaması daha or v daha masralıdır. Bu üdn iki sahalı örnklm öntmind, alt örnklmin kitldn sçildiği durumda önriln tahmin dicilr sınırlıdır. İki sahalı örnklm öntmi ilk k 98 ılında Nman taraından ugulanmıştır (Singh, ). Mohant(967), oransal v rgrson tahminlrini iç iç kullanarak incirlm rgrson tahmin dicilri önrmiştir. hand(975), oransal v çarpımsal tahmin dicilri iç iç kullanarak çşitli incirlm oransal tahmin dicilr önrmiştir. 5

19 irgra (98, 984),hand ın önrmiş olduğu tahmin dicilri gliştirrk iç iç oransal-rgrson v rgrson-rgrson incirlm tahmin dicilr önrmiştir. Singh, Singh v Shukla (994), iki sahalı örnklm öntmind kitl ortalaması için bir tahmin dici ailsi önrmişlrdir. Bu tahmin dici ailsind iki ardım dğişkn kullanılmıştır. Singh v Upadhaa (995; ), çşitli incirlm oransal tahmin dicilr önrmişlrdir. Sarl (964), Sisodia v Dwivdi (98), Singh v ahran (99), Upadhaa v Singh (999) tahmin dicilrini gliştirrk iki sahalı örnklm öntmind çşitli oransal tahmin dicilr önrmişlrdir. Singh (), Singh v Upadhaa (995, ) tahmin dicilrind dğişim katsaısı rin standart sapma bilgisini kullanarak ni tahmin dicilr önrmişlrdir Prasad, Singh v Singh (), Srivnkataramana v Trac (98, 98) nin önrdiği dönüşümü kullanarak altrnati bir incirlm oransal tahmin dici önrmişlrdir. Anı amanda, Walsh (97) v Rdd (974) nin önrdiklri tahmin dicilri gliştirrk ni bir incirlm tahmin dici daha önrmişlrdir Ro (), iki ardımcı dğişkn kullanarak ansı bir incirlm rgrson tahmin dicisi önrmiştir. Singh, Upadhaa v.handra (4), iki sahalı örnklm öntmind kitl ortalaması için üç tan tahmin dici ailsi önrmişlrdir. Singh v Espjo(7), Singh v Espjo () oransal-çarpımsal tahmin dicisini gliştirrk ni bir tahmin dici önrmişlrdir. Hartl v Ross (954), Srivastava, Srivastava v har (989), Srivnkataramana v Trac (989), Sahoo v Sahoo (99), Ahmd (998), Upadhaa v Srivastava 6

20 (), handra v Singh (), Diana v Tommasi (, 4) iki sahalı örnklm öntmind tahmin dicilr önrn diğr araştırmacılardır. Td, iki sahalı örnklm öntmind, kitl ortalamasının tahminind kullanılan tahmin dicilr tanıtılmış, bu tahmin dicilrin anı v hata karlr ortalamaları hsaplanmıştır. Arıca, tahmin dicilr, ugun tahmin dicilrl karşılaştırılmış v hangi koşullar altında bu tahmin dicilrin daha tkin oldukları bulunmuştur. Bu çalışmada iki sahalı örnklm öntmind, ön v alt örnklmin şit olasılıklı, rin konmadan basit rasgl örnklm il sçilmsi durumunda, kitl ortalaması için gliştirilmiş tahmin dicilr inclncktir v bu tahmin dicilr tkinlik önündn karşılaştırılacaktır. Arıca ugun bir vri kümsi sçilrk, bu tahmin dicilrl ilgili saısal bir örnk apılacaktır. Saısal örnkt tahmin dicilr, tkinlik açısından inclncktir... Bir Örnklmdn Çşitli Tahmin Edicilr... Basit tahmin Sonlu büüklüktki kitldn n büüklüğünd hrhangi öntml bir örnklm sçilsin. N birimdn oluşan sonlu bir kitldki kitl ortalaması tahmin dilmk istnsin. kitl ortalaması için bilinn n klasik tahmin basit tahmin öntmidir. Basit tahmin, tahmin dilmk istnn dğişknin örnklm ortalaması şklind vrilmktdir. kitl ortalaması için basit tahmin, n i i n (.) şklinddir. 7

21 ... Oransal tahmin Sonlu büüklüktki kitldn n büüklüğünd hrhangi öntml bir örnklm sçilsin. Örnklm birimlrinin iki ölçümü i v i il göstrilbilir. Eğr i i oranı örnklm birimindn örnklm birimin ala dğişknlik göstrmiorsa, bunların örnklm toplamları oranı da örnklm uaının hr bir noktasından diğr noktasına ala bir dğişknlik göstrm. İki dğişkn arasındaki ilişki başlangıç noktasından gçn bir doğru dnklmil göstrilbilir is, bu durumda bu dğişknlrdn biri ardımıla diğri tahmin dilbilir. Böl bir tahmin oransal tahmin adını alır. Burada, ortalaması tahmin dilck dğişkn, ardımcı dğişkn X olsun. Oransal tahminin apılabilmsi için ardımcı dğişkn ait kitl ortalamasının bilinmsi grkir. Eğr bilinmior is, kitl ortalaması iki sahalı örnklm il tahmin dilbilir. Oransal tahmin iki dğişkn arasındaki ilişkinin poiti olduğu durumda kullanılan bir tahmindir. Eğr iki dğişkn arasındaki ilişki ngati is çarpımsal tahmin kullanılır (Çıngı,994). ardımcı dğişkn kitl ortalamasının bilindiği durumda, iki dğişkn arasındaki ilişkinin poiti v ngati olduğu durumlarda oransal v çarpımsal tahminlr sırasıla, X O, (.) Ç (.) X şklinddir. ardımcı dğişkn kitl ortalamasının bilinmdiği, iki dğişkn arasındaki ilişkinin poiti v ngati olduğu durumlarda oransal v çarpımsal tahminlr sırasıla, 8

