BULANIK VARDİYA ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ İÇİN TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ

Transkript

1 22 Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss BULNIK VRDİY ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ İÇİN TMSYILI PROGRMLM MODELİ ÖZ Banu SUNGUR * Gerçek hayatta karşılaşılan ek çok roblemde karar arametreler, eksk ya da elde edlememş blgler neden le kesn olarak blnemeyeblr. Bu tür roblemler çöeblmek çn de bulanık matematksel rogramlama modellerne htyaç duyulur. Vardya çelgeleme roblemlernde de htyaç duyulan şgüü sayılarının her aman kesn olarak blnmes mümkün olmayablr. Bu çalışmada da böyle roblemler çöeblmek çn ykn n (996) vardya çelgeleme modeln bulanıklaştırdık. Bulanık model br örnek roblem üernde uyguladık ve elde ettğm çöümü yorumladık. nahtar Kelmeler: Vardya Çelgeleme, Bulanık Tamsayılı Programlama INTEGER PROGRMMING MODEL FOR FUZZY SHIFT SCHEDULING PROBLEMS BSTRCT In real world, there are many roblems, n whh many deson arameters are fuy beause of nomlete or non obtanable nformaton. Fuy mathematal rogrammng models have been neessary to solve these knds of roblems. lso n shft shedulng roblems, needs for workfore numbers have not been known as rs. In ths aer we have made ykn s (996) shft shedulng model fuy to solve these roblems. We have aled ths fuy model on a samle and ommented on the soluton obtaned. Key Words: Shft Shedulng, Fuy Integer Programmng * rş. Gör. Dr., Eryes Ünverstes, İİBF, İşletme Bölümü Makalenn gelş tarh: ralık 27, kabul tarh: Nsan 28 GİRİŞ Matematksel rogramlama modellernde kısıtlara bağlı olarak amaç fonksyonunu en yleyen çöümler aranır. Çöüm aranan roblemlerde baı katsayılar kesn olarak blnmyor se o aman roblem çn kurulan model de bulanık br matematksel rogramlama model olur. Matematksel rogramlama bulanık küme teorsnn yaygın olarak kullanıldığı alanlardan brdr. Bulanık matematksel rogramlama kısıtlarda ve amaç fonksyonunda esneklğe n vererek bulanık ortamda karar vermeye yardımı olmaktadır. Bulanık ortamda karar verme kavramını lk defa Bellman ve Zadeh (97) önermştr. Matematksel rogramlama roblemlernde bulanıklık da Tanaka ve dğerler (974) tarafından çalışılmıştır. Verdagay (982), Zmmermann (985), Slownsk (986), Leung (988), Delgado vd. (989), Luhandula (25), Ekel vd (26), Mahaatra ve Roy (26) vb. bulanık matematksel rogramlama modeller üernde çalışmışlardır. Gerçek hayatta karşılaşılan roblemlern verler ve arametreler genellkle kesn olarak blneme. Bu nedenle, lteratürde bulanık matematksel rogramlama modellernn ratk roblemlere uygulandığı çalışmalar hıla artmaktadır. Örneğn, Katagr ve Ish (2) envanter, Masatosh vd. (2) ürün ve şgüü atama, Wang ve Lang (24) üretm lanlaması, Beskese vd. (24) esnek üretm sstemler, Islam ve Roy (26) ulaştırma roblemler, Chen (26) makna tamr bakımı, Mula vd. (26) maleme htyaç lanlaması, Hernandes vd. (27) şebeke anal, Guta vd. (28) ortföy seçm konularında bulanık matematksel modeller çalışmışlardır. Bu çalışmada da, şgüü çelgeleme konusunda bulanık matematksel model çalışılaaktır. İşgüü htyaçlarının kesn olarak blnmedğ vardya çelgeleme roblemlern çöeblmek çn mevut br vardya çelgeleme model sağ taraf sabtler bulanık olan br model halne getrleektr. Vardya çelgeleme roblemler lteratürde çok lg görmüştür. Vardya çelgeleme konusundak tamsayılı matematksel modellerden lk 954 yılında George Dantg tarafından, kns de 979 yılında Elbrdge Keth tarafından gelştrlmştr. kademk lteratürde vardya çelgeleme konusunda Dantg tarafından gelştrlen model, tar çalışmalarda se Keth tarafından gelştrlen model daha fala lg görmüştür (Thomson, 999:88). Behtold ve Jaobs (99), ykn (996), Thomson (996), vb. vardya çelgelemes yamak üere tam sayılı matematksel modeller gelştrmşlerdr. Bu çalışmada bulanıklaştırılaak olan model ykn n (996) çalışmasındak vardya çelgeleme modeldr.