22 Xˆ SO (.4) SÇ (.5) Xˆ şklinddir. Burada, n i dğişkninin örnklm ortalaması, (.6) n i n i X ardımcı dğişkninin örnklm ortalaması, (.7) n i N X i X ardımcı dğişkninin kitl ortalaması, (.8) N i Xˆ n n i i X ardımcı dğişkninin kitl ortalamasının tahminidir. (.9) Xˆ tahmini, çşitli tahmin dicilr v çşitli örnklm öntmlri kullanılarak n tkin şkild ld dilm çalışılır. Bu ndnl bu tahminin ld dilcği ön örnklmin sçim öntmi v kullanılan tahmin dici çok önmlidir. Ön örnklmin sçimi basit rastgl örnklm, gnişliğ orantılı olasılıklarla küm örnklmsi gibi çşitli örnklm öntmlri kullanılarak grçklştirilbilir. Xˆ tahmini, oransal, çarpımsal, v aşağıdaki bölümd anlatılacak olan rgrson tahmin dicilrl v bu tahmin dicilrin iç iç kullanıldığı tahmin dicilrl ld dilbilir. 9

23 Xˆ tahmini iln bölümlrd daha arıntılı şkild vrilcktir.... Doğrusal rgrson tahmini Rgrson tahmin, i v i arasındaki ilişki hrhangi bir doğru dnklmil göstrilbilir is, duarlılığı artırabilmk için başvurulan bir öntmdir. alnıca iki dğişknin ilişkisindn ararlanılarak bir tahmin apılırsa, bu tahmin doğrusal rgrson tahmin; ikidn ala dğişknin ilişkisindn ararlanılarak apılan tahmin d çoklu rgrson tahmin dnilir. N büüklüğünd bir kitldn n büüklüğündki bir örnklm basit rastgl örnklm il sçilsin. i v i il göstriln iki dğişkn arasındaki ilişki, dülm ürind bir doğru il tmsil dilbilior is, i-inci örnklm birimin gör bu doğrunun ğimi, b i (.) i olur. Burada, i bağımlı, i bağımsı dğişkn olarak alınmaktadır. Buna gör doğrunun dnklmi, i ( ) b (.) i şklind ld dilir. Bnr şkild i nin kitl ortalaması nin doğrusal rgrson tahmini, dr ( X ) b (.) apılabilir. Bu şitlikt b, örnklmdn n küçük karlr öntmil tahmin diln rgrson katsaısı olup,

24 ( i ) i b n (.) ( i )( i ) i n şklinddir (Çıngı, 994)... Tahmin Edicinin İstnn Ölliklri.. Tanım N birimli bir kitldn n birimli k saıda örnklm sçilsin. Sçiln örnklm il tahmin dilck kitl paramtrsi θ olsun; kullanılacak tahmin dici θˆ is, sçilck örnklm bağlı olarak k adt arklı tahmin apılabilcktir. Örnk No Tahmin θˆ θˆ θˆ.... k θˆ k

25 θˆ ların bklnn dğri kitl paramtrsi θ nın dğrin şit olacaktır. E ( θˆ ) θ (.4) θˆ ların varansı, Var () θˆ E[ θˆ E() θˆ ] (.5) şklinddir. itl paramtrsi θ il θˆ ların bklnn dğri birbirin şit olmaabilir. Bu durumda aradaki ark an (bias) olarak adlandırılır. an E( θˆ ) θ (.6) şklinddir. Örnklm hatası is andan arklı bir kavramdır v tahmin dici il kitl paramtrsinin grçk dğri arasındaki arktır. Örnklm Hatası θˆ θ (.7) şklinddir. Farklı örnklmlrdn tahmin dilbilck θˆ lar bir dağılım oluştururlar. Bu dağılım için varansa bnr bir ölçü kullanılmaktadır. Hata karlr ortalaması olarak adlandırılan bu ölçü, θˆ lar il θ arasındaki arkların karlrinin bklnn dğridir. Bu tanıma gör hata karlr ortalaması,

26 HO () θˆ E( θˆ θ) (.8) olarak iad dilir. Eşitlik (.8) dki iad ± E( θˆ ) klnrk açılırsa, [ E() θˆ ] [ E() θˆ θ] HO E θˆ (.9) bulunur. Eşitlik (.9) un sağ taraındaki ilk iad θˆ nın varansına, ikinci iad is anın karsin şittir. ( θˆ ) (an) HO Var (.) Varans aritmtik ortalama traındaki dağılımın, hata karlr ortalaması is, kitl paramtrsinin grçk dğri traındaki dağılımının ölçüsüdür. Ancak anın sıır olması durumunda, ( θˆ ) HO( θˆ ) Var olacaktır. itl paramtrsi θ nın tahmini için sçilck n birimli örnklmdn arklı tahmin dicilr kullanılarak arklı tahminlr apılabilir. Burada önmli olan n ii sonucu vrck tahmin dicinin kullanılmasıdır. En ii tahmini sağlaacak tahmin dicinin baı ölliklri taşıması grkmktdir. Bu ölliklr şunlardır.