2 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss Çalışmanın br numaralı başlığında sağ taraf sabtler bulanık olan matematksel modeller konusunda teork br çerçeve çldkten sonra k numaralı başlıkta ykn model verleektr. Üç numaralı başlıkta bu model bulanıklaştırılaak ve bulanık model le de ykn tarafından aynı çalışmada sunulmuş vardya çelgeleme roblem htyaç duyulan şgüü sayıları bulanıklaştırılarak çöüleek ve çöüm sonuçları değerlendrleektr. I. TEORİK ÇERÇEVE Br bulanık matematksel rogramlama modelnn en genel formülasyonu, a,d ve bulanık olmak üere aşağıdak gbdr: ma n a ~ n ~ ~ d,,m Burada, amaç fonksyonunun kar katsayısı, d mevut kıt kaynak mktarı ve a teknk katsayıdır. Bu grdler (,d,a ) eksk ya da elde edlememş blgler nedenyle genellkle bulanıktır. Bu bulanık sayıların formüle edleblmes çn de üyelk fonksyonları ( µ (X ) ) kullanılır. Bulanık modelde amaç fonksyonu, sol taraf katsayıları ve sağ taraf sabtler hes br arada bulanık olableeğ gb tek tek de bulanık olablrler. B bu çalışmada sadee sağ taraf sabtler bulanık olan br roblem neleyeeğ. Br matematksel rogramlama modelnde sol taraf katsayıları kesn sayılarken sağ taraf sabtler kesn olarak blnemyorsa bu model sağ tarafı bulanık matematksel rogramlama model olarak adlandırılır. Kısıtları küçük eşt bçmnde ve sağ taraf sabtler bulanık olan br maksmasyon model düşünelm: ma n a n ~ d,,m H.J. Zmmermann sağ tarafları bulanık matematksel rogramlama modellern çömek üere kısıtların üyelk fonksyonunu µ şöyle tanımlamıştır (Zmmermann,985:32): µ α µ ( ) ( ) < d ( ) d d d +,,m+ ( ) ( ) > d + Bu üyelk fonksyonunun nasıl elde edldğ şekl de görülmektedr. Şekl : Mnmasyon Şeklndek Bulanık Kısıtın Üyelk Fonksyonu B D C E F () d () d + B BD C CF α d ( ) d α Kısıtların üyelk fonksyonunun değer, eğer kısıtın sol tarafı bulanıklık ayı ( ) da eklenmş olan sağ taraf sabtnden büyükse sıfır, sağ taraf sabtnden küçükse de brdr. Üyelk fonksyonu değernn, [ d, d + ] aralığında da doğrusal olarak arttığı varsayılmaktadır

3 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss maç fonksyonunun üyelk fonksyonu µ ( ) µ da şöyledr: > ( ) < Bu üyelk fonksyonunun nasıl elde edldğ şekl 2 de görülmektedr. Şekl 2: Maksmasyon Şeklndek maç Fonksyonunun Üyelk Fonksyonu µ α E B F B CF CE α α, kısıtlarının sağ taraf sabtler kesn olan modeln en y çöümüdür. de sağ taraf sabtlerne bulanıklık ayları eklenmş olan modeln en y çöümüdür. maç fonksyonunun üyelk fonksyonunun değer, eğer amaç fonksyonunun değer den küçükse sıfır, dan büyükse de brdr. Üyelk fonksyonu değernn [, ] aralığında da doğrusal olarak arttığı varsayılmaktadır. F () C C () Son olarak, yen br değşken ( α ) eklenerek ve yukarıdak üyelk fonksyonları kullanılarak model aşağıdak gb yaılmaktadır: ma α α α α ( ) ( ),..., m +. d Yukarıda anlatılan blgler ışığında br vardya çelgeleme model üernde, şgüü htyaçlarının kesn olarak blnemedğ roblemler çömek üere, tadlatlar yaılaaktır. Model sağ taraf sabtler bulanık olan br matematksel model halne getrleektr. Gerçek hayatta şgüü htyaçlarının kesn olarak blnemedğ çok farklı durumlar ortaya çıkablmektedr. Bu çalışmada da amaç, şgüü htyaının kesn olarak blnmesnn mümkün olmadığı durumlarda mevut bulanık vardya çelgeleme roblemne çöüm bulablmektr. II. ÖNERİLECEK BULNIK MODELİN TEMELİNİ OLUŞTURN MTEMETİKSEL MODEL ykn (996), otmal vardya çelgelemes yamak çn tam sayılı matematksel br model gelştrmştr. Modelde şgüü hem vardyalara hem de öneden belrlenmş mola enereler çnde yarım saatlk yemek molasına ve kşer tane 5 er dakkalık dnlenme molalarına atanmaktadır. Bu atamalar yaılırken de amaç tolam şgüü malyetnn mnme edlmesdr. Modeln Parametreler: C. vardyada çalışan şgüünün brm malyet vardya sayısı,2,,m, eğer n vardya n eryotta çalışıyorsa, aks halde eryot sayısı,2, n

4 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss D eryot de htyaç duyulan şgüü sayısı T,TL,T2 Brn dnlenme molası, yemek molası ve kn dnlenme molaları çn ayrılan mola enereler çndek mola başlama amanı olan. eryot çn vardya kümeler. B,BL,B2. vardyada çalışan şgüünün brn dnlenme molasına, yemek molasına ve kn dnlenme molasına başlamaları muhtemel olan lanlama eryotlarının kümes. Modeln Değşkenler: X. vardyada çalışmak üere atanmış şgüü sayısı U. vardyaya atanan ve brn dnlenme molasını. eryotta veren şgüü sayısı W. vardyaya atanan ve yemek molasını. eryotta veren şgüü sayısı V. vardyaya atanan ve kn dnlenme molasını. eryotta veren şgüü sayısı () Model: Mnme Z Subet to m X C X U ( ) T TL ( ) TL T 2 W X,,m (2) U B W BL X,,m (3) X V,,m (4) B 2 X, U, W, V ve tamsayı W V D,,n Brn kısıtlayıılar kümes. eryoda atanı da brn dnlenme molasını verenler, yemek molasını verenler ve kn dnlenme molasını verenler çıkarıldıktan sonra. eryoda atanan şgüü sayısının o eryotta htyaç duyulan şgüü sayısına eşt ya da daha fala olmasını garantlemektedr. İkn, üçünü ve dördünü kısıtlayıı kümeler. vardyaya atanan şgüü sayısını, o vardyada brn dnlenme molasını, yemek molasını, kn dnlenme molasını veren şgüü sayısına eştler. Dolayısıyla, vardyaya atanan her şgüünün bütün molalarını vermes garantlenr. III. BULNIK VRDİY ÇİZELGELEME MODELİ Bu bölümde sunulaak olan bulanık tamsayılı vardya çelgeleme model II numaralı başlıkta verlen modeln bulanıklaştırılması le elde edleektr.. YKİN MODELİ NİN BULNIKLŞTIRILMSI ykn Model ndek kısıt () n sağ tarafı bulanıklaştırılaaktır. Dğer kısıtlar (2,3,4) aynı kalaaktır. m X U W W V > D ( ) T TL ( ) TL T 2 (),,n Bulanıklaştıraağımı model kısıtları şeklnde olan br mnmasyon model olduğundan, H.J. Zmmermann ın sağ tarafları bulanık matematksel rogramlama modellern çömek çn belrledğ üyelk fonksyonunu µ, bu modele uyarlayaağı. µ şöyle yaıyoru: şeklnde olan kısıtlayıılar çn üyelk fonksyonunu µ ( ) ( ) > d d ( ) d d ( ) < d Bu üyelk fonksyonunun nasıl elde edldğ şekl 3 te gösterlmştr. Modelde amaç fonksyonu tolam şgüü malyetn mnme etmektedr.