27 ... ansılık (Unbias ) an θˆ nın bklnn dğri il θ arasındaki ark olarak tanımlanmıştı. Buna gör θˆ nın θ nın ansı tahmin dicisi olabilmsi için E ( θˆ ) il θ arasındaki ark sıır olmalıdır. Diğr bir iad il E ( θˆ ) θ olmalıdır.... Etkinlik ( Eicinc ) itl paramtrsinin tahmini için birdn ala ansı tahmin dici blirlnbilir. Bu durumda, bu tahmin dicilrdn hangisinin kullanılması il daha ii tahmin apılabilcğini blirlmk için tahmin dicilrin varansları blirlnir. Etkinlik, ansı tahmin dicilrin varansları il ilgili bir kavramdır. Bilindiği gibi, birdn ala srinin ortalamaları birbirin akın va şits dağılımların birbirindn arkını ortaa komak için baı ölçülr hsaplanır. Bu ölçülrdn n çok kullanılanı varanstır. Varansı küçük olan srid aritmtik ortalama traında daha oğun bir dağılım olduğu anlaşılır. Burada, konu kitl paramtrsinin grçk dğrin daha akın tahminlr ld tmk olduğuna gör, tkinliğin ölçüsü hata karlr ortalamasıdır. Birdn ala ansı tahmin sökonusu olduğunda, bunlardan hata karlr ortalaması küçük olan tahmin dici kitl paramtrsinin grçk dğri traında daha oğun bir dağılım göstrdiğindn, bu tahmin dicinin trcih dilmsini grktirmktdir. Hata karlr ortalamasının varans il anın karsi toplamına şit olduğu hatırlanırsa, ansı tahmin dicilr sö konusu olduğundan hata karlr ortalaması varansa şit olacaktır. Bu ndnl varansı küçük olan tahmin dicinin trcih dilmsi il hata karlr ortalaması küçük olan tahmin dici trcih dilmiş olur. 4

28 apılan bu açıklamalar tkinlik için iki şart aranması grktiğini ortaa komaktadır. ) θˆ, θ nın ansı tahmin dicisi is, ) ( θˆ ) Var( θ) Var is θˆ, θ nın tkin tahmin dicisidir. Burada θ, kitl paramtrsi θ nın θˆ tn arklı diğr ansı tahmin dicilrini iad tmktdir. Etkinlik il ilgili olarak buraa kadar apılan açıklamalar, tkinliğin görli bir kavram olduğunu ortaa komaktadır. Ancak birdn ala tahmin dici olması durumunda tkinliktn sö dilbilir v varansı küçük olan tahmin dicinin daha tkin olduğu sölnbilir (Turanlı v Güriş, ). 5

29 ÜÇÜNÜ BÖLÜM. İİ SAFHALI ÖRNELEME ÖNTEMİNDE ORANSAL TAHMİN EDİİLER.. İki Sahalı lasik Oransal Tahmin Edici N birimli sonlu bir kitldn rin konmadan basit rastgl örnklm il n birimli bir ön örnklm sçilsin. Bu ön örnklmd dğişkninin kitl ortalaması tahmin dilsin ( Xˆ ). Ön örnklmd dğişkninin kitl ortalamasının tahminind X dğişkni il ilişkili olan ikinci bir ardımcı dğişkni kullanılabilir. X il dğişkni arasındaki korlason katsaısı, X il dğişkni arasındaki korlason katsaısından küçük olacak şkild ikinci ardımcı dğişkninin sçilmsi grkir. Daha sonra dğişknin kitl ortalamasının tahmini için ön örnklmdn n birimli bir alt örnklm daha sçilsin. Bu alt örnklmd, X v dğişknlri tahmin dilrk oransal tahmin apılabilir. Buna gör kitl ortalaması tahmini için iki sahalı klasik oransal tahmin dicisi şu şkild vrilir: Xˆ SO (. ) Xˆ tahmini ön örnklmdn Bölüm (.) d anlatılan ollarla tahmin dilrk çşitli incirlm oransal tahminlr ld dilbilir... Basit Oransal Tahmin Edici Ön örnklmd X dğişkninin kitl ortalaması basit olla tahmin dilrk ( Xˆ ) Eşitlik (.) rin konulur. Bu tahmin dici basit oransal tahmin dici adı vrilir v BO olarak göstrilir. kitl ortalaması tahmini için basit oransal tahmin dici, BO (.) 6

30 olarak vrilir (Ro, ). Burada,, X ardımcı dğişkninin ön örnklm ortalaması, (.) n n i i v sırasıla v dğişkni için alt örnklm ortalamalarıdır. BO tahmin dicisinin anını v hata karlr ortalamasını ld tmk için ark öntmindn ararlanılır. Fark öntmi Fark öntmi, doğrusal olmaan tahmin dicilrin an v hata karlrini bulmada kullanılan bir öntmdir. Bu öntmd tahmin dici, örnklm dğri il paramtr dğrlri arasındaki arklardan ararlanarak nidn oluşturulur. lasik basit oransal tahmini için ark öntmind, ( ), X X X( ) ; X X X( ) (.4) şklind dğrlr tanımlanır. Tahmin dicidki dğişkn saısı kadar ark trimlri tanımlanır. Bu dğişknlrin bklnn dğrlri { ( )} v kovaransları { ( )} E, karlrinin bklnn dğrlri { E ( i )} i E i j aşağıdaki şkilddir: ( ) E( ) E( ) E (.5) 7

31 8 ( ) S E E ( ) S X X X E E ( ) S X X X E E (.6) ( ) S X X X E E ( ) S X X X E E ( ) S XX X X X X E E. (.7) N n : alt örnklm için örnklm oranı N n : ön örnklm için örnklm oranı (.8) ( )( ) ( ) ( ) N i N i i i N i i i X X :X il arasındaki kitl korlason katsaısı (.9) X S : X il arasındaki kitl dğişim katsaısı S : dğişkni için dğişim katsaısı,