5 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss Şekl 3: Maksmasyon Şeklndek Bulanık Kısıtın Üyelk Fonksyonu µ Şekl 4: Mnmasyon Şeklndek maç Fonksyonunun Üyelk Fonksyonu µ F α B α B D F CF α B CE d d α Mnmasyon şeklnde olan amaç fonksyonu çn de üyelk fonksyonu µ şöyle yaılmaktadır: ( ) µ ( ) < E d - ( ) > Bu üyelk fonksyonunun nasıl elde edldğ şekl 4 te gösterlmştr. d C () B BD C CF α α Yukarıdak üyelk fonksyonlarını kullanarak bulanık model yaaağı. ma α α ( C X ) m D ( X U W W V ) T ( ) TL ( ) TL T 2 α () X,,m (2) U B C E F () X W,,m (3) BL X V,,m (4) B 2 X, U, W, V ve tamsayı

6 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss B. ÖRNEK PROBLEM ykn (996), modeln k vardyalı, (,2), örnek br roblem üernde anlatmıştır. Bu roblem saat baında htyaç duyulan şgüü sayıları bulanıklaştırılarak aşağıda tarf edleektr. Örnek Problem: İşletmede, çalışma süreler 9 ar saat olan k vardya {,2} bulunuyor. Çalışanlar yarım saatlk br yemek molası ve 5 er dakkalık k dnlenme molası veryor. Dolayısıyla her br vardya çn 8 er saatlk çalışma süres kalıyor. Brn vardya saat 7: da, kn vardya saat 9: da başlıyor. İşletme saat 7. dan 8: a kadar hmet veryor. Br çalışma gününde 44 tane 5 er dakkalık aman aralığı bulunuyor (,2,,44). Yemek molasının deal başlama amanının çalışma süresnn tam ortasında olduğu varsayılıyor. Bu deal başlama amanı da dört çalışma saatnden sonra yer alıyor. İdeal dnlenme molaları başlama amanı da, yemek önes ve sonrası olan 4 er saatlk çalışma aman aralıklarının tam ortasında bulunuyor. Brn dnlenme molasının deal başlama amanı vardyanın başlamasından k saat sonra oluyor. İkn dnlenme molasının deal amanı da yemek molasının btmesnden k saat sonra başlıyor. Bütün mola enerelernn deal başlama amanlarından yarım saat öne başladığı varsayılıyor. Böylee, brn vardya çn lk 5 dakkalık dnlenme mola eneres 8.3 dan. a kadar sürüyor. Brn vardya çn yemek molası eneres,.45 ten 2 5 e kadar devam edyor. Brn vardya çn kn 5 dakkalık dnlenme mola eneres se 3.5 ten 4.45 e kadar oluyor. İkn vardya çn se lk 5 dakkalık dnlenme mola eneres.3 dan 2. a kadar, yemek molası eneres, 2.45 ten 4 5 e kadar ve kn 5 dakkalık dnlenme mola eneres se 5.5 ten 6.45 e kadar sürüyor. Bu durumda, her k vardya çn de br çalışan çn beş farklı yemek molası amanı sö konusu oluyor. Brn vardya çn bu alternatfler,.45-.5,.-.3,.5-.45,.3-2. ve aman aralıklarında yer alıyor. Brn vardyanın br çalışanı yemek molasına eryot t 6,7,8,9,2 de başlayablyor. İkn vardyanın br çalışanı se yemek molasına eryot t 24, 25, 26, 27, 28 de başlayablyor. İkn vardya çalışanları çn yemek molası alternatfler de, ,3.-3.3, , ve olmak üere beş tane oluyor. Brn vardyaya atanan br çalışan brn dnlenme molasını eryot t7,8,9,,,2 de vereblyor. Bu eryotların temsl ettkler aman aralıkları se, , , ve saatler oluyor. İkn vardyaya atanan br çalışan se brn dnlenme molasını eryot t 5,6,7,8,9,2 de vereblyor. Bu eryotların temsl ettkler aman aralıkları da.3-.45,.45-.,.-.5,.5-.3, ve saatlernde bulunuyor. Brn vardyaya atanan br çalışan kn dnlenme molasını eryot t 26,27,28,29,3,3 de vereblyor. Bu eryotların temsl ettkler aman aralıkları, , , , , ve saatlernde yer alıyor. İkn vardyaya atanan br çalışan se kn dnlenme molasını eryot t 34, 35, 36, 37, 38, 39 da vereblyor. Bu eryotların temsl ettkler aman aralıkları da , , , , ve saatler oluyor. İşletmenn saatler tbaryle htyaç duyduğu şgüü sayısı da kesn olarak blnemedğnden aşağıdak gb k sayı aralığında verleblyor. Saat İhtyaç Duyulan İşgüü Sayısı İstenen: Problemde anlatılan, htyaç duyduğu şgüü sayıları bulanık, organasyon çn vardya çelgelemesnn yaılması stenyor. C. ÖRNEK PROBLEM İÇİN BULNIK MODELİN KURULMSI Bulanık modeln tek bulanık kısıtlayıılar kümes olan () den 7. eryot çn yaılan tek br kısıtlayıı örnek olsun dye verleektr. Dğer eryotlar çn de aynı şablon uygulanaaktır. Bu kısıtlayııyı çn, d 7 2 ve 5 blgsn kullanarak üyelk fonksyonunu aşağıdak şeklde yaıyoru: µ 7 ( ) 7 > ( ) ( ) < 5

7 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss Model, htyaç duyulan ersonel sayıları üst sınırdaymış gb çöüldüğünde amaç fonksyonu değer 38 ( 38) çıkmıştır. Model, ersonel sayılarını beşer sayı düşürerek alt sınırda çödüğümüde se amaç fonksyonu değer aşağıda da görüldüğü gb 27 ( 27) çıkmıştır. maç Fonksyonunun Değer ) 38. Değşken Değer X 2. X 2 8. maç Fonksyonunun Değer ) 27. Değşken Değer X 5. X 2 2. Bu verler ışığında amaç fonksyonunun üyelk fonksyonunu se şu şeklde yaıyoru: µ ( ) < 27 ( ) ( ) 38 > 38 Bulanık modeln kısıtlayıılar kümes () n 7. eryot çn yaılımı le amaç fonksyonunun yaılımı aşağıdadır. Bulanık modeln tamamı se ektedr. α ma α 2 X X α + X 2 U 27 W6 W7 + X 2 27 Model aşağıdak gb düenlyoru: ma α X + X 2 U 27 W6 W7 5α 5 X + X 2 + α 38 5 D. ÖRNEK PROBLEM İÇİN KURULN BULNIK MODEL İN ÇÖZÜMÜ VE ÇÖZÜMÜN DEĞERLENDİRİLMESİ Örnek roblemde bütün saatler çn htyaç duyulan şgüü sayısı kesn sayılar le bulanıklık ayı olan beş eksğ arasında değşeblmektedr. Bulanık model bu verler kullanılarak Lndo aket rogramı le çöülmüştür. Çöüm aşağıdadır: Modeln Çöümü: maç Fonksyonunun Değer: ).4 Değşken Değer α.4 X 7. X2 5. Model htyaç duyulan şgüü sayıları, üst sevyedeyken çöüldüğünde tolam şgüü sayısı 38, alt sevyedeyken çöüldüğünde se 27 çıkmıştır. 