32 S : X dğişkni için dğişim katsaısı, (.) X BO tahmin dicisi Eşitlik (.4) tki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, BO ( ) ( ) ( ) X X BO ( )( )( ) (.) şklind ld dilir (Çıngı, 4 Drs Notları). ( ) İadsi binom srisi açılımından bulunur. < koşulu altında binom srisi n ni i n ( ) n i i ( n i) n i n! n n!i! n n n n ( )( n )...{ n ( i ) } i! n... n n n n n (.) (.) olarak ld dilir (İnal v Güna, 978 ). Eşitlik (.4) t rin, rin, n rin - aılırsa ( ) koşulu altında aşağıdaki gibi açılır : trimi, < ( ) i i i ( )... (.4) Bu şitlikt.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, 9

33 ( ) (.5) olarak ld dilir. Eşitlik (.5), Eşitlik (.) t rin konulup çarpımlar apılırsa, ( )( )( ) BO [ ] BO (.6) olarak bulunur. Eşitlik (.6) da.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, [ ] BO (.7) olarak ld dilir. BO tahmin dicisinin anı, ( ) ( ) E an BO BO ( ) [ ] BO E E (.8) olarak bulunur. Eşitlik (.8) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7) rin konulursa, BO tahmin dicisinin anı, ( ) [ ] BO an ( ) ( ) [ ( ) ] BO an

34 ( ) [ ] an BO an an ( ) BO ( ) ( ) BO (.9) olarak ld dilir. Burada, ( ), dir. BO tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) BO BO ( ) E[ ] HO (.) BO şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, ( ) E[ ( )] HO (.) BO olarak ld dilir. Eşitlik (.) d; Eşitlik (.6) v Eşitlik (.7) rin konulursa, BO tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO HO ( ) [ ( )] BO ( ) [ ( ) ( ) ] BO

35 HO HO ( ) BO ( ) [ ( )] BO (.) olarak ld dilir... Srivastava Tahmin Edicisi Srivastava (97), klasik basit oransal tahmin dicii gliştirrk ni bir tahmin dici önrmiştir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici: s (.) şklinddir. Burada, sabit bir katsaıdır. s tahmin dicisi Eşitlik (.4) tki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, s ( ) X X ( ) ( ) s ( )( )( ) (.4) şklind ld dilir. Bu şitliktki iadlr Eşitlik (.) dn ararlanarak açılırsa, ( ) ( )... (.5) ( ) ( )... (.6)

36 olarak bulunur. Eşitlik (.5) v Eşitlik (.6) da.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs ( ) ( ) (.7) ( ) ( ) (.8) olarak ld dilir. Eşitlik (.7) v Eşitlik (.8), Eşitlik (.4) d rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, s s ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) (.9) olarak ld dilir. s tahmin dicisinin anı, an ( ) E( ) s s ( ) [ E s ( ) ( ) E (.) olarak bulunur.

37 4 Eşitlik (.) da; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7) rin konulursa, s tahmin dicisinin anı, ( ) [ ( ) ( ) s an ( ) ( ) [ ( ) ( ) s an ( ) ( ) s an ( ) ( ) s an (.) olarak ld dilir. s tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, ( ) ( ) s s E HO ( ) [ ( ) ( ) s E HO (.) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, ( ) [ ( )] s E HO (.)

38 olarak ld dilir. Eşitlik (.) d; Eşitlik (.6) v Eşitlik (.7) rin konulursa, hata karlr ortalaması, s tahmin dicisinin HO HO ( ) [ ( )] s ( ) [ ( ) ( ) ] s HO ( ) s HO ( ) [ ( )] s (.4) olarak ld dilir. Önriln tahmin dicid, dğrinin optimum dğrinin bulunmasıla hata karlr ortalamasının minimum dğri bulunabilir. Bu minimum dğr, HO sının optimum dğri bulunmak istnn dğr gör türvinin alınıp sııra şitlnmsil bulunur. [ { }] [ HO( )] ( ) s [ ( )] HO s (.5) Eşitlik (.5) dn, (.6) 5

39 olarak bulunur. dğri, Eşitlik (.) d rin konulursa s tahmin dicisinin anı, an ( ) [ ( ) ( ) ] (.7) min s olarak bulunur. dğri, Eşitlik (.4) t rin konulursa ortalaması, s tahmin dicisinin hata karlr HO min ( ) [ ] s (.8) olarak ld dilir..4 hand Tahmin Edicilri hand (975), iki sahalı örnklm öntmind iki tahmin dici önrmiştir. Bunlardan biri incirlm oransal tahmin dici v diğri incirlm çarpımsal tahmin dicidir.4. hand tahmin dicisi- hand (975), iki ardımcı dğişkn kullanarak incirlm oransal tahmin dici önrmiştir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici, (.9) şklinddir. Önrdiği tahmin dicid kitl ortalaması X ön örnklmdn ikinci bir dğişkn ardımıla oransal olla tahmin dilmiştir. v ön örnklm ortalamaları; v 6

40 7 alt örnklm ortalamalarıdır., ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. tahmin dicisind ikinci bir ardımcı dğişkn kullanıldığı için ark öntmindn ararlanılarak dğişkni için ni bir dğr tanımlanır : ( ) (.4) ( ) E (.4) ( ) S E E (.4) ( ) S E E ( ) ( ) S X X X E E E (.4) ( )( ) ( ) ( ) N i N i i i N i i i : il arasındaki kitl korlason katsaısı ( )( ) ( ) ( ) N i N i i i N i i i X X :X il arasındaki kitl korlason katsaısı (.44) X S : X il arasındaki kitl dğişim katsaısı S : dğişkni için dğişim katsaısı, (.45)

41 8 tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, ( ) ( ) ( ) ( ) X X ( )( ) ( )( ) (.46) şklind ld dilir. Bu şitliktki iadlr Eşitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa, ( )... (.47) olarak bulunur. Eşitlik (.47) d.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( ). (.48) olarak ld dilir. Eşitlik (.5) v Eşitlik (.48), Eşitlik (.46) da rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) [ ] (.49) olarak ld dilir. tahmin dicisinin anı,