38 şgüü le şletmenn, tale kaçırma htmal olmayaakken fala şgüü malyet sö konusu olaaktır. İşletmenn şgüü sayısı 27 ken se şgüü sayısının a olması neden le şgüü malyet düşük olaakken bu defada tale kaçırmaları olableektr. Modeln, htyaç duyulan şgüü sayılarının bulanıklaştırılmasıyla çöümünde se vardyalara atanaak tolam şgüü sayısı 32 çıkmıştır. Ortada br çöüm elde edlmştr. İşletmede 32 şgüünün vardyalara atanması durumunda 38 şgüü le çalışmaya kıyasla daha a sayıda şgüü le çalışılaağından şgüü malyetler daha düşük olaaktır, 27 ş güü le çalışmaya kıyasla da daha çok şgüü le çalışılaağından daha fala tale karşılanableektr. SONUÇ Bu çalışmada ykn n (996) vardya çelgeleme model bulanıklaştırılmıştır. Gerçek hayatta ek çok roblemde olduğu gb vardya çelgeleme roblemlernde de verlern kesn olarak blnemeyeeğ durumların olableeğ düşünüldüğünden, bulanık model ykn n çalışmasında tarf ettğ roblem üernde, htyaç duyulan şgüü sayıları bulanıklaştırılarak uygulanmıştır. Kurulan bulanık model çöülmüş ve elde edlen sonuçlar değerlendrlmştr. yrıa, roblemn verler kesnken elde edlmş çöümlerle bulanıkken elde edlmş çöümler karşılaştırılarak yorum yaılmıştır. Geleekte de vardya çelgeleme konusunda bulanık yaklaşım kullanılarak yen modeller kurulableeğ düşünülmektedr.

8 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model Eryes Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Sayı: 3, Oak-Haran 28, ss Ek: Örnek Vardya Çelgeleme Problem İçn Kurulan Bulanık Model mn + 2 st -u 67-5α >5 -u 8-5α > u 9-5α > u -5α > u -5α > u 2-5α >5 -u 25-5α > w 6 -u 26-5α > w 6 -w 7 -u 27-5α > w 7 -w 8 -u 28-5α > w 8 -w 9 -u 29-5α > w 9 -w 2 -u 22-5α > w 2-5α > w 224-5α > w 224 -w 225-5α > + 2 -w 225 -w 226 -v 26-5α > + 2 -w 226 -w 227 -v 27-5α > + 2 -w 227 -w 228 -v 28-5α > + 2 -w 228 -v 29-5α > + 2 -v 3-5α > + 2 -v 3-5α > + 2 -v 234-5α > + 2 -v 235-5α > + 2 -v 236-5α > 2 -v 237-5α > 2 -v 238-5α > 2 -v 239-5α > -u 7 -u 8 -u 9 -u -u -u 2 -w 6 -w 7 -w 8 -w 9 -w 2 -v 26 -v 27 -v 28 -v 29 -v 3 -v 3 2 -u 25 -u 26 -u 27 -u 28 -u 29 -u w 224 -w 225 -w 226 -w 227 -w v 234 -v 235 -v 236 -v 237 -v 238 -v 239 KYNKÇ YKİN, Turgut; (996), Otmal Shft Shedulng wth Multle Break Wndows, Management Sene, 42(4), ss BECHTOLD, Stehen.E. ve Larry.W. JCOBS; (99), Imlt Modelng of Fleble Break ssgnments n Otmal Shft Shedulng, Management Sene, 36(), ss BELLMN, Rhard E. ve Lotf.ZDEH; (97), Deson-Makng n Fuy Envroment, Management Sene, 7(4), ss. B BESKESE, hmet; Ceng KHRMN ve Zahr IRN; (24), Quantfaton Of Fleblty In dvaned Manufaturng Systems Usng Fuy Conet, Int. J. Produton Eonoms, 89, ss CHEN, Shh-Pn; (26), Mathematal Programmng roah To