42 9 ( ) ( ) E an ( ) [ ] E E (.5) olarak bulunur. Eşitlik (.5) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin anı, ( ) [ ] an ( ) ( )( ) [ ( )] an ( ) an ( ) ( ) ( ) [ ] an (.5) olarak ld dilir. Burada, dir. tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, ( ) ( ) E HO ( ) [ ] E HO (.5) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması,

43 HO ( ) [ E ] (.5) olarak ld dilir. Eşitlik (.5) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) [ ] HO ( ) [ ( )( ) ( )] HO HO ( ) ( ) [ ( ) ( )] (.54) olarak ld dilir. HO HO ( ) [ ( )] BO olduğuna gör, ( ) HO( ) [ ( )] BO (.55) olarak da iad dilbilir..4. hand tahmin dicisi- hand (975), iki ardımcı dğişkn kullanarak incirlm çarpımsal tahmin dici önrmiştir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici, (.56)

44 şklinddir. Önrdiği tahmin dicid X kitl ortalaması ön örnklmdn ikinci bir dğişkn ardımıla çarpımsal olla tahmin dilmiştir. v ön örnklm ortalamaları; v alt örnklm ortalamalarıdır. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, ( ) X ( ) ( ) X( ) ( )( )( ) ( ) (.57) şklind ld dilir. Bu şitliktki ( ) iadsi şitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa, ( )... (.58) olarak bulunur. Eşitlik (.58) d.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs ( ) (.59) olarak ld dilir. Eşitlik (,59), Eşitlik (.57) d rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) [ ] (.6)

45 olarak ld dilir. tahmin dicisinin anı, ( ) E( ) an ( ) E[ ] an (.6) olarak bulunur. Eşitlik (.6) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin anı, ( ) [ ] an an ( ) an ( ) (.6) olarak ld dilir. Burada, dir. tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) ( ) E[ ] HO (.6) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması,

46 HO ( ) [ E ] (.64) olarak ld dilir. Eşitlik (.64) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) [ ] ( ) [ ( )( ) ( )] HO HO ( ) ( ) [ ( ) ( )] HO (.65) olarak ld dilir..5. irgra Oransal Tahmin Edicisi irgra (98), iki ardımcı dğişkn kullanarak incirlm oransal tahmin dici önrmiştir. kitl ortalaması için önriln irgra tahmin dicisi, [ b ( )] (.66) şklinddir. Önrdiği bu tahmin dicid kitl ortalaması, Xˆ kitl ortalaması tahmini rin konularak oransal olla tahmin dilmiştir. X kitl ortalaması ön örnklmdn ikinci bir dğişkn ardımıla rgrson olla tahmin dilmiştir.

47 v,ön örnklm ortalamaları; v alt örnklm ortalamalarıdır. b, X il arasındaki örnklm rgrson katsaısıdır ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. Tahmin dicinin an v hata karlr ortalaması hsaplanırkn örnklm rgrson katsaısı b, kitl rgrson katsaısı β olarak alınır. N ( i X)( i ) β, X il arasındaki kitl rgrson katsaısı (.67) i N ( i ) i tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, ( ) ( ) [ X( ) β { ( )}] (.68) X şklind ld dilir. β tahmin dicid cinsindn aılmak istnirs: S β, S S S S S β S S S β (.69) S şklinddir. Burada; β, cinsindn aılırsa, X β (.7) şklind ld dilir. 4

48 5 β, Eşitlik (.68) d rin konulursa, ( )( ) X Eşitlik (.5), Eşitlik (.68) d rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, [ ] (.7) olarak ld dilir. tahmin dicisinin anı, ( ) ( ) E an ( ) [ ] E an (.7) olarak bulunur. Eşitlik (.7) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin anı, ( ) [ ] an ( ) ( )( ) an ( ) an

49 an [ ( ) ( ) ( )] (.7) olarak ld dilir. Burada,,, dir. tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) HO ( ) [ E ] (.74) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, HO ( ) [ E ( )] (.75) olarak bulunur. Eşitlik (.75) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO HO ( ) [ ] [ ( ) ( )( ) ( )] HO ( ) 6

50 HO ( ) [ ( ) ( )] (.76) olarak ld dilir. HO HO ( ) [ ( )] BO olduğuna gör, ( ) HO( ) ( ) BO (.77) olarak da iad dilbilir..6. Upadhaa tahmin dicisi Upadhaa (99), iki ardımcı dğişkn kullanarak incirlm oransal tahmin dici önrmiştir. kitl ortalaması için önriln Upadhaa tahmin dicisi, [ b ( )] U (.78) b ( ) şklinddir. Önrdiği tahmin dicid, X kitl ortalaması ön örnklmdn ikinci bir dğişkn ardımıla rgrson olula tahmin dilmiştir. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. b v b örnklm rgrson katsaılarıdır. Tahmin dicinin an v hata karlr ortalamasını hsaplarkn örnklm rgrson katsaısı b v b, sırasıla kitl rgrson katsaısı β v β olarak alınır. U tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, U ( ) X [ X( ) β ] X ( ) ( ) ( β X ) ( ) 7

51 8 X β, X β olmak ür, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U X X X X X X ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] U X X ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] U ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] U (.79) şklind ld dilir. Eşitlik (.79) daki köşli parantdki iad, Eşitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( )( ) ( ) [ ] ( [ ) ( )] (.8) olarak ld dilir. Eşitlik (.79) da Eşitlik (.8) konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( ){ ( [ ) ( )}] U

52 U [ ( ) ( ) ( )] (.8) olarak ld dilir. U tahmin dicisinin anı, an ( ) E( ) U U an [ ( ) E ( ) U ( ) ( )] (.8) olarak bulunur. Eşitlik (.8) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, U tahmin dicisinin anı, an an ( ) [ ( ) ( )] U ( ) [ ( ) ( )] U (.8) olarak bulunur. U tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) U U HO [ ( ) E ( ) U ( ) ( )] (.84) 9