The Mahne Interferene Problem Wth Fuy Parameters led Mathemats nd Comutaton, 74, ss DNTZİG, GeorgeB.; (954), Comment On Ede s Traff Delays t Tool Booths Oeratons Researh, 2(3), ss DELGDO, Mguel; Jose Lus VERDEGY ve Mara maro VIL; (989), General Model For Fuy Lnear Programmng, Fuy Sets and Systems, 29, ss EKEL, P Ya; M.R. SILV; F. SCHUFFNER NETO ve R.M. PLHRES; (26), Fuy Preferene Modelng and Its laton to Multobetve Deson Makng, Comuter and Mathemats wth latons, 52, ss GUPT, Panka; Mukesh Kumar MEHLWT ve nand SXEN; (28), sset Portfolo Otmaton Usng Fuy Mathematal Programmng, Informaton Senes, 78, ss ISLM, Sahdul ve Taan Kumar ROY; (26), New Fuy Mult- Obetve Programmng : Entroy Based Geometr Programmng nd Its laton Of Transortaton Problems, Euroean Journal of Oeratonal Researh, 73, ss KTGIRI, Hdek ve Hroak ISHII; (2), Some Inventory Problems Wth Fuy Shortage Cost, Fuy Sets nd Systems,, ss KEITH, Elbrdge G.; (979), Oerator Shedulng, IIE Transatons, (), ss LEUNG, Yee; (988), Interregonal Equlbrum and Fuy Lnear Programmng, Envronment and Plannng, , ss

9 Bulanık Vardya Çelgeleme Problemler İçn Tamsayılı Programlama Model 227 LUHNDJUL, M.K.; (26), Fuy Stohast Lnear Programmng: Survey and Future Researh Dretons, Euroean Journal of Oeratonal Researh, 74, ss MHPTR, G.S. ve T.K. ROY; (26), Fuy Mult-Obetve Mathematal Programmng On Relablty Otmaton Model, led Mathemats and Comutaton, 74, ss MUL, J.; R. POLER ve J.P. GRCI; (26), MRP Wth Fleble Constrants: Fuy Mathematal Programmng roah, Fuy Sets nd Systems, 57, ss SKW, Masatosh; Ihro NISHIZKI ve Yosho VEMUR; (2), Interatve Fuy Programmng For Two-Level Lnear nd Lnear Fratonal Produton nd ssgnment Problems: ase Study, Euroean Journal Of Oeratonal Researh, 35, ss SLOWINSKI, Roman; (986), Multrtera Fuy Lnear Programmng Method For Water Suly System Develoment Plannng, Fuy Sets and Systems, 9, ss TNK, Hdeo.; T. OKUD ve Kyo. SI; (974), On Fuy Mathematal Programmng, J.Cybernets, 3, ss THOMPSON, Gary M.; (996), Otmal Shedulng of Shfts and Breaks Usng Emloyees Havng Lmted Tme-valablty, Internatonal Journal of Serve Industry Management, 7(), ss THOMPSON, Gary.M.; (999) Labor Shedulng, Part 3 (Develong Workfore Shedule),Cornell Hotel and Restaurant dmnstraton Quarterly, ss VERDEGY, Jose Lus; (982) Fuy Mathematal Programmng n:m.gruta and E.Sanhe, Fuy Informaton and Deson Proesses, ss WNG, Reay-Chen ve Ten-Fu LING; (24), latons of Fuy Mult Obetve Lnear Programmng To ggregate Produton Plannng, Comuters&Industral Engneerng, 46, ss.7-4. ZIMMERMNN, Hyman J.; (985), latons of Fuy Set Theory to Mathematal Programmng, Informaton Senes, 36, ss