53 şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, HO [ ( ) ( U ) E ( ) ( ) ( )] (.85) olarak ld dilir. Eşitlik (.85) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.8), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, U tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( U ) [ ( ) ( ) ( ) ) ( ] HO HO HO ( ) ( ) ( ) U ( ) [ ( )] U ( ) [ ( )] U (.86) olarak ld dilir..7. Singh v Upadhaa Tahmin Edicilri Singh v Upadhaa (995, ), çşitli incirlm oransal tahmin dicilr önrmişlrdir. Sarl(964), Sisodia v Dwivdi(98), Singh v ahran(99), Upadhaa v Singh (999) tahmin dicilrini gliştirrk incirlm örnklm öntmind çşitli oransal tahmin dicilr önrmişlrdir (Singh, ). 4

54 .7.. Singh v Upadhaa tahmin dicisi- Singh v Upadhaa (995), Sisodia v Dwivdi(98) tahmin dicisini gliştirrk ni bir tahmin dici önrmişlrdir. Sisodia v Dwivdi (98) tahmin dicisi, X SD (.87) şklinddir kitl ortalaması için önriln tahmin dici, su (.88) şklinddir. Önrdiklri bu tahmin dicid, Xˆ kitl ortalaması, ardımcı dğişkni ardımıla Eşitlik (.87) kullanılarak tahmin dilmiştir. kitl ortalaması kitl ortalaması tahmini Xˆ rin konularak oransal olla tahmin dilmiştir. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. katsaısıdır., dğişkninin dğişim su tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, su ( ) ( ) X X( ) ( ) su ( )( )( ) 4

55 4 ( )( )( ) su ( )( )( ) su şklind ld dilir. θ olmak ür, ( )( )( ) ( ) us θ (.89) olarak bulunur. Bu şitliktki ( ) θ iadsi, şitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( ) θ θ θ (.9) olarak bulunur. Eşitlik (.89) da, Eşitlik (.5) v Eşitlik (.9) rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) su θ θ [ ( )] su θ (.9) olarak ld dilir. su tahmin dicisinin anı,

56 ( ) E( ) an su su an ( ) [ su E θ ( )] (.9) olarak bulunur. Eşitlik (.9) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin anı, an ( ) [ su θ ( )] ( ) [ ( )( ) θ ( )] an su an ( ) su θ ( ) [ ( ) θ ( )] an (.9) su olarak ld dilir. su tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) su su HO ( ) [ su E θ ( )] (.94) 4

57 44 şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, ( ) [ ( ) { ( )] su θ θ E HO (.95) olarak bulunur. Eşitlik (.95) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.8), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, ( ) [ ( ) { ( )] su θ θ HO ( ) ( ) ( ) su θ θ HO ( ) ( ) ( ) [ ] su θ θ HO (.96) olarak ld dilir..7.. Singh v Upadhaa tahmin dicisi- Singh v Upadhaa (), Sarl (964) ün öntmini kullanarak ni bir incirlm oransal tahmin dici önrmiştir. Sarl(964) Tahmin Edicisi, k * (.97) şklinddir. Burada, ( ) k dir

58 kitl ortalaması için önriln tahmin dici, su * us (.98) şklinddir Önrdiklri bu tahmin dicid, Xˆ kitl ortalaması, Eşitlik(.97) kullanılarak tahmin dilmiştir. kitl ortalaması, kitl ortalaması tahmini Xˆ rin konularak oransal olla tahmin dilmiştir., X dğişkninin dğişim katsaısıdır. su tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, su ( )( ) ( ) k (.99) şklind olur. Eşitlik (.99) da, Eşitlik (.5) rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, su ( ) k k (.) olarak ld dilir. us tahmin dicisinin anı, ( ) E( ) an su su an ( ) E[ k( ) ( k ) ] su (.) 45

59 olarak bulunur. Eşitlik (.) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin anı, an an [ ] ( ) ( k ) su ( ) [ k ( ) ( k ) ] su an an ( ) k ( k ) su ( ) [ k ( ) ( k ) ] su (.) olarak ld dilir. su tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO HO ( ) E( ) su su ( ) [ k( ) ( k )] (.) su şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, HO [ ( su ) E k ( ) ( k ) k( k )( )] (.4) olarak bulunur. Eşitlik (.4) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.8), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, 46

60 47 ( ) ( ) [ ( ) ( )( )] su k k k k HO ( ) ( )( ) { } ( ) [ ( )( )( )] su k k k k HO ( ) ( ) ( ) su k k k k HO ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) [ ] su k k k k HO (.5) olarak ld dilir..7.. Singh v Upadhaa tahmin dicisi- Singh v Upadhaa (), kndi önrdiklri tahmin dicilri gliştirrk ni bir karışık incirlm oransal tahmin dici önrmişlrdir. Upadhaa v Singh (999) tahmin dicisi, ( ) ( ) us β X β (.6) şklinddir kitl ortalaması için önriln tahmin dici, ( ) ( ) su β β (.7) şklinddir.

61 Önrdiklri bu tahmin dicid, Xˆ kitl ortalaması, ardımcı dğişkni ardımıla Eşitlik (.6) kullanılarak tahmin dilmiştir. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. kitl ortalaması Xˆ kitl ortalaması tahmini rin konularak oransal olla tahmin dilmiştir., ğişkninin dğişim katsaısıdır, β ( ) dğişkninin basıklık katsaısıdır. su tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, su ( ) ( ) X ( ) X β β ( ) ( ) ( ) su ( )( ) ( ) β ( ) ( ) β ( ) su ( )( ) ( ) β β ( ) ( ) β β ( ) ( ) su ( )( ) ( ) β β ( ) ( ) şklind bulunur. β β ( ) ( ) θ olmak ür, su ( )( ) ( )( θ ) (.8) olarak ld dilir. Bu şitliktki ( ) θ iadsi, Eşitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, 48

62 49 ( ) θ θ θ (.9) olarak bulunur. Eşitlik (.8) d, Eşitlik (.5), Eşitlik (.9) rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) su θ θ [ ] su θ θ θ θ (.) olarak ld dilir. su tahmin dicisinin anı, ( ) ( ) E an su su ( ) [ ] su θ θ θ θ E an (.) olarak bulunur. Eşitlik (.) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin anı, ( ) [ ] su θ θ θ E an ( ) ( ) su θ E an ( ) ( ) [ ] su θ an (.)

63 5 olarak ld dilir. us tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, ( ) ( ) su su E HO ( ) [ ] su θ θ θ θ HO (.) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, ( ) [ ] su θ θ θ θ E HO (.4) olarak bulunur. Eşitlik (.4) t; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.8), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, su tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, ( ) [ ] su θ θ θ θ HO ( ) ( ) su θ θ HO ( ) ( ) ( ) [ ] su θ θ HO (.5) olarak ld dilir.

64 .7.4. Singh v Upadhaa tahmin dicisi-4 Upadhaa v Singh (999) diğr tahmin dicisi, ( ) ( ) X β us (.6) β şklinddir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici, ( ) ( ) β su 4 (.7) β şklinddir Önrdiklri bu tahmin dicid, Xˆ kitl ortalaması, ardımcı dğişkni ardımıla Eşitlik (.6) kullanılarak tahmin dilmiştir. kitl ortalaması, Xˆ kitl ortalaması tahmini rin konularak oransal olla tahmin dilmiştir. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir. katsaısıdır, β ( ) dğişkninin basıklık katsaısıdır., dğişkninin dğişim su4 tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, su 4 ( ) ( ) X ( ) X ( ) ( ) ( ) β β su4 ( )( ) ( ) ( ) β ( ) β ( ) su4 ( )( ) ( ) β β ( ) ( ) β ( ) 5

65 5 ( )( ) ( ) ( ) su4 β (.8) şklind bulunur. ( ) θ β olmak ür, ( )( ) ( )( ) 4 su θ (.9) olarak bulunur. Bu şitliktki ( ) θ iadsi, şitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( ) θ θ θ (.) olarak bulunur. Eşitlik (.9) da, Eşitlik(.5), Eşitlik(.) rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) 4 su θ θ [ ] su4 θ θ θ θ (.) olarak iad dilir. Buradan sadc i θ dğrlrin bağlı olarak 4 su tahmin dicisinin an v hata karlr ortalaması anı şkild ld dilir. ( ) ( ) [ ] 4 su θ an (.)

66 HO ( ) [ ( ) θ ( θ )] su4 (.).8. Singh Gnllştirilmiş Tahmin Edicisi Singh (); Singh v Upadhaa(995, ) tahmin dicilrin bnr başka incirlm oransal tahmin dicilr önrmişlrdir. Önrdiklri ni tahmin dicilrd dğişim katsaısı rin kitl ortalaması v dğişim katsaısı biliniorsa, bilinior olacaktır. σ kullanılmışlardır. Eğr ikinci ardımcı dğişknin σ standart sapması da atn Tahmin dicilr bir v ik dğrinin tanımlanmasıla gnllştirilmiş şkild iad dilbilir. v σ ( i,, v k,,,n ) (.4) ik i k i i σ ( n örnklmdki ik v v nın örnklm ortalaması ) (.5) V σ ( itl Ortalaması ) (.6) i i i,, için, β( ), β ( ) olarak iad dilir. için önriln tahmin dici: () σ V, i, σ v için, (.7) sg ( ) β için önriln tahmin dici: ( ) β( ) σ sg V, i, β( ) β ( ) σ v ( ) β için önriln tahmin dici: için, (.8) 5

67 54 ( ) ( ) ( ) sg V v σ β σ β, i, ( ) β için vrilir. (.9) Bu önriln tahmin dici gnllştirilrk aşağıdaki şkild iad dilir: i i i i sg V v σ σ, (i,,) (.) sg tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, ( ) ( ) ( ) i i i sg σ σ X X ( )( ) ( ) i i i sg σ σ ( )( ) ( ) i i i i sg σ σ σ ( )( ) ( ) i i sg σ (.) şklind bulunur. i i i σ φ olmak ür, ( )( ) ( )( ) i sg φ (.) olarak bulunur.

68 Bu şitliktki ( ) φ i iadsi, Eşitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( φ ) φ φ i i i (.) olarak bulunur. Eşitlik (.) d, Eşitlik (.5), Eşitlik (.) rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, sg [ i φ i φ φ i φ ] i (.4) olarak iad dilir. Buradan sadc φ i dğrlrin bağlı olarak usg tahmin dicisinin an v hata karlr ortalaması anı şkild ld dilir. an HO ( ) [ ( ) φ ] sg (.5) ( ) [ ( ) φ ( φ )] sg i (.6) i i Burada i,, için; φ, σ φ β( ) ( ) σ, β φ ( ) dir. β β σ ( ).9. Prasad, Singh v Singh Tahmin Edicilri Prasad, Singh v Singh (), çşitli incirlm örnklm tahmin dicilri önrmişlrdir. Bu tahmin dicilr sırasıla aşağıda inclncktir 55

69 .9.. Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- Prasad (), Singh v Singh, Srivnkataramana v Trac (98,98) nin önrdiği dönüşümü kullanarak altrnati bir incirlm oransal tahmin dici önrmişlrdir Srivnkataramana v Trac (98,98) dönüşümü şu şkilddir: U A, i,,,n (.7) i i Burada, A: sabit bir saıı göstrmktdir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici, ( Xˆ ) O u Xˆ U u (.8) U olarak vrilir. Burada, u A (.9) E ( u ) U A (.4) şklinddir. Eşitlik (.9) v Eşitlik (.4), Eşitlik (.8) d rin konulursa önriln tahmin dici, A (.4) A olarak vrilir. 56

70 57 tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, A A ( ) ( ) ( ) ( ) A A X X ( )( ) ( ) A A ( )( ) ( ) A (.4) olarak bulunur. Burada, θ A olarak iad dilirs v Eşitlik (.5), Eşitlik (.4) d rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs, ( )( )( )( ) θ [ ( ) ] θ θ (.4) olarak ld dilir. PPS tahmin dicisinin anı, ( ) ( ) E an PPS PPS

71 an ( ) [ PPS E θ ( ) ] θ (.44) olarak bulunur. Eşitlik (.44) t; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, PPS tahmin dicisinin anı, an an an ( PPS ) [ θ( ) ] ( ) [ θ ] PPS ( ) [ ( ) θ ] PPS (.45) olarak ld dilir. PPS tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) E( ) PPS PPS HO ( ) [ PPS E θ ( ) ] θ (.46) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, HO ( ) [ PPS E θ θ θ ] θ (.47) Eşitlik (.47) d; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, PPS tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, 58

72 HO HO HO HO ( ) [ PPS θ θ θ ( )] ( ) [ θ ( θ )] ( ) [ ( ) θ ( θ )] ( ) HO( ) θ ( θ ) BO (.48) olarak ld dilir. Önriln tahmin dicid tanımlanan θ dğrinin optimum dğrinin bulunmasıla hata karlr ortalamasının minimum dğri bulunabilir. Bu minimum dğr, HO sının optimumu bulunmak istnn dğr gör türvinin alınıp sııra şitlnmsil bulunur. HO ( ) [ { ( ) θ ( θ )} ] θ θ HO θ ( ) [ ( θ )] (.49) Eşitlik (.49) dan θ θ olarak bulunur. Tahmin dicidki A sabit katsaısının dğri bulunarak tahmin dicid rin konulursa, θ A A 59

73 A A olarak bulunur. A dğri, Eşitlik(.4) d rin konulduğunda PPS tahmin dicisi, A A ( ) [ ( )] (.5) olarak bulunur. θ dğri, Eşitlik (.45) t rin konulursa PPS tahmin dicisinin anı, an ( ) [ ( ) ] PPS (.5) θ dğri, Eşitlik (.488) d rin konulursa PPS tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO min ( ) [ ( ) ] (.5) olarak bulunur. 6

74 .9.. Prasad, Singh v Singh tahmin dicisi- Prasad, Singh v Singh (), Walsh(97) v Rdd(974) nin önrdiklri tahmin dicilri gliştirrk ni bir incirlm tahmin dici daha önrmişlrdir. kitl ortalaması için önriln tahmin dici, (, β ) (.5) [ ] [ ( ) ] β ( β) şklinddir Önrdiklri tahmin dicid, v ön örnklm ortalamaları;,, alt örnklm ortalamalarıdır. ikinci ardımcı dğişknin ait kitl ortalaması bilinmktdir.,β : sabit katsaıları göstrmktdir. v β sabitlrinin aldığı dğr gör tahmin dicilr dğişmktdir. (,β) (, ) için, (,β) (, ) için O, (,β) (, ) için ld dilir. (,β ) tahmin dicisi, Eşitlik (.4) v Eşitlik (.4) daki li trimlr cinsindn aılarak nidn iad dilirs, (,β ) ( ) X( ) ( ) ( ) X( ) [ X ][ β( ) ( β) ] (,β ) ( ) ( ) [ ( )]( β ) (,β ) ( )( )[ ( )] ( β ) (.54) 6

75 olarak bulunur. Bu şitliktki, [ ( )] v ( ) β iadlri şitlik (.4) tn ararlanarak açılırsa v.drcdn sonraki trimlr ihmal dilirs, [ [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ] ( β ) ( β β ) (.55) (.56) olarak ld dilir. Eşitlik (.55) v Eşitlik (.56), Eşitlik (.54) t rin konulup çarpımlar apılırsa v.drcdn li trimlr ihmal dilirs, (,β ) [ ( ) ( β β ) β( β )] (.57) olarak ld dilir. (,β ) tahmin dicisinin anı, an ( ) (,β ) (,β ) ( ) E an [ (,β ) ( ) E ( ) ( β β ) β( β )] (.58) olarak bulunur. Eşitlik (.58) d; Eşitlik (.5), Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4),,β Eşitlik (.4) rin konulursa, tahmin dicisinin anı, ( ) 6

76 an (,β ) ( ) [ ( β ( ) β( β )] an [ ] (,β ) ( ) ( ) β( β ) (.59) olarak ld dilir. (,β ) tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, HO ( ) (,β ) (,β ) ( ) E HO [ (,β ) ( ) E ( ) ( β β ) β( β )] (.6) şklinddir. Bklnn dğrd kar alınıp,.drcdn sonraki li trimlr ihmal dilirs hata karlr ortalaması, HO (,β ) ( ) [ β β β β ] (.6) olarak bulunur. Eşitlik (.6) d; Eşitlik (.6), Eşitlik (.7), Eşitlik (.8), Eşitlik (.4), Eşitlik (.4) rin konulursa, HO HO (,β ) tahmin dicisinin hata karlr ortalaması, (,β ) ( ) [ β (,β ) ( ) ( ) β β [ β( β )] ( )] (.6) olarak ld dilir. 6